第四章 BCH码-1PPT课件

BCH码的提出与发展 对BCH码的后续研究主要集中在译码算法 的简化，如减少迭代次数、快速译码算 法、提高纠错能力、软判决译码等。
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4.1 BCH码概述
BCH码的特点
BCH码是线性分组码的重要子类，再具体讲，是 循环码子类。
BCH码具有构造方便、编码简单以及译码易于 实现等优点，BC而H且码是BC迄H今码为有止完研究备的代数理论支
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4.2 预备知识：有限域基础
GF(2)上的多项式
GF(2)上的多项式：系数取自GF(2)的多项式 如：f(x)=x+1、f(x)=x3+x+1 等
定理：若f(x)是GF(2)上的m次多项式，则：
f(x )2 l fx 2 l
既约多项式：如果GF(2)上的m次多项式f(x)除了1和它 本身之外不能被其它多项式整除，则称f(x)为GF(2)上 的既约多项式。
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4.2 预备知识：有限域基础
GF(2)上的多项式
多项式的周期：多项式f(x)的周期定义为f(x)能整除 xn-1的最小的n
本原多项式：如果GF(2)上的m次既约多项式 f(x)=xm+fm-1xm-1 +…+f1x+1的周期为n=2m-1，则称f(x) 为GF(2)上的m次本原多项式。
持。
最为详尽、分析最为透彻、
BCH取码得的成果生最成多多、项应式用与最为最广小泛距的离码d类有之密一切。关系， 使设计者可以根据d的需要轻易构造出具有预定
纠错能力的编码方案。
纠错能力强，中短码长下的性能接近理论值。
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第四章 BCH码
4.1 BCH码概述 4.2 预备知识：有限域基础 4.3 BCH码的构造 4.4 BCH码的编码 4.5 BCH码的译码
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4.2 预备知识：有限域基础
有限域的基本概念
GF(q)中元素的阶：由GF(q)中元素的幂所能生 成域元素的个数称为该元素的阶。
例如：GF(5)中，2、3的阶为4；1的阶为1；4 的阶为2
定理：有限域GF(q)中，本原元的阶为q-1，其 余非零元素的阶均为q-1的因子。
说明：后面我们仅讨论二元域GF(2)及其扩域 GF(2q)，所有结论均可推广到q元域GF(q)。
有限域的基本概念
域的定义：对于非空元素集合F，若定义两种代数运 算”+”和“*”，且满足以下条件： 1)、F关于“+”运算构成交换群 2)、F中全体非0元素对“*”运算构成交换群 3)、两种运算满足分配律 则称F构成域。
如果F中元素个数有限，则称该域为有限域或伽罗华 (Galois)域，记为GF(q)。
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4.2 预备知识：有限域基础
GF(2)的扩域GF(2m)
扩域GF(2m)：设p(x)为GF(2)上的m次既约多项式，模 p(x)的所有2m个余式在模p(x)加法和乘法下构成2m元域， 称为GF(2)的扩域(也称为模p(x)的剩余类域)，记为 GF(2m)。
例如： 设p(x)=x3+x+1，则： {0, 1, x, x2, x+1, x2+x, x2+x+1, x2+1}构成扩域 GF(23)。
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4.2 预备知识：有限域基础
有限域的基本概念 例：集合{0,1}对模2加和模2乘构成二元 域，记为GF(2)； 例：如果q为素数，则集合{0,1,…,q-1} 对模q加和乘构成q元域GF(q)；
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4.2 预备知识：有限域基础
有限域的基本概念
有限域的生成元：对于GF(q)，其中一定存在非 0元素g，其各次幂能生成域中的所有非0元素， 则g称为该域的生成元或本原元。
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4.2 预备知识：有限域基础
有限域的基本概念 GF(2)上的多项式 GF(2)的扩域GF(2m) 用m次本原多项式构造扩域GF(2m) 扩域GF(2m)的表示方式 扩域GF(2m)的性质 GF(2m)中元素的最小多项式
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4.2 预备知识：有限域基础
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第四章 BCH码
4.1 BCH码概述 4.2 预备知识：有限域基础 4.3 BCH码的构造 4.4 BCH码的编码 4.5 BCH码的译码
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4.1 BCH码概述
BCH码的提出与发展
1959年，霍昆格姆(Hocquenghem)，1960年博斯 (Bose)和查德胡理(Chaudhuri)，各自独立地提出了二 元BCH码的构造方法。
本原多项式一定是既约的，既约多项式未必是本原的。
反多项式：设f(x)是GF(2)上的m次多项式， 则f*(x)=xmf(x-1)称为f(x)的反多项式。
如果多项式f(x)是既约多项式，则其反多项式f*(x)一定是既约多项式； 如果多项式f(x)是本原多项式，则其反多项式f*(x)也一定是本原多项式。
1960年，彼得森(Peterson)从理论上提出了二元BCH 码的译码算法。
1966年，伯利坎普(Berlekamp)提出了BCH码的迭代译 码算法，使BCH码进入实用。
七十年代以后BCH码得到了极为广泛的应用，如磁记 录、CD/VCD/DVD、深空及卫星通信等。
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4.1 BCH码概述
例如：GF(5)={0,1,2,3,4}中，
g = 1 g0 ≡ 1 g1 ≡ 1 g2 ≡ 1 g3 ≡ 1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
g = 2 g0 ≡ 1 g1 ≡ 2 g2 ≡ 4 g3 ≡ 3
生成元
g = 3 g0 ≡ 1 g1 ≡ 3 g2 ≡ 4 g3 ≡ 2 g = 4 g0 ≡ 1 g1 ≡ 4 g2 ≡ 1 g3 ≡ 4
信道编码
通信工程系移动通信教研室
第四章 BCH码
4.1 BCH码概述 4.2 预备知识：有限域基础 4.3 BCH码的构造 4.4 BCH码的编码 4.5 BCH码的译码
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本章要求
了解BCH码的提出与发展 掌握：
扩域GF(2m)的概念、构造及域元素的运算 BCH码的基本概念与构造方法 BCH码的编码方法与迭代译码算法