高中数学第三章概率章末小结与测评课件新人教A版必修3
高二数学第三章概率本章小结新人教A版必修3
( 把钥匙， 其中 2 把钥匙能把门打开． 现每次随机地取 1 把钥匙试着开门， 试 过的钥匙不扔掉，求第二次才能打开门的概率．
知识网络构建
高中数学 第三章 概率本章小结
热点专题聚焦
随机事件的概率
?专题归纳
1．在条件 S 下，可能发生也可能不发生的事件称为相对于条件
S 的随机事件，简称随
机事件． 对它的理解应包含下面两个方面： ①随机事件是指一定条件下出现的某种结果， 随
着条件的改变其结果也会不同， 因此必须强调同一事件必须在相同的条件下研究；
②随机事
件可以重复地进行大量试验， 每次试验结果不一定相同， 且无法预测下一次的结果， 但随着
实验的重复进行，其结果呈现规律性．
2．概率可看做频率在理论上的期望值，随着试验次数的增加，频率可近似
地作为这个
事件的概率，频率本身是随机的；概率是一个确定的常数，是客观存在的，
与每次的试验无
关．概率反映了随机事件发生可能性的大小．对于概率的统计定义，应注意以下几点：
的集合的补集，即满足条件： A∩ B＝ ?且 A∪ B＝ I ( I 为全集 ) ，通常事件 A 的对立事件记作
A. 对立事件的性质： P( A∪ A) ＝P( A) ＋ P( A) ＝ 1，由公式可得 P( A) ＝ 1－ P( A) ，当直接求某一
事件的概率较为复杂时， 可先转而求其对立事件的概率， 这样可以大大地简化求某些事件概
古典概型及其概率
?专题归纳
1．古典概型的建立． 如果一个试验同时满足以下两个条件： (1) 有限性： 在一次试验中，
可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件； 发生的可能性是均等的．则称这样的试验为古典概型．
2019版高中高中数学第三章概率章末总结课件新人教A版必修3
12 名女生成绩的中位数为 75.
(2)按照获奖类型,用分层抽样的方法从这20名学生中抽取5人,再从选出的
5人中任选3人,求恰有1人获“优秀奖”的概率.
解:(2)由茎叶图可知,获“纪念奖”的有 12 人,获“优秀奖”的有 8 人.用分层抽 5 样的方法从中抽取 5 人,则“纪念奖”抽取 12× =3 人,分别记为 a1,a2,a3,“优 20 秀奖”有 2 人,分别记为 b1,b2. 从这 5 人中选取 3 人,所有结果有{a1,a2,a3},{a1,a2,b1},{a1,a2,b2},{a1,a3,b1}, {a1,a3,b2},{a1,b1,b2},{a2,a3,b1},{a2,a3,b2},{a2,b1,b2},{a3,b1,b2}共 10 个.这些 事件的出现是等可能的. 恰有 1 人获“优秀奖”的结果有{a1,a2,b1},{a1,a2,b2},{a1,a3,b1},{a1,a3,b2}, {a2,a3,b1},{a2,a3,b2},共 6 个. 6 3 所以选出的 3 人中恰有 1 人获“优秀奖”的概率 P= = . 10 5
题型探究
真题体验
题型探究·素养提升
一、互斥事件与对立事件的概率 【典例1】 某射手在一次射击中射中10环,9环,8环,7环,7环以下的概率分 别为0.24,0.28,0.19,0.16,0.13.计算这个射手在一次射击中: (1)射中10环或9环的概率; (2)至少射中7环的概率;
(3)射中环数不足8环的概率.
章末总结
网络建构
知识辨析
判断下列说法是否正确.(请在括号中填“√”或“×”) 1.“一个三角形的内角和为280°”是随机事件.( × ) 2.“投掷一枚硬币,正面向上或反面向上”是必然事件.( √ ) 3.灯泡的合格率是99%,从一批灯泡中任取一个,则是合格品的可能性为99%. ( √ ) 4.若P(A)=0.001,则A为不可能事件.( × ) 5.在同一试验中的两个事件A与B,一定有P(A∪B)=P(A)+P(B).( × ) 6.对互斥事件A与B,一定有P(A)+P(B)=1.( × )
版高中数学 第三章 概率章末复习提升课件 新人教A版必修3.pptx
(1)完成下表，并求所种作物的平均年收获量：
6
(4)随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条 件S的随机事件，简称随机事件. (5)事件的表示方法：确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字 母A，B，C…表示. 2.对于概率的定义应注意以下几点 (1)求一个事件的概率的基本方法是通过大量的重复试验. (2)只有当频率在某个常数附近摆动时，这个常数才叫做事件A的概率. (3)概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. (4)概率反映了随机事件发生的可能性的大小. (5)必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，故0≤P(A)≤1.
9
解析答案
跟踪训练1 某射击运动员为备战奥运会，在相同条件下进行射击训练， 结果如下：
射击次数n
10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
(1)该射击运动员射击一次，击中靶心的概率大约是多少？
解 由题意得，击中靶心的频率分别为0.8,0.95，0.88，0.92,0.89,0.91， 当射击次数越来越多时，击中靶心的频率在0.9附近摆动， 故概率约为0.9.
10
解析答案
(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？
解 击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次).
(3)假如该射击运动员射击了300次，前270次都击中靶心，那么后30次 一定都击不中靶心吗？
解 由概率的意义，可知概率是个常数，不因试验次数的变化而变化. 后30次中，每次击中靶心的概率仍是0.9，所以不一定. (4)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10 次一定击中靶心吗？
4
3.对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数n与事件A包含 的基本事件的个数m，再利用公式P(A)＝m 求出概率.有时需要用列举法
高中数学《第三章 概率》归纳整合课件 新人教A版必修3
公式 P(A)＝1－P( A )(事件 A 与 A 互为对立事件)求解．
3．对于古典概型概率的计算，关键要分清基本事件的总数 n 与 事件 A 包含的基本事件的个数 m，再利用公式 P(A)＝mn 求出 概率．有时需要用列举法把基本事件一一列举出来，在列举 时必须按某一顺序做到不重不漏．
根据概率的统计定义，我们可以由频率来估计概率，因此应理 清频率与概率的关系，频率是概率的近似值，是随机的，随着 试验的不同而变化，而概率是多数次的试验中频率的稳定值， 是一个(yī ɡè)常数，不要用一次或少数次试验中的频率来估计 概率．
第五页，共24页。
【例1】 下表是某种油菜子在相同条件下的发芽试验结果表，请 完成表格并回答(huídá)以下问题. 每批粒数 2 5 10 70 130 300 1 500 2 000 3 000 发芽的粒数 2 4 9 60 116 269 1 347 1 794 2 688 发芽的频率
【例2】 某人一次同时抛出两枚均匀骰子(它们的六个面分别标有点数1、2、
3、4、5、6)， (1)求两枚骰子点数相同的概率； (2)求两枚骰子点数之和为5的倍数的概率． 解 用(x，y)表示同时抛出的两枚均匀骰子中一枚骰子向上的点数是x， 另一枚骰子向上的点数是y，则全部(quánbù)结果有： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)． 即同时抛出两枚均匀骰子共有36种结果． 则同时抛出两枚均匀骰子的结果是有限个，属于古典概型．
人教A版高中数学必修三课件：第三章章末小结
等于(
).
1
2
3
4
A.5 B.5 C.5 D.5
【方法指导】选出的两球只与颜色有关,与顺序无关,可把不
同颜色的小球分别进行编号,无序列举出基本事件,利用古典概
型计算.
【解析】把 1 个红球记为 a,2 个白球分别记为 b1,b2,3 个黑
满足两球颜色为一红一黑的基本事件有(a,c1),(a,c2),(a,c3),共
3 1
3 个,故所求事件的概率为15 =5,故选 A.
【答案】A
【小结】在进行摸球活动中,所求概率一般只与球的颜色有
关,而与先后顺序无关,列举时只需把摸出的球的编号列举出来
即可,无需再颠倒顺序.如果按照有序性列举基本事件,那么个数
两种,则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率
为
.
【解析】将四种水果每两种分为一组,有 6 种方法,则甲、乙
1
两位同学各自所选的两种水果相同的概率为6.
1
【答案】
6
3.(2015 年福建卷)如图,矩形 ABCD 中,点 A 在 x 轴上,点 B 的坐标
+ 1, ≥ 0,
为(1,0),且点 C 与点 D 在函数 f(x)= 1
函数.
(2)Excel 软件产生区间[0,1]上的均匀随机数的函数为
“rand()”.
题型一:概率与频率
某险种的基本保费为 a(单位:元),继续购买该险种的投保人
称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如
下:
上年度
出险次 0 1 2 3 4 ≥5
数
1.2 1.5 1.7
0.8
高中数学 3.4第三章概率复习小结素材 文 新人教A版必修3
高中数学 3.4第三章概率复习小结素材 文新人教A 版必修3 "第一部分3.1.1 —3.1.2随机事件的概率及概率的意义1、基本概念：（1）必然事件：在条件S 下，一定会发生的事件，叫相对于条件S 的必然事件；（2）不可能事件：在条件S 下，一定不会发生的事件，叫相对于条件S 的不可能事件；（3）确定事件：必然事件和不可能事件统称为相对于条件S 的确定事件；（4）随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件；（5）频数与频率：在相同的条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n次试验中事件A 出现的次数nA 为事件A 出现的频数；称事件A 出现的比例fn(A)=n n A为事件A 出现的概率：对于给定的随机事件A ，如果随着试验次数的增加，事件A 发生的频率fn(A)稳定在某个常数上，把这个常数记作P （A ），称为事件A 的概率。
（6）频率与概率的区别与联系：随机事件的频率，指此事件发生的次数nA 与试验总次数n 的比值n n A，它具有一定的稳定性，总在某个常数附近摆动，且随着试验次数的不断增多，这种摆动幅度越来越小。
我们把这个常数叫做随机事件的概率，概率从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小。
频率在大量重复试验的前提下可以近似地作为这个事件的概率3.1.3 概率的基本性质1、基本概念：（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件（2）若A ∩B 为不可能事件，即A ∩B=ф，那么称事件A 与事件B 互斥；（3）若A ∩B 为不可能事件，A ∪B 为必然事件，那么称事件A 与事件B 互为对立事件；（4）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)2、概率的基本性质：1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A)≤1；2）当事件A 与B 互斥时，满足加法公式：P(A ∪B)= P(A)+ P(B)；3）若事件A 与B 为对立事件，则A ∪B 为必然事件，所以P(A ∪B)= P(A)+ P(B)=1，于是有P(A)=1—P(B)；第二部分3.2.1 —3.2.2古典概型（1）古典概型的使用条件：试验结果的有限性和所有结果的等可能性。
【精品】高中数学第三章概率本章优化总结课件新人教A版必修3
(2) 试 验 的 全 部 结 果 构 成 区 域 Ω ＝ {(a ， b)|2≤a≤6,0≤b≤4}，其面积为 S(Ω)＝16. 设“一元二次方程无实数根”为事件 B，则 构成事件 B 的区域为 B＝{(a，b)|2≤a≤6， 0≤b≤4， (a－ 2)2＋ b2<16}，其面积为 S(B) 1 ＝ ×π×42＝4π， 4 4π π 故所求的概率为 P(B)＝ ＝ . 16 4
若事件 A1 ， A2， A3， …， An 彼此互斥，则 P(A1∪A2∪…∪An) ＝ P(A1) ＋ P(A2) ＋ … ＋ P(An)． 应用互斥事件的概率的加法公式解题时，一 定要注意首先确定各个事件是否彼此互斥， 然后求出各事件分别发生的概率， 再求和． 对 于较复杂事件的概率，可以转化为求对立事 件的概率，P(A)＝1－P( A )．
【思维总结】
第(2)问也可以这样解：因为
事件“其血可以输给B型血的人”与事件“
其血不能输给B型血的人”是对立事件，故
由对立事件的概率公式有P(A′∪C′)＝1－
P(B′∪D′)＝1－0.64＝0.36.
专题二
利用古典概型求概率
首先根据古典概型的两个特征：有限性、等 可能性判断是否为古典概型，然后利用列举 法， 计算出总基本事件个数 n 和事件 A 的基 m 本事件个数 m，代入公式 P(A)＝ n .
【解】
(1)由所给数据可知，一等品零件共
有 6 个．设“从 10 个零件中，随机抽取 1 个 6 3 为一等品”为事件 A，则 P(A)＝ ＝ . 10 5 (2) ①一等品零件的编号为 A1 ， A2 ， A3 ， A4 ， A5， A6.从这 6 个一等品零件中随机抽取 2个， 所有可能的结果有： {A1 ， A2} ， {A1 ， A3} ， {A1 ， A4} ， {A1 ， A5} ， {A1 ， A6} ， {A2 ， A3} ， {A2 ， A4} ， {A2 ， A5} ， {A2 ， A6} ， {A3 ， A4} ， {A3 ， A5} ， {A3 ， A6} ， {A4 ， A5} ， {A4 ， A6} ， {A5，A6}，共有15种．
高中数学 第三章概率章末课件 新人教A版必修3
解 (1)表中次品频率(pínlǜ)从左到右依次为0.06，0.04，0.025， 0.017，0.02，0.018. (2)当抽取件数a越来越大时，出现次品的频率(pínlǜ)在0.02附近摆 动，所以从这批U盘中任抽一个是次品的概率约是0.02. (3)设需要进货x个U盘，为保证其中有2 000个正品U盘，则x(1－ 0.02)≥2 000，因为x是正整数， 所以x≥2 041，即至少需进货2 041个U盘．
第九页，共30页。
跟踪演练(yǎn liàn)1 某射击运动员为备战奥运会，在相同 条件下讲行射击训练，结果如下：
射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶心
次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心
的频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(1)该射击(shèjī)运动员射击(shèjī)一次，击中靶心的概率大约是多少 ？ (2)假设该射击(shèjī)运动员射击(shèjī)了300次，则击中靶心的次数 大约是多少？
第十二页，共30页。
(3)利用集合的观点来看，如果事件A∩B＝∅，A∪B＝U， 则两事件是对立的，此时A∪B就是必然事件，可由 P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1来求解P(A)或P(B)． 2．互斥事件概率的求法 (1)若A1，A2，…，An互斥：则P(A1∪A2∪…∪An)＝ P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)． (2)利用这一公式(gōngshì)求概率的步骤是：①要确定这一 些事件彼此互斥；②这一些事件中有一个发生；③先求出 这一些事件分别发生的概率，再求和．值得注意的是：① 、②两点是公式(gōngshì)的使用条件，不符合这两点，是 不能运用互斥
几何概型同古典概型一样，是概率中最具有代表性的试验概型之
高中数学第3章概率章末复习与总结课件新人教A版必修3
[解] 该试验的所有可能的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)， (1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)， (3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)， (5,4)，(5,5)，共 25 个．和为偶数的基本事件有 13 个，所以甲赢 的概率为1235，乙赢的概率为1225，所以这种游戏规则不公平.
∴该学校阅读过《西游记》的学生人数为 70 人，则该学校 阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值 为：17000＝0.7.故选 C.
[答案] C
[方 法 总 结] 本题为求随机事件的概率问题，直接求解思路不明显，可 借助 Venn 图先求出只阅读《西游记》的人数，再结合图形算出 最终结果．
记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西
游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为( )
A．0.5
B．0.6
C．0.7
D．0.8
[解析] 某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随 机调查了 100 位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的 学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过 《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，作出维恩图， 得：
[方 法 总 结] 对于第(2)问，要注意“翻过的牌不能再翻”，因为前两次 翻牌仅有一次获奖，则剩下的获奖商标牌有 4 个，总的商标牌 有 18 个．
休息时间到啦
同学们，下课休息十分钟。现在是休息时间，你们休 睛，
看看远处，要保护好眼睛哦~站起来动一动，久坐对 哦~
2.伸手指，论输赢游戏 【例 3】 甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各伸出一 只手的若干根手指，若伸出的手指数的和为偶数就算甲赢，否 则算乙赢．请问这种游戏规则公平吗？说明理由．
2020_2021学年高中数学第三章概率本章小结学案含解析新人教A版必修3
高中数学:概率本章小结一、随机事件及概率随机事件的概率是指大量重复进行同一试验，随机事件A 发生的频率mn (n 是试验的总次数，m 是事件A 发生的次数)接近的常数，记作P (A )，它反映的是这个事件发生的可能性的大小．即一个随机事件的发生既有随机性又有规律性．规律性体现在mn 的值具有稳定性，当随机试验的次数不断增加时，mn 的值总在某个常数附近摆动且摆动的幅度越来越小，由于0≤m ≤n ，故0≤mn≤1，于是可得0≤P (A )≤1.[例1] 某射击运动员为2016年里约热内卢奥运会做准备，在相同条件下进行射击训练，结果如下：射击次数n 10 20 50 100 200 500 击中靶 心次数m 8 19 44 92 178 455 击中靶心 的频率0.80.950.880.920.890.91(1)(2)假设该射击运动员射击了300次，则击中靶心的次数大约是多少？(3)假如该射击运动员射击了10次，前9次中有8次击中靶心，那么第10次一定击中靶心吗？[解] (1)由题意知击中靶心的频率在0.9左右摆动，故概率约为0.9. (2)击中靶心的次数大约为300×0.9＝270(次)． (3)不一定．二、互斥事件和对立事件互斥和对立都是反映事件相互关系的重要概念．互斥事件、对立事件的概率公式是基本公式，必须学会正确运用．应用互斥事件的概率加法公式时，首先要确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和，应用互斥事件的概率加法公式P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )求解；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式P (A )＝1－P (A )求解．[例2] 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )A.110B.310C.35D.910[解析] 设3个红球分别为红1，红2，红3,2个白球分别为白1，白2，则从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球的取法有(红1，红2，红3)，(红1，红2，白1)，(红1，红2，白2)，(红1，红3，白1)，(红1，红3，白2)，(红1，白1，白2)，(红2，红3，白1)，(红2，红3，白2)，(红2，白1，白2)，(红3，白1，白2)，共10种，其中不含白球的只有(红1，红2，红3)1种，所以不含白球的概率为110，所以至少有1个白球的概率为P ＝1－110＝910.[答案] D 三、古典概型古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基础，这也是我们在学习、生活中经常遇到的题型，解题时要紧紧抓住古典概型的两个基本特征，即有限性与等可能性，用以判断该题目是否属于古典概型．事件A 在古典概型中发生的概率P (A )＝mn ，其中n 为试验的基本事件总数，m 为事件A 包含的基本事件数，应用公式的关键是正确理解基本事件与事件A 的关系，从而求出m 、n .下面举例说明．[例3] 为了调查某厂2 000名工人生产某种产品的能力，随机抽查了m 位工人某天生产该产品的数量，产品数量的分组区间为[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35]，频率分布直方图如图所示．已知生产的产品数量在[20,25)之间的工人有6位．(1)求m ；(2)工厂规定从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人进行培训，则这2位工人不在同一组的概率是多少？[分析] (1)利用数量在[20,25)内矩形的面积等于样本中落在该组的频率求出m ；(2)生产低于20件产品的工人有两组[10,15)，[15,20)，分别求出两组的人数，利用古典概型求出概率．[解] (1)根据频率分布直方图可知产品件数在[20,25)内的频率为5×0.06＝0.3，则有0.3m ＝6，解得m ＝20.(2)根据频率分布直方图可知产品件数在[10,15)，[15,20)内的人数分别为5×0.02×20＝2,5×0.04×20＝4，设生产产品件数在[10,15)内的2人分别是A ，B ，设生产产品件数在[15,20)内的4人分别是C ，D ，E ，F ，则从生产低于20件产品的工人中随机地选取2位工人的结果有：(A ，B )，(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，(C ，D )，(C ，E )，(C ，F )，(D ，E )，(D ，F )，(E ，F )，共15种．2位工人不在同一组的结果有：(A ，C )，(A ，D )，(A ，E )，(A ，F )，(B ，C )，(B ，D )，(B ，E )，(B ，F )，共8种．则选取这2人不在同一组的概率为815.四、几何概型当一随机试验的可能结果有无数个，并且每个结果的出现都是等可能的，我们把这样的试验称为几何概型．由于试验的结果不能一一列举出来，所以在计算概率时可利用试验的全部结果构成的区域和所求事件的结果构成的区域的几何度量的比值来计算．常用的几何度量有长度、面积、体积和角度等，解题时要适当选择．[例4] 在区间[－3,3]上随机取一个数x ，使得lg(x －1)<lg2成立的概率为________．[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，lg (x －1)<lg2，解得⎩⎨⎧x >1，x <3.所以在区间[－3,3]上不等式lg(x －1)<lg2的解集为(1,3)，其长度为2.又因为x ∈[－3,3]，其长度为6，由几何概型知识，得P ＝26＝13. [答案] 13[例5] 节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )A.14B.12C.34D.78[解析] 设两串彩灯同时通电后，第一次闪亮的时刻分别为x ，y ，则0≤x ≤4,0≤y ≤4，而事件A “它们第一次闪亮的时刻相差不超过2 s ”，即|x －y |≤2，其表示的区域为如图所示的阴影部分．由几何概型概率公式，得 P (A )＝42－2×⎝⎛⎭⎫12×2×242＝34.[答案] C五、概率与统计的综合问题概率与统计相结合，是新课标数学高考试题的一个亮点，其中所涉及的统计知识是基础知识，所涉及的概率是古典概型，虽然是综合题，但是难度不大，属于中档以下难度．[例6] 随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图所示．(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高； (2)计算甲班的样本方差；(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173 cm 的同学，求身高为176 cm 的同学被抽中的概率．[分析] (1)茎叶图中的数据越集中在上部，则说明该班的平均身高较高；(2)先求出平均数，再代入方差公式即可；(3)写出所有基本事件，再统计基本事件的总数和所求事件包含的基本事件的个数，利用古典概型计算概率．[解] (1)由茎叶图可知：甲班身高集中于160～179之间，而乙班身高集中于170～180之间，因此乙班平均身高高于甲班．(2)甲班的平均身高：x ＝110(158＋162＋163＋168＋168＋170＋171＋179＋179＋182)＝170，甲班的样本方差为： s 2＝110[(158－170)2＋(162－170)2＋(163－170)2＋(168－170)2＋(168－170)2＋(170－170)2＋(171－170)2＋(179－170)2＋(179－170)2＋(182－170)2]＝57.2.(3)设身高为176 cm 的同学被抽中的事件为A ，用(x ，y )表示从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173 cm 的同学的身高，则所有的基本事件有：(181,173)，(181,176)，(181,178)，(181,179)，(179,173)，(179,176)，(179,178)，(178,173)，(178,176)，(176,173)，共10个基本事件，而事件A 含有(181,176)，(179,176)，(178,176)，(176,173)，共4个基本事件， ∴P (A )＝410＝25.即身高为176 cm 的同学被抽中的概率为25.。
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古典概型是一种最基本的概型，也是学习其他概型的基 础，在高考题中，经常出现此种概型的题目，解题时要紧紧 抓住古典概型的两个基本特征，即有限性和等可能性． 对于古典概型概率的计算，关键是分清基本事件个数 n 与事件 A 中包含的结果数 m，有时需用列举法把基本事件一 m 一列举出来， 再利用公式 P(A)＝ 求出事件的概率， 这是一个 n 形象、直观的好方法，但列举时必须按某一顺序做到不重复、 不遗漏．
(2)法一：由于 A，AB 型血不能输给 B 型血的人， 所以“任找一人，其血不能输给张三”为事件 A′∪ C′，依据互斥事件概率的加法公式，有 P(A′∪C′) ＝P(C′)＋P(A′)＝0.28＋0.08＝0.36. 法二： 因为事件“任找一人， 其血可以输给张三” 与事件“任找一人，其血不能输给张三”是对立事件， 所以由对立事件的概率公式，有 P(A′ ∪ C′)＝ 1－ P(B′∪D′)＝1－[P(B′)＋P(D′)]＝1－0.64＝0.36.
解：(1)余下两种坐法如下表所示： 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 座位号 3 2 4 1 5 3 2 5 4 1
(2)若乘客 P1 坐到了 2 号座位 其他乘客按规则就坐． 则所有可能的坐法可用下表表示为：
乘客 P1 P2 P3 P4 P5 2 1 3 4 5 2 3 1 4 5 2 3 4 1 5 座位号 2 3 4 5 1 2 3 5 4 1 2 4 3 1 5 2 4 3 5 1 2 5 3 4 1
[典例 1] 黄种人群中各种血型的人所占的比例如下： 血型 A B AB O
该血型的人所占比例(%) 28 29 8 35 已知同种血型的人可以输血，O 型血可以输给任一种血型 的人，其他不同血型的人不能互相输血，张三是 B 型血，若张 三因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给张三的概率是多少？ (2)任找一个人，其血不能输给张三的概率是多少？
应用互斥事件的概率的加法公式解题时， 一定要 注意首先确定各个事件是否彼此互斥， 然后求出各事 件分别发生的概率， 再求和． 对于较复杂事件的概率， 可以转化为求对立事件的概率． 求复杂事件的概率通常有两种方法： 一是将所求 事件转化成彼此互斥的事件的和； 二是先求其对立事 件的概率， 若 A 与 B 互为对立事件， 则利用公式 P(A) ＝1－P(B)求解．
[对点训练] 1． 某商场有奖销售中， 购满 100 元商品得一张 奖券， 多购多得， 每 1 000 张奖券为一个开奖单位． 设 特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个．设 1 张 奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为 A， B，C，求： (1)P(A)，P(B)，P(C)； (2)抽取 1 张奖券中奖的概率； (3)抽取 1 张奖券不中特等奖或一等奖的概率．
章末小结与测评
互斥事件和对立事件是针对两个事件而言的，它们 既有区别又有联系． 在一次试验中，两个互斥事件最多只发生一个；而 两个对立的事件则必有一个发生， 但不可能同时发生． 所 以，两个事件互斥，它们未必对立；反之，两个事件对 立，它们一定互斥． 若事件 A1，A2，„，An 彼此互斥，则 P(A1∪A2∪„ ∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋„＋P(An)．
解：(1)∵每 1 000 张奖券中设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 50 个， 1 10 1 ∴P(A)＝ ，P(B)＝ ＝ ， 1 000 1 000 100 P(C)＝ 50 1 ＝ . 1 000 20
(2)设“抽取 1 张奖券中奖”为事件 D，则 P(D)＝ P(A)＋P(B)＋P(C) 1 1 1 ＝ ＋ ＋ 1 000 100 20 61 ＝ . 1 000 (3)设“抽取 1 张奖券不中特等奖或一等奖”为事件 E， 1 1 989 则 P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－ － ＝ . 1 000 100 1 000
[典例 2]
一辆小客车上有 5 个座位，其座位号为
1,2,3,4,5， 乘客 P1， P2， P3， P4， P5 的座位号分别为 1,2,3,4,5， 他们按照座位号从小到大的顺序先后上车， 乘客 P1 因身 体原因没有坐自己的 1 号座位，这时司机要求余下的乘 客按以下规则就座，如果自己的座位空着，就只能坐自 己的座位，如果自己的座位已有乘客就坐，就在这 5 个 座位的剩余空位中任意选择座位．
(1)若乘客 P1 坐到了 3 号座位， 其他乘客按规则就座， 此时共有 4 种坐法，下表给出了其中两种坐法，请填入 余下两种坐法(将乘客就座的座位号填入表格空格处)； (2)若乘客 P1 坐在了 2 号座位， 其他的乘客按规则就 座，求乘客 P5 坐到 5 号座位的概率. 乘客 P1 P2 P3 P4 P5 3 2 1 4 5 座位号 3 2 4 5 1
解：(1)将 4 道甲类题依次编号为 1,2,3,4；2 道乙类题依次 编号为 5,6.任取 2 道题， 基本事件为： {1,2}， {1,3}， {1,4}， {1,5}， {1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}， {4,6}，{5,6}，共 15 个，而且这些基本事件的出现是等可能的． 用 A 表示“都是甲类题”这一事件，则 A 包含的基本事 件有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，共 6 个，所以 6 2 P(A)＝ ＝ . 15 5
解：(1)对任一人，其血型为 A，B，AB，O 的事件分 别记为 A′，B′，C′，D′，由已知，有 P(A′)＝0.28， P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35，因为 B，O 型血可以输给张三，所以 “任找一人，其血可以输给张 三”为事件 B′∪D′.依据互斥事件概率的加法公式，有 P(B′∪D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64.
于是，所有可能的坐法共 8 种． 设“乘客 P5 坐到 5 号座位”为事件 A，则事件 A 中 的基本事件的个数为 4. 4 1 所以 P(A)＝ ＝ . 8 2 1 乘客 P5 坐到 5 号座位的概率是 . 2
[对点训练] 2．现有 6 道题，其中 4 道甲类题，2 道乙类题，张同 学从中任取 2 道题解答．试求： (1)所取的 2 道题都是甲类题的概率； (2)所取的 2 道题不是同一类题的概率．