浙江工商大学11-12微积分下B层期中试卷
微积分(下)期终模拟试卷(二)解答
14
的敛散性； 若收敛， 判断 ∑ ( −1) ( n + 2 − n + 1 ) 的敛散性 ； 若收敛， 指 3、
n n =1
∞
出是绝对收敛还是条件收敛。 出是绝对收敛还是条件收敛 。
B
） 。
xy （A） 4 4 y −x
x2 + y2 （C） 4 4 y −x
x y （B） 4 4 y −x x2 y2 （D） 4 4 x −y
10
2
2
∂z 且可导, 若 4、 z = ln ϕ ( xy) , 其中 ϕ ( xy) > 0 且可导, 则 = （ ∂x
D
。 ）
yϕ ′ ( xy ) x （A） ϕ ( xy ) yϕ ′ ( xy ) x （C） 2ϕ ( xy )
微积分( 微积分(下)期终模拟 试卷( 试卷(二) 解答
1
一、填空题(每小题2分,共20分) 填空题(每小题2 20分
设 1、 ∑ un = S ,则 lim un =
n =1 ∞
n→ ∞
0
,
∑ un+ 2 =
n =1
∞
S − u1 − u2 。
f (x) ；
d x 上连续, 若 2、 f ( x ) 在 [a , b] 上连续 , 则 ∫ a f ( x ) dx = dx
1 ) dx 原式 = 2 ∫ (e + 2 0 1+ x
1 x
= 2e
x 1 0
+ 2 arctan x 0
1
微积分试卷
三、计算题(每小题 8 分,共 48 分) 1. 求
1 1 2
x ln(1 x) dx . x2
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浙江工商大学《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：财经管理类(A 层)
2. 求
3
1 ( x 1)
4
x2 2x
dx .
z 2 z y 3. 设 z x 3 f ( xy , ) , f 具有二阶连续偏导数,求 , . x y y 2
浙江工商大学《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：财经管理类(A 层)
浙江工商大学 2012/2013 学年第二学期期末考试试卷
课程名称： 微积分(下)(A 层) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120 分钟 班级名称：
题号 分值 得分 阅卷人 一 15
学号：
二 15 三 42 四 18
姓名：
z z n x y
2. 设正项级数
an 收敛,证明级数
n 1
a
n 1
2 n
也收敛.
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浙江工商大学《微积分(下)》课程考试试卷，适用专业：财经管理类(A 层)
浙江工商大学 2010/2011 学年第二学期期末考试试卷
课程名称： 微积分(下)(A 层) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120 分钟 班级名称：
3. 设 z z ( x , y ) 是由方程 z 5 xz 4 yz 3 1 确定的隐函数,求
2z . xy ( 0, 0 )
4. 计算二重积分
ydxdy
D
,其中 D 是由直线 x 2 , y 0 , y 2 及曲线
x 2 y y 2 所围成的平面区域.
高等数学下11-12期中试题
法线方程为 x 1 y 2 z 3
9
4
2
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5 、曲面 x 2 y 2 z 2 1 的 名称是旋转 单叶双 曲面，它是 由 yoz 平面上的 曲线 44
y 2 z 2 1 绕 z 轴旋转而产生的。 4
6、已知 et2 , e t2 是微分方程 x 1 x 4t 2 x 0 的两个线性无关特解，则此方程的通 t
解为: x C1et2 C2et2 其中 C1 , C2 为任意常数。
得分
评卷人
三. 解答下列各题（本大题共 8 小题，每小题 6 分，总计 48 分 ）
1、已知点 A(3,1,6) 及点 B(1,5,2) ，试在 yoz 面上求点 P ，使 AP BP ，且
4、设 f (x, y) x2 ( y2 1) tan
x y
，求
f x (x,1) 。
解
(x x)2 x 2
f
x
( x,1)
lim
x0
x
2x
（10 分）
或 f x (x,1) 2x ( y 2 1) tan
x y
x
( x,1)
2x
或 f (x,1) x 2 , f x(x,1) 2x
原方程变为
D(D 1) y Dy 9 y 0 即 D2 y 9y 0
(2 分)
即d2y 9y 0 dt 2
(1)
( 5 分)
这是常系数线性方程,其特征方程为: r 2 9 0 所以, r 3,3
所以方程(1)的通解为: y C1e3t C2e3t , 将 t ln x 代入,得欧拉方程的通解为:
第二学期微积分B试卷A答案
第二学期微积分B试卷A答案北北京交通大学 2022-2022 学年第二学期分《微积分 B》》期末考试试卷(A) 考试方式：闭卷任课教师：学院_____________专业___________________班级____________学号 _______________姓名 _____________题号一一二二三三四四五五六六七七八八九九十十总分得分阅卷人请注意：本卷共十道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！一、题填空题（每题 3 分，共共 15 分）1、旋转曲面2 2z _ y 在点 1,2,5 处的法线方程为1 2 52 4 1_ y z2、设 L 为半圆2 2 2 ,0, _ y r _ 则2L_ y ds 32r .3、设是球面2 2 2 2_ y z a 被平面 0 z h h a 截出的顶部，则zdS 2 2a a h4、设21, 0,1 , 0_f __ _，则其以 2 为周期的傅里叶级数在 _处收敛于22 5、函数2u _y z 在点 1, 1,2 P 处的方向导数的最大值等于 21题二、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）1、函数 u _yz 在附加条件 1 1 1 10, 0, 0,0 _ y z a_ y z a下的极值等于A .(A) 327a ，（B）39a ，（C）33a ，（D）3a .2、设函数, f _ y 连续,则二次积分1sin2,_d_ f _ ydy等于 B . (A) 10 arcsin, ,ydy f _ yd_（B）10 arcsin,ydy f _ y d_（C）1 arcsin02, ,ydy f _ y d_（D）1 arcsin02, .ydy f _ y d_ 3 、设二元函数 , f _ y 在点 0,0 处的某邻域内有定义 , 且有2 2 00, 0,0lim 0,_yf _ y f_ y则下列结论不正确的是 D（A）, f _ y 在 0,0 处连续,（B）, f _ y 在 0,0 处偏导数存在, （C）, f _ y 在 0,0 处可微，（D）, f _ y 在 0,0 处沿某方向 l 的方向导数不存在.4、设级数211sin ,nn nn其中为常数,则下列结论正确的是 C(A)当为整数时,级数发散,（B）当为整数时,级数绝对收敛, (C）当为整数时,级数条件收敛,（D）当不为整数时,级数条件收敛.5、由抛物线2_ y 及直线 1 y 所围成的均匀薄片（面密度为）对于直线1 :y l 的转动惯量为lI C（A）Dd_dy _2) 1 ((B) Dd_dy _2) 1 ((C ) Dd_dy y2) 1 ((D) Dd_dy y2) 1 (三、、（（9 ）分）设 2 , z f _ y g _ _y ,其中 f t 二阶可导, , g u v 具有连续的二阶偏导数,求 dz 及2.z_ y解：" " "1 2" " " " "1 222 ,2 2 , ,2 2 , , , 2dz df _ y dg _ _yf _ y d_ dy g _ _y d_ g _ _y yd_ _dyf _ y g _ _y yg _ _y d_ _g _ _y f _ y dy" " "1 22“ ” " ;12 2 222 2 , ,2 2 , , ,zf _ y g _ _y yg _ _y_zf _ y _g _ _y g _ _y _yg _ _y_ y四、（9 分）计算二重积分Dd_dy y _ ) ( ，其中 } 2 ) , ( {2 2_ y _ y _ D .解：2cos202322420( )cos sin8coscossin316cos3D_ y d_dyd r r rdrdd五、（（9 分）设函数 6 ) , , ( z y _yz z_ _y z y _ f ，问在点 ) 0 , 4 , 3 ( P 处沿怎样的方向 l ， f 的变化率最大？并求其最大的变化率.解：3,4,03,4,0 1, 1, 1 3,2,6 f y z _ z _ y ，所以沿方向 3,2,6 l 的变化率最大。
微积分(下)期中试卷
浙江工商大学杭州商学院微积分(下)期中考试试卷课程名称： 微积分(下) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名： .一、填空题（每小题2分，共14分）1. =⎰∞+-0d e x x x . 2. =+⎰-222d sin 1cos ππx xx x . 3. 若)(x f 在],[b a 上连续, 则=⎰b x x x f x2d )(d d . 4. 设曲线k x y =(0,0>>x k )与直线1=y 及y 轴围成的图形面积为31，则=k . 5. =+-→→xy xy y x 42lim 00 . 6. 设x y y x z +=，则函数在)1,1(处的全微分为 .7. 设y x y y x y x f arcsin )1()2(),(22---=，则=∂∂)1,0(y f .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、)ln()1arcsin(1y x y z -+-=的定义域是（ ）. (A) 1|1|0<-<y 且 0>-y x(B) 1|1|≤-y 且 0>-y x (C) 0|1|≠-y 且 0>-y x (D) 1|1|0≤-<y 且 0>-y x2、x y 2=在]2,0[上的平均值是（ ）. (A) 2ln 2 (B) 2ln 23 (C) 2ln 23 (D) 2ln 3 3、下列广义积分收敛的是（ ）。
(A) x xd e 0 2⎰∞-- (B) ⎰∞+- 02d e x x (C) ⎰∞++ 1 d 11x x (D) ⎰-+01 d 11x x4、二元函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(222222y x y x y x xyy x f 在点)0,0(处 ( ) .(A) 连续，偏导数存在 (B) 不连续，偏导数存在(C) 连续，偏导数不存在 (D) 不连续，偏导数不存在5、),(y x xy f z -=，则=∂∂+∂∂y zx z（ ）.（A ）y fx f ∂∂+∂∂ （B ）)()(y x fxy f -∂∂+∂∂ （C ）)()(xy fy x ∂∂+（D ）0 三、计算题（每小题8分，共48分）1、计算 ⎰--11d 45x x x.2、计算 ⎰-20d cos 1πx x .3、已知)sin(e y x z +=, 求d z .4、已知 233=++yz z x ，求x z∂∂，y z∂∂.5、设,sin e y x u x -= 求yx u ∂∂∂2在点)1,2(π的值.6、设⎰-=220d e )(x t t x f ，求⎰-'322d )(x x f x .四、应用题（每小题8分，共16分）1、计算由曲线x y =2和2-=x y 所围平面图形的面积，并求此平面图形绕y 轴旋转所得旋转体的体积 .2、某厂需用单价分别为4元和3元的两种原料生产某种产品，当这两种原料的投入量分别为x 和y 时，该种产品的生产量为 y x z ln 4ln 2+=，试问现用10800元购买这两种原料，各购多少时可获得最大产量？五、证明题（本题7分）设)(x f 在]1,0[上连续，且1)(<x f ，证明：⎰--=xt t f x x F 0d )()12()(在)1,0(内有且只有一个零点。
11-12下概率统计试卷B及参考答案
杭州商学院2011/2012学年第二学期考试试卷(B)课程名称： 概率论与数理统计 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名： .一、单项选择题（每小题2分，共10分）1、设在一次试验中事件A 发生的概率为p ，现重复独立进行n 次试验，则事件A 至少发生一次的概率为（ ）。
（A ）n p -1（B ）n p（C ）n p )1(1--（D ）n p )1(-2、设A ，B 为两事件，则A －B 不等于（ ）。
（A ）B A（B ）B A（C ）AB A -（D ）B B A -)(3、如果随机变量X 与Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=,则下列式子正确的是（ ）。
（A ）X 与Y 相互独立 （B ）X 与Y 不相关 （C ）0=DY（D ）0=⋅DY DX4、设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则随机变量Y X 23-的方差是（ ）。
（A ）8（B ）16（C ）28 （D ）445、设总体)1,0(~N X ，n X X X ,,,21⋅⋅⋅为其样本，又S X ,分别为样本均值及样本标准差,则（ ）。
（A ）)1,0(~N X （B ）)1,0(~N X n （C ）)(~212n X ni i χ∑= （D ）)1(~-n t SX二、填空题（每小题2分，共16分）1、设B A ,为随机事件，7.0)(=A P ，3.0)(=-B A P ，则=)(AB P ________。
2、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知1)]2)(1[(=--X X E ，则=λ_______。
3、若随机变量X 的概率密度为)( e21)(4)3(2+∞<<-∞=+-x x f x π,则有=Y)1,0(~___________N 。
4、设随机变量X ,Y 的方差分别为25=DX ,36=DY ,相关系数4.0=XY ρ,则),(Y X Cov = 。
2011级《微积分B(二)》试卷A及解答
上海立信会计学院 2011～2012学年第二学期2011级本科《微积分B （二）》期终考试试题（A 卷）（本场考试属闭卷考试，禁止使用计算器，考试时间120分钟） 共4页班级________________学号________________姓名___________一、单项选择题（每题仅有一个答案正确）（共10分，每题2分）1.设函数)(x f 为连续偶函数，dt t f x F x ⎰=)()(，则=-)(x F （ ）（A ）0 （B ）)(x F （C ）)(x F - （D ）非零常数 【另附】设函数)(x f 为连续奇函数，dt t f x F x ⎰=)()(，则=-)(x F （ ）B（A ）0 （B ）)(x F （C ）)(x F - （D ）非零常数2.函数),(y x f 在点),(00y x 连续是),(y x f 在点),(00y x 偏导数存在的 （ ） (A)充分条件 (B)必要条件 (C) 充要条件 (D)无关条件3.函数22),(y x y x f -=在其定义域上 （ ） （A ）有极大值无极小值 （B ）无极大值有极小值 （C ）有极大值有极小值 （D ）无极大值无极小值【另附】函数xy y x f =),(在其定义域上（ ） D（A ）有极大值无极小值（B ）无极大值有极小值 （C ）有极大值有极小值（D ）无极大值无极小值4．微分方程02='+''y e y x 满足条件1)0(=y ，1)0(='y 的解是 （ ） （A ）)1(21+=x e y (B) )1(21+=-x e y (C) x e y --=2 (D) 12-=-x e y5．设级数∑∞=1n nu收敛，则下列级数中必定发散是 （ ）（A ）∑∞=-1)1(n n nu （B ）∑∞=12n nu （C ）∑∞=1||n n u （D ）∑∞=11n nuCDDCD二、填空题（每题3分，共15分） 1．设函数)(x f 在),0[∞+上连续，且402)(x dt t f x =⎰，则=)(x f x 22．设函数y e z x sin =，则=⎪⎪⎭⎫⎝⎛∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂22y z x z _____ x e 2 3．二重积分dy xyf dx x )(arctan 21011⎰⎰--在极坐标系中表示为_________rdr f d ⎰⎰100)(θθπ 4. 微分方程y x y ''='的通解为 221c x c y +=（R c c ∈21,）5. 级数∑∞=+1)2(1n n n 的和=S _________________ 43三、计算题(需要有解答过程)（每题6分，共60分）1．⎰+1614xx dx （令4xt =，4t x =，dt t dx 34=）2．⎰∞+++1252x x dx3．设)arctan(xy z =，求yx z∂∂∂2解：【另附】设)arctan(x y z =，求yx z ∂∂∂2解：222211y x y x y x y xz+-=⎪⎭⎫⎝⎛-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∂∂，22222222222)()(2)(y x x y y x y y y x y x z +-=+⋅-+-=∂∂∂ 4．设),(y x z z =由方程x zz y ln =所确定，求dz解：5．dxdy x yD⎰⎰+61，其中}10,0|),{(≤≤≤≤=x x y y x D6．dxdy y x D⎰⎰+22，其中}0,1|),{(22x y y x y x D ≤≤≤+=7．讨论级数n n nan∑∞=-)1(（0>a ）是绝对收敛，条件收敛，还是发散。
08期中试卷及解答_1_
浙江财经学院2008 ~~~2009 学年第 二 学期《 微积分B 下 》课程期中考试卷（ A 卷）一·讨论、简答题（20%）（要求有必要的解题步骤！）1．设,|sin |,||sin 22⎰⎰--==ππππdx x b dx x a|sin |2⎰-=ππxdx c 试通过计算，给出大小关系。
解 200sin sin 2;a xdx xdx ππ-=-=⎰⎰20sin sin sin 6;b xdx xdx xdx ππππ-=-+-=⎰⎰⎰ 2|c o s |(1(1))2;c xππ-=-=---= .a c b =<∴2．设f (x )连续，且ttdx tx f sin )(1=⎰。
试求f (x )=？ 解 令u=tx , 则1001sin ()(),t tf tx dx f u du t t==⎰⎰()sin ()cos .tf u du t f t t =⇒=⎰∴3．1n n u ∞=∑收敛、1n n v ∞=∑发散，问∑∞=-1)(n n n v u 是否收敛？请简述理由。
解∑∞=-1)(n n nv u是发散的，因若∑∞=-1)(n n n v u收敛, 则由已知1nn u∞=∑收敛, 故[]11(),.nn n n n n uu v v ∞∞==--=∑∑也收敛与己知矛盾4．确定k 的范围，以便广义积分⎰∞ekx x dx)(ln 收敛。
解(ln )(ln )(ln )k k ee dx d x x x x ∞∞=⎰⎰ 11(ln ),1,1ln(ln ),1,k ee x k kx k +∞-+∞⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩1,1,1,1,,1,k k k k ⎧>⎪-⎪⎪=⎨⎪+∞<⎪+∞=⎪⎩ 1,1.(ln )kedxk k x x ∞>≤⎰当时收敛当时发散∴5．若p >0,讨论级数∑∞=+-11)1(n n nnp何时绝对收敛、条件收敛、发散。
浙江工商大学11-12微积分下a层期中试卷答案
浙江工商大学2011/2012学年第二学期期中考试试卷一、填空题(每小题2分,共20分)21x +{}22(,)02,D x y y y x y=<≤-≤≤; 3.4;4.[1sin ][1sin ]xy xy xy xyye e dx xe e dy +++; 5.3210(,)yydyf x y dx -⎰⎰; 6.2x +;7.2()()()x xf xy xg y y ''⋅+⋅-; 8.I K J <<; 9.6; 10.小. 二、单项选择题(每小题2分,共10分)1.D;2.A;3. C;4.B; 5 D.三、计算题(1)(每小题5分,共20分)1. 设021()1,01x x x f x x e ≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩，计算51(1)f x dx --⎰解:54041220(1)1()=()+()f x dxt x f t dt f t dt f t dt ----=-⎰⎰⎰⎰ 04201=+121x dx dx e x -++⎰ 其中:0022201ln(1)ln(1)ln 2211x x x x e dx dx e e e e -----==-+=+--++⎰⎰ 420120212621t dxt x dt x -=+=+ 所以,51(1)f x dx --=⎰220ln(1)ln 26e +-+2. 确定,,a b c 的值，使得30sin lim ,(0)ln(1)x x bax xc c t dt t →-=≠+⎰解: 300sin lim ,(0),lim(sin )0ln(1)x x x bax xc c ax x t dt t →→-=≠-=+⎰ 30ln(1)lim 0xx bt dt t →+∴=⎰因此0b =3230000sin cos cos limlim lim 0ln(1)ln(1)x x x x ax x a x a xc x x t dt x t →→→---===≠++⎰同理1a =，从而12c =3. 计算201x xyy e e I dx dy y =-⎰⎰ln2解:ln 11yxy y e I dydx y =-⎰⎰21ln ()01xy y y y e dy y =-⎰2ln 13(1)12y yy y e dy y =-=-⎰2 4. 已知(2,sin )z g x y y x =- ,g 具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂解:122cos zg g y x x ∂''=⋅+⋅∂2zx y∂∂∂1112212222[(1)sin ]cos [(1)sin ]cos g g x y x g g x g x '''''''''=⋅-+⋅+⋅-+⋅+⋅ 1112212222(2sin cos )sin cos cos g g x y x g g y x x g x '''''''''=-+⋅-⋅+⋅+⋅ 四、计算题(2)(每小题6分,共24分)1. 341(1)xdx x x -⎰ 解：3344211222arcsin 1()x d x xd x x =-⎰⎰22374)11442x π==或3342122(1)1x dx x t dt x x t =--⎰⎰ 2. 设2(,,)xu f x y z e yz ==其中(,)z z x y =由方程0x y z xyz +++=确定，求(0,1,1)ux∂-∂ 解：=10u f f f z x x y z x ∂∂∂∂∂⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂22x x z e yz e yz x ∂=+⋅∂0x y z xyz +++=两边对x 求偏导数：10z zyz xy x x∂∂+++=∂∂11z yz x xy ∂+⇒=-∂+ 22x x ue yz e yz x∂∴=+⋅∂1()1yz xy +-+ (0,1,1)ux∂-∂=1 3. 计算,Dx y dxdy -⎰⎰其中积分区域是221x y +≤在第一象限的部分解：{}{}222212(,)1,,(,)1,D x y x y y x D x y x y y x =+≤≤=+≤>12()()DD D x y dxdy x y dxdy y x dxdy -=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰2222110)()y x yxx y dx dxy x dy --=-+-⎰⎰2(21)3=4. 计算0()aI f x dx =⎰，其中(2)()a xy a y f x edy --=⎰解：00()()()0aaa I f x dx f x x xf x dx '==-⎰⎰2200()a aa x xf x dx xe dx -'=-=⎰⎰21122a e =-五、应用题(每小题8分，共16分)1. 生产某种产品需要A,B,C 三种原料，而且产量与A,B,C 原料的用量x, y, z有以下关系：20.005Q x yz =，已知三种原料售价分别为1,2,3（万元），今用2400（万元）购买原料，问如何进料才能使产量最大？ 解:目标函数20.005Q x yz = 条件函数232400x y z ++=作拉格朗日函数：2(,,,)(232400)F x y z x yz x y z λλ=+++-令22202030232400xy x F xyz F x z F x y x y z λλλ⎧'=+=⎪⎪'=+=⎪⎨⎪'=+=⎪++=⎪⎩解得1200,300,200x y z ===（唯一驻点） 由问题的实际意义知1200,300,200x y z ===当时产量最大。
11-12空间解析几何A卷
浙江工商大学2011/2012学年第一学期考试试题(A 卷)课程名称：＿空间解析几何 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟 班级名称： 学号： 姓名：一、单项选择题(每小题3分,共15分) 1. 设三个向量,,a b c满足0a b c ++= ，那么a b ⨯=（ ）A ．b a ⨯ ；B ．c b ⨯ ；C ．b c ⨯ ；D ．a c ⨯. 2．直线,29,94x t y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=-⎩与平面3470x y z -+=的相关位置是（ ）A ．相交；B ．平行；C ．直线在平面上；D ．不能确定.3．在空间直角坐标系中，方程（ ）表示圆锥面A ．22y x z +=B ． 1)(322=+y xC ．1432222=-+zyxD ．)(3222y x z+=4．设曲面12:2222-=--p pzy x S , 若S 为旋转锥面，则p 的值为（ ）A ．1B ．1-C ．1±D ．2.5．方程14916222-=++-zyx表示的曲面是（ ）A 、单叶双曲面B 、双叶双曲面C 、椭圆抛物面D 、双曲抛物面 二、填空题(每小题3分,共15分)1．过三点：)6,5,4(),3,2,1(),0,0,0(B A O 的三角形OAB 的面积为 . 2．平面082=+-+z y x 与072=-++z y x 的夹角为 .3．曲线2222244,3812x z y z x z y z⎧++=⎨+-=⎩对xOy 坐标面射影的射影柱面方程为 . 4．点()1,2,3绕直线111123x y z ---==旋转所生成的圆的方程为 .5．直线族0112λλ-=-=-z y x （式中的λ为参数）所成的曲面方程为____________.三、(10分) 证明a ，b ，c 共面的充要条件是b c ⨯ ，c a ⨯ ，a b ⨯共面．四、(10分) 在空间选取适当的坐标系，求到两定点的距离之差为常数的点的轨迹方程，并指出为何图形。
杭商院微积分试卷
浙江工商大学杭州商学院2012/2013学年第二学期期终试卷(A)课程名称： 微积分(下) 考试方式： 闭卷 完成时限： 120分钟 班级名称： 学号： 姓名： .一、填空题（每小题2分，共16分）1、=+⎰-22d )cose (2ππx x x x. 2、设y x z =，则=∂∂)1,e (yz。
3、微分方程1d d -=-xyx y 的通解为 . 4、若级数∑∞=-1)1(n n u 收敛，则=∞→n n u lim 。
5、交换积分次序后，=⎰⎰x xy y x f x d ),(d 10。
6、幂级数 ∑∞=⋅-14)2(n nnn x 的收敛域为 。
7、已知1d )(1=⎰t t f ,D 为圆域122≤+y x , 则=+⎰⎰Dy x f σd )(22 .8、微分方程 054=+'-''y y y 的通解为 .二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、下列广义积分收敛的是（ ）. （A ）⎰∞+ 1d ln x x （B ）⎰∞+ 12d 1x x（C ）⎰∞+ 1 d 1x x （D ）⎰∞+ 1 d e x x2、设常数0>k ，则 ∑∞=+-12)1(n nnn k （ ）。
（A ）发散 （B ） 绝对收敛 （C ）条件收敛 （D ）收敛性与k 有关3、设)sin(2y x z +=, 则=∂∂22xz （ ）. （A ）)sin(2y x +- （B ）)cos(2y x +- （C ）)sin(2y x + （D ）)cos(2y x + 4、二重积分⎰⎰+Dy x σd 22，}2|),{(22x y x y x D ≤+=，在极坐标下的二次积分是（ ）. （A ）⎰⎰θπθcos 020d d r r（B ）⎰⎰θπθcos 2020d d r r（C ）⎰⎰-θππθcos 0222d d r r（D ）⎰⎰-θππθcos 20222d d r r5、微分方程x y y y e 423=+'-'' 的特解形式为（ ）. （A ）x Ax e（B ）x A e（C ）x A 2e （D ）x Ax e 2三、计算题(一)（每小题5分，共20分）1、计算积分⎰e1d ln x x x .2、设),(y x f z =由方程 z y x z ++=e 所确定，求z d 。
10微积分下期中试卷B
浙江财经学院2010~~~2011学年第二学期 《微积分下》课程期中考试试卷（（周一卷）年级、专业： 考试日期：2011年 4 月 日（共 大题）一．填空题（8⨯3分）1．若11(2)n nu ∞=+∑收敛(0)n u ≠，则lim n n u →∞= -1/2 。
2． 当α满足 0 <α <1 时，111(1)n n n α-∞=-∑绝对收敛。
3． 22cos x x x t dt →＝0cos 4lim 2/2cos lim cos lim42/302/1400202==⋅=→-→→⎰x x x xx xdt t x x x x 。
4. 22sin()x d x t dt dx -=⎰2202022)2sin(sin )(sin t du u dxd t x u duu dxd t t -=-=-=⎰⎰--。
5.2222x xdx x -+=+⎰3ln )]2[ln(222||202202222=+=+=+⎰⎰-x dx x x dx x x 6．6620sin cos sin cos 8x xdx x x π-=++⎰ 0 （令x=π/2-u ，则I=-I ） 。
7．当p 满足 1/3<p<2/3 时，广义积分1311p dx x-⎰收敛。
8. 3123ln 1xdx x =+⎰ 0 )(,t a nln arctan ln 1ln 233/133/12πβαβα=+===+⎰⎰⎰I du u x d x dx x xI dz z dz z z d z I -=-==--=⎰⎰⎰βαβααβππtan ln cot ln )2()2tan(ln二．解答题1..判别下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛（4⨯6分）1arctan (1) (ln10)nn nx ∞=∑ 111(2)(1)ln(1)n n n n ∞-=--+∑ n n nn v nx u 2)10(ln 12)10(ln arctan ||ππ=⋅≤=设)1ln()(+-=n n n f∑∑=nn v )10(ln 1是几何级数， )1(01111)(≥>+=+-='n n nn n f 公比1||,10ln 1<=q q ，∑∴n v 收敛 )(n f 单调递增，)(1||n f u n =递减 由比较判别法知：||∑nu收敛且)1ln(1lim ||lim +-=∞→∞→n n u n n n 所以，∑∑=nn nxu )10(ln arctan 绝对收敛。
浙江工商大学11-12微积分下B层期中试卷答案
浙江工商大学2011/2012学年第二学期期中考试试卷一、填空题(每小题2分,共20分)1.x; 2.{}22(,)02,D x y y y x y=<≤-≤≤; 3.4;4.[1sin ][1sin ]xy xy xy xyye e dx xe e dy +++; 5.3210(,)ydyf x y dx -⎰; 6.2x +;7.2()()()x xf xy xg y y''⋅+⋅-; 8.I K J <<; 9.6; 10.小. 二、单项选择题(每小题2分,共10分)1.D;2.A;3. C;4.B; 5 D.三、计算题(1)(每小题5分,共20分)1.设0()1,01x x f x x e≥=⎪<⎪+⎩，计算51(1)f x dx --⎰解:54041220(1)1()=()+()f x dxt x f t dt f t dt f t dt ----=-⎰⎰⎰⎰04201=+1x dx e -+⎰ 其中:0022201ln(1)ln(1)ln 2211x x x xe dx dx e e e e -----==-+=+--++⎰⎰42012026t dt -=所以,51(1)f x dx --=⎰220ln(1)ln 26e +-+2. 确定,,a b c 的值，使得30sin lim ,(0)ln(1)x x bax xc c t dt t →-=≠+⎰ 解: 300sin lim ,(0),lim(sin )0ln(1)x x x bax xc c ax x t dt t →→-=≠-=+⎰ 30ln(1)lim 0xx bt dt t →+∴=⎰因此0b =3230000sin cos cos limlim lim 0ln(1)ln(1)x x x x ax x a x a xc x x t dt x t →→→---===≠++⎰同理1a =，从而12c =3. 计算340sec d I x x π=⎰解: 340sec d I x x π=⎰40sec dtg x x π=⎰sec tg 40x x π=-240sec (sec 1)d x x x π-⎰=sec tg 40x x π=-340sec d x x π⎰+40sec d x x π⎰34011sec d 1)]22I x x π==⎰4. 已知(2,sin )z g x y y x =- ,g 具有二阶连续偏导数，求2z x y∂∂∂解:122cos zg g y x x ∂''=⋅+⋅∂2zx y∂∂∂1112212222[(1)sin ]cos [(1)sin ]cos g g x y x g g x g x '''''''''=⋅-+⋅+⋅-+⋅+⋅ 1112212222(2sin cos )sin cos cos g g x y x g g y x x g x '''''''''=-+⋅-⋅+⋅+⋅ 四、计算题(2)(每小题6分,共24分)1.34解：3344122arcsin =⎰22374(arcsin 11442π==或2. 设2(,,)x u f x y z e yz ==其中(,)z z x y =由方程0x y z xyz +++=确定，求(0,1,1)ux∂-∂ 解：=10u f f f zx x y z x∂∂∂∂∂⋅+⋅+⋅∂∂∂∂∂22x x z e yz e yz x ∂=+⋅∂0x y z xyz +++=两边对x 求偏导数： 10z z yz xy x x ∂∂+++=∂∂11z yz x xy ∂+⇒=-∂+ 22x x u e yz e yz x ∂∴=+⋅∂1()1yz xy +-+ (0,1,1)ux∂-∂=1 3.讨论00ln(1)lim x y xy x x y →→++是否存在？解：00ln(1)lim x y xy xx y →→++200lim x y x y x y →→=+=3013lim 033x y x xxααααα-→=--=⎧⎪=<⎨⎪∞>⎩,故极限不存在 4. 计算0()aI f x dx =⎰，其中(2)0()a xy a y f x e dy --=⎰解：00()()()0aaaI f x dx f x x xf x dx '==-⎰⎰2200()aaax xf x dx xe dx -'=-=⎰⎰21122a e =-五、应用题(每小题8分，共16分)1. 生产某种产品需要A,B,C 三种原料，而且产量与A,B,C 原料的用量x, y, z有以下关系：20.005Q x yz =，已知三种原料售价分别为1,2,3（万元），今用2400（万元）购买原料，问如何进料才能使产量最大？ 解:目标函数20.005Q x yz = 条件函数232400x y z ++= 作拉格朗日函数：2(,,,)(232400)F x y z x yz x y z λλ=+++-令22202030232400xy x F xyz F x z F x y x y z λλλ⎧'=+=⎪⎪'=+=⎪⎨⎪'=+=⎪++=⎪⎩解得1200,300,200x y z ===（唯一驻点） 由问题的实际意义知1200,300,200x y z ===当时产量最大。
微积分(下)期中考试卷 (含答案)
一、填空题（每题 3 分，共 24 分）
1．已知 A(1, 1, 2) 和 B (2, 2,1) ，则向量 AB 的模=_____________ 11
2．过点 (1, 2,3) 且与平面 x 2 y z 4 0 垂直的直线方程为______
x 1 y 2 z 3 1 2 1
x
2
10 分
解：
x
G
2
y 2 dxdy dx
1 0
1 x
0
y 2 dy
…..5 分 …..10 分
1 ． 6
6．计算二重积分
D
x2 dxdy ，其中 D 由 y 2 ， y x ， xy 1 围成． y2
解：由方程组
2 2 y x xy 1 x2 知 y 1 ．于是得 2 dxdy dy 1 2 dx 1 y y y yx D
y ______________ x 2y
6．已知向量 a 4, 3, 4 ，则与它同方向的单位向量为_________ 0 4 3 4 a , , 41 41 41
7 ．设函数 f ( x, y ) 2 x 2 ax xy 2 2 y 在点 (1, 1) 取得极值，则常数 a
2 1 0
xy2 x ．
解： xy dxdy = dx
2 D 0
1
2 x x
xy dy
2 7 5 x 2 dx 3 3
2．已知 z ln(2 x y ) ，求
解： z 2 x 2 x y 2 z 2 2 xy 2x y
3. 设z
…..5 分 …..10 分
浙江工商大学大二微积分期中试卷及解答
浙江工商大学20XX-20XX 学年《微积分》（上）期中试卷及解答班级：_________学号：_________姓名：_________成绩_________一、填空题（每小题3分，共15分）1、设21)(x x x f +=，则=)]([x f f 221x x +。
2、设⎩⎨⎧≤<≤≤=21,210,1)(x x x f ，则)2(x f 的定义域为]1,0[。
3、=∞→2arctan lim x xx 0。
4、x xx f tan )(=的间断点是Z k kx ∈= ,2π。
5、设x xx x f --+=11)(，则当补充定义=)0(f 1时，)(x f 在0=x 处连续。
二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、已知),()(),(+∞-∞在x g x f 上有定义，则（ ）必是奇函数。
（A ）)()()()(x g x g x f x f -++-+ (B) )()()()(x g x g x f x f -+---（C ）)()()()(x g x g x f x f ----+ （D ）)()()()(x g x g x f x f -----2、下列命题中，正确的是（ ）。
（A ）无界数列必发散 （B ）有界数列必收敛（C ）发散数列必无界 （D ）收敛数列的极限不一定惟一3、设)(lim 0x f x x →存在，则)(x f 在点0x 处( )。
（A ）必有定义 （B ）必有定义，但与极限值无关（C ）可以没有定义 （D ）函数值必须等于极限值4、当0→x 时，下列无穷小中与x 不等价的是( )。
（A ）1-x e （B ）x tan （C ）11-+x （D ）)1ln(x +5、设函数)(x f 可导，且1)()2(lim 000=∆-∆-→∆x x f x x f x ，则=')(0x f （ ）。
（A ）1- （B ）1 （C ）21- （D ）2三、计算题（每小题7分，共49分）1、设2ln )1(222-=-x x x f ，且x x f ln )]([=ϕ，求)(x ϕ。
浙江工商大学11-12(2)微积分(下)A层期中考试试卷解答
浙江工商大学2011/2012学年第二学期期中考试试卷解答一、填空题(每小题2分,共20分)1.设y y x x y f 22+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛(0>x ,0>y ),则=)(x f 0,12>+x xx . 解 由11122+⎟⎠⎞⎜⎝⎛=+⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛=⎟⎠⎞⎜⎝⎛x y y x x y f 知x x xx f 22111)(+=+=,0>x . 2.)1arcsin(arcsin2y yx z −+=的定义域是},20|),{(22y x y y y x ≤≤−≤<. 解 欲使函数有意义,必须⎪⎩⎪⎨⎧≤−≤−≠≤≤−1110,1122y y y x ,即.⎩⎨⎧≤<≤≤−2022y y x y 3.定积分的值是∫−+22||)d e |(|x x x x 4.解====. ∫−+22||)d e |(|x x x x ∫∫−−+22||22d e d ||x x x x x 0d 22+∫x x 22|x 44.设,则= xy xy z e cos e −=z d .解 ==,由变量x z y y xy xy xy ⋅⋅+⋅e e sin e )e sin 1(e xy xy y +y x ,的轮换性,知 =.y z )e sin 1(e xy xy x +所以 =z d y z x z y x d d +=. )d d )(e sin 1(e y x x y xy xy ++5.交换积分次序:∫∫∫∫−+3123010d ),(d d ),(d 2xx y y x f x y y x f x =∫∫−123d ),(d y yx y x f y .解 根据所给二次积分得名积分限画出积分区域:x31O1D 2D 2xy =23xy −=y故∫∫∫∫−+312301d ),(d d ),(d 2x x y y x f x y y x f x===∫∫∫∫+21d d ),(d d ),(D D y x y x f y x y x f ∫∫+21d d ),(D D y x y x f ∫∫−1023d ),(d yyx y x f y .6.已知,则=∫−=πd cos )()(x x x f x x f )(x f 2+x .解 设,则A x x x f =∫πd cos )(A x x f −=)(.A =====.∫−πd cos )(x x A x ∫−πdsin )(x A x ∫−−ππ00d sin |sin )(x x x A x π0|cos 0x +2−故2)2()(+=−−=x x x f . 7.已知⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛+=y x g xy f z )(,,f g 均可导,则y z∂∂=g y x f x ′−′2. 解y z ∂∂=2)()(y x y x g x xy f −⋅′+⋅′=g y x f x ′−′2. 8.设∫=4d sin ln πx x I ,∫=40d cot ln πx x J ,∫=40d cos ln πx x K ,则,I J ,K 的大小关系是J K I <<.解 由题设知反常积分、J 皆收敛.由定积分的几何意义知I 0<k ;由反常积分值的几何意义知0<I ,;而0>J I K J −=,故有J K I <<. 9.若0→x 时,是的同阶无穷小,则=∫−x x t t sin 0d tan n x n 6.解 由nx x x x tt ∫−→sin 0d tan lim=10)cos 1()sin tan(lim−→−⋅−n x nx x x x =10)cos 1()sin (lim−→−⋅−n x nx x x x =12302161lim −→⋅n x nx x x =c ≠0 知,即51=−n 6=n .10.点是函数的极)0,1()(2)(),(22222y x y x y x f −−+= 小 值点. 解 ,. x x y x f x 42)(222−⋅+=y y y x f y 42)(222+⋅+= 验证知0)0,1()0,1(==y x f f ,即是的驻点.)0,1(),(y x f 在点处,,)0,1(8|)4412()0,1()0,1(22=−+==y x f A xx )0,1(|8)0,1(xy f B xy ==0=,,因为,8|)4124()0,1()0,1(22=++==y x f C yy 02<−AC B 0>A ,所以是极小值点.)0,1(二、单项选择题(每小题2分,共10分)1.函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0 ,20 ,)(2sin ),(22222222y x y x y x y x y x f 在点处(). )0,0(D(A )无定义 ()无极限 ()有极限但不连续 ()连续 B C D 解 由)0,0(22sin lim )(2sin lim ),(lim022222200)0,0(),(f t tt y x y x y x f t y x y x y x ===++=+→→→→+知在点处连续. ),(y x f )0,0(2.若∫−=xt x t x x f 0d )sin(d d )(,则等于()(x f A ). (A ) ()x sin −B 1cos −x (C ) ()x sin D x sin 1−解∫∫−=−−0d sin d )sin(xx u u ux t tx t ,. x x u u x f x sin )1()sin(d sin )(0−=−⋅−−=′⎟⎠⎞⎜⎝⎛=∫−3.曲线,x y ln =a y ln =,(b y ln =b a <<0)以及轴所围成图形的面积为(y C ).(A )()(∫b ax x ln ln d ln B ∫b ax xe e d e C )()∫b ayy ln ln d e D ∫b ax x e e d ln 解 4.,由,∫∫=Dxy I σd D x y =22−=x y 所围,则化为二次积分后的结果是(). B O xyxy ln =aln bln A(A )(B ) ∫∫+=422d d y y y xy x I ∫∫−+=2122d d y y x xy y I (C )∫∫∫∫−−+=41210d d d d x x x xy xy x y xy x I(D )∫∫−+=2122d d y y y xy x I 解 Oxy1−2xy =22−=x y5.下列结论正确的是(). D (A )∫∞++1)1(d x x x与∫+10)1(d x x x都收敛 ()B ∫∞++1)1(d x x x与∫+10)1(d x x x都发散(C )∫∞++1)1(d x x x发散,∫+10)1(d x x x收敛 ()D ∫∞++1)1(d x x x收敛,∫+10)1(d x x x发散解 由于111)1(1+−=+x x x x ,则2ln 1ln d 111)1(d 11=+=⎟⎠⎞⎜⎝⎛+−=+∞+∞+∞+∫∫x xx x x x x x ,∞=+=+∫1101ln )1(d x x x x x , 所以∫∞++1)1(d x x x 收敛,∫+10)1(d x x x发散. 三、计算题(1)(每小题5分,共20分) 1.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=0 ,e 110 ,12)(x x x xx f ,计算.∫−−51d )1(x x f 解 ∫−−51d )1(x x f t x =−1∫−42d )(t t f =∫∫+++−4002d 12de 11t t t t t , 而 ∫−+02d e 11t t =∫−+−02d )e1e 1(t t t == 02|)e 1ln()2(0−+−−−t )e 1ln(2ln 22−++−=,2ln )e 1ln(2−+ ∫+40d 12t t t u t =+12∫⋅−312d )1(21u u u u =)13(21|61313−−u =310. 所以3102ln )e 1ln(d )1(251+−+=−∫−x x f . 2.确定,,c 的值,使得a b c tt t xax x b x =+−∫→d )1ln(sin lim 30(0≠c ).解 由题设:0d )1ln(lim 30=+∫→x b x t t t ,即0d )1ln(03=+∫b t t t ,而0)1ln(3≠+tt ,故. 0=b 由c xx xa t t t x ax x x x =+−=+−→→∫)1ln(cos lim d )1ln(sin lim 30030,而0lim )1ln(lim3030==+→→x x xx x x ,故 01)cos (lim 0=−=−→a x a x ,即1=a .=c 2121lim )1ln(cos 1lim d )1ln(sin lim 32030030=⋅=+−=+−→→→∫xx x xx x t t t x x x x x x . 综上,1=a ,0=b ,21=c .212ln Oxyxy e =D3.计算∫∫−=2ln 02e d 1ed xy y x I yxy. 解 =I ∫∫−Dy xyy x y d d 1e =∫∫−21ln 0d 1e d y y xyx y y =∫∫⋅−21ln 0)d(e 111d yxy y xy y y y =∫==⋅−21ln 0d |e 111y yy yx x xy y =∫−⋅−21ln d )1(e 111y yy y y y =∫−⋅−21ln d )1(e 111y y y yy y=∫−⋅−21d )1(111y y y y y y ==. 21|ln y 2ln 4.已知)sin ,2(x y y x g z −=,g 具有二阶连续偏导数,求yx z∂∂∂2. 解 x z ∂∂=x y g g cos 221⋅+⋅=21cos 2g x y g ⋅+,yx z ∂∂∂2=]sin )1([cos cos ]sin )1([2222121211x g g x y g x x g g ⋅+−⋅+⋅+⋅+−⋅=2221211cos sin cos )cos sin 2(2g x x y g x g x y x g ⋅+⋅+⋅−+−.四、计算题(2)(每小题6分,共24分)1.计算∫−4321d )1(arcsin x x x x.解 原式=∫−4321d 1arcsin x xx x =∫−43212d )(1arcsin 2x x x =∫4321arcsin d arcsin 2x x=4321)(arcsin x =224()3(ππ−=1442π.2.设,其中由方程2e ),,(yz z y xf x =),(y x z z =0=+++xyz z y x 确定,求)1,1,0(−′x f .解 方程0=+++xyz z y x 两边对x 求偏:01=+++x x xyz yz z ,解得xyyzz x ++−=11.==),,(z y x f x ′x x x z z y yz ⋅⋅+2e e 2xyyz z y yz x x ++−⋅⋅+1)1(2e e 2,)1,1,0(−′x f =1.3.计算,其中积分区域是在第一象限的部分. ∫∫−Dy x y x d d ||122≤+y x xOy122=+y x x y =1D 2D 解 原式=y x x y y x y x D D ∫∫∫∫−+−21d d )(d d )( =∫∫∫∫−+−241401d )cos sin (d d )sin cos (d πππθθθθθθr r r r r r r r =∫∫∫∫⋅−+⋅−12241240d d )cos (sin d d )sin (cos r r r r πππθθθθθθ=1032410340|31|)sin cos (|31|)cos (sin r r ⋅−−+⋅+πππθθθθ =312312−+−=3)12(2−. 4.计算,其中.∫=ax x f I 0d )(∫−−=x a y a y y x f 0)2(d e )(解法1 ===I ∫′−a ax x f x x xf 00d )(|)(∫−⋅−−−−ax a a x a x x 0)](2)[(d )1(e 0∫−a x a x x 0d e 2122 =∫−−−a x a x a 022)d(e 2122=axa 0|e 2122−−=)e 1(212a −−=)1(e 212−a . 解法2 ===I ∫∫−−a x a y a y y x 0)2(d e d ∫∫−−a y a y a y x y 0)2(d e d ∫−−a y a y y y a 0)2(d )(e =∫−−a y ay y ay 022)2(d e 212=a y ay 02|e 212−=)1(e 212−a . 五、应用题(每小题8分,共16分)1.生产某种产品需要A ,,三种原料,而且产量与B C A ,,原料的用量B C x ,,有以下关系:,已知三种原料售价分别为(万元),今用(万元)购买原料,问如何进料才能使产量最大？y z yz x Q 2005.0=3,2,12400解 问题为求目标函数在约束条件yz x Q 2005.0=240032=++z y x 下的最大值. 作拉格朗日函数:,令)240032(005.0),,,(2−+++=z y x yz x z y x F λλ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=−++==+==+==+=024*********.002005.0001.022z y x F y x F z x F xyz F z y x λλλλ, 解得唯一驻点1200=x ,300=y ,200=z .由问题的实际意义,当A ,,三种原料分别购买1200,300,200单位时,产量最大.B C2.求由23x y ≥与所确定的平面图形的面积以及该平面图形绕轴旋转而成的旋转体的体积.422=+y x S y y V4=解 S =∫−−−1122d )34(x x x =∫∫−−102102d 32d 42x x x xtx sin 2=10360|332d cos 2|cos |22x t t t −⋅∫π=332d )2cos 1(46−+∫πt t =32)|2sin 216(40−+ππt =3332+π. =y V ∫∫−−102102d 32d 42x x x x x x ππ=1041022|432)4(d 4x x x ππ−−−−∫ =23|)4(3210232ππ−−⋅−x =23)833(32ππ−−−=ππ235316−. 或 =y V ∫∫−+23230d )4(d 3y y y y ππ=233302|)314(|213y y y −+⋅ππ =πππ3331623−+=ππ235316−. 六、证明题(每小题5分,共10分)1.设在上可导,且)(x f ],[b a 0)(=a f ,证明:2)(2|d )(|a b M x x f b a −≤∫,|)(|max x f M b x a ′=≤≤. 证 由拉格朗日中值定理:))(()()()(a x f a f x f x f −′=−=ξ,x a <<ξ,b x a ≤≤.根据定积分的性质:=2|d )(|∫bax x f ≤∫b ax x f d |)(|∫−′b ax a x f d )(|)(|ξ≤∫−b ax a x M d )(=b aa x M |)(22−=2)(2a b M−. 2.证明:由方程0,=⎟⎠⎞⎜⎝⎛x z x y F 所确定的函数),(y x z z =满足z yzy x z x=∂∂+∂∂,其中具有一阶连续偏导数.F 证法1 2221xz F x y F F x −⋅+−⋅=,x F F y 11⋅=,x F F z12⋅=,则 221xF zF yF F F x zz x +=−=∂∂, 21F F F F y z z y −=−=∂∂.所以z F yF F zF yF y z y x z x=−+=∂∂+∂∂21221. 证法2 方程0,=⎟⎠⎞⎜⎝⎛x z x y F 分别对x ,y 求偏导得 012221=⋅−⋅⋅+−⋅x z x z F x yF x , 0121=⋅+⋅x z F x F y . 解得221xF zF yF z x +=和21F Fz y −=.所以 z F yF F zF yF y z y x z x =−+=∂∂+∂∂21221.。
微积分B下期终试卷2010-2011
(
∫x
0
f
(t ) dt )2
t
f
(t)dt
=
f
(
x
)
⋅
[
x
∫x
0
f (t)dt
−
∫x
0
t
f
(t)dt]
(
∫x
0
f (t)dt)2
=
f
(x)⋅
∫x
0
(
x
−
t)
f
(t)dt
(
∫x
0
f
(t ) dt )2
>0
(x > 0)
∴ F ( x)在 (0,+∞)内为单调增加函数.
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1． f (x) 在[a,b]上有界是定积分 ∫ab f (x)dx 存在的（ B ）条件。
A．充分
B．必要
C．充要
D．既不充分也不必要
2．设
F(x)
=
∫ln x
1
f
(t)dt ，其中
f
连续，则
F ′( x)
=
（
C
）。
x
A．
1 x
f
(ln x) −
1 x2
f
(1x )
B． f (ln x) + f (1x)
解: 线性非齐次方程, P( x) = − tan x , Q( x) = sec x
∫ 通解为: y =[ Q( x) e ∫ P( x)dxdx + C ]e− ∫ P( x)dx
∫ = [ sec x e ∫ − tan xdxdx + C ]e − ∫ − tan xdx
微积分期中考试试卷
浙江工商大学2010/2011学年第一学期期中考试试卷课程名称： 微积分(A 层) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟一、填空题(每小题3分,共15分) 1.⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++∞→2221231lim n n n n n =. 2.设2010)1(lim =--∞→bb an n n n ,则a =,b =. 3.曲线2x y =与曲线x a y ln =(0≠a )相切,则a =.4.已知一个长方形的长x 以s m /2.0的速率增加,宽y 以s m /3.0的速率增加,当m x 12=,m y 5=时,其面积增加的速率为.5.设x x f 2cos )(=,则)0()2(n f =.二、单项选择题(每小题3分,共15分)1.当],0[π∈x 时,0)(≠x f ,且x x f x f sin )()(+=+π,则在),(∞+-∞内)(x f 是().(A )以π为周期的函数 (B )以π2为周期的函数 (C )以π3为周期的函数 (D )不是周期函数2.数列}{n x 收敛于实数a 等价于(D ).(A )对任给0>ε,在),(εε+-a a 内有数列的无穷多项 (B )对任给0>ε,在),(εε+-a a 内有数列的有穷多项 (C )对任给0>ε,在),(εε+-a a 外有数列的无穷多项 (D )对任给0>ε,在),(εε+-a a 外有数列的有穷多项3.若0lim =∞→n n n y x ,则(D ). (A )0lim =∞→n n x 且0lim =∞→n n y (B )0lim =∞→n n x 或0lim =∞→n n y (C )当0lim =∞→n n x 时,}{n y 有界(D )当∞=∞→n n x lim 时,0lim =∞→n n y 4.若1sin )(lim 0=→xx x ϕ,则当0→x 时,函数)(x ϕ与()是等价无穷小. (A ))1ln(x - (B )||sin x (C )||cos 1x - (D )121-+x5.设函数e))(3(e e )(3---=x x x f x ,则(). (A )3=x 及e =x 都是)(x f 的第一类间断点(B )3=x 及e =x 都是)(x f 的第二类间断点(C )3=x 是)(x f 的第一类间断点,e =x 是)(x f 的第二类间断点 (D )3=x 是)(x f 的第二类间断点,e =x 是)(x f 的第一类间断点三、计算题(1)(每小题6分,共30分)1.若()023lim2=+++++∞→b ax x x x ,求常数a ,b . 2.当a ,b 取何值时,函数1lim )(2212+++=+∞→n n n x bx ax x x f 在),(∞+-∞内连续. 3.已知)(x f 在点a x =处可导,且0)(≠a f ,求nn a f n a f ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+∞→)()1(lim . 4.试求)(cos d d lim 0x f xx +→,其中)(x f 在1=x 处具有连续的一阶导数,且2)1(-='f .5.求由方程x x y xy =-+)ln()sin(所确定的隐函数)(x y 在0=x 的导数)0(y '.四、计算题(2)(每小题8分,共16分)1.设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤--<-=2 ,161221 ,1 ,21)(32x x x x x x x f .(1)写出)(x f 的反函数)(x g 的表达式;(2)问)(x g 是否有不可导点,若有指出这些点.2.设函数x x x f x 2cos e 2tan ln )(-+=,求⎪⎭⎫ ⎝⎛''2πf . 五、应用题(本题满分8分)设某商品的需求函数为P Q 5100-=,其中价格)20,0(∈P ,Q 为需求量,(1)求需求量对价格的弹性||d E =η;(2)推导)1(d d η-=Q PR (其中R 为收益),并用弹性η说明价格在何范围内变化时,降低价格反而使收益增加.六、证明题(每小题8分,共16分)1.证明数列}{n x 收敛,其中11=x ,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+n n n x x x 3211, ,2,1=n ,并求n n x ∞→lim . 2.设函数)(x f 在],[b a 上连续,b d c a <<<,且)()(d f c f k +=,证明:),(b a ∈∃ξ,使得)(2ξf k =.。
微积分B11-12第二次月考
北 京 交 通 大 学2011-2012学年第二学期《微积分》期中考试试卷考试方式： 闭卷 任课教师：学院_____________ 专业___________________ 班级____________ 学号_______________ 姓名_____________请注意：本卷共七道大题，如有不对，请与监考老师调换试卷！ 一、单项选择题（每小题3分，共15分）1. 设函数()21,0,0,y x f x y ⎧<<=⎨⎩其它，则(),f x y 在()0,0点 B 。
（A ）连续，且可偏导。
（B ）沿任何方向的方向导数都存在。
（C ）可微，且()0,00.df=（D ）(),x f x y 和(),y f x y 在()0,0点连续。
2. 设有三元方程ln 1.xyxy z y e -+=由多元隐函数存在定理，在()0,1,1的某邻域内，该方程 A 。
（A ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),y y x z =。
（B ）可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),x x y z =和(),.z z x y = (C) 可以确定两个具有连续偏导数的隐函数(),y y x z =和(),z z x y =。
（D ）只能确定一个具有连续偏导数的隐函数(),.z z x y = 3.设函数()f u 具有二阶连续导数，且()()'0,00,f u f>=则函数()()ln z f x f y =在点()0,0处取得极大值的一个充分条件是 D 。
（A ）()()"01,00.f f << （B ）()()"01,00.f f >> （C ）()()"01,00.f f <> （D ）()()"01,00.f f ><4.单位圆域221x y +≤被直线y x =±划分为四个区域()1,2,3,4,k D k =1D 是完全位于y 轴右侧的那个区域，按逆时针依次排列为1234,,,D D D D ，记cos kk D I x ydxdy =⎰⎰，则{}14max k k I ≤≤等于 A 。
11-12线代理1
浙江工商大学11 / 12学年第 1 学期考试试卷A课程名称：线性代数（理）考试方式：闭卷 完成时限：120分 班级名称： 学号： 姓名：一、填空题（每小题3分，共30分）1.已知n 阶矩阵,,A B C 满足ABC E =，其中E 为n 阶单位矩阵，则1B -=________ .2.设3333581139148237D --=-，则31323334A A A A +-+= .3. 设A 为3阶可逆矩阵,1100220321A -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭则A *=___________ .4.设3R 的基为()()()1231,0,0,1,1,0,1,1,1T T T ααα===，则()1,2,3Tβ=在基{}123,,ααα下的坐标为 .5.设A 为5阶方阵,()2r A =，则=)(*A r __________ .6.已知34⨯矩阵A 的行向量线性无关，()T r A =__________.7.设,A B 为3阶矩阵，且2,3A B ==，则2_____.AB *=8.设A 为3阶实对称矩阵，向量()()121,2,5,,2,3TTk k ξξ==分别是对应于特征值2和3的特征向量，则k = .9. 如果A 是3阶可逆矩阵矩阵，互换A 的第一，第二行得矩阵B ,且⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=-2001023111A ，则1-B = .10. 若实二次型232232212132122),,(x x x tx x x x x x x f ++++=为正定二次型,则t 的取值范围为二、单项选择（每小题2分，共10分）1. 设A 、B 均为n （≥2）阶矩阵，且AB =0，则 （ ）A . A 、B 均为零矩阵 B . A =0或B =0C . A 、B 至少有一个矩阵为奇异矩阵D . A 、B 均为奇异矩阵.2. 设21β,β是非齐次线性方程组b A =X 的两个解向量，则下列向量中仍为该方程组解的是( ) A ．21+ββB ．()12123ββ+ C ．()21221ββ+ D ．21ββ-3. 设向量组,,αβγ线性相关，则,,αβγ中( ).A. 任一个都可用其余两个线性表示B. 至少有一个是零向量C. 至少有一个可用其余两个线性表示D. 任一个都不能用其余两个线性表示.4. 设A 为n 阶矩阵，且30A =，则1()A E -+=（ ）A.2()AA E -+ B.2()A A E ++ C.E ± D.不能确定.5. 若A 为三阶矩阵，且20,20,430,E A E A E A +=+=-+=其中E 为三阶单位矩阵. 则A 为 ( )A ．8 B. -8 C. 43 D.43- 三、计算题 (本题共54分)1. 计算n 阶行列式123123123123nn n n n a b a a a a a b a a D a a a b a a a a a b--=-- . (6分)2. 设A 、B 均为n 阶矩阵，且AB A B =+，若112035101A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，求B . (8分)3. 求下面向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用此极大线性无关组线性表示：123451032113011,,,,21752421460ααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪===== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (10分)4. 讨论q p ,取何值时,下列方程组有唯一解,无解,无穷多解？在有无穷多解解时求其解（用向量形式表示） ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-+++-=++=---=-++3)2(2337212432143243214321q x q x x x q qx px x x x x x x x x x . (12分)5. 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=5334111y xA ,已知A 有三个线性无关的特征向量,且2=λ是A 的2重特征值. (1)求x,y 的值; (2) 求)(A r . (6分)6. 设有二次型3231212322213218444),,(x x x x x x bx x ax x x x f +-+++= 经过正交变换化为23222166y y y -+,求b a ,的值和正交变换矩阵P . (12分)四、证明题（6分）设η是非齐次线性方程组b AX =的任意一个解，r ξξξ,,,21 是导出组0=AX 的任意r 个线性无关的解，证明η，r ξξξ,,,21 一定线性无关.。
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浙江工商大学2011/2012学年第二学期期中考试试卷
课程名称： 微积分下(B 层) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟 班级名称： 学号(序号)： 姓名：
一、填空题(每小题2分,共20分)
1.设y
y x x y f 2
2+=
⎪⎭
⎫ ⎝⎛(0>x ,0>y ),则)(x f = . 2.)1arcsin(arcsin 2
y y x
z -+=的定义域是 . 3.定积分
⎰
-+22
||)d e |(|x x x x 的值是 .
4.设xy xy z e cos e -=,则z d = .
5.交换积分次序:
⎰⎰
⎰⎰
-+3
1
230
1
d ),(d d ),(d 2x x y y x f x y y x f x = .
6.已知⎰
-
=π
d cos )()(x x x f x x f ,则)(x f = . 7.已知⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛+=y x g xy f z )(,f ,g 均可导,则y z
∂∂= . 8.设⎰
=
4
d sin ln π
x x I ,⎰=40
d cot ln πx x J ,⎰=40
d cos ln πx x K ,则I ,J ,K 的大小关系
是 . 9.若0→x 时,
⎰
-x x t t sin 0
d tan 是n x 的同阶无穷小,则n = .
10.点1=x 是函数)(2)(),(22222y x y x y x f --+=的极 值点.
二、单项选择题(每小题2分,共10分)
1.函数⎪⎩
⎪⎨⎧=+≠+++=0 ,20 ,)
(2sin ),(22222
222y x y x y x y x y x f 在点)0,0(处( ). (A )无定义 (B )无极限 (C )有极限但不连续 (D )连续
2.若⎰-=
x
t x t x x f 0
d )sin(d d )(,则)(x f 等于( ). (A )x sin - (B )1cos -x (C )x sin (D )x sin 1-
3.曲线x y ln =,a y ln =,b y ln =(b a <<0)以及y 轴所围成图形的面积为( ). (A )
⎰
b a
x x ln ln d ln (B )
⎰
b a
x x
e e d e (C )
⎰
b a
y
y ln ln d e (D )
⎰
b a
x x e e d ln
4.⎰⎰=
D
xy I σd ,D 由x y =2
,2-=x y 所围,则化为二次积分后的结果是( ). (A )⎰
⎰
+=4
22d d y y y xy x I
(B )⎰
⎰
-+=2122d d y y x xy y I (C )⎰⎰
⎰⎰
--+=
4
12
1
d d d d x x x
x
y xy x y xy x I
(D )⎰
⎰
-+=
2
1
22
d d y y y xy x I
5.下列结论正确的是( ). (A )⎰
∞
++1)1(d x x x
与
⎰+1
0)1(d x x x
都收敛 (B )
⎰
∞
++1)1(d x x x
与
⎰+1
0)1(d x x x
都发散
(C )
⎰
∞
++1
)
1(d x x x
发散,
⎰+1
0)1(d x x x
收敛 (D )
⎰
∞
++1
)
1(d x x x
收敛,
⎰+1
0)1(d x x x
发散
三、计算题(1)(每小题5分,共20分)
1.设⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<+≥+=0 ,e 110 ,1
2)(x x x x
x f x
,计算⎰--51
d )1(x x f .
2.确定a ,b ,c 的值,使得c t
t t x
ax x b x =+-⎰→d )1ln(sin lim
0(0≠c ).
3.计算340
sec d I x x π
=⎰
.
4.已知)sin ,2(x y y x g z -=,g 具有二阶连续偏导数,求y
x z
∂∂∂2.
四、计算题(2)(每小题6分,共24分)
1.计算⎰
-432
1d )
1(arcsin x x x x
.
2.设2e ),,(yz z y x f x =,其中),(y x z z =由方程0=+++xyz z y x 确定,求 )1,1,0(-'x f .
3.讨论极限00
ln(1)
lim x y xy x
x y
→→++是否存在？
4.计算⎰=a x x f I 0
d )(,其中⎰
--=x a y a y y x f 0
)2(d e )(.
五、应用题(每小题8分,共16分)
1.生产某种产品需要A ,B ,C 三种原料,而且产量与A ,B ,C 原料的用量x ,y ,z 有以下关系:yz x Q 2005.0=,已知三种原料售价分别为3,2,1(万元),今用2400(万元)购买原料,问如何进料才能使产量最大？
2.求由23x y ≥与422=+y x 所确定的平面图形的面积S 以及该平面图形绕
y 轴旋转而成的旋转体的体积y V .
六、证明题(每小题5分,共10分)
1.设)(x f 在],[b a 上可导,且0)(=a f ,证明:
2)(2
|d )(|a b M
x x f b a -≤⎰,|)(|max x f M b x a '=≤≤.
2.证明:由方程0,=⎪⎭
⎫
⎝⎛x z x y F 所确定的函数),(y x z z =满足z y z y x z x =∂∂+∂∂,其
中F 具有一阶连续偏导数.。