人教A版数学必修四第一、二章滚动测试.docx
人教A版数学必修四第二、三章滚动测试
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作第二、三章滚动测试班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知A (x,1)，B (1,0)，C (0，y )，D (－1,1)，若AB →＝CD →，则x ＋y 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：D解析：∵AB →＝CD →，∴(1－x ，－1)＝(－1,1－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－1，1－y ＝－1，得x ＋y ＝4. 2．若a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a 与b 的长度必相等 B ．a ∥b 且a 与b 同向 C ．a 与b 不一定相等 D ．a 是b 的相反向量 答案：B解析：由|a ＋b |＝|a |＋|b |可知两向量的夹角为0°或180°，根据a 、b 为非零向量可知如果有|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 必同向．3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案：D解析：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )，又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，∴m ＝－79，n ＝－73.故选D.4．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0 答案：A解析：AD →＋BE →＋CF →＝12AB →＋12BC →＋12CA →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0.5．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( )A.22B.32C. 2 D ．2 答案：C解析：原式＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋30)＝2sin(15°＋30°)＝ 2.6．设f (sin x )＝cos2x ，则f ⎝⎛⎭⎫32等于( )A ．－12B ．－32C.12D.32 答案：A解析：解法一：由f (sin x )＝cos2x ＝1－2sin 2x ， 得f (x )＝1－2x 2，则f ⎝⎛⎭⎫32＝1－2×⎝⎛⎭⎫322＝－12.解法二：由题意令x ＝60°，得f ⎝⎛⎭⎫32＝f (sin60°)＝cos120°＝－12.7．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则cos α＋sin αcos α－sin α＝( ) A.522 B.17 C.16 D.322 答案：D解析：∵α＋π4＝α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)·tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322，∴cos α＋sin αcos α－sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝322. 8．函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象，可由函数y ＝sin2x －cos2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位得到B ．向右平移π8个单位得到C ．向左平移π4个单位得到D ．向右平移π4个单位得到答案：C解析：y ＝sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8， y ＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 ＝2sin2⎝⎛⎭⎫x －π8，其中x ＋π8＝⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π8， ∴将y ＝sin2x －cos2x 的图象向左平移π4个单位可得y ＝sin2x ＋cos2x 的图象．9．如果sin (α＋β)sin (α－β)＝m n，那么tan βtan α等于( )A.m －n m ＋nB.m ＋n m －nC.n －m n ＋mD.n ＋m n －m 答案：A解析：∵sin (α＋β)sin (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β＝m n，∴cos αsin βsin αcos β＝m －n m ＋n ，∴tan βtan α＝m －nm ＋n .10．A ，B ，C ，D 为平面上四个互异点，且满足(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 答案：B解析：∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，∴|AB →|＝|AC →|.11．已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )的值是( )A.2145 B ．－2145C ．±2145D ．±51428答案：B解析：由已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，得⎩⎨⎧sin 2x －2sin x sin y ＋sin 2y ＝49，cos 2x －2cos x cos y ＋cos 2y ＝49，相加得cos(x －y )＝59.∵x 、y 均为锐角且sin x －sin y <0，∴－π2<x －y <0，∴sin(x －y )＝－2149，∴tan(x －y )＝－2145.12．已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.13B.27C.17D.23 答案：C解析：由题意，得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25，解得sin α＝35，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－45，tan α＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝17. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a ，b 满足|a |＝2 5，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 答案：(－4，－2)解析：设a ＝(x ，y )，x <0，y <0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．14．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案：－16解析：AB →·AC →＝⎝⎛⎭⎫－12BC →＋AM →·⎝⎛⎭⎫12BC →＋AM →＝－14BC →2＋AM →2＝－14×102×32＝－16. 15．化简(3tan10°－1)·cos10°2sin20°＝________.答案：－1解析：原式＝32sin10°－12cos10°sin20°＝sin (10°－30°)sin20°＝－sin20°sin20°＝－1.16．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是________．答案：2 解析：如图，以C 为原点，CA ，CB 所在直线为y 轴，x 轴建立直角坐标系，所以CA →＝(0,1)，CB →＝(2,0)，故2λCA →＋(1－λ)CB →＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)， 所以f (λ)＝22λ2－2λ＋1＝22⎝⎛⎭⎫λ－122＋12，故最小值为2，在λ＝12时取得． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，求sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6以及tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值． 解：∵cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，∴sin θ＝－513，tan θ＝－512，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6＝－513×32－1213×12＝－5 3＋1226；tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋tanπ41－tan θ·tanπ4＝－512＋11－⎝⎛⎭⎫－512×1＝717.18．(12分)已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x .将函数f (x )的图象向右平移m 个单位，使所得函数为偶函数，求m 的最小值．解：f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2sin x cos x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 函数f (x )的图象向右平移m 个单位后的解析式为g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2(x －m )＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π3， 要使函数g (x )为偶函数，则－2m ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )．又m >0，∴当k ＝－1时，m 取得最小值为512π.19．(12分)当0<x ≤π4时，求函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x －cos x sin x的最大值．解：∵0<x ≤π4，则0<tan x ≤1，∴f (x )＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x －cos x sin x ＝4sin 2x ＋cos 2x sin x cos x －cos x sin x ＝4tan 2x ＋1tan x －1tan x ＝4tan x ＋1tan x －1tan x＝4tan x . ∴f (x )≤4.∴f (x )max ＝4.20．(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°·cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32cos αsin α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 21．(12分)已知向量a 与b 的夹角为23π，|a |＝2，|b |＝3，记m ＝3a －2b ，n ＝2a ＋k b .(1)若m ⊥n ，求实数k 的值；(2)是否存在实数k ，使得m ∥n ？说明理由． 解：(1)由m ⊥n 得m ·n ＝0，即(3a －2b )·(2a ＋k b )＝0，整理得：6|a |2－(4－3k )a ·b －2k |b |2＝0，∴27k ＝36，∴k ＝43，∴当k ＝43时，m ⊥n .(2)若存在实数k ，使m ∥n ，则有m ＝λn ， 即3a －2b ＝λ(2a ＋k b )，∴(3－2λ)a ＝(2＋kλ)b . ∵由题意可知向量a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2λ＝0，2＋kλ＝0⇒⎩⎨⎧λ＝32，k ＝－43，即存在实数k ＝－43，使得m ∥n .22．(12分)已知函数f (x )＝a ＋b sin2x ＋c cos2x (x ∈R )的图象过点A (0,1)，B ⎝⎛⎭⎫π4，1，且b >0，又f (x )的最大值为22－1.(1)将f (x )写成含A sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的形式；(2)由函数y ＝f (x )的图象经过平移是否能得到一个奇函数y ＝g (x )的图象？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由．解：(1)f (x )＝a ＋b sin2x ＋c cos2x ＝a ＋b 2＋c 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫tan φ＝c b ， 由题意，可得⎩⎨⎧a＋c ＝1，a ＋b ＝1，a ＋b 2＋c 2＝22－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝2.所以f (x )＝－1＋2sin2x ＋2cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1. (2)将f (x )的图象向上平移1个单位得到函数f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，再向右平移π8个单位得到y ＝22sin2x 的图象，而函数y ＝22sin2x 为奇函数，故将f (x )的图象先向上平移1个单位，再向右平移π8个单位就可以得到奇函数y ＝g (x )的图象．。
数学人教A版必修4练习第一、二章 滚动测试 Word版含解析
第一、二章滚动测试班级姓名考号分数本试卷满分分，考试时间分钟．一、选择题：本大题共题，每题分，共分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．．设()，(－)，则＝( )．．答案：解析：＝(－)－()＝(－)，∴＝＝.．如果函数()＝(π＋θ)(<θ<π)的最小正周期是，且当＝时取得最大值，那么( )．＝，θ＝．＝，θ＝π．＝，θ＝π．＝，θ＝答案：解析：＝＝，(π＋θ)＝，θ＝.．已知(α－π)＝，且α∈，则α等于( )．－．－答案：解析：(α－π)＝－α＝，∴α＝－，α＝，∴α＝－＝－.．若角α的终边落在第三象限，则＋的值为( )．．－．．－答案：解析：由角α的终边落在第三象限得α<，α<，故原式＝＋＝＋＝－－＝－.．已知平面内三点(－)，()，()，且＝λ，则λ的值为( )．．答案：解析：因为＝λ，所以()＝λ()，所以λ＝.．已知α－α＝，则α＋等于( )答案：解析：由α－α＝可得(α－α)＝，即－αα＝，αα＝，则α＋＝＋＝＝.．将函数＝()的图象沿轴向右平移个单位长度，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的倍，得到的曲线与＝的图象相同，则＝()是( )．＝．＝．＝．＝答案：解析：将＝的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，得到＝的图象，再沿轴向左平移个单位，得到＝＝的图象．．设、是平面直角坐标系内轴、轴正方向上的单位向量，且＝＋，＝＋，则△的面积等于( )．．．．答案：解析：＝－＝－＋，所以⊥.所以△＝·＝·＝.．若函数＝(ω＋φ)(ω＞，φ＜，∈)的部分图象如图所示，则函数表达式为( )．＝－．＝．＝－．＝答案：解析：先确定＝－，由＝－和时＝可得＝，ω＝，φ＝.．已知函数()＝ω＋ω(ω>)，＝()的图象与直线＝的两个相邻交点的距离等于π，则()的单调递增区间是()，∈，∈，∈，∈答案：解析：本题主要考查三角函数的图象与性质．函数()＝的图象与直线＝的两个相邻交点就是函数()的两个最大值点，周期为π＝，ω＝，于是()＝.由π－≤＋≤π＋得，π－≤≤π＋，故选.．设向量与的夹角为θ，定义与的“向量积”，×是一个向量，它的模等于×＝θ，若＝(，)，＝(－，－)，则×＝( )．．．答案：解析：∵θ＝＝()×)＝－，又θ∈[，π]，∴θ＝＝，×＝·θ＝.．已知＝(λ，)，＝(－)，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是( )．λ<．λ≤．λ≤且λ≠－．λ<且λ≠－答案：解析：由题可知·＝－λ＋>，λ<，当与共线，且方向相同时，设＝(λ，)＝μ(－)(μ>)，∴(\\(λ＝－μ，＝μ，))得λ＝－，∴λ的取值范围是λ<且λ≠－.二、填空题：本大题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上．．设()＝(π＋α)＋(π＋β)＋(，，α，β是常数)，且()＝，则()＝.答案：解析：()＝α(π＋α)＋(π＋β)＋＝－(α＋β)＋＝∴α＋β＝－()＝α＋β＋＝.．已知＝()＝(，λ)，若与的夹角为锐角，则λ的取值范围是．答案：∪解析：若与的夹角为锐角，则θ>且θ≠θ＝＝∴λ>－.又＋λ≠·∴λ≠∴λ的范围是λ>－且λ≠.．函数()＝(∈)，(α)＝－，(β)＝，且α－β的最小值等于，则正数ω的值为．答案：解析：由(α)＝－，(β)＝，且α－β的最小值等于可知＝，＝π，∴ω＝.．如图，在正方形中，已知＝，若为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值是．。
高中人教A版数学必修4：第一、二章 滚动测试 Word版含解析
第一、二章滚动测试班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设A (1,2)，B (－2,5)，则|AB →|＝( ) A. 5 B.29 C ．3 2 D ．4 答案：C解析：AB →＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴|AB →|＝(－3)2＋32＝3 2.2．如果函数f (x )＝sin(2πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝1时取得最大值，那么( )A ．T ＝1，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝2，θ＝π2答案：A解析：T ＝2π2π＝1，sin(2π＋θ)＝1，θ＝π2.3．已知sin(α－π)＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α等于( ) A.255 B ．－255C.52 D ．－52 答案：B解析：sin(α－π)＝－sin α＝23，∴sin α＝－23，cos α＝53，∴tan α＝－25＝－255.4．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1 答案：B解析：由角α的终边落在第三象限得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.5．已知平面内三点A (－1,0)，B (5,6)，P (3,4)，且AP →＝λPB →，则λ的值为( ) A ．3 B ．2 C.12 D.13 答案：B解析：因为AP →＝λPB →，所以(4,4)＝λ(2,2)，所以λ＝2.6．已知sin α－cos α＝13，则tan α＋1tan α等于( )A.89B.73C.94D.114 答案：C解析：由sin α－cos α＝13可得(sin α－cos α)2＝19，即1－2sin αcos α＝19，sin αcos α＝49，则tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝94. 7．将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 答案：C解析：将y ＝sin x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，得到y ＝sin2x 的图象，再沿x 轴向左平移π3个单位，得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π的图象． 8．设i 、j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且AB →＝8i ＋4j ，AC →＝6i ＋8j ，则△ABC 的面积等于( )A ．60B ．40C ．28D ．20 答案：D解析：BC →＝AC →－AB →＝－2i ＋4j ，所以AB →⊥BC →.所以S △ABC ＝12|AB →|·|BC →|＝1282＋42·(－2)2＋42＝20.9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 B ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4C ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4 答案：A解析：先确定A ＝－4，由x ＝－2和6时y ＝0可得T ＝16，ω＝π8，φ＝π4.10．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z解析：本题主要考查三角函数的图象与性质．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象与直线y ＝2的两个相邻交点就是函数f (x )的两个最大值点，周期为π＝2πω，ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，故选C.11．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”，a ×b 是一个向量，它的模等于|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(1，3)，b ＝(－3，－1)，则|a ×b |＝( )A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4 答案：B解析：∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－2 32×2＝－32，又θ∈[0，π]，∴sin θ＝1－cos 2θ＝12，|a ×b |＝|a |·|b |sin θ＝2.12．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是( )A ．λ<103B ．λ≤103C ．λ≤103且λ≠－65D ．λ<103且λ≠－65答案：D解析：由题可知a ·b ＝－3λ＋10>0，λ<103，当a 与b 共线，且方向相同时，设a ＝(λ，2)＝μ(－3,5)(μ>0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3μ，2＝5μ，得λ＝－65，∴λ的取值范围是λ<103且λ≠－65.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β是常数)，且f (2009)＝5，则f (2010)＝________.答案：3解析：f (2009)＝αsin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋4＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝5 ∴a sin α＋b cos β＝－1.f (2010)＝a sin α＋b cos β＋4＝3.14．已知a ＝(2,1)b ＝(1，λ)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：若a 与b 的夹角为锐角，则cos θ>0且cos θ≠1.cos θ＝a ·b|a |·|b |＝2＋λ5·1＋λ2∴λ>－2.又2＋λ≠5·1＋λ2∴λ≠12∴λ的范围是λ>－2且λ≠12.15．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(x ∈R )，f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．答案：1解析：由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知T 4＝π2，T ＝2π，∴ω＝1.16．如图，在正方形ABCD 中，已知|AB →|＝2，若N 为正方形内(含边界)任意一点，则AB →·AN →的最大值是________．解析：∵AB →·AN →＝|AB →||AN →|·cos ∠BAN ，|AN →|·cos ∠BAN 表示AN →在AB →方向上的投影，又|AB →|＝2，AB →·AN →的最大值是4.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知sin(α＋π)＝45，且sin α·cos α＜0，求：2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)的值．解：∵sin(α＋π)＝45∴sin α＝－45＜0.∴cos 2α＝1－sin 2α＝1－1625＝925又sin α·cos α＜0∴cos α＞0.∴cos α＝35.原式＝－2sin (π－α)＋3sin (π－α)cos (π－α)4·cos (π－α)＝－2sin α＋3sin α－cos α－4·cos α＝2sin α·cos α＋3sin α4cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35－45×34×925＝－73.18．(12分)已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－tan α·cos x ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝12. (1)求tan α的值；(2)求函数g (x )＝f (x )＋cos x 的对称轴与对称中心．解：(1)∵f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π6－tan α·cos π3＝1－12tan α＝12，∴tan α＝1. (2)g (x )＝f (x )＋cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos x ＋cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∴x ＋π6＝k π＋π2，即对称轴：x ＝k π＋π3，k ∈Z∴x ＋π6＝k π，即对称中心：⎝⎛⎭⎫k π－π6，0，k ∈Z . 19．(12分)设两个向量a ，b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若 |a |＝2，|b |＝3，a 、b 的夹角为60°，求使向量k a ＋b 与a ＋k b 垂直的实数k .解：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3(a －b )＝6(a ＋b )＝6AB →， ∴AD →与AB →共线，即A 、B 、D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 垂直， ∴(k a ＋b )·(a ＋k b )＝0，k a 2＋(k 2＋1)a ·b ＋k b 2＝0， k a 2＋(k 2＋1)|a ||b |·cos60°＋k b 2＝0， 3k 2＋13k ＋3＝0，解得：k ＝－13±1336.20．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数在区间[－2,4]上的最大值和最小值以及对应的x 的值．解：(1)由题可知A ＝2，T2＝6－(－2)＝8，∴T ＝16，∴ω＝2πT ＝π8，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 又图象过点(2，2)，代入函数表达式可得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4. (2)∵x ∈[－2,4]，∴π8x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤0，3π4， 当π8x ＋π4＝π2，即x ＝2时，f (x )max ＝2； 当π8x ＋π4＝0，即x ＝－2时，f (x )min ＝0. 21．(12分)已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →， 求：(1)t 为何值时，P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否构成平行四边形？若能，求出相应的值，若不能，请说明理由．解：(1)∵OP →＝OA →＋tAB →＝(3t ＋1,3t ＋2)，∴当－23<t <－13时，P 在第二象限；(2)不能构成四边形． ∵OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )，∴使OA →，PB →共线，则3－3t －(6－6t )＝0，解得t ＝1，此时PB →＝(0,0)，∴四边形OABP 不能构成平行四边形．22．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1. (1)当x ＝43π时，求f (x )值；(2)若存在区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )，使得y ＝f (x )在[a ，b ]上至少含有6个零点，在满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解：(1)当x ＝43π时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋π3＋1＝2sin(3π)＋1＝2sinπ＋1＝1. (2)f (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即f (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝f (x )在[a ，b ]上至少含有6个零点，则b －a 的最小值为2×2π3＋3×π3＝7π3.。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第一章测试(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列说法中，正确的是( ) A ．第二象限的角是钝角B ．第三象限的角必大于第二象限的角C ．－831°是第二象限角D ．－95°20′，984°40′，264°40′是终边相同的角解析 A 、B 均错，－831°＝－720°－111°是第三象限的角，C 错，∴选D.答案 D2．若点(a,9)在函数y ＝3x的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33 C ．1D. 3解析 由题意，得3a＝9，得a ＝2，∴tan a π6＝tan 2π6＝tan π3＝ 3.答案 D3．若|cos θ|＝cos θ，|tan θ|＝－tan θ，则θ2的终边在( ) A ．第一、三象限 B ．第二、四象限 C ．第一、三象限或x 轴上 D ．第二、四象限或x 轴上解析 由题意知，cos θ≥0，tan θ≤0，所以θ在x 轴上或在第四象限，故θ2在第二、四象限或在x 轴上．答案 D4．如果函数f (x )＝sin(πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝2时取得最大值，那么( )A ．T ＝2，θ＝π2 B ．T ＝1，θ＝π C ．T ＝2，θ＝π D ．T ＝1，θ＝π2解析 由题意知T ＝2ππ＝2，又当x ＝2时，有2π＋θ＝2k π＋π2(k ∈Z )，∴θ＝π2.答案 A5．若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝－32，且π<x <2π，则x 等于( ) A.43π B.76π C.53πD.116π解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＝－32，又x ∈(π，2π)，∴x ＝7π6. 答案 B6．已知a 是实数，而函数f (x )＝1＋a sin ax 的图象不可能是( )解析 三角函数的周期为T ＝2π|a |，当振幅大于1时，∵|a |>1，∴T <2π.∵D 的振幅大于1，但周期反而大于2π，∴D 不符合要求．答案 D7．将函数y ＝sin x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的图象，则φ＝( ) A.π6 B.5π6 C.7π6D.11π6解析 当φ＝11π6时，则y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋11π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2π－π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6.答案 D8．若tan θ＝2，则2sin θ－cos θsin θ＋2cos θ的值为( )A ．0B ．1 C.34D.54解析 ∵tan θ＝2，∴2sin θ－cos θsin θ＋2cos θ＝2tan θ－1tan θ＋2＝2×2－12＋2＝34.答案 C9．函数f (x )＝tan x1＋cos x 的奇偶性是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数也不是偶函数 解析要使f (x )有意义，必须使⎩⎨⎧x ≠k π＋π2，1＋cos x ≠0，即x ≠k π＋π2，且x ≠(2k ＋1)π(k ∈Z )， ∴函数f (x )的定义域关于原点对称．又∵f (－x )＝tan (－x )1＋cos (－x )＝－tan x1＋cos x ＝－f (x )，∴f (x )＝tan x1＋cos x 是奇函数．答案 A10．函数f (x )＝x －cos x 在(0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点C ．有且仅有两个零点D ．有无穷多个零点解析 在同一坐标系里分别作出y ＝x 和y ＝cos x 的图象易知，f (x )＝0有且仅有一个零点．答案 B11．已知A 为锐角，lg(1＋cos A )＝m ，lg 11－cos A ＝n ，则lgsin A的值是( )A ．m ＋1n B ．m －n C.12⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋1n D.12(m －n )解析 ∵m －n ＝lg(1＋cos A )－lg 11－cos A＝lg(1＋cos A )＋lg(1－cos A )＝lg(1＋cos A )(1－cos A )＝lgsin 2A ＝2lgsin A ， ∴lgsin A ＝12(m －n )，故选D. 答案 D12．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象为C ，①图象C 关于直线x ＝1112π对称；②函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数；③由y ＝3sin2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C ，其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①把x ＝1112π代入f (x )知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1112π＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝3sin 3π2＝－3. ∴x ＝1112π是函数f (x )的对称轴，∴①正确． ②由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，得增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )．令k ＝0得增区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π12，5π12，∴②正确．③依题意知y ＝3sin2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3， ∴③不正确．应选C. 答案 C二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分．将答案填在题中横线上)13．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则tan α＝________. 解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π2＝cos α＝13，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴sin α＝－223，∴tan α＝sin αcos α＝－2 2.答案 －2 214．函数y ＝3cos x (0≤x ≤π)的图象与直线y ＝－3及y 轴围成的图形的面积为________．解析 如图，由于y ＝3cos x (0≤x ≤π)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0对称，所以区域(Ⅰ)与区域(Ⅱ)也关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0成中心对称图形，故区域(Ⅰ)的面积为矩形ABCD 的面积的一半，即12×π×6＝3π.答案 3π15．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0)的图象如图所示，则ω＝________.解析 由图知，T 4＝2π3－π3＝π3，∴T ＝43π. 又T ＝2πω＝43π，∴ω＝32. 答案 3216．给出下列命题：①函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2是奇函数； ②存在实数x ，使sin x ＋cos x ＝2；③若α，β是第一象限角且α<β，则tan α<tan β； ④x ＝π8是函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4的一条对称轴； ⑤函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0成中心对称．其中正确命题的序号为__________．解析 ①y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋π2＝－sin 23x 是奇函数． ②因为sin x ，cos x 不能同时取最大值1，所以不存在实数x 使sin x ＋cos x ＝2成立．③α＝π3，β＝13π6，则tan α＝3，tan β＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π＋π6＝tan π6＝33，tan α>tan β，∴③不成立．④把x ＝π8代入函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π4，得y ＝－1.∴x ＝π8是函数图象的一条对称轴．⑤因为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3图象的对称中心在图象上，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0不在图象上，所以⑤不成立．答案 ①④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知方程sin(α－3π)＝2cos(α－4π)，求sin (π－α)＋5cos (2π－α)2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α－sin (－α)的值．解 ∵sin(α－3π)＝2cos(α－4π)， ∴－sin(3π－α)＝2cos(4π－α)． ∴－sin(π－α)＝2cos(－α)． ∴sin α＝－2cos α. 可知cos α≠0.∴原式＝sin α＋5cos α－2cos α＋sin α＝－2cos α＋5cos α－2cos α－2cos α＝3cos α－4cos α＝－34. 18．(12分)在△ABC 中，sin A ＋cos A ＝22，求tan A 的值． 解 ∵sin A ＋cos A ＝22，① 两边平方，得2sin A cos A ＝－12，从而知cos A <0，∴∠A ∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π.∴sin A －cos A ＝ (sin A ＋cos A )2－4sin A cos A＝12＋1＝62.②由①②，得sin A ＝6＋24，cos A ＝－6＋24， ∴tan A ＝sin Acos A ＝－2－ 3.19．(12分)已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32，x ∈R .(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )的单调减区间；(3)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin2x (x ∈R )的图象经过怎样变换得到？解 (1)T ＝2π2＝π.(2)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ， 得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z . 所以所求的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )．(3)把y ＝sin2x 的图象上所有点向左平移π12个单位，再向上平移32个单位，即得函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋32的图象． 20．(12分)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0，图象与P 点最近的一个最高点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5. (1)求函数解析式；(2)求函数的最大值，并写出相应的x 的值； (3)求使y ≤0时，x 的取值范围． 解 (1)由题意知T 4＝π3－π12＝π4，∴T ＝π.∴ω＝2πT ＝2，由ω·π12＋φ＝0，得φ＝－π6，又A ＝5， ∴y ＝5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6.(2)函数的最大值为5，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )． ∴x ＝k π＋π3(k ∈Z )． (3)∵5sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤0， ∴2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z )． ∴k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z )．21．(12分)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋β，3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－α＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β，且0<α<π，0<β<π，求α，β的值．解 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π＋β，即sin α＝2sin β① 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫32π－α＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋β，即3cos α＝2cos β② ①2＋②2得2＝sin 2α＋3cos 2α.又sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝12.∴cos α＝±22. 又∵α∈(0，π)，∴α＝π4，或α＝34π.(1)当α＝π4时，cos α＝22，cos β＝32cos α＝32， 又β∈(0，π)，∴β＝π6.(2)当α＝3π4时，cos α＝－22，cos β＝32cos α＝－32， 又β∈(0，π)，∴β＝5π6. 综上，α＝π4，β＝π6，或α＝3π4，β＝5π6.22．(12分)已知函数f (x )＝x 2＋2x tan θ－1，x ∈[－1，3]，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2. (1)当θ＝－π6时，求函数的最大值和最小值；(2)求θ的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数(在指定区间为增函数或减函数称为该区间上的单调函数)．解 (1)当θ＝－π6时，f (x )＝x 2－233x －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －332－43. ∵x ∈[－1，3]，∴当x ＝33时，f (x )的最小值为－43，当x ＝－1时，f (x )的最大值为233.(2)f (x )＝(x ＋tan θ)2－1－tan 2θ是关于x 的二次函数．它的图象的对称轴为x ＝－tan θ.∵y ＝f (x )在区间[－1，3]上是单调函数，∴－tan θ≤－1，或－tan θ≥3，即tan θ≥1，或tan θ≤－ 3.∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2， ∴θ的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－π2，－π3∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫π4，π2.。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作第二、三章滚动测试班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．已知A (x,1)，B (1,0)，C (0，y )，D (－1,1)，若AB →＝CD →，则x ＋y 等于( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：D解析：∵AB →＝CD →，∴(1－x ，－1)＝(－1,1－y )， ∴⎩⎪⎨⎪⎧1－x ＝－1，1－y ＝－1，得x ＋y ＝4. 2．若a ，b 为非零向量，且|a ＋b |＝|a |＋|b |，则( ) A ．a 与b 的长度必相等 B ．a ∥b 且a 与b 同向 C ．a 与b 不一定相等 D ．a 是b 的相反向量 答案：B解析：由|a ＋b |＝|a |＋|b |可知两向量的夹角为0°或180°，根据a 、b 为非零向量可知如果有|a ＋b |＝|a |＋|b |，则a 与b 必同向．3．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c 等于( ) A.⎝⎛⎭⎫79，73 B.⎝⎛⎭⎫－73，－79 C.⎝⎛⎭⎫73，79 D.⎝⎛⎭⎫－79，－73 答案：D解析：不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，对于(c ＋a )∥b ，则有－3(1＋m )＝2(2＋n )，又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，∴m ＝－79，n ＝－73.故选D.4．如图，D 、E 、F 分别是△ABC 的边AB 、BC 、CA 的中点，则( )A.AD →＋BE →＋CF →＝0B.BD →－CF →＋DF →＝0C.AD →＋CE →－CF →＝0D.BD →－BE →－FC →＝0 答案：A解析：AD →＋BE →＋CF →＝12AB →＋12BC →＋12CA →＝12(AB →＋BC →＋CA →)＝0.5．在△ABC 中，A ＝15°，则3sin A －cos(B ＋C )的值为( )A.22B.32C. 2 D ．2 答案：C解析：原式＝3sin A －cos(π－A )＝3sin A ＋cos A ＝2sin(A ＋30)＝2sin(15°＋30°)＝ 2.6．设f (sin x )＝cos2x ，则f ⎝⎛⎭⎫32等于( )A ．－12B ．－32C.12D.32 答案：A解析：解法一：由f (sin x )＝cos2x ＝1－2sin 2x ， 得f (x )＝1－2x 2，则f ⎝⎛⎭⎫32＝1－2×⎝⎛⎭⎫322＝－12.解法二：由题意令x ＝60°，得f ⎝⎛⎭⎫32＝f (sin60°)＝cos120°＝－12.7．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则cos α＋sin αcos α－sin α＝( ) A.522 B.17 C.16 D.322 答案：D解析：∵α＋π4＝α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4，∴tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤α＋β－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)·tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322，∴cos α＋sin αcos α－sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π42cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝322. 8．函数y ＝sin2x ＋cos2x 的图象，可由函数y ＝sin2x －cos2x 的图象( )A ．向左平移π8个单位得到B ．向右平移π8个单位得到C ．向左平移π4个单位得到D ．向右平移π4个单位得到答案：C解析：y ＝sin2x ＋cos2x＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8， y ＝sin2x －cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 ＝2sin2⎝⎛⎭⎫x －π8，其中x ＋π8＝⎝⎛⎭⎫x ＋π4－π8， ∴将y ＝sin2x －cos2x 的图象向左平移π4个单位可得y ＝sin2x ＋cos2x 的图象．9．如果sin (α＋β)sin (α－β)＝m n，那么tan βtan α等于( )A.m －n m ＋nB.m ＋n m －nC.n －m n ＋mD.n ＋m n －m 答案：A解析：∵sin (α＋β)sin (α－β)＝sin αcos β＋cos αsin βsin αcos β－cos αsin β＝m n，∴cos αsin βsin αcos β＝m －n m ＋n ，∴tan βtan α＝m －nm ＋n .10．A ，B ，C ，D 为平面上四个互异点，且满足(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 的形状是( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 答案：B解析：∵(DB →＋DC →－2DA →)·(AB →－AC →)＝(DB →－DA →＋DC →－DA →)·(AB →－AC →)＝(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝AB →2－AC →2＝0，∴|AB →|＝|AC →|.11．已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x 、y 为锐角，则tan(x －y )的值是( )A.2145 B ．－2145C ．±2145D ．±51428答案：B解析：由已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，得⎩⎨⎧sin 2x －2sin x sin y ＋sin 2y ＝49，cos 2x －2cos x cos y ＋cos 2y ＝49，相加得cos(x －y )＝59.∵x 、y 均为锐角且sin x －sin y <0，∴－π2<x －y <0，∴sin(x －y )＝－2149，∴tan(x －y )＝－2145.12．已知向量a ＝(cos2α，sin α)，b ＝(1,2sin α－1)，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，若a ·b ＝25，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.13B.27C.17D.23 答案：C解析：由题意，得cos2α＋sin α(2sin α－1)＝25，解得sin α＝35，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，所以cos α＝－45，tan α＝－34，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝17. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．设向量a ，b 满足|a |＝2 5，b ＝(2,1)，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为________． 答案：(－4，－2)解析：设a ＝(x ，y )，x <0，y <0，则x －2y ＝0且x 2＋y 2＝20，解得x ＝4，y ＝2(舍去)，或者x ＝－4，y ＝－2，即a ＝(－4，－2)．14．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →·AC →＝________. 答案：－16解析：AB →·AC →＝⎝⎛⎭⎫－12BC →＋AM →·⎝⎛⎭⎫12BC →＋AM →＝－14BC →2＋AM →2＝－14×102×32＝－16. 15．化简(3tan10°－1)·cos10°2sin20°＝________.答案：－1解析：原式＝32sin10°－12cos10°sin20°＝sin (10°－30°)sin20°＝－sin20°sin20°＝－1.16．在△ABC 中，C ＝π2，AC ＝1，BC ＝2，则f (λ)＝|2λCA →＋(1－λ)CB →|的最小值是________．答案：2 解析：如图，以C 为原点，CA ，CB 所在直线为y 轴，x 轴建立直角坐标系，所以CA →＝(0,1)，CB →＝(2,0)，故2λCA →＋(1－λ)CB →＝(0,2λ)＋(2－2λ，0)＝(2－2λ，2λ)， 所以f (λ)＝22λ2－2λ＋1＝22⎝⎛⎭⎫λ－122＋12，故最小值为2，在λ＝12时取得． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，求sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6以及tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4的值． 解：∵cos θ＝1213，θ∈(π，2π)，∴sin θ＝－513，tan θ＝－512，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－π6＝sin θcos π6－cos θsin π6＝－513×32－1213×12＝－5 3＋1226；tan ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝tan θ＋tanπ41－tan θ·tanπ4＝－512＋11－⎝⎛⎭⎫－512×1＝717.18．(12分)已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x .将函数f (x )的图象向右平移m 个单位，使所得函数为偶函数，求m 的最小值．解：f (x )＝2cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2sin x cos x ＋3cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 函数f (x )的图象向右平移m 个单位后的解析式为g (x )＝2sin ⎣⎡⎦⎤2(x －m )＋π3 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －2m ＋π3， 要使函数g (x )为偶函数，则－2m ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z )．又m >0，∴当k ＝－1时，m 取得最小值为512π.19．(12分)当0<x ≤π4时，求函数f (x )＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x －cos x sin x的最大值．解：∵0<x ≤π4，则0<tan x ≤1，∴f (x )＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin x cos x －cos x sin x ＝4sin 2x ＋cos 2x sin x cos x －cos x sin x ＝4tan 2x ＋1tan x －1tan x ＝4tan x ＋1tan x －1tan x＝4tan x . ∴f (x )≤4.∴f (x )max ＝4.20．(12分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin13°cos17°；②sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°；③sin 218°＋cos 212°－sin18°cos12°；④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论． 解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34. (2)三角恒等式为：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin αcos(30°－α)sin 2α＋(cos30°cos α＋sin30°sin α)2－sin α(cos30°·cos α＋sin30°sin α)＝sin 2α＋34cos 2α＋32cos αsin α＋14sin 2α－32sin α·cos α－12sin 2α ＝34sin 2α＋34cos 2α＝34. 21．(12分)已知向量a 与b 的夹角为23π，|a |＝2，|b |＝3，记m ＝3a －2b ，n ＝2a ＋k b .(1)若m ⊥n ，求实数k 的值；(2)是否存在实数k ，使得m ∥n ？说明理由． 解：(1)由m ⊥n 得m ·n ＝0，即(3a －2b )·(2a ＋k b )＝0，整理得：6|a |2－(4－3k )a ·b －2k |b |2＝0，∴27k ＝36，∴k ＝43，∴当k ＝43时，m ⊥n .(2)若存在实数k ，使m ∥n ，则有m ＝λn ， 即3a －2b ＝λ(2a ＋k b )，∴(3－2λ)a ＝(2＋kλ)b . ∵由题意可知向量a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧3－2λ＝0，2＋kλ＝0⇒⎩⎨⎧λ＝32，k ＝－43，即存在实数k ＝－43，使得m ∥n .22．(12分)已知函数f (x )＝a ＋b sin2x ＋c cos2x (x ∈R )的图象过点A (0,1)，B ⎝⎛⎭⎫π4，1，且b >0，又f (x )的最大值为22－1.(1)将f (x )写成含A sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π)的形式；(2)由函数y ＝f (x )的图象经过平移是否能得到一个奇函数y ＝g (x )的图象？若能，请写出平移的过程；若不能，请说明理由．解：(1)f (x )＝a ＋b sin2x ＋c cos2x ＝a ＋b 2＋c 2sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫tan φ＝c b ， 由题意，可得⎩⎨⎧a＋c ＝1，a ＋b ＝1，a ＋b 2＋c 2＝22－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝2，c ＝2.所以f (x )＝－1＋2sin2x ＋2cos2x ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1. (2)将f (x )的图象向上平移1个单位得到函数f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，再向右平移π8个单位得到y ＝22sin2x 的图象，而函数y ＝22sin2x 为奇函数，故将f (x )的图象先向上平移1个单位，再向右平移π8个单位就可以得到奇函数y ＝g (x )的图象．。
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高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作云南省昭通市实验中学必修4第一章测试题（一）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．下列各角中与0330角的终边相同的是 （ ）A ．0510 B ．0150 C ． 060- D ．0390-2．已知α为第三象限角，则2α所在的象限是 （ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限3．扇形的周长是16，圆心角是2rad ，则扇形的面积是 （ ） A ．16 B ．32 C ．π16 D ．π324．α是第二象限角，)5,(x P 为其终边上一点，且x 42cos =α，则αs i n 的值为 （ ） A ．410 B ．46 C ．42 D ．410- 5．已知0tan .cos <θθ，那么角θ是 （ ）A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第三或第四象限D ．第一或第四象限6．若21tan =α，)2,(ππα∈，则αcos 的值等于 （ ） A ．553-B ．552-C ．553D ．55-7．化简)cos 1)(tan 1sin 1(ααα-+的结果是 （ ） A ．αsin B ．αcos C ．αsin 1+ D ．αcos 1+8．1717cos sin 44ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是 （ ）A ．2B ．2-C ．0D ．229．函数)42sin()(π+=x x f 的单调减区间为 （ ）A ．∈++k k k ],85,8[ππππZ B ．∈++k k k ],285,82[ππππZC ．∈+-k k k ],8,83[ππππZD ．Z k k k ∈+-],82,832[ππππ10．函数)32sin(2)(π+=x x f 的最大值及取最大值时x 的集合为（ ）A ．2，}2|{π=x x B ．2，},22|{Z k k x x ∈+=ππC ．2，},12|{Z k k x x ∈+=ππD ．2-，},125|{Z k k x x ∈+-=ππ11．要得到函数2sin 35y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数2sin3y x =的图象（ ）A ．向左平移5π个单位B ．向右平移5π个单位 C ．向左平移15π个单位 D ．向右平移15π个单位12．函数)||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的图象如右，则函数的解析式是（ ）A ．)652sin(2π-=x yB ．)652sin(2π+=x yC ．)62sin(2π-=x yD ．)62sin(2π+=x y二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
人教A版数学必修四第二章过关测试卷.docx
高中数学学习材料唐玲出品第二章过关测试卷(100分，45分钟)一、选择题(每题5分，共40分)1.下列命题中，真命题的个数为(其中0a,) ( )0≠≠b①a=a⇔+与b方向相同+abb②a=+与b方向相反-a⇔abb③aa⇔=+与b有相等的模-bab④a-=-与b方向相同a⇔babA.0B.1C.2D.32.〈广东文〉若向量a＝(1，1)，b＝(2，5)，c＝(3，x)，满足条件(8a －b)·c＝30，则x＝( )A.6B.5C.4D.33.已知两个力F、2F的夹角为90°，它们的合力F的大小为10 N，1合力F与F的夹角为60°，则1F的大小为( )1A.35N B.5 N C.10N D.25N4.在直角坐标系xOy中，i、j分别是与x、y轴正方向同向的单位向量.若在直角三角形ABC中，jAC+=3，则k的可能值i k=2i+AB，j个数是( )A.1B.2C.3D.45.已知03≠=b a ，且关于x 的方程03222=⋅++b a a x x 有实根，则a 与b 夹角的取值范围是( )A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡6π,0 B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,3π C. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡32π,3π D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡π,6π 6.已知平面向量a ＝(1，－3)，b ＝(4，－2)，b a +λ与b 垂直，则λ等于( )A.－1B.1C.－2D.27.设平面内有四边形ABCD 和点O ，若a =OA ，b =OB ，c =OC ，d =OD ，且d b c a +=+，则四边形ABCD 为( ) A.菱形 B.梯形 C.矩形 D.平行四边形8.已知O 为原点，点A 、B 的坐标分别为A (a ，0)、B (0，a )，其中常数a ＞0，点P 在线段AB 上，且有AB t AP = (0≤t ≤1)，则OP OA ⋅的最大值为( )A.aB.2aC.3aD.2a 二、填空题(每题6分，共18分)9.已知a ＝(2，3)，b ＝(－4，7)，则b 在a 方向上的投影为 .10.已知1e ，2e 是夹角为60°的两个单位向量，212e e a +=，2123e e b +-=，则a 与b 的夹角θ＝ .11.〈上海〉在矩形ABCD 中，边AB 、AD 的长分别为2、1，若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足CDCN BCBM =，则AN AM ⋅的取值范围是 .三、解答题(每题14分，共42分)12.如图1所示，在△AOB 中，若A ，B 两点的坐标分别为(2，0)， (－3，4)，点C 在AB 上，且OC 平分∠BOA ，求点C 的坐标.图113.如图2，在平行四边形ABCD中，CD CF CB CE AD AB 32,31,====b a ，.(1)用a ，b 表示EF ;图2(2)若4,1==b a ，∠DAB =60°，分别求EF 和FE AC ⋅的值.14.已知函数()2x x f =， ()3+=ax x g (∈a R ). (1)记函数()()()x g x f x F -=， ①判断函数()x F 的零点个数;②若函数()x F 在［0，1］上是减函数，求实数a 的取值范围.(2)设()()()⎩⎨⎧≥<=.1,,1,x x g x x f x G 若对于函数()x G y =图象上异于原点O 的任意一点P ，在函数()x G y =图象上总存在另一点Q ，使得0<⋅OQ OP ，且PQ 的中点在y 轴上，求a 的取值范围.参考答案及点拨一、1.C 点拨:对于③，当a 与b 互相垂直时，b a b a -=+，因此③错，对于④，当a 与b 方向相同且a b ≤时才有b a b a -=-，因此④错，①②正确，故选C.2.C 点拨:()()()30318,33,68=+=⋅=⋅-x x c b a ， ∴x ＝4.故选C.3.B 点拨:1F ＝⋅F cos60°＝5 N.4.B 点拨:不妨取A (0，0)，则B (2，1)，C (3，k )，()1,1-=k BC .当AB ⊥BC 时，012=-+=⋅k BC AB ，∴k ＝－1.当A B ⊥AC 时，06=+=⋅k AC AB ，∴6-=k .当AC ⊥BC 时，032=-+=⋅k k BC AC ，无实数根.所以满足要求的k 的可能值个数是2.5.B 点拨:设a ，b 的夹角为θ，∵关于x 的方程03222=⋅++b a a x x 有实根，∴∆＝b a a ⋅-2442≥0，即b a a ⋅≥62.∴θcos 62b a a ⋅≥，又∵03≠=b a .∴21cos ≤θ，∵π≤≤θ0，∴ππ≤≤θ3. 6.C 点拨:()23,4--+=+λλλb a ，∵b a +λ与b 垂直，∴()()()()020********,423,4=+=---+=-⋅--+λλλλλ， ∴2-=λ.7.D 点拨:()BA OC OD CD OA OB AB =--=-=-=-=-=a b c d a b ,， ∴CD AB //=，∴四边形ABCD 为平行四边形. 8.D 点拨: ∵AB t AP =，∴ ()()OB t OA t OA OB t OA AP OA OP +-=-+=+=1(),,at at a -=∴()t a OP OA -=⋅12，∵10≤≤t ，∴2a OP OA ≤⋅.二、9.13 点拨: b 在a 方向上的投影为a b a ⋅=1313=13. 10.120° 点拨：易知()()27262322221212121-=+⋅+-=+-⋅+=⋅e e e e e e e e b a ，(),72221=+=e e a (),723221=+-=e e b ∴21cos -=⋅⋅=b a b a θ，∴︒=120θ.11.［1，4］ 点拨：以AB 所在的直线为x 轴，以AD 所在的直线为y 轴，建立坐标系如答图1，答图1∵AB =2，AD =1，∴A (0，0)，B (2，0)，C (2，1)，D (0，1)，设M (2，b )，N (x ，1)， ∵CDCN BCBM =，∴,22x b -=∴(),22,2,1,⎪⎭⎫⎝⎛-==x AM x AN∴(),20123≤≤+=⋅x x AN AM ∴,41231≤+≤x 即.41≤⋅≤AN AM 故答案为：［1，4］三、12.解：设点C 坐标为(x ，y )， ∵，BOC AOC ∠=∠cos cos 且,cos ,cos OCOB OC OB BOC OCOA OC OA AOC ⋅⋅=∠⋅⋅=∠∴,OBOC OB OAOC OA ⋅=⋅∴()()()(),5,4,32,0,2y x y x ⋅-=⋅∴y ＝2x .①又∵BC 与AC 共线，()(),,2,4,3y x AC y x BC -=-+= ∴()()(),0423=-⋅--⋅+y x y x ∴.0854=-+y x ②由①，②联立解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.78,74y x∴C 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛78,74.13.答图2分析：（1）利用向量的三角形法则和向量相等及其运算即可得出; （2）利用数量积运算法则和性质即可得出. 解：（1）如答图2所示，.3132********b a +-=+-=-=-=AD AB CB CD CE CF EF(2) ∵,60,4,1︒=∠==DAB b a ∴.260cos =︒⋅⋅=⋅b a b a∴3329194943132222=+⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛+-=b b a a b a EF . 易知b a +=+=AD AB AC ，∴()43163232313132313222-=-+=-⋅+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+=⋅b b a a b a b a FE AC . 14.解：（1）①对于()32--=ax x x F ，令()0=x F ，得032=--ax x ， ∵∆=0122>+a ，答图3 答图4∴函数F (x )有2个零点.②()()()⎪⎩⎪⎨⎧<++-≥--=--=,0,3,0,33222x F ax x x F ax x ax x x F当a ≤0时，图象如答图3所示，当a ＞0时，图象如答图4所示. 由题意得()⎩⎨⎧≤≤,01,0F a 解得02≤≤-a .（2）由题意得()⎩⎨⎧≥+<=,1,3,1,2x ax x x x G由题意易知P ，Q 两点在y 轴的两侧，不妨设P 点坐标在y 轴的左侧，设()211,x x P ，若011<<-x ，则()211,x x Q -，()012121<-=⋅x x OQ OP 恒成立. 若11-≤x ，则点()3,11+--ax x Q ，()0312121<+-+-=⋅ax x x OQ OP 恒成立， ∴21>ax 恒成立，∵,11-≤x ∴12x a <恒成立，易得2-<a . 点拨：（1）利用函数()()()x g x f x F -=求出表达式， ①利用判别式的符号，直接判断函数()x F 的零点个数；②通过函数()x F 在［0，1］上是减函数，化简函数的表达式，利用函数的对称轴，以及1处的函数值，列出不等式组，求实数a 的取值范围.（2）通过()()()⎩⎨⎧≥<=1,,1,x x g x x f x G 求出函数()x G y =的表达式，设出点P 的坐标、点Q 的坐标，通过0<⋅OQ OP ，且PQ 的中点在y 轴上，求出a 的取值范围.。
人教A版数学必修四第一章章末检测.docx
第一章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列命题中正确的是( )A ．终边相同的角一定相等B ．锐角都是第一象限角C ．第一象限角都是锐角D ．小于90°的角都是锐角答案：B2．已知sin(2π－α)＝45，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则sin α＋cos αsin α－cos α等于( ) A.17 B ．－17C ．－7D ．7答案：A解析：∵sin(2π－α)＝sin(－α)＝－sin α＝45， ∴sin α＝－45. ∵α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，∴cos α＝1－sin 2α＝35. ∴sin α＋cos αsin α－cos α＝－45＋35－45－35＝－15－75＝17. 3．已知角α的终边经过点(3，－1)，则角α的最小正值是( )A.2π3B.11π6C.5π6D.3π4答案：B解析：∵sin α＝－12＝－12，且α的终边在第四象限，∴α＝116π. 4．若函数y ＝2cos ωx 在区间⎣⎡⎦⎤0，2π3上递减，且有最小值1，则ω的值可以是( )A ．2 B.12C ．3 D.13答案：B解析：由y ＝2cos ωx 在⎣⎡⎦⎤0，2π3上是递减的，且有最小值为1，则有f ⎝⎛⎭⎫2π3＝1，即2×cos ⎝⎛⎭⎫ω×2π3＝1，cos ⎝⎛⎭⎫2π3ω＝12，检验各选项，得出B 项符合． 5．sin(－1740°)的值是( )A ．－32B ．－12C.12D.32 答案：D解析：sin(－1740°)＝sin60°＝32. 6．函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的值域为( ) A.⎣⎡⎦⎤－32，32 B.⎣⎡⎦⎤－32，3 C.⎣⎡⎦⎤－332，332 D.⎣⎡⎦⎤－332，3 答案：B解析：当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，故3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－32，3，即此时函数f (x )的值域是⎣⎡⎦⎤－32，3. 7．下列函数中，在⎝⎛⎭⎫0，π2上是增函数的偶函数是( ) A ．y ＝|sin x | B ．y ＝|sin2x |C ．y ＝|cos x |D ．y ＝tan x答案：A解析：作图比较可知．8．要得到函数y ＝cos(3x ＋2)的图象，只要将函数y ＝cos3x 的图象( )A ．向左平移2个单位B ．向右平移2个单位C ．向左平移23个单位 D ．向右平移23个单位 答案：C解析：∵y ＝cos(3x ＋2)＝cos3⎝⎛⎭⎫x ＋23， ∴只要将函数y ＝cos3x 的图象向左平移23个单位即可． 9．定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( ) A ．－12 B.32C ．－32 D.12答案：B解析：f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32. 10．若函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4(a >0)的最小正周期为1，且g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin ax (x <0)g (x －1)(x ≥0)，则g ⎝⎛⎭⎫56等于( )A ．－12 B.12C ．－32 D.32答案：C解析：由条件得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ax ＋π4，又函数的最小正周期为1，故2πa＝1，∴a ＝2π， ∴g ⎝⎛⎭⎫56＝g ⎝⎛⎭⎫－16＝sin ⎝⎛⎭⎫－a 6＝ sin ⎝⎛⎭⎫－π3＝－32. 11．已知ω>0，函数f (x )＝sin(ωx ＋π4)在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤12，54 B.⎣⎡⎦⎤12，34 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2] 答案：A解析：因为ω>0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，所以ωπ2＋π4≤ωx ＋π4≤ωπ＋π4，所以⎩⎨⎧ωπ2＋π4≥π2，ωπ＋π4≤3π2，解得12≤ω≤54，故选A. 12．下图为一半径为3m 的水轮，水轮圆心O 距离水面2m ，已知水轮自点A 开始旋转，15s 旋转一圈．水轮上的点P 到水面距离y (m)与时间x (s)满足函数关系式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2，则有( )A ．ω＝2π15，A ＝3B ．ω＝152π，A ＝3 C ．ω＝2π15，A ＝5 D ．ω＝152π，A ＝5 答案：A解析：∵T ＝15，故ω＝2πT ＝2π15，显然y max －y min 的值等于圆O 的直径长，即y max －y min ＝6，故A ＝y max －y min 2＝62＝3. 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m ，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝________. 答案：m解析：cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝m . 14．已知f (x )的定义域为(0,1]，则f (sin x )的定义域是________．答案：(2k π，2k π＋π)，k ∈Z解析：由0<sin x ≤1得2k π<x <2k π＋π(k ∈Z )．15．函数y ＝sin x ＋cos x －12的定义域为________． 答案：{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0cos x ≥12， 如图，结合三角函数线知：⎩⎪⎨⎪⎧ 2k π≤x ≤2k π＋π (k ∈Z )2k π－π3≤x ≤2k π＋π3 (k ∈Z )，解得2k π≤x ≤2k π＋π3(k ∈Z )， ∴函数的定义域为{x |2k π≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }． 16．关于函数f (x )＝4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3(x ∈R )有下列命题，其中正确的是________． ①y ＝f (x )的表达式可改写为y ＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6； ②y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫－π6，0对称； ③y ＝f (x )的最小正周期为2π；④y ＝f (x )的图象的一条对称轴为x ＝－π6. 答案：①②解析：4sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝4cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，故①②正确，③④错误． 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎫45，－35. (1)求sin α的值；(2)求sin ⎝⎛⎭⎫π2－αsin (α＋π)·tan (α－π)cos (3π－α)的值． 解：(1)∵|OP |＝1，∴点P 在单位圆上．由正弦函数的定义得sin α＝－35.(2)原式＝cos α－sin α·tan α－cos α＝sin αsin α·cos α＝1cos α. 由余弦函数的定义得cos α＝45，故所求式子的值为54. 18．(12分)已知sin θ，cos θ是关于x 的方程x 2－2 2ax ＋a ＝0的两个根．(1)求实数a 的值；(2)若θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，求sin θ－cos θ的值． 解：(1)∵(sin θ＋cos θ)2－2sin θcos θ＝1， 又∵⎩⎨⎧ sin θ＋cos θ＝2 2a ，sin θ·cos θ＝a ， ∴a ＝12或a ＝－14，经检验Δ≥0都成立， ∴a ＝12或a ＝－14. (2)∵θ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，∴a <0， ∴a ＝－14且sin θ－cos θ<0， ∴sin θ－cos θ＝－62. 19．(12分)若函数f (x )＝a －b cos x 的最大值为52，最小值为－12，求函数g (x )＝－4a sin bx 的最值和最小正周期．解：当b ＞0时，⎩⎨⎧ a ＋b ＝52a －b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1，b ＝32， g (x )＝－4sin 32x . 最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. 当b ＜0时，⎩⎨⎧ a －b ＝52a ＋b ＝－12⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－32， g (x )＝－4sin(－32x )＝4sin 32x . 最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. b ＝0时不符合题意．综上所述，函数g (x )的最大值为4，最小值为－4，最小正周期为4π3. 20．(12分)如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s (cm)和时间t (s)的函数关系是s ＝A sin(ω t ＋φ)，0<φ<π2，根据图象，求：(1)函数解析式；(2)单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(3)单摆来回摆动一次需要多长时间？解：(1)由图象知，34T ＝1112－16＝34，所以T ＝1.所以ω＝2πT＝2π. 又因为当t ＝16时取得最大值，所以令2π·16＋φ＝π2＋2k π， ∵φ∈⎝⎛⎭⎫0，π2. 所以φ＝π6.又因为当t ＝0时，s ＝3， 所以3＝A sin π6，所以A ＝6，所以函数解析式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫2πt ＋π6. (2)因为A ＝6，所以单摆摆动到最右边时，离开平衡位置6cm.(3)因为T ＝1，所以单摆来回摆动一次需要 1s.21．(12分)设函数f (x )＝3sin(ωx ＋π6)，ω>0，x ∈(－∞，＋∞)，且以π2为最小正周期． (1)求f (0)；(2)求f (x )的解析式；(3)已知f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95，求sin α的值．解：(1)f (0)＝3sin ⎝⎛⎭⎫ω×0＋π6＝3sin π6＝32. (2)∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，所以f (x )的解析式为：f (x )＝3sin(4x ＋π6)． (3)由f ⎝⎛⎭⎫α4＋π12＝95得3sin ⎣⎡⎦⎤4⎝⎛⎭⎫α4＋π12＋π6＝95，即sin ⎝⎛⎭⎫α＋π2＝35，∴cos α＝35， ∴sin α＝±1－cos 2α＝± 1－⎝⎛⎭⎫352＝±45. 22．(12分)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π8，π2时，方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围； (3)将函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4的图象向右平移m (m >0)个单位后所得函数g (x )的图象关于原点中心对称，求m 的最小值．解：(1)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，所以函数f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π， 由－π＋2k π≤2x －π4≤2k π，得－3π8＋k π≤x ≤π8＋k π，故函数f (x )的递增区间为⎣⎡⎦⎤－3π8＋k π，π8＋k π(k ∈Z )； (2)因为f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤－π8，π8上为增函数，在区间⎣⎡⎦⎤π8，π2上为减函数 又f ⎝⎛⎭⎫－π8＝0，f ⎝⎛⎭⎫π8＝2，f ⎝⎛⎭⎫π2＝2cos ⎝⎛⎭⎫π－π4＝－2cos π4＝－1， ∴当k ∈[0，2)时方程f (x )＝k 恰有两个不同实根．(3)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋3π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ∴g (x )＝2sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8－m ＝ 2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－2m 由题意得π4－2m ＝2k π，∴m ＝－k π＋π8，k ∈Zπ当k＝0时，m＝8，此时g(x)＝2sin2x关于原点中心对称．。
高中人教A版数学必修4：第二章 章末检测 Word版含解析
第二章章末检测班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．下列各式叙述不正确的是( ) A ．若a ＝λ b ，则a 、b 共线B ．若b ＝3a (a 为非零向量)，则a 、b 共线C ．若m ＝3a ＋4b ，n ＝32a －2b ，则m ∥nD ．若a ＋b ＋c ＝0，则a ＋b ＝－c 答案：C解析：根据共线向量定理及向量的线性运算易解．2．已知向量a ，b 和实数λ，下列选项中错误的是( ) A ．|a |＝a ·a B ．|a ·b |＝|a |·|b | C ．λ(a ·b )＝λa ·b D ．|a ·b |≤|a |·|b | 答案：B 解析：|a ·b |＝|a |·|b ||cos θ|，只有a 与b 共线时，才有|a ·b |＝|a ||b |，可知B 是错误的．3．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB →同方向的单位向量为( ) A.⎝⎛⎭⎫35，－45 B.⎝⎛⎭⎫45，－35 C.⎝⎛⎭⎫－35，45 D.⎝⎛⎭⎫－45，35 答案：A解析：AB →＝(3，－4)，则与其同方向的单位向量e ＝AB →|AB →|＝15(3，－4)＝⎝⎛⎭⎫35，－45. 4．已知O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →＝0，那么( )A.AO →＝OD →B.AO →＝2OD →C.AO →＝3OD → D ．2AO →＝OD → 答案：A解析：由于2OA →＋OB →＋OC →＝0，则OB →＋OC →＝－2OA →＝2AO →.所以12(OB →＋OC →)＝AO →，又D 为BC 边中点，所以OD →＝12(OB →＋OC →)．所以AO →＝OD →.5．若|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.π2 答案：C解析：a ·(b －a )＝a ·b －a 2＝1×6×cos θ－1＝2，cos θ＝12，θ∈[0，π]，故θ＝π3.6．若四边形ABCD 满足：AB →＋CD →＝0，(AB →＋DA →)⊥AC →，则该四边形一定是( ) A ．矩形 B ．菱形 C ．正方形 D ．直角梯形 答案：B解析：由AB →＋CD →＝0⇒AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|，即四边形ABCD 是平行四边形，又(AB →＋DA →)⊥AC →⇒AC →⊥DB →，所以四边形ABCD 是菱形．7．给定两个向量a ＝(2,1)，b ＝(－3,4)，若(a ＋x b )⊥(a －b )，则x 等于( ) A.1327 B.132 C.133 D.727 答案：D解析：a ＋x b ＝(2,1)＋(－3x,4x )＝(2－3x,1＋4x )，a －b ＝(2,1)－(－3,4)＝(5，－3)，∵(a＋x b )⊥(a －b )，∴(2－3x )·5＋(1＋4x )·(－3)＝0，∴x ＝727.8．如图所示，在重600N 的物体上拴两根绳子，与铅垂线的夹角分别为30°，60°，重物平衡时，两根绳子拉力的大小分别为( )A ．300 3N,300 3NB ．150N,150NC ．300 3N,300ND ．300N,300N 答案：C解析：如图：作▱OACB ，使∠AOC ＝30°，∠BOC ＝60°，∠OAC ＝90°，|OA →|＝|OC →|cos30°＝300 3N.|OB |→＝|OC →|sin30°＝300N.9．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角为( )A ．30°B ．60°C ．120°D ．150° 答案：C解析：由条件知|a |＝5，|b |＝25，a ＋b ＝(－1，－2)，∴|a ＋b |＝5，∵(a ＋b )·c ＝52，∴5×5·cos θ＝52，其中θ为a ＋b 与c 的夹角，∴θ＝60°，∵a ＋b ＝－a ，∴a ＋b 与a 方向相反，∴a 与c 的夹角为120°.10．若向量AB →＝(1，－2)，n ＝(1,3)，且n ·AC →＝6，则n ·BC →等于( ) A ．－8 B ．9 C ．－10 D ．11 答案：D解析：n ·AB →＝1－6＝－5，n ·AC →＝n ·(AB →＋BC →)＝n ·AB →＋n ·BC →＝6，∴n ·BC →＝11.11．在边长为1的正三角形ABC 中，BD →＝13BA →，E 是CA 的中点，则CD →·BE →等于( )A ．－12B ．－23C ．－13D ．－16答案：A解析：建立如图所示的直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫－12，0，B ⎝⎛⎭⎫12，0，C ⎝⎛⎭⎫0，32，依题意设D (x 1,0)，E (x 2，y 2)，∵BD →＝13BA →，∴⎝⎛⎭⎫x 1－12，0＝13(－1,0)，∴x 1＝16. ∵E 是CA 的中点，∴CE →＝12CA →，又CA →＝⎝⎛⎭⎫－12，－32，∴x 2＝－14，y 2＝34.∴CD →·BE →＝⎝⎛⎭⎫16，－32·⎝⎛⎭⎫－34，34＝16×⎝⎛⎭⎫－34＋⎝⎛⎭⎫－32×34＝－12.故选A. 12．已知|a |＝2 2，|b |＝3，a ，b 的夹角为π4，如图所示，若AB →＝5a ＋2b ，AC →＝a －3b ，且D 为BC 中点，则AD →的长度为( )A.152B.152 C ．7 D ．8 答案：A解析：AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(5a ＋2b ＋a －3b )＝12(6a －b )∴|AD →|2＝14(36a 2－12ab ＋b 2)＝2254.∴|AD →|＝152.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13．已知向量a 和向量b 的夹角为30°，|a |＝2，|b |＝3，则a ·b ＝________. 答案：3解析：a ·b ＝2×3×32＝3.14．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________． 答案：[0,1] 解析：∵b ·(a －b )＝0，∴a ·b ＝b 2，即|a ||b |·cos θ＝|b |2，当b ≠0时，|b |＝|a |cos θ＝cos θ∈(0,1]，所以|b |∈[0,1]．15．设向量a 与b 的夹角为α，且a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，则cos α＝________.答案：31010解析：设b ＝(x ，y )，则2b －a ＝(2x －3,2y －3)＝ (－1,1)，∴x ＝1，y ＝2，则b ＝(1,2)，cos α＝a ·b |a |·|b |＝93 2×5＝310＝31010.16．关于平面向量a ，b ，c ，有下列三个命题： ①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°，其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)答案：②解析：①a 与b 的夹角为θ1，a 与c 的夹角为θ2. a ·b ＝a ·c ，有|a ||b |cos θ1＝|a ||c |cos θ2，得不到b ＝c ，错误． ②a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，∵a ∥b ，∴b ＝λa ，得k ＝－3.正确． ③设|a |＝|b |＝|a －b |＝m (m >0)， 且a 与a ＋b 的夹角为θ. 则有(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝m 2， ∴2a ·b ＝m 2.a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝m 2＋m 22＝3m 22， (a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝m 2＋m 2＋m 2＝3m 2，∴cos θ＝a ·(a ＋b )|a ||a ＋b |＝32m 2m ·3m ＝32.∴θ＝30°.∴③错误．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(10分)已知|a |＝4，|b |＝8，a 与b 的夹角是150°，计算： (1)(a ＋2b )·(2a －b )； (2)|4a －2b |.解：(1)(a ＋2b )·(2a －b )＝2a 2＋3a ·b －2b 2 ＝2|a |2＋3|a |·|b |·cos150°－2|b |2＝2×42＋3×4×8×⎝⎛⎭⎫－32－2×82＝－96－48 3.(2)|4a －2b |＝(4a －2b )2 ＝16a 2－16a ·b ＋4b 2 ＝16|a |2－16|a |·|b |·cos150°＋4|b |2＝16×42－16×4×8×(－32)＋4×82 ＝8(2＋6)18．(12分)已知向量a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)，t ∈R ， (1)求|a ＋t b |的最小值及相应的t 值； (2)若a －t b 与c 共线，求实数t 的值．解：(1)∵a ＝(－3,2)，b ＝(2,1)，c ＝(3，－1)， ∴a ＋t b ＝(－3,2)＋t (2,1)＝(－3＋2t,2＋t )， ∴|a ＋t b |＝(－3＋2t )2＋(2＋t )2 ＝5t 2－8t ＋13＝5⎝⎛⎭⎫t －452＋495≥495＝755， 当且仅当t ＝45时取等号，即|a ＋t b |的最小值为755，此时t ＝45.(2)∵a －t b ＝(－3－2t,2－t )，又a －t b 与c 共线，c ＝(3，－1)，∴(－3－2t )×(－1)－(2－t )×3＝0，解得t ＝35.19．(12分)已知a ＝(1,1)、b ＝(0，－2)，当k 为何值时， (1)k a －b 与a ＋b 共线；(2)k a －b 与a ＋b 的夹角为120°. 解：∵a ＝(1,1)，b ＝(0，－2)∵k a －b ＝k (1,1)－(0，－2)＝(k ，k ＋2) a ＋b ＝(1，－1)(1)要使k a －b 与a ＋b 共线，则－k －(k ＋2)＝0，即k ＝－1. (2)要使k a －b 与a ＋b 的夹角为120°， ∵|k a －b |＝k 2＋(k ＋2)2， |a ＋b |＝2，∴cos120°＝(k a －b )·(a ＋b )|k a －b |·|a ＋b |＝k －k －22·k 2＋(k ＋2)2＝－12. 即k 2＋2k －2＝0，解得k ＝－1±3.20．(12分)已知向量OP 1→、OP 2→、OP 3→满足条件OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，|OP 1→|＝|OP 2→|＝|OP 3→|＝1，求证：△P 1P 2P 3是正三角形．证明：如图所示，设OD →＝OP 1→＋OP 2→，由于OP 1→＋OP 2→＋OP 3→＝0，∴OP 3→＝－OD →，|OD →|＝1，∴|OD →|＝1＝|P 1D →|，∴∠OP 1P 2＝30°， 同理可得∠OP 1P 3＝30°，∴∠P 3P 1P 2＝60°. 同理可得∠P 2P 3P 1＝60°， ∴△P 1P 2P 3为正三角形．21．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．解：(1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝42，故所求的两条对角线的长分别为42，210.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )． 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，即5t ＝－11，所以t ＝－115.22．(12分)设集合D ＝{平面向量}，定义在D 上的映射f 满足：对任意x ∈D ，均有f (x )＝λx (λ∈R 且λ≠0)．(1)若|a |＝|b |，且a 、b 不共线，试证明：[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )；(2)若A (1,2)，B (3,6)，C (4,8)，且f (BC →)＝AB →，求f (AC →)·AB →.解：(1)证明：∵f (a )－f (b )＝λa －λb ＝λ(a －b )， ∴[f (a )－f (b )]·(a ＋b )＝λ(a －b )(a ＋b )＝λ(a 2－b 2)＝λ(|a |2－|b |2)＝0， ∴[f (a )－f (b )]⊥(a ＋b )．(2)由已知得AB →＝(2,4)，BC →＝(1,2)，AC →＝(3,6)．∵f (BC →)＝AB →，∴λBC →＝AB →. 即λ(1,2)＝(2,4)，∴λ＝2.∴f (AC →)·AB →＝(2AC →)·AB →＝(6,12)·(2,4)＝60.。
高中人教A版数学必修4(课时习题与单元测试卷)：第二、三章滚动测试含解析
第二、三章转动测试班级 ____ 姓名 ____ 考号 ____ 分数 ____本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟．一、选择题：本大题共 12 题，每题 5 分，共 60 分．在以下各题的四个选项中，只有一个选项是切合题目要求的．→ → 1．已知 A(x,1)， B(1,0)，C(0， y)， D(－1,1)，若 AB ＝ CD ，则 x ＋ y 等于 () A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4 答案： D→ →分析： ∵AB ＝CD ，∴(1－ x ，－ 1)＝ (－ 1,1－ y)，1－ x ＝－ 1， ∴得 x ＋ y ＝ 4.1－ y ＝－ 1，2．若 a ， b 为非零向量，且 |a ＋ b|＝ |a|＋ |b|，则 ()A ． a 与 b 的长度必相等B ．a ∥ b 且 a 与 b 同向C ．a 与 b 不必定相等D ． a 是 b 的相反向量 答案： B分析：由 |a ＋ b|＝ |a|＋ |b|可知两向量的夹角为 0°或 180°，依据 a 、b 为非零向量可知假如有|a ＋ b|＝ |a|＋ |b|，则 a 与 b 必同向．3．已知向量 a ＝(1,2)，b ＝ (2，－3) ．若向量 c 知足 (c ＋ a)∥ b ，c ⊥ (a ＋ b)，则 c 等于 ( )A.7， 7 B. － 7，－ 79 33 9 C. 7， 7D. － 7，－ 73 9 9 3答案： D分析： 不如设 c ＝( m ， n)，则 a ＋ c ＝ (1＋m,2＋ n) ， a ＋ b ＝ (3，－ 1)，关于 (c ＋ a)∥b ，则77有－ 3(1＋ m)＝ 2(2＋ n)，又 c ⊥ (a ＋ b)，则有 3m － n ＝ 0，∴m ＝－ 9，n ＝－ 3.应选 D.4．如图， D 、 E 、 F 分别是△ ABC 的边 AB 、 BC 、 CA 的中点，则 ( )→ → → → → → A.AD ＋ BE ＋ CF ＝ 0 B.BD － CF ＋ DF ＝ 0 → → → → → → C.AD ＋ CE － CF ＝ 0 D.BD － BE － FC ＝ 0 答案： A→→→1→1→1→1→→→ 分析： AD ＋ BE ＋ CF ＝ 2AB ＋ 2BC ＋ 2CA ＝ 2(AB ＋ BC ＋ CA)＝ 0.5．在△ ABC 中， A ＝ 15°，则 3sinA －cos(B ＋ C)的值为 ()2 3A.2B.2C. 2 D ．2答案： C分析： 原式＝ 3sinA － cos(π－ A) ＝ 3sinA ＋cosA ＝ 2sin(A ＋ 30)＝2sin(15 °＋ 30°)＝ 2.6．设 f(sinx)＝ cos2x ，则 f3等于()2A ．－ 1B ．－ 32 21 3 C.2 D. 2答案： A分析： 解法一：由 f(sinx)＝ cos2x ＝ 1－ 2sin 2x ， 得 f(x) ＝1－ 2x 2，331则 f2 ＝1－ 2×2 2＝－ 2. 解法二：由题意令x ＝ 60 °，得31f 2 ＝ f(sin60 )＝°cos120 ＝°－ 2.2， tan β－ π ＝ 1，则 cos α＋ sin α4＝()7．已知 tan(α＋ β)＝ 54 cos α－ sin α5 1A. 22B.713C.6D.22 答案： Dπππ π分析： ∵α＋ 4＝ α＋ β－ β－4 ，∴tan α＋4 ＝ tan α＋ β－ β－ 4tan α＋ β－ tan πβ－ 34＝ π＝ 22， 1＋ tan α＋ β·tan β－4cos α＋ sin α 2sin α＋ π4 π 3＝tan α＋ ＝ .∴ ＝π 4 22cos α－ sin α 2cos α＋48．函数 y ＝ sin2x ＋ cos2x 的图象，可由函数 y ＝ sin2x － cos2x 的图象 ()π A ．向左平移 个单位获得8πB ．向右平移 8个单位获得π C ．向左平移 4个单位获得πD ．向右平移 4个单位获得 答案： C分析： y ＝ sin2x ＋ cos2x＝ 2sin 2x ＋π x ＋ π4 ＝ 2sin28，y ＝ sin2x － cos2x ＝ 2sin 2x －π4π π π π＝ 2sin2 x － 8 ，此中 x ＋ 8＝ x ＋ 4 － 8，π∴将 y ＝ sin2x － cos2x 的图象向左平移4个单位可得 y ＝ sin2x ＋ cos2x 的图象．sin α＋ β mtan β＝ ，那么等于()9．假如sin α－ βntan αm － nm ＋ n A.m ＋n B.m －n n － mn ＋ m C.n ＋ m D.n － m答案： Asin α＋ β sin αcos β＋ cos αsin β mcos αsin βm －ntan βm －n分析： ∵＝＝ ，∴＝ ，∴＝ .sin α－ β sin αcos β－ cos αsin β nsin αcos β m ＋ ntan α m ＋ n10． A ， B ， C ， D 为平面上四个互异点，且知足→ → → → →(DB ＋ DC － 2DA ) ·(AB － AC) ＝ 0，则△ABC 的形状是 ( )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 答案： B→→→→→→→→→→→→→→分析：∵(DB ＋ DC － 2DA ) ·(AB －AC) ＝ (DB －DA ＋DC － DA ) ·(AB － AC)＝ (AB ＋ AC) ·(AB － → → 2 → 2 → → AC)＝ AB － AC ＝ 0，∴|AB|＝ |AC|.2 211．已知 sinx － siny ＝－ 3， cosx － cosy ＝ 3，且 x 、 y 为锐角，则 tan(x － y)的值是 ( )2 14 B ．－ 2 14A. 5 52 14 5 14C ．± 5D ．± 28 答案： B422sin 2x － 2sinxsiny ＋sin 2y ＝ 9，分析： 由已知 sinx － siny ＝－ 3，cosx － cosy ＝ 3，得4cos 2x － 2cosxcosy ＋ cos 2y ＝9，5π相加得 cos(x －y) ＝9.∵x 、 y 均为锐角且 sinx － siny<0，∴－2<x － y<0，－2 14 2 14 ∴sin(x － y)＝9 ，∴tan(x －y)＝－5.π2π12．已知向量 a ＝ (cos2α，sin α)，b ＝ (1,2sin α－ 1)，α∈ 2， π，若 a ·b ＝ 5，则 tan α＋ 4等于 ( )1 2A. 3B. 71 2C.7D. 3答案： C分析： 由题意，得 cos2α＋ sin α(2sin α－ 1)＝ 23π5，解得 sin α＝ 5，又 α∈ 2， π，因此 cos α4 ＝－ 5，π3 α＋ π ＝ tan α＋ tan4 1tan α＝－ ，则 tan 4 ＝ .4 π 71－ tan αtan 4二、填空题：本大题共4 小题，每题5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．答案： (－ 4，－ 2)分析： 设 a ＝( x ， y)，x<0， y<0，则 x － 2y ＝ 0 且 x 2＋ y 2＝ 20，解得 x ＝ 4，y ＝ 2(舍去 )，或许 x ＝－ 4， y ＝－ 2，即 a ＝ (－ 4，－ 2)．→ →14．在△ ABC 中， M 是 BC 的中点， AM ＝ 3，BC ＝10，则 AB ·AC ＝ ________. 答案： － 16→ → 1→→1→→ 1→2 →2 1 2 2分析： AB ·AC ＝ －2BC ＋ AM ·2BC ＋ AM ＝－ 4BC ＋ AM ＝－ × 10 × 3＝－ 16. 4cos10 °15．化简 ( 3tan10 －°1) · ＝ ________.答案： －12sin20 °3sin10 －°1cos10 ° sin 10°－ 30° － sin20°分析： 原式＝ 22 ＝ ° ＝＝－ 1.sin20 ° sin20 sin20°π→→16．在△ ABC 中，C ＝2，AC ＝ 1，BC ＝2，则 f(λ)＝ |2λCA ＋ (1－ λ)CB|的最小值是 ________．答案： 2 分析：如图，以 C 为原点， CA ，CB 所在直线为 y 轴， x 轴成立直角坐标系，因此→，CA ＝ (0,1) →CB ＝ (2,0)，故 → →2λCA ＋(1 －λ)CB ＝ (0,2λ)＋ (2－ 2λ，0)＝ (2－ 2λ， 2λ)，因此 f(λ)＝ 2 22λ－ 2λ＋ 1＝22 λ－ 1 2＋ 1，故最小值为 2，在 λ＝1时获得．2 2 2三、解答题：本大题共6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 12π π 17． (10 分)已知 cos θ＝13， θ∈ (π， 2π)，求 sin θ－ 6 以及 tan θ＋ 4 的值．解： ∵cos θ＝12， θ∈ (π， 2π)，∴ sin θ＝－ 5 135， tan θ＝－ ，13 12 π π π ∴ sin θ－ 6 ＝ sin θcos 6－ cos θsin 65 3 12 1 5 3＋ 12 ＝－ 13× 2 －13×2＝－ 26 ；π tan θ＋ π＝ tan θ＋tan 44 π1－ tan θ·tan 4－ 5＋ 1＝12 ＝ 7 . 5171－－12 ×1π18．(12 分 )已知函数 f(x) ＝2cosx ·sin x ＋ 3 － 3sin 2x ＋ sinxcosx.将函数 f(x)的图象向右平移 m 个单位，使所得函数为偶函数，求 m 的最小值．解： f(x)＝ 2cosx ·sin x ＋ π－ 3sin 2x ＋ sinxcosx3π π＝ 2cosx sinxcos ＋ cosxsin － 3sin 2x ＋ sinxcosx3 3π＝ 2sinxcosx ＋ 3cos2x ＝ 2sin 2x ＋ 3 .函数 f(x)的图象向右平移m 个单位后的分析式为g(x)＝ 2sin 2 x － m ＋π3π＝ 2sin 2x － 2m ＋ 3 ，π π要使函数 g(x)为偶函数，则－ 2m ＋ ＝ k π＋ (k ∈ Z)．3 2又 m>0，∴当 k ＝－ 1 时， m 获得最小值为5π.12π19． (12 分)当 0<x ≤ 4时，求函数π解： ∵0<x ≤ 4，则 0<tanx ≤ 1，f(x)＝ 1＋ cos2x ＋8sin 2x －cosx 的最大值．sin2x sinx∴ f( x)＝ 2cos 2x ＋ 8sin 2x － cosx ＝ 4sin 2x ＋ cos 2x － cosx ＝ 4tan 2x ＋ 1－ 1＝ 4tanx ＋ 1－2sinxcosxsinxsinxcosxsinxtanxtanxtanx1＝ 4tanx. tanx∴ f(x)≤4.∴ f(x)max ＝ 4.20． (12 分)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：① sin 213°＋ cos 217°－sin13 cos17° °；② sin 215°＋ cos 215°－sin15 cos15° °； ③ sin 218°＋ cos 212°－sin18 cos12° °；④ sin 2( － 18°)＋ cos 248°－ sin(－ 18°)cos48 ；° ⑤ sin 2( － 25°)＋ cos 255°－ sin(－ 25°)cos55 .° (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)依据 (1) 的计算结果，将该同学的发现推行为三角恒等式，并证明你的结论． 解： (1)选择②式，计算以下：sin 215°＋cos 215°－ sin15 cos15° °＝ 1－12sin30 ＝°1 31－ 4＝ 4.(2)三角恒等式为：3sin 2α＋ cos 2(30 °－ α)－sin αcos(30 －°α)＝ 4.证明以下： sin 2α＋ cos 2(30 °－ α)－ sin αcos(30 °－ α)sin 2α＋ (cos30 cos °α＋ sin30 sin °α)2 － sin α(cos30 ·°cos α＋ sin30 sin ° α)＝ sin 2α＋3cos 2α＋ 3cos αsin α＋ 1sin 2α－4243 1sin α·cos α－sin 2 α223 3 3.＝ sin2α＋ cos 2α＝444221． (12 分)已知向量 a 与 b 的夹角为 3π，|a|＝ 2， |b|＝ 3，记 m ＝ 3a － 2b ， n ＝ 2a ＋kb. (1)若 m ⊥ n ，务实数 k 的值； (2)能否存在实数 k ，使得 m ∥ n ？说明原因．解： (1)由 m ⊥ n 得 m ·n ＝ 0，即 (3a － 2b) ·(2a ＋ kb)＝ 0，整理得： 6|a|2－ (4－ 3k)a ·b － 2k|b|2＝ 0，∴ 27k ＝ 36，∴ k ＝4，∴当 k ＝ 4时， m ⊥ n.33(2)若存在实数 k ，使 m ∥ n ，则有 m ＝ λn ，即 3a － 2b ＝ λ(2a ＋kb)，∴ (3－ 2λ)a ＝(2 ＋k λ)b.∵由题意可知向量a 与b 不共线，3－ 2λ＝ 0，3，?λ＝ 2∴42＋ k λ＝ 0，k ＝－ 3即存在实数 k ＝－ 4，使得 m ∥ n.3π22．(12 分 )已知函数 f(x)＝ a ＋ bsin2x ＋ ccos2x(x ∈ R) 的图象过点 A(0,1) ，B ， 1，且 b>0，4又 f(x)的最大值为 2 2－ 1.(1)将 f(x)写成含 Asin( ωx＋ φ)( ω>0,0<φ<π)的形式； (2)由函数 y ＝ f(x)的图象经过平移能否能获得一个奇函数y ＝ g(x)的图象？若能，请写出平移的过程；若不可以，请说明原因．解： (1)f(x)＝ a ＋ bsin2x ＋ ccos2x ＝ a ＋ b 2＋ c 2sin(2x ＋ φ) tan φ＝ c，b 由题意，可得 a ＋c ＝ 1， a ＝－ 1，a ＋b ＝ 1，解得 b ＝ 2，a ＋b 2＋c 2＝2 2－ 1，c ＝ 2.π因此 f(x)＝－ 1＋ 2sin2x ＋2cos2x ＝ 2 2sin2x ＋ 4 － 1.π的图象，再向右平移π(2)将 f(x)的图象向上平移 1 个单位获得函数 f(x)＝ 2 2sin 2x ＋ 4 个8单位获得 y ＝2 2sin2 x 的图象， 而函数 y ＝ 2 2sin2x 为奇函数， 故将 f( x)的图象先向上平移 1个单位，再向右平移 π y ＝ g(x)的图象．个单位就能够获得奇函数8。
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高中数学学习材料唐玲出品第一、二章滚动测试班级____ 姓名____ 考号____ 分数____ 本试卷满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本大题共12题，每题5分，共60分．在下列各题的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．设A (1,2)，B (－2,5)，则|AB →|＝( ) A. 5 B.29 C ．3 2 D ．4 答案：C解析：AB →＝(－2,5)－(1,2)＝(－3,3)，∴|AB →|＝(－3)2＋32＝3 2.2．如果函数f (x )＝sin(2πx ＋θ)(0<θ<2π)的最小正周期是T ，且当x ＝1时取得最大值，那么( )A ．T ＝1，θ＝π2B ．T ＝1，θ＝πC ．T ＝2，θ＝πD ．T ＝2，θ＝π2答案：A解析：T ＝2π2π＝1，sin(2π＋θ)＝1，θ＝π2.3．已知sin(α－π)＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan α等于( ) A.255 B ．－255C.52 D ．－52 答案：B解析：sin(α－π)＝－sin α＝23，∴sin α＝－23，cos α＝53，∴tan α＝－25＝－255.4．若角α的终边落在第三象限，则cos α1－sin 2α＋2sin α1－cos 2α的值为( )A ．3B ．－3C ．1D ．－1 答案：B解析：由角α的终边落在第三象限得sin α<0，cos α<0，故原式＝cos α|cos α|＋2sin α|sin α|＝cos α－cos α＋2sin α－sin α＝－1－2＝－3.5．已知平面内三点A (－1,0)，B (5,6)，P (3,4)，且AP →＝λPB →，则λ的值为( )A ．3B ．2 C.12 D.13 答案：B解析：因为AP →＝λPB →，所以(4,4)＝λ(2,2)，所以λ＝2.6．已知sin α－cos α＝13，则tan α＋1tan α等于( )A.89B.73C.94D.114 答案：C解析：由sin α－cos α＝13可得(sin α－cos α)2＝19，即1－2sin αcos α＝19，sin αcos α＝49，则tan α＋1tan α＝sin αcos α＋cos αsin α＝1sin αcos α＝94. 7．将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移π3个单位长度，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋2π3 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3 答案：C解析：将y ＝sin x 的图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，得到y ＝sin2x 的图象，再沿x 轴向左平移π3个单位，得到y ＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋23π的图象． 8．设i 、j 是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且AB →＝8i ＋4j ，AC →＝6i ＋8j ，则△ABC 的面积等于( )A ．60B ．40C ．28D ．20 答案：D解析：BC →＝AC →－AB →＝－2i ＋4j ，所以AB →⊥BC →.所以S △ABC ＝12|AB →|·|BC →|＝1282＋42·(－2)2＋42＝20.9．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2，x ∈R )的部分图象如图所示，则函数表达式为( )A ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4B ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4C ．y ＝－4sin ⎝⎛⎭⎫π8x －π4D ．y ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4答案：A解析：先确定A ＝－4，由x ＝－2和6时y ＝0可得T ＝16，ω＝π8，φ＝π4.10．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z C.⎣⎡⎦⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z D.⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z 答案：C解析：本题主要考查三角函数的图象与性质．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6的图象与直线y ＝2的两个相邻交点就是函数f (x )的两个最大值点，周期为π＝2πω，ω＝2，于是f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6.由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2得，k π－π3≤x ≤k π＋π6，故选C.11．设向量a 与b 的夹角为θ，定义a 与b 的“向量积”，a ×b 是一个向量，它的模等于|a ×b |＝|a ||b |sin θ，若a ＝(1，3)，b ＝(－3，－1)，则|a ×b |＝( )A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4 答案：B解析：∵cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－2 32×2＝－32，又θ∈[0，π]，∴sin θ＝1－cos 2θ＝12，|a ×b |＝|a |·|b |sin θ＝2.12．已知a ＝(λ，2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是( )A ．λ<103B ．λ≤103C ．λ≤103且λ≠－65D ．λ<103且λ≠－65答案：D解析：由题可知a ·b ＝－3λ＋10>0，λ<103，当a 与b 共线，且方向相同时，设a ＝(λ，2)＝μ(－3,5)(μ>0)，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－3μ，2＝5μ，得λ＝－65，∴λ的取值范围是λ<103且λ≠－65.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13．设f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋4(a ，b ，α，β是常数)，且f (2009)＝5，则f (2010)＝________.答案：3解析：f (2009)＝αsin(π＋α)＋b cos(π＋β)＋4＝－(a sin α＋b cos β)＋4＝5 ∴a sin α＋b cos β＝－1.f (2010)＝a sin α＋b cos β＋4＝3.14．已知a ＝(2,1)b ＝(1，λ)，若a 与b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是________．答案：⎝⎛⎭⎫－2，12∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 解析：若a 与b 的夹角为锐角，则cos θ>0且cos θ≠1.cos θ＝a ·b|a |·|b |＝2＋λ5·1＋λ2∴λ>－2.又2＋λ≠5·1＋λ2∴λ≠12∴λ的范围是λ>－2且λ≠12.15．函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3(x ∈R )，f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2，则正数ω的值为________．答案：1解析：由f (α)＝－2，f (β)＝0，且|α－β|的最小值等于π2可知T 4＝π2，T ＝2π，∴ω＝1.16．如图，在正方形ABCD 中，已知|AB →|＝2，若N 为正方形内(含边界)任意一点，则AB →·AN →的最大值是________．答案：4解析：∵AB →·AN →＝|AB →||AN →|·cos ∠BAN ，|AN →|·cos ∠BAN 表示AN →在AB →方向上的投影，又|AB →|＝2，AB →·AN →的最大值是4.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(10分)已知sin(α＋π)＝45，且sin α·cos α＜0，求：2sin (α－π)＋3tan (3π－α)4cos (α－3π)的值．解：∵sin(α＋π)＝45∴sin α＝－45＜0.∴cos 2α＝1－sin 2α＝1－1625＝925又sin α·cos α＜0∴cos α＞0.∴cos α＝35.原式＝－2sin (π－α)＋3sin (π－α)cos (π－α)4·cos (π－α)＝－2sin α＋3sin α－cos α－4·cos α＝2sin α·cos α＋3sin α4cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－45×35－45×34×925＝－73.18．(12分)已知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－tan α·cos x ，且f ⎝⎛⎭⎫π3＝12. (1)求tan α的值；(2)求函数g (x )＝f (x )＋cos x 的对称轴与对称中心．解：(1)∵f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π6－tan α·cos π3＝1－12tan α＝12，∴tan α＝1. (2)g (x )＝f (x )＋cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6－cos x ＋cos x ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6. ∴x ＋π6＝k π＋π2，即对称轴：x ＝k π＋π3，k ∈Z∴x ＋π6＝k π，即对称中心：⎝⎛⎭⎫k π－π6，0，k ∈Z . 19．(12分)设两个向量a ，b 不共线．(1)若AB →＝a ＋b ，BC →＝2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线； (2)若 |a |＝2，|b |＝3，a 、b 的夹角为60°，求使向量k a ＋b 与a ＋k b 垂直的实数k .解：(1)AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝a ＋b ＋2a ＋8b ＋3(a －b )＝6(a ＋b )＝6AB →， ∴AD →与AB →共线，即A 、B 、D 三点共线． (2)∵k a ＋b 与a ＋k b 垂直， ∴(k a ＋b )·(a ＋k b )＝0，k a 2＋(k 2＋1)a ·b ＋k b 2＝0， k a 2＋(k 2＋1)|a ||b |·cos60°＋k b 2＝0， 3k 2＋13k ＋3＝0，解得：k ＝－13±1336.20．(12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的部分图象如图所示．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数在区间[－2,4]上的最大值和最小值以及对应的x 的值．解：(1)由题可知A ＝2，T2＝6－(－2)＝8，∴T ＝16，∴ω＝2πT ＝π8，则f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋φ. 又图象过点(2，2)，代入函数表达式可得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．又|φ|<π2，∴φ＝π4，∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π8x ＋π4. (2)∵x ∈[－2,4]，∴π8x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤0，3π4， 当π8x ＋π4＝π2，即x ＝2时，f (x )max ＝2； 当π8x ＋π4＝0，即x ＝－2时，f (x )min ＝0. 21．(12分)已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →， 求：(1)t 为何值时，P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否构成平行四边形？若能，求出相应的值，若不能，请说明理由．解：(1)∵OP →＝OA →＋tAB →＝(3t ＋1,3t ＋2)，∴当－23<t <－13时，P 在第二象限；(2)不能构成四边形． ∵OA →＝(1,2)，PB →＝(3－3t,3－3t )，∴使OA →，PB →共线，则3－3t －(6－6t )＝0，解得t ＝1，此时PB →＝(0,0)，∴四边形OABP 不能构成平行四边形．22．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＋1.(1)当x ＝43π时，求f (x )值；(2)若存在区间[a ，b ](a ，b ∈R 且a <b )，使得y ＝f (x )在[a ，b ]上至少含有6个零点，在满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．解：(1)当x ＝43π时，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×4π3＋π3＋1＝2sin(3π)＋1＝2sinπ＋1＝1. (2)f (x )＝0⇒sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝－12⇒x ＝k π－π4或x ＝k π－712π，k ∈Z ， 即f (x )的零点相离间隔依次为π3和2π3，故若y ＝f (x )在[a ，b ]上至少含有6个零点，则b －a 的最小值为2×2π3＋3×π3＝7π3.。