人教版高中数学必修四导学案：1.1.1角的概念的推广 Word版
2018版高中数学人教B版必修四学案：第一单元 1.1.1 角的概念的推广 Word版含答案
1.1.1角的概念的推广学习目标 1.了解角的概念.2.掌握正角、负角和零角的概念，理解任意角的意义.3.熟练掌握象限角、终边相同的角的概念，会用集合符号表示这些角.知识点一角的相关概念思考我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形.这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量.那么，从“旋转”的角度，对角如何重新定义？正角、负角、零角是怎样规定的？梳理(1)角的概念：角可以看成是________绕着它的________从一个位置________到另一个位置所成的图形.(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按照______________而成的角负角按照______________而成的角零角当射线________，称它形成了一个零角(3)角的运算：各角和的旋转量等于________________.知识点二终边相同的角思考1假设60°的终边是OB，那么－660°，420°的终边与60°的终边有什么关系，它们与60°分别相差多少？思考2如何表示与60°终边相同的角？梳理终边相同角的表示设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，集合S的每一个元素都与α终边相同，当k＝0时，对应元素为α.知识点三象限角思考把角的顶点放在平面直角坐标系的原点，角的始边与x轴的正半轴重合，旋转该角，则其终边(除端点外)可能落在什么位置？梳理在直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合.象限角：角的________在第几象限，就把这个角叫做第几象限角.轴线角：终边落在____________的角.类型一任意角概念的理解。
【优质赛课】数学人教B版必修4教案：1.1.1角的概念的推广 Word版含答案(数理化网) (2)
1.1.1角的概念的推广一、学习目标：1、掌握用“旋转”定义角的概念，理解并掌握“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义2、掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法3、体会运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；二、教学重点、难点重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法.难点：终边相同的角的表示.三、教学方法：讲授法、讨论法、媒体课件演示四、内容分析：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法.树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念.教学方法可以选用讨论法，通过实际问题，教师抽象并通过用几何画板多媒体课件演示角的形成更加形象直观，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，明确“规定”的实际意义，突出角的概念的理解与掌握.通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的.五、教学过程：教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入1、角的概念2、从实例出发，发现很多问题中角的范围发生了变化。
1、初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形这种概念的优点是形象、直观、容易理解，但它是从图形形状来定义角，因此角的范围是]360,0[00，这种定义称为静态定义，其弊端在于“狭隘”2、生活中很多实例会不在该范围]360,0[0体操运动员转体720º，跳水运动员向内、向外转体1080º经过1小时时针、分针、秒针转了多少度？1、引导学生通过切身感受来认识角的概念推广的必要性。
2、为引入正角与负角的概念做好准备。
这些例子不仅不在范围]360,0[00，而且方向不同，有必要将角的概念推广到任意角，想想用什么办法才能推广到任意角？（运动）新概念产生1．角的概念的推广⑴“旋转”形成角ABαO一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点O按逆时针方向旋转到另一位置OB，就形成角α．旋转开始时的射线OA叫做角α的始边，旋转终止的射线OB叫做角α的终边，射线的端点O叫做角α的顶点．突出“旋转”注意：“顶点”“始边”“终边”⑵．“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA为始边的角α=210°，β=-150°，γ=660°，2100-15001、教师用多媒体演示角的形成。
2019-2020学年高中数学 §1.1.1 角的概念的推广导学案 新人教B版必修4.doc
2019-2020学年高中数学 §1.1.1 角的概念的推广导学案 新人教B版必修4◆课前导学（一）学习目标1．能叙述出正角、负角、零角的概念，并能根据旋转求角的大小；2. 知道象限角、轴上角的概念，会求与已知角终边相同的角；3．会写出坐标轴上的角的集合；4．能写出终边落在已知直线上的角的集合；5．能写出各个象限角的集合；6．能根据α的范围，求2α角的范围，并会确定它所在的象限. （二）重点难点：重点： 理解正角、负角、零角的概念，象限角的的概念、终边相同的角的概念及表示方法； 难点：会求2α角的范围，并会确定它所在的象限.◆课中导学◎学习目标一：能叙述出正角、负角、零角的概念，并能根据旋转求角的大小角按终边的旋转方向分为_________、____________、_________.逆时针旋转为_________，顺时针旋转为_________.例1． 射线OA 绕端点O 顺时针旋转80︒到OB 位置，接着逆时针旋转250︒到OC 位置，然后再顺时针旋转2700到OD 位置，求∠AOD 的大小.◎学习目标二：知道象限角、轴上角的概念，会求与已知角终边相同的角.（一） 问题引导[问题1] 判断下列各角分别是第几象限角：（1）30︒；（2）150︒；（3）210︒；（4）330︒；（5）390︒[问题2] 终边与30︒相同的角的集合是什么？结论：与角α终边相同的角的集合为_________________________________（二）巩固深化例2.分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤α<7200的元素α写出来（1）600；（2）-210 ；（3）363014′.★变式：在00～3600范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限的角. （1）-1500（2）6500 （3）-950015′◎学习目标三：会写出坐标轴上的角的集合例3. （1）写出终边在x轴正半轴上的角的集合；（2）写出终边在x轴正半轴上的角的集合；（3）写出终边在x轴上的角的集合.★变式1（1）写出终边在y轴正半轴上的角的集合；（2）写出终边在y轴正半轴上的角的集合；（3）写出终边在y轴上的角的集合；（4）终边在坐标轴上的角的集合.◎学习目标四：能写出终边落在已知直线上的角的集合.★变式2. 请用集合表示下列各角（1）终边在直线y x =上；（2）终边在直线y =上；（3）角的终边落在(0)y x x =≥与(0)y x x =≤所夹的小区域内.◎学习目标五：能写出各个象限角的集合.★变式3 写出下列角的集合.（1）第一象限角的集合；（2）第二象限角的集合；（3）第三象限角的集合；（4）第四象限角的集合.[小试身手] 请用集合表示下列各角（1）00090间的角；（2）第一象限角；（3）锐角；（4）小于090角.◎学习目标六：能根据α的范围，求2α角的范围，并会确定它所在的象限. 例4. 已知α为第二象限角，2α是第几象限角？你能得到什么规律？结论：（1）如果α分别为第一、二象限角，则2α角为第___________象限角； （2）如果α分别为第三、四象限角，则2α角为第___________象限角.◆课后导学一．选择题1、下列角中终边与330°相同的角是（ ）A ．30°B ．-30°C ．630°D ．-630°2、－1120°角所在象限是 （ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是 （ ）A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360°4、终边在第二象限的角的集合可以表示为： （ ）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝5、下列命题是真命题的是（ ）Α．三角形的内角必是一、二象限内的角 B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360| αα={}Z k k ∈+⋅=,90180|αα 6、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=C C ．A ⊂CD ．A=B=C7、已知角2α的终边在x 轴的上方，那么α是 （ ）A ．第一象限角B ．第一、二象限角C ．第一、三象限角D ．第一、四象限角8、若α是第四象限的角，则α- 180是（ ）A ．第一象限的角B ．第二象限的角C ．第三象限的角D ．第四象限的角12、在0°到360°范围内，与角－60°的终边在同一条直线上的角为 ．三．解答题13、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1） 210-； （2）731484'-．14、求θ，使θ与 900-角的终边相同，且[]1260180，-∈θ．15、设集合{}Z k k x k x A ∈+⋅<<+⋅=,30036060360| , {}Z k k x k x B ∈⋅<<-⋅=,360210360| ,求B A ,B A .16、已知角α是第二象限角，求：（1）角2α是第几象限的角；（2）角α2终边的位置.。
数学人教B版必修4示范教案：1.1.1 角的概念的推广 Word版含解析
示范教案整体设计教学分析教材分三段编写，首先复习初中学过的角的概念，然后设置“观览车”问题情境，推广角的概念，最后研究象限角的性质及表达式．这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上，更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念．让学生体会到把角推广到任意角的必要性，引出角的概念的推广问题．本节充分结合角和平面直角坐标系的关系，建立了象限角的概念，使得任意角的讨论有一个统一的载体．教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法，引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题，让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角．能熟练写出与已知角终边相同的角的集合，是本节的一个重要任务．学生的活动过程决定着课堂教学的成败，教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能，在这个过程上要不惜多花些时间，让学生进行操作与思考，自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式，也就自然地理解了集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}的含义．如能借助信息技术，则可以动态表现角的终边旋转的过程，更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系，让学生在动态的过程中体会，既要知道旋转量，又要知道旋转方向，才能准确刻画角的形成过程的道理，更好地了解任意角的深刻涵义．与以往教材不同的是，把旋转的合成与角度的加法运算对应起来，使数与形紧密结合，以加深学生对角度运算的直观认识．书中通过4个例题，要求学生能熟练地掌握旋转与角度的加法运算关系象限角的概念、象限角和终边落在坐标轴上的角的代数表示．要求练习A、B组习题全做，但B组5题为扩展题，可让学生选做．三维目标1．通过实例的展示，使学生理解角的概念推广的必要性，理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示，树立运动变化的观点，并由此深刻理解推广之后的角的概念．2．通过自主探究、合作学习，认识集合S中k、α的准确含义，明确终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无限多个，它们相差360°的整数倍．3．通过类比正、负数的规定，让学生认识正角、负角并体会类比、数形结合等思想方法的运用，为今后的学习与发展打下良好的基础．重点难点教学重点：将0°～360°范围的角推广到任意角，终边相同的角的集合．教学难点：用集合来表示终边相同的角．课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)如图1，在许多学校的门口都有摆设的一些游戏机，只要指针旋转到阴影部分即可获得高额奖品．由此提问：指针怎样旋转，旋转多少度才能赢？还有我们所熟悉的体操运动员旋转的角度；自行车车轮旋转的角度；螺丝扳手的旋转角度，这些角度都怎样解释？在学生急切想知道的渴望中引入角的概念的推广．图1思路2.在日常生活中，只要我们用心去观察，又勤于思考，就会发现许多与数学有关的事情．游乐园是人们爱去的地方，各种神奇的游戏器械吸引着人们去玩耍，那高大的观览车绕轴转动着，边缘上悬挂的座椅，带着游人在空中旋转，给游人带来乐趣！你想过吗？图2从你的座位开始转动的时刻到某个时刻，你的座位转了多少角度？由此让学生展开讨论，进而引入角的概念的推广问题．推进新课新知探究提出问题(1)你的手表慢了5分钟，你将怎样把它调整准确？假如你的手表快了1.25小时，你应当怎样将它调整准确？当时间调整准确后，分针转过了多少度角？(2)体操运动中有转体两周，在这个动作中，运动员转体多少度？(3)请两名男生(或女生、或多名男女学生)起立，做由“面向黑板转体背向黑板”的动作.在这个过程中，他们各转体了多少度？活动：让学生到讲台利用准备好的教具——钟表，实地演示拨表的过程；让学生站立原地做转体动作．教师强调学生观察旋转方向和旋转量，并思考怎样表示旋转方向．对回答正确的学生及时给予鼓励、表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，设一条射线的端点是O，它从起始位置OA按逆时针方向旋转到终止位置OB，则形成了一个角α，点O是角的顶点，射线OA、OB分别是角α的始边和终边．我们规定：一条射线绕着它的端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按顺时针方向旋转形成的角叫做负角．钟表的时针和分针在旋转过程中所形成的角总是负角，为了简便起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记作“α”．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角，零角的始边和终边重合，如果α是零角，那么α＝0°.讨论结果：(1)顺时针方向旋转了30°；逆时针方向旋转了450°.(2)顺时针方向旋转了720°或逆时针方向旋转了720°.(3)－180°或＋180°或－540°或＋540°或900°……提出问题(1)能否以同一条射线为始边作出下列角：210°，－45°，45°，－315°，124°，405°.(2)如何在坐标系中作出这些角，象限角是什么意思？0°角又是什么意思？活动：先让学生看书、思考、并讨论这些问题，教师提示、点拨，并对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生，教师提示、引导考虑问题的思路．学生作这样的角，使用一条射线作为始边，没有固定的参照，所以会作出很多形式不同的角．教师可以适时地提醒学生：如果将角放到平面直角坐标系中，问题会怎样呢？并让学生思考讨论在直角坐标系内讨论角的好处：使角的讨论得到简化，还能有效地表现出角的终边“周而复始”的现象．今后我们通常在平面直角坐标系中研究和讨论角．平面内任意一个角都可以通过移动使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．要特别强调角与直角坐标系的关系——角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．讨论结果：(1)能．如图3中的(1)、(2)．图3(2)使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．这样：上图(1)中的45°，－315°，405°角都是第一象限角．(2)中的124°角是第二象限的角，210°角是第三象限的角，－45°角是第四象限的角．特别地，终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限，比如0°角．可以借此进一步设问：锐角是第几象限角？钝角是第几象限角？直角是第几象限角？反之如何？将角按照上述方法放在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一一条终边与之对应，反之，对于直角坐标系中的任意一条射线OB，以它为终边的角是否唯一？如果不唯一，那么终边相同的角有什么关系？提出问题(1)在直角坐标系中标出210°，－150°的角的终边，你有什么发现？它们有怎样的数量关系？328°，－32°，－392°角的终边及数量关系是怎样的？终边相同的角有什么关系？(2)所有与α终边相同的角，连同角α在内，怎样用一个式子表示出来？活动：让学生从具体问题入手，探索终边相同的角的关系，再用所准备的教具或是多媒体给学生演示：演示象限角、终边相同的角，并及时地引导终边相同的一系列角与0°到360°间的某一角有什么关系，从而为终边相同的角的表示作好准备．为了使学生明确终边相同的角的表示方法，还可以用教具作一个32°角，放在直角坐标系内，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，形成－32°角后提问学生这是第几象限角？是多少度角？讨论结果：(1)210°与－150°角的终边相同；328°，－32°，－392°角的终边相同．终边相同的角相差360°的整数倍．设S＝{β|β＝－32°＋k·360°，k∈Z}，则328°，－392°角都是S的元素，－32°角也是S 的元素(此时k＝0)．因此，所有与－32°角的终边相同的角，连同－32°在内，都是集合S的元素；反过来，集合S的任何一个元素与－32°角终边相同．(2)所有与α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．即任一与角α终边相同的角，都可以表示成α与整数个周角的和．适时引导学生认识：①k∈Z；②α是任意角；③终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．应用示例例1射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置，接着逆时针旋转250°到OC位置，然后再顺时针旋转270°到OD位置，求∠AOD的大小．活动：这是本节教材安排的例1，目的在于巩固刚推广的正、负角概念，教师不要讲解，由学生自己探究完成，对有困难的学生，教师可给予适当的点拨．解：由题意知∠AOB＝－80°，∠BOC＝250°，∠COD＝－270°，因此∠AOD＝∠AOB ＋∠BOC＋∠COD＝－80°＋250°－270°＝－100°.点评：在学生独立完成的基础上，教师引导学生进一步通过作图来验证运算结果．例2在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解：(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°终边相同的角是210°角，它是第三象限的角；(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°终边相同的角是290°角，它是第四象限的角；(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′终边相同的角是129°45′，它是第二象限的角．例3写出终边在x轴上的角的集合．活动：终边落在x轴上，应分x轴的正方向与x轴的负方向两个．学生很容易分别写出所有与0°，180°的终边相同的角构成的集合，这时应启发引导学生进一步思考：能否化简这两个式子，用一个式子表示出来．让学生观察、讨论、思考，并逐渐形成共识，教师再规范地板书出来．并强调数学的简洁性．在数学表达式子不唯一的情况下，注意采用简约的形式．解：在0°～360°范围内，终边在x轴上的角有两个，即0°和180°，与这两个角终边相同的角组成的集合依次为S1＝{β|β＝k·360°，k∈Z}，S2＝{β|β＝180°＋k·360°，k∈Z}．为简便起见，我们把集合S1和S2的表示方法作如下变化S1＝{β|β＝2k·180°，k∈Z}，S2＝{β|β＝(2k＋1)180°，k∈Z}．因为{m|m＝2k，k∈Z}∪{m|m＝2k＋1，k∈Z}＝Z，所以S＝S1∪S2＝{β|β＝m·180°，m∈Z}，即集合S是终边在x轴上的角的集合．点评：本例是让学生理解终边在坐标轴上的角的表示．教学中，应引导学生体会用集合表示终边相同的角时，表示方法不唯一，要注意采用简约的形式.例4分别写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中满足不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．(1)60°；(2)－21°；(3)363°14′.解：(1)S＝{β|β＝k·360°＋60°，k∈Z}．S中满足－360°≤β<720°的元素是(－1)×360°＋60°＝－300°，0×360°＋60°＝60°，1×360°＋60°＝420°.(2)S＝{β|β＝k·360°－21°，k∈Z}．S中满足－360°≤β<720°的元素是0×360°－21°＝－21°，1×360°－21°＝339°，2×360°－21°＝699°.(3)S＝{β|β＝k·360°＋363°14′，k∈Z}．S中满足－360°≤β<720°的元素是(－2)×360°＋363°14′＝－356°46′，(－1)×360°＋363°14′＝3°14′，0×360°＋363°14′＝363°14′.点评：本例是让学生用集合表示出终边相同角，这是本节的重点，也是难点，接着找出某一范围的所有的角，即按一定顺序取k的值，应训练学生掌握这一方法.例5写出在下列象限的角的集合：(1)第一象限；(2)第二象限；(3)第三象限；(4)第四象限．活动：本题关键是写出第一象限的角的集合，其他象限的角的集合依此类推即可，如果学生阅读例题后没有解题思路，或者把(1)中的范围写成0°～90°，可引导学生分析360°～450°范围的角是不是第一象限的角呢？进而引导学生写出所有终边相同的角．解：(1)终边在第一象限的角的集合：{β|n·360°<β<n·360°＋90°，n∈Z}．(2)终边在第二象限的角的集合：{β|n·360°＋90°<β<n·360°＋180°，n∈Z}．(3)终边在第三象限的角的集合：{β|n·360°＋180°<β<n·360°＋270°，n∈Z}．(4)终边在第四象限的角的集合：{β|n·360°＋270°<β<n·360°＋360°，n∈Z}．点评：教师给出以上解答后可进一步提问：以上的解答形式是唯一的吗？充分让学生思考、讨论后形成共识，并进一步深刻理解终边相同角的意义．课堂小结本节课推广了角的概念；学习了正角、负角、零角的定义，象限角的概念以及终边相同的角的表示方法；零角是射线没有作任何旋转．一个角是第几象限的角，关键是看这个角的终边落在第几象限，终边相同的角的表示有两方面的内容：(1)与角α终边相同的角，这些角的集合为S ＝{β|β＝k·360°＋α，k ∈Z }；(2)在0°～360°内找与已知角终边相同的角α，其方法是用所给的角除以360°，所得的商为k ，余数为α(α必须是正数)，α即为所找的角．数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法．作业课本本节练习B 1、2、3、4.设计感想1．本节课设计的容量较大，学生的活动量也较大，若用信息技术辅助教学效果会很好．教师可充分利用多媒体，在课堂上演示给学生，有条件的学校，可以让学生利用计算机或计算器进行探究，让学生在动态中掌握知识、提炼方法．2．本节课设计的指导思想是加强教学的直观性，充分利用几何直观有利于对抽象概念的理解．在学生得出象限角的概念后，可以让学生讨论在直角坐标系中研究角的好处，引导学生体会：在直角坐标系中角的“周而复始”的变化规律，为研究三角函数的周期性奠定基础．3．几点说明：(1)列举不在0°～360°的角时，应注意所有的角在同一个平面内，且终边在旋转的过程中，角的顶点不动．(2)在研究终边相同的两个角的关系时，k 的正确取值是关键，应让学生独立思考领悟．(3)在写出终边相同的角的集合时，可根据具体问题，对相应的集合内容进行复习．备课资料备用习题1．若角α与β终边相同，则一定有( )A ．α＋β＝180°B ．α＋β＝0°C ．α－β＝k·360°(k ∈Z )D ．α＋β＝k·360°(k ∈Z )2．集合A ＝{α|α＝k·90°－36°，k ∈Z }，B ＝{β|－180°<β<180°}，则A ∩B 等于( )A ．{－36°，54°}B ．{－126°，144°}C ．{－126°，－36°，54°，144°}D ．{－126°，54°}3．在直角坐标系中，若角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系是( )A ．β＝α＋90°B ．β＝α±90°C ．β＝α＋90°＋k·360°(k ∈Z )D ．β＝α±90°＋k·360°(k ∈Z )4．已知角θ的终边与168°角的终边相同，则在(0°，360°)范围内终边与θ3角的终边相同的角是__________．5．若集合A ＝{α|k·180°＋30°<α<k·180°＋90°，k ∈Z }，集合B ＝{β|k·360°＋315°<β<k·360°＋405°，k ∈Z }，求A ∩B.参考答案：1．C 2.C3．D 点拨：将角的终边按逆(或顺)时针旋转90°后，知α±90°与角β的终边重合．4．56°，176°，296° 点拨：根据已知条件有θ＝k·360°＋168°，k ∈Z ，θ3＝k·120°＋56°，k ∈Z .又0≤k·120°＋56°<360°，满足条件的k 为0,1,2.5．解：B＝{β|k·360°－45°<β<k·360°＋45°，k∈Z}．采用数形结合法，在直角坐标系内，分别寻找集合A和集合B中的角的终边所在的区域，终边在这两个区域的公共部分内的角的集合就是A∩B，可以求得A∩B＝{x|30°＋k·360°<x<45°＋k·360°，k∈Z}．。
人教版高中必修4(B版)1.1.1角的概念的推广课程设计 (2)
人教版高中必修4(B版)1.1.1角的概念的推广课程设计课程概述本课程旨在帮助高中数学教师了解和掌握角的概念，通过实际例子和应用问题的解析，引领学生理解角的概念，学会绘制并比较不同类型角的大小。
同时，本课程也将引导学生深刻认识角的概念在日常生活与数学应用中的重要意义。
课程目标•理解角的概念，初步掌握角度的测量方法和计算方法。
•能够绘制不同类型角，了解大小和方向的关系。
•掌握求解角度的方法，实现图形角度的测量和计算。
•在实际生活和数学运用中理解角度的概念和用法。
课程重点1.什么是角度，如何度量角度。
2.不同类型角的性质和特点。
3.角度的加减法，以及使用角度求解相关问题。
4.角的应用实例。
课程内容第一节角的概念学习目标：了解角的概念、刻度和度量方法•角的产生及概念介绍；•夹角、对顶角、相邻角、平分角、正角、负角的概念；•角的单位——弧度和角度；•度数、弧度的相互转化。
第二节角的比较学习目标：会比较不同类型角的大小，掌握角的构造方法•角的比较和分类；•顶角、全等角、余角、补角、对锐角和钝角的构造；•角度的转化。
第三节角度的加减法学习目标：了解角度的加减法，掌握角度综合问题的解法•角度绕点旋转的概念及模拟实验；•常用角的正弦、余弦、正切函数定义；•角的加减法、角的倍数和分数及其应用；•角综合问题的处理。
第四节角的应用实例学习目标：了解角的应用，掌握角的相关问题的解决方法•在工艺、间隔时间、距离、角度转换等生活中的应用；•将角的概念和方法应用到解决实际问题中。
课程设计教学方法采用讲授-练习-巩固-应用的方式进行。
其中，讲授环节将通过演示、模拟实验、视频等方式来引导学生理解角的概念和相关知识。
练习环节将通过练习题、课堂测试等方式，帮助学生巩固所学内容。
巩固环节将通过实际问题解析和拓展，进一步帮助学生理解角度的概念和应用。
应用环节将通过展示实际生活与数学运用的案例，让学生感受并掌握角的实际应用。
教学步骤第一节角的概念1.演讲师用生动的比喻介绍角的概念。
(完整word版)高中数学1.1.1任意角导学案新人教版必修4
2、象限角、轴线角的概念
。
同的角的集合和符号语言表示
3、终边相同角的集合
练习1、作出角390,30,330,750，这.些角之间有何关系？
结论：一般地，与角终边相同角的集合为
R_m■
合作探究携.手共进
例1、在0到360范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：
独立思考，合作探究，小组代表发言
反馈检测体验成功
课后独立完成。
1.以下四个命题中，是真命题的「是()
A、小于90r角是锐角B、第一象限角是钝角
C锐角疋第象限角D负角不可能疋第象限角
2.设60，则与角终边相同的角可以表示为()
A60k360(k)B300 k 360 (k)
C30 k 3Βιβλιοθήκη 0 (k)D120 k 360 (k)
学生先
(1)650(2)150(3)990 15'
单位独立思考，然后再以小组为单位合作探究
例2、已知与240角的终边相同，判断一是.第几象限角。
2
【探究】
①为什么要对k进行奇偶讨论？
②240是第象限角，终边在此象限内的角的一半都在二、四象限吗？
③右疋第一象限角，则一疋,在其匕象限呢？
2
④右疋第象限角，则一疋，2疋.
江苏省徐州市王杰中学高中数学
锁定目标找准方向
预设
生成
1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系来讨论任意角；
课刖向
2.能写出与任一已知角终边相冋的角的集合。
学生解
3.能在0到360范围内，找出与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角；
释目标
自我构建快乐无限
重难点
数学人教B版必修4导学案：1.1.1角的概念的推广 Word版缺答案(数理化网)
导学案：1.1.1角的概念的推广一、【使用说明】1、课前完成导学案，牢记基础知识，掌握基本题型；2、认真限时完成，规范书写；课上小组合作探究，答疑解惑。
二、【重点难点】1、终边相同角的表示方法2、利用终边相同角的定义求角；3、求nα的象限。
三、【学习目标】1、角的动态定义与角的范围推广；2、终边相同角的表示方法；象限角、轴线角的表示方法；3、用运动变化的观点了解角的概念的推广时解决现实生活和生产中即使问题的需要，通过对各种角的表示法的训练，提高分析、抽象、概括的能力。
四、自主学习1、角的动态定义（回想初中对于角的定义）并用图像表示2、利用角动态定义研究角的范围，并利用图像解释“角定则终边定，终边定而角不定”这句话的含义。
3、用集合形式表示出与α终边相同的角。
4、象限角、轴线角的定义。
思考定义中由谁来确定α的位置？象限角和轴线角如何表示？它是一个角么？用图像表示。
例1、在0~360o o范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角：（1）150;(2)650;(3)95015'--o o o例2、写出终边x 在轴上的角的集合例3、分别写出与（1）60°；(2)21;(3)36314'-o o 的角终边相同的角的集合S ．并写出满足-360°～720°之间的元素。
五、合作探究1、在直角坐标系中，判断下列各语句的真、假：（1）第一象限的角一定是锐角； （2）终边相同的角一定相等；（3）相等的角，终边一定相同； （4）小于90度的角一定是锐角；（5）象限角为钝角的终边在第二象限；（6）终边在直线3y x =上的象限角表示为36060,k k Z +∈o o2、在0~360o o范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角： (1)45(2)760(3)480--o o o3、分别写出与（1）100;(2)120;(3)38020'--o o o 的角终边相同的角的集合S ． 并写出满足-360°～720°之间的元素。
【人教版】下期高一数学必修四《1.1.1任意角》导学案(含答案)
1.1.1任意角预习课本P2～5，思考并完成以下问题(1)角是如何定义的？角的概念推广后，分类的标准是什么？(2)象限角的含义是什么？判断角所在的象限时，要注意哪些问题？(3)终边相同的角一定相等吗？如何表示终边相同的角？[新知初探]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条绕着端点从一个位置到另一个位置所成的．(2)角的表示：如图，OA 是角α的，OB 是角α的，O 是角α的．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：名称定义图示正角按方向旋转形成的角负角按方向旋转形成的角零角一条射线作任何旋转形成的角[点睛]对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，那么，角的在第几象限，就说这个角是第几；如果角的终边在，就认为这个角不属于任何一个象限．[点睛]象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛]对终边相同的角的理解(1)α为任意角，“k ∈Z ”这一条件不能漏．(2)k ·360°与α中间用“＋”连接，k ·360°－α可理解成k ·360°＋(－α)．(3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．终边不同，则表示的角一定不同[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．()(2)钝角是第二象限的角．()(3)终边与始边重合的角是零角．()2．与－457°角终边相同的角的集合是()A ．{α|α＝k ·360°＋457°，k ∈Z}B ．{α|α＝k ·360°＋97°，k ∈Z}C ．{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z}D ．{α|α＝k ·360°－263°，k ∈Z}3．下列说法正确的是()A ．锐角是第一象限角B ．第二象限角是钝角C ．第一象限角是锐角D ．第四象限角是负角4．与－1560°角终边相同的角的集合中，最小正角是________，最大负角是_______．任意角的概念[典例]下列结论：①三角形的内角必是第一、二象限角；②始边相同而终边不同的角一定不相等；③小于90°的角为锐角；④钝角比第三象限角小；⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的结论为________(填序号)．理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．[活学活用]若手表时针走过4小时，则时针转过的角度为()A ．120°B ．－120°C ．－60°D ．60°终边相同角的表示[典例]已知α＝－315°.(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；(2)求θ，使θ与α终边相同，且－1080°＜θ＜－360°.1．终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°～360°范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．如图所示，求终边落在直线y ＝3x 上的角的集合．象限角的判断[典例]找出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角，并判断它们是第几象限角．(1)660°；(2)－950°8′；(3)10030°.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．已知α是第四象限角，则270°－α是()A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角角αn，nα(n ∈N *)所在象限的确定[典例]已知α是第二象限角，求角α2所在的象限．[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．2．[变条件]若本例条件中角α变为第三象限角，求角α2是第几象限角．[新知初探]1．任意角（1）射线旋转图形．(2)始边终边顶点(3)逆时针顺时针没有2．象限角原点终边象限角坐标轴上[小试身手]1．答案：(1)√(2)√(3)×2．解析：选C263°＝－457°＋360°×2，所以263°角与－457°角的终边相同，所以与－457°角终边相同的角可写为{α|α＝k ·360°＋263°，k ∈Z }.3．答案：A4．解析：与－1560°角终边相同的角的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z}，所以最小正角为240°，最大负角为－120°.答案：240°－120°任意角的概念[典例][解析]①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确；②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确；③小于90°的角可以是0°角，也可以是负角，故③不正确；④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确；⑤0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确．[答案]②[活学活用]解析：选B由于时针是顺时针旋转，故时针转过的角度为负数，即为－412×360°＝－120°.[解](1)因为－315°＝－360°＋45°.又0°＜45°＜360°，所以把α写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式为α＝－360°＋45°(β＝45°)，它是第一象限角．(2)与－315°终边相同的角为θ＝k ·360°＋45°(k ∈Z)，所以当k ＝－3，－2时，θ＝－1035°，－675°，满足－1080°＜θ＜－360°.即得所求角θ为－1035°和－675°.[活学活用]解：终边落在射线y ＝3x (x >0)上的角的集合是S 1＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z}，终边落在射线y ＝3x (x ≤0)上的角的集合是S 2＝{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z}，于是终边落在直线y ＝3x 上的角的集合是S ＝{α|α＝60°＋k ·360°，k ∈Z}∪{α|α＝240°＋k ·360°，k ∈Z}＝{α|α＝60°＋2k ·180°，k ∈Z}∪{α|α＝60°＋(2k ＋1)·180°，k ∈Z}＝{α|α＝60°＋n ·180°，n ∈Z}.象限角的判断[典例][解](1)∵660°＝360°＋300°＝2×360°－60°，∴与660°角终边相同的最小正角是300°，最大负角是－60°，它们是第四象限角．(2)∵－950°8′＝－3×360°＋129°52′＝－2×360°－230°8′，∴与－950°8′角终边相同的最小正角是129°52′，最大负角是－230°8′，它们是第二象限角．(3)∵10030°＝27×360°＋310°＝28×360°－50°，∴与10030°角终边相同的最小正角是310°，最大负角是－50°，它们是第四象限角．[活学活用]解析：选D由题意知－90°＋360°·k ＜α＜360°·k (k ∈Z)，则－360°·k ＜－α＜－360°·k ＋90°(k∈Z)，270°－360°·k ＜270°－α＜360°－360°·k (k ∈Z)，显然270°－α是第四象限角.角αn，nα(n ∈N *)所在象限的确定[典例][解]法一：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)．∴k 2·360°＋45°<α2<k2·360°＋90°(k ∈Z)．n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．法二：如图，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有二的区域即为α2的终边所在的区域，故α2为第一或第三象限角．[一题多变]1．解：∵α是第二象限角，∴k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°(k ∈Z)．∴k ·720°＋180°<2α<k ·720°＋360°(k ∈Z)．∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．。
人教版高中数学必修四导学案1.1.1角的概念的推广 Word版
普兰店市第一高一数学导学案
编制人：潘刚校对：姜淑敏
1.1.1角的概念的推广
学习目标：学会任意角的概念，正角，负角，零角，象限角和象限间角，终边相同角表示方法。
重点：任意角的概念
难点：象限角的表示
学习过程：
活动一：初过的角的概念回顾，正数和负数的概念
活动二：角的概念的推广
正角
负角
零角
练习：射线绕端点旋转到射线，接着再旋转到，求
总结求法
例1.射线绕端点顺时针旋转到，接着逆时针旋转到位置，然后再顺时针旋转到位置，求的大小
活动二象限角
象限角的概念
轴线角
练习：口答：说出以下角各属于第几象限
（），，，
（），，
问：.观察（）中各有何特点？
.能否把（）中这些角用一个集合表示出了呢？
.是否任意一个叫都与到内的某一个角终边相同呢？
活动四：终边相同角的表示方法
所有与角终边相同的角连同角在内可构成一个集合
例
在间，找出与下列各角终边相同的角并判定它们是第几象限角
（）（）（）
例：写出与下列各角终边相同的角的集合，并把中适合不等式的元素写出（）（）（）
课堂检测
（）的形式是（）
..
..
()在直角坐标系中，判断下列语句的真假
.第一象限一定是锐角
.终边相同的角一定相等
.相等的角终边一定相同
.小于的角一定是锐角
.钝角的终边在第二象限。
人教版高中数学必修4学案 1.1 角的概念的推广
角的始边与，那么，角的终边（端点除外）在第几象限，我们
说这个角是第几象限角，若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为.
思考:（1）下列角分别是第几象限角？
这当中一些角有什么共同特征？
（2）具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与 角终边相同的角的集合吗？
1角的概念的推广
授课
时间
第1周星期3第节
课型
新授课
主备课人
数学教研组
学习
目标
1.了解任意角的概念；正确理解正角、零角、负角的概念；
2.正确理解终边相同的角的概念，并能判断其为第几象限角，熟悉掌握终边相同的角的集合表示.
重点难点
正确理解终边相同的角的概念学习来自过程与方法
自主学习
1．角的定义：
2．正、负的概念：按方向旋转所成的角叫正角，按方向旋转所成的角叫负角，如果一条射线，我们称它形成了一个零角.
【答】（1）.（2）.
4．终边相同的角:一般地，与角 终边相同的角的集合：
注意：（1） ；（2） 是任意角；（3）终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。终边相同的角有无限多个，它们相差 的整数倍。
一、角的概念
例1．（1）钟表经过10分钟，时针和分针分别转了多少度？
（2）若将钟表拨慢10分钟，则时针和分针分别转了多少度？
达标训练
1．下列命题正确的是（）
A、第一象限角一定不是负角B.小于 的角一定是锐角
C钝角一定是第二象限角D第一象限角一定是锐角
2．试求出与下列各角终边相同的最小正角和最大负角：
（1）－550°（2） （3） （4）
作业
布置
习题1-2 2，3
高中数学人教A必修四第一章全章导学案
鸡西市第十九中学学案如图，一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点成角α. 旋转开始时的射线OA叫做角的的顶点.初中所研究的角的范围为.【复习二】举例实际生活中是否有些角度超出初中所学的范围？①体操比赛中术语：“转体720o”（即转体②时钟快了5分钟，现要校正，需将分针怎样旋转？（小结：角的终边在坐标轴上，属于哪一个象限？思考：与60°终边相同的角有、、…都可以用代数式表示为那么，与α终边相同的角如何表示？新知：与α角终边相同的角,都可用式子k×360°＋α表示，k∈Z3.写出终边在直线y=－鸡西市第十九中学学案α终边所在的象限角α的集合Ⅰ{α| <α< ，k∈Z}Ⅱ{α| <α< ，k∈Z}Ⅲ{α| <α< ，k∈Z}Ⅳ{α| <α< ，k∈Z}2lR=鸡西市第十九中学学案问题2 如图，锐角任取一点P (a ，b )OP r === = ；OM== .问题3 如图所示，在直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．锐角α的终边与单位圆交于tan α＝ .【单位圆定义任意角三角函数】设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点记作sin α，即sin α＝问题 由三角函数的定义知，三角函数值是一个比值，即一个实数，它的大小只与角α的终边位置有关，即与角有关，与角请以角α为第二象限角为例，借助三角形相似的知识证明上述两种定义是一致的小结：根据三角函数的定义可知，三角函数是一个和点P (x ，y )离原点的距离无关三角函数值的符号在以后学习中经常用到，必须熟记，可根据定义记，也可按以下口诀一全正，二正弦，三正切，四余弦(是正的)．判断下列各式的符号：cos α(其中α是第二象限角)；(2)sin 285°cos(－105°)；(3)sin 3·cos 4·tan若sin αcos α<0，则α是第________象限角．代数式：sin 2·cos 3·tan 4的符号是_________．《三角函数定义域和三角函数符号》专题2014年（ ）月（ ）日 班级 姓名博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。
2016高中数学人教B版必修四1.1.1《角的概念的推广》word导学案
§1.1.1角的概念的推广（课前预习案）班级：__姓名：__编写：1.角的概念的推广：在平面内，角可以看做是一条射线绕着它的端点旋转而成的图形.旋转起始时的射线叫做角的 ，终止时的射线叫做角的 ，射线的端点叫做角的 .按逆时针方向旋转所得到的角为 ，而按顺时针方向旋转所得到的角为 ，规定：当一条射线没有旋转时，也把它看成一个角，叫做 .这样，零角的始边和终边重合.2.象限角与象限界角为了讨论问题的方便，总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标 重合；（2）使角的始边和x 轴 重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是 的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做3．与α有相同终边的角，连同α在内可以表示为二、课前自测1.下列各角中，与-1050°的角终边相同的角是（ ） ︒︒︒︒30-D C30 60-B. 60.A2.将-885°化为α + k ·360°(0°＜α＜360°，k ∈Z )的形式是（ ）A.-165°+ (-2)·360°B.195°+ (-3)·360°C. 195°+ (-2)·360°D.165°+ (-3)·360°3.下列命题中正确的是（ ）A.第一象限角一定不是负角B.小于90°的角一定是锐角C.钝角一定是第二象限角D.终边相同的角一定相等4.若α是锐角，则180α-是 （ ）A.第一象限角B.第二角限角C.第三象限角D.第四象限角。
数学人教B版必修4学案1.1.1角的概念的推广
1.1 任意角的概念与弧度制1.1.1 角的概念的推广(1)角的定义．①静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边．②动态定义：一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角，所旋转射线的端点叫做角的顶点，开始位置的射线叫做角的始边，终止位置的射线叫做角的终边．(2)角的记法：用一个希腊字母表示或用三个大写的英文字母表示(字母前面要写“∠”)．(3)在平面内，一条射线绕它的端点旋转有顺时针和逆时针两个相反的方向．习惯上规定，按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角；旋转生成的角，又常叫做转角．这样就形成了任意大小的角，即任意角．(4)引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．终边和始边重合的角是零角吗？答：不一定，零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角．【自主测试1】钟表的分针在1.5小时内转了( )A．180° B．－180°C．540° D．－540°解析：分针旋转的角为负角，其值为－(360°＋180°)＝－540°.答案：D2．终边相同的角设α表示任意角，所有与α终边相同的角，包括α本身构成一个集合，这个集合可记为S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和的形式．归纳总结相等的角终边一定相同，终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．【自主测试2】与610°角终边相同的角表示为( )A．k·360°＋230°，k∈ZB．k·360°＋250°，k∈ZC．k·360°＋70°，k∈ZD．k·360°＋270°，k∈Z答案：B3．第几象限的角平面内任意一个角都可以通过移动，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，这时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角，如果终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限．【自主测试3－1】已知角α是第三象限的角，则角－α的终边在( )A．第一象限 B．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为角α是第三象限的角，所以k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°，k ∈Z ，则－k ·360°－270°＜－α＜－k ·360°－180°，k ∈Z .故角－α的终边在第二象限．答案：B【自主测试3－2】角－2 013°是第__________象限角．解析：∵－2 013°＝－6×360°＋147°，且147°角是第二象限角，∴－2 013°是第二象限角．答案：二1．象限角与轴线角的表示剖析：(1)象限角的集合．第一象限的角的集合为{x |k ·360°＜x ＜k ·360°＋90°，k ∈Z }；第二象限的角的集合为{x |k ·360°＋90°＜x ＜k ·360°＋180°，k ∈Z }；第三象限的角的集合为{x |k ·360°＋180°＜x ＜k ·360°＋270°，k ∈Z }；第四象限的角的集合为{x |k ·360°＋270°＜x ＜k ·360°＋360°，k ∈Z }．(2)若角的顶点在坐标原点，角的始边与x 轴的正半轴重合，角的终边落在坐标轴上，称这样的角为轴线角(或象限界角)．终边落在x 轴的非负半轴上的角的集合为{x |x ＝k ·360°，k ∈Z }；终边落在x 轴的非正半轴上的角的集合为{x |x ＝k ·360°＋180°，k ∈Z }；终边落在x 轴上的角的集合为{x |x ＝k ·180°，k ∈Z }；终边落在y 轴的非负半轴上的角的集合为{x |x ＝k ·360°＋90°，k ∈Z }；终边落在y 轴的非正半轴上的角的集合为{x |x ＝k ·360°－90°，k ∈Z }；终边落在y 轴上的角的集合为{x |x ＝k ·180°＋90°，k ∈Z }；终边落在坐标轴上的角的集合为{x |x ＝k ·90°，k ∈Z }．名师点拨象限角与轴线角的集合的表示形式并不唯一，还有其他的表示形式．如终边落在y 轴的非正半轴上角的集合为{x |x ＝k ·360°＋270°，k ∈Z }．2．第一象限的角、小于90°的角、0°～90°的角、锐角的区别剖析：受初中所学角的影响，在解决问题时，考虑的角往往停留在锐角、直角、钝角上，即初中所学角的范围，没有按任意角来看待．其突破方法是把握住各自的取值范围．锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}；0°～90°的角的集合是{α|0°≤α＜90°}；小于90°的角的集合是{α|α＜90°}，包括锐角以及所有的负角和零角；第一象限的角的集合是{α|k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z }，其中有正角和负角．3．教材中的“思考与讨论”(1)如果α是第一象限的角，那么α的取值范围可以表示为怎样的不等式？(2)如果α分别是第一、第二、第三和第四象限的角，那么α2分别是第几象限的角？ 剖析：(1)如果α是第一象限的角，那么α的取值范围可以表示为k·360°＜α＜k·360°＋90°，k ∈Z .(2)如果α是第一象限的角，则k ·360°＜α＜k ·360°＋90°，k ∈Z ，故180°·k ＜α2＜180°·k ＋45°，k ∈Z . ①若k ＝2n ，n ∈Z ，则360°·n ＜α2＜360°·n ＋45°，n ∈Z ，此时α2为第一象限的角． ②若k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则360°·n ＋180°＜α2＜360°·n ＋180°＋45°，n ∈Z ，此时α2为第三象限的角．所以，当α为第一象限的角时，α2可以为第一或第三象限的角． 同理，当α为第二象限的角时，α2可以为第一或第三象限的角；当α为第三象限的角时，α2可以为第二或第四象限的角；当α为第四象限的角时，α2可以为第二或第四象限的角．为此，我们可以用以下方法对角α2的终边所在的象限的结论进行记忆： 作出各个象限的角平分线，它们与坐标轴一起把周角等分成8个区域，从x 轴的非负半轴起，按逆时针方向把这8个区域依次循环标上1,2,3,4，如图所示．标的数字是几的两个区域，就是α为第几象限角时，α2的终边所在的区域．题型一 对角的概念的理解【例题1】下列结论：①第一象限的角都是锐角；②锐角都是第一象限的角；③第一象限的角一定不是负角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中正确的序号为__________(把正确结论的序号都写上)．解析：①－320°角是第一象限的角，可它不是锐角，故①不正确．②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，所以是第一象限的角，故②正确．③－330°角是第一象限的角，但它是负角，故③不正确．④0°的角小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角，也不是锐角，故④不正确． 答案：②反思解答本题的关键在于正确理解象限角、锐角、直角、钝角、平角、周角等概念．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确，只要举出一个反例即可．题型二 终边相同的角的问题【例题2】在与10 030°的角终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最大的负角；(2)最小的正角；(3)360°～720°之间的角．分析：先写出与10 030°的角终边相同的角的一般形式，再求满足条件的整数k 即可． 解：与10 030°的角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝k ·360°＋10 030°，k ∈Z }．(1)由－360°＜k ·360°＋10 030°＜0°，k ∈Z ，得－10 390°＜k ·360°＜－10 030°，k ∈Z ，解得k ＝－28，故所求的最大负角为β＝－50°.(2)由0°＜k ·360°＋10 030°＜360°，k ∈Z ，得－10 030°＜k ·360°＜－9 670°，k ∈Z ，解得k ＝－27，故所求的最小正角为β＝310°.(3)由360°＜k ·360°＋10 030°＜720°，k ∈Z ，得－9 670°＜k ·360°＜－9 310°，k ∈Z ，解得kβ＝670°.反思对于终边相同的角的集合，最大的负角应在－360°～0°之间，最小的正角应在0°～360°之间．题型三 终边相同的角的集合之间的关系【例题3】判断下列角的集合的关系：设集合A ＝{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·180°，k ∈Z }，集合B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，则( )A ．AB B ．B AC ．A ∩B ＝D ．A ＝B解析：∵集合A ＝{α|α＝k ·180°＋90°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·180°，k ∈Z }＝{α|α＝(2k ＋1)·90°，k ∈Z }∪{α|α＝2k ·90°，k ∈Z }＝{α|α＝m ·90°，m ∈Z }，集合B ＝{β|β＝k ·90°，k ∈Z }，∴A ＝B ．答案：D反思判断角的集合之间的关系一般有两种方法：一种方法是将各集合中表示角的式子化为同一种形式(这种方法要用到整数分类的有关知识)；另一种方法是将各集合中表示角的式子中的k 赋值，并将角的终边画在坐标系中，直至重复出现相同位置的终边为止，根据各类集合中角的终边的情况，判断角的集合之间的关系．题型 四易错辨析【例题4】已知角α，β的终边关于y 轴对称，则α与β的关系为__________．错解：∵角α，β的终边关于y 轴对称，∴α＋β2＝90°＋k ·360°(k ∈Z )． 错因分析：上述解法仅是关于y 轴正半轴对称的情况，而忽视了关于y 轴负半轴对称的情况．正解：∵角α，β的终边关于y 轴对称，∴α＋β2＝90°＋k ·180°(k ∈Z )，即α＋β＝180°＋k ·360°(k ∈Z )．答案：α＋β＝180°＋k ·360°(k ∈Z )1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是( )A ．120° B．－120°C ．240° D．－240°答案：D2．与120°角终边相同的角是( )A ．－600°＋k ·360°(k ∈Z )B ．－120°＋k ·360°(k ∈Z )C ．120°＋(2k ＋1)·180°(k ∈Z )D ．660°＋k ·360°(k ∈Z )答案：A3．在－398°，38°，142°，1 042°四个角中，终边相同的角是( )A ．－398°，38°B ．－398°，142°C ．－398°，1 042° D．142°，1 042°答案：C4．角α终边上的一点的坐标是P (0，－3)，则角α的集合是__________．解析：角α的终边与y 轴的非正半轴重合．答案：{α|α＝n ·360°＋270°，n ∈Z }5．终边在直线y ＝－3x 上的所有角的集合是______，上述集合中，在－180°到180°之间的角是__________．解析：终边在y ＝－3x 上的所有角的集合是{α|α＝k ·360°＋120°，k ∈Z }∪{α|α＝k ·360°＋300°，k ∈Z }＝{α|α＝n ·180°＋120°，n ∈Z }．当n ＝－1,0时，取得在－180°到180°之间的角为120°，－60°.答案：{α|α＝n ·180°＋120°，n ∈Z } －60°，120°6．判断下列命题是否正确，并说明理由．(1)第一象限的角小于第二象限的角；(2)若90°≤α≤180°，则α是第二象限的角．分析：根据象限角以及轴线角的概念进行判断．解：(1)由于角的概念的推广，第一、二象限的角不再局限于0°～360°间，如390°是第一象限的角，120°是第二象限的角，显然390°＞120°，所以(1)中的叙述是错误的．(2)因为90°，180°都不是象限角，所以(2)中的叙述是错误的．。
高中数学必修四学案：1.1.1任意角Word版
360 的整数倍 .
2. 学习小结 （1）你知道角是如何推广的吗 ? （2）象限角是如何定义的呢 ? （3）你熟练掌握具有相同终边角 a 的表示了吗 ?
【基础达标】
1．设 E {小于 90o 的角｝ F { 锐角｝， G＝{ 第一象限的角｝ ，
，那么有（ ）．
A．
B．
C．
（
） D．
2．用集合表示： （ 1）各象限的角组成的集合．
疑惑内容
【学习过程】
例 1. 例 1 在 0 360 范围内，找出与 －950 12' 角终边相同的角， 并判定它是第几象限角 .
（注： 0 －360 是指 0
360 ）
例 2. 写出终边在 y 轴上的角的集合 .
例 3. 写出终边直线在 y x 上的角的集合 S , 并把 S 中适合不等式 360 720 的元素 写出来 .
【学习反思】 1. 尝试练习
（1）教材 P6 第 3、 4、 5 题 .
（ 2）补充：时针经过 3 小时 20 分，则时针转过的角度为
，分针转过的角度为
。
注意 : （ 1） k Z ；（ 2） 是任意角（正角、负角、零角） ；（3）终边相同的角不一定相等；
但相等的角，终边一定相同；终边相同的角有无数多个，它们相差
）
A ． 轴正半轴上， C． 轴或 轴上，
B ． 轴正半轴上， D ． 轴正半轴或 轴正半轴上
6.设
，
C＝
{
α
|α
=
k180
o
o
+45
,
k∈
Z}
，
则相等的角集合为 _
_．
参考答案
1. 解： 2 小时 40 分= 8 小时，
高中数学人教B版必修4导学案：1.1.1角的概念的推广
(1)－150° (2)1040° (3)‘15950-0变式：写出与下列终边相同的角的集合 (1)120° (2)-270° (3) 1020°例2、终边落在x 轴上角如何表示？终边落在直线y=x 轴上角如何表示？变式：1、终边落在y 轴上的角如何表示？ 2、终边落在坐标轴上的角呢？例3、如图所示，表示出终边落在阴影部分的角的集合变式：1、终边落在第一象限的角如何表示？第二、三、四象限的呢？2、若α是第一象限的角，你能求出2α的终边落在第几象限吗？五、当堂检测1.【目标1】下列各命题正确的是( )A ．终边相同的角一定相等B ．第一象限角都是锐角C ．锐角都是第一象限角D ．小于90°的角都是锐角2.【目标2】在“①160°，②480°，③－960°，④－1600°”这四个角中，属于第二象限的是( ) A ．①B ．①②C ．①②③D ．①②③④3．【目标1】设－90°<α<β<90°，则α－β的范围是________． 4.【目标1、2】 已知Ａ＝｛锐角｝，B ＝｛0º到90º的角｝，C ＝｛第一象限角｝，D ＝｛小于90º的角｝．求Ａ∩Ｂ，Ａ∪Ｃ，Ｃ∩Ｄ，Ａ∪Ｄ.5.【目标2】如图所示，写出终边落在图中阴影部分(包括边界)的角的集合，并指出－950°12′是否是该集合中的角．本节课学了哪些重要内容？试着写下吧课后作业：1.下列命题中正确的是( )A.终边在y轴非负半轴上的角是直角B.第二象限角一定是钝角C.第四象限角一定是负角D.若β＝α＋ｋ·360º（ｋ∈Ｚ），则α与β终边相同2.与120º角终边相同的角是( )A.－600º＋k·360º，ｋ∈ＺB.－120º＋k·360º，ｋ∈ＺC.120º＋(2k＋1）·180º，ｋ∈ＺD.660º＋k·360º，ｋ∈Ｚ3.若角α与β终边相同，则一定有( )A.α＋β＝180ºB.α＋β＝0ºC.α－β＝ｋ·360º，ｋ∈ＺD.α＋β＝ｋ·360º，ｋ∈Z4.与1840º终边相同的最小正角为，与－1840º终边相同的最小正角是 .5.今天是星期一，100天后的那一天是星期，100天前的那一天是星期 .6.钟表经过4小时，时针与分针各转了 (填度).7.将下列各角表示为α＋ｋ·360º（ｋ∈Ζ，0º≤α＜360º）的形式，并判断角在第几象限.(1)560º24′（2）－560º24′（3）2903º15′(4)－2903º15′ （5）3900º （6）－3900º8.写出终边落在直线x y 3 上的象限角。
高中数学1.1.1 角的概念的推广 教案1 新人教B版必修4
1.1.1角的概念的推广
教学目标
『知识与技能』
1．认识角扩充的必要性，了解任意角的概念，与过去学习过的一些容易混淆的概念相区分；2．能用集合和数学符号表示终边相同的角，体会终边相同角的周期性；
3．能用集合和数学符号表示象限角；
4．能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的角.
『过程与方法』
1.通过角的概念的扩充，让学生体会动态与静态数学观的差异，进一步理解旋转变换的作用；
2.通过角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广让学生体会在数学学科中，将概念的
形式化、数量化的过程与方法，借此进一步体会数形结合的思想、方法，这是本节课的重点内容；
『情感、态度和价值观』
通过掌握角合成的算法，终边相同角的表示方法及其推广的过程与方法，让学生体会数学的抽象化、形式化等学科特点.
知识的重点
形成任意角（正角、负角、零角）、终边相同的角、象限角的概念，掌握终边相同的角的表示方法和判定方法
知识的难点
终边相同的角的概念、其符号表示、集合表示
教学方法
本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课.
教学过程
即，一条射线绕着它的端点从一个位
置旋转到另一位置所形成的图形叫做角.
『定义』
平面内任意一个角都可以通过移动，
直角坐标系的原点重合，角的始边和
时，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角。
高中数学人教B版必修四学案：第1章 1.1 1.1.1 角的概念的推广 Word版含答案
1.1任意角的概念与弧度制1.1.1角的概念的推广学习目标：1.了解角的概念的推广，能正确区分正角、负角和零角．(一般)2.理解象限角的概念．(重点)3.掌握终边相同的角的表示方法，并能判断角所在的位置．(难点)[自主预习·探新知]1．角的概念(1)角的形成：角可以看成是一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：①正角：按照逆时针方向旋转而成的角；②负角：按照顺时针方向旋转而成的角；③零角：当射线没有旋转时，我们也把它看成一个角，叫做零角．2．角的加减法运算(1)射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角，记作∠AOB，其中OA叫做∠AOB 的始边，OB叫做∠AOB的终边．(2)引入正角、负角的概念以后，角的减法运算可以转化为角的加法运算，即α－β可以化为α＋(－β)．这就是说，各角和的旋转量等于各角旋转量的和．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{}β|β＝α＋k·360°，k∈Z，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．4．象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的正半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．思考：终边和始边重合的角一定是零角吗？[提示]不一定．零角是终边和始边重合的角，但终边和始边重合的角不一定是零角，如－360°，360°，720°等角的终边和始边也重合．[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同．()(2)终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．()(3)终边相同的角的表示不唯一．()[解析]由终边相同的角的定义可知(1)(2)(3)正确．[答案](1)√(2)√(3)√2．钟表的分针在一个半小时内转了()A．180°B．－180°C．540°D．－540°D[钟表的分针是顺时针转动，每转一周，转过－360°，当分针转过一个半小时时，它转了－540°.]3．下列说法：①第一象限角一定不是负角；②第二象限角大于第一象限角；③第二象限角是钝角；④小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中错误的序号为________．(把错误的序号都写上)[解析]由象限角定义可知①②③④都不正确．[答案]①②③④[合作探究·攻重难]任意角的概念(1)已知集合A＝{第一象限角}，B＝{锐角}，C＝{小于90°的角}，则下面关系正确的是()A．A＝B＝C B．A⊆CC．A∩C＝B D．B∪C⊆C(2)下面与－850°12′终边相同的角是()A．230°12′B．229°48′C．129°48′D．130°12′[思路探究]利用角的概念进行判断．[解析](1)第一象限角可表示为k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z；锐角可表示为0°<β<90°；小于90°的角可表示为γ<90°；由三者之间的关系可知，选D.(2)与－850°12′终边相同的角可表示为α＝－850°12′＋k·360°(k∈Z)，当k＝3时，α＝－850°12′＋1 080°＝229°48′.[答案](1)D(2)B1．有下列说法：①相差360°整数倍的两个角，其终边不一定相同；②终边相同的角一定相等；③终边关于x轴对称的两个角α，β之和为k·360°，(k∈Z)．其中正确说法的序号是________．[解析]①不正确．终边相同的两个角一定相差360°的整数倍，反之也成立；②不正确．由①可知终边相同的两个角一定相差k·360°，(k∈Z)；③正确．因为终边关于x轴对称的两个角，当α∈(－180°，180°)，且β∈(－180°，180°)时α＋β＝0°，当α，β为任意角时，α＋β＝k·360°(k∈Z)．[答案]③象限角与区域角的表示(1)如图1-1-1，终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合是( )A ．{α|k ·360°＋30°<α<k ·360°＋45°，k ∈Z }B ．{α|k ·180°＋150°<α<k ·180°＋225°，k ∈Z }C ．{α|k ·360°＋150°<α<k ·360°＋225°，k ∈Z }D ．{α|k ·360°＋30°<α<k ·180°＋45°，k ∈Z }图1-1-1(2)已知角β的终边在如图1-1-2所示的阴影部分内，试指出角β的取值范围．图1-1-2[思路探究] 找出0°～360°内阴影部分的角的集合――→＋k ·360°(k ∈Z )适合题意的角的集合[解析] (1)在0°～360°内落在阴影部分角的范围为大于150°而小于225°，所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为{α|k ·360°＋150°<α<k ·360°＋225°，k ∈Z }．[答案] C(2)阴影在x 轴上方部分的角的集合为：A ＝{β|k ·360°＋60°≤β<k ·360°＋105°，k ∈Z }．阴影在x 轴下方部分的角的集合为：B ＝{β|k ·360°＋240°≤β<k ·360°＋285°，k ∈Z }．所以阴影部分内角β的取值范围是A ∪B ，即{β|k ·360°＋60°≤β<k ·360°＋105°，k ∈Z }∪{β|k ·360°＋240°≤β<k ·360°＋285°，k ∈Z }，其中B 可以化为：{β|k ·360°＋180°＋60°≤β<k·360°＋180°＋105°，k∈Z}．即{β|(2m＋1)×180°＋60°≤β<(2m＋1)×180°＋105°，m∈Z}．集合A可以化为{β|2m×180°＋60°≤β<2m×180°＋105°，m∈Z}．故A∪B可化为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．2.写出图1-1-3中阴影部分(不含边界)表示的角的集合．图1-1-3[解]在－180°～180°内落在阴影部分角集合为大于－45°小于45°，所以终边落在阴影部分(不含边界)的角的集合为{α|－45°＋k·360°<α<45°＋k·360°，k∈Z}．αk所在象限的判定方法及角的终边对称问题[探究问题]1．由α所在象限如何求αk(k∈N*)所在象限？[提示](1)代数推导法：先表示为角α所在的象限范围，再求出αk所在的范围，进一步由k值确定．如：当角α在第二象限时，90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k∈Z，则30°＋k ·120°<α3<60°＋k ·120°，k ∈Z ，所以α3在第一、二、四象限．(2)等分象限法：将各象限k 等分，从x 轴正半轴开始逆时针方向依次标注1,2,3,4，循环下去，直到填满为止，则当α在第n 象限时，αk 就在n 号区域．例如：当角α在第二象限时，α2在图k ＝2时的2号区域，α3在图k ＝3时的2号区域．但此规律有局限性，如在已知角α的范围求角2α的范围时上述规律就不好用了，所以还应该掌握求范围的一般方法．2．若角α与β的终边关于x 轴、y 轴、原点、直线y ＝x 对称，则角α与β分别具有怎样的关系？[提示] (1)关于y 轴对称：若角α与β的终边关于y 轴对称，则角α与β的关系是β＝180°－α＋k ·360°，k ∈Z .(2)关于x 轴对称：若角α与β的终边关于x 轴对称，则角α与β的关系是β＝－α＋k ·360°，k ∈Z .(3)关于原点对称：若角α与β的终边关于原点对称，则角α与β的关系是β＝180°＋α＋k ·360°，k ∈Z .(4)关于直线y ＝x 对称：若角α与β的终边关于直线y ＝x 对称，则角α与β的关系是β＝－α＋90°＋k ·360°，k ∈Z .(1)若α是第四象限角，则180°－α是( )A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角(2)已知α为第二象限角，则2α，α2分别是第几象限角？[思路探究] (1)可通过写出α的取值范围，逐步求得180°－α范围来求解；(2)可由α范围写出2α，α2的范围后，直接求得2α的范围，然后分k 为奇数或偶数两种情况确定α2的位置．[解析] (1)因为α是第四象限角，则角α应满足：k ·360°－90°<α<k ·360°，k ∈Z ，所以－k ·360°<－α<－k ·360°＋90°，则－k ·360°＋180°<180°－α<－k ·360°＋90°＋180°，k ∈Z ，当k ＝0时，180°<180°－α<270°，故180°－α为第三象限角．[答案] C(2)∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°<α<180°＋k ·360°，k ∈Z ，∴180°＋2k ·360°<2α<360°＋2k ·360°，k ∈Z ，∴2α是第三或第四象限角，或是终边落在y 轴的非正半轴上的角．同理45°＋k 2·360°<α2<90°＋k 2·360°.当k 为偶数时，不妨令k ＝2n ，n ∈Z ，则45°＋n ·360°<α2<90°＋n ·360°，此时，α2为第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则225°＋n ·360°<α2<270°＋n ·360°，此时，α2为第三象限角．∴α2为第一或第三象限角．[当堂达标·固双基]1．以下说法正确的是()A．若α是第一象限角，则2α是第二象限角B．A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，则A⊆BC．若k·360°<α<k·360°＋180°(k∈Z)，则α为第一或第二象限角D．终边在x轴上的角可表示为k·360°(k∈Z)B[对于选项B：集合A＝{α|α＝k·180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·90°，k∈Z}，B＝{β|β＝k·90°，k∈Z}，∴A⊆B，故选B.]2．下列各角中，与330°角的终边相同的角是()A．510°B．150°C．－150°D．－390°D[与330°终边相同的角的集合为S＝{β|β＝330°＋k·360°，k∈Z}，当k＝－2时，β＝330°－720°＝－390°，故选D.]3．已知集合M＝{x|x＝k·90°＋45°，k∈Z}，集合N＝{x|x＝k·45°＋90°，k∈Z}，则有()【导学号：79402001】A．M＝N B．N MC．M N D．M∩N＝∅C[由于k·90°(k∈Z)表示终边在x轴或y轴上的角，所以k·90°＋45°(k∈Z)表示终边落在y＝x或y＝－x上的角．(如图(1))又由于k·45°＋90°(k∈Z)表示终边落在x轴、y轴、直线y＝±x8个位置上的角(如图(2))，因而M N，故正确答案为C.]4．若角α与角β终边相同，则α－β＝________.[解析]根据终边相同角的定义可知：α－β＝k·360°(k∈Z)．[答案]k·360°(k∈Z)5．在0°到360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它们是第几象限的角．(1)－120°；(2)640°.[解](1)与－120°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝－120°＋k·360°，k∈Z}．当k＝1时，β＝－120°＋1×360°＝240°，∴在0°到360°范围内，与－120°终边相同的角是240°，它是第三象限的角．(2)与640°终边相同的角的集合为M＝{β|β＝640°＋k·360°，k∈Z}．当k＝－1时，β＝640°－360°＝280°，∴在0°到360°范围内，与640°终边相同的角为280°，它是第四象限的角．。
导学案1：1.1.1 角的概念的推广
必修四第一章三角函数1.1.1角的概念的推广一、学习目标：1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角.2.能在0º到360º范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角.3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.二、课前准备:（预习教材P2~ P5，找出疑惑之处）体操跳水比赛中有“转体720º”，“翻腾转体两周半”这样的动作名称,720º在这里表示什么？三、知识要点：在平面内，一条射线绕它的端点旋转有两个相反的方向：顺时针方向和逆时针方向。
习惯上规定，按照逆时针旋转而成的角叫做正角；按照顺时针旋转而成的角叫做负角；当射线没有旋转时，我们把它叫做零角。
角的概念经以上推广以后，就应该包括正角、负角、零角，也就是可以形成任意大小的角。
判断角的正负关键是由终边的旋转方向是顺时针、逆时针还是没有旋转来确定。
∠，其中OA叫做在图中，射线OA绕端点O旋转到OB位置所成的角，记作AOB∠的始边，OB叫做AOB∠的终边。
AOB四、探索新知:问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？问题2：（1）手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？（2）手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？问题3：任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的正负和零角的概念）问题4：能以同一条射线为始边作出下列角吗？210º -150º -660º五、归纳反思：1．本课时的重点内容是任意角的概念，难点是各角的关系以及三种角的特殊应运2．根据旋转方向进行分析，运用角的性质解决问题，这是解决有关集合问题的一种重要方法；3．要特别注意数学语言、符号的规范使用．六、巩固提高：1．下列命题中，正确的是( )A ．始边和终边都相同的两个角一定相等B ．︒135-是第二象限角C ．若︒≤<540450α，则α4是第一象限角 D ．相等的两个角终边一定相同2．︒1120-角所在象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．把︒1485-转化为)k 3600(360k Z ∈︒<≤︒︒⋅+，αα的形式是( )A ．︒⨯︒3604-45B ．︒⨯︒3604-45-C ．︒⨯︒3605-45-D ．︒⨯+︒3605-315）（4．若角α满足)k (180k 45Z ∈︒⋅+︒=α，则角α的终边落在( )A ．第一或第三象限B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限5．终边落在x 轴上的角的集合为( )A ．Z}n ,360n |{∈︒⋅=ββB ．Z}n ,180n |{∈︒⋅=ββC ．Z}n ,1801n 2|{∈︒⋅+=）（ββD ．Z}n ,3601n 2|{∈︒⋅+=）（ββ6．在︒︒720~360-之间，与︒367-角终边相同的角是________．7．若时针走过2小时40分，则分针走过的角是________．8．根据角α终边的位置，写出角α的集合：在第二象限角平分线上时，α＝________，k ∈Z ；在第一、三象限角平分线上时，α＝________，k ∈Z .能力提升9．在︒︒360~0范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)︒549；(2)︒60-；(3)，36503-︒.10．写出如图所示阴影部分的角α的范围．参考答案1.解析：选D.2.解析：选D.3.解析：选D.4.解析：选A.5.答案：B6.答案：－7°，353°，713°7.答案：－960°8.答案：135°＋k ·360° 45°＋k ·180°9.解： (1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10.解：(1)因与45°角终边相同的角可写成45°＋k·360°，k∈Z的形式，与－180°＋30°＝－150°角终边相同的角可写成－150°＋k·360°，k∈Z的形式．所以图(1)中阴影部分的角α的范围可表示为{α|－150°＋k·360°<α≤45°＋k·360°，k∈Z}．(2)同理可表示图(2)中角α的范围为{α|45°＋k·360°≤α≤300°＋k·360°，k∈Z}．。
人教版必修四学案：1.1.1角的概念的推广(无答案)
终边在直线y=x上的角的集合：_________________________________
终边在直线y=-x上的角的集合：________________________________
终边在直线 上的角的集合：_______________________________
终边在第四象限角的集合：_____________________________________
例5.如果 是第一象限的角、那么 分别是第几象限角？ 呢? 呢？
如果 分别第二、第三和第四象限角，那么 分别是第几象限角？ 呢？
当堂训练：
1、在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是( )
（1）第一象限的角一定是锐角；
（2）终边相同的角一定相等；
（3）相等的角，终边一定相同；
（4）小于90°的角一定是锐角；
（5）钝角的终边在第二象限；
5、集合M={x|x=45°+ 180°，k∈Z}，集合N={x|x=45°+ 180°,k∈Z}，那么集合M与N的关系式什么？
高一（2017级）数学学案1.1.1角的概念的推广例1.在00到3600范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角.
（1）-1200；（2）6400；（3）-950012`，.
例2．写出与下列各角终边相同的角的集合S，并把S中适合不等式-3600≤β<7200的元素β写出来：
（1）300；（2）-550；（3）263014，
例4．写出下列角的范围：
终边在第一象限角的集合：_____________________________________
人教版高中数学数学必修四1.1.1+角的推广+教案2
第二学期高一教案主备人：使用人：时间：．．～，同样把该后，（位置时的角的集合是～间的角角．；轴上的角的集合；；的角不一，但不包含，那么在第几象限，终边相适合关系：终边互），其终边_轴正半轴上，．轴或精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
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普兰店市第一高一数学导学案
编制人：潘刚 校对：姜淑敏 2015.3.2~2015.3.3
1.1.1 角的概念的推广
学习目标：学会任意角的概念，正角，负角，零角，象限角和象限间角，终边相同角表示方法。
重点：任意角的概念
难点：象限角的表示
学习过程：
活动一：初过的角的概念回顾，正数和负数的概念
活动二：角的概念的推广
正角
负角
零角
练习：射线OA 绕端点O 旋转 90到射线OB ，接着再旋转
30-到OC ，求AOC ∠
总结求法
例1. 射线OA 绕端点O 顺时针旋转 30到OB ，接着逆时针旋转 250到OC 位置，然后再顺
时针旋转 270到OD 位置，求AOD ∠的大小
活动二 象限角
象限角的概念
轴线角
练习：口答：说出以下角各属于第几象限
（1） 45 ， 140， 230- ， 340
（2） 30 ， 390 ， 330-
问：1.观察（2）中各有何特点？
2.能否把（2）中这些角用一个集合表示出了呢？
3.是否任意一个叫都与 0到 360内的某一个角终边相同呢？
活动四：终边相同角的表示方法
所有与α角终边相同的角连同角α在内可构成一个集合 例2
在 360~0间，找出与下列各角终边相同的角并判定它们是第几象限角
（1） 150- （2） 650 （3）/15950 -
例3：写出与下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中适合不等式 720360<≤-β的元素β写出
（1） 60 （2） 21- （3）/14363
课堂检测
（1）)3600(3601485Z k k ∈<≤+⋅-，化成
αα的形式是（ ）
A. 453604+⨯-
B. 3153604-⨯-
C. 31536010-⨯-
D. 3153605+⨯-
(2)在直角坐标系中，判断下列语句的真假
1.第一象限一定是锐角
2.终边相同的角一定相等
3.相等的角终边一定相同
4.小于 90的角一定是锐角
5.钝角的终边在第二象限
例4.写出终边在x 轴上的角的集合
例5分别写出下列各角终边相同的角的集合S ，并把S 中满足不等式 720360<≤-β的元素β写出来
（1） 60 （2）
21- （
3）/14363 6P 思考与讨论
作业：练习A,B。