(整理)三重积分重积分习题.

第九章 重积分第六讲 三重积分、重积分应用习题课教学目的 使学生能更清楚进行三重积分计算时．在何种情况下用何种坐标计算，以便灵活的进行三重积分的计算．使学生能方便地运用重积分进行曲面的面积，质心，转动恒量以及引力的计算教学重点 通过三重积分计算的强化使学生明确在三重积分计算时如何确定用何种坐标以及各是如何化为三次积分．教学难点 柱面坐标与球面坐标所适用情况的区分与判定. 教学时数 2学时 教学过程一、知识回顾1．三重积分的意义及物理模型(空间物体的质量) 2．在直角坐标，柱面坐标，球面坐标下计算三重积分 (1) 柱面坐标与球面坐标.(2) 柱面坐标，球面坐标分别与直角坐标之关系. (3) 直角坐标化柱面坐标，球面坐标的公式. (4) 何时用何种坐标计算.3．曲面的面积，物体的质心，转动惯量及引力的计算曲面的面积：关键在找曲面在坐标面的投影，这里问题是 (1) 往何坐标面上投 (2) 如何找投影区域物理应用，注意利用密度为常数以及物体所占区域在坐标面上的对称性.二、练习1．将I=zdvΩ⎰⎰⎰分别表示成直角坐标，柱面坐标和球面坐标下的三次积分，并选择其中一种计算出结果．其中Ω是由曲面z=222y x --及z=x 2+y 2所围成的闭区域.分析 为计算该三重积分，我们先把积分区域投影到某坐标平面上，由于是由两张曲面222y x z --=及22y x z +=，而由这两个方程所组成的方程组z z ⎧=⎨=⎩ 极易消去z ，我们把它投影到xoy 面上．然后，为在指定的坐标系下计算之，还应该先把Ω的边界曲面用相应的坐标表示，并找出各种坐标系下各个变量的取值范围，最后作代换即可．解 将Ω投影到xoy 平面上，由z z ⎧=⎨=⎩消去z 得 (x 2+y 2)2=2-(x 2+y 2)，或(x 2+y 2+2)(x 2+y 2-1)=0，于是有 x 2+y 2=1．即知，Ω在xoy 平面上的投影为圆域D ：x 2+y 2≤1 ．为此在D 内任取一点Q(x ，y)，过Q 作平行于z 轴的直线自下而上穿过Ω．穿入时碰到的曲面为22y x z +=，离开时碰到的曲面为222y x z --=(不画图，仅用代数方法也易判断22y x z +=≤222y x z --=)，这是因为x 2+y 2≤1)(1) 直角坐标系下，我们分直角坐标及柱面坐标，下边找z 的变化范围从而化为三重积分．因此再由D ：x 2+y 2≤1，有22y x z +=≤222y x z --=，于是在直角坐标下，Ω可表示为Ω:22y x y z ⎧⎪≤⎨⎪+≤≤⎩，于是有I=⎰⎰----221111x x dy dx ⎰--+22222y x y x zdz.(2) 柱面坐标下首先把Ω的表面方程用柱面坐标表示，这时z=x 2+y 2表示为z= 2ρ，z=222yx --表示为z=22ρ-．再由投影区域D 为x 2+y 2≤1．故0ρ≤≤1，0≤θ≤2π．于是Ω可表示为Ω：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤≤≤≤≤≤.2,10,2022ρρρπθz将所给三重积分中的体积元素υd 用υd =dz d d θρρ去替换，有I=Ω⎰⎰⎰υzd =Ω⎰⎰⎰dz d d z θρρ=⎰πθ20d ⎰1ρd ⎰-2222ρρρdz.(3) 球面坐标下用球面坐标代换两曲面的方程，得曲面z=x2+y2变为ρ=φφ2sin cos ；曲面z=222y x --变为ρ=2．由Ω在xoy 平面上的投影为x 2+y 2≤1知0θ≤≤2π，下边找φ的变化范围．正z 轴在Ω内，即Ω内有点P ，使→op 与→oz 夹角为零，即φ的下界为零．又曲面z=x 2+y2与xoy 平面相切，故φ的上界为2π，于是0≤φ≤2π再找ρ的变化范围．原点在Ω的表面上，故ρ取到最小值为零．为找ρ的上界，从原点出发作射线穿过Ω，由于Ω的表面由两张曲面所组成，因而ρ的上界随相应的φ的不同而不同．为此在两曲面的交线⎪⎩⎪⎨⎧--=+=22222y x z y x z ，上取一点A(0，1，1)，故A 所对应的4πφ=．当24πφπ≤≤时，r 的上界由曲面r=φφ2sin cos 所给，故这时r φφφφcsc cot sin cos 2≤≤．即r 的变化范围为0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤时。

，当时，当24cot 40,2πφπφπφr因此I=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅φφπππππφφφθφφφθ2sin cos 02242022420sin cos sin cos dr r r d d dr r r d d ．由Ω的特点(在xoy 平面上的投影为圆域，而Ω本身不是球或球锥)，故采用柱面坐标计算比较简单，这时I=⎰πθ20d ⎰1dr⎰-222r r rzdz=drzr d r r⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⋅-1022202221πθ=2π247=127π．小结 (1) 计算三重积分时，欲用何种坐标，就要首先把积分区域的表面方程化成用该坐标表示，同时把被积函数中的变量与体积元素替换为该坐标下的形式．(2) 将区域Ω向坐标平面作投影时，应考虑向哪个坐标平面更简单．(3) 不要认为当积分区域为球体的一部分就应采用球面坐标．球面坐标所适用的积分区域一般为球，两球面所围的区域，或这两种区域被圆锥所截得的部分．本题是由旋转抛物面与球面所围成的区域，一般是不宜用球面坐标的．2．计算三重积分⎰⎰⎰Ω++υd z y x z222，其中Ω是由曲面x2+y2+z2=1及z=)(322y x +所围成的区域．分析 Ω为球面和圆锥面所围成的区域．故从积分区域的特点看，它适宜用球面坐标．同时，被积函数中含有因式x 2+y 2+z 2，故从积分区域与被积函数两方面来看，应选用球面坐标．解 在球面坐标下，球面x 2+y 2+z 2=1的方程为r=1，锥面z=)(322y x +的方程为 tan φ=33，即6πφ=，又z 轴的正向穿过Ω故φ的下界为零，因此06πφ≤≤． 将Ω投影到xoy 面，由方程组⎪⎩⎪⎨⎧+==++)(3,122222y x z z y x 消去z 得x 2+y 2=41．因此0πθ2≤≤．该锥体的顶点在原点，故r 下界为零，由穿线法可知r ,1≤故0≤r ≤1. 于是dvz y x Z⎰⎰⎰Ω++222=⎰⎰⎰Ωθφφφd drd r sin cos 4=dr r d d ⎰⎰⎰14620cos sin ππϕφφθ=2π20]1[][sin 211062πφπ=⋅s r s ． 小结 当积分区域为由球面与锥角0ϕϕ=所围成的球锥体时．若锥题的顶点为原点，且Z 轴正向穿过积分区域，则有0≤≤ϕ0ϕ，且r 的下界为零，上界由球面的方程所给出．3．计算,)(22dv z y ⎰⎰⎰Ω+其中Ω是由xoy 平面上的曲线2y =2x 绕x 轴旋转而成的曲面与平面x=5所围成的闭区域分析 由第七章的知识知，Ω为由旋转抛物面2x=y 22z +与平面x=5所围成．遵循上题的小结2所说的原则由于从两方程要消去x,我们将它投影到yoz 平面，(见图2)，不难求出，投影区域为圆域，再由于积分区域与球体无关，故采用柱面坐标，这时要注意把y,z 用极坐标代换．还应注意积分区域关于平面y=0,z=0皆对称，且被积函数关于y,z 皆为偶函数．因此还应利用积分区域关于坐标平面的对称性与被积函数关于某相应变量的奇偶性先进行化简．解 曲线y2=2x 或x=22y 绕x 轴旋转得的旋转抛物面方程为x=21(22z y +),故Ω由抛物面x=21(22z y +)与z=0所围成．由于被积函数分别是y 和z 的偶函数，而积分区域关于平面y=0及z=0都对称，因此dv z y ⎰⎰⎰Ω+)(22=4dvz y⎰⎰⎰Ω+,)(22，其中Ω,为Ω在第一卦限内的部分由⎪⎩⎪⎨⎧=+=5),(2122x z y x 知，Ω在yoz 平面上的投影为22z y +10≤．Ω,在yoz 平面上的投影为yoz 平面上第一象限内的１／４个圆，因此有Ω'：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤.52,100,202x r ρπθ于是⎰⎰⎰Ω=+dv z y )(224⎰⎰⎰Ω=+,)(22dv z y 4⎰⎰⎰Ω,2dx d d θρρρ=⎰⎰⎰105232024r dxd d ρρθπ=2ρρπd p 3102)25(⎰-=3250π.小结 (1) 当被积函数关于某坐标平面对称，同时被积函数是相应变量的奇或偶函数时，应首先将所给积分化简，其原则为Ω关于平面Z=0对称，f(x,y,z)关于z是奇函数时，积分为零;f(x,y,z)关于z 是偶函数时，所求积分为2(,,)f x y z dv'Ω⎰⎰⎰，其中Ω'为Ω被z=0所分的上半个子区域．其余类同．(2) 对柱面坐标，不要硬性记为x=ρcos θ,y=ρsin θ,z=z,而应清楚这是把积分区域投影到xoy 平面时的相应的柱面坐标，而当投影平面不是xoy 平面时，应做相应的变化．如本题，由于我们把Ω投影到yoz 平面,就有y=ρcos θ,z=ρsin θ,x=x ．类似地，对球面坐标也应做相应理解，即穿过Ω的坐标轴如果不是z 轴而是x 轴或y 轴．球面坐标公式x=rsin ϕcos θ,y=rsin ϕsin θ, z=rcos ϕ也应做相应变化．4．证明当f(z)连续时，dvz f ⎰⎰⎰Ω,)(=,)1)((112dz z z f ⎰--π并用此公式计算dzz z z⎰⎰⎰Ω+++)1(23的值，其中Ω：x1222≤++z y 分析 积分区域见图3，题目要求把三重积分化成只剩下对z 的定积分，我们可以把它看作对该三重积分先计算一个关于x,y 的二重积分再计算对z 的定积分．显然这种计算方法和我们前边的计算方法是不同的，前边的计算方法(如例1，2)是先将Ω投影到坐标平面 xoy 上得投影区域D ，计算时先对z 积分再计算在D 上的二重积分，比如练习题1在直角坐标下可看作I=⎰⎰⎰--+Dy x y x zdzdxdy 22222，即采用 “穿线法”，本题欲先计算一个二重积分再计算定积分，应采用为“先二后一”法．亦称“切片法”，即先将Ω投影到z 轴上得线段[-1，1]．在(-1，1)上任意点z 作一垂直于z 轴的平面截Ω得一平面区域z D ，在每个z D 上作对x,y 的二重积分，然后再把这些积分值累加起来，既再对z 从-1到1积分．解 由Ω的表面方程为1222=++z y x 知，z ∈[]1,1-，既Ω在轴上的投影为线段[]1,1-，在()1,1-内任取一点z ，过z 作垂直于z 轴的平面截Ω得一平面区域z D：2221z y x -≤+．于是z D 的面积为()21z -π．因此⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰---Ω-===1121111)1)(()()()(dzzz f dxdy dz z f dxdy z f dz dz z f ZZD D π,当f(z)=z 123+++z z时，有dz z z z z d z z )1()1()1z (2112323-+++=+++⎰⎰⎰⎰=Ωπυ=π85.小结 “切片法”适用于被积函数为某变量的一元函数，而垂直于相应坐标轴的平面截Ω所得截面面积易求()表示出时的情形．一般的，若被积函数为x 的一元函数()x f 时，作垂直于x 轴的平面；被积函数为()y ϕ时，作垂直于y 轴的截面；被积函数为()z ϕ时，作垂直于z 轴的截面．5． 求底圆半径相等的两个直交圆柱面x 222R y =+及x 222R z =+所围立体的表面积.分析 该两圆柱面直交时所围立体处在八个卦限内．其表面为82⨯个面积相等的曲面，我们只经计算其中一个曲面面积即可．要注意计算曲面面积时，要找其在坐标面内的投影区域．要注意向哪个坐标面作投影要依据曲面方程而定解 为计算该住体的表面积．我们只须计算图4阴影部分的面积S 1再乘以16即可．该曲面的方程为z=22x R -．它在xoy 面上的投影为D={}0,0,),(222≥≥≤+y x R y x y x ．22x R xx z --=∂∂, 于是S 1=dxdyx R R dxdy x R x Dd⎰⎰⎰⎰-=--+22222)(1=222022R dy x R R dxx R R=-⎰⎰-,故S=16S 1=16R 2.确定选用何种坐标，一般要从积分区域与被积函数两方面考虑，通常可参阅下表6．设均匀柱体密度为ρ，占有闭区域h z R y x z y x≤≤≤+=Ω0,),,(222．求它对于位于点M 0(0，0，a)(a h >)处的单位质量的质点的引力分析 用公式求引力时，要注意利用当ρ≡常数时．以及立体对坐标面的对称性，来简化计算．解 Ω是一位于xoy 面上方的圆柱体，它关于xoz 面yoz 面都是对称的，因此有F X =F Y =0下面计算F zF z =[]υρd a z y xaz G ⎰⎰⎰Ω-++-23222)(=G[]⎰⎰⎰-+-aha z d d dz a z 0232220)()(ρρρθρπ=-2G h πρ⎤⎦．故引力为={}0,0,2G h πρ⎤-⎦ 小结 在计算三重积分时，要注意何种情况下用何种坐标．一般应遵循先判定是否可用球面坐标，柱面坐标或直角坐标的先后原则.作业习题9-3(106页) 4，6，8，9(2)，10(2) 习题9-4(116页) 4(3)，7(2)，9(2)．。