高数习题1

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高等数学习题及解答(1)

一般班高数作业（上）第一章函数1、试判断以下每对函数是不是同样的函数，并说明原因：（2） y sin(arcsin x) 与（6） yarctan(tan x) 与 y x ；（4）y x ；（8）y x 与 y x2；y f ( x) 与 xf ( y) 。

解：判断两个函数的定义域和对应法例能否同样。

（2） y sin(arcsin x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；（4） y x 2x ，两个函数同样；（6） y arctan(tan x) 定义域不一样，所以两个函数不一样；（8） yf (x) 与 xf ( y) 定义域和对应法例都同样，所以两个函数同样。

2、求以下函数的定义域，并用区间表示：x 211（2） yx；（7） y ex x；（3） y 2 xarcsinln 1x解：（2） x [ 2,0) ；（3） x [1 e 2 ,0) (0,1 e 2 ] ；（7） x(0, e)(e,) 。

1 。

1 ln xf (x)x 2 1, x 03、设 1x 2, x ，求 f ( x) f ( x) 。

解：按 x 0 ， x 0 ， x 0 时，分别计算得， f (x)0 x 0f ( x)x 。

2 04、议论以下函数的单一性（指出其单增区间和单减区间）：（2） y4xx2；（4） y x x 。

解：（2） y 4xx24 ( x 2) 2单增区间为 [0,2] ，单减区间为 [ 2,4] 。

（4） yx x2x x 0) 。

0 x ，定义域为实数集，单减区间为 ( ,5、议论以下函数的奇偶性：（2）f ( x) x x2 1 tanx ；（3）f (x) ln( x2 1 x)；（6） f ( x) cosln x ；1 x, x 0 （7） f (x)x, x 0。

1解：（2）奇函数；（3）奇函数；（ 6）非奇非偶函数；（ 7）偶函数。

6、求以下函数的反函数及反函数的定义域：2x), D f ( ,0) ；（） f ( x) 2x 1, 0 x 1（）。

大学高等数学上习题(附答案)

《高数》习题1（上）一．选择题1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和（B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 4．设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（）.（A ）连续且可导（B ）连续且可微（C ）连续不可导（D ）不连续不可微 7．211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭ （C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭ （D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭10．设()f x 为连续函数，则()102f x dx '⎰等于（）.（A ）()()20f f - （B ）()()11102f f -⎡⎤⎣⎦（C ）()()1202f f -⎡⎤⎣⎦（D ）()()10f f -二．填空题1．设函数()2100x e x f x x a x -⎧-≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处连续，则a =.2．已知曲线()y f x =在2x =处的切线的倾斜角为56π，则()2f '=.3．()21ln dxx x =+⎰.三．计算 1．求极限①21lim xx x x →∞+⎛⎫⎪⎝⎭ ②()20sin 1lim xx x x x e →-- 2．求曲线()ln y x y =+所确定的隐函数的导数x y '. 3．求不定积分xxe dx -⎰四．应用题（每题10分，共20分）1．求曲线22y x =和直线4y x =-所围图形的面积.《高数》习题1参考答案一．选择题1．B 4．C 7．D 10．C 二．填空题 1．2- 2．33- ３．arctan ln x c + 三．计算题１①2e ②162.11xy x y '=+- 3. ()1x ex C --++四．应用题１． 18S =《高数》习题2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ).(A) ()f x x =和()2g x x = (B) ()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =2.设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（）. (A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 不存在3.设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为{ }. (A) 0 (B)2π(C) 锐角 (D) 钝角 4.曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( ). (A) 12,ln2⎛⎫⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C)1,ln 22⎛⎫⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭6.以下结论正确的是( ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在. 7.设函数()y f x =的一个原函数为12xx e ,则()f x =( ).(A) ()121xx e - (B) 12x x e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe 8.若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+ 9.设()F x 为连续函数,则12x f dx ⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰=( ). (A) ()()10f f - (B)()()210f f -⎡⎤⎣⎦ (C) ()()220f f -⎡⎤⎣⎦ (D) ()1202f f ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦10.定积分badx ⎰()a b <在几何上的表示( ).(A) 线段长b a - (B) 线段长a b - (C) 矩形面积()1a b -⨯ (D) 矩形面积()1b a -⨯二.填空题(每题4分,共20分)1.设 ()()2ln 101cos 0x x f x xa x ⎧-⎪≠=⎨-⎪=⎩, 在0x =连续,则a =________.2.设2sin y x =, 则dy =_________________sin d x .5. 定积分2121sin 11x x dx x -+=+⎰___________. 三.计算题(每小题5分,共30分)1.求下列极限:①()10lim 12xx x →+ ②arctan 2lim 1x x xπ→+∞-2.求由方程1yy xe =-所确定的隐函数的导数x y '. 3.求下列不定积分:①3tan sec x xdx ⎰③2xx e dx ⎰四.应用题(每题10分,共20分)2.计算由两条抛物线：22,y x y x ==所围成的图形的面积.《高数》习题2参考答案一.选择题：CDCDB CADDD二填空题：1.－2 2.2sin x 3.3 4.2211ln 24x x x c -+ 5.2π 三.计算题：1. ①2e ②1 2.2yx e y y '=-3.①3sec 3xc +②)ln x c + ③()222x x x e c -++四.应用题：1.略 2.13S =《高数》习题3（上）一、填空题(每小题3分, 共24分)1.函数y =的定义域为________________________.2.设函数()sin 4,0,0xx f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩, 则当a =_________时, ()f x 在0x =处连续.4. 设()f x 可导, ()xy f e =, 则____________.y '=5. 221lim _________________.25x x x x →∞+=+- 二、求下列极限(每小题5分, 共15分)1. 01lim sin x x e x →-;2. 233lim 9x x x →--; 3. 1lim 1.2xx x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭三、求下列导数或微分(每小题5分, 共15分)1. 2xy x =+, 求(0)y '. 2. cos x y e =, 求dy . 3. 设x y xy e +=, 求dydx .四、求下列积分 (每小题5分, 共15分)1. 12sin x dx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰. 2.ln(1)x x dx +⎰.3.120x e dx ⎰五、(8分)求曲线1cos x t y t=⎧⎨=-⎩在2t π=处的切线与法线方程.六、(8分)求由曲线21,y x =+ 直线0,0y x ==和1x =所围成的平面图形的面积, 以及此图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积.《高数》习题3参考答案一．1．3x< 2.4a = 3.2x = 4.'()x x e f e5.126.07.22x xe -8.二阶二.1.原式=0lim 1x xx→= 2.311lim36x x →=+ 3.原式=112221lim[(1)]2x x e x--→∞+= 三.1.221','(0)(2)2y y x ==+2.cos sin x dy xe dx =-3.两边对x 求写：'(1')x y y xy e y +==+'x y x y e y xy yy x e x xy++--⇒==-- 四.1.原式=lim 2cos x x C -+2.原式=2221lim(1)()lim(1)[lim(1)]22x x x d x x d x x +=+-+⎰⎰=22111lim(1)lim(1)(1)221221x x x x dx x x dx x x+-=+--+++⎰⎰=221lim(1)[lim(1)]222x x x x x C +--+++3.原式=1221200111(2)(1)222x x e d x e e ==-⎰五.sin 1,122dy dy tt t y dx dx ππ=====且切线：1,1022y x y x ππ-=---+=即法线：1(),1022y x y x ππ-=--+--=即六.12210013(1)()22S x dx x x =+=+=⎰11224205210(1)(21)228()5315V x dx x x dxx x x ππππ=+=++=++=⎰⎰《高数》习题4（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（）.A []1,2-B [)1,2-C (]1,2-D ()1,2- 2、极限xx e ∞→lim 的值是（）.A 、 ∞+B 、 0C 、∞-D 、不存在 3、=--→211)1sin(limx x x （）.A 、1B 、 0C 、 21-D 、21 4、曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（） A 、 )1(2-=x y B 、)1(4-=x y C 、14-=x y D 、)1(3-=x y 5、下列各微分式正确的是（）.A 、)(2x d xdx = B 、)2(sin 2cos x d xdx = C 、)5(x d dx --= D 、22)()(dx x d =6、设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （）. A 、2sin x B 、 2sin x - C 、 C x +2sin D 、2sin 2x-7、⎰=+dx xx ln 2（）.A 、C x x++-22ln 212 B 、 C x ++2)ln 2(21C 、 C x ++ln 2lnD 、 C xx++-2ln 1 9、⎰=+101dx e e xx（）. A 、21ln e + B 、22ln e + C 、31ln e + D 、221ln e +二、填空题（每小题4分）1、设函数xxe y =，则 =''y ； 2、如果322sin 3lim 0=→x mx x , 则 =m .3、=⎰-113cos xdx x ；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 x x x x --+→11lim； 2、求x x y sin ln cot 212+= 的导数；3、求函数 1133+-=x x y 的微分；4、求不定积分⎰++11x dx；四、应用题（每小题10分）1、求抛物线2x y = 与 22x y -=所围成的平面图形的面积.参考答案一、1、C ； 2、D ； 3、C ； 4、B ； 5、C ； 6、B ； 7、B ； 8、A ； 9、A ； 10、D ；二、1、xe x )2(+； 2、94 ； 3、0 ； 4、xe x C C y 221)(-+= ； 5、8，0 三、1、 1； 2、x 3cot - ； 3、dx x x 232)1(6+ ； 4、C x x +++-+)11ln(212； 5、)12(2e- ；四、1、38；《高数》习题5（上）一、选择题（每小题3分） 1、函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（）.A 、()()+∞--,01,2B 、 ()),0(0,1+∞-C 、),0()0,1(+∞-D 、),1(+∞- 2、下列各式中，极限存在的是（）.A 、 x x cos lim 0→ B 、x x arctan lim ∞→ C 、x x sin lim ∞→ D 、xx 2lim +∞→3、=+∞→xx xx )1(lim （）. A 、e B 、2e C 、1 D 、e1 4、曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（）. A 、 x y = B 、)1)(1(ln --=x x y C 、 1-=x y D 、)1(+-=x y 5、已知x x y 3sin = ，则=dy （）.A 、dx x x )3sin 33cos (+-B 、dx x x x )3cos 33(sin +C 、dx x x )3sin 3(cos +D 、dx x x x )3cos 3(sin + 6、下列等式成立的是（）.A 、⎰++=-C x dx x 111ααα B 、⎰+=C x a dx a xx ln C 、⎰+=C x xdx sin cos D 、⎰++=C xxdx 211tan 7、计算⎰xdx x e xcos sin sin 的结果中正确的是（）.A 、C ex+sin B 、C x e x +cos sinC 、C x ex+sin sin D 、C x e x +-)1(sin sin二、填空题（每小题4分）1、设⎩⎨⎧+≤+=0,0,1)( x b ax x e x f x ，则有=-→)(lim 0x f x ，=+→)(lim 0x f x ；2、设 xxe y = ，则 =''y ；3、函数)1ln()(2x x f +=在区间[]2,1-的最大值是，最小值是；三、计算题（每小题5分） 1、求极限 )2311(lim 21-+--→x x x x ；2、求 x x y arccos 12-= 的导数；3、求函数21xx y -=的微分；4、求不定积分⎰+dx xxln 21 ；5、求定积分⎰e edx x 1ln ；四、应用题（每小题10分）1、求由曲线 22x y -= 和直线 0=+y x 所围成的平面图形的面积.参考答案一、1、B ； 2、A ； 3、D ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、D ； 10、B.二、1、 2 ，b ； 2、xe x )2(+ ； 3、 5ln ，0 ； 4、0 ； 5、xxe C e C 221+.三、1、31 ； 2、1arccos 12---x x x ； 3、dx xx 221)1(1-- ； 4、C x ++ln 22 ； 5、)12(2e - ；四、1、 29；。

高数练习册1答案

大学理工科基础课程高数I练习册答案(上)高数(1)练习册习题答案第一章习题1-11求下列函数的自然定义域(1) 211x xy --=解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1].(2) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4]. (3)xx y 1arctan 3+-=;解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3).2在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ;解 y =sin 2x , 41)21(6sin 221===πy ,43)23(3sin 222===πy ..(2)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2;解 21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y . (3) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.解 y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限: (1)n n x 21=;解当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim =∞→n n . (2) 212n x n +=;解当n →∞时, 212n x n +=→2, 2)12(lim 2=+∞→n n . (3)11+-=n n x n ;解当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0, 111lim =+-∞→n n n(4)2 求,)(x x x f = xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x x x f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x x x f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 000-=-==---→→→xx x x x x x x ϕ,1l i m||l i m )(l i m 000===+++→→→x x x x x x x x ϕ, )(l i m )(l i m 0x x x x ϕϕ+→→≠-, 所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.3 0sin lim =+∞→x x x . 分析因为xxx x x 1|s i n |0s i n≤=-. 所以要使ε<-0sin xx , 只须ε<x1, 即21ε>x .证明因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0s i n xx ,所以0sin lim =+∞→xx x .习题1-31 求下列极限并说明理由: (1)xx x 12lim +∞→;(2)xx x --→11lim 20. 解 (1)因为xx x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x x .(2)因为x xx +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x .2 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如0)22cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .3. 计算下列极限:(1) 112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim 121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x . (2)4586lim 224+-+-→x x x x x ; 解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(3))1 111(lim +⋅⋅⋅+++;解 2211)21(1lim)21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (4)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n nn n n n n n . (5)35)3)(2)(1(lim nn n n n +++∞→; 解 515)3)(2)(1(lim 3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim 3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (6))1311(lim 31xx x ---→;解 )1)(1()2)(1(lim )1)(1(31lim )1311(lim 2122131x x x x x x x x x x x x x x x ++-+--=++--++=---→→→ 112l i m 21-=+++-=→x x x x . (7)12lim 2+∞→x x x ; 解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数). (8)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→xx x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量).(9)xx x arctan lim ∞→.解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x xx x x (当x →∞时, x 1是无穷小,而arctan x 是有界变量).习题1-41计算下列极限:3 利用极限存在准则证明习题1-51利用等价无穷小的性质,求下列极限 (1)xx x 23tan lim 0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim 0→(n , m 为正整数);(3)x x x x 30sin sin tan lim -→; (4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x . 解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2)⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x xx x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2s i n t a n 2)1(c o s t a n t a n s i n x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0), 23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0), x x x x x ~s i n ~1s i n 1s i n 1s i n1++=-+(x →0),所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→x x x x x x x x x . 习题1-61. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:(1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;解已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x .所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数.(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性.在x =-1处, 因为f (-1)=-1, 并且)1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x ,)1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x ,所以函数在x =-1处间断, 但右连续. 在x =1处, 因为f (1)=1, 并且1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1),所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2; 解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的.(2)x x y tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅);解函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点.因∞=→x x k x tan lim π(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xx x , 0tan lim2=+→x x k x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的.(3)xy 1cos 2=, x =0;解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点.(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y , x =1.解因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x xx x f nnn . 在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.习题1-71. 求下列极限: (1)xx x 11lim 0-+→;(2)145lim 1---→x x x x ;(3)a x a x a x --→sin sin lim ;(4))(lim 22x x x x x --++∞→.解 (1) )11(lim )11()11)(11(lim 11lim 000++=++++-+=-+→→→x x x x x x x x x x x x211101111lim=++=++=→x x . (2))45)(1()45)(45(lim 145lim 11x x x x x x x x x x x x +--+---=---→→)45)(1(44lim1x x x x x +---=→214154454lim 1=+-⋅=+-=→x x x . (3)ax a x a x a x a x a x a x --+=--→→2sin 2cos 2lim sin sin lim a a a a x a x a x a x a x c o s 12c o s 22s i nlim2cos lim =⋅+=--⋅+=→→. (4))())((lim )(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim )(2lim22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x x x x .2. 求下列极限:(1)2)11(lim xx x +∞→;(2)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→;(3)21)63(lim -∞→++x x xx ; (4)x x x x x x -++-+→20sin 1sin 1tan 1lim .解. (1) []e e x x xx xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim )11(lim .(2) []33tan 3120cot 2022)tan 31(lim)tan 31(lim e x x x x x x =+=+→→.(3)21633621)631()63(-+-⋅-+-+-+=++x x x x xx x . 因为 e x x x =+-+-+∞→36)631(l i m , 232163lim -=-⋅+-∞→x x x ,所以2321)63(lim --∞→=++e xx x x .(4))sin 1tan 1)(1sin 1()1sin 1)(sin 1tan 1(lim sin 1sin 1tan 1lim 22020x x x x x x x x x x x x x x +++-++++-+=-++-+→→xx x x x x x x x x x x x 220220s i n 2s i n 2t a n lim )sin 1tan 1(sin )1sin 1)(sin (tan lim ⋅=+++++-=→→ 21)2(2l i m 320=⋅=→xx x x . 3. 设函数⎩⎨⎧≥+<=0 0)(x x a x e x f x 应当如何选择数a , 使得f (x )成为在(-∞, +∞)内的连续函数？解要使函数f (x )在(-∞, +∞)内连续, 只须f (x )在x =0处连续, 即只须 a f x f x f x x ===+→-→)0()(lim )(lim 0.因为1lim )(lim 0==-→-→x x x e x f , a x a x f x x =+=+→+→)(lim )(lim 0, 所以只须取a =1.习题1-82. 证明方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间. 证明设f (x )=x 5-3x -1, 则f (x )是闭区间[1, 2]上的连续函数.因为f (1)=-3, f (2)=25, f (1)f (2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点ξ (1<ξ<2), 使f (ξ)=0, 即x =ξ 是方程x 5-3x =1的介于1和2之间的根. 因此方程x 5-3x =1至少有一个根介于1和2之间.3. 证明方程x =a sin x +b , 其中a >0, b >0, 至少有一个正根, 并且它不超过a +b . 证明设f (x )=a sin x +b -x , 则f (x )是[0, a +b ]上的连续函数. f (0)=b , f (a +b )=a sin (a +b )+b -(a +b )=a [sin(a +b )-1]≤0.若f (a +b )=0, 则说明x =a +b 就是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根; 若f (a +b )<0, 则f (0)f (a +b )<0, 由零点定理, 至少存在一点ξ∈(0, a +b ), 使f (ξ)=0, 这说明x =ξ 也是方程x =a sin x +b 的一个不超过a +b 的根. 总之, 方程x =a sin x +b 至少有一个正根, 并且它不超过a +b .4. 若f (x )在[a , b ]上连续, a <x 1<x 2< ⋅ ⋅ ⋅ <x n <b , 则在[x 1, x n ]上至少有一点ξ , 使n x f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ.证明显然f (x )在[x 1, x n ]上也连续. 设M 和m 分别是f (x )在[x 1, x n ]上的最大值和最小值.因为x i ∈[x 1, x n ](1≤ i ≤n ), 所以有m ≤f (x i )≤M , 从而有 M n x f x f x f m n n ⋅≤+⋅⋅⋅++≤⋅)( )()(21,M nx f x f x f m n ≤+⋅⋅⋅++≤)( )()(21.由介值定理推论, 在[x 1, x n ]上至少有一点ξ 使nx f x f x f f n )( )()()(21+⋅⋅⋅++=ξ.复习题一1证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ;(2)2~1sec 2x x -.证明 (1)因为1tan lim arctan lim 00==→→y yxx y x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时,y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为1)22sin 2(lim 22sin 2lim cos cos 1lim 2211sec lim 202202020===-=-→→→→x xx x x x x xx x x x x , 所以当x →0时, 2~1s e c 2x x -. 2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2; 解 )1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处, 令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的. (2) xy 1cos 2=, x =0;解因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点.又因为xx 1cos lim 20→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim )(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n . 在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4 (空缺,课堂讲解)5 (空缺,课堂讲解) 6求下列极限:(1)221)1(1lim -+-→x x x x ; (2))1(lim 2x x x x -++∞→;(3)1)1232(lim +∞→++x x x x ;(4)30sin tan lim x x x x -→; (5)x x x x x c b a 10)3(lim ++→(a >0, b >0, c >0); (6)x x x tan 2)(sin lim π→.解 (1)因为01)1(lim 221=+--→x x x x , 所以∞=-+-→221)1(1lim x x x x . (2))1()1)(1(lim )1(lim 2222x x x x x x x x x x x x ++++-+=-++∞→+∞→211111lim 1lim22=++=++=+∞→+∞→x x x x x x .(3)2121211)1221(lim )1221(lim )1232(lim ++∞→+∞→+∞→++=++=++x x x x x x x x x x 21212)1221()1221(lim ++++=+∞→x x x xe x x x x x =++⋅++=∞→+∞→21212)1221(lim )1221(lim .(4)xx x x x x x x x x x x x cos )cos 1(sin lim )1cos 1(sin lim sin tan lim 303030-=-=-→→→21)2(2lim cos 2sin 2sin lim320320=⋅=⋅=→→x x x x x x x x x (提示: 用等价无穷小换). (5)x c b a c b a xx x x xx xxx x x x x x x cb ac ba 3333010)331(lim )3(lim -++⋅-++→→-+++=++,因为e c b a x x x c b a xx x x =-+++-++→330)331(lim , )111(lim 3133lim 00xc x b x a x c b a xx x x x x x x -+-+-=-++→→ ])1l n (1lim ln )1ln(1lim ln )1ln(1lim [ln 31000v c u b t a v u t +++++=→→→3ln )ln ln (ln 31abc c b a =++=, 所以 3ln 103)3(lim abc e c b a abc x x x x x ==++→. 提示: 求极限过程中作了变换a x -1=t , b x -1=u , c x -1=v .(6)x x x x xx x x tan )1(sin 1sin 12tan 2)]1(sin 1[lim )(sin lim -⋅-→→-+=ππ, 因为e x x x =-+-→1s i n 12)]1(sin 1[lim π,x x x x x x x c o s )1(s i n s i n limtan )1(sin lim 22-=-→→ππ01s i nc o s s i n lim )1(sin cos )1(sin sin lim222=+-=+-=→→x x x x x x x x x ππ, 所以 1)(s i n lim 0tan 2==→e x x x π.7. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=01sin )(2x x a x xx x f , 要使f (x )在(-∞, +∞)内连续, 应怎样选择数a ? 解要使函数连续, 必须使函数在x =0处连续. 因为f (0)=a , a x a x f x x =+=--→→)(lim )(lim 200, 01sin lim )(lim 00==++→→xx x f x x ,所以当a =0时, f (x )在x =0处连续. 因此选取a =0时, f (x )在(-∞, +∞)内连续.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤<-+>=-01 )1ln(0 )(11x x x e x f x , 求f (x )的间断点, 并说明间断点所属类形.解因为函数f (x )在x =1处无定义, 所以x =1是函数的一个间断点.因为0lim )(lim 1111==-→→--x x x e x f (提示-∞=--→11lim 1x x ), ∞==-→→++1111lim )(lim x x x e x f (提示+∞=-+→11lim 1x x ), 所以x =1是函数的第二类间断点.又因为0)1ln(lim )(lim 0=+=--→→x x f x x , ee xf x x x 1lim )(lim 110==-→→++,所以x =0也是函数的间断点, 且为第一类间断点.9. 证明()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n . 证明因为()11 211122222+≤++⋅⋅⋅++++≤+n n n n n n n n n , 且1111lim lim2=+=+∞→∞→n n n n n n , 1111lim 1lim 22=+=+∞→∞→nn n n n , 所以()11 2111lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→nn n n n .10. 证明方程sin x +x +1=0在开区间)2,2(ππ-内至少有一个根.证明设f (x )=sin x +x +1, 则函数f (x )在]2,2 [ππ-上连续.因为2121)2 (πππ-=+--=-f , 22121)2 (πππ+=++=f , 0)2()2 (<⋅-ππf f ,所以由零点定理, 在区间)2,2 (ππ-内至少存在一点ξ, 使f (ξ)=0.这说明方程sin x +x +1=0在开区间)2,2 (ππ-内至少有一个根.第二章习题2-11. 求下列函数的导数: (1)32x y =;(2)5322x x x y =; 解 (1))3113232323232)()(--=='='='x x x xy . (2)651616153226161)()(--=='='='x x x x x x y . 2. 如果f (x )为偶函数, 且f (0)存在, 证明f (0)=0. 证明当f (x )为偶函数时, f (-x )=f (x ), 所以)0(0)0()(lim 0)0()(lim 0)0()(lim)0(000f x f x f x f x f x f x f f x x x '-=-----=---=--='→-→→,从而有2f '(0)=0, 即f '(0)=0. 3. 求曲线y =cos x 上点)21 ,3(π处的切线方程和法线方程式.解y '=-sin x , 233sin 3-=-='=ππx y ,故在点)21 ,3(π处, 切线方程为)3(2321π--=-x y , 法线方程为)3(3221π--=-x y .4. 讨论函数在x =0处的连续性与可导性:(1)⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0001sin 2x x xx y . 解 (1)因为01sin lim )(lim 200==→→xx x y x x , 又y (0)=0, 所以函数在x =0处连续.又因为01s i n lim 01sin lim 0)0()(lim 0200==-=--→→→xx x x x x y x y x x x ,所以函数在点x =0处可导, 且y '(0)=0.5. 设函数⎩⎨⎧>+≤=1 1)(2x b ax x x x f 为了使函数f (x )在x =1处连续且可导, a , b 应取什么值？解因为1lim )(lim 211==--→→x x f x x , b a b ax x f x x +=+=++→→)(lim )(lim 11, f (1)=a +b ,所以要使函数在x =1处连续, 必须a +b =1 . 又因为当a +b =1时211l i m )1(21=--='-→-x x f x , a x x a x b a x a x b ax f x x x =--=--++-=--+='+++→→→+1)1(lim 11)1(lim 11lim )1(111,所以要使函数在x =1处可导, 必须a =2, 此时b =-1.6. 已知f (x )=⎩⎨⎧≥<0 0sin x x x x , 求f '(x ) .解当x <0时, f (x )=sin x , f '(x )=cos x ;当x >0时, f (x )=x , f '(x )=1;因为 f -'(0)=10sin lim )0()(lim 00=-=---→→xx x f x f x x , f +'(0)=10lim )0()(lim 00=-=-++→→xx x f x f x x , 所以f '(0)=1, 从而f '(x )=⎩⎨⎧≥<0 10cos x x x .7. 证明: 双曲线xy =a 2上任一点处的切线与两坐标轴构成的三角形的面积都等于2a 2 .解由xy =a 2得x a y 2=, 22xa y k -='=.设(x 0, y 0)为曲线上任一点, 则过该点的切线方程为)(02020x x x a y y --=-. 令y =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得0022002x x ax y x =+=, 为切线在x 轴上的距.令x =0, 并注意x 0y 0=a 2, 解得00022y y x a y =+=, 为切线在y 轴上的距.此切线与二坐标轴构成的三角形的面积为 200002||2|2||2|21a y x y x S ===.习题 2-22. 求下列函数的导数: (1) y =tan(x 2); (2) y =arctan(e x ); (3) y =(arcsin x )2; (4) y =lncos x .解 (1) y '=sec 2(x 2)⋅(x 2)'=2x sec 2(x 2). (2)xx x x e e e e y 221)()(11+='⋅+='. (3) y '21arcsin 2)(arcsin arcsin 2x x x x -='⋅=.(4)x x xx x y tan )sin (cos 1)(cos cos 1-=-='⋅='.2. 求下列函数的导数:(1)xx y ln 1ln 1+-=; (2)x y arcsin =;(3) y =ln(sec x +tan x );解.(1)22)ln 1(2)ln 1(1)ln 1()ln 1(1x x x x x x x y +-=+--+-='. (2)2222121)(11)()(11x x x x x x y -=⋅-='⋅-='. (3) x xx x x x x x x x y sec tan sec sec tan sec )tan (sec tan sec 12=++='+⋅+='. 3. 求下列函数的导数:(1)11arctan -+=x x y ; (2) y =ln[ln(ln x )] ;(3)xx y +-=11arcsin . 解(1)222211)1()1()1()11(11)11()11(11x x x x x x x x x x y +-=-+--⋅-++='-+⋅-++='. .(2))(ln ln 1)ln(ln 1])[ln(ln )ln(ln 1'⋅⋅='⋅='x xx x x y )l n (l n ln 11ln 1)ln(ln 1x x x x x x ⋅=⋅⋅=.(3)2)1()1()1(1111)11(1111x x x xxx x x x y +--+-⋅+--='+-⋅+--=')1(2)1(1x x x -+-=. 4. 设f (x )可导, 求函数y =f (sin 2x )+f (cos 2x ).的导数dxdy : 解y '=f '(sin 2x )⋅(sin 2x )'+f '(cos 2x )⋅(cos 2x )'= f '(sin 2x )⋅2sin x ⋅cos x +f '(cos 2x )⋅2cos x ⋅(-sin x )=sin 2x [f '(sin 2x )- f '(cos 2x )].5. 求下列函数的导数:(1)2)2(arctan x y =; (2)x e y 1sin 2-=;(3)x x y +=;解(1)2arctan 44214112arctan 222x x xx y +=⋅+⋅='. . (2))1(1cos )1sin 2()1sin (21sin 21sin 22x x x e x e y x x -⋅⋅-⋅='-⋅='-- x e x x1s i n 222s i n 1-⋅⋅=. (3))211(21)(21x xx x x x x y +⋅+='+⋅+=' x x x x +⋅+=412. 习题 2-31. 求函数的二阶导数:(1) y =(1+x 2)arctan x ;(2)2x xe y =;(3))1ln(2x x y ++=.解(1)1arctan 211)1(arctan 222+=+⋅++='x x xx x x y , 212a r c t a n 2xxx y ++=''. (2))21()2(2222x e x e x e y x x x +=⋅⋅+=',)23(24)21(222222x xe x e x x e y x x x +=⋅++⋅⋅=''.(3)2222211)1221(11)1(11x x x x x x x x x y +=++⋅++='++⋅++=', xx x x x x x x y ++-=+⋅+-='⋅+⋅+-=''1)1()12211)1(1122222. 2. 若f ''(x )存在, 求下列函数y =ln[f (x )]的二阶导数22dxy d : 解)()(1x f x f y '=', 2)]([)()()()(x f x f x f x f x f y ''-''=''22)]([)]([)()(x f x f x f x f '-''=.3. 设函数y =x 2sin 2x , 求y (50) .解令u =x 2 , v =sin 2x , 则有u '=2x , u ''=2, u '''=0;x x v 2s i n 2)2482sin(24848)48(=⋅+=π, v (49)=249cos 2x , v (50)=-250sin 2x ,所以 )50()49(4950)48(4850)48(250)49(1150)50()50( v u v u C v u C v u C v u C v u y ⋅+⋅'+⋅''⋅⋅⋅+''⋅+'⋅+⋅= )50()49(4950)48(4850v u v u C v u C ⋅+⋅'+⋅''= )2s i n 2(2c o s 22502sin 22249505024928x x x x x -⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅=)2s i n 212252cos 502sin (2250x x x x x ++-=.习题 2-41. 求曲线323232a y x =+在点)42 ,42(a a 处的切线方程和法线方程. 解方程两边求导数得032323131='+--y y x , 于是 3131---='y x y , 在点)42 ,42(a a 处y '=-1. 所求切线方程为)42(42a x a y --=-, 即a y x 22=+. 所求法线方程为)42(42a x a y -=-, 即x -y =0. . 2. 用对数求导法求下列函数的导数:(1) x xx y )1(+=;解 (1)两边取对数得ln y =x ln|x |-x ln|1+x |，两边求导得xx x x x x y y +⋅-+-⋅+='11)1l n (1ln 1, 于是 ]111[l n )1(xx x x x y x ++++='.. 3. 写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程:(1) ⎩⎨⎧==ty t x 2cos sin , 在4π=t 处; 解 (1)tt x y dx dy t t cos 2sin 2-=''=.当4π=t 时, 222224cos )42sin(2-=-=⋅-=ππdx dy , 220=x , 00=y , 所求切线方程为)22(22--=x y , 即0222=-+y x ; 所求法线方程为)22(221---=x y , 即0142=--y x . 4. 求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxy d : (1) ⎩⎨⎧==-t t ey e x 23; (2) ⎩⎨⎧-==)()()(t f t tf y t f x t t , 设f ''(t )存在且不为零. 解(1)t t t t t e e e x y dx dy 23232-=-=''=-, t t t t t x e e e x y dx y d 3222943232)(=-⋅-='''=-. (2) t t f t f t f t t f x y dx dy t t ='''-''+'=''=)()()()(, )(1)(22t f x y dx y d t t x ''='''=.习题2-51. 求下列函数的微分:(1) y =x 2e 2x ;(2) y =e -x cos(3-x );(3)21arcsin x y -=;(4) y =tan 2(1+2x 2); (5)2211arctan x x y +-=; (6) s =A sin(ωt +ϕ) (A , ω, ϕ是常数)解 (1)因为x x y 112+-=', 所以dx xx dy )11(2+-=. (2) dy =y 'dx =[e -x cos(3-x )]dx =[-e -x cos(3-x )+e -x sin(3-x )]dx=e -x [sin(3-x )-cos(3-x )]dx .(3)dx xx x dx x x dx x dx y dy 22221||)12()1(11)1(arcsin --=--⋅--='-='=. (4) dy =d tan 2(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)d tan(1+2x 2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)d (1+2x 2)=2tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)⋅4xdx=8x ⋅tan(1+2x 2)⋅sec 2(1+2x 2)dx .(5))11()11(1111arctan 2222222x x d x x x x d dy +-+-+=+-= dx x x dx x x x x x x x 4222222214)1()1(2)1(2)11(11+-=+--+-⋅+-+=. (6) dy =d [A sin(ω t +ϕ)]=A cos(ω t +ϕ)d (ωt +ϕ)=A ω cos(ωt +ϕ)dx .复习题二1已知⎩⎨⎧<-≥=0 0 )(2x x x x x f 求f +'(0)及f -'(0), 又f '(0)是否存在？解因为f -'(0)=10lim )0()(lim 00-=--=---→→xx x f x f x x , f +'(0)=00lim )0()(lim 200=-=-++→→xx x f x f x x , 而f -'(0)≠f +'(0), 所以f '(0)不存在. 2求下列函数的导数:(1)2)2(arcsin x y =; (2)2tan ln x y =;(3)xx y arccos arcsin =; (4)xx x x y -++--+1111; (5) y =sin 2x ⋅sin(x 2); (6) xy 1cos ln =解 (1)'⋅=')2(arcsin )2(arcsin 2x x y )2()2(11)2(a r c s i n 22'⋅-⋅=x x x 21)2(11)2(a r c s i n 22⋅-⋅=x x . 242a r c s i n 2xx -= (2))2(2sec 2tan 1)2(tan 2tan 12'⋅⋅='⋅='x x x x xy x x x c s c 212s e c 2t a n 12=⋅⋅=.(3)222)(arccos arcsin 11arccos 11x x x x x y -+-=' 22)(a r c c o s a r c s i n a r c c o s 11x x x x +⋅-=22)(a r c c o s 12x x -=π.(4)2)11()121121)(11()11)(121121(x x x x x x x x xx y -++--+--+--++-++=' 22111xx -+-=. (5) y '=2sin x ⋅cos x ⋅sin(x 2)+sin 2x ⋅cos(x 2)⋅2x=sin2x ⋅sin(x 2)+2x ⋅sin 2x ⋅cos(x 2). (6) x xx x x x x y 1tan 1)1()1sin (1sec )1(cos 1sec 22=-⋅-⋅='⋅=' 3空缺4求由y =tan(x +y )所确定的隐函数y 的二阶导数22dxy d 方程两边求导数得y '=sec 2(x +y )⋅(1+y '),1)(c o s 1)(s e c 1)(s e c 222-+=+-+='y x y x y x y 222211)(s i n )(c o s )(s i n y y x y x y x --=+-+++=, 52233)1(2)11(22y y y y y y y +-=--='=''. 5用对数求导法求下列函数的导数:54)1()3(2+-+=x x x y ; 解两边取对数得)1l n (5)3l n (4)2l n (21ln +--++=x x x y , 两边求导得1534)2(211+---+='x x x y y , 于是 ]1534)2(21[)1()3(254+--+++-+='x x x x x x y6求下列参数方程所确定的函数的二阶导数22dxy d : (1) ⎩⎨⎧==t b y t a x sin cos ; 解t ab t a t b x y dx dy t t cot sin cos -=-=''=, t a b t a t a b x y dx y d t t x 32222sin sin csc )(-=-='''= 7求下列函数的微分:(1)12+=x xy ;(2) y =ln 2(1-x );解(1)因为1)1(111122222++=++⋅-+='x x x x xx y , 所以dx x x dy 1)1(122++=. (2)dx x x dx x x dx x dx y dy )1ln(12])1(1)1ln(2[])1([ln 2--=--⋅-='-='= 8. 求下列函数的二阶导数:(1)y =cos 2x ⋅ln x ;(2)21x x y -=. 解 (1)xx x x x x x x x y 1cos ln 2sin 1cos ln sin cos 222⋅+⋅-=⋅+⋅-=', 221c o s 1s i n c o s 212s i n ln 2cos 2x x x x x x x x x y ⋅-⋅-⋅-⋅-='' 22c o s 2s i n 2ln 2cos 2xx x x x x --⋅-=. (2)232222)1(111--=---⋅--='x xx xx x y52252)1(3)2()1(23x x x x y -=-⋅--=''-. 9 讨论函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0 00 1sin )(x x x x x f 在x =0处的连续性与可导性.解因为f (0)=0, )0(01sin lim )(lim 00f xx x f x x ===→→, 所以f (x )在x =0处连续; 因为极限xx x x x f x f x x x 1sin lim 01sin lim )0()(lim 000→→→=-=-不存在, 所以f (x )在x =0处不可导.. 第三章习题3-11.不用求出函数f (x )=(x -1)(x -2)(x -3)(x -4)的导数，说明方程f '(x )=0有几个实根, 并指出它们所在的区间.解由于f (x )在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f (1)=f (2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在ξ1∈(1, 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在ξ2∈(2, 3), 使f '(ξ2)=0; 存在ξ3∈(3, 4), 使f '(ξ3)=0. 显然ξ1、ξ2、ξ 3都是方程f '(x )=0的根. 注意到方程f '(x )=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f '(x )=0的全部根.2. 证明恒等式: 2arccos arcsin π=+x x (-1≤x ≤1). 证明设f (x )= arcsin x +arccos x . 因为01111)(22≡---='x x x f , 所以f (x )≡C , 其中C 是一常数.因此2arccos arcsin )0()(π=+==x x f x f , 即2arccos arcsin π=+x x . 3 若方程a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x =0有一个正根x 0, 证明方程a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.证明设F (x )=a 0x n +a 1x n -1+ ⋅ ⋅ ⋅ + a n -1x , 由于F (x )在[0, x 0]上连续, 在(0, x 0)内可导, 且F (0)=F (x 0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ∈(0, x 0), 使F '(ξ)=0, 即方程 a 0nx n -1+a 1(n -1)x n -2 + ⋅ ⋅ ⋅ +a n -1 =0 必有一个小于x 0的正根.4 若函数f (x )在(a , b )内具有二阶导数, 且f (x 1)=f (x 2)=f (x 3), 其中a <x 1<x 2<x 3<b , 证明:在(x 1, x 3)内至少有一点ξ, 使得f ''(ξ)=0.证明由于f (x )在[x 1, x 2]上连续, 在(x 1, x 2)内可导, 且f (x 1)=f (x 2), 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ1∈(x 1, x 2), 使f '(ξ1)=0. 同理存在一点ξ2∈(x 2, x 3), 使f '(ξ2)=0. 又由于f '(x )在[ξ1, ξ2]上连续, 在(ξ1, ξ2)内可导, 且f '(ξ1)=f '(ξ2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点ξ ∈(ξ1, ξ2)⊂(x 1, x 3), 使f ''(ξ )=0. 5 证明下列不等式: (1)|arctan a -arctan b |≤|a -b |; (2)当x >1时, e x >e ⋅x .证明 (1)设f (x )=arctan x , 则f (x )在[a , b ]上连续, 在(a , b )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(a , b ), 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ), 即)(11arctan arctan 2a b a b -+=-ξ,所以||||11|arctan arctan |2a b a b a b -≤-+=-ξ, 即|arctan a -arctan b |≤|a -b |.(2)设f (x )=e x , 则f (x )在区间[1, x ]上连续, 在区间(1, x )内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在ξ∈(1, x ), 使f (x )-f (1)=f '(ξ)(x -1), 即 e x -e =e ξ (x -1). 因为ξ >1, 所以e x -e =e ξ (x -1)>e (x -1), 即e x >e ⋅x .习题3-21. 用洛必达法则求下列极限:(2)xe e x x x sin lim 0-→-;(6)n n m m a x ax a x --→lim ; (7)xx x 2tan ln 7tan ln lim 0+→;(11)x x x 2cot lim 0→;(13))1112(lim 21---→x x x ;(14)x x x a )1(lim +∞→;(15)x x x sin 0lim +→;(16)x x x tan 0)1(lim +→. 解(2)2cos lim sin lim 00=+=--→-→xe e x e e x x x x x x . . (6)n m n m n m a x n n m m a x a n m namx nx mx a x a x -----→→===--1111lim lim . (7)22sec 2tan 177sec 7tan 1lim 2tan ln 7tan ln lim 2200⋅⋅⋅⋅=+→+→x xx x x x x x177s e c 22s e c l i m 277t a n 2t a n l i m 272200=⋅⋅==+→+→x x x x x x .(11)2122sec 1lim 2tan lim2cot lim 2000=⋅==→→→x x x x x x x x .(13)2121lim 11lim 1112lim 12121-=-=--=⎪⎭⎫ ⎝⎛---→→→x x x x x x x x . (14)因为)1ln(lim )1(lim x ax x x x exa +∞→∞→=+,而 221)(11lim1)1ln(lim )1(ln(lim xx a x a x x a x a x x x x --⋅+=+=+∞→∞→∞→ a a a x ax x x ==+=∞→∞→1lim lim ,所以 a x ax x x x e exa ==++∞→∞→)1l n (lim )1(lim . .(15)因为x x x x x e x ln sin 0sin 0lim lim +→+→=,而 x x x x x x x x x x c o tc s c 1lim csc ln lim ln sin lim 000⋅-==+→+→+→0c o ss i n lim 20=-=+→x x x x ,所以 1lim lim 0ln sin 0sin 0===+→+→e e x x x x x x .(16)因为x x x x e xln tan tan 0)1(lim -+→=, 而 xx x x x x x x x 2000c s c 1limcot ln lim ln tan lim -==+→+→+→ 0s i n l i m 20=-=+→xx x , 所以 1lim )1(lim 0ln tan 0tan 0===-+→+→e e x x x x x x .习题3-31. 按(x -4)的幂展开多项式x 4-5x 3+x 2-3x +4. 解设f (x )=x 4-5x 3+x 2-3x +4. 因为 f (4)=-56,f '(4)=(4x 3-15x 2+2x -3)|x =4=21, f ''(4)=(12x 2-30x +2)|x =4=74,f '''(4)=(24x -30)|x =4=66, f (4)(4)=24, 所以4)4(32)4(!4)4()4(!3)4()4(!2)4()4)(4()4()(-+-'''+-''+-'+=x f x f x f x f f x f =-56+21(x -4)+37(x -4)2+11(x -4)3+(x -4)4.2. 求函数f (x )=ln x 按(x -2)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式. 解因为f '(x )=x -1, f ''(x )=(-1)x -2, f '''(x )=(-1)(-2)x -3 , ⋅ ⋅ ⋅ ,nn nn x n x n x f )!1()1()1( )2)(1()(1)(--=+-⋅⋅⋅--=--;kk k k f 2)!1()1()2(1)(--=-(k =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅, n +1),所以])2[()2(!)2( )2(!3)2()2(!2)2()2)(2()2(ln )(32n n n x o x n f x f x f x f f x -+-+⋅⋅⋅+-'''+-''+-'+=])2[()2(2)1( )2(231)2(221)2(212ln 13322n n n n x o x n x x x -+-⋅-+⋅⋅⋅--⋅+-⋅--+=-.习题3-41确定下列函数的单调区间: (1) y =2x 3-6x 2-18x -7; (2))0())(2(32>--=a x a a x y ;解 (1) y '=6x 2-12x -18=6(x -3)(x +1)=0, 令y '=0得驻点x 1=-1, x 2=3. 列表得可见函数在(-∞, -1]和[3, +∞)内单调增加, 在[-1, 3]内单调减少.x (-∞, -1) -1 (-1, 3) 3 (3, +∞) y ' + 0 - 0 + y↗↘↗(2) 32)()2(3)32(x a a x a x y ----=', 驻点为321a x =, 不可导点为22a x =, x 3=a .列表得x )2,(a-∞2a )32 ,2(a a 32a ) ,32(a aa (a , +∞) y ' + 不存在 + 0 - 不存在 + y↗↗↘↗可见函数在)2 ,(a -∞, ]32 ,2(a a , (a , +∞)内单调增加, 在) ,32[a a 内单调减少.2. 证明下列不等式: (1)当x >0时, x x +>+1211; (2)当x >0时, 221)1ln(1x x x x +>+++; (3)当20π<<x 时, sin x +tan x >2x ;(4)当20π<<x 时, 331tan x x x +>;(5)当x >4时, 2x >x 2;证明 (1)设x x x f +-+=1211)(, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为x x f +-='12121)(01211>+-+=xx , 所以f (x )在(0, +∞)内是单调增加的, 从而当x >0时f (x )>f (0)=0, 即 01211>+-+x x , 也就是 x x +>+1211.(2)设221)1ln(1)(x x x x x f +-+++=, 则f (x )在[0, +∞)内是连续的. 因为0)1l n (1)11(11)1l n ()(22222>++=+-++⋅++⋅+++='x x x x x x x x x x xx f ,。

高数(一)复习题(1)

高数（一）复习题一、选择题1、设f(x)的定义域是[-1，1]，则f(2x)的定义域是（C ）（A ）[-1，1]；（B ）[-2，2]；（C ）]21,21[-；（D ）]21,1[-。

2、设函数f(x)与g(x)都是奇函数，则f(x)g(x)是（ A ）（A ）偶函数；（B ）奇函数；（C ）非奇偶函数；（D ）可能是奇函数也可能是偶函数。

3、函数f(x)=2x +2-x 是（ A ）（A ）偶函数；（B ）奇函数；（C ）非奇非偶函数；（D ）既是奇函数又是偶函数。

4、若f(x)=x 2-1,g(x)=x+1,则f(g(x))=（ C ）（A ）x 2-1; （B ）x 4+1; （C ）x 2+2x （D ）x 2+x 。

5、函数y=11+-x x e e 是（ B ）（A ）偶涵数；（B ）奇函数；（C ）非奇非偶函数；（D ）既是奇函数又是偶函数。

6、若f(x)==-=+-))((,1)(,11x g f x x g x x则（ B ）（A ）x x +12；（B ）xx-2；（C ）x; （D ）xx+1。

7、当x →0时，涵数sinx 是x 2的（ C ）（A ）高阶无穷小量；（B ）等价无穷小量；（C ）低价无穷小量；（D ）同阶穷小量。

8、下列说法正确的是（ B ）（A ）无穷大量可能是有界变量；（B ）无穷大量一定不是有界变量；（C ）有界变量可能是无穷大量；（D ）不是有界变量就一定是无穷大量。

9、lim(x-1)sin =-x11（ C ）（A ）1；（B ）0；（C ）-1；（D ）极限不存在。

10、如果limf(x)与limf(x)存在，则（ C ）（A ）limf(x)存在且limf(x)=f(x 0);（B ）limf(x)存在，但不一定有limf(x)=f(x 0); （C ）limf(x)不一定存在;（D ）limf(x)一定不存在;11、设limf(x)存在，则下列极限一定存在的是（ B ）（A ）limf(x)[f(x)]a (a 为实数)；（B ）lim|f(x)|;（C ）limf In f(x);（D ）lim arcsin f(x)。

北大高数(上)第1章习题

习题1-11. 下列函数是否相等,为什么? 函数函数的概念函数相同的条件222(1)()();(2)sin (31),sin (31);1(3)(),() 1.1f xg x y x u t x x f x g x x x ===+=+-==+- 解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域函数函数的概念定义域和值域的概念211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-解: (1)要使函数有意义,必须40x x -≥⎧⎨≠⎩ 即 4x x ≤⎧⎨≠⎩ 所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞.(2)要使函数有意义,必须30lg(1)010x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩即 301x x x ≥-⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).(3)要使函数有意义,必须210x -≠ 即 1x ≠±所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞.(4)要使函数有意义,必须12sin 1x -≤≤ 即 11sin 22x -≤≤ 即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π66k x k +≤≤+,(k 为整数). 也即ππππ66k x k -+≤≤+ (k 为整数).3. 设1()1x f x x -=+,求1(0),(),().f f x f x-函数函数的概念函数的基本运算解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-==+--1111().111x x f x x x--==++ 4. 设1,10()1,02x f x x x -≤<⎧=⎨+≤≤⎩,求(1)f x -.函数函数的概念函数的基本运算解: 1,1101,01(1).(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤<⎧⎧-==⎨⎨-+≤-≤≤≤⎩⎩5. 设()2,()ln x f x g x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x . 函数函数的概念复合函数的概念解: ()ln (())22,g x x x f g x ==(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).xf x f f xg g x g x g x x x x x ====6. 求下列函数的反函数及其定义域:函数反函数、复合函数反函数的定义2531(1); (2)ln(2)1;1(3)3; (4)1cos ,[0,π].x xy y x xy y x x +-==+++==+∈ 解: (1)由11x y x -=+解得11yx y-=+, 所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1xy x x-=≠-+. (2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-,所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e 2()x y x -=-∈ R .(3)由253x y +=解得31(log 5)2x y =- 所以,函数253x y +=的反函数为31(log 5)(0)2y x x =-> .(4)由31cos y x =+得cos x =又[0,π]x ∈,故x =又由1cos 1x -≤≤得301cos 2x ≤+≤,即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos ,[0,π]y x x =+∈的反函数为(02)y x =≤≤.7. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:函数函数的特性有界性、单调性2(1); (2)ln 1xy y x x x==++ 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有201x x ≤+,当0x >时,有21122x x x x ≤=+, 故(,),x ∀∈-∞+∞有12y ≤.即函数21xy x =+有上界.又因为函数21xy x =+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数21xy x =+有界. 又由1212121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数21xy x=+在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞),10,0M x ∀>∃>且12;e 0M x M x >∃>>,使2ln x M >.取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增.8. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.函数函数的概念定义域、值域的概念图1-1解:011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+ 从而 0cot S BC h hϕ=-. 000()22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h hBC h hS S h h h h ϕϕϕϕϕ=++==+=+---=+=+ 由00,cot 0S h BC h hϕ>=->得定义域为0tan 40)S .9. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?函数基本初等函数基本初等函数5122412(1)(1);(2)sin (12);1(3)(110);(4).1arcsin 2xy x y x y y x-=+=+=+=+解: (1)124(1)y x =+是由124,1y u u x ==+复合而成.(2)2sin (12)y x =+是由2,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)512(110)x y -=+是由152,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.(4)11arcsin 2y x=+是由1,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.习题1-21. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:极限数列极限的概念与性质数列极限的定义1234579(1)0,,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,; (3)3,,,,.3456357----解: 1(1),1n n x n -=+当n →∞时,1n x →. 1(2)cos π2n n x n -=,当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.21(3)(1)21nn n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1. 2. 对下列数列求lim n n a x →∞=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有n x a ε-<:极限数列极限的概念与性质数列极限的定义1π(1)sin ,0.001; (2)0.0001.2n n n x x n εε==== 解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使11π0sin 2n n x n n ε-=<<,只须1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,必有0n x ε-<. 当0.001ε=时,110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于1000的整数.(2)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使0n x ε-==<=<1ε>即21n ε>即可.取21N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 821100.0001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于108的整数. 3. 根据数列极限的定义，证明:极限数列极限的概念与性质数列极限的定义21313(1)lim0;(2)lim ;212(3)1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 个证: (1)0ε∀>,要使22110n n ε=<-,只要n >.取N =,则当n>N 时,恒有210nε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε∀>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要5n ε>,取5N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故313lim212n n n →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使2221a n ε=<<-,只要n >,取n =,则当n>N 时,1ε<,从而1n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-个,故0ε∀>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<-个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则当n N >时,恒有,0.9991n ε<-个故lim 0.9991n n →∞=个.4. 若lim n n x a →∞=,证明lim n n x a →∞=,并举反例说明反之不一定成立.极限函数极限的概念与性质函数极限的定义证:lim 0n n x →∞=,由极限的定义知,0,0N ε∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<.而 n n x x a a ε-<-<0,0N ε∴∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<,由极限的定义知lim .n n x a →∞=但这个结论的逆不成立.如(1),lim 1,nn n n x x →∞=-=但lim n n x →∞不存在.5. 利用收敛准则证明下列数列有极限,并求其极限值:极限数列极限的概念与性质数列极限的定义1111(1)1,2,; (2)1,1,1,2,.1nn n nx x x n x x n x ++=====+=+证: (1)122x =<,不妨设2k x <,则12k x +=<=.故对所有正整数n 有2n x <,即数列{}n x 有上界.又1n n n x x x +-==0>,又由2n x <从而10n n x x +->即1n n x x +>,即数列{}n x 是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限. 设lim n n x a →∞=,则a =于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞∴=.(2) 因为110x =>,且111nn nx x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界又 111111111(1)(1)n n n n n n nn n n x x x x x x x xx x --+---⎛⎫⎛⎫++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭ 由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号，从而可推得1n n x x +-与21x x -同号，而 1221131,1,022x x x x ==+=-> 故10n n x x +->, 即1n n x x +>所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在. 设lim n n x a →∞=, 则11a a a=++，解得1122a a +==(不合题意，舍去). 所以1lim 2n n x →∞=习题1-31. 选择题（1）设1,1()0,1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，则0lim ()x f x →=（D ）A.不存在B.∞C.0D.1（2）设()f x x =，则1lim ()x f x →=（B ） A.1- B.1 C.0 D.不存在（3）0(0)f x +与0(0)f x -都存在是函数()f x 在点0x x =处有极限的一个（A ）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件（4）函数()f x 在点0x x =处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的（D ）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件（5）设1()1x f x x -=-，则1lim ()x f x →=（D ） A.0 B.1- C.1 D.不存在 2.证明01lim arctanx x→不存在. 0000011lim arctan ,lim arctan ,2211lim arctan lim arctan ,1limarctan x x x x x x x x xx ππ+-+-→→→→→==-∴≠∴不存在。

高数第1章习题01

选项栏
5.
(n 1)(2n 1)(3n 1) 极限 lim 1 2 1过程中，在 xn sin n3 ( x 1)是 ( ) 的高阶无穷小
(A) x 1
(B) sin(1 x) (C) ( x 1) 2 (D) 1 cos(1 x)
选项栏
函数 f ( x) x 3 ln( x 2) 的连续区间是 [3, )
选项栏
四.多选题（在每小题的四个选项中，有且仅有两个选项是正确的，在选项栏中选择你认为是正确的选项，每选对一个选项得2分，选错一个扣2分,不选不得分；每小题满分4分）
函数 y ln( x 2 7 x 6) 的定义域是 U (a, ) 表示点 a 的 ( 0) 邻域，则在下面的邻域表示法中，正确的是 ( )
填空栏
4. 由 y sin u 、u 2 x 3 复合而成的函数是
填空栏
x3 6 x 9 5. 极限 lim 3 = x x 9 x 2 x 2
填空栏
由 y sin u 、u 2x 3 复合而成的函数是
x3 6 x 9 极限 lim 3 = x x 9 x 2 x 2 学号
业
01
业
01
确的选项；每小题
确的选项，每选对
业
01
业
01
选项栏
选项栏
选项栏
用零点定理可以判定：方程 x3 2 x 1 至少有一个小于 1的正根 tan 4( x 2) 极限 lim （） x 2 x2 4. （A） 4 （B) 1 (C) 1/ 4 (D) 1/2
选项栏
用区间表示实数集合 {x | 0 x 3}= 3 极限 lim(1 ) x （） x x 5. 3 （A） e （B) e (C) 1 (D) 3 如果 f ( x) 的定义域是[0,1]，则 f (2 x) 的定义域是

高数习题第一二章习题黄立宏第4版

习题1-11. 下列函数是否相等,为什么?222(1)()();(2)sin (31),sin (31);1(3)(),() 1.1f xg x y x u t x x f x g x x x ===+=+-==+- 解: (1)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ;x =知两函数的对应法则也相同;所以两函数相等.(2)相等.因为两函数的定义域相同,都是实数集R ,由已知函数关系式显然可得两函数的对应法则也相同,所以两函数相等.(3)不相等.因为函数()f x 的定义域是{,1}x x x ∈≠R ,而函数()g x 的定义域是实数集R ,两函数的定义域不同,所以两函数不相等. 2. 求下列函数的定义域211(1)arctan ;(2);lg(1)(3); (4)arccos(2sin ).1y y x x xy y x x ==-==-解: (1)要使函数有意义,必须400x x -≥⎧⎨≠⎩即 40x x ≤⎧⎨≠⎩所以函数的定义域是(,0)(0,4]-∞.(2)要使函数有意义,必须30lg(1)010x x x +≥⎧⎪-≠⎨⎪->⎩即 301x x x ≥-⎧⎪≠⎨⎪<⎩所以函数的定义域是[-3,0)∪(0,1).(3)要使函数有意义,必须210x -≠ 即 1x ≠±所以函数的定义域是(,1)(1,1)(1,)-∞--+∞.(4)要使函数有意义,必须12sin 1x -≤≤ 即 11sin 22x -≤≤即ππ2π2π66k x k -+≤≤+或5π7π2π2π66k x k +≤≤+,(k 为整数). 也即ππππ66k x k -+≤≤+ (k 为整数).3. 设1()1x f x x -=+,求1(0),(),().f f x f x-解: 10(0)110f -==+,1()1(),1()1x x f x x x --+-==+--1111().111x x f x x x--==++ 4. 设1,10()1,02x f x x x -≤<⎧=⎨+≤≤⎩,求(1)f x -.解: 1,1101,01(1).(1)1,012,13x x f x x x x x -≤-<≤<⎧⎧-==⎨⎨-+≤-≤≤≤⎩⎩5. 设()2,()ln xf xg x x x ==,求(()),(()),(())f g x g f x f f x 和(())g g x . 解: ()ln (())22,g x x x f g x ==(())()ln ()2ln 2(ln 2)2,x x x g f x f x f x x ==⋅=⋅()2(())22,(())()ln ()ln ln(ln ).xf x f f xg g x g x g x x x x x ====6. 求下列函数的反函数及其定义域:2531(1); (2)ln(2)1;1(3)3; (4)1cos ,[0,π].x xy y x xy y x x +-==+++==+∈ 解: (1)由11xy x-=+解得11y x y -=+,所以函数11x y x -=+的反函数为1(1)1xy x x-=≠-+. (2)由ln(2)1y x =++得1e 2y x -=-,所以,函数ln(2)1y x =++的反函数为1e2()x y x -=-∈ R .(3)由253x y +=解得31(log 5)2x y =- 所以,函数253x y +=的反函数为31(log 5)(0)2y x x =-> .(4)由31cos y x =+得cos x =又[0,π]x ∈,故x =又由1cos 1x -≤≤得301cos 2x ≤+≤,即02y ≤≤,故可得反函数的定义域为[0,2],所以,函数31cos ,[0,π]y x x =+∈的反函数为3arccos 1(02)y x x =-≤≤ .7. 判断下列函数在定义域内的有界性及单调性:2(1); (2)ln 1xy y x x x ==++ 解: (1)函数的定义域为(-∞,+∞), 当0x ≤时,有201x x ≤+,当0x >时,有21122x x x x ≤=+, 故(,),x ∀∈-∞+∞有12y ≤.即函数21xy x =+有上界. 又因为函数21xy x =+为奇函数,所以函数的图形关于原点对称,由对称性及函数有上界知,函数必有下界,因而函数21xy x =+有界. 又由1212121222221212()(1)11(1)(1)x x x x x x y y x x x x ---=-=++++知,当12x x >且121x x <时,12y y >,而当12x x >且121x x >时,12y y <. 故函数21xy x=+在定义域内不单调. (2)函数的定义域为(0,+∞),10,0M x ∀>∃>且12;e 0M x M x >∃>>,使2ln x M >.取012max{,}x x x =,则有0012ln ln 2x x x x M M +>+>>, 所以函数ln y x x =+在定义域内是无界的. 又当120x x <<时,有12120,ln ln 0x x x x -<-<故1211221212(ln )(ln )()(ln ln )0y y x x x x x x x x -=+-+=-+-<. 即当120x x <<时,恒有12y y <,所以函数ln y x x =+在(0,)+∞内单调递增.8. 已知水渠的横断面为等腰梯形,斜角ϕ=40°,如图所示.当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时,求湿周L (L =AB +BC +CD )与水深h 之间的函数关系式,并指明其定义域.图1-1解:011()(2cot )(cot )22S h AD BC h h BC BC h BC h ϕϕ=+=++=+从而 0cot SBC h hϕ=-.000()22cot sin sin 2cos 2cos 40sin sin 40L AB BC CD AB CD S h hBC h hS S h h h hϕϕϕϕϕ=++==+=+---=+=+由00,cot 0S h BC h hϕ>=->得定义域为.9. 下列函数是由哪些基本初等函数复合而成的?5122412(1)(1);(2)sin (12);1(3)(110);(4).1arcsin 2xy x y x y y x-=+=+=+=+解: (1)124(1)y x =+是由124,1y u u x ==+复合而成.(2)2sin (12)y x =+是由2,sin ,12y u u v v x ===+复合而成. (3)512(110)x y -=+是由152,1,10,w y u u v v w x ==+==-复合而成.(4)11arcsin 2y x=+是由1,1,arcsin ,2y u u v v w w x -==+==复合而成.习题1-21. 写出下列数列的通项公式,并观察其变化趋势:1234579(1)0,,,,,; (2)1,0,3,0,5,0,7,0,; (3)3,,,,.3456357----解: 1(1),1n n x n -=+当n →∞时,1n x →.1(2)cos π2n n x n -=,当n 无限增大时,有三种变化趋势:趋向于+∞,趋向于0,趋向于-∞.21(3)(1)21n n n x n +=--,当n 无限增大时,变化趁势有两种,分别趋于1,-1.2. 对下列数列求lim n n a x →∞=,并对给定的ε确定正整数()N ε,使对所有()n N ε>,有n x a ε-<:1π(1)sin ,0.001; (2)0.0001.2n n n x x n εε====解: (1)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使11π0sin2n n x n n ε-=<<,只须1n ε>.取1N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,必有0n x ε-<.当0.001ε=时,110000.001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于1000的整数. (2)lim 0n n a x →∞==,0ε∀>,要使0n x ε-==<=<1ε>即21n ε>即可.取21N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n N >时,有0n x ε-<. 当0.0001ε=时, 821100.0001N ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦或大于108的整数. 3. 根据数列极限的定义，证明:21313(1)lim0;(2)lim ;212(3)1;(4)lim 0.999 1.n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞-==+== 个证: (1)0ε∀>,要使22110n n ε=<-,只要n >.取N =,则当n>N 时,恒有210nε<-.故21lim 0n n →∞=. (2) 0ε∀>,要使555313,2(21)4212n n n n n ε-=<<<-++只要5n ε>,取5N ε⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则当n>N 时,恒有313212n n ε-<-+.故313lim212n n n →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使2221a n ε=<<-,只要n >,取n =,则当n>N 时,1ε<-,从而lim 1n →∞=. (4)因为对于所有的正整数n ,有10.99991n <-个,故0ε∀>,不防设1ε<,要使1,0.999110n n ε=<-个只要ln ,ln10n ε->取ln ,ln10N ε-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦则当n N >时,恒有,0.9991n ε<-个故lim 0.9991n n →∞=个.4. 若lim n n x a →∞=,证明lim n n x a →∞=,并举反例说明反之不一定成立.证:lim 0n n x →∞=,由极限的定义知,0,0N ε∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<.而 n n x x a a ε-<-<0,0N ε∴∀>∃>,当n N >时,恒有n x a ε-<,由极限的定义知lim .n n x a →∞=但这个结论的逆不成立.如(1),lim 1,nn n n x x →∞=-=但lim n n x →∞不存在.5. 利用收敛准则证明下列数列有极限,并求其极限值:1111(1)1,2,; (2)1,1,1,2,.1nn n nx x x n x x n x ++=====+=+证: (1)122x =<,不妨设2k x <,则12k x +<=.故对所有正整数n 有2n x<,即数列{}n x 有上界.又1n n n x x x+-==0>,又由2n x <从而10n n x x +->即1n n x x +>, 即数列{}n x 是单调递增的.由极限的单调有界准则知,数列{}n x 有极限. 设lim n n x a →∞=,则a =,于是22a a =,2,0a a ==(不合题意,舍去),lim 2n n x →∞∴=.(2) 因为110x =>,且111nn nx x x +=++, 所以02n x <<, 即数列有界又 111111111(1)(1)nn n n n n n n n n x x x x x x x xx x --+---⎛⎫⎛⎫++-=-= ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭由110,10n n x x -+>+>知1n n x x +-与1n n x x --同号，从而可推得1n n x x +-与21x x -同号，而 1221131,1,022x x x x ==+=-> 故10n n x x +->, 即1n n x x +>所以数列{}n x 单调递增，由单调有界准则知，{}n x 的极限存在. 设lim n n x a →∞=, 则11a a a=++，解得1122a a +-==(不合题意，舍去). 所以1lim 2n n x →∞+=习题1-31. 选择题（1）设1,1()0,1x f x x ≠⎧=⎨=⎩，则0lim ()x f x →=（） A.不存在 B.∞ C.0 D.1（2）设()f x x =，则1lim ()x f x →=（） A.1- B.1 C.0 D.不存在（3）0(0)f x +与0(0)f x -都存在是函数()f x 在点0x x =处有极限的一个（）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件（4）函数()f x 在点0x x =处有定义，是当0x x →时()f x 有极限的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件（5）设1()1x f x x -=-，则1lim ()x f x →=（）A.0B.1-C.1D.不存在 2.证明01lim arctanx x→不存在. 3. 用函数极限定义证明：22222102sin 314(1)lim 0; (2)lim 3; (3)lim 4; 42141(4)lim 2; (5)lim sin 0.21x x x x x x x x xx x x x x x →+∞→∞→-→→---===-++-==+证：(1)0ε∀>,要使1sin sin 0x xx x xε=≤<-, 只须1x ε>,取1X ε>，则当x X >时，必有sin 0xxε<-, 故sin lim0x xx→+∞=.(2)0ε∀>,要使22221313313||44x x x x ε-=<<-++,只须x >取X =X x >时，必有223134x x ε-<-+, 故2231lim 34x x x →∞-=+. (3) 0ε∀>,要使24(4)22x x x ε-=<--++, 只要取δε=，则当02x δ<<+时，必有24(4)2x x ε-<--+,故224lim42x x x →--=-+.(4) 0ε∀>,要使21142221221x x x x ε-==<+-++,只须122x ε<+，取2εδ=，则当102x δ<<+时，必有214221x x ε-<-+故21214lim 221x x x →--=+.(5) 0ε∀>,要使11sin0sin x x x x xε=≤<-, 只要取δε=，则当00x δ<<-时，必有1sin0x xε<-, 故01lim sin0x x x→=. 习题1-41. 选择题：（1）设α和β分别是同一变化过程中的无穷小量与无穷大量，则αβ+是同一变化过程中的（）A.无穷小量B.有界变量C.常量D.无穷大量（2）“当0x x →时，()f x A -是一个无穷小量”是“函数()f x 在点0x x =处以A 为极限”的（）A.必要而不充分条件B.充分而不必要的条件C.充分必要条件D.无关条件（3）当0x →时，11cos x x是（） A.无穷小量 B.无穷大量 C.无界变量 D.有界变量 2.求下列极限：（1）201lim cos x x x →；（2）arctan lim x xx→∞.习题1-51.若对某极限过程，()lim f x 与()lim g x 均不存在，问()()()lim f x g x ±是否一定不存在？举例说明.2.若对某极限过程，()lim f x 存在，()lim g x 不存在，问()()()lim f x g x ±，()()()lim f x g x ⋅是否存在？为什么？3. 求下列极限：2222313242233112131(1)lim ;(2)lim ;1211(3)lim ;(4)lim ;3121131(5)lim ;(6)lim ;111(7)lim 1x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→∞→→∞→∞→→→--+---+-++-⎛⎫- ⎪---⎝⎭- ()()33212(8)lim .23x x x x x →∞+--+-解：()()2232233lim 33933(1)lim 1lim 9151x x x x x x x →→→---===+++. 22223334224241111(2)limlim .1121221111lim (3)lim lim 0.3131311lim 1x x x x x x x x x x x xx x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞--==----⎛⎫-- ⎪-⎝⎭===-+⎛⎫-+-+ ⎪⎝⎭(4)(5) (6) (7) (8)习题1-61. 选择题：（1）当n →∞时，1sinn n是一个（） A.无穷小量 B.无穷大量 C.无界变量 D.有界变量（2）若x a →时，有0()()f x g x ≤≤，则lim ()0x ag x →=是()f x 在x a →过程中为无穷小量的（）A.必要条件B.充分条件C.充要条件D.无关条件 2. 利用夹逼定理求下列数列的极限:1(1)(2)lim[(1)],01;(3);(4)lim(123).n k k n n nn nn n n k →∞→∞+-<<++其中为给定的正常数解: (1)11111n n<+<+ 而1lim10,lim(1)1n n n→∞→∞=+=故 1n =. 1111(2)0(1)(1)1(1)1k k k kk k n n n n n n n -⎡⎤⎡⎤<+-=<=+-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而lim 00n →∞=,当1k <时,11lim0kn n -→∞=lim[(1)]0k k n n n →∞∴+-=.(3)记12max{,,,}m a a a a =则有n<<即 1na m a <<⋅而1lim , lim ,nn n a a m a a →∞→∞=⋅=故n a =即 12lim max{,,,}m n a a a =.(4)111(3)(123)(33)n nn n nn n<++<⋅即 113(123)3n nn nn+<++<而 1lim33,lim33n nn n +→∞→∞==故 1lim(123)3nn nn →∞++=.3.求下列极限:(1)0sin 2lim;sin 5x xx → (2) 0lim cot ;x x x →(3)0arctan lim;x x x → (4) 201lim 1;xx x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭(5)213lim ;2x x x x +→∞+⎛⎫ ⎪-⎝⎭(6) ()2cot 2lim 13tan ;xx x →+习题1-71. 当1x →时，无穷小量1x -与221(1)1,(2)(1)2x x --是否同阶？是否等价？解：211111(1)limlim 112x x x x x →→-==-+ ∴当1x →时，1x -是与21x -同阶的无穷小.2111(1)12(2)lim lim 112x x x xx →→-+==-∴当1x →时，1x -是与21(1)2x -等价的无穷小.2. 当0x →时，22x x -与23x x -相比，哪个是高阶无穷小量？解：232200limlim 022x x x x x x x x x→→--==-- ∴当0x →时，23x x -是比22x x -高阶的无穷小量.3.利用等价无穷小量，求下列极限：(1)0sin lim;sin x mxnx → 0(2)lim cot ;x x x →01cos 2(3)lim ;sin x xx x→- (4) tan sin 601lim 1x x x e e →--. 解：(1)因为当0x →时，sin ~,sin ~,mx mx nx nx所以00sin limlim .sin x x mx mx mnx nx n→→==00002000limcos cos (2)lim cot lim cos lim 1.sin sin sin lim1cos 22sin sin (3)lim lim 2lim 2.sin sin x x x x x x x x x x x x x x x xx x xx x x x x x x x→→→→→→→→=⋅===-=== (4)习题1-81. 研究下列函数的连续性，并画出图形：2,1,,01,(1)()(2)()1,1;2,12;x x x x f x f x x x x≤⎧≤≤⎧==⎨⎨>-<<⎩⎩ 解：(1)由初等函数的连续性知，()f x 在（0，1），（1，2）内连续，又21111lim ()lim(2)1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=== 1lim ()1,x f x →∴= 而(1)1f =，()f x ∴在1x =处连续，又，由2lim ()lim 0(0)x x f x x f ++→→===，知()f x 在0x =处右连续，综上所述，函数()f x 在[0，2)内连续. 函数图形如下：图1-2(2) 由初等函数的连续性知()f x 在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞内连续，又由1111lim ()lim 11,lim ()lim 1,x x x x f x f x x --++→-→-→-→-====-知1lim ()x f x -→-不存在，于是()f x 在1x =-处不连续.又由1111lim ()lim 1,lim ()lim11,x x x x f x x f x --++→→→→==== 及(1)1f =知1lim ()(1)x f x f →=，从而()f x 在x =1处连续，综上所述，函数()f x 在(,1)-∞-及(1,)-+∞内连续，在1x =-处间断.函数图形如下：图1-32. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点，如果是可去间断点，则补充或改变函数的定义，使它连续：221(1),1,2;32π(2),π,π,0,1,2,.tan 2x y x x x x x y x k x k k x -===-+===+=±±解：22111(1)(1)(1)lim lim 232(1)(2)x x x x x x x x x →→--+==--+-- 2221lim 32x x x x →-=∞-+ 1x ∴=是函数的可去间断点.因为函数在x =1处无定义，若补充定义(1)2f =-，则函数在x =1处连续；x =2是无穷间断点.π0π2(2)lim1,lim 0tan tan x x k x x x x →→+==当0k ≠时，πlimtan x k xx →=∞.π0,π,0,1,2,2x x k k ∴==+=±±为可去间断点，分别补充定义f (0)=1,π(π)02f k +=，可使函数在x =0,及ππ2x k =+处连续.(0,1,2,k =±±);π,0,1,2,x k k k =≠=±±为无穷间断点3. 当x =0时，下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使其在x =0处连续:tan2(1)()(2)().xf x f xx ==解：0003(1)lim ()2x x x f x →→→=== ∴补充定义3(0),2f =可使函数在x =0处连续. 000tan 22(2)lim ()lim lim 2.x x x x xf x x x→→→=== ∴补充定义(0)2,f =可使函数在x =0处连续. 4. 怎样选取a , b 的值，使f (x )在(－∞,+∞)上连续？π1,,e ,0,2(1)()(2)()π,0;sin ,.2xax x x f x f x a x x x b x ⎧+<⎪⎧<⎪==⎨⎨+≥⎩⎪+≥⎪⎩解：(1)()f x 在(,0),(0,)-∞+∞上显然连续，而0lim ()lim(),x x f x a x a ++→→=+= 0lim ()lim e 1,xx x f x --→→== 且(0)f a =, ∴当(0)(0)(0)f f f -+==，即1a =时，()f x 在0x =处连续，所以，当1a =时，()f x 在(,)-∞+∞上连续.(2)()f x 在ππ(,),(,)22-∞+∞内显然连续.而ππ22ππ22lim ()lim (sin )1,πlim ()lim (1)1,2π()1,2x x x x f x x b b f x ax a f b ++--→→→→=+=+=+=+=+ ∴当π112b a +=+，即π2b a =时，()f x 在π2x =处连续，因而()f x 在(,)-∞+∞上连续.5. 试证：方程21xx ⋅=至少有一个小于1的正根.证：令()21xf x x =⋅-，则()f x 在[0,1]上连续，且(0)10,(1)10f f =-<=>,由零点定理，(0,1)ξ∃∈使()0f ξ=即210ξξ⋅-=即方程21xx ⋅=有一个小于1的正根. 6. 利用取对数的方法求下列幂指函数的极限：()11002(1)lim ;(2)lim ;e 3111(3)lim ;(4)lim .sin cos 1x x xxxxx x x xx x a b c x x x x →→→∞→∞⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(5) ()23lim cos 2.x x x →解：(1)令1(e )xxy x =+，则1ln ln(e )x y x x=+于是：()0000ln e ln 111e lim ln lim ln lim ln e lim 1e e x x x x x x x x x x x y x x x x →→→→⎛⎫++ ⎪⎛⎫⎝⎭===++ ⎪⎝⎭e 0001e 1lim 1lim lim ln 1ln 11e e e e 11ln e 2x xxx x x x x x x x x x →→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⋅+⋅++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=+⋅= 即()lim ln 2x y →= 即20lim e x y →= 即()120lim e e x x x x →=+. (2)令13xxxxa b c y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，则1ln ln3x x x a b c y x ++= 于是00333303300001lim(ln )lim ln 313lim ln 1333lim lim ln 1331111lim ln lim 13x x x x x x xxx x x xx x a b c x x x a b c x xxxxxxa b c x x x x x x x x x x a b c y x a b c x a b c a b c x a b c a b c x x x →→++-++-→++-→→→→++=⎡⎤⎛⎫++-=⎢⎥+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦++-⎛⎫++-=⋅+ ⎪⎝⎭⎛⎫---++=⋅++ ⎪+⎝⎭33331(ln ln ln )ln e ln 3x x x a b c a b c ++-⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦=++⋅=即0lim(ln )ln x y →= 即()lim ln x y →=故0lim x y →=即1lim 3x x xxx a b c →⎛⎫++=⎪⎝⎭(3)令11sin cos xy x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则11ln ln sin cos y x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 于是11sin cos 1111sin cos 1111sin cos 111lim ln lim ln 1sin cos 11111lim ln 1sin cos 1sin cos 111sin 1cos lim ln lim 11xx x x x x x xx x y x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭+-→∞→∞+-→∞→∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎛⎫=⎨⎬++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅++-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫- ⎪=-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭111sin cos 1111sin cos 1x x x x x +-→∞⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎛⎫⎨⎬++- ⎪⎢⎥⎝⎭⎪⎪⎣⎦⎩⎭2111sin 2ln e (10)ln e 1limlim 11x x x x x x →∞→∞⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭=⋅=-⋅= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ 即limln 1x y →∞= 从而()lim ln 1x y →∞= 故lim e x y →∞= 即 11lim e sin cos xx x x →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(4)令211xy x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则21ln ln 1y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭于是：22221222211lim(ln )lim ln lim ln 111111lim ln lim lim ln 110ln e 0x x x x x x x x x x y x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞⎡⎤⎛⎫⎛⎫==+⎢⎥ ⎪+ ⎪⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎛⎫==⋅++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅= 即 ()lim lim(ln )0,ln 0x x y y →∞→∞== lim 1x y →∞∴= 即21lim 11xx x →∞⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.习题一1. 填空题（1）已知当0x →时，1与2x 是等价无穷小，则常数a = -2 .（2）()ln 1lim1cos x x x x→+=- 2 .（3）3332lim 3x x x x →∞⎛⎫+=⎪-⎝⎭5e . （4）若函数22,4,()20,4x c x f x cx x ⎧-<=⎨+≥⎩在(),-∞+∞上连续，则常数c 的值为 -2 .（5）已知0x =是函数2x e ay x+=的第一类间断点，则常数a 的值为 -1 .2. 选择题（1）设函数f x ()在∞∞(-,+)内单调有界，{}n x 为数列，下列命题正确的是（ B ）.A.若{}n x 收敛，则(){}n f x 收敛B.若{}n x 单调，则(){}n f x 收敛 C.若(){}n f x 收敛，则{}n x 收敛 D.若(){}n f x 单调，则{}n x 收敛（2）当0x +→B ）.A. 1-B. 1xC. 1D. 1-（3）极限2lim ()()xx x x a x b →∞⎡⎤=⎢⎥-+⎣⎦（ C ），这里,a b 为常数. A. 1 B. e C. a b e - D. b ae -（4）设函数1112,0,()22,0,x xe xf x e x ⎧+⎪≠⎪=⎨+⎪⎪=⎩则0x =是函数()f x 的（ B ）.A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.连续点（5）设*n N ∈，则函数21()lim1nn xf x x →∞+=+（ D ）.A. 存在间断点1x =B. 存在间断点1x =-C. 存在间断点0x =D. 不存在间断点3. 求函数⎧≠⎪=⎨⎪=⎩1sin ,0,0,x y xx 的定义域与值域.4. 判断下列函数的奇偶性:22(1)()(2)e e sin .x x f x y x -=+=-+解: (1)()()f x f x -==()f x ∴=.(2)222222()e e sin()e e sin (e e sin )()x x x x x x f x x x x f x ----=-+-=-+=--+=-∴函数22e e sin x x y x -=-+是奇函数.5. 设()f x 定义在(-∞,+∞)上,证明:(1) ()()f x f x +-为偶函数; (2)()()f x f x --为奇函数. 证: (1)设()()()F x f x f x =+-,则(,)x ∀∈-∞+∞, 有()()()()F x f x f x F x -=-+= 故()()f x f x +-为偶函数.(2)设()()(),G x f x f x =--则(,)x ∀∈-∞+∞,有()()()[()()]()G x f x f x f x f x G x -=---=---=- 故()()f x f x --为奇函数.6. 某厂生产某种产品,年销售量为106件,每批生产需要准备费103元,而每件的年库存费为0.05元,如果销售是均匀的,求准备费与库存费之和的总费用与年销售批数之间的函数(销售均匀是指商品库存数为批量的一半). 解: 设年销售批数为x , 则准备费为103x ;又每批有产品610x 件,库存数为6102x 件,库存费为6100.052x ⨯元. 设总费用为,则63100.05102y x x⨯=+.7. 邮局规定国内的平信,每20g 付邮资0.80元,不足20 g 按20 g 计算,信件重量不得超过2kg,试确定邮资y 与重量x 的关系. 解: 当x 能被20整除,即[]2020x x =时,邮资0.802025x x y =⨯=; 当x 不能被20整除时,即[]2020x x ≠时,由题意知邮资0.80120x y ⎡⎤=⨯+⎢⎥⎣⎦.综上所述有,02000;2520200.80,02000.1202020x xx x y x x x x ⎧⎡⎤<≤=⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎡⎤⎡⎤⎪⨯<≤≠+⎢⎥⎢⎥⎪⎣⎦⎣⎦⎩且且其中20x ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,120x ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦分别表示不超过20x ,120x +的最大整数. 8. 证明:11(1)arcsin h ln(h ln ,1121xx x x x x+=+=-<<-证: (1)由e e sinh 2x x y x --==得2e 2e 10x xy --=解方程2e2e 10xx y --=得e x y =因为e 0x >,所以e x y =ln(x y =+所以sinh y x =的反函数是arcsin h ln(().y x x x ==-∞<<+∞(2)由e e tanh e e x x x xy x ---==+得21e 1xy y +=-,得1112ln ,ln 121y y x x y y ++==--;又由101yy+>-得11y -<<, 所以函数tanh y x =的反函数为11arctan h ln (11).21xy x x x+==-<<-9.设数列{}n x 满足10x π<<，()1sin 1,2,n n x x n +==.证明lim nn x →∞存在，并求该极限.解：当1n =时，10x π<<，1sin n n x x += 则有1sin 1n n x x +=≤所以，数列{}n x 有界.令函数()sin f x x x =-，其中(0,)x π∈ 则 ()cos 10f x x '=-≤ ()(0)f x f ≤sin x x ≤1sin n n n x x x +=≤所以数列{}n x 单调递减根据单调收敛定理知：数列{}n x 极限存在令lim n n x A →∞=在1sin n n x x +=两边去极限得sin A A = 所以 0A = 故lim 0n n x →∞=10.设函数()f x =1()()x f x ϕ=，1()(())n n x f x ϕϕ-=，2,3,n =试计算极限()n n x .解：由题设()()21()x x f x ϕϕ====，依此类推，一般地，有()n xϕ=()1,0,,0,0,0,1,0.0,0n n n x xx x x x x x >⎧⎧≠⎪⎪====⎨⎨⎪⎪-<=⎩⎩=11. 求下列极限：221(1)lim(1)(1)(1)(1);)(1)nx n x x x x x x →∞→+++<-122222(1)lim(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)lim 111lim .11nnn x x x x x x x x x x x x x x x+→∞→∞→∞+++<-+++=--==--111211211(1)(1)(2)lim (1))(1))(1)11.234!n n x n n n n x n n n n x n x x x x x x x x n n -→--→-→--=++++=++++==⨯⨯⨯⨯12.利用等价无穷小量，计算下列极限：0arctan 3(1)lim;(2)lim 2sin ;2n n x n x xx →→∞()22102320020041arctan (3)lim ;(4)lim ;arcsin(12)sin arcsin 2tan sin cos cos (5)lim ;(6)lim ,;sin 1cos 4(8)lim 2sin x x x x x x x x x x x x x x x x x x x αβαβ→→→→→→----- 为常数()222200;tan ln cos ln(sin e )(9)lim ,0;(10)lim .ln cos ln(e )2x x x x x x ax x xa b b bx x x→→++-≠+- 为常数,解：(1)因为当0x →时，arctan3~3,x x 所以00arctan 33limlim 3x x x xx x →→==.sin sin 22(2)lim 2sin lim lim .222n nn n n n n n nx x x x x x x x →∞→∞→∞=⋅== (3)因为当12x →时，arcsin(12)~12x x --,所以22111122224141(21)(21)lim lim lim lim(21) 2.arcsin(12)1212x x x x x x x x x x x x →→→→---+===-+=---- (4)因为当0x →时，22arctan ~,sin~,arcsin ~,22x xx x x x 所以 2200arctan lim lim 2sin arcsin 22x x x x xx x x →→==⋅.(5)因为当0x →时，2331sin ~,1cos ~,sin ~2x x x x x x -,所以 233300001tan sin sin (1cos )2lim lim lim sin sin cos cos 11lim .2cos 2x x x x x x x x x x x x xx x x →→→→⋅--==⋅== (6)因为当0x →时，sin~,sin~2222x x x x αβαβαβαβ++--，所以220020222sin sin cos cos 22lim lim 222lim 1().2x x x x xx x x x x xxαβαβαβαβαββα→→→+---=+--⋅⋅==- (7)因为当0x →时，~)~,x x --所以00 1.x x x →→→==-=-(8)因为当0x →时，sin ~,sin 2~2,x x x x 所以2222200222200201cos 42sin 2lim lim 2sin tan sin (2sec )2(2)8lim lim (2sec )2sec 84.lim(2sec )x x x x x x xx x x x x x x x x x x xx x →→→→→-=++⋅==++==+ (9)因为ln cos ln[1(cos 1)],ln cos ln[1(cos 1)],ax ax bx bx =+-=+- 而当0x →时，cos 10,cos 10ax bx -→-→故 ln[1(cos 1)]~cos 1,ln[1(cos 1)]~cos 1,ax ax bx bx +--+-- 又当x →0进，2222111cos ~,1cos ~,22ax a x bx b x --所以22220000221ln cos cos 11cos 2lim lim lim lim .1ln cos cos 11cos 2x x x x a xax ax ax a bx bx bx b b x→→→→--====-- (10)因为当0x →时，222sin 0,0e exx x x →→ 故 222222sin sin ln ~,ln ~,11e ee e x x xx x xx x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以22222222200022222000020sin ln 1ln(sin e )ln(sin e )ln e e lim lim lim ln(e )2ln(e )ln e ln 1e sin sin sin e lim lim e lim e lim e e 1 1.x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x x →→→→→→→⎛⎫+ ⎪+-+-⎝⎭==+-+-⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅= 13.设n N *∈，研究下列函数的连续性，并画出图形：221(1)()lim ;(2)()lim .1x x nx x nn n n n x f x f x x n n x --→∞→∞--==++(1)∵当x <0时，221()lim lim 1,1x x x xx x n n n n n f x n n n --→∞→∞--===-++ 当x =0时，00()lim 0,n n n f x n n →∞-==+ 当x >0时，2222111()limlim lim 1111x xxx x xx n n n xn n n n f x n n n n --→∞→∞→∞---====+++1,0,()lim0,0,1,0.x xx xn x n n f x x n n x --→∞-<⎧-⎪∴===⎨+⎪>⎩由初等函数的连续性知()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，又由 0lim ()lim11,lim ()lim(1)1x x x x f x f x ++--→→→→===-=-知0lim ()x f x →不存在，从而()f x 在0x =处间断.综上所述，函数()f x 在(,0),(0,)-∞+∞内连续，在0x =处间断.图形如下：图1-4(2)当|x |=1时，221()lim0,1nnn x f x x x →∞-==+ 当|x |<1时，221()lim,1nnn x f x x x x →∞-==+ 当|x |>1时，2222111()limlim 111nnn nn n x x f x x x x x x →∞→∞⎛⎫- ⎪-⎝⎭==⋅=-+⎛⎫+ ⎪⎝⎭即 ,1,()0,1,, 1.x x f x x x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩由初等函数的连续性知()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内均连续，又由1111lim ()lim ()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x --++→-→-→-→-=-===-知1lim ()x f x →-不存在，从而()f x 在1x =-处不连续.又由 1111lim ()lim()1,lim ()lim 1x x x x f x x f x x ++--→→→→=-=-== 知1lim ()x f x →不存在，从而()f x 在1x =处不连续.综上所述，()f x 在(－∞,－1),(－1,1),(1,+∞)内连续，在1x =±处间断. 图形如下：图1-514. 下列函数在指定点处间断，说明它们属于哪一类间断点?21(1)cos,0;y x x == 1,1,(2) 1.3,1,x x y x x x -≤⎧==⎨->⎩解：(1)∵当0x →时，21cosx 呈振荡无极限， ∴x =0是函数的振荡间断点.(第二类间断点). (2)∵11lim lim(1)0x x y x --→→=-= ∴x =1是函数的跳跃间断点.(第一类间断点.)15. 当x =0时，下列函数无定义，试定义(0)f 的值，使其在x =0处连续:11(1)()sin sin ;(2)()(1).x f x x f x x x==+解：01(1)limsin sin0x x x→= ∴补充定义(0)0,f =可使函数在x =0处连续.10(2)lim ()lim(1)e xx x f x x →→=+=∴补充定义(0)e,f =可使函数在x =0处连续16. 试证：方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根，其中0,0a b >>. 证：令()sin f x x a x b =--，则()f x 在[0,]a b +上连续，且 (0)0,()(1sin )0f b f a b a x =-<+=-≥, 若()0f a b +=，则a b +就是方程sin x a x b =+的根. 若()0f a b +>，则由零点定理得.(0,)a b ξ∃∈+,使()0f ξ=即sin 0a b ξξ--=即sin a b ξξ=+，即ξ是方程sin x a x b =+的根，综上所述，方程sin x a x b =+至少有一个不超过a b +的正根.17. 设a 为正常数，()f x 在[0,2]a 上连续，且(0)(2)f f a =,证明：方程()()f x f x a =+在[0，a ]内至少有一根.证：令()()()F x f x f x a =-+,由()f x 在[0,2]a 上连续知，()F x 在[0,]a 上连续，且(0)(0)(),()()(2)()(0)F f f a F a f a f a f a f =-=-=-若(0)()(2),f f a f a ==则0,x x a ==都是方程()()f x f x a =+的根，若(0)()f f a ≠，则(0)()0F F a <，由零点定理知，至少(0,)a ξ∃∈,使()0F ξ=, 即()()f f a ξξ=+，即ξ是方程()()f x f x a =+的根，综上所述，方程()()f x f x a =+在[0,]a 内至少有一根.18. 设()f x 在[0,1]上连续，且0()1f x ≤≤，证明：至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=. 证：令()()F x f x x =-,则()F x 在[0,1]上连续，且(0)(0)0,(1)(1)10,F f F f =≥=-≤ 若(0)0f =，则0,ξ=若(1)1f =,则1ξ=,若(0)0,(1)1f f ><,则(0)(1)0F F ⋅<,由零点定理，至少存在一点(0,1)ξ∈,使()0F ξ=即()f ξξ=.综上所述，至少存在一点[0,1]ξ∈，使()f ξξ=. 19. 若()f x 在[,]a b 上连续，12n a x x x b <<<<<,证明:在1[,]n x x 中必有ξ，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.证: 由题设知()f x 在1[,]n x x 上连续，则()f x 在1[,]n x x 上有最大值M 和最小值m ，于是12()()()n f x f x f x m M n+++≤≤,由介值定理知，必有1[,]n x x ξ∈，使12()()()()n f x f x f x f nξ+++=.。

高数习题1

f (b) − f (a) = f ′(ξ )(b − a)
x2 16. 函数 f (x) = 2 x − 在区间在区间________上单调增加上单调增加. 上单调增加 2
17. 函数 F(x) = ⌠ (2 −
⌡1
x
1 t
)dt (x > 0) 的单调减少区间为
__________.
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填空题
asin x + b, x < 0 9． f (x) = x 处可导，．设在 x = 0 处可导，则常数 e + cos x, x ≥ 0
a = ______， b = ______. ，
x→0
lim f (x) = lim(a sin x + b) = b − −
x2
上的平均值为：函数 f (x) 在区间 [a, b] 上的平均值为：
1 b ∫a f (x)dx b−a
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a =1
1 b=− 2
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= lim( +
t →0
−1+ 2t 2 1− t + t
2
− b)
填空题
ln x 7．曲线 y = 有水平渐近线__________和．有水平渐近线和 x −1
铅直渐近线__________. 铅直渐近线
ln x l lim y = lim = lim = 0 x→∞ x→∞ x −1 x→∞ x
填空题
18. 函数 f (x) = 3 3 x4 − 8x + 6 3 x2 在 x = ______处取极处取极 ______值. 值

大学高数第一章例题

2
解
x
lim
1 x
0,
| arctan
x |
- 12 -

2
. lim
a rcta n x x
x
0
习题课（一）
(3)
第一章函数极限连续
lim
sin 2 x x 2 2
x 0
解
原式
lim
(
x 2
2 ) sin 2 x
x 0
x 22
n
lim x n
N 0,
M 0,
使得当 n
N
时，恒有
xn M
成立, 则称 x n 是 n

时的负无穷大量
-7-
习题课（一）
(2) lim f ( x ) 2
x 3
第一章函数极限连续
0, 0,
使当
0 x 3
第一章函数极限连续
x n x n1 x n1 ,
2
证明 lim
n
xn
存在, 并求 lim 解由于 x 1
n
xn .
2
x 0 x 0 x 0 ( 1 x 0 ),
0 x 0 1,
所以 0
x1 1 .
- 11 -
习题课（一）
(1)
第一章
x 8
lim
1 x 3 2
3
x
( 1 x 3 )(
1 1
1
2
解
原式
x 8
lim
1 x 3 )( 4 2 x 3 x 3 )

高数第一册习题及答案

高数第一册习题及答案第一章初等函数及其图形练习1.1 初等函数及其图形一. 确定下列各函数中哪些是偶函数，哪些是奇函数:x,xf(x),a，a 1. (); a,0x,xx,x，，，，，，？f,x,a，a,fx？fx,a，a解: 为偶函数.1,xf(x),ln2.; 1，x1，x1,x1,x解: ，，, ，，，，为奇函数. ？fx,ln？f,x,ln,,ln,,fx1，x1,x1，x23. f(x),ln(x，1，x)122，，，，，，，，？f,x,ln,x，1，x,ln,,lnx，1，x,,fx解: , 2x，1，x 2为奇函数. ，，，，？fx,lnx，1，x二. 设f(sinx),3,cos2x,求f(cosx)。

22，，，，？fsinx,3,cos2x,2，2sinx？fcosx,2，2cosx解: ,f(x)，,x,0,x,0三.设f(x)在(0,)上定义, 。

求证: 若单调上升,则12xf(x，x),f(x)，f(x)。

1212fx，，，，fx，，，，，，？gx，x,gx,解: 令gx,, ？单调上升, 121xx ，，，，，，gx，x,gx x,x,0, 故12212，，，，，，，，，，，，，，fx，x,x，xgx，x,xgx，x，xgx，x,xgx，xgx 1212121122121122，，，，,fx，fx. 12f(x),arccosx,g(x),sinxf(g(x)),g(f(x))四. 设,试求复合函数的定义域和值域,并作图。

，，，，，，，，,,fgx,arccossinxD,,,.，,R,0,,解: , , ，，，，，，,,,,gfx,sinarccosxD,,1,1R,0,1, , .,x,1,x,0,,0xx,,f(x), , 求复合函数。

五.设(),f(g(x)),g(f(x))gx,,2,x,x,0xx,0,,,x,1,,1,x,0,,,1,,0xx,,2，，，，，，gfx,,1，x,x,,1,解: , fgx，，，，,,2x,1,x,0,2,,x,x,0,第二章极限与连续2.1 数列极限一. 填空:n,12,n|x,1|,,x,1.设,对于任意的正数,当大于正整数[,1]时, ,所以N,nnn，1, ,4n|x,1|,10;当大于正整数19.999时, 。

高数第一章练习题

B. f ( x ) 在 x0 点的极限值不一定存在 D. f ( x ) 在点 x0 必连续）
21、若函数 f ( x ) 在某点 x0 函数值存在，则（ A. f ( x ) 在 x0 点的极限值必存在
B. 如果 f ( x ) 在 x0 点的极限值存在，则极限值必等于函数值
C. f ( x ) 在 x0 点连续 D. 如果 f ( x ) 在 x0 点的连续，则 f ( x ) 在 x0 点的极限值必存在且等于函数值 22、 lim f ( x ) = lim f ( x ) 是 f ( x ) 在 x0 处连续的（
1、求极限 lim
x ®3
x -3 x2 - 9
2、.求极限 lim
x ®3
x 2 - 7 x + 12 x2 - 2 x - 3
2 1 ) 2 1- x 1- x
8x3 - 1 3、求极限 lim 2 1 x® 6 x - 5 x + 1
2
4、求极限 lim(
x ®1
5、求极限 lim (
x ®-2
）
D. 跳跃间断点
x4 + x3 +1 的间断点是（ x 2 - 3x + 2 B. - 1 , 2
D. - 1 , - 2
30、若函数 f ( x ) 连续，则下列命题正确的有（ A. f ( x ) 一定有最大值 C. 有界
B. f ( x ) 一定有最小值 D. 若 f ( x ) 在闭区间连续，则 f ( x ) 在该区间有界
7、变量 y =
2
9、已知函数 f ( x ) = 3 x cos a x ，则 f ( x ) 是当 x ® 0 时的无穷_____________量 10、当 x ® 0 时,无穷小量 ln(1 + x ) 与 b sin

高数课后习题答案及其解析

第一章习题习题1.11.判断下列函数是否相同: ①定义域不同;②定义域对应法则相同同;2.解 25.125.01)5.0(,2)5.0(=+=-=f f5.解 ① 10,1,1222≤≤-±=-=y y x y x② +∞<<-∞+=+=-=-=y be b c x e c bx c bx e c bx e ay ay a y a y ,,,),ln(ln 6.解 ① x v v u u y sin ,3,ln 2=+== ② 52,arctan 3+==x u u y 习题1.24.解:① 无穷大 ② 无穷小 ③ 负无穷大 ④ 负无穷大 ⑤ 无穷小 ⑥ 无穷小5.求极限：⑴ 21lim 2lim 3)123(lim 13131=+-=+-→→→x x x x x x x⑵ 51)12(lim )3(lim 123lim 22222=+-=+-→→→x x x x x x x⑶ 0tan lim=∞→xxa x⑷-∞=∞--=------=----=+--→→→→32)1)(4(1lim )1)(4()1(2lim )1)(4(122lim 4532lim 11121x x x x x x x x x x x x x x x⑸ 4123lim )2)(2()2)(3(lim 465lim 22222-=+-=-+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x x ⑹ )11)(11()11(lim 11lim22220220x x x x x x x x +++-++=+-→→2)11(lim )11(lim 202220-=++-=-++=→→x xx x x x ⑺ 311311lim 131lim 22=++=+++∞→+∞→xx x x x x⑻2132543232lim 25342332lim =⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=⋅+⋅⋅+⋅+∞→+∞→x xx x x x x x ⑼ 133)1)(1()2)(1(lim 12lim 1311lim 2132131-=-=+-+-+=+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+-→-→-→x x x x x x x x x x x x x ⑽011lim )1()1)(1(lim)1(lim =++=++++-+=-+∞→∞→∞→nn n n n n n n n n n n n⑾ 1lim 1231lim 22222==⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→∞→n n n n n n x x ⑿221121211lim2121211lim 2=-⋅-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→∞→n n n n 6.求极限 ⑴ 414tan lim0=→x x x⑵ 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x⑶ 2sin 2lim sin sin 2lim sin 2cos 1lim0200===-→→→xxx x x x x x x x x ⑷ x x n nn =⋅∞→2sin 2lim⑸ 21sin lim 212arcsin lim00==→→y y x x y x ⑹111sinlim1sin lim 1sinlim 22222-=-=-=-∞→-∞→-∞→x x x x x x x x x ⑺ k k xx k xx xkx e x x x x ----→---→-→=--=-=-])1()1[(lim )1(lim )1(lim2)(12)(120⑻ 22211lim 1lim e x x x x x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫⎝⎛+⋅∞→∞→⑼ 313tan 311cot 0])tan 31()tan 31[(lim )tan 31(lim e x x x xx x x =++=+→+→⑽ =⎪⎭⎫ ⎝⎛-+∞→32321lim x x x 343)34(23])321()321[(lim ---∞→=-⋅-e xx xx ⑾ []1)31(lim )31(lim )31(lim 03133311==+=+=+⋅-+∞→⋅⋅-+∞→-+∞→--e xx x x x x x x x x xxx⑿ 1333111lim 1111lim 1lim -+∞→+∞→+∞→==⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+e ex x x x x x x x x x习题1.31、⑴ 因为函数在x=1点处无定义，)2)(1()1)(1()(--+-=x x x x x f ，但是2)(lim 1-=→x f x ，x=1点是函数的第一类间断点（可去）。

高数习题册第一章~第三章答案

第一章极限与连续一、填空题1.x 2-x+In （x-1）, x ∈(-2,2) 3.[-1,2]4.x ∈(-1,1)且x ≠05. -12 解析：f （2π+0）=02lim x π⎛⎫→+ ⎪⎝⎭cos 2xx π-=02lim x π⎛⎫→+ ⎪⎝⎭sin()22()2x x ππ--=12-=a 6.x=-1（可去间断点） 7.1 8.0 9.-1 （解析：分子有理化） 10.1 11.3 12.1 13.-1,0 14.可去 15.无穷小 16.-1 17.2 二、选择题1.D 解析： '(0)f =0lim x →()(0)0f x f x --=0lim x →()f x x，0lim x →()g x =0lim x →()f x x ='(0)f ，∵()f x 为奇函数,∴()f x -=-()f x 即(0)(0)f f =- ∴(0)f =02.B 解析：0000limlim lim lim 0(1)1x x x x →+→+→+→==-=--=3.D4.C5.D6.C 解析： 20()lim 1x f x x →=， ∴2()~f x x 则200()lim lim 0x x x f x xx →→== 7.D 8.D 9.D 10.B 解析：如42()()()x a f x x a -=- 11.A 12..C13.B 解析：∵2220()lim 0x x e ax bx c x→-++= 即0lim x →2x e=1 1-c=0 c=114.C 15.A 16.D 17.B 18.B 三、计算题1.原式=0limx →1tan sin (1)1sin x x x x-++=0lim x →3tan sin 1sin (1sin )tan sin tan sin (1)1sin x x xx x x x x x x -++--[+]+=3tan sin 1lim1sin x x xxx e→-.+，而3t a n s i n 1l i m 1s i n x x x xx →-.+=3tan sin limx x xx →- =21(1)sin cos .x x x x-=0lim x →21(1)cos x x-=0lim x →2sin (cos )2x x x - =0lim x →2cos 2x-=12，∴原式=12e2.原式= (c o sc o s ...c o s s i n .2)2422l i m2s i n 2n n x n xx x xx →∞=sin sin sin lim lim (0)2sin sin 222x x n n nnx x x x x x x x x →∞→∞==≠ 3.原式=201x x →20212lim (12sin cos )22x x x x x x →=++0(1(sin cos )222x x →=++0113sin sin sin 222(.2cos )2222x x x xx x →→==+4.解：∵3214lim1x x ax x C x →---+=+且1lim(1)0x x →-+= ∴321lim(4)1x x ax x →---+=- 11440a a --++=-= ∴4a = 从而3214lim 1x x ax x x →---+=+32144lim 1x x x x x →---++221(1)4(1)lim1x x x x x →----=+1lim(4)(1)0x x x →---≠ ∴C ≠0 5.解：∵0sin 2(00)lim2x xf x-→-==且()f x 在0x =处连续，∴(0)2f a ==且(00)f +=01lim(sin )2x b x b x+→+==∴2,2a b == 6. 解：∵22122()()1x x f x x f x x ++=+ ①， ∴令1,t x =则1x t =且2212112()()11t t f f t t t t++=+ 即21(12)2()()1t t t f f t t t ++=+ 即212(12)2()4()1x x f x x f x x ++=+ ②， ②—①得22133()1x x f x x=+即11()1f xx =+ 也即1()111x f x x x==++ 7.解：∵lim()x x ax b →∞→∞+=22x =2220x ==， ∴210a -=即21a =， ∴原式=22(1)(21)2101x x b ab ab a --+-===-， ∴11,2a b =-=-. 四、证明题1.证明：∵()f x 在0x =处连续， ∴[]0lim ()(0)0x f x f ∆→∆-= 即0lim ()(0)x f x f ∆→∆=，又 1212()()()f x x f x f x +=，12,(,)x x ∈-∞+∞，∴(00)(0)(0)f f f += 即2(0)(0)f f = 即(0)0f =或(0)1f =。

高数专项练习题(1)

函数、极限与连续第一节函数一、单项选择题3.若2sin 2cos 2θθ+=-，则cos θ=（） A.1B.12C.12-D.1-4.函数ln 1x y +=） A.()1,-+∞B.()1,+∞C.[)1,-+∞D.[)1,+∞5.函数21x y e -的定义域是（）A.()3,+∞B.(],2-∞-C.[]3,4-D.(][),23,-∞-⋃+∞6.函数()121arccos13x y x --=+-的定义域是（） A.[)(]1,11,2-⋃ B.()()1,11,2-⋃ C.[]1,2-D.()1,2-7.函数()23,401,03x x f x x x --≤≤⎧=⎨+<≤⎩的定义域是（）A.43x -≤≤B.40x -≤≤C.03x <≤D.43x -<< 二、填空题3.函数2log x y -=_______.4.函数()3sin1xf x x=+的定义域是__________. 5.设()f x 的定义域为(]0,1，则函数()sin f x 的定义域为_________. 6.设函数()2y f x =的定义域为[]0,2，则()f x 的定义域是_______.第二节极限一、单项选择题4.设1f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则()lim x f x →∞=（） A.-1B.0C.1D.不存在5.03sin lim2x xx→=（）A.23B.1C.32D.36.下列各式中正确的是（） A.()23sin lim1x x x →=B.()21limcos 10x x →-=C.1lim sin1x x x→∞= D.01sinlim1x x x→=7.下列各式中正确的是（）A.31lim 13xx e x →∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭B.()1lim 1x x x e →∞+= C.()10lim 12xx x e →+=D.()130lim 1xx x e +→+=8.函数()223,1,0,1,1,1,x x f x x x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，则()1lim x f x →=（） A.0 B.2 C.5 D.不存在9.()21sin 1lim1x x x →-=-（）A.1B.0C.2D.1210.)lim x x →+∞=（）A.0B.1C.2D.∞11.22lim sin 1x xx x →∞=+（） A.12B.0C.∞D.212.下列极限不能用洛必达法则的是（）A.201lim tan xx e x→-B.2121lim 1x x x x→---C.11lim 1x x x →-- D.()lim 0xm x e m x→+∞> 13.极限limx xx e e x-→+∞-=（） A.0B.1C.2D.+∞14.若0a >，则极限()ln ln lim ex x x x →+∞=（）A.+∞B.2C.1D.022.设函数()1sin ,0,1,0,x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩，则当0x →时，()f x 是（） A.无穷小B.无穷大C.既不是无穷大，也不是无穷小D.极限存在但不是023.当0x →时，下列四个无穷小中，比其他三个更高阶的无穷小是（） A.2xB.1cos x -1D.tan x x -24.当0x +→）A.1-B.1D.1-二、填空题1.设()lim 2x f x →∞=，()()lim5x f x g x →∞=，则()lim x g x →∞=________2.2112lim 11x x x →⎛⎫-=⎪--⎝⎭_________.3.20lim2x x x→=+__________.4.极限12lim 1x x x +→∞⎛⎫-= ⎪⎝⎭__________.5.()10lim 1sin 2xx x →-=__________. 6.21lim arctan x x x+→=__________. 7.011lim sinsin x x x x x →⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________. 8.()222sin 4lim6x x x x →-=+-__________.9.cos x x →=___________.10.()()2013sin coslim1cos ln 1x x x x x x →+=++ __________. 11.22limtan2x x nππ→∞= __________. 12.221limxx x e →+∞-= __________.一元函数微分学第一节导数的概念一、单项选择题1.设()f x 在点x a =处可导，则()()2limh f a h f a h→--=（）A.()f a 'B.()2f a 'C.()2f a '-D.()f a '-2.设()f x 在点0x =处可导，则()()3lim2h f h f h h→--=（）A.()302f ' B.()203f 'C.()20f 'D.()0f '3.设()11f '=，则()()211lim1x f x f x →-=-（）A.-1B.0C.12D.14.设函数()()()()12f x x x x x n =---，其中n 为正整数，则()1f '=（）A.()()111!n n --- B.()()11!nn --C.()11!n n --D.()1!nn -5.若()f x 在x a =处可导，则下列选项不一定正确的是（） A.()()lim x af x f a →=B.()()lim x af x f a →''=C.()()limh f a h f a h h→--+D.()()limx af a f x x a→--6.设函数()f x 在0x =处可导，且()00f =，()00f '≠，则下列极限存在且为零的是（）A.()01limln 1h f h h →-⎡⎤⎣⎦ B.)201lim1h f h → C.()201lim tan h f h h→D.()()01lim 2h f f h f h h→-⎡⎤⎣⎦ 7.设函数()()21f x x x ϕ=-，其中()x ϕ在点1x =处连续，则()10ϕ=是()f x 在点1x =处可导的（）A.充分必要条件B.充分但非必要条件C.必要但非充分条件D.既非充分又非必要条件8.设()f x 在0x 处有定义，但()0lim x x f x →不存在，则（） A.()0f x '必存在B.()0f x '必不存在C.()f x 必连续D.()()00lim x x f x f x →=9.设()y f x =在点1x =处可导，且()1lim 2x f x →=，则()1f =（）A.2B.1C.12D.010.下列函数中，在点0x =处可导的是（） A.y x =B.y =C.3y x =D.ln y x =11.设()322,13,1x x f x x x ⎧≤⎪=⎨⎪>⎩，则()f x 在1x =处的（）A.左、右导数都存在B.左导数存在，但右导数不存在C.左导数不存在，但右导数存在D.左、右导数都不存在12.函数()1sin ,00,0x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在点0x =处（） A.连续且可导B.连续但不可导C.不连续D.不仅可导，导数也连续二、填空题1.设函数()()2log 0f x x x =>，则()()0limx f x x f x x∆→-∆-=∆________. 2.设()()()00001lim03x f x k x f x f x x ∆→+∆-'=≠∆，则k =_________.3.当0h →时，()()0032f x h f x h --+是h 的高阶无穷小量，则()0f x '=_______.4.设()2,1cos ,12ax b x f x x x x π⎧+≥⎪=⎨⎛⎫< ⎪⎪⎝⎭⎩且()f x 在1x =处可导，则a =________，b =________. 5.设函数()1,010,02,01x x xx e f x x x x e ⎧<⎪⎪+⎪==⎨⎪⎪>+⎪⎩，则()0f '=________.6.设曲线()y f x =和2y x x =-在点()1,0处有相同的切线，则()f x 在该点的切线斜率为________.7.曲线32116132y x x x =+++在点()0,1处的切线与x 轴的交点坐标为________. 8.设()y f x =由方程()2cos 1x y e xy e +-=-所确定，则曲线()y f x =在点()0,1处的法线方程为________.9.曲线2223131at x t at y t ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩在2t =的对应点处的切线方程为________. 10.曲线sin 2t,cos t tx e y e t⎧=⎪⎨=⎪⎩在点()0,1处的法线方程为________.第二节一元导数的求导法则一、单项选择题1.设()2f x e =()f x '=（）A.xe2.设函数()2x f x e -=，则()f x '=（） A.22x e--B.22x e-C.22x xe--D.22x xe-3.若函数()sin f x x x =，则2f π⎛⎫'= ⎪⎝⎭（） A.12B.1C.2πD.2π4.若()211f x x -=-，则()f x '=（） A.22x +B.()1x x +C.()1x x -D.21x -5.设函数()f x 满足()22sin cos f x x '=，且()00f =，则()f x =（）A.21cos cos 2x x +B.21sin sin 2x x - C.2112x x -+ D.212x x -6.设()211xf e x =+，则()f x '=（） A.()222ln 1ln x x x -+ B.()222ln 1ln xx -+ C.()2221xx -+D.()2211x -+7.设()2420y x x x =-+>，则其反函数()x y ϕ=在点2y =处的导数是（）A.14B.14-C.12D.12-8.设函数()g x 可微，()()1g x h x e +=，()11h '=，()12g '=，则()1g =（） A.ln31- B.ln31--C.ln21--D.ln21-二、填空题 1.设()ln 11x y x+=+，则0x y ='=__________.2.设()24sin y x =，则dydx=___________.3.设3210.1sin 3y x x π=-+，则y '=__________.4.设()2cos 31arctan x xy x x e=-+，则y '=__________. 5.设cos2xy e =，则y '=__________.6.设ln y x =，则y '=__________.7.设()arctan y f x =，其中()f x 为可导函数，则y '=__________. 8.已知()arcsin 12y x =-，则y '=__________. 9.已知2cos 2y ex π-=，则y '=__________.10.已知(ln y x =，则y '=__________. 11.设()12xf x x e=，而()h t 满足条件()03h =，()2sin 4h t t π⎛⎫'=+⎪⎝⎭，则()0t d f h t dt==⎡⎤⎣⎦__________. 12.已知211d f dx x x⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则12f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭__________. 第四节隐函数及由参数方程所确定的函数的导数一、单项选择题1.已知方程2290y xy -+=确定了函数()y y x =，则dydx=（） A.y x y- B.x x y- C.x y x -D.y y x-2.已知()y f x =由方程()cos ln 1xy y x -+=确定，则()2lim 0n n f f n →∞⎡⎤⎛⎫-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦（） A.2B.1C.-1D.-23.已知1xy x =，则dydx=（） A.21ln x x -B.()121ln xxx --C.()111ln xxx --D.()12ln 1xxx --4.已知函数()y y x =由参数方程sin cos 2x t y t=⎧⎨=⎩确定，则2t dydx π==（）A.-B.C.5.设()ln 111x t y t =+⎧⎪⎨=⎪+⎩，则22d y dx =（） A.1B.11t+ C.11t-+ D.11t-+ 二、填空题1.设函数()y y x =由方程()23ln sin x y x y x +=+所确定，则0x dy dx==________.2.设函数()y y x =由方程2cos xye y x +=所确定，则dydx=________. 3.设函数()y y x =由方程1yy xe =+所确定，则y ''=________.4.设()y y x =由()()21ty f t x f e =⎧⎪⎨=-⎪⎩所确定，其中f 可导，且()00f '≠，则0t dy dx ==________. 5.若函数()y y x =由参数方程cos sin x at t y at t =⎧⎨=⎩所确定，则2t dydx π==________. 6.若由参数方程ln cos sec x t y a t=⎧⎨=⎩所确定的函数()y y x =满足x dyy e dx -=+，则常数a =________.7.设函数()y y x =由参数方程()32ln 1x t t y t t⎧=-+⎪⎨=+⎪⎩所确定，则22d y dx =________.三、计算题1.设函数()y y x =由方程()222sin 0x x y e xy ++-=所确定，求dy dx2.设函数()y f x =由方程()f y yxee =所确定，其中f 具有二阶连续导数，且1f '≠，求22d ydx3.已知方程224x xy y ++=所确定的隐函数为()y y x =，求dy dx 与22d ydx4.求幂指函数()ln xy x =的导数5.设()0,01x a x a y x x a a x a a =+++>>≠且，求dy dx6.设()1cos 1x y x =+，求y '7.已知(()214xx y x e+=+y ' 8.设()y y x =由21cos ,sin x t y t =+⎧⎨=⎩所确定，求dydx 9.设()y y x =由方程22e 13t x t y t t⎧=+⎨=-⎩所确定，求1x dydx =10.设()y y x =由()()()x f t y tf t f t '=⎧⎪⎨'=-⎪⎩所确定，()f t ''存在且()0f t ''≠，求22d y dx第五节函数的微分一、单项选择题1.若函数()y f x =有()012f x '=，则当0x ∆→时，该函数在点0x x =处的微分dy 是（）A.与x ∆等价的无穷小B.与x ∆同阶非等价的无穷小C.比x ∆低阶的无穷小D.比x ∆高阶的无穷小2.设函数()y f x =在点0x 处可导，当自变量x 由0x 增加到0x x +∆，记y ∆为()f x 的增量，dy 为()f x 的微分，则0lim x y dyx∆→∆-=∆（）A.-1B.0C.1D.∞3.函数()f x 在点0x x =处可微是它在点0x x =处连续的_________条件 A.必要而不充分 B.充分而不必要 C.充分必要 D.无关4.已知y =4x dy ==（）A.24eB.24e dxC.22eD.22e dx 5.下列等式中不正确的是（） A.()6d x dx =B.()1cos 2sin 22xdx d x = C.()222x x xe dx d e=D.()arccos d x =6.已知()y y x =是由方程0ye xy e --=确定的函数，则dy=（） A.yydx e x-+B.yydx e x+ C.yydx e x-- D.yydx e x- 二、填空题1.?e dx =_________()?d e （n 为正整数）2.已知函数()f x 满足()()arcsin 2f x d x =⎡⎤⎣⎦，则()f x =_________.3.设函数()43y x =-，则dy =_________.4.已知arcsin2xy x =+dy =_________. 5.设1xe y x=+，则dy =_________.6.已知()y y x =是由方程tan y x y =+确定的函数，则dy =_________.7.设2arccos 2xy =，则dy =_________.第六节微分中值定理三、证明题1.设()f x 在[]1,e 上可导，且()10f =，()1f e =，证明：()1f x x'=在()1,e 内至少有一个实根2.设()f x 在[],a b 上二阶可导，且恒有()0f x ''<，证明：若方程()0f x =在(),a b 内有根，则最多有两个根3.设函数()f x 在区间[]0,2上连续，在区间()0,2内可导，且()()020f f ==，()12f =，证明：至少存在一点()0,2ξ∈，使得()f ξξ'=4.设函数()f x 在区间[]0,1上连续，在区间()0,1内可导，且()1lim01x f x x →=-，证明：至少存在一点()0,1ξ∈，使得()()cos sin 0f f ξξξξ'⋅+⋅=5.若()f x 在[]0,1上有三阶导数，且()()010f f ==，设()()3F x x f x =，证明：在()0,1内至少存在一点ξ，使()0F ξ''=6.设()f x 在[],a b 上可导，且()()0f a f b ==，证明：至少存在一点(),a b ξ∈，使()()0f f ξξ'+=7.设函数()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()00f =，k 为正整数，证明：存在一点()0,1ξ∈，使得()()()f kff ξξξξ''+=8.设()f x 在[]0,2上连续，在()0,2内可导，且()()014f f +=，()22f =，证明：必存在一点()0,2ξ∈，使()0f ξ'=10.已知()f x 在[]1,3上连续，在()1,3内可导，且()()120f f <，()()230f f <，证明：至少存在一点()1,3ξ∈，使得()()0f fξξ'-=11.设()f x 在[]0,1上连续，在()0,1内可导，且()00f =，()11f =，证明：对任意给定的正数a 和b ，在（0，1）内必存在不相等的1x ，2x ，使()()12a ba b f x f x +=+'' 12.设01a b <<<，证明不等式arctan arctan 2b a b a ab--<13.设函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，证明：若()f x 不恒为常数，则至少存在一点(),a b ξ∈，有()0f ξ'>第七节导数的应用三、计算题8.求函数()ln f x x x =-在1,e e -⎡⎤⎣⎦上的最值9.设函数2ln 5y a x bx x =++在1x =处取极值且12x =为其拐点横坐标，求常数a ，b 的值 10.设1x =±是()32f x x ax bx =++的两个极值点，求函数()f x 的拐点11.试确定曲线()3216f x ax bx cx =+++中的a 、b 、c ，使得()f x 在点2x =-处有水平切线，()1,10-为()f x 的拐点五、证明题1.设()f x 在[)0,+∞上连续，()00f =，()f x ''在()0,+∞内恒大于零，证明：()()f x g x x=在()0,+∞内单调递增2.证明：当0x >时，有不等式()()1ln 1arctan x x x ++>3.证明：当0x >时，11ln 11x x⎛⎫+> ⎪+⎝⎭4.证明：当0x >时，(1ln x x +>5.证明：当02x π<<时，sin tan 2x x x +>6.证明：方程31arctan 0x x --=在区间()0,1内有唯一实根7.证明：方程3310x x -+=有且仅有三个实根8.证明方程1ln 02x x e -+=在()0,+∞内有且仅有两个实根 9.设函数()()21ln 12f x x x x =+-+，证明：（1）当0x →时，()f x 是比x 高阶的无穷小量；（2）当0x >时，()0f x > 10.设函数()ln ln a x x af x x-=，(),x e ∈+∞（1）证明：()f x 在区间(),e +∞内单调递减；（2）设a b e >>，比较ba 与ab 的大小，并说明理由 11.已知11arctan F x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，0x >，（1）求()F x ；（2）证明当0x >时()0F x =恒成立一元函数积分学第一节不定积分一、单项选择题2.函数sin 2x 在(),-∞+∞内的导函数与一个原函数分别是（）A.cos 2,sin 2x xB.12cos 2,cos 22x x C.12cos 2,cos 22x x - D .12cos 2,cos 22x x - 3.已知函数tan 2y a x =的一个原函数为()2ln cos 23x ，则a =（）A.23-B.43-C.32D.344.设()f x 的一个原函数为2x ，则()f x '=（）A.313xB.2xC.2xD.25.若()f x 的导函数是sin x ，则函数()f x 有一个原函数是（） A.1sin x +B.1sin x -C.1cos x +D.1cos x -16.不定积分()2x xe dx --+=⎰（）A.1xx e C ---++ B.1xx e C ----+C.212xx e C ----+D.313xx e C ---+ 17.不定积分32x x e dx =⎰（）A.3213x x e C +B.323xx e C +C.313x e C + D.33xe C +18.若()()ln 1f x dx x x C =++⎰，则()0limx f x x→=（） A.2B.-2C.-1D.119.不定积分=（）A.C -B.CC.CD.C -20.不定积分()2f x dx '=⎰（）A.()122f x C +B.()2f x C +C.()22f x C +D.()12f x C + 21.设()()21ln 12f x dx x C =++⎰，则()1f x dx x=⎰（）A.arctan x C +B.cot arc x C +C.()21ln 12x C x ++D.1C x-+ 二、填空题 4.不定积分()221x dx -=⎰____________.5.()2d df x =⎰____________.6.不定积分223x x dx =⎰____________.7.不定积分21y -=____________.8.若()()f x dx F x C =+⎰，则()ln f x dx x=⎰____________. 9.d____________dx =10.2cos 1sin xdx d x=+ ____________. 11.不定积分()5201ln x dx x+=⎰____________.12.不定积分11sin dx x =+⎰____________.13.不定积分2sec 1tan x dx x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰____________.14.不定积分3x=⎰____________.15.不定积分()2xf ax b dx '+=⎰____________.()0a ≠ 三、计算题1.求不定积分327d 3x x x --⎰2.计算不定积分d x ⎰ 3.计算不定积分2x4.计算不定积分sin cos sin cos x x dx x x -+⎰ 5.计算不定积分4sin cos d 1sin x xx x+⎰ 6.计算不定积分3sin d x x ⎰7.计算不定积分6sec d x x ⎰8.计算不定积分2sec 2sec 1tdt t -⎰9.计算不定积分x ⎰10.求不定积分x e xedx +⎰11.求不定积分2100d (1)x x x -⎰ 12.设()22sin cos 2tan f x x x '=+，求()f x ，其中01x << 第二节定积分的概念与计算二、填空题 5.设0()xf x t dt =⎰，则()f x '=____________.6.设()223x t t x F x xe dt +=⎰，则()F x '=____________.7.极限24sin limx x tdt x →=⎰____________.8.已知当0x →时，sin 20xt dt ⎰与a x 是同阶无穷小，则常数a =____________.9.已知()230341xf t dt x =+⎰，则()12f =____________.10.函数()2x t f x e dt -=⎰的极值为____________.11.如果()f x 有一阶连续导数，()5f b =，()3f a =，则()baf x dx '=⎰____________.12.已知函数()1xf x x=+，则定积分211f dx x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰____________. 13.定积分21x dx -=⎰____________.14.设()xf x e -=，则()21ln f x dx x'=⎰____________. 15.设()1,20,1,01,2,12x f x x x x x -≤<⎧⎪=+≤≤⎨⎪<≤⎩，则()22f x dx -=⎰____________.16.定积分21x xe dx =⎰____________.三、计算题1.计算31⎰2.计算)21x dx -⎰3.求(211x dx -⎰4.计算11ln ex dx x +⎰5.计算220sin cos x xdx π⎰6.计算1⎰7.求114⎰8.求21⎰9.求11-⎰10.求111.求112.已知()1,011,01xx xf x x e ⎧>⎪⎪+=⎨⎪≤⎪+⎩，求()11f x dx -⎰第四节定积分的应用三、应用题1.求曲线xy e -=与直线0y =之间位于第一象限的平面图形的面积2.计算由抛物线21y x =-与27y x =-所围成的平面图形的面积3.求由曲线sin y x =，cos y x =与直线0x =，2x π=所围成的平面图形的面积4.曲线()20y ax xa =->与x 轴围成的平面图形被曲线()20y bxb =>分成面积相等的两部分，求a ，b 的值5.求曲线ln y x =在区间（2,6）内的一条切线，使得该切线与直线2x =，6x =和曲线所围成的平面图形的面积最小6.已知曲线)0y a =>与曲线y =在点()00,x y 处有公共切线，求：（1）常数a 及切点()00,x y（2）两曲线与x 轴围成的平面图形的面积S7.求由曲线()31y x =-，x 轴和直线2x =所围成的图形绕x 轴旋转所得的旋转体的体积 8.计算由抛物线2y x =和直线2y x =所围成的平面图形绕y 轴旋转一周所成的旋转体的体积9.求曲线24y x x =-和直线y x =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所得立体的体积 10.已知曲线()30y xx =≥，直线2x y +=以及y 轴围成一平面图形D ，求平面图形D 绕y轴旋转一周所得旋转体的体积11.求曲线()243y x =--与x 轴所围成的平面图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的立体体积x V 、y V 。

高数(第1章)习题

第一章函数与极限§1 映射与函数一、求下列函数的定义域（1）y =（2）1arctan y x=. 二、判断下列函数的奇偶性(1) x x x f 1sin )(2=； (2)1212)(+-=x x x f ； (3))1ln()(2++=x x x f .三、设)(x f 的定义域是[0,1]，求下列函数的定义域(1) )(x e f ； (2) )(ln x f .(3) ()()(0)f x a f x a a ++->.四、求下列函数的反函数(1) 11x y x -=+； (2) 221x x y =+. 五、(1) 设)1ln()(2x x x f +=，求)(x e f -.(2) 设1,1()0,1,()1,1x x f x x g x e x ⎧<⎪===⎨⎪->⎩，计算[][](),()f g x g f x§2 数列的极限一、写出下列数列的前五项 (1) 3sin 31n n x n =; (2) nx n x n n n )1(1211122-=+++=-， . 二、已知nx nn )1(1-+=，用定义证明：0lim =∞→n n x . 三、用极限定义证明：(1) 若)(∞→→n a x n ，则对任一自然数k ，也有)(∞→→+n a x k n ;(2) 若)(∞→→n a x n ，则)(||||∞→→n a x n ，并举例说明反之未必成立.§3 函数的极限一、用极限的定义证明(1) 2lim(52)12x x →+=;(2) lim 0x =. 二、研究下列函数在0=x 处的左、右极限，并指出是否有极限 (1)xx x f ||)(=； (2)⎪⎩⎪⎨⎧<+=>-=0,10,00,1)(2x x x x x x f .§4 无穷大与无穷小 §5 极限运算法则一、根据定义证明：(1) 1sin y x x=为当0x →时的无穷小； (2) 12x y x+=为当0x →时的无穷大。

高数习题 1-1

= e−c
e − c = 4,
c = −2 ln 2
一、9
sin 2 x − 2sin x = 2sin x(cos x − 1) sin 2 x − 2sin x 2sin x(cos x − 1) lim = lim 3 3 x →0 x →0 x x
1 2 2 x ⋅ (− x ) 2 = lim = −1 3 x →0 x
1 n( n + 1) 1 1 1 2 = lim (1 + ) = . = lim n→ ∞ 4 n→ ∞ 4 n 2n2
13/22
二、7
x − 3x + 2 lim 2 x →1 x − 4 x + 3
2
( x − 1)( x − 2) x−2 1 = lim = lim = x →1 ( x − 1)( x − 3) x →1 x − 3 2
3 3
(4 + 2 x + x 2 )1/ 3 = lim =∞ 2/ 3 x→2 k ( x − 2)
8− x 低阶的无穷小量。 ∴ 是比 x − 2 低阶的无穷小量。 k
3 3
一、5
a bx a lim(1 + ) = lim(1 + ) x →∞ x →∞ x x lim(1 + ax ) = e
习题1-1 习题
• 一、 • 1.D • 7.D 2.C 8. k 3.A 4.D 5.C 10.充要充要 6.B
9.无关无关
一、7
x →0+
lim f ( x ) = lim
2 −1 2 +1
1 x
1 x
x →0+
= 1，
x → 0−

高等数学习题及解答 (1)

普通班高数作业（上）第一章函数1、试判断下列每对函数是否是相同的函数，并说明理由：（2）)sin(arcsin x y =与x y =；（4）x y =与2x y =；（6）)arctan(tan x y =与x y =；（8）)(x f y =与)(y f x =。

解：判断两个函数的定义域和对应法则是否相同。

（2）)sin(arcsin x y =定义域不同，因此两个函数不同；（4）x x y ==2，两个函数相同；（6）)arctan(tan x y =定义域不同，因此两个函数不同；（8）)(x f y =与)(y f x =定义域和对应法则都相同，因此两个函数相同。

2、求下列函数的定义域，并用区间表示：（2）xx x y -+=2；（3）x y x -+=1ln arcsin 21；（7）xey xln 111-+=。

解：（2）)0,2[-∈x ；（3）]1,0()0,1[22--⋃-∈e e x ；（7）),(),0(+∞⋃∈e e x 。

3、设⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=0,10,1)(22x x x x x f ，求)()(x f x f -+。

解：按0>x ，0=x ，0<x 时，分别计算得，⎩⎨⎧=-≠=-+0200)()(x x x f x f 。

4、讨论下列函数的单调性（指出其单增区间和单减区间）：（2）24x x y -=；（4）x x y -=。

解：（2）22)2(44--=-=x x x y 单增区间为]2,0[，单减区间为]4,2[。

（4）⎩⎨⎧≥<-=-=002x x x x x y ，定义域为实数集，单减区间为),(+∞-∞。

5、讨论下列函数的奇偶性：（2）x x x x f tan 1)(2+-=；（3）)1ln()(2x x x f -+=；（6）x x f ln cos )(=；（7）⎩⎨⎧≥+<-=0,10,1)(x x x x x f 。

高数练习题第一章函数与极限

‰高等数学(Ⅰ)练习第一章函数、极限与连续________系_______专业班级姓名______ ____学号_______习题一函数一．选择题 1.函数216ln 1x xx y -+-=的定义域为 [ D ] （A ）（0，1）（B ）(0,1)⋃(1,4) （C ）(0,4) （D ）4,1()1,0(⋃] 2.3arcsin 2lgxx x y +-=的定义域为 [ C ] （A ）)2,3(]3,(-⋃-∞ （B ）(0,3) （C ）]3,2()0,3[⋃- （D ）),3(+∞- 3．函数)1ln(2++=x x y 是 [ A ]（A ）奇函数（B ）非奇非偶函数（C ）偶函数（D ）既是奇函数又是偶函数 4．下列函数中为偶函数且在)0,(-∞上是减函数的是 [ D ]（A ）222-+=x x y （B ）)1(2x y -= （C ）||)21(x y = （D ）.||log 2x y =二．填空题1. 已知),569(log )3(22+-=x x x f 则=)1(f 22. 已知,1)1(2++=+x x x f 则=)(x f3. 已知xx f 1)(=,x x g -=1)(, 则()=][x g f4. 求函数)2lg(1-+=x y 的反函数5. 下列函数可以看成由哪些基本初等函数复合而成 (1) x y ln tan 2=：(2) 32arcsin lg x y =：__________ _____________________三.计算题1．设)(x f 的定义域为]1,0[, 求)(sin ),(2x f x f 的定义域21x x -+1102()x y x R -=+∈11x -2,tan ,ln ,y u u v v w w ====23,lg ,arcsin ,y v v w w t t x =====2()[11](sin )[2,2]()f x f x k k k Z πππ-+∈的定义域为，的定义域为2.设⎪⎩⎪⎨⎧<<-≤-=2||111||1)(2x x x x x ϕ , 求)23(),21(),1(ϕϕϕ-, 并作出函数)(x y ϕ=的图形.4.已知水渠的横断面为等腰梯形，斜角40=ϕ（图1-22）。

(完整版)高数一试题库

0 B3 C7 D5
设2,0
0xxxfxax，且fx在0x处连续，则a（）
1 C.1 D.2
设21,1
1axxfxx，且fx在1x处连续，则a（）
1 C.-2 D. 2
设21,02,0
1e B. 11e C. 1e D. 11e
12
3xxdx （）
1
D . 23
设2101()
12xxfxx，则2
()fxdx=（）
8
D . 103
设23zxyx，则z
（）
．x
x21021lim =（）
0 B∞ Ce D2e
1lim1xxx（）
e B. 1e C.0 D. 1
2
6lim2xxxx=（）
2
31lim
xxxx （）
设
1fx，则00
2limhfxhfxh（）
1
D.0
设10
f，则
20limhfhfh（）
1
D.0
设1sin
xy，则0y（）
1
C.1 D. 13
设2ln1yx，则1y（）
1
C.1 D. 12
，求2zyx
．2ln1xC B 22ln1xC
21
1
xC D.
xxC C. 321132xxC D. 32xxC
11
xdx（）
3
C. 23 D.0
1
xedx（）
微分方程20yx，通解为（）
2yxC B. 2yxC C. 2yCx D. 2yCx
微分方程0xy
，通解为（）

高数第一章习题

或
, 则有
故由零点定理知 , 存在
使
即
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例8 设 ( x)在区 [0,1]上续且 (0) = f (1), f 闭间连 , f
1 证必一 ξ ∈[0,1]使 f (ξ + ) = f (ξ ). 明有点得 2
证明令 F ( x ) = f ( x + 1 ) − f ( x ),
sin( x 2 − 1) ( 4 ) lim ; x→1 x−1
2arcsin 2 x (5) lim ; x→0 3x
(6)下列极限正确的是（） x x lim （ a） = 0 ( b ) lim =1 x → 0 sin x x → 0 sin x x sin x ( c ) lim = 1 ( d ) lim =1 x → ∞ sin x x→0 x
lim ex −b) = 0 (
x→ 1
b = limex = e
x→ 1
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例6. 设 f (x) 定义在区间
上 , 且对任意实数 , 若 f (x) 在连续, 连续
证明 f (x) 对一切 x 都连续 . 提示: 提示
∆x→ 0
lim f (x + ∆x) = lim [ f (x) + f (∆x)]
有无穷间断点试确定常数 a 及 b .
为无穷间断点, 为无穷间断点所以
ex −b lim =∞ x→ (x − a)(x −1 0 )
(x − a)(x −1 ) a lim =0 = x x→ 0 1−b e −b a = 0 , b ≠1

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x
（2） y ′′ + y′ − 2 y = 2 cos 2 x （3） y ′′ − 2 y′ + 2 y = e cos x （4） y ′′ − 3 y′ + 2 y = xe x
y1 = xe + e ，y2 = xe + e ，y3 = xe + e − e
x 2x x x 2x
−x
−x
是某二阶常系数非齐次线性微分方程的三个解，求此微分方程。 8.11 求微分方程 y ′′ + 4 y′ + 4 y = e 的通解，其中 a 为实数。 8.12 函数 f ( x ) 在 [0, +∞ ) 上可导， f (0) = 1 ，且满
x −x −x x
∫
x 0
( x − t ) f (t )dt ，其中
f ( x ) 连续，求 f ( x ) 。 8.14 设 y ( x) 二阶可导，且 y ′( x) ≠ 0 ， x = x( y ) 是 y = y ( x ) 的反函数 d 2x dx （1）试将微分方程 2 + ( y + sin x) = 0变 dy dy 换为 y = y ( x ) 满足的微分方程；（2）求变换后的微分方程满足初始条件 y (0) = 0 ， 3 y ′(0) = 的解。 2 8.15 用变量代换 x = cos t （ 0 < t < π ）化简微分方程 (1 − x 2 ) y′′ − xy′ + y = 0 ，并求其满足 y (0) = 1 ， y ′(0) = 2 的特解。 3 2 2 8.16 求欧拉方程 x y ′′′ + x y ′′ − 4 xy′ = 3 x 的通解。练习
微分方程满足 y xln 2 0 特解.
数）为某二阶常系数齐次线性微分方程的通解，则该方程为_________________。 8.5 具有特解 e 、 2 xe 、 3e 的三阶常系数齐次线性微分方程是（）（A） y ′′′ − y ′′ − y ′ + y = 0 ；（B） y ′′′ + y ′′ − y ′ − y = 0 ；（C） y ′′′ − 6 y ′′ + 11y ′ − 6 y = 0 ；（D） y ′′′ − 2 y ′′ − y ′ + 2 y = 0 。 8.6 设 µ 为实数，求方程 y ′′ + µ y = 0 的通解。 8.7 求下列方程的通解（2） y ′′′ − 3 y′′ + 3 y ′ − y = 0 ；（3） y (4) + 2 y′′ + y = 0 。方程 y ′′ + p ( x ) y ′ + q ( x) y = f ( x) 的特解，则方程的通解是_________________。 8.9 方程 y ′′ − y = e + 1 的一个特解应形如
ax
（3） ( y − x ) 1 + x 2 （4）
32 dy = (1 + y 2 ) dx 5 2
（5） y ′′ + y = x + cos x 。
足 f ′( x) + f ( x) −
x 1 f (t )dt = 0 。 ∫ x +1 0
dy 2 y − = ( x + 1) dx x + 1 dy y = （5） dx x + y 4 8.7 设 y e x 是 xy p( x) y x 的一个解，求此
2 2
（1） y (4) − y = 0 ；
（4） yy ′′ − ( y ′ ) + 1 = 0
2
8.10 求下列微分方程的通解（1） y ′′ − 7 y′ + 6 y = 0 （2） y ′′ − 6 y ′ + 9 y = 0 （3） y ′′ − 6 y ′ + 13 y = 0
8.8 设线性无关的函数 y1 ( x ) 、 y2 ( x ) 、 y3 ( x ) 都是
8.6 求下列微分方程的通解（1） xy + x dx + y − x y dy = 0
2 2
y dy y = ex + （2） dx x
3

+ ∞) 内满足以下条件 f ′( x) = g ( x) ， ( −∞， x g′( x) = f ( x) ，且 f ( 0 ) = 0 ，f ( x ) + g ( x ) = 2e （1）求 F ( x ) 所满足的一阶微分方程；（2）求出 F ( x ) 的表达式。
（A） Ae + B ；（B） Axe + B ；
x x
（C） Ae x + Bx ；（D） Axe x + Bx 。 8.10 已知
(
)
(
)
（4） y ′′′ − 4 y ′′ + 4 y′ − 2 y = 0 8.11 求微分方程的通解（1） y ′′ − 5 y′ + 6 y = xe2 x
南阳理工学院杜跃鹏考研数学辅导例题
地点 7112
例题
（1）求 f ′( x ) ；（2）证明：当 x ≥ 0 时， e 8.13 设 f ( x) = x sin x −
−x
第八章常微分方程
8.4 y = e (C1 sin x + C2 cos x ) （ C1 、 C2 为任意常
x
≤ f ( x) ≤ 1 。
8.9 求下列微分方程的通解（1）
8.8 设 F ( x ) = f ( x ) g ( x ) ，其中 f ( x )，g ( x ) 在
dy y + = ( ln x ) y 2 dx x （2） x 2 y ′ + xy = y 2
（3） x y ′′ − 2 xy ′ − ( y′ ) = 0

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