宁海中学自主招生数学卷
浙江省宁波市宁海2023-2024学年高一提前招生考试数学试卷含答案
2024年浙江省宁波市宁海创新班提前招生数学试卷（答案在最后）一、选择题（48分）1.若二次函数()2231y mx m m x m =--+-的图象经过点(),a b 、(),a b -，则m 的值为（）A.0B.3C.1D.0或3【答案】B【解析】【分析】由于函数图象关于y 轴对称，则函数的解析式形式应该是2y ax k =+型，由此求得问题的答案.【详解】∵二次函数()2231y mx m m x m =--+-的图象经过点(),a b 、(),a b -，∴函数图象关于y 轴对称，∴函数的解析式形式应该是2y ax k =+型，∴()230m m --=，解得：0m =或3m =，∴二次函数的二次系数不能为0，∴3m =.故选：B.2.小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是（）A.平均数B.中位数C.众数D.方差【答案】A【解析】【分析】由平均数的定义可得答案.【详解】小明同学在计算出8个数的平均数后，不小心将这个数也混到数据中了，那么重新计算这些新数据后一定不变的量是平均数，故选：A.3.已知直线11324y x =+上横、纵坐标都是整数的点的个数是（）A.0个B.1个C.不少于2个但有限个D.无数个【答案】A【解析】【分析】由直线11324y x =+，可得4213y x +=，分析整数性以及奇偶性即可得得解.【详解】由直线11324y x =+可得2413x y +=，如果直线11324y x =+上存在横、纵坐标都是整数的点，即x ，y 都是整数，可知4y ，2x 都是偶数，则24x y +为偶数，这与13为奇数矛盾，所以直线11324y x =+上不存在横、纵坐标都是整数的点.故选：A.4.如图四边形ABCD 与BEFG 是并列放在一起的两个正方形，O 是BF 与EG 的交点.如果正方形ABCD 的面积是9，2CG =，则DEO 的面积为（）A.1B.94C.4D.254【答案】D【解析】【分析】连接BD ，根据正方形的面积可得3BC =，从而可得5BG =，进而可得正方形BEFG 的面积25=，然后根据正方形的性质可得45ABD BEG ∠=∠=°，从而可得BD EG ∥，然后利用平行线间的距离处处相等可得：DOE 的面积BOE = 的面积14=正方形BEFG 的面积，即可解答.【详解】连接BD ，因为正方形ABCD 的面积是9，则3BC =，且2CG =，则325BG BC CG =+=+=，可得正方形BEFG 的面积为25，又因为四边形ABCD 和四边形BEFG 都是正方形，则45ABD BEG ∠=∠=°，可知BD EG ∥，所以DOE 的面积12544DOE BOE BEFG S S S ===V △.故选：D.5.将正三角形、正方形、正五边形按如图所示的方式摆放，其中正方形和正五边形的下底边是水平共线的，如果150∠=︒，那么2∠=（）A.30︒B.34︒C.36︒D.40︒【答案】B【解析】【分析】根据正三角形的内角等于60︒，150∠=︒得()180170DET GEF ∠=︒-∠+∠=︒，根据正五边形的内角等于108︒，得18072TSA RST ∠=-∠=°°，再根据正方形的内角等于90︒得9018STA TSA ∠=-∠=°°，进而得()18054ETD STA STP ∠=︒-∠+∠=︒，然后由三角形的内角和定理得()18056EDT DET ETD ∠=︒-∠+∠=︒，最后再根据2180EDT CDA ∠+∠+∠=°可得出2∠的度数.【详解】如下图所示：EFG △为正三角形，60GEF ∴∠=︒，1180DET GEF ∠+∠+∠= °，150∠=︒，()()1801180605070DET GEF ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，五边形PQRST 为正五边形，108RST STP ∴∠=∠=°，180********TSA RST ∴∠=-∠=-=°°°°，四边形ABCD 为正方形，90DAB CDA ∴∠=∠=︒，90SAT ∴∠=°，90TSA STA ∴∠+∠=°，90907218STA TSA ∴∠=-∠=-=°°°°，180STA STP ETD ∠+∠+∠= °，()()1801801810854ETD STA STP ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，()()180180705456EDT DET ETD ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒，2180EDT CDA ∠+∠+∠= °，()()2180180569034EDT CDA ∴∠=︒-∠+∠=︒-︒+︒=︒.故选：B.6.若实数x 12x -=--，则x 应满足的条件是（）A .0x ≥或1x ≤- B.0x ≤ C.10x -≤≤ D.1x ≥-【答案】C【解析】【分析】分1x <-、10x -≤≤和0x >三种情况，结合根式分析求解即可.【详解】当1x <-时，则10x x <+<，()1112x x x ⎡⎤=---+=<--⎣⎦，不合题意；当10x -≤≤时，则10x +≥，()112x x x =--+=--，符合题意；当0x >时，则01x x <<+，()1112x x x =-+=->--，不合题意；综上所述：x 应满足的条件是10x -≤≤.故选：C.7.如图ABC 的三条高相交于点G ，CH 是角平分线，已知=45ABC ∠︒，60ACD ∠=︒，则图中的等腰三角形共有（）个.A.5B.6C.7D.8【答案】D【解析】【分析】根据条件和等腰三角形的判定分别找出等腰三角形即可.【详解】①AD BC ⊥ ，=45ABC ∠︒，ABD ∴ 是等腰三角形；②CF AB ⊥ ，=45ABC ∠︒，BCF ∴ 是等腰三角形；③60ACB ∠=︒ ，906030CBE ∴∠=︒-︒=︒，CH 是角平分线，1302BCH ACH ACB ∴∠=∠=∠=°，CBI ICB ∴∠=∠，BCI ∴△是等腰三角形；④60ACB ∠=︒ ，906030CAD ∴∠=︒-︒=︒，30ACJ CAJ ∴∠=∠=°，ACJ ∴ 是等腰三角形；⑤604515ACF ∠=-= °°°，901575CAF ∴∠=-=°°°，453075AHC ABC BCH ∴∠=∠+∠=+=°°°，75CAH CHA ∴∠=∠=°，ACH ∴△是等腰三角形；⑥45GCD DGC ∠=∠= °，CDG ∴ 是等腰三角形；⑦303060GIJ EBC HCB ∠=∠+∠=+= °°°，903060GJI CJD ∠=∠=-=°°°，60GIJ GJ ∴∠=∠=°，GIJ ∴△是等腰三角形；⑧AFG 是等腰三角形：综上分析，图中等腰三角形共有8个：ABD △、BCF △、BCI 、ACJ 、ACH 、CDG 、GIJ 、AFG .故选：D.8.如图，O 截ABC 的三条边所得的弦长相等，若80A ∠=︒，则BOC ∠的度数为（）A.125︒B.120︒C.130︒D.115︒【答案】C【解析】【分析】过点O 作OE AB ⊥于E ，OD BC ⊥于D ，OF AC ⊥于F ，根据心角、弧、弦的关系定理得到OD OE OF ==，根据角平分线的判定定理、三角形内角和定理计算，得到答案.【详解】解：过点O 作OE AB ⊥于E ，OD BC ⊥于D ，OF AC ⊥于F ，80A ∠=︒ ，18080100ABC ACB ∴∠+∠=︒-︒=︒，由题意得，HG PQ MN ==，OD OE OF ∴==，OE AB ⊥ ，OD BC ⊥，OF AC ⊥，OB ∴平分ABC ∠，OC 平分ACB ∠，12OBC ABC ∴∠=∠，12OCB ACB ∠=∠，()1502OBC OCB ABC ACB ∴∠+∠=⨯∠+∠=︒，18050130BOC ∴∠=︒-︒=︒，故选：C .9.如图，在Rt ABC △纸片中，90ACB ∠=︒，4AC =，3BC =，点D ，E 分别在AB ，AC 上，连结DE ，将ADE V 沿DE 翻折，使点A 的对应点F 落在BC 的延长线上，若FD 平分EFB ∠，则AD 的长为（）A.259 B.258 C.157 D.207【答案】D【解析】【分析】由翻折得出AD DF =，A DFE ∠=∠，再根据FD 平分EFB ∠，得出DFH A ∠=∠，然后借助相似列出方程即可.【详解】作//DH AC ，交BC 于H ，结合题设有DH BC ⊥，在Rt ABC △纸片中，90ACB ∠=︒，由勾股定理得：5AB ==，将ADE V 沿DE 翻折得DEF ，则AD DF =，A DFE ∠=∠，又因为FD 平分EFB ∠，则DFE DFH ∠=∠，可得DFH A ∠=∠，在Rt DHF △中，3sin sin 5DFH A ∠=∠=，设3DH x =，则5DF x =，55BD x =-，因为BDH BAC ∽，则BD DH AB AC =，即55354x x -=，解得47x =，所以2075AD x ==.故选：D.10.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，点D 的坐标为()2,6-，反比例函数()0k y x x =<经过点D ，若AC 的延长线交y 轴于点E ，连接BE ，则BCE 的面积为（）A.3B.5C.6D.7【答案】C【解析】【分析】依据点D 的坐标为()2,6-，即可得出2CO =，6AB =，进而得到12CO AB ⨯=，再根据线段成比例可得BCE 的面积.【详解】因为点D 的坐标为()2,6-，且CD CO ⊥，则2CO =，6CD AB ==，可得12CO AB ⨯=，又因为AB ∥OE ，则BC AB OC EO =，可得12BC EO AB CO ⋅=⋅=，所以BCE 的面积162BCE BC O S E =⨯⨯=△.故选：C.11.如图，正方形ABCD 的边长是3，BP CQ =，连接AQ ，DP 交于点O ，并分别与边CD ，BC 交于点F ，E ，连接AE ，下列结论：①AQ DP ⊥；②2OA OE OP =⋅；③AOD OECF S S = 四边形；④当1BP =时，1an 136t OAE ∠=，其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由四边形ABCD 是正方形，得到AD BC =，90DAB ABC ∠=∠=︒，根据全等三角形的性质得到P Q ∠=∠，根据余角的性质得到AQ DP ⊥；故①正确；根据相似三角形的性质得到2AO OD OP =⋅，由OD OE ≠，得到2OA OE OP ≠⋅；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF BE =，DF CE =，于是得到ADF DFO DCE DOF S S S S -=-△△△△，即AOD OECF S S = 四边形；故③正确；根据相似三角形的性质得到34BE =，求得134QE =，135QO =，3920OE =，由三角函数的定义即可得到结论.【详解】因为四边形ABCD 是正方形，AD BC ∴=，90DAB ABC ∠=∠=︒，BP CQ = ，AP =BQ ∴，在DAP 与ABQ 中，AD AB DAP ABQ AP BQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩.DAP ABQ ∴△≌△，P Q ∴∠=∠，90Q QAB ∠+∠=︒ ，90P QAB ∴∠+∠=︒，90AOP ∴∠=︒，AQ DP ∴⊥；故①正确；90DOA AOP ∠=∠=︒ ，90ADO P ADO DAO ∠+∠=∠+∠=︒，DAO P ∴∠=∠，DAO APO ∴△∽△，AO OP OD OA∴=，2AO OD OP ∴=⋅，AE AB > ，AE AD ∴>，OD OE ∴≠，2OA OE OP ∴≠⋅；故②错误；在CQF △与BPE 中FCQ EBP Q P CQ BP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CQF BPE ∴△≌△，CF BE ∴=，DF CE ∴=，在ADF △与DCE △中，AD CD ADC DCE DF CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ADF DCE ∴V V ≌，ADF DFO DCE DOF S S S S ∴-=-△△△△，即AOD OECF S S = 四边形；故③正确；1BP = ，3AB =，4AP ∴=，PBE PAD △∽△，43PB PA EB DA ∴==，34BE ∴=，134QE ∴=，QOE PAD △∽△，1345QO OE QE PA AD PD ===，135QO ∴=，3920OE =，1255AO QO ∴=-=，13tan OA 16OE OAE ∴∠==，故④正确，故选：C.【点睛】关键点点睛：熟练掌握相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角函数的定义是解题的关键.12.在Rt ABC △中，90BAC ∠=︒，6AB =，8AC =，点P 是ABC 所在平面内一点，则222PA PB PC ++取得最小值时，下列结论正确的是（）A.点P 是ABC 三边垂直平分线的交点B.点P 是ABC 三条内角平分线的交点C.点P 是ABC 三条高的交点D.点P 是ABC 三条中线的交点【答案】D 【解析】【分析】作辅助线，设AD PE x ==，AE DP y ==，则()22222820033233AP CP BP x y ⎛⎫++=-+-+ ⎪⎝⎭，可知当83x =，2y =时，222AP CP BP ++的值最小，进而分析点P 的位置.【详解】过P 作PD AC ⊥于D ，过P 作PE AB ⊥于E ，延长CP 交AB 于M ，延长BP 交AC 于N ，如图：因为90A ∠=︒，PD AC ⊥，PE AB ⊥，可知四边形AEPD 是矩形，设AD PE x ==，AE DP y ==，在Rt AEP △中，可得222AP x y =+，在Rt CDP △中，可得()2228CP x y =-+，在Rt BEP 中，可得()2226BP x y =+-，则()()22222222286AP CP BP x y x y x y ++=++-+++-22316312100x x y y =-+-+()22820033233x y ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭，可知当且仅当832x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩时，222AP CP BP ++的值最小，此时83AD PE ==，2AE PD ==，又因为90A ∠=︒，PD AC ⊥，可知PD AB ∥，则AM AC PD CD=，即81623AM =，解得3AM =，可知12AM AB =，即M 是AB 的中点，同理可得12AN AC =，N 为AC 中点，所以P 是ABC 三条中线的交点.故选：D.二、填空题（24分）13.已知a 是一元二次方程210x x --=的一个解，则代数式221a a a a--+的值是______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得210a a --=，结合题意整理即可得解.【详解】因为a 是一元二次方程210x x --=的一个解，则210a a --=，显然0a ≠，可得2211,1a a a a--==，所以2212a a a a--+=.故答案为：2.14.如图，正八边形ABCDEFGH 中，GFB ∠=______.【答案】3π8【解析】【分析】利用外接圆被各个顶点平分确定圆心角，再随之确定圆周角.【详解】如图，正八边形存在外接圆，且各个顶点将圆周平分为八段弧，而整个圆对应的圆心角是2π，所以包含三段单位弧段的 GB对应的圆心角33π2π84GOB ∠=⋅=，从而其对应的圆周角13π28GFB GOB ∠=∠=.故答案为：3π8.15.二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则不等式()()2220a x b x c -+-+<的解集为______.【答案】()(),35,-∞⋃+∞【解析】【分析】先根据图象确定2x -的取值范围，再确定x 的取值范围.【详解】根据图象，原不等式等价于()()2,13,x -∈-∞+∞ ，即()(),35,x ∈-∞+∞ .故答案为：()(),35,-∞⋃+∞.16.有五本形状为长方体的书放置在方形书架中，如图所示，其中四本竖放，第五本斜放，点G 正好在书架边框上，每本书的厚度为5cm ，高度为20cm ，书架宽为40cm ，则FI 的长______.【答案】4017##6217【解析】【分析】设CFE θ∠=，则20cos ,5sin CF FI θθ==，结合题意分析可得sin 44cos θθ=-，与22sin cos 1θθ+=联立运算求解即可.【详解】由题意可知：20cm,20cm,5cm BC EF FG ===，设CFE θ∠=，则FGI θ∠=，20cos ,5sin CF FI θθ==，由题意可知：2020cos 5sin 40BC CF FI θθ++=++=，整理得sin 44cos θθ=-，联立方程22sin 44cos sin cos 1θθθθ=-⎧⎨+=⎩，消去sin θ整理得217cos 32cos 150θθ-+=，即()()17cos 15cos 10θθ--=，解得15cos 17θ=或cos 1θ=（舍去），所以8sin 17θ=，405sin 17FI θ==.故答案为：4017.17.如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，将边AD 绕点D 逆时针旋转60︒得到DE ，线段DE 交边BC于点F ，连接BE .若165C E ∠+∠=︒，2BE =，CD =，则线段BC 的长为______.【答案】【解析】【分析】先证明135EBA ∠=︒，然后通过构造等腰直角三角形的方法求得AE ，即可随之确定BC .【详解】如图，过A 作直线BE 的垂线，交直线BE 于点G ，则90BGA ∠=︒.同时，连接AE .由已知有DE DA =，60EDA ∠=︒，故ADE V 是等边三角形，且60CFD EFB ∠=∠=︒.所以()180180360606024016575CDF EBF C CFD E EFB C E ∠+∠=︒-∠-∠+︒-∠-∠=︒-︒-︒-∠+∠=︒-︒=︒.从而7560135EBA EBF FBA EBF CDA EBF CDF FDA ∠=∠+∠=∠+∠=∠+∠+∠=︒+︒=︒.由于180********GBA EBA ∠=︒-∠=︒-︒=︒，而90BGA ∠=︒，故BGA △是等腰直角三角形，AB 为斜边.由已知有2BE =，AB CD ==，故42BG AG AB ===，所以426EG BG BE =+=+=，从而BC AD AE =====故答案为：【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用已知条件的同时构造等腰直角三角形，方可使用勾股定理解决问题.18.如图，等腰直角ABC 的斜边AB 下方有一动点D ，90ADB ∠=︒，BE 平分ABD ∠交CD 于点E ，则CECD的最小值是______.【答案】2【解析】【分析】设ABD ϕ∠=，先用平面几何方法及正弦定理求得πsin4πsin 4CECDϕ=⎛⎫+ ⎪⎝⎭，再求最小值.【详解】设ABD ϕ∠=，则2ABE ϕ∠=，π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.由于πππ22ACB ADB ∠+∠=+=，故,,,A B C D 四点共圆，从而π4CDB CAB ∠=∠=.所以πsin sin 4πsin sin 4CBD CD CB CB CDB ϕ⎛⎫+ ⎪∠⎝⎭=⋅=⋅∠，()πsin sin sin 42πsin sin sin 42CBE CBE CE CB CB CB CB CEB CDB DBE ϕϕ⎛⎫+ ⎪∠∠⎝⎭=⋅=⋅=⋅∠∠+∠⎛⎫+ ⎪⎝⎭.这就得到πsin π4sinπ42sin 4CECDϕ=≥=⎛⎫+ ⎪⎝⎭.当π4ϕ=时，ππsin sin44ππ2sin sin 24CE CD ϕ===⎛⎫+ ⎪⎝⎭.所以CE CD的最小值是2.故答案为：2.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于使用正弦定理确定CECD的表达式，再求出最小值.三、解答题（48分）19.已知实数,a b 满足1a b +=，222a b +=，求a b -的值.【解析】【分析】先由已知条件证明()23a b -=，再确定a b -的可能值.【详解】由于()()()()()()22222222212224a b a b a b a ab baab b a b -+=-++=-++++=+=，故()23a b -=.所以a b -=或a b -=.当132a =，12b -=时，有1a b +=，222a b +=，此时a b -=；当132a -=，132b +=时，有1a b +=，222a b +=，此时a b -=.所以a b -的所有可能值为.20.今年6月份，永州市某中学开展“六城同创”知识竞赛活动，赛后，随机抽取了部分参赛学生的成绩，按得分划为A ，B ，C ，D 四个等级，A :90100S <≤，B :8090S <≤，C :7080S <≤，D :70S ≤，并绘制了如图两幅不完整的统计图，请结合图中所给信息，解答下列问题：（1）请把条形统计图补充完整.（2）扇形统计图中m =______，n =______，B 等级所占扇形的圆心角度数为______.（3）该校准备从上述获得A 等级的四名学生中选取两人参加永州市举行的“六城同创”知识竞赛，已知这四人中有两名男生（用1A ，2A 表示），两名女生（用1B ，2B 表示），请利用树状图法或列表法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率.【答案】（1）统计图见详解（2）15；5；252︒（3）23【解析】【分析】（1）根据题意求总人数和C 等级人数，进而可得统计图；（2）根据题意结合人数关系求,m n ，再根据比例取圆心角；（3）作出树状图或列表，结合相应数据求概率.【小问1详解】由题意可得：总人数为2870%40÷=，则C 等级的人数为4042826---=，据此补全统计图，如图所示：【小问2详解】由题意可得：62%100%15%,%100%5%4040m n =⨯==⨯=，即15,5m n ==，所以B 等级所占扇形的圆心角度数为70%360252⨯︒=︒.【小问3详解】树状图如下：列表如下：1A 2A 1B 2B 1A ╱×√√2A ×╱√√1B √√╱×2B √√×╱所以恰好抽到1名男生和1名女生的概率82123P ==.21.定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形.根据以上定义，解决下列问题：（1）如图1，正方形ABCD 中，E 是CD 上的点，将BCE 绕B 点旋转，使BC 与BA 重合，此时点E 的对应点F 在DA 的延长线上，则四边形BEDF 为“直等补”四边形，为什么？（2）如图2，已知四边形ABCD 是“直等补”四边形，5AB BC ==，1CD =，AD AB >，点B 到直线AD 的距离为BE .①求BE 的长；②若,M N 分别是,AB AD 边上的动点，求MNC 周长的最小值.【答案】（1）理由见解析（2）①4②【解析】【分析】（1）使用旋转前后的三角形全等即可得到结论；（2）①构造,AD BC 的交点，并使用相似三角形理论；②构造C 关于直线,AB AD 的对称点，然后利用两点之间线段最短即可.【小问1详解】此时有BCE 全等于BAF △，故90FBE ABC ABF CBE ABC ∠=∠+∠-∠=∠=︒，且BE BF =.从而BE BF =，90FBE ∠=︒，且9090180FBE FDE ∠+∠=︒+︒=︒.所以四边形BEDF 为“直等补”四边形.【小问2详解】如图，延长,AD BC ，设它们交于点F .①由已知有90ABC ADC ∠=∠=︒，故AC ==7AD ===.由于90CDF ABF ∠=∠=︒，CFD AFB ∠=∠，故CDF 相似于ABF △，所以15DF CF CD BF AF AB ===.而1111247115552525AD AF DF AF BF AF BC CF AF AF AF ==-=-=--=--=-，故253AF =.由于90AEB ABF ∠=∠=︒，BAE FAB ∠=∠，故ABE 相似于AFB △，所以AE ABAB AF=.故2253253AB AE AF===，所以4BE ===.②由于734DE AD AE =-=-=，故BD ===.设C 关于直线,AB AD 的对称点分别是,C C '''，则,B D 分别是,CC CC '''的中点，所以2C C BD '''=.从而根据对称性有2CM MN NC C M MN NC C C BD ''''''++=++≥==当,M N 分别为,AB AD 各自与线段C C '''的交点时，等号成立.所以MNC的周长的最小值是【点睛】关键点点睛：小问2的①亦可通过15CF AF AF ====解出253AF =或254AF =，再由24125AD AF =-和5AD AB >=得到254AF >，从而推知253AF =.22.已知在平面直角坐标系中，直线13:34=+l y x 交坐标轴于A 、B 两点，直线2:l y kx b =+交坐标轴于C 、D 两点，已知点()2,0C ，()0,6D .（1）设1l 与2l 交于点E ，试判断ACE △的形状，并说明理由；（2）点P 、Q 在ACE △的边上，且满足OPC 与OPQ △全等（点Q 异于点C ），直接写出点Q 的坐标.【答案】（1）ACE △为等腰三角形，理由见详解（2）点Q 在坐标为86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，412,55⎛⎫-⎪⎝⎭，(2,0)-，418,55⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）代入点C ，D 求得直线2:36l y x =-+，进而可得到点E 的坐标为418,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，分别求出AE ，,AC CE ，从而可判断出ACE △为等腰三角形；（2）分①P 、Q 在CE 上；②P 在CE 上，Q 在AE 上；③P 在AE 上，Q 在CE 上；④P 在AC 上，Q 与点E 重合四种情况结合图形求解即可.【小问1详解】ACE △为等腰三角形，理由如下：对于直线13:34=+l y x ，令0x =，可得3y =，令0y =，可得4x =-，即()()4,0,0,3A B -；将点()2,0C ，()0,6D 代入直线2:l y kx b =+，可得206k b b +=⎧⎨=⎩，解得36k b =-⎧⎨=⎩，则直线2:36l y x =-+，联立方程33436y x y x ⎧=+⎪⎨⎪=-+⎩，解得45185x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即418,55E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得6,,65AE CE AC =====，即AE AC CE =≠，所以ACE △为等腰三角形.【小问2详解】①当P 、Q 在CE 上时，如图1，此时OPC OPQ ≅，则2OQ OC ==，设(3),6Q m m -+，又因为(2,0)C ，则()222362m m +-+=，解得85m =或2m =（舍去），所以86,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②P 在CE 上，Q 在AE 上时，如图2，此时OPC POQ ≅V V ，则,2POC OPQ PQ OC ==∠=∠，可知PQ OC ∥，设3,34Q n n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则32,34P n n ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，代入36y x =-+得()333264n n +=-++，解得45n =-，所以412,55Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭；③P 在AE 上，Q 在CE 上时，如图3，此时OPC OPQ ≅ ，则2OQ OC ==，可知(2,0)Q -；④P 在AC 上，Q 与点E 重合时，如图4，此时OPC POQ ≅V V ，则2,PQ OC POC OPQ ∠∠===，可得AOD APO =∠∠，AP PQ AO OC AC AE +=+==，所以Q 与点E 重合，即418,55Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭；综上所述：点Q 在坐标为86,55⎛⎫ ⎪⎝⎭，412,55⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2,0)-，418,55⎛⎫ ⎪⎝⎭.23.如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过()3,0A 、()1,0B -、()0,3C .（1）求抛物线的函数表达式；（2）点D 是线段BC 上一动点，点D 关于AC 、AB 的对称点分别为点M 、N ，连接MN 交线段AC 、AB 于E 、F .求MF NE ⋅最小值；（3）在（2）的条件下请直接写出线段MN 的取值范围.【答案】（1）223y x x =-++（2）725（3）12565MN ≤≤【解析】【分析】（1）将,,A B C 三点代入解析式解得,,a b c ，即可得函数表达式；（2）分析可知：MAN △为等腰直角三角形，且AEN FAM :△△，进而可得2MF NE AD ⋅=，可知当且仅当AD BC ⊥时，AD 取到最小值，运算求解即可；（3）结合（2）可知：5AD ≤≤，且MN =，即可得结果【小问1详解】因为抛物线2y ax bx c =++经过()3,0A 、()1,0B -、()0,3C ，则93003a b c a b c c ++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩，解得123a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以抛物线的函数表达式为223y x x =-++.【小问2详解】连接AD，由题意可知：3,1OC OA OB ===，则45,4,CAO BC AB AC ∠=︒===由对称可知：,,AM AD AN MAC CAD BAD BAN ==∠=∠∠=∠，则()2290MAN MAC CAD BAD BAN CAD BAD CAO ∠=∠+∠+∠+∠=∠+∠=∠=︒，可知MAN △为等腰直角三角形，则45AMN ANM ∠=∠=︒，即AMN ANM EAO ∠=∠=∠，又因为AEN AMN MAE EAO MAE MAF ∠=∠+∠=∠+∠=∠，可知AEN FAM :△△，则NA NE MF MA=，可得2MF NE NA MA AD ⋅=⋅=，当且仅当AD BC ⊥时，AD 取到最小值，即MF NE ⋅最小值，此时5OC AB AD BC ⋅==，所以MF NE ⋅最小值为2725AD =.【小问3详解】由（2）可知4,AB AC ==，且AD的最小值为5，可知5AD ≤≤，且MAN △为等腰直角三角形，则MN ==，所以65MN ≤≤.24.如图，在矩形ABCD 中，4cm AD =，3cm DC =，对角线AC 、BD 相交于点O ，动点P 、Q 分别从点C 、A 同时出发，运动速度均为1cm/s ，点P 沿C O B →→运动.到点B 停止，点Q 沿A D C →→运动，到点C 停止.连接,,AP AQ PQ ，设APQ △的面积为()2cmy （这里规定：线段是面积为0的几何图形），点Q 的运动时间为x （s ）.（1）当PQ CD ∥时，求x 的值；（2）当572x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式；（3）直接写出在整个运动过程中，使AQ PQ =的所有x 的值.【答案】（1）209（2）2235,41022128,45556,57x x y x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪<≤⎪⎪⎩（3）2511,4,132【解析】【分析】（1）计算,P Q 到直线AB 的距离，由已知条件得到方程，再求解即可；（2）对不同的情况分类讨论计算三角形的面积；（3）对不同的情况分类讨论，列出相应的方程，再解出即可.【小问1详解】先大致将情况分为以下四种：当502x ≤≤时，点P 在OC 上，点Q 在AD 上；当542x ≤≤时，点P 在OB 上，点Q 在AD 上；当45x ≤≤时，点P 在OB 上，点Q 在DC 上；当57x ≤≤时，点P 停止在点B 处，点Q 在DC 上.由于点P 到直线AB 的距离为4max 4,05x ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，点Q 到直线AB 的距离为{}min ,4x ，故{}4max 4,0min ,405x x ⎧⎫-=≠⎨⎬⎩⎭，由4max 4,005x ⎧⎫-≠⎨⎬⎩⎭知4405x ->，故{}44min ,45x x -=.直接验证即知0x ≠，从而由{}4min ,4445x x =-<知4x <，故445x x =-，得209x =.【小问2详解】当542x ≤≤时，有AQ x =，而点P 在OB 上，点P 到直线AB 的距离为445x -，故点P 到直线AD 的距离为35x ，所以21332510y x x x =⋅⋅=；当45x ≤≤时，点Q 在DC 上，4DQ x =-，而点P 在OB 上，点P 到直线AB 的距离为445x -，故点P 到直线AD 的距离为35x ，所以()()21343121244421482555555y x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅---=---=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭；当57x ≤≤时，点Q 在DC 上，4DQ x =-，而点P 停止在点B 处，故13462y =⋅⋅=.综上，所求的函数关系式为2235,41022128,45556,57x x y x x x x ⎧≤≤⎪⎪⎪=-+<≤⎨⎪<≤⎪⎪⎩.【小问3详解】当502x ≤≤时，点P 在OC 上，点Q 在AD 上.若AQ PQ =，则85AP AQ =，即855x x -=，解得2513x =；当542x ≤≤时，点P 在OB 上，点Q 在AD 上.此时点P 到直线AB 的距离为445x -，点P 到直线AD 的距离为35x .若AQ PQ =，则x =，解得4x =；当45x ≤≤时，点P 在OB 上，点Q 在DC 上.此时4DQ x =-，点P 到直线AB 的距离为445x -，点P 到直线AD 的距离为35x .若AQ PQ ==4x =；当57x ≤≤时，点P 停止在点B 处，点Q 在DC 上.此时4DQ x =-，若AQ PQ =，则Q 是CD 的中点，从而342x -=，得112x =.综上，满足条件的x 的所有可能取值是2511,4,132.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于不同情况的分类讨论，较为繁琐，需要细心才能不重不漏.。
【考试必备】2018-2019年最新浙江宁波中学初升高自主招生考试数学模拟精品试卷【含解析】【5套试卷】
2018-2019年最新浙江宁波中学自主招生考试数学模拟精品试卷（第一套）考试时间：90分钟总分：150分一、选择题（本题有12小题，每小题3分，共36分）下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请你把正确选项前的字母填涂在答题卷中相应的格子内．注意可以用多种不同的方法来选取正确答案．1．下列事件中，必然事件是( )A．掷一枚硬币，正面朝上B．a是实数，|a|≥0C．某运动员跳高的最好成绩是20.1米D．从车间刚生产的产品中任意抽取一个，是次品2、如图是奥迪汽车的标志，则标志图中所包含的图形变换没有的是（）A．平移变换 B．轴对称变换 C．旋转变换 D．相似变换3．如果□×3ab＝3a2b，则□内应填的代数式( )A．ab B．3ab C．a D．3a4．一元二次方程x(x－2)＝0根的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根5、割圆术是我国古代数学家刘徽创造的一种求周长和面积的方法：随着圆内接正多边形边数的增加，它的周O长和面积越来越接近圆周长和圆面积，“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”。
试用这个方法解决问题：如图，⊙的内接多边形周长为3 ，⊙O 的外切多边形周长为3.4，则下列各数中与此圆的周长最接近的是（ ） A．10D6、今年5月，我校举行“庆五四”歌咏比赛，有17位同学参加选拔赛，所得分数互不相同，按成绩取前8名进入决赛，若知道某同学分数，要判断他能否进入决赛，只需知道17位同学分数的（ ） A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差7．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可能是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x －3>0 B. ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，3－x >0C.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，x －3>0 D.⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，3－x >08．已知二次函数的图象(0≤x ≤3)如图所示，关于该函数在所给自变量取值范围内，下列说法正确的是( )A ．有最小值0，有最大值3B ．有最小值－1，有最大值0C ．有最小值－1，有最大值3D ．有最小值－1，无最大值9．如图，矩形OABC 的边OA 长为2 ，边AB 长为1，OA 在数轴上，以原点O 为圆心，对角线OB 的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是( )主视方向A ．2.5B ．2 2 C.3 D. 510．浙江宁波中学广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y ＝－x 2＋4x (单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )A ．4米B ．3米C ．2米D ．1米 11、两个大小不同的球在水平面上靠在一起，组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是（ ）（A ）两个外离的圆 （B ）两个外切的圆（C ）两个相交的圆 （D ）两个内切的圆12．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如图所示，有下列结论：①b 2－4ac >0； ②abc >0； ③8a ＋c >0； ④9a ＋3b ＋c <0.其中，正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二、填空题（本小题有6小题，每小题4分，共24分）要注意认真看清题目的条件和要填写的内容，尽量完整地填写答案13．当x ______时，分式13－x有意义．14．在实数范围内分解因式：2a 3－16a ＝________.15．在日本核电站事故期间，我国某监测点监测到极微量的人工放射性核素碘－131，其浓度为0.0000963贝克/立方米．数据“0.0000963”用科学记数法可表示为________．16．如图，C 岛在A 岛的北偏东60°方向，在B 岛的北偏西45°方向，则从C 岛看A 、B 两岛的视角∠ACB ＝________.17．若一次函数y ＝(2m －1)x ＋3－2m 的图象经过 一、二、四象限，则m 的取值范围是________．18．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第 n 个图形有________个小圆. (用含 n 的代数式表示)三、解答题（本大题7个小题，共90分）19．（本题共2个小题，每题8分，共16分） （1）.计算：(2011－1)0＋18sin45°－2－1（2）．先化简，再计算： x 2－1x 2＋x ÷⎝⎛⎭⎪⎫x －2x －1x ，其中x 是一元二次方程x 2－2x －2＝0的正数根．20．（本题共2个小题，每题6分，共12分）（1）.如图，用两段等长的铁丝恰好可以分别围成一个正五边形和一个正六边形，其中正五边形的边长为(x2＋17) cm，正六边形的边长为(x2＋2x) cm(其中x>0)．求这两段铁丝的总长．（2）．描述证明海宝在研究数学问题时发现了一个有趣的现象：将上图横线处补充完整，并加以证明．21．（本题12分）某初中学校欲向高一级学校推荐一名学生，根据规定的推荐程序：首先由本年级200名学生民主投票，每人只能推荐一人(不设弃权票)，选出了票数最多的甲、乙、丙三人．票数结果统计如图一：其次，对三名候选人进行了笔试和面试两项测试．各项成绩如下表所示：面试859580图二是某同学根据上表绘制的一个不完全的条形图．请你根据以上信息解答下列问题：(1)补全图一和图二；(2)请计算每名候选人的得票数；(3)若每名候选人得一票记1分，投票、笔试、面试三项得分按照2∶5∶3的比确定，计算三名候选人的平均成绩，成绩高的将被录取，应该录取谁？22．（本题12分）如图，已知直线AB与x轴交于点C，与双曲线y＝kx交于A(3，203)、B(－5，a)两点．AD⊥x轴于点D，BE∥x轴且与y轴交于点E.(1)求点B的坐标及直线AB的解析式；(2)判断四边形CBED的形状，并说明理由．23、（本题12分）如图，△ABC内接于⊙O，且AB=AC，点D在⊙O上，AD⊥AB于点A， AD与BC交于点E，F在DA的延长线上，且AF=AE．（1）试判断BF与⊙O的位置关系，并说明理由；(2）若⊙O的半径为2．∠F=60，求弓形AB的面积24．（本题12分）已知双曲线y ＝kx与抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交于A (2,3)、B (m,2)、c (－3，n )三点．(1)求双曲线与抛物线的解析式；(2)在平面直角坐标系中描出点A 、点B 、点C ，并求出△ABC 的面积．25．（本题共2个小题，每题7分，共14分） （1）观察下列算式：① 1 × 3－22＝3－4＝－1 ② 2 × 4－32＝8－9＝－1 ③ 3 × 5－42＝15－16＝－1 ④ __________________________ ……(1)请你按以上规律写出第4个算式； (2)把这个规律用含字母的式子表示出来；(3)你认为(2)中所写出的式子一定成立吗？并说明理由．（2）如图，在直角坐标系中，O 为坐标原点. 已知反比例函数y＝kx(k >0)的图象经过点A (2，m )，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，且△AOB 的面积为12.(1)求k 和m 的值；(2)点C (x ，y )在反比例函数y ＝kx的图象上，求当1≤x ≤3时函数值y 的取值范围；(3)过原点O 的直线l 与反比例函数y ＝kx的图象交于P 、Q 两点，试根据图象直接写出线段PQ 长度的最小值.2018-2019年最新浙江宁波中学自主招生考试数学模拟精品试卷答案（第一套）1.答案 B解析 据绝对值的意义，一个数的绝对值是一个非负数，|a |≥0.2.C3.答案 C解析 □＝3a 2b ÷3ab ＝a . 4.答案 A解析 x (x －2)＝0，x ＝0或x －2＝0，x 1＝0，x 2＝2，方程有两个不相等的实数根．5.C6.A7.答案 B 解析 观察数轴，可知－1<x <3，只有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，3－x >0的解集为－1<x <3.8.答案 C解析 当0≤x ≤3时，观察图象，可得图象上最低点(1，－1)，最高点(3,3)，函数有最小值－1，最大值3.9.答案 D解析 在Rt △OAB 中，∠OAB ＝90°，所以OB ＝12＋22＝ 5 10.答案 A解析 y ＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4，抛物线开口向下，函数有最大值4.11.D 12.答案 D解析 由图知：抛物线与x 轴有两个不同的交点，则△＝b 2－4ac >0，故①正确．抛物线开口向上，得a >0；又对称轴为直线x ＝－b2a＝1，b ＝－2a <0.抛物线交y 轴于负半轴，得 c <0，所以abc >0，②正确．根据图象，可知当x ＝－2时，y >0，即4a －2b ＋c >0，把b ＝－2a 代入，得4a －2(－2a )＋c ＝8a ＋c >0，故③正确．当x ＝－1时，y <0，所以x ＝3时，也有y <0，即9a ＋3b ＋c <0，故④正确．二．填空题 13.答案 ≠3解析 因为分式有意义，所以3－x ≠0，即x ≠3. 14.答案 2a (a ＋2 2)(a －2 2) 15.答案 9.63×10－5解析 0.0000963＝9.63×10－5. 16.答案 105°解析 如图，∵(60°＋∠CAB )＋(45°＋∠ABC )＝180°，∴∠CAB ＋∠ABC ＝75°，在△ABC 中，得∠C ＝105°.17.答案 m <12解析 因为直线经过第一、二、四象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧2m －1<0，3－2m >0，解之，得m <12.18.答案 n (n ＋1)＋4或n 2＋n ＋4解析 第1个图形有2＋4＝(1×2＋4)个小圆，第2个图形6＋4＝(2×3＋4)个小圆，第3个图形有12＋4＝(3×4＋4)个小圆，……第n 个图形有[n (n ＋1)＋4]个小圆．三、解答题（本大题7个小题，共90分） 19．（本题共2个小题，每题8分，共16分）（1）.解：原式＝1＋3 2×22－12＝312.（2）解：原式＝x ＋1x －1x x ＋1÷x 2－2x ＋1x ＝x －1x ·xx －12＝1x －1. 解方程得x 2－2x －2＝0得， x 1＝1＋3>0，x 2＝1－3<0. 当x ＝1＋3时，原式＝11＋3－1＝13＝33.20.（1）.解：由已知得，正五边形周长为5(x 2＋17) cm ，正六边形周长为6(x 2＋2x ) cm.因为正五边形和正六边形的周长相等， 所以5(x 2＋17)＝6(x 2＋2x )．整理得x 2＋12x －85＝0，配方得(x ＋6)2＝121， 解得x 1＝5，x 2＝－17(舍去)．故正五边形的周长为5×(52＋17)＝210(cm)．又因为两段铁丝等长，所以这两段铁丝的总长为420 cm. 答：这两段铁丝的总长为420 cm.（2）解：如果a b ＋ba ＋2＝ab ，那么a ＋b ＝ab .证明：∵a b ＋b a ＋2＝ab ，∴a 2＋b 2＋2abab＝ab ，∴a 2＋b 2＋2ab ＝(ab )2，∴(a ＋b )2＝(ab )2， ∵a >0，b >0，a ＋b >0，ab >0， ∴a ＋b ＝ab .21.解：(1)乙30%；图二略．(2)甲的票数是：200×34%＝68(票)， 乙的票数是：200×30%＝60(票)，丙的票数是：200×28%＝56(票)，(3)甲的平均成绩：x 1＝68×2＋92×5＋85×32＋5＋3＝85.1，乙的平均成绩：x 2＝60×2＋90×5＋95×32＋5＋3＝85.5，丙的平均成绩：x 3＝56×2＋95×5＋80×32＋5＋3＝82.7，∵乙的平均成绩最高，∴应该录取乙．22.解：(1)∵双曲线y ＝k x 过A (3，203)，∴k ＝20.把B (－5，a )代入y ＝20x，得a ＝－4.∴点B 的坐标是(－5，－4). 设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋n ，将 A (3，203)、B (－5，－4)代入得，⎩⎨⎧203＝3m ＋n ，－4＝－5m ＋n ，解得：m ＝43，n ＝83.∴直线AB 的解析式为：y ＝43x ＋83.(2)四边形CBED 是菱形．理由如下：易求得点D 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(－2,0)． ∵ BE //x 轴， ∴点E 的坐标是(0，－4)． 而CD ＝5, BE ＝5, 且BE //CD . ∴四边形CBED 是平行四边形. 在Rt △OED 中，ED 2＝OE 2＋OD 2, ∴ ED ＝32＋42＝5，∴ED ＝CD . ∴四边形CBED 是菱形.23.解：证明：（1）BF 与⊙O 相切，连接OB 、OA ，连接BD ， ∵AD ⊥AB ，∴∠BAD=90°，∴BD 是直径，∴BD 过圆心. ∵AB=AC ，∴∠ABC=∠C ， ∵∠C=∠D ，∴∠ABC=∠D ， ∵AD ⊥AB ，∴∠ABD+∠D=90°， ∵AF=AE ，∴∠EBA=∠FBA ， ∴∠ABD+∠FBA=90°，∴OB ⊥BF ， ∴BF 是⊙O 切线.(2)∵∠F=600，∴∠D=900-∠F=300,∴∠AOB=600,∴△AOB 为等边三角形..S 弓形AB=3322433602602020-=⨯-ππ.24.解：(1)把点A (2,3)代入y ＝kx得：k ＝6.∴反比例函数的解析式为：y ＝6x.把点B (m,2)、C (－3，n )分别代入y ＝6x得： m ＝3，n ＝－2.把A (2,3)、B (3,2)、C (－3，－2)分别代入y ＝ax 2＋bx ＋c 得：⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝3，9a ＋3b ＋c ＝2，9a －3b ＋c ＝－2，解之得 ⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝23，c ＝3.∴抛物线的解析式为：y ＝－13x 2＋23x ＋3.(2)描点画图(如图)：S △ABC ＝12(1＋6)×5－12×1×1－12×6×4＝352－12－12＝5.25.（1）.解：(1)4×6－52＝24－25＝－1.(2)答案不唯一．如n ()n ＋2－()n ＋12＝－1.(3)n ()n ＋2－()n ＋12 ＝n 2＋2n －()n 2＋2n ＋1 ＝n 2＋2n －n 2－2n －1 ＝－1. 所以一定成立．（2）解：(1)∵A (2，m )，∴OB ＝2，AB ＝m ，∴S △A OB ＝12OB ·AB ＝12×2×m ＝12，∴m ＝12.∴点A 的坐标为(2，12)．把A (2，12)代入y ＝k x ，得12＝k2，∴k ＝1.(2)∵当x ＝1时，y ＝1；当x ＝3时，y ＝13，又∵反比例函数y ＝1x在x >0时，y 随x 的增大而减小，∴当1≤x ≤3时，y 的取值范围为13≤y ≤1.(3) 由图象可得，线段PQ 长度的最小值为2 2.(1)(2)(3)2018-2019年最新浙江宁波中学自主招生考试数学模拟精品试卷（第二套）考试时间：90分钟 总分：150分第I 卷一、选择题（每小题5分，共60分） 1、下列计算中，正确的是( )A ．B ．C ．D ．2、如右图，在□ABCD 中，AC 平分∠DAB ，AB = 3，则□ABCD 的周长为( ) A ．6B ．9C ．12D ．153、已知二次函数c bx ax y ++=2（0≠a ）的图象如右图所 示，则下列结论 ①0<++c b a ②0<+-c b a ③02<+a b ④0>abc 中正确的个数是（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个4、如图是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，至第七个叠放的图形中，小正方体木块总数应是（ ）020=623)(a a =93=±2a a a =+（A ）25 （B ）66 （C ）91 （D ）120 5、有如下结论（1）有两边及一角对应相等的两个三角形全等；（2）菱形既是轴对称图形又是中心对称图形；（3）对角线相等的四边形是矩形；（4）平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
2024年重点中学自主招生模拟试卷(2)参考答案
2024年重点中学自主招生模拟试卷（2）数学参考答案一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）1．（4分）（2024•宁海县校级自主招生）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，点P是△ABC所在平面内一点，则PA2+PB2+PC2取得最小值时，下列结论正确的是（）A．点P是△ABC三边垂直平分线的交点B．点P是△ABC三条内角平分线的交点C．点P是△ABC三条高的交点D．点P是△ABC三条中线的交点【分析】过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，则AP2+CP2+BP2＝3（x﹣）2+3（y﹣2）2+，当x＝，y＝2时，AP2+CP2+BP2的值最小，此时AD＝PE＝，AE＝PD＝2，由＝，得AM＝3，M是AB的中点，同理可得AN＝AC，N为AC中点，即P是△ABC三条中线的交点．【解答】解：过P作PD⊥AC于D，过P作PE⊥AB于E，延长CP交AB于M，延长BP交AC于N，如图：∵∠A＝90°，PD⊥AC，PE⊥AB，∴四边形AEPD是矩形，设AD＝PE＝x，AE＝DP＝y，Rt△AEP中，AP2＝x2+y2，Rt△CDP中，CP2＝（8﹣x）2+y2，Rt△BEP中，BP2＝x2+（6﹣y）2，∴AP2+CP2+BP2＝x2+y2+（8﹣x）2+y2+x2+（6﹣y）2＝3x2﹣16x+3y2﹣12y+100＝3（x﹣）2+3（y﹣2）2+，∴x＝，y＝2时，AP2+CP2+BP2的值最小，此时AD＝PE＝，AE＝PD＝2，∵∠A＝90°，PD⊥AC，∴PD∥AB，∴＝，即＝，∴AM＝3，∴AM＝AB，即M是AB的中点，同理可得AN＝AC，N为AC中点，∴P是△ABC三条中线的交点，故选：D．2．（4分）（2024•达州）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，点D，E 分别在AC，BC边上运动，连结AE，BD交于点F，且始终满足AD＝CE，则下列结论：①＝；②∠DFE＝135°；③△ABF面积的最大值是4﹣4；④CF的最小值是2﹣2．其中正确的是（）A．①③B．①②④C．②③④D．①②③④【分析】①先求出，，则，由此可证△CAE∽△ABD，然后根据相似三角形性质可对结论①进行判断确；②根据△CAE∽△ABD得∠CAE＝∠ABD，再根据三角形外角性质得∠BFE＝45°，由此可对结论②进行判断确；③以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰Rt△OAB，作△OAB的外接圆⊙O，过点O作OK⊥AB于K，OK的延长线交⊙O于H，连接AH，BH，过点O作OM⊥CB交CB的延长线于M，连接OC交⊙O于P，证明点F在弧AB上运动，则当点F与点H重合时，△ABF的面积为最大，最大值为△ABH的面积，然后求出△ABH的面积即可对结论③进行判断确；④根据点F在弧AB上运动，得当点F与点P重合时，CF为最小，最小值为线段CP的长，然后求出线段CP的长即可对结论④进行判断确，综上所述即可得出答案．【解答】解：①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，AB＝4，∴∠BCA＝∠BAC＝45°，AB＝BC＝4，由勾股定理得：AC＝＝，∴，∵AD＝CE，∴，∴，又∵∠ECA＝∠DAB＝45°，∴△CAE∽△ABD，∴，故结论①正确；②∵△CAE∽△ABD，∴∠CAE＝∠ABD，∴∠BFE＝∠BAF+∠ABD＝∠BAF+∠CAE＝∠BAC＝45°，∴∠DFE＝180°﹣∠BFE＝180°﹣45°＝135°，故结论②正确；③以AB为斜边在△ABC外侧构造等腰Rt△OAB，作△OAB的外接圆⊙O，过点O作OK ⊥AB于K，OK的延长线交⊙O于H，连接AH，BH，过点O作OM⊥CB交CB的延长线于M，连接OC交⊙O于P，如图所示：∴∠AOB＝90°，∴∠AHB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣×90°＝135°，∵∠DFE＝135°，∴点F在上运动，∵AB＝4，∴当点F与点H重合时，△ABF的面积为最大，最大值为△ABH的面积，根据等腰直角三角形的性质得：AK＝BK＝AB＝2，∠AOH＝45°，∴AK＝OK＝2，在Rt△AOK中，由勾股定理得：OA＝＝，∴OA＝OH＝OB＝OP＝，∴KH＝OH﹣OK＝，∴SABH＝AB•KH＝＝，△故结论③正确；④∵点F在上运动，∴当点F与点P重合时，CF为最小，最小值为线段CP的长，∵OM⊥CB，OK⊥AB，∠ABM＝∠ABC＝90°，∴四边形OMBK为矩形，∴OM＝BK＝2，BM＝OK＝2，∴CM＝BC+BM＝4+2＝6，在Rt△COM中，由勾股定理得：CO＝＝，∴CP＝CO﹣OP＝，即CF的最小值是，故结论④正确，综上所述：正确的结论是①②③④．故选：D．3．（4分）（2023•鄞州区校级一模）如图是由四个全等的三角形和一个正方形组成的大正方形，连结EC与BG交于M，射线BH交EC于点N，交EF于点Q，交AD于点K，连接KE，则与△DKE面积相等的图形是（）A．△MEF B．△HNEC．四边形MNQF D．△CGM【分析】通过边长设元计算直接求出△DKE的面积，及选项中可求面积，得到面积相等的图形．计算中利用含有等角的直角三角形相似得到边长比例及边长，再利用基本的三角形面积等于底乘高的一半，得到目标三角形面积，最后四配选项中图形面积得到答案．【解答】解：作HP垂直CD于P，作HQ垂直CB于Q，作ET垂直AD于T，如图，设DH＝a，HG＝b，DC＝c，由四个直角三角形全等、正方形ABCD、正方形EFGH，可知：DH＝GC＝AE＝BF＝a，AB＝BC＝CD＝AD＝c，HG＝GF＝EF＝HE＝b，ET＝HP＝CQ，在Rt△DHC中，根据勾股定理得，c2＝a2+（a+b）2，∵△HCQ∽△CDH，∴，∴．∴，∴BQ＝CB﹣CQ＝c﹣，∵△KBA∽△BHQ，∴，∴AK＝AB×＝c×＝，∴DK＝AD﹣AE＝c﹣＝，∴SDKE＝，△∵ET＝HP＝CQ＝，∴SDKE＝＝＝，△∵△CGM∽△EFM，∴，∴GM＝，CG＝a，∴，∴SGMC＝S△DKE，故选项D正确；△同理FM＝，，故A错误；∵△HEC≌△GHB，∴∠HCE＝∠GBH，∴∠GBH+∠GHB＝∠HCE+∠GHB＝90°，∴△HEN∽△CEH，∴，∴，故B错误；同理，，∵△HEQ∽△BFQ．∴，∴，∴梯形HGFQ的面积＝，∴四边形HGMN的面积＝SHCN﹣S△GMC＝，△四边形MNQF的面积＝梯形HGFQ的面积﹣四边形HGMN的面积＝＝≠，故C错误；故选：D．4．（4分）（2023秋•洛江区期中）设，利用等式（n≥3），则与A最接近的正整数是（）A．18B．20C．24D．25【分析】利用等式（n≥3），代入原式得出数据的规律性，从而求出．【解答】解：利用等式（n≥3），代入原式得：＝48×（++…+﹣）＝12×（1﹣+﹣+﹣+…+）＝12×[（1++…+）﹣（+…+）]＝12×（1+）而12×（1+）≈25故选：D．5．（4分）（2023•泰安）如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的一条直角边OB在x轴上，点A的坐标为（﹣6，4）；Rt△COD中，∠COD＝90°，OD＝4，∠D＝30°，连接BC，点M是BC中点，连接AM．将Rt△COD以点O为旋转中心按顺时针方向旋转，在旋转过程中，线段AM的最小值是（）A．3B．6﹣4C．2﹣2D．2【分析】由点M是BC中点，想到构造中位线，取OB中点，再利用三角形两边之差的最值模型．【解答】解：取OB中点N，连接MN，AN．在Rt△OCD中，OD＝4，∠D＝30°，∴OC＝4，∵M、N分别是BC、OB的中点，∴MN＝OC＝2，在△ABN中，AB＝4，BN＝3，∴AN＝5，在△AMN中，AM＞AN﹣MN；当M运动到AN上时，AM＝AN﹣MN，∴AM≥AN﹣MN＝5﹣2＝3，∴线段AM的最小值是3，故选：A．6．（4分）（2023•安徽）如图，E是线段AB上一点，△ADE和△BCE是位于直线AB同侧的两个等边三角形，点P，F分别是CD，AB的中点．若AB＝4，则下列结论错误的是（）A．PA+PB的最小值为3B．PE+PF的最小值为2C．△CDE周长的最小值为6D．四边形ABCD面积的最小值为3【分析】延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，由△ADE和△BCE是等边三角形，可得四边形DECM是平行四边形，而P为CD中点，知P为EM中点，故P在直线l上运动，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，即可得PA+PB最小值A'B＝＝2，判断选项A错误；由PM＝PE，即可得当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，此时PE+PF的最小值为2，判断选项B正确；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，由△ADE和△BCE是等边三角形，得KT＝KE+TE＝AB＝2，有CD≥2，故△CDE周长的最小值为6，判断选项C正确；设AE＝2m，可得SABCD＝四边形（m﹣1）2+3，即知四边形ABCD面积的最小值为3，判断选项D正确．【解答】解：延长AD，BC交于M，过P作直线l∥AB，如图：∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴∠DEA＝∠MBA＝60°，∠CEB＝∠MAB＝60°，∴DE∥BM，CE∥AM，∴四边形DECM是平行四边形，∵P为CD中点，∴P为EM中点，∵E在线段AB上运动，∴P在直线l上运动，由AB＝4知等边三角形ABM的高为2，∴M到直线l的距离，P到直线AB的距离都为，作A关于直线l的对称点A'，连接A'B，当P运动到A'B与直线l的交点，即A'，P，B 共线时，PA+PB＝PA'+PB最小，此时PA+PB最小值A'B＝＝＝2，故选项A错误，符合题意；∵PM＝PE，∴PE+PF＝PM+PF，∴当M，P，F共线时，PE+PF最小，最小值为MF的长度，∵F为AB的中点，∴MF⊥AB，∴MF为等边三角形ABM的高，∴PE+PF的最小值为2，故选项B正确，不符合题意；过D作DK⊥AB于K，过C作CT⊥AB于T，如图，∵△ADE和△BCE是等边三角形，∴KE＝AE，TE＝BE，∴KT＝KE+TE＝AB＝2，∴CD≥2，∴DE+CE+CD≥AE+BE+2，即DE+CE+CD≥AB+2，∴DE+CE+CD≥6，∴△CDE周长的最小值为6，故选项C正确，不符合题意；设AE＝2m，则BE＝4﹣2m，∴AK＝KE＝m，BT＝ET＝2﹣m，DK＝AK＝m，CT＝BT＝2﹣m，∴SADK＝m•m＝m2，S△BCT＝（2﹣m）（2﹣m）＝m2﹣△2m+2，SDKTC＝（m+2﹣m）•2＝2，梯形∴SABCD＝m2+m2﹣2m+2+2＝m2﹣2m+4＝（m﹣四边形1）2+3，∴当m＝1时，四边形ABCD面积的最小值为3，故选项D正确，不符合题意；故选：A．7．（4分）（2023•宁波自主招生）如图所示，半径为r的圆O内切于正△PQR，M为边PQ 上一点，N为边PR上一点，且直线MN与圆O相切于点E，△PMN的内切圆C与MN相切于点F．若圆C的半径为，则的值为（）A．B．C．D．【分析】设PQ、PR、MN分别与⊙C相切于点D、G、F，PQ、PR分别与⊙O相切于T、K，连接PC、PO、CD、CG、CF、OE、OT，利用等边三角形的性质、切线长定理、解直角三角形等即可求得答案．【解答】解：如图1，设PQ、PR、MN分别与⊙C相切于点D、G、F，PQ、PR分别与⊙O相切于T、K，连接PC、PO、CD、CG、CF、OE、OT，则CD⊥PQ，CG⊥PR，PD＝PG，MD＝MF，NF＝NG，ME＝MT，NE＝NK，PT＝PK，∵CD＝CG，∴PC平分∠QPR，同理，PO平分∠QPR，∴P、C、O三点共线，∵△PQR是等边三角形，∴∠QPR＝60°，∴∠OPQ＝∠QPR＝30°，∴PD＝＝＝r，CP＝2CD＝r，∵PD＝PG＝，∴＝r①，在Rt△POT中，PT＝＝＝r，OP＝2OT＝2r，∵PT＝PK，PT+PK＝PM+MT+PN+NK＝PM+ME+PN+NE＝PM+PN+MN，∴PT＝，∴＝r②，∴②﹣①得：MN＝r，如图2，过点C作CL⊥OE，交OE的延长线于L，则∠L＝∠CFE＝∠FEL＝90°，∴EL＝CF＝r，CL＝EF，∴OL＝OE+EL＝r+r＝r，OC＝OP﹣CP＝2r﹣r＝r，在Rt△OCL中，CL＝＝＝r，∴EF＝r，∴＝＝．故选：D．8．（4分）（2023•自贡）如图，分别经过原点O和点A（4，0）的动直线a，b夹角∠OBA ＝30°，点M是OB中点，连接AM，则sin∠OAM的最大值是（）A．B．C．D．【分析】作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．证明KM＝TB＝2，推出点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大．【解答】解：如图，作△AOB的外接圆⊙T，连接OT，TA，TB，取OT的中点K，连接KM．∵∠ATO＝2∠ABO＝60°，TO＝TA，∴△OAT是等边三角形，∵A（4，0），∴TO＝TA＝TB＝4，T（2，2），K（1，），∵OK＝KT，OM＝MB，∴KM＝TB＝2，∴点M在以K为圆心，2为半径的圆上运动，当AM与⊙K相切时，∠OAM的值最大，此时sin∠OAM的值最大，∵△OTA是等边三角形，OK＝KT，∴AK⊥OT，∴AK＝＝＝2，∵AM是切线，KM是半径，∴AM⊥KM，∴AM＝＝＝2，过点M作ML⊥OA于点L，KR⊥OA于点R，MP⊥RK于点P．∵∠PML＝∠AMK＝90°，∵∠P＝∠MLA＝90°，∴△MPK∽△MLA，∴＝＝＝＝，设PK＝x，PM＝y，则有ML＝y，AL＝x，∴y＝+x①，y＝3﹣x，解得，x＝，y＝，∴ML＝y＝，∴sin∠OAM＝＝＝．故选：A．9．（4分）（2022•常州自主招生）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB ＝6，∠DAC＝60°，点F在线段AO上从点A至点O运动，连接DF，以DF为边作等边△DFE，点E和点A分别位于DF两侧，下列结论：①∠BDE＝∠EFC；②ED＝EC；③∠ADF＝∠ECF；④点E运动的路程是2；其中正确结论的序号为（）A．①④B．①②③C．②③D．①②③④【分析】①根据∠DAC＝60°，OD＝OA，得出△OAD为等边三角形，再由△DFE为等边三角形，得∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，即可得出结论①正确；②如图，连接OE，利用SAS证明△DAF≌△DOE，再证明△ODE≌△OCE，即可得出结论②正确；③通过等量代换即可得出结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，通过△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，可分析得出点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，从而得出结论④正确；【解答】解：①∵∠DAC＝60°，OD＝OA，∴△OAD为等边三角形，∴∠DOA＝∠DAO＝∠ODA＝60°，AD＝OD，∵△DFE为等边三角形，∴∠EDF＝∠EFD＝∠DEF＝60°，DF＝DE，∵∠BDE+∠FDO＝∠ADF+∠FDO＝60°，∴∠BDE＝∠ADF，∵∠ADF+∠AFD+∠DAF＝180°，∴∠ADF+∠AFD＝180°﹣∠DAF＝120°，∵∠EFC+∠AFD+∠DFE＝180°，∴∠EFC+∠AFD＝180°﹣∠DFE＝120°，∴∠BDE＝∠EFC，故结论①正确；②如图，连接OE，在△DAF和△DOE中，，∴△DAF≌△DOE（SAS），∴∠DOE＝∠DAF＝60°，∵∠COD＝180°﹣∠AOD＝120°，∴∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝120°﹣60°＝60°，∴∠COE＝∠DOE，在△ODE和△OCE中，，∴△ODE≌△OCE（SAS），∴ED＝EC，∠OCE＝∠ODE，故结论②正确；③∵∠ODE＝∠ADF，∴∠ADF＝∠OCE，即∠ADF＝∠ECF，故结论③正确；④如图，延长OE至E′，使OE′＝OD，连接DE′，∵△DAF≌△DOE，∠DOE＝60°，∴点F在线段AO上从点A至点O运动时，点E从点O沿线段OE′运动到E′，∵OE′＝OD＝AD＝AB•tan∠ABD＝6•tan30°＝2，∴点E运动的路程是2，故结论④正确；故选：D．10．（4分）（2022•九龙坡区自主招生）如图，将四边形纸片ABCD沿过点A的直线折叠，使得点B落在CD上的点Q处，折痕为AP．再将△PCQ，△ADQ分别沿PQ，AQ折叠，此时点C，D落在AP上的同一点R处．当AD＝CP时，则的值为（）A．B．2C．2D．【分析】根据折叠的性质和平角定义，证明∠DAB＝90°，四边形APCD是平行四边形，根据平行四边形的性质和含30度角的直角三角形即可解决问题．【解答】解：由折叠的性质可得：∠B＝∠AQP，∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB，∠DQA＝∠AQR，∠CQP＝∠PQR，∠D＝∠ARQ，∠C＝∠QRP，∵∠QRA+∠QRP＝180°，∴∠D+∠C＝180°，∴AD∥BC，∴∠B+∠DAB＝180°，∵∠DQR+∠CQR＝180°，∴∠DQA+∠CQP＝90°，∴∠AQP＝90°，∴∠B＝∠AQP＝90°，∴∠DAB＝90°，∴∠DAQ＝∠QAP＝∠PAB＝30°，∵AD∥BC，AD＝CP，∴四边形APCD是平行四边形，∴AR＝PR，∵∠AQP＝90°，∴QR＝AP，∵∠PAB＝30°，∠B＝90°，∴AP＝2PB，AB＝PB，∴PB＝QR，∴＝，故选：A．二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）11．（5分）（2024•九龙坡区自主招生）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝，BC＝，点E为AB边上一点，将△BCE沿CE翻折，点B的对应点为点F，过点F作FG∥CE交DC于点G，若DG：GC＝1：4，则FG的长为．【分析】设EF与CG的交点为M，可得△CEM和△GFM是等腰三角形，设GM＝x，则CM＝2﹣x，在Rt△CFM中，根据勾股定理可建立方程，求出x的值，表达GM和CM 的值，进而可得BE的长；再根据勾股定理可得CE的长，由平行可得△GFM和△CEM 相似，根据相似比可得最终结果．【解答】解：设EF与CG的交点为M，在矩形ABCD中，AB＝CD＝，AD＝BC＝，AB∥CD，∴∠DCE＝∠BEC，由折叠可知，∠BEC＝∠FEC，BE＝EF，BC＝CF＝，∴∠FEC＝∠DEC，∴EM＝CM，∵FG∥CE，∴△GFM∽△CEM，∴GM：FM＝CM：EM＝1：1，FG：CE＝GM：EM，∴GM＝FM，EF＝CG＝2，∵DG：GC＝1：4，AB＝，∴DG＝，CG＝EF＝2，∴CE＝＝，设GM＝x，则CM＝2﹣x；∴FM＝GM＝x，CM＝EM＝2﹣x，在Rt△CFM中，∠CFM＝∠B＝90°，由勾股定理可得CF2+FM2＝CM2，即（）2+x2＝（2﹣x）2，解得x＝，∴GM＝FM＝，CM＝EM＝，∴GF：＝：，∴GF＝．故答案为：．12．（5分）（2024•重庆）我们规定：若一个正整数A能写成m2﹣n，其中m与n都是两位数，且m与n的十位数字相同，个位数字之和为8，则称A为“方减数”，并把A分解成m2﹣n的过程，称为“方减分解”．例如：因为602＝252﹣23，25与23的十位数字相同，个位数字5与3的和为8，所以602是“方减数”，602分解成602＝252﹣23的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最小的“方减数”是82．把一个“方减数”A进行“方减分解”，即A＝m2﹣n，将m放在n的左边组成一个新的四位数B，若B除以19余数为1，且2m+n＝k2（k为整数），则满足条件的正整数A为4564．【分析】设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），根据最小的“方减数”可得m＝10，n＝18，即可求解；根据B除以19余数为1，且2m+n＝k2（k为整数），得出为整数，30a+b+8是完全平方数，在1≤a≤9，0≤b≤8，逐个检验计算，即可求解．【解答】解：①设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），由题意得：m2﹣n＝（10a+b）2﹣（10a+8﹣b），∵1≤a≤9，∴要使“方减数”最小，需a＝1，∴m＝10+b，n＝18﹣b，∴m2﹣n＝（10+b）2﹣（18﹣b）＝100+20b+b2﹣18+b＝82+b2+21b，当b＝0时，m2﹣n最小为82；②设m＝10a+b，则n＝10a+8﹣b（1≤a≤9，0≤b≤8），∴B＝1000a+100b+10a+8﹣b＝1010a+99b+8，∵B除以19余数为1，∴1010a+99b+7能被19整除，∴＝53a+5b+为整数，又2m+n＝k2（k为整数），∴2（10a+b）+10a+8﹣b＝30a+b+8是完全平方数，∵1≤a≤9，0≤b≤8，∴30a+b+8最小为49，最大为256，即7≤k≤16，设3a+4b+7＝19t，t为正整数，则1≤t≤3，（Ⅰ）当t＝1时，3a+4b＝12，则b＝3﹣a，30a+b+8＝30a+3﹣a+8是完全平方数，又1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解，（Ⅱ）当t＝2时，3a+4b＝31，则b＝，30a+b+8＝30a++8是完全平方数，又1≤a≤9，0≤b≤8，此时无整数解，（Ⅲ）当t＝3时，3a+4b＝50，则，是完全平方数，若a＝6，b＝8，则3a+4b+7＝57＝19×3，30×6+8+8＝196＝142，∴t＝3，k＝14，此时m＝10a+8＝68，n＝10a+8﹣a＝60，∴A＝682﹣60＝4564，故答案为：82，4564．13．（5分）（2024•成都）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一条角平分线，E为AD中点，连接BE．若BE＝BC，CD＝2，则BD＝．【分析】连接CE，过E作EF⊥BC于F，设BD＝x，则BC＝x+2，由∠ACB＝90°，E为AD中点，可得CE＝AE＝DE＝AD，有∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，证明△ECD∽△BCE，可得＝，∠CED＝∠CBE，故CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4，再证△ABC∽△BEF，得＝，而AC＝2EF，即得2EF2＝（x+1）（x+2），从而＝（2x+4）﹣12，即可解得答案．【解答】解：连接CE，过E作EF⊥BC于F，如图：设BD＝x，则BC＝BD+CD＝x+2，∵∠ACB＝90°，E为AD中点，∴CE＝AE＝DE＝AD，∴∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，∴∠CED＝2∠CAD，∵BE＝BC，∴∠ECD＝∠BEC，∴∠BEC＝∠EDC，∵∠ECD＝∠BCE，∴△ECD∽△BCE，∴＝，∠CED＝∠CBE，∴CE2＝CD•BC＝2（x+2）＝2x+4，∵AD平分∠CAB，∴∠CAB＝2∠CAD，∴∠CAB＝∠CED，∴∠CAB＝∠CBE，∵∠ACB＝90°＝∠BFE，∴△ABC∽△BEF，∴＝，∵CE＝DE，EF⊥BC，∴CF＝DF＝CD＝1，∵E为AD中点，∴AC＝2EF，∴＝，∴2EF2＝（x+1）（x+2），∵EF2＝CE2﹣CF2，∴＝（2x+4）﹣12，解得x＝或x＝（小于0，舍去），∴BD＝．故答案为：．14．（5分）（2024•宁海县校级自主招生）如图，等腰直角△ABC的斜边AB下方有一动点D，∠ADB＝90°，BE平分∠ABD交CD于点E，则的最小值是．【分析】如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE．想办法证明CE＝CA，当CD是直径时的值最小．【解答】解：如图，取AB的中点O，连接OC，OD，AE．∵∠ACB＝∠ADB＝90°，OA＝OB，∴OC＝OD＝AB，∴A，C，B，D四点共圆，∵CA＝CB，∴∠CBA＝∠CAB＝45°，∴∠CDA＝∠CBA＝45°，∠CDB＝∠CAB＝45°，∴∠CDB＝∠CDA，∴DE平分∠ADB，∵BE平分∠ABD，∴点E是△ABD的角平分线的交点，∴AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵∠CAE＝∠CAB+∠BAE＝45°+∠BAE，∠CEA＝∠EDA+∠EAD＝45°+∠DAE，∴∠CAE＝∠CEA，∴CA＝CE＝定值，∴当CD的值最大时，的值最小，∴CD是直径时，的值最小，最小值＝＝，故答案为．15．（5分）（2024•渝中区校级自主招生）如图所示，平面直角坐标系中，四边形OABC是矩形，点A在第一象限，点B、C在第二象限，SOAB＝，将△OAB沿OB翻折至△△OA′B，反比例函数恰好经过点B和点A′，连接A′C交x轴于点M，则点M的坐标为．【分析】过点A'作A'D⊥x轴于D，A'G⊥OB于G，过点B作BE⊥x轴于E，BF⊥DA'交DA'的延长线于F，过C作CH⊥OB于H，根据矩形及翻折的性质得∠BA'O＝90°，SOA'B＝S△OAB＝S△OBC＝，再根据反比例函数比例系数的几何意义得：S△OBE＝S△OA'D △＝，由此可得SOA'B＝S△OBE+S梯形A'BED﹣S△OA'D＝S梯形A'BED＝，△设A'，B，其中a＜b＜0，则，OD＝﹣a，BE＝﹣12√2/b，OE＝b，DE＝OD﹣OE＝b﹣a，则SA'BED＝（A'D+BE）•DE＝梯形，整理得2a2﹣2b2+3ab＝0，即（2a+b）（a﹣2b）＝0，据此可得a＝2b，则点A'，设直线OB的表达式为y＝mx，将B代入y＝mx，得，直线OB的表达式为，再证四边形A'CHG为矩形得A'C∥OB，可设直线A'C的表达式为，将点A'代入，得，则直线A'C的表达式为，进而得点，证△A'OD和△BA'F相似得BF：A'D＝A'F：OD，根据A'，B得BF＝﹣b，，，OD＝a＝﹣2b，则由此解出b即可得点M的坐标．【解答】解：过点A'作A'D⊥x轴于D，A'G⊥OB于G，过点B作BE⊥x轴于E，BF⊥DA'交DA'的延长线于F，过C作CH⊥OB于H，如图所示：∵四边形OABC为矩形，且SOAB＝，△∴SOBC＝S△OAB＝，△∵将△OAB沿OB翻折至△OA′B，∴SOA'B＝S△OAB＝，∠BA'O＝90°，△∴SOA'B＝S△OAB＝S△OBC＝，△根据反比例函数比例系数的几何意义得：SOBE＝S△OA'D＝，△∵A'D⊥x轴，BE⊥x轴，∴四边形A'BED为梯形，∵SOA'B＝S△OBE+S梯形A'BED﹣S△OA'D＝S梯形A'BED＝，△设A'，B，其中a＜b＜0，则，OD＝﹣a，BE＝﹣12√2/b，OE＝b，DE＝OD﹣OE＝b﹣a，∴SA'BED＝（A'D+BE）•DE＝，梯形∴，整理得：2a2﹣2b2+3ab＝0，即（2a+b）（a﹣2b）＝0，∵a＜b＜0，∴2a+b＜0，∴a﹣2b＝0，∴a＝2b，∴点A'．设直线OB的表达式为：y＝mx，将B代入y＝mx，得：，∴直线OB的表达式为：，∴SOA'B＝OB•A'G＝，S△OAC＝OB•CH＝，△∴OB•A'G＝OB•CH，∴A'G＝CH，又∵A'G⊥OB，CH⊥OB，∴四边形A'CHG为矩形，∴A'C∥OB，设直线A'C的表达式为：y＝tx+n，则，∴直线A'C的表达式为：入，将点A'代入，得：，∴直线A'C的表达式为：，对于，当y＝0时，，∴点M的坐标为，∵A'D⊥x轴，BF⊥DA'，∴∠A'DO＝∠BFA'＝90°，∠FBA'+∠FA'B＝90°，∵∠BA'O＝90°，∴∠FA'B+∠DA'O＝90°，∴∠DA'O＝∠FBA'，∴△A'OD∽△BA'F，∴BF：A'D＝A'F：OD，∵A'，B，∴BF＝﹣b，，，OD＝a＝﹣2b，∴，整理得：b4＝36，∴，（不合题意，舍去），∴，∴点M的坐标为．故答案为：．16．（5分）（2022•成都自主招生）在平面直角坐标系xOy中有两点A，B，若在y轴上有一点P，连接PA，PB，当∠APB＝45°时，则称点P为线段AB关于y轴的“半直点”．例：如图，点A（﹣3，1），B（﹣3，﹣2），则点P（0，1）就是线段AB关于y轴的一个“半直点”，线段AB关于y轴的另外的“半直点”的坐标为（0，﹣2）；若点C（3，3），点D（6，﹣1），则线段CD关于y轴的“半直点”的坐标为（0，2）或（0，﹣3）．【分析】观察直接可得线段AB关于y轴的另外的“半直点”P'的坐标，以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，过E作GF∥y轴，过C作CG⊥GF于G，过D作DF⊥GF于F，设E（m，n），由△DEF≌△ECG（AAS），得EF＝CG，DF＝GE，可得，解得E（，﹣），以E为圆心，CE的长为半径作⊙E，交y轴于M、N，过E作EH⊥y轴于H，由∠CND＝∠CED＝×90°＝45°，知N是线段CD关于y 轴的“半直点”，同理M也是线段CD关于y轴的“半直点”，根据E（，﹣），C（3，3），得NH＝＝，N（0，2），同理MH＝，M（0，﹣3）．【解答】解：如图：∵A（﹣3，1），B（﹣3，﹣2），∴线段AB关于y轴的另外的“半直点”P'的坐标为（0，﹣2），以CD为斜边，在CD左侧作等腰直角三角形CDE，过E作GF∥y轴，过C作CG⊥GF 于G，过D作DF⊥GF于F，如图：设E（m，n），∵∠CED＝90°，∴∠DEF＝90°﹣∠CEG＝∠GCE，又∠F＝∠G＝90°，DE＝CE，∴△DEF≌△ECG（AAS），∴EF＝CG，DF＝GE，∵点C（3，3），点D（6，﹣1），∴，解得，∴E（，﹣），以E为圆心，CE的长为半径作⊙E，交y轴于M、N，过E作EH⊥y轴于H，如图：∵∠CND＝∠CED＝×90°＝45°，∴N是线段CD关于y轴的“半直点”，同理M也是线段CD关于y轴的“半直点”，∵E（，﹣），C（3，3），∴CE＝＝EN，HE＝，∴NH＝＝，∴N（0，2），同理MH＝，M（0，﹣3），∴线段CD关于y轴的“半直点”坐标是（0，2）或（0，﹣3），故答案为：（0，﹣2），（0，2）或（0，﹣3）．三．解答题（共8小题，满分80分，每小题10分）17．（10分）（2024•福建）已知实数a，b，c，m，n满足，．（1）求证：b2﹣12ac为非负数；（2）若a，b，c均为奇数，m，n是否可以都为整数？说明你的理由．【分析】（1）根据题意，可得b＝a（3m+n），c＝amn，将其代入原式中，再利用公式法与提公因式法进行因式分解，可得原式＝a2（3m﹣n）2，根据a，m，n是实数，可知a2（3m﹣n）2≥0，即可证b2﹣12ac为非负数．（2）m，n不可能都为整数．理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，分别进行论证讨论即可．【解答】解：（1）证明：∵，∴b＝a（3m+n），c＝amn，则b2﹣12ac＝[a（3m+n）]2﹣12a2mn＝a2（9m2+6mn+n2）﹣12a2mn＝a2（9m2﹣6mn+n2）＝a2（3m﹣n）2，∵a，m，n是实数，∴a2（3m﹣n）2≥0，∴b2﹣12ac为非负数．（2）m，n不可能都为整数．理由如下：若m，n都为整数，其可能情况有：①m，n都为奇数；②m，n为整数，且其中至少有一个为偶数，①当m，n都为奇数时，则3m+n必为偶数，又∵，∴b＝a（3m+n），∵a为奇数，∴a（3m+n）必为偶数，这与b为奇数矛盾；②当m，n为整数，且其中至少有一个为偶数时，则mn必为偶数，又∵，∴c＝amn，∵a为奇数，∴amn必为偶数，这与c为奇数矛盾；综上所述，m，n不可能都为整数．18．（10分）（2024•广东）【知识技能】（1）如图1，在△ABC中，DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′．当点E的对应点E′与点A重合时，求证：AB＝BC．【数学理解】（2）如图2，在△ABC中（AB＜BC），DE是△ABC的中位线．连接CD，将△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC′，连接A′B，C′C，作△A′BD的中线DF．求证：2DF•CD＝BD•CC′．【拓展探索】（3）如图3，在△ABC中，tan B＝，点D在AB上，AD＝．过点D作DE⊥BC，垂足为E，BE＝3，CE＝．在四边形ADEC内是否存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用等腰三角形+平行线证明∠DAE＝∠BCA即可得证；（2）先证△ADA′∽△CDC得到，再证AA'＝2DF，代入变形即可得证；（3）利用特殊点，∠AGD＝90°，∠CGE＝90°，则G就是以AD为直径的圆和以CE 为直径的圆的交点，根据题意证G在内部即可．【解答】（1）证明：∵△ADC绕点D按逆时针方向旋转，得到△A′DC'，且E'与A重合，∴AD＝DE，∴∠DAE＝∠DEA，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴∠DEA＝∠BCA，∴∠DAE＝∠BCA，∴AB＝BC．（2）证明：连接AA'，∵旋转，∴∠ADA′＝∠CDC′，AD＝A'D，CD＝C'D，∴，∴△ADA′∽△CDC′，∴，∵DE是△ABC的中位线，DF是△A'BD的中线，∴AD＝BD，BF＝A'F，∴DF是△AA'B的中位线，∴AA'＝2DF，∴，∴2DF•CD＝BD•CC'（3）解：存在，理由如下，解法一：取AD中点M，CE中点N，连接MN，∵AD是⊙M直径，CE是⊙N直径，∴∠AGD＝90°，∠CGE＝90°，∴∠AGD+∠CGE＝180°，∵tan B＝，BE＝3，∴BD＝5，∵CE＝，∴EN＝CE＝，∴BN＝BE+EN＝，∵DE⊥CE，∴DE是⊙N的切线，即DE在⊙N外，作NF⊥AB，∵∠B＝∠B，∠BED＝∠BFN＝90°，∴△BDE∽△BNF，∴，∴NF＝＞，即NF＞r n，∴AB在⊙N外，∴G点在四边形ADEC内部．作MH⊥BC，∵BM＝，tan B＝，∴BH＝，MH＝，∴NH＝，∴MN＝≈7.4＜AM+CN∴⊙M和⊙N有交点．故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°．解法二：相似互补弓形，分别以AD，CE为弦作⊙O2和⊙O，使得△O2AD∽△OEC，两圆的交点即为所求．作图步骤：①在四边形ADEC内任取一点F，作△EFC得外接圆，圆心为O，连接OE，OC，②作AD的中垂线，③以D为圆心，OC为半径画圆交AD中垂线于点O2，④以O2为圆心，O2A为半径画圆，交⊙O于点G，点G即为所求．证明：∵＝＝，∴△O2AD∽△OEC，∴∠AO2D＝∠EOC，∵∠AGD＝（360°﹣∠AO2D）＝180°﹣∠AO2D，∠EGC＝∠EOC，∴∠AGD+∠EGC＝180°．故四边形ADEC内存在点G，使得∠AGD+∠CGE＝180°．19．（10分）（2023•鼓楼区校级自主招生）已知a+b+c＝2023，，求的值．【分析】依据题意，设，从而a＝k（x2﹣yz），b＝k（y2﹣xz），c＝k（z2﹣xy），再代入式子中进行计算可以得解．【解答】解：由题意，设，∴a＝k（x2﹣yz），b＝k（y2﹣xz），c＝k（z2﹣xy）．∴原式＝＝＝＝＝k（x2﹣yz）+k（y2﹣xz）+k（z2﹣xy）＝a+b+c＝2023．20．（10分）（2023•安徽自主招生）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝x+m 的图象与x轴交于A（﹣1，0），与y轴交于点C．以直线x＝2为对称轴的抛物线C1：y ＝ax2+bx+c（a≠0）经过A，C两点，并与x轴正半轴交于点B．（1）求m的值及抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）的函数表达式；（2）设点D（0，），若F是抛物线C1：y＝ax2+bx+c（a≠0）对称轴上使得△ADF 的周长最小值的点，过F任意作一条与y轴不平行的直线交抛物线C1于M1（x1，y1），M2（x2，y2）两点，试探究是否为定值？请说明理由；（3）将抛物线C1作适当平移，得到抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2，h＞1，若当1＜x ≤m时，y2≥﹣x恒成立，求m的最大值．【分析】（1）只需将A点坐标代入一次函数关系式即可求出m值，利用待定系数法和二次函数的图象与性质列出关于a、b、c的方程组求出a、b、c的值就可求出二次函数关系式；（2）先运用轴对称的性质找到点F的坐标，再运用一元二次方程根与系数的关系及平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出M1M2、M1F、M2F，证出M1F•M2F＝M1M2，最后可求+＝1；（3）设y2与y＝﹣x的两交点的横坐标分别为x0，x1，因为抛物线C2：y2＝﹣（x﹣h）2可以看成由y＝﹣x2左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x0，x1的值不断增大，所以当1＜x≤m，y2≥﹣x恒成立时，m最大值在x0处取得，根据题意列出方程求出x0，即可求解．【解答】解：（1）∵一次函数y＝x+m的图象与x轴交于A（﹣1，0）∴0＝﹣+m，∴m＝．∴一次函数的解析式为y＝x+．∴点C的坐标为（0，）．∵y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A、C两点且对称轴是直线x＝2，代入得：，解得，∴y＝﹣x2+x+．∴a的值为，抛物线C1的函数表达式为y＝﹣x2+x+．（2）+为定值；理由如下：要使△ADF的周长取得最小，只需AF+DF最小连接BD交x＝2于点F，因为点B与点A关于x＝2对称，根据轴对称性质以及两点之间线段最短，可知此时AF+DF最小．令y＝﹣x2+x+中的y＝0，则x＝﹣1或5，∴B（5，0），∵D（0，），∴直线BD解析式为y＝﹣x+，∴F（2，）．令过F（2，）的直线M1M2解析式为y＝kx+b1，则＝2k+b1，∴b1＝﹣2k则直线M1M2的解析式为y＝kx+﹣2k．解法一：由，得x2﹣（4﹣4k）x﹣8k＝0，∴x1+x2＝4﹣4k，x1x2＝﹣8k，∵y1＝kx1+﹣2k，y2＝kx2+﹣2k，∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），∴M1M2＝＝＝＝＝＝4（1+k2），M1F＝＝＝，同理M2F＝，∴M1F•M2F＝（1+k2）＝（1+k2）＝（1+k2）＝4（1+k2）＝M1M2，∴+＝＝＝1；解法二：∵y＝﹣x2+x+＝﹣（x﹣2）2+，∴（x﹣2）2＝9﹣4y，设M 1（x 1，y 1），则有（x 1﹣2）2＝9﹣4y 1．∴M 1F ＝＝＝﹣y 1；设M 2（x 2，y 2），同理可求得：M 2F ＝﹣y 2．∴+＝＝＝①．直线M 1M 2的解析式为y ＝kx +﹣2k ，即：y ﹣＝k （x ﹣2）．联立y ﹣＝k （x ﹣2）与抛物线（x ﹣2）2＝9﹣4y ，得：y 2+（4k 2﹣）y +﹣9k 2＝0，∴y 1+y 2＝﹣4k 2，y 1y 2＝﹣9k 2，代入①式，得：+＝＝1．（3）设y 2与y ＝﹣x 的两交点的横坐标分别为x 0，x 1，∵抛物线C 2：y 2＝﹣（x ﹣h ）2可以看成由y ＝﹣x 2左右平移得到，观察图象可知，随着图象向右移，x 0，x 0′的值不断增大，∴当1＜x ≤m ，y 2≥﹣x 恒成立时，m 最大值在x 1处取得∴当x 0＝1时，对应的x 1即为m 的最大值将x 0＝1代入y 2＝﹣（x ﹣h ）2＝﹣x 得（1﹣h ）2＝4，∴h ＝3或﹣1（舍），将h ＝3代入y 2＝﹣（x ﹣h ）2＝﹣x 有：﹣（x ﹣3）2＝﹣x ，∴x 0＝1，x 1＝9．∴m 的最大值为9．21．（10分）（2022•宣城自主招生）如图，△ABC中，AB＝AC，D，E在边BC上，延长AD，AE与△ABC的外接圆分别交于P，Q两点．（1）求证：D，E，Q，P四点共圆；（2）若AD＝BD＝3，AE＝4，DC＝5，求弦AQ的长度．【分析】（1）连接BQ，根据同弧所对圆周角相等可得∠C＝∠AQB，∠BAP＝∠BQP，由∠ADB+∠ABC+∠BAD＝180°结合等腰三角形性质可证∠PDE+∠EQP＝180°，最后得证∠P+∠DEQ＝180°即可；（2）先证明△ABC∽△DAB，根据相似三角形的性质求得，再证明△ABE∽△AQB，最后根据相似三角形的性质即可求解．【解答】（1）证明：如图，连接BQ，∴∠C＝∠AQB，∠BAP＝∠BQP，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠ABC＝∠AQB，∵∠ADB+∠ABC+∠BAD＝180°，∴∠PDE+∠AQB+∠BQP＝180°，∴∠PDE+∠EQP＝180°，∵∠PDE+∠DEQ+∠EQP+∠P＝360°，∴∠P+∠DEQ＝180°，∴D，E，Q，P四点共圆；（2）解：∵AD＝BD＝3，DC＝5∴∠ABD＝∠BAD，BC＝8，由（1）知∠ABC＝∠C，∴∠ABD＝∠BAD＝∠C，∴△ABC∽△DAB，∴，即，∴，由（1）可知∠ABE＝∠AQB，∵∠BAE＝∠QAB，∴△ABE∽△AQB，∴，即，解得AQ＝6．22．（10分）（2022•南京自主招生）已知a，b为方程x2﹣2x+t﹣3＝0的两根，求（2a+5﹣t）（b2+2）的最小值．【分析】利用根与系数的关系及方程根的定义，利用整体的思想方法，用含t的代数式表示要求代数式的积得结论．【解答】解：∵a，b为方程x2﹣2x+t﹣3＝0的两根，∴a+b＝2，ab＝t﹣3，b2﹣2b+t﹣3＝0．∴b2＝2b+3﹣t．∴（2a+5﹣t）（b2+2）＝（2a+5﹣t）（2b+3﹣t+2）＝（2a﹣t+5）（2b﹣t+5）＝4ab﹣2bt+10b﹣2at+t2﹣5t+10a﹣5t+25＝t2+4ab﹣2t（a+b）+10（a+b）﹣10t+25．把a+b＝2，ab＝t﹣3代入得t2+4（t﹣3）﹣2t×2+10×2﹣10t+25＝t2+4t﹣12﹣4t+20﹣10t+25＝t2﹣10t+25+8＝（t﹣5）2+8．∵a，b为方程x2﹣2x+t﹣3＝0的两根，∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（t﹣3）＝4﹣4t+12＝﹣4t+16≥0，∴t≤4．∵（t﹣5）2≥0，∴当t＝4时，（t﹣5）2+8＝（4﹣5）2+8＝1+8＝9．∴（2a+5﹣t）（b2+2）的最小值是9．23．（10分）（2022•成都自主招生）如图，抛物线y＝﹣x2+2mx+m+2与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，OB＝3OA．（1）求抛物线的解析式；（2）设D是第四象限内抛物线上的点，连接AD、OD、CD，SCOD：S△AOD＝12：5．△①求点D的坐标；②连接BD，若点P，Q是抛物线上不重合的两个动点，在直线x＝a（a＞0）上是否存在点M，N（点A，P，M按顺时针方向排列，点A，Q，N按顺时针排列），使得△APM≌△AQN且△APM∽△ABD？若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）设A坐标（﹣x0，0）B（3x0，0），x0≠0且x0＞0，把A、B代入抛物线解析式得到关系式：8﹣8mx0＝0，由两根的积等于，所以可得m的值和解析式；（2）①设D（x0，y0），已知S△COD：S△AOD＝12：5，S△COD＝CO×x0，S△AOD＝AO•（﹣y），可得出x0，y0关系式y0＝﹣x0，D在抛物线上，把D代入抛物线，可得D的坐标；②由题意知△APM≌△AQN，所以AM＝AN，即M、N关于x轴对称，假设存在这样的P、Q，根据题意可得出△APQ∽△AMN，△AMN的中线在x轴上且与△APQ中线夹角为45°，可得出△APQ的中线在y＝x+1上，同时，P、Q关于y＝x+1对称，设P、Q解析式为y＝﹣x+b，PQ中点为（m，n）解方程组得到AR的长度，即x＝a与x轴交于H，由△APQ∽△AMN，可得到a的值．【解答】解：（1）由题设A坐标（﹣x0，0），则B为（3x0，0），x0≠0且x0＞0，则有，①﹣②得8﹣8mx0＝0，又∵﹣x0•3x0＝＝﹣m﹣2，则解得m＝1或﹣（舍去），即m＝1，所以抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）如图所示：①设D（x0，y0），则SCOD＝×CO•x0＝x0，△SAOD＝×AO×（﹣y0）＝﹣y0，△又∵SCOD：S△AOD＝12：5，△∴＝①，又∵点D在抛物线上，∴y0＝﹣+2x0+3②，联立①②解得：x0＝4或x0＝﹣（舍去），则x0＝4，y0＝﹣5，即点D的坐标为（4，﹣5），②由（1）得B（3，0），如图2，∵△APM≌△AQN，∴AM＝AN，又∵P、Q不重合，则M、N不重合，且MN都在x＝a上，∴M、N关于x轴对称，假设存在这样的P、Q，∵△APM∽△ABD，∴△AQN∽△ABD，且相似比相同，∴△APQ∽△AMN，且∠NAQ＝∠DAB＝45°，∴△AMN的中线与△APQ中线夹角也为45°，而△AMN的中线在x轴上，∴△APQ的中线在y＝x+1上，∴P、Q关于y＝x+1对称，PQ垂直y＝x+1．设PQ解析式为：y＝﹣x+b，PQ中点为R（m，n），联立，∴x2﹣3x+b﹣3＝0，x1+x2＝3，∴m＝，将R（，n）代入y＝x+1得n＝，∴R（，），∴AR＝，设x＝a与x轴交于H，则由△APQ∽△AMN可得，＝＝＝，∴AH＝，∴a＝．24．（10分）（2022•洪山区校级自主招生）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+6与x轴，y轴的交点分别为P，Q，且经过P，Q两点的抛物线y＝x2+mx+n与x轴的另外一个交点为点M．（1）求抛物线的解析式；（2）已知E是直线PQ下方的抛物线上的一动点（不包括P，Q两点）．①过点E作与x轴垂直的直线EF交直线PQ于点F，若点N为y轴上的一动点，当线段EF的长度最大时，求的最小值；②当tan∠EPM＝tan∠MQP时，求点E的坐标．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）①过点N作NH⊥OH于点H，则NH＝ON•sin45°＝ON，E、N、H共线时，＝EN+HN＝EH最小，进而求解；②求出tan∠PQM＝＝，得到tan∠EPM＝1，进而求解．【解答】解：（1）对于y＝x+6，当x＝0时，y＝6，令y＝x+6＝0，则x＝﹣6，故点P、Q的坐标分别为（﹣6，0）、（0，6），将点P、Q的坐标代入抛物线解析式得：，解得：，故抛物线的解析式为：y＝x2+7x+6；（2）①设点F（x，x+6），则点E（x，x2+7x+6），则EF＝（x+6）﹣（x2+7x+6）＝﹣x2﹣6x，∵﹣1＜0，故EF有最大值，此时x＝﹣3，即点E（﹣3，﹣6），过点O作OH，使OH和y轴负半轴的夹角为45°，过点N作NH⊥OH于点H，则NH＝ON•sin45°＝ON，则＝EN+HN，则E、N、H共线时，＝EN+HN＝EH最小，则直线OH和x轴的夹角为45°，故OH的解析式为：y＝﹣x，直线EH的解析式为：y＝（x+3）﹣6＝x﹣3，联立y＝﹣x和y＝x﹣3并解得：x＝，则点H（，﹣），由点E、H的坐标得，EH＝＝；②过点M作MH⊥PQ于点H，由PQ的表达式知，∠QPO＝∠PQO＝45°，由点P、Q的坐标得，PQ＝6，则HM＝HP＝PM＝，则HQ＝PQ﹣PH＝6＝，则tan∠PQM＝＝，∵tan∠EPM＝tan∠MQP，则tan∠EPM＝1，即直线PE和x轴正半轴的夹角为45°，故直线PE的解析式为：y＝﹣（x+6）＝﹣x﹣6，联立y＝﹣x﹣6和y＝x2+7x+6并解得：，即点E（﹣2，﹣4）．。
重点高中自主招生考试数学试卷精选全文
可编辑修改精选全文完整版重点高中自主招生考试数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．）．1．（3分）若不等式组的解集是x＞3，则m的取值范围是（）A．m＞3 B．m≥3 C．m≤3 D．m＜3解答：解：由x+7＜4x﹣2移项整理得：﹣3x＜﹣9，∴x＞3，∵x＞m，又∵不等式组的解集是x＞3，∴m≤3．故选C．2．（3分）如图，在△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，BC=1，则AC=（）A．B．C．0.3 D．分析：本题中直角三角形的角不是特殊角，故过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，根据三角形内角和定理可求出∠DAC及∠ADC的度数，再由特殊角的三角函数值及勾股定理求解即可．解答：解：过A作AD交BC于D，使∠BAD=15°，∵△ABC中．∠ACB=90°，∠ABC=15°，∴∠BAC=75°，∴∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=75°﹣15°=60°，∴∠ADC=90°﹣∠DAC=90°﹣60°=30°，∴AC=AD，又∵∠ABC=∠BAD=15°∴BD=AD，∵BC=1，∴AD+DC=1，设CD=x，则AD=1﹣x，AC=（1﹣x），∴AD2=AC2+CD2，即（1﹣x）2=（1﹣x）2+x2，解得：x=﹣3+2，∴AC=（4﹣2）=2﹣故选B．3．（3分）（2011•南漳县模拟）如图，AB为⊙O的一固定直径，它把⊙O分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点P，当点C在上半圆（不包括A，B两点）上移动时，点P（）A．到CD的距离保持不变B．位置不变C．D．随C点移动而移动等分分析：连OP，由CP平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠3，所以有OP∥CD，则OP⊥AB，即可得到OP平分半圆APB．解答：解：连OP，如图，∵CP平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OP，有∠1=∠3∴∠2=∠3，∴OP∥CD，又∵弦CD⊥AB，∴OP⊥AB，∴OP平分半圆APB，即点P是半圆的中点．故选B．4．（3分）已知y=+（x，y均为实数），则y的最大值与最小值的差为（）A．2﹣1 B．4﹣2C．3﹣2D．2﹣2分析：首先把y=+两边平方，求出定义域，然后利用函数的单调性求出函数的最大值和最小值，最后求差．解答：解：∵y=+，∴y2=4+2=4+2×，∵1≤x≤5，当x=3时，y的最大值为2，当x=1或5时，y的最小值为2，故当x=1或5时，y 取得最小值2，当x取1与5中间值3时，y取得最大值，故y的最大值与最小值的差为2﹣2，故选D．5．（3分）（2010•泸州）已知O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上．一只蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短路线的痕迹如图所示．若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．考点：线段的性质：两点之间线段最短；几何体的展开图．分析：此题运用圆锥的性质，同时此题为数学知识的应用，由题意蜗牛从P点出发，绕圆锥侧面爬行，回到P点时所爬过的最短，就用到两点间线段最短定理．解答：解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．故选D．点评：本题考核立意相对较新，考核了学生的空间想象能力．6．（3分）已知一正三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，当这个圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，直至回到原出发位置时，则这个圆共转了（）A．6圈B．6.5圈C．7圈D．8圈分析：根据直线与圆相切的性质得到圆从一边转到另一边时，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，则圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，再加上在三边作无滑动滚动时要转6圈，这样得到它回到原出发位置时共转了7圈．解解：圆按箭头方向从某一位置沿正三角形的三边做无滑动的旋转，∵等边三角形的边长是和它相切的圆的周长的两倍，∴圆转了6圈，而圆从一边转到另一边时，圆心绕三角形的一个顶点旋转了三角形的一个外角的度数，圆心要绕其三角形的顶点旋转120°，∴圆绕三个顶点共旋转了360°，即它转了一圈，∴圆回到原出发位置时，共转了6+1=7圈．故选C．点评：本题考查了直线与圆的位置关系，弧长公式：l=（n为圆心角，R为半径）；也考查了旋转的性质．7．（3分）二次函数y=ax2+bx+c的图象如下图，则以下结论正确的有：①abc＞0；②b ＜a+c；③4a+2b+c＞0；④2c＜3b；⑤a+b＞m（am+b）（m≠1，m为实数）（）A．2个B．3个C．4个D．5个解答：解：①由图象可知：a＜0，b＞0，c＞0，abc＜0，错误；②当x=﹣1时，y=a﹣b+c ＜0，即b＞a+c，错误；③由对称知，当x=2时，函数值大于0，即y=4a+2b+c＞0，正确；④当x=3时函数值小于0，y=9a+3b+c＜0，且x=﹣=1，即a=﹣，代入得9（﹣）+3b+c＜0，得2c＜3b，正确；⑤当x=1时，y的值最大．此时，y=a+b+c，而当x=m 时，y=am2+bm+c，所以a+b+c＞am2+bm+c，故a+b ＞am 2+bm ，即a+b ＞m （am+b ），正确．③④⑤正确．故选B ． 8．（3分）如图，正△ABC 中，P 为正三角形内任意一点，过P 作PD ⊥BC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC 连结AP 、BP 、CP ，如果，那么△ABC 的内切圆半径为（ ）A ． 1B ．C ． 2D ．解答： 解：如图，过P 点作正△ABC 的三边的平行线，则△MPN ，△OPQ ，△RSP 都是正三角形，四边形ASPM ，四边形NCOP ，四边形PQBR 是平行四边形，故可知黑色部分的面积=白色部分的面积，又知S △AFP +S △PCD +S △BPE =，故知S △ABC =3，S △ABC =AB 2sin60°=3，故AB=2，三角形ABC 的高h=3，△ABC 的内切圆半径r=h=1．故选A ．二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（3分）与是相反数，计算=．解答：解：∵与|3﹣a ﹣|互为相反数，∴+|3﹣a ﹣|=0，∴3﹣a ﹣=0，解得a+=3，∴a+2+=3+2，根据题意，a ＞0，∴（+）2=5，∴+=．答案为：．10．（3分）若[x ]表示不超过x 的最大整数，，则[A ]=﹣2 ．分析： 先根据零指数幂和分母有理化得到A=﹣，而≈1.732，然后根据[x ]表示不超过x的最大整数得到，[A ]=﹣2． 解答：解：∵A=++1=++1=+1=+1=﹣1﹣+1=﹣，∴[A ]=[﹣]=﹣2．故答案为﹣2．点本题考查了取整计算：[x ]表示不超过x 的最大整数．也考查了分母有理化和零指数幂．评：11．（3分）如图，M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，AN与BM交于点O，则=．分析：连接MN，设△MON的面积是s，由于M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，易知MN是△ABC的中位线，那么MN∥AB，MN=AB，根据平行线分线段成比例定理可得△MON∽△BOA，于是OM：OB=MN：AB=1：2，易求△BON的面积是2s，进而可知△BMN的面积是3s，再根据中点性质，可求△BCM的面积等于6s，同理可求△ABC的面积是12s，从而可求S△BON：S△ABC．解答：解：连接MN，设△MON的面积是s，∵M、N分别为△ABC两边AC、BC的中点，∴MN是△ABC的中位线，∴MN∥AB，MN=AB，∴△MON∽△BOA，∴OM：OB=MN：AB=1：2，∴△BON的面积=2s，∴△BMN的面积=3s，∵N是BC的中点，∴△BCM的面积=6s，同理可知△ABC的面积=12s，∴S△BON：S△ABC=2s：12s=1：6，故答案是．点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，解题的关键是连接MN，构造相似三角形．12．（3分）如图，已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80°，弧BD的度数为20°，点P为直径AB上任一点，则PC+PD的最小值为3．考点：轴对称-最短路线问题；勾股定理；垂径定理；圆心角、弧、弦的关系．专题：探究型．分析：先设圆O的半径为r，由圆O的面积为3π求出R的值，再作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，由圆心角、弧、弦的关系可知==80°，故BC′=100°，由=20°可知=120°，由OC′=OD可求出∠ODC′的度数，进而可得出结论．解答：解：设圆O的半径为r，∵⊙O的面积为3π，∴3π=πR2，即R=．作点C关于AB的对称点C′，连接OD，OC′，DC′，则DC′的长即为PC+PD的最小值，∵的度数为80°，∴==80°，∴=100°，∵=20°，∴=+=100°+20°=120°，∵OC′=OD，∴∠ODC′=30°∴DC′=2OD•cos30°=2×=3，即PC+PD的最小值为3．故答案为：3．13．（3分）从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，在不同的和数中，是2的倍数的个数为a，是3的倍数的个数为b，则样本6、a、b、9的中位数是 5.5．分析：首先列举出所有数据的和，进而利用已知求出a，b的值，再利用中位数是一组数据重新排序后之间的一个数或之间两个数的平均数，由此即可求解．解答：解：根据从1，2，3，5，7，8中任取两数相加，可以得出所有可能：1+2=3，1+3=4，1+5=6，1+7=8，1+8=9，2+3=5，2+5=7，2+7=9，2+8=10，3+5=8，3+7=10，3+8=11，5+7=12，5+8=13，7+8=15，它们和中所有不同数据为：3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，15，故是2的倍数的个数为a=5，是3的倍数的个数为b=5，则样本6、5、5、9按大小排列为：5，5，6，9，则这组数据的中位数是：=5.5，故答案为：5.5．14．（3分）由直线y=kx+2k﹣1和直线y=（k+1）x+2k+1（k是正整数）与x轴及y轴所围成的图形面积为S，则S的最小值是．分析：首先用k表示出两条直线与坐标轴的交点坐标，然后表示出围成的面积S，根据得到的函数的取值范围确定其最值即可．解答：解：y=kx+2k﹣1恒过（﹣2，﹣1），y=（k+1）x+2k+1也恒过（﹣2，﹣1），k为正整数，那么，k≥1，且k∈Z如图，直线y=kx+2k﹣1与X轴的交点是A（，0），与y轴的交点是B （0，2k﹣1）直线y=（k+1）x+2k+1与X轴的交点是C（，0），与y轴的交点是D （0，2k+1），那么，S四边形ABDC=S△COD﹣S△AOB，=（OC•OD﹣OA•OB），=[﹣]，=（4﹣），=2﹣又，k≥1，且k∈Z，那么，2﹣在定义域k≥1上是增函数，因此，当k=1时，四边形ABDC的面积最小，最小值S=2﹣=．点评：本题考查了两条指向相交或平行问题，解题的关键是用k表示出直线与坐标轴的交点坐标并用k表示出围成的三角形的面积，从而得到函数关系式，利用函数的知识其最值问题．15．（3分）（2010•随州）如图，在矩形纸片ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，CD上有一点E，ED=2cm，AD上有一点P，PD=3cm，过P作PF⊥AD交BC于F，将纸片折叠，使P点与E点重合，折痕与PF交于Q点，则PQ的长是cm．分析：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，根据折叠及矩形的性质，用含x的式子表示Rt△EGQ的三边，再用勾股定理列方程求x即可．解答：解：过Q点作QG⊥CD，垂足为G点，连接QE，设PQ=x，由折叠及矩形的性质可知，EQ=PQ=x，QG=PD=3，EG=x﹣2，在Rt△EGQ中，由勾股定理得EG2+GQ2=EQ2，即：（x﹣2）2+32=x2，解得：x=，即PQ=．16．（3分）（2010•随州）将半径为4cm的半圆围成一个圆锥，在圆锥内接一个圆柱（如图示），当圆柱的侧面的面积最大时，圆柱的底面半径是1cm．分析：易得扇形的弧长，除以2π也就得到了圆锥的底面半径，再加上母线长，利用勾股定理即可求得圆锥的高，利用相似可求得圆柱的高与母线的关系，表示出侧面积，根据二次函数求出相应的最值时自变量的取值即可．解答：解：扇形的弧长=4πcm，∴圆锥的底面半径=4π÷2π=2cm，∴圆锥的高为=2cm，设圆柱的底面半径为rcm，高为Rcm．=，解得：R=2﹣r，∴圆柱的侧面积=2π×r×（2﹣r）=﹣2πr2+4πr（cm2），∴当r==1cm时，圆柱的侧面积有最大值．三、解答题（72）17．（14分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c（c＞0）过点C（﹣1，0），且与直线y=7﹣2x只有一个交点．（1）求抛物线的解析式；（2）若直线y=﹣x+3与抛物线相交于两点A、B，则在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．分析：（1）将C点坐标代入y=﹣x2+bx+c得c=b+1，联立抛物线y=﹣x2+bx+b+1与直线y=7﹣2x，转化为关于x的二元一次方程，令△=0求b的值即可；（2）直线y=﹣x+3与（1）中抛物线求A、B两点坐标，根据抛物线解析式求对称轴，根据线段AB为等腰三角形的腰或底，分别求Q点的坐标．解答：解：（1）把点C（﹣1，0）代入y=﹣x2+bx+c中，得﹣1﹣b+c=0，解得c=b+1，联立，得x2﹣（b+2）x+6﹣b=0，∵抛物线与直线只有一个交点，∴△=（b+2）2﹣4（6﹣b）=0，解得b=﹣10或2，∵c=b+1＞0，∴b=2，∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）存在满足题意的点Q．联立，解得或，则A（0，3），B（3，0），由抛物线y=﹣x2+2x+3，可知抛物线对称轴为x=1，由勾股定理，得AB=3，当AB为腰，∠A为顶角时，Q（1，3+）或（1，3﹣）；当AB为腰，∠B为顶角时，Q（1，）或（1，﹣）；当AB为底时，Q（1，1）．故满足题意的Q点坐标为：（1，3+）或（1，3﹣）或（1，）或（1，﹣）或（1，1）．18．（14分）有一河堤坝BCDF为梯形，斜坡BC坡度，坝高为5m，坝顶CD=6m，现有一工程车需从距B点50m的A处前方取土，然后经过B﹣C﹣D放土，为了安全起见，工程车轮只能停在离A、D处1m的地方即M、N处工作，已知车轮半经为1m，求车轮从取土处到放土处圆心从M到N所经过的路径长．分析：作出圆与BA，BC相切时圆心的位置G，与CD相切时圆心的位置P，与CD相切时圆心的位置I，分别求得各段的路径的长，然后求和即可．解答：解：当圆心移动到G的位置时，作GR⊥AB，GL⊥BC分别于点R，L．∵，∴∠CBF=30°，∴∠RGB=15°，∵直角△RGB中，tan∠RGB=，∴BR=GR•tan∠RGB=2﹣，则BL=BR=2﹣，则从M移动到G的路长是：AB﹣BR﹣1=50﹣（2﹣）﹣1=47+m，BC=2×5=10m，则从G移动到P的位置（P是圆心在C，且与BC相切时圆心的位置），GP=10﹣BL=10﹣（2﹣）=8+m；圆心从P到I（I是圆心在C，且与CD相切时圆心的位置），移动的路径是弧，弧长是：=m；圆心从I到N移动的距离是：6﹣1=5m，则圆心移动的距离是：（47+）+（8+）+5+=60+2+（m）．19．（14分）如图，过正方形ABCD的顶点C在形外引一条直线分别交AB、AD延长线于点M、N，DM与BN交于点H，DM与BC交于点E，BN△AEF与DC交于点F．（1）猜想：CE与DF的大小关系？并证明你的猜想．（2）猜想：H是△AEF的什么心？并证明你的猜想．分析：（1）利用正方形的性质得到AD∥BC，DC∥AB，利用平行线分线段成比例定理得到，，从而得到，然后再利用AB=BC即可得到CE=DF；（2）首先证得△ADF≌△DCE，从而得到∠DAF=∠FDE，再根据∠DAF+∠ADE=90°得到AF⊥DE，同理可得FB⊥AE，进而得到H为△AEF的垂心．解答：解：（1）CE=DF；证明：∵正方形ABCD∴AD∥BC，DC∥AB∴，（∴∴又AB=BC∴CE=DF；（2）垂心．在△ADF与△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴∠DAF=∠FDE，∵∠DAF+∠ADE=90°，∴AF⊥DE，同理FB⊥AE．H为△AEF的垂心．20．（15分）如图，已知菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，点P在线段BC延长线上，半径为r1的圆O1与DC、CP、DP分别相切于点H、F、N，半径为r2的圆O2与PD延长线、CB延长线和BD分别相切于点M、E、G．（1）求菱形的面积；（2）求证：EF=MN；（3）求r1+r2的值．解答：（1）解：∵菱形ABCD边长为，∠ABC=120°，∴△ADC和△DBC都是等边三角形，∴菱形的面积=2S△DBC=2××（6）2=54；（2）证明：∵PM与PE都是⊙O2的切线，∴PM=PE，又∵PN与PF都是⊙O1的切线，∴PN=PF，∴PM﹣PN=PE﹣PB，即EF=MN；（3）解：∵BE与BG都是⊙O2的切线，∴BE=BG，∠O2BE=∠O2BG，O2E⊥BE，而∠EBG=180°﹣∠DBC=180°﹣60°=120°，∴∠O2BE=60°，∠EO2B=30°，∴BE=O2E=r2，∴BG=r2，∴DM=DG=6﹣r2，同理可得CF=r1，DN=DH=6﹣r1，∴MN=DM+DN=12﹣（r1+r2），∵EF=EB+BC+CF=r2+6+r1=6+（r1+r2），而EF=MN，∴6+（r1+r2）=12﹣（r1+r2），∴r1+r2=9．21．（15分）（2012•黄冈）如图，已知抛物线的方程C1：y=﹣（x+2）（x﹣m）（m＞0）与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧．（1）若抛物线C1过点M（2，2），求实数m的值；（2）在（1）的条件下，求△BCE的面积；（3）在（1）条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标；（4）在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE 相似？若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．解答：解：（1）依题意，将M（2，2）代入抛物线解析式得：2=﹣（2+2）（2﹣m），解得m=4．（2）令y=0，即（x+2）（x﹣4）=0，解得x1=﹣2，x2=4，∴B（﹣2，0），C（4，0）在C1中，令x=0，得y=2，∴E（0，2）．∴S△BCE=BC•OE=6．（3）当m=4时，易得对称轴为x=1，又点B、C关于x=1对称．如解答图1，连接EC，交x=1于H点，此时BH+EH最小（最小值为线段CE的长度）．设直线EC：y=kx+b，将E（0，2）、C（4，0）代入得：y=x+2，当x=1时，y=，∴H（1，）．（4）分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如解答图2所示．则，∴BC2=BE•BF．由函数解析式可得：B（﹣2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°，作FT⊥x 轴于点T，则∠BFT=∠TBF=45°，∴BT=TF．∴可令F（x，﹣x﹣2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴﹣x﹣2=﹣（x+2）（x﹣m），∵x+2＞0，∵x＞0，∴x=2m，F（2m，﹣2m﹣2）．此时BF==2（m+1），BE=，BC=m+2，又∵BC2=BE•BF，∴（m+2）2=•（m+1），∴m=2±，∵m＞0，∴m=+2．②当△BEC∽△FCB时，如解答图3所示．则，∴BC2=EC•BF．∵△BEC∽△FCB∴∠CBF=∠ECO，∵∠EOC=∠FTB=90°，∴△BTF∽△COE，∴，∴可令F（x，（x+2））（x＞0）又∵点F在抛物线上，∴（x+2）=﹣（x+2）（x ﹣m），∵x＞0，∴x+2＞0，∴x=m+2，∴F（m+2，（m+4）），EC=，BC=m+2，又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=•整理得：0=16，显然不成立．综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2．。
《因式分解》各地自主招生试题精选
《因式分解》各地自主招生试题精选一．选择题（共10小题）1．已知M=62007+72009，N=62009+72007，那么M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定2．已知2x2﹣3xy+y2=0（xy≠0），则的值是（）A．2，B．2 C．D．﹣2，3．若m2=n+2，n2=m+2，（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣24．已知a2（b+c）=b2（a+c）=2015，且a，b，c互不相等，则c2（a+b）﹣2014的值为（）A．0 B．1 C．2015 D．﹣20155．已知三个整数a，b，c的和为奇数，那么a2+b2﹣c2+2abc（）A．一定是非零偶数B．等于零C．一定为奇数 D．可能是奇数，也可能是偶数6．已知a为实数，且a3+a2﹣a+2=0，则（a+1）8+（a+1）9+（a+1）10的值是（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．17．若3x2﹣x=1，则9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=（）A．2011 B．2010 C．2009 D．20088．若x3+x2+x+1=0，则x﹣27+x﹣26+…+x﹣1+1+x+…+x26+x27的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．29．已知△ABC的三条长a、b、c满足b+c=8，bc=a2﹣12a+52，则△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．无法确定10．已知，则（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣b）（b﹣c）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4二．填空题（共8小题）11．已知a=998，b=997，c=996，则a2﹣ab﹣ac+bc=．12．在有理数范围内分解因式：（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24=．13．已知，则a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc的值=．14．若x+y=﹣1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于．15．日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x﹣y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为其中一个六位数的密码．对于多项式4x4y﹣5x2y﹣9y，取x=5，y=5时，用上述方法产生的所有密码中最小的一个是．16．已知多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式，那么的值是．17．已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，则x4+x3y+x2y2+xy3+y4=．18．已知正实数x、y、z满足，则x+y+z+xyz=．三．解答题（共8小题）19．分解因式：（1）2x2﹣7x+3（2）（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8（3）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．20．分解因式：3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4．21．若x3+5x2+7x+a有一因式x+1，求a的值，并将原式因式分解．22．已知（c﹣a）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）=0，求证：2b=a+c．23．一个自然数（即非负整数）若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“好数”．例如，16=52﹣32就是一个“好数”．（1）2014是不是“好数”？说明理由．（2）从小到大排列，第2014个“好数”是哪个自然数？24．已知x、y、z是整数，且x＜y＜z，求满足的x、y、z的值．25．宁海中学高一段组织了围棋比赛，共有10名选手进入了决赛，决赛阶段实行单循环赛（即每两名参赛选手都要赛一局，且每局比赛都决出胜负），若一号选手胜a1局，输b1局；二号选手胜a2局，输b2局，…，十号选手胜a10局，输b10局．试比较a12+a22+…+a102与b12+b22+…+b102的大小，并叙述理由．26．a，b，c为非零实数，a2+b2+c2=1，，求a+b+c的值．《因式分解》各地自主招生试题精选参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．（2011•浙江校级自主招生）已知M=62007+72009，N=62009+72007，那么M，N的大小关系是（）A．M＞N B．M=N C．M＜N D．无法确定【分析】先用作差法，再根据同底数的幂分别提取公因式，整理计算后判断出正负情况即可得到M、N的大小关系．【解答】解：∵M﹣N=62007+72009﹣62009﹣72007，=62007（1﹣62）+72007（72﹣1），=48×72007﹣35×62007＞0，∴M＞N，故选A．【点评】本题考查了提公因式法、分组分解法分解因式，比较两个数的大小，求差法是常用的方法之一．2．（2013•桃源县校级自主招生）已知2x2﹣3xy+y2=0（xy≠0），则的值是（）A．2，B．2 C．D．﹣2，【分析】对等式两边同时除以x2，得，解方程可得=1或2，即=1或，即得=2或2．【解答】解：根据题意，2x2﹣3xy+y2=0，且xy≠0，故有，即，即得=1或2，故=1或，所以=2或2．故选A．【点评】本题主要考查的是利用因式分解法求解方程，要求学生能够熟练掌握这种解题方法．3．（2014•湖南自主招生）若m2=n+2，n2=m+2，（m≠n），则m3﹣2mn+n3的值为（）A．1 B．0 C．﹣1 D．﹣2【分析】对原式分析可将原式变形为（n+2）m﹣2mn+n（m+2），对其化简即可得出结果．【解答】解：根据题意，原式=（n+2）m﹣2mn+n（m+2）=mn+2m﹣2mn+mn+2n=2（m+n），又m2=n+2，n2=m+2，故有m2﹣n2=n﹣m，得m+n=﹣1，故原式=2（m+n）=﹣2．故选D．【点评】本题主要考查的是学生对因式分解的运用及对已知条件的灵活处理，要求学生熟练掌握并应用．4．（2015•武汉校级自主招生）已知a2（b+c）=b2（a+c）=2015，且a，b，c互不相等，则c2（a+b）﹣2014的值为（）A．0 B．1 C．2015 D．﹣2015【分析】由a2（b+c）=b2（a+c）=2015得a2（b+c）﹣b2（a+c）=0，左边因式分解可得（a﹣b）（ab+ac+bc）=0，从而有ab+ac+bc=0，结合b2（a+c）=2015知﹣abc=2015，将原式变形可得c2（a+b）﹣2014=﹣abc﹣2014，代入即可得答案．【解答】解：∵a2（b+c）=b2（a+c）=2015，∴a2（b+c）﹣b2（a+c）=0，a2b+a2c﹣ab2﹣b2c=0，ab（a﹣b）+c（a+b）（a﹣b）=0，（a﹣b）（ab+ac+bc）=0，∵a，b，c互不相等，即a﹣b≠0，∴ab+ac+bc=0，又∵b2（a+c）=2015，即b（ab+bc）=2015，∴b•（﹣ac）=2015，即﹣abc=2015，则c2（a+b）﹣2014=c（ac+bc）﹣2014=c•（﹣ab）﹣2014=﹣abc﹣2014=2015﹣2014=1．故选：B．【点评】本题主要考查因式分解的应用，由a2（b+c）﹣b2（a+c）=0因式分解得（a﹣b）（ab+ac+bc）=0，从而得到﹣abc=2015是解决此题的关键，将已知条件经过变形使其与待求代数式联系到一起是解题的思路．5．（2008•成都校级自主招生）已知三个整数a，b，c的和为奇数，那么a2+b2﹣c2+2abc（）A．一定是非零偶数B．等于零C．一定为奇数 D．可能是奇数，也可能是偶数【分析】先把代数式分解因式，再根据已知进行讨论得出正确选项．【解答】解：a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2abc﹣2ab=（a+b+c）（a+b ﹣c）+2（abc﹣ab），已知a+b+c为奇数，而改变加减运算符号，不改变奇偶性，∴a+b﹣c也为奇数，则（a+b+c）（a+b﹣c）也为奇数，2（abc﹣ab）是偶数，∴a2+b2﹣c2+2abc=（a+b+c）（a+b﹣c）+2（abc﹣ab）一定是奇数，故选：C．【点评】本题考查了因式分解的应用，把式子分解因式是解题关键．6．（2012•蚌埠自主招生）已知a为实数，且a3+a2﹣a+2=0，则（a+1）8+（a+1）9+（a+1）10的值是（）A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1【分析】首先对a3+a2﹣a+2=0进行因式分解，转化为（a+2）（a2﹣a+1）=0，因而可得a+2=0或a2﹣a+1=0，分别针对这两个式子根据a是实数来讨论a的取值．进而求出（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010的值．【解答】解：∵a3+a2﹣a+2=0，（a3+1）+（a2﹣a+1）=0，（a+1）（a2﹣a+1）+（a2﹣a+1）=0，（a+1+1）（a2﹣a+1）=0（a+2）（a2﹣a+1）=0∴a+2=0或a2﹣a+1=0①当a+2=0时，即a+1=﹣1，则（a+1）2008+（a+1）2009+（a+1）2010=1﹣1+1=1．②当a2﹣a+1=0，因为a是实数，而△=1﹣4=﹣3＜0，所以a无解．故选D．【点评】本题考查因式分解．解决本题的关键是灵活运用立方和公式、提取公因式法进行因式分解，进而确定a的值．7．（2008•成都校级自主招生）若3x2﹣x=1，则9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=（）A．2011 B．2010 C．2009 D．2008【分析】将3x2﹣x=1化简为3x2﹣x﹣1=0，整体代入9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008变形的式子3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010，计算即可求解．【解答】解：∵3x2﹣x=1，即3x2﹣x﹣1=0，∴9x4+12x3﹣2x2﹣7x+2008=3x2（3x2﹣x﹣1）+5x（3x2﹣x﹣1）+2（3x2﹣x﹣1）+2010=2010．故选B．【点评】本题考查因式分解的运用，注意运用整体代入法求解．8．（2010•长沙校级自主招生）若x3+x2+x+1=0，则x﹣27+x﹣26+ (x)1+1+x+…+x26+x27的值是（）A．1 B．0 C．﹣1 D．2【分析】对所给的条件x3+x2+x+1=0进行化简，可得x=﹣1，把求得的x=﹣1代入所求式子计算即可得到答案．【解答】解：由x3+x2+x+1=0，得x2（x+1）+（x+1）=0，∴（x+1）（x2+1）=0，而x2+1≠0，∴x+1=0，解得x=﹣1，所以x﹣27+x﹣26+…+x﹣1+1+x+…+x26+x27=﹣1+1﹣1+1﹣…+1﹣1=﹣1．故选C．【点评】本题考查了因式分解的应用；对已知条件进行化简得到x=﹣1是正确解答本题的关键，计算最后结果时要注意最后余一个﹣1不能抵消，最后结果为﹣1．9．（2008•梁子湖区校级自主招生）已知△ABC的三条长a、b、c满足b+c=8，bc=a2﹣12a+52，则△ABC的形状一定是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形D．无法确定【分析】先根据b+c=8可得b=8﹣c①，再把①代入bc=a2﹣12a+52中，并进行配方运算，可得（a﹣6）2+（c﹣4）2=0，结合非负数的性质易求a、c，进而可求b，再利用勾股定理的逆定理易判断此三角形不是直角三角形，从而可知此三角形是等腰三角形．【解答】解：由b+c=8可得b=8﹣c①，把①代入bc=a2﹣12a+52中得a2﹣12a+52+c2﹣8c=0，即a2﹣12a+36+c2﹣8c+16=0，那么（a﹣6）2+（c﹣4）2=0，∴a=6，c=4，且b=4，∴b=c=4，a=6，又∵42+42≠62，∴△ABC是等腰三角形．故选A．【点评】本题考查了因式分解的应用、勾股定理的逆定理、非负数的性质，解题的关键是把b=8﹣c代入另一个已知条件中进行配方处理．10．（2008•大观区校级自主招生）已知，则（a﹣b）2+（b ﹣c）2+（a﹣b）（b﹣c）的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】把所给等式的左边进行整理，化简；所给代数式进行化简，可得相应结果．【解答】解：∵，∴=3，∴a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=3，∴（a﹣b）2+（b﹣c）2+（a﹣b）（b﹣c）=a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac=3，故选C．【点评】考查代数式的求值，把所给等式的分子整理为和分母以及化简后的所求代数式相关的形式是式子是解决本题的关键．二．填空题（共8小题）11．（2014•上海校级自主招生）已知a=998，b=997，c=996，则a2﹣ab﹣ac+bc= 2．【分析】利用二二组合分组分解后得到（a﹣b）（a﹣c），代入即可求得代数式的值．【解答】解：原式=a（a﹣b）﹣c（a﹣b）=（a﹣b）（a﹣c）=（998﹣997）（998﹣996）=1×2=2，故答案为：2．【点评】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是能够对代数式进行因式分解，难度不大．12．（2012•南充自主招生）在有理数范围内分解因式：（x﹣3）（x﹣1）（x+2）（x+4）+24=（x﹣2）（x+3）（x2+x﹣8）．【分析】原式第一项结合相乘后，将x2+x看做一个整体，利用十字相乘法分解即可．【解答】解：原式=（x2+x﹣12）（x2+x﹣2）+24=（x2+x）2﹣14（x2+x）+48=（x2+x﹣6）（x2+x﹣8）=（x﹣2）（x+3）（x2+x﹣8）．故答案为：（x﹣2）（x+3）（x2+x﹣8）．【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13．（2013•天心区校级自主招生）已知，则a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc的值=m2．【分析】根据完全平方公式先把要求的式子进行分解，再把a，b，c的值代入即可得出答案．【解答】解：∵，∴a2+2ab+b2﹣2ac+c2﹣2bc=（a+b﹣c）2=（m+1+m+2﹣m﹣3）2=m2；故答案为：m2．【点评】此题考查了因式分解的应用，解题的关键是根据完全平方公式把要求的式子进行变形，然后代入．14．（2011•黄州区校级自主招生）若x+y=﹣1，则x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4的值等于1．【分析】首先将x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4式子拆分项、运用完全平方式逐步整理分解，在整理过程中对于出现的x+y用﹣1直接代入计算即可．【解答】解：∵x+y=﹣1，∴x4+5x3y+x2y+8x2y2+xy2+5xy3+y4，=（x4+2x2y2+y4）+5xy（x2+y2）+xy（x+y）+6x2y2，=（x2+y2）2+5xy[（x+y）2﹣2xy]+xy（x+y）+6x2y2，=[（x+y）2﹣2xy]2+5xy（1﹣2xy）﹣xy+6x2y2，=（1﹣2xy）2+5xy﹣10x2y2﹣xy+6x2y2，=1﹣4xy+4x2y2+5xy﹣10x2y2﹣xy+6x2y2，=1+（﹣4xy+5xy﹣xy）+（4x2y2﹣10x2y2+6x2y2），=1．故答案为：1．【点评】本题考查因式分解的应用、代数式求值、完全平方式．同学们特别注意在化简过程中，通过运用完全平方式、提取公因式统一用x+y、xy来表示所求代数式．15．（2008•包河区校级自主招生）日常生活中如取款、上网等都需要密码．有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：如对于多项式x4﹣y4，因式分解的结果（x﹣y）（x+y）（x2+y2），若取x=9，y=9时，则各个因式的值是：（x ﹣y）=0，（x+y）=18，（x2+y2）=162，于是就可以把“018162”作为其中一个六位数的密码．对于多项式4x4y﹣5x2y﹣9y，取x=5，y=5时，用上述方法产生的所有密码中最小的一个是132657．【分析】把4x4y﹣5x2y﹣9y进行因式分解后整理成条件中所给出的代数式的形式，然后整体代入，选择最小的一个即可．【解答】解：4x4y﹣5x2y﹣9y=y（4x4﹣5x2﹣9）=y（4x2﹣9）（x2+1）=y（2x+3）（2x﹣3）（x2+1），当x=5，y=5时，2x+3=13，2x﹣3=7，x2+1=26，用上述方法产生的密码中最小的一个是132657．故答案为132657．【点评】本题考查了因式分解的应用，在解题时要用提公因式法分解因式，读懂题目信息，正确进行因式分解是解题的关键，还考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力．16．（2007•青岛校级自主招生）已知多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式，那么的值是﹣．【分析】由题意多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式，将整式（x+2y+m）（2x﹣y+n）相乘，然后根据系数相等求出m和n，从而求解．【解答】解：∵多项式2x2+3xy﹣2y2﹣x+8y﹣6可以分解为（x+2y+m）（2x﹣y+n）的形式，∴（x+2y+m）（2x﹣y+n）=2x2+3xy﹣2y2+（2m+n）x+（2n﹣m）y+mn=2x2+3xy ﹣2y2﹣x+8y﹣6，∴2m+n=﹣1，2n﹣m=8，mn=﹣6，解得m=﹣2，n=3，∴==﹣，故答案为：﹣．【点评】此题主要考查因式分解的意义，紧扣因式分解的定义，是一道基础题．17．（2011•长沙校级自主招生）已知x、y均为实数，且满足xy+x+y=17，x2y+xy2=66，则x4+x3y+x2y2+xy3+y4=12499．【分析】本题须先根据题意求出x2+y2和x2y2的值，再求出x4+y4的值，最后代入原式即可求出结果．【解答】解：x2y+xy2=xy（x+y）=66，设xy=m，x+y=n，由xy+x+y=17，得到m+n=17，由xy（x+y）=66，得到mn=66，∴m=6，n=11或m=11，n=6（舍去），∴xy=m=6，x+y=n=11，x2+y2=112﹣2×6=109，x2y2=36x4+y4=1092﹣36×2=11809x4+x3y+x2y2+xy3+y4=11809+6×109+36=12499．故答案为：12499【点评】本题主要考查了因式分解的应用，在解题时要注意因式分解的灵活应用．18．（2011•镇海区校级自主招生）已知正实数x、y、z满足，则x+y+z+xyz=36．【分析】由ab+a+b+1=（a+1）（b+1）想到从分解因式入手，把每一个方程进行因式分解，分别求出x、y、z的值，代入x+y+z+xyz计算后可得答案．【解答】解：∵x+y+xy=8，∴x+y+xy+1=8+1，∴（x+1）（y+1）=9，同理可得：（y+1）（z+1）=16，（x+1）（z+1）=36，解得x=，y=1，z=7．∴x+y+z+xyz=+1+7+×1×7=36．故填36．【点评】本题考查了因式分解的应用；由ab+a+b+1=（a+1）（b+1）想到从分解因式入手，对每个方程进行变形是正确解答本题的关键．三．解答题（共8小题）19．（2016•濮阳校级自主招生）分解因式：（1）2x2﹣7x+3（2）（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8（3）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）把x2+2x看做一个整体，利用十字相乘法分解即可；（3）先利用分组分解法分解，再提公因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣7x+3=（2x﹣1）（x﹣3）；（2）（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8=（x2+2x﹣8）（x2+2x+1）=（x+4）（x﹣2）（x+1）2；（3）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a=（x+5）（x﹣3）﹣a（x+5=（x+5）（x﹣3﹣a）．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握分组分解法、公式法因式分解是解题的关键．20．分解因式：3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4．【分析】首先将前三项利用十字相乘法分解因式，进而拆项，提取公因式得出即可．【解答】解：3x2+5xy﹣2y2+x+9y﹣4=（3x﹣y）（x+2y）+x+9y﹣4=（3x﹣y）（x+2y）﹣（3x﹣y）+4x+8y﹣4=（3x﹣y）（x+2y﹣1）+4（x+2y﹣1）=（3x﹣y+4）（x+2y﹣1）．【点评】此题主要考查了因式分解，熟练利用十字相乘法以及拆项法因式分解是解题关键．21．若x3+5x2+7x+a有一因式x+1，求a的值，并将原式因式分解．【分析】根据x3+5x2+7x+a有一因式x+1于是把原多项式写成（x+1）（x2+mx+n）的形式，然后再求出m，n和a的值．【解答】解：设x3+5x2+7x+a=（x+1）（x2+mx+n），（x+1）（x2+mx+n）=x3+（m+1）x2+（m+n）x+n，即，解得m=4，n=3，a=3，x3+5x2+7x+3=（x+1）（x2+4x+3）=（x+1）（x+3）（x+1）=（x+1）2（x+3）．【点评】本题主要考查了因式分解的知识点，解答本题的关键是把原多项式写出（x+1）（x2+ax+b）的形式，此题难度不大．22．已知（c﹣a）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）=0，求证：2b=a+c．【分析】本题需先利用完全平方公式对（c﹣a）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）=0进行整理，最后解得（c+a﹣2b）2=0，即可证出结果．【解答】解：∵（c﹣a）2﹣4（a﹣b）（b﹣c）=0，∴c2﹣2ac+a2+4ac﹣4ab+4b2﹣4bc=0，即（c+a）2﹣4b（a+c）+4b2=0（c+a﹣2b）2=0∴2b=a+c【点评】本题主要考查完全平方公式的应用，熟记公式是解题的关键．23．一个自然数（即非负整数）若能表示成两个自然数的平方差，则称这个自然数为“好数”．例如，16=52﹣32就是一个“好数”．（1）2014是不是“好数”？说明理由．（2）从小到大排列，第2014个“好数”是哪个自然数？【分析】（1）根据题意得出是好数，要么是奇数要么能被4整除，进而得出答案；（2）首先得出从小到大的“好数”为：0，1，3，4，5，7，8，9，11，12，13，…，进而求出第2014个“好数”．【解答】解：（1）2014不是“好数”．如果2014是“好数”，不妨设2014=m2﹣n2（m，n为自然数），则（m+n）（m﹣n）=2×1007，而m+n，m﹣n的奇、偶性相同，即（m+n）（m﹣n），要么是奇数要么能被4整除．所以2014不是“好数”．（2）设k为自然数，由（1）类似可得如4k+2的自然数都不是“好数”，（k+1）2﹣（k﹣1）2=4k，（k+1）2﹣k2=2k+1，故4k，2k+1的自然数都是“好数”，所以从小到大的“好数”为：0，1，3，4，5，7，8，9，11，12，13，…所以第n个“好数”为：n﹣1+[]，所以第2014个“好数”为2684．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，根据题意正确判断好数是解题关键．24．（2001•安徽自主招生）已知x、y、z是整数，且x＜y＜z，求满足的x、y、z的值．【分析】根据已知将①是变形为z=﹣（x+y），代入②式，再利用立方公式求出﹣3xy（x+y）=﹣18，进而求出xyz=﹣6，再利用x、y、z是整数，且x＜y＜z，求出即可．【解答】解：由①得，z=﹣（x+y），将它代入方程②，得x3+y3﹣（x+y）3=﹣18，﹣3xy（x+y）=﹣18．将x+y=﹣z代入上式，得xyz=﹣6．又∵x+y+z=0，x、y、z是整数，且x＜y＜z，∴x=﹣3，y=1，z=2，即：．【点评】此题主要考查了立方公式的综合应用，根据已知得出xyz=﹣6，进而得出x，y，z的值是解决问题的关键．25．（2009•宁海县校级自主招生）宁海中学高一段组织了围棋比赛，共有10名选手进入了决赛，决赛阶段实行单循环赛（即每两名参赛选手都要赛一局，且每局比赛都决出胜负），若一号选手胜a1局，输b1局；二号选手胜a2局，输b2局，…，十号选手胜a10局，输b10局．试比较a12+a22+…+a102与b12+b22+…+b102的大小，并叙述理由．【分析】依题意可知，a1+b1=9，a2+b2=9，a3+b3=9…，故：b1=9﹣a1，b2=9﹣a2，b3=9﹣a3…，用作差法列式，比较大小，运用乘法公式对式子变形，得出结论．【解答】解：依题意可知，a1+b1=9，a2+b2=9，a3+b3=9…，且a1+a2+…+a10=b1+b2+…+b10=45，∴（a12+a22+…+a102）﹣（b12+b22+…b102）=（a12﹣b12）+（a22﹣b22）+…+（a102﹣b102）=（a1+b1）（a1﹣b1）+（a2+b2）（a2﹣b2）+…+（a10+b10）（a10﹣b10）=9[（a1+a2+…+a10）﹣（b1+b2+…+b10）]=0，∴a12+a22+...+a102=b12+b22+ (102)【点评】考查了因式分解的应用，本题根据基本等式，运用作差法、换元法，得出关于a的式子，分类讨论．26．a，b，c为非零实数，a2+b2+c2=1，，求a+b+c的值．【分析】首先将原式变形，进而得出a（++）+b（++）+c（++）=0，得出a+b+c=0或bc+ac+ab=0．进而代入求出答案．【解答】解：将变形如下，a（+）+1+b（+）+1+c（+）+1=0，即a（++）+b（++）+c（++）=0，∴（a+b+c）（++）=0，∴（a+b+c）•=0，∴a+b+c=0（舍）或bc+ac+ab=0．若bc+ac+ab=0，则（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（bc+ac+ab）=a2+b2+c2=1，∴a+b+c=±1．∴a+b+c的值为1，﹣1，0．【点评】此题主要考查了因式分解的应用，正确将已知变形得出（a+b+c）（++）=0是解题关键．。
自主招生考试数学试卷及参考答案
自主招生考试数学试卷及参考答案(总9页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--22第2自主招生考试 数学试题卷亲爱的同学：欢迎你参加考试！考试中请注意以下几点：1．全卷共三大题，满分120分，考试时间为100分钟。
2．全卷由试题卷和答题卷两部分组成。
试题的答案必须做在答题卷的相应位置上。
做在试题卷上无效。
3．请用钢笔或圆珠笔在答题卷密封区上填写学校、姓名、试场号和准考证号，请勿遗漏。
4．答题过程不准使用计算器。
祝你成功!一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．如果一直角三角形的三边为a 、b 、c ，∠B=90°，那么关于x 的方程a(x 2-1)－2cx+b(x 2+1)=0的根的情况为A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 没有实数根D 无法确定根的情况2．如图，P P P 123、、是双曲线上的三点，过这三点分别作y 轴的垂线，得三个三角形P A O P A O P A O 112233、、，设它们的面积分别是S S S 123、、，则 A S S S 123<< B S S S 213<< C S S S 132<<D S S S 123==3．如图，以BC 为直径，在半径为2圆心角为900的扇形内作半圆，交弦AB 于点D ，连接CD ，则阴影部分的面积是33第5A π－1B π－2C 121-πD 221-π4．由325x y a x y a x y a m-=+⎧⎪+=⎪⎨>⎪⎪>⎩得a>－3,则m 的取值范围是A m>－3B m ≥－3C m ≤－3D m<－3 5．如图，矩形ABCG （AB <BC ）与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，APE ∠的顶点P 在线段BD 上移动，使APE ∠为直角的点P 的个数是 A 0 B 1 C 2 D 36．已知抛物线y=ax 2+2ax+4(0<a<3),A （x 1，y 1）B(x 2，y 2)是抛物线上两点，若x 1<x 2,且x 1+x 2=1－a,则A y 1< y 2B y 1= y 2C y 1> y 2D y 1与y 2的大小不能确定二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． 二次函数y ＝ax 2+(a －b ）x —b 的图象如图所示，44那么化简222||a ab b b -+-的结果是______▲________.8． 如图所示，在正方形 ABCD 中，AO ⊥BD 、OE 、FG 、HI 都垂直于 AD ，EF 、GH 、IJ 都垂直于AO ，若已知 S ΔA JI =1， 则S 正方形ABCD = ▲9．将一个棱长为8、各个面上均涂有颜色的正方体，锯成64个同样大小的小正方体,其中所有恰有2面涂有颜色的小正方体表面积之和为 ▲ 10．用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加l 的规律拼成一列图案：（1）第4个图案中有白色纸片 ▲ 张 （2）第n 个图案中有白色纸片 ▲ 张（3）从第1个图案到第100个图案，总共有白色纸片 ▲ 张第10题 第7题第8题5511.如图所示,线段AB 与CD 都是⊙O 中的弦,其中108,,36,O O AB AB a CD CD b ====,则⊙O 的半径R= ▲12．阅读下列证明过程： 已知，如图四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AC ＝BD ，AD ≠BC ，求证：四边形ABCD 是等腰梯形．读后完成下列各小题．(1)证明过程是否有错误？如有，错在第几步上，答： ▲ ． (2)作DE ∥AB 的目的是： ▲ ．(3) 判断四边形ABED 为平行四边形的依据是： ▲ ． (4)判断四边形ABCD 是等腰梯形的依据是 ▲ ．(5)若题设中没有AD ≠BC ，那么四边形ABCD 一定是等腰梯形吗为什么 答 ▲ ．自主招生考试第11题第12题66数学标准答案一、选择题（本题共6小题，每小题5分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一个符合题目要求）二、填空题（本题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填写在题中横线上）7． ______－1__________ 8． 256 9． 57610．（1） 13 （2） 3n+1 （3） 15250 11. a b12．(1)没有错误 (2)为了证明AD ∥BC(3) 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形(4)梯形及等腰梯形的定义 (5) 不一定，因为当AD ＝BC 时，四边形ABCD 是矩形 三、解答题（本题共5小题，共60分．解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明）13.（本小题10分）某公园门票每张10元，只供一次使用，考虑到人们的不同需求，也为了吸引更多游客，该公园除保留原有的售票方法外，还推出一种“购个人年票”的售票方法（个人年票从购买之日起，可供持票者使用一年）。
2025届江苏南京宁海中学高考仿真卷数学试题含解析
2025届江苏南京宁海中学高考仿真卷数学试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析，随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩，并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图，如图所示，则成绩在[250，350]内的学生人数为（ ）A ．800B ．1000C ．1200D ．16002．若命题：从有2件正品和2件次品的产品中任选2件得到都是正品的概率为三分之一；命题：在边长为4的正方形内任取一点，则的概率为，则下列命题是真命题的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知变量x ，y 满足不等式组210x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2x y -的最小值为（ ）A ．4-B ．2-C ．0D ．44．设M 是ABC ∆边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN AB AC λμ=+，则λμ+的值为( ) A ．1B ．12C ．13D ．145．已知集合{}22|A x y x ==-，2{|}10B x x x =-+≤，则A B =( )A ．[12]-， B ．[- C ．(-D ．⎡⎣6．已知命题p ：1m =“”是“直线0x my -=和直线0x my +=互相垂直”的充要条件；命题q ：对任意()2,∈=+a R f x x a 都有零点；则下列命题为真命题的是（ ）A ．()()p q ⌝∧⌝B ．()p q ∧⌝C ．p q ∨D ．p q ∧7．已知函数()2331x x f x x ++=+，()2g x x m =-++，若对任意[]11,3x ∈，总存在[]21,3x ∈，使得()()12f x g x =成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．17,92⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[)17,9,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦C ．179,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．4179,,2⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭8．已知()A ，)B，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB于点M ，若点M 的横坐标为x ，则x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．1x >C ．2x ≥D ．x ≥9． “2b =”是“函数()()2231f x b b x α=--（α为常数）为幂函数”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件10．记单调递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若2410a a +=，23464a a a =，则（ ）A ．112n n n S S ++-=B ．2nn a =C ．21nn S =-D ．121n n S -=-11．在区间[]3,3-上随机取一个数x ，使得301xx -≥-成立的概率为等差数列{}n a 的公差，且264a a +=-，若0n a >，则n 的最小值为（ ） A ．8B ．9C ．10D ．1112．马林●梅森是17世纪法国著名的数学家和修道士，也是当时欧洲科学界一位独特的中心人物，梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上对2p ﹣1作了大量的计算、验证工作，人们为了纪念梅森在数论方面的这一贡献，将形如2P ﹣1（其中p 是素数）的素数，称为梅森素数.若执行如图所示的程序框图，则输出的梅森素数的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2022-2023学年江苏省南京市宁海中学高二(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年江苏省南京市宁海中学高二（下）期中数学试卷一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．曲线C ：y =sinxx在点P （π，0）处的切线方程为（ ） A ．y =−1πx +1 B ．y =1πx −1C ．y ＝πx ﹣π2D ．y ＝﹣πx +π22．甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（ ）种 A ．A 43B ．43C ．34D ．C 433．已知点A （1，0，2），B （﹣1，1，2），C （1，1，﹣2），则点A 到直线BC 的距离是（ ） A ．2√55B ．√1055C ．√55D ．54．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，给出下列4个条件：①a 1＝1；②a 4＝4；③S 3＝9；④S 5＝25，若只有一个条件不成立，则该条件为（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④5．德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人．二进制数被广泛应用于电子电路、计算机等领域．某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4，其中a i （i ＝1，2，3，4）出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 1+a 2+a 3+a 4，当电路运行一次时，X 的数学期望E （X ）＝（ ） A ．43B ．2C ．83D ．36．“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ） A ．29B ．18C ．112D ．587．已知函数f （x ）＝x +sin x ，若存在x ∈[0，π]使不等式f （x sin x ）≤f （m ﹣cos x ）成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．π28．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n 项之和为S n ，则S 32的值为（ ）．A ．452B ．848C ．984D ．1003二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．在等比数列{a n }中，a 1＜0，若对正整数n 都有a n ＜a n +1，那么公比q 的取值可以是（ ） A ．−12B ．12C ．−13D ．1310．已知A ，B 分别为随机事件A ，B 的对立事件，P （A ）＞0，P （B ）＞0，则下列说法正确的是（ ） A ．P （B |A ）+P （B |A ＝P （A ） B ．P （B |A ）+P （B |A ）＝1C ．若A ，B 独立，则P （A |B ）＝P （A ）D ．若A ，B 互斥，则P （A |B ）＝P （B |A ）11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =π3，AB ＝2AD ＝2PD ，PD ⊥底面ABCD ，则（ ）A ．P A ⊥BDB ．PB 与平面ABCD 所成角为π6C ．异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为√55D ．二面角A ﹣PB ﹣C 的正弦值为√21712．已知函数f （x ）＝e x （x 2+a ），则（ ） A ．函数f （x ）在R 上单调递增，则a ≥1 B ．当a ＝1时，函数f （x ）的极值点为﹣1C ．当a ＜﹣8时，函数f （x ）有一个大于2的极值点D ．当a ＝0时，若函数y ＝f （x ）﹣m 有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3＜﹣3 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若（x ﹣2）n 的展开式中第5项的二项式系数最大，写出一个符合条件的n 的值是 ．（写出一个满足条件的n 的值即可）14．某人投篮命中的概率为0.6，投篮14次，最有可能命中 次．15．已知数列{a i }的项数为n （n ∈N *），且a i +a n−i+1=C n i (i =1，2，⋯n)，则{a i }的前n 项和S n 为 ．16．设函数f （x ）＝（3﹣x ）e x ﹣tx +5t ，t ∈R ，若有且仅有两个整数x i （i ＝1，2）满足f （x i ）＞0，则实数t 的取值范围为 ．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）已知等式(x −1)6=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 6(x +1)6． （1）求a 3的值；（2）求|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 6|的值； （3）求a 1+2a 2+3a 3+⋯+6a 6．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＞0，且满足4S n =(a n +1)2． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设b n =4S na n a n+1的前n 项和为T n ，求T n ． 19．（12分）设函数f(x)=13x 3−a2x 2+(a −1)x ． （1）若a ＞2，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）恰有一个零点，求实数a 的取值范围．20．（12分）如图，四面体ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠BDC ，E 为AC 的中点． （1）证明：AC ⊥平面BDE ；（2）设DE ⊥BE ，DE ＝1，∠ACB ＝60°，点F 在BD 上，若CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为4√37，求此时F 点的位置．21．（12分）甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；以3：2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23，乙每局获胜的概率为13．（1）甲、乙两队比赛1场后，求乙队积3分的概率； （2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率． 22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+mlnx （m ∈R ）． （1）当m ＝﹣1时，求f （x ）的最值；（2）当m ＝2时，记函数g （x ）＝f （x ）﹣ax （a ≥5）的两个极值点为x 1，x 2，且x 1＜x 2，求g （x 2）﹣g （x 1）的最大值．2022-2023学年江苏省南京市宁海中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．曲线C ：y =sinxx 在点P （π，0）处的切线方程为（ ） A ．y =−1πx +1 B ．y =1πx −1C ．y ＝πx ﹣π2D ．y ＝﹣πx +π2解：由y =sinx x ，得y ′=xcosx−sinx x 2，∴y ′|x=π=−1π， 则曲线C ：y =sinxx 在点P （π，0）处的切线方程为y ﹣0=−1π（x ﹣π）， 即y =−1πx +1． 故选：A ．2．甲、乙、丙三人参加四项比赛，所有比赛均无并列名次，则不同的夺冠情况共有（ ）种 A ．A 43B ．43C ．34D ．C 43解：由题意，每项比赛的冠军都有3种可能，因为有四项比赛，所以冠军获奖者共有3×3×3×3＝34种可能． 故选：C ．3．已知点A （1，0，2），B （﹣1，1，2），C （1，1，﹣2），则点A 到直线BC 的距离是（ ） A ．2√55B ．√1055C ．√55D ．5解：因为A （1，0，2），B （﹣1，1，2），C （1，1，﹣2）， 所以AB →=（﹣2，1，0），BC →=（2，0，﹣4）， 所以AB →2=4+1+0＝5，AB →⋅BC →|BC →|=√4+0+16=−√5，所以点A 到直线BC 的距离是d =√AB →2−(AB →⋅BC →|BC →|)2=25)2=√1055． 故选：B ．4．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，给出下列4个条件：①a 1＝1；②a 4＝4；③S 3＝9；④S 5＝25，若只有一个条件不成立，则该条件为（ ） A ．①B ．②C ．③D ．④解：若a 1＝1，a 4＝4同时成立，则d ＝1，此时S 3＝1+2+3＝6，S 5＝1+2+3+4+5＝15≠25与题意不符， 所以①②不能同时成立，③④一定成立，由{3a 1+3d =95a 1+10d =25，解得d ＝2，a 1＝1，①成立，②不成立， 故选：B ．5．德国数学家莱布尼茨是世界上第一个提出二进制记数法的人．二进制数被广泛应用于电子电路、计算机等领域．某电子电路每运行一次都随机出现一个四位二进制数A ＝a 1a 2a 3a 4，其中a i （i ＝1，2，3，4）出现0的概率为13，出现1的概率为23，记X ＝a 1+a 2+a 3+a 4，当电路运行一次时，X 的数学期望E （X ）＝（ ） A ．43B ．2C ．83D ．3解：由题意可得，X =0，1，2，3，4，P(X =k)=C 4k(13)4−k (23)k ，故X ～B(4，23)，∴X 的数学期望E(X)=4×23=83， 故选：C ．6．“送出一本书，共圆读书梦”，某校组织为偏远乡村小学送书籍的志愿活动，运送的卡车共装有10个纸箱，其中5箱英语书、2箱数学书、3箱语文书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱．现从剩下9箱中任意打开2箱都是英语书的概率为（ ） A ．29B ．18C ．112D ．58解：设事件A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，事件B k 表示丢失的一箱为k ，k ＝1，2，3，分别表示英语书、数学书、语文书， 由全概率公式得P(A)=∑P(B k )3k=1P(A|B k )=12×C 42C 92+15×C 52C 92+310×C 52C 92=8C 92=29． 故选：A ．7．已知函数f （x ）＝x +sin x ，若存在x ∈[0，π]使不等式f （x sin x ）≤f （m ﹣cos x ）成立，则整数m 的最小值为（ ） A ．﹣1B ．0C ．1D ．π2解：由f （x ）＝x +sin x ，可得f ′（x ）＝1+cos x ≥0， 所以f （x ）＝x +sin x 在x ∈[0，π]上单调递增，所以不等式f （x sin x ）≤f （m ﹣cos x ）成立等价于x sin x ≤m ﹣cos x ， 所以m ≥x sin x +cos x 对于x ∈[0，π]有解， 令g （x ）＝x sin x +cos x ，只需m ≥g （x ）min ，则g ′（x ）＝sin x +x cos x ﹣sin x ＝x cos x ，当0≤x ≤π2时，g ′（x ）＝x cos x ≥0，g （x ）单调递增， 当π2＜x ≤π时，g ′（x ）＝x cos x ＜0，g （x ）单调递减，所以g （0）＝cos0＝1，g （π）＝πsin π+cos π＝﹣1， 所以g （x ）min ＝g （π）＝﹣1， 所以m ≥﹣1．所以整数m 的最小值为﹣1． 故选：A ．8．如图，在杨辉三角形中，斜线l 的上方从1按箭头所示方向可以构成一个“锯齿形”的数列：1，3，3，4，6，5，10，…，记此数列的前n 项之和为S n ，则S 32的值为（ ）．A ．452B ．848C ．984D ．1003解：设数列为{a n }，前32项里面有偶数项16项，奇数项16项， 当n 为偶数时，易知a n =n+42，且a 2＝3，所以a 32=32+42=18，所以偶数项之和为(3+18)×162=168， 当n 为奇数时，1=C 20=C 22，3=C 31=C 32，6=C 42，10=C 53=C 52，…， 所以a n =C n+322，则a 31=C 31+322=C 172，所以前32项里面奇数项和为：C 22+C 32+C 42+C 52+⋯+C 172=C 33+C 32+C 42+C 52+⋯+C 172， 又由组合数性质C n m +C n m−1=C n+1m ，所以C 22+C 32+C 42+C 52+⋯+C 172=C 33+C 32+C 42+C 52+⋯+C 172=C 183=816，所以S 32＝816+168＝984． 故选：C ．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．）9．在等比数列{a n }中，a 1＜0，若对正整数n 都有a n ＜a n +1，那么公比q 的取值可以是（ ） A ．−12B ．12C ．−13D ．13解：在等比数列 {a n }中，a 1＜0，若对正整数n 都有a n ＜a n +1，则a n ＜a n q ，即a n （1﹣q ）＜0， 若 q ＜0，则数列 {a n }为正负交错数列，上式显然不成立； 若 q ＞0，则 a n ＜0，故 1﹣q ＞0，因此 0＜q ＜1， 所以公比q 的取值可以是12，13．故选：BD ．10．已知A ，B 分别为随机事件A ，B 的对立事件，P （A ）＞0，P （B ）＞0，则下列说法正确的是（ ） A ．P （B |A ）+P （B |A ＝P （A ） B ．P （B |A ）+P （B |A ）＝1C ．若A ，B 独立，则P （A |B ）＝P （A ）D ．若A ，B 互斥，则P （A |B ）＝P （B |A ） 解：选项A 中：P(B|A)+P(B|A)=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故选项A 错误，选项B 正确； 选项C 中：A ，B 独立，则P （AB ）＝P （A ）P （B ），则P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，故选项C 正确； 选项D 中：A ，B 互斥，则P （AB ）＝0，根据条件概率公式P （B |A ）＝P （A |B ）＝0， 故选项D 正确． 故选：BCD ．11．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为平行四边形，∠DAB =π3，AB ＝2AD ＝2PD ，PD ⊥底面ABCD ，则（ ）A ．P A ⊥BDB ．PB 与平面ABCD 所成角为π6C ．异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为√55D ．二面角A ﹣PB ﹣C 的正弦值为√217解：连接BD ，∵∠DAB =π3，设AB ＝2AD ＝2PD ＝2a ， 由余弦定理得BD 2＝AD 2+AB 2﹣2AD •AB •cos ∠BAD ， ∴BD 2=a 2+4a 2−4a 2⋅12=3a 2，则BD =√3a ，则BD 2+AD 2＝AB 2，即BD ⊥AD ，又PD ⊥底面ABCD ，AD ，BD ⊂底面ABCD ， ∴PD ⊥AD ，PD ⊥BD ，如图，以D 为原点，DA ，DB ，DP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则D(0，0，0)，A(a ，0，0)，B(0，√3a ，0)，C(−a ，√3a ，0)，P(0，0，a)， 对于A ，∴PA →=(a ，0，−a)，BD →=(0，−√3a ，0)，则PA →⋅BD →=0+0+0=0， ∴P A ⊥BD ，故A 正确；对于B ，又PB →=(0，√3a ，−a)，∵PD ⊥底面ABCD ，∴DP →=(0，0，a)是平面ABCD 的一个法向量， ∴cos〈PB →，DP →〉=PB →⋅DP→|PB →|⋅|DP →|=−a 22a⋅a =−12， 则PB 与平面ABCD 所成角的正弦值为12，即PB 与平面ABCD 所成角为π6，故B 正确； 对于C ，AB →=(−a ，√3a ，0)，PC →=(−a ，√3a ，−a)， 则cos〈AB →，PC →〉=AB →⋅PC→|AB →|⋅|PC →|=a 2+3a 2+02a⋅√5a=2√55，则异面直线AB 与PC 所成角的余弦值为2√55，故C 错误； 对于D ，设n →=(x 1，y 1，z 1)为平面P AB 的法向量， 则{PA →⋅n →=ax 1−az 1=0AB →⋅n →=ax 1+√3ay 1=0，令y 1＝1，则平面P AB 的法向量n →=(√3，1，√3)， 设m →=(x 2，y 2，z 2)为平面PBC 的法向量， 则{PB →⋅m →=√3ay 2−az 2=0PC →⋅m →=ax 2+√3ay 2−az 2=0，令y 2＝1，则平面PBC 的法向量m →=(0，1，√3)， ∴cos〈n →，m →〉=n →⋅m →|n →|⋅|m →|=0+1+3√7×2=2√77， 令二面角A ﹣PB ﹣C 所成角为θ（0≤θ≤π），则|cosθ|=2√77，则平面P AB 与平面PBC 的夹角的余弦值为2√77， ∴sinθ=√1−cos 2θ=√217，故D 正确．故选：ABD ．12．已知函数f （x ）＝e x （x 2+a ），则（ ） A ．函数f （x ）在R 上单调递增，则a ≥1 B ．当a ＝1时，函数f （x ）的极值点为﹣1C ．当a ＜﹣8时，函数f （x ）有一个大于2的极值点D ．当a ＝0时，若函数y ＝f （x ）﹣m 有三个零点x 1，x 2，x 3，则x 1+x 2+x 3＜﹣3 解：对于A ，由f （x ）＝e x （x 2+a ）可得f ′（x ）＝e x （x 2+2x +a ），若函数f （x ）在R 上单调递增，则f ′（x ）≥0恒成立，即x 2+2x +a ≥0恒成立，故Δ＝4﹣4a ≤0，故a ≥1，经验证a ＝1时，f ′（x ）＝e x （x +1）2≥0，仅在x ＝﹣1时取等号，适合题意， 故函数f （x ）在R 上单调递增，则a ≥1，A 正确；对于B ，当a ＝1时，f （x ）＝e x （x 2+1），f ′（x ）＝e x （x +1）2≥0， 仅在x ＝﹣1时取等号，f （x ）在R 上单调递增，函数无极值点，B 错误；对于C ，由于f ′（x ）＝e x （x 2+2x +a ），当a ＜﹣8时，x 2+2x +a ＝（x +1）2+a ﹣1＝0，则不妨取x 1=−1−√1−a ，x 2=−1+√1−a ，且x ＜x 1或x ＞x 2时，函数y ＝x 2+2x +a ＞0，f ′（x ）＞0，当x 1＜x ＜x 2时，函数y ＝x 2+2x +a ＜0，f ′（x ）＜0，故x 2=−1+√1−a 是f （x ）的极小值点， 且由于a ＜﹣8，则1﹣a ＞9，则x 2＞2，C 正确；对于D ，当a ＝0时，f （x ）＝x 2e x ，∴f ′（x ）＝e x （x 2+2x ），当x ＜﹣2或x ＞0时，f ′（x ）＞0，当﹣2＜x ＜0时，函数f ′（x ）＜0，则f （x ）在（﹣∞，﹣2），（0，+∞）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，且f （x ）≥0，故可作出其大致图像如图：函数y ＝f （x ）﹣m 有三个零点x 1，x 2，x 3，即函数f （x ）的图象与直线y ＝m 有三个交点，不妨设x 1＜x 2＜x 3，由于f （﹣2）＝4e ﹣2，而f （1）＝e ＞4e ﹣2，且f(x 3)=m ＜4e −2，故0＜x 3＜1，由图象可知x 1＜﹣2，﹣2＜x 2＜0，考虑到当m 趋近于0时，x 1会趋近于无限小，x 2趋近于0，故猜测x 1+x 2＜﹣4，下面给以证明：由题意可知e x 1x 12=e x 2x 22，故e x 1−x 2=x 22x 12，∴x 1−x 2=2ln x 2x 1， 设x 2x 1=t ，0＜t ＜1，则x 2＝tx 1，故x 1（1﹣t ）＝2lnt ，∴x 1=2lnt 1−t ，x 2=2tlnt1−t， 则x 1+x 2=2lnt1−t +2tlnt1−t =2(1+t)lnt1−t ， 要证明x 1+x 2＜﹣4，即证2(1+t)lnt1−t＜−4，即lnt +2(1−t)1+t ＜0，设ℎ(t)=lnt +2(1−t)1+t ，(0＜t ＜1)，故ℎ′(t)=1t +−4(1+t)2=(1−t)2t(1+t)2＞0， 故h （t ）在（0，1）上单调递增， 故h （t ）＜h （1）＝0，即2(1+t)lnt 1−t＜−4成立，故x 1+x 2＜﹣4，而0＜x 3＜1，故x 1+x 2+x 3＜﹣3成立，D 正确． 故选：ACD ．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．）13．若（x ﹣2）n 的展开式中第5项的二项式系数最大，写出一个符合条件的n 的值是 7（答案不唯一：7，8，9均可） ．（写出一个满足条件的n 的值即可） 解：当n 为偶数时，若n ＝8，第5项二次项系数最大；当n 为奇数时，若n ＝7，第4、5项二次项系数最大，合乎题意； 若n ＝9，第5、6项二次项系数最大，合乎题意； 故n 的值为：7，8，9故答案为：7（答案不唯一：7，8，9均可）．14．某人投篮命中的概率为0.6，投篮14次，最有可能命中 8或9 次．解：投篮命中次数X ～B （14，0.6），P(X =k)=C 14k ⋅0.6k ⋅0.414−k ，设最有可能命中m 次，则{P(X =m)≥P(X =m −1)P(X =m)≥P(X =m +1)⇒{C 14m ⋅0.6m ⋅0.414−m ≥C 14m−1⋅0.6m−1⋅0.415−m C 14m ⋅0.6m ⋅0.414−m ≥C 14m+1⋅0.6m+1⋅0.413−m⇒8≤m ≤9，∵m ∈Z ，∴m ＝8或m ＝9． 最有可能命中8或9次． 故答案为：8或9．15．已知数列{a i }的项数为n （n ∈N *），且a i +a n−i+1=C n i(i=1，2，⋯n)，则{a i }的前n 项和S n 为2n −12．解：因为S n ＝a 1+a 2+⋯+a n ﹣1+a n ，又S n ＝a n +a n ﹣1+⋯+a 2+a 1，所以2S n ＝（a 1+a n ）+（a 2+a n ﹣1）+⋯+（a n ﹣1+a 2）+（a n +a 1），又因为a i +a n−i+1=C n i (i =1，2，⋯n)，所以2S n =C n 1+C n2+⋯+C nn−1+C nn =2n−1，即S n =2n−12．故答案为：2n −12．16．设函数f （x ）＝（3﹣x ）e x ﹣tx +5t ，t ∈R ，若有且仅有两个整数x i （i ＝1，2）满足f （x i ）＞0，则实数t 的取值范围为 (−e2，−35]．解：设g （x ）＝（3﹣x ）e x ，h （x ）＝t （x ﹣5），则g '（x ）＝e x （2﹣x ）， ∴x ∈（﹣∞，2），g '（x ）＞0，g （x ）在（﹣∞，2）上单调递增， x ∈（2，+∞），g '（x ）＜0，g （x ）在（2，+∞）上单调递减， ∴x ＝2时函数g （x ）取极大值即最大值g(x)max =g(2)=e 2， 又g （0）＝3，g （1）＝2e ，g （3）＝0，直线h （x ）＝t （x ﹣5）恒过定点（5，0）且斜率为t ， 要使有且仅有两个整数x i （i ＝1，2）满足f （x i ）＞0， 即有且仅有两个整数x i （i ＝1，2）满足g （x i ）＞h （x i ），∴g （1）﹣h （1）＝2e ﹣t （1﹣5）＞0且g （0）﹣h （0）＝3﹣t （0﹣5）≤0， 解得−e2＜t ≤−35，即t ∈(−e 2，−35]． 故答案为：(−e 2，−35]．四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（10分）已知等式(x −1)6=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 6(x +1)6． （1）求a 3的值；（2）求|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 6|的值； （3）求a 1+2a 2+3a 3+⋯+6a 6．解：（1）因为(x −1)6=a 0+a 1(x +1)+a 2(x +1)2+⋯+a 6(x +1)6， 令t ＝x +1，则x ＝t ﹣1，所以(t −2)6=a 0+a 1t +a 2t 2+⋯+a 6t 6，又（t ﹣2）6展开式的通项为T r+1=C 6r t 6−r (−2)r ，令6﹣r ＝3，解得r ＝3， 所以a 3=C 63×(−2)3=−160；（2）因为（t ﹣2）6展开式的通项为T r+1=C 6r t 6−r (−2)r ，所以a 0＞0，a 2＞0，a 4＞0，a 6＞0，a 1＜0，a 3＜0，a 5＜0， 所以|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 6|＝a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5+a 6，令t ＝﹣1可得a 0−a 1+a 2−a 3+a 4−a 5+a 6=(−1−2)6=729， 所以|a 0|+|a 1|+|a 2|+⋯+|a 6|＝729；（3）对(t −2)6=a 0+a 1t +a 2t 2+⋯+a 6t 6两边同时对t 求导可得，6(t −2)5=a 1+2a 2t +3a 3t 2+4a 4t 3+5a 5t 4+6a 6t 5，令t ＝1可得a 1+2a 2+3a 3+⋯+6a 6=6(1−2)5=−6．18．（12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a n ＞0，且满足4S n =(a n +1)2． （1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =4Sn a n a n+1的前n 项和为T n ，求T n ．解：（1）因为4S n =(a n +1)2，当n ≥2时，4S n−1=(a n−1+1)2，两式作差得4a n =(a n +1)2−(a n−1+1)2=a n 2+2a n −a n−12−2a n−1， 即2a n +2a n−1=a n 2−a n−12，又a n ＞0，所以，当n ≥2时，a n ﹣a n ﹣1＝2，又当n ＝1时，4a 1=(a 1+1)2，解得a 1＝1， 可知数列{a n }是以首项为1，公差为2的等差数列， 所以a n ＝1+（n ﹣1）×2，即a n ＝2n ﹣1 （2）由（1）知S n =n(1+2n−1)2=n 2， 所以b n =4S n a n a n+1=4n 2(2n−1)(2n+1)=4n 2−1+1(2n−1)(2n+1)=1+12(12n−1−12n+1)，T n =b 1+b 2+⋯+b n =n +12(11−13+13−15+⋯+12n−1−12n+1)=n +12(1−12n+1)=2n 2+2n2n+1． 19．（12分）设函数f(x)=13x 3−a2x 2+(a −1)x ． （1）若a ＞2，求函数f （x ）的单调区间；（2）若函数f （x ）恰有一个零点，求实数a 的取值范围．解：（1）因为f(x)=13x 3−a2x 2+(a −1)x ，所以f ′（x ）＝x 2﹣ax +a ﹣1＝（x ﹣（a ﹣1））（x ﹣1），因为a ＞2，所以1＜a ﹣1，所以当x ∈（1，a ﹣1）时f ′（x ）＜0，当x ∈（﹣∞，1）∪（a ﹣1，+∞）时f ′（x ）＞0，于是函数f （x ）单调递增区间是（﹣∞，1]和[a ﹣1，+∞），单调递减区间是[1，a ﹣1]．（2）因为f(x)=13x 3−a2x 2+(a −1)x ，所以f ′（x ）＝x 2﹣ax +a ﹣1＝（x ﹣（a ﹣1））（x ﹣1）， 当a ﹣1＝1时，f ′（x ）≥0，所以f （x ）单调递增，又因为当x →﹣∞时f （x ）→﹣∞，当x →+∞时f （x ）→+∞，所以函数f （x ）恰有一个零点， 当a ﹣1＜1时，即a ＜2，当x ∈（a ﹣1，1）时f ′（x ）＜0，当x ∈（﹣∞，a ﹣1）∪（1，+∞）时f ′（x ）＞0，于是函数f （x ）单调递增区间是（﹣∞，a ﹣1]和[1，+∞），单调递减区间是[a ﹣1，1]，又因为当x →﹣∞时f （x ）→﹣∞，当x →+∞时f （x ）→+∞，所以要使函数f （x ）恰有一个零点， 只要f （1）＞0或f （a ﹣1）＜0，即13−a 2+a −1＞0或13(a −1)3−a 2(a −1)2+(a −1)2＜0，解得43＜a ＜2，当1＜a ﹣1时，即a ＞2，当x ∈（1，a ﹣1）时f ′（x ）＜0，当x ∈（﹣∞，1）∪（a ﹣1，+∞）时f ′（x ）＞0，于是函数f （x ）单调递增区间是（﹣∞，1]和[a ﹣1，+∞），单调递减区间是[1，a ﹣1]，又因为当x →﹣∞时f （x ）→﹣∞，当x →+∞时f （x ）→+∞，所以要使函数f （x ）恰有一个零点， 只要f （a ﹣1）＞0或f （1）＜0，即13(a −1)3−a 2(a −1)2+(a −1)2＞0或13−a 2+a −1＜0，解得2＜a ＜4，综上，若函数f （x ）恰有一个零点，实数a 的取值范围是（43，4）．20．（12分）如图，四面体ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝CD ，∠ADB ＝∠BDC ，E 为AC 的中点． （1）证明：AC ⊥平面BDE ；（2）设DE ⊥BE ，DE ＝1，∠ACB ＝60°，点F 在BD 上，若CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为4√37，求此时F 点的位置．（1）证明：∵AD ＝CD ，E 为AC 的中点，∴AC ⊥DE ，在△ABD 和△CBD 中AD ＝CD ，∠ADB ＝∠CDB ，DB ＝DB ， ∴△ABD ≅△CBD ，∴AB ＝CB ，又E 为AC 的中点， ∴AC ⊥BE ，又DE ，BE ⊂平面BDE ，DE ∩BE ＝E ， ∴AC ⊥平面BDE ．（2）解：∵△ABD ≅△CBD ，则AB ＝CB ，AD ＝CD ， 由∠ACB ＝60°且AB ＝CB ，∴△ABC 是等边三角形， 由AD ⊥CD 且AD ＝CD ，E 为AC 的中点，∴，在等腰直角△ADC 中DE ＝AE ＝EC ＝1，则BE =√3， 故DE ⊥AC ，又BE ⊥DE 且AC ⊥BE ，以E 为坐标原点，EA ，EB ，DE 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系E ﹣xyz ，如图所示，A(1，0，0)，B(0，√3，0)，D(0，0，1)，∴AD →=(−1，0，1)，AB →=(−1，√3，0)，DB →=(0，√3，−1)， 设n →=(x ，y ，z)为平面ABD 的一个法向量， 则{n →⋅AD →=0n →⋅AB →=0，即{−x +z =0−x +√3y =0， 取y =√3，则平面ABD 的一个法向量n →=(3，√3，3)， 又C （﹣1，0，0），CD →=(1，0，1)， 设DF →=λDB →=(0，√3λ，−λ)，λ∈[0，1]， ∴CF →=CD →+DF →=(1，√3λ，1−λ)，设CF 与平面ABD 所成的角的正弦值为θ(0≤θ≤π2)， ∵sinθ=|cos〈n →，CF →〉|=4√37，∴|cos〈n →，CF →〉|=|n →⋅CF →||n →||CF →|=|3+3λ+3−3λ|√21×√1+3λ+(1−λ)2=4√37，∴（4λ﹣1）2＝0，解得λ=14，∴F 为BD 的四等分点且靠近D 点位置．21．（12分）甲、乙两队进行排球比赛，每场比赛采用“5局3胜制”（即有一支球队先胜3局即获胜，比赛结束）比赛排名采用积分制，积分规则如下：比赛中，以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；以3：2取胜的球队积2分，负队积1分，已知甲、乙两队比赛，甲每局获胜的概率为23，乙每局获胜的概率为13．（1）甲、乙两队比赛1场后，求乙队积3分的概率； （2）甲、乙两队比赛2场后，求两队积分相等的概率． 解：（1）由题意可知乙队以3：0或3：1取胜， 当乙队以3：0获胜时，P 1=(13)3=127， 当乙队以3：1获胜时，P 2=C 31×23×(13)2×(13)=227， 所以甲、乙两队比赛1场后，乙队积（3分）的概率为P =P 1+P 2=127+227=19． （2）记“甲、乙比赛两场后，两队积分相等”为事件A ， 设第i 场甲、乙两队积分分别为X i ，Y i ， 则X i ＝3﹣Y i ，i ＝1，2，因两队积分相等，所以X 1+X 2＝Y 1+Y 2， 即X 1+X 2＝（3﹣X 1）+（3﹣X 2），则X 1+X 2＝3，而P(X =0)=(13)3+C 31×23×(13)2×13=19， P(X =1)=C 42×(23)2×(13)2×13=881， P(X =2)=C 42×(23)2×(13)2×23=1681， P(X =3)=C 32×(23)2×13×23+(23)3=1627所以P （A ）＝P （X 1＝0）P （X 2＝3）+P （X 1＝1）P （X 2＝2）+P （X 1＝2）P （X 2＝1）+P （X 1＝3）P （X 2＝0）=19×1627+881×1681+1681×881+1627×19=11206561． 22．（12分）已知函数f （x ）＝x 2+mlnx （m ∈R ）． （1）当m ＝﹣1时，求f （x ）的最值；（2）当m ＝2时，记函数g （x ）＝f （x ）﹣ax （a ≥5）的两个极值点为x 1，x 2，且x 1＜x 2，求g （x 2）﹣g （x 1）的最大值．解：（1）当m ＝﹣1时，函数f （x ）＝x 2﹣lnx 的定义域为（0，+∞），f ′(x)=2x −1x =2x 2−1x， 令f '（x ）＝0，得x =√22， 所以函数f （x ）在(0，√22)上单调递减，在(√22，+∞)上单调递增，所以f(x)min =f(√22)=1+ln22，无最大值． （2）当m ＝2时，g （x ）＝x 2+2lnx ﹣ax （x ＞0），g ′(x)=2x −a +2x ． 因为x 1，x 2是方程2x 2﹣ax +2＝0的两个不等实根， 所以x 1+x 2=a2，x 1x 2＝1， 因此g(x 2)−g(x 1)=(x 22−ax 2+2lnx 2)−(x 12−ax 1+2lnx 1)=x 22−x 12+2(x 1+x 2)(x 1−x 2)+2lnx 2x 1=x 12−x 22+2ln x 2x 1=1x 22−x 22+2lnx 22． 令t =x 22，则g(x 2)−g(x 1)=1t−t +2lnt ， 因为x 2=a+√a 2−164≥5+√25−164=2， 所以t =x 22∈[4，+∞)．令ℎ(t)=1t−t +2lnt ，t ∈[4，+∞）， 则ℎ′(t)=−1t 2−1+2t =−t 2−2t+1t 2=−(t−1)2t 2＜0，在t ∈[4，+∞）上恒成立，所以ℎ(t)=1t−t +2lnt 在t ∈[4，+∞）上单调递减， 故ℎ(t)max =ℎ(4)=14−4+2ln4=4ln2−154． 即g （x 2）﹣g （x 1）的最大值为4ln2−154．。
南京市宁海中学 新初一分班数学试卷含答案
南京市宁海中学新初一分班数学试卷含答案一、选择题1．把一个长5毫米的零件画在图纸上是1分米，这张图纸的比例尺是（）。
A．5∶1 B．200∶1 C．20∶12．用数对表示各点位置的网格图中，A（3，2），B（4，3），C（1，5），那么这三点的连线是（）A．在一条直线上B．三角形C．无法确定3．在草地中心拴着一只羊，绳子长7米，这只羊最多可以吃到草地的面积是多少？正确的算式是（）A．3.14×7×7 B．3.14×7 C．2×3.14×74．如图，大正三角形内有一个正六边形，正六边形与这个大正三角形的周长之比是（），面积之比是（）。
A．2∶3、2∶3 B．3∶2、2∶1 C．2∶1、3∶2 D．1∶1、2∶35．能正确表示上面图意的是下面方程( )。
A．x+13=20 B．x+1?3x=20 C．x+20×1?3=206．下图中与5号相对的面是（）号。
A．2 B．3 C．47．下列说法错误的是（）。
A．若A点在B点的北偏西30°方向，则B点在A点的南偏东30°方向B．某小组男生人数占总人数的75%，则女生人数与男生人数的比是1∶3 C．除了2以外，所有的质数都是奇数D ．如果圆柱的底面直径和高都是5dm ，那么它的侧面沿高展开后是正方形8．与奇数a 相邻的两个奇数是（ ）。
A ．a －1和a ＋1B ．a －3和a ＋3C ．a －2和a ＋2D ．a －1和a ＋39．国庆期间，文具店一款原价121元的钢笔降价111，节日后又提价111，现在这款钢笔的售价是（ ）元。
A ．121B ．120C ．132D ．14310．泥瓦匠给一块地面铺瓷砖（如图所示），按照这样的规律，位置（5，6）处应铺瓷砖（ ）。
A ．B ．C ．无法判断二、填空题11．3.012立方米＝（___________）立方米（___________）立方分米2小时15分＝（____________）小时十12．分数5a ，它的分数单位是（______），当a ＝（______）时，它是最大的真分数；当a ＝（______）时，它是最小的合数。
南京市宁海中学 新初一分班数学试卷
南京市宁海中学新初一分班数学试卷一、选择题1．甲乙两地相距170千米，在地图上量得的距离是3.4厘米，这幅地图的比例尺是（）。
A．1：500 B．1：5000000 C．1：500002．下图中的正方体、圆柱体和圆锥体的底面积相等，高也相等。
下面说法正确的是（）。
A．圆锥的体积是正方体体积的三分之一B．圆锥的体积是圆柱体积的3倍C．圆柱的体积比正方体的体积小一些D．圆柱的体积比正方体的体积大一些3．用5分米长的绳子把一只羊拴在一根木桩上,求这只羊吃草的面积是多少平方米,正确的算式是()．A．5×2×3.14 B．52×3.14 C．5×3×3.144．一个三角形的三个内角度数的比是5∶2∶2这个三角形是（）。
A．钝角三角形B．直角三角形C．锐角三角形5．下列关于圆周率π，说法正确的是（）。
①π是个无限不循环小数。
②π＞3.14。
③周长大的圆，π就大，周长小的圆，π就小。
④π是圆的周长除以它直径的商。
A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④6．小红搭了5个立体图形，从右面看是的立体图形有（）个。
A．1 B．2 C．3 D．47．下列陈述中，错误的是（）。
A．直径是圆内最长的线段B．31名生日在7月的学生中一定有2人的生日是同一天C．同一钟表上时针与分针的速度比是1:128．大、小两个圆柱的底面积之比是2∶1，高之比是3∶2，这两个圆柱的体积之比是（）。
A．5∶3 B．6∶3 C．3∶19．PM2.5是我国新增的大气环境质量监测指标。
下表是某天测得的山东省13个城市PM2.5日平均值情况：城市济南青岛淄博枣庄东营烟台潍坊济宁泰安威海日照临沂聊城PM2.5日平均值/（微克/立方米）1911021111257214220169175179102126105若PM2.5日平均值不超过75微克/立方米的为达标，则这一天不达标的城市占了这13个城市的（）。
A．113B．213C．1113D．121310．观察下面的点阵图规律，第（5）个点阵图中有（）个点。
2023-2024学年江苏省连云港市海州区宁海中学九年级(上)第一次月考数学试卷+答案解析
2023-2024学年江苏省连云港市海州区宁海中学九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为A. B.C. D.2.用配方法解一元二次方程时，原方程可变形为()A. B. C. D.3.下列说法正确的个数有()①在等圆中，如果弧相等，那么它们所对的弦也相等；②三角形的外心到三角形的三边距离相等.③圆是轴对称图形，任何一条过圆心的直线都是它的对称轴；④过三点可以画一个圆；A.1B.2C.3D.44.已知的直径为4cm，点P到圆心O的距离为4cm，则点P和的位置关系为()A.点P在圆内B.点P在圆上C.点P在圆外D.不能确定5.已知如图，在中，，，则的度数为()A.B.C.D.6.某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是()A.B.C.D.7.春意复苏，郑州绿化工程正在如火如茶地进行着，某工程队计划将一块长64m宽40m的矩形场地建设成绿化广场如图，广场内部修建三条宽相等的小路，其余区域进行绿化．若使绿化区域的面积为广场总面积的，求小路的宽，设小路的宽为xm，则可列方程()A.B.C.D.8.等边的边长为6，P是AB上一点，，把AP绕点A旋转一周，P点的对应点为，连接，的中点为Q，连接则CQ长度的最小值是()A.B.C.D.二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
9.将方程化为一元二次方程的一般形式：______.10.已知关于x的一元二次方程的一个根是，则______.11.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围是______.12.已知关于y的一元二次方程的两个实数根分别是，，则______.13.如图，的半径为5，弦AB的长为8，点M在线段包括端点A，上移动，则OM的取值范围是______.14.要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请______队参赛．15.如图，在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为、、，则外接圆的圆心坐标为______.16.一个直角三角形的两条边长是方程的两个根，则此直角三角形的外接圆的直径为______.17.如图，点A，B，C在上，四边形ABCO是平行四边形，若，则四边形ABCO的面积为______.18.如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点M在以为圆心，半径为1的上，N是AM的中点，已知ON长的最大值为，则k的值是______.三、解答题：本题共8小题，共96分。
宁海历年中考数学试卷真题
宁海市2023年中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1. 已知等差数列{an}的首项a1=3，公差d=2，则第10项a10的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 252. 下列函数中，在定义域内是增函数的是（）A. y=2x-1B. y=-2x+1C. y=2x^2-1D. y=-2x^2+13. 在平面直角坐标系中，点A（1，2），点B（-2，3），则线段AB的中点坐标为（）A. （-1，2.5）B. （-1，2）C. （1，2.5）D. （1，3）4. 若|a|=3，则a的取值范围为（）A. a=±3B. a=±6C. a=±9D. a=±125. 下列等式中，正确的是（）A. （a+b）^2=a^2+2ab+b^2B. （a-b）^2=a^2-2ab+b^2C. （a+b）^2=a^2-2ab+b^2D. （a-b）^2=a^2+2ab-b^26. 在△ABC中，∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数为（）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°7. 已知一元二次方程x^2-3x+2=0，则方程的解为（）A. x=1B. x=2C. x=1或x=2D. x=38. 下列命题中，正确的是（）A. 两个角的补角相等B. 两个角的余角相等C. 两个角的补角互为余角D. 两个角的余角互为补角9. 在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴的对称点坐标为（）A. （-2，3）B. （2，-3）C. （-2，-3）D. （2，3）10. 若a、b是实数，且a+b=0，则ab的值为（）A. 0B. 1C. -1D. 不确定二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）11. 若|a|=-3，则a的值为______。
12. 已知函数y=2x+1，当x=3时，y的值为______。
江苏省南京市宁海中学2022-2023学年高三下学期二月检测数学试题(含答案解析)
8．已知 a 1 ， b 1 ， c ln 11 ．则（ ）
11
10
10
A． a b c
B． b c a
C． c b a
D． b a c
二、多选题 9．下列结论正确的有（ ）
A．若随机变量 ~ N 3, 2 ， P 1 0.23，则 P 5 0.77
B．若随机变量
X
~
B
2 5
．
故选：C．
2．C
【分析】 AC 2AD AB ，结合平面向量基本定理即可判断.
【详解】因为非零向量 e1, e2 不共线，所以 AC 2 AD 3e1 7e2 2 2e1 3e2 e1 e 2 AB ，
由平面向量基本定理可知，四点 A， B ， C ， D 共面．
则四点 A 、 B 、 C 、D，（ ）
A．一定共线
B．恰是空间四边形的四个顶点
C．一定共面
D．肯定不共面
3．将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶 4 个项目进行培
训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者，则不同的分配方案
共有（ ）
A．60 种
B．120 种
22．已知函数 f x ex 和 g x ax lnx ， a R
(1)求 y f x 在 x 0 处的切线方程；
(2)若当 x 1, 时， g x xlnx a 恒成立，求 a 的取值范围；
(3)若 h x f x ax 与 y g x 有相同的最小值．
①求出 a ；
5,
2 3，则Fra bibliotekD3X
1
11
C．样本相关系数 r 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱