2020版高考数学一轮复习课后限时集训20三角函数的图象与性质理新人教版

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2020版高考理科数学(人教版)一轮复习课件：第四章第三节三角函数的图象与性质

所以sin 2x－π4 ∈ － 22，1 ，故函数f(x)＝sin 2x－π4 在区
间0，π2上的最小值为－
2 2.
考点——在细解中明规律
题目千变总有根，梳干理枝究其本
考点一三角函数的定义域[基础自学过关]

[题组练透]
1．函数f(x)＝－2tan2x＋π6的定义域是
( D)
A. xx≠π6
B. xx≠－1π2
C. xx≠kπ＋π6，k∈Z
D. xx≠k2π＋π6，k∈Z
解析：由正切函数的定义域，得 2x＋π6≠kπ＋π2(k∈Z)，
即 x≠k2π＋π6(k∈Z)，故选 D.
判断三角函数的奇偶性，应首先判断函数定义域是否关于原点对称．
写单调区间时，不要忘记k∈Z.
函数
y＝sin x
y＝cos x
y＝tan x
在－π2＋2kπ，π2＋2kπ
在[2kπ－π， 2kπ](k∈Z)上是
(k∈Z)❺上是递增函递增函数，在
单调性 ❹
数，在
[2kπ，2kπ＋
π2＋2kπ，32π＋2kπ
由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－1π2≤x≤kπ＋51π2，k∈Z. 故所给函数的单调递减区间为kπ－1π2，kπ＋51π2，k∈Z.
(2)函数y＝|tan x|的单调递增区间为_k_π_，___k_π_＋__π2_，__k_∈__Z__，单调递减区间为____k_π_－__π2_，__k_π__，__k_∈__Z______．
4．函数y＝sin x－π4 的图象的对称轴为__x_＝__34_π_＋__k_π_，__k_∈__Z_，对称中心为__π4_＋__k_π__，__0_，__k_∈__Z___．

(新课标)2020年高考数学一轮总复习第三章三角函数、解三角形3_3三角函数的图象与性质课件理新人教A版

[2kπ，2kπ＋π]为减； [2kπ－π，2kπ]为增
kπ－π2， kπ＋π2为增
＋32π为减
对称中心
(kπ，0)
对称轴 x＝kπ＋π2
kπ＋π2，0 x＝kπ
k2π，0
3.周期函数 (1)周期函数：对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数T ，使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f(x＋T)＝f(x)，那么函数 f(x)就叫作周期函数，非零常数T 叫作Biblioteka ＋sin θcos θ＝( )
A．2
B．－2
C．1
D．－1
[解析] (1)由 y＝sinx＋3 φ是偶函数知φ3＝π2＋kπ，k∈Z，即 φ＝32π＋3kπ，k∈Z，又 ∵φ∈[0,2π]，∴φ＝32π. (2)f(x)＝sin 2x＋ 3cos 2x＝2sin2x＋π3，令 2x＋π3＝π2＋kπ，解得 x＝1π2＋k2π，k∈Z.
上的性质(如单调性、最大值和最小查三角函数性质时，常与三角恒等变换
值，图象与x轴的交点等)，理解正切函结合，加强数形结合思想、函数与方程
数在区间－π2，π2内的单调性.
思想的应用意识．题型既有选择题和填空题，又有解答题，中档难度.
[基础梳理] 1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,0)，π2，1，(π，0)， ___3_2π_，__－__1___，(2π，0)．余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象上，五个关键点是：(0,1)，π2，0， (π，－1) ，32π，0，(2π，1)．
[三基自测] 1．(必修 4·1.4 练习改编)函数 y＝12sin x，x∈[－π，π]的单调性是( ) A．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数 B．在－π2，π2上是增函数，在－π，－π2和π2，π上都是减函数 C．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数 D．在π2，π和－π，－π2上是增函数，在－π2，π2上是减函数答案：B

2020年高考数学一轮复习精品学案(人教版A版)――三角函数的图像与性质

2020年高考数学一轮复习精品学案（人教版A版）三角函数的图象与性质一．【课标要求】1．能画出y=sin x, y=c os x, y=t a n x的图像，了解三角函数的周期性；2．借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0，2π]，正切函数在（－π/2，π/2）上的性质（如单调性、最大和最小值、图像与x轴交点等）；3．结合具体实例，了解y=A sin（w x+φ）的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=A sin （w x+φ）的图像，观察参数A，w，φ对函数图像变化的影响.二．【命题走向】近几年高考降低了对三角变换的考查要求，而加强了对三角函数的图象与性质的考查，因为函数的性质是研究函数的一个重要内容，是学习高等数学和应用技术学科的基础，又是解决生产实际问题的工具，因此三角函数的性质是本章复习的重点。

在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象与性质结合起来，即利用图象的直观性得出函数的性质，或由单位圆上线段表示的三角函数值来获得函数的性质，同时也要能利用函数的性质来描绘函数的图象，这样既有利于掌握函数的图象与性质，又能熟练地运用数形结合的思想方法.预测2020年高考对本讲内容的考察为：1．题型为1道选择题（求值或图象变换），1道解答题（求值或图像变换）；2．热点问题是三角函数的图象和性质，特别是y=A sin（w x+φ）的图象及其变换；三．【要点精讲】1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图像2．三角函数的单调区间：x y sin =的递增区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-2222ππππk k ，)(Z k ∈，递减区间是⎥⎦⎤⎢⎣⎡++23222ππππk k ，)(Z k ∈； x y cos =的递增区间是[]πππk k 22，-)(Z k ∈，递减区间是[]πππ+k k 22，)(Z k ∈， x y tan =的递增区间是⎪⎭⎫ ⎝⎛+-22ππππk k ，)(Z k ∈，3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心.4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

2020版高考数学(文)新创新一轮复习通用版讲义：第四章第三节三角函数的图象与性质含答案

[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”) (1)函数y ＝sin x 在x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2内的最大值为1.( ) (2)函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π4－x 的定义域为x ≠－π4.( ) (3)函数y ＝cos x 的定义域为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2＋k π，π2＋k π，k ∈Z.( ) 答案：(1)× (2)× (3)× 二、填空题1．y ＝2sin x －2的定义域为________________________．解析：要使函数式有意义，需2sin x －2≥0，即sin x ≥22，借助正弦函数的图象(图略)，可得π4＋2k π≤x ≤3π4＋2k π，k ∈Z ，所以该函数的定义域是⎣⎡⎦⎤π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z)．答案：⎣⎡⎦⎤π4＋2k π，3π4＋2k π(k ∈Z) 2．函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6的值域为________．解析：∵－π6<x <π6，∴0<2x ＋π3<2π3，∴－12<cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3<1，∴－1<2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3<2. ∴函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈⎝⎛⎭⎫－π6，π6的值域为(－1,2)．答案：(－1,2)3．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4，且x ≠0的值域为________．解析：∵－π4≤x ≤π4且x ≠0，∴π4≤π2－x ≤3π4且π2－x ≠π2.由函数y ＝tan x 的单调性，可得y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x 的值域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[1，＋∞)[全析考法]考法一三角函数的定义域[例1] (2019·德州月考)x ∈[0,2π]，y ＝tan x ＋－cos x 的定义域为( ) A.⎣⎡⎭⎫0，π2 B.⎝⎛⎦⎤π2，π C.⎣⎡⎭⎫π，3π2 D.⎝⎛⎦⎤3π2，2π [解析] 法一：由题意，⎩⎪⎨⎪⎧tan x ≥0，－cos x ≥0，x ∈[0，2π]，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫π，3π2.故选C. 法二：x ＝π时，函数有意义，排除A 、D ；x ＝54π时，函数有意义，排除B.故选C.[答案] C [方法技巧]三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式(组)，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．[提醒] 解三角不等式时要注意周期，且k ∈Z 不可以忽略．考法二三角函数的值域(最值)[例2] (1)(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4(2)(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2的最大值是________． (3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． [解析] (1)∵f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝1＋cos 2x －1－cos 2x 2＋2＝32cos 2x ＋52，∴f (x )的最小正周期为π，最大值为4.故选B.(2)依题意，f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34＝－cos 2x ＋3cos x ＋14＝－⎝⎛⎭⎫cos x －322＋1，因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以cos x ∈[0,1]，因此当cos x ＝32时，f (x )max ＝1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤ 2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]． [答案] (1)B (2)1 (3)[－1,1][方法技巧] 三角函数值域或最值的3种求法1.[考法一]函数y ＝log 2(sin x )的定义域为________．解析：根据题意知sin x >0，得x ∈(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)．答案：(2k π，2k π＋π)(k ∈Z)2.[考法二](2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为________．解析：f (x )＝2cos x ＋sin x ＝5⎝⎛⎭⎫255cos x ＋55sin x＝5sin(x ＋α)(其中tan α＝2)，故函数f (x )＝2cos x ＋sin x 的最大值为 5. 答案： 53.[考法二]求函数y ＝sin x ＋cos x ＋3cos x sin x 的最值．解：令t ＝sin x ＋cos x ，则t ∈[－2，2]． ∵(sin x ＋cos x )2－2sin x cos x ＝1， ∴sin x cos x ＝t 2－12，∴y ＝32t 2＋t －32，t ∈[－2， 2 ]，∵对称轴t ＝－13∈[－2， 2 ]，∴y min ＝f ⎝⎛⎭⎫－13＝32×19－13－32＝－53， y max ＝f (2)＝32＋ 2.突破点二三角函数的性质[基本知识]一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)函数y ＝sin x 的图象关于点(k π，0)(k ∈Z)中心对称．( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (3)y ＝sin|x |是偶函数．( ) 答案：(1)√ (2)× (3)√ 二、填空题1．已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)的最小正周期为π，则ω＝________. 答案：22．函数y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x 的单调递减区间为________．解析：由y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π4，得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z)，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z)，所以函数的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z)．答案：⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z) 3．若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0,2π])是偶函数，则φ＝________.解析：由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z)，又φ∈[0,2π]，所以φ＝3π2.答案：3π2[全析考法]考法一三角函数的单调性考向一求三角函数的单调区间 [例1] 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝|tan x |；(2)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2.[解] (1)观察图象可知，y ＝|tan x |的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，单调递减区间是( k π－π2，k π ]，k ∈Z.(2)当2k π－π≤2x －π6≤2k π(k ∈Z)，即k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z 时，函数f (x )是增函数；当2k π≤2x －π6≤2k π＋π(k ∈Z)，即k π＋π12≤x ≤k π＋7π12，k ∈Z 时，函数f (x )是减函数．因此函数f (x )在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上的单调递增区间是[ －5π12，π12]，单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π2，－5π12，⎣⎡⎦⎤π12，π2.[方法技巧] 求三角函数单调区间的2种方法的定义域．考向二已知单调性求参数值或范围[例2] (1)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减，则ω等于( )A.23 B.32 C ．2D ．3(2)(2019·绵阳诊断)若f (x )＝cos 2x ＋a cos ( π2＋x )在区间⎝⎛⎭⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________．[解析] (1)因为f (x )＝sin ωx (ω>0)过原点，所以当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数；当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，所以ω＝32. (2)f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝⎛⎭⎫12，1，因为f (x )在⎝⎛⎭⎫π6，π2上单调递增，所以－a4≥1，即a ≤－4. [答案] (1)B (2)(－∞，－4] [方法技巧]已知单调区间求参数范围的3种方法[例3] (2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝tan x1＋tan 2x 的最小正周期为( )A.π4B.π2 C ．πD ．2π[解析] 由已知得f (x )＝tan x 1＋tan 2x＝sin x cos x 1＋⎝⎛⎭⎫sin x cos x 2＝sin x cos x cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝sin x ·cos x ＝12sin 2x ，所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π.[答案] C[方法技巧] 三角函数周期的求解方法[例4] (1)(2018·枣庄一模)函数y ＝1－2sin 2( x －3π4 )是( ) A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数C ．最小正周期为π2的奇函数D ．最小正周期为π2的偶函数(2)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ，φ∈(0，π)满足f (|x |)＝f (x )，则φ的值为( ) A.π6 B.π3 C.5π6D.2π3[解析] (1)y ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x －3π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －3π2＝cos ⎝⎛⎭⎫3π2－2x ＝－sin 2x ，故函数y 是最小正周期为π的奇函数，故选A. (2)因为f (|x |)＝f (x )，所以函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋φ是偶函数，所以－π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝k π＋5π6，k ∈Z ，又因为φ∈(0，π)，所以φ＝5π6. [答案] (1)A (2)C [方法技巧]与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y ＝A sin ωx 或y ＝A tan ωx 的形式，而偶函数一般可化为y ＝A cos ωx ＋b 的形式．常见的结论有：(1)若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．(2)若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z)；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z)．(3)若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z)．考法四三角函数的对称性(1)求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)函数的图象对称轴或对称中心时，都是把“ωx ＋φ”看作一个整体，然后根据三角函数图象的对称轴或对称中心列方程进行求解．(2)在判断对称轴或对称中心时，用以下结论可快速解题：设y ＝f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，g (x )＝A cos(ωx ＋φ)，x ＝x 0是对称轴方程⇔f (x 0)＝±A ，g (x 0)＝±A ；(x 0,0)是对称中心⇔f (x 0)＝0，g (x 0)＝0.[例5] (1)(2019·南昌十校联考)函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心是( ) A ．(－π，0) B.⎝⎛⎭⎫－3π4，0 C.⎝⎛⎭⎫3π2，0D.⎝⎛⎭⎫π2，0(2)(2019·合肥联考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos 2x 的图象的一条对称轴的方程可以是( ) A ．x ＝－π6B ．x ＝11π12 C ．x ＝－2π3D ．x ＝7π12[解析] (1)令x －π4＝k π，k ∈Z ，得函数图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π4＋k π，0，k ∈Z.当k ＝－1时，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π4的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫－3π4，0.故选B. (2)f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6－cos 2x ＝32sin 2x －32cos 2x ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3.令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z)，可得x ＝512π＋k 2π(k ∈Z)．令k ＝1可得函数图象的一条对称轴的方程是x ＝1112π. [答案] (1)B (2)B[方法技巧] 三角函数对称性问题的2种求解方法1.[考法一·考向一]已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ，则函数f (x )的单调递减区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤3π8＋2k π，7π8＋2k π(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤－π8＋2k π，3π8＋2k π(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z) 解析：选D 依题意，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－2x ＝－2sin ( 2x －π4 )，令－π2＋2k π≤2x －π4≤π2＋2k π(k∈Z)，故－π4＋2k π≤2x ≤3π4＋2k π(k ∈Z)，解得f (x )的单调递减区间为⎣⎡⎦⎤－π8＋k π，3π8＋k π(k ∈Z)．故选D.2.[考法一·考向二]若函数f (x )＝2a sin(2x ＋θ)(0<θ<π)，a 是不为零的常数，f (x )在R 上的值域为[－2,2]，且在区间⎣⎡⎦⎤－5π12，π12上是单调减函数，则a 和θ的值是( ) A ．a ＝1，θ＝π3B ．a ＝－1，θ＝π3C ．a ＝1，θ＝π6D ．a ＝－1，θ＝π6解析：选B ∵sin(2x ＋θ)∈[－1,1]，且f (x )∈[－2,2]，∴2|a |＝2，∴a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝2sin(2x ＋θ)，其最小正周期T ＝2π2＝π，∵f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－512π，π12内单调递减，且π12－⎝⎛⎭⎫－512π＝π2，为半个周期，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－512π＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－56π＝2，∴θ－56π＝2k π＋π2(k ∈Z)，∴θ＝2k π＋43π(k ∈Z)．又0<θ<π，∴a ＝1不符合题意，舍去．当a ＝－1时，f (x )＝－2sin(2x ＋θ)在[ －512π，π12 ]上单调递减，∴f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫－512π＝－2sin ⎝⎛⎭⎫θ－56π＝2，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ－56π＝－1，∴θ－56π＝2k π－π2(k ∈Z)，θ＝2k π＋π3(k ∈Z)．又∵0<θ<π，∴当k ＝0时，θ＝π3，∴a ＝－1，θ＝π3.故选B.3.[考法一、二、三]下列函数中，周期为π，且在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增的奇函数是( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2 B ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2 C ．y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x解析：选C y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋3π2＝－cos 2x 为偶函数，排除A ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π2＝sin 2x 在⎣⎡⎦⎤π4，π2上为减函数，排除B ；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，在⎣⎡⎦⎤π4，π2上单调递增，且周期为π，符合题意；y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＝cos x 为偶函数，排除D.故选C.4.[考法四]已知函数y ＝sin(2x ＋φ)( －π2<φ<π2 )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为( )A.π6 B ．－π6C.π3D ．－π3解析：选B 由题意得f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin ⎝⎛⎭⎫2π3＋φ＝±1， ∴2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π－π6，k ∈Z.∵φ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2， ∴φ＝－π6.[课时跟踪检测][A 级基础题——基稳才能楼高]1．(2018·河北枣强中学二模)下列四个函数中，以π为最小正周期，且在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上为减函数的是( )A ．y ＝sin 2xB ．y ＝2|cos x |C ．y ＝cos x2D ．y ＝tan(－x )解析：选D A 选项，函数在⎝⎛⎭⎫π2，3π4上单调递减，在⎝⎛⎭⎫3π4，π上单调递增，故排除A ；B 选项，函数在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递增，故排除B ；C 选项，函数的周期是4π，故排除C.故选D. 2．关于函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3，下列说法正确的是( ) A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递减 C.⎝⎛⎭⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：选C 函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错；函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3在区间⎝⎛⎭⎫0，π3上单调递增，B 错；最小正周期为π2，D 错；由2x －π3＝k π2，k ∈Z ，得x ＝k π4＋π6，k ∈Z.当k ＝0时，x ＝π6，所以它的图象关于⎝⎛⎭⎫π6，0对称． 3．(2018·广西五市联考)若函数f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上的最大值为1，则ω＝( )A.14 B.13 C.12D.32解析：选C 因为0<ω<1,0≤x ≤π3，所以0≤ωx <π3，所以f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝2sin ωπ3＝1，即sin ωπ3＝12.又0≤ωx <π3，所以ωπ3＝π6，解得ω＝12，选C.4．(2019·冀州四校联考)定义在R 上的函数f (x )既是偶函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期是π，且当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )＝sin x ，则f ⎝⎛⎭⎫5π3的值为( ) A ．－12B.12C.716D.32解析：选D ∵f (x )的最小正周期是π，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫5π3－2π＝f ⎝⎛⎭⎫－π3，∵函数f (x )是偶函数，∴f ⎝⎛⎭⎫5π3＝f ⎝⎛⎭⎫－π3＝f ⎝⎛⎭⎫π3＝sin π3＝32.故选D. 5．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)对任意x 都有f ( π6＋x )＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为( ) A ．2或0 B ．－2或2 C ．0D ．－2或0解析：选B 因为函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以该函数图象关于直线x ＝π6对称，因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值，所以选B.[B 级保分题——准做快做达标]1．y ＝|cos x |的一个单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤－π2，π2 B ．[0，π] C.⎣⎡⎦⎤π，3π2 D.⎣⎡⎦⎤3π2，2π解析：选D 将y ＝cos x 的图象位于x 轴下方的部分关于x 轴对称向上翻折，x 轴上方(或x 轴上)的图象不变，即得y ＝|cos x |的图象(如图)．故选D.2．(2019·常德检测)将函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，则下列说法不正确的是( )A ．g (x )的最小正周期为πB ．g ⎝⎛⎭⎫π6＝32C ．x ＝π6是g (x )图象的一条对称轴D ．g (x )为奇函数解析：选C 由题意得g (x )＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x －π6＋π3＝sin 2x ，所以周期为π，g ⎝⎛⎭⎫π6＝sin π3＝32，直线x ＝π6不是g (x )图象的一条对称轴，g (x )为奇函数，故选C.3．(2018·晋城一模)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，其中ω为常数，且ω∈(1,3)．若对任意的实数x ，总有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)，则|x 1－x 2|的最小值是( )A ．1 B.π2 C ．2D ．π解析：选B ∵函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π3的图象的一个对称中心为⎝⎛⎭⎫π3，0，∴π3ω＋π3＝k π，k ∈Z ，∴ω＝3k －1，k ∈Z ，由ω∈(1,3)，得ω＝2.由题意得|x 1－x 2|的最小值为函数的半个周期，即T 2＝πω＝π2.故选B. 4．(2018·广东七校联考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)在x ＝π6处取得最大值，则函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象( )A ．关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称 B ．关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称 C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称解析：选A 由题意可得π3＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝π6＋2k π，k ∈Z ，所以y ＝cos(2x ＋φ)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＋2k π＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，k ∈Z.当x ＝π6时，cos ⎝⎛⎭⎫2×π6＋π6＝cos π2＝0，所以函数y ＝cos ()2x ＋φ的图象关于点⎝⎛⎭⎫π6，0对称，不关于直线x ＝π6对称，故A 正确，C 错误；当x ＝π3时，cos ⎝⎛⎭⎫2×π3＋π6＝cos 56π＝－32，所以函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象不关于点⎝⎛⎭⎫π3，0对称，B 错误，也不关于直线x ＝π3对称，D 错误．故选A.5．(2019·衡水联考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－13在区间(0，π)内的所有零点之和为( ) A.π6 B.π3 C.7π6D.4π3解析：选C 函数零点即y ＝sin⎝⎛⎭⎫2x ＋π3与y ＝13图象交点的横坐标，在区间(0，π)内，y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3与y ＝13的图象有两个交点，由2x ＋π3＝k π＋π2，得x ＝π12＋k π2，k ∈Z ，取k ＝1，得x ＝7π12，可知两个交点关于直线x＝7π12对称，故两个零点的和为7π12×2＝7π6.故选C.6．(2018·闽侯第六中学期末)若锐角φ满足sin φ－cos φ＝22，则函数f (x )＝sin 2(x ＋φ)的单调递增区间为( )A.⎣⎡⎦⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z) B.⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) C.⎣⎡⎦⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣⎡⎦⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z) 解析：选B 因为sin φ－cos φ＝22，所以2sin ⎝⎛⎭⎫φ－π4＝22⇒φ－π4＝π6⇒φ＝5π12.因为f (x )＝sin 2(x ＋φ)＝1－cos (2x ＋2φ)2＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋5π62，所以由2x ＋5π6∈[2k π，2k π＋π](k ∈Z)得f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)，故选B. 7．(2018·天津期末)设函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，其图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，且f (x )的最小正周期大于π，则ω的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎫12，1 B ．(0,2) C ．(1,2)D ．[1,2)解析：选C 由题意f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(ω>0)．令ωx ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，得x ＝π3ω＋k πω，k ∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间⎝⎛⎭⎫π6，π3内，∴π6<π3ω＋k πω<π3，k ∈Z ，∴3k ＋1<ω<6k ＋2，k ∈Z.又∵f (x )的最小正周期大于π，∴2πω>π，解得0<ω<2.∴ω的取值范围为(1,2)．故选C.8．函数f (x )＝1＋log 12x ＋tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的定义域是____________．解析：依题意得⎩⎨⎧1＋log 12x ≥0，x ＋π4≠k π＋π2(k ∈Z ).∴0<x ≤2，且x ≠k π＋π4(k ∈Z)，∴函数f (x )的定义域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x ≤2，且x ≠π4.答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪0<x ≤2，且x ≠π4 9．(2019·四川双流中学模拟)已知函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4(ω>0)，f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，且f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω＝________.解析：由f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π3，可知函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称，∴π4ω＋π4＝π2＋k π，k ∈Z ，∴ω＝1＋4k ，k ∈Z ，又f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，∴T 2≥π－π2＝π2，T ≥π，∴2πω≥π，∴ω≤2，又ω＝1＋4k ，k ∈Z ，∴当k ＝0时，ω＝1.答案：110．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6(ω>0)和g (x )＝3·cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，－π6≤2x －π6≤5π6，所以－12≤sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6≤1，故f (x )∈⎣⎡⎦⎤－32，3. 答案：⎣⎡⎦⎤－32，3 11．(2018·郴州二模)已知函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，给出下列四个命题： ①函数f (x )的图象关于直线x ＝π4对称；②函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上单调递增； ③函数f (x )的最小正周期为π； ④函数f (x )的值域为[－2,2]．其中是真命题的序号是________．(将你认为是真命题的序号都填上) 解析：对于函数f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ，由于f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－2，f ⎝⎛⎭⎫3π4＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫－π4≠f ⎝⎛⎭⎫3π4，故f (x )的图象不关于直线x ＝π4对称，故排除①.在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，2x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π2单调递增，故②正确．函数f ⎝⎛⎭⎫π3＝3，f ⎝⎛⎭⎫4π3＝0，所以f ⎝⎛⎭⎫π3≠f ⎝⎛⎭⎫4π3，故函数f (x )的最小正周期不是π，故③错误．当cos x ≥0时，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝2sin x cos x ＋sin 2x ＝2sin 2x ，故它的最大值为2，最小值为－2；当cos x <0时，f (x )＝2|cos x |sin x ＋sin 2x ＝－2sin x cos x ＋sin 2x ＝0，综合可得，函数f (x )的最大值为2，最小值为－2，故④正确．答案：②④12．(2018·天津实验中学第二次阶段考试)已知函数f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. (1)求函数f (x )的最小正周期和图象的对称中心； (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值．解：(1)∵f (x )＝2cos 2⎝⎛⎭⎫x －π6＋2sin ( x －π4 )·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π2－π4 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＋1 ＝12cos 2x ＋32sin 2x ＋sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2＋1 ＝32sin 2x －12cos 2x ＋1 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6＋1， ∴f (x )的最小正周期为2π2＝π，图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫π12＋k π2，1，k ∈Z. (2)x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，5π6，当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，函数有最大值2；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，函数有最小值12.13．(2019·武汉调研)已知函数f (x )＝a ( 2cos 2x2＋sin x )＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)当x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．解：已知函数f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，∴f (x )的单调递增区间为[ 2k π＋π4，2k π＋5π4 ](k ∈Z)．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，得⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a <0时，得⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

2020届高三数学一轮复习强化训练精品――三角函数的图象与性质

2020届高三数学一轮复习强化训练精品――三角函数的图象与性质1. ①在(0,2)上递减；②以2为周期；③是奇函数.写出一个同时满足上述条件的函数〔写出一个你认为正确的即可〕. 答案y=-sin x2.〔2018·东海高级中学高三调研〕将函数y=sin 32x 的图象先向左平移3,然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原先的2倍〔纵坐标不变〕，那么所得到的图象对应的函数解析式为. 答案y=sin 3x 3.设函数y=acos x+b 〔a 、b 为常数)的最大值是1，最小值是-7，那么acos x+bsin x 的最大值是 . 答案 54.函数y=|sin x|的一个单调增区间是〔写出一个即可〕. 答案23,5.〔2018·全国Ⅱ理〕假设动直线x=a 与函数f (x)=sin x 和g(x)=cos x 的图象分不交于M 、N 两点，那么|MN |的最大值为 . 答案2例1 求以下函数的定义域：〔1〕y=lgsin(cos x);(2)y=x xcos sin . 解〔1〕要使函数有意义，必须使sin(cos x)＞0.∵-1≤cos x ≤1,∴0＜cos x ≤1.方法一利用余弦函数的简图得知定义域为{x|-2+2k ＜x ＜2+2k ,k ∈Z }. 方法二利用单位圆中的余弦线OM ，依题意知0＜OM ≤1,∴OM 只能在x 轴的正半轴上，∴其定义域为k k x k x ,2222|.〔2〕要使函数有意义，必须使sin x-cos x ≥0.方法一利用图象.在同一坐标系中画出［0,2］上y=sin x 和y=cosx 的图象，如下图.在［0，2］内，满足sin x=cosx 的x 为4，45，再结合正弦、余弦函数的周期是2, 因此定义域为k k x k x ,24524|.方法二利用三角函数线，如图MN 为正弦线，OM 为余弦线，要使sin x ≥cosx,即MN ≥OM ，那么4≤x ≤45〔在［0，2］内〕.∴定义域为Ζk k x k x ,24524|方法三 sin x-cos x=2sin 4x ≥0，将x-4视为一个整体，由正弦函数y=sin x 的图象和性质可知2k ≤x-4≤+2k ,解得2k +4≤x ≤45+2k ,k ∈Z.因此定义域为Ζk k x kx x ,24542|.例2 求以下函数的值域：〔1〕y=x xx cos 1sin 2sin ;(2)y=sin x+cosx+sin xcos x;(3)y=2cos 3+2cosx.解〔1〕y=x x x x cos 1sin cos sin 2=xx x cos 1)cos 1(cos 22=2cos 2x+2cosx=2221cos -21.因此当且仅当cos x=1时取得y max =4,但cos x ≠1,∴y ＜4，且y min =-21,当且仅当cos x=-21时取得.故函数值域为4,21.〔2〕令t =sin x+cosx,那么有t 2=1+2sin xcos x,即sin xcosx=212t .有y=f (t )=t +212t =1)1(212t .又t =sin x+cosx=2sin 4x ，∴-2≤t ≤2.故y=f (t )= 1)1(212t (-2≤t ≤2),从而知：f (-1)≤y ≤f (2),即-1≤y ≤2+21.即函数的值域为212,1.〔3〕y=2cos x3+2cos x=2cos 3cos x-2sin 3sin x+2cosx=3cosx-3sin x=23xx sin 21cos 23=23cos 6x .∵6cos x ≤1∴该函数值域为［-23，23］.例3 〔14分〕求函数y=2sin x 4的单调区间.解方法一y=2sin x 4化成y=-2sin 4x .1分∵y=sin u(u ∈R )的递增、递减区间分不为22,22k k 〔k ∈Z),232,22k k (k ∈Z),4分∴函数y=-2sin 4x 的递增、递减区间分不由下面的不等式确定2k +2≤x-4≤2k +23〔k ∈Z),即2k +43≤x ≤2k +47〔k ∈Z), 8分2k -2≤x-4≤2k +2〔k ∈Z), 即2k -4≤x ≤2k +43〔k ∈Z). 12分∴函数y=2sinx 4的单调递减区间、单调递增区间分不为432,42k k 〔k ∈Z), 472,432k k 〔k ∈Z). 14分方法二y=2sinx 4可看作是由y=2sin u 与u=x 4复合而成的. 2分又∵u=x 4为减函数，∴由2k -2≤u ≤2k +2〔k ∈Z), -2k -4≤x ≤-2k +43(k ∈Z). 即432,42k k 〔k ∈Z 〕为y=2sin x 4的递减区间. 由2k +2≤u ≤2k +23(k ∈Z),即2k +2≤4-x ≤2k +23(k ∈Z)得-2k -45≤x ≤-2k-4 (k ∈Z), 即42,452k k 〔k ∈Z)为y=2sin x 4的递增区间. 12分综上可知：y=2sinx 4的递增区间为42,452k k 〔k ∈Z 〕；递减区间为432,42k k 〔k ∈Z 〕. 14分1.求f (x)=)2cos(21x 的定义域和值域.解由函数1-2cos x 2≥0,得sin x ≤22,利用单位圆或三角函数的图象，易得所求函数的定义域是k k x k x ,42452|.当sin x=cos x 2=22时，y min =0;当sin x=cos x 2=-1时，y max=21.因此函数的值域为［0，21］.2.函数f (x)=xx x 2cos 1cos 3cos 224,求它的定义域和值域，并判定它的奇偶性.解由题意知cos2x ≠0，得2x ≠k +2，解得x ≠42k〔k ∈Z 〕.因此f (x 〕的定义域为k kx x x ,42且,.又f 〔x)= x x x 2cos 1cos 3cos 224=xx x 2cos 1cos )1cos 2(22=cos 2x-1=-sin 2x.又定义域关于原点对称，∴f 〔x 〕是偶函数.明显-sin 2x ∈［-1，0］，但∵x ≠42k ,k ∈Z.∴-sin 2x ≠-21.因此原函数的值域为021211|y y y 或.3.〔1〕求函数y=sinx 23的单调递减区间；〔2〕求y=3tan 46x 的周期及单调区间.解〔1〕方法一令u=x 23,y=sin u ，利用复合函数单调性，由2k -2≤-2x+3≤2k +2(k ∈Z),得2k -65≤-2x ≤2k +6〔k ∈Z),-k -12≤x ≤-k +125 (k ∈Z),即k -12≤x ≤k +125〔k ∈Z).∴原函数的单调递减区间为Z Z R125,12k k (k ∈Z).方法二由函数y=-sin 32x ,欲求函数的单调递减区间，只需求y=sin 32x 的单调递增区间. 由2k -2≤2x-3≤2k +2〔k ∈Z), 解得k -12≤x ≤k +125〔k ∈Z).∴原函数的单调递减区间为125,12k k 〔k ∈Z 〕. 〔2〕y=3tan 46x =-3tan64x , ∴T==4,∴y=3tan 46x的周期为4. 由k -2＜64x ＜k +2，得4k -34＜x ＜4k +38(k ∈Z), y=3tan 64x的单调增区间是384,344k k (k ∈Z 〕∴y=3tan46x 的单调递减区间是384,344k k (k ∈Z).一、填空题1.函数y=tanx 在2,2内是减函数,那么的范畴是 . 答案 -1≤＜02.〔2018·徐州模拟〕函数f (x)=sin x-3cos x (x ∈［-，0］)的单调递增区间是 . 答案0,63.函数f (x)=tanx (＞0)的图象的相邻的两支截直线y=4所得线段长为4,那么f 〔4〕的值是 . 答案 04.函数y=2sin 〔6-2x 〕(x ∈［0，］)为增函数的区间是 .答案65,35.函数f (x)=lg(sin2x+3cos2x-1)的定义域是 .答案kk x k x ,412|6.给出以下命题：①函数y=cos 232x 是奇函数；②存在实数,使得sin +cos =23;③假设、是第一象限角且＜,那么tan ＜tan ;④x=8是函数y=sin 452x 的一条对称轴方程；⑤函数y=sin 32x 的图象关于点0,12成中心对称图形.其中命题正确的选项是〔填序号〕.答案①④7.〔2018·江苏，1〕f (x)=cos(x-6)最小正周期为5，其中＞0，那么= .答案 108.〔2018·东海高级中学高三调研〕定义在R 上的函数f (x):当sin x ≤cos x 时，f (x)=cos x;当sin x ＞cos x 时，f (x)=sin x.给出以下结论：①f (x)是周期函数②f (x)的最小值为-1③当且仅当x=2k (k ∈Z)时，f (x)取最大值④当且仅当2k -2＜x ＜(2k+1)(k ∈Z)时，f (x)＞0⑤f (x)的图象上相邻最低点的距离是2.其中正确命题的序号是 .(把你认为正确命题的序号都填上)答案①④⑤二、解答题9.x ∈3,6，假设方程m cosx-1=cos x+m 有解，试求参数m 的取值范畴.解由m cos x-1=cos x+m 得cosx=11m m ,作出函数y=cosx 的图象〔如下图〕，由图象可得21≤11m m ≤1,解得m ≤-3.10.设a=x x xsin cos ,42sin 2,b=(4sin x,cos x-sin x),f (x)=a ·b.〔1〕求函数f (x)的解析式；〔2〕常数＞0，假设y=f (x)在区间32,2上是增函数，求的取值范畴；〔3〕设集合A =326x x ，B ={x||f (x)-m |＜2},假设A B ，求实数m 的取值范畴. 解〔1〕f (x)=sin 242x·4sin x+(cos x+sin x)·(cos x-sin x)=4sin x ·22cos1x+cos2x=2sin x(1+sin x)+1-2sin 2x=2sin x+1,∴f (x)=2sin x+1.〔2〕∵f (x)=2sin x+1,＞0.由2k -2≤x ≤2k +2,得f (x)的增区间是22,22k k ,k ∈Z.∵f 〔x 〕在32,2上是增函数，∴32,22,2.∴-2≥2且32≤2,∴∈43,0.〔3〕由|f (x)-m |＜2,得-2＜f (x)-m ＜2,即f (x)-2＜m ＜f (x)+2.∵A B ，∴当6≤x ≤32时，不等式f (x)-2＜m ＜f (x)+2恒成立.∴f 〔x 〕max -2＜m ＜f (x)min +2,∵f (x)max =f (2)=3,f (x)min =f (6)=2,∴m ∈〔1，4〕.11.定义在R 上的函数f (x)既是偶函数又是周期函数，假设f (x)的最小正周期是,且当x ∈2,0时，f 〔x 〕=sin x. 〔1〕求当x ∈［-，0］时，f (x)的解析式；〔2〕画出函数f (x)在［-，］上的函数简图；〔3〕求当f (x)≥21时，x 的取值范畴.解〔1〕∵f (x)是偶函数，∴f 〔-x 〕=f 〔x 〕. 而当x ∈2,0时，f (x)=sin x.∴当x ∈0,2时，f (x)=f (-x)=sin(-x)=-sin x.又当x ∈2,时，x+∈2,0，∵f 〔x 〕的周期为，∴f 〔x 〕=f (+x)=sin(+x)=-sin x. ∴当x ∈［-,0］时，f (x)=-sin x.〔2〕如图：〔3〕由于f (x 〕的最小正周期为,因此先在［-，0］上来研究f (x)≥21,即-sin x ≥21,∴sin x ≤-21,∴-65≤x ≤-6.由周期性知，当x ∈6,65k k ,k ∈Z 时，f (x)≥21.12.a ＞0，函数f (x)=-2asin 62x +2a+b,当x ∈2,0时，-5≤f (x)≤1.〔1〕求常数a,b 的值；(2)设g(x)=f 2x 且lg g(x)＞0,求g(x)的单调区间. 解〔1〕∵x ∈2,0，∴2x+6∈67,6.∴sin 62x ∈1,21，∴-2asin 62x ∈［-2a,a ］.∴f (x)∈［b,3a+b ］,又∵-5≤f (x)≤1,因此可得b=-5,3a+b=1, 因此a=2,b=-5.〔2〕由〔1〕知a=2,b=-5,∴f 〔x 〕=-4sin 62x -1,g(x)=f 2x =-4sin 672x -1=4sin 62x -1.又由lg g(x)＞0得g(x)＞1,∴4sin 62x -1＞1,∴sin 62x ＞21,∴2k +6＜2x+6＜2k +65,k ∈Z. 由2k +6＜2x+6≤2k +2(k ∈Z),得g(x)的单调增区间为：6,k k 〔k ∈Z 〕由2k +2≤2x+6＜2k +65,得g(x)的单调减区间为3,6k k 〔k ∈Z 〕.。

2020届高考数学一轮复习：课时作业20《三角函数的图象与性质》(含解析)

课时作业20 三角函数的图象与性质1．在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( A ) A ．①②③ B ．①③④ C ．②④D ．①③解析：①y ＝cos|2x |＝cos2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2.2．关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( C )A ．是奇函数B ．在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D ．最小正周期为π解析：函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误．∵当x ＝π6时，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心． 3．(2019·石家庄检测)若⎝⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( C )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.4．(2019·佛山模拟)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( B )A ．⎝⎛⎭⎪⎫π6，2π3B ．⎝⎛⎭⎪⎫π3，5π6C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π 解析：因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z .不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，令2k π＋π2＜2x －π6＜2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3＜x ＜k π＋56π(k ∈Z )．取k ＝0，得函数f (x )的一个单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫π3，56π.5．已知函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象过点(0，3)，则f (x )图象的一个对称中心是( B )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0 解析：函数f (x )＝2sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫|φ|＜π2的图象过点(0，3)，则f (0)＝2sin φ＝3，∴sin φ＝32，又|φ|＜π2，∴φ＝π3，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π2－π6(k ∈Z )，当k ＝0时，x ＝－π6，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6，0是函数f (x )的图象的一个对称中心． 6．(2019·湖南衡阳八中月考)定义运算：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b .例如1]( D )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－22，22B ．[－1,1]C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，1 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22解析：根据三角函数的周期性，我们只看两函数在一个最小正周期内的情况即可．设x ∈[0,2π]，当π4≤x ≤5π4时，sin x ≥cos x ，f (x )＝cos x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22，当0≤x ＜π4或5π4＜x ≤2π时，cos x ＞sin x ，f (x )＝sin x ，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22∪[－1,0]．综上知f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，22.7．已知函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1⎝⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2，其图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3，若f (x )＞1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，则φ的取值范围是( B )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π6B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0C ．⎝ ⎛⎦⎥⎤－π3，－π12 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4 解析：由题意可得函数f (x )＝2cos(ωx ＋φ)＋1的最大值为3. ∵f (x )的图象与直线y ＝3相邻两个交点的距离为2π3， ∴f (x )的周期T ＝2π3，∴2πω＝2π3，解得ω＝3，∴f (x )＝2cos(3x ＋φ)＋1.∵f (x )＞1对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴2cos(3x ＋φ)＋1＞1，即cos(3x ＋φ)＞0，对任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，π6恒成立，∴－π4＋φ≥2k π－π2且π2＋φ≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得φ≥2k π－π4且φ≤2k π，k ∈Z ，即2k π－π4≤φ≤2k π，k ∈Z .结合|φ|＜π2可得当k ＝0时，φ的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，0.8．(2019·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0＜φ＜π)是奇函数，则φ＝5π6 .解析：因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0＜φ＜π，故φ＝5π6.9．已知关于x 的方程2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1－a ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，则实数a 的取值范围是[2,3)__．解析：sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝a －12在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，2π3上存在两个根，设x ＋π6＝t ，则t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6，∴y ＝sin t ，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，5π6的图象与直线y ＝a －12有两个交点，∴12≤a －12＜1，∴2≤a ＜3.10．设函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为2__.解析：f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋π4的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T2＝2.11．已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π.(1)求ω和φ的值；(2)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＜α＜2π3，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋3π2的值．解：(1)f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT ＝2.又因为f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ＝0，±1，±2，…. 由－π2≤φ＜π2得k ＝0，所以φ＝π2－2π3＝－π6.(2)由(1)得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·α2－π6＝34，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝14. 由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，所以cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝154. 因此cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋3π2＝sin α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6cos π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6sin π6＝14×32＋154×12＝3＋158. 12．已知f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.(1)求函数f (x )图象的对称轴方程； (2)求f (x )的单调递增区间；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，令2x ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z .所以函数f (x )图象的对称轴方程是x ＝k π2＋π8，k ∈Z . (2)令2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z .故f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z .(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，3π4≤2x ＋π4≤7π4，所以－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4≤22，所以－2≤f (x )≤1，所以当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，3π4时，函数f (x )的最大值为1，最小值为－ 2.13．(2019·龙岩六校联考)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＞0，则f (x )的单调递减区间是( C )A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π4(k ∈Z )B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π4，k π＋π4(k ∈Z )C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4(k ∈Z )D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z )解析：由题意可得函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的图象关于直线x ＝π4对称，故有2×π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，即φ＝k π，k ∈Z .又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＞0，所以φ＝2n π，n ∈Z ，所以f (x )＝sin(2x ＋2n π)＝sin2x .令2k π＋π2≤2x ≤2k π＋3π2，k ∈Z ，求得k π＋π4≤x ≤k π＋3π4，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π4，k π＋3π4，k ∈Z ，故选C ． 14．设ω∈N *且ω≤15，则使函数y ＝sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上不单调的ω的个数是( C )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：由ωx ＝π2＋k π(k ∈Z )得函数y ＝sin ωx 的图象的对称轴为x ＝π2ω＋k πω(k ∈Z )．∵函数y ＝sin ωx 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3上不单调，∴π4＜π2ω＋k πω＜π3(k ∈Z )，解得1.5＋3k ＜ω＜2＋4k (k ∈Z )．由题意ω∈N *且ω≤15，∴当k ＝0时，1.5＜ω＜2，此时ω没有正整数可取；当k ＝1时，4.5＜ω＜6，此时ω可以取5；当k ＝2时，7.5＜ω＜10，此时ω可以取8,9；当k ＝3时，10.5＜ω＜14，此时ω可以取11,12,13；当k ＝4时，13.5＜ω＜18，此时ω可以取14,15.故满足题意的ω有8个，分别为5,8,9,11,12,13,14,15.故选C ． 15．若函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，其相邻两条对称轴间的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 018)＝4_035__.解析：∵函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1 ＝A ·1＋cos (2ωx ＋2φ)2＋1 ＝A 2cos(2ωx ＋2φ)＋1＋A2的最大值为3， ∴A 2＋1＋A2＝3，∴A ＝2.根据函数图象相邻两条对称轴间的距离为2，可得函数的最小正周期为4，即2π2ω＝4，∴ω＝π4.再根据f (x )的图象与y 轴的交点坐标为(0,2)，可得cos2φ＋1＋1＝2，∴cos2φ＝0，又0＜φ＜π2，∴2φ＝π2，φ＝π4. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋π2＋2＝－sin π2x ＋2，∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 017)＋f (2 018)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫sin π2＋sin 2π2＋sin 3π2＋…＋sin 2 017π2＋sin 2 018π2 ＋2×2 018＝504×0－sin π2－sinπ＋4 036＝－1＋4 036＝4 035.16．已知函数f (x )＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫π4＋x －3cos2x －1，x ∈R .(1)求f (x )的最小正周期；(2)若h (x )＝f (x ＋t )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0对称，且t ∈(0，π)，求t的值；(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，不等式|f (x )－m |＜3恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)因为f (x )＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋2x －3cos2x ＝sin2x －3cos2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin2x －32cos2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故f (x )的最小正周期为π. (2)由(1)知h (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2t －π3.令2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＋2t －π3＝k π(k ∈Z )，得t ＝k π2＋π3(k ∈Z )，又t ∈(0，π)，故t ＝π3或5π6.(3)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，2π3，所以f (x )∈[1,2]．又|f (x )－m |＜3，即f (x )－3＜m ＜f (x )＋3，所以2－3＜m ＜1＋3，即－1＜m ＜4.故实数m 的取值范围是(－1,4)．。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训20三角函数的图像与性质理含解析北师大版

又T＝，所以ω＝k(k为奇数)．
又函数f(x)在上单调，
所以 ≤ × ，即ω≤12.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ若ω＝11，又|φ|≤ ，则φ＝－，此时，f(x)＝sin ，f(x)在上递增，在上递减，不满足条件．
若ω＝9，又|φ|≤ ，则φ＝，此时，f(x)＝sin ，满足f(x)在上单调的条件．故选B．]
3．已知函数f(x)＝cos － (ω＞0)在[0，π]上恰有三个零点，则ω的取值范围是________．
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课后限时集训(二十) 三角函数的图像与性质
(建议用时：60分钟)
A组基础达标
一、选择题
1．下列函数中最小正周期为π且图像关于直线x＝对称的是( )
1．(20xx·合肥二模)已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)，f ＝，f ＝0，且f(x)在(0，π)上单调．下列说法正确的是( )
A．ω＝
B．f ＝
C．函数f(x)在上递增
D．函数y＝f(x)的图像关于点对称
C[由五点法作图知，为五点法中的第二个零点，则＋φ＝π ①.又根据正弦函数的图像及已知条件知为靠近第二个零点的点，所以＋φ＝ ②.由①②解得ω＝，φ＝，所以f(x)＝2sin ，所以f ＝，故A，B不正确；由－＋2kπ≤ x＋ ≤ ＋2kπ(k∈Z)，得－＋3kπ≤x≤－＋3kπ(k∈Z)，所以函数f(x)在上递增，故C正确；因为f ＝－1≠0，所以函数y＝f(x)的图像不关于点对称，故D错误，故选C.]

高三数学(理)一轮复习之双基限时训练：三角函数的图像与性质(人教新课标).pdf

巩固双基,提升能力一、选择题1．函数y＝sinx(0＜x＜π)的图像大致是( ) A. B. C. D. 解析：y＝sinx||＝答案：B 2．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图像分别交于M、N两点，则|MN|的最大值为( )A．1 B. C. D．2 解析：|MN|＝|sina－cosa|＝|sin|， |MN|max＝. 答案：B 3．已知函数y＝sinx的定义域为[a，b]，值域为，则b－a的值不可能是( ) A. B. C．π D. 解析：画出函数y＝sinx的草图分析知b－a的取值范围为. 答案：A 4．已知函数f(x)＝2sinωx(ω＞0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值为( ) A. B. C．2 D．3 解析：f(x)＝2sinωx(ω＞0)在区间上的最小值为－2， ≤，即≤，ω≥，即ω的最小值为.答案：B 5．设函数f(x)＝sin＋cos，则( ) A．y＝f(x)在单调递增，其图像关于直线x＝对称 B．y＝f(x)在单调递增，其图像关于直线x＝对称C．y＝f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称 D．y＝f(x)在单调递减，其图像关于直线x＝对称解析：因为y＝sin＋cos＝ sin ＝cos2x，所以y＝cos2x在单调递减，对称轴为2x＝kπ，即x＝(kZ)．答案：D6．(2012·课标全国)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在单调递减，则ω的取值范围是( ) A. B. C. D．(0,2] 解析：函数f(x)＝sin的图像可看作是由函数f(x)＝sinx的图像先向左平移个单位得到f(x)＝sin的图像，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的倍，纵坐标不变得到的，而函数f(x)＝sin的减区间是，所以要使函数f(x)＝sin在上是减函数，需满足解得≤ω≤. 答案：A 二、填空题 7．如果函数y＝3cos (2x＋φ)的图像关于点中心对称，那么|φ|的最小值为__________．解析：由题意知，2×＋φ＝kπ＋，kZ，解得φ＝kπ－，kZ.当k＝2时，|φ|min＝. 答案： 8．设函数y＝sin，若对任意xR，存在x1，x2使f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，则|x1－x2|的最小值是__________．解析：由f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立，可得f(x1)为最小值，f(x2)为最大值，|x1－x2|的最小值为半个周期．答案：2 9．设函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ)的最小正周期为π，且其图像关于直线x＝对称，则在下面四个结论：图像关于点对称；图像关于点对称；在上是增函数；在上是增函数中，所有正确结论的编号为__________．解析：T＝π，ω＝2. 又2×＋φ＝kπ＋，φ＝kπ＋. φ∈，φ＝， y＝sin. 由图像及性质可知正确．答案：三、解答题 10．(2012·天津)已知函数f(x)＝sin＋sin＋2cos2x－1，xR. (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值．解析：(1)f(x)＝sin2x·cos＋cos2x·sin＋sin2x·cos－cos2x·sin＋cos2x＝sin2x＋cos2x＝sin. 所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.(2)因为f(x)在区间上是增函数，在区间上是减函数．又f＝－1，f＝，f＝1，故函数f(x)在区间上的最大值为.最小值为－1. 11．(2012·安徽)设函数f(x)＝cos＋sin2x. (1)求f(x)的最小正周期；(2)设函数g(x)对任意xR，有g(x＋)＝g(x)，且当x时，g(x)＝－f(x)，求g(x)在区间[－π，0]上的解析式．解析：f(x)＝cos＋sin2x＝cos2x－sin2x＋ (1－cos2x)＝－sin2x. (1)函数f(x)的最小正周期T＝＝π； (2)x时，g(x)＝－f(x)＝sin2x，当x时，x＋， g(x)＝g＝sin2＝－sin2x，当x时，x＋π，g(x)＝g(x＋π)＝sin2(x＋π)＝sin2x，综上所述：函数g(x)在[－π，0]上的解析式为g(x)＝12．(2013·西南大学附中月考)已知a＝(5cosx，cosx)，b＝(sinx,2cosx)，函数f(x)＝a·b＋|b|2. (1)求函数f(x)的最小正周期； (2)求函数f(x)的单调减区间； (3)当≤x≤时，求函数f(x)的值域．解析：f(x)＝a·b＋|b|2＝5cosx·sinx＋cosx·2cosx＋sin2x＋4cos2x＝5sinxcosx＋sin2x＋6cos2x＝sin2x＋＋3(1＋cos 2x)＝sin2x＋cos2x＋＝5sin＋. (1)f(x)的最小正周期T＝＝π. (2)由2kπ＋≤2x＋≤2kπ＋得kπ＋≤x≤kπ＋，kZ. ∴f(x)的单调减区间为(kZ)． (3)≤x≤，≤2x＋≤，－≤sin≤1. 1≤f(x)≤，即f(x)的值域为.。

2020版高考数学一轮复习课后限时集训全集理含解析新人教

课后限时集训(一) 集合(建议用时：40分钟) A 组基础达标一、选择题1．(2018·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{x |x －1≥0}，B ＝{0,1,2}，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{1,2}D ．{0,1,2}C [由题意知，A ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝{1,2}．]2．(2019·惠州一调)已知集合U ＝{－1,0,1}，A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }，则∁U A ＝( ) A ．{0,1} B ．{－1,0,1} C ．∅D ．{－1}D [∵A ＝{x |x ＝m 2，m ∈U }＝{0,1}，∴∁U A ＝{－1}，故选D.] 3．设集合A ＝{x ||x |＜1}，B ＝{x |x (x －3)＜0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(－1,3) D ．(1,3)C [由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜3}，则A ∪B ＝{x |－1＜x ＜3}＝(－1,3)．故选C.]4．已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝2x ＋1}，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0B [由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，y ＝2x ＋1，得5x 2＋4x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－45，y ＝－35，故集合A ∩B 中有2个元素，故选B.]5．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆BB [集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R ，故选B.]6．已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |x 2－3x ＋m ＝0}，若A ∩B ＝{0}，则B 的子集有( ) A ．2个 B ．4个 C ．8个D ．16个B [∵A ∩B ＝{0}， ∴0∈B ，∴m ＝0，∴B ＝{x |x 2－3x ＝0}＝{0,3}． ∴B 的子集有22＝4个．故选B.]7．已知集合A ＝{x |log 2 x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1，＋∞) C ．(0,2]D ．[2，＋∞)D [∵A ∪B ＝B ，∴A ⊆B .又A ＝{x |log 2 x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |0＜x ＜c }，∴c ≥2，即c 的取值范围是[2，＋∞)．] 二、填空题8．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值是________．－32 [∵3∈A ，∴m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，即m ＝1或m ＝－32，又当m ＝1时，m ＋2＝2m 2＋m ，不合题意，故m ＝－32.]9．设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，全集U ＝R ，则∁U (A ∩B )＝________.(－∞，－2)∪[1，＋∞) [∵4－x 2≥0， ∴－2≤x ≤2，∴A ＝[－2,2]． ∵1－x ＞0，∴x ＜1，∴B ＝(－∞，1)，因此A ∩B ＝[－2,1)，于是∁U (A ∩B )＝(－∞，－2)∪[1，＋∞)．]10．(2019·合肥质检)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R 12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是________．[1，＋∞) [要使A ∩B ≠∅，只需⎩⎪⎨⎪⎧12a ≤2a －1，2a －1≥1，解得a ≥1.]B 组能力提升1.(2019·日照调研)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2＜0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( ) A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |x ≤1}B [易知A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，1)， ∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x ＜2}．]2．(2018·广州一模)设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x ＋3x －1＜0，B ＝{x |x ≤－3}，则集合{x |x ≥1}＝( ) A ．A ∩B B ．A ∪B C ．(∁R A )∪(∁R B )D ．(∁R A )∩(∁R B )D [集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x x ＋3x －1＜0＝{x |(x ＋3)(x －1)＜0}＝{x |－3＜x ＜1}，B ＝{x |x ≤－3}，A ∪B ＝{x |x ＜1}，则集合{x |x ≥1}＝(∁R A )∩(∁R B )，选D.]3．集合A ＝{x |x ＜0}，B ＝{x |y ＝lg[x (x ＋1)]}．若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.[－1,0) [由x (x ＋1)＞0，得x ＜－1或x ＞0， ∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)， ∴A －B ＝[－1,0)．]4．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A 且k ＋1∉A ，那么k 是A 的一个“单一元”，给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“单一元”的集合共有________个．6 [符合题意的集合为{1,2,3}，{2,3,4}，{3,4,5}，{4,5,6}，{5,6,7}，{6,7,8}，共6个．]课后限时集训(二) 命题及其关系、充分条件与必要条件(建议用时：40分钟) A 组基础达标一、选择题1．已知a ，b ∈R，命题“若ab ＝2，则a 2＋b 2≥4”的否命题是( ) A ．若ab ≠2，则a 2＋b 2≤4 B ．若ab ＝2，则a 2＋b 2≤4 C ．若ab ≠2，则a 2＋b 2＜4 D ．若ab ＝2，则a 2＋b 2＜4C [因为将原命题的条件和结论同时否定之后，可得到原命题的否命题，所以命题“若ab ＝2，则a 2＋b 2≥4”的否命题是“若ab ≠2，则a 2＋b 2＜4”，故选C.]2．给出命题：若函数y ＝f (x )是幂函数，则函数y ＝f (x )的图象不过第四象限．在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中，真命题的个数是( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0C [原命题是真命题，故它的逆否命题是真命题；它的逆命题为“若函数y ＝f (x )的图象不过第四象限，则函数y ＝f (x )是幂函数，”显然逆命题为假命题，故原命题的否命题也为假命题．因此在它的逆命题、否命题、逆否命题3个命题中真命题只有1个．] 3．命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是( ) A ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 不都是偶数 B ．若x ＋y 是偶数，则x 与y 都不是偶数C ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 不都是偶数D ．若x ＋y 不是偶数，则x 与y 都不是偶数 C [“都是”的否定是“不都是”，故选C.]4．(2019·佛山模拟)已知a ，b 都是实数，那么“a ＞b ”是“ln a ＞ln b ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [由ln a ＞ln b ⇒a ＞b ＞0⇒a ＞b ，故必要性成立．当a ＝1，b ＝0时，满足a ＞b ，但ln b 无意义，所以ln a ＞ln b 不成立，故充分性不成立．]5．下面四个条件中，使a ＞b 成立的充分而不必要的条件是( ) A ．a ＞b ＋1 B ．a ＞b －1 C ．a 2＞b 2D ．a 3＞b 3A [a ＞b ＋1⇒a ＞b ，但反之未必成立，故选A.]6．(2019·山师大附中模拟)设a ，b 是非零向量，则a ＝2b 是a |a |＝b|b |成立的( )A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分又不必要条件B [由a ＝2b 可知：a ，b 方向相同，a |a |，b |b |表示a ，b 方向上的单位向量，所以a |a |＝b|b |成立；反之不成立．故选B.]7．若x ＞2m 2－3是－1＜x ＜4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( ) A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]D [∵x ＞2m 2－3是－1＜x ＜4的必要不充分条件，∴(－1,4)⊆(2m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.] 二、填空题8．直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点的充要条件是_______．k ∈(－1,3) [直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2＜2，解之得－1＜k ＜3.] 9．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．②③ [①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误． ②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确． ③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确．] 10．设p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2＜0，其中a ≠0，q ：实数x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －6≤0，x 2＋2x －8＞0.若p是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． (1,2] [因为p 是q 的必要不充分条件，即q ⇒p 但pq ，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，则B A ，又B ＝(2,3]，当a ＞0时，A ＝(a,3a )；当a ＜0时，A ＝(3a ，a )，所以当a ＞0时，有⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，3＜3a ，解得1＜a ≤2；当a ＜0时，显然A ∩B ＝∅，不合题意．综上所述，实数a 的取值范围是(1,2]．]B 组能力提升1．王昌龄《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，“攻破楼兰”是“返回家乡”的( ) A ．充分条件 B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [“不破楼兰终不还”的逆否命题为：“若返回家乡，则攻破楼兰”，所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．]2．(2019·广东七校联考)下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的必要不充分条件C ．命题“∃x ∈R，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R，均有x 2＋x ＋1＜0” D ．命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”的逆否命题为真命题D [A 中，命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，故A 不正确；B 中，由x 2－5x －6＝0，解得x ＝－1或x ＝6，所以“x ＝－1”是“x 2－5x －6＝0”的充分不必要条件，故B 不正确；C 中，“∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”的否定是“∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0”，故C 不正确；D 中，命题“若x ＝y ，则sin x ＝sin y ”为真命题，因此其逆否命题为真命题，故D 正确，故选D.]3．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝Aq n＋B (q ≠0)，则“A ＝－B ”是“数列{a n }是等比数列”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [若A ＝－B ＝0，则S n ＝0，数列{a n }不是等比数列；若数列{a n }是等比数列，则由a 1＝Aq＋B ，a 2＝Aq 2－Aq ，a 3＝Aq 3－Aq 2及a 3a 2＝a 2a 1得A ＝－B ，故选B.]4．(2019·山西五校联考)已知p ：(x －m )2＞3(x －m )是q ：x 2＋3x －4＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．(－∞，－7]∪[1，＋∞) [p 对应的集合A ＝{x |x ＜m 或x ＞m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4＜x ＜1}，由p 是q 的必要不充分条件可知B A ，所以m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.]课后限时集训(三) 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．已知p ：∃x 0∈R,3x 0＜x 30，那么綈p 为( ) A ．∀x ∈R,3x ＜x 3B ．∃x 0∈R,3x 0＞x 30 C ．∀x ∈R,3x ≥x 3D ．∃x 0∈R,3x 0≥x 30C [因为特称命题的否定为全称命题，所以綈p ：∀x ∈R,3x ≥x 3，故选C.]2．(2019·广西模拟)在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次．设命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p ∨q 表示( ) A ．甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米 B ．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米 C ．甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米 D ．甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米D [∵命题p 表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q 表示“乙的试跳成绩超过2米”，∴命题p ∨q 表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米”，故选D.] 3．(2019·武汉模拟)已知命题p ：实数的平方是非负数，则下列结论正确的是( ) A ．命题綈p 是真命题 B ．命题p 是特称命题 C ．命题p 是全称命题D ．命题p 既不是全称命题也不是特称命题 C [该命题是全称命题且是真命题．故选C.]4．命题p ：∀x ∈R，ax 2＋ax ＋1≥0，若綈p 是真命题，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,4]B ．[0,4]C ．(－∞，0]∪[4，＋∞)D ．(－∞，0)∪(4，＋∞)D [因为命题p ：∀x ∈R，ax 2＋ax ＋1≥0，所以命题綈p ：∃x 0∈R，ax 20＋ax 0＋1＜0，则a ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ＞0，解得a ＜0或a ＞4.]5．(2019·太原模拟)已知命题p ：∃x 0∈R，x 20－x 0＋1≥0；命题q ：若a ＜b ，则1a ＞1b，则下列为真命题的是( ) A ．p ∧q B ．p ∧綈q C ．綈p ∧qD ．綈p ∧綈qB [对于命题p ，当x 0＝0时，1≥0成立，所以命题p 为真命题，命题綈p 为假命题；对于命题q ，当a ＝－1，b ＝1时，1a ＜1b，所以命题q 为假命题，命题綈q 为真命题，所以p ∧綈q为真命题，故选B.] 6．给出下列四个命题： ①∃x 0∈R，ln(x 20＋1)＜0； ②∀x ＞2，x 2＞2x；③∀α，β∈R，sin(α－β)＝sin α－sin β；④若q 是綈p 成立的必要不充分条件，则綈q 是p 成立的充分不必要条件．其中真命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4A [由于∀x ∈R ，y ＝ln(x 2＋1)≥ln 1＝0，故①错；令x ＝4，则x 2＝2x＝16，故②错；③应为∀α，β∈R ，sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β，故③错；④若q 是綈p 成立的必要不充分条件，则p 是綈q 成立的必要不充分条件，则綈q 是p 成立的充分不必要条件，故④正确．其中真命题的个数为1.故选A.]7．已知p ：∃x 0∈R，mx 20＋1≤0；q ：∀x ∈R，x 2＋mx ＋1＞0.若“p ∨q ”为假命题，则实数m 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．(－∞，－2]C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2]A [依题意知，p ，q 均为假命题．当p 是假命题时，mx 2＋1＞0恒成立，则有m ≥0；当q 是假命题时，则有Δ＝m 2－4≥0，m ≤－2或m ≥2.因此由p ，q 均为假命题，得 ⎩⎪⎨⎪⎧m ≥0，m ≤－2或m ≥2，即m ≥2.]二、填空题8．若“∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________．1 [∵函数y ＝tan x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上是增函数，∴y max ＝tan π4＝1.依题意，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.]9．已知命题“∀x ∈R，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，则实数a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞ [由“∀x ∈R，x 2－5x ＋152a ＞0”的否定为假命题，可知原命题必为真命题，即不等式x 2－5x ＋152a ＞0对任意实数x 恒成立．设f (x )＝x 2－5x ＋152a ，则其图象恒在x 轴的上方，故Δ＝25－4×152a ＜0，解得a ＞56，即实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫56，＋∞.] 10．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：13－x ＞1，若“(綈q )∧p ”为真，则x 的取值范围是________．(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) [因为“(綈q )∧p ”为真，即q 假p 真，而q 为真命题时，x －2x －3＜0，即2＜x ＜3，所以q 为假命题时，有x ≥3或x ≤2；p 为真命题时，由x 2＋2x －3＞0，解得x ＞1或x ＜－3，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1或x ＜－3，x ≥3或x ≤2，得x ≥3或1＜x ≤2或x ＜－3，所以x 的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．]B 组能力提升1．设命题p ：若定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则∀x ∈R，f (－x )≠f (x )．命题q ：f (x )＝x |x |在(－∞，0)上是减函数，在(0，＋∞)上是增函数．则下列判断错误的是( ) A ．p 为假命题 B ．綈q 为真命题 C ．p ∨q 为真命题D ．p ∧q 为假命题C [函数f (x )不是偶函数，仍然可∃x ∈R，使得f (－x )＝f (x )，p 为假命题；f (x )＝x |x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2x，－x 2x ＜在R 上是增函数，q 为假命题．所以p ∨q 为假命题，故选C.]2．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥1，x －2y ≤4的解集记为D ，有下面四个命题：p 1：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥－2； p 2：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≥2； p 3：∀(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤3； p 4：∃(x ，y )∈D ，x ＋2y ≤－1.其中的真命题是( ) A ．p 2，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 1，p 2D ．p 1，p 3C [作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －2y ＝4，得交点A (2，－1)．目标函数的斜率k ＝－12>－1，观察直线x ＋y ＝1与直线x ＋2y ＝0的倾斜程度，可知u ＝x ＋2y 过点A 时取得最小值0y ＝－x2＋u 2，u2表示纵截距．结合题意知p 1，p 2正确．] 3．(2019·黄冈模拟)下列四个命题： ①若x ＞0，则x ＞sin x 恒成立；②命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”； ③“命题p ∧q 为真”是“命题p ∨q 为真”的充分不必要条件； ④命题“∀x ∈R，x －ln x ＞0”的否定是“∃x 0∈R，x 0－ln x 0＜0”．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4C [对于①，令y ＝x －sin x ，则y ′＝1－cos x ≥0，则函数y ＝x －sin x 在R 上递增，即当x ＞0时，x －sin x ＞0－0＝0，则当x ＞0时，x ＞sin x 恒成立，故①正确；对于②，命题“若x －sin x ＝0，则x ＝0”的逆否命题为“若x ≠0，则x －sin x ≠0”，故②正确；对于③，命题p ∨q 为真即p ，q 中至少有一个为真，p ∧q 为真即p ，q 都为真，可知“p ∧q 为真”是“p ∨q 为真”的充分不必要条件，故③正确；对于④，命题“∀x ∈R，x －ln x ＞0”的否定是“∃x 0∈R，x 0－ln x 0≤0”，故④错误．综上，正确命题的个数为3，故选C.]4．已知函数f (x )＝x 2－x ＋1x －1(x ≥2)，g (x )＝a x(a ＞1，x ≥2)．(1)若∃x 0∈[2，＋∞)，使f (x 0)＝m 成立，则实数m 的取值范围为________．(2)若∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)，使得f (x 1)＝g (x 2)，则实数a 的取值范围为________．(1)[3，＋∞) (2)(1，3] [(1)∵f (x )＝x －2＋x －＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋1，∵x ≥2，∴x －1≥1， ∴f (x )≥2x －1x －1＋1＝3. 当且仅当x －1＝1x －1，即x －1＝1，x ＝2时等号成立． ∴m ∈[3，＋∞)．(2)∵g (x )＝a x(a ＞1，x ≥2)， ∴g (x )min ＝g (2)＝a 2.∵∀x 1∈[2，＋∞)，∃x 2∈[2，＋∞)使得f (x 1)＝g (x 2)， ∴g (x )min ≤f (x )min ， ∴a 2≤3，即a ∈(1，3]．]课后限时集训(四) 函数及其表示(建议用时：40分钟) A 组基础达标一、选择题1．下面各组函数中为相同函数的是( ) A ．f (x )＝x －2，g (x )＝x －1B ．f (x )＝x －1，g (t )＝t －1C ．f (x )＝x 2－1，g (x )＝x ＋1·x －1D ．f (x )＝x ，g (x )＝x 2xB [∵x －2＝|x －1|，∴A 中f (x )≠g (x )；B 正确；C 、D 选项中两函数的定义域不同，故选B.] 2．函数f (x )＝3x －1log 2x ＋1的定义域为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤18，14B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0.14C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫14，＋∞ D.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞ D [由题意得log 2(2x )＋1＞0，解得x ＞14.所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫14，＋∞.故选D.] 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ＞1，2＋36x ，x ≤1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．3B ．4C ．－3D ．38C [由题意知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝2＋3612＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (8)＝log 128＝－3.故选C.]4．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1D ．－1A [令x ＝1，得2f (1)－f (－1)＝4，① 令x ＝－1，得2f (－1)－f (1)＝－2，② 联立①②得f (1)＝2.]5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2a x ＋3a ，x ＜1，ln x ，x ≥1的值域为R ，那么a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 C [要使函数f (x )的值域为R ，需使⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ＞0，ln 1≤1－2a ＋3a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＜12，a ≥－1，所以－1≤a ＜12.故选C.]6．(2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)D [当x ≤0时，函数f (x )＝2－x是减函数，则f (x )≥f (0)＝1.作出f (x )的大致图象如图所示，结合图象可知，要使f (x ＋1)<f (2x )，则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0，所以x <0，故选D.]7．(2019·济南模拟)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x ＜1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为()A ．－32B ．－34C ．－32或－34D.32或－34B [当a ＞0时，1－a ＜1,1＋a ＞1.由f (1－a )＝f (1＋a )得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ，解得a ＝－32，不合题意；当a ＜0时，1－a ＞1,1＋a ＜1，由f (1－a )＝f (1＋a )得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ，解得a ＝－34，所以a 的值为－34，故选B.]二、填空题8．已知f (2x)＝x ＋3.若f (a )＝5，则a ＝________. 4 [令t ＝2x ，则t ＞0，且x ＝log 2 t ， ∴f (t )＝3＋log 2 t ，即f (x )＝3＋log 2 x ，x ＞0. 则有log 2 a ＋3＝5，解之得a ＝4.]9.若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0－12x ，0≤x ≤2 [由题图可知，当－1≤x ＜0时，f (x )＝x ＋1；当0≤x ≤2时，f (x )＝－12x ，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，－1≤x ＜0，－12x ，0≤x ≤2.]10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥0，log 2x 2＋，x ＜0，若f (a )＝3，则实数a ＝________.－5 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，2－a ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 2a 2＋＝3，解得a ＝－ 5.]B 组能力提升1．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数fx ＋log 2x ＋的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，0 D ．(－1,0)D [因为函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，所以－1≤2x －1≤1，要使函数f x ＋log 2x ＋有意义，则需⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1＞0，x ＋1≠1，解得－1＜x ＜0，故选D.]2．(2018·厦门二模)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －a 2－1，x ≤1，ln x ，x ＞1，若f (x )≥f (1)恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)A [由题意可知，函数f (x )的最小值为f (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥1－a 2－1≤ln 1，解得1≤a ≤2，选A.]3．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________. －x x ＋2[当－1≤x ≤0时，有0≤x ＋1≤1，所以f (1＋x )＝(1＋x )[1－(1＋x )]＝－x (1＋x )，又f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝12f (1＋x )＝－xx ＋2.]4．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________(填序号)．①③ [对于①，f (x )＝x －1x，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]课后限时集训(五) 函数的单调性与最值(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减的是( ) A ．f (x )＝1xB ．f (x )＝(x －1)2C ．f (x )＝e xD ．f (x )＝ln(x ＋1)A [f (x )＝1x在(0，＋∞)上是单调递减函数，故选A.]2．(2019·三门峡模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2，若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2，6]D ．[2，＋∞)B [易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜2，x 2，x ≥2是定义域R 上的增函数．∵f (a ＋1)≥f (2a －1)，∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2. 故实数a 的取值范围是(－∞，2]，故选B.]3．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，40]B ．(40,64)C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)D ．[64，＋∞)C [由题意可知k 8≤5或k8≥8，即k ≤40或k ≥64，故选C.] 4．定义在R 上的函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称且f (x )在(－∞，2)上是增函数，则( ) A ．f (－1)＜f (3) B ．f (0)＞f (3) C ．f (－1)＝f (3)D ．f (0)＝f (3)A [∵f (x )关于直线x ＝2对称且f (x )在(－∞，2)上是增函数，∴f (x )在(2，＋∞)上是减函数，又f (－1)＝f (5)，且f (3)＞f (5)， ∴f (3)＞f (－1)，选A.]5．定义在[－2,2]上的函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，且f (a 2－a )＞f (2a －2)，则实数a 的取值范围为( ) A ．[－1,2) B ．[0,2) C ．[0,1)D ．[－1,1)C [由函数f (x )满足(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＞0，x 1≠x 2，得函数f (x )在[－2,2]上单调递增．由f (a 2－a )＞f (2a －2)得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－a ＞2a －2，－2≤a 2－a ≤2，－2≤2a －2≤2，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤a ≤2，0≤a ≤2，a ＜1或a ＞2.∴0≤a ＜1，故选C.] 二、填空题6．函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________．(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．]7．(2019·甘肃调研)已知函数f (x )＝ln x ＋2x ，若f (x 2－4)＜2，则实数x 的取值范围是________．(－5，－2)∪(2，5) [因为函数f (x )＝ln x ＋2x在定义域上单调递增，且f (1)＝ln 1＋2＝2，所以由f (x 2－4)＜2得，f (x 2－4)＜f (1)，所以0＜x 2－4＜1，解得－5＜x ＜－2或2＜x ＜ 5.]8．(2019·广州模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋4x ，x ≤4，log 2x ，x ＞4.若函数y ＝f (x )在区间(a ，a ＋1)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．(－∞，1]∪[4，＋∞)[作出函数f (x )的图象如图所示，由图象可知f (x )在(a ，a ＋1)上单调递增，需满足a ≥4或a ＋1≤2，即a ≤1或a ≥4.]三、解答题9．已知函数f (x )＝ax ＋1a(1－x )(a ＞0)，且f (x )在[0,1]上的最小值为g (a )，求g (a )的最大值． [解] f (x )＝ax ＋1a(1－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a x ＋1a，当a －1a＜0，即0＜a ＜1时，g (a )＝f (1)＝a ；当a －1a≥0，即a ≥1时，g (a )＝f (0)＝1a .故g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，0＜a ＜1，1a，a ≥1.所以g (a )的最大值为1. 10．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． [解] (1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝x 1－x 2x 1＋x 2＋.因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0，所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 组能力提升1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，x ＋，x ＞0，若f (2－x 2)＞f (x )，则实数x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)∪(2，＋∞)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－1,2)D ．(－2,1)D [∵当x ＝0时，两个表达式对应的函数值都为0，∴函数的图象是一条连续的曲线．又∵当x ≤0时，函数f (x )＝x 3为增函数，当x ＞0时，f (x )＝ln(x ＋1)也是增函数，∴函数f (x )是定义在R 上的增函数．因此，不等式f (2－x 2)＞f (x )等价于2－x 2＞x ，即x 2＋x －2＜0，解得－2＜x ＜1.]2．定义新运算：当a ≥b 时，a b ＝a ；当a ＜b 时，a b ＝b 2，则函数f (x )＝x )x －x )，x ∈[－2,2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12C [由题意可知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1＜x ≤2.∵f (x )＝x －2在[－2,1]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (1)＝－1；又f (x )＝x 3－2在(1,2]上单调递增， ∴f (x )max ＝f (2)＝23－2＝6. ∴当x ∈[－2,2]时，f (x )max ＝6.]3．函数y ＝2x ＋k x －2与y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．(－∞，－4) [由于y ＝log 3(x －2)在(3，＋∞)上为增函数，故函数y ＝2x ＋kx －2＝x －＋4＋k x －2＝2＋4＋kx －2在(3，＋∞)上也是增函数，则有4＋k ＜0，得k ＜－4.]4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值． [解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数． (3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数， ∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)．由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)，而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.课后限时集训(六) 函数的奇偶性与周期性(建议用时：40分钟) A 组基础达标一、选择题1．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．y ＝e xB ．y ＝sin xC ．y ＝cos xD ．y ＝ln x 2D [y ＝e x 不是偶函数，所以A 不正确；y ＝sin x 是奇函数，所以B 不正确；y ＝cos x 是偶函数，在(0，＋∞)上不是单调递增函数，所以C 不正确；y ＝ln x 2是偶函数，在(0，＋∞)上是单调递增函数，所以D 正确．故选D.]2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝( ) A ．－3 B ．－54C.54D ．3A [因为f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1，则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.]3．已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1B [由已知得f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧－f ＋g ＝2，f＋g＝4，解得g (1)＝3.]4．(2019·江西六校联考)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋，x ≥0，g x，x ＜0，则g [f (－8)]＝( )A ．－1B ．－2C ．1D ．2A [∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ＋，x ≥0，g x，x ＜0，∴f (－8)＝－f (8)＝－log 3 9＝－2，∴g [f (－8)]＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 3 3＝－1.故选A.]5．定义在R 上的奇函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (1)＝1，则f (2 019)＝( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．－2B [由题意得f (x ＋4)＝f (2－(x ＋2))＝f (－x )＝－f (x )，∴f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴函数f (x )以8为周期，∴f (2 019)＝f (3)＝f (1)＝1，故选B.]6．(2019·皖南八校联考)偶函数f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (1)＝－1，则满足f (2x－3)＞－1的实数x 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(－1,1)A [因为偶函数f (x )在(－∞，0]上是增函数，所以函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数．由f (1)＝－1且满足f (2x－3)＞－1＝f (1)，等价于f (|2x－3|)＞f (1)，|2x－3|＜1，可得－1＜2x－3＜1,2＜2x＜4,1＜x ＜2，所以实数x 的取值范围是(1,2)，故选A.]7．(2019·广州模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＝－f (x )，f (x )＝f (x ＋4)，且当x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝( )A ．1 B.45 C ．－1D ．－45C [由于x ∈R，且f (－x )＝－f (x )，所以函数为奇函数，由于f (x )＝f (x ＋4)，所以函数的周期为4，log 216＜log 220＜log 232，即4＜log 220＜5,0＜log 220－4＜1， ∴0＜log 254＜1，∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254 ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 245＝－⎝⎛⎭⎪⎫2log 245＋15＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫45＋15＝－1，故选C.]二、填空题8．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f x，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝________. 52 [∵f (x ＋2)＝－1f x，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝52，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－112＝52.] 9．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)＞f (－2)，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [∵f (2|a －1|)＞f (－2)＝f (2)，又由已知可得f (x )在(0，＋∞)上单调递减，∴2|a －1|＜2＝212， ∴|a －1|＜12，∴12＜a ＜32.]10．定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (x )＋f (x ＋2)＝0，且f (4－x )＝f (x )．现有以下三个命题：①8是函数f (x )的一个周期；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )是偶函数．其中正确命题的序号是________．①②③ [∵f (x )＋f (x ＋2)＝0，∴f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x )的周期为4，故①正确；又f (4－x )＝f (x )，所以f (2＋x )＝f (2－x )，即f (x )的图象关于直线x ＝2对称，故②正确；由f (x )＝f (4－x )得f (－x )＝f (4＋x )＝f (x )，故③正确．]B 组能力提升1．已知f (x )＝a sin x ＋b 3x ＋4，若f (lg 3)＝3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝( )A.13 B ．－13C ．5D ．8C [因为f (x )＋f (－x )＝8，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (－lg 3)，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝8－f (lg 3)＝5，故选C.] 2．(2019·衡水调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0.若f (－a )＋f (a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( ) A ．[－1,0) B ．[0,1] C ．[－1,1]D ．[－2,2]C [由函数图象可知f (x )是偶函数，故f (－a )＝f (a )，原不等式等价于f (a )≤f (1)，即f (|a |)≤f (1)，而函数在[0，＋∞)上单调递增，故|a |≤1，解得－1≤a ≤1.]3．(2018·洛阳一模)若函数f (x )同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美函数”： (1)∀x ∈R，都有f (－x )＋f (x )＝0； (2)∀x 1，x 2∈R，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＜0.①f (x )＝sin x ；②f (x )＝－2x 3；③f (x )＝1－x ；④f (x )＝ln(x 2＋1＋x )．以上四个函数中，“优美函数”的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3B [由条件(1)，得f (x )是奇函数，由条件(2)，得f (x )是R 上的单调减函数．对于①，f (x )＝sin x 在R 上不单调，故不是“优美函数”；对于②，f (x )＝－2x 3既是奇函数，又在R 上单调递减，故是“优美函数”；对于③，f (x )＝1－x 不是奇函数，故不是“优美函数”；对于④，易知f (x )在R 上单调递增，故不是“优美函数”．故选B.]4．(2019·沧州模拟)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0.给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为________． ①②④ [∵f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)，令x ＝－3得，f (－3)＝0，又f (x )为偶函数，∴f (3)＝0，即①正确；由f (3)＝0得f (x ＋6)＝f (x )，又f (－x )＝f (x )，所以f (6－x )＝f (6＋x )，故f (x )关于直线x ＝6对称，又f (x )的周期为6，故②正确；当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，所以函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数．因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数．故③错误；f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，所以函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．故④正确．]课后限时集训(七) 二次函数与幂函数(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．(2019·西安质检)函数y ＝3x 2的图象大致是( )A BC DC [∵y ＝x 23，∴该函数是偶函数，且在第一象限内是上凸的，故选C.]2．设α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，－12，13，12，1，2，3，则使幂函数y ＝x α为奇函数且在(0，＋∞)上单调递增的α值的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6A [因为幂函数y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，所以α＞0.又幂函数y ＝x α为奇函数，可知α≠2.当α＝12时，其定义域关于原点不对称，应排除．当α＝13，1,3时，其定义域关于原点对称，且满足f (－x )＝－f (x )．故α＝13，1,3时，满足条件．故满足条件的α的值的个数为3.故选A.]3．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫3，13，则函数g (x )＝(2x －1)f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的最小值是( ) A ．－1 B ．0 C ．－2D.32B [由已知得3α＝13，解得α＝－1，∴f (x )＝x －1，∴g (x )＝2x －1x ＝2－1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上单调递增，则g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.]4．已知二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )在[0,2]上是增函数，若f (a )≥f (0)，则实数a 的取值范围是( ) A ．[0，＋∞) B ．(－∞，0]C ．[0,4]D ．(－∞，0]∪[4，＋∞)C [由f (2＋x )＝f (2－x )可知，函数f (x )图象的对称轴为x ＝2＋x ＋2－x2＝2，又函数f (x )在[0,2]上单调递增，则抛物线开口向下，且f (x )在[2,4]上是减函数，所以由f (a )≥f (0)可得0≤a ≤4.]5．若f (x )＝ax 2＋ax －1在R 上满足f (x )＜0恒成立，则a 的取值范围是( ) A ．a ≤0 B ．a ＜－4 C ．－4＜a ＜0D ．－4＜a ≤0D [①当a ＝0时，得到－1＜0，显然不等式的解集为R ；②当a ＜0时，二次函数y ＝ax 2＋ax －1开口向下，由不等式的解集为R ，得二次函数的图象与x 轴没有交点，即Δ＝a 2＋4a ＜0，即a (a ＋4)＜0，解得－4＜a ＜0；③当a ＞0时，二次函数y ＝ax 2＋ax －1开口向上，函数值y 不恒小于0，故解集为R 不可能．] 二、填空题6．已知点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，14在幂函数y ＝g (x )的图象上，则f (2)＋g (－1)＝________.32 [设f (x )＝x m ，g (x )＝x n ，则由2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12m得m ＝－1，由14＝(－2)n，得n ＝－2，所以f (2)＋g (－1)＝2－1＋(－1)－2＝32.]7．已知二次函数y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ，则其图象的顶点位置最高时对应的解析式为________．y ＝x 2－2x ＋5 [y ＝x 2＋2kx ＋3－2k ＝(x ＋k )2－k 2－2k ＋3，所以图象的顶点坐标为(－k ，－k 2－2k ＋3)．因为－k 2－2k ＋3＝－(k ＋1)2＋4，所以当k ＝－1时，顶点位置最高．此时抛物线的解析式为y ＝x 2－2x ＋5.]8．已知函数y ＝f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12时，n ≤f (x )≤m恒成立，则m －n 的最小值为________．1 [当x ＜0时，－x ＞0，f (x )＝f (－x )＝(x ＋1)2. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12，∴f (x )min ＝f (－1)＝0，f (x )max ＝f (－2)＝1， ∴m ≥1，n ≤0，m －n ≥1，∴m －n 的最小值是1.] 三、解答题9．若函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，求实数m 的取值范围．[解] 作出函数y ＝x 2－2x ＋3的图象如图．由图象可知，要使函数在[0，m ]上取得最小值2，则1∈[0，m ]，从而m ≥1，当x ＝0时，y ＝3；当x ＝2时，y ＝3，所以要使函数取得最大值3，则m ≤2，故所求m 的取值范围为[1,2]．10．已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[－1,1]时，函数y ＝f (x )的图象恒在函数y ＝2x ＋m 的图象的上方，求实数m 的取值范围．[解] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ≠0)，由f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x . 所以，2a ＝2且a ＋b ＝0，解得a ＝1，b ＝－1，因此f (x )的解析式为f (x )＝x 2－x ＋1.(2)因为当x ∈[－1,1]时，y ＝f (x )的图象恒在y ＝2x ＋m 的图象上方，所以在[－1,1]上，x 2－x ＋1＞2x ＋m 恒成立，即x 2－3x ＋1＞m 在区间[－1,1]上恒成立．所以令g (x )＝x 2－3x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54，因为g (x )在[－1,1]上的最小值为g (1)＝－1，所以m ＜－1.故实数m 的取值范围为(－∞，－1)．B 组能力提升1．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是()ABC DD [由A ，C ，D 知，f (0)＝c ＜0.∵abc ＞0，∴ab ＜0，∴对称轴x ＝－b2a ＞0，知A ，C 错误，D 符合要求．由B 知f (0)＝c ＞0，∴ab ＞0，∴x ＝－b2a＜0，B 错误．故选D.] 2．(2017·浙江高考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 在区间[0,1]上的最大值是M ，最小值是m ，则M －m ( )A ．与a 有关，且与b 有关B ．与a 有关，但与b 无关C ．与a 无关，且与b 无关D ．与a 无关，但与b 有关B [法一：设x 1，x 2分别是函数f (x )在[0,1]上的最小值点与最大值点，则m ＝x 21＋ax 1＋b ，M ＝x 22＋ax 2＋b .∴M －m ＝x 22－x 21＋a (x 2－x 1)，显然此值与a 有关，与b 无关．故选B.法二：由题意可知，函数f (x )的二次项系数为固定值，则二次函数图象的形状一定．随着b 的变动，相当于图象上下移动，若b 增大k 个单位，则最大值与最小值分别变为M ＋k ，m ＋k ，而(M ＋k )－(m ＋k )＝M －m ，故与b 无关．随着a 的变动，相当于图象左右移动，则M －m 的值在变化，故与a 有关．故选B.]3．已知对于任意的x ∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有x 2－2(a －2)x ＋a ＞0，则实数a 的取值范围是________．(1,5] [Δ＝4(a －2)2－4a ＝4a 2－20a ＋16＝4(a －1)(a －4)．(1)若Δ＜0，即1＜a ＜4时，x 2－2(a －2)x ＋a ＞0在R 上恒成立，符合题意； (2)若Δ＝0，即a ＝1或a ＝4时，方程x 2－2(a －2)x ＋a ＞0的解为x ≠a －2，显然当a ＝1时，不符合题意，当a ＝4时，符合题意；(3)当Δ＞0，即a ＜1或a ＞4时，因为x 2－2(a －2)x ＋a ＞0在(－∞，1)∪(5，＋∞)上恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧1－a －＋a ≥0，25－a －＋a ≥0，1＜a －2＜5，解得3＜a ≤5，又a ＜1或a ＞4，所以4＜a ≤5. 综上，a 的取值范围是(1,5]．]4．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示．(1)请补全函数f (x )的图象并根据图象写出函数f (x )(x ∈R)的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R)的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1,2])，求函数g (x )的最小值． [解] (1)f (x )在区间(－1,0)，(1，＋∞)上单调递增．(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，所以f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2xx ＞，x 2＋2x x(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1，当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值；当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值．综上，g (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a a ，－a 2－2a ＋＜a，2－4a a ＞课后限时集训(八) 指数与指数函数(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题 1．设a ＞0，将a 2a ·3a 2表示成分数指数幂的形式，其结果是( )A ．a 12 B ．a 56 C ．a 76 D ．a 32C [a2a ·3a 2＝a2a ·a23＝a 2a53＝a2a56＝a 2－56＝a 76.故选C.] 2．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞aA [由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c .因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .]3．函数y ＝xa x|x |(0＜a ＜1)的图象的大致形状是( )A B。

2020届高考数学一轮复习第三篇三角函数、解三角形第3节三角函数的图象与性质课件理新人教A版

(2)函数 y＝tan 1x－1的定义域为________．
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解析：(1)要使函数 y＝lg(2sin x－1)＋ 1－2cos x有意义，
则21s－in2xc－os1x>≥0，0，
sin 即
cos
x>12， x≤12.
解之得 2kπ＋π3≤x<2kπ＋56π，k∈Z. 即函数的定义域为 2kπ＋π3，2kπ＋56π，k∈Z.
(C)32π
(D)53π
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(2)(2018 潍坊模拟)下列函数中，最小正周期为 π，且图象关于直线
x＝π3对称的是( )
(A)y＝sin2x－π3
(B)y＝sin2x－π6
(C)y＝sin2x＋π6 答案：(1)C (2)B
(D)y＝sin2x＋π6
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【教材导读】 1．所有的周期函数都有最小正周期吗？提示：不是所有的周期函数都有最小正周期．如函数 f(x)＝c(c 为常数)的周期为任意非零实数，但没有最小正周期． 2．正切函数 y＝tan x 在定义域是增函数吗？提示：不是，正切函数 y＝tan x 在每一个区间 kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z) 上都是增函数，但在定义域内不是单调函数．
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(2)要使函数有意义， tan x－1≠0，
必须有x≠π2＋kπ，k∈Z，即xx≠≠π4π2＋＋kkππ，，kk∈∈ZZ，. 故函数的定义域为 xx≠π4＋kπ 且 x≠π2＋kπ，k∈Z.
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考点二三角函数的值域或最值
________．
函数
f(x) ＝ sin2x ＋
Z)
周期
2π
2π
π
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【重要结论】对称与周期 (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14周期． (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期．

2020版高考数学一轮复习课后限时集训20三角函数的图象与性质理含解析新人教A版

课后限时集训(二十) 三角函数的图象与性质
(建议用时：60 分钟)
A 组基础达标
一、选择题
π 1．下列函数中最小正周期为 π 且图象关于直线 x＝对称的是( )
3
π
( ) A．y＝2sin 2x＋ 3
π
( ) B．y＝2sin 2x－ 6
xπ
( ) C．y＝2sin ＋ 23
π
( ) D．y＝2sin 2x－ 3
3
4
44
( ) 1
1
3
31
3
1
3
－ [f(x)＝cos x sin x＋ cos x － 3cos2x＋＝ sin 2x－ (2cos2x－1)＝ sin 2x－
2
2
2
44
4
4
4
( ) [ ] [ ] 1
π
ππ
π 5π π
ππ
cos 2x＝ sin 2x－，当 x∈ －，时，2x－ ∈ －，，则当 2x－＝－，即 x＝－
2
π
π
ππ
( ) ( ) ( ) [由于 f(x)≤f
3
4
对任意的实数 x 都成立，所以 f(x)max＝f
4
＝cos
ω－ 46
＝1，
ππ ∴ ω－＝2kπ，k∈Z.
46
2 ∴ω＝8k＋，k∈Z.
3
2 又 ω＞0，∴当 k＝0 时，ωmin＝3.]
π
3
ππ
( ) [ ] 8．函数 f(x)＝cos xsin x＋－ 3cos2x＋在闭区间－，上的最小值是________．
[ ] C. ， 23
3
[ ] D. ，2 8

2020届高考一轮复习理科数学(人教版)练习：第27讲三角函数的图象与性质(二)

第27讲三角函数的图象与性质(二)1．(经典真题)在函数①y ＝cos |2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos(2x ＋π6)，④y ＝tan(2x －π4)中，最小正周期为π的所有函数为(A) A ．①②③ B ．①③④ C ．②③ D ．①③①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；③y ＝cos(2x ＋π6)的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan(2x －π4)的最小正周期T ＝π2. 因此最小正周期为π的函数为①②③.2．(2018·天津卷)将函数y ＝sin(2x ＋π5)的图象向右平移π10个单位长度，所得图象对应的函数(A)A ．在区间[3π4，5π4]上单调递增 B ．在区间[3π4，π]上单调递减 C ．在区间[5π4，3π2]上单调递增 D ．在区间[3π2，2π]上单调递减函数y ＝sin(2x ＋π5)的图象向右平移π10个单位长度后的解析式为y ＝sin[2(x －π10)＋π5]＝sin 2x ，则函数y ＝sin 2x 的一个单调增区间为[3π4，5π4]，一个单调减区间为[5π4，7π4]．由此可判断选项A 正确．3．使函数f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ)为奇函数，且在[0，π4]上是减函数的θ的一个值可以是(D)A ．－π3 B.π3C.π6D.2π3f (x )＝2sin(2x ＋θ＋π3)，因为f (x )是奇函数，所以θ＋π3＝k π(k ∈Z )，即θ＝k π－π3，k ∈Z ，排除B 、C. 若θ＝－π3，则f (x )＝2sin 2x 在[0，π4]上递增，排除A.故选D.4．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos(x ＋π3)，则下列结论错误的是(D) A ．f (x )的一个周期为－2π B ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D ．f (x )在(π2，π)单调递减因为f (x )＝cos(x ＋π3)的周期为2k π(k ∈Z )，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．因为f (x )＝cos(x ＋π3)图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z )，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确． f (x ＋π)＝cos(x ＋4π3)．令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．因为f (x )＝cos(x ＋π3)的递减区间为[2k π－π3，2k π＋2π3](k ∈Z )，递增区间为[2k π＋2π3，2k π＋5π3](k ∈Z )，所以f (x )在(π2，2π3)递减，在[2π3，π)递增，D 项错误． 5．函数f (x )＝tan(x ＋π4)的单调递增区间是 (k π－3π4，k π＋π4)(k ∈Z ) . 由k π－π2<x ＋π4<k π＋π2(k ∈Z )，解得k π－3π4<x <k π＋π4(k ∈Z )． 6．(经典真题)函数f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1的最小正周期是 π ，单调递减区间是 [k π＋38π，k π＋78π](k ∈Z ) . 因为f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋1＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋1 ＝12sin 2x －12cos 2x ＋32＝22sin(2x －π4)＋32，所以函数f (x )的最小正周期T ＝π.令π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π8(k ∈Z )．所以f (x )的递减区间为[k π＋38π，k π＋78π](k ∈Z )． 7．(2017·浙江卷)已知函数f (x )＝sin 2x －cos 2x －23sin x cos x (x ∈R )．(1)求f (2π3)的值； (2)求f (x )的最小正周期及单调递增区间．(1)由sin 2π3＝32，cos 2π3＝－12，得f (2π3)＝(32)2－(－12)2－23×32×(－12)，所以f (2π3)＝2. (2)由cos 2x ＝cos 2x －sin 2x 与sin 2x ＝2sin x cos x 得 f (x )＝－cos 2x －3sin 2x ＝－2sin(2x ＋π6)，所以f (x )的最小正周期是π.由正弦函数的性质得π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，解得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，所以f (x )的单调递增区间是[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．8．(2016·浙江卷)设函数f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c ，则f (x )的最小正周期(B)A ．与b 有关，且与c 有关B ．与b 有关，但与c 无关C ．与b 无关，且与c 无关D ．与b 无关，但与c 有关当b ＝0时，f (x )＝sin 2x ＋c ＝1－cos 2x 2＋c ＝(12＋c )－12cos 2x ，其最小正周期为π.当b ≠0时，φ(x )＝sin 2x ＋c 的最小正周期为π，g (x )＝b sin x 的最小正周期为2π，所以f (x )＝φ(x )＋g (x )的最小正周期为2π.综上可知，f (x )＝sin 2x ＋b sin x ＋c 的最小正周期与b 有关，但与c 无关．9．(2017·威海模拟)若f (x )＝2sin ωx ＋1(ω>0)在区间[－π2，2π3]上是增函数，则ω的取值范围是 (0，34] . (方法1)由2k π－π2≤ωx ≤2k π＋π2(k ∈Z )，得f (x )的增区间为[2k πω－π2ω，2k πω＋π2ω]，(k ∈Z )．因为f (x )在[－π2，2π3]上是增函数，所以[－π2，2π3]⊆[－π2ω，π2ω]，所以⎩⎨⎧－π2≥－π2ω，2π3≤π2ω，所以ω∈(0，34]． (方法2)因为x ∈[－π2，2π3]，ω>0，所以ωx ∈[－ωπ2，2πω3]，又f (x )在区间[－π2，2π3]上是增函数，所以[－ωπ2，2πω3]⊆[－π2，π2]，所以⎩⎨⎧ －ωπ2≥－π2，2πω3≤π2，又ω>0，所以0<ω≤34. 10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)，其中ω>0，|φ|<π2. (1)若cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，求φ的值； (2)在(1)的条件下，若函数f (x )的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3，求函数f (x )的解析式；并求最小正实数m ，使得函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数是偶函数． (1)由cos π4cos φ－sin 3π4sin φ＝0，得cos π4cos φ－sin π4sin φ＝0，即cos(π4＋φ)＝0.又|φ|<π2，所以φ＝π4. (2)由(1)得，f (x )＝sin(ωx ＋π4)．依题意，T 2＝π3，又T ＝2πω，故ω＝3，所以f (x )＝sin(3x ＋π4)．函数f (x )的图象向左平移m 个单位后所对应的函数为g (x )＝sin[3(x ＋m )＋π4]． g (x )是偶函数当且仅当3m ＋π4＝k π＋π2(k ∈Z )，即m ＝k π3＋π12(k ∈Z )，从而，最小正实数m ＝π12.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。

2020高考理数总复习课后限时集训20三角函数的图象与性质

课后限时集训(二十)三角函数的图象与性(建议用时：60分钟)A 组基础达标、选择题2 2 23 2 33 5［易知 f(x) = 2cosx —sinx + 2 = 3cosx + 1 = 2(2cosx — 1) + ?+1 = Qcos 2c +2,则f(x)的最小正周期为n 当x = k n k € Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.] 3. (2018乌鲁木齐二模)若锐角©满足sin ©— cos 片三"，贝U 函数f(x)= cos s (x + ©)的单调递减区间为()^5 n nA . 2k n- 12，2k n+ (k € Z) 5 n . n I n — 12，k n+ 12 (k € Z)1.F 列函数中最小正周期为 A . C.(ny = 2sin 2x +3 i'x ny = 2sin 2+3 n 且图象关于直线x = 3对称的是()(nB . y = 2sin2x —石(nD . y = 2sin 2x — 3[由函数的最小正周期为 n,可排除C .由函数图象关于直线x =对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点( n n,对于 A ,因为 sin 2X- + - = sin n= 0,所2.A .B .C .D . (n nn2X 3 — 6 = sin 2= 1,所以选项B 正确，选B .]2 2(2018 全国卷 I )已知函数 f(x) = 2cosx —sinx + 2,则( )f(x)的最小正周期为 f(x)的最小正周期为 f(x)的最小正周期为 n,最大值为3 n,最大值为4 2n,最大值为3 2冗，最大值为4 B . kC. 2k n+ 12, 2k n+ 気応 Z)7 n , 7 n]D. fk n+ 12，k n+ y2(k € Z)B [由题知©是锐角且满足sin ©— cos ©=¥，得片I n ，又；f (x) = co$(x +©) 5 n由 2k n< 2x +<2k n+n k € Z)得 f(x)6的单调递减区间为5 n n nk n —12，k n+12 (k € Z),故选 B .]4. (2018 广州一模)已知函数f(x)= si 右x+n](3>0)在区间—n 号上单调递B [因为x € —n ,字，所以 ”+才€ —号1 2 3 4 5+ ^, ^器+彳〔因为函数f(x)在区间—4，2n上单调递增，10，所以k = 0，可得0v 2,故选B .]5. (2019成都模拟)已知函数f(x) = cos 》+ nn sin x ,则下列说法正确的是( )A. 函数f(x)的最小正周期为T = 2nB. 函数f(x)的图象关于点；，—乎对称 c .函数f(x)在区间0, n 上为减函数1 11c=2cos(2< + 2([))+ 2 = 2cos2x + 1 2,丄丄n> n—4+6—2+ 2k n 所以匚2 3 n n , n ―+ 2=7+ 2k n3 6 2c83 —8k, (k€ Z)，解得人_ 1I 3W ：+ 3kj 2D.函数f(x)的图象关于直线x=；对称[因为函数f(x) = cosx+n sin x 2 .2-^sin x sin x = 4 sin 2x —(k€ Z).因为3>nf(x)的图象关于直线x =8对称，且f(x)的图象不关于点1[f(x)= cos x 2sin x +^cosx — 3co$x +~^ = 4sin 2x — _43(2co^x — 1)=寸2 1 — cos2c T = ~42(sin 2x + cos 2Q - ¥= 22sin?x +才—乎,故它的最小正周期为 2n T= 冗, 故A 错误；令x = n,求得f 1一¥= 2—T 2,为函数f(x)的最大值,故B 错误，D 正确；在区间0, n，函数 f(x)=*sin 2x + n^-子为增函数，故C 错误，故选D .］、填空题i n6. (2018江苏高考)已知函数y =sin(2x +奶一q v©v n 的图象关于直线 x ^3称，贝U ©的值为 6?[由题意可知 sinj^ ©=±,即2^+ k n+扌，k € Z ,n • ••片 k n-6, k €Z . — n n n .又••• - 2v ©v，二片一6.] f n7. (2018 北京高考)设函数 f(x) = cos M — 6(3>0).若 f(x)<x 都成立，则3的最小值为 ________ . 2 3 ［由于f(x) < f 4对任意的实数x 都成立,所以f(X )max =n n严 6 二1,对任意的实数43- 6= 2k n « Z . ••• 3= 8k + 2, k € 乙又3>0，—当k = 0时, 3min =2.] 8.函数 f(x) = cos xsinjx + ()—V3coSx +申在闭区间［―:,f 上的最小值是故函数8，— 了对称,X/3 1 C 於、「，；n n］ ”n 7 5 n n］sin 2x—^4cos 2x= 2sin 2x—3 ,当x€ f—4, 4 时，2x—3 € f—-y，石,则当2x—扌=—专,即x= —i|时,函数f(x)取得最小值—2 ］三、解答题9. (2019合肥质检)已知函数f(x) = sin ®x—cos wx( w>0)的最小正周期为兀(1)求函数y= f(x)图象的对称轴方程；⑵讨论函数f(x)在0, n上的单调性.［解］(1)：f(x) = sin 3x—cos 3x=^/2sin”x—4 j,且T = n,二3= 2.于是f(x)=2sin2x—n .令2x — *k n+ 夬€ Z),得x=字+ 认€ Z),故函数f(x)的对称轴方程为x=号+讯“ Z).n n n⑵令2k n—三2x —4 < 2k n+ ?(k€ Z),得函数f(x)的单调递增区间为k n— n k n+ 3n(k€ Z).注意到X』，于，令k= 0,得函数f(x)在fo,扌上的单调递增区间为0, ¥"；单调递减区间为El 2 110. 已知函数f(x)= sin(3x+册0v©v竽的最小正周期为n(1)求当f(x)为偶函数时©的值；⑵若f(x)的图象过点n 班求f(x)的单调递增区间.2 n［解］由f(x)的最小正周期为n,则T = n,所以3= 2,所以f(x) = sin(2x+册.(1)当f(x)为偶函数时，f( —x) = f(x),所以sin(2x+ ©) = sin(—2x+ 册,展开整理得sin 2xcos ©= 0 ,由已知上式对？x€ R都成立，2 n n 所以cos片0.因为0VK "3"，所以e=n（2）因为f 訂李n "；：：：：...: 3 n n 、n 2 n所以 sin 2 X 6 + © = ~2，即3+ ©= 3 + 2k n 或3+ ©= "3 + 2k n k € Z ），故 ©= 2k n 或 ©= 3 + 2k n k € Z ）， 2 n n又因为o v ©<"3-，所以 a3，即 f （x ） = sin 2x +n ，. nn n由一2 + 2k nC 2x + 3C 2 + 2k n k € Z ）5 n , n得 k n — I^C x C k n+ 12（k € Z ），5 nn T故f （x ）的递增区间为［I kn — —，k n+12 .B 组能力提升1. （2018 合肥二模）已知函数 f （x ） = 2sin （3x+ 枷3>0, 0< ©< n ） f 2, f n=0,且f （x ）在（0，n 上单调.下列说法正确的是（）b. f -n rc. 函数f （x ）在卜n -n 上单调递增 D .函数y = f （x ）的图象关于点3n ，0对称c ［由五点法作图知，n ，o 为五点法中的第二个零点则曽+ A n ①•又根据正弦函数的图象及已知条件知；，V 2 j 为靠近第二个零点的点，所以耆+片3n ②•由①②解得尸2，片2n ，所以f （x ）= 2sin|x +壬，所以f n ）= 4一26+ 22 ，n 2 2 n n 7 n故A，B 不正确；由—2 + 2k nC 3x+r < 2 + 2k n k€ Z），得——+3k nC x < -扌+ 3k n k € Z),所以函数f(x)在・|— n —扌上单调递增,故C 正确；因为f 苧=—1工0,所以函数y = f(x)的图象不关于点苧，0对称，故D 错误, 故选C .］ 2. (2016全国卷I )已知函数f(x) = sin (3x+©)卜>0,呻三扌］x =—扌为f(x)的零点，X = n 为y = f(x)图象的对称轴，且f(x)在需，話!上单调，贝U 3的最大值为() A . 11 B . 9 C . 7D . 5B ［因为f(x) = sin (3x+©)的一个零点为x =—亍，乂二才为y = f(x)图象的对称轴,T 冗所以T k = n (k 为奇数). 又T = 2n，所以3= k(k 为奇数).(n 5 n又函数f(x)在18，36上单调，n 1 2 n所以 19^ 2X —，即 3< 12.12 2 3若3=11，又i 晴n ，则片—n ，此时，f(x)=si*1x —n ),心)在扁，4n )上单调递增，在鲁，話n 单调递减，不满足条件.若3= 9，又|傾n ，则#；，此时，f (x)= sin9x +n y ，满足f(x)在芸，单调的条件.故选B .］3 •已知函数f(x) = cos ；3x — n — 2( 3> 0)在［0，n 上恰有三个零点，则 3的取值范围是 ________ .2，3)［令t = 3X —扌€ — n ，3n — n ，则问题转化为y = cos t 与y=£的图象在—n ，3n —n 上恰有三个不同的交点 5 n 7 n ，注意至勺 cos — - = cos ~= cos ~ = cos~=1,从而三个交点的横坐标只能是—3,3, 所以5^^①兀―3 v ^3，解得2w V8,故答案为2,8”4.已知函数f(x) = a?coS2+ sin x j+ b.(1)若a=—1,求函数f(x)的单调递增区间；⑵若x€ ［0 , n时，函数f(x)的值域是［5,8］，求a, b的值.［解］f(x) = a(1 + cosx+ sin x) + b= >/2asin》+扌j+ a+ b.(1)当a=—1 时，. n n — 3 n由2k n+ 2三x+ 4< 2k n+~2(k€ Z),n 5 n得2k n+ 4<x<2k n+N(k€ Z),•••当a=—1时，f(x)的单调递增区间为-|2k n+亍，2k n+ ¥抵€ Z).n n 5 n(2)；0<x< n, • 4<x+4,•—< sin x+ 4 < 1,依题意知a^ 0.W2a + a+ b= 8,①当a>0时，5,•a= 3 2—3, b= 5.b= 8,②当a v0时，,2a + a+ b= 5,•a= 3— 3.2, b= 8.综上所述，a = 3.2 —3, b= 5 或a= 3 — 3.2, b= 8.。

人教A版2020版新一线高考理科数学一轮复习教学案：第3章第3节三角函数的图象与性质含答案

第三节三角函数的图象与性质[考纲传真] 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0)．余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]图象的五个关键点是：(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质[若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则：(1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z)；(2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z)．[基础自测]1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝sin x 的图象关于点(k π，0)(k ∈Z)中心对称．( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数．( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin |x |与y ＝|sin x |都是周期函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)× 2．下列函数中，周期为π2的是( )A ．y ＝cos 4xB ．y ＝sin 2xC ．y ＝cos x4D ．y ＝sin x2A [由T ＝2πω可知，ω＝2πT ＝4，检验可知选项A 正确，故选A .] 3．若函数y ＝sin(φ－x )是奇函数，则φ的值可能是( ) A .π6 B .π3 C .π2D ．πD [由y ＝s in (φ－x )是奇函数可知，φ＝k π，k ∈Z ，故选D .] 4．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π4，k ∈Z B .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π8，k ∈ZC .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≠k π＋π8，k ∈ZD .⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈ZD [由2x ≠k π＋π2，k ∈Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∈Z ，∴y ＝tan 2x的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∈Z.] 5．y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的单调减区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8＋k π，7π8＋k π(k ∈Z) [由π2＋2k π≤2x －π4≤3π2＋2k π，k ∈Z 得 3π8＋k π≤x ≤7π8＋k π，k ∈Z .]三角函数的定义域和值域1．函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域为( )A .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 B .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，332 D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤－332，3B [因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3，所以函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3.]2.(2016·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A ．4B ．5C ．6D ．7 B [∵f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos 2x ＋6sin x＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，又sin x ∈[－1,1]，∴当sin x ＝1时，f (x )取得最大值5.故选B .] 3．函数y ＝lg sin x ＋cos x －12的定义域为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤2k π，π3＋2k π(k ∈Z) [要使函数有意义，则有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k π，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π(k ∈Z)，∴2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .∴函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x 2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∈Z .]4．函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x ，x ∈[0，π]的值域为________． [－1,1] [设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，即sin x cos x ＝1－t 22，且－1≤t ≤2.∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y ma x ＝1；当t ＝－1时，y min ＝－1. ∴函数的值域为[－1,1]．]三角函数的单调性【例1】 (1)(2018·全国卷Ⅱ)若f (x )＝cos x －sin x 在[0，a ] 是减函数，则a 的最大值是( ) A .π4 B .π2 C .3π4D ．π(2)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调减区间为________． (1)C (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z) [(1)f (x )＝cos x －sin x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4，当x －π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，即x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递增，－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4单调递减， ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4是f (x )在原点附近的单调递减区间，结合条件得[0，a ]⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，3π4，∴a ≤3π4，即a ma x ＝3π4，故选C . (2)由已知，得函数为y ＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调增区间即可．由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z . 故所求函数的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z)．](1)(2019·珠海模拟)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( ) A ．(0,2] B .⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12 C .⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34 D .⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54 (2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)＜f (－2)＜f (0) B ．f (0)＜f (2)＜f (－2) C ．f (－2)＜f (0)＜f (2)D ．f (2)＜f (0)＜f (－2)(1)D (2)A [(1)由2k π＋π2≤ωx ＋π4≤2k π＋3π2，得2k πω＋π4ω≤x ≤2k πω＋5π4ω，k ∈Z ，因为f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，所以⎩⎪⎨⎪⎧2k πω＋π4ω≤π2，2k πω＋5π4ω≥π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≥4k ＋12，ω≤2k ＋54.因为k ∈Z ，ω＞0，所以k ＝0，所以12≤ω≤54，即ω的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54.故选D .(2)因为T ＝π，所以ω＝2.所以2×2π3＋φ＝3π2＋2k π，k ∈Z ，得φ的一个正值为π6，所以y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 由函数图象及2，－2,0与最近的最高值的距离，距离越大值越小，可判断f (2)＜f (－2)＜f (0)．故选A .]三角函数的奇偶性、周期性及对称性►考法1 三角函数的周期性【例2】 (1)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A .π2 B .2π3C ．πD ．2π(2)若函数f (x )＝2tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫kx ＋π3的最小正周期T 满足1＜T ＜2，则自然数k 的值为________．(1)C (2)2或3 [(1)因为y ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以其最小正周期T ＝2π2＝π.故选C . (2)由题意知1＜πk ＜2，即k ＜π＜2k . 又k ∈Z ，所以k ＝2或k ＝3.] ►考法2 三角函数的奇偶性【例3】已知函数f (x )＝sin(x ＋θ)＋3cos(x ＋θ)，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2是偶函数，则θ的值为( )A ．0B .π6 C .π4D .π3B [∵f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋θ＋π3，∴要使f (x )为偶函数，只需θ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z .∴θ＝k π＋π6，k ∈Z .又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，∴当k ＝0时， θ＝π6.]►考法3 三角函数图象的对称性【例4】 (1)(2018·陕西二模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3(ω＞0)的最小正周期为π，则该函数的图象( )A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π12，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称C ．关于直线x ＝π12对称 D ．关于直线x ＝π3对称(2)(2019·武汉模拟)若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N *)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为________．(1)C (2)2 [(1)由题意，得T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由2x ＋π3＝k π(k ∈Z)，得x ＝k π2－π6(k ∈Z)，所以函数f (x )关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2－π6，0(k ∈Z)对称，故A ，B 不正确；由2x ＋π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋π12(k ∈Z)，所以函数f (x )关于直线x ＝π12对称，故C 正确，D 不正确，故选C . (2)由题意知ω6π＋π6＝k π＋π2(k ∈Z)，∴ω＝6k ＋2(k ∈Z)，又ω∈N * ， ∴ωmin ＝2.](1)在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( ) A ．①②③B ．①③④C ．②④D ．①③(2)(2019·山师大附中模拟)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)在x ＝π6时取得最大值，则函数g (x )＝cos(2x ＋φ)的图象( ) A ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0对称B ．关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对称C ．关于直线x ＝π6对称D ．关于直线x ＝π3对称(3)(2018·济南一模)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，则( ) A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递减B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3上单调递增C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上单调递增D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3上单调递减(1)A (2)A (3)D [(1)①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π； ②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π； ③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π；④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2，故选A .(2)因为x ＝π6时，f (x )＝sin(2x ＋φ)(0＜φ＜π)取得最大值，所以φ＝π6，即g (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以对称中心⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2＋π6，0，对称轴x ＝k π2－π12，故选A .(3)f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋3cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π3，因为其最小正周期为π，所以2πω＝π，ω＝2，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π3，又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f (x )，所以x ＝π6为函数f (x )图象的一条对称轴，则2×π6＋φ＋π3＝π2＋k π，k ∈Z ，解得φ＝－π6＋k π，k ∈Z ，又因为|φ|＜π2，所以φ＝－π6，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6＋π3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π，k ∈Z ，令k ＝0，得函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3上单调递减，故选D .]1．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A ．4πB ．2πC ．πD .π2C [函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期T ＝2π2＝π.故选C .] 2.(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减D [A 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的周期为2k π(k ∈Z)，所以f (x )的一个周期为－2π，A 项正确．B 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3图象的对称轴为直线x ＝k π－π3(k ∈Z)，所以y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称，B 项正确．C 项，f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3.令x ＋4π3＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π－56π，当k ＝1时，x ＝π6，所以f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6，C 项正确．D 项，因为f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π3，2k π＋2π3(k ∈Z)，递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋2π3，2k π＋5π3(k ∈Z)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，2π3是减区间，⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π是增区间，D 项错误．故选D .]3.(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．3 [由题意知，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z .当k ＝0时，x＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]的零点个数为3.]4．(2017·全国卷Ⅱ)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________．1 [f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34＝－⎝⎛⎭⎪⎫cos x －322＋1.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴cos x ∈[0,1]，∴当cos x ＝32时，f (x )取得最大值，最大值为1.]。

新高考数学一轮复习课时规范练20 三角函数的图象与性质新人教A版高三全册数学试题

课时规范练20 三角函数的图象与性质基础巩固组1.函数f (x )=|sinx 2·cos x2|的最小正周期是( )A.π4B.π2C .π D.2π2.(2019湖北武汉二中调研)设函数f (x )=sin (12x +x )−√3cos (12x +x )|θ|<π2的图象关于y 轴对称,则θ=( )A.-π6 B.π6 C.-π3 D.π33.(多选)(2019山东济南检测)已知函数f (x )=√2cos 2x+π4+1,对于任意的a ∈[0,1),方程f (x )-a=1(0≤x ≤m )仅有一个实数根,则m 的一个取值可以为( )A.π8B.π2C.5π8D.3π44.(2019全国1,文5)函数f (x )=sin x +xcos x +x 2在[-π,π]的图象大致为( )5.(2019河北石家庄二模)已知f (x )=2cos(ωx+φ)ω>0,ω∈N ,|φ|<π2在π6,2π3上单调递减,且f (0)=f (4π3)=1,则f (-2π3)=( )A.±√3B.-√3C.1D.±16.(2019山东德州高三联考)函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0.5,|φ|<π2的部分图象如图所示,则f(x)的单调递增区间为()A.[-1+4kπ,1+4kπ](k∈Z)B.[-3+8kπ,1+8kπ](k∈Z)C.[-1+4k,1+4k](k∈Z)D.[-3+8k,1+8k](k∈Z)7.(2019辽宁锦州期末)已知函数f(x)=√2sinωx-π3的最小正周期为π,若f(x1)·f(x2)=-2,则|x1-x2|的最小值为()A.π2B.π3C.πD.π48.函数y=tan(x2+π3)的单调递增区间是,最小正周期是.9.(2019山东烟台期中)已知函数f(x)=√3sin 2ωx-cos 2ωx-1(ω>0,x∈R),若f(x)在区间(-ω,ω)内单调递增,且函数y=f(x)的图象关于(ω,-1)对称,则函数y=f(x)的最大值为,ω=.10.已知函数y=cos x与y=sin(2x+φ)(0≤φ<π),它们的图象有一个横坐标为π3的交点,则φ的值是.综合提升组11.(2019安徽六安高三一模)已知函数f(x)=a sin 2x-√3cos 2x的图象关于直线x=-π12对称,若f(x1)f(x2)=-4,则|x1-x2|的最小值为()A.π3B.2π3C.4D.π212.已知函数f(x)=√3sin(ωx+φ)(x>0,-π2<x<π2),A(13,0)为f(x)图象的对称中心,B,C是该图象上相邻的最高点和最低点,若BC=4,则f(x)的单调递增区间是()A.(2x-23,2x+43),k∈ZB.(2xπ-2π3,2xπ+4π3),k∈ZC.(4x-23,4x+43),k∈ZD.(4xπ-2π3,4xπ+4π3),k∈Z13.函数f(x)=sin(-2x+π3)的单调减区间为.14.(2019浙江杭州西湖区校级模拟)定义在区间(0,π2)上的函数y=√5cos x的图象与y=4tan x的图象的交点为P,过点P作PP1⊥x轴交于点P1,直线PP1与y=sin x的图象交于点P2,则线段P1P2的长为.创新应用组15.(2019河北石家庄期末)设函数f(x)=sin(xx+π3) (ω>0),若f(x)≤f(π4)对任意的实数x都成立,则ω的最小值为()A.12B.23C.34D.116.(2019江西宜春二模)已知函数f(x)=cosπ5x+1,设a=f(log30.2),b=f(3-0.2),c=f(-31.1),则() A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>aD.c>a>b参考答案课时规范练20三角函数的图象与性质1.C由已知得f(x)=|sin x|2,故f(x)的最小正周期为π.2.A f(x)=sin(12x+x)−√3cos12x+θ=2sin12x+θ-π3,由题意可得f(0)=2sin(x-π3)=±2,即sin(x-π3)=±1,∴θ-π3=π2+kπ(k∈Z),∴θ=5π6+kπ(k∈Z).∵|θ|<π2,∴k=-1时,θ=-π6.3.AB 函数f (x )=√2cos (2x +π4)+1,对于任意的a ∈[0,1),方程f (x )-a=1(0≤x ≤m )仅有一个实数根,等价于函数y=f (x )-1与函数y=a 的图象的交点个数为1,由函数y=f (x )-1的最小正周期为π,与x 轴的交点为π8+x π2,0,k ∈Z ,可知当a ∈[0,1)时,π8≤m<5π8,m 的一个取值可以为π8或π2.故选AB .4.D 由f (-x )=-f (x ),得f (x )是奇函数,其图象关于原点对称,排除A .又f (π2)=1+π2(π2)2=4+2ππ2>1,f (π)=π-1+π2>0,排除B,C .故选D .5.C 由于函数在(π6,2π3)上单调递减,故T ≥2(2π3-π6)=π,所以0<ω≤2,由于f (0)=1,所以2cos φ=1,解得φ=π3或-π3.由于f (4π3)=1,所以2cos (43x π+π3)=1,解得ω=1.同理解得ω=2,所以f (-2π3)=2cos -2π3+π3=1.当ω=2时f (-2π3)=2cos -2·2π3−π3=1.故选C .6.D 根据函数的图象,x 4=3-1=2,故T=8,所以ω=2π8=π4,当x=1时,f (1)=1,所以π4+φ=2k π+π2(k ∈Z ).由于|φ|<π2,解得φ=π4,所以f (x )=sin (π4x +π4),令-π2+2k π≤π4x+π4≤2k π+π2(k ∈Z ),解得-3+8k ≤x ≤1+8k (k ∈Z ),故函数的单调递增区间为[-3+8k ,1+8k ](k ∈Z ).故选D .7.A 函数f (x )=√2sin ωx-π3的最小正周期为2πx =π,则ω=2,f (x )=√2sin (2x -π3).若f (x 1)·f (x 2)=-2,则f (x 1)=√2,f (x 2)=-√2,或者f (x 1)=-√2,f (x 2)=√2,则|x 1-x 2|的最小值为半个周期π2,故选A .8.(2x π-5π3,2x π+π3)(k ∈Z ) 2π 由k π-π2<x 2+π3<k π+π2,k ∈Z ,得2k π-5π3<x<2k π+π3,k∈Z .最小正周期T=π12=2π.9.1√36π ∵函数f (x )=√3sin2ωx-cos2ωx-1=2sin (2xx -π6)-1(ω>0,x ∈R ),若f (x )在区间(-ω,ω)内,ωx-π6∈-ω2-π6,ω2-π6,函数f (x )单调递增,∴-ω2-π6≥-π2,ω2-π6≤π2,∴0<x ≤√π3,且函数y=f (x )的图象关于(ω,-1)对称,∴2sin (2x ·x -π6)-1=-1,即sin (2x ·x -π6)=0.∴2ω·ω-π6=k π,k ∈Z ,∴ω=√3π6,故f (x )=2sin (√3π3·x -π6)-1, 则函数y=f (x )的最大值为1.10.π6由题意cos π3=sin (2×π3+x ),即sin (2π3+x )=12,2π3+φ=k π+(-1)k ·π6(k ∈Z ),因为0≤φ<π,所以φ=π6.11.D ∵f (x )的图象关于直线x=-π12对称,∴f (0)=f (-π6),即-√3=a sin (-π3)−√3cos (-π3)=-√32a-√32,得√32a=√32,得a=1,则f (x )=sin2x-√3cos2x=2sin (2x -π3).∵f (x 1)f (x 2)=-4,∴f (x 1)=2,f (x 2)=-2或f (x 1)=-2,f (x 2)=2,即f (x 1),f (x 2)一个为最大值,一个为最小值,则|x 1-x 2|的最小值为x2,∵T=2π2=π,∴x 2=π2,即|x 1-x 2|的最小值为π2,故选D .12.D 由题意,得(2√3)2+(x 2)2=42,即12+π2x 2=16,求得ω=π2.再根据π2·13+φ=k π,k ∈Z ,且-π2<φ<π2,可得φ=-π6,则f (x )=√3sin (π2x -π6).令2k π-π2≤π2x-π6≤2k π+π2,k ∈Z ,求得4k π-2π3≤x ≤4k π+4π3,k ∈Z ,故f (x )的单调递增区间为(4x π-2π3,4k π+4π3),k ∈Z ,故选D .13.[x π-π12,x π+5π12](k ∈Z ) 由已知函数为y=-sin (2x -π3),欲求函数的单调减区间,只需求y=sin (2x -π3)的单调增区间.由2k π-π2≤2x-π3≤2k π+π2,k ∈Z ,得k π-π12≤x ≤k π+5π12,k ∈Z .故所给函数的单调减区间为k π-π12,k π+5π12(k ∈Z ).14.√55 由题意可得线段P 1P 2的长即为P 2的纵坐标,即sin x 的值,且其中的x 即为P 的横坐标,满足√5cos x=4tan x ,解得sin x=√55.故线段P 1P 2的长为√55.15.B 因为f (x )≤f (π4)对任意的实数x 都成立,所以三角函数f (x )在x=π4时取最大值,所以ω·π4+π3=2k π+π2,其中k 是整数,因为ω>0,所以ω=23+8k>0,所以k 是自然数,当k=0时,ω取最小值23.故选B .16.B 函数f (x )=cos π5x+1是偶函数,所以c=f (-31.1)=f (31.1).可得31.1>3,1<log 35<2,0<3-0.2<1,即0<3-0.2<log 35<31.1<5,因为函数f (x )=cos π5x+1在(0,5)是单调递减函数,所以b>a>c.故选B .。

(人教版)2020届高考数学一轮复习第四章解三角形课时跟踪训练20 三角恒等变换文

课时跟踪训练(二十) 三角恒等变换[基础巩固]一、选择题1．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos2α＝( ) A ．－53B ．－59C.59D.53 [解析] 由(sin α＋cos α)2＝13得2sin αcos α＝－23，∵α在第二象限， ∴cos α－sin α＝－sin α＋cos α2－4sin αcos α＝－153，故cos2α＝cos 2α－sin 2α＝(cos α＋sin α)(cos α－sin α)＝33×⎝ ⎛⎭⎪⎫－153＝－53，选A.[答案] A2．已知sin2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.13 B.12 C.23D.16[解析] cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝1＋sin2α2＝1＋132＝23.[答案] C3．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝37，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝25，则tan(α＋β)的值为( )A.2941B.129C.141D ．1[解析] tan(α＋β)＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β1－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6·ta n ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋β＝37＋251－37×25＝1，故选D.[答案] D 4.sin47°－sin17°cos30°cos17°等于( )A ．－32B ．－12C.12D.32[解析] 原式＝sin30°＋17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°＋cos30°sin17°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°cos17°cos17°＝sin30°＝12.[答案] C5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6 的值是( )A ．－235B ．－45C.235D.45[解析] cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－sin α＝435⇒32cos α－32sin α＝435⇒3⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos α－32sin α＝435⇒sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝45，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋11π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－45. [答案] B6．cos π9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23π9＝( )A ．－18B ．－116C.116D.18[解析] cosπ9·cos 2π9·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－239π＝cos20°·cos40°·cos100°＝－cos20°·cos40°·cos80°＝－sin20°cos20°cos40°cos80°sin20°＝－12sin40°·cos40°·cos80°sin20°＝－14sin80°·cos80°sin20°＝－18sin160°sin20°＝－18sin20°sin20°＝－18.[答案] A 二、填空题 7.cos10°－3sin10°sin20°＝__________.[解析] 原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos10°－32sin10°sin20°＝2sin 30°－10°sin20°＝2.[答案] 2 8.3tan12°－34cos 212°－2sin12°＝________.[解析] 原式＝3·sin12°cos12°－322cos 212°－1sin12°＝23⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin12°－32cos12°cos12°2cos24°sin12°＝23sin －48°2cos24°sin12°cos12°＝－23sin48°sin24°cos24°＝－23sin48°12sin48°＝－4 3.[答案] －4 39．已知方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >1)的两根分别为tan α，tan β，且α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则α＋β＝________. [解析] 由已知得tan α＋tan β＝－3a ， tan αtan β＝3a ＋1，∴tan(α＋β)＝1.又∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，tan α＋tan β＝－3a <0，tan αtan β＝3a ＋1>0，∴tan α<0，tan β<0，∴α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0. ∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－3π4.[答案] －3π4三、解答题10．(2017·北京西城区5月模拟)已知函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4.(1)求f (x )的定义域；(2)设β∈(0，π)，且f (β)＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4，求β的值．[解] (1)由x ＋π4≠k π＋π2，得x ≠k π＋π4，k ∈Z .所以函数f (x )的定义域是{x |x ≠k π＋π4，k ∈Z }．(2)依题意，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫β－π4，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4cos ⎝⎛⎭⎪⎫β＋π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4，整理得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4·⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4－1＝0，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，或cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12. 因为β∈(0，π)，所以β＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，5π4.由sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝0，得β＋π4＝π，即β＝3π4；由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π4＝12，得β＋π4＝π3，即β＝π12. 所以β＝π12，或β＝3π4.[能力提升]11．设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则( )A ．3α－β＝π2B ．3α＋β＝π2C ．2α－β＝π2D ．2α＋β＝π2[解析] 由已知，得sin αcos α＝1＋sin βcos β，∴sin αcos β＝cos α＋cos αsin β. ∴sin αcos β－cos αsin β＝cos α.∴sin(α－β)＝cos α，∴sin(α－β)＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α. ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2，0<π2－α<π2，∴α－β＝π2－α，∴2α－β＝π2.故选C.[答案] C12．(2017·河南百校联盟4月联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2，则sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋5π6等于( )A ．－1010B.1010 C ．－31010D.31010[解析] tan α＋tan π12＝2tan αtan π12－2⇒tan α＋tanπ121－tan αtanπ12＝－2⇒tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－2<0，∵α为第二象限角，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝255，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝－55，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋5π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12－π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12sin π4－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12cos π4＝－31010.[答案] C13．(2017·湖南长沙一模)化简：2sin π－α＋sin2αcos2α2＝________.[解析]2sin π－α＋sin2αcos 2α2＝2sin α＋2sin α·cos α121＋cos α＝2sin α1＋cos α121＋cos α＝4sin α.[答案] 4sin α14．(2018·河南统考)已知tan α，tan β是lg(6x 2－5x ＋2)＝0的两个实根，则tan(α＋β)＝________.[解析] 由lg(6x 2－5x ＋2)＝0，得6x 2－5x ＋1＝0，由题意知tan α＋tan β＝56，tan α·tan β＝16，∴tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝561－16＝1.[答案] 115．已知sin(2α＋β)＝2sin β，求证：tan(α＋β)＝3tan α. [证明] ∵sin(2α＋β)＝2sin β，∴sin[(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]． ∴sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α ＝2sin(α＋β)cos α－2cos(α＋β)sin α. ∴3cos(α＋β)sin α＝sin(α＋β)cos α. ∴tan(α＋β)＝3tan α.16．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝－14，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2.(1)求sin2α的值； (2)求tan α－1tan α的值．[解] (1)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋α＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－12，因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π2，所以2α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，4π3，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＝－32.所以sin2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3sin π3＝12.(2)由(1)知tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos2αsin2α＝－2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－3212＝2 3.[延伸拓展](2018·安徽皖江名校联考)已知在锐角△ABC 中，角α＋π6的终边过点P (sin B －cos A ，cos B －sin A )，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝33，则cos2α的值为( ) A.3－26B ．－23－16 C.12－36D ．－63－16[解析] ∵△ABC 是锐角三角形，∴A ＋B >π2，A 、B <π2，∴π2>B >π2－A >0，则sin B >sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝cos A ，cos B <cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－A ＝sin A ，∴sin B －cos A >0，cos B －sin A <0，∴角α＋π6为第四象限角，∴sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－63，∴cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6－π6＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6·sin π6＝12－66，∴cos2α＝2cos 2α－1＝－63－16，故选D.[答案] D。

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课后限时集训(二十) 三角函数的图象与性质(建议用时：60分钟) A 组基础达标一、选择题1．下列函数中最小正周期为π且图象关于直线x ＝π3对称的是( )A ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3 B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π3D ．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3 B [由函数的最小正周期为π，可排除C.由函数图象关于直线x ＝π3对称知，该直线过函数图象的最高点或最低点，对于A ，因为sin ⎝⎛⎭⎪⎫2×π3＋π3＝sin π＝0，所以选项A 不正确．对于B ，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3－π6＝sin π2＝1，所以选项B 正确，选B.]2．(2018·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2，则( ) A ．f (x )的最小正周期为π，最大值为3 B ．f (x )的最小正周期为π，最大值为4 C ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为3 D ．f (x )的最小正周期为2π，最大值为4B [易知f (x )＝2cos 2x －sin 2x ＋2＝3cos 2x ＋1＝32(2cos 2x －1)＋32＋1＝32cos 2x ＋52，则f (x )的最小正周期为π，当x ＝k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值，最大值为4.] 3．(2018·乌鲁木齐二模)若锐角φ满足sin φ－cos φ＝22，则函数f (x )＝cos 2(x ＋φ)的单调递减区间为( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－5π12，2k π＋π12(k ∈Z)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π12，2k π＋7π12(k ∈Z) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z) B [由题知φ是锐角且满足sin φ－cos φ＝22，得φ＝5π12，又∵f (x )＝cos 2(x ＋φ)＝12cos(2x ＋2φ)＋12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＋12，由2k π≤2x ＋5π6≤2k π＋π(k ∈Z)得f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12(k ∈Z)，故选B.] 4．(2018·广州一模)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω＞0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，则ω的取值范围为( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，83B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，83 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤38，2 B [因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3，所以ωx ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ωπ4＋π6，2ωπ3＋π6.因为函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，2π3上单调递增，所以⎩⎪⎨⎪⎧－ωπ4＋π6≥－π2＋2k π，2ωπ3＋π6≤π2＋2k π(k ∈Z)，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω≤83－8k ，ω≤12＋3k (k ∈Z)．因为ω＞0，所以k ＝0，可得0＜ω≤12，故选B.]5．(2019·成都模拟)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin x ，则下列说法正确的是( )A ．函数f (x )的最小正周期为T ＝2πB ．函数f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，－24对称C ．函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π8上为减函数D ．函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称D [因为函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4sin x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos x －22sin x ·sin x ＝24sin 2x －22·1－cos 2x 2＝24(sin 2x ＋cos 2x )－24＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－24，故它的最小正周期为2π2＝π，故A 错误；令x ＝π8，求得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝12－24＝2－24，为函数f (x )的最大值，故函数f (x )的图象关于直线x ＝π8对称，且f (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，－24对称，故B 错误，D 正确；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π8上，2x ＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，函数f (x )＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4－24为增函数，故C 错误，故选D.] 二、填空题6．(2018·江苏高考)已知函数y ＝sin(2x ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜φ＜π2的图象关于直线x ＝π3对称，则φ的值为________．－π6 [由题意可知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝±1，即2π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z，∴φ＝k π－π6，k ∈Z.又∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π6.]7．(2018·北京高考)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)．若f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为________．23 [由于f (x )≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4对任意的实数x 都成立，所以f (x )ma x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4ω－π6＝1，∴π4ω－π6＝2k π，k ∈Z. ∴ω＝8k ＋23，k ∈Z.又ω＞0，∴当k ＝0时，ωmin ＝23.]8．函数f (x )＝cos x sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34在闭区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最小值是________．－12 [f (x )＝cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝14sin 2x －34(2cos 2x －1)＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，2x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π6，则当2x －π3＝－π2，即x ＝－π12时，函数f (x )取得最小值－12.]三、解答题9．(2019·合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω＞0)的最小正周期为π. (1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调性．[解] (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2.于是f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z)，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)，故函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z)． (2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z)，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z)．注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.10．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0＜φ＜2π3的最小正周期为π.(1)求当f (x )为偶函数时φ的值；(2)若f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，32，求f (x )的单调递增区间．[解] 由f (x )的最小正周期为π，则T ＝2πω＝π，所以ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋φ)．(1)当f (x )为偶函数时，f (－x )＝f (x )，所以sin(2x ＋φ)＝sin(－2x ＋φ)，展开整理得sin 2x cos φ＝0，由已知上式对∀x ∈R 都成立，所以cos φ＝0.因为0＜φ＜2π3，所以φ＝π2.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π6＋φ＝32，即π3＋φ＝π3＋2k π或π3＋φ＝2π3＋2k π(k ∈Z)，故φ＝2k π或φ＝π3＋2k π(k ∈Z)，又因为0＜φ＜2π3，所以φ＝π3，即f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，由－π2＋2k π≤2x ＋π3≤π2＋2k π(k ∈Z)得k π－5π12≤x ≤k π＋π12(k ∈Z)，故f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－5π12，k π＋π12.B 组能力提升1．(2018·合肥二模)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0,0＜φ＜π)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0，且f (x )在(0，π)上单调．下列说法正确的是( ) A ．ω＝12B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝6－22C ．函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上单调递增D ．函数y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎪⎫3π4，0对称C [由五点法作图知，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0为五点法中的第二个零点，则πω2＋φ＝π ①.又根据正弦函数的图象及已知条件知⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，2为靠近第二个零点的点，所以πω8＋φ＝3π4 ②.由①②解得ω＝23，φ＝2π3，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋2π3，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π8＝6＋22，故A ，B 不正确；由－π2＋2k π≤23x ＋2π3≤π2＋2k π(k ∈Z)，得－7π4＋3k π≤x ≤－π4＋3k π(k ∈Z)，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上单调递增，故C 正确；因为f ⎝⎛⎭⎪⎫3π4＝－1≠0，所以函数y ＝f (x )的图象不关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，0对称，故D 错误，故选C.]2．(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A ．11B ．9C ．7D ．5B [因为f (x )＝sin(ωx ＋φ)的一个零点为x ＝－π4，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，所以T 4·k ＝π2(k 为奇数)．又T ＝2πω，所以ω＝k (k 为奇数)．又函数f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以π12≤12×2πω，即ω≤12.若ω＝11，又|φ|≤π2，则φ＝－π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11x －π4，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，3π44上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎫3π44，5π36上单调递减，不满足条件．若ω＝9，又|φ|≤π2，则φ＝π4，此时，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9x ＋π4，满足f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调的条件．故选B.]3．已知函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π3－12(ω＞0)在[0，π]上恰有三个零点，则ω的取值范围是________．⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，83 [令t ＝ωx －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，ωπ－π3，则问题转化为y ＝cos t 与y ＝12的图象在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，ωπ－π3上恰有三个不同的交点，注意到cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝cos π3＝cos 5π3＝cos 7π3＝12，从而三个交点的横坐标只能是－π3，π3，5π3，所以5π3≤ωπ－π3＜7π3，解得2≤ω＜83，故答案为⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，83.]4．已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x2＋sin x ＋b .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5,8]，求a ，b 的值．[解] f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b .(1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z)，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z)，∴当a ＝－1时，f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z)．(2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a ＞0时，⎩⎨⎧ 2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5.②当a ＜0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8.综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。