数列的综合运用-PPT课件
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第五节 数列的综合应用 课件(共24张PPT)
所以3an＝3n，即an＝n.又因为函数f（x）＝2x，所以f （an）＝2n，
所以数列{bn}的前n项和b1＋b2＋…＋bn＝log4[f（a1）·
f（a2）·…·f（an）]＝log4（2×22×…×2n）＝ log421＋2＋…＋n＝12×（1＋2＋…＋n）＝n（n4＋1）.
答案：n（n4＋1）
得2，f（a1），f（a2），…，f（an），2n＋4成等差数
列，则数列{an}的前n项和Sn＝
.
解析：（1）因为F（x）＝f x＋12－1是R上的奇函数， 所以F（－x）＝－F（x）， 故f 12－x＋f 12＋x＝2（x∈R），（*） 令x＝0，得f 12＝1. 令t＝12－x，则12＋x＝1－t（t∈R）， （*）式可化为f（t）＋f（1－t）＝2（t∈R）.
因此{an}的通项公式为an＝3n－2 1.
（2）由（1）知a1n＝3n－2 1. 因为当n≥2时，3n－1≥2×3n－1， 所以3n－1 1≤2×13n－1. 于是a11＋a12＋…＋a1n≤1＋13＋…＋3n1－1＝321－31n<32. 所以a11＋a12＋…＋a1n<32.
考点2 数列与函数的综合应用
[例2] （1）已知F（x）＝f x＋12 －1是R上的奇函
数，an＝f（0）＋f n1＋f n2＋…＋f n－n 1＋f（1）（n∈
N*），则数列{an}的通项公式为（ ）
A.an＝n－1
B.an＝n
C.an＝n＋1
D.an＝n2
（2）已知函数f（x）＝log2 x，若数列{an}的各项使
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，a6和
a8是函数f（x）＝
15 4
ln
x＋
所以数列{bn}的前n项和b1＋b2＋…＋bn＝log4[f（a1）·
f（a2）·…·f（an）]＝log4（2×22×…×2n）＝ log421＋2＋…＋n＝12×（1＋2＋…＋n）＝n（n4＋1）.
答案：n（n4＋1）
得2，f（a1），f（a2），…，f（an），2n＋4成等差数
列，则数列{an}的前n项和Sn＝
.
解析：（1）因为F（x）＝f x＋12－1是R上的奇函数， 所以F（－x）＝－F（x）， 故f 12－x＋f 12＋x＝2（x∈R），（*） 令x＝0，得f 12＝1. 令t＝12－x，则12＋x＝1－t（t∈R）， （*）式可化为f（t）＋f（1－t）＝2（t∈R）.
因此{an}的通项公式为an＝3n－2 1.
（2）由（1）知a1n＝3n－2 1. 因为当n≥2时，3n－1≥2×3n－1， 所以3n－1 1≤2×13n－1. 于是a11＋a12＋…＋a1n≤1＋13＋…＋3n1－1＝321－31n<32. 所以a11＋a12＋…＋a1n<32.
考点2 数列与函数的综合应用
[例2] （1）已知F（x）＝f x＋12 －1是R上的奇函
数，an＝f（0）＋f n1＋f n2＋…＋f n－n 1＋f（1）（n∈
N*），则数列{an}的通项公式为（ ）
A.an＝n－1
B.an＝n
C.an＝n＋1
D.an＝n2
（2）已知函数f（x）＝log2 x，若数列{an}的各项使
1.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d>0，a6和
a8是函数f（x）＝
15 4
ln
x＋
数列的综合应用专题ppt课件
训
点 核
(3)设 bn＝3f(an)－g(an＋1)，求数列{bn}的最值及相应
练 高
心
效
突 破
的 n.
提 能
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题三 数 列
基 础 要
解 题 规
点
范
整 合
[自主解答] (1)设 f(x)＝a(x－1)2(a＞0)，
流 程
则直线 g(x)＝4(x－1)与 y＝f(x)图象的两个交点为
(1,0)，4a＋1，1a6.
考
∵ 4a2＋1a62＝4 17(a＞0)，∴a＝1，f(x)＝(x－1)2.
合
范 流 程
[考情一点通]
题型
解答题
难度 中档或偏上
高考试题的重点是应用裂项法、分组法
考
考查 与错位相减法求数列的和，同时考查考
训
点 核
内容 生应用转化与化归的数学思想方法解决
练 高
心 突
数学问题的能力.
效 提
破
能
菜单
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题三 数 列
基 础 要
解
【例 1】 (2013·济南一模)正项等比数列{an}的前 n 项
高考专题辅导与训练·数学(理科)
第一部分 专题三 数 列
基 二、梳理基础知识
础 要
解 题 规
点
数列求和的四种常用方法
范
整
合
(1)公式法
流 程
适合求等差数列或等比数列的前n项和．对等比数列
利用公式法求和时，一定注意公比q是否能取1.
(2)错位相减法
这是推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，主
数列的综合应用课件包括实际应用.ppt
（1）求数列{an}和 {bn} 的通项公式，
（2）设
cn
an bn
,求数列 {cn }的前n项和 Tn.
.
例题
练 习
3．已知等差数列an的前n项和为Sn
na1
n(n 1) 2
d，
用类比的方法，写出等比数列前n项积的表达式Tn __
二.等比、等差数列和的形式：
an成等差数列 an An B Sn An2 Bn
an(q 1)成等比数列 Sn A(qn 1)(A 0)
例1 等差数列{an}的首项a1>0, 前n项和为Sn,若Sm=Sk(m≠k), 问n为何值时，Sn最大？
1 1
n
பைடு நூலகம்
128
1
1 2
n
128
2
例3：设数列{an} 满足
a1 3a2 32 a3 3n1an
1 3
n, n
N*,
（1）求数列{an }的通项公式，
（2）设
bn
n an
，求数列{bn }的前n项和
Sn.
评：（1）知 Sn 求 an . . （2）错位相减法求和.
变式：设数列 {an}的前n项和为 Sn 2n2， {bn}为等比数列，且 a1 b1，b2 (a2 a1) b1.
a5
a1q 4
q
2
，
a6
a1q5
q 1
因为 a4，a5 1，a6 成等差数列，所以 a4 a6 2(a5 1)
即
q 3
q 1
2(q2
1) ，q 1 (q 2
1)
2(q2
1) .所以q
1 2
.
故
an
数列数列求和数列的综合应用课件
涉和衍射现象。
量子力学
数列在量子力学中用于描述微 观粒子的波函数和能量级。
数列在计算机科学中的应用
数据结构
数列是计算机科学中常见的数 据结构之一，用于存储有序的
元素集合。
算法设计
数列在算法设计中用于实现排 序、搜索和图算法等。
加密技术
数列在加密技术中用于生成加 密密钥和实现加密算法。
积的数列。
02
数列的求和
数列求和的定义
数列求和是对数列中所有项进行加法运算的过程。
数列求和是数学中一个重要的概念，它是对数列中所有项进行加法运算的过程。 通过数列求和，我们可以得到数列的和，从而了解数列的整体性质和特点。
等差数列的求和
等差数列是一种常见的数列，其求和 方法有多种。
等差数列是一种常见的数列，其特点 是每项与前一项的差是一个常数。等 差数列的求和方法有多种，其中最常 用的是利用等差数列的通项公式和项 数进行计算。
等比数列的应用实例解析
总结词
等比数列在金融、经济、生物等领域中有着 广泛的应用，如复利计算、人口增长等。
详细描述
等比数列是一种常见的数列，其相邻两项之 间的比是一个常数。在金融和经济领域中， 很多问题需要用到等比数列的知识，例如复 利计算、股票价格等。通过等比数列的应用 ，我们可以更好地理解这些问题的本质，从 而更好地进行决策。
本质，从而更好地进行预测和建模。
THANKS
谢谢您的观看
等比数列的求和
等比数列是一种常见的数列，其求和方法有多种。
等比数列是一种常见的数列，其特点是每项与前一项的比值是一个常数。等比数列的求和方法有多种，其中最常用的是利用 等比数列的通项公式和项数进行计算。
幂数列的求和
量子力学
数列在量子力学中用于描述微 观粒子的波函数和能量级。
数列在计算机科学中的应用
数据结构
数列是计算机科学中常见的数 据结构之一，用于存储有序的
元素集合。
算法设计
数列在算法设计中用于实现排 序、搜索和图算法等。
加密技术
数列在加密技术中用于生成加 密密钥和实现加密算法。
积的数列。
02
数列的求和
数列求和的定义
数列求和是对数列中所有项进行加法运算的过程。
数列求和是数学中一个重要的概念，它是对数列中所有项进行加法运算的过程。 通过数列求和，我们可以得到数列的和，从而了解数列的整体性质和特点。
等差数列的求和
等差数列是一种常见的数列，其求和 方法有多种。
等差数列是一种常见的数列，其特点 是每项与前一项的差是一个常数。等 差数列的求和方法有多种，其中最常 用的是利用等差数列的通项公式和项 数进行计算。
等比数列的应用实例解析
总结词
等比数列在金融、经济、生物等领域中有着 广泛的应用，如复利计算、人口增长等。
详细描述
等比数列是一种常见的数列，其相邻两项之 间的比是一个常数。在金融和经济领域中， 很多问题需要用到等比数列的知识，例如复 利计算、股票价格等。通过等比数列的应用 ，我们可以更好地理解这些问题的本质，从 而更好地进行决策。
本质，从而更好地进行预测和建模。
THANKS
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等比数列的求和
等比数列是一种常见的数列，其求和方法有多种。
等比数列是一种常见的数列，其特点是每项与前一项的比值是一个常数。等比数列的求和方法有多种，其中最常用的是利用 等比数列的通项公式和项数进行计算。
幂数列的求和
数列的综合应用PPT精品课件_1
∴ a＝32 a1a9，即(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)⇒d2＝a1d，∵d≠0，
∴a1＝d.① 又∵S5＝ ，a52∴5a1＋ 由①②解得：a1＝53 , d＝ .53∴an＝
·＋d553(2＝n4－(a11＋)×4＝d)253.n②.
3 5
2. 定义“等积数列”：如果一个数列从第二项起，每一项 与它前一项的积都等于同一个常数，那么这个数列就叫做 等积数列，这个常数叫做等积数列的“公积”．已知数列
bn n
3an ,
∴bn＝n·32n－2，
设{bn}的前n项和为Tn，则
设{bn}的前n项和为Tn，则 Tn＝1×30＋2×32＋3×34＋…＋n×32n－2，① 9Tn＝1×32＋2×34＋3×36＋…＋n×32n，② ①－②得－8Tn＝1＋32＋34＋…＋32n－2－n×32n
1 9n n 32n 19
1 22
,
,
an－an－1－1＝
3 2
1 2n1
,
将以上各式相加，得an－a1－(n－1)
∴an＝a1＋n－1
3 2
1 2
(1 1
1
2n1 1
)
1 2
(n
3 2
1)
(
1 2
1 22
3 (1 2
1 2n1
)
1 2n1
1 1.1
方法二(迭代法)：an＝1.1·an－1－b＝1.1·(1.1·an－2－b)－ b＝1.12an－2－b(1＋1.1)＝1.13an－3－b(1＋1.1＋1.12)＝… ＝1.1na－b(1＋1.1＋1.12＋…＋1.1n－1)＝1.1na－10(1.1n －1)b.
经典例题
题【型例一1】 建假立设等某差市或2等0比08数年列新模建型住解房应40用0题万平方米，其 中
数列的综合应用课件
nn＋1AP nn＋1 元． 所以本利和为 nA＋ ＝An＋ 2 2 P
工具
第五章
数列
栏目导引
(2)到第 12 个月的本利和为
1 100×12＋2×12×12＋1×5.1%＝1 597.8 元．
(3)设每月初应存入 x 元，则有
1 x12＋2×12×12＋1×5.1%＝2 000，x≈125.2.
－
解析： 依题意 1＋21＋22＋„＋2n 1≥100， 1－2n ∴ ≥100，∴2n≥101，∴n≥7， 1－2 则所求为 7 秒钟．
答案： B
工具
第五章
数列
栏目导引
4 ． 若 A 、 B 、 C 成 等 差 数 列 ， 则 直 线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 必 过 点 ________． 解析： ∵2B＝A＋C，∴A－2B＋C＝0， ∴直线Ax＋By＋C必过点(1，－2)．
an 1 1 解析： (1)∵an＋1＝ 且 a1＝1，∴ ＝1＋a ， an＋1 an＋1 n
1 1 ∴ － ＝1，∴a 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， n an＋1 an
1
1 1 ∴ ＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝ . an n
工具
第五章
数列
栏目导引
1 1 1 (2)证明：∵an＝n，an＋1＝ ，a ＝ ， n＋1 n＋2 n＋2 1 1 － an＋2－an＋1 n＋2 n＋1 n ∴弦 AnAn＋1 的斜率 kn＝ ＝ 1 ＝ ， 1 an＋1－an n＋2 － n＋1 n n＋1 n＋1n＋2－nn＋3 n ∴kn＋1－kn＝ － ＝ n＋3 n＋2 n＋3n＋2 ＝ 2 ＞0. n＋2n＋3
工具
第五章
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第五章
数列
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(2)到第 12 个月的本利和为
1 100×12＋2×12×12＋1×5.1%＝1 597.8 元．
(3)设每月初应存入 x 元，则有
1 x12＋2×12×12＋1×5.1%＝2 000，x≈125.2.
－
解析： 依题意 1＋21＋22＋„＋2n 1≥100， 1－2n ∴ ≥100，∴2n≥101，∴n≥7， 1－2 则所求为 7 秒钟．
答案： B
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第五章
数列
栏目导引
4 ． 若 A 、 B 、 C 成 等 差 数 列 ， 则 直 线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 必 过 点 ________． 解析： ∵2B＝A＋C，∴A－2B＋C＝0， ∴直线Ax＋By＋C必过点(1，－2)．
an 1 1 解析： (1)∵an＋1＝ 且 a1＝1，∴ ＝1＋a ， an＋1 an＋1 n
1 1 ∴ － ＝1，∴a 是以 1 为首项，1 为公差的等差数列， n an＋1 an
1
1 1 ∴ ＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＝ . an n
工具
第五章
数列
栏目导引
1 1 1 (2)证明：∵an＝n，an＋1＝ ，a ＝ ， n＋1 n＋2 n＋2 1 1 － an＋2－an＋1 n＋2 n＋1 n ∴弦 AnAn＋1 的斜率 kn＝ ＝ 1 ＝ ， 1 an＋1－an n＋2 － n＋1 n n＋1 n＋1n＋2－nn＋3 n ∴kn＋1－kn＝ － ＝ n＋3 n＋2 n＋3n＋2 ＝ 2 ＞0. n＋2n＋3
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第五章
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数列的综合运用
课前热身
1.已知数列－1、a1、a2、－4成等差数列，－1、b1、b2 、b3、－4是公比为实数的等比数列，则(a2－a1)b2的 值为
变 题 ： 设 { an} 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ， |q|>1 ， 令 bn=an+1,若数列{bn}有连续四项在集合
{-53,-23,19,37,82}中，则6q=
2.若{an}是各项均为正数的等差数列，{bn}是各项均为 正数的等比数列，a1=b1 ，a2n+1 =b2n+1，则an+1与bn+1 的 大小关系是 .
变题：某厂2019年的投资和利润逐月递增，投入资金逐 月增长的百分率相同，利润的逐月增加值相同，已知1 月的投资额与利润值相等，12月的投资额与利润值相等， 则全年总利润M与全年总投资额N的大小关系是 _________
⑴求q的值； ⑵设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其 前n项和 为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小， 并说明理由．
例题：
例 3. 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 且 a1=2 ， nan+1=Sn+n(n+1)． ⑴求数列{an}的通项公式； ⑵ 令Tn=Sn/2n，①当n为何正整数值时，Tn>Tn+1； ②若对一切正整数n，总有Tn≤m，m的取值范围．
练习：
1.已知a 、b是不相等的正数，且a 、x 、y 、b依 次成等差数列，a、m、n、b依次成等比数列， 则 (x+y)2 /mn 的取值范围是 .
2.首项为－24的等差数列，从第十项起开始为正
数，则公差d的取值范围
.
3.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn/3， n=1，2，3，……，求：
⑴a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式； ⑵a2+a4+a6+…a2n的值．
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docin/sanshengshiyuan doc88/sanshenglu
⑴当a3=3时，请在数列{an}中找一项am ，使得a3 、a5、 am成 等比数列；
⑵当a3=2时，若自然数n1、n2、…、nt 足
、…(t∈N※)满
a nt
5＜n1＜n2＜…＜nt ，使得a3、a5、、、… 、 成等 比数列，求数列{nt}的通项公式．
例题：
例2.已知{an}是公比为q的等比数列，a1,a3,a2且成 等差数列．
3.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,b∈R且
a≠b)的四个根组成首项为1/4的等差数列，则
a+b的值为
.
变题：
若关于x的方程x2-ax+8=0和x2-bx+8=0(a,b∈R且
a≠b)的四个根组成首项为1的等比数列，则数列{an}是等差数列，a5=6 ．
课前热身
1.已知数列－1、a1、a2、－4成等差数列，－1、b1、b2 、b3、－4是公比为实数的等比数列，则(a2－a1)b2的 值为
变 题 ： 设 { an} 是 公 比 为 q 的 等 比 数 列 ， |q|>1 ， 令 bn=an+1,若数列{bn}有连续四项在集合
{-53,-23,19,37,82}中，则6q=
2.若{an}是各项均为正数的等差数列，{bn}是各项均为 正数的等比数列，a1=b1 ，a2n+1 =b2n+1，则an+1与bn+1 的 大小关系是 .
变题：某厂2019年的投资和利润逐月递增，投入资金逐 月增长的百分率相同，利润的逐月增加值相同，已知1 月的投资额与利润值相等，12月的投资额与利润值相等， 则全年总利润M与全年总投资额N的大小关系是 _________
⑴求q的值； ⑵设{bn}是以2为首项，q为公差的等差数列，其 前n项和 为Sn，当n≥2时，比较Sn与bn的大小， 并说明理由．
例题：
例 3. 数 列 {an} 的 前 n 项 和 为 Sn ， 且 a1=2 ， nan+1=Sn+n(n+1)． ⑴求数列{an}的通项公式； ⑵ 令Tn=Sn/2n，①当n为何正整数值时，Tn>Tn+1； ②若对一切正整数n，总有Tn≤m，m的取值范围．
练习：
1.已知a 、b是不相等的正数，且a 、x 、y 、b依 次成等差数列，a、m、n、b依次成等比数列， 则 (x+y)2 /mn 的取值范围是 .
2.首项为－24的等差数列，从第十项起开始为正
数，则公差d的取值范围
.
3.数列{an}的前n项和为Sn，且a1=1，an+1=Sn/3， n=1，2，3，……，求：
⑴a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式； ⑵a2+a4+a6+…a2n的值．
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docin/sanshengshiyuan doc88/sanshenglu
⑴当a3=3时，请在数列{an}中找一项am ，使得a3 、a5、 am成 等比数列；
⑵当a3=2时，若自然数n1、n2、…、nt 足
、…(t∈N※)满
a nt
5＜n1＜n2＜…＜nt ，使得a3、a5、、、… 、 成等 比数列，求数列{nt}的通项公式．
例题：
例2.已知{an}是公比为q的等比数列，a1,a3,a2且成 等差数列．
3.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a,b∈R且
a≠b)的四个根组成首项为1/4的等差数列，则
a+b的值为
.
变题：
若关于x的方程x2-ax+8=0和x2-bx+8=0(a,b∈R且
a≠b)的四个根组成首项为1的等比数列，则数列{an}是等差数列，a5=6 ．