安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期冬季联赛文科数学试题(无答案)
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期冬季联赛数学试题 理(PDF)
（在此卷上答题无效）
绝密★启用前
安徽省示范高中培优联盟２０２０年冬季联赛（高二）
数学（理科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第１至第２页，第Ⅱ卷第３至 第４页。全卷满分１５０分，考试时间１２０分钟。 考生注意事项：
１．答题前，务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡 上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
２．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
３ ４．．獉题清字答考笔獉卷晰第试描。、Ⅱ结獉草清作卷 束獉稿楚图，时獉纸务。题，獉上必必必可獉答须将须先獉题使试在用獉无用题题铅獉效卷０．号笔。和５所在答毫指答獉题米示题獉卡的的卡獉一黑答规并色定题上墨的区交水位域。签置作字绘答笔出，在超獉，确獉答出獉认獉题答獉后獉卡题獉再獉上区獉用书獉域０写书獉．５，写獉要毫的獉求米答獉字的案獉体黑无獉工色獉效整墨，、在獉水笔试迹签獉
（Ｄ）犳（狓）＝狓１２－狓２
（ ）
第（４）题图
第（７）题图
（５）四边形犃犅犆犇中，犃→犅＋２犆→犇＝０，设犅犆的中点为犕，犃→犅＝犪，犃→犇＝犫，则向量犇犕→＝ （ ）
（ ） （Ａ）３ ４犪－犫 （Ｂ）３ ４犪－１ ２犫 （Ｃ）犪－１ ２犫 （Ｄ）１ ２犪－犫
（ （６７） ）“ （（某φＣＡ几））＝充何充３π分体分＋必由不２要犽必若π条要干（犽件条大∈件小犣相）”同是的“正函方数体犳（组狓合）＝而ｓ成（ （ｉＢＤｎ，））其狓２必既三＋要不视φ不充图充分的均分也图为条不象如件必关图要于所条狓示件＝的３π图形对，称设”该的几何（ 体 的）
∑ ∑ ∑ 犻＝５１狓犻２－５狓－２＝１０，犻＝４１狓犻狔犻＝６６５３，犻＝４１狔犻＝３．３０．
2020-2021学年安徽省示范高中培优联盟高二冬季联赛数学(文)试题(含解析版答案)
2020-2021学年安徽省示范高中培优联盟高二冬季联赛数学（文）试题一、单选题1．已知全集U =R ，{}2A x x x =<，{}210B x x =-≤，则()UAB 等于（ ）．A ．112x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭B ．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C ．102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ D ．112xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D【解析】分别解出不等式,可得{}|01A x x =<<,1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,再根据集合的补集、交集定义求解即可 【详解】由题,可得{}|01A x x =<<,1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭, 则U1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,所以()1|12UA B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭故选：D 【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查解不等式2．如图，选自我国古代数学名著《周髀算经》．图中大正方形边长为5，四个全等的直角三角形围成一个小正方形（阴影部分），直角三角形较长的直角边长为4．若将一质点随机投入大正方形中，则质点落在阴影部分的概率是（ ）．A ．125B ．225C ．325D ．425【答案】A【解析】由勾股定理,可得阴影部分,即小正方形的边长为1,所求即为小正方形与大正方形的面积比【详解】由题,大正方形边长为5,直角三角形较长的直角边长为4,根据勾股定理可得直角三角形较短的直角边长为3,则阴影部分,即小正方形边长为431-=,根据面积型的几何概型公式计算可得,质点落在阴影部分的概率为1115525P ⨯==⨯ 故选：A 【点睛】本题考查面积型的几何概型的概率公式的应用,属于基础题 3．设sin 2cos αα=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α的值是( )A B ．C ．3D ．-【答案】A 【解析】2cos ,0,,2sin πααα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭2cos cos sin ααα∴=，1,26sin παα∴==，tan 2tan3πα== A.4．下列命题正确的是（ ）．A ．若p q ∧为假命题，则p ，q 都是假命题B ．a b >是ln ln a b >的充分不必要条件C ．命题“若cos cos αβ≠，则αβ≠” 的逆否命题为真命题D ．命题“0x R ∃∈，060x +<”的否定是“0x R ∀∉，060x +≥” 【答案】C【解析】由逻辑联结词的性质判断A 选项；由不等式的性质判断B 选项；由原命题判断逆否命题的真假来判断C 选项；由存在性命题的否定的定义来判断D 选项 【详解】对于选项A,若p q ∧为假,则p ,q 中有一个是假命题即可,故A 错误；对于选项B,当0a b >>时,无法推出ln ln a b >,故a b >不是ln ln a b >的充分条件,故B 错误；对于选项C,命题“若cos cos αβ≠,则αβ≠”的逆否命题为“若αβ=,则cos cos αβ=”,该命题正确,故C 正确；对于选项D,命题“0x R ∃∈,060x +<”的否定是“,60x R x ∀∈+≥”,故D 错误 故选：C 【点睛】本题考查命题真假的判定,考查对逻辑联结词,充分不必要条件,逆否命题,存在性命题的否定的理解5．已知函数()1108101x xf x ++=+，则()()()()3336log log 6log log 3f f +的值为（ ）． A ．7 B ．9C ．14D ．18【答案】D【解析】因为631log 3log 6=,原式可整理为()()()()3333log log 6log log 6f f +-,分析()f x 的性质可得()()18f x f x +-=,即可求解 【详解】 由题,631log 3log 6=,则 ()()()()()()33363333log log 6log log 3log log 6log log 61f f f f ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()3333log log 6log log 6f f =+-,因为()1108210101101x xx f x ++==-++,则()22101010101101xx xf x -⋅-=-=-++, 所以()()2210221010102020218101101101x x x x xf x f x ⎛⎫⋅+⋅⎛⎫+-=-+-=-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 则()()()()3333log log 6log log 618f f +-= 故选：D 【点睛】本题考查函数对称性的应用,考查对数的性质,考查观察分析的能力,处理该题时不应直接代入数据处理,而是观察所求之间的关系,利用函数性质求解,以此简化运算 6．为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像 （ ） A ．向左平移π6个长度单位 B ．向右平移π6个长度单位C ．向左平移5π6个长度单位 D ．向右平移5π6个长度单位 【答案】C【解析】先化简变形把sin y x =变为πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后由平移公式有πππcos cos cos ()222y x y x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-→=+-=+- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭平移个单位（）对应相等可得56πϕ=，显然是向左平移．7．如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 垂直平分AC ，垂足为O ，若4AC =，则AB AC ⋅= （ ）．A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】C【解析】由图可得12AB AO OB AC OB =+=+,转化12AB AC AC OB AC ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭,根据OB 与AC 的位置关系进而求解即可 【详解】因为对角线BD 垂直平分AC ,垂足为O ,所以12AO AC =,BO AC ⊥,即 0BO AC ⋅=,所以12AB AO OB AC OB =+=+, 则22211110482222AB AC AC OB AC AC OB AC AC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+=⨯= ⎪⎝⎭, 故选：C 【点睛】本题考查向量的数量积,考查平面向量基本定理的应用,考查垂直向量的应用8．函数f （x ）=ln|11xx+-|的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】D【解析】因为()()11lnln 11x xf x f x x x-+-==-=-+-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，可排除,A C ；由()2ln30f =>,可排除B ，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.9．若实数x ，y 满足约束条件02322302x x y xy <≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，若()0z x ky k =+>的最大值为152，则z 的最小值为（ ）．A ．72B ．4C ．256D ．92【答案】C【解析】设0x ky +=,即1=-y x k ,且10k-<,画出可行域,平移直线,由图可得截距最大时的点坐标,进而求出2k =,代回直线方程,再平移直线找到截距最小时的点,从而求得z 的最小值 【详解】由题,设0x ky +=,即1=-y x k ,因为0k >,所以10k-<,可行域如图所示,平移直线1=-y x k ,在点3,32⎛⎫⎪⎝⎭处截距最大,则此时153322k =+,即2k =,则12y x =-；再平移直线12y x =-,在点34,23⎛⎫ ⎪⎝⎭处截距最小,此时min 34252236z =+⨯=故选：C 【点睛】本题考查线性规划的应用,考查数形结合思想 10．已知函数()2f x x mx =-+，且()()ff x 的最大值与()f x 的最大值相等，则实数m 的取值范围是（ ）． A ．(][),20,-∞-+∞B ．[]2,0-C ．(][),02,-∞+∞D ．[]0,2【答案】C【解析】先求出()f x 的对称轴和最大值,将问题转化为存在x ,使()2mf x ≥恒成立,再解不等式即可 【详解】由题,当2m x =时,()2max 4m f x =,因为()()ff x 的最大值与()f x 的最大值相等,所以存在x ,使()2m f x ≥恒成立,则()max 2m f x ≥,即242m m≥,解得0m ≤或2m ≥,故选：C 【点睛】本题考查二次函数的最值问题,考查利用二次函数的性质处理含参问题,考查转化思想 11．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异．”教材中的“探究与发现”利用祖暅原理将半球的体积转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差，从而得出球的体积计算公式．如图（1）是一种“四脚帐篷”的示意图，用任意平行于帐篷底面ABCD 的平面截帐篷，得截面四边形为正方形，该帐篷的三视图如图（2）所示，其中正视图的投影线方向垂直于平面AOC ，正视图和侧视图中的曲线均为半径为1的半圆．模仿上述球的体积计算方法，得该帐篷的体积为（ ）．图（1） 图（2）A ．23B ．43C ．π3D ．2π3【答案】B【解析】由题,“祖暅原理”为两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等,则可将该四角帐篷的体积等价于一个棱柱减去一个棱锥的体积,根据三视图的数据,求解即可 【详解】由“祖暅原理”可得这个四角帐篷的体积等价于一个四棱柱减去一个四棱锥的体积,底面积为正方形,对角线长为2,2；高为1,所以(2212421212333V =⨯-⨯⨯=-= 故选：B 【点睛】本题考查类比推理的应用,考查几何体的体积,考查分析推理能力12．若数列{}n a 满足：对任意的()3n Nn *∈≥，总存在,i j N *∈，使(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<，则称{}n a 是“F 数列”．现有以下数列{}n a ：①2n a n =；②2n a n =；③3n n a =；④1n n a -=⎝⎭；其中是F 数列的有（ ）．A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④【答案】D【解析】利用特殊值的方法可以否定②③,再根据通项公式的特点证明①④即可 【详解】①2n a n =,则12a =,()12122n a n n -=-=-,则11n n a a a -=+()3n ≥,故①是“F 数列”；②2n a n =,则2339a ==,若(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<,则,i j 只能是1,2,但2111a ==,2224a ==,此时312a a a ≠+,故②不是“F 数列”；③3n n a =,则33327a ==,若(),,n i j a a a i j i n j n =+≠<<,则,i j 只能是1,2,但13a =,2239a ==,此时312a a a ≠+,故③不是“F 数列”；④112n n a -⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,则11211122n n n a ----⎛⎛-== ⎝⎭⎝⎭,21321122n n n a ----⎛⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则23121121111122222n n n n n a a -------⎡⎤⎛⎛⎫⎛⎛⎫⎛-⎢⎥+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦1111111n n n na ------⎡⎤⎢⎥=⨯⨯+=⨯⨯==⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()3n ≥,故④是“F 数列”故选：D 【点睛】本题考查数列的通项公式的应用,考查对新定义的理解,考查分析阅读能力,考查推理论证能力二、填空题13．在边长为1的正六边形的六个顶点中任取两个点，则这两点之间距离大于1的概率为______． 【答案】35【解析】由边长为1的正六边形,根据三角形两边之和大于第三边可得对角线均大于1,进而得到所求 【详解】由题,根据三角形两边之和大于第三边可得正六边形的对角线均大于1,如图,六个顶点中任取两个点的情况数为15,对角线的条数为9,则顶点中两点之间距离大于1的概率为93155P ==, 故答案为：35【点睛】本题考查概率的求解,考查古典概型的应用,属于基础题14．在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2cos b A a B =，且cos 3cos c A a C =，则cos A =_____________． 【答案】22【解析】因为cos 2cos b A a B =，cos 3cos c A a C =，所以由正弦定理可得sin cos 2sin cos B A A B =，sin cos 3sin cos C A A C =， 整理得tan 2tan B A =，tan 3tan C A =，所以()2tan tan 5tan tan tan 1tan tan 16tan B C AA B C B C A +=-+=-=---，又tan 0A ≠，所以25116tan A =--，解得tan 1A =（负值舍去），所以4A π=，所以2cos 2A =． 15．已知曲线:21C x y =+与直线:l y kx m =+，对任意的m R ∈，直线l 与曲线C都有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为______． 【答案】()2,2-【解析】先分类讨论画出曲线C 的图象,再根据对任意的m R ∈,直线l 与曲线C 都有两个不同的交点,变换直线找到符合条件的情况,即可得到斜率k 的范围 【详解】由题,因为曲线:21C x y =+,则 当0,0x y >>时,21y x =-； 当0,0x y ><时,21y x =-+； 当0,0x y <>时,21y x =--；当0,0x y <<时,21y x =+；画出图象,如下图所示,若对任意的m R ∈,直线l 与曲线C 都有两个不同的交点,则直线l 与曲线C 分别交于两支,故22k -<<, 故答案为：()2,2- 【点睛】本题考查已知交点个数求参问题,考查数相结合能力,考查分类讨论思想16．如图，设Ox 、Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量．若向量12OP xe ye =+，则把有序实数对,x y 叫做向量OP 在斜坐标系xOy 中的坐标，记作,OP x y =．在此斜坐标系xOy 中，已知2,3=a ，5,2=-b ， ,a b 夹角为θ，则θ=______．【答案】23π 【解析】由题意,1223a e e =+,1252b e e =-+,分别求出a b ⋅,a ,b ,进而利用数量积求出夹角即可 【详解】由题,1223a e e =+,1252b e e =-+, 所以()()21221211221195210116101162223a b e e e e e e e e ⋅=⋅-+=--⋅+=--⨯+=+-()212112222214129412931922e e e e e e a ==+⋅+=++⨯+=,则19a =,()22221211221522520425204192b e e e e e e =-+=-⋅+=-⨯+=,则19b =,所以1912cos 21919a b a bθ-⋅===-⨯⋅,则23θπ= 故答案为：23π 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查利用数量积求向量的夹角,考查运算能力三、解答题17．某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完．（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个，n N ∈）的函数解析式；（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得下表：假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差．【答案】(1) 330,3060,30n n y n -<⎧=⎨≥⎩,n N ∈.(2)平均数为59,方差为3.8.【解析】（1）当需求量小于30时,利润为卖出的利润减去亏损的部分；当需求量大于等于30时,利润即为30个面包的利润；（2）将需求量代入解析式求出利润,再利用平均数公式及方差公式运算即可 【详解】（1）由题,当30x <时,()()()866530330y n n n =----=-； 当30x ≥时,()308660y =⨯-=,所以330,3060,30n n y n -<⎧=⎨≥⎩,n N ∈ （2）由题,则所以平均数为()15435746066745930⨯+⨯+⨯+++⨯=⎡⎤⎣⎦； 方差为()()()()2221545935759460596674 3.830⎡⎤-⨯+-⨯+-⨯+++⨯=⎣⎦ 【点睛】本题考查分段函数在实际中的应用,考查平均数与方差,考查运算能力与数据处理能力,考查分类讨论思想18．设数列{}n a 满足123232n a a a na n ++++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（1）2n a n=（2）()121nn S n =-⋅+ 【解析】（1）先求出1a ,再由2n ≥,可得()()123123121n a a a n a n -++++-=-,与题干中条件作差,整理后即可得到通项公式；（2）由（1）可设122nn n nb n a -==⋅,利用错位相减法求前n 项和即可 【详解】解：（1）当1n =时,1212a =⨯=； 当2n ≥时,()()123123121n a a a n a n -++++-=-②,因为123232n a a a na n ++++=①,则①-②得,2n na =,即2n a n=, 检验,1221a ==,符合,故2n a n =（2）由（1）,设12222n nn n nb n a n-===⋅, 则121n n n S b b b b -=++++()0121=1222122n n n n --⨯+⨯++-⋅+⋅,所以()12121222122n n n S n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅,所以012122222n n n S n --=+++-⋅()0212212n n n ⨯-=-⋅-212n n n =--⋅()121n n =-⋅-,则()121nn S n =-⋅+【点睛】本题考查求数列通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力19．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是面11ADD A ，面11CDD C ，面1111D C B A 的中心，11AD AA ==，2CD =．（1）求证：平面//MNP 平面1ACB ； （2）求三棱锥1D MNP -的体积；（3）在棱11C D 上是否存在点Q ，使得平面MNP ⊥平面1QBB ？如果存在，请求出1D Q 的长度；如果不存在，求说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）224（3）存在,1322D Q = 【解析】（1）延长,,DM DN DP 分别至1,,A C B ,由中心可得到中点,利用中位线证明相交直线平行即可证得面面平行；（2）先求出三棱锥11D AB C -的体积,再由三棱锥各边的比求出1D MNP -的体积即可；（3）将平面MNP ⊥平面1QBB 转化为平面1ACB ⊥平面1QBB ,由长方体可得1BB AC ⊥,因为11//AC A C ,作出111B Q AC ⊥即可,进而求得1D Q【详解】（1）证明：延长,,DM DN DP 分别至1,,A C B ,M ,N ,P 分别是面11ADD A ,面11CDD C ,面1111D C B A 的中心,∴M ,N ,P 是1D A ,1D C ,11D B 的中点,//MN AC ∴,1//MP AB ,又MN MP M ⋂=,1AC AB A ⋂=,,MN MP ⊂平面MNP ,1,AC AB ⊂平面1ACB , ∴平面//MNP 平面1ACB（2）由题,11111111111111111114D AB C ABCD A B C D A D B A D D AC C B D C B ABC ABCD A B C D B ABCV V V V V V V V --------=----=-1121124112323⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭, 由（1）可得,三棱锥1D MNP -的各棱长为三棱锥11D AB C -的12, 111112288324D MNP D AB C V V --∴==⨯=（3）存在,1322D Q =1BB 是长方体的侧棱,1BB ∴⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,1BB AC ∴⊥,连接11A C ,作111QB AC ⊥,垂足为O ,因为长方体,∴11//AC A C ,112A B =111B C =,1B Q AC ∴⊥,11B Q BB B ⋂=,11,B Q BB ⊂平面1QBB ,AC ∴⊥平面1QBB , AC ⊂平面1ACB ,∴平面1ACB ⊥平面1QBB ,由（1）,平面//MNP 平面1ACB ,∴平面MNP ⊥平面1QBB ,此时,1111111112C A B A B O QB C A B O π∠+∠==∠+∠,11111C A B QB C ∴∠=∠, 11111tan tan QB C C A B ∴∠=∠,即1111111QC B C B C A B =,则111Q C =12QC ∴=, 111122D Q D C QC ∴=-==, 【点睛】本题考查面面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查三棱锥的体积,考查运算能力与几何体的分析能力20．已知函数()()2log 23f x ax a =++．（1）若()f x 在()1,2上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求a 的取值范围． 【答案】（1）304a -≤<（2）1616,,1515⎛⎤⎡⎤-∞-⋃-- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】（1）根据复合函数单调性的处理原则“同增异减”可知2log y x =单调递增,函数()f x 单调递减,则求23y ax a =++单调递减,进而求解即可； （2）当0a =时为常数函数,符合条件；当0a ≠时可得()12f t f ⎛⎫=-⎪⎝⎭,代入可得()1232312at a a a ⎛⎫++++=⎪⎝⎭,整理为关于t 的方程,即()()22561027160aa t a a ++++=,设()()()2256102716g t a a t a a =++++,由()()120g g -⋅-≤求解即可【详解】（1）由题,设2log y u =,()23u x ax a =++，2log y u =单调递增,且()f x 在()1,2上单调递减,()u x ∴在()1,2上单调递减,()020a u <⎧∴⎨≥⎩,即02230a a a <⎧⎨++≥⎩,解得304a -≤<（2）当0a =时,()2log 3f x =,是个常数函数,存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭； 当0a ≠时,()f x 单调,若存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭,则有()12f t f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即()221log 23log 232at a a a ⎛⎫++=-++⎪⎝⎭, 则()1232312at a a a ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭, ()()252329160t a t a ∴++++=,()()22561027160a a t a a ∴++++=在[]2,1t ∈--有解,设()()()2256102716g t a a t a a =++++,则()()()()()222156102716521165161g a a a a a a a a -=-++++=++=++,()()()2222561027161516g a a a a a -=-++++=+,()()120g g ∴-⋅-≤,即()()()516115160a a a +++≤,1616,,1515a ⎛⎤⎡⎤∴∈-∞-⋃-- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【点睛】本题考查复合函数已知单调性求参数问题,考查对数函数性质的应用,考查转化思想,考查运算能力21．有一块半径为10cm ，圆心角为2π3的扇形钢板，需要将它截成一块矩形钢板，分别按图1和图2两种方案截取（其中方案二中的矩形关于扇形的对称轴对称）．图1：方案一 图2：方案二（1）求按照方案一截得的矩形钢板面积的最大值；（2）若方案二中截得的矩形ABCD 为正方形，求此正方形的面积；（3）若要使截得的钢板面积尽可能大，应选择方案一还是方案二？请说明理由，并求矩形钢板面积的最大值． 【答案】（1）25（2）1200300313-（3）方案二,最大值为10033,理由见解析【解析】（1）连接AC ,设CAB α∠=,则10cos AB α=,10sin BC α=,则矩形面积为关于α的函数,求出最值即可；（2）连接OC ,设COB θ∠=,利用正弦定理和三角形的对称性质可得3BC =20sin 3AB πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用AB BC =解得2sin θ,进而求出正方形面积即可；（3）由（2）得到sin 2633S πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,求出最大值,与（1）的最值比较即可【详解】解：（1）连接AC ,设CAB α∠=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则10cos AB α=,10sin BC α=,10cos 10sin 25sin 2S AB BC ααα∴=⋅=⋅=,()20,απ∈,∴当22πα=,即4πα=时,max 25S = （2）连接OC ,设COB θ∠=03πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭,正方形关于扇形轴对称,∴3OBA π∠=2sin 20sin 33AB CD OC ππθθ⎛⎫⎛⎫∴==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则23OBC π∠=, 在OBC 中,由正弦定理可得sin sin OC BC OBC COB=∠∠,即102sin sin 3BCπθ=, 则3BC =正方形,AB BC ∴=,即20sin 33πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭则33cos 1sin 22θθ⎛=+ ⎝⎭, 代入22sin cos 1θθ+=可得2sin 1643θ=+,则2240040012003003sin 33131643S BC θ-==⨯==+ （3）选择方案二, 由（2）,对于方案二1120sin sin 22326463333S AB BC πππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦52,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴当262ππθ+=,即6πθ=时,max S ==由（125>, 应选择方案二 【点睛】本题考查三角函数与正弦定理在几何中的应用,考查利用三角函数求最值,考查运算能力,考查数形结合能力22．已知圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上，截直线1:6l x =所得的弦长为6，且与直线2:60l x y -+=相切． （1）求圆M 的方程；（2）已知点()1,1N ，在直线MN 上是否存在点Q （异于点N ），使得对圆M 上的任一点P ，都有PQ PN为定值λ？若存在，请求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=【解析】（1）由题,设圆心为()00,6x x -+,由相切关系求得半径,再由弦长公式求出0x ,进而得到圆的方程；（2）假设存在满足条件的点和定值,设Q 为(),a a ()1a ≠,P 为(),x y ,利用两点间距离公式得到222PQ PN λ=,再根据P 在圆M 上,待定系数法求得系数的关系,进而求解即可 【详解】 （1）圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上,∴设圆心为()00,6x x -+,圆心到直线1:6l x =的距离为06d x =-,又圆M 与直线2:60l x y -+=相切,2100r ∴====,圆M 截直线1:6l x =所得的弦长为6,6∴=则229rd =-,即)()22069x --=,20012450x x ∴+-=,解得03x =或015x =-（舍）r ∴=圆心为()3,3, ∴圆M 为()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=,假设存在直线MN 上点Q （异于点N ）,使得对圆M 上的任一点P ,都有PQ PN为定值λ,由题,设Q 为(),a a ()1a ≠,(0PQ PNλλ=>且1)λ≠,222PQ PNλ∴=,设P 为(),x y ,则()()222PQ x a y a =-+-,()()22211PNx y =-+-,则()()()()2222211x a y a x y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦,整理可得()()()()()22222222112222220x y a x a y aλλλλλ-+-----+-=,P 在圆M 上,()()223318x y ∴-+-=,即22660x y x y +--=,()()()()2222221161610x y x y λλλλ∴-+-----=,()22226122220a a λλλ⎧-=-⎪∴⎨-=⎪⎩,解得3232a λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,此时Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查两点间距离公式的应用,考查运算能力,考查数形结合能力。
安徽省示范高中培优联盟2019_2020学年高二数学冬季联赛试题文含解析
安徽省示范高中培优联盟2019-2020学年高二数学冬季联赛试题 文（含解析）一、选择题（本大题共12小题．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1.已知全集U =R ，{}2A x x x =<，{}210B x x =-≤，则()UAB 等于（ ）．A. 112x x ⎧⎫≤<⎨⎬⎩⎭B. 112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭C. 102x x ⎧⎫<≤⎨⎬⎩⎭ D. 112xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【答案】D 【解析】 【分析】分别解出不等式,可得{}|01A x x =<<,1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭,再根据集合的补集、交集定义求解即可【详解】由题,可得{}|01A x x =<<,1|2B x x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭, 则U1|2B x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭,所以()1|12UA B x x ⎧⎫⋂=<<⎨⎬⎩⎭故选：D【点睛】本题考查集合的交集、补集运算,考查解不等式2.如图，选自我国古代数学名著《周髀算经》．图中大正方形边长为5，四个全等的直角三角形围成一个小正方形（阴影部分），直角三角形较长的直角边长为4．若将一质点随机投入大正方形中，则质点落在阴影部分的概率是（ ）．A.125B.225C.325D.425【答案】A【解析】 【分析】由勾股定理,可得阴影部分,即小正方形的边长为1,所求即为小正方形与大正方形的面积比 【详解】由题,大正方形边长为5,直角三角形较长的直角边长为4,根据勾股定理可得直角三角形较短的直角边长为3,则阴影部分,即小正方形边长为431-=,根据面积型的几何概型公式计算可得,质点落在阴影部分的概率为1115525P ⨯==⨯ 故选：A【点睛】本题考查面积型的几何概型的概率公式的应用,属于基础题 3.设sin2cos αα=，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan2α的值是( )B. D. -【答案】A 【解析】2cos ,0,,2sin πααα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭2cos cos sin ααα∴=，1,26sin παα∴==，tan 2tan3πα== A.4.下列命题正确的是（ ）．A. 若p q ∧为假命题，则p ，q 都是假命题B. a b >是ln ln a b >的充分不必要条件C. 命题“若cos cos αβ≠，则αβ≠” 的逆否命题为真命题D. 命题“0x R ∃∈，060x +<”的否定是“0x R ∀∉，060x +≥” 【答案】C 【解析】 【分析】由逻辑联结词的性质判断A 选项；由不等式的性质判断B 选项；由原命题判断逆否命题的真假来判断C 选项；由存在性命题的否定的定义来判断D 选项【详解】对于选项A,若p q ∧为假,则p ,q 中有一个是假命题即可,故A 错误；对于选项B,当0a b >>时,无法推出ln ln a b >,故a b >不是ln ln a b >的充分条件,故B 错误；对于选项C,命题“若cos cos αβ≠,则αβ≠”的逆否命题为“若αβ=,则cos cos αβ=”,该命题正确,故C 正确；对于选项D,命题“0x R ∃∈,060x +<”的否定是“,60x R x ∀∈+≥”,故D 错误 故选：C【点睛】本题考查命题真假的判定,考查对逻辑联结词,充分不必要条件,逆否命题,存在性命题的否定的理解5.已知函数()1108101x xf x ++=+，则()()()()3336log log 6log log 3f f +的值为（ ）． A. 7 B. 9C. 14D. 18【答案】D 【解析】 【分析】 因为631log 3log 6=,原式可整理为()()()()3333log log 6log log 6f f +-,分析()f x 的性质可得()()18f x f x +-=,即可求解 【详解】由题,631log 3log 6=,则 ()()()()()()33363333log log 6log log 3log log 6log log 61f f f f ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()3333log log 6log log 6f f =+-,因为()1108210101101x xx f x ++==-++,则()22101010101101xx xf x -⋅-=-=-++, 所以()()2210221010102020218101101101x x x x xf x f x ⎛⎫⋅+⋅⎛⎫+-=-+-=-=-= ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭. 则()()()()3333log log 6log log 618f f +-= 故选：D【点睛】本题考查函数对称性的应用,考查对数的性质,考查观察分析的能力,处理该题时不应直接代入数据处理,而是观察所求之间的关系,利用函数性质求解,以此简化运算 6.为得到函数πcos 3y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin y x =的图像 （ ） A. 向左平移π6个长度单位 B. 向右平移π6个长度单位 C. 向左平移5π6个长度单位D. 向右平移5π6个长度单位【答案】C 【解析】先化简变形把sin y x =变为πcos 2y x ⎛⎫=-⎪⎝⎭，然后由平移公式有πππcos cos cos ()222y x y x x ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-→=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭平移个单位（）对应相等可得56πϕ=，显然是向左平移．7.如图，在四边形ABCD 中，对角线BD 垂直平分AC ，垂足为O ，若4AC =，则AB AC ⋅= （ ）．A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C 【解析】 【分析】由图可得12AB AO OB AC OB =+=+,转化12AB AC AC OB AC ⎛⎫⋅=+⋅ ⎪⎝⎭,根据OB 与AC 的位置关系进而求解即可【详解】因为对角线BD 垂直平分AC ,垂足为O ,所以12AO AC =,BO AC ⊥,即 0BO AC ⋅=,所以12AB AO OB AC OB =+=+, 则22211110482222AB AC AC OB AC AC OB AC AC ⎛⎫⋅=+⋅=+⋅=+=⨯= ⎪⎝⎭, 故选：C【点睛】本题考查向量的数量积,考查平面向量基本定理的应用,考查垂直向量的应用 8.函数f （x ）=ln|11xx+-|的大致图象是（ ） A. B.C. D.【答案】D 【解析】 因为()()11lnln 11x xf x f x x x-+-==-=-+-，所以函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，可排除,A C ；由()2ln30f =>,可排除B ，故选D.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.9.若实数x，y满足约束条件02322302xx yxy<≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，若()0z x ky k=+>的最大值为152，则z的最小值为（）．A.72B. 4C.256D.92【答案】C【解析】【分析】设0x ky+=,即1=-y xk,且1k-<,画出可行域,平移直线,由图可得截距最大时的点坐标,进而求出2k=,代回直线方程,再平移直线找到截距最小时的点,从而求得z的最小值【详解】由题,设0x ky+=,即1=-y xk,因为0k>,所以1k-<,可行域如图所示,平移直线1=-y xk,在点3,32⎛⎫⎪⎝⎭处截距最大,则此时153322k=+,即2k=,则12y x=-；再平移直线12y x=-,在点34,23⎛⎫⎪⎝⎭处截距最小,此时min34252236z=+⨯=故选：C【点睛】本题考查线性规划的应用,考查数形结合思想10.已知函数()2f x x mx=-+，且()()f f x的最大值与()f x的最大值相等，则实数m的取值范围是（ ）． A. (][),20,-∞-+∞B. []2,0-C. (][),02,-∞+∞D. []0,2【答案】C 【解析】 【分析】先求出()f x 的对称轴和最大值,将问题转化为存在x ,使()2mf x ≥恒成立,再解不等式即可 【详解】由题,当2m x =时,()2max 4m f x =,因为()()ff x 的最大值与()f x 的最大值相等,所以存在x ,使()2m f x ≥恒成立,则()max 2m f x ≥,即242m m≥,解得0m ≤或2m ≥,故选：C【点睛】本题考查二次函数的最值问题,考查利用二次函数的性质处理含参问题,考查转化思想11.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，在数学上有突出贡献，他在实践的基础上提出了体积计算原理（祖暅原理）：“幂势既同，则积不容异．”教材中的“探究与发现”利用祖暅原理将半球的体积转化为一个圆柱与一个圆锥的体积之差，从而得出球的体积计算公式．如图（1）是一种“四脚帐篷”的示意图，用任意平行于帐篷底面ABCD 的平面截帐篷，得截面四边形为正方形，该帐篷的三视图如图（2）所示，其中正视图的投影线方向垂直于平面AOC ，正视图和侧视图中的曲线均为半径为1的半圆．模仿上述球的体积计算方法，得该帐篷的体积为（ ）．图（1） 图（2）A. 23B.43C.π3D.2π3【答案】B【解析】【分析】由题,“祖暅原理”为两个等高的几何体若在所有等高处的水平截面的面积相等,则这两个几何体的体积相等,则可将该四角帐篷的体积等价于一个棱柱减去一个棱锥的体积,根据三视图的数据,求解即可【详解】由“祖暅原理”可得这个四角帐篷的体积等价于一个四棱柱减去一个四棱锥的体积,底面积为正方形,对角线长为2,即边长为；高为1,所以22124112333V=⨯-⨯⨯=-=故选：B【点睛】本题考查类比推理的应用,考查几何体的体积,考查分析推理能力12.若数列{}n a满足：对任意的()3n N n*∈≥，总存在,i j N*∈，使(),,n i ja a a i j i n j n=+≠<<，则称{}n a是“F数列”．现有以下数列{}n a：①2na n=；②2na n=；③3nna=；④112nna-⎛=⎝⎭；其中是F数列的有（）．A. ①③B. ②④C. ②③D. ①④【答案】D【解析】【分析】利用特殊值的方法可以否定②③,再根据通项公式的特点证明①④即可【详解】①2na n=,则12a=,()12122na n n-=-=-,则11n na a a-=+()3n≥,故①是“F 数列”；②2na n=,则2339a==,若(),,n i ja a a i j i n j n=+≠<<,则,i j只能是1,2,但2111a==,2224a==,此时312a a a≠+,故②不是“F数列”；③3nna=,则33327a==,若(),,n i ja a a i j i n j n=+≠<<,则,i j只能是1,2,但13a =,2239a ==,此时312a a a ≠+,故③不是“F 数列”；④1152n n a -⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭,则1121151522n n n a ----⎛⎫⎛⎫--== ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,2132151522n n n a ----⎛⎫⎛⎫--== ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则2312112151515151522222n n n n n a a -------⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-----⎢⎥+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111111151515151515151n n n na ------⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-------⎢⎥=⨯⨯+=⨯⨯== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()3n ≥,故④是“F 数列”故选：D【点睛】本题考查数列的通项公式的应用,考查对新定义的理解,考查分析阅读能力,考查推理论证能力二、填空题（本大题共4小题，把答案填在答题卡的相应位置．）13.在边长为1的正六边形的六个顶点中任取两个点，则这两点之间距离大于1的概率为______． 【答案】35【解析】 【分析】由边长为1的正六边形,根据三角形两边之和大于第三边可得对角线均大于1,进而得到所求 【详解】由题,根据三角形两边之和大于第三边可得正六边形的对角线均大于1,如图,六个顶点中任取两个点的情况数为15,对角线的条数为9,则顶点中两点之间距离大于1的概率为93155P ==,故答案为：35【点睛】本题考查概率的求解,考查古典概型的应用,属于基础题14.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 2cos b A a B =，且cos 3cos c A a C =，则cos A =_____________．【解析】因为cos 2cos b A a B =，cos 3cos c A a C =，所以由正弦定理可得sin cos 2sin cos B A A B =，sin cos 3sin cos C A A C =， 整理得tan 2tan B A =，tan 3tan C A =，所以()2tan tan 5tan tan tan 1tan tan 16tan B C AA B C B C A +=-+=-=---， 又tan 0A ≠，所以25116tan A =--，解得tan 1A =（负值舍去），所以4A π=，所以cos 2A =． 15.已知曲线:21C x y =+与直线:l y kx m =+，对任意的m R ∈，直线l 与曲线C 都有两个不同的交点，则实数k 的取值范围为______． 【答案】()2,2- 【解析】 【分析】先分类讨论画出曲线C 的图象,再根据对任意的m R ∈,直线l 与曲线C 都有两个不同的交点,变换直线找到符合条件的情况,即可得到斜率k 的范围 【详解】由题,因为曲线:21C x y =+,则 当0,0x y >>时,21y x =-； 当0,0x y ><时,21y x =-+； 当0,0x y <>时,21y x =--；当0,0x y <<时,21y x =+；画出图象,如下图所示,若对任意的m R ∈,直线l 与曲线C 都有两个不同的交点,则直线l 与曲线C 分别交于两支,故22k -<<,故答案为：()2,2-【点睛】本题考查已知交点个数求参问题,考查数相结合能力,考查分类讨论思想16.如图，设Ox 、Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e 、2e 分别是与x 轴、y 轴正方向同向的单位向量．若向量12OP xe ye =+，则把有序实数对,x y 叫做向量OP 在斜坐标系xOy 中的坐标，记作,OP x y =．在此斜坐标系xOy 中，已知2,3=a ，5,2=-b ， ,a b夹角为θ，则θ=______．【答案】23π 【解析】 【分析】由题意,1223a e e =+,1252b e e =-+,分别求出a b ⋅,a ,b ,进而利用数量积求出夹角即可【详解】由题,1223a e e =+,1252b e e =-+,所以()()21221211221195210116101162223a b e e e e e e e e ⋅=⋅-+=--⋅+=--⨯+=+- ()212112222214129412931922e e e e e e a ==+⋅+=++⨯+=,则19a =,()22221211221522520425204192b e e e e e e =-+=-⋅+=-⨯+=,则19b =,所以1912cos 219a b a bθ-⋅===-⨯⋅,则23θπ= 故答案为：23π 【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用,考查利用数量积求向量的夹角,考查运算能力 三、解答题（本大题共6小题，解答应写出必要的文字说明、证明过程演算步骤．） 17.某蛋糕店计划按天生产一种面包，每天生产量相同，生产成本每个6元，售价每个8元，未售出的面包降价处理，以每个5元的价格当天全部处理完．（1）若该蛋糕店一天生产30个这种面包，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：个，n N ∈）的函数解析式；（2）蛋糕店记录了30天这种面包的日需求量（单位：个），整理得下表：假设蛋糕店在这30天内每天生产30个这种面包，求这30天的日利润（单位：元）的平均数及方差．【答案】(1) 330,3060,30n n y n -<⎧=⎨≥⎩,n N ∈.(2)平均数为59,方差为3.8. 【解析】 【分析】（1）当需求量小于30时,利润为卖出的利润减去亏损的部分；当需求量大于等于30时,利润即为30个面包的利润；（2）将需求量代入解析式求出利润,再利用平均数公式及方差公式运算即可 【详解】（1）由题,当30x <时,()()()866530330y n n n =----=-； 当30x ≥时,()308660y =⨯-=,所以330,3060,30n n y n -<⎧=⎨≥⎩,n N ∈ （2）由题,则所以平均数为()15435746066745930⨯+⨯+⨯+++⨯=⎡⎤⎣⎦； 方差为()()()()2221545935759460596674 3.830⎡⎤-⨯+-⨯+-⨯+++⨯=⎣⎦ 【点睛】本题考查分段函数在实际中的应用,考查平均数与方差,考查运算能力与数据处理能力,考查分类讨论思想18.设数列{}n a 满足123232n a a a na n ++++=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．【答案】（1）2n a n=（2）()121nn S n =-⋅+ 【解析】 【分析】（1）先求出1a ,再由2n ≥,可得()()123123121n a a a n a n -++++-=-,与题干中条件作差,整理后即可得到通项公式；（2）由（1）可设122nn n nb n a -==⋅,利用错位相减法求前n 项和即可 【详解】解：（1）当1n =时,1212a =⨯=；当2n ≥时,()()123123121n a a a n a n -++++-=-②,因为123232n a a a na n ++++=①,则①-②得,2n na =,即2n a n=, 检验,1221a ==,符合,故2n a n =（2）由（1）,设12222n nn n nb n a n-===⋅, 则121n n n S b b b b -=++++()0121=1222122n n n n --⨯+⨯++-⋅+⋅,所以()12121222122n n n S n n -=⨯+⨯++-⋅+⋅,所以012122222n n n S n --=+++-⋅()0212212n n n ⨯-=-⋅-212n n n =--⋅()121n n =-⋅-,则()121nn S n =-⋅+【点睛】本题考查求数列通项公式,考查错位相减法求数列的和,考查运算能力19.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N ，P 分别是面11ADD A ，面11CDD C ，面1111D C B A 的中心，11AD AA ==，2CD =．（1）求证：平面//MNP 平面1ACB ；（2）求三棱锥1D MNP -的体积；（3）在棱11C D 上是否存在点Q ，使得平面MNP ⊥平面1QBB ？如果存在，请求出1D Q 的长度；如果不存在，求说明理由． 【答案】（1）证明见解析（2）224（3）存在,1322D Q = 【解析】 【分析】（1）延长,,DM DN DP 分别至1,,A C B ,由中心可得到中点,利用中位线证明相交直线平行即可证得面面平行；（2）先求出三棱锥11D AB C-的体积,再由三棱锥各边的比求出1D MNP -的体积即可；（3）将平面MNP ⊥平面1QBB 转化为平面1ACB ⊥平面1QBB ,由长方体可得1BB AC ⊥,因为11//AC A C ,作出111B Q AC ⊥即可,进而求得1D Q【详解】（1）证明：延长,,DM DN DP 分别至1,,A C B ,M ,N ,P 分别是面11ADD A ,面11CDD C ,面1111D C B A 的中心,∴M ,N ,P 是1D A ,1D C ,11D B 的中点,//MN AC ∴,1//MP AB ,又MN MP M ⋂=,1AC AB A ⋂=,,MN MP ⊂平面MNP ,1,AC AB ⊂平面1ACB , ∴平面//MNP 平面1ACB（2）由题,11111111111111111114D AB C ABCD A B C D A D B A D D AC C B D C B ABC ABCD A B C D B ABC V V V V V V V V --------=----=-1121124112323⎛⎫=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯⨯=⎪⎝⎭, 由（1）可得,三棱锥1D MNP -的各棱长为三棱锥11D AB C -的12, 111112288324D MNP D AB C V V --∴==⨯=（3）存在,132D Q =1BB 是长方体的侧棱, 1BB ∴⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ,1BB AC ∴⊥,连接11A C ,作111QB AC ⊥,垂足为O ,因为长方体,∴11//AC A C ,112A B 111B C =,1B Q AC ∴⊥,11B Q BB B ⋂=,11,B Q BB ⊂平面1QBB ,AC ∴⊥平面1QBB , AC ⊂平面1ACB ,∴平面1ACB ⊥平面1QBB ,由（1）,平面//MNP 平面1ACB ,∴平面MNP ⊥平面1QBB ,此时,1111111112C A B A B O QB C A B O π∠+∠==∠+∠,11111C A B QB C ∴∠=∠, 11111tan tan QB C C A B ∴∠=∠,即1111111QC B C B C A B =,则111Q C =12QC ∴=, 111122D Q D C QC ∴=-==, 【点睛】本题考查面面平行的证明,考查面面垂直的证明,考查三棱锥的体积,考查运算能力与几何体的分析能力20.已知函数()()2log 23f x ax a =++．（1）若()f x 在()1,2上单调递减，求实数a 的取值范围； （2）若存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭，求a 的取值范围． 【答案】（1）304a -≤<（2）1616,,1515⎛⎤⎡⎤-∞-⋃-- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【解析】 【分析】（1）根据复合函数单调性的处理原则“同增异减”可知2log y x =单调递增,函数()f x 单调递减,则求23y ax a =++单调递减,进而求解即可；（2）当0a =时为常数函数,符合条件；当0a ≠时可得()12f t f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,代入可得()1232312at a a a ⎛⎫++++=⎪⎝⎭,整理为关于t 的方程,即()()22561027160aa t a a ++++=,设()()()2256102716g t a a t a a =++++,由()()120g g -⋅-≤求解即可【详解】（1）由题,设2log y u =,()23u x ax a =++，2log y u =单调递增,且()f x 在()1,2上单调递减,()u x ∴在()1,2上单调递减,()020a u <⎧∴⎨≥⎩,即02230a a a <⎧⎨++≥⎩,解得304a -≤<（2）当0a =时,()2log 3f x =,是个常数函数,存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭； 当0a ≠时,()f x 单调,若存在[]2,1t ∈--使得()12f t f ⎛⎫=⎪⎝⎭,则有()12f t f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭, 即()221log 23log 232at a a a ⎛⎫++=-++⎪⎝⎭, 则()1232312at a a a ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭, ()()252329160t a t a ∴++++=,()()22561027160a a t a a ∴++++=在[]2,1t ∈--有解,设()()()2256102716g t a a t a a =++++,则()()()()()222156102716521165161g a a a a a a a a -=-++++=++=++,()()()2222561027161516g a a a a a -=-++++=+,()()120g g ∴-⋅-≤,即()()()516115160a a a +++≤,1616,,1515a ⎛⎤⎡⎤∴∈-∞-⋃-- ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦【点睛】本题考查复合函数已知单调性求参数问题,考查对数函数性质的应用,考查转化思想,考查运算能力21.有一块半径为10cm ，圆心角为2π3的扇形钢板，需要将它截成一块矩形钢板，分别按图1和图2两种方案截取（其中方案二中的矩形关于扇形的对称轴对称）．图1：方案一 图2：方案二（1）求按照方案一截得的矩形钢板面积的最大值；（2）若方案二中截得的矩形ABCD 为正方形，求此正方形的面积；（3）若要使截得的钢板面积尽可能大，应选择方案一还是方案二？请说明理由，并求矩形钢板面积的最大值． 【答案】（1）25（2）12003003-（3）方案二,最大值为1003,理由见解析【解析】 【分析】（1）连接AC ,设CAB α∠=,则10cos AB α=,10sin BC α=,则矩形面积为关于α的函数,求出最值即可；（2）连接OC ,设COB θ∠=,利用正弦定理和三角形的对称性质可得3BC =20sin 3AB πθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,利用AB BC =解得2sin θ,进而求出正方形面积即可； （3）由（2）得到sin 2633S πθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,求出最大值,与（1）的最值比较即可【详解】解：（1）连接AC ,设CAB α∠=,0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则10cos AB α=,10sin BC α=,10cos 10sin 25sin 2S AB BC ααα∴=⋅=⋅=,()20,απ∈,∴当22πα=,即4πα=时,max 25S = （2）连接OC ,设COB θ∠=03πθ⎛⎫<<⎪⎝⎭,正方形关于扇形轴对称,∴3OBA π∠=2sin 20sin 33AB CD OC ππθθ⎛⎫⎛⎫∴==-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则23OBC π∠=, 在OBC 中,由正弦定理可得sin sin OC BC OBC COB=∠∠,即102sin sin 3BCπθ=, 则3BC =, 正方形,AB BC ∴=,即20sin 33πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭则33cos 1sin 2θθ⎛= ⎝⎭, 代入22sin cos 1θθ+=可得2sin 1643θ=+,则2240040012003003sin 331643S BC θ-==⨯==+ （3）选择方案二, 由（2）,对于方案二1120sin sin 22326463333S AB BC πππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=-=+-=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦52,666πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,∴当262ππθ+=,即6πθ=时,max 3S ==由（1）253>, 应选择方案二【点睛】本题考查三角函数与正弦定理在几何中的应用,考查利用三角函数求最值,考查运算能力,考查数形结合能力22.已知圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上，截直线1:6l x =所得的弦长为6，且与直线2:60l x y -+=相切．（1）求圆M 的方程；（2）已知点()1,1N ，在直线MN 上是否存在点Q （异于点N ），使得对圆M 上的任一点P ，都有PQ PN 为定值λ？若存在，请求出点Q 的坐标及λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ= 【解析】【分析】 （1）由题,设圆心为()00,6x x -+,由相切关系求得半径,再由弦长公式求出0x ,进而得到圆的方程；（2）假设存在满足条件点和定值,设Q 为(),a a ()1a ≠,P 为(),x y ,利用两点间距离公式得到222PQ PN λ=,再根据P 在圆M 上,待定系数法求得系数的关系,进而求解即可【详解】（1）圆M 的圆心在射线()600x y x +-=≥上,∴设圆心为()00,6x x -+,圆心到直线1:6l x =的距离为06d x =-,又圆M 与直线2:60l x y -+=相切00r ∴====, 圆M 截直线1:6l x =所得的弦长为6,6∴=则229r d =-,即)()220069x --=, 20012450x x ∴+-=,解得03x =或015x =-（舍）r ∴=圆心为()3,3,∴圆M 为()()223318x y -+-=（2）存在,Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭,32λ=, 假设存在直线MN 上点Q （异于点N ）,使得对圆M 上的任一点P ,都有PQ PN 为定值λ, 由题,设Q 为(),a a ()1a ≠,(0PQ PN λλ=>且1)λ≠,222PQ PN λ∴=, 设P 为(),x y ,则()()222PQ x a y a =-+-,()()22211PNx y =-+-, 则()()()()2222211x a y a x y λ⎡⎤-+-=-+-⎣⎦, 整理可得()()()()()22222222112222220x y a x a y a λλλλλ-+-----+-=, P 在圆M 上,()()223318x y ∴-+-=,即22660x y x y +--=,()()()()2222221161610x y x y λλλλ∴-+-----=, ()22226122220a a λλλ⎧-=-⎪∴⎨-=⎪⎩,解得3232a λ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,此时Q 为33,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 【点睛】本题考查圆的方程,考查直线与圆的位置关系,考查两点间距离公式的应用,考查运算能力,考查数形结合能力。
安徽省示范高中培优联盟2020-2021冬季联赛数学答案
综上， 0 x 75 5 29 ．———5 分 2
（2）设上班族 S 中有 n 人，则自驾群体中有 nx% 人，公交群体中有 n1 x% ．
当 0 x 35 时， g x 30 nx% 40 n 1 x% 400 x ，
n
10
———7 分
当
35
x
100
时，
g
x
2
x
2450 x
———11 分
又因为 b 是其中的一个零点，所以 b 5a ，结合 b f (0) 2 a ，所以 b 16 .———12 分
4
5
22．（12 分） 解： （1）当 0 x 35 时，自驾群体的人均通勤时间为 30 分钟，公交群体的人均通勤
时间为 40 分钟，此时小李采用自驾通勤方式． ———2 分
64 4
16 ，即 3
0 .所以选项
B
能推出方程③无实根.
第 II 卷（非选择题 共 每小题 5 分，共 20 分。）
（13）【答案】 1
【解析】 1 1 2 log2 7 log7 2
2 log2 7 log7 2
1．
1 log2 7 1 log7 2 (1 log2 7)(1 log7 2) 1 log2 7 log7 2 log2 7 log7 2
的最小值为
3．———12
分
19．（12 分）
【解析】
（1）
f
x
2x
4a
1
2x
3 2x
，
———2 分
因为 2x
3 2x
2
2x
3 2x
2
3 （当且仅当 x log2
3 时，等号成立），
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期秋季联赛文科数学试题(wd无答案)
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期秋季联赛文科数学试题一、未知(★★★) 1. 已知全集为，集合，，则（）A．B．C．D．(★★★) 2. 已知角的顶点在坐标原点，始边与 x轴的非负半轴重合，为其终边上一点，则（）A．B．C．D．(★★★) 3. 设，，，，则（）A．B．C．D．(★★★) 4. 在所在平面中，点 O满足，则（）A．B．C．D．(★★★) 5. 已知函数，当时，恒成立，则实数 a的取值范围是（）A．B．C．D．(★★★) 6. 有四个命题：（1）对于任意的、，都有；（2）存在这样的、，使得；（3）不存在无穷多个、，使得；（4）不存在这样的、，使得．其中假命题的个数是（）A．1B．2C．3D．4(★★★) 7. 在中，内角 A， B， C对应的边分别为 a， b， c，且，，则 c的最大值为（）A．2B．1C．D．3(★★★) 8. 已知点关于直线：的对称点为 A，设直线经过点 A，则当点到直线的距离最大时，直线的方程为（）A．B．C．D．(★★★) 9. 如图所示的程序框图模型，则输出的结果是（）A．11B．10C．9D．8(★★★) 10. 已知数列是等比数列，数列是等差数列，若，，则的值是（）A．B．C．D．1(★★★) 11. 实数且，，则连接，两点的直线与圆 C：的位置关系是（）A．相离B．相切C．相交D．不能确定(★★★) 12. 2021年开始，部分省市将试行“ ”的普通高考新模式，即除语文、数学、外语3门必选科目外，考生再从物理、历史中选1门，从化学、生物、地理、政治中选2门作为选考科目．为了帮助学生合理选科，某中学将高一每个学生的六门科目综合成绩按比例均缩放成5分制，绘制成雷达图．甲同学的成绩雷达图如图所示，下面叙述一定不正确的是（）A．甲的物理成绩领先年级平均分最多B．甲的成绩从高到低的前3个科目依次是化学、物理、生物C．甲有3个科目的成绩高于年级平均分D．对甲而言，物理、化学、地理是比较理想的一种选科结果(★★★) 13. 已知的面积为 m，内切圆半径也为 m，若的三边长分别为 a， b，c，则的最小值为（）A．2B．3C．4D．(★★★) 14. 如图，在棱锥中，底面是正方形，，平面．在这个四棱锥中放入一个球，则球的最大半径为（）A．B．C．2D．(★★★) 15. 2020年6月9日，安徽省教育厅宣布，为应对7月高考、中考期间高温天气，给学生创造舒适考场环境，全部地市将在中考、高考考场安装空调．某商场销售某种品牌的空调器，每周初购进一定数量的空调器，商场每销售一台空调器可获利500元，若供大于求，则每台多余的空调器需交保管费100元；若供不应求，则可从其他商店调剂供应，此时调剂的每台空调器仅获利润200元．该商场记录了去年夏天（共10周）空调器需求量 n（单位：台），整理得表：周需求量n1819202122频数12331以10周记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率，若商场周初购进20台空调器，X表示当周的利润（单位：元）．则当周的平均利润为（）A．10000元B．9400元C．8800元D．9860元(★★★) 16. 方程解为______．(★★★) 17. 已知平面向量，，则在方向上的投影为______．(★★★) 18. 若对于，不等式有解，则正实数 m的取值范围为______．(★★★) 19. 半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面组成的多面体．如将正四面体所有棱各三等分，沿三等分点从原几何体割去四个小正四面体如图所示，余下的多面体就成为一个半正多面体，若这个半正多面体的棱长为1，则这个半正多面体的体积为______．(★★★) 20. 明朝著名易学家来知德以其太极图解释一年、一日之象的图式，一年气象图将二十四节气配以太极图，说明一年之气象，来氏认为“万古之人事，一年之气象也，春作夏长秋收冬藏，一年不过如此”.上图是来氏太极图，其大圆半径为4，大圆内部的同心小圆半径为1，两圆之间的图案是对称的，若在大圆内随机取一点，则该点落在黑色区域的概率为______.(★★★) 21. 在平行四边形中，，，过 A点作的垂线交的延长线于点 E，．连结交于点 F，如图1，将沿折起，使得点 E到达点 P的位置．如图2．（Ⅰ）证明：；（Ⅱ）若 G为的中点， H为的中点，且平面平面，求三棱锥的体积．(★★★) 22. 已知集合，函数的定义域为 B．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）已知集合，若，求实数 m的取值范围．(★★★)23. 已知函数，，直线（）与函数，的图象分别交于 M、 N两点．（Ⅰ）当时，求的值；（Ⅱ）求在时的值域．(★★★) 24. 已知公比的等比数列的前 n项和为，且，，．设（）．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）设，若对都成立，求正整数的最小值．(★★★) 25. 已知函数，其中，若，，且的最小值为．（Ⅰ）求的解析式；（Ⅱ）在中，内角 A、 B、 C所对的边分别为 a、 b、 c，已知，，，求的取值范围(★★★) 26. 《宋史·外国传六·天竺国》：“福慧圆满，寿命延长．”杨朔《滇池边上的报春花》：“只有今天，古人追求不到的圆满东西，我们可以追求到了．”若函数对定义域内的每一个值，在其定义域内都存在唯一的，使成立，则称该函数为“圆满函数”．（Ⅰ）判断函数是否为“圆满函数”，并说明理由；（Ⅱ）若函数在定义域（）上是“圆满函数”，求的取值范围．二、解答题(★★) 27. 2020年是具有里程碑意义的一年，我们将全面建成小康社会，实现第一个百年奋斗目标；2020年也是脱贫攻坚决战决胜之年.（总书记二〇二〇年新年贺词）截至2018年底，中国农村贫困人口从2012年的9899万人减少至1660万人，贫困发生率由2012年的10.2%下降至2018年的1.7%；连续7年每年减贫规模都在1000万人以上；确保到2020年农村贫困人口实现脱贫，是我们党立下的军令状，脱贫攻坚越到最后时刻，越要响鼓重锤.某贫困地区截至2018年底，按照农村家庭人均年纯收入8000元的小康标准，该地区仅剩部分家庭尚未实现小康.现从这些尚未实现小康的家庭中随机抽取50户，得到这50户家庭2018年的家庭人均年纯收入的频率分布直方图.（1）补全频率分布直方图，并求出这50户家庭人均年纯收入的中位数和平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）（精确到元）；（2）2019年7月，为估计该地能否在2020年全面实现小康，统计了该地当时最贫困的一个家庭2019年1至6月的人均月纯收入如下表：月份/2019123456（时间代码）人均月纯收275365415450470485入（元）由散点图及相关性分析发现：家庭人均月纯收入与时间代码之间具有较强的线性相关关系，请求出回归直线方程；由于2020年1月突如其来的新冠肺炎疫情影响了奔小康的进展，该家庭2020年第一季度（1，2，3月份）每月的人均月纯收人均为预估值的，从4月份开始，每月的人均月纯收人均为预估值的，由此估计该家庭2020年能否达到小康标准，并说明理由；①可能用到的数据：；②参考公式：线性回归方程中，，.。
安徽省示范高中培优联盟2020-2021学年高二上学期冬季联赛英语试题含听力+word版含解析
安徽省示范高中培优联盟2020年冬季联赛(高二)英语本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分,第I卷第1至第6页,第II卷第7至第8页。
全卷满分150分,考试时间120分钟。
考生注意事项:1.答题前,务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号,并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
2.答第I卷时,每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。
3.答第卷时,必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡规定的位置绘出,确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上答题无效。
4.考试结束,务必将试题卷和答题卡一并上交。
第I卷(选择题共100分)第一部分听力(共两节,满分30分)做题时,先将答案标在试卷上。
录音内容结束后，你将有两分钟的时间将试卷上的答案转涂到答题卡上。
第一节(共5小题;每小题1.5分,满分7.5分)听下面5段对话。
每段对话后有一个小题,从题中所给的A、B、C三个选项中选出最佳选项。
听完每段对话后,你都有10秒钟的时间来回答有关小题和阅读下一小题。
每段对话仅读一遍。
1. Where does the conversation take place?A. In a restaurant.B. At home.C. In a hotel.2. How much should one pay for a dress if its original price is $ 100?A. $100.B. $75.C. $ 50.3. What does the woman think of the price?A. Too low.B. Reasonable.C. Too high.4. What is the man's attitude toward the woman?A. Angry.B. Worried.C. Approving.5. Why does the woman learn Spanish?A. She will travel to Madrid.B. She will study in Madrid.C. She will move to Madrid. 第二节(共15小题;每小题1.5分,满分22.5分)听下面5段对话或独白。
安徽省示范高中2020-2021学年高二上学期第二次考试数学试题
4．某公司在甲、乙、丙、丁四个地区分别有150，120，180，150个销售点.公司为了调查产品销售情况，需从这600个销售点中抽取一个容量为100的样本.按照分层抽样的方法抽取样本，则丙地区抽取的销售点比乙地区抽取的销售点多( )
A．5个B．8个C．10个D．12个
5．设 ， 为两个不同的平面， ， 为两条不同的直线，则下列判断正确的是()
【点睛】
解决平行、垂直关系基本问题的3个注意点
(1)注意判定定理与性质定理中易忽视的条件，如线面平行的条件中线在面外易忽视．
(2)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．
(3)会举反例或用反证法推断命题是否正确．
6．D
【分析】
利用正弦定理，将边化成角，然后利用两角和的正弦公式的逆用，对式子进行化简，得到答案.
所以可得 ，
而
所以该直线的倾斜角是 .
故选C
【点睛】
本题考查根据直线方程求直线的倾斜角，属于简单题.
3．B
【分析】
由圆柱的轴截面为正方形可知，底面圆直径与圆柱的高相等，根据圆柱的体积公式，可求得底面圆的半径，再由圆柱的侧面积公式即可求解.
【详解】
设圆柱的底面半径为 ．因为圆柱的轴截面为正方形，所以该圆柱的高为 ．因为该圆柱的体积为 ， ，解得 ，所以该圆柱的侧面积为 ．
21．如图，在五面体 中，侧面 是正方形， 是等腰直角三角形，点 是正方形 对角线的交点 ， 且 .
（1）证明： 平面 ；
（2）若侧面 与底面 垂直，求五面体 的体积.
22．如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， ， ， 平面 ， 是棱 上一点．
（1）证明：平面 平面 ．
（2）若 ， 为点 在平面 上的投影， ， ，求四棱锥 的体积．
2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高二上学期冬季联赛数学(文)试题 解析版
f
f
27
________.
14.不等式
x x
1 1
2
的解集是________.
15.已知等比数列 an 中，前 4 项之和为 a1 14 ，且 a2 ， a3 1 ， a4 成等差数列，则公比
q ________.
16.设
F
是椭圆
x2 a2
y2 b2
1a
b
0 的右焦点，直线
y
b 3
与椭圆交于
I 求椭圆 C 的方程； II 若过点 P 的直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点，求直线 l 的方程.
21.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面
体.如图，五面体 ABCDEF 是一个“刍甍”，四边形 ABCD 为矩形， EAD 与 FBC 都是 正三角形， AB 4 ， AD 2, EF 2 .
A. x y 0
B. x y 0
C. x y 0
D. x y 0
6.已知实数
x
，
y
满足
x 1
y
1
x
，则
x2
y2
的最大值与最小值之和为（
）
A.5
B. 11
2
C.6 D.7
7.在 4, 4 上随机地取一个数 m ，则事件“直线 y x m 与圆 x2 y2 2x 1 0 相交”发
2
2
∴cos A 1 sin2 A 1 ，于是在 ABD 中，由余弦定理： 3
BD
AB2 AD2 2AB AD cos A
22
32
2
2
3
1 3
3
或
17 .
2021-2022学年安徽省示范高中培优联盟高二上学期冬季联赛语文试卷及解析
2021-2022学年安徽省示范高中培优联盟高二上学期冬季联赛语文试卷★祝考试顺利★(含答案)本试卷分第I卷（阅读题）和第II卷（表达题）两部分,第I卷第1页至第6页,第II卷第7页至第8页。
全卷满分150分,考试时间150分钟。
第I卷阅读题一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题,9分）阅读下面的文字,完成1~3题。
当前文艺评论的不足之处,除了缺乏秉笔直书、公道直言的实事求是精神之外,在文风上也存在诸多问题。
文风是文艺评论的命脉。
文风得到改进,文艺评论的生机活力才有望得以焕发,权威性、公信力才能得到彰显。
文质兼美,应该成为文艺评论文风的自觉追求。
改进评论文风要贯彻实践观点,坚持从实践中来,到实践中去。
文艺评论的源头活水是发展变化着的文艺实践。
评论来自实践、作用于实践,实践是评论的生命力之源。
评论工作者不仅是当下文艺实践的参与者、见证者,更是实践的学生。
要紧贴当代文艺实际,置身文艺现场,与时代对文艺的要求同步,运用科学理论武器,解读文艺实践,在丰富多彩的创作中找寻话题,透过纷繁复杂的文艺现象,看到文艺风潮的起伏,对创作倾向、审美思潮和消费时尚进行判断,发现规律、揭示本质,言之有物,言之成理,避免凌空蹈虚,使笔下的论述具有丰富的内涵,以富于洞察力、前瞻性和引领性的神采,给创作以启发。
改进评论文风需要激发创造性。
评论和创作一样,是富于个性化和创造性的精神劳动。
现在不少文艺评论读起来味同嚼蜡、暮气沉沉,就是因为缺乏创新理论与创新思维支撑,习惯于陈陈相因,缺乏独特的论点、论据和论证,导致文章千篇一律、千人一面,陈旧呆板、面目可憎。
要使评论文风鲜活生动,活泼可亲,评论家要具有鲜明的问题意识,善于一把钥匙开一把锁,对不同现象与不同作品进行具体、个性、科学的分析,为推动文艺繁荣提供真知灼见。
改进评论文风要增强主动性针对性。
目前不少评论议题缺乏主动性和问题意识,评论家匆忙上阵、依赖惯性、被动应付较为普遍,导致很多评论文章陈词滥调、言不及义。
2020-2021学年安徽省皖西南联盟高二(上)期末数学试卷(文科)
2020-2021学年安徽省皖西南联盟高二（上）期末数学试卷（文科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.设命题p：∃t∈(0,1)，tant=1，则￢p为()A. ∀t∈(0,1)，tant≠1B. ∃t∉(0,1)，tant≠1C. ∀t∈(0,1)，tant=1D. ∃t∈(0,1)，tant≠12.椭圆x236+y29=1的长轴长为()A. 3B. 6C. 9D. 123.某高中高二年级组织开展了“劳动美”社会实践活动，倡导学生回家帮父母做家务，体验父母的艰辛.某同学要在周一至周五任选两天做家务，则该同学连续两天做家务的概率为()A. 710B. 35C. 12D. 254.设命题p：∃x0∈(0,+∞)，lnx0=−1，命题q：方程x2+my2=1可能表示圆.那么，下列命题为真命题的是()A. ￢qB. (￢p)∨(￢q)C. p∧(￢q)D. p∧q5.已知双曲线C：x2m −y24=1，经过点(2,2)，则C的渐近线方程为()A. y=±2xB. y=±12x C. y=±√2x D. y=±√22x6.若圆x2+y2=2与圆(x−3)2+(y−3)2=r2(r>0)内切，则r=()A. 4√2B. 3√2C. 2√2D. √27.已知函数f(x)=e x−7，则“m>2”是“f(m)>0”的()A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件8.若双曲线C：x2m+y2=1的实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，则C的离心率为()A. √153B. √52C. 4√1515D. 4√559.执行如图所示的程序框图，则输出的x=()A. 153B. 143C. 133D. 12310. 已知函数f(x)=3x 2−ax +lnx 在其定义域内为增函数，则a 的最大值为( )A. 4B. 2√6C. 2√7D. 611. 斜率为14的直线l 与椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)相交于A ，B 两点，且l 过C 的左焦点，线段AB 的中点为M(−2,1)，C 的右焦点为F ，则△AFB 的周长为( )A. 48√77B. 24√77C. 48√147D. 24√14712. 已知P 为直线l ：x −y +6=0上一个定点，M ，N 为圆C ：x 2+y 2+4y −21=0上两个不同的动点.若∠MPN 的最大值为60°，则点P 的横坐标为( )A. −4±√34B. −3±√34C. −4±√30D. −3±√30二、单空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 函数f(x)=x −√x ，则f′(1)= ______ ．14. 在△ABC 中，已知A(−5,0)，C(0,2)，若BC 边所在的直线方程为5x +3y −6=0，且BC 边的中线所在的直线方程为x +13y +5=0，则过点B 且与直线AC 平行的直线方程为______ .(用一般式表示) 15. 某高中为了解学生课外知识的积累情况，随机抽取200名同学参加课外知识测试，测试共5道题，每答对一题得20分，答错得0分.已知每名同学至少能答对2道题，得分不少于60分记为及格，不少于80分记为优秀，测试成绩百分比分布图如图所示，现有下列四个结论： ①该次课外知识测试及格率为92%； ②该次课外知识测试得满分的同学有30名；③该次测试成绩的中位数大于测试成绩的平均数；④若该校共有3000名学生，则课外知识测试成绩能得优秀的同学大约有1440名． 其中所有正确结论的序号是______ ．16. 设点A n (n,√n)(n ∈N ∗)在抛物线y 2=2px(p >0)上，F 是焦点，则|A 1F|+|A 2F|+⋯+|A 20F|=______ ．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知直线l 1：4x −3y +10=0与直线l 2：ax +by −7=0垂直，且l 2经过点(1,1)．(1)求l 2的方程； (2)若l 2与圆C ：x 2+(y −112)2=25相交于A ，B 两点，求|AB|．18. 某企业投资两个新型项目，投资新型项目A 的投资额m(单位：十万元)与纯利润n(单位：万元)的关系式为n =1.7m −0.5(m =1,2，3，4，5)，投资新型项目B 的投资额x(单位：十万元)与纯利润y(单元：万元)的散点图如图所示． (1)求y 关于x 的线性回归方程；(2)根据(1)中的回归方程，若A ，B 两个项目都投资60万元，试预测哪个项目的收益更好． 附：回归直线y ^=b ^x +a ^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b ̂=∑x i n i=1y i −nx −y−∑x i 2n i=1−nx−2，a ̂=y −−b ̂x −．19.已知函数f(x)=(x−a2)e x+1．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)存在零点，求a的取值范围．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)与双曲线x2−y2=1有相同的焦点F．3(1)求C的方程，并求其准线l的方程；(2)过F且斜率存在的直线与C交于不同的两点A(x1,y1)，B(x2,y2)，证明：x1x2，y1y2均为定值．21.已知函数f(x)=15x5−14x4+x2−1．(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程；(2)若f(x)>a对x∈(−1,+∞)恒成立，求a的取值范围．22.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|=4，且a=√2b.(1)求C的方程；(2)若A，B为C上的两个动点，过F2且垂直x轴的直线平分∠AF2B，证明：直线AB过定点．答案和解析1.【答案】A【解析】解：命题是特称命题，则￢p：∀t∈(0,1)，tant≠1，故选：A．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，结合特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键，是基础题．2.【答案】D【解析】解：椭圆x236+y29=1的长轴长2a=2√36=12．故选：D．直接利用椭圆方程，求解长轴长即可．本题考查椭圆的简单性质的应用，长轴长的求法，是基础题．3.【答案】D【解析】解：周一至周五任选两天的所有情况为：(周一、周二)、(周一、周三)、(周一、周四)、(周一、周五)、(周二、周三)、(周二、周四)、(周二、周五)、(周三、周四)、(周三、周五)、(周四、周五)，共10种，其中连续两天的有4种，故所求概率为410=25，故选：D．先列举出周一至周五任选两天的所有情况，然后再求出连续两天的情况，利用古典概率的计算公式即可求解．本题考查了古典概率的计算公式，考查了学生的运算推理能力，属于基础题．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了复合命题及其真假的判断，涉及了圆的方程的应用，解题的关键是熟练掌握复合命题真假的判断方法，属于基础题．先分别判断命题p和命题q的真假，然后利用复合命题真假的判断方法进行判断即可．【解答】解：命题p：∃x0∈(0,+∞)，lnx0=−1，因为∃x0=1e∈(0,+∞),lnx0=−1，故p为真命题，命题q：方程x2+my2=1可能表示圆，因为当m=1时，方程x2+my2=1表示圆，故q为真命题，所以￢q为假命题，(￢p)∨(￢q)为假命题，p∧(￢q)为假命题，p∧q为真命题．故选：D．5.【答案】C【解析】解：依题意可得22m −224=1，解得m=2，则C的渐近线方程为y=±bax=±√2x．故选：C．利用双曲线方程，代入点的坐标，求解m，然后求解双曲线的渐近线方程．本题考查双曲线的简单性质的应用，渐近线方程的求法，是基础题．6.【答案】A【解析】解：根据题意，圆x2+y2=2，圆心为(0,0)，半径为√2，圆(x−3)2+(y−3)2=r2(r>0)，圆心为(3,3)，半径为r，两圆的圆心距为3√2，而其圆心(3,3)在圆x2+y2=2的外部，即圆x2+y2=2是圆(x−3)2+(y−3)2=r2(r>0)的内切圆，则所以r=3√2+√2=4√2．故选：A．根据题意，求出两个圆的圆心和半径，求出圆心距，由点与圆的位置关系可得(3,3)在圆x2+y2=2的外部，即圆x2+y2=2是圆(x−3)2+(y−3)2=r2(r>0)的内切圆，即可得答案．本题考查圆与圆的位置关系，注意分析点(3,3)与圆x2+y2=2的位置关系，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：若f(m)>0，则m>ln7，因为e2>2.72>7，所以ln7<2，所以“m>2”是“f(m)>0”的充分不必要条件．故选：A．根据不等式的解法结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键，是基础题．8.【答案】C【解析】【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，离心率的求法，属于基础题．化简双曲线方程为标准方程，利用实轴长与虚轴长的乘积等于离心率，列出方程，求解m，然后求解离心率即可．【解答】解：双曲线的标准方程为y2−x2−m=1，依题意可得2×2√−m=√1−m，解得m=−115，则e=√1−m=15=4√1515．故选：C．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算s的值并输出变量x的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：由题意，∵y =2x ，z =2y ， ∴s =x +2x +4x =7x ， 由算法的功能可知，输出的x =10017=143．故选：B ．10.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想的应用，属于中档题．求出导函数，由函数f(x)为增函数，可得a ≤6x +1x ，对x ∈(0,+∞)恒成立，由基本不等式即可求得a 的取值范围，从而得解． 【解答】解：函数f(x)=3x 2−ax +lnx 的定义域为(0,+∞)， f′(x)=6x −a +1x ，因为函数f(x)在定义域内为增函数， 所以f′(x)≥0对x ∈(0,+∞)恒成立， 即a ≤6x +1x 对x ∈(0,+∞)恒成立，因为6x +1x ≥2√6，当且仅当x =√66时等号成立，所以a ≤2√6，所以a 的最大值为2√6． 故选：B ．11.【答案】C【解析】解：易知直线l 的方程为y =14(x +2)+1=14x +32， 当y =0时，x =−6，所以c =6， 设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则{x 1+x 22=−2,y 1+y22=1，把A ，B 两点的坐标代入椭圆的方程可得：{x 12a 2+y 12b 2=1x 22a2+y 22b2=1，两式作差可得：x22−x12a2+y22−y12b2=0，整理得b2a2=−y22−y12x22−x12=−y2+y1x2+x1⋅y2−y1x2−x1=−−24×14=18=a2−36a2，解得a=12√147，则由椭圆的定义可得△FAB的周长为4a=48√147，故选：C．由已知即可求出直线AB的方程，令y=0，即可求出c的值，再设出点A，B的坐标，代入椭圆方程，利用点差法以及中点坐标公式求出b2a2的关系式，进而可以求出a，由椭圆的定义即可求解．本题考查了椭圆的定义，涉及到点差法以及中点坐标公式的应用，考查了学生的运算能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：圆C的标准方程为x2+(y+2)2=25，其圆心C(0,−2)，半径r=5，∵点C到l的距离d=4√2>5，∴l与圆C相离，∴当PM，PN分别为圆C的切线时，∠MPN最大，由∠MPN的最大值为60°，可知∠MPC=30°，∴|PC|=2r=10．设P(x,x+6)，则PC2=x2+(x+8)2=100，解得：x=−4±√34．故选：A．化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，由直线与圆相离，且知当PM，PN分别为圆C的切线时，∠MPN 最大，可得∠MPN的最大值为60°时，|PC|=10，设出P的坐标，再由两点间的距离公式列式求解．本题考查直线与圆的位置关系，考查数学转化思想与数形结合的解题思想，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】12【解析】解：因为f′(x)=1−2√x，所以f′(1)=12．故答案为：12．直接利用常见函数的导数求导公式以及导数的运算法则求出导函数，然后令x=1代入求解即可．本题考查了导数的运算，涉及了常见函数的导数求导公式以及导数的运算法则的运用，属于基础题．14.【答案】2x −5y −21=0【解析】解：设B(a,b)，则BC 边的中点坐标为(a 2,b+22)， 代入x +13y +5=0，得a 2+13×b+22+5=0．又5a +3b −6=0，解得{a =3b =−3，则点B 的坐标为(3,−3)． 因为k AC =25，所以所求直线方程为y +3=25(x −3)，即2x −5y −21=0．故答案是：2x −5y −21=0．设B(a,b)，由直线BC 与直线BC 边上的中线方程求得交点B 的坐标，然后由平行线的性质求得所求直线的斜率，利用点斜式写出方程．本题考查了直线平行与斜率的关系，属于基础题． 15.【答案】①③【解析】解：由图可知及格率=1−8%=92%，故①正确；该次课外知识测试满分同学的百分比=1−8%−32%−48%=12%，12%×200=24名，故②错误； 中位数为80分，平均数=40×8%+60×32%+80×48%+100×12%=72.8分，故③正确； 3000×(48%+12%)=1800，故④错误．故答案为：①③．利用测试成绩百分比分布图直接求解．本题考查命题真假的判断，考查测试成绩百分比分布图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 16.【答案】215【解析】解：依题意可得n =2pn ，则p =12，则|A n F|=n +p 2=n +14，故|A 1F|+|A 2F|+⋯+|A 20F|=1+2+⋯+20+14×20=(1+20)×202+5=215．故答案是：215．根据抛物线的性质得到：n =2pn ，则|A n F|=n +p 2=n +14，代入求值即可．本题主要考查了抛物线的性质，抛物线的定义，考查了计算能力，属于中档题．17.【答案】解：(1)∵直线l 1：4x −3y +10=0与直线l 2：ax +by −7=0垂直，且l 2经过点(1,1)， ∴{4a −3b =0a +b −7=0， 解得a =3，b =4，故l 2的方程为3x +4y −7=0；(2)圆C ：x 2+(y −112)2=25的圆心坐标为C(0,112)，半径为5， ∵点C(0,112)到l 2的距离d =|4×112−7|√32+42=155=3， ∴|AB|=2√25−d 2=8．【解析】(1)直接由两直线垂直可得系数间的关系，列方程组求解a 与b 的值，则l 2的方程可求；(2)求出圆心到直线的距离，再由垂径定理求弦长．本题考查两直线垂直与系数间关系的应用，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题． 18.【答案】解：(1)由散点图可得，x −=1+2+3+4+55=3，y −=2+3+5+7+85=5， b ̂=∑x i 5i=1y i −5x −y−∑x i 25i=1−5(x −)2=85−5×3×555−5×9=1，a ̂=y −−b ̂x −=5−1×3=2，则y 关于x 的线性回归方程为y ̂=x +2；(2)当m =6时，n =1.7×6−0.5=9.7(万元)，当x =6时，y ̂=x +2=8(万元)．∵9.7>8，∴A 项目收益更好．【解析】(1)由散点图中的数据求得b ^与a ^的值，可得y 关于x 的线性回归方程；(2)在函数n =1.7m −0.5中，取m =6求得n 值，在(1)中求得的线性回归方程中，取x =6求得y ^，比较大小得结论．本题考查线性回归方程的求法，考查运算求解能力，是基础题． 19.【答案】解：(1)f′(x)=(x −a 2+1)e x ，由f′(x)=0，得x =a 2−1，当x <a 2−1时，f′(x)<0；当x >a 2−1时，f′(x)>0，故f(x)在(−∞,a 2−1)上单调递减，在(a 2−1,+∞)上单调递增．(2)由(1)知f(x)在x =a 2−1处取得极小值，也是最小值，则f(x)min =f(a 2−1)=1−e a 2−1，因为f(x)存在零点，且f(a 2)=1>0，所以f(x)min =1−e a 2−1≤0，解得a ≤−1或a ≥1，即a 的取值范围为(−∞,−1]∪[1,+∞)．【解析】(1)求出导函数，利用导数的正负即可求得函数f(x)的单调性；(2)由(1)中结论，求出f(x)min ，根据题意，令f(x)min ≤0，即可求出a 的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查零点存在问题，属于中档题．20.【答案】(1)解：∵双曲线x23−y 2=1，∴c =√3+1=2，可得双曲线的右焦点为(2,0)，∴F(2,0)，则p 2=2，即p =4，故C 的方程为y 2=8x ，其准线l 的方程为x =−2；(2)证明：由题意直线AB 过点F 且斜率存在，设其方程为y =k(x −2)(k ≠0)，联立{y =k(x −2)y 2=8x，整理得ky 2−8y −16k =0， ∵A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，∴y 1y 2=−16k k =−16为定值，则x 1x 2=(y 1y 2)282=(−16)264=4为定值．【解析】(1)由双曲线方程求得焦点坐标，可得p ，进一步求得抛物线方程与抛物线的准线方程；(2)由题意直线AB 过点F 且斜率存在，设其方程为y =k(x −2)(k ≠0)，联立准线方程与抛物线方程，化为关于y 的一元二次方程，利用根与系数的关系即可证明x 1x 2，y 1y 2均为定值．本题考查抛物线与双曲线的几何性质，考查直线与抛物线位置关系的应用，是基础题． 21.【答案】解：(1)f′(x)=x 4−x 3+2x ，则f′(1)=2，又f(1)=−120，故曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y +120=2(x −1)，即40x −20y −41=0．(2)f′(x)=x(x 3−x 2+2)，设函数ℎ(x)=x 3−x 2+2(x >−1)，则ℎ′(x)=3x 2−2x(x >−1)，当0<x <23时，ℎ′(x)<0；当−1<x <0或x >23时，ℎ′(x)>0，因为ℎ(23)=5027，ℎ(−1)=0，所以ℎ(x)>0，所以当−1<x <0时，f′′(x)<0；当x >0时，f′(x)>0，从而f(x)min =f(0)=−1，故a <−1，即a 的取值范围为(−∞,−1)．【解析】(1)可求得y =f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率k =f′(1)=2，又f(1)=−120，可得答案；(2)由于f′(x)=x(x 3−x 2+2)，令ℎ(x)=x 3−x 2+2(x >−1)，利用导数，可求得ℎ(x)>0，进一步可求得f(x)min =f(0)=−1，从而可得a 的取值范围．本题考查利用导数来求曲线某点的切线方程及利用导数研究函数的最值，考查逻辑推理与运算能力，属于中档题． 22.【答案】解：(1)设椭圆的半焦距为c ，因为|F 1F 2|=4=2c ，所以c =2，则a 2−b 2=4，又a =√2b ，所以a 2=8，b 2=4，故椭圆C 的方程为x 28+y 24=1；(2)由题意可得直线AB 的斜率存在，F 2(2,0)，设直线AB 的方程为y =kx +m ，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由{y =kx +m x 2+2y 2=8可得(1+2k 2)x 2+4kmx +2m 2−8=0， 则△=16k 2m 2−4(1+2k 2)(2m 2−8)=64k 2−8m 2+32>0，且x 1+x 2=−4km 1+2k ，x 1x 2=2m 2−81+2k 2，设直线F 2A ，F 2B 的倾斜角分别为α，β，则α=π−β，k F 2A +k F 2B =y 1x 1−2+y 2x 2−2=0，代入y 1=kx 1+m ，y 2=kx 2+m ，所以2kx 1x 2+(m −2k)(x 1+x 2)−4m =0，即有2k ⋅2m 2−81+2k 2+(2k −m)⋅4km 1+2k 2−4m =0，化简可得m =−4k ，则直线AB 的方程为y =kx −4k =k(x −4)，故直线AB 过定点(4,0)．【解析】(1)设椭圆的半焦距为c，由题意可得c=2，结合a，b，c的关系，以及a=√2b，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；(2)设直线AB的方程为y=kx+m，与椭圆方程联立，运用韦达定理和直线的斜率公式，推得m=−4k，再由直线恒过定点求法，可得所求定点．本题考查椭圆的方程和性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查方程思想和运算能力，属于中档题．。
安徽省示范高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛数学(文)试题
高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛数学（文）试题本试题卷共6页，23题（含选考题）。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。
答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|log 4A x x =<，1|282x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A.[]1,3- B.(]0,3C.[)1,4-D.()0,42.某校高一年级10名同学参加校园歌手大赛的得分用茎叶图表示，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数为（ ）A.91.5B.88C.88.5D.903.命题“若()()430x y -+≤，则4x =或3y =-”的否命题是（ ） A.若()()430x y -+≤，则4x ≠或3y ≠- B.若()()430x y -+≤，则4x ≠且3y ≠- C.若()()430x y -+>，则4x ≠且3y ≠-D.若()()430x y -+>，则4x ≠或3y ≠-4.设a →，b →是两个非零向量，a →在b →方向上的投影为k ，则“0k <”是“a →，b →夹角为钝角”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.若xyyx e e ππ--+≤+，则有（ ）A.0x y +≤B.0x y +≥C.0x y -≤D.0x y -≥6.已知实数x ，y 满足11x y x≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩，则22x y +的最大值与最小值之和为（ ）A.5B.112C.6D.77.在[]4,4-上随机地取一个数m ，则事件“直线y x m =+与圆22210x y x +--=相交”发生的概率为（ ） A.14B.13C.12D.238.如图，某三棱柱的正视图是边长为2的正方形，其上下底面为正三角形，则下列命题中一定成立的是（ ）A.该三棱柱的表面积为12+B.该三棱柱的体积为C.该三棱柱的侧视图为矩形D.该三棱柱有外接球9.已知直线43x y k -=与单位圆有唯一的公共点P ，角α的终边在直线OP 上，O 为坐标原点，则tan 2α=（ ）A.34 B.34-C.247D.247-10.已知函数()2sincos 222x x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭先将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再沿x 轴向右平移()0θθ>个单位长度，得到函数()y g x =，若()g x 的图象关于直线34x π=对称，则θ的最小值为（ ） A.6π B.4πC.3πD.23π11.已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足()()26f x x g x -+=，则函数()y g x =的图象关于（ ） A.直线3x =对称 B.直线3x =-对称C.原点对称D.y 轴对称12.已知奇函数()21ax bf x x+=+图象经过点()1,1，若矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，顶点C ，D 在函数()y f x =的图象上，则矩形ABCD 绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（ ）A.4π B.3πC.2πD.π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()13,01,03xx x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，则()27f f --=⎡⎤⎣⎦________. 14.不等式121x x -≥+的解集是________. 15.已知等比数列{}n a 中，前4项之和为114a +，且2a ，31a +，4a 成等差数列，则公比q =________.16.设F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线3b y =与椭圆交于B ，C 两点，若BFC ∠为钝角，则该椭圆离心率的取值范围为________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.已知数列{}n a 满足()1222n a a na n n N *+++=∈….()I 求数列{}n a 的通项公式； ()II 求数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S . 18.在ABC ∆中，2AB =，6AC =，ABC ∆的面积为()I 设D 为AC 的中点，求BD 的长度. ()II 求sin C 的值.19.某校食堂的两层楼分别由两家餐饮公司经营，称为一食堂和二食堂，学校为了了解学生对这两家食堂的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了60名学生对两家食堂分别进行评分.根据收集的120份问卷的评分得到了一楼食堂的满意度评分的频率分布直方图和二楼食堂满意度的频率分布表.()I 根据一楼食堂的频率分布直方图，估计该食堂的满意度评分的中位数；()II 从满意度高于90分的问卷中，随机抽取两份，求这两份问卷都是一楼食堂评分的概率； ()Ⅲ请从统计变量数据，对一楼食堂、二楼食堂作出客观评价.20.已知椭圆C 经过点()2,3P ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上且焦距为4.()I 求椭圆C 的方程；()II 若过点P 的直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，求直线l 的方程.21.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF 是一个“刍甍”，四边形ABCD 为矩形，EAD ∆与FBC ∆都是正三角形，4AB =，2,2AD EF ==.()I 求证：//EF 面ABCD ； ()II 求五面体ABCDEF 的体积.22.已知过点()1,0A -的动直线与圆22:280C x y x +--=交于P ，Q 两点，线段PQ 中点M 的轨迹为曲线Γ.()I 求曲线Γ的方程；()II 若曲线Γ的一条切线与圆C 交于A ，B 两点，若AB =T 的坐标.高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛数学（文）试题参考答案一、选择题1.【解析】选B .解2log 4x <得()0,16A =，解1282x ≤≤得[]1,3B =-，(]0,3A B =∴. 2.【解析】选D .中位数为8892902+=. 3.【解析】选C .“若p ，则q ”的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，p q ∨的否定为()()p q ⌝∧⌝. 4.【解析】选B .a →，b →反向，即夹角为180︒时也有0k <，故应选必要不充分条件. 5.【解析】选A .由xyyx e e ππ--+≤+得x x y y e e ππ---≤-，而()x x f x e π-=-是R 上的增函数.原不等式即()()f x f x =-，得x y ≤-，即0x y +≤. 6.【解析】选B .易知不等式组表示的平面区域是以()1,0，()0,1，()1,2为顶点的三角形，对于可行域内任一点P ，222OP x y =+，不难知2OP ≤≤，因此则22x y +的最大值与最小值之和为111522+=.7.【解析】选C .直线0x y m -+=与圆()2212x y -+=相交时，弦心距d =<31m -<<∴，故所求概率为12. 8.【解析】选B .注意到，该三棱柱不一定为正三棱柱，有可能是斜三棱柱，于是只有其体积恒为9.【解析】选D .由题，直线OP 与直线43x y k -=垂直，故3tan 4OP k α==-，22tan 24tan 21tan 7ααα==--∴. 10.【解析】选A .()22sin cos 12sin sin 2sin 2223x x x f x x x x π⎫⎛⎫=-=+=+⎪ ⎪⎭⎝⎭，由题，()()2sin 23g x x πθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，()g x 的图象关于直线34x π=对称， 324g π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即35sin 2sin 21236πππθθ⎛⎫⎛⎫-+=-=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()5262k k Z ππθπ-=+∈∴，()232k k Z ππθ=+∈，当1k =-时，θ的最小值为6πθ=. 11.【解析】选A .由()()()()22639f x x f x g x -+=--+=得()()293f x g x -+=+，于是()()33g x g x -+=+，∴函数()y g x =的图象关于直线3x =对称. 12.【解析】选D .由题，()00f =及()11f =得()221xf x x=+， 如图，不妨设C ，D 在x 轴上方不难知该旋转体为圆柱，半径R BC =， 令221xR x=+，整理得220Rx x R -+=，则C x ，D x 为这个一元二次方程的两个不等实根，于是圆柱的体积222C D V R x x RRπππ=-==22R ππ⎡⎤≤+=⎢⎥⎣⎦，当且仅当212R =时等号成立.二、填空题13.【解析】[]3,1--.不等式可化为1201x x --≤+，即301x x +≤+，解得[]3,1n x ∈--. 14.【解析】127.不等式可化为()()1327273f -=-=-，()()()131273327f f f ---===⎡⎤⎣⎦∴. 15.【解析】2或12. 由题，2342431422a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，解得324410a a a =⎧⎨+=⎩，即()23410aq a q q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，2q ⇒=或12. 16.【解析】⎛ ⎝⎭.椭圆右焦点为(),0F c ，3b y =与椭圆交于,3b B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,3b C a ⎫⎪⎪⎝⎭，,33b FB a c ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，2,33b FC c ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭， ()22222222881700999984a b a FB FC c c a c e e ∙=-+=-+-<⇒<⇒<<∴. 三、解答题17.【解析】：（1）1222n a a na n +++=…，()()()12121212n a a n a n n -+++-=-≥…， 两式作差得：()22n na n =≥，()22n a n n=≥∴， 又12a =符合上式，故()21n a n n=≥. （2）()2112111n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭， 111111122211223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∴…. 18.【解析】：（1）由ABC ∆的面积1sin 2S AB AC A =∙∙得sin 2A =， 1cos3A ==±∴，于是在ABD ∆中，由余弦定理：3BD ===.（2）法一：ABC ∆中，由余弦定理，BC ==再由正弦定理，sin 1sin 3AB A C BC ∙==或9法二：由ABC ∆的面积1sin 2S BC AC C =∙∙，得21sin 3S C BC AC ==∙或919.【解析】：（1） 设一楼食堂的60份问卷的中位数为x ，则有()0.01100.02100.05700.5x ⨯+⨯+-=，74x =∴；（2）满意度高于90份的问卷，一楼食堂有0.0510603⨯⨯=份，二楼食堂有2份，它们分别设为：12312,,,,a a a b b ，从这5份问卷中随机抽取2份，所有可能的结果有：()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()12,b b ，共10种结果，其中两份都是一楼食堂的有()12,a a ，()13,a a ，()23,a a 共3种结果，其概率为310； （3）由（1）知，一楼食堂得分的中位数为74，低于二楼食堂得分的中位数75分，一楼食堂得分集中在[]70,80这组，而二楼食堂得分集中在[]70,80和[]80,90两个组，一楼食堂得分的平均数低于二楼食堂得分的平均数；一楼食堂得分比较分散，二楼食堂得分相对比较集中，即一楼食堂得分的方差高于二楼食堂得分的方差.20.【解析】：（1）由题，24c =，焦点的坐标为()12,0F -，()22,0F ， 于是1228a PF PF =+=，216a =，22212b a c =-=∴，所以椭圆E 的方程为2211612x y +=. （2）由题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()23y k x =-+，与椭圆C 联立得：()()222438231648120kx k kx k k +--+--=，令()()()222264234431648120k k k k k ∆=--+--=，化简得：24410k k ++=，解得12k =-， 所以直线l 的方程为()1232y x =--+，即280x y +-=. 21.【解析】：（1）//AB CD ，AB ⊄面CDEF ，CD ⊂面CDEF ，//AB ∴面CDEF ，又面ABFE面CDEF EF =，//AB EF ∴，又EF ⊄面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，所以//EF 面ABCD .（2）如图，延长棱EF 至MN ，使得1ME NF ==，由题可知ABNM 与CDMN 皆为矩形，于是我们得到了直三棱柱ADM BCN -，又BN CN ==NBC ∆∴中，BCNBC S ∆=∴，∴五面体ABCDEF 的体积2ADM BCN F BCN E ADM ADM BCN F BCNV V V V V V -----=--=-122333NBC NBC NBC S MN S FN S MN FN ∆∆∆⎛⎫=∙-∙∙∙=-=⎪⎝⎭22.【解析】：（1）法一：圆()22:19C x y -+=，圆心()1,0C ，由垂径定理知PQ CM ⊥，即AM CM ⊥， 于是M 的轨迹是以AC 为直径端点的圆， 所以曲线Γ的方程为221x y +=.法二：设动直线为()1y k x =+，与圆22:280C x y x +--=联立，得：()()222212180k x k x k ++-+-=，由韦达定理，22121P QM x x k x k +-==+①，()2211+M Mk y k x k =+=∴②， 由①得21=1M Mx k x -+，代入②式得：()222222141411111M MM M M M x x k y x k x x -∙+===-⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭，又动直线斜率不存在时点M 坐标为()1,0-满足以上式关系， 故曲线Γ的方程为221x y +=.（2）设()00,T x y ，先证曲线Γ在点处的切线方程为001x x y y +=， 事实上，22001x y +=，∴点T 在001x x y y +=上， 又圆心O 到001x x y y +=1=，故001x x y y +=为曲线Γ的切线，AB =，所以圆心到弦AB 的距离32d ===，0312x =-=，解得012x =-或52（舍），从而点的坐标为1,22⎛-⎝⎭或1,22⎛-- ⎝⎭.。
2020-2021学年安徽省六安二中河西校区高二上学期12月统测文科数学试题
安徽省六安二中河西校区2020-2021学年高二上学期12月统测文科试题(考试范围：导数 考试时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．函数1=+y x x的导数是（ ） A ．211x -B ．11x -C ．211x + D ．11x +2．已知()ln f x x x=，若()00f x '=，则0x =（ ）A ．1e B ．1C ．eD ．2e3．函数()2 2ln f x x x=-的递增区间是（ ）A ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ 4．曲线23()e xy x ax =+在点(0,(0))f 处的切线的斜率为3，则a = （ ）A ．1B ．eC ．3D ．3e5．已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则关于函数()y f x =的下列说法正确的是（ ）A ．在(),0-∞上为增函数B ．在0x =处取得极大值C ．在()1,2上为增函数D ．在2x =处取得极小值6．设函数()219ln 2f x x x=-在区间[]1,1a a -+上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]1,2B ．()4,+∞C ．(),2-∞D ．(]0,37．设函数23()ln 2=+-f x x ax x，若1x =是函数()f x 是极大值点，则函数()f x 的极小值为（ ）A ．ln 22-B ．ln21-C ．ln 32-D ．ln31-8．若函数y ＝x 3＋32x 2＋m 在『-2，1』上的最大值为92，则m 等于（ ）A ．0B ．1C ．2D ．529．函数()sin cos f x x x x=-的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数()f x 的定义域是R ，()02f =，对任意x ∈R ，()f x +()f x '<1，则不等式()1x x e f x e >+的解集为（ ） A ．{|0}x x >B ．{|0}x x <C ．{|1x x <-或1}x >D ．{|1x x <-或01}x <<11．已知函数()2ln f x x ax x=-+有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．0,1B ．(),1-∞C ．0,D ．11,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭12．已知函数()xe f x mxx =-(e 为自然对数的底数)，若()0f x >在(0,)+∞上恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．(,2)-∞B ．(,)e -∞C ．2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．2,4e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13．曲线(31)xy x e =-+（其中e 为自然对数的底数）在点(0,1)处的切线方程为________.14．在R 上可导的函数()f x 的图像如图所示，则关于x 的不等式()0x f x '⋅<的解集为______.15函数()sin cos f x x x x =+在π,π6⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为________.16．若函数()21ln 2f x ax x x x=+-存在单调递增区间，则a 的取值范围是___.三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 求下列函数的导数．（1）31sin x y x -=； （2）()5221x y e x ++﹣＝.18．(本小题满分12分)已知函数()ln f x ax x b =⋅+（a ，b 为实数）的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-． （1）求实数a ，b 的值． （2）求函数()f x 的单调区间．19．(本小题满分12分)已知函数()()32391=--+∈R f x x x x x ．（1）求函数()f x 的单调区间．（2）若()210f x a -+≥对[]2,4x ∀∈-恒成立，求实数a 的取值范围.20．(本小题满分12分)已知函数()(1)(R)xf x x k e k =--∈．（1）当1k =时，求()f x 的单调区间； （2）讨论()f x 在区间[0,3]上的最小值．21．(本小题满分12分) 设a 为实数，函数3211()(1)()32=---∈R f x x a x ax x . （1）当1a =时，求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在R 上的极大值与极小值.22．(本小题满分12分)已知2()ln 2,=-+∈R f x x x ax a .（1）若0a =，求()f x 在[1,]e 上的最小值； （2）求()f x 的极值点；（3）若()f x 在1[,]e e 内有两个零点，求a 的取值范围.——★ 参*考*答*案 ★——一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.210x y +-= 14. ()(),10,1-∞-⋃ 15.π216.1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ 三、解答题： 17.(本小题满分10分)（1）由导数的运算法则可得2323sin cos cos sin '-+=x x xy x x x ；………………………5分 （2）由导数的运算法则可得由()5221x y e x +=+﹣，则()4'29221()x y x x e +=+﹣﹣ ……………………5分18.(本小题满分12分)（1）由题得，函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()(1ln )f x a x '=+， 因为曲线()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为1y x =-，所以(1)1(1)ln10f a f a b b ==⎧⎨=+=='⎩，解得1a =，0b =． ………………………5分 （2）()ln f x x x =⋅，令()1ln 0f x x '=+=，得1x e =，当10x e <<时，()0f x '<，()f x 在区间10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减；当1x e >时，()0f x '>，()f x 在区间1,e⎛⎫+∞⎪⎝⎭内单调递增． 所以函数()f x 的单调递减区间为10,e ⎛⎫⎪⎝⎭，单调递增区间为1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ ……………………12分 19.(本小题满分12分)（1）令，解得或，令，解得：.故函数的单调增区间为，单调减区间为.………………………5分 （2）由（1）知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，又，，，∴，∵对恒成立， ∴，即，∴……………………12分 20.(本小题满分12分)（1）当1k =时，'()(2)()(1)x xf x x e f x x e =-⇒=-.当1x >时，'()0f x >，此时()f x 单调递增；当1x <时，'()0f x <，此时()f x 单调递减，所以()f x 的单调增区间是(1,)+∞，单调减区间是(,1)-∞； ………………………5分（2）'()(1)()()x xf x x k e f x x k e =--⇒=-. 当x k >时，'()0f x >，此时()f x 单调递增； 当x k <时，'()0f x <，此时()f x 单调递减，当3k >时，函数在[0,3]上单调递减，故函数的最小值为：3min ()(3)(2)f x f k e ==-；当k 0<时，函数在[0,3]上单调递增，故函数的最小值为：min ()(0)1f x f k==--；当0k ≤≤3时，函数的最小值为：min ()()kf x f k e ==- ……………………12分21.(本小题满分12分)（1）当1a =时，31()3f x x x=-2101f x x x =-'=)∴(=±当(,1)x ∈-∞-时，()0f x '>，所以()f x 在(,1)-∞-上单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0f x '>，所以()f x 在(1,)+∞上单调递增； 当(1,1)x ∈-时，()0f x '<，所以()f x 在(1,1)-上单调递减.所以()f x 的单调区间有(,1),(1,),(1,1)-∞-+∞-； ………………………4分 （2）2(1)(1)()0x a x f x a x x a '()=---=+-=，1x ∴=-或x a =，当1a =-时，2(1)0x f x =+'() 所以()f x 在(,)-∞+∞上单调递增，所以()f x 在R 上无极值. 当1a <-时，随x 的变化,()f x f x '()变化如下：所以()f x 的极大值是321()612f a a a -=-，极小值是11(1)26f a -=+； 当1a >-时，随x 的变化,()f x f x '()变化如下：所以()f x 的极小值是321()612f a a a -=-，极大值是11(1)26f a -=+. 综上，当1a <-时，()f x 的极大值是321162a a --，极小值是1126a +； 当1a =-时，()f x 无极值；当1a >-时，()f x 的极大值是1126a +，极小值是321162a a --. ……………12分 22.(本小题满分12分)（1）2'12()x f x x -=，因为[1,e]x ∈，所以'()0f x <，所以()f x 在[1,]e 上是减函数，所以最小值为2()1f e e =-. ……………………3分（2）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2221()x ax f x x -'++=，令'()0f x =得12x x ==.因为120,0x x <>，所以当2(0,)x x ∈时，'()0f x >，当2(,)x x ∈+∞时'()0f x <，所以()f x 在2(0,)x 单调递增，在2(,)x +∞单调递减，所以2x =为极大值点，无极小值点 .……………………7分（3）由2ln 20x x ax -+=，得ln 2x a x x =-，令ln ()xg x x x =-，221ln ()x x g x x -+'=，令2()1ln h x x x =-+， 当(0,1)x ∈时，()(1)0h x h <=，当(1,)x ∈+∞时，()(1)0h x h >=，所以g (x )在1[,1]e 上是减函数，在[1,]e 上是增函数，(1)1g =，211()e g e e +=，21()e g e e -=，所以2112e a e -<≤，则21122e a e -<≤. ……………………12分。
安徽省名校2020-2021学年高三上学期期末联考文科数学试题
年龄低于 岁的人数
年龄不低于 岁的人数
合计
使用消费券人数
未使用消费券人数
合计
参考数据：
，其中 .
18．从① ，② 为等差数列且 ， ，这两个条件中选择一个条件补充到问题中，并完成解答.
又 ，所以平面 平面 ，
平面 ，所以 平面 ，所以点 的轨迹为线段 ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即点 的轨迹的长度为 ；
（2）连接 延长交 于点 ，因为平面 平面 ，
且平面 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
因为 平面 ，所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
可得 为三棱锥 的高，且 ，
.
【点睛】
（2）若 平面 ，求证：平面 平面 ，并求三棱锥 的体积.
20．已知椭圆 过点 ，离心率为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 与圆 相切，且与椭圆 交于 ， 两点， 为椭圆 上一个动点(点 ， 分别位于直线 两侧)，求四边形 面积的最大值.
21．已知函数 .
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）函数 有两个不同的极值点 ，求 的取值范围.
6．B
【分析】
设等差数列 的公差为 ，由已知条件可得出关于 、 的方程组，解出两个量的值，利用等差数列的求和公式可求得 的值.
【详解】
因为 ，所以 ，
因此， .
故选：B.
7．C
【分析】
取 中点 ，连接 则 为异面直线 与 所成的角.
【详解】
如图所示：
取 中点 ，连接 ，则 ，即 为异面直线 与 所成的角，可得 ， ，所以 ，从而得到 .
2018-2019学年安徽省示范高中培优联盟高二上学期冬季联赛数学(文)试题 解析版
高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛数学（文）试题（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}2|log 4A x x =<，1|282x B x ⎧⎫=≤≤⎨⎬⎩⎭，则A B =（ ） A.[]1,3- B.(]0,3C.[)1,4-D.()0,42.某校高一年级10名同学参加校园歌手大赛的得分用茎叶图表示，其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数为（ ）A.91.5B.88C.88.5D.903.命题“若()()430x y -+≤，则4x =或3y =-”的否命题是（ ） A.若()()430x y -+≤，则4x ≠或3y ≠- B.若()()430x y -+≤，则4x ≠且3y ≠- C.若()()430x y -+>，则4x ≠且3y ≠-D.若()()430x y -+>，则4x ≠或3y ≠-4.设a →，b →是两个非零向量，a →在b →方向上的投影为k ，则“0k <”是“a →，b →夹角为钝角”的（ ） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5.若x y y x e e ππ--+≤+，则有（ ） A.0x y +≤ B.0x y +≥C.0x y -≤D.0x y -≥6.已知实数x ，y 满足11x y x≤⎧⎪⎨-≤⎪⎩，则22x y +的最大值与最小值之和为（ ）A.5B.112C.6D.77.在[]4,4-上随机地取一个数m ，则事件“直线y x m =+与圆22210x y x +--=相交”发生的概率为（ ） A.14B.13C.12D.238.如图，某三棱柱的正视图是边长为2的正方形，其上下底面为正三角形，则下列命题中一定成立的是（ ）A.该三棱柱的表面积为12+B.该三棱柱的体积为C.该三棱柱的侧视图为矩形D.该三棱柱有外接球9.已知直线43x y k -=与单位圆有唯一的公共点P ，角α的终边在直线OP 上，O 为坐标原点，则tan 2α=（ ）A.34 B.34-C.247D.247-10.已知函数()2sincos 222x x x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭先将()y f x =图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），再沿x 轴向右平移()0θθ>个单位长度，得到函数()y g x =，若()g x 的图象关于直线34x π=对称，则θ的最小值为（ ） A.6π B.4πC.3πD.23π11.已知定义在R 上的函数()f x ，()g x 满足()()26f x x g x -+=，则函数()y g x =的图象关于（ ） A.直线3x =对称 B.直线3x =-对称C.原点对称D.y 轴对称12.已知奇函数()21ax bf x x+=+图象经过点()1,1，若矩形ABCD 的顶点A ，B 在x 轴上，顶点C ，D 在函数()y f x =的图象上，则矩形ABCD 绕x 轴旋转而成的几何体的体积的最大值为（ ）A.4π B.3πC.2πD.π二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数()13,01,03xx x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩，则()27f f --=⎡⎤⎣⎦________. 14.不等式121x x -≥+的解集是________. 15.已知等比数列{}n a 中，前4项之和为114a +，且2a ，31a +，4a 成等差数列，则公比q =________.16.设F 是椭圆()222210x y a b a b +=>>的右焦点，直线3by =与椭圆交于B ，C 两点，若BFC ∠为钝角，则该椭圆离心率的取值范围为________.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生依据要求作答.17.已知数列{}n a 满足()1222n a a na n n N *+++=∈….()I 求数列{}n a 的通项公式； ()II 求数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S .18.在ABC ∆中，2AB =，6AC =，ABC ∆的面积为()I 设D 为AC 的中点，求BD 的长度. ()II 求sin C 的值.19.某校食堂的两层楼分别由两家餐饮公司经营，称为一食堂和二食堂，学校为了了解学生对这两家食堂的满意度，采用问卷的形式，随机抽取了60名学生对两家食堂分别进行评分.根据收集的120份问卷的评分得到了一楼食堂的满意度评分的频率分布直方图和二楼食堂满意度的频率分布表.()I 根据一楼食堂的频率分布直方图，估计该食堂的满意度评分的中位数；()II 从满意度高于90分的问卷中，随机抽取两份，求这两份问卷都是一楼食堂评分的概率； ()Ⅲ请从统计变量数据，对一楼食堂、二楼食堂作出客观评价.20.已知椭圆C 经过点()2,3P ，对称轴为坐标轴，焦点12,F F 在x 轴上且焦距为4.()I 求椭圆C 的方程；()II 若过点P 的直线l 与椭圆C 有且仅有一个公共点，求直线l 的方程.21.我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍”是底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF 是一个“刍甍”，四边形ABCD 为矩形，EAD ∆与FBC ∆都是正三角形，4AB =，2,2AD EF ==.()I 求证：//EF 面ABCD ； ()II 求五面体ABCDEF 的体积.22.已知过点()1,0A -的动直线与圆22:280C x y x +--=交于P ，Q 两点，线段PQ 中点M 的轨迹为曲线Γ.()I 求曲线Γ的方程；()II 若曲线Γ的一条切线与圆C 交于A ，B 两点，若AB =T 的坐标.高中培优联盟2018-2019学年高二上学期冬季联赛数学（文）试题参考答案一、选择题1.【解析】选B .解2log 4x <得()0,16A =，解1282x ≤≤得[]1,3B =-，(]0,3A B =∴. 2.【解析】选D .中位数为8892902+=. 3.【解析】选C .“若p ，则q ”的否命题为“若p ⌝，则q ⌝”，p q ∨的否定为()()p q ⌝∧⌝. 4.【解析】选B .a →，b →反向，即夹角为180︒时也有0k <，故应选必要不充分条件.5.【解析】选A .由x y y x e e ππ--+≤+得x x y ye e ππ---≤-，而()x xf x e π-=-是R 上的增函数.原不等式即()()f x f x =-，得x y ≤-，即0x y +≤. 6.【解析】选B .易知不等式组表示的平面区域是以()1,0，()0,1，()1,2为顶点的三角形，对于可行域内任一点P ，222OP x y =+，不难知OP ≤≤，因此则22x y +的最大值与最小值之和为111522+=.7.【解析】选C .直线0x y m -+=与圆()2212x y -+=相交时，弦心距d =<31m -<<∴，故所求概率为12. 8.【解析】选B .注意到，该三棱柱不一定为正三棱柱，有可能是斜三棱柱，于是只有其体积恒为9.【解析】选D . 由题，直线OP与直线43x y k-=垂直，故3t a n4OP k α==-，22tan 24tan 21tan 7ααα==--∴.10.【解析】选A .()22sin cos12sin sin 2sin 2223xx x f x x x x π⎫⎛⎫=-==+⎪ ⎪⎭⎝⎭， 由题，()()2sin 23g x x πθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦，()g x 的图象关于直线34x π=对称， 324g π⎛⎫=± ⎪⎝⎭，即35sin 2sin 21236πππθθ⎛⎫⎛⎫-+=-=± ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，()5262k k Z ππθπ-=+∈∴，()232k k Z ππθ=+∈，当1k =-时，θ的最小值为6πθ=. 11.【解析】选A .由()()()()22639f x x f x g x -+=--+=得()()293f x g x -+=+，于是()()33g x g x -+=+，∴函数()y g x =的图象关于直线3x =对称. 12.【解析】选D .由题，()00f =及()11f =得()221xf x x=+， 如图，不妨设C ，D 在x 轴上方不难知该旋转体为圆柱，半径R BC =， 令221xR x=+，整理得220Rx x R -+=，则C x ，D x 为这个一元二次方程的两个不等实根，于是圆柱的体积222C D V R x x RRπππ=-==22R ππ⎡⎤≤+=⎢⎥⎣⎦，当且仅当212R =时等号成立.二、填空题13.【解析】[]3,1--.不等式可化为1201x x --≤+，即301x x +≤+，解得[]3,1n x ∈--. 14.【解析】127.不等式可化为()()1327273f -=-=-，()()()131273327f f f ---===⎡⎤⎣⎦∴. 15.【解析】2或12. 由题，2342431422a a a a a a ++=⎧⎨+=+⎩，解得324410a a a =⎧⎨+=⎩，即()23410aq a q q ⎧=⎪⎨+=⎪⎩，2q ⇒=或12. 16.【解析】0,4⎛ ⎝⎭.椭圆右焦点为(),0F c ，3b y =与椭圆交于,33b B ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，,33b C a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，,3b FB c ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，2,3b FC c ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，()22222222881700999984a b a FB FC c c a c e e ∙=-+=-+-<⇒<⇒<<∴. 三、解答题17.【解析】：（1）1222n a a na n +++=…，()()()12121212n a a n a n n -+++-=-≥…， 两式作差得：()22n na n =≥，()22n a n n=≥∴， 又12a =符合上式，故()21n a n n=≥. （2）()2112111n a n n n n n ⎛⎫==- ⎪+++⎝⎭， 111111122211223111n n S n n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∴….18.【解析】：（1）由ABC ∆的面积1sin 2S AB AC A =∙∙得sin 2A =，1cos 3A ==±∴，于是在ABD ∆中，由余弦定理：3BD ===.（2）法一：ABC ∆中，由余弦定理，BC =再由正弦定理，sin 1sin 3AB A C BC ∙==法二：由ABC ∆的面积1sin 2S BC AC C =∙∙，得21sin 3S C BC AC ==∙19.【解析】：（1） 设一楼食堂的60份问卷的中位数为x ，则有()0.01100.02100.05700.5x ⨯+⨯+-=，74x =∴；（2）满意度高于90份的问卷，一楼食堂有0.0510603⨯⨯=份，二楼食堂有2份，它们分别设为：12312,,,,a a a b b ，从这5份问卷中随机抽取2份，所有可能的结果有：()12,a a ，()13,a a ，()11,a b ，()12,a b ，()23,a a ，()21,a b ，()22,a b ，()31,a b ，()32,a b ，()12,b b ，共10种结果，其中两份都是一楼食堂的有()12,a a ，()13,a a ，()23,a a 共3种结果，其概率为310； （3）由（1）知，一楼食堂得分的中位数为74，低于二楼食堂得分的中位数75分，一楼食堂得分集中在[]70,80这组，而二楼食堂得分集中在[]70,80和[]80,90两个组，一楼食堂得分的平均数低于二楼食堂得分的平均数；一楼食堂得分比较分散，二楼食堂得分相对比较集中，即一楼食堂得分的方差高于二楼食堂得分的方差.20.【解析】：（1）由题，24c =，焦点的坐标为()12,0F -，()22,0F ，于是1228a PF PF =+=，216a =，22212b a c =-=∴，所以椭圆E 的方程为2211612x y +=. （2）由题意直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为()23y k x =-+，与椭圆C 联立得：()()222438231648120kx k kx k k +--+--=，令()()()222264234431648120k k k k k ∆=--+--=，化简得：24410k k ++=，解得12k =-， 所以直线l 的方程为()1232y x =--+，即280x y +-=. 21.【解析】：（1）//AB CD ，AB ⊄面CDEF ，CD ⊂面CDEF ，//AB ∴面CDEF ，又面ABFE 面CDEF EF =，//AB EF ∴，又EF ⊄面ABCD ，AB ⊂面ABCD ，所以//EF 面ABCD .（2）如图，延长棱EF 至MN ，使得1ME NF ==，由题可知ABNM 与CDMN 皆为矩形，于是我们得到了直三棱柱ADM BCN -，又BN CN ==NBC ∆∴中，BC NBC S ∆=∴∴五面体ABCDEF 的体积2ADM BCN F BCN E ADM ADM BCN F BCNV V V V V V -----=--=-12233NBC NBC NBC S MN S FN S MN FN ∆∆∆⎛⎫=∙-∙∙∙=-=⎪⎝⎭22.【解析】：（1）法一：圆()22:19C x y -+=，圆心()1,0C ，由垂径定理知PQ CM ⊥，即AM CM ⊥， 于是M 的轨迹是以AC 为直径端点的圆， 所以曲线Γ的方程为221x y +=.法二：设动直线为()1y k x =+，与圆22:280C x y x +--=联立，得：()()222212180k x k x k ++-+-=，由韦达定理，22121P QM x x k x k +-==+①，()2211+M Mky k x k =+=∴②， 由①得21=1M Mx k x -+，代入②式得：()222222141411111M MM MM M x x k y x k x x -∙+===-⎛⎫+-+ ⎪+⎝⎭， 又动直线斜率不存在时点M 坐标为()1,0-满足以上式关系， 故曲线Γ的方程为221x y +=.（2）设()00,T x y ，先证曲线Γ在点处的切线方程为001x x y y +=， 事实上，22001x y +=，∴点T 在001x x y y +=上，又圆心O 到001x x y y +=1=，故001x x y y +=为曲线Γ的切线，AB =，所以圆心到弦AB 的距离32d===，312x=-=，解得12x=-或52（舍），从而点的坐标为12⎛-⎝⎭或1,2⎛-⎝⎭.。
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绝密★启用前
安徽省示范高中培优联盟2020年冬季联赛（高二）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3至第4页．全卷满分150分，考试时间120分钟． 考生注意事项：
1．答题前，务必在试题卷、管题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致．
2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂系．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题．．卡．上书写，要求字体工整、笔迹清晰．作图题可先用铅笔在答题．．卡．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚．必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效．．．．．．．．．．．．．，在．试．题卷．．、草稿．．纸上答题无效．．．．．．
． 4．考试结束，务必将试题卷和答题卡一并上交．
第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．图中阴影部分所对应的集合是（ ）
A ．
(
)U
A B ⋃ B ．()()U U A B ⋃ C ．
()U
A B ⋃ D ．()U A B ⋂
2．从50件产品中随机抽取10件进行抽样．利用随机数表抽取样本时，将50件产品按01，02，03……，50进行编号，如果从随机数表的第1行，第6列开始，从左往右依次选取两个数字，则选出来的第4个个体编号为（ ）
70 29 17 12 15 40 33 20 38 26 13 89 51 03 74 17 76 37 13 04 07 74 21 19 30 56 62 18 37 35 A ．03 B ．32 C ．38 D ．10 3．命题“所有的二次函数图象都是轴对称图形”的否定是（ ）
A ．所有的轴对称图形都不是二次函数图象
B ．所有的二次函数图象都不是轴对称图形
C ．有些轴对称图形不是二次函数图象
D ．有些二次函数图象不是轴对称图形 4．“3
π
ϕ=
”是“函数sin 2
x
f x ϕ=+（）（）
的图象关于3
x π
=对称”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
5．已知集合11,,125A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭与1,2,52B ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭
，现分别从集合A ，B 中各任取一数a ，b ，则lg 1a gb +为整数的概率为（ ） A ．
19 B ．29 C ．13 D ． 49
6．已知函数y f x =（）的图象如图所示，则f x （）
的解析式可以为（ ）
A ．tan f x x =-（）
B ．31
f x x x
=
-（） C ．1sin f x x =（） D ．221
f x x x
=-（）
7．某几何体由若干大小相同的正方体组合而成，其三视图均为如图所示的图形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A ．9π
B ．10π
C ．11π
D ．12π
8．已知函数()2sin x
x x
e f x x k e e -=+++的图象关于点01（，）
对称，则实数k 的值为（ ）
A ．1-
B ．0
C ．1
D ．2
9．直线10x my m R +-=∈（）与圆2
2
420x y x y +-+=相交于A ，B 两点，则AB 弦长的最小值为（ ） A ．3 B ．2 C ．23 D ．4 10．某圆锥的侧面积是底面积的a 倍，则圆锥的高为其底面半径的（ ） A ．
2
a
倍 B ．a 倍 C ．1a -倍 D ．21a -倍 11．卢卡斯是十九世纪法国数学家，他以研究斐波那契数列而著名．卢卡斯数列就是以他的名字命名，卢
卡斯数列为：1，3，4，7，11，18，29，47，76；123…，即1213L L ==，，且21n n n L L L n N *
++=+∈（）
．则卢卡斯数列{}n L 的第2020项除以4的余数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．
3
（在此卷上答题无效）
绝密★启用前
安徽省示范高中培优联盟2020年冬季联赛（高二）
数学（文科）
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
考生注意事项：
请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．
． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．）
13．若x ，y 满足约束条件24030
10x y x x y y +≥-⎧-≤⎪
⎨⎪+-≥⎩
，则5z x y =+的最小值为_________．
14．非零向量a b ，满足6a b =，且3b a b ⊥-（），则向量a b ，的夹角大小为_________．
15．已知ABC 中，tan sin cos A B B ，，成公比为
4
3
的等比数列，则tan C 的值为_________． 16．已知四面体ABCD 的所有棱长均为6，过D 作平面α使得//BC α，且棱AB AC ，分别与平面α交于点E ，F ，若异面直线DE BC ，7
，则AE 的长为_________． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本题满分10分）某市为促进青少年运动，从2010年开始新建篮球场，某调查机构统计得到如下数
据．
（1）根据表中数据求得y 关于x 的线性回归方程为0.36y x a =+，求表中数据5y ．并求出线性回归方程； （2）预测该市2020年篮球场的个数（精确到个）．
附：可能用到的数据与公式：5
5
1
5
22
1
1
,10080i i
i i i i
i x y nx y
a y
b x b x x
nx ===-=-⋅=
⋅=-∑∑∑
5
54
22
1
1
1
510,6653, 3.30i
i i i i i i x
x x y y ===-===∑∑∑．
18．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的前n 项和为n S ．点(),n n S 在函数222
x x
y =
+的图象上． （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设2n a
n b =，求数列{}
1n
n n a b ⋅⋅（-）的前n 项和n T ．
19．（本小题满分12分）
如图，在四边形ABCD 中，对角线AC BD ，交于点P ，sin sin PA BAC PC ACB ⋅∠=⋅∠ （1）求证：sin sin ABD CBD ∠=∠；
（2
）若120BAD ∠=︒，60BCD ∠=︒，33BC CD ==，求AB ．
20．（本小题满分12分）如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥面ABC ，2AB BC ==，120ABC ∠=︒，M 为PC 的中点． （1）求证：MB AC ⊥；
（2）若45PBA ∠=︒，求点P 到面MAB 的距离．
21.（本小题满分12分）
本季度，全球某手机公司生产某种手机，由以往经验表明，不考虑其他因素，该手机全球每日的销售量y （单位：万台）与销售单价x （单位：千元/台，48x <≤），当46x <≤时，满足关系式64
n
y m x x =-+
-（）（m ，n 为常数），当68x <≤时，满足关系式20200y x =-+．已知当销售价格为5千元/台时，全球每日可售出该手机70万台，当销售价格定为6千元/台时，全球每日可售出该手机80万台． （1）求m ，n 的值，并求出该手机公司每日销售量的最小值；
（2）若该手机的成本为4000元/台，试确定销售价格x 为何值时，该手机公司每日销售手机所获利润最大． 22．（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，P 为圆2
2
:8120C x y x +-+=上的动点，线段OP 中点M 的轨迹记为曲线Γ （1）求曲线Γ的方程；
（2）已知动点Q 在y 轴上，直线l 与曲线Γ交于A ，B 两点．求证：若直线QA QB ，均与曲线Γ相切，则直线l 恒过定点．。