第四章 BCH码-1PPT课件
BCH码
minimal polynomial f 2 ( x) = x 3 + x + 1 are α 1 , α 2 and α 4 and that of f 3 ( x) = x 3 + x 2 + 1 are α 3 , α 6 and α 12 .
• Example 3
Consider t he subfield GF( 2 ) and its extension field GF( 8 ). Here q = 2 and m = 3. The factorizat ion of x yields x
q m-1 q m-1
− 1 (in the subfield/e xtension field)
Interestingly, after a little bit of algebra it is found that the coefficients of the minimal polynomial belong to GF(2) only. We can now make Table 1:
α0 α 1,α 2 ,α 4 α 3 , α 6 , α 5 (= α 12 )
It is interesting to note the elements (in terms of powers of the primitive element α ) that correspond to the same minimal polynomial. If we make the observation that α 12 = α 7 • α 5 = 1 • α 5 , we see a pattern in the elements that correspond to a certain minimal polynomial. In fact, the elements that are roots of a minimal polynomial in the extension field are of the type β where β is an element of the extension field. In the above example, the zeros of the
BCH码是循环码的一个重要子类,它具有纠多个错误的能力,BCH码
BCH码是循环码的一个重要子类，它具有纠多个错误的能力，BCH码有严密的代数理论，是目前研究最透彻的一类码。
它的生成多项式与最小码距之间有密切的关系，人们可以根据所要求的纠错能力t很容易构造出BCH码，它们的译码器也容易实现，是线性本原循环码是一类重要的码。
汉明码、BCH码和某些大数逻辑可译码都是本原码。
本原码的特点是:1、码长为2^m-1，m为整数。
2、它的生成多项式由若干m阶或以m的因子为最高阶的多项式相乘构成。
要判断(2^m-1,k)循环码是否存在，只需判断2^m-1-k阶生成多项式是否能由D^(2^m-1)+1的因式构成。
代数理论告诉我们，每个m阶既约多项式一定能除尽D^(2^m-1)+1.BCH译码：(返回)BCH码的译码方法可以有时域译码和频域译码两类。
频移译码是把每个码组看成一个数字信号，把接受到的信号进行离散傅氏变换(DFT)，然后利用数字信号处理技术在“频域”内译码，最后进行傅氏反变换得到译码后的码组。
时域译码则是在时域直接利用码的代数结构进行译码。
BCH的时域译码方法有很多，而且纠多个错误的BCH码译码算法十分复杂。
常见的时域BCH译码方法有彼得森译码、迭代译码等。
BCH的彼得森译码基本过程为：1、用的各因式作为除式，对接收到的码多项式求余，得到t个余式，称为“部分校验式”。
2、用t个部分校验式构造一个特定的译码多项式，它以错误位置数为根。
3、求译码多项式的根，得到错误位置。
4、纠正错误。
事实上，BCH码是一种特殊的循环码，因此它的编码器不但可以象其它循环码那样用除法器来实现，而且原则上所有适合循环码译码的方法也可以用于BCH码的译码。
.cn/wsxy/digi/d6z.htm第六章差错控制1 差错控制的基本概念1.1 差错的特点由于通信线路上总有噪声存在，噪声和有用信息中的结果，就会出现差错。
噪声可分为两类，一类是热噪声，另一类是冲击噪声，热噪声引起的差错是一种随机差错，亦即某个码元的出错具有独立性，与前后码元无关。
编码理论
汉明码和Golay码的基本原理相同。它们都是将q元符 号按每k个分为一组．然后通过编码得到n-k个q元符号 作为冗余校验符号，最后由校验符号和信息符号组成有 n个q元符号的码字符号。得到的码字可以纠正t个错误， 编码码率为为k/n。这种类型的码字称为分组码，一般 记为(q,n,k,t)码，二元分组码可以简记为(n,k,t)码或者 (n,k)码。汉明码和Golay码都是线性的，任何两个码字 经过模q的加操作之后，得到的码字仍旧是码集合中的 一个码字。
在Golay码提出之后最主要的一类分组码就是ReedMuller码。它是Muller在1954年提出的，此后Reed在 Muller提出的分组码的基础上得到了一种新的分组码， 称为Reed-Muller码，简记为RM码。在1969年到1977 年之间，RM码在火星探测方面得到了极为广泛的应用。 即使在今天，RM码也具有很大的研究价值，其快速的 译码算法非常适合于光纤通信系统。
我们主要讨论差错控制编码技术。
差错控制编码技术是适应数字通信抗 噪声干扰的需要而诞生和发展起来的， 它是于1948年、著名的信息论创始人 C. E. Shannon（香农）在贝尔系统技 术 杂 志 发 表 的 “ A Mathematical Theory of Communication”一文，开 创了一门新兴学科和理论：信息论和 编码理论。
编码理论
周武旸 wyzhou@ 中国科学技术大学
• 助教
– 刘磊：liul@
课程内容
第一章 绪论
1.1 信道编码的历史及研究现状 1.2 简单编码方式回顾 • 1.2.1 线性分组码 • 1.2.2 循环码
第二章 基础理论
2.1 信道编码定理 2.2 硬判决与软判决 2.3 基本信道模型及其信道容量 2.4 MAP与ML算法 2.5 因子图与和积算法
bch编译码原理
bch编译码原理BCH编译码原理BCH（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem）编码是一种在数据传输和存储中常用的纠错编码技术。
它能够检测和纠正数据传输过程中的错误，提高数据传输的可靠性。
本文将围绕BCH编码的原理展开，介绍其基本概念、编码过程和解码流程。
一、基本概念BCH编码是一种重要的纠错编码技术，其基本原理是通过添加冗余信息来纠正数据传输中的错误。
在BCH编码中，原始数据被分成若干个数据块，每个数据块由数据位和冗余校验位组成。
冗余校验位的数量根据所需的纠错能力而定，通常冗余校验位越多，纠错能力越强。
二、编码过程BCH编码的核心是生成多项式。
在编码过程中，首先需要选择一个生成多项式，该多项式的次数决定了纠错能力。
然后，利用生成多项式将原始数据进行编码。
具体步骤如下：1. 将原始数据块表示为一个多项式，其中每一位的值为多项式的系数。
2. 选择一个生成多项式，将原始数据多项式与生成多项式进行取模运算。
3. 将取模运算的结果作为冗余校验位添加到原始数据多项式的末尾，形成编码后的数据多项式。
三、解码流程BCH编码的解码过程是纠正码字中的错误位以恢复原始数据。
解码过程的关键是计算错误定位多项式和错误值多项式。
具体步骤如下：1. 接收到编码后的数据多项式，并计算接收到的数据多项式与生成多项式的除法结果。
2. 通过除法结果判断是否存在错误位，并计算错误定位多项式。
3. 利用错误定位多项式计算错误值多项式，进而恢复原始数据多项式。
四、应用举例BCH编码在现实生活中有广泛的应用。
例如，在光纤通信中，BCH编码能够提高数据传输的可靠性，减少数据传输错误率。
在存储介质中，如硬盘、光盘等，BCH编码也被广泛应用，保证数据的可靠性和完整性。
总结：BCH编码是一种常用的纠错编码技术，通过添加冗余校验位来纠正数据传输中的错误。
它的编码过程涉及生成多项式的选择和取模运算，解码过程则是通过计算错误定位多项式和错误值多项式来恢复原始数据。
bch编码例 -回复
bch编码例-回复什么是BCH编码？BCH（Bose-Chaudhuri-Hocquenghem）编码是一种线性纠错编码，用于在数据传输过程中检测和纠正错误。
它由雷纳德·波斯（R.H. Bose）、德比普·乔杜里（D.K. Ray-Chaudhuri）和阿历克斯·霍肯胡（A.S.Hocquenghem）于1960年代中期独立地开发。
BCH编码通过添加冗余位来建立一种错误检测和纠正机制，以提高数据传输的可靠性。
BCH编码的基本原理是在发送数据之前，将数据块分成一定数量的子块，每个子块的长度为n（n-1为数据位，1为冗余位）。
然后，在每个子块的末尾添加一个冗余位，这个冗余位是根据子块中的数据位通过一种特定的算法计算得到的。
接收方在接收到数据后，会对每个子块的数据位以及冗余位进行校验，从而判断是否有错误出现，如果有错误出现，还可以根据冗余位的值进行纠正。
BCH编码的一个重要特点是可以检测并纠正多个错误。
在编码过程中，通过在数据块中添加足够的冗余位，可以确保在传输过程中，即使发生多个错误，接收方仍然能够准确地恢复原始数据。
这使得BCH编码在一些对数据传输可靠性要求较高的应用中得到了广泛应用，比如无线通信、存储系统等。
为了更好地理解BCH编码的原理，我们举一个简单的例子。
假设发送方要发送一个8位的数据（11011011），并采用BCH编码进行纠错。
首先，将数据分成4个子块（11，01，10，11），然后根据特定的算法计算每个子块的冗余位。
假设冗余位经过计算后为（0，1，0，1）。
发送方发送的实际数据为（11 0，01 1，10 0，11 1）。
当接收方接收到数据后，会对每个子块的数据位以及冗余位进行校验。
假设在传输过程中，由于噪声或其他因素，第二个子块的第二位数据位发生了错误（从1变为0）。
接收方在校验时会发现第二个子块的冗余位（1）与计算得到的冗余位（1）不匹配，说明存在错误。
浅析BCH码的编码方法
浅析BCH 码的编码方法0 引言数字信号在传输系统中传输时，不免会受到各种因素的干扰，使到达接收端的数字信号中混有噪声，从而引发错误判决。
为了抗击传输过程中的干扰，必然要利用纠错码的差错控制技术。
BCH 码是纠错码中最重要的子类，其具有纠错能力强，构造方便，编码简单，译码也较易实现一系列优点，在实际应用中被工程人员广泛应用。
1 BCH 码BCH 码是1959年由霍昆格姆(Hocquenghem), 1960年由博斯(Bose)和查德胡里(Chandhari)各自提出的纠多个随机错误的循环码，这是迄今为止发现的最好的线性分组码之一，它有严格的代数结构，它的纠错能力很强，特别是在短和中等码长下，其性能接近理论值，并且构造方便编码简单，特别是它具有严格的代数结构，因此它在编码理论中起着重要的作用。
BCH 码是迄今为止研究的最为详尽，分析得最为透彻，取得成果也最多的码类之一。
该码的生成多项式与最小距离d 之间有密切关系，根据d 的要求可以很容易地构造出码，利用该码的代数结构产生了多种译码方法。
BCH 码可以采用查表编码方法，这是一种利用BCH 码作为线性分组码和循环码的性质和结构特点来编写编码表，然后通过查表来编码的一种方法，也可以采用编码器进行编码，还可以应用代数算法，在本文将分别介绍这些算法。
2 BCH 码的k n -级编码器()k n , BCH 码是一类循环码，它的编码方法和传统的循环码完全相同，根据循环码的生成多项式()x g 或校验多项式()x h ，可推出BCH 码的编码电路是一个k n -级或k 级移存器电路，在k>n-k 时，一般采用k n -级编码电路。
用于产生系统码k n -级编码器的原理这样的：将信息多项式()x m 乘以kn x-成为()x m x k n -，然后用()x g 除()x m x k n -得到余式()x r , ()x r 的系数就是校验位，因此这可以根据生成多项式()x g 反馈连接的移位寄存器构成的除法电路完成。
BCH码
2.6.1. BCH 码BCH 码是循环码的一个重要子类，它具有纠多个错误的能力，BCH 码有严密的代数理论，是目前研究最透彻的一类码。
它的生成多项式与最小码距之间有密切的关系，人们可以根据所要求的纠错能力t 很容易构造出BCH 码，它们的译码器也容易实现，是线性分组码中应用最普遍的一类码。
一、 本原循环码（一） 、本原码特点1、码长为12-m，m 为整数。
2、它的生成多项式由若干m 阶或以m 的因子为最高阶的多项式相乘构成。
要判断),12(k m -循环码是否存在，只需判断k m --12阶生成多项式是否能由 112+-m D 的因式构成。
代数理论告诉我们，每个m 阶既约多项式一定能除尽112+-m D。
例如，m=5，共有6个5阶既约多项式： 125++D D 、12345++++D D D D 、1245++++D D D D 、135++D D 、 1235++++D D D D 、1345++++D D D D（二） 、BCH 码的生成多项式若循环码的生成多项式具有如下形式：[])(),...,(),()(1231D m D m D m LCM D g t -=，这里t 为纠错个数，)(D m i 为最小多项式，LCM 表示取最小公倍式，则由此生成的循环码称为BCH 码，其最小码距≥2t+1，能纠t 个错误。
BCH 的码长为12-m 或12-m的因子。
本原BCH 码：码长为12-m 的BCH 码。
非本原BCH 码：码长为12-m 因子的BCH 码。
对于纠t 个错误的本原BCH 码，其生成多项式为 )()...()()(1231D m D m D m D g t -=。
纠正单个错误的本原BCH 码就是循环汉明码。
（三）、BCH 码设计举例1、GOLAY CODE（23，12）码是一个特殊的非本原BCH 码，称为戈雷码，它的最小码距7，能纠正3个错误，其生成多项式为1)(567911++++++=D D D D D D D g 。
BCH编码与译码简析
BCH编码自1950年汉明发表了纠正单个随机错误的码以来，几乎用了近十年的时间，才于1959年由霍昆格姆（Hocquenghem），1960年由博斯（Bose）和雷-查德胡里（Ray-Chaudhuri）分别提出了纠正多个随机错误的循环码——BCH码（Bose、Ray-Chaudhuri与Hocquenghem的首字母缩写）的构造方法。
BCH 码是用于校正多个随机错误模式的多级、循环、错误校正、变长数字编码，是迄今为止所发现的一类很好的线性纠错码类。
它的纠错能力很强，特别在短和中等码长下，其性能接近于理论值，并且构造方便，编码简单。
特别是它具有严格的代数结构，因此它在编码理论中起着重要的作用。
BCH码是迄今为止研究得最为详尽，分析得最为透彻，取得的成果也最多的码类之一。
1960年皮德逊（Peterson）从理论上解决了二进制BCH码的译码算法，奠定了BCH码译码的理论基础。
稍后，格林斯坦（Gorenstein）和齐勒尔把它推广到了多进制。
1966年伯利坎普（Berlekamp）利用迭代算法解BCH码，从而大大加快了译码速度，从实际上解决了BCH码的译码问题。
由于BCH码性能优良，结构简单，编译码设备也不太复杂，使得它在实际使用中受到工程技术人员的欢迎，是目前用得最为广泛的码类之一。
一、BCH码的构建BCH 码使用有限域上的域论与多项式。
为了检测错误可以构建一个检测多项式，这样接收端就可以检测是否有错误发生。
要构建一个能够检测、校正两个错误的BCH 码，我们要使用有限域GF(16) 或者Z2[x]／<x4 + x + 1>。
如果α是m1(x) = x4 + x + 1的一个根，那么m1就是α的极小多项式，这是因为m1(x) = (x -α)(x -α2)(x -α4)(x -α8)=x4 + x + 1。
如果要构建一个能够纠正一个错误的BCH码，那么就使用m1(x)，这个代码就是所有满足：C(x)≡0（mod m1(x)）且根为α,α2,α4,α8 的多项式C(x)。
编码理论
无线信道
比有线信道要恶劣的多！
反射 折射 散射
由于多径使得信号消弱
快衰落和慢衰落
第一章 绪论
1.1 编码与编码理论 1.2 编码分类和相关基础 1.3 编码系统模型 1.4 编码理论的发展
1.1 编码与编码理论
1.1.1 信息与编码
通信最基本、最重要的功能就是传递信息、 获取信息、处理信息和利用信息。 古代的结绳记事，长城上的峰火台硝烟，墙 壁上的点划刻蚀，……，都是为传递和保存信息 的典型手段，是一种最简单、最经典的编码。 有线和无线通信产生以后，真正的编码技术 随之产生，以不同点、划、间断的组合代表不同 文字和数字的莫尔斯码、中文电报码等，开始了 编码的真正研究和应用。 现在，几乎所有信息应用领域都需要编码， 各种编码都在被积极研究。
在《通信的数学原理》中，他提出了受干扰信道编 码定理，该定理的主要内容为： 每个受干扰的信道具有确定的信道容量C。例如，当 信道中存在高斯白噪声时，在信道带宽W、单位频 带信号功率S、单位频带噪声功率N下，信道容量可 表示为 S
C W log 2 (1 ) N bps
对于任何小于信道容量C的信息传输速率，存在一个 码长为n，码率为R的分组码，若用最大似然译码， 则其译码错误概率为
1.2.2 信道编码
信道，是指有明确信号输入和信号输出的信息通 道。
这个通道可以是空间，如通信系统把信号从一个地点传 送到另一个地点； 这个通道可以是时间，如存储系统把 信号从某个时间开始存储到下一个时间； 这个通道可以 是过程，如处理系统把信号从一个接口演变到另一个接口。 无论是哪一种通道，有输入到输出的转移过程，这个转 移过程反映了该通道的特征。 最基本、最简单的转移过程，就是什么都不改变，仅仅 把输入原封不变的搬到输出。实际上，任何信道，在我们 研究的尺度空间，都很难做到输出与输入完全一样、原封 不变，输入经过信道之后总有不同和差异。
现代通信技术讲义第四章 差错控制编码
第四章 差错控制编码4．1概述 4．1．1基本概念1、差错控制编码原因：数字信号在传输，由于受到噪声的干扰，产生误码。
在很多通信场合，要求无误码传输。
如（1）两个计算机只的数据传输；（2）多址卫星通信中各站的站址编码信息； (3）各种遥控或武器控制的信息传输。
2、差错控制编码的基本思想差错控制编码在通信系统中也称为信道编码，意味为适应信道传输而进行的编码。
编码思想是对信息序列进行某种变化，使原来彼此独立、相关性极小的信息码元产生某种相关性。
使接收端利用这种规律性来检查或进而纠正信息码元在信道传输过程中所造成的差错。
3、差错类型1）随机差错：差错是相互独立、不相关的。
存在这种差错的信道是无记忆信道或随机信道，如卫星通信，错误比较分散。
2）突发差错：差错成串出现，错误与错误之间有相关性。
即一个错误往往要影响到后面的一串码字。
如短波和散射信道产生的差错，错误比较集中。
4、错误图样若发送数字序列S 为： 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 接收数字序列R 为： 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 则错误图样定义为 E=S ⊕R ，⊕为逻辑加，或异 此时错误图样E 为： 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 显然，知道错误图样E ，就可以确定它属于那类错误。
定义：错误密度M=错误之间的总码元数第一个错误至最后一个错误之间的误码数第一个错误至最后一个规定M=4/5时，表明为突发性差错。
在编码技术中，码的设计与错误性质有关。
因为纠随机错误的码很有效时，往往对纠突发差错的效果不佳。
反之亦然。
而事实上，而者往往是同时存在的。
设计时以一种为主，最好二者兼顾。
4．1．2差错控制方式1、前向纠错方式（FEC ）特点：（1）收端能发现差错，且能纠错。
（2）译码实时性好，但是译码设备较复杂。
应用：一个用户对多个用户的同时通信。
如：移动通信特别适合。
2、自动请求重传方式（ARQ）特点：（1）收端只能检错，不能纠错（2）收端发现错误，控制发端重新发送，直至正确（3）译码实时性茶，但是译码设备简单。
bch码迭代译码
bch码迭代译码摘要：1.BCH 码的概述2.BCH 码的迭代译码方法3.BCH 码迭代译码的优缺点4.BCH 码迭代译码的应用实例正文：1.BCH 码的概述BCH 码，全称为Bose-Chaudhuri-Hocquenghem 码，是一种纠错码，主要用于数据传输和存储中的错误检测和纠正。
BCH 码是由印度数学家Sarat Chandra Bose 和法国数学家Andre Chaudhuri 以及Gabriel Hocquenghem 于1959 年提出的。
它是一种分布式码，具有较强的纠错能力，可以检测和纠正多个错误。
2.BCH 码的迭代译码方法BCH 码的迭代译码方法是指在译码过程中，通过多次迭代计算，逐步逼近码字的正确解。
BCH 码的迭代译码方法主要包括以下几种：（1）Maximum-likelihood（ML）算法：该算法是一种最大似然估计算法，通过计算接收序列和码字之间的似然度，找到最可能的码字。
（2）Sum-product 算法：该算法是一种基于图论的算法，通过计算码字和校验位的关系，逐位计算码字的值。
（3）Belief Propagation 算法：该算法是一种基于概率图模型的算法，通过传递节点间的概率信息，逐步更新节点的概率值，最终得到最可能的码字。
3.BCH 码迭代译码的优缺点BCH 码迭代译码方法具有以下优缺点：优点：（1）强大的纠错能力：BCH 码具有较强的纠错能力，可以检测和纠正多个错误。
（2）低复杂度：相比于其他纠错码，BCH 码的迭代译码方法具有较低的计算复杂度。
缺点：（1）误码敏感：在高误码率环境下，BCH 码的迭代译码性能会显著下降。
（2）对初始值敏感：BCH 码的迭代译码方法受到初始值的影响较大，不同的初始值可能导致不同的译码结果。
4.BCH 码迭代译码的应用实例BCH 码迭代译码方法在通信和存储领域有广泛的应用，例如：（1）数据存储：在硬盘驱动器、固态硬盘等数据存储设备中，BCH 码可以用于检测和纠正数据传输过程中的错误。
第四章 BCH码-4
4.5 BCH码的译码 Berlekamp迭代译码算法 Berlekamp迭代译码算法
[迭代步骤]： 迭代步骤] 如果j=2t j=2t迭代结束， ③、如果j=2t-1，迭代结束， σ(x)=σ(2t)(x) 否则： j=j+1，计算： 否则：令j=j+1，计算： dj=sj+1+sjσ1(j)+…+sj+1-D(j)σD(j)(j) +sj+1重复② 直到结束迭代。 重复②、③直到结束迭代。
方程1可求得σ 方程2可求得σ 方程1可求得σ1，方程2可求得σ2,…, 方程t可求 , 方程t 得σt，于是得到σ(x)。 于是得到σ(x)。 σ(x) 如果恰好有t个错误， σ(x)满足后 个校验方程， 满足后t 如果恰好有t个错误，则σ(x)满足后t个校验方程， σ(x)即为错误位置多项式 即为错误位置多项式。 σ(x)即为错误位置多项式。
信道编码
2011-11-6
9
4.5 BCH码的译码
Berlekamp迭代译码算法 Berlekamp迭代译码算法
在实际问题中，错误个数e是未知的，如果e<t， 在实际问题中，错误个数e是未知的，如果e<t， e<t 牛顿公式仍有解，但解不唯一， 牛顿公式仍有解，但解不唯一，无法确定哪个解 是错误位置多项式σ(x)的系数。 σ(x)的系数 是错误位置多项式σ(x)的系数。 解决问题的思路] [解决问题的思路]：
2011-11-6 信道编码 16
4.5 BCH码的译码 Berlekamp迭代译码算法 Berlekamp迭代译码算法
迭代算法译码举例： 迭代算法译码举例： (15,5,7)二元BCH码以 二元BCH码以α, 为根， (15,5,7)二元BCH码以α, α3, α5为根， 接收矢量R(x)=x 接收矢量R(x)=x10+x5+x3 ，求估值码字 C~(x)。这里α是p(x)=x4+x+1的根。 (x)。这里α +x+1的根。 的根 首先计算伴随式： 首先计算伴随式： s
第四章 BCH码3
BCH码译码的一般原理
s1 n 1 s 2( n 1) 2 ... ... 2t ( n 1) s2 t
n2 2( n2)
...
... 2
... ... ...
2t ( n 2) ... 2t
10/13/2018 信道编码 15
4.5 BCH码的译码
系数矩阵M exe
BCH码译码的一般原理
s e-1 se s se e 1 s 2e-1 s 2e-2
... s1 ... s 2 e是未知的，可先假设e=t ①计算系数矩阵Mexe的行列式值|Mexe| ②如果|Mexe|=0，方程组降阶(e=e-1)并转第① 步；如果|Mexe|≠0，则解方程组求得错误位置 多项式的系数σ1,σ2,…,σe (e为实际错误个 数)
10/13/2018 信道编码 14
4.5 BCH码的译码
BCH码译码的一般原理
因此求解错误位置的问题转化成为解线性方程组的问题。 se 1 se1 2 ...... s1 e se1 s s ...... s s e1 1 e 2 2 e e2
3) C~(x)=R(x)+E(x)
10/13/2018 信道编码 7
4.5 BCH码的译码
BCH码译码的一般原理
1)、计算伴随式：ST=HET=HRT
s1 s 2( n 1) 2 ( n 2 ) 2 ... ... ... 2t ( n 1) 2 t ( n 2 ) s 2t
我们的目的是求解e个错误位置x1,x2,…,xe 但直接求解该高次方程组是极其困难的
BCH码的编码方法
一、实验目的1、掌握循环码的编码原理2、掌握BCH 码的编码方法3、了解编码与对误码性能的改善二、实验内容1、自行设置BCH 码的参数，给出生成的BCH 码；2、利用encode 库函数实现编码；3、搭建一个通信仿真模块，并给出运行结果，分析BCH 码对通信性能的影响；3、整理好所有的程序清单，并作注释。
三、实验结果1、 本原多项式4()1p x x x =++，可纠正2位错误时，生成多项式为1)(4678++++=x x x x x g ，写出生成矩阵，给出产生（15，7，2）BCH 码的源程序，并给出运行结果。
（1）生成矩阵由（15,7,2）BCH 码的生成多项式1)(4678++++=x x x x x g可知其生成矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++++++++++++++++++++++++=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1)()()()()()()()(467857892689107910114810111259111213610121314234563x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x g x xg x g x x g x x g x x g x x g x x G则可知其生成矩阵⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=100010111000000010001011100000001000101110000000100010111000000010001011100000001000101110000000100010111G （2）源程序：function f=bchencod(a)%对信息元a 进行编码G=[1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0;0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0;0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0;0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0;0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0;0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0;0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1];%（15,7,2）的生成矩阵t=input('输入0或者1'); %t=0时产生（3,1），汉明编码所有码字t=1时对输入序列进行编码if t==1a=input('输入信息元序列：');%当t=0时，则用户手动输入信息元序列 c=mod(a*G,2);%对应码字disp('（编码后的序列为：）');disp(c);%显示编码后的结果elsedisp('(15,7,2)BCH 码为：');%当t=0时，对for 循环得到的信息元序列进行编码 for i=0:1:(2^7-2)%进行for 循环，得到信息元序列a=dec2bin(i,7);%限定产生的二进制为7位c=mod(a*G,2);%对信息元a 进行编码disp(a);%显示信息元disp('对应码字为：');disp(c);%显示编码结果endend（3）结果输入1时，结果如下：输入0时，结果如下：中间部分已省略，2、用encode函数对随机产生的序列进行BCH编码，给出编码结果。
BCH编码
学号：SY1102417 姓名：何宇BCH编码自1950年汉明发表了纠正单个随机错误的码以来，几乎用了近十年的时间，才于1959年由霍昆格姆（Hocquenghem），1960年由博斯（Bose）和雷-查德胡里（Ray-Chaudhuri）分别提出了纠正多个随机错误的循环码——BCH码（Bose、Ray-Chaudhuri与Hocquenghem的首字母缩写）的构造方法。
BCH 码是用于校正多个随机错误模式的多级、循环、错误校正、变长数字编码，是迄今为止所发现的一类很好的线性纠错码类。
它的纠错能力很强，特别在短和中等码长下，其性能接近于理论值，并且构造方便，编码简单。
特别是它具有严格的代数结构，因此它在编码理论中起着重要的作用。
BCH码是迄今为止研究得最为详尽，分析得最为透彻，取得的成果也最多的码类之一。
1960年皮德逊（Peterson）从理论上解决了二进制BCH码的译码算法，奠定了BCH码译码的理论基础。
稍后，格林斯坦（Gorenstein）和齐勒尔把它推广到了多进制。
1966年伯利坎普（Berlekamp）利用迭代算法解BCH码，从而大大加快了译码速度，从实际上解决了BCH码的译码问题。
由于BCH码性能优良，结构简单，编译码设备也不太复杂，使得它在实际使用中受到工程技术人员的欢迎，是目前用得最为广泛的码类之一。
一、BCH码的构建BCH 码使用有限域上的域论与多项式。
为了检测错误可以构建一个检测多项式，这样接收端就可以检测是否有错误发生。
要构建一个能够检测、校正两个错误的BCH 码，我们要使用有限域GF(16) 或者Z2[x]／<x4 + x + 1>。
如果α是m1(x) = x4 + x + 1的一个根，那么m1就是α的极小多项式，这是因为m1(x) = (x -α)(x -α2)(x -α4)(x -α8)=x4 + x + 1。
如果要构建一个能够纠正一个错误的BCH码，那么就使用m1(x)，这个代码就是所有满足：C(x)≡0（mod m1(x)）且根为α,α2,α4,α8 的多项式C(x)。
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4.2 预备知识：有限域基础
GF(2)的扩域GF(2m)
扩域GF(2m)：设p(x)为GF(2)上的m次既约多项式，模 p(x)的所有2m个余式在模p(x)加法和乘法下构成2m元域， 称为GF(2)的扩域(也称为模p(x)的剩余类域)，记为 GF(2m)。
例如： 设p(x)=x3+x+1，则： {0, 1, x, x2, x+1, x2+x, x2+x+1, x2+1}构成扩域 GF(23)。
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4.2 预备知识：有限域基础
有限域的基本概念 例：集合{0,1}对模2加和模2乘构成二元 域，记为GF(2)； 例：如果q为素数，则集合{0,1,…,q-1} 对模q加和乘构成q元域GF(q)；
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4.2 预备知识：有限域基础
有限域的基本概念
有限域的生成元：对于GF(q)，其中一定存在非 0元素g，其各次幂能生成域中的所有非0元素， 则g称为该域的生成元或本原元。
有限域的基本概念
域的定义：对于非空元素集合F，若定义两种代数运 算”+”和“*”，且满足以下条件： 1)、F关于“+”运算构成交换群 2)、F中全ห้องสมุดไป่ตู้非0元素对“*”运算构成交换群 3)、两种运算满足分配律 则称F构成域。
如果F中元素个数有限，则称该域为有限域或伽罗华 (Galois)域，记为GF(q)。
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4.2 预备知识：有限域基础
有限域的基本概念 GF(2)上的多项式 GF(2)的扩域GF(2m) 用m次本原多项式构造扩域GF(2m) 扩域GF(2m)的表示方式 扩域GF(2m)的性质 GF(2m)中元素的最小多项式
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4.2 预备知识：有限域基础
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第四章 BCH码
4.1 BCH码概述 4.2 预备知识：有限域基础 4.3 BCH码的构造 4.4 BCH码的编码 4.5 BCH码的译码
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4.1 BCH码概述
BCH码的提出与发展
1959年，霍昆格姆(Hocquenghem)，1960年博斯 (Bose)和查德胡理(Chaudhuri)，各自独立地提出了二 元BCH码的构造方法。
BCH码的提出与发展 对BCH码的后续研究主要集中在译码算法 的简化，如减少迭代次数、快速译码算 法、提高纠错能力、软判决译码等。
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4.1 BCH码概述
BCH码的特点
BCH码是线性分组码的重要子类，再具体讲，是 循环码子类。
BCH码具有构造方便、编码简单以及译码易于 实现等优点，BC而H且码是BC迄H今码为有止完研究备的代数理论支
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4.2 预备知识：有限域基础
有限域的基本概念
GF(q)中元素的阶：由GF(q)中元素的幂所能生 成域元素的个数称为该元素的阶。
例如：GF(5)中，2、3的阶为4；1的阶为1；4 的阶为2
定理：有限域GF(q)中，本原元的阶为q-1，其 余非零元素的阶均为q-1的因子。
说明：后面我们仅讨论二元域GF(2)及其扩域 GF(2q)，所有结论均可推广到q元域GF(q)。
本原多项式一定是既约的，既约多项式未必是本原的。
反多项式：设f(x)是GF(2)上的m次多项式， 则f*(x)=xmf(x-1)称为f(x)的反多项式。
如果多项式f(x)是既约多项式，则其反多项式f*(x)一定是既约多项式； 如果多项式f(x)是本原多项式，则其反多项式f*(x)也一定是本原多项式。
信道编码
通信工程系移动通信教研室
第四章 BCH码
4.1 BCH码概述 4.2 预备知识：有限域基础 4.3 BCH码的构造 4.4 BCH码的编码 4.5 BCH码的译码
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本章要求
了解BCH码的提出与发展 掌握：
扩域GF(2m)的概念、构造及域元素的运算 BCH码的基本概念与构造方法 BCH码的编码方法与迭代译码算法
持。
最为详尽、分析最为透彻、
BCH取码得的成果生最成多多、项应式用与最为最广小泛距的离码d类有之密一切。关系， 使设计者可以根据d的需要轻易构造出具有预定
纠错能力的编码方案。
纠错能力强，中短码长下的性能接近理论值。
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第四章 BCH码
4.1 BCH码概述 4.2 预备知识：有限域基础 4.3 BCH码的构造 4.4 BCH码的编码 4.5 BCH码的译码
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4.2 预备知识：有限域基础
GF(2)上的多项式
GF(2)上的多项式：系数取自GF(2)的多项式 如：f(x)=x+1、f(x)=x3+x+1 等
定理：若f(x)是GF(2)上的m次多项式，则：
f(x )2 l fx 2 l
既约多项式：如果GF(2)上的m次多项式f(x)除了1和它 本身之外不能被其它多项式整除，则称f(x)为GF(2)上 的既约多项式。
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4.2 预备知识：有限域基础
GF(2)上的多项式
多项式的周期：多项式f(x)的周期定义为f(x)能整除 xn-1的最小的n
本原多项式：如果GF(2)上的m次既约多项式 f(x)=xm+fm-1xm-1 +…+f1x+1的周期为n=2m-1，则称f(x) 为GF(2)上的m次本原多项式。
1960年，彼得森(Peterson)从理论上提出了二元BCH 码的译码算法。
1966年，伯利坎普(Berlekamp)提出了BCH码的迭代译 码算法，使BCH码进入实用。
七十年代以后BCH码得到了极为广泛的应用，如磁记 录、CD/VCD/DVD、深空及卫星通信等。
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4.1 BCH码概述
例如：GF(5)={0,1,2,3,4}中，
g = 1 g0 ≡ 1 g1 ≡ 1 g2 ≡ 1 g3 ≡ 1
g = 2 g0 ≡ 1 g1 ≡ 2 g2 ≡ 4 g3 ≡ 3
生成元
g = 3 g0 ≡ 1 g1 ≡ 3 g2 ≡ 4 g3 ≡ 2 g = 4 g0 ≡ 1 g1 ≡ 4 g2 ≡ 1 g3 ≡ 4