学厦门高一下数学期末质检试卷

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高三数学：厦门市2024届高三下学期第二次质量检测试题和答案

厦门市2024届高中毕业班第二次质量检查一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}14A x x =-≤，40x B xx ⎧⎫-=≥⎨⎬⎩⎭，则A B =R ð（）A ．()0,4B ．[)0,4C ．[](]3,04,5- D ．[)(]3,04,5- 2．已知正项等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，且()()22334441,41S a S a =+=+，则d =（）A ．1B ．2C ．3D ．43．已知,αβ为关于x 的方程2450x x -+=的两个虚根，则αβαβ+=+（）A ．52B ．52-C D ．4．已知样本()2,1,3,,4,5x x ∈R 的平均数等于60%分位数，则满足条件的实数x 的个数是（）A ．0B ．1C ．2D ．35．在平面直角坐标系xOy 中，点P 在直线3410x y ++=上．若向量()3,4a = ，则OP 在a 上的投影向量为（）A ．34,55⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．34,55⎝⎭C ．34,2525⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．34,2525⎛⎫ ⎪⎝⎭6．设12,F F 分别是双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，P 为双曲线左支上一点，且满足112PF F F =，直线2PF 与C 的一条渐近线垂直，则C 的离心率为（）A ．53BC ．2D 7．已知()()()cos 140sin 110sin 130ααα-︒++=︒-︒，则tan α=（）A ．33B ．33-C D ．8．设集合{}1,0,1A =-，(){}12345,,,,,1,2,3,4,5iB x x x x x x A i =∈=，那么集合B 中满足1235413x x x x x ≤++++≤的元素的个数为（）A ．60B ．100C ．120D ．130二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9．为了预测某地的经济增长情况，某经济学专家根据该地2023年1～6月的GDP 数据y （单位：百亿元）建立了一元线性回归模型，根据最小二乘法得到的经验回归方程为ˆ0.4ˆ2yx a =+，其中解释变量x 指的是1～6月的编号，其中部分数据如表所示：时间1月2月3月4月5月6月编号x 123456y /百亿元1y 2y 3y 11.1075y 6y （参考数据：621796i i y ==∑，()62170i i y y =-=∑），则（）A ．经验回归直线经过点()3.5,11B ．ˆ10.255a=C ．根据该模型，该地2023年12月的GDP 的预测值为14.57百亿元D ．第4个样本点()44,x y 的残差为0.10310．如图1，扇形ABC 的弧长为12π，半径为AB 上有一动点M ，弧AB 上一点N 是弧的三等分点，现将该扇形卷成以A 为顶点的圆锥，使得AB 和AC 重合，则在图2的圆锥中（）（第10题图1）（第10题图2）A ．圆锥的体积为216πB ．当M 为AB 中点时，线段MN 在底面的投影长为C ．存在M ，使得MN AB⊥D ．min 3302MN =11．已知()(),f x g x 都是定义在R 上的奇函数，且()f x 为单调函数，()11f >．x ∀∈R ，()()f g x x a -=（a 为常数），()()()()222g f x g f x x ++=+，则（）A ．()20g =B ．()33f <C ．()f x x -为周期函数D ．()21422n k f k nn=>+∑三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，点A 在C 上，且5AF =，O 为坐标原点，则AOF △的面积为______．13．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>在ππ,36⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，π4ππ633f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则ω的可能取值为______．14．已知函数()()log 0,0,1ab f x x x a b b =->>≠，若()1f x ≥恒成立，则ab 的最小值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（13分）如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是边长为2的菱形，1π3ABB ∠=，AC =，M 为11A B 中点，CM =（第15题图）（1）证明：平面ABC ⊥平面11ABB A ；（2）若2BC =，求平面ABC 与平面1ABC 夹角的余弦值．16．（15分）定义：如果三角形的一个内角恰好是另一个内角的两倍，那么这个三角形叫做倍角三角形．如图，ABC △的面积为S ，三个内角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，且222sin S C c b=-．（第16题图）（1）证明：ABC △是倍角三角形；（2）若9c =，当S 取最大值时，求tan B ．17．（15分）已知()2,0A ，()2,0B -，P 为平面上的一个动点．设直线,AP BP 的斜率分别为1k ，2k ，且满足1234k k ⋅=-．记P 的轨迹为曲线Γ．（1）求Γ的轨迹方程；（2）直线PA ，PB 分别交动直线x t =于点C D 、，过点C 作PB 的垂线交x 轴于点H ．HC HD ⋅ 是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，说明理由．18．（17分）若*n ∀∈N ，都存在唯一的实数n c ，使得()n f c n =，则称函数()f x 存在“源数列”{}n c ．已知()(]ln ,0,1f x x x =∈．（1）证明：()f x 存在源数列；（2）（ⅰ）若()0f x≤恒成立，求λ的取值范围；（ⅱ）记()f x 的源数列为{}n c ，证明：{}n c 前n 项和53n S <．19．（17分）小明进行投篮训练，已知每次投篮的命中率均为0.5．（1）若小明共投篮4次，在投中2次的条件下，求第二次没有投中的概率；（2）若小明进行两组训练，第一组投篮3次，投中1X 次，第二组投篮2次，投中2X 次，求()12E X X -；（3）记()P i 表示小明投篮()2,3,i i =⋅⋅⋅次，恰有2次投中的概率．在投篮不超过()2n n ≥次的情况下，若小明投中2次，则停止投篮；若投篮n 次后，投中的次数仍不足2次，则不再继续投篮．记Y 表示小明投篮的次数．证明：()()222n i E Y P i +=≥∑．。

2021-2022学年福建省厦门市高一下学期质量检测(期末)数学试题【含答案】

2021-2022学年福建省厦门市高一下学期质量检测（期末）数学试题一、单选题1．已知（i 是虚数单位），则(1)i z i +=||z =A ．BCD ．212B【分析】利用复数除法运算求得，再求.z z【详解】依题意，所以()()()11111122i i i z i i i i -===+++-z ==故选：B.本小题主要考查复数除法运算，考查复数的模的运算，属于基础题.2．厦门中学生助手有男志愿者120人，女志愿者180人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从中抽取一个容量为50的样本.如果样本按比例分配，那么男志愿者应抽取的人数是（）A ．10B ．20C ．30D ．40B【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可.【详解】依题意得，厦门中学生助手一共有人，120180300+=其中男志愿者所占比例为：，12023005=则抽取一个容量为50的样本中，男志愿者应抽取的人数为.250205⨯=故选：B.3．已知，，，则（）()0.5P A =()0.3P B =()0.2P AB =()P A B =A ．0.5B ．0.6C ．0.8D ．1B【分析】依题意根据计算可得；()()()()P A B P A P B P AB =+- 【详解】解：因为，，()0.5P A =()0.3P B =()0.2P AB =则，所以事件与事件不相互独立，()()()P AB P A P B ≠A B ．()()()()0.50.30.20.6P A B P A P B P AB ∴=+-=+-=故选：B4．下列正确的是（）A．过球面上两点与球心有且只有一个平面B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台C．底面是正多边形，侧棱与底面所成的角都相等的棱锥是正棱锥D．有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台C【分析】根据棱台、圆台的定义判断B、D，根据公理3的推论判断A，根据正棱锥的定义判断C；【详解】解：对于A：当球面上的两点恰好是直径的两个端点时这三点共线，此时过这三点有无数个平面，故A错误；对于B：用一个平行于底面的平面截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台，故B错误；对于C：根据正棱锥的定义：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心．所以底面是正多边形且侧棱和底面成等角的棱锥是正棱锥，符合定义，是正棱锥；故C正确．对于D：两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体中，侧棱延长不一定会相交，所以不一定是棱台，故D错误；故选：C5．正四面体A-BCD中，M为棱AD的中点，则直线AB与CM所成角的余弦值为（）A B C DA【分析】通过平移，把异面直线夹角问题转化为共面直线夹角问题，再解三角形.【详解】设正四面体的ABCD 的棱长为2，取AD 中点N ，连结MN ，CN ，则MN //AB ，且MN =AB =1，既是异面直线AB 和CM12CMN ∠所成角（或所成角的补角），CM =CN =sin 60CD在等腰中，=MNC cos ∠CMN 12MNCM==所以异面直线AB 与CM .故B ，C ，D 错误.故选：A.6．在△ABC 中，点D 在边BC 上，M 是AD 的中点，若，(,)BM AB AC R λμλμ=+∈ 则λ+μ=（）A ．B ．-2C ．D ．212-12A【分析】根据平面向量基本定理，将和作为基底即可.ABAC 【详解】依题意作上图，设，BD mBC =()1122BM BD DM mBC AD mBC AB BD=+=-=-+ ()11222m mBC AB mBC BC AB=-+=-，()112222m m m AC AB AB AB AC +⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭∴；11,,222m m λμλμ+=-=+=-故选：A.7．抛掷-枚质地均匀的骰子2次，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”，乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5”，丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7”，则（）A ．甲乙互斥B ．乙丙互为对立C ．甲乙相互独立D ．甲丙相互独立D【分析】先根据古典概型的概率公式分别求出三个事件的概率，再利用互斥事件、对立事件以及事件的独立性定义判断各选项的正误即可.()()()P AB P A P B =【详解】由题意可知，先后抛掷两枚骰子出现点数的所有可能情况为36种，甲表示事件“第一次骰子正面向上的数字是2”包含的基本事件有：，则；()()()()()()212223242526,，,，,，,，,，,161366P ==乙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是5” 包含的基本事件有：，则；()()()()1,4,2,3,3,2,4,1241369P ==丙表示事件“两次骰子正面向上的数字之和是7” 包含的基本事件有：，则；()()()()()()1,6,2,5,3,4,4,3,5,2,6,1361366P ==对于A ，甲乙有可能同时发生不是互斥事件，A 错误；对于B ，除了乙丙以外还有其他事件发生不是对立事件，B 错误；对于C ，甲乙同时发生的概率为，C 错误；412136P PP =≠对于D ，甲丙同时发生的概率为，D 正确.513136P PP ==故选：D.8．记的内角，，所对的边分别为，，，若，，ABC A B C a b c 1c =cos 2sin a B C =，则外接圆的半径为（）1cos sin 8A B =ABC A ．B ．C ．D ．1234B【分析】根据正弦定理进行边角互化，再结合三角恒等变换化简可得，再结合正sin C 弦定理可得外接圆半径.【详解】由，则，1c =cos 2sin 2sin a B C c C ==由正弦定理得，2sin cos 2sin A B C =所以，即，21sin cos cos sin 2sin 8A B A B C +=+21sin 2sin 8C C =+解得，1sin 4C =所以，，1241sin 4c R C ===2R =故选：B.9．已知复数，是方程的两根，则（）1z 2z 210x x ++=A ．B ．121z z +=121z z ==C ．D ．212z z =111R z z +∈B【分析】解方程可得与，进而判断各选项.1z 2z 【详解】由，210x x++=得，，112z =-212z =-故，A 选项错误；121z z +=-，，B选项正确；11z ==21z ==，C选项错误；221211312442z z ⎛⎫=-+=-=-= ⎪ ⎪⎝⎭，D选项错误；11112z z +=-=故选：B.二、多选题10．我省高考采用“3+1 +2”模式，语文、数学、外语是必选科目，物理和历史必选一科，化学、生物、思想政治、地理四个科目选择两科.现统计甲、乙两名学生高一年六个科目的学年成绩如图所示，则（）A ．甲六科学年成绩比乙均衡B ．甲、乙六科学年成绩均在70分以上C ．从成绩角度看，乙更适合选择历史科目组D ．甲、乙六科学年成绩超过90分的科目数量相同ACD【分析】根据两学生六科成绩直接可判断各选项.【详解】由图可知，甲同学六科学年成绩比乙均衡，A 选项正确；甲同学六科成绩均在70分以上，乙的物理成绩在70分以下，B 选项错误；乙同学的历史成绩高于物理成绩，所以，从成绩角度看，乙更适合选择历史科目组，C 选项正确；甲同学的物理与化学成绩超过90分，乙同学历史与思想政治成绩超过90分，所以两人超过90分的科目数量相同，D 选项正确；故选：ACD.11．若，，则（）()2,0a =(b =A ．B ．2a b ⋅= a b a b+=- C ．与的夹角为D ．在方向上的投影向量为a b6πb a 12aAD【分析】根据数量积的坐标表示及向量模的坐标表示判断A 、B 、C ，再根据投影向量的定义计算判断D ；【详解】解：因为，，所以，，()2,0a =(b =1202a b ⨯⋅=+= 2a =，2=所以，，则(a b +=(1,a b -=a += ，故A 正确，B 错误；2a =- 设与的夹角为，则，因为，所以，故C 错a b θ21cos 222a b a b θ⋅===⨯⋅[]0,θπ∈3πθ=误；在方向上的投影向量为，故D 正确；b a1211222ab a a aa a⋅⋅⋅=⨯=故选：AD12．如图，圆台O 2O 2中，母线AB 与下底面所成的角为60°，BC 为上底面直径，O 2A =6O 1B =6，则（）A ．圆台的母线长为10B ．圆台的侧面积为70πC ．由点A 出发沿侧面到达点C 的最短距离是D ．在圆台内放置一个可以任意转动的正方体，则正方体棱长的最大值是4ABD【分析】对A ，根据轴截面分析即可；对B ，根据圆台的侧面积公式求解即可；对C ，将圆台侧面展开，再计算即可；AC 对D ，计算圆台内能放下的最大球的直径，再根据该球为此正方体外接球求解即可【详解】对A ，母线长为，故A 正确；2110cos 60AO BO -=对B ，由A 母线长为10，则根据圆台的侧面积公式，故B 正()101670S ππ=⨯⨯+=确；对C ，由题意，侧面全展开的圆心角为22ππ==线段有小部分不在扇环上，故由点A 出发沿侧面到达点C 的最短距离大于AC 故C 错误；对D ，由题意，该圆台的轴截面可补全为一个边长为12的正三角形，故圆台中能放下，直径为=，故D 正确；4=故选：ABD 三、填空题13．若复数是纯虚数，则实数m =____.()()22563iz m m m m =-++-2【分析】根据纯虚数实部为0虚部不为0计算即可【详解】由题意，，解得 2256030m m m m ⎧-+=⎨-≠⎩2m =故2.14．记锐角的内角，，的对边分别为，，，且ABC A B C a b c ，若，是的两条高，则的取值范222sin sin cos sin cos B C B C A +=+BE CF ABC BECF 围是______.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据正弦定理进行边角互化，可得角，再根据高线的性质可得，再A BE cCF b =利用边角互化，结合三角函数值域可得范围.【详解】由，得，222sin sin cos sin cos B C B C A +=+222sin sin sin sin sin B C B C A -=-再由正弦定理得，故，222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-==所以，3Aπ=故，sin sin sin 113sin sin sin 22B BE c A c C CF b A b BB π⎛⎫+ ⎪⎝⎭=====+=又为锐角三角形，ABC 故，即，02032B B ππππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<--<⎪⎩62B ππ<<，tan B ⎫∈+∞⎪⎪⎭故，11,222BE CF ⎛⎫= ⎪⎝⎭故答案为.1,22⎛⎫ ⎪⎝⎭15．某电池厂有A ，B 两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用样本量比例分配的分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取样本，并测量产品可充电次数的均值及方差，结果如下：项目抽取成品数样本均值样本方差A 生产线产品82104B 生产线产品122004则20个产品组成的总样本的方差为_____.28【分析】利用均值公式计算出总样本的均值，再利用方差的公式：，22211n i i S x xn ==-∑求出，进一步求出总样本的方差即可.21nii x=∑【详解】依题意得，，，82221121048Ai i S x ==-=∑1222211200412B i i S x ==-=∑解得：，，()822184210ii x==⨯+∑()12221124200ii x==⨯+∑又，8128210122002042020A B x x x +⨯+⨯===()()20812222221112221120420201842101242002042028.i i i i i i S x x x x ===⎛⎫∴=-=⨯+- ⎪⎝⎭⎡⎤=⨯⨯++⨯+-⎣⎦=∑∑∑20个产品组成的总样本的方差为28.∴故答案为.28四、双空题16．从直线a ，b 和平面这三个空间元素中取两个，若已知它们与第三个元素有平行β或垂直关系，则所取的两个元素也有平行或垂直关系.写出一个满足题意的真命题：若_____，则_____ ,a b ββ⊥⊥//a b【分析】结合线面位置关系的判定定理和性质定理，合理判定和构造满足题意即可.【详解】对于直线a ，b 和平面这三个空间元素中取两个，则有：β若，则；,a b ββ⊥⊥//a b 若，，则；//a b a β⊥b β⊥若，，则.//a b b β⊥a β⊥（答案不唯一，写出一个即可）故若，则；,a b ββ⊥⊥//a b 五、解答题17．已知是两个单位向量，，且.12,e e 1122,6AB e AC e e ==-- ||BC = (1)求的夹角；12,e e(2)若D 为线段BC 上一点，DC =2BD ，求证：AD ⊥AB .(1)3π(2)证明见解析【分析】（1）利用表示出，再结合即可求出答案.12,e eBC（2）利用表示出，则可计算出.则可说明AD ⊥AB.12,e e AD0AD AB ⋅= 【详解】(1)因为.1122,6AB e AC e e ==--所以.1236BC AC AB =-=--e e则||BC == 解得：121cos ,2=e e 所以的夹角12,e e 12,3e e π= (2);()1121223621133AD AB BD AB BC =+---=+=+= e e e e e .()1211224022AD AB -⋅⋅=-⨯= e e e =所以AD ⊥AB.18．如图，棱长为2的正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是棱AA 1，CC 1的中点，过E 作平面，使得//平面BDF .αα(1)作出截正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1所得的截面，写出作图过程并说明理由；α(2)求平面与平面的距离.αBDF (1)答案见解析【分析】（1）根据平面与平面平行的性质可得经过，可得截面；α11,,E B D （2）转化为点线距，利用等体积法可求结果.【详解】(1)连接，由正方体性质可得，；1111,,B D EB ED 11//BD B D 1//BF ED 又，所以平面平面；BF BD B ⋂=11//EB D BDF 因为//平面，且，所以平面与平面重合，即平面就是截αBDF E α∈11EB D α11EB D α正方体ABCD - A 1B 1C 1D 1所得的截面.(2)由（1）可知平面与平面的距离等于点到平面的距离；αBDF 1B BDF设点到平面的距离为，由题意可得的1B BDF d BD BF DF ===BDF；的面积为；1BB F 2由可得，解得11B BDFD BB FV V --=111233BDF BB F S d S ⋅=⨯△△d =所以平面与平面αBDF 19．防洪是修建水坝的重要目的之一. 现查阅一条河流在某个水文站50年的年最大洪峰流量（单位：100 m 3·s -1）的记录，统计得到如下部分频率分布直方图：记年最大洪峰流量大于某个数的概率为p ，则年最大洪峰流量不大于这个数的概率为1-p .定义重现期（单位：年）为概率的倒数.规定：当p <50%时，用p 报告洪水，即洪水的重现期；当p >50%时，用1 -p 报告枯水，即枯水的重现期.如1T p =1.1T p =-，则报告洪水，重现期T =100（年），通俗的说法就是“百年一遇".1100p =(1)补齐频率分布直方图（用阴影表示），并估计该河流年最大洪峰流量的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）；x (2)现拟在该水文站修建水坝，要求其能抵挡五十年一遇的洪水.用频率估计概率，求它能承受的最大洪峰流量（单位：100 m 3·s -1）的最小值的估计值.(1)频率分布直方图见解析，34.6x =(2)55【分析】（1）设的频率为，根据频率分布直方图中所有的小矩形的面积之和[)40,50x 为得到方程，即可求出，从而求出组的纵轴，即可得到频率分布直方图；1x [)40,50（2）依题意根据百分位数计算规则计算可得；【详解】(1)解：设的频率为，则，解[)40,50x ()0.0080.020.0440.004101x +++⨯+=得，所以组的纵轴为，0.24x =[)40,50100.024x ÷=所以频率分布直方图如下所示：所以该河流年最大洪峰流量的平均值；()0.00815+0.0225+0.04435+0.02445+0.004551034.6x =⨯⨯⨯⨯⨯⨯=(2)解：依题意可得，即，150p =1110.9850p -=-=设最大洪峰流量估计值为，，y ()()0.008+0.02+0.044+0.02410500.0040.98y ⨯+-⨯=解得，55y =所以它能承受的最大洪峰流量（单位：100 m 3·s -1）的最小值的估计值为；5520．如图，三棱台中，.111ABC A B C -111111,2,BC CC AB BC CA B C CC C ⊥====(1)求证：；1AB BC ⊥(2)若二面角的平面角为60°，求直线AC 1与平面BCC 1B ，所成角的正弦值.1C BC A --(1)证明见解析(2)34【分析】（1）先证明为矩形，进而根据线面垂直的判定证明平面即11DCC B BD ⊥1B AD 可；（2）取中点，连接，根据线面垂直的性质可得二面角的平1B D E 1,AE EC 1C BC A --面角即为，设，根据勾股定理得，根据余弦定理可得160ADB ∠= 112B C =1C E =，再根据线面垂直的性质与判定证明平面，进而求解即3AE =AE ⊥11BCC B 1sin AC E ∠可【详解】(1)取中点，连接.因为，则，又BC D 1,AD B D 1122BC B C ==11DC B C =，且，故为矩形，故.又，故1BC CC ⊥11DC B C ∥11DCC B 1B D BD ⊥AB BC CA ==，又平面，故平面，又平面，故AD BD ⊥1,B D AD ⊂1B AD BD ⊥1B AD 1AB ⊂1B AD 1AB BC⊥(2)由（1）因为平面，故二面角的平面角即为.取BD ⊥1B AD 1C BC A --160ADB ∠=中点，连接.设，则，1B D E 1,AE EC 112B C =2BD DC ==1112CC B C ==,1B E ED ==1C E ==AD =.故，所以，又3AE ==222AE ED AD +=AE ED ⊥平面，故，又，故平面，故AE ⊂1ADB BD AE ⊥BD ED D = ,BD ED ⊂11BCC B 平面，故直线AC 1与平面BCC 1B ，所成角的为.故AE ⊥11BCC B 1EAC ∠，即直线AC 1与平面BCC 1B ，所成角的正弦值为113sin 4AE AC E AC ∠===3421．某学校组织校园安全知识竞赛.在初赛中有两轮答题，第一轮从A 类的5个问题中任选两题作答，若两题都答对，则得40分，否则得0分；第二轮从B 类的5个问题中任选两题作答，每答对1题得30分，答错得0分若两轮总积分不低于60分则晋级复赛.小芳和小明同时参赛，已知小芳每个问题答对的概率都为0.5.在A 类的5个问题中，小明只能答对4个问题；在B 类的5个问题中，小明每个问题答对的概率都为0.4.他们回答任一问题正确与否互不影响.(1)求小明在第一轮得40分的概率；(2)以晋级复赛的概率大小为依据，小芳和小明谁更容易晋级复赛？(1)；35(2)小明更容易晋级复赛.【分析】（1）对A 类的5个问题进行编号：，设小明只能答对4个问题的编,,,,a b c d e 号为：，列出所有的样本空间，即可求出小明在第一类得40分的概率；a b c d ,,,（2）依题意能够晋级复赛，则第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分；或4030第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分；或第一轮答错两题得分，第二轮40600答对两题得分；或第一轮答对一题得分，第二轮答对两题得分；分别求出小芳60060和小明晋级复赛的概率，进行比较得出结论.【详解】(1)对A 类的5个问题进行编号：，第一轮从A 类的5个问题中任选,,,,a b c d e 两题作答，则有共种，()()()()()()()()()(){},,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a e b c b d b e c d c e d e 10设小明只能答对4个问题的编号为：，a b c d ,,,则小明在第一轮得40分，有共种，()()()()()(){},,,,,,,,,,,a b a c a d b c b d c d 6则小明在第一轮得40分的概率为：；63105=(2)由（1）知，小明在第一轮得40分的概率为，35则小明在第一轮得0分的概率为：，32155-=依题意，两人能够晋级复赛，即两轮总积分不低于60分当第一轮答对两题得分，第二轮答对一题得分时，∴4030小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；()()10.50.50.510.510.50.50.125P =⨯⨯⨯-+-⨯=⎡⎤⎣⎦；()230.40.60.60.40.2885P =⨯⨯+⨯=当第一轮答对两题得分，第二轮答对两题得分时，4060小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；30.50.50.50.50.0625P =⨯⨯⨯=430.40.40.0965P =⨯⨯=当第一轮答错一题得分，第二轮答对两题得分时，060小芳和小明晋级复赛的概率分别为：；；()()50.510.510.50.50.50.50.125P ⎡⎤=⨯-+-⨯⨯⨯=⎣⎦620.40.40.0645P =⨯⨯=当第一轮答错两题得分，第二轮答对两题得分时，060小芳晋级复赛的概率分别为：；()()710.510.50.50.50.0625P ⎡⎤=-⨯-⨯⨯=⎣⎦小芳晋级复赛的概率为：；∴13570.1250.06250.1250.06250.375PP P P +++=+++=小明晋级复赛的概率为：；2460.2880.0960.0640.448P P P ++=++=，0.4480.375> 小明更容易晋级复赛.∴22．记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知，.cos sin 0a C C b c +--=b =(1)若c ；a =(2)点A ，B ，C 分别在等边△DEF 的边DE ，EF ，FD 上（不含端点）.若△DEF 面积的最大值为c .(1)6c =(2)c =【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角的形式，然后利用三角函数恒等变换公式化简可求出角，再利用余弦定理可求出，A c （2）由三角形面积的最大值求出的最大值，设，则DE ACD BAE α∠=∠=，然后分别在和中利用余弦定理表示出，从而120ABE α∠=︒-ACD △ABE △,AD AE 可表示，化简后利用三角函数的性质可求出其最大值，从而列方程可求出DE c【详解】(1)因为，cos sin 0a C C b c --=所以由正弦定理得，sin cos sin sin sin 0A C A C B C +--=因为，()B A C π=-+所以,sin cos sin sin()sin 0A C A C A C C -+-=，sin cos sin sin cos cos sin sin 0A C A C A C A C C +---=，sin cos sin sin 0A C A C C --=因为，sin 0C ≠，cos 1A A -=，11cos 22A A -=，1sin 62A π⎛⎫-=⎪⎝⎭因为，5,666A πππ⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，，66A ππ-=3A π=因为a =b =所以由余弦定理得，2222cos a b c bc A =+-，，2213c =+-23180c c --=，得（舍去），或(3)(6)0c c +-=3c =-6c =(2)由（1）可知，3A π=b =由于△DEF 面积的最大值为2DE =DE =所以的最大值为DE 因为，所以，60CAB ∠=︒120DAC BAE ∠+∠=︒因为，所以，120DAC ACD ∠+∠=︒ACD BAE ∠=∠设，则，ACD BAE α∠=∠=120ABE α∠=︒-在中，由正弦定理得ACD △sin sin AC ADD ACD=∠，得，sin AD α=sin AD α=在中，由正弦定理得，ABE △sin sin AB AEE ABE =∠所以，得，sin 60sin(120)c AE α=︒︒-sin(120)sin 60c AE α=⋅︒-︒所以sin(120)sin 60cDE AD AE αα=+=+︒-︒1sin(120)]sin 60c αα=+︒-︒1sin120cos cos120sin )sin 60c c ααα=+︒-︒︒11)sin cos]sin602cαα=︒，其中，1)sin60αθ=+︒tanθ=所以当时，取得最大值，sin()1αθ+=DE所以，1sin60=︒=所以，即，2321c+=2180c+-=所以，(0c c-+=解得或，c=c=-关键点点睛：此题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查三角函数恒等变换公式的应用，第（2）问解题的关键是分别在和中利用余弦定理表示出，ACD△ABE△,AD AE从而可得，化简后利用三角函数的性sin(120)sin60cDE AD AEαα=+=+︒-︒质可求得其最大值，考查计算能力，属于较难题。

学厦门高一下数学期末质检试卷

2014-2015学年度第二学期高一年级质量检测数学试题第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1.在空间直角坐标系xyz O -中，点()321，，P 关于xOy 平面的对称点是 A.()321，，- B.()321，，-- C.()321-， D.()321--，， 2.320sin π的值为 A.23B.23- C.21D.21- 3.已知21e e ，是互相垂直的两个单位向量，若21e e a -=2，则a 等于 A.1B.5C.3D.54.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，那么这个几何体的体积为A.1B.21C.31D.615.已知l 是一条直线，βα、是两个不同的平面，则以下四个命题正确的是 A.若α⊂l ，β//l ，则βα// B.若α⊥l ，βα⊥，则β//l C.若α⊂l ，β⊥l ，则βα⊥ D.若βα⊥，α⊂l ，则β⊥l6.已知直线01=++y ax 与()0132=+-+y x a 互相垂直，则实数a 等于 A.3-或1B.1或3C.1-或3- D.1-或37.为了得到函数x x y 2cos 32sin -=的图象，只要把函数x y 2sin 2=的图象A.向左平移3π个单位长度B.向左平移6π个单位长度 C.向右平移3π个单位长度D.向右平移6π个单位长度8.已知点()02，-A ，()40，B ，点P 在圆C ：()()54322=-+-y x 上，则使︒=∠90APB 的点P 的个数为9.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为菱形，︒=∠60DAB ，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法错误．．的是 A.在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB1正视图侧视图俯视图题图第4B.异面直线AD 与PB 所成的角为90°C.二面角A BC P --的大小为45°D.BD ⊥平面PAC10.已知点()23，M ，点P 在y 轴上运动，点Q 在圆C ：()()42122=++-y x 上运动，则MQMP +的最小值为152- D.152+第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.11.已知向量()21，=a ，()4-=，m b ，若b a //，则m =_________. 12.如图，两个边长都为1的正方形并排在一起，则()βα+tan =_________.13.已知点()00，A ，()33，B ，()12，C ，则ABC △的面积为__________. 14.如图，已知圆锥SO 的母线SA 的长度为2，一只蚂蚁从点B 绕着圆锥侧面爬回点B 的最短距离为2，则圆锥SO 的底面半径为___________. 15.已知二元二次方程0tan 322=++++θy x y x （22πθπ<<-）表示圆，则θ的取值范围为________.16.已知函数()x x x f sin tan -=，下列命题中正确的是__________.（写出所有正确命题的序号）①()x f 的周期为π；②()x f 的图象关于点()0，π对称； ③()x f 在（ππ，2）上单调递增；④()x f 在（22ππ，-）上有3个零点.三、解答题：本大题共6小题，共76分. 17.（本小题满分12分）如图，正方体1111D C B A ABCD -的棱长为2，G F E 、、分别是E D AD C B 1111、、的中点. （Ⅰ）求证：//FG 平面E AA 1；（Ⅱ）求FG 与平面1111D C B A 所成的角的正切值.18.（本小题满分12分）如图平行四边形ABCD （D C B A ，，，按逆时针顺序排列），AD AB 、边所在直线的方程分别是 074=-+y x ，01123=-+y x ，且对角线AC 和BD 的交点为()02，M . （Ⅰ）求点A 的坐标；（Ⅱ）求CD 边所在直线的方程. 19.（本小题满分12分）αβ题图第12AOBS题图第14A DBC1B 1C 1A 1D EF G 题图第17题图第18xy AMCO B如图，已知锐角α，钝角β的始边都是x 轴的非负半轴，终边分别与单位圆交于点⎪⎪⎭⎫⎝⎛2321，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-54,53Q . （Ⅰ）求POQ ∠sin ；（Ⅱ）设函数()x x x f 2sin cos 322+=，[]α，0∈x ，求()x f 的值域.20.（本小题满分12分）ABC △是边长为3的等边三角形，BC BF λ=（121<<λ），过点F 作BC DF ⊥交AC 边于点D ，交BA 的延长线于点E .（Ⅰ）当32=λ时，设a =BA ，b =BC ，用向量b a,表示EF ；（Ⅱ）当λ为何值时，FC AE ⋅取得最大值，并求出最大值. 21.（本小题满分14分）如图，甲、乙两个企业的用电负荷量y 关于投产持续时间t （单位：小时）的关系()t f y =均近似地满足函数()()b t A t f ++=ϕωsin （πϕω<<>>000，，A ）. （Ⅰ）根据图象，求函数()t f 的解析式；（Ⅱ）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过4.5，现采用错峰用电的方式，让企业乙比企业甲推迟m（0>m ）小时投产，求m 的最小值. 22.（本小题满分14分）已知B A ，为圆O ：422=+y x 与y 轴的交点（A 在B 上），过点()40，P 的直线l 交圆O 于N M ，两点.（Ⅰ）若弦MN 的长等于32，求直线l 的方程；（Ⅱ）若N M ，都不与B A ，重合时，是否存在定直线m ，使得直线AN 与BM 的交点恒在直线m 上.若存在，求出直线m 的方程；若不存在，说明理由题图第19QPOxy 的终边α的终边β题图第20EDAC FB题图第22MOxyGNBAP题图第20O 612()小时t 5.15.2y。

福建省厦门市集美高中2024届数学高一第二学期期末调研试题含解析

福建省厦门市集美高中2024届数学高一第二学期期末调研试题考生须知： 1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。

选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。

2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。

3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．在ABC ∆中，若2,30,a b A ===︒则B 等于（） A ．30B ．30150︒︒或C ．60︒D ．60120︒︒或2．设m R ∈，过定点A 的动直线0x my +=和过定点B 的动直线30mx y m --+=交于点(),P x y ，则PA PB •的最大值是（） A ．5B ．10CD3．设x ，y 满足约束条件326000x y x y +-≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z =x -y 的取值范围是 A ．[–3,0]B ．[–3,2]C ．[0,2]D ．[0,3]4．以n S ,T n 分别表示等差数列{}{}n b n a ，的前n 项和，若S 73n n nT n =+，则55a b 的值为A ．7B ．214C ．378 D ．235．已知平面向量()1,1a =-，()2,b x =-，若a b ⊥，则实数x =( ) A ．-2B ．-1CD ．26．将cos 2y x =图像向左平移6π个单位，所得的函数为（） A ．cos(2)3y x π=+B ．cos(2)6y x π=+C ．cos(2)3y x π=-D ．cos(2)6y x π=-7．在ABC 中，已知其面积为22()S a b c =--，则cos A = （）A ．34B ．1315C ．1517D ．17198．已知扇形AOB 的圆心角3AOB π∠=，弧长为2π，则该扇形的面积为（）A ．6πB ．12πC ．6D ．129．直线l ：20ax y +-=与圆22:2440M x y x y +--+=的位置关系为（） A ．相离B ．相切C ．相交D ．无法确定 10．已知等比数列的公比为，且，数列满足，若数列有连续四项在集合中，则（） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

福建省厦门市2023-2024学年高一下学期学业水平考试数学试题

福建省厦门市2023-2024学年高一下学期学业水平考试数学试题一、单选题1．已知复数z 满足4i 63i z +=+，则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．现从中小学生中抽取部分学生进行一次肺活量调查，据了解，某地小学､初中､高中三个学段学生的肺活量有较大差异，而同一学段男､女学生的肺活量差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（） A ．简单随机抽样 B ．按性别分层随机抽样 C ．按学段分层随机抽样 D ．按肺活量分层随机抽样3．从含有三件正品和一件次品的产品中任取两件，则取出的两件中恰有一件次品的概率是（）A ．16B ．14C ．13D ．124．在平行四边形ABCD 中，E 是BC 的中点，DE 交AC 于F ，则DF =u u u r（）A ．1233AB AD -+u u u r u u u r B ．2133AB AD -+u u ur u u u rC ．1323AB AD -u u ur u u u rD ．2133AB AD -u u ur u u u r5．某种心脏手术，成功率为0.6，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.6，故我们用0，1，2，3表示手术不成功，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果.经随机模拟产生10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907.由此估计3例心脏手术全部成功的概率为（） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.56．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -的棱长均为2，60BAD ∠=o .以D 1为半径的球面与侧面BCC 1B 1的交线长为（）A ．π2B C ．πD ．27．已知不重合的平面α、β、γ和直线l ，则“//αβ”的充分不必要条件是（） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内的任何直线都与β平行 C ．αγ⊥且γβ⊥D ．l α⊥且l β⊥8．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，Q 为AD 的中点，P 为正方体内部及其表面上的一动点，且1PQ BD ⊥，则满足条件的所有点P 构成的平面图形的面积是（）A B ．C ．4 D ．二、多选题9．下列说法不合理的是（）A ．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是16，意即每掷6次就有一次掷得点数6．B ．抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率．C ．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为80%，是指明天本地有80%的区域下雨．D ．随机事件A ，B 中至少有一个发生的概率一定比A ，B 中恰有一个发生的概率大． 10．在ABC V 中，D ，E 分别是BC ，AC 的中点，且6,2BC AD ==，则（）A ．ABC V 面积最大值是6B ．ABC V 周长可能是14C ．||AD BE +u u u r u u u r不可能是5D ．1135,22BE AC ⎛⎫⋅∈ ⎪⎝⎭u u u r u u u r 11．如图所示，圆锥PO 中，PO 为高，AB 为底面圆的直径，圆锥的轴截面是面积等于4的等腰直角三角形，C 为母线P A 的中点，点M 为底面上的动点，且OM AM ⊥，点O 在直线PM 上的射影为H ．当点M 运动时，下列结论正确的是（）A ．三棱锥P BCM -体积的最大值为43B ．线段PB 长度是线段CM 长度的两倍C ．直线CH 一定与直线P A 垂直D ．H三、填空题12．已知复数z 满足1z =，则2z -13．在锐角ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222b c a +-=，4c =，则边a 的取值范围是．14．传说古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱，圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，如图是一个圆柱容球，1O 、2O 为圆柱两个底面的圆心，O 为球心，EF 为底面圆1O 的一条直径，若球的半径2R =，则①平面DEF 截得球的截面面积最小值为；②若P 为球面和圆柱侧面的交线上一点，则PE PF +的取值范围为．四、解答题15．已知非零向量a v ，b v夹角为θ，且()1,0a =r ．(1)当(b =-r 时，求θ；(2)若60θ=︒，且()()a b a b +⊥-r r r r ，求2a b -r r ．16．如图，一块正方体形木料ABCD —A 1B 1C 1D 1的上底面有一点M ，(1)问：经过点M 在上底面上能否画一条直线，使其与CM 垂直，若可以，该怎么画，写出作图过程并加以证明，若不能，说明理由.(2)若正方体棱长为2，F 为线段BC 的中点，求AF 与面A 1BC 所成角的正弦值.17．双淘汰赛制是一种竞赛形式，比赛一般分两个组进行，即胜者组与负者组.在第一轮比赛后，获胜者编入胜者组，失败者编入负者组继续比赛，之后的每一轮，在负者组中的失败者将被淘汰；胜者组的情况也类似，只是失败者仅被淘汰出胜者组降入负者组，只有在负者组中再次失败后才会被淘汰出整个比赛.A 、B 、C 、D 四人参加的双淘汰赛制的流程如图所示，其中第6场比赛为决赛.(1)假设四人实力旗鼓相当，即各比赛每人的胜率均为50%，求： ①A 获得季军的概率；②D 在一共输了两场比赛的情况下，成为亚军的概率；(2)若A 的实力出类拔萃，有4参加的比赛其胜率均为75%，其余三人实力旗鼓相当，求D 进入决赛且先前与对手已有过招的概率.18．在ABC V 中，内角A ，B ，C 对的边分别为a ，b ，c ，若222sin 3sin 5sin A B C +=． (1)求cos C 的最小值；(2)若ABC V 的面积为2a ，求tan C 的值．19．如图，已知矩形ABCD ，24BC AB ==，M 是AD 的中点，现将ABM V 沿着BM 翻折至PBM V ．(1)若PC =PBM ⊥平面BCDM ； (2)求二面角P CD B --的正弦值的最大值．。

福建省厦门市2018-2019学年高一下学期期末考试数学试题(解析版)

厦门市2018-2019学年度第二学期高一年级质量检测(数学)一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.若点()()(),0,0,2,1,3A a B C 共线,则a 的值为（） A. 2- B. 1-C. 0D. 1【答案】A 【解析】【分析】通过三点共线转化为向量共线，即可得到答案.【详解】由题意，可知()1,1BC →=，又(),2AB a →=-，点()()(),0,0,2,1,3A a B C 共线，则//BC AB →→，即2a -=，所以2a =-，故选A.【点睛】本题主要考查三点共线的条件，难度较小.2.已知等差数列{}n a 的前n 项和为37,10n S a a +=,则9S =（） A. 15 B. 30C. 45D. 90【答案】C 【解析】【分析】利用等差数列的求和公式及性质即可得到答案. 【详解】由于3710a a +=，根据等差数列的性质，193799()9()4522a a a a S ++===，故选C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质与求和，难度不大.3.下列选项正确的是（）A. 若,?c>d a b >,则a c b d ->- B. 若0a b >>,则2211a b <C. >则a b >D. 若0,0a b c >>≠,则ac bc > 【答案】B 【解析】【分析】通过逐一判断ABCD 选项，得到答案.【详解】对于A 选项，若2,1,2,1a b c d ====，代入0a c -=，0b d -=，故A 错误；对于C >||||a b >，故C 错误；对于D 选项，若0c <，则ac bc <，故D 错误，所以答案选B.【点睛】本题主要考查不等式的相关性质，难度不大.4.ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若 cos cos 2cos a B b A c C +=,则C =（） A.6πB.3π C.23π D.233ππ或【答案】B 【解析】【分析】首先通过正弦定理将边化角，于是求得1cos 2C =，于是得到答案. 【详解】根据正弦定理得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，即s i n 2s i n c o s C C C =，而sin 0C ≠，所以1cos 2C =，又为三角形内角，所以3C π=，故选B. 【点睛】本题主要考查正弦定理的运用，难度不大.5.已知,αβ为不同的平面,,a b 为不同的直线则下列选项正确的是（） A. 若//,a b αα⊂,则//a b B. 若//,//a b αα,则//a b C. 若//,a b a α⊥,则b α⊥ D. 若,a αβα⊥⊂,则a β⊥【答案】C【分析】通过对ABCD 逐一判断，利用点线面的位置关系即可得到答案.【详解】对于A 选项，,a b 有可能异面，故错误；对于B 选项，,a b 可能相交或异面，故错误；对于C 选项，//,a b a α⊥，显然b α⊥故正确；对于D 选项，//a α也有可能，故错误.所以答案选C.【点睛】本题主要考查直线与平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力，难度不大.6.正方体1111ABCD A B C D -中,直线AC 与1BC 所成角的余弦值为（）B.2C.12D. 0【答案】C 【解析】【分析】作出相关图形，通过平行将异面直线所成角转化为共面直线所成角.【详解】作出相关图形，由于11//AC A C ，所以直线AC 与1BC 所成角即为直线11A C 与1BC 所成角，由于11A C B ∆为等边三角形，于是所成角余弦值为12，故答案选C.【点睛】本题主要考查异面直线所成角的余弦值，难度不大.7.已知01x <<,当411x x+-取得最小值时x =（）A. 2-1C.45D.23【解析】【分析】可用导函数解决最小值问题，即可得到答案.【详解】根据题意，令41()1f x x x=+-，则()()222241(2)(32)()11x x f x x x x x ---'=-+=--，而当2(0,)3x ∈时，()0f x '<，当2(,1)3x ∈时，()0f x '>，则()f x 在23x =处取得极小值，故选D.【点睛】本题主要考查函数的最值问题，意在考查学生利用导数工具解决实际问题的能力，难度中等.8.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,2221,2b ac AB =+边上的中线长为2,则ABC ∆面积的最大值为（）A. 2B.C. D. 4【答案】D 【解析】【分析】作出图形，通过+=CDB ADC π∠∠和余弦定理可计算出2a =，于是利用均值不等式即可得到答案.【详解】根据题意可知2c AD BD ==，而22224+4+44cos =2222c c b b ADC c c --∠=⋅⋅，同理224+4cos 2c a CDB c -∠=，而+=CDB ADC π∠∠，于是cos +cos 0CDB ADC ∠∠=，即2228+02c a b --=，又因为22212b a c =+，代入解得2a =.过D 作DE 垂直于AB 于点E ，因此E 为中点，故14BE c =，而22142422ABCBE BE S AB BE ∆-+==≤⋅=，故面积最大值为4，【点睛】本题主要考查解三角形与基本不等式的相关综合，表示出三角形面积及使用均值不等式是解决本题的关键，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度较大.二、多选题:本题共2小题,每小题5分,共10分。

福建厦门2024年高一下学期7月期末质检数学试题(解析版)

厦门市2023—2024学年第二学期高一期末质量检测数学试题满分：150分考试时间：120分钟考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将答题卡交回．一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若()1i 13i z −=+，则z =（）A. 2i +B. 22i +C. 12i +D. 12i −+【答案】D 【解析】【分析】利用复数的四则运算求解出复数即可.【详解】因()1i 13i z −=+，所以22(13i)(1i)13i i 3i (1i)(1i)1i z+++++=−+−i 4i 22i 1122−=−+−=，故D 正确. 故选：D2. 为了解某校高一年级学生体育锻炼情况，用比例分配的分层随机抽样方法抽取50人作为样本，其中男生20人.已知该校高一年级女生240人，则高一年级学生总数为（） A. 600 B. 480C. 400D. 360【答案】C 【解析】【分析】用分层抽样的概念，和样本估计总体的思想解题即可.【详解】抽取50人作为样本，其中男生20人.则女生30人.则男女比例为：2:3．该校高一年级女生240人，则男生160人. 高一年级学生总数为400人.为故选：C ．3. 在梯形ABCD 中//AB CD ，AB AD ⊥，222AB AD CD ===，以AD 所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为（） A.5π3B.7π3C. 5πD. 7π【答案】B 【解析】【分析】由已知可得AD 为直角梯形的直角边，则绕AD 旋转可得几何体为圆台，进而可得圆台体积. 【详解】已知可得AD 为直角梯形的直角边，则绕AD 旋转可得几何体为圆台，可知圆台上底面半径为1CD =，下底面半径2AB =，高1h AD ==，所以体积()()22ππ7π1421333VCD AB CD AB AD =++⋅⋅=++×=，故选：B.4. 甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（） A. 0.3 B. 0.5C. 0.7D. 0.9【答案】B 【解析】. 【详解】设甲获奖为事件A ，乙获奖为事件B ，所以()0.5P A =，()0.4P B =，()0.2P AB =，因为()()()0.2P A P B P AB ==，所以事件A 与事件B 相互独立，根据题意，甲､乙两人恰有一人获奖的概率为()()()()0.50.60.50.40.30.20.5P P A P B P A P B =+=×+×=+=，故选：B.5. 如图，甲在M 处观测到河对岸的某建筑物在北偏东15 方向，顶部P 的仰角为30 ，往正东方向前进150m 到达N 处，测得该建筑物在北偏西45 方向.底部Q 和,M N 在同一水平面内，则该建筑物的高PQ为（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】分析题意结合正弦定理得到MQ =再由题意得到PQ ⊥面MNQ ，利用线面垂直的性质得到PQ MQ ⊥，最后利用锐角三角函数的定义求解即可.【详解】由题意得45MNQ ∠= ，75QMN ∠= ，30PMQ ∠= ，150MN =，在MQN △中，由三角形内角和定理得60MQN ∠=，=MQ =PQ ⊥面MNQ ，所以PQ MQ ⊥，在MQP △=，解得PQ =A 正确. 故选：A6. 已知,,αβγ是三个不重合的平面，,m n αβαγ∩=∩=，则（） A. 若m //n ，则β//γB. 若m n ⊥，则βγ⊥C. 若,αβαγ⊥⊥，则m //nD. 若,αγβγ⊥⊥，则m n ⊥ 【答案】D 【解析】【分析】构造长方体模型，通过举反例可以判断A 、B 、C 是错误的，在利用排除法即可得到正确答案.【详解】如图，构造长方体模型，对于A ，设平面ADD A ′′为平面α，平面ABCD 为平面β，平面D A BC ′′为平面γ，则直线AD 为m ，直线A D ′′为n ，易知，此时m //n ，但BC βγ= ，故A 错误；对于B ，设平面ADD A ′′为平面α，平面AB C D ′′为平面β，平面DBBD ′为平面γ，则直线AD 为m ，直线DD ′为n ，易知，此时m ⊥n ，但平面AB C D ′′与平面DBBD ′不垂直，故B 错误；对于C ，设平面ADD A ′′为平面α，平面ABCD 为平面β，平面DCC D ′′为平面γ，则直线AD 为m ，直线DD ′为n ，此时m ⊥n ，故C 错误；因为,,m αγβγαβ⊥⊥∩=，所以m γ⊥，又n γ⊂，所以m n ⊥，D 正确；故选：D.7.若i z z =−，则） A. 1B.C.D. 2【答案】A 【解析】【分析】设i ,z x y x y ∈=+R ，，结合条件求出,x y ，再求模即可．【详解】设i ,z x y x y ∈=+R ，，则i i (1)i z x y z x y −=−+−=+−，,又i z z =−−，则=解得12x y = =，即1i 2z=，故1z =.故选：A8. 向量12,,e e a 满足121212π01,3,e e e e a e a e ⋅===−−= ，，则a 的最大值为（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】令11OE e = ，22OE e = ，OA a =，则由已知条件可得12E E =12π3E AE ∠=，利用正弦定理求出12E AE 外接圆的半径，再结合图形可求得结果.【详解】令11OE e = ，22OE e = ，OA a =，则122112,a e a e OA OE E A OA OE E A =−=−−=−= ，因为120e e ⋅=，121==e e ，所以12E E =．因为12π,3a e a e −−= ，所以12π3E AE ∠=．所以过1E ，A ，2E 的圆C的半径121122sin E E r E CE AE ===∠连接OC 交12E E 于点D ，连接1CE ，则11212OD DEE E ===CD，所以OC =，所以OA最大值为OC r +，故选：B.的【点睛】关键点点睛：此题考查向量的加减法运算，考查求向量的模，解题的关键是令11OE e =，22OE e = ，OA a =，然后根据已知条件画出图形，结合图形求解，考查数形结合思想和计算能力，属于较难题.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 某学校开展消防安全知识培训，对甲､乙两班学员进行消防安全知识测试，绘制测试成绩的频率分布直方图，如图所示：（）A. 甲班成绩的平均数<甲班成绩的中位数B. 乙班成绩的平均数<乙班成绩的中位数C. 甲班成绩的平均数<乙班成绩的平均数D. 乙班成绩的中位数<甲班成绩的中位数【答案】BC 【解析】【分析】根据甲、乙两班的频率分布直方图直接求出甲、乙两班的平均数、中位数即可得解. 【详解】对于A ，由甲班频率分布直方图可得甲班成绩的平均数为x =甲()0.01667.50.06472.50.0477.50.03282.50.02487.50.01692.50.00897.55×+×+×+×+×+×+×× 79.1=，甲班成绩分在[)65,75内频率之和()0.0160.06450.40.5+×=<，成绩分在[)65,80内频率之和为()0.0160.0640.0450.60.5++×=>，所以甲班成绩的中位数为0.50.4755=77.579.10.045−+×<×，故A 错误；对于B ，由乙班频率分布直方图可得乙班成绩的平均数为x =乙()0.01697.50.06492.50.0487.50.03282.50.02477.50.01672.50.00867.55×+×+×+×+×+×+×× 85.9=，乙班成绩分在[)65,85内频率之和为()0.008+0.0160.024+0.03250.40.5+×=<，成绩分在[)65,90内频率之和为()0.008+0.0160.024+0.032+0.0450.60.5+×=>，所以乙班成绩的中位数为0.50.4855=87.585.90.045−+×>×，故B 正确；对于C ，由A 、B 可知甲班平均数小于乙班平均数，故C 正确；对于D ，由A 、B 可知甲班中位数小于乙班的中位数，故D 错误. 故选：BC.10. 在梯形ABCD 中，2,2,2AD BC AD AB AN ND === ，则（） A. 12DC AB AD =−B. 0AB BD ⋅=C. 0AC CD ⋅=D. AN 在AC 上的投影向量为23AC【答案】ACD 【解析】【分析】根据向量即平面几何知识即可求解.【详解】取AD 的中点E ，连接,,,BE CE AC BD ，12AE AD =根据题意可知，//AD BC 且2AD BC =，则BC AE =，BC ED =，所以四边形AECB 为平行四边形，所以12DC EB AB AE AB AD ==−=−，故A 正确；因为题意没有说明BC 与CD 的大小关系，所以不能证明AC BD ⊥，故B 错误；为因为12AE AD =，12BC AD =，且12AB AD = ，所以AB AE =，所以四边形AECB 为菱形，所以AC BE ⊥，因为//BE CD ，所以AC CD ⊥，所以0AC CD ⋅=，故C 正确；过N 作AC 的垂线，垂足为F ，连接NF ，因为AC CD ⊥且AC NF ⊥，2AN ND =，所以23AN AC =，AN 在AC 上的投影向量为23AC ，故D 正确；故选：ACD.11. 在长方体1111ABCD A B C D −中，11,AB AD AA ===，动点P 满足[]()1,0,1BP BC BB λµλµ=+∈，则（）A. 当0λ=时，AC DP ⊥B. 当1λ=时，AC 与DP 是异面直线C. 当1µ=时，三棱锥1P ABB −的外接球体积的最大值为4π3D. 当12µ=时，存在点P ，使得DP ⊥平面1ACD 【答案】ACD 【解析】【分析】用线面垂直证明线线垂直，即可判断A ；当1λ=，0µ=时, AC 与DP 有交点，即可判断B ；当1λ=时，点P 与1C 重合，此时三棱锥1P ABB −的体积最大，从而得到外接球体积最大，即可得解C ；当0λ=时，112BP BB =，即P 为1BB 的中点时，DP ⊥平面1ACD ,证明即可判断D.【详解】对于A ，当0λ=时，1BP BB µ=，在长方体中，易知1BB ABCD AC ABCD ⊥⊂平面，平面，所以1BB AC ⊥，又1AC DB DB BB B ⊥=，，所以1AC DBB ⊥平面又1DP DBB ⊂平面，所以AC DP ⊥，故A 正确；对于B ，当1λ=，0µ=时，BP BC =，此时，又AC 与DP 相交于点C ，故B 错误；对于C ，当1µ=时，1BP BC BB λ=+，当1λ=时，点P 与1C 重合，此时三棱锥1P ABB −的高最大，由于底面1ABB 的面积是定值，所以此时三棱锥1P ABB −的体积最大，即三棱锥1P ABB −的外接球体积最大。

福建省厦门市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题参考答案及评分标准

P ( A) = P ( NYY YNY YYN YYY) ··················································8 分
连接 EB ， FC ． ·····················································································3 分
法一：（存在性证明）因为 EF∥B1C1, BC∥B1C1 ，所以 EF∥BC ， ······················································································4 分
所以
n
−
2 3
m
1 3
m
+
1 2
n
+
1 2
r2
=
0
，······················································7
分
即 1 mn + 1 n2 − 2 m2 − 1 mn + 1 r2 = 1 (n2 + r2 ) − 2 m2 = 0 ．·························8 分
3
3
因为 F 是 BC 的中点，所以 EF = EB + BF ···················································3 分
= 1 AB + 1 BC = 1 a + 1 b ． ···························4 分
3
2
32
（2）因为 ED ⊥ EF ，所以 ED EF = 0 ， ···················································5 分

2022-2023学年福建省厦门市高一下学期期末考试数学试题【含答案】

2022-2023学年福建省厦门市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知复数11iz =+，则复数z 共轭复数的虚部为（）A ．1-B ．1C ．12-D ．12【答案】D【分析】利用复数的除法化简复数z ，利用共轭复数和复数的定义可得结果.【详解】()()11i 11i 1i 1i 1i 22z -===-++- ，则11i 22z =+，故复数z 共轭复数的虚部为12.故选：D.2．高一､1班有学生54人，高一､2班有学生42人，用分层抽样的方法从这两个班中抽出一部分人组成44⨯方队，进行会操比赛，则高一､1班和高一､2班分别被抽取的人数是（）A ．9､7B ．15､1C ．8､8D ．12､4【答案】A【分析】利用分层抽样的定义求解即可【详解】由题意得高一､1班被抽取的人数为541695442⨯=+人，高一､2班被抽取的人数421675442⨯=+人，故选：A3．甲､乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，下列说法错误的是（）A ．两人都做对的概率是0.72B ．恰好有一人做对的概率是0.26C ．两人都做错的概率是0.15D ．至少有一人做对的概率是0.98【答案】C【分析】甲乙两人做题属于相互独立事件，根据独立事件的乘法公式求得两人都做对的概率和两人都做错的概率，判断A,C;根据互斥事件的概率加法公式可求恰好有一人做对的概率，判断B ；至少有一人做对的概率等于1减去两人都做错的概率，判断D.【详解】由于甲做对的概率为0.8，乙做对的概率为0.9，故两人都做对的概率是0.80.90.72⨯=，所以A 正确；恰好有一人做对的概率是0.8(10.9)(10.8)0.90.26⨯-+-⨯=，故B 正确；两人都做错的概率是(10.8)(10.9)0.02-⨯-=，故C 错误；至少有一人做对的概率是1(10.8)(10.9)0.98--⨯-=，故D 正确，故选：C4．已知向量(1,2)a =- ，(2,)b m = ，若a b ⊥，则m =（）A ．1-B ．1C ．14-D ．14【答案】B【分析】根据向量的数量积运算法则计算即可；【详解】因为a b ⊥，所以1220,1m m -⨯+==，故选：B.5．紫砂壶是中国特有的手工制造陶土工艺品，其制作始于明朝正德年间.紫砂壶的壶型众多，经典的有西施壶､掇球壶､石瓢壶､潘壶等.其中石瓢壶的壶体可以近似看成一个圆台，如图给出了一个石瓢壶的相关数据（单位：cm ），那么该壶的最大盛水量为（）A ．368cm πB ．3152cm πC ．32010cm πD ．3204cm π【答案】B【分析】由题得上底面半径为4，下底面半径为6，圆台高为6，代入台体体积公式，即可得答案.【详解】由题意得上底面半径为4，面积21=4=16S ππ⨯，下底面半径为6，面积22=6=36S ππ⨯，圆台高h 为6，则圆台的体积()()121211=++16361636615233V S S S S h πππππ=++⨯⨯=3cm .故选：B6．已知复数1z ，2z ，则“12z z R ⋅∈”是“12z z =”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】取112z i =+，224i z =-举例说明充分性不成立；再由复数的乘法运算证明必要性成立，由此即可得出结论.【详解】举反例说明充分性不成立：取112z i =+，224i z =-，则()()1212i 24i =2+8=10z z R =+-∈⋅，但得不出12z z =，下面证明必要性成立：若i z a b =+(),,0a b R b ∈≠，则z 的共轭如实为i z a b =-，所以()()22i i z z a b a b a b R ⋅=-+=+∈成立，所以由1z 与2z 互为共轭复数能得到12z z R ⋅∈；所以“12z z R ⋅∈”是“12z z =”的必要不充分条件.故选：B7．在ABC 中，角A ､B ､C 对边分别为a ､b ､c ，且cos 3sin 3A aB b=，当7a =，2b =时，ABC 的面积是（）A ．32B ．72C ．332D ．372【答案】C【分析】利用正弦定理求出3A π=，利用余弦定理求出3c =，即可求出ABC 的面积.【详解】对于cos 3sin 3A aB b =，用正弦定理得：cos 3sin sin 3sin A A B B=.因为()0,A π∈，且tan 3A =,所以3A π=.由余弦定理2222cos a b c bc A =+-得：2174222c c =+-⨯⨯,解得：3c =（1c =-舍去）.所以ABC 的面积是11333sin 232222S bc A ==⨯⨯⨯=.故选：C8．某零件加工厂认定工人通过试用期的方法为：随机选取试用期中的5天，再从每天生产的零件中分别随机抽取25件，要求每天合格品均不低于22件．若甲、乙、丙三人在其5天抽检样本中的合格品件数统计如下，甲：中位数为24，极差不超过2；乙：平均数为23，方差不超过1；丙：众数为23，方差不超过1，则一定能．．．通过试用期的有（）A ．甲、乙B ．甲、丙C ．乙、丙D ．甲、乙、丙【答案】A【分析】根据甲乙丙的统计数据，判断他们的合格品数是否有可能低于22，只要不低于22，则一定能通过.【详解】对于甲：由甲的统计数据可知，甲至少有3天的合格品数不低于24，最低合格品数不低于2，所以甲一定能通过；对于乙：设乙每天的合格品件数为(1,2,3,4,5),iia i a Z =∈，则521(23)15ii a =-≤∑，即521(23)5i i a =-≤∑.若乙有不止一天的合格品数低于21，521(23)5i i a =->∑，不合题意；若乙只有一天的合格品数低于22，不妨取121a =，21(23)4a -=，因为平均数为23，则至少有一天的合格品数为25或至少有两天的合格品数为24，无论哪种情况，都可以得到521(23)5i i a =->∑，不合题意，所以乙的每一天的合格品数都不低于22，乙一定能通过；对于丙：若丙的合格品数为21，22，23，23，23，则丙的众数为23，方差为0.64，符合丙的统计数据，但丙不能通过；所以甲、乙一定能通过，A 正确；故选：A.二、多选题9．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如图所示的扇形图．则下面结论中正确的是（）A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半【答案】BCD【分析】首先设出新农村建设前的经济收入为a ，根据题意，得到新农村建设后的经济收入为2a ，之后从图中各项收入所占的比例，得到其对应的收入是多少，从而可以比较其大小，并且得到其相应的关系，从而得出正确的选项.【详解】设新农村建设前农村的经济收入为a ，则新农村建设后农村的经济收入为2a ，对A ，新农村建设前的种植收入为60%0.6a a ⨯=，新农村建设后的种植收入为237%0.74a a ⨯=，种植收入增加，故A 错误；对B ，新农村建设前的其他收入为4%0.04a a ⨯=，新农村建设后的其他收入为25%0.1a a ⨯=，增加了一倍以上，故B 正确；对C ，新农村建设前的养殖收入为30%0.3a a ⨯=，新农村建设后的养殖收入为230%0.6a a ⨯=，增加了一倍，故C 正确；对D ，新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和为()230%28% 1.16a a ⨯+=，超过了经济收入的一半，故D 正确.故选：BCD.10．已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且π3C ∠=，c =2．则下列结论正确的是（）A ．△ABC 的周长最大值为6B ．AC AB ⋅的最大值为4323+C ．cos cos 2b A a B +=D ．cos cos BA 的取值范围为()3,3,2∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】AB【分析】A 选项，利用余弦定理和基本不等式即可求解周长的最大值；B 选项，先利用向量的数量积计算公式和余弦定理得2242b a AC AB +-⋅= ，再利用正弦定理和三角恒等变换得到2283πcos 236b a B ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，结合B 的取值范围即可求出AC AB ⋅ 的最大值；C 选项，结合B 选项中的正弦定理进行求解即可；D 选项，用()cos cos B A C =-+进行变换得到cos 31tan cos 22B A A =-，结合A 的取值范围即可得到cos cos BA的取值范围．【详解】对于A ，由余弦定理得2241cos 22a b C ab +-==，解得224a b ab +=+，所以()22+343+42a b a b ab ⎛⎫+=+≤⨯ ⎪⎝⎭，当且仅当2a b ==时，等号成立，解得+4a b ≤，当且仅当2a b ==时，等号成立，则△ABC 周长4+26l a b c =++≤=，所以△ABC 周长的最大值为6，故A 正确；对于B ，由222224cos 22b c a b a AC AB AC AB A bc bc +-+-⋅=⋅=⋅=，又由正弦定理得243πsin sin 3sin3a b A B ===，则43sin 3a A =，43sin 3b B =，所以()22222216162πsin sin sin sin 333b a B A B B ⎡⎤⎛⎫-=-=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4π1cos 2161cos 283π3cos 232236B B B ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥-⎛⎫⎝⎭⎢⎥=-=-- ⎪⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦，因为2π0,3B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以ππ7π2,666B ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则2283πcos 236b a B ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭的最大值为833，即2242b a +-的最大值为4323+，所以AC AB ⋅的最大值为4323+，故B 正确；对于C ，结合B 选项得()()434343433cos cos sin cos sin cos sin sin 233332b A a B B A A B A B C +=+=+==⨯=，故C 错误；对于D ，由π31cos sin cos cos 31322tan cos cos cos 22A A A B A A A A ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭===-，又2π0,3A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()()tan ,30,A ∞∞∈--⋃+，所以()311tan ,2,222A ∞∞⎛⎫-∈--⋃-+ ⎪⎝⎭，故D 错误．故选：AB ．【点睛】三角函数相关的取值范围问题，常常利用正弦定理，将边转化为角，结合三角函数性质及三角恒等变换进行求解，或者将角转化为边，利用基本不等式进行求解．11．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上一面的点数，用x 表示红色骰子的点数，y 表示绿色骰子的点数，定义事件：A =“7x y +=”，B =“xy 为奇数”，C =“3x >”，则下列结论错误的是（）A ．B 与C 相互独立B ．A 与B 对立C ．A 与C 相互独立D ．A 与B 互斥但不对立【答案】CD【分析】应用表格列举出(,)x y xy +的所有可能情况，根据题设描述及独立事件、互斥、对立事件定义判断各项正误即可.【详解】下表中行表示x ，列表示y ，则(,)x y xy +1234561(2,1)(3,2)(4,3)(5,4)(6,5)(7,6)2(3,2)(4,4)(5,6)(6,8)(7,10)(8,12)3(4,3)(5,6)(6,9)(7,12)(8,15)(9,18)4(5,4)(6,8)(7,12)(8,16)(9,20)(10,24)5(6,5)(7,10)(8,15)(9,20)(10,25)(11,30)6(7,6)(8,12)(9,18)(10,24)(11,30)(12,36)满足事件A 有(7,6)、(7,10)、(7,12)、(7,12)、(7,10)、(7,6)共6种，满足事件B 有(2,1)、(4,3)、(6,5)、(4,3)、(6,9)、(8,15)、(6,5)、(8,15)、(10,25)共9种，满足事件C 有(5,4)、(6,5)、(7,6)、(6,8)、(7,10)、(8,12)、(7,12)、(8,15)、(9,18)、(8,16)、(9,20)、(10,24)、(9,20)、(10,25)、(11,30)、(10,24)、(11,30)、(12,36)，即后3列，共18种，所以事件AB 有0种，事件BC 有3种，事件AC 有3种，则B 错，D 对，所以1()6P A =，1()4P B =，1()2P C =，()0P AB =，1()()12P AC P BC ==，则()()()P BC P B P C ≠，()()()P AC P A P C =，A 错，C 对，故选：CD12．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 、E 、F 分别为1CC 、BC 、CD 的中点，则下列说法正确的是（）A ．AP 与EF 所成角为60︒B ．点1A 到平面PEF 的距离为334C ．直线1A B 与平面PEF 所成角的正弦值为63D ．平面1PED 截正方体得到的截面图形是梯形【答案】CD【分析】对于A ，连接,AC BD ，交于点O ，则由正方体的性质和三角形的中位线定理可得EF AP ⊥，从而可求得AP 与EF 所成角，对于BC ，建立如所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解，对于D ，连接11,,BC AD AE ，利用正方体的性质和三角形的中位线定理可得结论【详解】对于A ，连接,AC BD ，交于点O ，则AC BD ⊥，因为1CC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，所以1CC BD ⊥，因为1AC CC C = ，所以BD ⊥平面ACP ，因为AP ⊂平面ACP ，所以BD AP ⊥，因为E 、F 分别为BC 、CD 的中点，所以E 、F 分别为1CC 、BC 、CD 的中点，EF ∥BD ,所以EF AP ⊥，所以AP 与EF 所成角为90︒，所以A 错误，对于B ，如图建立空间直角坐标系，则1111(1,0,1),(,1,0),(0,,0),(0,1,)222A E F P ，(1,1,0)B所以111111(1,1,),(,,0),(0,,)22222PA EF FP =-=--= ,设平面PEF 的法向量为(,,)n x y z =，则1102211022n EF x y n FP y z ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令1z =，则(1,1,1)n =- ，所以点1A 到平面PEF 的距离为111153263PA n d n ++⋅===，所以B 错误，对于C ，1(0,1,1)BA =-，设直线1A B 与平面PEF 所成角为θ，则126sin cos ,332BA n θ===⨯，所以C正确，对于D ，如图，连接11,,BC AD AE ，则1BC ∥1AD ，11BC AD =，因为点P 、E 分别为1CC 、BC 的中点，所以EP ∥1BC ，112EP BC =，所以EP ∥1AD ，112EP AD =，所以四边形1AEPD 为梯形，所以平面1PED 截正方体得到的截面图形是梯形，所以D正确故选：CD三、填空题13．向量(1,2)a = ，向量(1,0)b =- ，则b 在a上的投影向量是.【答案】12(,)55--【分析】根据投影向量的定义写出b 在a上的投影向量.【详解】b 在a上的投影向量为21(1)2012(1,2)(,)55||||(5)a b a a a ⋅⨯-+⨯⋅=⋅=--.故答案为：12(,)55--14．ABC 中，5AB AC ==，8BC =，则此三角形的外接圆半径是.【答案】256【分析】根据余弦定理，可得cos A ，进而可得sin A 的值，根据正弦定理，即可得答案.【详解】由余弦定理得2222525647cos 225525AC AB BC A AC AB +-+-===-⋅⨯⨯，因为(0,)A π∈，所以224sin 1cos 25A A =-=，设外接圆半径为R ，由正弦定理得8224sin 25BC R A ==，解得256R =故答案为：25615．某单位对全体职工的某项指标进行调查．现按照性别进行分层抽样，得到男职工样本20个，其平均数和方差分别为7和4；女职工样本5个，其平均数和方差分别为8和1，以此估计总体方差为．【答案】3.56【分析】结合平均数和方差的公式即可求出结果.【详解】解：设男职工的指标数分别为1220,,,x x x ，女职工的指标数分别为125,,,y y y ，则()20202117742020ii i i x x ,==-==∑∑，()5521188155ii i i y y ,==-==∑∑，所以2020211140802049i ii i x ,x ====+⨯∑∑，55211405564i i i i y ,y ====+⨯∑∑，所以本次调查的总样本的平均数为2051114040722525i i i i x y .==++==∑∑，本次调查的总样本的方差是()()2052211727225i i i i x .y .==-+-∑∑20205522221111144207214457225i i i i i i i i x .x .y .y .====-+⨯+-+⨯=∑∑∑∑228020492072556457225..+⨯-⨯++⨯-⨯=3.56=故答案为：3.56四、双空题16．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，2AC =，3BC =，13CC =，则该直三棱柱外接球的表面积为；设P 为线段1B C 上的动点，则1AP PC +的最小值为．【答案】16π19【分析】根据题意将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ACBD A C B D -，则直三棱柱的外接球就是长方体的外接球，外接球的直径等于长方体的体对角线，从而可求出直三棱柱外接球的表面积，将11C B C △绕1B C 展开至与平面11BCC B 垂直的位置，则11,,,A C C B 共面，连接1AC ，则1AC 的长就是1AP PC +的最小值，然后利用余弦定理可求得结果【详解】因为直三棱柱111ABC A B C -中，AC BC ⊥，所以将直三棱柱111ABC A B C -补成长方体1111ACBD A C B D -，如图所示，所以直三棱柱111ABC A B C -的外接球就是长方体1111ACBD A C B D -外接球，因为2AC =，3BC =，13CC =，所以外接球的直径为222124394R AC BC CC =++=++=，所以外接球的半径为2R =，所以直三棱柱外接球的表面积为24216ππ⨯=，直三棱柱中，侧面与底面垂直，因为AC BC ⊥，平面ABC ⊥平面11BCC B ，平面ABC ⋂平面11BCC B BC =，所以AC ⊥平面11BCC B ，因为1B C ⊂平面11BCC B ，所以1AC B C ⊥，将11C B C △绕1B C 展开至与平面11BCC B 垂直的位置，则11,,,A C C B 共面，如图所示，连接1AC ，则1AC 的长就是1AP PC +的最小值，在11CC B 中，1111190,3,3B C C B C CC ∠=︒==，则13923B C =+=，在1ACB 中，190,2ACB AC ∠=︒=，在1ACC △中，由余弦定理得22211112cos AC AC CC AC CC ACC =+-⋅∠1149223cos(90)B CC =+-⨯⨯︒+∠11312sin B CC=+∠1111312B C B C=+⨯313121923=+⨯=,所以119AC =，所以1AP PC +的最小值为19，故答案为：16π，19五、解答题17．已知向量()()1,0,3,a b a a b ==⊥- ．(1)求a b + ；(2)求a 与a b + 的夹角的余弦值．【答案】(1)23(2)33【分析】（1）由()a ab ⊥- 可求出1a b ⋅= ，再将数量积和模长代入即可求出答案.（2）由向量的夹角公式代入即可求出答案.【详解】（1）因为()1,0a = ，所以1a = 由()a ab ⊥- 得()20a a b a a b ⋅-=-⋅= 解得1a b ⋅= ．所以2||a b a b +=+ 22222121323a a b b =+⋅+=+⨯+= ．（2）因为()22a a b a a b ⋅+=+⋅= ．所以()cos ,a a b a a b a a b ⋅++=+ ．23323==所以a 与a b + 的夹角的余弦值33．18．《九章算术》是我国古代数学专著，书中将底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”.如图，在阳马S ABCD -中，SA ⊥平面ABCD ，E 为SD 的中点.(1)求证：SB ∥平面EAC ；(2)若SA AD =，求证：AE SC ⊥.【答案】(1)证明见详解(2)证明见详解【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明；（2）根据线面垂直的判定定理和性质定理分析证明.【详解】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OE ，∵,O E 分别为,BD SD 的中点，则SB OE ，SB ⊄平面EAC ，OE ⊂平面EAC ，∴SB 平面EAC .（2）∵SA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，∴SA CD ⊥，又∵ABCD 为矩形，则AD CD ⊥，且,SA AD ⊂平面SAD ，SA AD A⋂=∴CD ⊥平面SAD ，由AE ⊂平面SAD ，可得CD AE ⊥，若SA AD =，且E 为SD 的中点，则SD AE ⊥，,CD SD ⊂平面SCD ，CD SD D ⋂=，则⊥AE 平面SCD ，SC ⊂平面SCD ，故AE SC ⊥.19．中国共产党第二十次全国代表大会将于2022年下半年在北京召开．某学校组织全校学生进行了一次“党代会知识知多少？的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间[]50,100，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图．(1)求图中a 的值，并估计这40名学生测试成绩的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）；(2)利用比例分配的分层随机抽样方法，从成绩不低于80分的学生中抽取7人组成党代会知识宣讲团．若从这选定的7人中随机抽取2人，求至少有1人测试成绩位于区间[]90,100的概率．【答案】(1)0.03a =；平均数为74.5，中位数为75．(2)1121【分析】（1）通过频率分布直方图中所有小矩形的面积之和等于1求出a ，进而可求得平均数及中位数；（2）列出7人中随机抽取2人的21种情况，确定至少有1人测试成绩位于区间[]90,100有11种，即可得解.【详解】（1）解：由于图中所有小矩形的面积之和等于1，所以()100.0150.020.0250.011⨯++++=a ，解得0.03a =．所以样本中40名学生的测试成绩的平均数550.15650.2750.3850.25950.174.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．设这40名学生的测试成绩的中位数为x ，由于前2组频率之和为0.35，前3组频率之和为0.65，故中位数落在第3组，于是有()700.030.350.5-⨯+=x ，解得75x =．即这40名学生的测试成绩的中位数为75．（2）由分层随机抽样可知，在区间[]80,90应抽取5人，记为a ，b ，c ，d ，e ，在区间[]90,100应抽取2人，记为A ，B ，从中任取2人的所有可能结果为：(),a b ，(),a c ，(),a d ，(),a e ，(),a A ，(),a B ，(),b c ，(),b d ，(),b e ，(),b A ，(),b B ，(),c d ，(),c e ，(),c A ，(),c B ，(),d e ，(),d A ，(),d B ，(),e A ，(),e B ，(),A B ，共21种．其中至少有一人测试成绩位于区间[]90,100内有：(),a A ，(),a B ，(),b A ，(),b B ，(),c A ，(),c B ，(),d A ，(),d B ，(),e A ，(),e B ，(),A B ，共11种．所以，至少有一人的测试成绩位于区间[]90,100内的概率为1121．20．如图，四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为梯形，其中//,224,60AB DC AB BC CD BCD ∠==== ，平面PBD ⊥平面ABCD .(1)证明：PB AD ⊥；(2)若PB PD =，且PA 与平面ABCD 所成角的正弦值为32222，求四棱锥P ABCD -的体积.【答案】(1)证明见解析；(2)33.【分析】（1）在梯形中结合余弦定理证明AD BD ⊥，再利用面面垂直的性质、线面垂直的性质推理作答.（2）取BD 中点O ，利用线面角求出四棱锥的高PO ，再计算体积作答.【详解】（1）因2,60BC CD BCD ∠=== ，则BCD △为等边三角形，即122BD AB ==，又//AB DC ，有=60ABD ∠︒，在ABD △中，222221=+2cos =4+2242=122AD AB BD AB BD ABD -⋅∠-⨯⨯⨯，于是得222AD BD AB +=，即AD BD ⊥，而平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面=ABCD BD ，AD ⊂平面ABCD ，因此AD ⊥平面PBD ，又PB ⊂平面PBD ，所以PB AD ⊥.（2）取BD 中点O ，连PO ，如图，PB PD =，则PO BD ⊥，平面PBD ⊥平面ABCD ，平面PBD 平面=ABCD BD ，PO ⊂平面PBD ，则PO ⊥平面ABCD ，连接AO ，则AO 为PA 在平面ABCD 内的射影，即∠PAO 为PA 与平面ABCD 所成角，有322sin 22PAO ∠=，则3an 133t 1PAO ∠=，而2213AO AD DO =+=，于是得3PO =，梯形ABCD 的面积为2213132322332424ABD BCD S S S AD BD BC =+=⋅+=⨯⨯+⨯= ，所以四棱锥P ABCD -的体积133331333P ABCDS PO V -=⨯⨯==⋅.21．甲、乙、丙、丁四名选手进行羽毛球单打比赛．比赛采用单循环赛制，即任意两位参赛选手之间均进行一场比赛．每场比赛实行三局两胜制，即最先获取两局的选手获得胜利，本场比赛随即结束．假定每场比赛、每局比赛结果互不影响．(1)若甲、乙比赛时，甲每局获胜的概率为23，求甲获得本场比赛胜利的概率；(2)若甲与乙、丙、丁每场比赛获胜的概率分别为12，23，34，试确定甲第二场比赛的对手，使得甲在三场比赛中恰好连胜两场的概率最大．【答案】(1)2027(2)丁【分析】（1）分第一局第二局，第一局第三局，第二局第三局获胜求解；（2）分甲在第二场甲胜乙，甲胜丙，甲胜丁求解.【详解】（1）解：设甲在第i 局获胜为事件()1,2,3i A i =，事件B =“甲获得本场比赛胜利”，则()()12123123B A A A A A A A A =⋃⋃，所以()2222222220113333333327P B ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（2）若甲在第二场与乙比赛，则甲胜乙，且在甲丙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率11232351122343412P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；若甲在第二场与丙比赛，则甲胜丙，且在甲与乙、甲与丁的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率2231312112342423P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦；若甲在第二场与丁比赛，则甲胜丁，且在甲与乙、甲与丙的比赛中，甲只胜一场．此时，甲恰好连胜两场的概率3312123112423234P ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+-⨯⨯= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．因为123P P P <<，所以，甲在第二场与丁比赛时，甲恰好连胜两场的概率最大．22．记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 3sin 0a C a C b c +--=．(1)若ABC 的面积为34，求a 的最小值；(2)若π3A =，BC 边上的中线长为52，且ABC 的外接圆半径为3，求ABC 的周长．【答案】(1)1(2)333+．【分析】（1）由cos 3sin 0a C a C b c +--=和ABC 的面积为34，可得π3A =，bc ＝1，后由余弦定理结合基本不等式可得答案；（2）由ABC 的外接圆半径为3，结合正弦定理可得3a =.由BC 的中点为E ，可得2225c b bc ++=，后由余弦定理可得答案.【详解】（1）2cos 3sin 0cos 3sin a C a C b c ab C ab C b bc+--=⇒+=+()222222233231222cos a b c b bc b c a bc bc A +-⇒+=+⇒+-+=⇒+=，又13sin 24bc A =，则2232212322sin cos sin tan cos cos A A A A A A ===+，又()0,πA ∈，则π3A =.13sin 124ABC S bc A bc ==⇒= ，又2221cos 22b c a A bc +-==，所以2221b c a +-=，则22222122b c a bc a a =+--=-≥，解得1a ≥，当且仅当b ＝c ＝1时取等号，故a 的最小值为1；（2）由正弦定理得23sin 3a A ==，设BC 的中点为E ，则1()2AE AB AC =+ ，两边平方得()22212cos 4AE AB AC AB AC A =++⋅⋅ ，即()2225124c b bc ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2225c b bc ⇒++=①由余弦定理得222222cos 9a b c bc A b c bc =+-=+-=②，①－②得8bc =，又22()39a b c bc =+-=，解得33b c +=，故ABC 的周长为333a b c ++=+．。

2019-2020学年福建省厦门市高一(下)期末数学试卷及答案

2019-2020学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）化简sin15°cos5°﹣cos15°sin5°结果为（）A．sin10°B．cos10°C．sin20°D．cos20°2．（5分）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝（）A．（1，3）B．（1，3]C．[﹣1，+∞）D．（1，+∞）3．（5分）如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项，则{a n}的通项公式可以是（）A．a n＝3n﹣1B．a n＝2n﹣1C．a n＝3n D．a n＝2n﹣14．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝x+3y的最大值为（）A．0B．3C．8D．95．（5分）在等比数列{a n}中，a2＝2，a3a5＝64．则＝（）A．4B．8C．16D．646．（5分）设a，b，c是三条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若a⊥b，a⊥α，则b∥αD．若α∥β，a⊥α，则a⊥β7．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1﹣a n＝，则a10＝（）A．B．C．D．8．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过BE的平面α与直线A1F平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A．B．2C．4D．5二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知数列{a n}满足a1＝﹣，a n+1＝，则下列各数是{a n}的项的有（）A．﹣2B．C．D．310．（5分）已知a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A．a+b＞2c B．a﹣b＞b﹣c C．ac＞bc D．＜11．（5分）已知函数f（x）＝sin x+cos x，下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为+1C．f（x）在区间[，]上为减函数D．为f（x）的一个零点12．（5分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD（底面ABCD为正方形，P在底面的投影是正方形的中心）中，下列说法正确的是（）A．AC⊥PBB．AB与PD所成角等于BC与PD所成角C．若平面P AD∩平面PBC＝l，则l∥ADD．平面P AD与平面PBC所成二面角与∠APB相等或互补三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是．14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的侧面积为．15．（5分）等腰三角形顶角的余弦值为，则一个底角的正切值为．16．（5分）已知数列{a n}满足a1+3a2+5a3+…+（2n﹣1）a n＝2n+1，则a3＝，若对任意的n∈N*，a n≥（﹣1）nλ恒成立，则λ的取值范围为．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，满足a cos C+c cos A＝2b cos B．（1）求B；（2）若D是BC边上的中点，AD＝，AB＝1，求△ABC的面积．18．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面ABC是正三角形，侧棱与底面垂直），AB＝AA1＝2，D，E分别是AA1，CB1的中点．（1）证明：DE∥平面ABC；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．19．（12分）在①S3＝a6，②S4＝20，③a1+a4+a7＝24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足a3＝6，____．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2+a n，求{b n}的前n项和T n．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2，P A＝PD＝CD＝BC＝1．（1）证明：BD⊥平面P AD；（2）求直线AB与平面PBD所成角的大小．21．（12分）已知f（x）＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若方程f（x）＝x+1有两个正实数根x1，x2，求+的最小值．22．（12分）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，A﹣B﹣C﹣A为某市的一条健康步道，AB，AC为线段，是以BC为直径的半圆，AB＝2km，AC＝4km，∠BAC＝．（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道A ﹣D﹣C（B，D在AC两侧），AD，CD为线段，若∠ADC＝，A到健康步道B﹣C﹣D的最短距离为2km，求D到直线AB距离的取值范围．2019-2020学年福建省厦门市高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）化简sin15°cos5°﹣cos15°sin5°结果为（）A．sin10°B．cos10°C．sin20°D．cos20°【分析】直接利用三角函数关系式差角公式的变换求出结果．【解答】解：sin15°cos5°﹣cos15°sin5°＝sin（15°﹣5°）＝sin10°．故选：A．【点评】本题考查的知识要点：三角函数的差角公式的倒用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．2．（5分）集合A＝{x|x2﹣2x﹣3≤0}，B＝{x|x＞1}，则A∩B＝（）A．（1，3）B．（1，3]C．[﹣1，+∞）D．（1，+∞）【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．【解答】解：A＝{x|﹣1≤x≤3}，B＝{x|x＞1}，∴A∩B＝（1，3]．故选：B．【点评】本题考查了描述法、区间的定义，交集的定义及运算，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）如图是谢宾斯基（Sierpinsiki）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项，则{a n}的通项公式可以是（）A．a n＝3n﹣1B．a n＝2n﹣1C．a n＝3n D．a n＝2n﹣1【分析】着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项，分别得出，即可得出{a n}的通项公式．【解答】解：着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项，分别为：a1＝1，a2＝3，a3＝3×3＝32，a4＝32×3，因此{a n}的通项公式可以是：a n＝3n﹣1．故选：A．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，考查了观察分析猜想归纳推理能力与计算能力，属于中档题．4．（5分）已知实数x，y满足条件，则z＝x+3y的最大值为（）A．0B．3C．8D．9【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2）．化z＝x+3y为y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2+3×2＝8．故选：C．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．（5分）在等比数列{a n}中，a2＝2，a3a5＝64．则＝（）A．4B．8C．16D．64【分析】利用等比数列通项公式求出首项和公比，由此能求出结果．【解答】解：∵在等比数列{a n}中，a2＝2，a3a5＝64．∴，解得或，＝＝q4＝16．故选：C．【点评】本题考查等比数列中两项和的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．（5分）设a，b，c是三条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题正确的是（）A．若a⊥b，b⊥c，则a⊥c B．若α⊥β，β⊥γ，则α∥γC．若a⊥b，a⊥α，则b∥αD．若α∥β，a⊥α，则a⊥β【分析】对于A，a与c相交、平行或异面；对于B，α与γ相交或平行；对于C，b∥α或b⊂α；对于D，由线面垂直的判定定理得a⊥β．【解答】解：由a，b，c是三条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，知：对于A，若a⊥b，b⊥c，则a与c相交、平行或异面，故A错误；对于B，若α⊥β，β⊥γ，则α与γ相交或平行，故B错误；对于C，若a⊥b，a⊥α，则b∥α或b⊂α，故C错误；对于D，若α∥β，a⊥α，则由线面垂直的判定定理得a⊥β，故D正确．故选：D．【点评】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．7．（5分）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1﹣a n＝，则a10＝（）A．B．C．D．【分析】直接根据递推关系式求出通项公式，即可求解结论．【解答】解：∵数列{a n}满足a1＝1，a n+1﹣a n＝＝﹣，∴a2﹣a1＝1﹣；a3﹣a2＝；…a n﹣a n﹣1＝﹣；∴a n＝a1+1﹣＝2﹣；（n≥2）又a1＝1适合上式；故a n＝2﹣；∴a10＝2﹣＝；故选：C．【点评】本题主要考查数列通项公式的求解以及累加法的应用，属于基础题．8．（5分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，过BE的平面α与直线A1F平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A．B．2C．4D．5【分析】由过BE的平面α与直线A1F平行，CE∥A1F，得平面α是平面BEC，取DD1中点F，连结CF，EF，则CF∥BE，从而平面α截该正方体所得截面为矩形BCFE，由此能求出平面α截该正方体所得截面的面积．【解答】解：在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别是棱AA1，CC1的中点，∵过BE的平面α与直线A1F平行，又CE∥A1F，∴平面α是平面BEC，取DD1中点F，连结CF，EF，则CF∥BE，∴平面α截该正方体所得截面为矩形BCFE，∵BC＝2，CF＝＝，BC⊥CF，∴平面α截该正方体所得截面的面积为S矩形BCFE＝＝2．故选：B．【点评】本题考查平面截正方体所得平面面积的求法，考查线面平行的判定定理、线面平行的判定定理等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．（5分）已知数列{a n}满足a1＝﹣，a n+1＝，则下列各数是{a n}的项的有（）A．﹣2B．C．D．3【分析】根据递推关系式求出规律，即可求解结论．【解答】解：因为数列{a n}满足a1＝﹣，a n+1＝，∴a2＝＝；a3＝＝3；a4＝＝﹣；∴数列{a n}是周期为3的数列，且前3项为﹣，，3；故选：BD．【点评】本题主要考查数列递推关系式的应用，解题的关键在于求出数列的规律．10．（5分）已知a＞b＞c，则下列不等式一定成立的是（）A．a+b＞2c B．a﹣b＞b﹣c C．ac＞bc D．＜【分析】根据a＞b＞c，取a＝1，b＝0，c＝﹣1，即可排除错误选项，再根据本题为多选题即可得到正确选项．【解答】解：根据a＞b＞c，取a＝1，b＝0，c＝﹣1，则可排除BC．故选：AD．【点评】本题考查了不等式的基本性质，属基础题．11．（5分）已知函数f（x）＝sin x+cos x，下列说法正确的是（）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为+1C．f（x）在区间[，]上为减函数D．为f（x）的一个零点【分析】首先把函数变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质的应用求出结果．【解答】解：函数f（x）＝sin x+cos x＝，所以函数的最小正周期为T＝2π，故选项A正确．当x+＝2k，解得x＝（k∈Z）时，函数的最大值为2．故选项B错误．由于x∈[，]，所以，所以函数f（x）在区间[，]上为减函数，故选项C正确．当x＝时，f（）＝2sinπ＝0，故为函数f（x）的一个零点，故选项D正确．故选：ACD．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．（5分）如图，在正四棱锥P﹣ABCD（底面ABCD为正方形，P在底面的投影是正方形的中心）中，下列说法正确的是（）A．AC⊥PBB．AB与PD所成角等于BC与PD所成角C．若平面P AD∩平面PBC＝l，则l∥ADD．平面P AD与平面PBC所成二面角与∠APB相等或互补【分析】利用正四棱锥的概念与性质对每一项进行判断．【解答】解：对于A项，连结BD，与AC交于点O，则BD⊥AC，又知PO⊥平面ABCD，所以PO⊥AC，又PO∩BD＝O，所以AC⊥平面PBD，所以AC⊥PB，A正确；对于B，AB与PD所成角为∠PDC，BC与PD所成角为∠PDA，因为△PCD≌△P AD，所以∠PDC＝∠PDA，故B正确；对于C，由于平面P AD∩平面PBC＝l，则l与AD平行或相交，同时l与BC平行或相交，又因为AD∥BC，且在两个不同的平面内，所以l∥AD，所以C正确；对于D，由C项可知，平面P AD与平面PBC的所成二面角为过P作AD，BC的垂线所成的角，显然与∠APB无联系，D错误．故选：ABC．【点评】本题考查正四棱锥的性质，命题真假性的判断方法，属于中档题目．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则不等式ax2+bx+c＞0的解集是（﹣1，2）．【分析】利用二次函数的图形与性质写出结果即可．【解答】解：由题意可知：不等式ax2+bx+c＞0的解集：（﹣1，2）故答案为：（﹣1，2）【点评】本题考查二次函数的性质，不等式的解法．14．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的侧面积为4π．【分析】由三视图还原原几何体，该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高为4，求出母线长，再由圆锥侧面积公式求解．【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高为4，则母线长l＝．∴该几何体的侧面积为S＝．故答案为：．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．15．（5分）等腰三角形顶角的余弦值为，则一个底角的正切值为．【分析】首先利用倍角公式的应用求出三角函数的顶角的半角值，进一步利用切化弦思想求出结果．【解答】解：设三角形的顶角为A，由于等腰三角形顶角的余弦值为，所以，所以，所以2，解得．则，cot＝所以三角形底角的正切值为tan B＝cot＝．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，三角函数值的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16．（5分）已知数列{a n}满足a1+3a2+5a3+…+（2n﹣1）a n＝2n+1，则a3＝，若对任意的n∈N*，a n≥（﹣1）nλ恒成立，则λ的取值范围为．【分析】①直接利用赋值法的应用求出数列的各项，进一步确定结果．②利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出参数的取值范围．【解答】解：数列{a n}满足a1+3a2+5a3+…+（2n﹣1）a n＝2n+1，则当n＝1时，，当n＝2时，，解得，当n＝3时，，解得，数列{a n}满足a1+3a2+5a3+…+（2n﹣1）a n＝2n+1，①所以当n≥2时，a1+3a2+5a3+…+（2n﹣3）a n﹣1＝2n，②①﹣②得：，整理得（首相不符合通项），所以，对任意的n∈N*，a n≥（﹣1）nλ恒成立，所以：当n为偶数时，只需满足λ≤（a n）max，即当n＝2时，，当n为奇数时，只需满足λ≥﹣（a n）max，即当n＝1时，λ≥﹣4，故实数λ的取值范围为：n为偶数时，，当n为奇数时，λ≤﹣4．故答案为：①；②n为偶数，n为奇数时，λ≤﹣4．所以【点评】本题考查的知识要点：赋值法的应用，分类讨论思想在参数的讨论中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，满足a cos C+c cos A＝2b cos B．（1）求B；（2）若D是BC边上的中点，AD＝，AB＝1，求△ABC的面积．【分析】（1）由a cos C+c cos A＝2b cos B．利用余弦定理得：ab＝a2+c2﹣b2，由此能求出cos B，结合B的范围即可求解B的值；（2）在△ABD中，由余弦定理可得BD2﹣BD﹣6＝0，解方程可求BD的值，进而可求BC＝6，利用三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（1）∵a cos C+c cos A＝2b cos B．∴a×+c×＝2b×，整理可得：ab＝a2+c2﹣b2，∴cos B＝＝＝，∵B∈（0，π），∴B＝．（2）∵B＝，D是BC边上的中点，AD＝，AB＝1，∴在△ABD中，由余弦定理AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos B，可得：7＝12+BD2﹣2×，整理可得BD2﹣BD﹣6＝0，解得BD＝3，或﹣2（舍去），∴BC＝6，∴S△ABC＝＝＝．【点评】本题考查满足条件的三角形的角和边长的求法，考查正弦定理、余弦定理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，是中档题．18．（12分）如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1（底面ABC是正三角形，侧棱与底面垂直），AB＝AA1＝2，D，E分别是AA1，CB1的中点．（1）证明：DE∥平面ABC；（2）求三棱锥E﹣ABC的体积．【分析】（1）取CC1的中点E′，连接DE′，EE′，分别证明DE′∥平面ABC，EE′∥平面ABC，可得平面DEE′∥平面ABC，从而得到DE∥平面ABC；（2）由E为CB1的中点，可得E到底面ABC的距离等于BB1＝1，再求出底面△ABC 的面积，代入棱锥体积公式求解．【解答】（1）证明：如图，取CC1的中点E′，连接DE′，EE′，∵AD∥CE′，AD＝CE′，∴四边形ACE′D为平行四边形，则DE′∥AC，∵AC⊂平面ABC，DE′⊄平面ABC，∴DE′∥平面ABC；∵E，E′分别为CB1，CC1的中点，∴EE′∥B1C1∥BC，∵BC⊂平面ABC，EE′⊄平面ABC，∴EE′∥平面ABC，又DE′∩EE′＝E′，∴平面DEE′∥平面ABC，则DE∥平面ABC；（2）解：∵E为CB1的中点，∴E到底面ABC的距离等于BB1＝1．又底面△ABC是边长为2的等边三角形，∴．∴．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．19．（12分）在①S3＝a6，②S4＝20，③a1+a4+a7＝24这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．（注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答给分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，满足a3＝6，____．（1）求{a n}的通项公式；（2）设b n＝2+a n，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，分别取三个不同条件，与a3＝6联立求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；（2）把（1）中求得通项公式代入b n＝2+a n，利用数列的分组求和与等差数列及等比数列的前n项和公式求解．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d．若选择条件①S3＝a6，则由a3＝6，得，解得，∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n；若选择条件②S4＝20，则由a3＝6，得，解得，∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n；若选择条件③a1+a4+a7＝24，则由a3＝6，得，解得，∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n；（2）由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有a n＝2n．则b n＝2+a n＝22n+2n，∴{b n}的前n项和T n＝（41+42+43+…+4n）+2（1+2+3+…+n）＝＝．【点评】本题是等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，是中档题．20．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2，P A＝PD＝CD＝BC＝1．（1）证明：BD⊥平面P AD；（2）求直线AB与平面PBD所成角的大小．【分析】（1）推导出BC⊥DC，AD⊥BD，取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，从而PO⊥平面ABCD，PO⊥BD，由此能证明BD⊥平面P AD．（2）以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面PBD所成角的大小．【解答】解：（1）证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，平面P AD⊥平面ABCD，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2，P A＝PD＝CD＝BC＝1．∴BC⊥DC，∴AD＝BD＝＝，∴AD2+BD2＝AB2，∴AD⊥BD，取AD中点O，连结PO，则PO⊥AD，∵平面P AD⊥平面ABCD，平面P AD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴PO⊥BD，∵PO∩AD＝O，∴BD⊥平面P AD．（2）解：以D为原点，DA为x轴，DB为y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，∵P A＝PD＝CD＝BC＝1，AD＝，∴AP2+DP2＝AD2，∴AP⊥DP，A（，0，0），B（0，，0），D（0，0，0），P（，0，），＝（﹣，，0），＝（，0，），＝（0，，0），设平面PBD的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，0，﹣1），设直线AB与平面PBD所成角为θ，则sinθ＝＝＝，∴θ＝30°．∴直线AB与平面PBD所成角的大小为30°．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查线面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（12分）已知f（x）＝2x2﹣（a+2）x+a，a∈R．（1）解关于x的不等式f（x）＞0；（2）若方程f（x）＝x+1有两个正实数根x1，x2，求+的最小值．【分析】（1）根据函数f（x）＝2x2﹣（a+2）x+a的解析式，可将f（x）＞0化为（2x﹣a）（x﹣1）＞0，分类讨论可得不等式的解集．（2）由方程f（x）＝x+1有两个正实数根x1，x2⇒a＞1，利用韦达定理可得+＝＝＝，再结合均值不等式即可．【解答】解：（1）由f（x）＞0得（2x﹣a）（x﹣1）＞0，当a＞2时，原不等式的解集为（﹣∞，1）∪（，+∞），当a＝2时，原不等式的解集为{x|x≠1}，当a＜2时，原不等式的解集为（﹣∞，）∪（1，+∞）；（2）方程f（x）＝x+1有两个正实数根x1，x2，等价于2x2﹣（a+3）x+a﹣1＝0有两个正实数根x1，x2，∴⇒a＞1，则+＝＝＝[（a﹣1）+]+2＝2+≥6当且仅当a＝5时取等号，故+的最小值为6．【点评】本题考查了二次函数的λ性质、解含参数一元二次不等式、韦达定理、均值不等式，属于中档题．22．（12分）随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”．通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线．如图，A﹣B﹣C﹣A为某市的一条健康步道，AB，AC为线段，是以BC为直径的半圆，AB＝2km，AC＝4km，∠BAC＝．（1）求的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道A ﹣D﹣C（B，D在AC两侧），AD，CD为线段，若∠ADC＝，A到健康步道B﹣C﹣D的最短距离为2km，求D到直线AB距离的取值范围．【分析】（1）利用余弦定理易求解；（2）先求出D点的大致轨迹，再结合几何性质求最D点到直线AB距离的最值即可求解．【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理可得，，⇒＝．（2）D的轨迹为△ADC外接圆的一部分，设△ADC外接圆的半径为R，由正弦定理，且满足，由（1）得：AB2+BC2＝AC2，所以∠ABC为直角，过D作DE⊥AB于E，设所求距离为d，①当DE通过圆心O时，d达到最大，由几何关系得，四边形OCBE为矩形，所以，此时满足，②当D无限接近C时，此时d→2，综上：所求D到直线AB距离d的取值范围为．【点评】本题考查利用正、余弦定理解三角形，动点到定直线距离的最值问题，同时对学生推理分析，数形结合，运算求解的能力有一定的要求，属于中档题．第21页（共21页）。

2021-2021学年福建省厦门市高一下学期期末考试数学试题(解析版)

2021-2021学年福建省厦门市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．化简sin15cos5cos15sin5-︒︒︒︒结果为（） A ．sin10︒ B ．cos10︒ C ．sin 20︒ D ．cos20︒【答案】A【解析】直接利用两角差的正弦函数公式求出结果．【详解】sin15cos5cos15sin5sin(155)sin10︒︒-︒︒=︒-︒=︒．故选：A ．【点睛】本题考查的知识要点：三角函数的差角公式的逆用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．2．集合{}2230A x x x =--≤，{}1B x x =>.则A B =（）A ．()1,3B ．(]1,3C ．[)1,-+∞D ．()1,+∞【答案】B【解析】利用一元二次不等式的解法求出集合A ，然后进行交集的运算即可．【详解】因为{}2230A x x x =--≤{|13}x x =-，{|1}B x x =>，(1A B ∴⋂=，3]．故选：B ．【点睛】本题考查了描述法、区间的定义，交集的定义及运算，一元二次不等式的解法，考查了计算能力，属于基础题．3．如图中的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在四个三角形图案中，着色的小三角形的个数依次构成数列{}n a 的前4项，则{}n a 的通项公式可以为（）A ．21n a n =-B ．21nn a =- C ．3nn a =D ．13-=n n a【答案】D【解析】着色的小三角形个数构成数列{}n a 的前4项，分别得出，即可得出{}n a 的通项公式．【详解】着色的小三角形个数构成数列{}n a 的前4项，分别为：11a =，23a =，23333a =⨯=，234333a =⨯=，因此{}n a 的通项公式可以是：13-=n n a ．故选：D ．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了观察分析猜想归纳推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知实数x ，y 满足条件0260y y x x y ≥⎧⎪≤⎨⎪+-≤⎩，则3z x y =+的最大值为（）A ．0B ．3C ．8D ．9【答案】C【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．【详解】由约束条件0260y y x x y ⎧⎪⎨⎪+-⎩作出可行域如图，联立260y xx y =⎧⎨+-=⎩，解得(2,2)A ．化3z x y =+为33x zy =-+，平移直线33x z y =-+，由图可知，当直线33x zy =-+过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为2328+⨯=．故选：C ．【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 5．在等比数列{}n a 中，22a =，3564a a =，则5612a a a a +=+（）A ．4B ．8C ．16D ．64【答案】C【解析】利用等比数列通项公式列方程求出首项和公比，由此能求出结果．【详解】在等比数列{}n a 中，22a =，3564a a =．∴124112·64a q a q a q =⎧⎨=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩或112a q =-⎧⎨=-⎩， 4545611121116a a a q a q q a a a a q ++===++．故选：C ．【点睛】本题考查等比数列中两项和的比值的求法，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6．设a ，b ，c 是三条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，则下列命题正确的是（）A ．若a b ⊥，b c ⊥，则a c ⊥B ．若αβ⊥，βγ⊥，则//αγC ．若a b ⊥，a α⊥，则//b αD ．若//αβ，a α⊥，则a β⊥【答案】D【解析】对于A ，a 与c 相交、平行或异面；对于B ，α与γ相交或平行；对于C ，//b α或b α⊂；对于D ，由线面垂直的判定定理得a β⊥．【详解】由a ，b ，c 是三条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，知：对于A ，若a b ⊥，b c ⊥，则a 与c 相交、平行或异面，故A 错误；对于B ，若αβ⊥，βγ⊥，则α与γ相交或平行，故B 错误；对于C ，若a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂，故C 错误；对于D ，若//αβ，a α⊥，则由线面垂直的判定定理得a β⊥，故D 正确．故选：D ．【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，是中档题．7．已知数列{}n a 满足11a =，11(1)n n a a n n +-=+，则10a =（）A ．910B ．1011 C ．1910D ．2111【答案】C【解析】首先根据题意得到()111111n n a a n n n n +-==-++，从而得到()()()()10910932211011110…-+-++-+-=-=-a a a a a a a a a ，即可得到答案. 【详解】因为()111111n n a a n n n n +-==-++，所以()()()()1091093221…-+-++-+-a a a a a a a a10111111111119108923210…⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭a解得101910a =. 故选：C 【点睛】本题主要考查根据数列递推公式求数列的项，同时考查了裂项法求和，属于中档题. 8．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过BE 的平面α与直线1A F 平行，则平面α截该正方体所得截面的面积为（）A 5B ．5C ．4D ．5【答案】B【解析】首先取1DD 的中点G ，连接EG ，CG ，EC ，易证1//A F 平面EBCG ，从而得到平面EBCG 为所求截面，再计算其面积即可. 【详解】取1DD 的中点G ，连接EG ，CG ，EC ，如图所示：因为1//A E FC ，所以四边形1A ECF 为平行四边形，所以1//A F EC . 又1⊄A F 平面EBCG ，EC ⊂平面EBCG ，所以1//A F 平面EBCG ，即平面EBCG 为所求截面. 所以22215BE +25=⨯=EBCG S BE BC . 故选：B 【点睛】本题主要考查线面平行的判定，同时考查了正方体的截面，属于简单题.二、多选题9．已知数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，则下列各数是{}n a 的项的有（）A ．2-B ．23 C ．32D ．3【答案】BD【解析】根据递推关系式找出规律，可得数列是周期为3的周期数列，从而可求解结论．【详解】因为数列{}n a 满足112a =-，111n n a a +=-，212131()2a ∴==--；32131a a ==-； 4131112a a a ==-=-； ∴数列{}n a 是周期为3的数列，且前3项为12-，23，3；故选：BD ．【点睛】本题主要考查数列递推关系式的应用，考查数列的周期性，解题的关键在于求出数列的规律，属于基础题．10．已知a b c >>，则下列不等式一定成立的是（） A ．2a b c +> B ．a b b c ->-C ．ac bc >D ．11a cb c<-- 【答案】AD【解析】根据a b c >>，取特殊值即可排除错误选项，再根据不等式性质，利用作差法可得到正确选项．【详解】根据a b c >>，取1a =，0b =，1c =-，则可排除BC ．因为20a b c a c b c +-=-+->，所以2a b c +>；因为()()110b a a c b c a c b c --=<----，所以11a c b c<--，故选：AD ．【点睛】本题考查了不等式的基本性质以及作差的应用，属基础题．11．已知函数()cos f x x x =+，下列说法正确的是（）A ．()f x 的最小正周期为2πB ．()f x 1C ．()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数 D ．56π为()f x 的一个零点【答案】ACD【解析】首先根据题意得到()2sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图象性质依次判断选项即可. 【详解】()cos 2sin 6f x x x x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭对选项A ，()f x 的最小正周期为2π，故A 正确；对选项B ，当sin 16x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，()f x 的最大值为2，故B 错误；对选项C ，因为2,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，53,,62622πππππ⎡⎤⎡⎤+∈⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦x ，所以()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为减函数，故C 正确；对选项D ，552sin 2sin 0666ππππ⎛⎫⎛⎫=+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f ，所以56π为()f x 的一个零点，故D 正确. 故选：ACD 【点睛】本题主要考查正弦函数图象的性质，属于简单题.12．如图，在正四棱锥P ABCD -（底面ABCD 为正方形，P 在底面的投影是正方形的中心）中，下列说法正确的是（）A ．AC PB ⊥B ．AB 与PD 所成角等于BC 与PD 所成角 C ．若平面PAD平面PBC l =.则//l ADD ．平面PAD 与平面PBC 所成二面角与APB ∠相等或互补【答案】ABC【解析】对于A 项，由AC ⊥平面PBD ，可得AC PB ⊥；对于B ，利用AB 与PD 所成角为PDC ∠，BC 与PD 所成角为PDA ∠，可判断正误；对于C ，证明//AD 平面PBC ，可得 //l AD ， C 正确；根据平面PAD 与平面PBC 的所成二面角等于过P 作AD ，BC 的垂线所成的角判断．【详解】对于A 项，连结BD ，与AC 交于点O ，则BD AC ⊥，又知PO ⊥平面ABCD ，所以PO AC ⊥，又POBD O =，所以AC ⊥平面PBD ，所以AC PB ⊥，A 正确；对于B ，AB 与PD 所成角为PDC ∠，BC 与PD 所成角为PDA ∠，因为PCD PAD ∆≅∆，所以PDC PDA ∠=∠，故B 正确；对于C ，由于//AD BC ，所以//AD 平面PBC ，AD ⊂平面PAD ，平面PAD平面PBC l =，所以 //l AD ，所以C 正确；对于D ，由C 项可知，平面PAD 与平面PBC 的所成二面角为过P 作AD ，BC 的垂线所成的角，显然与APB ∠无联系，D 错误．故选：ABC ．【点睛】本题主要考查正四棱锥的性质，考查异面直线所成的角、二面角以及线面平行的判断与线面平行的性质，同时考查了线面垂直的判断与性质，考查了空间想象能力，属于综合题．三、填空题13．已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则不等式20ax bx c ++>的解集是______.【答案】()1,2-【解析】根据函数的图象即可得到不等式的解集. 【详解】由图知：不等式20ax bx c ++>的解集是()1,2-，故答案为：()1,2-【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，属于简单题.14．如图.网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的侧面积为______.【答案】45π【解析】由三视图还原几何体，该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高为4，求出母线长，再由圆锥侧面积公式求解．【详解】由三视图还原几何体如图，可知该几何体为圆锥，圆锥的底面半径为2，高为4，则母线长222425l =+=∴该几何体的侧面积为45S rl ππ==．故答案为：45π．【点睛】本题考查由三视图求面积、关键是由三视图还原几何体，考查了空间想象能力，是中档题．15．等腰三角形顶角的余弦值为513，则一个底角的正切值为______. 【答案】32【解析】首先利用倍角公式的应用求出三角函数的顶角的半角三角函数值，进一步利用切化弦思想求出结果．【详解】设三角形的顶角为A ，一个底角为B 则B 与2A互余，由于等腰三角形顶角的余弦值为513，所以5cos 13A =，所以252cos1213A -=，所以2182cos213A =，解得cos sin 2A B ==．则sincos 2A B =，3tan 2B ===故答案为：32【点睛】本题考查的知识要点：同角三角函数的关系，二倍角的余弦公式，三角函数值的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．四、双空题16．已知数列{}n a 满足()112335212n n a a a n a ++++⋅⋅⋅+-=，则3a =______，若对任意的*N n ∈，()1nn a λ≥-恒成立，则λ的取值范围为______.【答案】858453λ-≤ 【解析】①直接利用赋值法的应用求出数列的各项，进一步确定结果．②利用数列的递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用分类讨论思想的应用求出参数的取值范围．【详解】数列{}n a 满足112335(21)2n n a a a n a ++++⋯+-=，则当1n =时，2124a ==，当2n =时，312328a a +==，解得243a =，当3n =时，4123352a a a ++=，解得385a =，数列{}n a 满足112335(21)2n n a a a n a ++++⋯+-=，① 所以当2n 时，123135(23)2n n a a a n a -+++⋯+-=，② ①-②得：1(21)222n n n n n a +-=-=，整理得221nn a n =-（首相不符合通项），所以4(1)2(2)21n n n a n n =⎧⎪=⎨⎪-⎩，2n ≥时，1124211221212n n n nn n n a a +++>+-==-对任意的*n N ∈，(1)n n a λ-恒成立，所以：当n 为偶数时，只需满足()n max a λ，即当2n =时，243a λ=，当n 为奇数时，只需满足()n max a λ≥-，即当1n =时，14a -=-，3n ≥奇数时，385n a a ≤=-，所以)85(n max a λ=-≥-故实数λ的取值范围是8453λ-≤，故答案为：8453λ-≤．【点睛】本题考查的知识要点：赋值法的应用，递推关系求通项，数列的单调性与最值，以及数列不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想的应用，属于难题五、解答题17．在ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，满足cos cos 2cos a C c A b B +=.（1）求B ；（2）若D是BC 边上的中点，AD =1AB =，求ABC 的面积.【答案】（1）3π；（2）332. 【解析】(1)由正弦定理进行边化角可得1cos 2B =，从而求得答案； (2)根据余弦定理求出BC ，由面积公式可求出结果. 【详解】(1)根据正弦定理，由cos cos 2cos a C c A b B +=得:sin cos sin cos 2sin cos A C C A B B +=，即()sin +2sin cos sin 2sin cos A C B B B B B ==，，所以1cos 2B =，又0B π<<，所以3B π=；(2）在ABD △中，由余弦定理得()222222171cos 2212BD AB BD AD B AB BD BD+-+-===⋅⨯⨯，解得3BD =，所以6BC =，由三角形的面积公式得11333sin 162222ABCSAB BC B =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=. 【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及三角形的面积公式，属于中档题．18．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -（底面ABC 是正三角形，侧棱与底面垂直），12AB AA ==，D ，E 分别是1AA ，1CB 的中点.（1）证明：//DE 平面ABC ；（2）求三棱锥E ABC -的体积. 【答案】（1）证明见解析；（2）33【解析】（1）取1CC 的中点E '，连接DE '，EE '，分别证明//DE '平面ABC ，//EE '平面ABC ，可得平面//DEE '平面ABC ，从而得到//DE 平面ABC ；（2）由E 为1CB 的中点，可得E 到底面ABC 的距离等于1112BB =，再求出底面ABC∆的面积，代入棱锥体积公式求解．【详解】（1）如图，取1CC 的中点E '，连接DE '，EE '， //AD CE '，AD CE ='，∴四边形ACE D '为平行四边形，则//DE AC '，AC ⊂平面ABC ，DE '⊂/平面ABC ，//DE ∴'平面ABC ；E ，E '分别为1CB ，1CC 的中点，11////EE B C BC ∴'，BC ⊂平面ABC ，EE '⊂/平面ABC ，//EE ∴'平面ABC ，又DE EE E '⋂'='，∴平面//DEE '平面ABC ，DE ⊂平面DEE '则//DE 平面ABC ；（2）E 为1CB 的中点，E ∴到底面ABC 的距离等于1112BB =．又底面ABC ∆是边长为2的等边三角形，∴1322322ABC S ∆=⨯⨯⨯=． ∴133133E ABC V -=⨯⨯=．【点睛】本题主要考查直线与平面平行的判定以及锥体的体积，考查空间想象能力与思维能力，考查了计算能力，是中档题．19．在①36S a =，②420S =，③14724a a a ++=这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足36a = . （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an n b a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）2n a n =；（2）121(44)3n n T n n +=-++.【解析】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，分别取三个不同条件，与36a =联立求得首项与公差，可得等差数列的通项公式；（2）把（1）中求得通项公式代入2n an n b a =+，利用数列的分组求和与等差数列及等比数列的前n 项和公式求解．【详解】（1）设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ．若选择条件①36S a =，则由36a =，得11126335a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，22(1)2n a n n =+-=∴；若选择条件②420S =，则由36a =，得1126434202a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，22(1)2n a n n =+-=∴；若选择条件③14724a a a ++=，则由36a =，得11263(3)24a d a d +=⎧⎨+=⎩，解得122a d =⎧⎨=⎩，22(1)2n a n n =+-=∴；（2）由（1）知，选择三个条件中的任何一个，都有2n a n =．则2222n an n n b a n =+=+，{}n b ∴的前n 项和123(4444)2(123)n n T n =+++⋯+++++⋯+124(14)(1)12(44)1423n n n n n n +⨯-+=+⨯=-++-．【点睛】本题是等差数列与等比数列的综合题，考查等差数列与等比数列的前n 项和，考查分组求和的应用，考查计算能力，是中档题．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，90ABC ∠=︒，2AB =，1PA PD CD BC ====.（1）证明：BD ⊥平面PAD ；（2）求直线AB 与平面PBD 所成角的大小. 【答案】（1）证明见解析；（2）30.【解析】（1）推导出BC DC ⊥，AD BD ⊥，取AD 中点O ，连结PO ，则PO AD ⊥，从而PO ⊥平面ABCD ，PO BD ⊥，由此能证明BD ⊥平面PAD ．（2）以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 与平面PBD 所成角的大小．【详解】（1）证明：在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，90ABC ∠=︒，2AB =，1PA PD CD BC ====． BC DC ∴⊥，22112AD BD ∴==+222AD BD AB ∴+=，AD BD ∴⊥，取AD 中点O ，连结PO ，则PO AD ⊥，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，PO ∴⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，PO BD ∴⊥，PO AD O ⋂=，BD ∴⊥平面PAD ．（2）解：以D 为原点，DA 为x 轴，DB 为y 轴，过D 作平面ABCD 的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，1PA PD CD BC ====，2AD =222AP DP AD ∴+=，AP DP ∴⊥，(2A 0，0)，(0B 20)，(0D ，0，0)，2(P 02， (2AB =-2，0)，2(2DP =02，(0DB =2，0)，设平面PBD 的法向量(n x =，y ，)z ，则22·02·20n DP x z n DB y ⎧=+=⎪⎨⎪==⎩，取1x =，得(1n =，0，1)-，设直线AB 与平面PBD 所成角为θ，则||21sin 2||||22AB n AB n θ===，30θ∴=︒．∴直线AB 与平面PBD 所成角的大小为30．【点睛】本题考查线面垂直的证明、面面垂直的性质，考查线面角向量法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力与空间想象能力，是中档题． 21．已知2()2(2)f x x a x a =-++，a R ∈. （1）解关于x 的不等式()0f x >；（2）若方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，2x ，求2112x x x x +的最小值. 【答案】（1）答案见解析；（2）6.【解析】（1）根据函数2()2(2)f x x a x a =-++的解析式，可将()0f x >化为(2)(1)0x a x -->，分类讨论可得不等式的解集．（2）由方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，21x a ⇒>，利用韦达定理可得2222211212121212123()()21422141a x x x x x x x x a x x x x x x a a +++--+===-=+--，再结合均值不等式即可．【详解】（1）由()0f x >得(2)(1)0x a x -->，当2a >时，原不等式的解集为(-∞，1)(2a⋃，)+∞，当2a =时，原不等式的解集为{|1}x x ≠，当2a <时，原不等式的解集为(-∞，)(12a⋃，)+∞；（2）方程()1f x x =+有两个正实数根1x ，2x ，等价于22(3)10x a x a -++-=有两个正实数根1x ，2x ，∴()()2121238103012102a a a x x a a x x ⎧⎪=+--≥⎪+⎪+=>⇒>⎨⎪-⎪=>⎪⎩，则2222211212121212123()()211622[(1)]21212a x x x x x x x x a a x x x x x x a +++-+===-=-++--()1162?21?621a a ≥+-=- 当且仅当5a =时取等号，故2112x x x x +的最小值为6．【点睛】本题考查了二次函数的性质、解含参数一元二次不等式、韦达定理、均值不等式，属于综合题．22．随着生活水平的不断提高，人们更加关注健康，重视锻炼，“日行一万步，健康一辈子”.通过“小步道”，走出“大健康”，健康步道成为引领健康生活的一道亮丽风景线.如图，A B C A ---为某市的一条健康步道，AB ，AC 为线段，BC 是以BC 为直径的半圆，23km AB =，4km AC =，6BAC π∠=.（1）求BC 的长度；（2）为满足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居环境，现计划新增健康步道A D C --（B ，D 在AC 两侧），AD ，CD 为线段.若3ADC π∠=，A 到健康步道B C D --的最短距离为23km ，求D 到直线AB 距离的取值范围.【答案】（1）π；（2）43(2,2]3+. 【解析】（1）利用余弦定理求出半径，利用圆的周长公式可得结果；（2）先求出D 点的大致轨迹，再结合正弦定理、圆的几何性质求最D 点到直线AB 距离的最值即可求解．【详解】（1）在ABC ∆ 中，由余弦定理可得， 31612242322BC =+-⨯⨯⨯=， ⇒1212BC ππ=⨯⨯⨯=．（2）D 的轨迹为ADC ∆ 外接圆的一部分，设ADC ∆ 外接圆的半径为R ，由正弦定理442332R R =⇒=，且满足23AD ，由（1）得：222AB BC AC +=，所以ABC ∠为直角，过D 作DE AB ⊥于E ，设所求距离为d ，①当DE 通过圆心O 时，d 达到最大，由几何关系得，四边形OCBE 为矩形，所以4432233max d R OE R BC =+=+=+=+，此时满足23AD ， ②当D 无限接近C 时，此时2d →，综上：所求D 到直线AB 距离d 的取值范围为43(2,2]3+．【点睛】本题考查利用正、余弦定理解三角形，动点到定直线距离的最值问题，同时对学生推理分析，数形结合，运算求解的能力有一定的要求，属于中档题．。

福建省厦门市高一下学期期末数学试卷

福建省厦门市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）圆，则经过点的切线方程为（）A .B .C .D .2. （2分）圆心在抛物线y2=2x上，且与x轴和抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A . ﹣x﹣2y-=0B . ﹣x﹣2y+1=0C . +x﹣2y+1=0D . ﹣x﹣2y+=03. （2分）若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是（）A . (x－2)2＋(y－1)2＝1B . (x－2)2＋(y－3)2＝1C . (x－3)2＋(y－2)2＝1D . (x－3)2＋(y－1)2＝14. （2分）已知直线l之方程为 x+y+1=0，则直线的倾斜角为（）A . 120°B . 150°C . 60°D . 30°5. （2分）下列命题中正确的是（）A . 经过点P0(x0 ， y0)的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示B . 经过定点A(0，b)的直线都可以用方程y＝kx＋b表示C . 经过任意两个不同点P1(x1 ， y1)，P2(x2 ， y2)的直线都可用方程(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1)表示D . 不经过原点的直线都可以用方程表示6. （2分）(2020·乌鲁木齐模拟) 已知抛物线的焦点为，准线为，过点且斜率为的直线交抛物线于点（在第一象限），于点，直线交轴于点，则（）A . 4B .C . 2D .7. （2分）(2018高二下·辽宁期末) 已知的内角对的边分别为 , , ,且,则的最小值等于（）A .B .C .D .8. （2分）已知正三角形AOB的顶点A,B在抛物线上，O为坐标原点，则（）A .B .C .D .9. （2分） (2018高二上·佛山期末) 已知双曲线，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的圆与双曲线的两条渐近线相交于四点，四边形的面积为，则双曲线的离心率为（）A .B . 2C .D . 410. （2分）两直线mx﹣2y+3=0与2x+2y﹣1=0互相垂直，则实数m的值为（）A . ±2B . 2C . ﹣2D . 011. （2分） (2019高二上·兴宁期中) 若实数x、y满足则的取值范围是（）A . (0,1)B .C . (1,+ )D .12. （2分） (2016高二上·屯溪期中) 如图，方程y=ax+ 表示的直线可能是（）A .B .C .D .二、填空题 (共5题；共6分)13. （2分）已知全集U={2，3，a2+2a﹣3}，A={b，2}，且∁UA={5}，a＜0，则实数a=________，b=________．14. （1分） (2016高二上·枣阳开学考) 若不等式x2﹣kx+k﹣1＞0对x∈（1，2）恒成立，则实数k的取值范围是________．15. （1分） (2018高一下·石家庄期末) 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________．16. （1分）已知正项等比数列{an}的公比q=2，若存在两项am ， an ，使得=4a1 ，则+的最小值为________17. （1分）在直角坐标系中，O是坐标原点，P1（x1 ， y1）、P2（x2 ， y2）是第一象限的两个点，若1，x1 ， x2 ， 4依次成等差数列，而1，y1 ， y2 ， 8依次成等比数列，则△OP1P2的面积是________三、解答题 (共5题；共35分)18. （5分） (2016高二上·澄城期中) 已知数列{an}满足an+1=2an+n﹣1，且a1=1．（Ⅰ）求证：{an+n}为等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的前n项和Sn ．19. （10分）设数列{an}满足an+1=an2﹣nan+1（n∈N*）（1）当a1=2时，求a2、a3、a4，并由此猜想出an的一个通项公式；（2）当a1≥2时，证明：对∀n∈N*，有an≥n+1．20. （5分）对于任意x∈[﹣2，1]时，不等式mx3﹣x2+4x+3≥0恒成立，求m的范围．21. （5分） (2018高三上·湖南月考)已知函数．（Ⅰ）解不等式；（Ⅱ）若不等式的解集为，且满足，求实数的取值范围．22. （10分）(2014·湖北理) 已知等差数列{an}满足：a1=2，且a1 ， a2 ， a5成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记Sn为数列{an}的前n项和，是否存在正整数n，使得Sn＞60n+800？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共5题；共6分)13-1、14-1、15-1、16-1、17-1、三、解答题 (共5题；共35分)18-1、19-1、19-2、20-1、21-1、22-1、22-2、。

福建省厦门市高一下学期期末质量检测试题

福建省厦门市高一下学期期末质量检测试题一、选择题（本题包括15小题，每小题3分，共45分，每小题只有一个选项符合题意）1.某运动饮料含有下列成分，其中只含有共价键的是（）A.C6H12O6B.NA2CO3C.MgSO4D.NaCl2.纳米金(79Au)粒子在遗传免疫等方面有重大的应用前景，下列说法错误的是（）A.Au为第六周期元素B.Au为黑色金属C.Au的质子数为79D.纳米金表面积大吸附能力强3.下列化学用语表示错误的是（）A.氨分子的电子式，H：NHB，正丁烷的球棍模型：C.乙烯的结构简式：CH2=CH2D.原子核内有8个中子的碳原子：614C4.下列说法正确的是（）A.18O2和16O2互为同素异形体B.戊烷和丙烷互为同系物C.C60和C70互为同位素D.H2NCH2COOCH3和CH3CH2NO2互为同分异构体5.下列除杂方法选用错误的是（）物质(括号内为杂质) 除杂方法A 硝基苯(苯蒸馏B 乙烯(SO2) NaOH溶液，洗气C 己烷(己烯) 溴水，分液D 淀粉溶液(NaCl) 渗析6．我国著名书画家赵估曾有诗句“用过天晴云破处，干峰碧波色来”描述汝窑青瓷之美。

青色主要来自添加的玛瑙粉末.下列有关说法错误的是（）A.青瓷的青色来自于玛瑙中的SiO2B.陶瓷是传统的无机非金属材料C.瓷器质量与原料矿物组成、升温速度、煅烧时间等因素有关D.青瓷化学性质稳定，耐酸碱侵蚀7.下列我国合成的材料中，主要成分由同周期两种元素组成的是（）A.可实现高温超导的钙钛矿(CaTiO3)薄膜B.制造大口径高精度非球面反射镜的碳化硅材料C.大面积单品六方氮化硼半导体材料D.可淡化海水的石墨烯纳米网8.关于离子化合物NH5，下列说法正确的是（）A.N为-5价B.阳离子的电子数为11C.阴离子为8电子稳定结构D.阴阳离子个数比是1:19.2019年是门捷列夫元素周期表发表150周年.根据元素周期律和元素周期表，下列说错误的是（）A.砹(85At)的单质在常温常压下是液体B.位于第四周期V A族的元素为非金属元素C.铷(37Rb)元素的最高化合价是+1D.第七周期0族元素的原子序数为11810.白藜芦醇具有抗衰老作用，其结构如图所示.下列有关说法错误的是（）A.分子式为C14H12O4B.含有羟基与碳碳双键C.能发生加聚反应D.一氯代物有4种11.2019年6月17日，屠呦呦团队宜布青蒿素应用取得科研新进展.已知：青蒿素难溶于水、易溶于乙醚.实验室模拟从青蒿中提取青蒿素流程如下图，该提取过程不需要用到的仪器或装置是（）12.已知N A是阿伏加德罗常数的值，下列关于铜生锈反应2Cu+O2+H2O+CO2==Cu2(OH)2CO3的说法错误的是（）A.消耗32gCu转移的电子数为N AB.1.8g H2O含有的质子数为N AC.22g CO2的共用电子对数为N AD.标况下,11.2LO2和CO2混合气体中O原子数为N A13科学家合成一种新化合物：，下列关于组成该化合物的四种元素的说法正确的是（）A.原子半径：Cl>P>NaB.含氧酸酸性：Cl>P>SiC.气态氢化物的稳定性：Cl>Si>PD.单质熔点：Si>Na>C14.我国科学家用三元催化剂Mo/P/WOx催化纤维素直接氢解制乙醇，其转化关系如下图所示.下列说法错误的是（）A.纤维素是天然高分子化合物B.该法实现由纤维素廉价高效制备乙醇C.一个纤维素分子含有6个羟基D.纤维素直接氢解制乙醇过程中Mo/P/WOx有参与反应15．主族元素M、X、Y、Z的原子序数依次增加，且均不大于20；M原子的最外层电子数与次外层电子数之和为8；Y、Z是处于不同周期的金属元素；X、Y、Z原子最外层电子数之和为11.下列说法正确的是（）A.简单离子半径：Y<M<XB.Z与M形成的化合物中可能含有共价键C.X的最高价氧化物对应的水化物在其同族元素中酸性最强D.常温下，Y和Z的单质均能与水剧烈反应二、非选择题共55分16.(10分)芯片主要由单品础构成.下图是硅及其化合物的类价二维图，根据要求完成下列化学方程式成离子方程式。

福建省厦门市高一下学期期末数学考试试卷

福建省厦门市高一下学期期末数学考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高二下·蕉岭月考) 在中，，点为边上一点，且，则（）A .B .C .D .2. （2分） (2019高一上·阜新月考) 若，，则与的大小关系为（）A .B .C .D . 随x值变化而变化3. （2分） (2016高一下·桃江开学考) 已知直线l1：（m﹣2）x﹣y+5=0与l2：（m﹣2）x+（3﹣m）y+2=0平行，则实数m的值为（）A . 2或4B . 1或4C . 1或2D . 44. （2分）(2016·绵阳模拟) 我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，可求得该女子第4天所织布的尺数为”（）A .B .C .D .5. （2分）(2017·通化模拟) 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值是（）A .B .C . 或D . 或6. （2分）已知数列前n项和为，则的值是（）A . 13B . -76C . 46D . 767. （2分） (2017高一下·卢龙期末) 不等式（x﹣2）（3﹣x）＞0的解集是（）A . {x|x＜2或x＞3}B . {x|2＜x＜3}C . {x|x＜2}D . {x|x＞3}8. （2分）已知函数f(x)=|sinx|的图象与直线y=kx(k>0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为a，则a等于（）A . -cosaB . -sinaC . -tanaD . tana9. （2分）(2018·广元模拟) 已知定义在上的函数的图象关于（1，1）对称，，若函数图象与函数图象的交点为，则（）A . 8072B . 6054C . 4036D . 201810. （2分）一辆货车宽2米，要经过一个半径为米的半圆形隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度不得超过（）A . 2.4米B . 3米C . 3.6米D . 2.0米11. （2分） (2016高三上·承德期中) 直角△ABC的三个顶点都在单位圆x2+y2=1上，点M（，）．则| |最大值是（）A .B .C .D .12. （2分） (2018高一上·台州月考) 已知函数，若对任意，总存在，使得，则的取值范围是（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2017高一下·泰州期中) 直线l1：y=2x与直线l2：ax+by+c=0（abc≠0）相互垂直，当a，b，c成等差数列时，直线l1 ， l2与y轴围成的三角形的面积S=________．14. （1分）在区间（0，1）内随机地取出两个数，则两数之和小于的概率为________15. （1分） (2017高三上·武进期中) 已知数列{an}中，a1=2，点列Pn（n=1，2，…）在△ABC内部，且△PnAB 与△PnAC的面积比为2：1，若对n∈N*都存在数列{bn}满足，则a4的值为________．16. （1分）如图，在△ABC中，D为BC的中点，，求 ________三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2016高一下·榆社期中) 已知非零向量，满足| |=1，且（﹣）•（ + ）= ．（1）求| |；（2）当• =- 时，求向量与 +2 的夹角θ的值．18. （5分） (2016高一下·安徽期末) 解关于x的不等式ax2﹣（a+2）x+2＜0（a∈R）．19. （15分） (2017高一上·葫芦岛期末) 已知圆C过两点M（﹣3，3），N（1，﹣5），且圆心在直线2x﹣y ﹣2=0上（1）求圆的方程；（2）直线l过点（﹣2，5）且与圆C有两个不同的交点A、B，若直线l的斜率k大于0，求k的取值范围；（3）在（2）的条件下，是否存在直线l使得弦AB的垂直平分线过点P（3，﹣1），若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．20. （10分） (2016高一下·邵东期中) 已知：、、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）（1）若| |=2 ，且∥ ，求的坐标；（2）若| |= ，且 +2 与2 ﹣垂直，求v与的夹角θ．21. （5分） (2017高一下·鞍山期末) 已知直线l：kx﹣y+1+2k=0（k∈R）（Ⅰ）证明直线l经过定点并求此点的坐标；（Ⅱ）若直线l不经过第四象限，求k的取值范围；（Ⅲ）若直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B，O为坐标原点，设△AOB的面积为S，求S的最小值及此时直线l的方程．22. （10分） (2019高三上·广东月考) 已知数列的前项和为，且 .（1）求数列的通项公式；（2）记，数列的前项和为，求证： .参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、19-1、19-2、19-3、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。

福建省厦门市2023-2024学年高一下学期7月期末质量检测数学试题

福建省厦门市2023-2024学年高一下学期7月期末质量检测数学试题一、单选题1．若()1i 13i z -=+，则z =（） A ．2i +B ．22i +C ．12i +D ．12i -+2．为了解某校高一年级学生体育锻炼情况，用比例分配的分层随机抽样方法抽取50人作为样本，其中男生20人.已知该校高一年级女生240人，则高一年级学生总数为（） A ．600B ．480C ．400D ．3603．在梯形ABCD 中//AB CD ，AB AD ⊥，222AB AD CD ===，以AD 所在直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的面所围成的几何体的体积为（） A ．5π3B ．7π3C ．5πD ．7π4．甲､乙两人参加某项活动，甲获奖的概率为0.5，乙获奖的概率为0.4，甲､乙两人同时获奖的概率为0.2，则甲､乙两人恰有一人获奖的概率为（） A ．0.3B ．0.5C ．0.7D ．0.95．如图，甲在M 处观测到河对岸的某建筑物在北偏东15o 方向，顶部P 的仰角为30o ，往正东方向前进150m 到达N 处，测得该建筑物在北偏西45o 方向.底部Q 和,M N 在同一水平面内，则该建筑物的高PQ 为（）A ．B ．C ．D ．6．已知,,αβγ是三个不重合的平面，,m n αβαγ⋂=⋂=，则（） A ．若m //n ，则β//γ B ．若m n ⊥，则βγ⊥ C ．若,αβαγ⊥⊥，则m //nD ．若,αγβγ⊥⊥，则m n ⊥7．若i z z z ==-，则z =（）A ．1BC D ．28．向量12,,e e a u r u u r r 满足121212π01,3,e e e e a e a e ⋅===--=u r u u r u r u u r r r u u r u r ，，则a r 的最大值为（）A B C D二、多选题9．某学校开展消防安全知识培训，对甲､乙两班学员进行消防安全知识测试，绘制测试成绩的频率分布直方图，如图所示：（）A ．甲班成绩的平均数<甲班成绩的中位数B ．乙班成绩的平均数<乙班成绩的中位数C ．甲班成绩的平均数<乙班成绩的平均数D ．乙班成绩的中位数<甲班成绩的中位数10．在梯形ABCD 中，2,2,2AD BC AD AB AN ND ===u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，则（）A ．12DC AB AD =-u u u r u u u r u u u rB ．0AB BD ⋅=u u u r u u u rC ．0AC CD ⋅=u u u r u u u rD ．AN u u u r 在AC u u u r 上的投影向量为23AC u u ur11．在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AB AD AA ==P 满足[]()1,0,1BP BC BB λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r，则（）A ．当0λ=时，AC DP ⊥B ．当1λ=时，AC 与DP 是异面直线C ．当1μ=时，三棱锥1P ABB -的外接球体积的最大值为4π3D ．当12μ=时，存在点P ，使得DP ⊥平面1ACD三、填空题12．向量(2,4),(1,)a b x =-=-r r ，若a r ∥b r，则x =．13．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，45PDA ∠=o ，则直线PB 与AC 所成角的大小为.14．在ABC V 中，2,AB AC D =为边BC 的中点，A ∠的平分线交BC 于点E ，若ADE V 的面积为1，则ABC V 的面积为，DE 的最小值为.四、解答题15．某厂为了提升车载激光雷达质量的稳定性，对生产线进行升级改造､为了分析升级改造的效果，随机抽取了12台车载激光雷达进行检测，检测结果如下：统计后得到样本平均数150x =，方差()23459,,,147,153s x x x =∈.(1)升级改造后，若有65%的产品的探测距离在(),x s x s -+内，则认为升级改造成功；若改造成功且有95%的产品的探测距离在()2,2x s x s -+内，则认为升级改造效果显著.根据样本数据，分析此次升级改造的效果；(2)采用在()2,2x s x s -+内的数据作为新样本，求新样本的平均数x '和方差2s '.16．甲每次投篮投进的概率是0.7．连续投篮三次，每次投篮结果互不影响．记事件A 为“甲至少投进两球”(1)用()i i 123x =，，表示甲第i 次的投篮结果，则()123,,x x x 表示试验的样本点．用1表示“投进”，0表示“未投进”，写出该试验的样本空间，判断其是否为古典概型，并说明理由；(2)用计算机产生09:之间的整数随机数，当出现随机数06:时，表示“投进”，出现7，8，9时表示“未投进”．以每3个随机数为一组，代表甲三次投篮结果，产生20组随机数：062049 228 933 11774 732 783 078 276 '91349114494995396211016365140、、，利用该模拟试验，估计事件A 的概率，并判断事件A 的概率的精确值与估计值是否存在差异，并说明理由．17．已知,,a b c 分别为锐角三角形ABC 三哥内角,,A B C 的对边，且sin cos a C C =(1)求A ；(2)已知a O 为ABC V 的垂心，求BOC V 的周长的最大值.18．在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ACC A ⊥平面1,,24,,ABC CA CB CA CB CC E F ⊥===分别为11,AC A B 的中点.(1)求证：1A E //平面BCF ； (2)若二面角1A BC C --的大小为2π3，求证：BF 与1AC 不垂直；(3)若1cos A AB ∠⎛∈ ⎝⎦，求AB 与平面BCF 所成角的正弦值的取值范围. 19．已知点O 为坐标原点，将向量OA u u u r 绕O 逆时针旋转角α后得到向量OB u u u r.(1)若()π2,2,6OA α==u u u r ，求OB u u u r 的坐标；(2)若(),OA a b =u u u r ，求OB u u u r的坐标（用,,a b α表示）；(3)若点,M N 在抛物线()2y x t t =-∈R 上，且OMN V为等边三角形，讨论OMN V 的个数.。