最新精编 【人教A版】2015版高中数学：选修4-5课本例题习题改编(含答案)
最新精编高中人教A版选修4-5高中数学拔高习题十三4.2和答案
温馨提示：课时提升作业十三用数学归纳法证明不等式举例一、选择题(每小题6分,共18分))的过程中,由n=k递推到n=k+1 1.用数学归纳法证明不等式++…+<(n≥2,n∈N+时不等式左边( )A.增加了一项B.增加了两项和C.增加了B中两项但减少了一项D.以上各种情况均不对【解析】选 C.因为n=k时,左边=++…+,n=k+1时,左边=++…+++,所以增加了两项和,少了一项.的正整数n都成立”时,第一2.(2016·淮南高二检测)用数学归纳法证明“2n>n2+1对于n≥n应取( )步证明中的起始值nA.2B.3C.5D.6【解析】选C.当n≤4时,2n<n2+1;应取5.当n≥5时,2n>n2+1.于是n【补偿训练】用数学归纳法证明2n≥n2(n≥5,n∈N)成立时第二步归纳假设的正确写法是+( )A.假设n=k时命题成立)时命题成立B.假设n=k(k∈N+C.假设n=k(k≥5)时命题成立D.假设n=k(k>5)时命题成立,【解析】选C.由题意知n≥5,n∈N+所以应假设n=k(k≥5)时命题成立.3.(2016·长春高二检测)证明1+++…+>(n∈N*),假设当n=k时成立,当n=k+1时,左端增加的项数为( )A.1项B.k-1项C.k项D.2k项【解析】选D.当n=k时,不等式左端为1+++…+,当n=k+1时,不等式左端为1+++…+++…+,左端增加了+…+,共2k项.二、填空题(每小题6分,共12分))”时,第一步的验证为____________.4.用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N+【解析】当n=1时,21+1≥12+1+2,即4≥4成立.答案:21+1≥12+1+25.(2016·南昌高二检测)已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*都成立,则a=______,b=______,c=________.【解析】当n=1时,3a-3b+c=1,当n=2时,18a-9b+c=7,当n=3时,81a-27b+c=34,解得,a=,b=c=.答案:三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2016·广州高二检测)证明:1+++…+≥(n∈N*).【证明】(1)当n=1时,不等式为1≥1,显然成立.(2)假设当n=k时不等式成立,即1+++…+≥.那么,当n=k+1时,1+++…++≥+,而+-==>0,即+>,所以1+++…++≥,即当n=k+1时不等式也成立.综合(1)(2)得,不等式对一切正整数n都成立.).7.(2016·济南高二检测)求证:+++…+>(n≥2,n∈N+【解题指南】本题由n=k到n=k+1时的推证过程中,n=k时,首项是,尾项是,分母是从k+1开始的连续正整数,因而当n=k+1时,首项应为,尾项是,与n=k时比较,后面增加,,共三项,而不只是增加一项,且还减少了一项.【证明】(1)当n=2时,左边=+++=>,不等式成立.(2)假设n=k(k≥2,k∈N)时,不等式成立,+即++…+>,则当n=k+1时,++…++++=++…++>+>+=+=.所以当n=k+1时,不等式也成立.由(1)(2),知原不等式对一切n ≥2且n ∈N +都成立. 8.数列{a n }满足S n =2n-a n (n ∈N +). (1)计算a 1,a 2,a 3,a 4,并由此猜想通项公式a n . (2)用数学归纳法证明(1)中的猜想.【解析】(1)a 1=1,a 2=,a 3=,a 4=,由此猜想a n =(n ∈N +).(2)当n=1时,a 1=1,结论成立. 假设n=k(k ≥1)时,结论成立,即a k =,那么当n=k+1时,a k+1=S k+1-S k =2(k+1)-a k+1-2k+a k =2+a k -a k+1. 所以2a k+1=2+a k ,所以a k+1===.这表明当n=k+1时,结论成立. 所以a n =(n ∈N +).一、选择题(每小题5分,共10分)1.用数学归纳法证明:1+++…+<n(n ∈N +且n>1)第一步验证n=2时,左边的项为 ( )A.1B.1+C.D.1++【解析】选D.当n=2时,左边最后一项为=,所以左边的项为1++.2.(2016·济南高二检测)已知数列的前n 项和为S n ,且S n =2n-a n (n ∈N *),若已经算出a 1=1,a 2=,则猜想a n = ( )A. B. C.D.【解析】选D.因为a 1=1,a 2=,由S 3=1++a 3=6-a 3,所以a 3=,同理,a 4=.猜想,得a n =.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·太原高二检测)在△ABC 中,不等式++≥成立;在四边形ABCD 中,不等式+++≥成立;在五边形ABCDE 中,不等式++++≥成立.猜想在n 边形A 1A 2…A n 中,类似成立的不等式为__. 【解析】由题中已知不等式可猜想:+++…+≥(n ≥3且n ∈N *).答案:+++…+≥(n ≥3且n ∈N *)4.设a,b 均为正实数,n ∈N +,已知M=(a+b)n ,N=a n +na n-1b,则M,N 的大小关系为_.【解析】由贝努利不等式(1+x)n >1+nx(x>-1,且x ≠0,n>1,n ∈N +),知当n>1时,令x=,所以>1+n ·,所以>1+n ·,即(a+b)n >a n +na n-1b,当n=1时,M=N,故M ≥N.答案:M ≥N三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·苏州高二检测)已知函数f(x)=x 3-x,数列{a n }满足条件:a 1≥1,且a n+1≥f ′(a n +1),证明:a n ≥2n -1(n ∈N +).【证明】由f(x)=x 3-x,得f ′(x)=x 2-1. 因此a n+1≥f ′(a n +1)=(a n +1)2-1=a n (a n +2). (1)当n=1时,a 1≥1=21-1,不等式成立.(2)假设当n=k(k ≥1)时,不等式成立,即a k ≥2k -1. 当n=k+1时,a k+1≥a k (a k +2)≥(2k -1)(2k -1+2)=22k -1. 又k ≥1,所以22k ≥2k+1,所以当n=k+1时,a k+1≥2k+1-1,即不等式成立. 根据(1)和(2)知,对任意n ∈N +,a n ≥2n -1都成立. 6.在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=a n +2n +1(n ∈N +). (1)求证{a n -2n }为等差数列.(2)设数列{b n }满足b n =2log 2(a n +1-n).(n ∈N +)证明:…>(n ∈N +).【证明】(1)由a n+1=a n +2n +1得 (a n+1-2n+1)-(a n -2n )=1, 因此{a n -2n }是等差数列.(2)a n -2n =(a 1-2)+(n-1)=n-1,即a n =2n +n-1, b n =2log 2(a n +1-n)=2n. 下面用数学归纳法证明···…·>.①当n=1时,左端=>=右端,不等式成立;②假设n=k(k≥1)时不等式成立,即···…·>,当n=k+1时,···…··>·==>.都成立. 由①②知不等式···…·>对于一切n∈N+。
【人教A版】高中数学(选修4-5)：全册配套课堂练习题(附答案)
第二讲证明不等式的基本方法1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式，通过综合应用加深对不等式基本性质基本定理的理解．2．通过一些简单问题了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．,利用代数恒等变换以及放大、缩小方法是证明不等式的常用方法，例如，比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等，在很多情况下需要一些前人为我们创造的技巧，对于专门从事某些数学领域研究的人们而言，掌握这些技巧是极为重要的．但是，对大多数学习不等式的人来说，常常很难从这些复杂的代数恒等变换中看到数学的本质，对他们更为重要的是理解这些不等式的数学思想和背景．所以，本专题尽力使用几何或其他方法来证明这些不等式，使学生较为容易地理解这些不等式以及证明的数学思想，不对恒等变换的难度特别是一些技巧做更多的要求，不希望不等式的教学陷在过于形式化的和复杂的恒等变换的技巧之中．2．1 比较法1．了解用作差比较法证明不等式．2．了解用作商比较法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．作差法：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：a＞b⇔a－b________0a＝b⇔a－b________0a＜b⇔a－b________0答案：＞＝＜思考1 比较两个代数式值的大小：x2与x2－x＋1.解析：当x＝1时，x2＝x2－x＋1；当x＞1时，x2＞x2－x＋1；当x＜1时，x2＜x2－x＋1.2．作商法：由于当b ＞0时，a ＞b ⇒ab ＞1，因此要证明a ＞b (b ＞0)，可以转化为证明与之等价的a b＞1(b ＞0)，这种证明方法即为作商法．思考2 求证：1618＞1816.证明：∵16181816＝256332＝⎝ ⎛⎭⎪⎫27348＝⎝ ⎛⎭⎪⎫128818＞1，∴1618＞1816.一层练习1．设m ＝a ＋2b ，n ＝a ＋b 2＋1，则( ) A ．m ＞n B ．m ≥n C ．m ＜n D ．m ≤n 答案：D2．已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．c ≥b ＞aB ．a ＞c ≥bC ．c ＞b ＞aD ．a ＞c ＞b 答案：A3．已知下列不等式：①x 2＋3＞2x (x ∈R)；②a 5＋b 5＞a 3b 2＋a 2b 3(a ，b ∈R)；③a 2＋b 2≥2(a －b －1)．其中正确的个数为( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 答案：C4.2a1＋a2________1(填“≥”“≤”“>”或“<”)． 答案：≤二层练习5．若a ＞b ，则代数式a 3＋a 2b 与ab 2＋b 3的大小关系是( )A ．a 3＋a 2b ＜ab 2＋b 3B ．a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3C ．a 3＋a 2b ＝ab 2＋b 3D ．不能确定解析：∵a ＞b ，∴(a 3＋a 2b )－(ab 2＋b 3)＝(a 3－b 3)＋(a 2b －ab 2)＝(a －b )(a 2＋ab ＋b 2)＋ab (a －b )＝(a －b )·(a ＋b )2≥0，∴a 3＋a 2b ≥ab 2＋b 3.答案：B6．设0<2a <1，M ＝1－a 2，N ＝1＋a 2，P ＝11－a ，Q ＝11＋a ，那么( )A ．Q <P <M <NB ．M <N <Q <PC ．Q <M <N <PD ．M <Q <P <N 答案：C7．若a ＞b ＞0，下列各式中恒成立的是( ) A.2a ＋b a ＋2b ＞a b B.b 2＋1a 2＋1＞b 2a 2 C ．a ＋1a ＞b ＋1bD ．a a ＜a b答案：B8．设a ，b 均为正数，且a ≠b ，则a a b b 与a b b a的大小关系是______________．答案：a a b b ＞a b b a9.6－22与5－7的大小关系是________________________________________________________________________．答案：(6－22)＞(5－7)10．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2－4a ，若P ＞Q ，则实数a ，b 满足的条件为________．解析：P －Q ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2.∵P ＞Q ，P －Q ＞0.∴ab ≠1或a ≠－2.答案：ab ≠1或a ≠－211．若a ，b 均为正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2b 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a 12≥a ＋b . 证明：证法一 左边－右边＝a b ＋ba－(a ＋b ) ＝（a ）3＋（b ）3－（a ＋b ）abab＝（a ＋b ）[（a ）2－2ab ＋（b ）2]ab＝（a ＋b ）（a －b ）2ab，因为a ＋b ＞0，ab ＞0，(a －b )2≥0，所以ab＋ba－(a＋b)≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法二左边－右边＝ab＋ba－(a＋b)＝⎝⎛⎭⎪⎫ab－b＋⎝⎛⎭⎪⎫ba－a＝a－bb＋b－aa＝（a－b）（a－b）ab ＝（a＋b）（a－b）2ab≥0，所以ab＋ba≥a＋b.证法三左边右边＝ab＋baa＋b＝（a）3＋（b）3ab（a＋b）＝a＋b－abab＝1＋（a－b）2ab≥1，所以ab＋ba≥a＋b.三层练习12．已知a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.证明：∵2a3－b3－(2ab2－a2b)＝(2a3－2ab2)＋(a2b－b3)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a＋b)(a－b)(2a＋b)．又∵a≥b>0，∴a＋b>0，a－b≥0，2a＋b>0，∴(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0，∴2a3－b3－2ab2－a2b≥0，∴2a3－b3≥2ab2－a2b.13．设不等式|2x－1|<1的解集为M.(1)求集合M；(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．解析：(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，解得 0<x<1.所以M＝{x|0<x<1}．(2)由(1)和a，b∈M可知0<a<1，0<b<1，所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)>0.故ab＋1>a＋b.14．设a，b是非负实数，求证：a3＋b3≥ab(a2＋b2)．证明：由a，b是非负实数，作差得a3＋b3－ab(a2＋b2)＝a2a(a－b)＋b2b(b－a)＝(a－b)[(a)5－(b)5]．当a≥b时，a≥b，从而(a)5≥(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]≥0；当a＜b时，a＜b，从而(a)5＜(b)5，得(a－b)·[(a)5－(b)5]＞0.所以a3＋b3≥ab(a2＋b2)．比较法是证明不等式的一种最基本、最常用的方法，比较法除了课本中介绍的作差比较法(即利用a＞b⇔a－b＞0)，还有作商比较法(即要证明a＞b，而b＞0，只要证明ab＞1)．作差比较法的基本步骤是：作差、变形、判断符号．变形是关键，目的在于能判断差的符号，而不必考虑差的具体值是多少．为便于判断差式的符号，通常将差式变形为常数或几个因式的积、商形式或平方和形式．当所得的差式是某个字母的二次三项式时，则常用判别式法判断符号．变形方法常用分解因式、通分、配方、有理化等．多项式不等式、分式不等式或对数不等式常用作差比较法证明．作商比较法的基本步骤是：作商、变形、判断商值与1的大小，适用于两边都是正值的幂或积的形式的不等式．其中判断差值的正负及商值与1的大小是用比较法证明不等式的难点．判断过程应详细叙述．用比较法证明不等式时，当差式或商式中含有字母时，一般需对字母的取值进行分类讨论．习题课 不 等 式1．若a ，b ， c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，那么( ) A ．a －c ＞b －d B ．ac ＞bd C ．－a d ＞－b cD ．a －d ＞b －c 答案: D2．若1a <1b<0，则下列等式：①1a ＋b <1ab；②|a |＋b >0； ③a －1a >b －1b；④ln a 2>ln b 2.其中，正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案: C3．若a ，b ∈R ，则不等式：①a 2＋3>2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2中一定成立的是( )A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④ 答案: C4．若x >54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最小值为( )A ．－3B ．2C ．5D ．7答案: D5．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( )A.14B ．1C ．4D ．8 答案: C6．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，表达式3x ＋27y＋1的最小值为( ) A ．3 B ．5 C ．1 D ．7 答案: D7．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的最小值为________． 答案: 68．若正实数x ，y ，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x >0，y >0，2x ＋y ＋6＝xy 得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22(xy )－6≥0. ∴(xy －32)(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0， ∴xy ≥32， 即xy ≥18.∴xy 的最小值为18. 答案：189．(2014·上海高考文科)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋a ，x ≤0，x ＋1x，x ＞0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为______．解析：当时x ＞0，f (x )＝x ＋1x≥2，若f (0)是f (x )的最小值，则f (0)＝a ≤2.答案：(－∞，2]．10．(2014·辽宁卷)对于c ＜0，当非零实数a ，b 满足4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0且使|2a ＋b |最大时，1a ＋2b ＋4c的最小值为______．解析：因为4a 2－2ab ＋b 2－c ＝0，所以(2a ＋b )2－c ＝6ab ＝3×2ab ≤3×（2a ＋b ）24，所以(2a ＋b )2≤4c ，当且仅当b ＝2a ，c ＝4a 2时，|2a ＋b |取得最大值． 故1a ＋2b ＋4c ＝2a ＋1a2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12－1，其最小值为－1 答案：－111．(2014·湖北卷)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某段车流量F (单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/时)与车流量速度v (假设车辆以相同速度v 行驶，单位：米/秒)、平均车长l (单位：米)的值有关，其公式为F ＝76 000vv 2＋18v ＋20l .(1)如果不限定车型，l ＝6.05，则最大流量为______辆/时；(2)如果限定车型，l ＝5，则最大流量比(l )中的作答车流量增加______辆/时． 解析：(1)依题意知，l ＞0，v ＞0，所以当l ＝6.05时，F ＝76 000v v 2＋18v ＋12l ＝76 000v ＋121v＋18≤76 0002v ·121v＋18＝1 900，当且仅当v ＝11时，取等号． (2)当l ＝5时，F ＝76 000v v ＋18v ＋100≤76 000v ＋100v＋18≤2 000， 当且仅当v ＝10时，取等号，此时比(l )中的最大车流量增加100辆/时．答案：(1)1 900 (2)10012．已知x ，y ，z 都为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1. 求证：(x ＋y )(y ＋z )≥2.证明：由已知得xz ＞0，y (x ＋y ＋z )＞0. 又xyz (x ＋y ＋z )＝1，所以(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝xz ＋y (x ＋y ＋z )≥2xz ·y （x ＋y ＋z ）＝2， 即(x ＋y )(y ＋z )≥2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xz ＝y （x ＋y ＋z ），xyz （x ＋y ＋z ）＝1时取等号．13．(1)已知x >1，求函数y ＝x 2x －1的最小值；(2)若x <12，求函数y ＝2x ＋2＋12x －1的最大值．解析：(1)y ＝x 2x －1＝（x ＋1）（x －1）＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2. ∵x >1，∴x －1>0. ∴y ＝x －1＋1x －1＋2≥2（x －1）·1x －1＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立． ∴y min ＝4.(2)y ＝2x ＋2＋12x －1＝(2x －1)＋12x －1＋3.∵x <12，∴2x －1<0.即1－2x >0.∴y ＝2x ＋2＋12x －1＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤（1－2x ）＋11－2x ＋3≤－2（1－2x ）·1（1－2x ）＋3＝1.当且仅当1－2x ＝11－2x ，即x ＝0时，等号成立． ∴y max ＝1.14．如下图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．(1)现有可围36 m 长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？(2)若使每间虎笼面积为24 m 2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？解析：(1)设每间虎笼长为x m ，宽为y m ， 则由条件得4x ＋6y ＝36，即2x ＋3y ＝18， 设每间虎笼面积为S ，则S ＝xy .解法一 由于2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ，∴26xy ≤18，得xy ≤272，即S ≤272，当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝18，2x ＝3y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4.5，y ＝3， 故每间虎笼长为4.5 m ，宽为3 m 时，可使面积最大． 解法二 由2x ＋3y ＝18，得x ＝9－32y ，∵x ＞0，∴0＜y ＜6，S ＝xy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫9－32y y ＝32(6－y )·y ，∵0＜y ＜6，∴6－y ＞0， ∴S ≤32·⎣⎢⎡⎦⎥⎤（6－y ）＋y 22＝272， 当且仅当6－y ＝y ，即y ＝3时，等号成立，此时x ＝4.5，故每间虎笼长4.5 m ，宽3 m 时，可使面积最大．(2)由条件知S ＝xy ＝24，设钢筋网总长为l ，则l ＝4x ＋6y .∵2x ＋3y ≥22x ·3y ＝26xy ＝24， ∴l ＝4x ＋6y ＝2(2x ＋3y )≥48， 当且仅当2x ＝3y 时，等号成立．由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＝3y ，xy ＝24， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝4，故每间虎笼长6 m ，宽4 m 时，可使钢筋网总长最小．第一讲不等式和绝对值不等式不等式和绝对值不等式1．回顾和复习不等式的基本性质和基本不等式．2．理解绝对值的几何意义，并能利用绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|；(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|；(3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c，|x－c|＋|x－b|≥a.,在自然界中存在着大量的不等量关系和等量关系，不等关系和相等关系是基本的数学关系．它们在数学研究和数学应用中起着重要的作用．学习时注意适当联系实际，加深理解现实生活中的不等关系与相等关系．适当应用数形结合有利于解决问题．如函数的图象、集合的韦恩图、数集的数轴表示等．1．1 不等式1．1.1 不等式的基本性质1．回顾和复习不等式的基本性质．2．灵活应用比较法比较两个数的大小．3．熟练应用不等式的基本性质进行变形与简单证明．1．实数的运算性质与大小顺序的关系．数轴上右边的点表示的数总大于左边的点所表示的数，从实数的减法和在数轴上的表示可知：a＞b⇔a－b________；a＝b⇔a－b________；a＜b⇔a－b________．答案:＞0 ＝0 ＜0得出结论：要比较两个实数的大小，只要考查它们的差的符号即可．思考1 比较大小：x2＋3________x2＋1.答案:＞2.不等式的基本性质．(1)对称性：如果a ＞b ，那么b ＜a ；如果b ＜a ，那么a ＞b .(2)传递性：如果a ＞b ，且b ＞c ，那么a ＞c ，即a ＞b ，b ＞c ⇒a ＞c . (3)加法：如果a ＞b ，那么a ＋c ＞b ＋c ，即a ＞b ⇒a ＋c ＞b ＋c .推论：如果a ＞b ，且c ＞d ，那么a ＋c ＞b ＋d .即a ＞b ，c ＞d ⇒a ＋c ＞b ＋d .(4)乘法：如果a ＞b ，且c ＞0，那么ac ＞bc ；如果a ＞b ，且c ＜0，那么ac ＜bc .(5)乘方：如果a ＞b ＞0，那么a n ＞b n(n ∈N，且n ＞1)． (6)开方：如果a ＞b ＞0，那么n a ＞nb (n ∈N，且n ＞1)． 思考2 若a ＞b ，则有3＋a ____2＋b . 思考3 若a ＞b ＞0，则有3a ____2b . 答案: 2．思考2：＞ 思考3：＞一层练习1．设a ，b ，c ∈R 且a >b ，则( ) A ．ac >bc B.1a <1bC ．a 2>b 2D ．a 3>b 3答案: D2．(2014·四川高考理科)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a c ＞bd B.a c ＜b d C.a d ＞b c D.a d ＜b c解析：选D.因为c ＜d ＜0，所以－c ＞－d ＞0，即得1－d ＞1－c ＞0，又a ＞b ＞0.得a－d＞b－c，从而有a d ＜b c.答案：D3．比较大小：(x ＋5)(x ＋7)________(x ＋6)2. 答案：＜ 4．“a ＞b ”与“1a＞1b”同时成立的条件是________________________________________________________________________． 答案：b ＜0＜a二层练习5．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a ，且ac ＜0，那么下列选项中不一定成立的是( ) A ．ab ＞ac B ．c (b －a )＞0C ．cb 2＜ab 2D ．ac (a －c )＜0答案：C6．设角α，β满足－π2＜α＜β＜π2，则α－β的取值范围是( )A ．－π＜α－β＜0B ．－π＜α－β＜πC ．－π2＜α－β＜0D ．－π2＜α－β＜π2答案：A7．如果a <b <0，那么下列不等式成立的是( ) A.1a <1bB ．ab <b 2C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b答案：D8．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b ；④b a ＋ab>2.其中正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 答案：B9．已知a >b >0，则a b 与a ＋1b ＋1的大小是________．答案：a b >a ＋1b ＋110．已知a >0，b >0，则b 2a ＋a 2b 与a ＋b 的大小关系是________．答案：b 2a ＋a 2b ≥a ＋b三层练习11．设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥2”是“x ＋y ≥3”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件 答案：A12．设0<a <b <1，则下列不等式成立的是( ) A ．a 3>b 3B.1a <1bC ．a b>1 D ．lg(b －a )<0 答案：D13．(2014·山东高考理科)已知实数x ，y 满足a x ＜a y(0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1＞1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1) C ．sin x ＞sin yD ．x 3＞y 3解析：选D.由a x ＜a y(0＜a ＜1)知，x ＞y ，所以 A ．y ＝1x 2＋1在(－∞，0)递增，(0，＋∞)递减，无法判断 B ．y ＝ln(x 2＋1)在(－∞，0)递减，(0，＋∞)递增，无法判断 C ．y ＝s in x 为周期函数，无法判断D ．y ＝x 3在R 上为增函数，x 3＞y 3答案：D14．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b；②a c<b c；③log b (a －c )>log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________． A ．① B ．①② C ．②③ D ．①②③解析：根据不等式的性质构造函数求解． ∵a >b >1，∴1a <1b.又c <0，∴c a >c b，故①正确．构造函数y ＝x c.∵c <0，∴y ＝x c在(0，＋∞)上是减函数．又a >b >1，∴a c <b c，故②正确． ∵a >b >1，－c >0，∴a －c >b －c >1.∵a >b >1，∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )， 即log b (a －c )>log a (b －c )，故③正确． 答案：D1．不等关系与不等式．(1)不等关系强调的是关系，而不等式强调的则是表示两者不等关系的式子，可用“a＞b”，“a＜b”，“a≠b”，“a≥b”，“a≤b”等式子表示，不等关系可通过不等式来体现；离开不等式，不等关系就无法体现．(2)将不等关系熟练化为不等式是解决不等式应用题的基础，不可忽视．2．不等式的性质．对于不等式的性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一个性质的条件和结论，注意条件放宽和加强后，结论是否发生了变化；运用不等式的性质时，一定要注意不等式成立的条件，切不可用似乎、是或很显然的理由代替不等式的性质．特别提醒：在使用不等式的性质时，一定要搞清它们成立的前提条件．3．比较两个实数的大小．要比较两个实数的大小，通常可以归结为判断它们的差的符号(仅判断差的符号，至于确切值是多少无关紧要)．在具体判断两个实数(或代数式)的差的符号的过程中，常会涉及一些具体变形，如：因式分解、配方法等．对于具体问题，如何采用恰当的变形方式来达到目的，要视具体问题而定．【金版学案】2015-2016学年高中数学 第一讲 不等式和绝对值不等式讲末检测 新人教A 版选修4-5一、选择题(每小题5分，共60分)1．若1a ＜1b＜0，则下列结论不正确的是( )A ．a 2＜b 2B ．ab ＜b 2C.b a ＋a b＞2 D ．|a |－|b |＝|a －b | 答案: D2．若a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝2，则ab ＋1ab的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．2 2解析：由a ＞0，b ＞0，2＝a ＋b ≥2ab 得0＜ab ≤1，令t ＝ab ，则t ∈(0，1]．因为y ＝t ＋1t在(0，1]上为减函数，所以当t ＝1时，y min ＝2.答案：A 3．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，则( )A ．－1＜a ＜1B ．0＜a ＜2C ．－12＜a ＜32D ．－32＜a ＜12解析：∵(x －a )(x ＋a )＜1对任意实数x 成立，∴(x －a )(1－x －a )＜1对任意实数x成立，∴x 2－x －a 2＋a ＋1＞0对任意实数x 成立，∴1－4(－a 2＋a ＋1)＜0，∴－12＜a ＜32.答案：C4．已知a ，b ，c 满足c ＜b ＜a 且ac ＜0，则下列选项中不恒成立的是( ) A.b a ＞c a B.b －ac＞0 C.b 2c ＞a 2c D.a －c ac＜0 解析：∵c ＜b ＜a 且ac ＜0，∴a ＞0，c ＜0.由b ＞c ，a ＞0，即1a ＞0可得b a ＞c a .故A 恒成立．∵b ＜a ，∴b －a ＜0，又c ＜0，∴b －a c＞0.故B 恒成立．∵c ＜a ，∴a －c ＞0，又ac ＜0，∴a －cac＜0.故D 恒成立．当b ＝－2，a ＝1时，b 2＞a 2，而c ＜0，∴b 2c ＜a 2c，故C 不恒成立． 答案：C5．设a ，b ，c 均为正数，且2a＝log 12a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＝log 12b ，⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＝log 2c ，则( ) A ．a ＜b ＜c B ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c解析：依题意知a ＞0，b ＞0，c ＞0，故2a＞1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12b ＜1，0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12c＜1，∴log 12a ＞1，0＜log 12b ＜1，0＜log 2c ＜1，即0＜a ＜12，12＜b ＜1，1＜c ＜2，从而a ＜b ＜c .答案：A6．若x ∈(－∞，1)，则函数y ＝x 2－2x ＋22x －2有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最大值－1D ．最小值－1 答案：C7．若关于x 的不等式x ＋|x －1|≤a 有解，则实数a 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[2，＋∞) C ．(3，＋∞) D ．[4，5] 答案：A8．对任意实数x ，若不等式|x ＋1|－|x －2|＞k 恒成立，则k 的取值范围是( ) A ．k ＜3 B ．k ＜－3 C ．k ≤3 D ．k ≤－3 答案：B9．设a ＞b ＞c ，n ∈N ＋，且1a －b ＋1b －c ≥n a －c恒成立，则n 的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：因为原不等式⇔n ≤⎝⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －c )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c (a －b ＋b －c )恒成立， 所以n ≤⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c [（a －b ）＋（b －c ）]min＝4. 答案：C10．不等式|x |＞2x －1的解集为( ) A ．{x |x ＞2或x ＜－1} B ．{x |－1＜x ＜2} C ．{x |x ＜1或x ＞2} D ．{x |1＜x ＜2} 解析：方法一 当x ＜1时，2x －1＜0，不等式恒成立，故选C. 方法二 |x |＞2x －1]⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2x －1，x ≥0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜21－x ]，x ＜0，解得x ＜1或x ＞2.答案：C11．已知命题p ：不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，命题q ：f (x )＝－(5－2m )x是减函数，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若不等式|x |＋|x －1|＞m 的解集为R ，则m ＜1，若函数f (x )＝－(5－2m )x是减函数， 则5－2m ＞1，则m ＜2，.故p ⇒q ，q ⇒ /p . 答案：A12．不等式|2x －log 2x |＜2x ＋|log 2x |的解集为( ) A ．{x |1＜x ＜2} B ．{x |0＜x ＜1} C ．{x |x ＞1} D ．{x |x ＞2}解析：因为|a －b |≤|a |＋|b |，其中等号成立的条件为ab ≤0，所以由原不等式成立得 2x ·log 2x ＞0，所以x ＞1. 答案：C二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}，则集合A ∩B ＝______________． 解析：由集合A ＝{x ∈R||x ＋3|＋|x －4|≤9}解出A ＝{x |－4≤x ≤5}，B ＝{x ∈R|x ＝4t ＋1t－6，t ∈(0，＋∞)}＝{x |x ≥ －2}；故A ∩B ＝{x |－2≤x ≤5}．答案：{x |－2≤x ≤5} 14．已知x 1·x 2·x 3·…·x 2012＝1，＝且x 1，x 2，…，x 2012都是正数，则(1＋x 1)(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)的最小值是________．解析：∵x 1是正数，∴1＋x 1≥2x 1，同理：1＋x 2≥2x 2，…，1＋x 2012≥2x 2012，各式相乘，得(1＋x 1)·(1＋x 2)·…·(1＋x 2012)≥22012x 1·x 2·…·x 2012＝22012.等号成立的条件为x 1＝x 2＝…＝x 2012＝1.答案：2201215．设a ＞b .①ac 2＞bc 2；②2a ＞2b ；③1a ＜1b；④a 3＞b 3；⑤a 2＞b 2.其中正确的结论序号有________．解析：若c ＝0，①错；若a ，b 异号或a ，b 中有一个为0，则③⑤错． 答案：②④16．若a ＋1＞0，则不等式x ≥x 2－2x －ax －1的解集为________．解析：由题意得x －x 2－2x －ax －1≥0∴x ＋ax －1≥0.又a ＋1＞0，∴－a ＜1， ∴x ≤－a 或x ＞1，∴原不等式的解集为(－∞，－a ]∪(1，＋∞)． 答案：(－∞，a ]∪(1，＋∞)三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(本小题满分11分)解不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1.解析：∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪x －2x ＞1，∴x －2x ＞1或x －2x ＜－1，∴x 2－x －2x ＞0或x 2＋x －2x＜0，∴－1＜x ＜0或x ＞2或x ＜－2或0＜x ＜1.∴原不等式的解集为{x |x ＜－2或－1＜x ＜0或0＜x ＜1或x ＞2}．18．(本小题满分11分)设关于x 的不等式lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a . (1)当a ＝1时，解这个不等式；(2)当a 为何值时，这个不等式的解集为R? 解析：(1)当a ＝1时，原不等式可变形为 |x ＋3|＋|x －7|＞10，可解得其解集为 {x |x ＜－3或x ＞7}．(2)∵|x ＋3|＋|x －7|≥|x ＋3－(x －7)|＝10对任意x ∈R 都成立，∴lg(|x ＋3|＋|x －7|≥lg10＝1对任意x ∈R 都成立，即lg(|x ＋3|＋|x －7|)＞a 当且仅当a ＜1时对任意x ∈R 都成立．19．(本小题满分12分)求函数y ＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值． 解析：∵x ＞3，∴x －3＞0，∴y ＝1x －3＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －3＋x －3＋3≥21x －3·（x －3）＋3＝5，当且仅当1x －3＝x －3，即x ＝4时取等号． ∴当x ＝4时，函数的最小值为5.20．(本小题满分12分)设f (x )是定义在[－1，1]上的奇函数，g (x )的图像与f (x )的图像关于直线x ＝1对称，且当x ∈[2，3]时，g (x )＝－x 2＋4x －4.(1)求f (x )的解析式；(2)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|＜2|x 2－x 1|； (3)对于任意的x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2，求证：|f (x 2)－f (x 1)|≤1. (1)解析：由题意知f (x ＋1)＝g (1－x )⇔ f (x )＝g (2－x )．当－1≤x ≤0时， 2≤2－x ≤3，∴f (x )＝－(2－x )2＋4(2－x )－4＝－x 2； 当0＜x ≤1时，－1≤－x ＜0，∴f (－x )＝－x 2.∵f (x )是奇函数，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2（－1≤x ≤0），x 2（0＜x ≤1）.(2)证明：∵当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0＜x 1＋x 2＜2，∴|f (x 2)－f (x 1)＝|x 22－x 21|＝|(x 2－x 1)(x 2＋x 1)|＜2|x 2－x 1|.(3)证明：当x 1，x 2∈[0，1]且x 1≠x 2时，0≤x 21≤1，0≤x 22≤1，∴－1≤x 22－x 21≤1，即|x 22－x 21|≤1，∴|f (x 2)－f (x 1)|＝|x 22－x 21|≤1.21．(本小题满分12分)已知在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为(0，－1)，B 点在直线y ＝－3上，M 点满足MB →∥OA →，MA →·AB →＝MB →·BA →，M 点的轨迹为曲线C.(1)求C 的方程；(2)P 为C 上的动点，l 为C 在P 点处的切线，求O 点到l 的距离的最小值．解析：(1)设M (x ，y )，由已知得B (x ，－3)．又A (0，－1)，所以MA →＝(－x ，－1－y )，MB →＝(0，－3－y )，AB →＝(x ，－2)．再由题意可知(MA →＋MB →)·AB →＝0，即(－x ，－4－2y )·(x ，－2)＝0.所以曲线C 的方程为y ＝14x 2－2.(2)设P (x 0，y 0)为曲线C ：y ＝14x 2－2上一点．因为y ′＝12x ，所以l 的斜率为12x 0.所以直线l 的方程为y －y 0＝12x 0(x －x 0)，即x 0x －2y ＋2y 0－x 20＝0.所以O 点到l 的距离d ＝|2y 0－x 20|x 20＋4.又y 0＝14x 20－2，所以d ＝12x 20＋4x 20＋4＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫x 20＋4＋4x 20＋4≥2，当且仅当x 0＝0时，等号成立，所以O 点到l 的距离的最小值为2.22．(本小题满分12分)经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y (千辆/时)与汽车的平均速度v (千米/时)之间的函数关系为：y ＝920vv 2＋3v ＋1 600(v ＞0)．(1)若要求在该时段内车流量超过10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？ (2)在该时段内，当汽车的平均速度v 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少(结果可保留分数形式)?解析：(1)由条件得920vv 2＋3v ＋1 600＞10，整理得v 2－89v ＋1 600＜0，即(v －25)(v －64)＜0，解得25＜v ＜64；(2)依题意，y ＝9203＋⎝ ⎛⎭⎪⎫v ＋1 600v ≤9203＋2 1 600＝92083，当且仅当v ＝1 600v ，即v ＝40时上式等号成立， ∴y max ＝92083(千辆/时)．第三讲柯西不等式与排序不等式1．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．2．认识柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．(1)柯西不等式向量形式：|α||β|≥|α·β|.(2)(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2.(3) （x1－x2）2＋（y1－y2）2＋（x2－x3）2＋（y2－y3）2≥（x1－x3）2＋（y1－y3）2(通常称作平面三角不等式)．3．用参数配方法讨论柯西不等式的一般情况：∑n,i＝1a2i·∑n,i＝1b2i≥(∑n,i＝1a i b i)2.4．用向量递归方法讨论排序不等式．,1．在本讲教学中，教师应引导学生了解重要的不等式都有深刻的数学意义和背景，例如本讲给出的不等式大都有明确的几何背景．学生在学习中应该把握这些几何背景，理解这些不等式的实质．2．准确记忆柯西不等式的向量形式以及其他几何形式，深刻理解其几何意义，综合提升数学应用能力．3．1 二维形式的柯西不等式1．利用柯西不等式证明不等式．2．能够利用柯西不等式求一些特定函数的最值．3．认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义．1．定理1(二维形式的柯西不等式的代数形式)：设a，b，c，d均为实数，则____________________________________，其中等号当且仅当________时成立．答案：(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2ad＝bc2．定理2(柯西不等式的向量形式)：设α，β为两个平面向量，则________，其中等号当且仅当两个向量__________________时成立．答案：|α||β|≥|α·β|方向相同或相反(即两个向量共线)思考1 几何意义：设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的终点分别为A (a ，b )，B (c ，d )，那么它们的数量积α·β＝________，而|α|＝a 2＋b 2，|β|＝c 2＋d 2，所以柯西不等式的几何意义就是________，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反(即两个向量共线)时成立．答案：ac ＋bd |α||β|≥|α·β|3．定理3(三角形不等式)：设x 1，y 1，x 2，y 2，x 3，y 3为任意实数，则________________________________________________________________________．答案：（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2思考2 设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋d n，则P 与Q 的大小关系是________．解析：由柯西不等式，得P ＝am ·b m ＋nc ·dn ≤am ＋nc ·b m ＋dn＝Q ， ∴P ≤Q . 答案：P ≤Q一层练习1．已知a ，b ∈R ，a 2＋b 2＝4，则3a ＋2b 的最大值为( ) A ．4 B ．213 C ．8 D ．9 答案：B2．设x ，y ，m ，n >0，且m x ＋ny＝1，则u ＝x ＋y 的最小值是( ) A ．(m ＋n )2B.m ＋nC ．m ＋nD ．(m ＋n )2答案：A3．已知a ，b >0，且a ＋b ＝1，则12a ＋1b 的最小值为________．解析：∵12a ＋1b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋1b ＝[(a )2＋(b )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·12a ＋b ·1b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋12＝32＋ 2.答案：32＋24．若3x ＋4y ＝2，求x 2＋y 2的最小值及最小值点．解析：由柯西不等式有(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4，∴x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y 4时等号成立，为求最小值点，需解⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y 4，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2的最小值为425，最小值点为⎝ ⎛⎭⎪⎫625，825.二层练习5．若直线x a ＋y b＝1通过点M (cos α，sin α)，则( ) A ．a 2＋b 2≤1 B ．a 2＋b 2≥1 C.1a 2＋1b 2≤1 D.1a 2＋1b2≥1答案：D6．函数y ＝21－x ＋2x ＋1的最大值为______． 答案：37．已知2x 2＋y 2＝1，则2x ＋y 的最大值是______． 答案：38．已知x ，y ∈R ，且xy ＝1，则⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1y 的最小值为( )A ．4B ．2C ．1 D.14答案：A三层练习9．已知a 1－b 2＋b 1－a 2＝1，求证：a 2＋b 2＝1.证明：由柯西不等式，得(a 1－b 2＋b 1－a 2)2≤[a 2＋(1－a 2)][b 2＋(1－b 2)]＝1. 当且仅当b1－a2＝1－b2a时，上式取等号，∴ab ＝1－a 2·1－b 2，a 2b 2＝(1－a 2)(1－b 2)．于是a 2＋b 2＝1.10．设a ＋b ＝12，求证：a 8＋b 8≥127.证明：a 8＋b 8＝12(12＋12)[(a 4)2＋(b 4)2]≥12(1×a 4＋1×b 4)2＝12(a 4＋b 4)2＝12·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 4＋b 4）2＝12×14{(12＋12)[(a 2)2＋(b 2)2]}2≥123(1×a 2＋1×b 2)2＝123(a 2＋b 2)2＝123·⎣⎢⎡⎦⎥⎤12（12＋12）（a 2＋b 2）2≥123×122(a ＋b )2＝127.∴原不等式成立．11．在半径为R 的圆内，求周长最大的内接长方形．解析：如图，设内接长方形ABCD 的长为x ，则宽为4R 2－x 2，于是长方形ABCD 的周长l ＝2(x ＋4R 2－x 2)＝2(1·x ＋1·4R 2－x 2)，由柯西不等式有l ≤2[x 2＋(4R 2－x 2)2]12(12＋12)12＝22·2R ＝42R ，等号成立⇔x 1＝4R 2－x 21⇔x ＝2R ，此时宽为4R 2－（2R ）2＝2R ，即长方形ABCD 为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R .1．二维形式的柯西不等式是柯西不等式的最简单形式，学习柯西不等式时要注意它的几种形式间是等价的，也要关注结构形式的变化对数值的要求．2．理解柯西不等式，就要认真理解代数推导过程和向量形式、三角形式的推导过程，并从形和数两方面来理解和记忆．另外，对等号“＝”取到的条件是要从推导过程来理解的．2．3 反证法与放缩法1．了解用反证法证明不等式．2．了解用放缩法证明不等式．3．提高综合应用知识解决问题的能力．1．反证法．(1)先________________，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)________的结论，以说明________不正确，从而证明原命题成立，我们称这种证明问题的方法为反证法．答案：假设要证的命题不成立矛盾假设(2)利用反证法证明不等式，一般有下面几个步骤：第一步，分清欲证不等式所涉及的条件和结论．第二步，做出与所证不等式________的假定．第三步，从____________出发，应用正确的推理方法，推出________结果．第四步，断定产生矛盾结果的原因在于开始所做的假定________，于是原证不等式________．答案:相反条件和假定矛盾不正确成立反证法经常用于证明否定性命题(结论中出现“不存在”“不可能”等字眼)、唯一性命题、结论中出现“至多”“至少”的命题、结论中出现“都是”“都不是”的命题、证明方法上直接证明较困难或在证明方向上从结论的反面着手较容易的命题．(3)用反证法证明不等式必须把握以下几点：①必须否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种情况，缺少任何一种可能的情况，反证法都是不完整的；②反证法必须从否定的结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推理论证．否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法；③推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与已知的事实相违背等．推导出的矛盾必须是明显的；④在使用反证法时，“否定结论”在推理论证中往往作为已知使用，可视为已知条件．(4)反证法中的数学语言．反证法适宜证明存在性问题、唯一性问题、带有“至少有一个”“至多有一个”等字样的问题，或者说“正难则反”，直接证明有困难时，常采用反证法，下面我们列举一些常见个以上思考1 已知a ＞b ＞0，求证：n a ＞nb (n ∈N 且n ＞1)．用反证法证明此题时第一步是：________．答案：假设n a ≤nb2．放缩法．(1)所谓放缩法，即是把要证的不等式一边适当地________(或________)，使之得出明显的不等量关系后，再应用不等量大、小的传递性，从而使不等式得到证明的方法．答案：放大 缩小(2)放缩法的主要理论依据． ①不等式的传递性；②等量加不等量为不等量；③同分子(分母)、异分母(分子)的两个分式大小的比较； ④基本不等式与绝对值不等式的基本性质； ⑤三角函数的有界性等． (3)使用放缩法的主要方法．放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往从要证明的结论考虑．常用的放缩法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用已知不等式、利用函数的性质进行放缩等．比如：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122； 将分子或分母放大(或缩小)：1k2＜1k （k －1），1k 2＞1k （k ＋1），1k ＜2k ＋k －1，1k＞2k ＋k ＋1( k ∈R，k ＞1)等．(4)对不等式而言，放缩的本质是“不等式的加强”，常见的放缩有下面四种类型：①直接放缩； ②裂项放缩；③利用数列或函数的单调性放缩； ④利用基本不等式放缩．思考2 对于任何实数x ，求证：x 2－x ＋1≥34.证明： 因为x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，所以x 2－x ＋1≥34.一层练习1．用反证法证明“若整系数一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)有有理根，那么a ，b ，c 中至少有一个偶数”时，下列假设中正确的是( )A ．假设a ，b ，c 都是偶数B ．假设a ，b ，c 都不是偶数C ．假设a ，b ，c 至多有一个偶数D ．假设a ，b ，c 至多有两个偶数 答案：B2．在求证“数列2，3，5不可能为等比数列”时最好采用( ) A ．分析法 B ．综合法 C ．反证法 D ．直接法 答案：C3．设M ＝1210＋1210＋1＋1210＋2＋…＋1211－1，则( )A ．M ＝1B ．M <1C ．M >1D ．M 与1大小关系不定 答案：B4．A ＝1＋12＋13＋ (1)与n (n ∈N *)的大小关系为________．解析：n ∈N *，当n ＝1时，A ＝n ＝1；当n >1时，A ＝1＋12＋13＋…＋1n >1＋12＋1＋13＋2＋…＋1n ＋n －1＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n －n －1)＝n .综上可知，A ≥n . 答案：A ≥n二层练习5．(2014.山东高考理科·T4)用反证法证明命题：“已知a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根．B ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有一个实根．C ．方程x 2＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 2＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根．解析：本题考查了反证法，从问题的反面出发进行假设．一元二次方程根的个数为0，1，2.因此至少有一个实根包含1根或两根，它的反面为0根．选A.答案：A6．设a ，b ，c ∈R ＋，则三个数a ＋1b ，b ＋1c ，c ＋1a( )A ．都大于2B ．都小于2C ．至少有一个不大于2D ．至少有一个不小于2 答案：D7．A ＝1＋122＋132＋…＋1n2与2的大小关系是________．解析：A ＝1＋122＋132＋…＋1n 2<1＋11×2＋12×3＋…＋1（n －1）n ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＝2－1n <2. 答案：A ＜28．已知x ，y >0，且x ＋y >2.证明：1＋x y ，1＋y x中至少有一个小于2.证明：(反证法)设1＋x y ≥2，1＋y x≥2，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ≥2y ， ①1＋y ≥2x . ②由①②式可得2＋x ＋y ≥2(x ＋y )， 即x ＋y ≤2与题设矛盾． ∴1＋x y ，1＋yx中至少有一个小于2.9．若数列{x n }的通项公式为x n ＝nn ＋1，求证：x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1<1－x n1＋x n. 证明：∵1－x n1＋x n＝1－nn ＋11＋n n ＋1＝12n ＋1，x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1＝12×34×…×2n －12n <13×35×…×2n －12n ＋1＝12n ＋1. ∴x 1·x 3·x 5·…·x 2n －1< 1－x n1＋x n.10．(2014·佛山一模·节选)数列{a n }的通项公式a n ＝4n (n ＋1)． (1)记1c n ＝1a n ＋1a n ＋1，求证：对一切正整数n ，有1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n <38；(2)求证：对一切正整数n ，有1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27. (1)证明：证法一1a n ＝14n 2＋4n ＝14(1n －1n ＋1)， 所以1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n ＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2]＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. 证法二1c n ＝1a n ＋1a n ＋1＝14n （n ＋1）＋14（n ＋1）（n ＋2）＝12n （n ＋2）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.于是1c 1＋1c 2＋1c 3＋…＋1c n＝14[⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋(12－14)＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＋(1n －1n ＋2)] ＝14(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)<38. (2)证明：所证明的不等式为 17＋123＋147＋…＋14n 2＋4n －1<27. 证法一 首先证明14n 2＋4n －1<27(1n －1n ＋1)(n ≥2)．∵14n 2＋4n －1<27⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1⇔14n 2＋4n －1<27n 2＋7n⇔7n 2＋7n <8n 2＋8n －2⇔n 2＋n －2>0⇔(n －1)·(n ＋2)>0.∴当n ≥2时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋27[⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1]<17＋27×12＝27. 当n ＝1时，17<27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.方法二14n 2＋4n －1<14n 2＋4n －3＝1（2n －1）（2n ＋3）＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3.当n ≥3时，17＋123＋…＋14n 2＋4n －1<17＋123＋14·[⎝ ⎛⎭⎪⎫15－19＋⎝ ⎛⎭⎪⎫17－111＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －3－12n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋3]<17＋123＋14⎝ ⎛⎭⎪⎫15＋17<17＋114＋114＝27.当n ＝1时，17<27；当n ＝2时，17＋123<17＋17＝27.综上所述，对一切正整数n ，有 1a 1－1＋1a 2－1＋1a 3－1＋…＋1a n －1<27.三层练习11．若数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *，求证：对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n<74. 证明：①当n ＝1时，1a 1＝1<74，∴原不等式成立．②当n ＝2时，1a 1＋1a 2＝1＋14<74，∴原不等式成立． ③当n ≥3时，∵n 2>(n －1)·(n ＋1)，∴1n 2<1（n －1）·（n ＋1）.1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝112＋122＋…＋1n 2<1＋11×3＋12×4＋…＋1（n －2）n＋1（n －1）·（n ＋1）＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －2－1n ＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋1＝1＋12(1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －2－1n ＋1n －1－1n ＋1)＝1＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n －1n ＋1＝74＋12(－1n －1n ＋1)<74.∴当n ≥3时，∴原不等式成立．综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n <74.12．已知{a n }是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为A n ，第n 项之后各项a n ＋1，a n ＋2…的最小值记为B n ，d n ＝A n －B n证明：若a 1＝2，d n ＝1(n ＝1，2，3…)，则{a n }的项只能是1或2，且有无穷多项为1 解析：①首先{a n }中的项不能是0，否则d 1＝a 1－0＝2，与已知矛盾．②{a n }中的项不能超过2，用反证法证明如下：若{a n }中有超过2的项，设a k 是第一个大于2的项， {a n }中一定存在项为1，否则与d n ＝1矛盾． 当n ≥k 时，a n ≥2，否则与d k ＝1矛盾．因此存在最大的i 在2到k －1之间，使得a 1＝1， 此时d i ＝A i －B i ＝2－B i ≤2－2＝0，矛盾． 综上{a n }中没有超过2的项．综合①②，{a n }中的项只能是1或2.下面证明1有无数个，用反证法证明如下：若a k 为最后一个1，则d k ＝A k －B k ＝2－2＝0，矛盾． 因此1有无数个．13．(2014·广东高考文科)设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式；(3)证明：对一切正整数n ，有1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜13.解析：(1)令n ＝1，则S 1＝a 1，S 21－(12＋1－3)S 1－3(12＋1)＝0，即a 21＋a 1－6＝0，解得a 1＝2或a 1＝ －3(舍去)．(2)S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0可以整理为(S n ＋3)[S n －(n 2＋n )]＝0， 因为数列{a n }中a n ＞0，所以S n ≠－3，只有S n ＝n 2＋n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ，而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)．(3)因为1a n （a n ＋1）＝12n （2n ＋1）＝14·1n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12＜14·1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14，1⎝ ⎛⎭⎪⎫n －14⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1－14＝1n －14－1n ＋1－14， 所以1a 1（a 1＋1）＋1a 2（a 2＋1）＋…＋1a n （a n ＋1）＜14⎣⎢⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫11－14－12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫12－14－13－14＋…＋⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1n －14－1n ＋1－14＝14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11－14－1n ＋1－14＝13－14n ＋3＜13.故对一切正整数n ，有。
人教A高中数学选修45课后习题答案(清晰版)
2
因为 ab a2 b2 d 2 ，当且仅当 a b 时等号成立 22
人教 A 版高中数学课后习题解答答案
d2
所以当矩形为正方形时，面积取得最大值，最大值为
2 14、因为 r 2 ( h )2 R2 ，所以 4r 2 h2 4R2 .
2 根据三个正数的算术—几何平均不等式，得 4R2 2r 2 2r 2 h2 3 3 4r 4h2
1
即 a2 b2 c2 d 2 ab bc cd da
人教 A 版高中数学课后习题解答答案
8、因为 a12 x12 2a1x1 ， a22 x22 2a2x2 ，……， an2 xn2 2an xn 所以 (a12 a22 an2 ) (x12 x22 xn2 ) 2(a1x1 a2x2 anxn) 即 2 2(a1x1 a2x2 anxn) ，所以 a1x1 a2x2 anxn 1
所以 a3 b3 (a b)ab ， b3 c3 (b c)bc ， c3 a3 (c a)ca
所以 2(a3 b3 c3) a2(b c) b2(a c) c2(a b)
3、略.
4、要证明 1 1 1 0 ，即证明 1 1 1
ab bc ca
ab bc ac
12、（1）因为 a,b,c R ，所以
a b
b c
c a
33
a b
b c
c a
3，
b a
c b
a c
33
b a
c b
a c
3
所以 ( a b c )( b c a ) 9 b c aa b c
（2）因为 a,b,c R ，所以 a b c 33 abc 0 ， a2 b2 c2 33 a2b2c2 0
人教A版高中数学选修4-5全册配套试卷含答案课时提升作业 九 3.1
课时提升作业九二维形式的柯西不等式一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·泰安高二检测)若3x2+2y2≤1,则3x+2y的取值范围是( )A.[0,]B.[-,0]C.[-,]D.[-5,5]【解析】选C.|3x+2y|≤·≤,从而-≤3x+2y≤.2.设a,b∈R,a2+b2=3,则3a-b的最大值为( )A.30B.-30C.D.-【解析】选 C.3a-b=3a+(-1)·b≤·==,当且仅当3b=-a,即a=,b=-时等号成立.3.(2016·长春高二检测)已知a,b,c,d,m,n都是正实数,P=+,Q=·,则P与Q的大小关系为( )A.P≤QB.P<QC.P≥QD.P=Q【解析】选A.Q2=(am+cn)≥=(+)2=P2,因为a,b,c,d,m,n都是正实数,所以P≤Q.二、填空题(每小题6分,共12分)4.设x,y∈R,则(x+y)·的最小值是________.+【解析】(x+y)≥=(+)2=5+2,当且仅当·=·时,等号成立.答案:5+25.已知x>0,y>0,且+=1,则2x+y的最小值为________. 【解析】2x+y=(2x+y)=[()2+()2]≥=3+2,当且仅当·=·时,等号成立,又+=1,则此时答案:3+2【一题多解】2x+y=(2x+y)=++3≥2+3=2+3.当且仅当=,即2x2=y2时取等号.又+=1,则此时答案:2+3【拓展延伸】利用柯西不等式的关键利用柯西不等式时关键问题是找出相应的两组数,当这两组数不太容易找时,需分析、增补(特别对数字1的增补:a=1·a)、变形等.三、解答题(每小题10分,共30分)6.(2016·天津高二检测)已知m>0,n>0,m+n=p,求证:+≥,指出等号成立的条件.【解析】根据柯西不等式,得(m+n)≥=4,于是+≥=,当m=n=时等号成立.7.求函数f(x)=-的最大值.【解题指南】由二维形式的三角不等式稍作变化,即得-≤.【解析】由于f(x)=- =-=-≤=.8.已知函数f(x)=|x-4|. (1)若f(x)≤2,求x 的取值范围. (2)在(1)的条件下,求g(x)=2+的最大值.【解析】(1)由已知得,|x-4|≤2,即-2≤x-4≤2, 即2≤x ≤6,即x 的取值范围为[2,6]. (2)由2≤x ≤6可得g(x)=2+,由柯西不等式, 得g(x)≤=2.当且仅当=,即x=时,g(x)的最大值为2.一、选择题(每小题5分,共10分)1.已知a,b,x 1,x 2为互不相等的正数,若y 1=,y 2=,则y 1y 2与x 1x 2的关系为 ( )A.y 1y 2<x 1x 2B.y 1y 2=x 1x 2C.y 1y 2>x 1x 2D.不能确定【解析】选C.因为a,b,x 1,x 2为互不相等的正数, 所以y 1y 2=·== >==x 1x 2.【补偿训练】已知a,b ∈R,且P=,Q=,则P,Q 的大小关系是 ( ) A.P ≥Q B.P>Q C.P ≤Q D.P<Q 【解析】选C.因为(a 2+b 2)≥,当且仅当a ·=b ·,即a=b 时“=”成立. 所以≥+,即Q ≥P.2.函数y=+的最小值是 ( )A.20B.25C.27D.18【解题指南】由函数式的特征,两项分母x 及1-2x 的关系可表示为2·x+1-2x=1,这为创造条件利用柯西不等式提供了可能. 【解析】选B.y=+=+=[2x+(1-2x)]≥=25,当且仅当x=时等号成立.二、填空题(每小题5分,共10分)3.(2016·广州高二检测)已知函数f(x)=3+4,则函数f(x)的最大值为________.【解析】由柯西不等式知(3+4)2≤(32+42)·[()2+()2]=25.当且仅当3=4时,等号成立,因此f(x)≤5.答案:5,且a+b=1,则+的最小值是________.4.已知a,b∈R+且a+b=1,【解析】因为a,b∈R+所以+=(a+b),由柯西不等式得(a+b)≥==+.当且仅当时等号成立,此时a=-1,b=2-.答案:+【一题多解】+=(a+b)=++≥2+=+,当且仅当a=-1,b=2-时等号成立.答案:+三、解答题(每小题10分,共20分)5.(2016·天津高二检测)设x>0,y>0,且x+y=2,求+的最小值.【解题指南】利用柯西不等式求最小值,需要出现(a 2+b 2)(c 2+d 2)的结构,我们把+看作一部分,利用x+y=2构造出一部分(2-x+2-y). 【解析】因为x+y=2,根据柯西不等式,有 [(2-x)+(2-y)]= [()2+()2][()2+()2]≥=(x+y)2=4,所以+≥===2.当且仅当·=·,即x=y=1时,等号成立.所以当x=y=1时,+有最小值2.6.求证:点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.【证明】设Q(x,y)是直线上任意一点,则Ax+By+C=0. 因为|PQ|2=(x-x 0)2+(y-y 0)2,A 2+B 2≠0.由柯西不等式,得 (A 2+B 2)[(x-x 0)2+(y-y 0)2]≥[A(x-x 0)+B(y-y 0)]2=[(Ax+By)-(Ax 0+By 0)]2 =(Ax 0+By 0+C)2, 所以|PQ|≥.当且仅当=时,取等号,|PQ|取得最小值. 因此,点P(x 0,y 0)到直线Ax+By+C=0的距离为d=.关闭Word 文档返回原板块。
人教高中数学选修45测试题全套及答案
最新人教版高中数学选修4-5测试题全套及答案第一讲 不等式和绝对值不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设集合A ＝{x |y ＝log 2(4－2x －x 2)}，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪ 3x ＋1≥1，则A ∩B 等于( ) A ．{x |－1<x <5－1}B ．{x |－3<x ≤2}C ．{x |－1<x <1}D ．{x |－1－5<x <－3或5－1<x ≤2}解析： 不等式4－2x －x 2>0可转化为x 2＋2x －4<0，解得－1－5<x <－1＋5，∵A ＝{x |－1－5<x <－1＋5}；不等式3x ＋1≥1可转化为x －2x ＋1≤0，解得－1<x ≤2，∴B ＝{x |－1<x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |－1<x <5－1}．答案： A2．不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1x －1<1的解集为( )A ．{x |0<x <1}∪{x |x >1}B ．{x |0<x <1}C ．{x |－1<x <0}D ．{x |x <0}解析： 方法一：特值法：显然x ＝－1是不等式的解，故选D.方法二：不等式等价于|x ＋1|<|x －1|，即(x ＋1)2<(x －1)2，解得x <0，故选D.答案： D3．设a ，b 是正实数，以下不等式 ①ab >2ab a ＋b，②a >|a －b |－b ， ③a 2＋b 2>4ab －3b 2，④ab ＋2ab >2 恒成立的序号为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 解析： 2ab a ＋b ≤2ab 2ab ＝ab ，即ab ≥2ab a ＋b，故①不正确，排除A 、B ；∵ab ＋2ab ≥22>2，即④正确． 答案： D4．已知a >0，b >0，则1a ＋1b＋2ab 的最小值是( ) A ．2B ．22C ．4D ．5解析： ∵a >b ，b >0，∴1a ＋1b ≥2ab，当且仅当a ＝b 时取等号， ∴1a ＋1b ＋2ab ≥2ab＋2ab ≥22ab ·2ab ＝4. 当且仅当a ＝b ＝1且2ab ＝2ab 时成立，能取等号，故1a ＋1b ＋2ab 的最小值为4，故选C. 答案： C5．设|a |＜1，|b |＜1，则|a ＋b |＋|a －b |与2的大小关系是( )A ．|a ＋b |＋|a －b |＞2B ．|a ＋b |＋|a －b |＜2C ．|a ＋b |＋|a －b |＝2D ．不可能比较大小解析： 当(a ＋b )(a －b )≥0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )＋(a －b )|＝2|a |＜2，当(a ＋b )(a －b )＜0时，|a ＋b |＋|a －b |＝|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＜2.答案： B6．设x ，y ∈R ，a >1，b >1.若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为() A ．2 B.32C ．1 D.12解析： ∵a x ＝b y ＝3，∴x ＝log a 3，y ＝log b 3，∴1x ＋1y ＝1log a 3＋1log b 3＝log 3a ＋log 3b＝log 3ab ≤log 3(a ＋b )24＝log 33＝1，故选C.答案： C7．0<a <1，下列不等式一定成立的是( )A ．|log 1＋a (1－a )|＋|log (1－a )(1＋a )|>2B ．|log 1＋a (1－a )|<|log (1－a )(1＋a )|C ．|log (1＋a )(1－a )＋log (1－a )(1＋a )|<|log (1＋a )(1－a )|＋|log (1－a )(1＋a )|D ．|log (1＋a )(1－a )－log (1－a )(1＋a )|>|log (1＋a )(1－a )|－|log (1－a )(1＋a )|解析： 令a ＝12，代入可排除B 、C 、D. 答案： A8．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )A ．18B ．6C ．2 3 D.43解析： 3a ＋3b ≥23a ·3b ＝23a ＋b ＝232＝6. 答案： B9．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系是( ) A ．m ＞nB ．m ＜nC ．m ＝nD ．m ≤n解析： ∵|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，∴m ＝|a |－|b ||a －b |≤|a |－|b ||a |－|b |＝1， n ＝|a |＋|b ||a ＋b |≥|a |＋|b ||a |＋|b |＝1，∴m ≤1≤n . 答案： D10．某工厂年产值第二年比第一年增长的百分率为p 1，第三年比第二年增长的百分率为p 2，第四年比第三年增长的百分率为p 3，则年平均增长率p 的最大值为( ) A.3p 1p 2p 3B.p 1＋p 2＋p 33C.p 1p 2p 33D ．2(1＋p 1)(1＋p 2)(1＋p 3)3解析： ∵(1＋p )3＝(1＋p 1)(1＋p 2)(1＋p 3)，∴1＋p ＝3(1＋p 1)(1＋p 2)(1＋p 3)≤1＋p 1＋1＋p 2＋1＋p 33， ∴p ≤p 1＋p 2＋p 33. 答案： B11．若a ，b ，c >0，且a 2＋2ab ＋2ac ＋4bc ＝12，则a ＋b ＋c 的最小值是( )A ．2 3B ．3C ．2 D.3解析： a 2＋2ab ＋2ac ＋4bc＝a (a ＋2c )＋2b (a ＋2c )＝(a ＋2c )(a ＋2b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤(a ＋2c )＋(a ＋2b )22，∴(a ＋b ＋c )2≥12，又a ，b ，c >0，∴a ＋b ＋c ≥2 3.答案： A12．当0<x <π2时，函数f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2 xsin 2x 的最小值为() A ．2 B ．23C ．4D ．43解析： 方法一：f (x )＝2cos 2 x ＋8 sin 2 x2sin x cos x ＝1＋4tan 2 xtan x＝4tan x ＋1tan x ≥4.这里tan x >0，且tan x ＝12时取等号．方法二：f (x )＝1＋cos 2x ＋8sin 2 x sin 2x ＝5－3cos 2x sin 2x(0<2x <π)． 令μ＝5－3cos 2x sin 2x，有μsin 2x ＋3cos 2x ＝5. μ2＋9sin(2x ＋φ)＝5,∴sin(2x ＋φ)＝5μ2＋9.∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪5μ2＋9≤1，得μ2≥16. ∴μ≥4或μ≤－4.又μ>0.答案： C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知－π2≤α＜β≤π2，则α－β2的取值范围是________． 解析： 利用不等式的性质进行求解．由－π2≤α＜β≤π2可得． 答案： －π2≤α－β2＜0. 14．设集合S ＝{x ||x －2|>3}，T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，则a 的取值范围是____________． 解析: ∵|x －2|>3，∴x －2>3或x －2<－3，∴x >5或x <－1，即S ＝{x |x >5或x <－1}．又∵T ＝{x |a <x <a ＋8}，S ∪T ＝R ，∴画数轴可知a 需满足⎩⎪⎨⎪⎧a <－1a ＋8>5， ∴－3<a <－1.答案： －3<a <－115．设x >－1，求函数y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1的最小值为________． 解析： ∵x >－1，∴x ＋1>0，y ＝(x ＋5)(x ＋2)x ＋1＝[(x ＋1)＋4][(x ＋1)＋1]x ＋1＝(x ＋1)＋5＋4x ＋1≥2·(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9. 当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时，等号成立． ∴y 的最小值是9.答案： 916．某商品进货价每件50元，据市场调查，当销售价格(每件x 元)在50<x ≤80时，每天售出的件数P ＝105(x －40)2，若想每天获得的利润最多，销售价格每件应定为____________元． 解析： 设销售价格定为每件x 元(50<x ≤80)，每天获得利润y 元，则：y ＝(x －50)·P ＝105(x －50)(x －40)2， 设x －50＝t ，则0<t ≤30，∴y ＝105t (t ＋10)2＝105t t 2＋20t ＋100＝105t ＋100t＋20≤10520＋20＝2 500. 当且仅当t ＝10，即x ＝60时，y max ＝2 500.答案： 60三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知30＜x ＜42,16＜y ＜24，求x ＋y ，x －2y ，x y的取值范围． 解析： ∵30＜x ＜42,16＜y ＜24，∴46＜x ＋y ＜66.∵16＜y ＜24，∴－48＜－2y ＜－32，∴－18＜x －2y ＜10.∵30＜x ＜42，∴124＜1y ＜116. ∴54＜x y ＜218. 18．(12分)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋b y＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .解析： ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋bx y ＋ay x≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2，当且仅当bx y ＝ay x时取等号．又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18，即a ＋b ＋2ab ＝18① 又a ＋b ＝10 ②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8b ＝2. 19．(12分)解不等式|x ＋1|＋|x |<2.解析： 方法一：利用分类讨论的思想方法．当x ≤－1时，－x －1－x <2，解得－32<x ≤－1； 当－1<x <0时，x ＋1－x <2，解得－1<x <0；当x ≥0时，x ＋1＋x <2，解得0≤x <12. 因此，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12. 方法二：利用方程和函数的思想方法．令f (x )＝|x ＋1|＋|x |－2＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1(x ≥0)，－1(－1≤x <0)，－2x －3(x <－1).作函数f (x )的图象(如图)，知当f (x )<0时，－32<x <12. 故原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12. 方法三：利用数形结合的思想方法．由绝对值的几何意义知，|x ＋1|表示数轴上点P (x )到点A (－1)的距离，|x |表示数轴上点P (x )到点O (0)的距离．由条件知，这两个距离之和小于2.作数轴(如图)，知原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32<x <12.方法四：利用等价转化的思想方法．原不等式⇔ 0≤|x ＋1|＜2－|x |，∴(x ＋1)2＜(2－|x |)2，且|x |＜2，即0≤4|x |＜3－2x ，且|x |＜2.∴16x 2＜(3－2x )2，且－2＜x ＜2.解得－32＜x ＜12.故原不等式的解集为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－32＜x ＜12. 20．(12分)求函数y ＝3x ＋4x 2(x >0)的最值．解析： 由已知x >0，∴y ＝3x ＋4x 2＝3x 2＋3x 2＋4x 2 ≥333x 2·3x 2·4x 2＝339， 当且仅当3x 2＝3x 2＝4x 2，即x ＝2393时，取等号． ∴当x ＝2393时，函数y ＝3x ＋4x2的最小值为339. 21．(12分)在某交通拥挤地段，交通部门规定，在此地段内的车距d (m)正比于车速v (km/h)的平方与车身长s (m)的积，且最小车距不得少于半个车身长，假定车身长均为s (m)，且车速为50 km/h 时车距恰为车身长s ，问交通繁忙时，应规定怎样的车速，才能使此地段的车流量Q 最大？解析： 由题意，知车身长s 为常量，车距d 为变量．且d ＝k v 2s ，把v ＝50，d ＝s 代入，得k ＝12 500，把d ＝12s 代入 d ＝12 500v 2s ，得v ＝25 2.所以 d ＝⎩⎨⎧12s (0<v ≤252)，12 500v 2s (v >252).则车流量 Q ＝1 000v d ＋s ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1 000v 32s (0<v ≤252)，1 000v s (1＋v 22 500)(v >252).当0<v ≤252时，Q 为v 的增函数，所以当v ＝252时，Q 1＝1 000v 32s ＝50 00023s .当v >252时，Q 2＝1 000v s ⎝⎛⎭⎫1＋v 22 500＝ 1 000s ⎝⎛⎭⎫1v ＋v 2 500 ≤ 1 000s ·21v ·v 2 500＝25 000s . 当且仅当1v ＝v 2 500，即v ＝50时，等号成立．即当v ＝50时，Q 取得最大值Q 2＝25 000s.因为Q 2>Q 1，所以车速规定为50km/h 时，该地段的车流量Q 最大．22．(14分)已知函数f (x )＝ax 2－4(a 为非零实数)，设函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ) (x >0)－f (x ) (x <0). (1)若f (－2)＝0，求F (x )的表达式；(2)在(1)的条件下，解不等式1≤|F (x )|≤2；(3)设mn <0，m ＋n >0，试判断F (m )＋F (n )能否大于0?解析： (1)∵f (－2)＝0，∴4a ＋4＝0，得a ＝－1，∴f (x )＝－x 2＋4，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4 (x >0)x 2－4 (x <0). (2)∵|F (－x )|＝|F (x )|，∴|F (x )|是偶函数，故可以先求x >0的情况．当x >0时，由|F (2)|＝0，故当0<x ≤2时，解不等式1≤－x 2＋4≤2，得2≤x ≤3；x >2时，解不等式1≤x 2－4≤2，得5≤x ≤6；综合上述可知原不等式的解集为{x |2≤x ≤3或5≤x ≤6或－3≤x ≤－2或－6≤x ≤－5}．(3)∵f (x )＝ax 2＋4，∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋4 (x >0)－ax 2－4 (x <0)， ∵mn <0，不妨设m >0，则n <0.又m ＋n >0，∴m >－n >0，∴m 2>n 2，∴F (m )＋F (n )＝am 2＋4－an 2－4＝a (m 2－n 2)，所以：当a >0时，F (m )＋F (n )能大于0，当a <0时，F (m )＋F (n )不能大于0.第二讲 证明不等式的基本方法一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知a c 2>b c2，则下列不等式一定成立的是( ) A ．a 2>b 2B ．lg a >lg b C.1b >1c D.⎝⎛⎭⎫13b >⎝⎛⎭⎫13a解析： 从已知不等式入手：a c 2>b c2⇔a >b (c ≠0)，其中a ，b 可异号或其中一个为0，由此否定A 、B 、C ，应选D.答案： D2．若1a <1b<0，则下列结论不正确的是( ) A ．a 2<b 2B ．ab <b 2 C.b a ＋a b >2 D ．|a |＋|b |>|a ＋b |解析： 因为1a <1b <0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ 1a －1b <0a <0且b <0⇔⎩⎨⎧ b －a ab <0a <0，b <0⇔b <a <0.由此判定A 、B 、C 正确，应选D.答案： D 3．用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 3＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是( )A ．方程x 3＋ax ＋b ＝0没有实根B ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有一个实根C ．方程x 3＋ax ＋b ＝0至多有两个实根D ．方程x 3＋ax ＋b ＝0恰好有两个实根解析： 反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a ，b 为实数，则方程x 2＋ax ＋b ＝0至少有一个实根”时，要做的假设是：方程x 2＋ax ＋b ＝0没有实根．故应选A.答案： A4．用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60°”时，反设正确的是( )A ．假设三内角都不大于60°B ．假设三内角都大于60°C ．假设三内角至多有一个大于60°D ．假设三内角至多有两个大于60°解析： 至少有一个不大于60度是指三个内角有一个或者两个或者三个小于或等于60°.所以，反设应该是它的对立情况，即假设三内角都大于60度．答案： B5．设x >0，y >0，x ＋y ＝1，x ＋y 的最大值是( )A ．1 B.2 C.22 D.32 解析： ∵x >0，y >0，∴1＝x ＋y ≥2xy ， ∴12≥xy ， ∴x ＋y ≤2(x ＋y )＝2(当且仅当x ＝y ＝12时取“＝”)． 答案： B6．用分析法证明：欲使①A >B ，只需②C <D ，这里①是②的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 分析法证明的本质是证明结论的充分条件成立，即②⇒①，所以①是②的必要条件． 答案： B7．已知0<a <b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是( )A ．log 2a >0B ．2a －b <12C ．log 2a ＋log 2b <－2D ．2a b ＋b a <12 解析： 方法一：特值法令a ＝13，b ＝23代入可得． 方法二：因为0<a <b 且a ＋b ＝1，所以0<a <1，所以log 2a <0.－1<a －b <0所以12<2a －b <1，又因为b a ＋a b>2所以2b a ＋a b >4， 而ab <⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14， 所以log 2a ＋log 2b <－2成立．答案： C8．a >0，b >0，则“a >b ”是“a －1a >b －1b”成立的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．即不充分也不必要条件解析： a －1a －b ＋1b ＝a －b ＋a －b ab＝(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab . ∵a >0，b >0，∴a >b ⇔(a －b )⎝⎛⎭⎫1＋1ab >0⇔a －1a >b －1b. 可得“a >b ”是“a －1a >b －1b”成立的充要条件． 答案： C9．设a >0，b >0，则以下不等式中不恒成立的是( )A ．(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥4B ．a 3＋b 3≥2ab 2C ．a 2＋b 2＋2≥2a ＋2b D.|a －b |≥a －b 解析： 因为(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ≥2ab ·21ab＝4，所以A 正确． a 3＋b 3≥2ab 2⇔(a －b )(a 2＋ab －b 2)≥0，但a ，b 大小不确定，所以B 错误．(a 2＋b 2＋2)－(2a ＋2b )＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，所以C 正确．|a －b |≥a －b ⇔|a －b |＋b ≥a ⇔b (a －b )≥0，所以D 正确．答案： B 10．设a ，b ∈R ＋，且a ≠b ，P ＝a 2b ＋b 2a，Q ＝a ＋b ，则( ) A ．P >QB ．P ≥QC ．P <QD ．P ≤Q解析： P －Q ＝a 2b ＋b 2a －(a ＋b )＝a 3＋b 3－ab (a ＋b )ab ＝(a ＋b )(a 2＋b 2－2ab )ab ＝(a ＋b )(a －b )2ab . ∵a ，b 都是正实数，且 a ≠b ，∴(a ＋b )(a －b )2ab>0，∴P >Q . 答案： A11．若函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数，且满足f (x )－g (x )＝e x ，则有( )A ．f (2)<f (3)<g (0)B ．g (0)<f (3)<f (2)C ．f (2)<g (0)<f (3)D ．g (0)<f (2)<f (3)解析： 因为函数f (x )，g (x )分别是R 上的奇函数、偶函数．所以f (－x )－g (－x )＝－f (x )－g (x )＝e －x ，① f (x )－g (x )＝e x ，②①②联立，解之得f (x )＝e x －e －x 2，g (x )＝－e x ＋e －x 2代入数值比较可得． 答案： D12．“a ＝18”是“对任意的正数x,2x ＋a x ≥1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 因为2x ＋a x≥22x ·a x＝22a ， 当a ＝18时22a ＝1. 但当a ＝2时，22a ＝4，当然有2x ＋a x≥1所以是充分不必要条件． 答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．设a ＝3－2，b ＝6－5，c ＝7－6，则a ，b ，c 的大小顺序是__________． 解析： 用分析法比较，a >b ⇔3＋5>2＋6⇔8＋215>8＋212，同理可比较得b >c . 答案： a >b >c14．已知三个不等式：(1)ab >0；(2)－c a <－d b；(3)bc >ad . 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，为________．解析： 运用不等式性质进行推理，从较复杂的分式不等式(2)切入，去寻觅它与(1)的联系． －c a <－d b ⇔c a >d b ⇔c a －d b>0 ⇔bc －ad ab >0⇔ab ·(bc －ad )>0. 答案： (1)、(3)⇒(2)；(1)、(2)⇒(3)；(2)、(3)⇒(1)15．若f (n )＝n 2＋1－n ，g (n )＝n －n 2－1，φ(n )＝12n，则f (n )，g (n )，φ(n )的大小顺序为________． 解析： 因为f (n )＝n 2＋1－n ＝1n 2＋1＋n ，g(n)＝n－n2－1＝1n2－1＋n.又因为n2－1＋n<2n<n2＋1＋n，所以f(n)<φ(n)<g(n)．答案：g(n)>φ(n)>f(n)16．完成反证法整体的全过程．题目：设a1，a2，…，a7是1,2,3，……，7的一个排列，求证：乘积p＝(a1－1)(a2－2)…(a7－7)为偶数．证明：反设p为奇数，则________均为奇数．①因奇数个奇数的和还是奇数，所以有奇数＝________.②＝________.③＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．解析：反设p为奇数，则(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)均为奇数．因为数个奇数的和还是奇数，所以有奇数＝(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)＝(a1＋a2＋…＋a7)－(1＋2＋3＋…＋7)＝0.但奇数≠偶数，这一矛盾说明p为偶数．答案：(a1－1)，(a2－2)，…，(a7－7)(a1－1)＋(a2－2)＋…＋(a7－7)(a1＋a2＋...＋a7)－(1＋2＋3＋ (7)三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)若a <b <c ，求证：a 2b ＋b 2c ＋c 2a <a 2c ＋b 2a ＋c 2b . 证明： ∵a <b <c ，∴a －b <0，b －c <0，a －c <0，于是：a 2b ＋b 2c ＋c 2a －(a 2c ＋b 2a ＋c 2b )＝(a 2b －a 2c )＋(b 2c －b 2a )＋(c 2a －c 2b )＝a 2(b －c )＋b 2(c －a )＋c 2(a －b )＝a 2(b －c )－b 2(b －c )＋c 2(a －b )－b 2(a －b )＝(b －c )(a 2－b 2)＋(a －b )(c 2－b 2)＝(b －c )(a －b )(a ＋b )＋(a －b )(c －b )(c ＋b )＝(b －c )(a －b )[a ＋b －(c ＋b )]＝(b －c )(a －b )(a －c )<0，∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a <ab 2＋bc 2＋ca 2.18．(12分)已知a ，b ，c ∈R ＋，且a ＋b ＋c ＝1.求证：⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥8.证明： ∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1，∴1a －1＝1－a a ＝b ＋c a ＝b a ＋c a ≥2bc a， 同理1b －1≥2ac b ，1c －1≥2ab c. 由于上述三个不等式两边均为正，分别相乘，∴⎝⎛⎭⎫1a －1⎝⎛⎭⎫1b －1⎝⎛⎭⎫1c －1≥2bc a ·2ac b ·2ab c ＝8.当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 19．(12分)求证：3＋8>1＋10.证明： 用分析法证明8＋3>1＋10⇐8＋3＋224>1＋10＋210⇐224>210 ⇐24>10.最后一个不等式是成立的，故原不等式成立．20．(12分)若x ，y >0，且x ＋y >2，则1＋y x 和1＋x y中至少有一个小于2. 证明： 反设1＋y x ≥2且1＋x y≥2， ∵x ，y >0，∴1＋y ≥2x,1＋x ≥2y 两边相加，则2＋(x ＋y )≥2(x ＋y )，可得x ＋y ≤2，与x ＋y >2矛盾，∴1＋y x 和1＋x y中至少有一个小于2. 21．(12分)已知a ，b ，c ，d 都是实数，且a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，求证|ac ＋bd |≤1.证明： 证法一(综合法) 因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以|ac ＋bd |≤|ac |＋|bd |≤a 2＋c 22＋b 2＋d 22＝a 2＋b 2＋c 2＋d 22. 又因为a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1.所以|ac ＋bd |≤1.证法二(比较法) 显然有|ac ＋bd |≤1⇔－1≤ac ＋bd ≤1.先证明ac ＋bd ≥－1.∵ac ＋bd －(－1)＝ac ＋bd ＋12＋12＝ac ＋bd ＋a 2＋b 22＋c 2＋d 22＝(a ＋c )2＋(b ＋d )22≥0.∴ac ＋bd ≥－1.再证明ac ＋bd ≤1.∵1－(ac ＋bd )＝12＋12－(ac ＋bd )＝a 2＋b 22＋c 2＋d 22－ac －bd＝(a －c )2＋(b －d )22≥0，∴ac ＋bd ≤1.综上得|ac ＋bd |≤1.证法三(分析法) 要证|ac ＋bd |≤1.只需证明(ac ＋bd )2≤1.即只需证明a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤1. ①由于a 2＋b 2＝1，c 2＋d 2＝1，因此①式等价于a 2c 2＋2abcd ＋b 2d 2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)② 将②式展开、化简，得(ad －bc )2≥0. ③因为a ，b ，c ，d 都是实数，所以③式成立，即①式成立，原命题得证．22．(14分)数列{a n }为等差数列，a n 为正整数，其前n 项和为S n ，数列{b n }为等比数列，且a 1＝3，b 1＝1，数列{ba n }是公比为64的等比数列，b 2S 2＝64.(1)求a n ，b n ；(2)求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n <34. 解析： (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正整数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ ba n ＋1ba n ＝q 3＋nd q 3＋(n －1)d ＝q d ＝64＝26，S 2b 2＝(6＋d )q ＝64，①由(6＋d )q ＝64知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一，解①得d ＝2，q ＝8.故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)证明：∵S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)．∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1n (n ＋2)＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2<34.第三讲柯西不等式与排序不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若a，b∈R，且a2＋b2＝10，则a＋b的取值范围是()A．[－25，25]B．[－210，210]C．[－10，10] D．[－5，5]解析：由(a2＋b2)(1＋1)≥(a＋b)2，所以a＋b∈[－25，25]，故选A.答案：A2．若x21＋x22＋…＋x2n＝1，y21＋y22＋…＋y2n＝1，则x1y1＋x2y2＋…＋x n y n的最大值是()A．2 B．1C．3 D.3 3 3解析：由(x1y1＋x2y2＋…＋x n y n)2≤(x21＋x22＋…＋x2n)(y21＋y22＋…＋y2n)＝1，故选B.答案：B3．学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中单价为5元、3元、2元的奖品，则至少要花()A．300元B．360元C．320元D．340元解析：由排序原理知，反序和最小为320，故选C.答案：C4．已知a ，b ，c 为非零实数，则(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋1c 2的最小值为( )A ．7B ．9C ．12D ．18解析： 由(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋1c 2≥⎝⎛⎭⎫a ·1a ＋b ·1b ＋c ·1c 2＝(1＋1＋1)2＝9，∴所求最小值为9，故选B.答案： B5．设a ，b ，c ≥0，a 2＋b 2＋c 2＝3，则ab ＋bc ＋ca 的最大值为() A ．0 B ．1C ．3 D.333解析： 由排序不等式a 2＋b 2＋c 2≥ab ＋bc ＋ac ，所以ab ＋bc ＋ca ≤3.故应选C.答案： C 6．表达式x 1－y 2＋y 1－x 2的最大值是( )A ．2B ．1C. 2D.32解析： 因为x 1－y 2＋y 1－x 2≤(x 2＋1－x 2)(1－y 2＋y 2)＝1，故选B.答案： B7．已知不等式(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．2B ．4 C. 2 D ．16解析： 由(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ≥(1＋1)2＝4，因此不等式(x ＋y )(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ≥a 对任意正实数x ，y 恒成立，即a ≤4，故应选B.答案： B8．设a ，b ，c 为正数，a ＋b ＋4c ＝1，则a ＋b ＋2c 的最大值是() A. 5 B.3C ．2 3 D.32解析： 1＝a ＋b ＋4c ＝(a )2＋(b )2＋(2c )2 ＝13[(a )2＋(b )2＋(2c )2]·(12＋12＋12) ≥(a ＋b ＋2c )2·13， ∴(a ＋b ＋2c )2≤3，即所求为 3.答案： B9．若a >b >c >d ，x ＝(a ＋b )(c ＋d )，y ＝(a ＋c )(b ＋d )，z ＝(a ＋d )(b ＋c )，则x ，y ，z 的大小顺序为( )A ．x <z <yB ．y <z <xC ．x <y <zD ．z <y <x解析： 因a >d 且b >c ，则(a ＋b )(c ＋d )<(a ＋c )(b ＋d )，得x <y ，因a >b 且c >d ，则(a ＋c )(b ＋d )<(a ＋d )(b ＋c )，得y <z ，故选C.答案： C10．若0＜a 1＜a 2,0＜b 1＜b 2且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，则下列代数式中值最大的是( )A ．a 1b 1＋a 2b 2B ．a 1a 2＋b 1b 2C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12解析： 利用特值法，令a 1＝0.4，a 2＝0.6，b 1＝0.3，b 2＝0.7计算后作答；或根据排序原理，顺序和最大．答案： A11．已知a ，b ，c ，d 均为实数，且a ＋b ＋c ＋d ＝4，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝163，则a 的最大值为( ) A ．16B ．10C ．4D ．2解析： 构造平面π：x ＋y ＋z ＋(a －4)＝0，球O ：x 2＋y 2＋z 2＝163－a 2， 则点(b ，c ，d )必为平面π与球O 的公共点， 从而|a －4|3≤ 163－a 2， 即a 2－2a ≤0，解得0≤a ≤2，故实数a 的最大值是2.答案： D12．x ，y ，z 是非负实数，9x 2＋12y 2＋5z 2＝9，则函数u ＝3x ＋6y ＋5z 的最大值是( )A ．9B ．10C ．14D ．15解析： u 2＝(3x ＋6y ＋5z )2≤[(3x )2＋(23y )2＋(5z )2]·[12＋(3)2＋(5)2]＝9×9＝81，∴u ≤9.答案： A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知a ，b ，c 都是正数，且4a ＋9b ＋c ＝3，则1a ＋1b ＋1c的最小值是________． 解析： 由4a ＋9b ＋c ＝3，∴4a 3＋3b ＋c 3＝1， ∴1a ＋1b ＋1c＝43a ＋3b ＋c 3a ＋43a ＋3b ＋c 3b ＋43a ＋3b ＋c 3c＝43＋3b a ＋c 3a ＋3＋4a 3b ＋c 3b ＋13＋4a 3c ＋3b c＝3＋53＋⎝⎛⎭⎫3b a ＋4a 3b ＋⎝⎛⎭⎫c 3a ＋4a 3c ＋⎝⎛⎭⎫c 3b ＋3b c ≥3＋53＋4＋43＋2＝12. 答案： 1214．已知a ，b 是给定的正数，则a 2sin 2α＋b 2cos 2α的最小值是________． 解析： a 2sin 2α＋b 2cos 2α＝(sin 2α＋cos 2α)⎝⎛⎭⎫a 2sin 2α＋b 2cos 2α≥(a ＋b )2. 答案： (a ＋b )215．已知点P 是边长为23的等边三角形内一点，它到三边的距离分别为x ，y ，z ，则x ，y ，z 所满足的关系式为________，x 2＋y 2＋z 2的最小值是________．解析： 利用三角形面积相等，得12×23(x ＋y ＋z )＝34×(23)2， 即x ＋y ＋z ＝3；由(1＋1＋1)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝9，则x 2＋y 2＋z 2≥3.答案： x ＋y ＋z ＝3 316．若不等式|a －1|≥x ＋2y ＋2z ，对满足x 2＋y 2＋z 2＝1的一切实数x ，y ，z 恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析： 由柯西不等式可得(12＋22＋22)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋2y ＋2z )2，所以x ＋2y ＋2z 的最大值为3，故有|a －1|≥3，∴a ≥4或a ≤－2.答案： a ≥4或a ≤－2三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1.求证：ax ＋by ≤1.证明： ∵a 2＋b 2＝1，x 2＋y 2＝1.又由柯西不等式知∴1＝(a 2＋b 2)(x 2＋y 2)≥(ax ＋by )2∴1≥(ax ＋by )2，∴1≥|ax＋by|≥ax＋by，∴所以不等式得证．18．(12分)设x2＋2y2＝1，求μ＝x＋2y的最值．解析：由|x＋2y|＝|1·x＋2·2y|≤1＋2·x2＋2y2＝ 3.当且仅当x1＝2y2，即x＝y＝±33时取等号．所以，当x＝y＝33时，μmax＝ 3.当x＝y＝－33时，μmin＝－ 3.19．(12分)设a≥b＞0，求证：3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.证明：∵a≥b＞0，∴a≥a≥a≥b≥b＞0，a2≥a2≥a2≥b2≥b2＞0，由顺序和≥乱序和，得a3＋a3＋a3＋b3＋b3≥a2b＋a2b＋a2a＋ab2＋ab2.又a2b＋a2b＋a2a＋ab2＋ab2≥3a2b＋2ab2.则3a3＋2b3≥3a2b＋2ab2.20．(12分)已知x，y，z∈R，且x＋y＋z＝3，求x2＋y2＋z2的最小值．解析：方法一：注意到x，y，z∈R，且x＋y＋z＝3为定值，利用柯西不等式得到(x2＋y2＋z2)(12＋12＋12)≥(x·1＋y·1＋z·1)2＝9，从而x2＋y2＋z2≥3，当且仅当x＝y＝z＝1时取“＝”号，所以x2＋y2＋z2的最小值为3.方法二：可考虑利用基本不等式“a 2＋b 2≥2ab ”进行求解，由x 2＋y 2＋z 2＝(x ＋y ＋z )2－(2xy ＋2xz ＋2yz )≥9－(x 2＋y 2＋x 2＋z 2＋y 2＋z 2)，从而求得x 2＋y 2＋z 2≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时取“＝”号，所以x 2＋y 2＋z 2的最小值为3.21．(12分)设a ，b ，c 为正数，且不全相等，求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c .证明： 构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ； 1a ＋b ，1b ＋c ，1c ＋a ，则由柯西不等式得(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，① 即2(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9.于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c .于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c .由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b 1a ＋b ＝b ＋c 1b ＋c ＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a⇔a ＝b ＝c .因题设a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ＞9a ＋b ＋c. 22．(14分)设x 1，x 2，…，x n ∈R ＋，且x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，求证：x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n ≥1n ＋1. 证明： 因为x 1＋x 2＋…＋x n ＝1，所以n ＋1＝(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )．又⎝ ⎛⎭⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋……＋x 2n 1＋x n (n ＋1) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n [(1＋x 1)＋(1＋x 2)＋…＋(1＋x n )] ≥(x 1＋x 2＋…＋x n )2＝1，所以x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋…＋x 2n 1＋x n ≥1n ＋1.第四讲 数学归纳法证明不等式一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n －1<n (n ∈N *，n >1)时，第一步应验证不等式( ) A ．1＋12<2 B ．1＋12＋13<2 C ．1＋12＋13<3 D ．1＋12＋13＋14<3 解析： n ∈N *，n >1，∴n 取的第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B. 答案： B2．用数学归纳法证明12＋32＋52＋…＋(2n －1)2＝13n (4n 2－1)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，等式左边增加的项为( )A ．(2k )2B ．(2k ＋3)2C ．(2k ＋1)2D ．(2k ＋2)2解析： 把k ＋1代入(2n －1)2得(2k ＋2－1)2即(2k ＋1)2，选C.答案： C3．设凸n 边形有f (n )条对角线，则凸n ＋1边形的对角线的条数，加上多的哪个点向其他点引的对角线的条数f (n ＋1)为( )A ．f (n )＋n ＋1B ．f (n )＋nC ．f (n )＋n －1D ．f (n )＋n －2解析： 凸n ＋1边形的对角线的条数等于凸n 边形的对角线的条数，加上多的那个点向其他点引的对角线的条数(n －2)条，再加上原来有一边成为对角线，共有f (n )＋n －1条对角线，故选C.答案： C4．观察下列各等式：22－4＋66－4＝2，55－4＋33－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得一般性的等式为( )A.n n －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.n n －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析： 观察归纳知选A.答案： A5．欲用数学归纳法证明：对于足够大的自然数n ，总有2n ＞n 3，那么验证不等式成立所取的第一个n 的最小值应该是( )A ．1B ．9C ．10D ．n ＞10，且n ∈N ＋解析： 由210＝1 024＞103知，故应选C.答案： C6．用数学归纳法证明：1n ＋1n ＋1＋1n ＋2＋ (12)<1(n ∈N *，n ≥2)时，由“k 到k ＋1”，不等式左端的变化是( )A ．增加12(k ＋1)一项 B ．增加12k ＋1和12(k ＋1)两项 C ．增加12k ＋1和12(k ＋1)两项，同时减少1k 一项 D ．以上都不对解析： 因f (k )＝1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k， 而f (k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k ＋k ＋1k ＋k ＋1＋1k ＋k ＋2， 故f (k ＋1)－f (k )＝12k ＋1＋12k ＋2－1k，故选C. 答案： C7．用数学归纳法证明34n ＋1＋52n ＋1(n ∈N ＋)能被8整除时，若n ＝k 时，命题成立，欲证当n ＝k ＋1时命题成立，对于34(k＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1可变形为( ) A ．56×34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)B ．34×34k ＋1＋52×52kC ．34k ＋1＋52k ＋1D ．25(34k ＋1＋52k ＋1)解析： 由34(k ＋1)＋1＋52(k ＋1)＋1＝81×34k ＋1＋25×52k ＋1＋25×34k ＋1－25×34k ＋1＝56×34k ＋1＋25(34k ＋1＋52k ＋1)，故选A.答案： A8．用数学归纳法证明“(n ＋1)(n ＋2)……(n ＋n )＝2n ·1·3·5·(2n －1)(n ∈N *)”时，从n ＝k 到n ＝k ＋1等式的左边需增乘代数式为( )A ．2k ＋1 B.2k ＋1k ＋1C.(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1D.2k ＋3k ＋1 解析： 左边当n ＝k 时最后一项为2k .左边当n ＝k ＋1时最后一项为2k ＋2，又第一项变为k ＋2，∴需乘(2k ＋1)(2k ＋2)k ＋1. 答案： C9．数列a n 中，已知a 1＝1，当n ≥2时，a n －a n －1＝2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是( )A ．3n －2B ．n 2C ．3n －1D ．4n －3解析： 计算出a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16.可猜a n ＝n 2故应选B.答案： B10．用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋n 2＝n 4＋n 22，则当n ＝k ＋1时左端应在n ＝k 的基础上加上( ) A ．k 2B ．(k ＋1)2C.(k ＋1)4＋(k ＋1)22D ．(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2解析： ∵当n ＝k 时，左端＝1＋1＋2＋3＋…＋k 2，当n ＝k ＋1时，左端＝1＋2＋3＋…＋k 2＋(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2.故当n ＝k ＋1时，左端应在n ＝k 的基础上加上(k 2＋1)＋(k 2＋2)＋…＋(k ＋1)2，故应选D.答案： D11．用数学归纳法证明“n 2＋n <n ＋1(n ∈N *)”的第二步证n ＝k ＋1时(n ＝1已验证，n ＝k 已假设成立)这样证明：(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋4k ＋4＝(k ＋1)＋1，则当n ＝k ＋1时，命题成立，此种证法( )A ．是正确的B ．归纳假设写法不正确C ．从k 到k ＋1推理不严密D ．从k 到k ＋1的推理过程未使用归纳假设解析： 经过观察显然选D.答案： D12．把正整数按下图所示的规律排序，则从2 006到2 008的箭头方向依次为( )A ．↓→B ．→↓C ．↑→D ．→↑解析： 由2 006＝4×501＋2，而a n ＝4n 是每一个下边不封闭的正方形左、上顶点的数，故应选D. 答案： D二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．请把正确答案填在题中横线上)13．用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋n ＋…＋3＋2＋1＝n 2(n ∈N *)时，从n ＝k 到n ＝k ＋1时，该式左边应添加的代数式是________________．解析： 当n ＝k 时，左边＝1＋2＋3＋…＋k ＋…＋3＋2＋1.当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋3＋…＋k ＋k ＋1＋k ＋…＋3＋2＋1.所以左边应添加的代数式为k ＋1＋k ＝2k ＋1.答案： 2k ＋114．数列{a n }中，a 1＝1，且S n ，S n ＋1,2S 1成等差数列，则S 2，S 3，S 4分别为________，猜想 S n ＝________. 解析： 由题意得，a 1＝12S n ＋1＝S n ＋2S 1当n ＝1时，2S 2＝S 1＋2S 1 ∴S 2＝32当n ＝2时，2S 3＝S 2＋2S 1 ∴S 3＝74当n ＝3时，2S 4＝S 3＋2S 1 ∴S 4＝158归纳猜想：S n ＝2n －12n －1 答案： 32 74 158 2n －12n －1 15．如下图所示，第n 个图形是由正n ＋2边形“扩展”而来(n ＝1,2,3，…)，则第n －2个图形中共有________个顶点．解析： 第一个图形是由正三角形扩展得到，三边扩展得3个顶点，加上三角形的三个顶点共6个；第二个图形是由正方形扩展得到，四边扩展得4个顶点，每个顶点变为两个，故增加8个顶点，因此共有12个顶点；第三个图形是由正五边形扩展得到，五边扩展得5个顶点，每个顶点变为3个，故增加15个顶点，因此共有20个顶点；…第n －2个图形是由正n 边形扩展得到，n 边扩展得n 个顶点，每个顶点变为n －2个，故增加(n －2)n 个顶点，因此共有n ＋n (n －2)＝n 2－n 个顶点．答案： n 2－n16．有以下四个命题：(1)2n ＞2n ＋1(n ≥3)；(2)2＋4＋6＋…＋2n ＝n 2＋n ＋2(n ≥1)；(3)凸n 边形内角和为f (n )＝(n －1)π(n ≥3)；(4)凸n 边形对角线条数f (n )＝n (n －2)2(n ≥4)． 其中满足“假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，则当n ＝k ＋1时命题也成立．”但不满足“当n ＝n 0(n 0是题中给定的n 的初始值)时命题成立”的命题序号是________．解析： 当n 取第一个值时经验证(2)(3)(4)均不成立，(1)不符合题意，对于(4)假设n ＝k (k ∈N ＋，k ≥n 0)时命题成立，则当n ＝k ＋1时命题不成立．所以(2)(3)正确．答案： (2)(3)三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)用数学法归纳证明：11×2＋13×4＋…＋1(2n －1)·2n ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋1n ＋n. 证明： (1)当n ＝1时，左边＝11×2＝12， 右边＝12，等式成立． (2)假设当n ＝k 时，等式成立，即11×2＋13×4＋…＋1(2k －1)·2k＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ， 则当n ＝k ＋1时，11×2＋13×4＋…＋1(2k －1)·2k ＋1(2k ＋1)(2k ＋2)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋1(2k ＋1)(2k ＋2) ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋2＋1k ＋1 ＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋… ＋1(k ＋1)＋k ＋1(k ＋1)＋(k ＋1)， 即当n ＝k ＋1时，等式成立．根据(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋等式成立．18．(12分)用数学归纳法证明：n (n ＋1)(2n ＋1)能被6整除．证明： (1)当n ＝1时，1×2×3显然能被6整除．(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，命题成立．即k (k ＋1)(2k ＋1)＝2k 3＋3k 2＋k 能被6整除．当n ＝k ＋1时，(k ＋1)(k ＋2)(2k ＋3)＝2k 3＋3k 2＋k ＋6(k 2＋2k ＋1)，结合假设可知，2k 3＋3k 2＋k,6(k 2＋2k ＋1)都能被6整除，所以2k 3＋3k 2＋k ＋6(k 2＋2k ＋1)能被6整除，即当n ＝k ＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n ∈N ＋原命题成立．19．(12分)证明凸n 边形的对角线条数：f (n )＝12n (n －3)(n ≥4)． 证明： ①当n ＝4时，f (4)＝12×4×(4－3)＝2.四边形有两条对角线，命题成立． ②假设当n ＝k (k ≥1)时，命题成立，即凸k 边形的对角线的条数f (k )＝12k (k －3)(k ≥4)．当n ＝k ＋1时，凸k ＋1边形是在k 边形的基础上增加了一边，增加了一个顶点A k ＋1，增加的对角线条数是顶点A k ＋1与不相邻顶点连线再加上原k 边形的一边A 1A k ，增加的对角线条数为[(k ＋1)－3＋1]＝k －1，f (k ＋1)＝12k (k －3)＋k －1＝12(k 2－k －2) ＝12(k ＋1)(k －2) ＝12(k ＋1)[(k ＋1)－3]． 故n ＝k ＋1时，命题也成立．故①②可知，对任何n ∈N ＋，n ≥4命题成立．20．(12分)求证：(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝⎛⎭⎫1＋12n －1>2n ＋1. 证明： 利用贝努利不等式(1＋x )n >1＋nx (n ∈N ＋，n ≥2，x >－1，x ≠0)的一个特例⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12k －12>1＋2·12k －1⎝ ⎛⎭⎪⎫此处n ＝2，x ＝12k －1，得1＋12k －1>2k ＋12k －1，k 分别取1,2,3，…，n 时，n 个不等式左右两边相乘，得(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋13…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>31·53…2n ＋12n －1. 即(1＋1)⎝⎛⎭⎫1＋13⎝⎛⎭⎫1＋15…⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12n －1>2n ＋1成立．21．(12分)是否存在常数a ，b ，c 使等式(n 2－12)＋2(n 2－22)＋…＋n (n 2－n 2)＝an 4＋bn 2＋c 对一切正整数n 成立？证明你的结论．解析： 存在．分别有用n ＝1,2,3代入，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝0，16a ＋4b ＋c ＝3，81a ＋9b ＋c ＝18⇒⎩⎨⎧ a ＝14，b ＝－14，c ＝0下面用数学归纳法证明．(1)当n ＝1时，由上式可知等式成立；(2)假设当n ＝k 时等式成立，则当n ＝k ＋1时，左边＝[(k ＋1)2－12]＋2[(k ＋1)2－22]＋…＋k [(k ＋1)2－k 2]＋(k ＋1)·[(k ＋1)2－(k ＋1)2]＝(k 2－12)＋2(k 2－22)＋…＋k (k 2－k 2)＋(2k －1)＋2(2k ＋1)＋…＋k (2k ＋1)＝14k 4＋⎝⎛⎭⎫－14k 2＋(2k ＋1)·k (k ＋1)2＝14(k ＋1)4－14(k ＋1)2.由(1)(2)得等式对一切的n ∈N ＋均成立．22．(14分)对于数列{a n }，若a 1＝a ＋1a (a >0，且a ≠1)，a n ＋1＝a 1－1a n. (1)求a 2，a 3，a 4，并猜想{a n }的表达式；(2)用数学归纳法证明你的猜想．解析： (1)∵a 1＝a ＋1a ，a n ＋1＝a 1－1a n， ∴a 2＝a 1－1a 1＝a ＋1a －1a ＋1a＝a 2＋1a －a a 2＋1＝a 4＋a 2＋1a (a 2＋1)， a 3＝a 1－1a 2＝a 6＋a 4＋a 2＋1a (a 4＋a 2＋1)， 同理可得a 4＝a 8＋a 6＋a 4＋a 2＋1a (a 6＋a 4＋a 2＋1)猜想a n ＝a 2n ＋a 2n －2＋...＋a 2＋1a (a 2n －2＋a 2n －4＋ (1)＝a 2n ＋2－1a 2－1a ·a 2n －1a 2－1＝a 2n ＋2－1a (a 2n －1). (2)①当n ＝1时，右边＝a 4－1a (a 2－1)＝a 2＋1－1a ＝a 1，等式成立． ②假设当n ＝k 时(k ∈N *)，等式成立，即a k ＝a 2k ＋2－1a (a 2k －1)，则当n ＝k ＋1时， a k ＋1＝a 1－1a k ＝a 2＋1a －a (a 2k －1)a 2k ＋2－1＝(a 2＋1)(a 2k ＋2－1)－a 2(a 2k －1)a (a 2k ＋2－1)＝a 2(k ＋2)－1a (a 2(k ＋1)－1)， 这就是说，当n ＝k ＋1时，等式也成立，根据①②可知，对于一切n ∈N *，全册质量检测一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知：a ＋b >0，b <0，那么( )A ．a >b >－a >－bB ．a >－a >b >－bC ．a >－b >b >－aD ．－a >－b >a >b解析： ∵a ＋b >0∴a >－b ，b >－a∵b <0∴－b >0>b∴a >－b >b >－a答案： C2．“a ＋c >b ＋d ”是“a >b 且c >d ”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 解析： 易得a >b 且c >d 时必有a ＋c >b ＋d .若a ＋c >b ＋d 时，则可能有a >d 且c >d ，选A. 答案： A3．a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，则( )A ．ab ≤12B ．ab ≥12C ．a 2＋b 2≥2D ．a 2＋b 2≤3解析： 由a ≥0，b ≥0，且a ＋b ＝2，∵4＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2ab ≤2(a 2＋b 2)，∴a 2＋b 2≥2.选C.答案： C4．若不等式|2x －3|>4与不等式x 2＋px ＋q >0的解集相同，则p ∶q 等于() A ．12∶7 B ．7∶12C ．(－12)∶7D ．(－3)∶4解析： |2x －3|>4⇔2x －3>4或2x －3<－4⇔x >72或x <－12，∴72－12＝－p ，p ＝－3，72×⎝⎛⎭⎫－12＝q ，q ＝－74，∴p ∶q ＝12∶7.答案： A5．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对一切x ∈⎝⎛⎦⎤0，12恒成立，则a 的最小值为() A ．0 B ．－2C ．－52D ．－3解析： ∵x 2＋ax ＋1≥0∴a ≥－⎝⎛⎭⎫x ＋1x ，x ∈⎝⎛⎦⎤0，12，又∵－⎝⎛⎭⎫x ＋1x 的最大值为－52，。
【人教A版】高中数学选修4-5课后习题解答
新课程标准数学选修4—5 不等式选讲课后习题解答第一讲 不等式和绝对值不等式 习题1.1 （P9）1、（1）假命题. 假如32>，但是3(1)2(1)⋅-<⋅-. （2）假命题. 假如32>，但是223020⋅=⋅. （3）假命题. 假如12->-，但是22(1)(2)-<-.（4）真命题. 因为c d <，所以c d ->-，因此a c a d ->-. 又a b >，所以a d b d ->-. 因此a c b d ->-. 2、因为22(1)(2)(3)(6)(32)(318)200x x x x x x x x ++--+=++-+-=> 所以(1)(2)(3)(6)x x x x ++>-+3、（1）因为a b >，10ab >，所以11a b ab ab ⨯>⨯，即11b a>，即11a b <； （2）因为a b >，0c <，所以ac bc <. 因为c d <，0b >，所以bc bd <. 因此ac bd <.4、不能得出. 举反例如下：例如23->-，14->-，但是(2)(1)(3)(4)-⨯-<-⨯-.5、（1）因为,a b R +∈，a b ≠，所以22a b ≠，即b aa b ≠. 所以2b a a b +>=.（2）因为0a b +>>，所以1a b <+所以122ab ab a b ⨯<=+2aba b <+6、因为,,a b c 是不全相等的正数所以a b +≥b c +≥，c a +≥，以上不等式不可能全取等号.所以（1）()()()8a b b c c a abc +++>=（2）()()()a b b c c a +++++>所以a b c ++>7、因为222a b ab +≥，222b c bc +≥，222c d cd +≥，222d a da +≥ 所以22222222()()()()2()a b b c c d d a ab bc cd da +++++++≥+++ 即2222a b c d ab bc cd da +++≥+++8、因为2211112a x a x +≥，2222222a x a x +≥，……，222n n n n a x a x +≥ 所以22222212121122()()2()n n n n a a a x x x a x a x a x +++++++≥+++即112222()n n a x a x a x ≥+++，所以11221n n a x a x a x +++≤9、因为2222222222(2)()()02244x y x y x y x y xy x y +++-++--==≥， 所以222()22x y x y ++≥. 10222=≥=22≥11、因为,,a b c R +∈，1a b c ++=，所以2222222223()2()()a b c a b c a b c ++=+++++222222222222()()()()222()()1a b b c c a a b c a b b c c a a b ca b c =++++++++≥+++++=++=所以22213a b c ++≥12、（1）因为,,a b c R +∈，所以3a b c b c a ++≥，3b c a a b c ++≥= 所以()()9a b c b c ab c a a b c++++≥（2）因为,,a b c R +∈，所以0a b c ++≥>，2220a b c ++≥所以222()()9a b c a b c abc ++++≥= 13、设矩形两边分别为,a b ，对角线为定值d ，则222a b d +=∴222222()22()2a b a b ab a b d +=++≤+=∴a b +≤，2()a b +≤ ∴当且仅当a b =时，以上不等式取等号.∴当矩形为正方形时，周长取得最大值，最大值为因为22222a b d ab +≤=，当且仅当a b =时等号成立 所以当矩形为正方形时，面积取得最大值，最大值为22d14、因为222()2h r R +=，所以22244r h R +=.根据三个正数的算术—几何平均不等式，得2222422R r r h =++≥所以，球内接圆柱的体积2V r h π=≤当且仅当222r h =，即r =，h R =时，V 取最大值.15、因为222a b ab +≥，所以2212ab a b ≤+，即2212b a a b ⨯≤+. 由于220min{,}b h a a a b <=≤+，22220min{,}b bh a a b a b <=≤++所以22212b h a a b ≤⨯≤+，从而h ≤习题1.2 （P19）1、（1）()()22a b a b a b a b a a ++-≥++-==（2）2()2a b b a b b a b -+≥-+=+，所以2a b a b b +--≤2、证法一：2212112x xx x x x x x+++==≥=. 证法二：容易看出，无论0x >，还是0x <，均有11x x x x+=+所以112x x x x +=+≥3、（1）()()x a x b a x x b a x x b a b -+-=-+-≥-+-=- （2）因为()()a b x b b a x b b a x b x a -+-=-+-≥-+-=- 所以x a x b a b ---≤-另证：()()x a x b x a x b a b ---≤---=-4、（1）()()()()22A B a b A a B b A a B b εεε+-+=-+-≤-+-<+=（2）()()()()22A B a b A a b B A a b B A a B b εεε---=-+-≤-+-=-+-<+=5、4646(4)(6)2y x x x x x x =-+-=-+-≥-+-= 当且仅当(4)(6)0x x --≥，即[4,6]x ∈时，函数y 取最小值2.6、7、8、（1）5235x -<-< 228x -<< 14x -<<∴原不等式的解集为(1,4)-（2）251x -≤-或251x -≥ 24x ≤或26x ≥ 2x ≤或3x ≥∴原不等式的解集为(,2][3,)-∞+∞ （3）13132x -<+< 1422x -<<84x -<<∴原不等式的解集为(8,4)-（4）2418x -≥ 414x -≥414x -≤-或414x -≥ 43x ≤-或45x ≥ 34x ≤-或54x ≥ ∴原不等式的解集为35(,][,)44-∞-+∞（1）6341x -≤+<-或1346x <+≤ 1035x -≤<-或332x -≤≤ 10533x -≤<-或213x -≤≤ ∴原不等式的解集为1052[,)(1,]333---（2）9523x -<-≤-或3529x ≤-< 1428x -<-≤-或224x -≤-< 47x ≤<或21x -<≤ ∴原不等式的解集为(2,1][4,7)-（1）令30x -=，50x -=得3x =，5x = ①当3x <时354x x -+-+≥9、(1,)a ∈+∞第二讲 证明不等式的基本方法 习题2.1 （P23）1、因为a b >，所以0a b ->. 因此33()a b ab a b ---222222()()()()()()()0a b a ab b ab a b a b a ab b ab a b a b =-++--=-++-=-+>所以33()a b ab a b ->-2、因为ad bc ≠，所以22222()()()a b c d ac bd ++-+（2）令20x -=，30x +=得2x =，3x =- ①当3x <-时234x x -+--≥ 52x ≤-∴3x <-②当32x -≤<时234x x -+++≥ 54≥ ∴32x -≤< ③当2x ≥时234x x -++≥32x ≥∴2x ≥∴原不等式的解集为R（3）令10x -=，20x -=得1x =，2x = ①当1x <时122x x -+-+<12x >∴112x << ②当12x ≤<时 122x x --+< 12< ∴12x ≤< ③当2x ≥时122x x -+-<52x <∴522x ≤<∴原不等式的解集为15(,)22222222222222()(2)()0a c a dbc bd a c a b c d b da dbc =+++-++=->所以22222()()()a b c d ac bd ++>+3、因为a b ≠，所以42242264()a a b b ab a b ++-+4224222222222222424()4()2()(2)(2)(2)()0a ab b a b ab a ba b a b a b a b a b a b a b =++-++=+-+⋅+=+-=->所以42242264()a a b b ab a b ++>+ 4、因为,,a b c 是正数，不妨设0a b c ≥≥>，则()1a b a b -≥，()1b c b c -≥，()1c a ca -≥因为0b c c aaa bc+++>，且222222()()(a b c a bcbcab ccaaba bc a babca bcbc a---------+++==≥所以222a b c b c c a a b a b c a b c +++≥ 习题2.2 （P25）1、因为222252(2)(2)(1)0a b a b a b ++--=-+-≥，所以2252(2)a b a b ++≥-.2、（1）因为2(1)()(1)(1)()()ab a b ab ac bc c a b a c b c ++++++=++++16c a b c ≥⨯= 所以2(1)()16ab a b ab ac bc c abc ++++++≥（2）因为3322()()()()()a b a b ab a b a ab b a b ab +-+=+-+-+222()(2)()()0a b a a b b a b a b =+-+=+-≥ 所以33()a b a b ab +≥+，33()b c b c bc +≥+，33()c a c a ca +≥+ 所以3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++ 3、略.4、要证明1110a b b c c a ++>---，即证明111a b b c a c+>--- 因为a b c >>，所以0a c a b ->->，从而110a b a c>>-- 又因为10b c >-，所以111a b b c a c +>---，所以1110a b b c c a ++>---5、要证2m m n +≥()2m nn m m n m n ++≥.因为2()()2m n m n m nm n mn ++++≥= 只需证2()m n n m mn m n +≥，即证22()m n n m mn m n +≥，只需证()1m n mn -≥，不妨设m n ≥，则0m n -≥所以()1m n mn -≥. 所以，原不等式成立.6、要证明()()f a f b a b -<-，即a b <-，即a b <-因为a b ≠，所以只需证a b +<∵a b a b +≤+<∴a b +<，从而原不等式成立.7、22log (1)log (1)[(log (1)log (1)][(log (1)log (1)]a a a a a a x x x x x x --+=-++--+21l o g (1)l o g 1a a xx x -=-+ 又因为01x <<，所以2011x <-<，1011xx-<<+. 所以21log (1)log 01a axx x -->+ 所以22log (1)log (1)0a a x x --+>，即22log (1)log (1)a a x x ->+ 从而log (1)log (1)a a x x ->+8、因为0n >，所以2244322n n n n n +=++≥= 9、因为22221(1)(1)0ab a b a b ---=-->，所以1ab a b ->-习题2.3 （P29）1、因为0,,1a b c <<，根据基本不等式2(1)10(1)()24a a a a -+<-≤= 2(1)10(1)()24b b b b -+<-≤=，2(1)10(1)()24c c c c -+<-≤= 所以31(1)(1)(1)()4a a b b c c -⨯-⨯-≤假设(1),(1),(1)a b b c c a ---都大于14，则31(1)(1)(1)()4a b b c c a -⨯-⨯->这与31(1)(1)(1)()4a ab bc c -⨯-⨯-≤矛盾. 所以(1),(1),(1)a b b c c a ---不能都大于14.2、一方面，222211111111234233445(1)n n n ++++>++++⨯⨯⨯+1111111111()()()()233445121n n n =-+-+-++-=-++ 另一方面，222211111111234122334(1)n n n++++<++++⨯⨯⨯-111111111(1)()()()1223341n n n n n-=-+-+-++-=-=-所以，2222111111121234n n n n --<++++<+3、当1n =时，不等式12n++<1<.当2n ≥<<<<所以1<，<-，<，……，<所以11(3nn++4、假设2211(1)(1)9x y --<. 由于,0x y >且1x y += 所以2222221111(1)(1)x y x y x y----=⨯2222(1)(1)(1)(1)(1)(1)111291x x y y x y x y y x x y x y x y x x x x+-+-=⨯++=⨯++=⨯+-=⨯<-得2(21)0x -<，这与2(21)0x -≥矛盾，所以2211(1)(1)9x y--≥ 5、因为2r h V π=（定值）所以，圆柱的表面积222S r rh ππ=+22r rh rhπππ=++≥== 当且仅当22r rh rh πππ==时，等号成立.所以，当2h r =，即h r ==. 6、2(1π 第三讲 柯西不等式与排序不等式 习题3.1 （P36）1、函数定义域为[5,6]，且0y ≥5y=≤=当且仅当=13425x=时，函数有最大值5.2、三维柯西不等式2222222123123112233()()()a a ab b b a b a b a b++++≥++三维三角不等式2221)(z x+≥-3、因为22236x y+≤，所以2x y+≤=.因此2x y+4、因为221a b+=，所以cos sin1a bθθ+≤5、因为1a b+=，所以2212121212()()(()ax bx bx ax a b x x x x++≥=+=6、222()(14)(2)1x y x y++≥+=，即2215x y+≥当且仅当12,55x y==时，22x y+有最小值157、2119()(2)22a bb a++≥=当且仅当21ab=（,a b R+∈）时，函数有最小值928、12()()pf x qf x+=12()f px qx=+9、3sin3siny x x=++≤=当且仅当tan x=习题3.2 （P41）1、22111111()()39a b ca b c a b c++=++++≥==推广：若12,,,nx x x R+∈，且121nx x x+++=，则212111nnx x x+++≥.证：121212111111()()n n nx x x x x x x x x +++=++++++221x n x ≥+⋅= 2、因为2222222222224()(1111)()a b c d a b c d +++=++++++ 222(1111)()11a b c d a b c d ≥⋅+⋅+⋅+⋅=+++==所以222214a b c d +++≥ 3、22121212111111()()()n n n x x x x x x n x x x x x x ++++++≥⋅+⋅++⋅= 4、2221112()a b b c ca ab bc c a++=++++++++222111()()9a b b c c a a b c a b c a b c a b b c c aa b c+++=+++++++++++++≥+===++上式中等号不成立，这是由于,,a b c 是互不相等的正数， 所以111:::a b b c c a a b c a b a b c b c a b c c a+++≠≠+++++++++.5、因为2222222()(234)(234)10100x y z xy z ++++≥++==，所以22210029x y z ++≥.当且仅当203040,,292929x y z ===时，222x y z ++有最小值10029. 6、因为2221212()(1)111n nx x x n x x x +++++++222121212212()[(1)(1)(1)]111()1n n nn x x x x x x x x x x x x =++++++++++++≥+++=所以222121211111n n x x x x x x n +++≥++++ 习题3.3 （P45） 1、由加法交换律及12,,,n c c c 的任意性，不妨假设12n a a a ≤≤≤，这不影响题意.由排序不等式，等222112212n n na c a c a c a a a +++≤+++. 2、由于要证的式子中,,a b c 是轮换对称的，所以不妨假设a b c ≤≤. 于是222a b c ≤≤.由排序不等式，得222222a a b b c c a b b c c a ++≥++222222a a b b c c a c b a c b ++≥++两式相加，得3332222()()()()a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 3、由于要证的式子中123,,a a a 是轮换对称的，所以不妨假设123a a a ≥≥. 于是123111a a a ≤≤，233112a a a a a a ≤≤ 由排序不等式，得122331233112231312312111a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++≥⋅+⋅+⋅=++ 即122331231312a a a a a a a a a a a a ++≥++ 4、用柯西不等式证明如下：因为2222212123112231()()()n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a -++++++++≥+++所以222212112231n n n n a a a aa a a a a a a -++++≥+++.用排序不等式证明如下： 设120n i i i a a a ≥≥≥>，其中12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列则12222ni i i a a a ≥≥≥，12111ni i i a a a ≤≤≤.由排序不等式知，反序和最小，从而12122222222121231111n nn n i i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a -++++≥⋅+⋅++⋅1212n i i i n a a a a a a =+++=+++所以222212112231n n n n a a a a a a a a a a a -++++≥+++习题4.1 （P50）1、（1）当1n =时，左边=1，右边=1， 所以，左边=右边，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2135(21)k k ++++-=.当1n k =+时，22135(21)2(1)12(1)1(1)k k k k k ++++-++-=++-=+.所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，2135(21)n n ++++-=2、（1）当1n =时，左边=1，右边11(11)(211)16=⨯⨯+⨯+=， 所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即21149(1)(21)6k k k k ++++=++.当1n k =+时，2221149(1)(1)(21)(1)6k k k k k k ++++++=++++21(1)(276)61(1)(2)[2(1)1]6k k k k k k =+++=++++所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，21149(1)(21)6n n n n ++++=++3、（1）当1n =时，左边144=⨯=，右边2124=⨯=， 所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即21427310(31)(1)k k k k ⨯+⨯+⨯+++=+.当1n k =+时，1427310(31)(1)[3(1)1]k k k k ⨯+⨯+⨯+++++++2(1)(1)[3(1)1]k k k k =+++++ 22(1)(44)(1)[(1)1]k k k k k =+++=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，21427310(31)(1)n n n n ⨯+⨯+⨯+++=+4、（1）当1n =时，因为211211x y x y ⨯-⨯-+=+能被x y +整除，所以命题成立. （2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2121k k x y --+能被x y +整除. 当1n k =+时， 2(1)12(1)12121k k k k x y x y +-+-+++=+2122212122212212212212121222212121()()()()()k k k k k k k k k k k k x x y y x x x y x y y y x xyyy x x x y yy x y x------------=+=+-+=++-=+++-上式前后两部分都能被x y +整除，所以，当1n k =+时命题成立. 由（1）（2）知，2121n n x y --+能被x y +整除.5、凸n 边形有1(3)2n n -条对角线. 下面证明这个命题.（1）当3n =时，三角形没有对角线，即三角形有0条对角线，命题成立.（2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即凸k 边形有1(3)2k k -条对角线.当1n k =+时， 凸(1)k +边形的对角线条数为2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，凸n 边形有1(3)2n n -条对角线.6、这样的n 条直线把平面分成的区域数目为1(1)2n nf n =++. 下面证明这个命题.（1）当1n =时，平面被分为112+=个区域，111(11)22f =++=，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即有1(1)2k kf k =++.当1n k =+时， 第1k +条直线与前面k 条直线有k 个不同交点即，它被前面k 条直线截成1k +段，其中每一段都把它所在的原区域一分为二，也即使原区域数目增加1k +.于是11(1)1(1)(1)1(2)22k k k k f f k k k k ++=++=++++=++ 2111(3)(2)1(2)(1)[(1)3]222k k k k k k k -+-+=--=++- 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，对任意正整数n ，命题都成立. 习题4.2 （P53）1、（1）当3n =时，左边11(123)(1)1123=++++=，右边233111=+-=所以，左边=右边，命题成立. （2）假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即211(12)(1)12k k k k++++++≥+-. 当1n k =+时，111(121)(1)21k k k k ++++++++++ 22222111111(12)(1)(12)(1)(1)2121111111111(1)(1)(1)2121211111111(1)(1)(1)21223413251221231(1)(1)1k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k =++++++++++++++++++≥+-+++++++++++++++>+-+++++++++=+-+++>++=+++-所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对大于2的一切正整数成立. 2、（1）当17n ≥时，有42n n >.①当17n =时，17421310728352117=>=，命题成立. ②假设当(17)n k k =≥时，命题成立，即42k k > 当1n k =+时，14422221k kk k k k k k k k +=⋅>>+>++++=+所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于17的正整数成立.（2）当3n ≥时，有1(1)n n n+<.①当3n =时，3164(1)3327+=<，命题成立. ②假设当(3)n k k =≥时，命题成立，即1(1)k k k+<当1n k =+时，1111(1)(1)(1)111k k k k k ++=+++++ 11(1)(1)11(1)11k k k k k k <+++<++<+ 所以，当1n k =+时，命题成立.由①②知，命题对一切不小于3的正整数成立.3、（1）当2n =时，212122-<，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222111123k k k-+++< 当1n k =+时，2222211111123(1)(1)k k k k k -++++<+++3232221(1)1(1)(1)1k k k k k k k k k k +-++-=<=+++ 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对任意大于1的正整数成立. 4、不妨设a b c <<，a b d =-，c b d =+.（1）当2n =时，2222222()()222a c b d b d b d b +=-++=+>，命题成立. （2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即2k k k a c b +> 当1n k =+时，1111k k k k k k a c a ac ac c +++++=+-+1()()()2222()22()22k k k k k k kkkkkk k a a c c c a a a c d ca b d c b d b d cb d b d b b+=++-=++>+=-+>-+= 所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.5、（1）当1n =时，212(11)22⨯+<，命题成立.（2）假设当(1)n k k =≥时，命题成立，即2(1)(1)22k k k k a ++<<. 当1n k =+时，2(1)(1)22k k k k a +++<+<21(1)(1)23(1)222k k k k k k a ++++++<<+ 21(1)(2)(2)22k k k k a ++++<<所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切正整数成立.6、（1）当2n =时，12121212sin()sin cos cos sin sin sin αααααααα+=+<+，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即1212sin()sin sin sin k k αααααα+++<+++当1n k =+时，121sin()k k αααα+++++121121121121sin()cos cos()sin sin()sin sin sin sin sin k k k k k k k k αααααααααααααααα++++=+++++++≤++++<++++所以，当1n k =+时，命题成立. 由（1）（2）知，命题对一切大于1的正整数成立.7、（1）当2n =时，2222212121122()()()a a b b a b a b ++≥+，命题成立.（2）假设当(2)n k k =≥时，命题成立，即222222212121122()()()k k k k a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当1n k =+时，22222222121121()()k k k k a a a a b b b b ++++++++++2222222222222222121212111211()()()()k k k k k k k k a a a b b b a a a b a b b b a b ++++=+++++++++++++++22222222211221111121222221122111111222112211()2()()()2()()k k k k k k k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++≥+++++++++++≥++++++++=+++所以，当1n k =+时，命题成立.由（1）（2）知，命题对一切不小于2的正整数成立即，222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++.8、（1）21212111()()n na a a n a a a ++++++≥ （2）①当1n =时，21111aa ⋅=，命题成立. ②假设当(2n k k =≥时，命题成立，即21212111()()k ka a a k a a a ++++++≥ 当1n k =+时，1211211111()()k k k k a a a a a a a a ++++++++++ 12121121122221111111()()()()11)()1(1)k k k kk kk a a a a a a a a a a a a a a k a a a a k k ++=+++++++++++++++≥+++++++≥+++所以，当1n k =+时，命题成立. 由①②知，命题对一切正整数成立。
高中数学人教A版选修4-5学案：第3讲 2 一般形式的柯西不等式 Word版含解析
二 一般形式的柯西不等式1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．(重点)2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理1 三维形式的柯西不等式阅读教材P 37～P 38“探究”以上部分，完成下列问题．设a 1，a 2，a 3，b 1，b 2，b 3∈R ，则(a 21＋a 22＋a 23)·(b 21＋b 22＋b 23)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3)2.当且仅当b 1＝b 2＝b 3＝0或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．已知x ，y ，z ∈R ＋且x ＋y ＋z ＝1，则x 2＋y 2＋z 2的最小值是( ) A ．1 B.13 C.23 D ．2【解析】 根据柯西不等式，x 2＋y 2＋z 2＝13(12＋12＋12)·(x 2＋y 2＋z 2)≥13(1×x ＋1×y ＋1×z )2＝13(x ＋y ＋z )2＝13.【答案】 B教材整理2 一般形式的柯西不等式 阅读教材P 38～P 40，完成下列问题．设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.当且仅当b i ＝0(i＝1,2，…，n )或存在一个数k ，使得a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D.4【解析】 (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x na n＝1时取等号，∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1. 【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]利用柯西不等式求最值已知a ，b ，c ∈(0，＋∞)，1a ＋2b ＋3c ＝2，求a ＋2b ＋3c 的最小值及取得最小值时a ，b ，c 的值．【精彩点拨】 由于1a ＋2b ＋3c ＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b ＋3c ·(a ＋2b ＋3c )＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2][(a )2＋(2b )2＋(3c )2]≥⎝⎛⎭⎪⎫1a ·a ＋2b ·2b ＋3c ·3c 2＝(1＋2＋3)2＝36. 又1a ＋2b ＋3c ＝2， ∴a ＋2b ＋3c ≥18，当且仅当a ＝b ＝c ＝3时等号成立， 综上，当a ＝b ＝c ＝3时， a ＋2b ＋3c 取得最小值18.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x ＋4y ＋9z ＝1，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式，知(x ＋4y ＋9z )2≤(12＋42＋92)(x 2＋y 2＋z 2) ＝98(x 2＋y 2＋z 2)． 又x ＋4y ＋9z ＝1， ∴x 2＋y 2＋z 2≥198，(*)当且仅当x ＝y 4＝z9时，等号成立， ∴x ＝198，y ＝249，z ＝998时，(*)取等号．因此，x 2＋y 2＋z 2的最小值为198.运用柯西不等式求参数的取值范围已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝xyz ，且不等式1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤λ恒成立，求λ的取值范围．【精彩点拨】 “恒成立”问题需求1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】 ∵x >0，y >0，z >0. 且x ＋y ＋z ＝xyz . ∴1yz ＋1xz ＋1xy ＝1. 又1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x≤12⎝⎛⎭⎪⎫1xy ＋1yz ＋1zx ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1·1xy ＋1·1yz ＋1·1zx ≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(12＋12＋12)⎝ ⎛⎭⎪⎫1xy ＋1yz ＋1zx 12＝32，当且仅当x ＝y ＝z ，即x ＝y ＝z ＝3时等号成立． ∴1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x的最大值为32. 故1x ＋y ＋1y ＋z ＋1z ＋x ≤λ恒成立时， 应有λ≥32.因此λ的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，＋∞.应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．[再练一题]2．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，试求a 的取值范围.【导学号：32750052】【解】 由a ＋b ＋c ＋d ＝3，得b ＋c ＋d ＝3－a ， 由a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，得2b 2＋3c 2＋6d 2＝5－a 2， (2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2，即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2.由条件可得，5－a 2≥(3－a )2，解得1≤a ≤2， 所以实数a 的取值范围是[1,2]．[探究共研型]利用柯西不等式证明不等式探究 a i ＝kb i (i ＝1,2,3，…，n )，可以吗？【提示】 不可以．若b i ＝0而a i ≠0，则k 不存在．已知a ，b ，c ∈R ＋，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a b a ＋c b ＋ac ≥9.【精彩点拨】 对应三维形式的柯西不等式，a 1＝ab ，a 2＝bc ，a 3＝c a ，b 1＝ba ，b 2＝cb ，b 3＝ac ，而a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3＝1，因而得证．【自主解答】 ∵a ，b ，c ∈R ＋， 由柯西不等式，知 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b ＋b c ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ＝[⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫b c 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c a 2]×[⎝⎛⎭⎪⎫b a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫c b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a c 2] ≥⎝⎛⎭⎪⎫a b ×b a ＋b c ×c b ＋c a ×a c 2 ＝(1＋1＋1)2＝9， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫ab ＋bc ＋c a ⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋c b ＋a c ≥9.1．当a i ，b i 是正数时，柯西不等式变形为(a 1＋a 2＋…＋a n )(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c ∈R ＋，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. 【解】 (1)因为f (x ＋2)＝m －|x |，f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m . 由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }． 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1.(2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1.又a ，b ，c ∈R ＋，由柯西不等式得a ＋2b ＋3c＝(a＋2b＋3c)⎝⎛⎭⎪⎫1a＋12b＋13c≥⎝⎛⎭⎪⎫a·1a＋2b·12b＋3c·13c2＝9.[构建·体系]一般形式的柯西不等式—⎪⎪⎪⎪—三维形式—一般形式—一般形式的应用1．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a·b的最小值为()A．18 B．6C．－18 D.12【解析】|a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤18.∴－18≤a·b≤18，当a，b反向时，a·b最小，最小值为－18.【答案】 C2．若a21＋a22＋…＋a2n＝1，b21＋b22＋…＋b2n＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋a n b n的取值范围是()A．(－∞，2) B．[－2,2]C．(－∞，2] D.[－1,1]【解析】∵(a21＋a22＋…＋a2n)(b21＋b22＋…＋b2n)≥(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2，∴(a1b1＋a2b2＋…＋a n b n)2≤4，∴|a1b1＋a2b2＋…＋a n b n|≤2，即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋a n b n≤2，当且仅当a i＝12b i(i＝1,2，…，n)时，右边等号成立；当且仅当a i ＝－12b i (i ＝1,2，…，n )时，左边等号成立，故选B. 【答案】 B3．(2014·陕西高考)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则 m 2＋n 2的最小值为________．【解析】 根据柯西不等式(ma ＋nb )2≤(a 2＋b 2)(m 2＋n 2)，得25≤5(m 2＋n 2)，m 2＋n 2≥5，m 2＋n 2的最小值为 5. 【答案】54．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c 的最小值为________.【导学号：32750053】【解析】 由a ，b ，c 为正数， ∴(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 2＋＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝121，当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k >0)时等号成立． 故(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b ＋36c 的最小值是121.【答案】 1215．已知实数x ，y ，z 满足x ＋2y ＋z ＝1，求t ＝x 2＋4y 2＋z 2的最小值． 【解】 由柯西不等式得(x 2＋4y 2＋z 2)(1＋1＋1)≥(x ＋2y ＋z )2. ∵x ＋2y ＋z ＝1，∴3(x 2＋4y 2＋z 2)≥1，即x 2＋4y 2＋z 2≥13.当且仅当x ＝2y ＝z ＝13，即x ＝13，y ＝16，z ＝13时等号成立．故x 2＋4y 2＋z 2的最小值为13.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评（十）(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．设a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，则a＋b＋c的最大值是() A．1 B. 3C．3 D.9【解析】由柯西不等式得[(a)2＋(b)2＋(c)2](12＋12＋12)≥(a＋b＋c)2，∴(a＋b＋c)2≤3×1＝3，当且仅当a＝b＝c＝13时等号成立．∴a＋b＋c的最大值为 3.故选B.【答案】 B2．设a，b，c是正实数，且a＋b＋c＝9，则2a＋2b＋2c的最小值为()【导学号：32750054】A．4 B．3 C．6 D.2【解析】 ∵(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋2b ＋2c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]· ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2b 2＋⎝⎛⎭⎪⎫2c 2≥ ⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·2b ＋c ·2c 2＝18.∴2a ＋2b ＋2c ≥2. 【答案】 D3．设a 1，a 2，…，a n 为实数，P ＝a 21＋a 22＋…＋a 2nn ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则P 与Q 的大小关系为( )A ．P ＞QB ．P ≥QC ．P ＜QD.不确定【解析】 由柯西不等式知≥a 1＋a 2＋…＋a n ， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ·n ≥a 1＋a 2＋…＋a n ，即得a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥a 1＋a 2＋…＋a n n，∴P ≥Q .【答案】 B4．若实数x ＋y ＋z ＝1，则F ＝2x 2＋y 2＋3z 2的最小值为( ) A ．1 B ．6 C ．11 D.611【解析】 ∵(2x 2＋y 2＋3z 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＋13≥2x ·12＋y ·1＋3z ·13＝(x ＋y ＋z )2＝1，∴2x 2＋y 2＋3z 2≥1116＝611，即F ≥611，当且仅当2x ＝y ＝3z 时，取等号．【答案】 D5．已知x ，y ，z 均大于0，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为( ) A ．24 B ．30 C ．36 D ．48 【解析】 (x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x ·1x ＋y ·2y ＋z ·3z 2＝36，∴1x ＋4y ＋9z ≥36. 【答案】 C 二、填空题6．已知a ，b ，c ∈R ，且2a ＋2b ＋c ＝8，则(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是__________．【解析】 由柯西不等式得：(4＋4＋1)×[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥[2(a －1)＋2(b ＋2)＋c －3]2，∴9[(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2]≥(2a ＋2b ＋c －1)2. ∵2a ＋2b ＋c ＝8，∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2≥499， ∴(a －1)2＋(b ＋2)2＋(c －3)2的最小值是499. 【答案】 4997．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________． 【解析】 ∵a ＋2b ＋3c ＝6，∴1×a ＋1×2b ＋1×3c ＝6.∴(a 2＋4b 2＋9c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋2b ＋3c )2，即a 2＋4b 2＋9c 2≥12.当且仅当1a ＝12b ＝13c ，即a ＝2，b ＝1，c ＝23时取等号．【答案】 128．设x ，y ，z ∈R ，若(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2＝4，则3x －y －2z 的取值范围是__________．又3x －y －2z 取最小值时，x 的值为__________．【解析】 [(x －1)2＋(y ＋2)2＋z 2][32＋(－1)2＋ (－2)2]≥(3x －3－y －2－2z )2,4×14≥(3x －y －2z －5)2， ∴－214≤3x －y －2z －5≤214， 即5－214≤3x －y －2z ≤5＋214.若3x －y －2z ＝5－214，又x －13＝y ＋2－1＝z－2＝t ，∴3(3t ＋1)－(－t －2)－2(－2t )＝5－214， ∴t ＝－147，∴x ＝－3147＋1.【答案】 [5－214，5＋214] －3147＋1 三、解答题9．已知正数x ，y ，z 满足x ＋y ＋z ＝1. (1)求证：x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥13；(2)求4x ＋4y ＋4z 2的最小值．【解】 (1)证明：⎝ ⎛⎭⎪⎫x2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ·(y ＋2z ＋z ＋2x ＋x ＋2y )≥x y ＋2z·y ＋2z ＋y z ＋2x·z ＋2x ＋z x ＋2y·x ＋2y ＝1，即3⎝⎛⎭⎪⎫x2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y ≥1， ∴x 2y ＋2z ＋y 2z ＋2x ＋z 2x ＋2y≥13. (2)由基本不等式，得4x＋4y＋4z 2≥334x ＋y ＋z 2，因为x ＋y ＋z ＝1，所以x ＋y ＋z 2＝1－z ＋z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫z －122＋34≥34，故4x ＋4y ＋4z 2≥33434＝32，当且仅当x ＝y ＝14，z ＝12时等号成立， 所以4x ＋4y ＋4z 2的最小值为3 2.10．已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的所有系数均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，求证：对于任何正数x 1，x 2，当x 1·x 2＝1时，必有f (x 1)·f (x 2)≥1.【证明】 由于f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 且a ，b ，c 大于0，∴f (x 1)·f (x 2)＝(ax 21＋bx 1＋c )(ax 22＋bx 2＋c )≥(ax 1·ax 2＋bx 1·bx 2＋c )2 ＝(ax 1x 2＋b x 1x 2＋c )2 ＝[f (x 1x 2)]2＝[f (1)]2.又f (1)＝a ＋b ＋c ，且a ＋b ＋c ＝1， ∴f (x 1)·f (x 2)≥1.[能力提升]1．若2a ＞b ＞0，则a ＋4(2a －b )·b的最小值为( )A ．1B ．3C ．8D.12【解析】 ∵2a ＞b ＞0，∴2a －b ＞0， ∴a ＋4(2a －b )·b ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2a －b )＋b ＋8(2a －b )·b ≥12·33(2a －b )·b ·8(2a －b )·b＝3.当且仅当2a－b＝b＝8(2a－b)·b，即a＝b＝2时等号成立，∴当a＝b＝2时，a＋4(2a－b)·b有最小值3.【答案】 B2．设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则a＋b＋cx＋y＋z＝()A.14 B.13C.12 D.34【解析】由柯西不等式得，(a2＋b2＋c2)(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝400，当且仅当ax ＝by＝cz＝12时取等号，因此有a＋b＋cx＋y＋z＝12.【答案】 C3．已知a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝6，则2a＋2b＋1＋2c＋3的最大值为________.【导学号：32750055】【解析】由柯西不等式得：(2a＋2b＋1＋2c＋3)2＝(1×2a＋1×2b＋1＋1×2c＋3)2≤(12＋12＋12)(2a＋2b＋1＋2c＋3)＝3(2×6＋4)＝48.当且仅当2a＝2b＋1＝2c＋3，即2a＝2b＋1＝2c＋3时等号成立．又a＋b＋c＝6，∴a＝83，b＝136，c＝76时，2a＋2b＋1＋2c＋3取得最大值4 3.【答案】4 34．△ABC的三边长为a，b，c，其外接圆半径为R.求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.【证明】 由三角形中的正弦定理，得 sin A ＝a 2R ，所以1sin 2A ＝4R 2a 2， 同理1sin 2B ＝4R 2b 2，1sin 2C ＝4R 2c 2， 于是由柯西不等式可得左边＝(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫4R 2a 2＋4R 2b 2＋4R 2c 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ·2Ra ＋b ·2R b ＋c ·2R c 2＝36R 2， ∴原不等式得证．。
最新精编高中人教A版选修4-5高中数学拔高习题八2.3和答案
温馨提示：课时提升作业八反证法与放缩法一、选择题(每小题6分,共18分)1.(2016·泰安高二检测)证明命题“a,b∈N,如果ab可被5整除,那么a,b至少有一个能被5整除”,则假设的内容是( )A.a,b都能被5整除B.a,b都不能被5整除C.a不能被5整除D.a,b有一个不能被5整除【解析】选B.“a,b至少有一个能被5整除”包括“a,b中有且只有一个能被5整除或a,b都能被5整除”,其反面为“a,b都不能被5整除”.【补偿训练】用反证法证明命题“三角形的内角中至多有一个钝角”时,反设正确的是( )A.三个内角中至少有一个钝角B.三个内角中至少有两个钝角C.三个内角都不是钝角D.三个内角都不是钝角或至少有两个钝角【解析】选B.“至多有一个”即要么一个都没有,要么有一个,故反设为“至少有两个”.2.已知a+b+c>0,ab+bc+ac>0,abc>0,用反证法求证a>0,b>0,c>0时的假设为( )A.a<0,b<0,c<0B.a ≤0,b>0,c>0C.a,b,c 不全是正数D.abc<0 【解析】选C.a>0,b>0,c>0的反面是a,b,c 不全是正数.3.已知a>0,b>0,设P=+,Q=,则P 与Q 的大小关系是 ( ) A.P>QB.P<QC.P=QD.无法确定【解析】选A.因为a>0,b>0,所以P=+>+==Q,所以P>Q.【补偿训练】已知等比数列{a n }的各项均为正数,公比q ≠1,设P=,Q=,则P 与Q 的大小关系是 ( )A.P>QB.P<QC.P=QD.无法确定【解析】选A.由等比数列知识得Q==,又P=,且a 3>0,a 3≠a 9,所以>=,故P>Q.二、填空题(每小题6分,共12分)4.(2016·泰安高二检测)用反证法证明“一个三角形不能有两个直角”有三个步骤:①∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,这与三角形的内角和为180°矛盾,故结论错误;②所以一个三角形不可能有两个直角;③假设△ABC 有两个直角,不妨设∠A=∠B=90°;上述步骤的正确顺序是____________.【解析】由反证法的证题步骤可知,正确顺序应该是③①②.答案:③①②5.已知a ∈R +,则,,从大到小的顺序为________.【解析】因为+>+=2,+<+=2, 所以2<+<2,所以>>.答案:>>【补偿训练】log 23与log 34的大小关系是________.【解析】log 23-log 34=-=>=>=0,所以log 23-log 34>0,所以log 23>log 34.答案:log 23>log 34三、解答题(每小题10分,共30分)6.已知a>0,b>0,且a+b>2.求证:,中至少有一个小于2. 【证明】假设,都不小于2,则≥2,≥2. 因为a>0,b>0,所以1+b ≥2a,1+a ≥2b.所以2+a+b ≥2(a+b),即2≥a+b,这与a+b>2矛盾.故假设不成立.即,中至少有一个小于2.7.设n是正整数,求证:≤++…+<1.【证明】由2n≥n+k>n(k=1,2,…,n),得≤<.当k=1时,≤<;当k=2时,≤<;…当k=n时,≤<.所以=≤++…+<=1.即原不等式成立.8.已知a≥-1,求证以下三个方程:x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实数解.【证明】假设三个方程都没有实根,则三个方程的判别式都小于0,即:所以所以-<a<-1,这与已知a≥-1矛盾,所以假设不成立,故三个方程中至少有一个方程有实数解.一、选择题(每小题5分,共10分)1.(2016·锦州高二检测)(1)已知p3+q3=2,求证p+q≤2,用反证法证明时,可假设p+q≥2.(2)已知a,b∈R,+<1,求证方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设至少有一根的绝对值大于等于1.以下结论正确的是 ( )A.(1)与(2)的假设都错误B.(1)与(2)的假设都正确C.(1)的假设正确,(2)的假设错误D.(1)的假设错误,(2)的假设正确【解析】选D.(1)的假设应为p+q>2,(2)的假设正确.2.设x,y,z 都是正实数,a=x+,b=y+,c=z+,则a,b,c 三个数 ( )A.至少有一个不大于2B.都小于2C.至少有一个不小于2D.都大于2【解析】选C.因为a+b+c=x++y++z+≥2+2+2=6,当且仅当x=y=z=1时等号成立, 所以a,b,c 三者中至少有一个不小于2.二、填空题(每小题5分,共10分)3.设M=+++…+,则M 与1的大小关系为________.【解析】因为210+1>210,210+2>210,…,211-1>210,所以M=+++…+<++…+=1. 答案:M<14.(2016·石家庄高二检测)某同学准备用反证法证明如下一个问题:函数f(x)在[0,1]上有意义,且f(0)=f(1).如果对于不同的x 1,x 2∈[0,1]都有|f(x 1)-f(x 2)|<|x 1-x 2|.求证:|f(x 1)-f(x 2)|<,那么他的反设应该是________.【解析】对任意x 1,x 2∈[0,1](x 1≠x 2)都有|f(x 1)-f(x 2)|<的反面是存在x 1,x 2∈[0,1]且x 1≠x 2有|f(x 1)-f(x 2)|≥.答案:存在x 1,x 2∈[0,1]且x 1≠x 2使|f(x 1)-f(x 2)|≥三、解答题(每小题10分,共20分)5.已知0<a<3,0<b<3,0<c<3.求证:a(3-b),b(3-c),c(3-a)不可能都大于.【证明】假设a(3-b)>,b(3-c)>,c(3-a)>.因为a,b,c 均为小于3的正数.所以>,>,>,从而有++>.①但是++≤++==.② 显然②与①相矛盾,假设不成立,故命题得证.【补偿训练】已知f(x)=a x +(a>1),证明:方程f(x)=0没有负数根.【证明】假设x 0是f(x)=0的负数根,则x 0<0且x 0≠-1且=-, 由0<<1⇒0<-<1,解得<x 0<2,这与x 0<0矛盾,所以假设不成立. 故方程f(x)=0没有负数根.6.设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且S n 满足-(n 2+n-3)S n -3(n 2+n)=0,n ∈N *.(1)求a 1的值.(2)求数列{a n }的通项公式.(3)证明:对一切正整数n,有++…+<.【解析】(1)令n=1得:-(-1)S 1-3×2=0,即+S 1-6=0,所以(S 1+3)(S 1-2)=0,因为S 1>0,所以S 1=2,即a 1=2.(2)由-(n 2+n-3)S n -3(n 2+n)=0,得:(S n +3)[S n -(n 2+n)]=0,因为a n >0(n ∈N *),S n >0,从而S n +3>0,所以S n =n 2+n,所以当n ≥2时,a n =S n -S n-1=n 2+n-[(n-1)2+(n-1)]=2n,又a 1=2=2×1,所以a n =2n(n ∈N *).(3)当k ∈N *时,k 2+>k 2+-=,所以==·<·=·=·所以++…+<==-<.。
数学选修4 5习题答案
数学选修4 5习题答案数学选修4 5习题答案数学选修4和5是高中数学的选修课程，主要涵盖了数学的进阶内容，包括复数、指数函数、对数函数、三角函数等等。
这些内容对于学生来说可能会有一定的难度，所以在学习过程中，做习题是非常重要的。
下面将为大家提供数学选修4和5的一些习题答案，希望能够帮助大家更好地理解和掌握这些知识。
一、数学选修4习题答案1. 复数的乘法题目：计算复数(2+3i)(4-5i)的结果。
解答：根据复数的乘法法则，我们可以将复数的实部和虚部分别相乘，然后将结果相加。
(2+3i)(4-5i) = 2×4 + 2×(-5i) + 3i×4 + 3i×(-5i)= 8 - 10i + 12i - 15i²= 8 + 2i - 15(-1)= 8 + 2i + 15= 23 + 2i所以，(2+3i)(4-5i)的结果是23 + 2i。
2. 指数函数的性质题目：已知指数函数f(x) = 2^x，求f(3)和f(0)的值。
解答：将x的值代入函数中进行计算。
f(3) = 2^3 = 8f(0) = 2^0 = 1所以，f(3)的值为8，f(0)的值为1。
3. 对数函数的性质题目：已知对数函数g(x) = log2(x)，求g(8)和g(1)的值。
解答：将x的值代入函数中进行计算。
g(8) = log2(8) = 3g(1) = log2(1) = 0所以，g(8)的值为3，g(1)的值为0。
二、数学选修5习题答案1. 三角函数的性质题目：已知三角函数sin(x) = 1/2，求x的值。
解答：根据sin(x)的定义，我们可以得出sin(x) = 1/2对应的角度为30°或π/6。
所以，x的值可以是30°或π/6。
2. 三角函数的和差化简题目：化简sin(x+π/6)的表达式。
解答：根据三角函数的和差化简公式，我们可以得出sin(x+π/6) = sin(x)cos(π/6) + cos(x)sin(π/6)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
湖北省
原题（选修4-5第十页习题1.1第十一题）改编1 已知1...n 212,1=+++∈+
a a a R a a a n ，.求
2
2221n a a a +++ 的最小值。
解：由于n
a a a n a a a n n +++≥+++ 2
12
2
22
1，当==21a a =n a 时2
2221n a a a +++ 有最小值
n
1
. 改编2 已知.1,,,,,=++∈∈++cz by ax R z y x R c b a ，求222222z c y b x a ++的最小值。
解：312
22222≥
++z c y b x a 故ax=by=cz 时，222222z c y b x a ++有最小值3
1. 改编3 已知12
22=++c b a ，求c b a ++的最大值。
解：由于3
3222c
b a
c b a ++≥
++，当a=b=c 时c b a ++有最大值3. 2.原题（选修4-5第十页习题1.1第十五题）改编 已知0,0,a b >>若H=max{1a ，22a b ab
+，1
b }，
求H 的最小值．
解：H ≥1a >0,H ≥22a b ab +>0.H ≥1b >0,22223
1122,a b a b ab H ab ab a ab b
++∴≥⋅⋅=≥=32H ∴≥.
3.原题（选修4-5第十六页例3）改编1 不等式)0(13><-+a a x x 的解集为φ，则实数a 的取值范围 .
解：令131-+=x x y ，即⎪⎩
⎪⎨⎧
<+-≥-=)31(12)31(141x x x x y ，则1
y 的最小值是31，故31≤a .而0>a ，所以实数a 的取值范围为⎥⎦
⎤ ⎝
⎛3
1,0.
改编2 已知函数a x x f -=3)(（1）若不等式3)(≤x f 的解集为⎭
⎬⎫
⎩
⎨⎧≤≤-
343
2
x x ，求实数a 的值。
（2）在（1）的条件下，令)5()()(++=x f x f x g （ⅰ）若不等式1)(-≥m x g 对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。
（ⅱ）若不等式),,0()(99R d c c x g c d c d c ∈≠≥-++恒成立，求实数x 的取值范围。
解：（1）由3)(≤x f 得：3333+≤≤-a x a ，所以⎪⎩⎪⎨
⎧=
+-=-343
33233a a ，即 1=a . （2）由（1）可得：13)(-=x x f ，则13143)(-++=x x x g
（ⅰ）⎪⎪⎪
⎩
⎪
⎪⎪⎨⎧
≥+<<--≤--=-++=)31(136)31314(15)314(13613143)(x x x x x x x x g ，则)(x g 的最小值是15，故151≤-m ，解得1614≤≤-m ，所以实数m 的取值范围是[]16,14-.
（ⅱ）由题意得：
)(99x g c
d
c d c ≥-++,18)
9()9(99=-++≥
-++c
d c d c c
d
c d c
18)(≤∴x g ，即解不等式1813143≤-++x x 得：6
5
631≤≤-
x ,所以实数x 的取值范围是⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-65,631
. 4.原题（选修4-5第十页习题1.1第十一题）改编 设+∈R x x x n ,,,21 ，且121=+++n x x x ， 若
不等式⋅+≤-)1(13n t )111(222
212
1
n
n x x x x x x ++++++ 对一切正实数n x x x ,,,21 恒成立，
求实数t 的取值范围。
解：因为121=+++n x x x ，所以[])1()1()1()1(21n x x x n ++++++=+
∴)1(+n )111(
222
212
1
n
n x x x x x x ++++++ [])1()1()1(21n x x x ++++++= )111(222
212
1
n
n x x x x x x ++++++
22
221
11)111111(n
n n x x x x x x x x x +⋅
++++⋅
+++⋅
+≥ 1)(221=+++=n x x x
即对一切正实数n x x x ,,,21 ，)1(+n )111(222
212
1
n
n x x x x x x ++++++ 的最小值是1，故有113≤-t ，
解得320≤
≤t .所以实数t 的取值范围为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡32,0.。