C15级数学试卷2018人大附中初三数学试卷
人大附中初三数学考试题
B. y2<y3< y1
C. y1< y2<y3
D. y3<y2<y1
7、一个盒子中装有四张完全相同的卡片，分别写着 2cm、3cm、4cm 和 5cm， 盒子外有两张卡片， 分别写着 3cm 和 5cm， 现随机从盒子中取出一张卡片， 与盒子外的两张卡片放在一起， 以卡片上的数量分别作为三条线段的长度， 那么这三条线段能构成三角形的概率是 1 1 1 3 A. B. C. D. 4 3 2 4
29、在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为（x1,y1） ， 点 Q 的坐标为（x2,y2） ，且 x1≠x2，y1≠y2，若 P、Q 为某个 菱形的两个相对顶点，且该菱形的一边与 x 轴平行，则 称该菱形为点 P、Q 的“相关菱形”，下图为点 P、Q 的“相 关菱形”的示意图。 （1）已知点 A 的坐标为（0,1） ，点 B 的坐标为（3,4） ，且点 A，B 的“相关菱形” 为正方形，则此“相关菱形”的周长为________________. （2）若点 C 的坐标为（0， 3 ） ，点 D 在直线 y=4 3 上，且 C、D 的“相关菱形” 有一个内角为 60° ，求点 D 的坐标. （3）⊙O 的半径为 3 ，点 M 的坐标为（m，
A B
A
C
B
C
18、如图，AB 和 CD 交于点 O，AO=2，OB=6，OD=3，OC=4.求证∠A=∠D。
19、已知抛物线交 x 轴于 A（-1,0） ，交 y 轴于 B（0，-3） ，且它的对称轴为直 线 x=1，求抛物线解析式。
20、如图，在△ ABC 中，∠C=90° ，D 是 AC 上一点。DE⊥AB 于 E，且 AD=5， DE=3，BC=6，求 AB 的长。
北京人大附中2015届九年级上月考数学试卷(12月)含答案解析
2014-2015学年北京市人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．反比例函数y=的图象不一定经过点( )A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，3）D．（，2）2．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．3．随机抛掷一枚质地均匀的硬币两枚，两次都是正面朝上的概率是( ) A．B．C．D．4．如图，⊙O的直径AB=8，弦DE经过OB的中点C且DE⊥OB，则弦DE的长为( )A．3 B．2C．4D．65．如图，正△ABC的边长为3，以A为圆心，AB为半径作弧，则图中阴影部分的面积是( )A．B．C．﹣D．36．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠CBD=23°，则∠CAD为( )A．47°B．46°C．45°D．44°7．如图，AB为⊙O的一条固定直径，自左半圆上一点C，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点E，当点C在左半圆（不包括A，B两点）上移动时，关于点E的说法：①到CD的距离始终不变；②位置始终不变；③始终平分；④位置随点C的移动而移动，正确的是( )A．①②B．②③C．②D．④8．如图，正△ABC的边长为3，点N在AC边上且AN：NC=1：2，三角形边上的动点M 从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，y=MN2，则y关于x的函数图象大致为( )A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，DE∥BC，AD：DB=2：3，EC=6，则AE的长是__________．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则tanA的值是__________．11．如图，用一个交叉卡钳（OA=OB，OC=OD）测量零件的内孔直径AB，若OC：OA=1：2，且量的CD=12mm，则零件的内孔直径AB是__________mm．12．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，过B1做B1B2∥BC 交AB于B2，作B2B3平分∠AB2B1交AC于B3，过B3作B3B4∥BC交AB于B4，…则线段B1B2的长度为__________，线段B2n﹣1B2n的长度为__________．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．用配方法解方程：．14．计算：3sin30°﹣cos245°+2tan60°cos30°．15．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，请找出一条与线段CE相等的线段（以图中已知点的端点），画出这条线段并给出证明．16．已知m是方程x2﹣x﹣3=0的根，求代数式（1+）•（m﹣3）的值．17．如图，半径为5的⊙O中，AB是直径，弦BC=8，OD⊥AB交BC于D，求CD的长及△OCD的面积．18．列方程或方程组解应用题：某酒店有三人间、双人间的客房，三人间每天每间150元，双人间每天每间140元，为了吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费1510元，则该旅行团住了三人间和双人间客房各多少间？四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，直线y=﹣2x+1分别交x轴，y轴于点A，B，交反比例函数y=的图象于点C，CB：BA=2：1．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若点P在y轴上且以点B，C，P为顶点的三角形与△AOB相似，直接写出点P的坐标．20．如图，已知，在△ABC中，∠ABC=90°，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）如果CF=1，CP=2，sinA=，求⊙O的直径BC．21．据报道，历经一年半的调查研究，北京PM 2.5源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为PM 2.5的最大来源，一辆车一天行驶20千米，那么这辆车每天至少就要向大气里排放0035千克污染物．以下是相关的统计图、表：2013年北京市全年空气质量等级天数统计表空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数（天）41 135 84 47 45 13（1）请根据所给信息补全扇形统计图；（2）请你根据“2013年北京市全年空气质量等级天数统计表”计算该年度重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（精确到0.01）（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了本社区的100辆机动车，了解到其中每天出行超过20千米的有40辆．已知北京市2013年机动车保有量已突破520万辆，请你通过计算，估计2013年北京市一天中出行超过20千米的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？22．如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，是的H，I，位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这是他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG．阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：（1）如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（2）已知三角形ABC的面积为36，BC=12，在第（1）问的条件下，求长方形DEFG的面积．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的二次函数y1=x2﹣（m+3）x+m+2，y2=﹣x2+bx+c．（1）求证：方程x2﹣（m+3）x+m+2=0必有实根；（2）若m为整数，y1的图象与x轴有一个交点的横坐标a满足5＜a＜7，求m的值；（3）在第（2）问的条件下，小明利用函数图象解关于x的不等式y1＜y2，正确解得该不等式的解集为3＜x＜4，求y2的解析式．24．过正方形ABCD的顶点A任作一条直线l（l不过点B，C，D），过点B，C，D作l 的垂线段BF，CG，DH．（1）如图1，若直线l过线段BC的中点E，则BF：CG：DH=__________．（2）如图2，若直线l与线段BC相交于点E，则BF，CG，DH满足等量关系式__________，请证明你的猜想；（3）如果直线l与线段CB的延长线相交，直接写出BF，CG，DH满足的等量关系式__________，在直线l旋转一周的过程中（l不过点B，C，D），直接写出y=的取值范围__________．25．定义：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（x M，y M），N（x N，y N），对于给定的实数a，b，作a|x M﹣x N|+b|y M﹣y N|为M，N的权重为a，b的直角距离，记为d xy（M，N），例如：d2，3（（1，0），（4，7））=2|1﹣4|+3|0﹣7|=27．特别地，权重为1、1的直角距离，又称为等权重距离，则记为d（M，N），例如：d（（1，0），（4，7））=|1﹣4|+|0﹣7|=10．根据以上定义，回答以下问题：（1）d（（0，0），（﹣3，﹣2））=__________，d3，2（（0，0），（﹣1，2））=__________．（2）P为直线y=2x+4上一动点，求OP的等权重距离的最小值及此时P点的坐标；（3）P为直线y=2x+4上一动点，Q为以O为圆心的单位圆上的动点，则d（P，Q）的最小值是__________，d3，2（P，Q）的最小值是__________．2014-2015学年北京市人大附中九年级（上）月考数学试卷（12月份）一、选择题（本题共32分，每小题4分）1．反比例函数y=的图象不一定经过点( )A．（﹣3，1）B．（﹣3，﹣1）C．（1，3）D．（，2）【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特点即可得出结论．【解答】解：A、∵（﹣3）×1=﹣3≠3，∴函数图象不过此点，故本选项正确；B、∵（﹣3）×（﹣1）=3，∴函数图象过此点，故本选项错误；C、∵3×1=3，∴函数图象过此点，故本选项错误；D、∵×2=3，∴函数图象不过此点，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．2．下列图形中，不是轴对称图形的是( )A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选A．【点评】本题考查了轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．3．随机抛掷一枚质地均匀的硬币两枚，两次都是正面朝上的概率是( ) A．B．C．D．【考点】列表法与树状图法．【分析】列举出所有情况，看正面都朝上的情况数占总情况数的多少即可．【解答】解：共4种情况，正面都朝上的情况数有1种，所以概率是．故选B．【点评】本题考查了概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．得到所求的情况数是解决本题的关键．4．如图，⊙O的直径AB=8，弦DE经过OB的中点C且DE⊥OB，则弦DE的长为( )A．3 B．2C．4D．6【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】连接OD，先求出OD及OC的长，再由勾股定理求出DE的长即可．【解答】解：连接OD，∵⊙O的直径AB=8，弦DE经过OB的中点C且DE⊥OB，∴OD=4，OC=2，DE=2CD．∵CD===2，∴DE=2CD=4．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分弦并且平分弦所对的弧是解题的关键．5．如图，正△ABC的边长为3，以A为圆心，AB为半径作弧，则图中阴影部分的面积是( )A．B．C．﹣D．3【考点】扇形面积的计算．【分析】根据等边三角形的面积公式求出正△ABC的面积，根据扇形的面积公式S=求出扇形的面积，求差得到答案．【解答】解：∵正△ABC的边长为3，∴正△ABC的面积为×3×=，扇形ABC的面积为=，则图中阴影部分的面积是﹣．故选：C．【点评】本题考查的是等边三角形的性质和扇形的面积计算，掌握扇形的面积公式S=是解题的关键．6．如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，∠CBD=23°，则∠CAD为( )A．47°B．46°C．45°D．44°【考点】圆周角定理．【分析】先根据四边形ABCD中，AB=AC=AD可知，B、C、D三点在以A为圆心，AD为半径的圆上，再由圆周角定理即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABCD中，AB=AC=AD，∴B、C、D三点在以A为圆心，AD为半径的圆上．∵∠CBD=23°，∴∠CAD=2∠CBD=46°．故选B．【点评】本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解答此题的关键．7．如图，AB为⊙O的一条固定直径，自左半圆上一点C，作弦CD⊥AB，∠OCD的平分线交⊙O于点E，当点C在左半圆（不包括A，B两点）上移动时，关于点E的说法：①到CD的距离始终不变；②位置始终不变；③始终平分；④位置随点C的移动而移动，正确的是( )A．①②B．②③C．②D．④【考点】圆周角定理；垂径定理．【分析】连接OE，由CE平分∠OCD，得到∠1=∠2，而∠1=∠E，所以有OE∥CD，则OE⊥AB，即可得到OE平分半圆AEB．【解答】解：连OE，如图，∵CE平分∠OCD，∴∠1=∠2，而OC=OE，有∠1=∠E，∴∠2=∠E，∴OE∥CD，∵点O到CD的距离在变，∴点E到CD的距离发生变；故①错误；又∵弦CD⊥AB，∴OE⊥AB，∴OE平分半圆AEB，即点E是半圆的中点，∴点E位置始终不变；故②正确．故选C．【点评】本题考查了圆周角定理．在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．也考查了垂径定理的推论．8．如图，正△ABC的边长为3，点N在AC边上且AN：NC=1：2，三角形边上的动点M 从点A出发，沿A→B→C的方向运动，到达点C时停止．设点M运动的路程为x，y=MN2，则y关于x的函数图象大致为( )A．B．C．D．【考点】动点问题的函数图象．【分析】注意分析y随x的变化而变化的趋势，而不一定要通过求解析式来解决．【解答】解：∵等边三角形ABC的边长为3，N为AC的三等分点，∴AN=1．∴当点M位于点A处时，x=0，y=1．①当动点M从A点出发到AM=0.5的过程中，y随x的增大而减小，故排除D；②当动点M到达C点时，x=6，y=4，即此时y的值与点M在点A处时的值不相等．故排除A、C．故选：B．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据动点的行程判断y的变化情况．二、填空题（本题共16分，每小题4分）9．如图，DE∥BC，AD：DB=2：3，EC=6，则AE的长是4．【考点】平行线分线段成比例．【专题】计算题．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到=，即=，然后利用比例性质求AE．【解答】解：∵DE∥BC，∴=，即=∴AE=4．故答案为4．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．10．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，则tanA的值是．【考点】锐角三角函数的定义．【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据正切函数的定义，可得答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=13，由勾股定理，得BC===12，tanA==，故答案为：．【点评】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．11．如图，用一个交叉卡钳（OA=OB，OC=OD）测量零件的内孔直径AB，若OC：OA=1：2，且量的CD=12mm，则零件的内孔直径AB是24mm．【考点】相似三角形的应用．【专题】计算题．【分析】由于OC：OA=OD：OB=1：2，加上∠COD=∠AOB，则可判断△COD∽△AOB，然后利用相似比开始计算出AB．【解答】解：∵OC：OA=OD：OB=1：2，而∠COD=∠AOB，∴△COD∽△AOB，∴==，∴AB=2CD=2×12mm=24mm．故答案为24．【点评】本题考查了相似三角形的应用：利用视点和盲区的知识构建相似三角形，用相似三角形对应边的比相等的性质求物体的高度或宽度．12．如图，△ABC中，AB=AC=1，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，过B1做B1B2∥BC 交AB于B2，作B2B3平分∠AB2B1交AC于B3，过B3作B3B4∥BC交AB于B4，…则线段B1B2的长度为，线段B2n﹣1B2n的长度为（）n﹣2．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】因为过B1作B1B2∥BC交AB于B2，于是得到△AB2B1∽△ABC，得到对应边对应成比例，因为AB=AC=m，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，所以△BCB1和△B2B1B是等腰三角形，根据余弦定理，可求出BC的长，根据相似三角形对应线段成比例，可求出B2B1的长，同理，可求得线段B2n﹣1B2n的长度．【解答】解：∵AB=AC=1，∠ABC=72°，BB1平分∠ABC交AC于B1，∴△BCB1和△B2B1B是等腰三角形，∵过B1作B1B2∥BC交AB于B2，∴=，∵BC2=AB2+AC2﹣2AB•ACcos36°，∴BC=，设B2B1是x，则B2B是x．∴=，∴x=即：B1B2=．同理可求出B2n﹣1B2n=（）n﹣2．故答案为：，（）n﹣2．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，关键是知道相似三角形的对应线段成比例，以及余弦定理求出BC的长，找出规律求出值．三、解答题（本题共30分，每小题5分）13．用配方法解方程：．【考点】解一元二次方程-配方法．【分析】先把常数项﹣3移项后；然后等上的两边同时乘以2把二次项的系数化为1；最后左右两边同时加上一次项系数﹣4的一半的平方．【解答】解：由原方程，得x2﹣2x=3，等上的两边同时乘以2，得x2﹣4x=6，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得x2﹣4x+4=10，配方得（x﹣2）2=10．∴，∴，．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣﹣配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．14．计算：3sin30°﹣cos245°+2tan60°cos30°．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】将特殊角的三角函数值代入求解．【解答】解：原式=3×﹣×（）2+2××=﹣．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．15．如图，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，且∠BAC=∠DAE=90°，请找出一条与线段CE相等的线段（以图中已知点的端点），画出这条线段并给出证明．【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．【分析】连接BD，则BD=CE，证明△AEC≌△ADB即可．【解答】解：连接BD，则BD=CE；理由：∵△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD=∠CAE，在△AEC和△ADB中，，∴△AEC≌△ADB（SAS），∴BD=CE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键．16．已知m是方程x2﹣x﹣3=0的根，求代数式（1+）•（m﹣3）的值．【考点】分式的化简求值；一元二次方程的解．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据m是方程x2﹣x﹣3=0的根得出m2=m+3，代入原式进行计算即可．【解答】解：原式=•（m﹣3）=，∵m是方程x2﹣x﹣3=0的根，∴m2﹣m﹣3=0，即m2=m+3，∴原式==1．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．17．如图，半径为5的⊙O中，AB是直径，弦BC=8，OD⊥AB交BC于D，求CD的长及△OCD的面积．【考点】垂径定理；勾股定理．【分析】过点O作OE⊥CD于点E，根据相似三角形的判定定理可得出△ODE∽△BOE，再由相似三角形的对应边成比例可求出OD的长，由勾股定理得出DE的长，进而得出CD 的长，根据三角形的面积公式即可得出结论．【解答】解：过点O作OE⊥CD于点E，∵BC=8，∴CE=BE=4，OE=3．∵OD⊥AB，∴∠BEO=∠OED=90°，∵∠ODE+∠OBE=90°，∠ODE+∠DOE=90°，∴∠DOE=∠OBE，∴△ODE∽△BDO，∴=，即=，解得DE=，∴CD=CE﹣DE=4﹣=，∴S△OCD=CD•OE=××3=．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．18．列方程或方程组解应用题：某酒店有三人间、双人间的客房，三人间每天每间150元，双人间每天每间140元，为了吸引游客，实行团体入住五折优惠措施，一个50人的旅游团优惠期间到该酒店入住，住了一些三人间和双人间客房，若每间客房正好住满且一天共花去住宿费1510元，则该旅行团住了三人间和双人间客房各多少间？【考点】二元一次方程组的应用．【分析】本题中的等量关系有两个：三人间所住人数+二人间所住人数=50人；三人间费用×0.5+二人间费用×0.5=1510，据此可列方程组求解．【解答】解：设三人间和双人间客房各x间、y间，根据题意，得，解得．答：该旅行团住了三人间和双人间客房各8间、13间．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．利用二元一次方程组求解的应用题一般情况下题中要给出2个等量关系，准确的找到等量关系并用方程组表示出来是解题的关键．四、解答题（本题共20分，每小题5分）19．如图，直线y=﹣2x+1分别交x轴，y轴于点A，B，交反比例函数y=的图象于点C，CB：BA=2：1．（1）求反比例函数y=的解析式；（2）若点P在y轴上且以点B，C，P为顶点的三角形与△AOB相似，直接写出点P的坐标．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【分析】（1）由直线的解析式求得A、B的坐标，进而根据CB：BA=2：1求得C的纵坐标，将C坐标代入直线y=﹣2x+1中求出横坐标，代入反比例函数y=，确定出反比例解析式；（2）分两种情况分别讨论即可求得．【解答】解：（1）∵直线y=﹣2x+1分别交x轴，y轴于点A，B，∴A（，0），B（0，1），∵CB：BA=2：1，∴=，作CD⊥x轴于D，则CD∥OB，∴△ACD∽△ABO，∴=，∴=，∴CD=3，把y=3代入y=﹣2x+1，解得x=﹣1，∴C（﹣1，3），代入y=得，3=，∴k=﹣3，∴反比例函数y=的解析式为y=﹣；（2）当△CPB∽△AOB时，则=，即=，∴BP=2，∴OP=OB+BP=1+2=3，∴P（0，3）；当△PCB∽△AOB时，则=，∵OA=，OB=1，∴AB==，∵CB：BA=2：1，∴CB=，∴=，∴PB=，∴OP=PB+0B=+1=，∴P（0，）；故P的坐标为（0，3）或（0，）．【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法确定函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，三角形相似的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．20．如图，已知，在△ABC中，∠ABC=90°，BC为⊙O的直径，AC与⊙O交于点D，点E为AB的中点，PF⊥BC交BC于点G，交AC于点F．（1）求证：ED是⊙O的切线；（2）如果CF=1，CP=2，sinA=，求⊙O的直径BC．【考点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【专题】几何综合题．【分析】（1）连接OD，证OD⊥DE即可．易证∠ADB=90°，又点E为AB的中点，得DE=EB．根据等腰三角形性质可证∠ODE=∠OBE=90°，得证；（2）可证∠A=∠DBC，所以要求BC需先求DC．结合已知条件，证明△PDC与△FPC相似可求CD，得解．【解答】（1）证明：连接OD．∵BC为直径，∴△BDC为直角三角形．在Rt△ADB中，E为AB中点，∴BE=DE，∴∠EBD=∠EDB．又∵OB=OD，∴∠OBD=∠ODB，∵∠OBD+∠ABD=90°，∴∠ODB+∠EDB=90°．∴ED是⊙O的切线．（2）解：∵PF⊥BC，∴∠FPC=90°﹣∠BCP（直角三角形的两个锐角互余）．∵∠PDC=90°﹣∠PDB（直径所对的圆周角是直角），∠PDB=∠BCP（同弧所对的圆周角相等），∴∠FPC=∠PDC（等量代换）．又∵∠PCF是公共角，∴△PCF∽△DCP．∴=，则PC2=CF•CD（相似三角形的对应边成比例）．∵CF=1，CP=2，∴CD=4．可知sin∠DBC=sinA=，∴=，即=，∴直径BC=5．【点评】此题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质、三角函数等知识点，综合性较强，难度偏上．21．据报道，历经一年半的调查研究，北京PM 2.5源解析已经通过专家论证．各种调查显示，机动车成为PM 2.5的最大来源，一辆车一天行驶20千米，那么这辆车每天至少就要向大气里排放0035千克污染物．以下是相关的统计图、表：2013年北京市全年空气质量等级天数统计表空气质量等级优良轻度污染中度污染重度污染严重污染天数（天）41 135 84 47 45 13（1）请根据所给信息补全扇形统计图；（2）请你根据“2013年北京市全年空气质量等级天数统计表”计算该年度重度污染和严重污染出现的频率共是多少？（精确到0.01）（3）小明是社区环保志愿者，他和同学们调查了本社区的100辆机动车，了解到其中每天出行超过20千米的有40辆．已知北京市2013年机动车保有量已突破520万辆，请你通过计算，估计2013年北京市一天中出行超过20千米的机动车至少要向大气里排放多少千克污染物？【考点】扇形统计图；用样本估计总体；统计表；列表法与树状图法．【分析】（1）用单位1减去其他原因所占的百分比即可确定答案；（2）用重度污染和严重污染的天数除以所有的天数即可确定出现的频率；（3）用样本估计总体即可．【解答】解：（1）31.1；（2）≈0.16．该年度重度污染和严重污染出现的频率共是0.16．（3）=7 280 0，估计2013年北京市一天中出行超过20千米的机动车至少要向大气里排放72800千克污染物．【点评】本题考查了扇形统计图、用样本估计总体等知识，解题的关键是能够从统计图中整理出进一步解题的有关信息．22．如图1，给定锐角三角形ABC，小明希望画正方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上，他发现直接画图比较困难，于是他先画了一个正方形HIJK，是的H，I，位于射线BC上，K位于射线BA上，而不需要求J必须位于AC上．这是他发现可以将正方形HIJK通过放大或缩小得到满足要求的正方形DEFG．阅读以上材料，回答小明接下来研究的以下问题：（1）如图2，给定锐角三角形ABC，画出所有长宽比为2：1的长方形DEFG，使D，E位于边BC上，F，G分别位于边AC，AB上．（2）已知三角形ABC的面积为36，BC=12，在第（1）问的条件下，求长方形DEFG的面积．【考点】位似变换．【分析】（1）如图2，先画长方形HIJK，使得HI=2HK，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；如备用图，先画长方形HIJK，使得HK=2HI，并且H，I位于射线BC上，K位于射线BA上，连结BJ并延长交AC于点F，再将长方形HIJK通过放大可得到满足要求的长方形DEFG；（2）作△ABC的高AM，交GF于N．由三角形ABC的面积为36，求出AM=6．再设AN=x，由GF∥BC，得出△AGF∽△ABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比列出比例式=，由此求出x的值，进而求解即可．【解答】解：（1）如图2与备用图1，长方形DEFG即为所求作的图形；（2）在长方形DEFG中，如果DE=2DG，如备用图2，作△ABC的高AM，交GF于N．∵三角形ABC的面积=BC•AM=×12AM=36，∴AM=6．设AN=x，则MN=6﹣x，DG=MN=6﹣x，DE=GF=2（6﹣x）=12﹣2x．∵GF∥BC，∴△AGF∽△ABC，∴=，∴=，解得x=3，∴DG=6﹣x=3，DE=2DG=6，∴长方形DEFG的面积=6×3=18；在长方形DEFG中，如果DG=2DE，同理求出x=，∴DG=6﹣x=，DE=DG=，∴长方形DEFG的面积=×=．故长方形DEFG的面积为18或．【点评】本题考查了位似变换，相似三角形的判定与性质，根据题意作出符合要求的长方形DEFG是解题的关键．五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分）23．已知关于x的二次函数y1=x2﹣（m+3）x+m+2，y2=﹣x2+bx+c．（1）求证：方程x2﹣（m+3）x+m+2=0必有实根；（2）若m为整数，y1的图象与x轴有一个交点的横坐标a满足5＜a＜7，求m的值；（3）在第（2）问的条件下，小明利用函数图象解关于x的不等式y1＜y2，正确解得该不等式的解集为3＜x＜4，求y2的解析式．【考点】二次函数与不等式（组）；抛物线与x轴的交点．【分析】（1）利用根的判别式即可得出结论；（2）根据y1的图象与x轴有一个交点的横坐标a满足5＜a＜7可知当x=5时，y1＜0，当x=7时，y1＞0求出m的取值范围，再由m为整数即可求出m的值；（3）先求出当x=3，x=4时y1的值，再由y2也经过此点即可得出结论．【解答】解：（1）∵△=[﹣（m+3）]2﹣4（m+2）=（m+1）2≥0，∴方程x2﹣（m+3）x+m+2=0必有实根；（2）∵y1的图象与x轴有一个交点的横坐标a满足5＜a＜7，且抛物线开口向上，∴f（5）＜0，f（7）＞0，∴，解得3＜m＜5．∵m为整数，∴m=4；（3）∵由（2）知，m=4，∴关于x的二次函数y1=x2﹣（m+3）x+m+2可化为y1=x2﹣7x+6，∴当x=3时，y1=﹣6；当x=4时，y1=﹣6．∵二次函数y2=﹣x2+bx+c经过（3，﹣6），（4，﹣6），∴，解得，∴y2的解析式为y2=﹣x2+25x﹣72．【点评】本题考查的是二次函数与不等式组，能根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．24．过正方形ABCD的顶点A任作一条直线l（l不过点B，C，D），过点B，C，D作l的垂线段BF，CG，DH．（1）如图1，若直线l过线段BC的中点E，则BF：CG：DH=1：1：2．（2）如图2，若直线l与线段BC相交于点E，则BF，CG，DH满足等量关系式DH=BF+CG，请证明你的猜想；（3）如果直线l与线段CB的延长线相交，直接写出BF，CG，DH满足的等量关系式BF=DH+CG，在直线l旋转一周的过程中（l不过点B，C，D），直接写出y=的取值范围1＜y≤2．【考点】四边形综合题．【分析】（1）如图1所示：设AB=2a，根据题意得：BE=a，由勾股定理可求得AE=a，由面积法可求得BF和HD的长度，然后再证明△BFE≌△CGE，得到BF=CG，从而可求得答案；（2）如图2所示：先根据同角的余角相等，证明∠ADH=∠FBE=∠GCE，由锐角三角函数的定义可得到，然后利用比例的性质对比例式进行变形可证得：，由AD=BC，于是可得到DH=BF+CG；（3）如图3所示：先证明∠ABF=∠HDE=∠GCE，由锐角三角函数的定义可得到，然后利用比例的性质对比例式进行变形可证得，由AB=DC于是得到BF=DH+CG；如图4、5所示可求得BF+CG+DH的最大值为2BD，最小值为BD，从而可求得y的范围．【解答】解：（1）如图1所示：连接ED．设AB=2a，根据题意得：BE=a．在Rt△ABE中，AE=，∵，即：，∴BF=．在△BFE和△CGE中，，∴△BFE≌△CGE．∴BF=CG．∵，即，∴HD=．∴BF：CG：DH=1：1：2．（2）DH=BF+CG．理由：如图2所示：∵∠ADH+∠DAH=90°，∠BAH+∠DAH=90°，∴∠ADH=∠BAH．同理∠FBE=∠BAH．∴∠ADH=∠FBE．∵BF⊥AE，GC⊥AE，∴BF∥GC．∴∠FBE=∠GCE．∴∠ADH=∠FBE=∠GCE．∴．由可知：，∴，即．∴．∴．∵AD=BC，∴DH=BF+CG．（3）BF=DH+CG．理由：如图3所示：根据题意可知：∠ABF=∠HDE=∠GCE．∴．∴．∴，即．∴．∴．∵AB=DC，∴BF=DH+CG．如图4所示：当直线经过点C时，BF+DH+CG有最小值，最小值=BD，∴y=1．如图5所示：BF+DH+CG有最大值，最小值=2AC=2BD，∴y=2．∵直线l不经过点B、C、D，∴y的取值范围是：1＜y≤2．【点评】本题主要考查的是正方形的性质、锐角三角函数的定义、比例的性质、全等三角形的性质和判定，利用比例的性质对比例式进行适当的变形是解题的关键．25．定义：在平面直角坐标系xOy中，给定两点M（x M，y M），N（x N，y N），对于给定的实数a，b，作a|x M﹣x N|+b|y M﹣y N|为M，N的权重为a，b的直角距离，记为d xy（M，N），例如：d2，3（（1，0），（4，7））=2|1﹣4|+3|0﹣7|=27．特别地，权重为1、1的直角距离，又称为等权重距离，则记为d（M，N），例如：d（（1，0），（4，7））=|1﹣4|+|0﹣7|=10．根据以上定义，回答以下问题：（1）d（（0，0），（﹣3，﹣2））=5，d3，2（（0，0），（﹣1，2））=7．（2）P为直线y=2x+4上一动点，求OP的等权重距离的最小值及此时P点的坐标；（3）P为直线y=2x+4上一动点，Q为以O为圆心的单位圆上的动点，则d（P，Q）的最小值是﹣，d3，2（P，Q）的最小值是﹣．。
北京海淀人大附中初三上期中模拟数学真题卷
人大附中初三（上）数学统一练习6——期中模拟一、选择题（本题共30分，每小题3分）1．一元二次方程220x x -=的解为（）．A ．2x =B ．1x =，22x =C ．1x =，22x =-D ．11x =，22x =【答案】B 【解析】根据提取公因式法解一元二次方程得：(2)0x x -=，所以1x =，22x =．故答案为B ．2．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（）．A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(1,2)-D ．(1,2)--【答案】A 【解析】根据二次函数的顶点式2()(0)y a x h k a =-+¹顶点坐标为(,)h k ，所以2(1)2yx =-+的顶点坐标为(1,2)．故答案为A ．3．下列图形是中心对称图形的是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】根据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义可知：A、D 为轴对称图形，C 为中心对称图形，B 既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故答案为C ．4．如图，四边形A B C D 内接于⊙O ，E 为C D 延长线上一点，如果120A D EÐ=°，那么B Ð等于（）．A ．130°B ．120°C ．80°D ．60°【答案】B 【解析】根据圆内接四边形对角互补，可得：180A D C B Ð+Ð=°，根据邻补角定义可得：180A D CA D E Ð+Ð=°，根据同角的补角相等可得：120A D E B Ð=Ð=°，ECBAOD故答案为B ．5．如图，A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，若35CÐ=°，则A O B Ð的度数为（的度数为（ ）．A ．35°B ．55C ．65°D ．70°【答案】D 【解析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半，【解析】根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半， 故270A O BC Ð=Ð=°，故答案为D ．6．在数轴上，点A 所表示的实数为2，点B 所表示的实数为a ，⊙A 的半径为1，下列说法中不正确．．．的是（的是（ ）．A ．当3a<时，点B 在⊙A 内B ．当13a <<时，点B 在⊙A 内C ．当1a <时，点B在⊙A 外D ．当3a>时，点B 在⊙A 外【答案】A 【解析】由于圆心A 在数轴上表示的实数为2，圆的半径为1， 所以当d r =时，⊙A 与数轴交于两点：1和3，故当1a =，3时，点B 在⊙A 上；上；当d r <，即当13a <<时，点B 在⊙A 内；内； 当dr>，即当1a <或3a >时，点B 在⊙A 外，外，由以上结论可知：B 、C 、D 正确答案为A ．7．已知⊙O的半径是5，O P的长为4，则点P 与⊙O的位置关系是（的位置关系是（ ）． A ．点P 在圆内在圆内 B ．点P 在圆上在圆上 C ．点P 在圆外在圆外 D ．不能确定．不能确定 【答案】A 【解析】45<，故O P r<，所以点P 在⊙O 内部，内部，故答案为A ．8．如果关于x的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是（的取值范围是（ ）．A ．2m>B ．3m ≥C ．5m<D ．5m ≤【答案】D 【解析】由一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，可知0D ≥，则21141104m æöD =-´´-ç÷èø≥，所以5m ≤，故答案为D ．9．2022年将在北京——张家口举办冬季奥运会，张家口举办冬季奥运会，很多学校开设了相关的课程．很多学校开设了相关的课程．很多学校开设了相关的课程．某校某校8名同学参加了冰CBAO壶选修课，他们被分成甲、乙两组进行训练，身高（单位：c m ）如下表所示：）如下表所示：队员1 队员2 队员3 队员4甲组甲组 176 177 175 176 乙组乙组178175177174设两队队员身高的平均数依次为x 甲，x 乙乙，方程依次为2s 甲，2s乙，下列关系中完全正确的是（ ）．【注意有文字】意有文字】A ．x x=甲乙，22s s<甲乙B ．xx=甲乙，22s s >甲乙 C ．xx <甲乙，22ss<甲乙D ．xx >甲乙，22ss>甲乙【答案】A 【解析】(177176175176)4176x=+++¸=甲，【注意有文字】【注意有文字】(178175177174)4176x =+++¸=乙，【注意有文字】【注意有文字】2222211(177176)(176176)(175176)(176176)42séù=-+-+-+-=ëû甲，【注意有文字】【注意有文字】 2222215(178176)(175176)(177176)(174176)42séù=-+-+-+-=ëû乙，【注意有文字】【注意有文字】所以x x =甲乙，22ss<甲乙．【注意有文字】【注意有文字】故答案为A ．10．如图，点C 是以点O 为圆心，A B 为直径的半圆上的动点（点C 不与点A ，B 重合），4A B=，设弦A C 的长为x ，A B C △的面积为y ，则下列图象中，能表示y 与x 的函数关系的图象大致是（ ）．A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】∵4A B=，A C x=，O C BA4421 y xO O xy 1244O xy1244O xy1244∴22222416B C A BA Cxx=-=-=-，∴2111622A B CS A C B C x x =×=-△．∵此函数不是二次函数，也不是一次函数，∵此函数不是二次函数，也不是一次函数， ∴排除A 、C 选项，选项， ∵A B 为定值，当O C A B⊥时，A B C △面积最大，此时22A C=，即22x =时，y 最大，故排除D ，故答案为B ．二、填空题（本题共18分，每小题3分） 11．关于x的一元二次方程22(2)240m x x m-++-=的一个根是0，则m 的值是__________．【答案】2-【解析】方程的一个根为0，则0x =代入得：240m -=，所以2m=±，因为20m-¹，所以2m=，故答案为2m =-．12．请写出与抛物线2y x=形状相同，且经过(0,5)-点的二次函数的解析式__________．【答案】25y x =- 【解析】根据形状相同，故1a=与y轴交点为(0,5)-，答案不唯一，，答案不唯一，故满足题意的二次函数解析为：25y x =-，故答案为25yx =-．13．已知扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________． 【答案】3π 【解析】有2π360n rS =扇且3r =，120n =°代入得：2120π33π360C ´´==扇，【注意有文字】【注意有文字】故答案为：扇形面积为3π．14．北京市2011~2016年高考报名人数统计如图所示，根据统计图中提供的信息，年高考报名人数统计如图所示，根据统计图中提供的信息，预计预计2017年北京市高考报名人数约为__________万人，你的预估理由是__________．【答案】（1）6.53 ；（2）见解析）见解析 【解析】由折线统计图可知：【解析】由折线统计图可知：20112012-年报名人数减少：8.027.600.42-=（万人）， 20122013-年报名人数减少：7.607.350.25-=（万人）， 20132014-年报名人数减少：7.357.270.08-=（万人）， 20142015-年报名人数减少：7.277.050.22-=（万人）， 20152016-年报名人数减少：7.05 6.780.27-=（万人）．由以上可预估2017年北京市高考报名人数约为6.53万人，万人，理由：最近三年减少的人数趋于平缓，减少人数基本维持在0.25万人左右．万人左右．故答案为：6.53；最近三年减少的人数趋于平缓，减少人数基本维持在0.25万人左右．万人左右．15．如图，A B 、A C 与⊙O 相切于点B 、C ，50A Ð=°，P 为⊙O 上异于B 、C 的一个动点，则B P C Ð的度数为__________．【答案】65°或115° 【解析】∵A B ，A C 为⊙O 的两条切线，的两条切线，∴90A B O A C O Ð=Ð=°，∵四边形内角和360°且50A Ð=°，∴130B O CÐ=°，当P 在优弧B C 上时，1652B PC B O C Ð=Ð=°， 当P在劣弧B C上时，18065115B P C Ð=°-°=°．故答案为：65°和115°．16．如图，小明想做⊙O 中圆弧A B 的中点E 、F ，他作图的步骤：，他作图的步骤： （1）以A O 为直径作⊙C 交A B 于点D ．年份20172016201520142013201220116.46.66.877.27.47.67.888.2报名人数/万人6.787.057.277.357.68.02ABCO（2）做直线O D 交⊙O 于点E 、F 小明作图的依据是小明作图的依据是 ①__________． ②__________．【答案】①直径所对的圆周角为直角【答案】①直径所对的圆周角为直角②垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧②垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧 【解析】∵A O 为⊙C 的直径，的直径， ∴90A D O Ð=°，∵E F A B ⊥且E F 为⊙O 的直径，的直径，∴))B E A E=，故作图依据为：直径所对的圆周角为直角，垂直于弦的直径，平分弦且平分弦所对的两条弧．三、解答题（本题共72分，第17~26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）17．解方程：2432x x =--．【答案】此方程没有实数根【答案】此方程没有实数根 【解析】2432x x =--，24320x x ++=，4a =，3b =，2c =，22243442932230b a c D =-=-´´=-=-<，∴此方程没有实数根．∴此方程没有实数根．18．已知25140m m --=，求2(1)(21)(1)1m m m ---++的值．的值． 【答案】14【解析】原式22231211m m m m =-+---+251mm =-+．∵25140m m --=，∴2514mm -=， 将2514m m -=代入，代入，原式14=．故答案为14． 19．如图，已知90A B C Ð=°，分别以A B 和B C 为边向外作等边A B D△和等边B C E△，连接A E ，C D ．求证：A EC D=．FEC BAO D【答案】见解析【答案】见解析 【解析】∵A B D△，B C E△均为等边三角形，均为等边三角形，∴B DA B=，B CB E=，60A B DC B E Ð=Ð=°，∵D B C D B A A B CÐ=Ð+Ð， A B E E B C A B CÐ=Ð+Ð，∴D B C A B EÐ=Ð， 在A B E△和D B C△中，中，A B D B A B E D B C E B C B=ìïÐ=Ðíï=î，∴A B E△≌(S A S )D B C △，∴A EC D=．20．已知函数21y a x b x c=++，它的顶点坐标为(3,2)--，1y 与22y x m=+交于点(1,6)，求1y ，2y 的函数解析式．函数解析式． 【答案】115322y x x =++224y x =+【解析】将(1,6)代入22y x m=+中，中，62m =+，4m =，∴224y x =+．将顶点(3,2)--代入一次函数21()ya x h k=-+中，中，∴21(3)2y a x =+-，将(1,6)代入得：26(13)2a =+-，12a =，∴211(3)22y x =+-215322x x =++．故答案为：115322y x x =++，224y x =+．ECBAD21．如图，在平面直角坐标系xO y中，以点(2,3)A 为圆心的⊙A交x轴于点B，C ，8B C =，求⊙A的半径．的半径．【答案】5 【解析】连接A C ，过A 作A D B C⊥于D ，∵A 为圆心，且A D B C⊥，∴B D D C =，∵8B C =，∴4B D DC ==，∵(2,3)A ，∴3A D=，在R t A D C△中，222A DD CA C+=， ∴2222345A C A D D C =+=+=，则⊙A的半径为5．22．现有一块长20cm ，宽10c m 的长方形铁皮，在它的四个角分别减去一个大小完全相同的小正方形，用剩余的部分做成一个底面积为256c m 的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．的无盖长方体盒子，请求出剪去的小正方形的边长．【答案】3cm【解析】设剪去的小正方形边长为c m x ， 由题意列方程：(202)(102)56x x --=，(10)(5)14x x --=，215360x x -+=， (3)(12)0x x --=， 13x =，212x =，∵1210>，∴3x=．答：小正方形边长为3cm ．1A BCx yO23．已知关于x 的一元二次方程2(31)210k x k x k ++++=．（1）求证：该方程必有两个实数根．）求证：该方程必有两个实数根．（2）若该方程只有整数根，求k 的整数值．的整数值． 【答案】（1）证明见解析）证明见解析 （2）1k=±【解析】（1）根据题意得0k¹，2(31)4(21)k k k D =+-´+2296184kk k k=++--221kk =++2(1)k =+．∵2(1)0k+≥，∴0D ≥，∴此方程必有两个实数根．∴此方程必有两个实数根． （2）(31)(1)2k k x k-+±+=，∴131112k k x k--++==-，2311122k k x kk----==--，∵方程的根为整数，且k 为整数值，为整数值， ∴1k =±．24．已知：如图，R t A B C△中，90A C BÐ=°，以A C 为直径的半圆O 交A B 于F ，E 是B C 的中点，求证：直线E F 是半圆O 的切线．的切线．【答案】证明见解析【答案】证明见解析【解析】证明：连接O E ，C E ， ∵A C 为⊙O 的直径，的直径， ∴90A F CÐ=°，∴90C F B Ð=°， ∵E 为B C 中点，中点， ∴E F C E=，∴C F EF C EÐ=Ð， ∵O FO C=，FECBAO∴F C OO F CÐ=Ð，∵90O C F F C B Ð+Ð=°， ∴90E F O O F C Ð+Ð=°，即O F E F⊥，∵O F 为⊙O 半径，半径，∴E F 为半圆O 的切线．的切线．25．如图，点A ，B 在⊙O 上，A C 是切线，O C O B⊥，求证：，求证：（1）A CC D=． （2）若2A C =，5A O=，求O D ．【答案】（1）证明见解析）证明见解析（2）1O D =【解析】（1）∵A C 为⊙O 的切线，的切线，∴90O A C Ð=°，∴90O A B B A CÐ+Ð=°，∵O C O B⊥， ∴90B O CÐ=°，∴90O D B B Ð+Ð=°，∵O A O B =， ∴O A B BÐ=Ð， ∵O D B B A C Ð=Ð， ∴A D C B A CÐ=Ð，∴A CD C=． （2）∵A C 为⊙O 的切线，的切线， ∴90O A CÐ=°，∴222O C O A A C=+，∴2222(5)23O C O A A C =+=+=，∵A C D C =，∴2D C =，∵O D O C D C =-，∴1O D =．27．在平面直角坐标系xO y中，抛物线221(0)y m x m x m m =-+->与x 轴的交点为A ，B ．（1）求抛物线的顶点坐标．）求抛物线的顶点坐标．（2）若2A B=，CBAOD①求抛物线的解析式．①求抛物线的解析式．②已知C 点的坐标为(2,1)--，D 点在抛物线在对称轴上，将抛物线在03x <<的部分记为图象G ，若直线C D 与图象G 只有1个公共点，结合函数图象，求D 点的纵坐标t 的取值范围．的取值范围．【答案】（1）(1,1)- （2）①22y x x=- ②1t=-或1725t <≤【解析】（1）221y m x m x m =-+-2(21)1m x x =-+-2(1)1m x =--，当1x =时，1y =-，∴顶点坐标为(1,1)-．（2）①∵A 、B 为抛物线与x 轴的交点，轴的交点， 且1x=，2A B =，∴与x 轴交点坐标为(0,0)，(2,0)， 将(0,0)代入221y m x m x m =-+-中，中，得1m =，∴22y x x=-．②∵(2,1)C --顶点坐标(1,1)D -， ∴C D x∥轴，轴，∵C D 与图象G 有一个公共点，有一个公共点，∴1t=-，设过C 的直线解析式(2)1(0)y k x k =+-¹，将(0,0)代入021k =-，∴12k=，∴12t=，将(3,3)代入351k=-，x y 123412345123412345∴45k =，∴75t =，∴1725t <≤．综上所述：D 点的纵坐标t 的取值范围是1t=-或1725t <≤．28．如图1，已知90D A CÐ=°，A B C△是等边三角形，点P 为射线A D 上任意一点（点P 与点A 不重合），连结C P ，将线段C P 绕点C 顺时针旋转60°，得到线段C Q ，连结Q B 并延长交直线A D 于点E ． （1）如图1，猜想Q E P Ð=__________°．（2）如图2，3，若当D A C Ð是锐角或钝角时，其他条件不变，猜想Q E P Ð的度数，选取一种情况加以证明．以证明．（3）如图3，若135D A CÐ=°，15A C P Ð=°，且2A C =，求B Q 的长．的长．【答案】（1）60° （2）60°，证明见解析，证明见解析 （3）62-【解析】（1）∵A B C△为等边三角形，为等边三角形， ∴60B A C Ð=°，A C B C=，∵60P C QÐ=°，D 1D 2D 3C x=1543214321543214321 y x图1QE CBAP D 图2QECB APD图3QE CBAPD∴P C A Q C BÐ=Ð， 在P C A△和Q C B△中，中，C P C QP C A Q C B A C B C=ìïÐ=Ðíï=î，∴P C A△≌(S A S )Q C B △，∴C Q B C P AÐ=Ð，∵12Ð=Ð，∴60P E QP C Q Ð=Ð=°．（2）①证明图2， ∵A B C△为等边三角形，为等边三角形，∴60B C A Ð=°，A C B C=，∵60P C Q Ð=°， ∴A C P B C QÐ=Ð， 在A C P△和B C Q△中，中，A CB CA C PBC Q C P C Q=ìïÐ=Ðíï=î，∴A C P△≌(S A S )B C Q △，∴C Q B C P AÐ=Ð，∵12Ð=Ð，∴60Q E PQ C P Ð=Ð=°．②证明图3 ∵A B C△为等边三角形，为等边三角形，21D P AB C E Q图121DP AB C EQ图2∴60A C B Ð=°，A C B C =，∵60P C Q Ð=°， ∴P C A Q C B Ð=Ð， 在P C A△和Q C B△中，中，A CB CP C A Q C B C P C Q=ìïÐ=Ðíï=î，∴P C A△≌(S A S )Q C B △，∴C Q B C P AÐ=Ð，∵12Ð=Ð，∴60Q C AQ E P Ð=Ð=°．（3）∵135D A C Ð=°， ∴135Q B C Ð=°，∴45E B C Ð=°， ∵15A C P Ð=°， ∴15Q C B Ð=°， ∵60Q C P Ð=°， ∴45B C Q Ð=°，设B E 与C P 交于点F ，∴B C F △为等腰直角三角形，为等腰直角三角形， ∵2A C =， ∴2B C =，∴2B FC F ==，∴6F Q =，∴62B Q=-．21DPA BCE Q图3。
北京市海淀区中国人民大学附属中学2018届九年级10月月考数学试题(解析版)
2017—2018学年度第一学期九年级数学练习2一、选择题（每小题4分，共48分．下列各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的）1. ）．A. B. C.【答案】B【解析】分析：利用直接开平方法得到x﹣2=0，然后解一元一次方程即可．详解：x﹣2=0，所以x1=x2=2．故选B．点睛：本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．2. ）．B. C.【答案】D【解析】分析：根据抛物线的开口方向即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围．详解：∵二次函数y=（2﹣m）x2+mx﹣1的图象是开口向上的抛物线，∴2﹣m＞0，解得：m＜2．故选D．3. ）．C. D.【答案】A【解析】分析：根据二次函数定义可得m=－1，再代入3m+2即可得到答案．详解：∵关于x∴m=－1，∴3m+2=－1．故此解析式的一次项系数是：－1．故选A．点睛：本题主要考查了二次函数定义，关键是掌握形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．4. 有下列四个命题：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等；④半径相等的两个半圆是等弧．其中正确的有（）．C.【答案】B【解析】试题解析：①经过圆心的弦是直径，即直径是弦，弦不一定是直径，故错误；②当三点共线的时候，不能作圆，故错误；③三角形的外心是三角形三边的垂直平分线的交点，所以三角形的外心到三角形各顶点的距离都相等，故正确；④在同圆或等圆中，能够互相重合的弧是等弧，所以半径相等的两个半圆是等弧，故正确.故选C5. 抛物线图像如图所示，根据图像，抛物线的解析式可能是（）．【答案】C【解析】由图可得：首先开口向下，a小于0，对称轴大于0，所以b大于0，图像与y轴交点大于0，说明c大于0，所以选C。
6. 如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么弧AC所对的圆心角的大小是（）A. B. C.【答案】D【解析】分析：根据垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心，分别作AB，BC的垂直平分线即可得到圆心，进而解答即可．详解：作AB的垂直平分线，作BC的垂直平分线，如图，它们都经过Q，所以点Q为这条圆弧所在圆的圆心．连接AQ，CQ．在△APQ与△CQN中，APQ≌△CQN（SAS），∴∠AQP=∠CNQ，∠P AQ=∠CQN∵∠AQP+∠P AQ=90°，∴∠AQP+∠CQN=90°，∴∠AQC=90°，90°．故选D．点睛：本题考查了垂径定理的推论：弦的垂直平分线必过圆心．这也常用来确定圆心的方法．7.置，上，直角边，则旋转角等于（）．【答案】B【解析】分析：先由∠ACB=90°、∠A=40°得∠ABC=50°，再由旋转的性质得∠B′=∠ABC=50°，CB=CB′，继而可得答案．详解：∵∠ACB=90°，∠A=40°，∴∠ABC=50°，又△ABC≌△AB′C′，∴∠B′=∠ABC=50°，CB=CB′，∴∠BCB′=80°．故选B．点睛：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．8. ）．C.【答案】B【解析】分析：过O作弦AB的垂线，通过构建直角三角形求出弦AB的长．详解：过O作OC⊥AB于C．在Rt△OAC中，OA=2，∠AOC AOB=60°，∴AC=OA•∴AB=2AC故选B．点睛：本题主要考查了垂径定理及解直角三角形的应用．二、填空题（每题4分，共28分）9. 关于原点对称的点__________．【解析】分析：根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（﹣2，3）关于原点O的对称点是P′（2，﹣3）详解：根据两个点关于原点对称，∴点P（﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．故答案为：（2，﹣3）．点睛：本题考查了关于原点对称的点的坐标，运用时要熟练掌握．10. 经过两点“或“填空）．【答案】>【解析】分析：根据二次函数图象上点的坐标特征，将A（﹣2，y1）和B（3，y2），分别代入二次函数的关系式，分别求得y1，y2的值，最后比较它们的大小即可．详解：∵抛物线y=x2﹣2x+5经过两点A（﹣2，y1）和B（3，y2），∴y1=4+4+5=13，即y1=13，y2=9﹣6+5=8，即y2=8．∵8＜13，∴y2＜y1．故答案为：y1＞y2．点睛：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征．经过图象上的某点，该点一定在函数图象上．11. __________．【答案】5【解析】分析：直角三角形的外接圆圆心是斜边的中点，那么半径为斜边的一半，由勾股定理易求得此直角三角形的斜边长，进而可求得外接圆的半径．．因此这个三角形的外接圆半径为5．点睛：本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中点为圆心，斜边长的一半为半径的圆．12. __________．【答案】-2【解析】分析：由二次项系数的正负，根据二次函数的性质即可得出其最值情况．详解：在函数y中，∵a0，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣2．故答案为：﹣2．点睛：本题主要考查二次函数的最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．13. 的顶点坐标分别为，如果将，那么点的对应点__________．【解析】分析：根据网格结构找出点A、B绕点C逆时针旋转90°的对应点的位置，然后顺次连接，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标即可．详解：如图所示，点A的对应点A′的坐标是（﹣3，3）．故答案为：（﹣3，3）．点睛：本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟练掌握网格结构，作出旋转后的图形是解题的关键．14. __________得到抛物线称轴与两段抛物线所围成的阴影部分（如图所示）的面积是__________．【答案】(1). 先向右平移2个单位再向下平移2个单位；(2). 4平移后顶点坐标是（2，-2），利用割补法，把x轴上方阴影部分补到下方，可以得到矩形面积,15. 如图，__________，当点__________．【答案】(1). (2).【解析】分析：作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC=90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上，推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题；详解：作GM⊥AC于M，连接AG．∵GO⊥AB，∴OA=OB．在Rt△AGO中，∵AG=2，OG=1，∴AG=2OG，OA∴∠GAO=30°，AB=2AO AGO=60°．∵GC=GA，∴∠GCA=∠GAC．∵∠AGO=∠GCA+∠GAC，∴∠GCA=∠GAC=30°，∴AC=2OA MG=1．∵∠AFC=90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值=FM﹣GM1．故答案为：1．点睛：本题考查了垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．三、解答题（第23题6分，其余各题每题5分，共31分）16.）请你将函数解析式化成）中的图像结合图像变换表示出方程的根，要求保留画图痕迹，指出方程根的图形意义．【答案】）方程两根的意义为：二次函数与水平线【解析】分析：（1）根据配方法整理即可，再求出x=﹣1、0、1、2、3时的函数值，然后画出函数图象即可；（2）求出y=﹣2时对应的x的近似值即可．详解：（1）y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，函数图象如图所示；（2）y=﹣2时，x2﹣2x﹣3=﹣2，x2﹣2x﹣1=0，方程x2﹣2x﹣1=0的根如图所示．点睛：本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，图象法求一元二次方程的近似根，通常利用“五点法”作二次函数图象．17.学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...学§科§网...xx（22=x=±x=x2点睛：考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．18.【答案】见解析【解析】分析：（1）作AB、CD的垂直平分线，交点即为所求；（2）同弧所对的圆周角相等，可得出△ADE和△CBE中两组对应角相等，已知两组对应角的夹边相等，可证得△ADE≌△CBE，得AE=CE，DE=BE，从而证得AB=CD．详解：（1）如图所示：（2）∵同弧所对对圆周角相等，∴∠A=∠C，∠D=∠B．在△ADE和△CBE中，∴△ADE≌△CBE，∴AE=CE，DE=BE，∴AE+BE=CE+DE，即AB=CD．点睛：本题主要考查圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识的应用能力．19.是小华与小芳的设计方案．‘我的设计方案如图所示，平行于荒地的四边建造矩形的花园，花园四周小路的宽度均相同’，你能帮小芳算出小路的宽度吗？请利用方程的方法计算出小路的宽度．‘我的设计方案是建造一个中心对称的四边形的花园，并且这个四边形的四个顶点分别在矩形荒地的四条边上’应的草图，说明所画图形的特征，并简述所画图形符合要求的理由．【答案】;【解析】分析：为直径，作圆，交两长于详解：，，得矩形点睛：本题主要考查了应用设计与作图，正确作图是解题的关键．20. 中，逆时针旋转，画出旋转后的图形．．写出求线段骤详写，其它的写出关键步骤或结果即可），并给出最后结果．【答案】【解析】分析：（1）根据要求作图即可；（2）延长BC至点F，使CF=BD，连结EF．易证△CEF为等边三角形，得到EF=CF，∠F=60°，从而可证△ABD≌△DFE，即可得到结论．（3）过点C作D′ M′⊥BC，并取CD′=CM′=BD=BM．连结DD′、MM′、DM′，得到DD′=DM′，∠D′ DC=∠M′ DC，由（1）（2）可得∠D′ DC=∠BAD=7.5°，故∠CDM′=7.5°，可证得△AMM′和△ADD′为等腰直角三角形，得到AD=AD′=1，AM=AM′，DD DM′，∠ADD′=45°，∠ADM′=45°+7.5°+7.5°=60°．过A作AE⊥DM′于点E，得到∠DAE=30°，由30°直角三角形的性质得到DE，AE的长，进而得到EM′的长，由勾股定理即可得到结论．详解：，并取、，由（）（）可得为等腰直角三角形，作于点，，，．点睛：本题是全等三角形综合题．考查了等边三角形的性质和等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质．有一定的难度，综合性较强．解题的关键是读懂题意，根据所给的方法完成后面的解答．。
2018-2019学年北京人大附中九年级(下)月考数学试卷(3月份)解析版
2018-2019学年北京人大附中九年级（下）月考数学试卷（3月份）一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 下列说法正确的是（ ）A. 有理数都是有限小数B. 无理数都是无限不循环小数C. 14的平方根是12D. −27没有立方根2. -√49，π2，3.1415，-227，√5这五个实数中，是无理数的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3. 下列各数13，π，0，-4，（-3）2，-32，-|-3|，-（-3），3.14-π中有平方根的个数为（ ）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个 4. √256的平方根是（ ）A. 16B. ±16C. 4D. ±4 5. 若√(a −3)2=a −3，则a 的取值范围是（ ）A. a >3B. a ≥3C. a <3D. a ≤36. 三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m 对；交于不同三点时，对顶角有n 对，则m 与n 的关系是（ ） A. m =n B. m >nC. m <nD. m +n =107. 如图，能够判断AD ∥BC 的条件是（ ）A. ∠7=∠3B. ∠2=∠6C. ∠1=∠5D. ∠3=∠88. 如果两个角的一边在同一条线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（ ）A. 相等B. 互补C. 相等且互补D. 相等或互补 9. 若a ，b ，c 为同一平面内不同的三条直线，要使a ∥b ，则a ，b ，c 应满足的条件是（ ）A. a ⊥b ，b ⊥cB. a//c ，b ⊥cC. a ⊥c ，b//cD. a//c ，b//c 10. 如图，数轴上表示1、√3的对应点分别为点A 、点B ．若点B 关于点A 的对称点为点C ，则点C 所表示的数是（ ） A. √3−1 B. 1−√3 C. 2−√3 D. √3−2 二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11. 计算：-√−273=______；±√164=______． 12. 当1≤x ＜5时，√(x −1)2+|x −5|=______．13. 如图，当直线AB ，CD ，EF 都过点O ，且EF ⊥AB ，OG 平分∠EOD ，∠AOC =28°，则∠GOF =______．14. 已知√x +1+（y -1）2=0，则√x 3+√y 的值为______．15. 若√73的整数部分是a ，小数部分是b ，则2a -b =______． 16. 一个角的对顶角比它的领补角的3倍还大20°，则这个角的补角的度数为______． 三、计算题（本大题共4小题，共28.0分）17. 求下列各式中的x ．（1）（4x -1）2=225； （2）√81+8x 3=-11618. 已知3既是x -1的平方根，也是x -2y +1的立方根，求x 2-y 2的平方根．19. 已知A =√m +n +10m−n 是m +n +10的算术平方根，B =√4m +6n −1m−2n+3是4m +6n -1的立方根，求√B −A 3的值．20. 已知a ，b 为实数，且√1+a −(b −1)√1−b =0，求a 2017-b 2018的值．四、解答题（本大题共4小题，共28.0分）21. 用三角板分别过点A ，B ，C 作线段BC ，AC 和AB 所在直线的高线．22.画出△ABC向下平移5格再向右平移4格后的△A1B1C1．23.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC．求证：∠A=∠C．证明：∵AB∥CD，（______）∴∠B+∠C=180°．（______）∵AD∥BC，（已知）∴∠A+∠B=180°．（______）∴∠A=∠C．（______）24.如图，已知∠1+∠AEF=180°，∠2+∠AEF=180°，∠3=∠B，判断∠AED与∠C的关系为______，并证明你的结论．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A，有理数都是无限循环小数，故该选项错误；B，无理数都是无限不循环小数，故该选项正确；C ，的平方根是±，故该选项错误；D，-27的立方根是-3，不是没有，故该选项错误；故选：B．此题可根据有理数和无理数的定义以及平方根和立方根的概念逐项分析即可．本题考查了有理数和无理数的定义以及平方根和立方根的概念，掌握各种概念是解决问题的关键．2.【答案】B【解析】解：无理数有，，共2个．故选：B．根据无理数的定义（包括①开方开不尽的根式，②含π的，③一些有规律的）判断即可．本题考查了对无理数的定义的理解，能判断一个数是否是无理数是解此题的关键．3.【答案】D【解析】解：∵13＞0，π＞0，0=0，-4＜0，（-3）2=9＞0，-32=-9＜0，-|-3|=-3＜0，-（-3）=3＞0，3.14-π＜0，∴有平方根的个数是13，π，0，（-3）2，-（-3），共5个．故选：D．由于负数没有平方根，所以只要所给数中的负数淘汰即可解决问题．此题主要考查了平方根的定义，比较简单，关键要细心．4.【答案】D【解析】解：∵=16，∴16的平方根为：±4．故选：D．根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．此题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，得出=16是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】解：，即a-3≥0，解得a≥3；故选：B．根据题中条件可知a-3≥0，直接解答即可．本题主要考查二次根式的性质与化简，题中涉及使根式有意义的知识点，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为三条直线两两相交形成的对顶角的个数与是否交于同一点无关，所以m=n，故选：A．三条直线两两相交，每对相交的直线就会形成2对对顶角，这三条直线每两条都相交，相交直线的对数，与是否交于同一点无关，因而m=n．直线相交形成的对顶角的对数，只与有多少对直线相交有关．7.【答案】C【解析】解：∵∠1=∠5，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；故选：C．利用平行线的判定方法判定即可．此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．8.【答案】D【解析】解：如果两个角的一边在同一条线上，另一边互相平行实际是两条平行线被第三条直线所截，得到同位角，内错角，同旁内角．由平行线的性质可得，各对同位角相等，各对内错角相等，相应的同旁内角的关系是互补．故选：D．此题需分情况进行讨论，当两个角同为锐角时或者一个锐角一个钝角时，都符合题中已知条件．本题需注意的知识点为：如果两个角的一边在同一条线上，另一边互相平行，那么这两个角是被平行线所截得的同位角，或内错角或是同旁内角．9.【答案】D【解析】解：A、a⊥b，a⊥c可判定b∥c，故此选项错误；B、a∥b，b⊥c可判定a⊥c，故此选项错误；C、a⊥c，b∥c可判定a⊥b，故此选项错误；D、根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可得a∥b，故此选项正确；故选：D．根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行进行分析即可．此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．10.【答案】C【解析】解：∵表示1、的对应点分别为点A、点B，∴AB=-1，∵点B关于点A的对称点为点C，∴CA=AB，∴点C的坐标为：1-（-1）=2-．故选：C．首先根据表示1、的对应点分别为点A、点B可以求出线段AB的长度，然后根据点B和点C关于点A对称，求出AC的长度，最后可以计算出点C的坐标．本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．11.【答案】3 ±18【解析】解：∵（-3）3=-27，∴-=-（-3）=3；∵（±）2=，∴±=±，故答案为3，．利用立方根和平方根的计算方法计算即可．本题考查了立方根和平方根的计算方法，属于基础题，比较简单．12.【答案】4【解析】解：∵1≤x＜5，∴x-1≥0，x-5＜0．故原式=（x-1）-（x-5）=x-1-x+5=4．根据x的取值范围，可判断出x-1和x-5的符号，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简．本题主要考查了二次根式及绝对值的化简．13.【答案】149°【解析】解：∵∠AOC=28°，∴∠DOB=28°，∵EF⊥AB，OG平分∠EOD，∴∠EOD=90°-28°=62°，∴∠GOD=31°，∴∠GOF=90°+28°+31°=149°，故答案为：149°．根据对顶角相等得出∠DOB，进而利用互余和角平分线的定义得出∠GOD的度数，进而解答即可．此题考查了角的计算，涉及的知识有：角平分线定义，垂直的定义，以及互余两角的性质，熟练掌握定义及性质是解本题的关键．14.【答案】0【解析】解：∵+（y-1）2=0，∴x+1=0，y-1=0，∴x-1，y=1．∴原式=-1+1=0．故答案为：0根据非负数和为0的性质定理求出x和y的值，然后将其值代入代数式就可以计算出结果了．本题是一道实数计算题，考查了非负数和为0的性质、开平方和开立方运算．15.【答案】24-√73【解析】解：∵8＜＜9，∴a=8，b=-8，∴2a-b=2×8-（-8）=24-．故答案为：24-．首先确定的范围，即可推出a b的值，把a b的值代入求出即可．考查了估算无理数的大小，解此题的关键是确定的范围．8＜＜9，得出a，b的值．16.【答案】40°【解析】解：设这个角为x，则它的对顶角为x，邻补角为180°-x，根据题意得x-3（180°-x）=20°，解得x=140°．故这个角的补角的度数为：180°-140°=40°．故答案为：40°．设这个角的度数为x，根据对顶角相等和互为邻补角的两个角的和等于180°分别表示出它的对顶角和邻补角，然后根据等量关系列出方程求解．本题考查互为邻补角的两个角等于180°和对顶角相等的性质，是需要熟记的内容．17.【答案】解：（1）∵（4x-1）2=225，∴4x-1=15或4x-1=-15，解得：x=4或x=-72；（2）∵√81+8x3=-116，∴8x3=-116-9，即8x3=-125，∴x3=-1258，∴x=-52．【解析】（1）先根据平方根的定义得出4x-1=±15，再分别求解可得；（2）先将x3的系数化为1，再根据立方根的定义计算可得．本题主要考查立方根和平方根，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义计算可得．18.【答案】解：根据题意得，由①得：x=10，把x=10代入②得：y=-8，∴{y=−8x=10，∴x2-y2=102-（-8）2=36，∵36的平方根是±6，∴x2-y2的平方根是±6．【解析】根据题意得x-1=9，x-2y+1=27，再解方程组求得xy的值，代入即可得出答案．本题考查了平方根和立方根，是基础知识比较简单．19.【答案】解：根据题意得：{m−2n=0m−n=2，解得：{n=2m=4，∴A=√16=4，B=√273=3，则√−13=-1．【解析】利用平方根、立方根定义列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出所求即可．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：∵√1+a−(b−1)√1−b=0，∴√1+a+（1-b）√1−b=0，∵1-b≥0，∴1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，∴a2017-b2018=（-1）2017-12018=-1-1=-2．【解析】由已知条件得到+（1-b ）=0，利用二次根式有意义的条件得到1-b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，然后根据乘方的意义计算a2017-b2018的值．本题考查了非负数的性质：算术平方根具有非负性．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．21.【答案】解：如图所示：【解析】根据三角形的高作图即可．本题考查了作图-基本作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．22.【答案】解：如图所示：△A1B1C1，即为所求．【解析】直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案．此题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．23.【答案】已知两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补同角的补角相等【解析】证明：∵AB∥CD，（已知）∴∠B+∠C=180°．（两直线平行，同旁内角互补）∵AD∥BC，（已知）∴∠A+∠B=180°．（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A=∠C．（同角的补角相等）．根据平行线的性质，求得同旁内角∠B+∠C=180°、∠A+∠B=180°，然后利用同角的补角相等知∠A=∠C．本题考查了平行线的性质．①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补．24.【答案】相等【解析】解：∵∠1+∠AEF=180°，∴AC∥DG，∵∠2+∠AEF=180°，∴∠1=∠2，∴EF∥AB，∴∠AED=∠EDF，∠3=∠ADE，∵∠3=∠B，∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC，∴∠AED=∠C，故答案为：相等根据平行线的判定方法和平行线的性质解答即可．本题考查了平行线的判定和性质，其区别和联系为：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行；联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．。
2018-2019学年北京市人大附中九年级(上)月考数学试卷
2018-2019学年北京市人大附中九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（8×3＇=24＇）1．如图，以点P 为圆心作圆，所得的圆与直线l 相切的是（ ） A ．以PA 为半径的圆 B ．以PB 为半径的圆 C ．以PC 为半径的圆 D ．以PD 为半径的圆 2．抛物线y=（x-2）2+1的对称轴是（ ）A ．x=2B ．x=-2C ．x=1D ．x= -13．下列k 的值中，使方程x2-4x+k=0有两个不相等实数根的是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．利用圆内接正多边形，可以设计出非常有趣的图案，下列图案中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．将关于x 的方程x 2-4x-2=0进行配方，正确的是（ ） A ．（x-2）2=2 B ．（x+2）2=2 C ．（x+2）2=6 D ．（x-2）2=66．如图，A 、B 、C 在⊙O 上，∠ACB=40°，点D 在∠ACB 上，M 为半径OD 上一点，则∠AMB 的度数不可能为（ ）A ．45°B ．60°C ．75°D ．85° 6题 7．在学习了《圆》这一童节之后，甲、乙两位同学分别整理了一个命题： 甲：相等的弦所对的圆心角相等； 乙：平分弦的直径垂直于这条弦． 下面对这两个命题的判断，正确的是（ ）A ．甲对乙错B ．甲错乙对C ．甲乙都对D ．甲乙都错 8．下表时二次函数2则对于该函数的性质的判断：①该二次函数有最大值；②不等式y ＞-1的解集是x ＜0或x ＞2；③方程ax2+bx+c=0的两个实数根分别位于-12＜x ＜0和2＜x ＜52之间；④当x ＞0时，函数值y 随x 的增大而增大；其中正确的是（ ）A ．②③B ．②④C ．①③D ．③④ 二、填空题（8×3＇=24＇）9．一元二次方程2x2+x-2=0的一次项系数为10．如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，已知CD=8，OE=3，则⊙O 的半径为 11．请写出一个开口向上，且与y 轴交于（0，-1）的二次函数的解析式 12．若x=1是方程2ax2+bx=3的根，当x=2时，函数y=ax2+bx 的函数值为 13．点A （-3，y1），B （2，y2）在抛物线y=x2-5x 上，则y 1 y 2．（填“＞”，“＜”或“=”）14．为了测量一个光盘的半径，小周同学把直尺、光盘和三角板按图所示放置于桌面上，并测量出AB=3cm，这张光盘的半径是cm10题14题15题16题15．如图，网络格上正方形小格的边长为1，图中线段AB和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A′B′和点P′，则在1区～4区中，点P′所在的单位正方形区域是（选填区域名称）16．如图1所示，E为矩形ABCD的边AD上一点，动点P、Q同时从点B出发，点P沿折线BE-ED-DC运动到点C时停止，点Q沿BC运动到点C时停止，它们运动的速度都是1cm/秒，设P、Q同时出发t秒时，△BPQ的面积为ycm2，已知y与t的函数关系图象如图2所示，请回答：（1）线段BC的长为cm．（2）当运动时间t=2.5秒时，P、Q之间的距离是cm．三、解答题（12×6＇=72＇）17．解方程：x（2x+1）=4x+218．如图，等边ΔABC的边长为6，点D是线段BC上的一点，CD=4，以AD为边作等边ΔADE，连接CE．求CE的长．19．已知关于x的方程x2-4mx+4m2-9=0．（1）求证：此方程有两个不等的实数根；（2）若方程的两个根分别为x1，x2，其中x1＞x2，若x1=3x2，求m的值．⌒中点，若∠BAC=70°，求∠C．20．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，D是BC21．如图，园林小组的同学用一段长16米的篱笆围成一个一边基墙的矩形菜园ABCD，墙的长度为9米，设AB的长为x米，BC的长为y米．（1）①写出y与x的函数关系是：；②自变量x的取值范围是；（2）园林小组的同学计划使矩形菜园的面积为30平方米，试求此时边AB的长．22．在附中中心花园的草坪上，有一些自动旋转喷泉水装置，它的喷灌区域是一个扇形，小孙同学想了解这种装置能够喷灌的草坪面积，他测量出了相关数据，并画出了示意图，如图，这种旋转喷水装置的旋转角度为240°，喷灌起终点A，B两点的距离为12米，求这种装置能够喷的草坪面积．23．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+mx+n与x轴正半轴交于A，B两点（点A 在点B左侧），与y轴交于点C．（1）利用直尺和圆规，作出抛物线y=x2+mx+n的对称轴（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）若△OBC是等腰直角三角形，且其腰长为3，求抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，点P为抛物线对称轴上的一点，则PA+PC的最小值为24．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C作⊙O的切线CM，AD⊥CM于点D，交⊙O于点E．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若AE=AO=2，求线段CD的长．25．在生活中，有很多函数并不一定存在解析式，对于这样的函数，我们可以通过列表和图象来对它可能存在的性质进行探索，例如下面这样一个问题：数的图象与性质进行了探究．下面是小孙同学的探究过程，请补充完整；（1）如图，在平面之间坐标系xOy中，描出了以上表中各对应值为坐标的点，根据描出的点，画出函数的图象：（2）根据画出的函数图象回答：①x=-1时，对应的函数值y的为（答案不唯一）；②若函数值y＞0，则x的取值范围是；③写出该函数的一条性质（不能与前面已有的重复）：（答案不唯一）．26．已知关于x的二次函数y=ax2-（2a+2）x+b（a≠0）在x=0和x=6时函数值相等．（1）求a的值；（2）若该二次函数的图象与直线y=-2x的一个交点为（2，m），求它的解析式：（3）在（2）的条件下，直线y=-2x-4与x轴，y轴分别交于A，B，将线段AB向右平移n （n＞0）个单位，同时将该二次函数在2≤x≤7的部分向左平移n个单位后得到的图象记为G，请结合图象直接回答，当图象G与平移后的线段有公共点时，n的取值范围．27．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，D为AC延长线上一点，连接BD，AE⊥BD 于点E．（1）记△ABC得外接圆为⊙O．①请用文字描述圆心O的位置；②求证：点E一定在⊙O上．（2）将射线AE绕点A顺时针旋转45°后，所得到的射线与BD延长线交于点F，连接CF，CE．①依题意补全图形；②用等式表示线段AF，CE，BE的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy中，对于图形G，若存在一个正方形γ，这个正方形的某条边与x轴垂直，且图形G上的所有的点都在该正方形的内部或者边上，则称该正方形γ为图形G的一个正覆盖．很显然，如果图形G存在一个正覆盖，则它的正覆益有无数个，我们将图形G的所有正覆盖中边长最小的一个，称为它的紧覆盖，如图所示，图形G为三条线段和一个圆弧组成的封闭图形，图中的三个正方形均为图形G的正覆盖，其中正方形ABCD就是图形G的紧覆盖．（1）对于半径为2的⊙O，它的紧覆盖的边长为（2）如图1，点P为直线y=-2x+3上一动点，若线段OP的紧覆盖的边长为2，求点P的坐标．（3）如图2，直线y=3x+3与x轴，y轴分别交于A，B，①以O为圆心，r为半径的⊙O与线段AB有公共点，且由⊙O与线段AB组成的图形G的紧覆益的边长小于4，直接写出r的取值范围；②若在抛物线y=ax2+2ax-2（a≠0）上存在点C，使得△ABC的紧覆益的边长为3，直接写出a的取值范围．。
北京人大附中2018-2019学年九年级(下)开学数学试卷(解析版)
2018-2019学年北京人大附中九年级（下）开学数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（2分）一个几何体的展开图如图所示，这个几何体是（）A．正方体B．三棱锥C．四棱锥D．圆柱2．（2分）下列计算，正确的是（）A．a2﹣a＝a B．a2•a3＝a6C．a9÷a3＝a3D．（a3）2＝a6 3．（2分）如图，小明将几块六边形纸片分别减掉了一部分（虚线部分），得到了一个新多边形．若新多边形的内角和为540°，则对应的是下列哪个图形（）A．B．C．D．4．（2分）如果a+b＝2，那么的值是（）A．2B．4C．﹣2D．﹣45．（2分）在下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．（2分）数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果一定是正数的是（）A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|﹣b7．（2分）下面的统计图反映了我国2013年到2017年国内生产总值情况．（以上数据摘自国家统计局《中华人民共和国2017年国民经济和社会发展统计公报》，其中国内生产总值绝对数按现价计算，增长速度按不变价格计算）根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（）A．从2013﹣2016年，我国国内生产总值逐年下降B．从2013﹣2017年，我国国内生产总值的增长率逐年下降：C．从2013﹣2017年，我国国内生产总值的平均增长率约为6.7%D．计算同上年相比的增量，2017年我国国内生产总值的增量为近几年最多8．（2分）如图是一个无理数生成器的工作流程图，根据该流程图，下面说法①当输入值x为16时，输出值y为②当输出值y为时，输入值x为3或9③存在这样的正整数x，输入x之后，该生成器能够一直运行，但始终不能输出y值．④对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y．其中正确的是（）A．①②B．①③C．①④D．②③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）使分式有意义的x的取值范围是．10．（2分）如图，BD平分∠ABC，点E为BA上一点，EG∥BC交BD于点F．若∠1＝35°，则∠ABC的度数为．11．（2分）1月21日，2019年春运拉开了帷幕，2月3日腊月二十八当天，北京西站迎来春运高峰，单日发送旅客达到2622000人，将262000用科学记数法表示为．12．（2分）如图，DE分别是△ABC边AC，BC的中点，若△CDE的面积为2，则四边形ABED的面积为．13．（2分）春节假期，小陈驾车从珠海出发到香港，去时在港珠澳大桥上用了40分钟，返回时平均速度提高了25千米/小时，在港珠澳大桥上的用时比去时少了10分钟，求小陈去时的平均速度，设他去时驾车的平均速度为x千米/小时，则可列方程为．14．（2分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，若∠ACO＝40°，则∠B的度数为．15．（2分）图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱体铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度y（厘米）与注水时间x（分钟）之间的关系如图2所示．①图2中折线ABC表示槽中水的深度与注水时间之间的关系（选填“甲”或“乙”）；②点B的纵坐标表示的实际意义是．16．（2分）某水果公司以2.2元/千克的成本价购进10000kg苹果．公司想知道苹果的损坏率，从所有随机拙取若干进行统计，部分结果如表：（结果估计这批苹果损坏的概率为精确到0.1），据此，若公司希望这批苹果能获得利润23000元，则销售时（去掉损坏的苹果）售价应至少定为元/千克．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）17．（5分）计算：18．（5分）解不等式组19．（5分）下面是小星同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程：已知：如图，直线l和直线l外一点A求作：直线AP，使得AP∥l作法：如图①在直线l上任取一点B（AB与l不垂直），以点A为圆心，AB为半径作圆，与直线l交于点C．②连接AC，AB，延长BA到点D；③作∠DAC的平分线AP．所以直线AP就是所求作的直线根据小星同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（填推理的依据）∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（填推理的依据）∴∠DAC＝2∠ABC∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP∴∠DAP＝∠ABC∴AP∥l（填推理的依据）20．（5分）已知关于x的方程x2﹣6x+k+7＝0有两个不相等的实数根．（1）求k的取值范围；（2）当k为正整数时，求方程的根．21．（5分）如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，以AD，OD为邻边作平行四边形ADOE，连接BE．（1）求证：四边形AOBE是菱形；（2）若∠EAO+∠DCO＝180°，DC＝2，求四边形ADOE的面积．22．（6分）在美国职业篮球联赛（NBA）2018赛季常规赛结束后，某球迷为了比较A、B 两名球员的表现以反映球员的防守表现，篮板数既可以反映进攻表现，又可以反映防守表现．数据值越高，说明球员在该项上表现越好（1）在这两名球员整个常规赛季的比赛中总得分较高的一位是（填A或B）（2）根据统计图判断，这两位球员中，哪一位在常规赛季的防守表现更好，并说明理由；（3）两位球员所在的球队都进入了季后赛，该球迷为了进一步比较两人在季后赛前的状态，对两人常规赛季最后10场比赛的数据进行了分析，所得的数据如下：请根据上述数据，分别从得分和助攻两个角度比较A、B两位球员在季后赛前的表现．23．（5分）在平面直角坐标系xOy中，反比例函数（x＞0）的图象G经过点A（，4）．（1）求k的值：（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，点B的坐标为（﹣1，﹣1），点C的坐标为（0，t），点D的坐标为（t，0）（其中t＞0），直线BC，BD分别交图象G于点P，Q．将图象G在点P，Q之间的部分与线段BP，BQ围成的区域（不含边界）记为W①当点P恰好与A重合时，求出此时t的值和区域W内的整点个数：②若区域内恰好有5个整点，结合函数图象，直接写出t的取值范围．24．（6分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，过点D作⊙O的切线DN，且有DN∥AC．（1）求证：△ACD是等边三角形．（2）连接并延长CB，交DN于E，连接AE，交CD于点F，若⊙O的半径为2，求EF 的长．25．（6分）有这样一个问题如图1，在等边△ABC中，AB＝4，D为BC的中点，E，F分别是边AB，AC上的动点，且∠EDF＝60°，若BE+AF＝3，试求BE的长．爱钻研的小峰同学发现，可以通过几何与函数相结合的方法来解决这个问题，下面是他的探究思路，请帮他补充完整．（1）注意到△ABC为等边三角形，且∠EDF＝60°，可得∠BED＝∠CDF，于是可证△BED∽△CDF，进而可得，注意到D为BC中点，BD＝CD＝2，因此BE和CF 满足的等量关系为．（2）设BE＝x，AF＝y，则x的取值范围是．结合（1）可得y与x的函数关系为．（3）在平面直角坐标系xOy中，根据已有的经验画出y与x的函数图象，请在图2中完成画图．（4）回到原问题，要使BE+AF＝3，即为x+y＝3，利用（3）中的图象，通过测量，可以得到原问题的近似解为BE＝（精确到0.1）．问题的精确解，则可以通过解方程组求得．26．（6分）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+3（a≠0）（1）抛物线的对称轴为x＝．（2）若抛物线与x轴交于P，Q两点，且PQ＝4，①求抛物线的表达式；②将该抛物线在0≤x≤4间的部分记为图象G，将图象G在直线y＝t（上方的部分沿y＝t翻折，其余部分保持不变，得到个新函数的图象，记这个函数的最大值为M，最小值为m，若M﹣m≤6，求t的取值范围．27．（7分）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为BC边上一点（不与B，C重合），延长DC 到点E，使得CE＝CD，过点E作AB的平行线，与AC的延长线交于点F，直线FD与AB交于点G，设∠ABC＝α．对于一般的情况，如图1，（1）直接写出∠AFD＝．用含α的代式表示；（2）取AB的中点M，求证：DF＝2MG；对于α＝45°的特殊情况，如图2，（3）连接EG，若EG⊥AD，求的值．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，对于点A（a，b），若某函数在a﹣1≤x≤a+1内有定义，且对此范围内的任意x的值，对应的y都满足b﹣1≤y≤b+1，就称这个函数是点A的“限定函数”．（1）以下函数：①y＝﹣x②y＝③y＝2x2﹣1④y＝﹣（x﹣1）2原点O的限定函数是（填序号）；（2）如图1，点A（m，n）是函数y＝﹣上的动点，若函数y＝﹣是点A的限定函数”，求m的取值范围．（3）如图2，半圆为以O为圆心，为半径的圆在x轴上方的部分，在x轴负半轴上有一动点M，过M作半圆的切线，切点为P，点P关于y轴对称点为Q．将射线PM、劣弧、射线OQ在半圆外的部分组合成一个新函数的图象（图中实线），若这个函数是原点O的“限定函数”，写出tan∠MOP的取值范围．2018-2019学年北京人大附中九年级（下）开学数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【解答】解：由图可得，这个几何体是四棱锥，故选：C．2．【解答】解：A、a2﹣a，不能合并，故A错误；B、a2•a3＝a5，故B错误；C、a9÷a3＝a6，故C错误；D、（a3）2＝a6，故D正确；故选：D．3．【解答】解：设这个新多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得：n＝5，故选：C．4．【解答】解：当a+b＝2时，原式＝﹣＝＝＝a+b＝2，故选：A．5．【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项错误；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项正确；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项错误；D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；故选：B．6．【解答】解：数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，由它们的位置可得a＜0，a+b ＞0，b＞0且|a|＜|b|，则a﹣b＜0，ab＜0，|a|﹣b＜0，故运算结果一定是正数的是a+b．故选：A．7．【解答】解：A．从2013﹣2016年，我国国内生产总值逐年增长，此选项错误；B．∵7.8%＞7.3%＞6.9%＞6.7%，∴2013﹣2016年，我国国内生产总值的增长率逐年降低，但2016﹣2017年增长率上升，此选项错误；C．∵×（7.8%+7.3%+6.9%+6.7%+6.9%）＝7.12%，∴2013﹣2017年，我国国内生产总值的平均增长率约为7.12%，此选项错误；D．2016﹣2017年我国国内生产总值增长的最多，此选项正确．故选：D．8．【解答】解：①输入值x为16时，，，即，故①正确；②x的值不唯一．x＝3或x＝9或81等，故②不正确；③当x＝0，1时，始终输不出y值．因为0，1的算术平方根是0，1，一定是有理数；故③正确；④对于任意的正无理数y，都存在正整数x，使得输入x后能够输出y，如输入π2，故④不正确；故选：B．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．【解答】解：当分母x﹣1≠0，即x≠1时，分式有意义．故答案是：x≠1．10．【解答】解：∵EG∥BC，∠1＝35°，∴∠DBC＝35°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝70°．故答案为：70°11．【解答】解：将2622000用科学记数法表示为：2.622×106．故答案为：2.622×106．12．【解答】解：∵D、E分别是△ABC边AC，BC的中点，∴DE∥AB，DE＝AB，∴△CDE∽△CAB，∴＝（）2，即＝，解得，S△ABC＝8，∴四边形ABED的面积＝8﹣2＝6，故答案为：6．13．【解答】解：设他去时驾车的平均速度为x千米/小时，则返回时驾车的平均速度为（x+25）千米/小时，依题意，得：x＝（x+25）．故答案为：x＝（x+25）．14．【解答】解：连接OA，如图，∵∠ACO＝40°，OA＝OC，∴∠CAO＝∠ACO＝40°，∴∠AOC＝100°，∴∠B＝50°．故答案为：50°．15．【解答】解：①图2中折线ABC表示乙槽中水的深度与注水时间之间的关系；②点B的纵坐标表示的实际意义是乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平（或铁块的高度）；故答案为：乙；乙槽内液面恰好与圆柱形铁块顶端相平（或铁块的高度）；16．【解答】解：根据表中的损坏的频率，当实验次数的增多时，苹果损坏的频率越来越稳定在0.1左右，所以苹果的损坏概率为0.1．根据估计的概率可以知道，在10000千克苹果中完好苹果的质量为10000×0.9＝9000千克．设每千克苹果的销售价为x元，则应有9000x＝2.2×10000+23000，解得x＝5．答：出售苹果时每千克大约定价为5元可获利润23000元．故答案为：0.1，5．三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）17．【解答】解：原式＝2×+﹣1﹣2+1＝+﹣1﹣2+1＝0．18．【解答】解：∵解不等式①得：x≤3，解不等式②得：x＜1，∴不等式组的解集是x＜1．19．【解答】解：（1）如图所示，直线AP即为所求．（2）证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB（等边对等角），∵∠DAC是△ABC的外角，∴∠DAC＝∠ABC+∠ACB（三角形外角性质），∴∠DAC＝2∠ABC，∵AP平分∠DAC，∴∠DAC＝2∠DAP，∴∠DAP＝∠ABC，∴AP∥l（同位角相等，两直线平行），故答案为：（等边对等角），（三角形外角性质），（同位角相等，两直线平行）．20．【解答】解：（1）由已知得：△＝b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4（k+7）＝8﹣4k＞0，解得：k＜2．（2）∵k＜2，且k为正整数，∴k＝1．将k＝1代入到方程x2﹣6x+k+7＝0中，得x2﹣6x+8＝0，∵x2﹣6x+8＝（x﹣4）（x﹣2）＝0，解得：x1＝4，x2＝2．21．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴DO＝BO．∵四边形ADOE是平行四边形，∴AE∥DO，AE＝DO，AD∥OE．∴AE∥BO，AE＝BO，∴四边形AOBE是平行四边形．∵AD⊥AB，AD∥OE，∴AB⊥OE．∴四边形AOBE是菱形；（2）设AB与EO交点为M．∵AB∥CD，∴∠DCO＝∠BAO．∵四边形AOBE是菱形，∴∠EAO＝2∠BAO．∵∠EAO+∠DCO＝180°，∴∠BAO＝120°，∠EAM＝60°．又AM＝AB＝1，∴BM＝．∴EO＝2，∴△AEO面积为×2×1＝，∴四边形ADOE面积＝2．22．【解答】解：（1）从图中看到A球员的场均得分是7.5×28.1＝210.75分，B运动员是8.3×27.5＝225.5分，因此两名球员整个常规赛季的比赛中总得分较高的一位是B，故答案为：B．（2）防守情况看盖帽，抢断，篮板情况，从图中看到，A球员均场盖帽2.6大于B球员的0.9，A球员均场抢断1.5大于B球员均场抢断1.4，A球员均场篮板11.1大于B球员均场篮板8.6，综合比较A球员的防守明显好于B球员，因此A球员在常规赛季的防守表现更好．（3）从得分角度看，B球员的平均得分高于A球员的平均得分，但是从方差角度看，A 球员的平均得分比B球员稳定；从助攻角度看，B球员助攻得分远高于A球员，但从方差角度看，A球员助攻得分比B 球员稳定；因此，综合看，A球员得分和助攻的表现都很稳定，而B球员在季后赛前整体状况优于A 球员．23．【解答】解：（1）点A（，4）代入，∴k＝6，（2）①∵点P恰好与A重合，∴设AB直线解析式为y＝kx+b，将A（，4）和B（﹣1，﹣1）代入，，∴，∴y＝2x+1，点C（0，t）代入y＝2x+1，∴t＝1，∴D（1，0），设直线BD的解析式为y＝mx+n，将点B（﹣1，﹣1），D（1，0）代入，，∴，∴y＝x﹣，∵点（0，1），（1，3），（3，1）在W区域的边界上，∴区域W内的整点有5个；如图：②由①可知t＝1刚好有5个点，即点（0，0），（1.1），（2，1），（1，2），（2，2），当点（1，2）在直线BC上时，此时解析式为y＝x+，C（0，t）在y＝x+上，t＝，此时D（，0），BD的解析式为y＝x﹣，点（2，1）在BD直线上，∴t＝时，W区域内有3个整数点，∴＜t≤1时，区域内恰好有5个整点；24．【解答】（1）证明：连OD，并反向延长交AC于点G，∵DN是⊙O的切线，∴OD⊥DN，由切线的性质，可证∵DN∥AC，∴OG⊥AC，∴AD＝DC，∵CD⊥AB，∴AC＝AD，∴△ACD是等边三角形；（2）解：∵CD⊥AB，∠CAD＝60°，∴∠CAB＝30°，∴，∴，∴，BC＝2，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，由（1）知DG⊥AC，OD⊥DN，∴四边形GDCE是矩形，∴CE＝DG＝OG+OD＝1+2＝3，DE＝CG＝，∴＝，∵AC∥DE，∴△ACF∽△EDF，∴，设EF＝x，则AF＝，∴，解得x＝．25．【解答】解：（1）由△BED∽△CDF，可得，∵BD＝CD＝2，∴BE•CF＝4，故答案为BE•CF＝4．（2）由题意：1≤x≤4．∵由△BED∽△CDF，可得，∵BD＝CD＝2，BE＝x，CF＝4﹣y，∴x（4﹣y）＝4，∴y＝4﹣．故答案为1≤x≤4，y＝4﹣．（3）函数图象如图所示：（4）观察图象可知两个函数的交点P的横坐标约为1.6，故BE＝1.6故答案为1.6．26．【解答】解：（1）x＝﹣＝1，故答案是1；（2）①令y＝0，则x＝1±，则PQ＝2＝2，解得：a＝﹣1，故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+3；②图象翻折前后如下图所示，点M坐标为（1，4），则MS＝4﹣t，则点M′纵坐标为t﹣（4﹣t）＝2t﹣4，当点M′在点H上时，即2t﹣4≥﹣5，即：t≥，此时M＝t，m＝﹣5，t+5≤6，解得：t≤1，即：﹣≤t≤1；当点M′在点H下方时，t＜﹣，M＝t，m＝2t﹣4，则t﹣2t+4≤6，解得：t≥﹣2，即：﹣2≤t＜﹣；故：t的取值范围为即：﹣≤t≤1或﹣2≤t＜﹣．27．【解答】解：（1）∵AB∥EF∴∠ABC＝∠E＝α，∵CD＝CE，CF⊥DE∴DF＝EF，∴∠FDC＝∠E＝α∵CF⊥DE∴∠AFD＝90°﹣∠CDF＝90°﹣α故答案为：90°﹣α（2）设BG＝a，GM＝b，∴BM＝a+b，∵点M是AB中点，∴AM＝BM＝a+b，∴AG＝AM+GM＝a+b+b＝a+2b，∵DF＝EF∴∠E＝∠FDE，∵AB∥EF∴∠E＝∠B，∴∠B＝∠EDF＝∠GDB∴BG＝GD＝a，∵AC⊥BC∴∠A＝90°﹣∠B，∠DFC＝90°﹣∠EDF∴∠A＝∠DFC∴AG＝GF＝a+2b∴DF＝GF﹣GD＝2b，∴DF＝2GM，（3）由（2）可知：设BG＝GD＝a，GM＝b，则DF＝2b＝EF，AG＝a+2b＝GF，∵∠ABC＝45°∴∠GDB＝45°∴∠AGD＝90°＝∠BGD＝∠DFE∴BD＝a，DE＝2b，DC＝CE＝b，∠AGH+∠DGH＝90°，∵AH⊥GE∴∠GAH+∠AGH＝90°∴∠GAH＝∠DGH，且∠AHG＝∠DHG＝90°∴△AGH∽△GDH∴∵∠GAH＝∠DGH，∠AHG＝∠EFG＝90°∴△AGH∽△GEF∴∴∴∴a＝2b∴BC＝BD+CD＝a+b＝3b∴＝＝328．【解答】解：（1）原点O的限定函数满足的条件是：﹣1≤x≤1内有定义，且对此范围内的任意x的值，对应的y都满足﹣1≤y≤1，对于函数③y＝2x2﹣1，图象如下图1所示，满足﹣1≤x≤1内有定义，且对此范围内的任意x的值，对应的y都满足﹣1≤y≤1；同理函数①也满足条件；故答案是①③；（2）点A坐标（m，n），则m﹣1≤x≤m+1，n﹣1≤y≤n+1，①当点A在y轴右侧时，且m﹣1≥0，n＝﹣m2，由题意得：，其中n＝﹣m2，解得：，即m≤，此时m的值符合图中虚线所示的位置；②当点A在y轴左侧时，且m﹣1＜0，同理可得：m≥﹣，综合①②可得：﹣≤m≤；（3）如图2，用边长为2的正方形框定x、y的取值范围，交PM于点N交x轴于点K、H，交OQ于点S，此时的情况是临界点的情况．①射线PM部分的情况，在临界点时，KN＝1，设：OM＝x，则KM＝1﹣x，tan∠KMN＝＝＝tan∠PMO＝＝，解得：x＝，tan∠MOP＝＝；②射线OQ部分的情况，射线OQ为第一象限角平分线，则直线OQ与y轴的夹角为45°，则直线OP与y轴的夹角也为45°，故此时tan∠MOP＝1，故：≤tan∠MOP≤1．。
北京人大附中九年级(下)开学数学试卷含答案
开学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.下列说法正确的是（）A. 有理数都是有限小数B. 无理数都是无限不循环小数C. 的平方根是D. -27没有立方根2.-，，3.1415，-，这五个实数中，是无理数的有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个3.下列各数13，π，0，-4，（-3）2，-32，-|-3|，-（-3），3.14-π中有平方根的个数为（）A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个4.的平方根是（）A. 16B. ±16C. 4D. ±45.若-3，则的取值范围是( ).A.＞3 B. ≥3 C. ＜3 D. ≤36.三条直线两两相交于同一点时，对顶角有m对；交于不同三点时，对顶角有n对，则m与n的关系是（）A. m=nB. m＞nC. m＜nD. m+n=107.如图，能够判断AD∥BC的条件是（）A. ∠7=∠3B. ∠2=∠6C. ∠1=∠5D. ∠3=∠88.如果两个角的一边在同一条线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（）A. 相等B. 互补C. 相等且互补D. 相等或互补9.若a，b，c为同一平面内不同的三条直线，要使a∥b，则a，b，c应满足的条件是（）A. a⊥b，b⊥cB. a∥c，b⊥cC. a⊥c，b∥cD. a∥c，b∥c10.如图，数轴上表示1、的对应点分别为点A、点B．若点B关于点A的对称点为点C，则点C所表示的数是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共18.0分）11.计算：-=______；±=______．12.当1≤x＜5时，=______．13.如图，当直线AB，CD，EF都过点O，且EF⊥AB，OG平分∠EOD，∠AOC=28°，则∠GOF=______．14.已知+（y-1）2=0，则+的值为______．15.若的整数部分是a，小数部分是b，则2a-b=______．16.一个角的对顶角比它的领补角的3倍还大20°，则这个角的补角的度数为______．三、计算题（本大题共4小题，共28.0分）17.求下列各式中的x．（1）（4x-1）2=225；（2）+8x3=-11618.已知3既是x-1的平方根，也是x-2y+1的立方根，求x2-y2的平方根．19.已知A=是m+n+10的算术平方根，B=是4m+6n-1的立方根，求的值．20.已知a，b为实数，且=0，求a2017-b2018的值．四、解答题（本大题共4小题，共28.0分）21.用三角板分别过点A，B，C作线段BC，AC和AB所在直线的高线．22.画出△ABC向下平移5格再向右平移4格后的△A1B1C1．23.已知：如图，AB∥CD，AD∥BC．求证：∠A=∠C．证明：∵AB∥CD，（______）∴∠B+∠C=180°．（______）∵AD∥BC，（已知）∴∠A+∠B=180°．（______）∴∠A=∠C．（______）∠AED与∠C的关系为______，并证明你的结论．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A，有理数都是无限循环小数，故该选项错误；B，无理数都是无限不循环小数，故该选项正确；C，的平方根是±，故该选项错误；D，-27的立方根是-3，不是没有，故该选项错误；故选：B．此题可根据有理数和无理数的定义以及平方根和立方根的概念逐项分析即可．本题考查了有理数和无理数的定义以及平方根和立方根的概念，掌握各种概念是解决问题的关键．2.【答案】B【解析】解：无理数有，，共2个．故选：B．根据无理数的定义（包括①开方开不尽的根式，②含π的，③一些有规律的）判断即可．本题考查了对无理数的定义的理解，能判断一个数是否是无理数是解此题的关键．3.【答案】D【解析】【分析】此题主要考查了平方根的定义，比较简单，关键要细心．由于负数没有平方根，所以只要找出所给数中的非负数即可解决问题．【解答】解：∵13＞0，π＞0，0=0，-4＜0，（-3）2=9＞0，-32=-9＜0，-|-3|=-3＜0，-（-3）=3＞0，3.14-π＜0，∴有平方根的个数是13，π，0，（-3）2，-（-3），共5个．故选：D．4.【答案】D【解析】解：∵=16，∴16的平方根为：±4．故选：D．根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．此题主要考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根，得出=16是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】解：，即a-3≥0，解得a≥3；故选：B．根据题中条件可知a-3≥0，直接解答即可．本题主要考查二次根式的性质与化简，题中涉及使根式有意义的知识点，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：因为三条直线两两相交形成的对顶角的个数与是否交于同一点无关，所以m=n，故选：A．三条直线两两相交，每对相交的直线就会形成2对对顶角，这三条直线每两条都相交，相交直线的对数，与是否交于同一点无关，因而m=n．直线相交形成的对顶角的对数，只与有多少对直线相交有关．7.【答案】C【解析】解：∵∠1=∠5，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；故选：C．利用平行线的判定方法判定即可．此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键．8.【答案】D【解析】解：如果两个角的一边在同一条线上，另一边互相平行实际是两条平行线被第三条直线所截，得到同位角，内错角，同旁内角．由平行线的性质可得，各对同位角相等，各对内错角相等，相应的同旁内角的关系是互补．故选：D．此题需分情况进行讨论，当两个角同为锐角时或者一个锐角一个钝角时，都符合题中已知条件．本题需注意的知识点为：如果两个角的一边在同一条线上，另一边互相平行，那么这两个角是被平行线所截得的同位角，或内错角或是同旁内角．9.【答案】D【解析】解：A、a⊥b，a⊥c可判定b∥c，故此选项错误；B、a∥b，b⊥c可判定a⊥c，故此选项错误；C、a⊥c，b∥c可判定a⊥b，故此选项错误；D、根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行可得a∥b，故此选项正确；故选：D．根据在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行进行分析即可．此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握平行线的判定定理．10.【答案】C【解析】解：∵表示1、的对应点分别为点A、点B，∴AB=-1，∵点B关于点A的对称点为点C，∴CA=AB，∴点C的坐标为：1-（-1）=2-．故选：C．首先根据表示1、的对应点分别为点A、点B可以求出线段AB的长度，然后根据点B和点C关于点A对称，求出AC的长度，最后可以计算出点C的坐标．本题考查的知识点为：求数轴上两点间的距离就让右边的数减去左边的数．知道两点间的距离，求较小的数，就用较大的数减去两点间的距离．11.【答案】3 ±【解析】解：∵（-3）3=-27，∴-=-（-3）=3；∵（±）2=，∴±=±，故答案为3，．利用立方根和平方根的计算方法计算即可．本题考查了立方根和平方根的计算方法，属于基础题，比较简单．12.【答案】4【解析】解：∵1≤x＜5，∴x-1≥0，x-5＜0．故原式=（x-1）-（x-5）=x-1-x+5=4．根据x的取值范围，可判断出x-1和x-5的符号，然后再根据二次根式的性质和绝对值的性质进行化简．本题主要考查了二次根式及绝对值的化简．13.【答案】149°【解析】解：∵∠AOC=28°，∴∠DOB=28°，∵EF⊥AB，OG平分∠EOD，∴∠EOD=90°-28°=62°，∴∠GOD=31°，∴∠GOF=90°+28°+31°=149°，故答案为：149°．根据对顶角相等得出∠DOB，进而利用互余和角平分线的定义得出∠GOD的度数，进而解答即可．此题考查了角的计算，涉及的知识有：角平分线定义，垂直的定义，以及互余两角的性质，熟练掌握定义及性质是解本题的关键．14.【答案】0【解析】解：∵+（y-1）2=0，∴x+1=0，y-1=0，∴x-1，y=1．∴原式=-1+1=0．故答案为：0根据非负数和为0的性质定理求出x和y的值，然后将其值代入代数式就可以计算出结果了．本题是一道实数计算题，考查了非负数和为0的性质、开平方和开立方运算．15.【答案】24-【解析】解：∵8＜＜9，∴a=8，b=-8，∴2a-b=2×8-（-8）=24-．故答案为：24-．首先确定的范围，即可推出ab的值，把ab的值代入求出即可．考查了估算无理数的大小，解此题的关键是确定的范围．8＜＜9，得出a，b的值．16.【答案】40°【解析】解：设这个角为x，则它的对顶角为x，邻补角为180°-x，根据题意得x-3（180°-x）=20°，解得x=140°．故这个角的补角的度数为：180°-140°=40°．故答案为：40°．设这个角的度数为x，根据对顶角相等和互为邻补角的两个角的和等于180°分别表示出它的对顶角和邻补角，然后根据等量关系列出方程求解．本题考查互为邻补角的两个角等于180°和对顶角相等的性质，是需要熟记的内容．17.【答案】解：（1）∵（4x-1）2=225，∴4x-1=15或4x-1=-15，解得：x=4或x=-；（2）∵+8x3=-116，∴8x3=-116-9，即8x3=-125，∴x3=-，∴x=-．【解析】（1）先根据平方根的定义得出4x-1=±15，再分别求解可得；（2）先将x3的系数化为1，再根据立方根的定义计算可得．本题主要考查立方根和平方根，解题的关键是掌握立方根和平方根的定义计算可得．18.【答案】解：根据题意得，由①得：x=10，把x=10代入②得：y=-8，∴，∴x2-y2=102-（-8）2=36，∵36的平方根是±6，∴x2-y2的平方根是±6．【解析】根据题意得x-1=9，x-2y+1=27，再解方程组求得xy的值，代入即可得出答案．本题考查了平方根和立方根，是基础知识比较简单．19.【答案】解：根据题意得：，解得：，∴A==4，B==3，则=-1．【解析】利用平方根、立方根定义列出方程组，求出方程组的解得到m与n的值，确定出所求即可．此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．20.【答案】解：∵=0，∴+（1-b）=0，∵1-b≥0，∴1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，∴a2017-b2018=（-1）2017-12018=-1-1=-2．【解析】由已知条件得到+（1-b）=0，利用二次根式有意义的条件得到1-b≥0，再根据几个非负数和的性质得到1+a=0，1-b=0，解得a=-1，b=1，然后根据乘方的意义计算a2017-b2018的值．本题考查了非负数的性质：算术平方根具有非负性．非负数之和等于0时，各项都等于0利用此性质列方程解决求值问题．21.【答案】解：如图所示：【解析】根据三角形的高作图即可．本题考查了作图-基本作图．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质．22.【答案】解：如图所示：△A1B1C1，即为所求．【解析】直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案．此题主要考查了平移变换，正确得出对应点位置是解题关键．23.【答案】已知两直线平行，同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补同角的补角相等【解析】证明：∵AB∥CD，（已知）∴∠B+∠C=180°．（两直线平行，同旁内角互补）∵AD∥BC，（已知）∴∠A+∠B=180°．（两直线平行，同旁内角互补）∴∠A=∠C．（同角的补角相等）．根据平行线的性质，求得同旁内角∠B+∠C=180°、∠A+∠B=180°，然后利用同角的补角相等知∠A=∠C．本题考查了平行线的性质．①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁内角互补．24.【答案】相等【解析】解：∵∠1+∠AEF=180°，∴AC∥DG，∵∠2+∠AEF=180°，∴∠1=∠2，∴EF∥AB，∴∠AED=∠EDF，∠3=∠ADE，∵∠3=∠B，∴∠B=∠ADE，∴DE∥BC，∴∠AED=∠C，故答案为：相等根据平行线的判定方法和平行线的性质解答即可．本题考查了平行线的判定和性质，其区别和联系为：区别：性质由形到数，用于推导角的关系并计算；判定由数到形，用于判定两直线平行；联系：性质与判定的已知和结论正好相反，都是角的关系与平行线相关．。
2018-2019学年北京人大附中九年级(下)月考数学试卷(4月份)解析版
2018-2019学年北京人大附中九年级（下）月考数学试卷（4月份）一、选择题（本题共16分，每小题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个.1．（2分）北京是首批国家历史文化名城和世界上拥有世界文化遗产数最多的城市，三千多年的历史孕育了众多名胜古迹，让每一个中国人为之骄傲．如图是一些北京名胜古迹的标志，其中不属于轴对称图形的是（）A．天坛B．圆明园C．颐和园D．天安门【分析】根据轴对称图形的概念判断即可．【解答】解：A、C、D中的图形都是轴对称图形，B中图形本是轴对称图形，故选：B．【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2．（2分）2015年9月14日，通过位于美国的两个LIGO探测器，人类第一次探测到了引力波的存在，这次引力波的信号显著性极其大，探测结果只有三百五十万分之一的误差．三百五十万分之一约为0.0000002857．将0.0000002857用科学记数法表示应为（）A．2.857×10﹣7B．2.857×10﹣6C．0.2857×10﹣6D．2.857×10﹣8【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：0.0000002857＝2.857×10﹣7．故选：A．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．3．（2分）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据高线的定义即可得出结论．【解答】解：A、B、C均不是高线．故选：D．【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．4．（2分）如图，数轴上A，B两点的位置如图所示，则下列说法中，能判断原点一定位于A、B之间的是（）A．a+b＞0B．ab＜0C．|a|＞|b|D．a、b互为倒数【分析】由题意可知，a＜0＜b，根据实数的乘法法判断即可．【解答】解：A、a+b＞0，原点可能位于A、B之间，原点也可能位于A的左边，故本选项错误；B、∵ab＜0，∴a与b异号，原点一定位于A、B之间，故本选项正确；C、|a|＞|b|，原点可能位于A、B之间，原点也可能位于B的左右边，故本选项错误；D、∵a＜0＜b|，∴a，b不是互为倒数，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了实数与数轴：数轴上的点与实数一一对应；数轴上原点左边的点表示负数，右边的点表示正数；右边的点表示的数比左边的点表示的数要大．5．（2分）如图，在正方形网格中，记∠ABD＝α，∠DEF＝β，∠CGH＝γ，则（）A．α＜β＜γB．α＜γ＜βC．β＜α＜γD．β＜γ＜α【分析】根据题意和图得出：∠DGC＝∠DCG＝45°，∠HGF＝∠GHF∠＝45°，再根据∠DGC+∠HGF+γ＝180°，从而得出γ＝90°，然后结合图观察出α＞90°，β＜90°，最后比较大小即可．【解答】解：由题意知：∠DGC＝∠DCG＝45°，同理∠HGF＝∠GHF∠＝45°，又∵∠DGC+∠HGF+γ＝180°，∴γ＝90°，由图可知α＞90°，β＜90°，∴β＜γ＜α，故选：D．【点评】本题考查了角的大小比较，解题的关键是求出γ角的度数，然后再比较大小就容易了．6．（2分）清明假期将至，小罗一家计划自驾车去某地踏青，手机导航系统推荐了两条线路，线路一全程75km，线路二全程90km，汽车在线路二上行驶的平均时速是线路一上车速的1.8倍，线路二的用时预计比线路一用时少30分钟，如果设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则下面所列方程正确的是（）A．＝+30B．＝+C．＝﹣30D．＝﹣【分析】设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，根据线路二的用时预计比线路一用时少30分钟，列方程即可．【解答】解：设汽车在线路一上行驶的平均速度为xkm/h，则在线路二上行驶的平均速度为1.8xkm/h，由题意得：＝+．故选：B．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是，读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．7．（2分）“一带一路”倡议提出五年多来，交通、通信、能源等各项相关建设取得积极进展，也为增进各国民众福祉提供了新的发展机遇，如图是2017年“一带一路”沿线部分国家的通信设施现状统计图．根据统计图提供的信息，下列推断合理的是（）A．互联网服务器拥有个数最多的国家是阿联酋B．宽带用户普及率的中位数是11.05%C．有8个国家的电话普及率能够达到平均每人1部D．只有俄罗斯的三项指标均超过了相应的中位数【分析】互联网服务器个数最多的是俄罗斯，故A选项是不正确的，宽带用户普及率的中位数是（10.4%+11.5%）÷2＝10.95%，故B选项不正确，俄罗斯的电话普及率处于第5名，与马来西亚的电话普及率的平均数是中位数，故D不正确，因此只有C事正确的．【解答】解：互联网服务器个数最多的是俄罗斯，故A选项是不正确的，宽带用户普及率的中位数是（10.4%+11.5%）÷2＝10.95%，故B选项不正确，俄罗斯的电话普及率处于第5名，与马来西亚的电话普及率的平均数是中位数，故D不正确，故选：C．【点评】考查统计图表的识图能力，中位数、平均数的意义，通过复杂的统计图中获取有用的数据是做出判断的前提．8．（2分）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而发生较大变化，其体温（℃）与时间（小时）之间的关系如图1所示．小清同学根据图1绘制了图2，则图2中的变量y最有可能表示的是（）A．骆驼在t时刻的体温与0时体温的绝对差（即差的绝对值）B．骆驼从0时到t时刻之间的最高体温与当日最低体温的差C．骆驼在t时刻的体温与当日平均体温的绝对差D．骆驼从0时到t时刻之间的体温最大值与最小值的差【分析】根据时间和体温的变化，将时间分为3段：0﹣4，4﹣8，8﹣16，16﹣24，分别观察每段中的温差，由此即可求出答案．【解答】解：从0时到4时，温差随时间的增大而增大，在4时达到最大，是2℃；再到8时，这段时间的最高温度是37℃，最低是35℃，温差不变，从8时开始，最高温度变大，最低温度不变是35℃，温差变大，达到3℃，从16时开始体温下降，温差不变．即变量y最有可能表示的是骆驼从0时到t时刻之间的体温最大值与最小值的差．故选：D．【点评】考查了函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．理解本题中温差的含义是解决本题的关键．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．（2分）函数y＝中自变量x的取值范围是x≥﹣2．【分析】根据自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式．根据二次根式的意义，被开方数是非负数．【解答】解：根据题意得：2x+4≥0，解得x≥﹣2．故答案为x≥﹣2．【点评】本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．10．（2分）如图是某个几何体的三视图，请写出这个几何体的名称是圆锥．【分析】由主视图和左视图确定是柱体，锥体还是球体，再由俯视图确定具体形状．【解答】解：主视图和左视图都是等腰三角形，那么此几何体为锥体，由俯视图为圆，可得此几何体为圆锥．故答案为：圆锥．【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．11．（2分）已知y是x的函数，且满足：①x的取值范围是全体实数，②y的取值范围是y ≥﹣1，③在x＞1时，y随x的增大而增大．请写出一个符合条件的函数解析式y＝（x ﹣1）2﹣1（答案不唯一）．【分析】根据①可以排除该函数图象不是双曲线；根据②可以排除该函数图象不是直线；根据③可以得到该函数图象是抛物线且对称轴是x＝1、抛物线开口方向向上．【解答】解：由题意知，该函数属于二次函数，且图象的对称轴为x＝1，开口方向向上，所以符合条件的函数解析式可以是：y＝（x﹣1）2﹣1．故答案是：y＝（x﹣1）2﹣1（答案不唯一）．【点评】考查了反比例函数、一次函数、正比例函数以及二次函数的性质，根据题意得到该函数属于二次函数是解题的难点．12．（2分）如图，AB是⊙O的直径，C，D，E在⊙O上，若∠AED＝20°，则∠BCD的度数为110°．【分析】连接AC，根据圆周角定理，可分别求出∠ACB＝90°，∠ACD＝20°，即可求∠BCD的度数．【解答】解：连接AC，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠AED＝20°，∴∠ACD＝20°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝110°，故答案为：110°．【点评】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．13．（2分）“四个一”活动自2014年9月启动至今，已有数十万北京中小学生参观了天安门广场的升旗仪式．如图是利用平面直角坐标系画出的天安门广场周围的景点分布示意图．如果这个坐标系分别以正东、正北方向为x轴、y轴的正方向，表示美术馆的点的坐标为（2，4），表示中国国家博物馆的点的坐标为（1，﹣1），那么表示人民大会堂的点的坐标是（﹣1，﹣1）．【分析】根据美术馆的点的坐标为（2，4），表示中国国家博物馆的点的坐标为（1，﹣1）确定坐标原点的位置，然后建立坐标系，进而可确定人民大会堂的位置．【解答】解：如图所示：人民大会堂的点的坐标是（﹣1，﹣1），故答案为：（﹣1，﹣1）．【点评】此题主要考查了坐标确定位置，关键是正确建立坐标系．14．（2分）如果2a2+4a﹣1＝0，那么代数式的值是．【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式＝•＝﹣a（a+2）＝﹣a2﹣2a，∵2a2+4a﹣1＝0，∴a2+2a＝，∴原式＝﹣，故答案为：．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．15．（2分）图1中的三翼式旋转门在圆形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，图2是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图2中的数据，可知的长是m．【分析】首先根据题意，可得，然后根据圆的周长公式，求出直径是2m的圆的周长是多少；最后用直径是2m的圆的周长除以3，求出的长是多少即可．【解答】解：根据题意，可得，∴（m），即的长是m．故答案为：．【点评】此题主要考查了弧长的计算，以及圆的周长的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出，并求出直径是2m的圆的周长是多少．16．（2分）小夏同学从家到学校有A，B两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：据此估计，早高峰期间，乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为，若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐A（填A或B）线路．公交车用时频数公交车线路25≤t≤3030＜t≤3535＜t≤4040＜t≤45总计A59151166124500B4357149251500【分析】用“用时不超过35分钟”的人数除以总人数即可求得概率；【解答】解：∵乘坐B线路“用时不超过35分钟”的有43+57＝100人，∴乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为＝，∵A线路不超过40分钟的有59+151+166＝376人，B线路不超过40分钟的有43+57+149＝249人，∴选择A线路，故答案为：，A．【点评】考查了用频率估计概率的知识，能够读懂图是解答本题的关键，难度不大．三、解答题[本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22题6分，第23题5分，第24-26题，每小题5分，第27、28题，每小题5分）17．（5分）计算：．【分析】本题涉及零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值4个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果．【解答】解：原式＝1﹣3×+3﹣（2﹣），＝1﹣+3﹣2+，＝2．【点评】本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算．18．（5分）解不等式组：【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．【解答】解：∵解不等式①得：x＜1，解不等式②得：x≤3，∴不等式组的解集是x＜1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．19．（5分）已知关于x的一元二次方程mx2﹣3（m+1）x+2m+3＝0（1）如果该方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；（2）在（1）的条件下，当该方程的两个根都是整数，求正整数m的值．【分析】（1）由关于x的一元二次方程得到m不为0，根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，列出关于m的不等式，求出不等式的解集即可得到m的范围；（2）由△＝（m+3）2知x1＝，x2＝1，根据两个根都是整数即可确定出m的正整数值．【解答】解：（1）由题意m≠0，∵方程有两个不相等的实数根，∴△＞0，即[﹣3（m+1）]2﹣4m（2m+3）＝（m+3）2＞0，解得：m≠﹣3，则m的取值范围为m≠0和m≠﹣3；（2）∵△＝（m+3）2，∴x＝，∴x1＝，x2＝1，当x1＝是整数时，可得m＝1或m＝﹣1（舍）或m＝3，∴m＝1或m＝3．【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．20．（5分）下面是小如同学设计的“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：Rt△ABC，∠C＝90°求作：Rt△ABC的外接圆．作法：如图，①分别以点A和点B为圆心，大于AB的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；②作直线PQ，交AB于点O；③以O为圆心，OA为半径作⊙O．⊙O即为所求作的圆．根据小如同学设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：连接PA，PB，QA，QB，OC，∵由作图，PA＝PB，QA＝QB，∴PQ⊥AB且AO＝BO（线段的垂直平分线的定义）（填推理的依据）．∵∠ACB＝90°，∴OC＝AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）（填推理的依据）．∴OA＝OB＝OC，∴A，B，C三点在以O为圆心，AB为直径的圆上．∴⊙O为△ABC的外接圆．【分析】（1）根据要求作出图形即可．（2）利用直角三角形斜边中线的性质证明：OC＝OA＝OB即可．【解答】解：（1）补全图形如图所示．（2）连接PA，PB，QA，QB，OC，∵由作图，PA＝PB，QA＝QB，∴PQ⊥AB且AO＝BO（线段的垂直平分线的定义）．∵∠ACB＝90°，∴OC＝AB（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），∴OA＝OB＝OC，∴A，B，C三点在以O为圆心，AB为直径的圆上．∴⊙O为△ABC的外接圆．故答案为：线段的垂直平分线的定义，直角三角形斜边中线等于斜边的一半．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（5分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，过点A作BC的平行线，过点B作AD的平行线，两线交于点E．（1）求证：四边形ADBE是矩形；（2）连接DE，交AB于点O，若AC＝10，BE＝6，求sin∠AOD的值．【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出∠ADB＝90°，根据矩形的判定得出即可；（2）根据矩形的性质求出DO＝5，根据勾股定理求出CD，求出BD，再根据三角形的面积求出DF，即可求出答案．【解答】（1）证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∵AE∥BC，BE∥AD，∴四边形ADBE是矩形；（2）解：过D作DF⊥AB于F，∵AC＝10，AB＝AC，∴AB＝10，∵四边形ADBE是矩形，∴DE＝AB＝10，DO＝AO＝5，在Rt△ADC中，由勾股定理得：CD＝＝＝8，∵在△ABC中，AD是BC边的中线，∴BD＝CD＝8，＝＝，在Rt△ADB中，S△ADB6×8＝10×DF，解得：DF＝4.8，在Rt△DFO中，sin∠AOD＝＝＝．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的性质和判定，解直角三角形等知识点，能求出四边形ADBE是矩形是解此题的关键．22．（6分）在平面直角坐标系xOy，直线y＝x﹣1与y轴交于点A，与双曲线y＝交于点B（m，2）（1）求点B的坐标及k的值；（2）将直线AB平移，使它与x轴交于点C，与y轴交于点D，若△ABC的面积为6，求直线CD的表达式．【分析】（1）求出A的坐标，把B的坐标代入直线解析式得出M＝3，得出B的坐标，代入双曲线即可得出k的值；（2）由三角形的面积求出b的值即可．【解答】解：（1）把x＝0代入y＝x﹣1中得y＝﹣1，即A点坐标为（0，﹣1）B（m，2）在直线y＝x﹣1上，∴m＝3，B（3，2）在双曲线y＝上，∴2＝，解得k＝6；（2）设直线CD为y＝x+b，∵AB∥CD，∴S△ABC＝S△ABD＝AD•|xB|＝6，AD＝4＝|b+1|，x B＝3，∴|b+1|•3＝6得b+1＝4或b+1＝﹣4，∴b＝3或b＝﹣5，∴平移后的直线表达式为y＝x+3或y＝x﹣5．【点评】本题考查了待定系数求函数的解析式，正确求得B的坐标和b的值是关键．23．（5分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，以AC，CD为邻边作平行四边形ACDE，DE恰为⊙O的切线．（1）求证：四边形ACDE是菱形；（2）延长ED与AB交于点F，若BF＝2，求⊙O的直径．【分析】（1）证明AE⊥AB，得出AE是⊙O的切线，由切线的性质得出AE＝DE，即可得出四边形ACDE是菱形（2）连接AD、OD，由垂径定理得出，得出AD＝AC，由菱形的性质得出AC＝CD＝AD，△ACD是等边三角形，得出∠DAC＝60°，∠DAB＝30°，由等腰三角形的性质得出∠ODA＝∠DAB＝30°，求出∠DOF＝60°，由切线的性质得出∠ODF＝90°，得出∠F＝30°，由直角三角形的性质得出OD＝OF，得出OD＝OB＝BF＝2，求出AB ＝2OB＝4．【解答】（1）证明：∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE∥CD，∵CD⊥AB，∴AE⊥AB，∴AE是⊙O的切线，∵DE恰为⊙O的切线，∴AE＝DE，∴四边形ACDE是菱形；（2）解：连接AD、OD，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴，∴AD＝AC，∵四边形ACDE是菱形，∴AC＝CD，∴AC＝CD＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠DAC＝∠ADC＝60°，∠DAB＝30°，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOF＝30°+30°＝60°，∵DE为⊙O的切线，∴∠ODF＝90°，∴∠F＝30°，∴OD＝OF，∵OF＝OB+BF，∴OD＝OB＝BF＝2，∴AB＝2OB＝4；即⊙O的直径为4．【点评】本题考查了切线的性质与判定、垂径定理、菱形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；本题综合性强，熟练掌握切线的判定与性质是解题的关键．24．（6分）近日，某中学举办了一次以“弘扬传统文化”为主题的汉字听写比赛，初一和初二两个年级各有600名学生参加．为了更好地了解本次比赛成绩的分布情况，学校分别从两个年级随机抽取了若干名学生的成绩作为样本进行分析．下面是初二年级学生成绩样本的频数分布表和频数分布直方图（不完整，每组分数段中的分数包括最低分，不包括最高分）：初二学生样本成绩频数分布表分组/分频数频率50～6020.0560～7040.1070～8080.2080～90140.3590～100120.30合计40 1.00请根据所给信息，解答下列问题：（1）补全成绩频数分布表和频数分布直方图；（2）若初二学生成绩样本中80～90分段的具体成绩为：808081.58282.582.58384.58586.5878888.589①根据上述信息，估计初二学生成绩的中位数为82.75；②若初一学生样本成绩的中位数为80，甲同学在比赛中得到了82分，在他所在的年级中位居275名，根据上述信息推断甲同学所在年级为初一（选填“初一”或者“初二”）③若成绩在85分及以上均为“优秀”，请你根据抽取的样本数据，估计初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为270人．【分析】（1）频数4÷0.10×0.20＝8，频率1﹣0.10﹣0.20﹣0.35﹣0.30＝0.05；（2）中位数为（82.5+83）÷2＝82.75；（3）初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为．【解答】解：（1）频数4÷0.10×0.20＝8，40﹣2﹣4﹣8﹣14＝12，频数2÷40＝0.05，1﹣0.10﹣0.20﹣0.35﹣0，05＝0.30，频数分布直方图补全如下：故答案为8，0.05；（2）①根据初二年级学生成绩样本的和频数分布直方图可知，中位数20、21的平均数，落在80﹣90分∵80～90分段的具体成绩为：808081.58282.582.58384.58586.5878888.589，∴中位数为（82.5+83）÷2＝82.75故答案为82.75；②600名学生，中位数为第300、301的中位数，而甲同学在比赛中得到了82分，在他所在的年级中位居275名，初一学生样本成绩的中位数为80，82＞80，∴该同学为初一，故答案为：初一；③初二学生样本中，85分以上共有18人，初二年级学生中达到“优秀”的学生人数为×600＝270故答案为270．【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．25．（6分）如图1，长度为6千米的国道AB两侧有M，N两个城镇，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，连接点为C和D，其中A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，N、C之间的乡镇公路长度为2.3千米，M、D之间的乡镇公路长度为3.2千米．为了发展乡镇经济，方便两个城镇的物资输送，现需要在国道AB上修建一个物流基地T．设A、T之间的距离为x千米，物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米．以下是对函数y随自变量x的变化规律进行的探究，请补充完整．（1）通过取点、画图、测量，得到x与y的几组值，如下表：x/千米0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0y/千米10.58.5 6.5 6.58.510.512.5（2）如图2，建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置）答：C、D之间（含C、D两点）．②如图3，有四个城镇M、N、P、Q分别位于国道A﹣C﹣D﹣E﹣B两侧，从城镇到公路分别有乡镇公路连接，若要在国道上修建一个物流基地S，使得S沿公路到M、N、P、Q的距离之和最小，则物流基地T应该修建在何处？（写出所有满足条件的位置）答：点D处．【分析】（1）x＝2.0时，y＝NC+CD+DM；x＝4.0时，y＝NC+CD+DT+DT+DM，将相关线段的长代入即可得答案；（2）根据表格数据画出函数图象即可；（3）①由图形可知，若物流基地修建在C、D两点之外，则距离会大于NC+CD+DM，从而可得答案；②结合①的结论及图③分析可得答案．【解答】解：（1）∵A、C之间的距离为2千米，C、D之间的距离为1千米，A、T之间的距离为x千米，T沿公路到M、N两个城镇的距离之和为y千米∴当x＝2.0时，T位于点C，此时y＝NC+CD+DM＝2.3+1+3.2＝6.5（千米）；当x＝4.0时，y＝NC+CD+DT+DT+DM＝2.3+1+1+1+3.2＝8.5（千米）故答案为：6.5，8.5．（2）函数的图象如下：（3）①由图形可知，若物流基地修建在C、D两点之外，则距离会大于NC+CD+DM，故若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地T应该修建在C、D之间（含C、D两点）．故答案为：C、D之间（含C、D两点）．②由①可知，若要使物流基地T沿公路到M、N两个城镇的距离之和最小，物流基地T应该修建在C、D之间（含C、D两点），由图3可知，D、E段上离点P、Q的距离相等，再往E点以下距离之和一定变大；再往D点以上，到P、Q的距离之和会变大，故答案为：点D处．【点评】本题考查了一次函数在解决实际问题中的应用，数形结合进行分析，是解答本题的关键．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝mx2﹣2mx﹣2（m≠0）与y轴交于点A，其对称轴与x轴交于点B．（1）求点A，B的坐标；（2）设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；（3）若该抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，并且在2＜x＜3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式．【分析】（1）令x＝0求出y的值，即可得到点A的坐标，求出对称轴解析式，即可得到点B的坐标；（2）求出点A关于对称轴的对称点（2，﹣2），然后设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；（3）根据二次函数的对称性判断在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，然后判断出抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，代入直线l求出交点坐标，然后代入抛物线求出m的值即可得到抛物线解析式．【解答】解：（1）当x＝0时，y＝﹣2，∴A（0，﹣2），抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝1，∴B（1，0）；（2）易得A点关于对称轴直线x＝1的对称点A′（2，﹣2），则直线l经过A′、B，设直线l的解析式为y＝kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线l的解析式为y＝﹣2x+2；（3）∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴抛物线在2＜x＜3这一段与在﹣1＜x＜0这一段关于对称轴对称，结合图象可以观察到抛物线在﹣2＜x＜﹣1这一段位于直线l的上方，在﹣1＜x＜0这一段位于直线l的下方，∴抛物线与直线l的交点的横坐标为﹣1，当x＝﹣1时，y＝﹣2×（﹣1）+2＝4，所以，抛物线过点（﹣1，4），当x＝﹣1时，m+2m﹣2＝4，解得m＝2，∴抛物线的解析式为y＝2x2﹣4x﹣2．【点评】本题考查了二次函数的性质，一次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，第（3）小题较难，根据二次函数的对称性求出抛物线经过的点（﹣1，4）是解题的关键．27．（7分）如图，等边三角形ABC中，D为边BC上的一点，点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD，DE，在AD上取点F，使得∠EFD＝60°，射线EF与AC交于点G．（1）设∠BAD＝α，求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；（2）探究CG与DE之间的等量关系，并证明．【分析】（1）根据等边三角形的性质和三角形的内角和定理可得结论；（2）作辅助线，构建全等三角形，证明四边形EBPG是平行四边形，得BE＝PG，再证明△ABD≌△BCP（AAS），可得结论．【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵∠BAD＝α，∴∠FAG＝60°﹣α，∵∠AFG＝∠EFD＝60°，∴∠AGE＝180°﹣60°﹣（60°﹣α）＝60°+α；（2）结论：CG＝DE，理由：如图，连接BE，过B作BP∥EG，交AC于P，则∠BPC＝∠EGP，∵点D关于直线AB的对称点为点E，∴∠ABE＝∠ABD＝60°，∵∠C＝60°，∴∠EBD+∠C＝180°，∴EB∥GP，∴四边形EBPG是平行四边形，∴BE＝PG，∵∠DFG+∠C＝120°+60°＝180°，∴∠FGC+∠FDC＝180°，∴∠ADB＝∠BGP＝∠BPC，∵AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，∴△ABD≌△BCP（AAS），∴BD＝PC＝BE＝PG，∴CG＝2BD，在△BDE中，易知∠EBD＝120°，BE＝BD，∴DE＝BD，∴CG＝DE，【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，点P到封闭图形W的“极化距离”D（P，W）定义如下：任取图形W上一点Q，记PQ长度的最大值为M，最小值为m（若P与Q重合，则PQ＝0），则“极化距离”D（P，W）＝M﹣m．（1）如图1，正方形ABCD以原点O为中心，点A的坐标为（3，3），①点O到线段AB的“极化距离”D（O，AB）＝3﹣3；点E（﹣5，3）到线段AB的“极化距离”D（E，AB）＝6；②记正方形ABCD为图形W，点P在y轴上，且D（P，W）＝3，求点P的坐标；（2）图形W为圆心T在x轴上，半径为4的圆，直线y＝x+1与x轴，y轴分别交于F，G两点，若线段FG上的任一点P都满足2＜D（P，W）＜6，直接写出圆心T的横坐标t的取值范围．【分析】（1）①由题意得出M＝OB＝3，m＝3，即可得出点O到线段AB的“极化距离”；由题意可得点E，点A，点B三点共线，可得M＝AE＝8，m＝BE＝2，即可得点E （﹣5，3）到线段AB的“极化距离”；②分两种情况讨论，设点P（0，a），利用勾股定理可求M，由题意列出方程可求解；（2）分两种情况讨论，取特殊位置当t＝2时，当t＝0时，当t＝﹣2时，分别求解即。