高考数学函数与导数2.3导数与积分练习理20191130210
十年高考真题(答案)——导数,微积分,定积分
∫1
8．C【解析】∵
S阴影 =
（
0
x − x)dx =
(2
3
x2
−
1
x2 )
1
=
3 20
1
,正方形的面积为 1，
6
∴P=1． 6
∫4
9．C【解析】用定积分求解 ( 0
x − x + 2)d=x
(2 3
3
x2
−
1 2
x2
+
2 x)=04
16
，选 C
3
∫ 10．C【解析】
1(ex + 2x)dx
0
=(ex
∫ 20． 5 【解析】由已知得阴影部分面积为 4 − 2 x2dx =4 − 7 = 5 ．所以此点取自阴影部分
12
1
33
5
的概率等于 3 = 5 ． 4 12
21． y =−5x + 3 【解析】 y′ = −5e−5x ，在点 (0, 3) 处的切线的斜率为 −5 ，
切线方程为 y − 3 =−5(x − 0) ，即 y =−5x + 3．
2 22． e2 【解析】根据对称性，两个阴影部分面积相等，
∫ ∴ S阴=2(e −
1 e x dx)
0
=2e
−
2ex
|10
=2 ，由几何概型的概率计算公式，
得所求的概率为
S阴 S正
=
2 e2
．
23．－3【解析】由题意可得 −5= 4a + b ① 2
又 f ′(= x)
2ax −
b x2
，过点 P(2,−5) 的切
x1
+
1 x1
高中数学函数与导数复习 题集附答案
高中数学函数与导数复习题集附答案1. 函数的概念与性质1.1 函数的定义函数是一种具有对应关系的数学工具，它使得一个集合中的每个元素都与另一个集合中的唯一元素相对应。
一般来说，函数由输入和输出组成，输入称为自变量，输出称为因变量。
1.2 函数的性质函数有以下几个基本性质：- 定义域：函数的自变量能取的值的范围。
例如，对于函数f(x) =√x，定义域是非负实数集。
- 值域：函数的因变量能取的值的范围。
继续以f(x) = √x为例，值域是非负实数集。
- 单调性：函数的增减关系。
可分为严格单调递增、严格单调递减、非严格单调递增、非严格单调递减四种情况。
- 奇偶性：函数图像相对于y轴的对称性。
奇函数满足f(-x) = -f(x)，偶函数满足f(-x) = f(x)。
- 周期性：函数图像的重复性。
周期函数满足f(x+T) = f(x)，其中T为正数。
2. 常见函数类型及性质2.1 一次函数（线性函数）一次函数的一般形式为f(x) = kx + b，其中k和b为常数。
- 斜率 k 决定了函数图像的斜率和单调性。
- 截距 b 决定了函数图像与y轴的交点位置。
2.2 二次函数（抛物线函数）二次函数的一般形式为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a ≠ 0。
- 抛物线开口方向由二次项系数a的正负决定。
- 顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))。
- 对称轴方程为x = -b/2a。
2.3 幂函数幂函数的一般形式为f(x) = x^a，其中a为常数。
- 当a > 1时，函数图像在定义域上是递增的。
- 当0 < a < 1时，函数图像在定义域上是递减的。
- 当a < 0时，函数图像具有奇对称性。
2.4 指数函数指数函数的一般形式为f(x) = a^x，其中a > 0且a ≠ 1。
- 指数函数的图像都通过点(0, 1)。
- 当a > 1时，函数图像在整个定义域上递增。
高考数学真题 导数与积分
专题三 导数及其应用3.1 导数与积分考点一 导数的概念和运算1.(2019课标Ⅱ文,10,5分)曲线y=2sin x+cos x 在点(π,-1)处的切线方程为( ) A.x-y-π-1=0 B.2x-y-2π-1=0 C.2x+y-2π+1=0 D.x+y-π+1=0答案 C 本题主要考查导数的几何意义,通过切线方程的求解考查学生的运算求解能力,渗透的核心素养是数学运算.由题意可知y'=2cos x-sin x,则y'|x=π=-2.所以曲线y=2sin x+cos x 在点(π,-1)处的切线方程为y+1=-2(x-π),即2x+y+1-2π=0,故选C.小题速解 由题意得y'=2cos x-sin x,则y'|x=π=-2.计算A 、B 、C 、D 选项中直线的斜率,可知只有C 符合.故选C.2.(2016山东理,10,5分)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( ) A.y=sin x B.y=ln x C.y=e xD.y=x 3答案 A 设函数y=f(x)图象上的两点分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),且x 1≠x 2,则由题意知只需函数y=f(x)满足f '(x 1)·f '(x 2)=-1即可.y=f(x)=sin x 的导函数为f '(x)=cos x,则f '(0)·f '(π)=-1,故函数y=sin x 具有T 性质;y=f(x)=ln x 的导函数为f '(x)=1x,则f '(x 1)·f '(x 2)=1x 1x 2>0,故函数y=ln x 不具有T 性质;y=f(x)=e x的导函数为f '(x)=e x,则f '(x 1)·f '(x 2)=e x 1+x 2>0,故函数y=e x不具有T 性质;y=f(x)=x 3的导函数为f '(x)=3x 2,则f '(x 1)·f '(x 2)=9x 12x 22≥0,故函数y=x 3不具有T 性质.故选A.疑难突破 函数的图象在两点处的切线互相垂直等价于在这两点处的切线的斜率之积为-1,即相应的导数之积为-1,这是解决此题的关键.评析 本题为创新题,主要考查导数的几何意义及直线相互垂直的条件,属于偏难题.3.(2016四川理,9,5分)设直线l 1,l 2分别是函数f(x)={-lnx,0<x <1,lnx,x >1图象上点P 1,P 2处的切线,l 1与l 2垂直相交于点P,且l 1,l 2分别与y 轴相交于点A,B,则△PAB 的面积的取值范围是( ) A.(0,1) B.(0,2) C.(0,+∞) D.(1,+∞)答案 A 设l 1是y=-ln x(0<x<1)的切线,切点P 1(x 1,y 1),l 2是y=ln x(x>1)的切线,切点P 2(x 2,y 2), l 1:y-y 1=-1x 1(x-x 1),①l 2:y-y 2=1x 2(x-x 2),②①-②得x P =y 1-y 2+21x 1+1x2,易知A(0,y 1+1),B(0,y 2-1), ∵l 1⊥l 2,∴-1x 1·1x 2=-1,∴x 1x 2=1, ∴S △PAB =12|AB|·|x P |=12|y 1-y 2+2|·|y 1-y 2+2||1x 1+1x 2|=12·(y 1-y 2+2)2x 1+x 2x 1x 2=12·(-ln x 1-ln x 2+2)2x 1+x 2 =12·[-ln(x 1x 2)+2]2x 1+x 2=12·4x 1+x 2=2x 1+x 2, 又∵0<x 1<1,x 2>1,x 1x 2=1, ∴x 1+x 2>2√x 1x 2=2, ∴0<S △PAB <1.故选A.思路分析 设出点P 1,P 2的坐标,进而根据已知表示出l 1,l 2,然后求出点A 、B 的坐标及x P ,最后利用点在曲线上及垂直的条件求出面积表达式,从而求出面积的取值范围. 评析 本题考查了利用导数求切线问题,及考生的运算能力.4.(2014课标Ⅱ理,8,5分)设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x,则a=( ) A.0 B.1 C.2 D.3 答案 D y'=a-1x+1,当x=0时,y'=a-1=2,∴a=3,故选D. 5.(2020课标Ⅰ文,15,5分)曲线y=ln x+x+1的一条切线的斜率为2,则该切线的方程为 . 答案 y=2x解析 设该切线的切点坐标为(x 0,y 0),由y=ln x+x+1得y'=1x+1,则在该切点处的切线斜率k=1x 0+1,即1x 0+1=2,解得x 0=1,∴y 0=ln 1+1+1=2,即切点坐标为(1,2),∴该切线的方程为y-2=2(x-1),即y=2x. 6.(2020课标Ⅲ文,15,5分)设函数f(x)=e x x+a .若f '(1)=e4,则a= . 答案 1 解析 f '(x)=(x+a -1)e x (x+a)2,则f '(1)=ae(a+1)2=e4,解得a=1.7.(2019天津文,11,5分)曲线y=cos x-x 2在点(0,1)处的切线方程为 .答案 x+2y-2=0解析 本题通过求曲线在某点处的切线,考查学生对基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、导数的几何意义的理解和掌握程度.∵y=cos x-x 2,∴y'=-sin x-12,∴y'|x=0=-12,即曲线在(0,1)处的切线斜率为-12,∴切线方程为y-1=-12(x-0),即x+2y-2=0.8.(2018天津文,10,5分)已知函数f(x)=e xln x, f '(x)为f(x)的导函数,则f '(1)的值为 . 答案 e解析 本题主要考查导数的计算. ∵f(x)=e xln x, ∴f '(x)=e x (lnx +1x),∴f '(1)=e 1×(ln 1+1)=e.9.(2018课标Ⅱ文,13,5分)曲线y=2ln x 在点(1,0)处的切线方程为 . 答案 2x-y-2=0解析 本题主要考查导数的几何性质.由y=2ln x 得y'=2x.因为k=y'|x=1=2,点(1,0)为切点, 所以切线方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0.10.(2017课标Ⅰ文,14,5分)曲线y=x 2+1x在点(1,2)处的切线方程为 .答案 x-y+1=0解析 本题考查导数的几何意义.∵y=x 2+1x,∴y'=2x -1x2,∴y'|x=1=2-1=1,∴所求切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0.11.(2017天津文,10,5分)已知a ∈R,设函数f(x)=ax-ln x 的图象在点(1, f(1))处的切线为l,则l 在y 轴上的截距为 . 答案 1解析 本题主要考查导数的几何意义以及直线方程与截距. 由题意可知f '(x)=a-1x,所以f '(1)=a-1, 因为f(1)=a,所以切点坐标为(1,a), 所以切线l 的方程为y-a=(a-1)(x-1),即y=(a-1)x+1.令x=0,得y=1,即直线l 在y 轴上的截距为1.易错警示 不能正确求解函数的导数,而导致不能正确求解切线l 的斜率.12.(2015课标Ⅰ文,14,5分)已知函数f(x)=ax 3+x+1的图象在点(1, f(1))处的切线过点(2,7),则a= . 答案 1解析 由题意可得f '(x)=3ax 2+1,∴f '(1)=3a+1,又f(1)=a+2,∴f(x)=ax 3+x+1的图象在点(1,f(1))处的切线方程为y-(a+2)=(3a+1)(x-1),又此切线过点(2,7),∴7-(a+2)=(3a+1)(2-1),解得a=1.13.(2015陕西理,15,5分)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=1x(x>0)上点P 处的切线垂直,则P 的坐标为 . 答案 (1,1)解析 ∵函数y=e x的导函数为y'=e x,∴曲线y=e x在点(0,1)处的切线的斜率k 1=e 0=1.设P(x 0,y 0)(x 0>0),∵函数y=1x的导函数为y'=-1x2, ∴曲线y=1x(x>0)在点P 处的切线的斜率k 2=-1x 02, 则有k 1k 2=-1,即1·(-1x 02)=-1,解得x 02=1,又x 0>0, ∴x 0=1.又∵点P 在曲线y=1x(x>0)上,∴y 0=1,故点P 的坐标为(1,1).14.(2012课标文,13,5分)曲线y=x(3ln x+1)在点(1,1)处的切线方程为 . 答案 y=4x-3解析 y'=3ln x+1+x ·3x=3ln x+4,k=y'|x=1=4,切线方程为y-1=4(x-1),即y=4x-3. 评析 本题考查了导数的几何意义,考查了运算求解能力.15.(2016课标Ⅲ,15,5分)已知f(x)为偶函数,当x<0时, f(x)=ln(-x)+3x,则曲线y=f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 . 答案 y=-2x-1解析 令x>0,则-x<0, f(-x)=ln x-3x,又f(-x)=f(x),∴f(x)=ln x-3x(x>0),则f '(x)=1x-3(x>0),∴f '(1)=-2,∴在点(1,-3)处的切线方程为y+3=-2(x-1),即y=-2x-1.思路分析 由偶函数定义,可得x>0时, f(x)的解析式,从而求出x>0时f(x)的导数,进而可求得切线斜率,最后可得切线方程.16.(2016课标Ⅱ,16,5分)若直线y=kx+b 是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b= . 答案 1-ln 2解析 直线y=kx+b 与曲线y=ln x+2,y=ln(x+1)均相切,设切点分别为A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),由y=ln x+2得y'=1x,由y=ln(x+1)得y'=1x+1,∴k=1x 1=1x 2+1,∴x 1=1k ,x 2=1k -1,∴y 1=-ln k+2,y 2=-ln k. 即A (1k,-lnk +2),B (1k-1,-lnk), ∵A 、B 在直线y=kx+b 上,∴{2-lnk =k ·1k +b,-lnk =k ·(1k-1)+b ⇒{b =1-ln2,k =2.思路分析 先设切点,找出切点坐标与切线斜率的关系,并将切点坐标用斜率表示出来,利用切点在切线上列方程组,进而求解.考点二 定积分与微积分基本定理1.(2014湖北理,6,5分)若函数f(x),g(x)满足∫ 1-1f(x)g(x)dx=0,则称f(x),g(x)为区间[-1,1]上的一组正交函数.给出三组函数:①f(x)=sin 12x,g(x)=cos 12x;②f(x)=x+1,g(x)=x -1;③f(x)=x,g(x)=x 2. 其中为区间[-1,1]上的正交函数的组数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3答案 C 由①得f(x)g(x)=sin 12xcos 12x=12sin x,是奇函数,所以∫ 1-1f(x)g(x)dx=0,所以①为区间[-1,1]上的正交函数;由②得f(x)g(x)=x 2-1,∴∫ 1-1f(x)g(x)dx=∫1-1x 2-1)dx =(x 33-x) -11=-43,所以②不是区间[-1,1]上的正交函数;由③得f(x)g(x)=x 3,是奇函数,所以∫ 1-1f(x)g(x)dx=0,所以③为区间[-1,1]上的正交函数.故选C.2.(2014山东理,6,5分)直线y=4x 与曲线y=x 3在第一象限内围成的封闭图形的面积为( )A.2√2B.4√2C.2D.4 答案 D 由{y =4x,y =x 3得x=0或x=2或x=-2(舍).∴S=∫ 20(4x-x 3)dx=(2x 2-14x 4) 02=4. 评析 本题考查利用定积分求面积.本题的易错点是忽视条件“在第一象限内”.3.(2013湖北理,7,5分)一辆汽车在高速公路上行驶,由于遇到紧急情况而刹车,以速度v(t)=7-3t+251+t(t 的单位:s,v 的单位:m/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距离(单位:m)是( ) A.1+25ln 5 B.8+25ln113C.4+25ln 5D.4+50ln 2 答案 C 由v(t)=0得t=4.故刹车距离为s=∫ 04v(t)dt= ∫ 04(7-3t +251+t )dt=[-32t 2+7t +25ln(1+t)] 04=4+25ln 5(m). 4.(2013北京理,7,5分)直线l 过抛物线C:x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直,则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43B.2C.83D.16√23答案 C 由抛物线方程可知抛物线的焦点为F(0,1),所以直线l 的方程为y=1.设直线l 与抛物线的交点为M 、N,分别过M 、N 作x 轴的垂线MM'和NN',交x 轴于点M'、N',如图.故所求图形的面积等于阴影部分的面积,即S=4-2∫20x 24dx=83.故选C.评析 本题主要考查抛物线的性质及定积分的应用.考查学生对知识的理解及应用能力,正确求解定积分是解本题的关键.5.(2012湖北理,3,5分)已知二次函数y=f(x)的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5 B.43 C.32 D.π2答案 B 由题图知二次函数的解析式为f(x)=-x 2+1,其图象与x 轴所围图形的面积为∫ -11f(x)dx=2∫ 01f(x)dx=2∫ 01(-x 2+1)dx=2(-13x 3+x) 01=2×(-13+1)=43.故选B.评析 本题考查了定积分的知识,考查了学生运算求解能力.运用数形结合思想求出二次函数和定积分是解题关键.6.(2015天津理,11,5分)曲线y=x 2与直线y=x 所围成的封闭图形的面积为 .答案16解析 曲线y=x 2与直线y=x 所围成的封闭图形如图中阴影部分所示,由{y =x,y =x 2解得x=0或x=1,所以S=∫ 01(x-x 2)dx=(12x 2-13x 3) 01=12-13=16.。
2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.3函数的奇偶性与周期性课后作业文
2.3 函数的奇偶性与周期性E 课后作业脊荣［基础送分 提速狂刷练］一、选择题1 . (2017 •重庆测试 )下列函数为奇函数的是()八 3 小 2 A . y = x + 3xB. x—xe + ey = 2C. y = x sin xD. 3—x答案 Dx—xe + e解析 函数y = x 3+ 3x 2既不是奇函数，也不是偶函数，排除A;函数y =— 是偶函数，排除B;函数y = x s in x 是偶函数，排除 C ;函数y = log 23—的定义域是(—3,3)，且f ( — x ) 3十x2 •下列函数中，既是定义域内的偶函数又在 (一R, 0)上单调递增的函数是(A . f (x ) = x 2B. f (x ) = 2lx|答案 C解析 函数f (x ) = x 2在(一g, 0)上单调递减，排除 A ;当x € ( —a, 0)时，函数f (x ) =2冈=\~ x在(—a,0)上单调递减，排除 B ;当x € ( —g, 0)时，函数f (x ) = log 2―-=—2I x |log 2( — x )在(一g, 0)上单调递增，且函数 f (x )在其定义域内是偶函数， C 正确；函数f (x )=sin x 是奇函数，排除 D.故选C.3. (2017 •唐山统考)f (x )是R 上的奇函数，当 x >0时，f (x ) = x 3+ ln (1十x ).则当 x <0 时，f (x )=()33A.— x — ln (1 — x ) B. x + ln (1 — x )33C. x — ln (1 — x )D.— x + ln (1 — x )答案 C3解析 当 x <0 时，一x >0, f ( — x ) = ( — x ) + ln (1 — x )，: f (x )是 R 上的奇函数，.••当33x <0 时，f (x ) = — f ( — x ) = — [( — x ) + ln (1 — x )] ,••• f (x ) = x — ln (1 — x ).故选 C.4.已知f (x )是定义在 R 上的偶函数，并且 f (x + 2)=—厂」一，当2< X W3时，f (x )T x=x ，则 f (105.5)=( )=log 3十x r23—< j (x )，是奇函数, D 正确.故选D.C.1f(x)=log2r xD. f (x ) = sin xA. —0.5B. 0.5答案 D1 1 ••• f (x + 4) = f [( x + 2) + 2] =-f —齐=-1一 = f (x ) ••••函数 f (x )的周期为 4."-f~~x~• f (105.5) = f (4 X 27- 2.5) = f ( — 2.5) = f (2.5) • •/2W 2.5 w 3,「. f (2.5) = 2.5. • f (105.5) = 2.5.故选 D.5. (2017 •金版创新)已知函数f (x )在? x € R 都有f (x — 2) = - f (x )，且当x € [ — 1,0] 时，f (x ) = 2x，则 f (2017)等于()1 A.2 C. 1 D.— 1答案 B解析 由 f (x — 2) =- f (x )，得 f (x — 4) =- f (x -2) = f (x )，所以函数 f (x )的周期为 4. 1所以 f (2017) = f (4 X 504+ 1) = f (1) =- f ( — 1) =- ^.故选 B.6. (2018 •青岛模拟)奇函数f (x )的定义域为R,若f (x + 1)为偶函数，且f (1) = 2，则 f (4) + f ⑸的值为()A . 2 B. 1 C.— 1 D.— 2答案 A解析 ••• f (x + 1)为偶函数，f (x )是R 上的奇函数， • f ( — X + 1) = f (x +1) , f (x ) = -f ( — x ) , f (0) = 0,• f (x + 1) = f ( — x +1) =- f (x — 1), • f (x + 2) = — f (x ), f (x + 4) = f (x + 2+ 2) =— f (x + 2) = f (x )，故 4 为函数 f (x )的周期，则 f (4) = f (0) = 0, f (5) = f (1) = 2, • f (4) + f (5) = 0 + 2= 2.故选 A.7. (2018 •襄阳四校联考)已知函数f (x )的定义域为R.当x <0时，f (x ) = x 5—1;当一1w x wi 时，f ( — x ) = — f (x );当 x >0 时，f (x + 1) = f (x )，贝U f (2018)=()A . — 2 B.— 1 C. 0 D. 2答案 D解析 因为当x >0时，f (x + 1) = f (x )，所以当x >0时，函数f (x )是周期为1的周期函 数，所以 f (2018) = f (1)，又因为当一1w x wi 时，f ( — x ) = — f (x )，所以 f (1) = — f ( — 1)5=—[(—1) — 1] = 2.故选 D.解析•••f(x + 2)一「B.&已知函数f (x)是R上的偶函数，g(x)是R上的奇函数，且g( x) = f(x —1)，若f(2) =2，贝U f (2018)的值为()A . 2 C.— 2 答案 A解析 ■/ f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且 g (x ) = f (x — 1),••• g ( — x ) = f ( — x — 1) = f (x + 1) =— g (x ) =— f (x — 1).即 f (x + 1) = — f (x — 1). •- f (x + 2) = — f (x ).• f (x + 4) = f [( x + 2) + 2] = — f (x + 2) = f (x ). •函数f (x )是周期函数，且周期为 4.• f (2018) = f (2) = 2.故选 A. 9.(2017 •石家庄模拟)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1 , f (5)2a — 3= ，则实数a 的取值范围为()A . ( — 1,4) B.( —2,0)C. ( — 1,0)D.( —1,2)答案 A解析 T f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数，2a — 32a — 3 a — 4• f (5) = f (5 — 6) = f ( — 1) = f (1)，: f (1)<1 , f (5) =a + 1，• a +1<1，即 a + 1<°，解得—1<a <4.故选A.210.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当 x >0时，f (x ) = x — 3X ,则函数g (x ) = f (x ) —x + 3的零点所构成的集合为()B. { — 3,— 1,1,3}C. {2 — 7, 1,3}D. { — 2— 7, 1,3}答案 D2 2解析 当x <0 时，f (x ) =— f ( — x ) =— [( — x ) + 3x ] =— x — 3x ，易求得 g (x )=x 2— 4x + 3, x >0,—x — 4x + 3, x <0,当x 2— 4x + 3 = 0时，可求得 为=1, X 2= 3;当—x 2— 4x + 3 = 0 时，可求得 X 3=— 2— 7, X 4=— 2+ . 7(舍去).故g (x )的零点为1,3 , — 2 —-. 7.故选D.二、填空题答案 ±1B. 0 D.±2A . {1,3} 11 . (2018 •武昌联考 )若函数f (x )=xk — 21+ k ・2在定义域上为奇函数，则实数解析—x x .k —2 k ・2 —1• f ( 一x) 一一,• f( —x) + f(x)=k — 2x/+ k + k ・2x—] • ] + k ・2x=7+k=k 2- 1 旷+1 =1+k ・2x丁+k .2由 f ( — x ) + f (x ) = 0,可得 k = 1, • k =± 1.12 .设f (x )是定义在 R 上且周期为2的函数，在区间[—1 , 1)上，f (x )=解析 •/ f (x )是周期为2的函数,5 21 1 3 即—2+ a = jo ,解得 a = 5,3 2则 f (5a ) = f (3) = f (4 — 1) = f ( — 1) =— 1 + 5=—亍 13. (2017 •郑州联考)对于函数f (x )，若存在常数a z 0,使得取定义域内的每一个 x值，都有f (x ) = — f (2a — x )，则称f (x )为准奇函数•给出下列函数：① f (x ) = (x — 1)2,②1 3 f (x )=-，③f (x ) = X ,④f (x ) = cos x ,其中所有准奇函数的序号是 ___________ . x — I 答案②④解析 对于函数f (x )，若存在常数a z 0,使得取定义域内的每一个x 值，都有f (x )=—f (2 a — x )，则函数f (x )的图象关于(a,0)对称.对于①，f (x ) = (x — 1)2，函数图象无对称 1 3中心；对于②，f (x ) = -—T ，函数f (x )的图象关于(一1,0)对称；对于③，f (x ) = X ,函数 x^T 1f (x )的图象关于(0,0)对称；对于④，f (x ) = cos x ，函数f (x )的图象关于i k n —2, 0 (k € Z)对称.所以所有准奇函数的序号是②④.14. _____________________________________________________________________ (2018 •太原模拟)已知定义在 R 上的奇函数f (X )满足谓—x = f (x ) ,f ( — 2) =— 3, 数列｛&｝的前 n 项和为 S,且 a 1=— 1, S= 2a n + n (n € N *)，贝U f (a 5)+ f (a 6)= _______________________________ .答案 3x + a ,—K x <0,,0< x <1,其中a € R 若 f—I = f i 2，则f (5 a )的值是解析T奇函数f (x)满足f —x = f (x) , ••• f —x = —f ( —x), ••• f (x) = —f i x+弓= f (x + 3), • f (x)是以 3 为周期的周期函数，T S n= 2a n+ n①，•• S+1 = 2a n+1 + n +1 ②，②一①可得a n+1 = 2a n—1，结合a i = —1，可得a5=—31, a6= —63,—f(a5)= f( —31) = f(2)=-f ( —2) = 3, f(a6)= f ( —63) = f (0) = O,—f(a5)+ f(a) = 3.三、解答题15. 设函数f (x)在(—a, +^)上满足f(2 —x) = f (2 + x) , f(7 —x) = f (7 + x),且在闭区间［0,7］上，只有f (1) = f(3) = 0.(1)证明：函数f(x)为周期函数；⑵试求方程f (x) = 0在闭区间［—2018,2018］上的根的个数，并证明你的结论.f 2 —x = f 2 + x ,解(1)证明：由*厂厂f f —x =f i + xf (4 —x) = f(14 —x)? f (x) = f (x + 10).f x = f 4 —x , f x = f 14—x—f(x)为周期函数，T= 10.(2) T f (3) = f(1) = 0,f (11) = f (13) = f ( —7) = f ( —9) = 0,故f (x)在［0,10］和［—10,0］上均有两个解.从而可知函数y= f (x)在［0,2018］上有404个解，在［—2018,0］上有403个解，所以函数y= f (x)在［—2018,2018］上有807个解.16. 定义在R上的函数f(x)对任意a, b€ R都有f(a+ b) = f(a) + f(b) + k(k为常数).(1) 判断k为何值时，f(x)为奇函数，并证明；(2) 设k=—1, f(x)是R上的增函数，且f(4) = 5,若不等式f(m>( —2m)+ 3)>3对任意x € R 恒成立，求实数m的取值范围.解⑴若f(x)在R上为奇函数，则f(0) = 0,令a= b= 0,则f (0 + 0) = f(0) + f (0) + k，所以k= 0.证明：由f(a+ b) = f (a) + f ( b)，令a= x, b= —x,则f(x—x) = f (x) + f ( —x),又f (0) = 0，则有0= f (x) + f ( —x)，即f ( —x) = —f (x)对任意x€ R 成立，所以f (x) 是奇函数.(2)因为f(4) = f (2) + f(2) —1 = 5,所以f (2) = 3.所以f(mx —2m)+ 3)>3 = f (2)对任意x € R恒成立.又f (x)是R上的增函数，所以mx—2m)+ 3>2对任意x€ R恒成立，即mx —2mx+ 1>0对任意x €R恒成立，当m= 0时，显然成立；n>0,当m^0时，由* 2 得0<m<1.A = 4m —4m<0,所以实数m的取值范围是［0,1).。
三角函数的导数和积分练习题
三角函数的导数和积分练习题练习一：求下列函数的导数。
1. $f(x) = \sin(x) + \cos(x)$解析：根据求导法则，可得$$f'(x) = \cos(x) - \sin(x)$$2. $g(x) = 3\sin(x) + \frac{1}{2}\cos(x)$解析：根据求导法则，可得$$g'(x) = 3\cos(x) - \frac{1}{2}\sin(x)$$3. $h(x) = \tan(x) + \cot(x)$解析：根据求导法则，可得$$h'(x) = \sec^2(x) - \csc^2(x)$$4. $k(x) = \frac{\sin(x)}{\cos(x)}$解析：根据求导法则，可得$$k'(x) = \frac{\cos^2(x) + \sin^2(x)}{\cos^2(x)} = \frac{1}{\cos^2(x)} $$练习二：求下列函数的积分。
1. $F(x) = \sin(x) + C$解析：由于$\sin(x)$的积分是$-\cos(x)$，所以可得$$\int \sin(x) \, dx = -\cos(x) + C$$其中$C$为积分常数。
2. $G(x) = \frac{1}{2}\cos(x) + C$解析：由于$\cos(x)$的积分是$\sin(x)$，所以可得$$\int \cos(x) \, dx = \sin(x) + C$$其中$C$为积分常数。
3. $H(x) = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C$解析：根据换元积分法，令$u = \sec(x) + \tan(x)$，则$du = (\sec(x) + \tan(x))\tan(x) \, dx$。
将其代入原积分式，可得$$\int \sec(x) \, dx = \ln|\sec(x) + \tan(x)| + C$$其中$C$为积分常数。
高考数学必做题--函数与导数 (后附参考答案与详解)
1 23 4 56 7 8 9 10 1112 13 14 15 1617 18 19 20 212223，且关于的方的取值范围是．24252627 28 29 30123，4．567解析式最值奇偶性二次函数二次函数的概念、图象和性质导数及其应用导数概念及其几何意义导数的运算数列数列的应用数列与不等式数列的概念数列的递推公式数列的前n项和89恒成立,则有即恒成立,，令,解得．得:,,或，时矛盾．函数的模型及其应用导数及其应用利用导数研究函数的单调性10如图点在的下方，∴得．再根据当与相切时，设切点坐标为，则，∴，此时，此时与有个交点，∴．故选．函数与导数函数分段函数图象函数与方程方程根的个数函数图象的交点11函数与导数函数单调性函数与方程函数的零点导数及其应用导数与零点导数与分类讨论导数的运算利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值与最值利用导数证明不等式1213解析几何直线与方程直线的倾斜角与斜率14又图象可知交点为∴解得．∵，∴，由（）知，当时，在故要证原不等式成立，只需要证明：当时，令，则，∴在上为增函数，∴，即，∴，即．函数与导数函数与方程函数图象的交点导数及其应用导数概念及其几何意义导数的运算利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值与最值利用导数证明不等式解析几何直线与方程直线的倾斜角与斜率直线的方程15对应的点坐标的最高点为最低点为，此两点也是函数的最高和最低点，由此可知．同理可得时，取得最大值．依理，当时，取得最小值，即．16在上至少有三个零点可化为少有三个交点，在上单调递减，则，解得：．函数与导数函数奇偶性二次函数二次函数的概念、图象和性质对数函数对数函数的概念、图象及其性质函数与方程方程根的个数函数的零点B. C.，关于的不等式只有两个整数解，则实数17C函数的定义域为，则，当得，即即，即，由得，得即，即，即当时，函数取得极大值，同时也是最大值即当时，有一个整数解当时，有无数个整数解，若，则得若，则由得或当时，不等式由无数个整数解，不满足条件．当时，由得当时，没有整数解，则要使当有两个整数解，∵，，∴当时，函数有两个整数点，∴要使有两个整数解，则，即．故选．函数与导数二次函数二次型函数导数及其应用导数与零点导数的运算利用导数研究函数的单调性18单调性19复合函数20易知共有个交点．函数与导数函数分段函数奇偶性周期性函数与方程函数图象的交点2122，则，恰好是正方形的面积，所以23，且关于的方的取值范围是．，如图所示，2425函数与导数导数及其应用导数与恒成立导数的运算利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值与最值利用导数证明不等式不等式与线性规划解不等式分式不等式2627正弦函数的图象与性质282930。
高三数学导数与积分2024练习题及答案
高三数学导数与积分2024练习题及答案（正文开始）一、导数练习题1. 求函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7的导数f'(x)。
解答：对于f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 3x - 7，使用幂函数的求导法则，得到其导数f'(x)为：f'(x) = 6x^2 - 10x + 3。
2. 已知函数g(x) = sin(x) + cos(x)，求g'(x)。
解答：对于函数g(x) = sin(x) + cos(x)，使用三角函数的求导法则，得到其导数g'(x)为：g'(x) = cos(x) - sin(x)。
3. 若函数h(x) = ln(x^2 + 1)，求h'(x)。
解答：根据对数函数的求导法则，针对函数h(x) = ln(x^2 + 1)进行求导，得到其导数h'(x)为：h'(x) = (2x) / (x^2 + 1)。
二、积分练习题1. 计算函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1的不定积分∫f(x)dx。
解答：对于函数f(x) = 2x^2 + 3x - 1，使用基本积分法则，得到其不定积分∫f(x)dx为：∫f(x)dx = (2/3)x^3 + (3/2)x^2 - x + C，其中C为积分常数。
2. 已知函数g(x) = 3e^x + 2sin(x)，求∫g(x)dx。
解答：对于函数g(x) = 3e^x + 2sin(x)，根据指数函数和三角函数的积分法则，得到其不定积分∫g(x)dx为：∫g(x)dx = 3e^x - 2cos(x) + C，其中C为积分常数。
3. 若函数h(x) = 1 / (x^2 + 1)，计算定积分∫[0, 1]h(x)dx。
解答：针对函数h(x) = 1 / (x^2 + 1)，计算其在区间[0, 1]上的定积分，得到结果为：∫[0, 1]h(x)dx = arctan(1) - arctan(0) = π/4。
历年(2019-2023)高考数学真题专项(导数及应用解答题)汇编(附答案)
历年（2019-2023）高考数学真题专项（导数及应用解答题）汇编 考点01 利用导数求函数单调性，求参数（2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．考点02 恒成立问题1．（2023年全国新高考Ⅱ卷（文））（1）证明：当01x <<时，sin x x x x 2-<<； （2）已知函数()()2cos ln 1f x ax x =--，若0x =是()f x 的极大值点，求a 的取值范围．2．（2020年全国高考Ⅱ卷（文）数学试题）已知函数1()e ln ln x f x a x a -=-+．（1）当a e =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若不等式()1f x ≥恒成立，求a 的取值范围．3．（2019∙全国Ⅰ卷数学试题）已知函数f （x ）=2sin x －x cos x －x ，f ′（x ）为f （x ）的导数． （1）证明：f ′（x ）在区间（0，π）存在唯一零点； （2）若x [0∈，π]时，f （x ）≥ax ，求a 的取值范围．4．（2019年全国高考Ⅱ卷（文））已知函数()(1)ln 1f x x x x =---.证明： （1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()=0f x 有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数.考点03 三角函数相关导数问题a=时，求b的取值范围；（i）当0（ii）求证：22e+>．a b4．（2021年全国高考Ⅰ卷数学试题）已知函数f（x）=2sin x－x cos x－x，f′（x）为f（x）的导数． （1）证明：f′（x）在区间（0，π）存在唯一零点；∈，π]时，f（x）≥ax，求a的取值范围．（2）若x[0考点04 导数类综合问题参考答案考点01 利用导数求函数单调性，求参数考点02 恒成立问题 1考点03 三角函数相关导数问题2022年8月11日高中数学作业学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________考点04 导数类综合问题 一、解答题)(【点睛】思路点睛：函数的最值问题，而不同方程的根的性质，注意利用方程的特征找到两类根之间的关系4．（2022∙全国新高考Ⅱ卷（文））已知函数(2) 和首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；当时，的解为：当113,ax⎛⎫--∈-∞⎪时，单调递增；时，单调递减；时，单调递增；综上可得：当时，在当时，在解得：，则，()1+,a x与联立得化简得3210--+=,由于切点的横坐标x x x综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和【点睛】本题考查利用导数研究含有参数的函数的单调性问题，和过曲线外一点所做曲线的切线问题，注。
高三数学《导数的概念、定积分》课后习题(参考答案)—精品文档
高三数学《导数的概念、定积分》课后习题一、选择题（本大题共10小题，共50分，只有一个答案正确）1．函数()22)(x x f π=的导数是（ ） (A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(='2．函数x ex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是（ ） (A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,03．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<， 4．若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值，则（ ）（A ） 10<<b （B ） 1<b （C ） 0>b （D ） 21<b 5．若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直，则l 的方程为（ ）A ．430x y --=B ．450x y +-=C ．430x y -+=D ．430x y ++=6．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ） Ａ．294e Ｂ．22e Ｃ．2e Ｄ．22e 7．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（ ）8．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥，则(1)'(0)f f 的最小值为（ ） A ．3 B ．52 C ．2 D ．32 9．设2:()e ln 21x p f x x x mx =++++在(0)+∞，内单调递增，:5q m -≥，则p 是q 的（ ）Ａ．充分不必要条件Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件10． 函数)(x f 的图像如图所示，下列数值排序正确的是（ ）（A ）)2()3()3()2(0//f f f f -<<<（B ） )2()2()3()3(0//f f f f <-<< （C ）)2()3()2()3(0//f f f f -<<< （D ）)3()2()2()3(0//f f f f <<-<二．填空题（本大题共4小题，共20分）11．函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿．12．已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ，则M m -=＿＿．13．点P 在曲线323+-=x x y 上移动，设在点P 处的切线的倾斜角为为α，则α的取值范围是14．已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数，则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数，则a 的取值范围 .（3）若函数在区间（-3，1）上单调递减，则实数a 的取值范围是 .三．解答题（本大题共4小题，共12+12+14+14+14+14=80分）15．用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？高三数学《导数的概念、定积分》课后习题参考答案一、选择题1．()∴==,42)(222x x x f ππ=⋅='x x f 242)(πx x f 28)(π='; 2．∴=⋅=-.)(x x e x ex x f []=⋅-⋅='21)(x x x e e x e x f ， ()[]1,012<∴>⋅-x e e x x x 选(A) 3.(B)数形结合 4.A 由()b x b x x f -=-='22333)(,依题意，首先要求b>0, 所以()()b x b x x f -+='3)( 由单调性分析，b x =有极小值，由()1,0∈=b x 得.5．解：与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=，即4y x =在某一点的导数为4，而34y x '=，所以4y x =在(1，1)处导数为4，此点的切线为430x y --=，故选A6．（D ）7．（D ）8．（C ）9．（B ）10．B 设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A 处的切线为AT点B 处的切线为BQ ， T=-)2()3(f f AB k f f =--23)2()3( ,)3(BQ k f =' ,)2(AT k f =' 如图所示，切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角小于 切线AT 的倾斜角 <∴BQ k <AB k AT k 所以选B11．1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12．3213．⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,432,0 14. (1).3)3(;3)2(;1-≤-≥≥a a a三、解答题15. 解：设长方体的宽为x （m ），则长为2x (m)，高为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=230(m)35.441218＜＜x x x h . 故长方体的体积为).230()(m 69)35.4(2)(3322＜＜x x x x x x V -=-= 从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='令V ′（x ）＝0，解得x =0（舍去）或x =1，因此x =1.当0＜x ＜1时，V ′（x ）＞0；当1＜x ＜32时，V ′（x ）＜0， 故在x =1处V （x ）取得极大值，并且这个极大值就是V （x ）的最大值。
高考数学真题导数专题及答案
高考数学真题导数专题及答案2019年高考真题-导数专题一、解答题（共12小题）1.已知函数 $f(x)=ae^{2x}+(a-2)e^{x}-x$。
1）讨论 $f(x)$ 的单调性；2）若 $f(x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围。
2.已知函数 $f(x)=ax^2-ax-x\ln{x}$，且 $f(x)\geq 0$。
1）求 $a$；2）证明：$f(x)$ 存在唯一的极大值点 $x$，且 $e^{-2}<f(x)<2^{-2}$。
3.已知函数 $f(x)=x^{-1}-a\ln{x}$。
1）若 $f(x)\geq 0$，求 $a$ 的值；2）设 $m$ 为整数，并且对于任意正整数 $n$，$(1+\frac{1}{m})^n\geq 2$，求 $m$ 的最小值。
4.已知函数 $f(x)=x^3+ax^2+bx+1$（$a>0,b\in\mathbb{R}$）有极值，且导函数 $f'(x)$ 的极值点是 $f(x)$ 的零点。
1）求 $b$ 关于 $a$ 的函数关系式，并写出定义域；2）证明：$b^2>3a$；3）若 $f(x)$，$f'(x)$ 这两个函数的所有极值之和不小于$-1$，求 $a$ 的取值范围。
5.设函数 $f(x)=(1-x^2)e^x$。
1）讨论 $f(x)$ 的单调性；2）当$x\geq 0$ 时，$f(x)\leq ax+1$，求$a$ 的取值范围。
6.已知函数 $f(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}$。
1）求 $f(x)$ 的导函数；2）求 $f(x)$ 在区间 $(0,+\infty)$ 上的取值范围。
7.已知函数 $f(x)=x^2+2\cos{x}$，$g(x)=e^x(\cos{x}-\sin{x}+2x^{-2})$，其中 $e\approx 2.\cdots$ 是自然对数的底数。
Ⅰ）求曲线 $y=f(x)$ 在点 $(\pi,f(\pi))$ 处的切线方程；Ⅱ）令 $h(x)=g(x)-af(x)$（$a\in \mathbb{R}$），讨论$h(x)$ 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值。
导数练习题及答案
导数练习题及答案为了帮助学习者更好地理解与掌握导数的概念与计算方法，以下是一些导数练习题及其详细答案解析。
通过解题的过程，读者可以加深对导数的理解，并熟练掌握导数的计算技巧。
题目一：计算函数 f(x) = x^3 在点 x = 2 处的导数。
解答一：对 f(x) = x^3 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = 3x^2计算 f'(2) 得到导数的值。
代入 x = 2：f'(2) = 3(2)^2 = 12因此，函数 f(x) = x^3 在点 x = 2 处的导数为 12。
题目二：计算函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 在点 x = -1 处的导数。
解答二：对 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = 4x + 3计算 f'(-1) 得到导数的值。
代入 x = -1：f'(-1) = 4(-1) + 3 = -1因此，函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 5 在点 x = -1 处的导数为 -1。
题目三：计算函数 f(x) = e^x 在点 x = 1 处的导数。
解答三：对 f(x) = e^x 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = e^x计算 f'(1) 得到导数的值。
代入 x = 1：f'(1) = e^1 = e因此，函数 f(x) = e^x 在点 x = 1 处的导数为 e。
题目四：计算函数 f(x) = ln(x) 在点 x = 3 处的导数。
解答四：对 f(x) = ln(x) 进行求导，根据求导规则，可以得到：f'(x) = 1/x计算 f'(3) 得到导数的值。
代入 x = 3：f'(3) = 1/3因此，函数 f(x) = ln(x) 在点 x = 3 处的导数为 1/3。
通过以上导数练习题的解答，读者可以进一步掌握导数的概念与计算方法。
导数与积分经典例题以及答案
∵曲线在P点处得切线方程为，故P点坐标适合此方程,将代入后得
又切线得斜率为
而,
∴
又函数在处取得极值０
∴且
即
由(1)(2）解得
∴
[例10]已知曲线。
（1)求曲线在点P(1,1)处得切线方程；
（２)求曲线过点Q（１，0)得切线方程;
(3）求满足斜率为得曲线得切线方程。
解析:(1)∵ ，又P(1,1)就是曲线上得点
(１)求得方程；
(２)设与x轴交点为,证明：
① ；②若,则。
解析：（1）求得导数:,由此得切线得方程：
（２)依题意,切线方程中令
①
∴当且仅当时等号成立
② 若,则,,且由①，所以
［例１２]设函数,其中,求得单调区间。
解析：由已知得函数得定义域为,且
(1）当时,由知,函数在上单调递减
(２)当时,由，解得
（１)取什么值时,与有且仅有一条公切线?写出此公切线得方程;
（2)若与有两条公切线,证明相应得两条公切线段互相平分。
分析：分别利用曲线方程求切线得方程再比较,从而求得满足条件；对于(2)两条公切线段互相平分,也就就是两公切线段得中点坐标相同。
解析:(1)函数得导数,曲线在点得切线方程就是
即①
函数得导数
A、B、ﻩC、D、
3、在函数得图象上,其切线得倾斜角小于得点中，坐标为整数得点得个数就是( )
A、3B、2ﻩＣ、1ﻩﻩＤ、0
4、 得导数为(）
A、ﻩB、
Ｃ、ﻩD、
５、已知函数在处得导数为3,则得解析式可能为（）
A、ﻩB、
C、ﻩD、
6、 设分别为定义在R上得奇函数与偶函数，当时,,且,则不等式得解集就是（)
2019导数与积分24页word
导数与积分一、选择题1 ．（2019年高考（新课标理））已知函数1()ln(1)f x x x=+-;则()y f x =的图像大致为2 ．（2019年高考（浙江理））设a >0,b >0.（ ）A ．若2223a b a b +=+,则a >bB ．若2223a b a b +=+,则a <bC ．若2223a b a b -=-,则a >bD ．若2223a b a b -=-,则a <b3 ．（2019年高考（重庆理））设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数(1)()y x f x '=-的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 （ ）A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f4 ．（2019年高考（陕西理））设函数()xf x xe =,则（ ）A ．1x =为()f x 的极大值点B ．1x =为()f x 的极小值点C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点5 ．（2019年高考（山东理））设0a >且1a ≠,则“函数()xf x a =在R 上是减函数 ”,是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6 ．（2019年高考（湖北理））已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x 轴所围图形的面积为 （ ）A ．2π5B ．43C ．32D ．π27 ．（2019年高考（福建理））如图所示,在边长为1的正方形OABC 中任取一点P,则点P 恰好取自阴影部分的概率为 A ．14B ．15 C ．16D ．171-y xO第3题图118 ．（2019年高考（大纲理））已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点,则c =（ ）A ．2-或2B ．9-或3C ．1-或1D ．3-或1二、填空题9 ．（2019年高考（上海理））已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ,若中A (0,0),B (21,5),C (1,0).函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为_______ .10．（2019年高考（山东理））设0a >.若曲线y x =与直线,0x a y ==所围成封闭图形的面积为2a ,则a =______.11．（2019年高考（江西理））计算定积分121(sin )x x dx -+=⎰___________.12．（2019年高考（广东理））曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________.三、解答题13．（2019年高考（天津理））已知函数()=ln (+)f x x x a -的最小值为0,其中>0a .(Ⅰ)求a 的值;(Ⅱ)若对任意的[0,+)x ∈∞,有2()f x kx ≤成立,求实数k 的最小值; (Ⅲ)证明=12ln (2+1)<221ni n i --∑*()n N∈.14．（2019年高考（新课标理））已知函数()f x 满足满足121()(1)(0)2x f x f e f x x -'=-+;(1)求()f x 的解析式及单调区间; (2)若21()2f x x ax b ≥++,求(1)a b +的最大值. 15．（2019年高考（浙江理））已知a >0,b ∈R,函数()342f x ax bx a b =--+.(Ⅰ)证明:当0≤x ≤1时,(ⅰ)函数()f x 的最大值为|2a -b |﹢a ; (ⅱ) ()f x +|2a -b |﹢a ≥0;(Ⅱ) 若﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0,1]恒成立,求a +b 的取值范围.16．（2019年高考（重庆理））(本小题满分13分,(Ⅰ)小问6分,(Ⅱ)小问7分.)设13()ln 1,22f x a x x x =+++其中a R ∈,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线垂直于y 轴. (Ⅰ) 求a 的值;(Ⅱ) 求函数()f x 的极值.17．（2019年高考（陕西理））设函数()(,,)nn f x x bx cn N b c R +=++∈∈(1)设2n ≥,1,1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一的零点;(2)设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值范围; (3)在(1)的条件下,设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的零点,判断数列23,,,n x x x L L 的增减性.18．（2019年高考（山东理））已知函数ln ()xx kf x e +=(k 为常数, 2.71828e =⋅⋅⋅是自然对数的底数),曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行. (Ⅰ)求k 的值;(Ⅱ)求()f x 的单调区间;(Ⅲ)设2()()'()g x x x f x =+,其中'()f x 为()f x 的导函数.证明:对任意20,()1x g x e -><+.19．（2019年高考（辽宁理））设()ln(1)1(,,,)f x x x ax b a b R a b =+++++∈为常数,曲线()y f x =与 直线32y x =在(0,0)点相切. (Ⅰ)求,a b 的值.(Ⅱ)证明:当02x <<时,9()6xf x x <+. 20．（2019年高考（江苏））若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值,则称0x 为函数)(x f y =的极值点.已知a b ，是实数,1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点.21世纪教育网(1)求a 和b 的值;(2)设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+,求()g x 的极值点;(3)设()(())h x f f x c =-,其中[22]c ∈-，,求函数()y h x =的零点个数.21．（2019年高考（湖南理））已知函数()f x =axex =-,其中a ≠0.(1) 若对一切x ∈R,()f x ≥1恒成立,求a 的取值集合.(2)在函数()f x 的图像上取定两点11(,())A x f x ,22(,())B x f x 12()x x <,记直线AB 的斜率为K,问:是否存在x 0∈(x 1,x 2),使0()f x k '>成立?若存在,求0x 的取值范围;若不存在,请说明理由.22．（2019年高考（湖北理））(Ⅰ)已知函数()(1)(0)r f x rx x r x =-+->,其中r 为有理数,且01r <<. 求()f x 的 最小值;(Ⅱ)试用(Ⅰ)的结果证明如下命题:设120,0a a ≥≥,12,b b 为正有理数. 若121b b +=,则12121122b b a a a b a b ≤+; (Ⅲ)请将(Ⅱ)中的命题推广到一般形式,并用数学归纳法．．．．．证明你所推广的命题. 注:当α为正有理数时,有求导公式1()x x ααα-'=.23．（2019年高考（广东理））(不等式、导数)设1a <,集合{}0A x R x =∈>,(){}223160B x R x a x a =∈-++>,D A B =I .(Ⅰ)求集合D (用区间表示);(Ⅱ)求函数()()322316f x x a x ax =-++在D 内的极值点.24．（2019年高考（福建理））已知函数2()()xf x e ax ex a R =+-∈.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求函数()f x 的单调区间; (Ⅱ)试确定a 的取值范围,使得曲线()y f x =上存在唯一的点P ,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P .25．（2019年高考（大纲理））(注意:在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 设函数()cos ,[0,]f x ax x x π=+∈. (1)讨论()f x 的单调性;(2)设()1sin f x x ≤+,求a 的取值范围.26．（2019年高考（北京理））已知函数2()1f x ax =+(0a >),3()g x x bx =+.(1)若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点(1,c )处具有公共切线,求,a b 的值;(2)当24a b =时,求函数()()f x g x +的单调区间,并求其在区间(,1]-∞-上的最大值.27．（2019年高考（安徽理））(本小题满分13分)设1()(0)x x f x ae b a ae=++> (I)求()f x 在[0,)+∞上的最小值;(II)设曲线()y f x =在点(2,(2))f 的切线方程为32y x =;求,a b 的值.2019年高考真题理科数学解析汇编：导数参考答案一、选择题1. 【解析】选B 21世纪教育网()ln(1)()1()010,()00()(0)0xg x x x g x xg x x g x x g x g '=+-⇒=-+''⇒>⇔-<<<⇔>⇒<= 得:0x >或10x -<<均有()0f x < 排除,,A C D2. 【答案】A【解析】若2223a b a b +=+,必有2222a b a b +>+.构造函数:()22x f x x =+,则()2ln 220x f x '=⋅+>恒成立,故有函数()22x f x x =+在x >0上单调递增,即a >b 成立.其余选项用同样方法排除. 3. 【答案】D【解析】2,10x x <-->,由(1)()0()0x f x f x ''->⇒>,函数()f x 为增;21,10x x -<<->,由(1)()0()0x f x f x ''-<⇒<,函数()f x 为减; 12,10x x <<-<,由(1)()0()0x f x f x ''->⇒<,函数()f x 为减; 2,10x x >-<,由(1)()0()0x f x f x ''-<⇒>,函数()f x 为增.【考点定位】判断函数的单调性一般利用导函数的符号,当导函数大于0,则函数为增,当导函数小于0则函数递减.4. 解析:()(1)xf x x e '=+,令()0,f x '=得1x =-,1x <-时,()0f x '<,()x f x xe =为减函数;1x >-时,()0f x '>,()xf x xe =为增函数,所以1x =-为()f x 的极小值点,选D.5. 【解析】若函数xa x f =)(在R 上为减函数,则有10<<a .函数3)2()(x a x g -=为增函数,则有02>-a ,所以2<a ,所以“函数xa x f =)(在R 上为减函数”是“函数3)2()(x a x g -=为增函数”的充分不必要条件,选A.6. 考点分析:本题考察利用定积分求面积.解析:根据图像可得: 2()1y f x x ==-+,再由定积分的几何意义,可求得面积为12311114(1)()33S x dx x x --=-+=-+=⎰. 7. 【答案】C【解析】312201211()()13260S x x dx x x S =-=-==⎰Q 正阴影,故16P =,答案C 【考点定位】本题主要考查几何概型的概率和定积分,考查推理能力、计算求解能力.8. 答案A【命题意图】本试题主要考查了导数在研究三次函数中的极值的运用.要是函数图像与x 轴有两个不同的交点,则需要满足极佳中一个为零即可. 【解析】因为三次函数的图像与x 轴恰有两个公共点,结合该函数的图像,可得极大值或者极小值为零即可满足要求.而2()333()(1)f x x x x '=-=-+,当1x =±时取得极值由(1)0f =或(1)0f -=可得20c -=或20c +=,即2c =±.二、填空题 9. [解析]如图1,⎩⎨⎧≤<-≤≤=1,10100,10)(2121x x x x x f , 所以⎩⎨⎧≤<+-≤≤==1,10100,10)(212212x x x x x x xf y , 易知,y =xf (x )的分段解析式中的两部分抛物线形状完全相同,只是开口方向及顶点位置不同,如图2,封闭图形MNO 与OMP 全等,面积相等,故所求面积即为矩形ODMP 的面积S=452521=⨯.[评注]对于曲边图形,上海现行教材中不出微积分,能用微积分求此面积的考生恐是极少的,而对于极大部分考生,等积变换是唯一的出路.10. 【解析】由已知得223023032|32a a x x S aa====⎰,所以3221=a ,所以94=a .11.23【解析】本题考查有关多项式函数,三角函数定积分的应用. 31211111112(sin )cos |cos1cos1333333x x x dx x --⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=-=---=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰. 【点评】这里,许多学生容易把原函数写成3cos 3x x +,主要是把三角函数的导数公式记混而引起的.体现考纲中要求了解定积分的概念.来年需要注意定积分的几何意义求曲面面积等.12.解析:210x y -+=.21|3112x y ='=⨯-=,所以切线方程为()321y x -=-,即210x y -+=.三、解答题13. 【命题意图】本试题主要考查导数的运算、利用导数研究函数的单调性、不等式等基础知识,考查函数思想、分类讨论思想、考查综合分析和解决问题的能力.xy A BC 1 5 图1Nxy O D M1 5 P图2(1)()f x 的定义域为(,)a -+∞得：1x a =-时，min ()(1)101f x f a a a =-⇔-=⇔= （2）设22()()ln(1)(0)g x kx f x kx x x x =-=-++≥ 则()0g x ≥在[0,+)x ∈∞上恒成立min ()0(0)g x g ⇔≥=（*） ①当1210()2k k -<<时，0012()00()(0)02kg x x x g x g k-'≤⇔≤≤=⇒<=与（*）矛盾②当12k ≥时，min ()0()(0)0g x g x g '≥⇒==符合（*） 得：实数k 的最小值为12(lfxlby)（3）由（2）得：21ln(1)2x x x -+<对任意的0x >值恒成立取2(1,2,3,,)21x i n i ==-L ：222[ln(21)ln(21)]21(21)i i i i -+--<-- 当1n =时，2ln32-< 得：=12ln (2+1)<221ni n i --∑（lb ylfx ）当2i ≥时，2211(21)2321i i i <----得：121[ln(21)ln(21)]2ln 3122121ni i i i n =-++-<-+-<--∑【点评】试题分为三问,题面比较简单,给出的函数比较常规,因此入手对于同学们来说没有难度,第二问中,解含参数的不等式时,要注意题中参数的讨论所有的限制条件,从而做到不重不漏;第三问中,证明不等式,应借助于导数证不等式的方法进行.14. 【解析】(1)1211()(1)(0)()(1)(0)2x x f x f e f x x f x f e f x --'''=-+⇒=-+令1x =得:(0)1f =1211()(1)(0)(1)1(1)2x f x f e x x f f e f e --'''=-+⇒==⇔= [来源:21世纪教育网]得:21()()()12xx f x e x x g x f x e x '=-+⇒==-+ ()10()x g x e y g x '=+>⇒=在x R ∈上单调递增()0(0)0,()0(0)0f x f x f x f x ''''>=⇔><=⇔<得:()f x 的解析式为21()2xf x e x x =-+且单调递增区间为(0,)+∞,单调递减区间为(,0)-∞ (2)21()()(1)02x f x x ax b h x e a x b ≥++⇔=-+-≥得()(1)x h x e a '=-+ ①当10a +≤时,()0()h x y h x '>⇒=在x R ∈上单调递增x →-∞时,()h x →-∞与()0h x ≥矛盾②当10a +>时,()0ln(1),()0ln(1)h x x a h x x a ''>⇔>+<⇔<+ [来源:21世纪教育网]得:当ln(1)x a =+时,min ()(1)(1)ln(1)0h x a a a b =+-++-≥22(1)(1)(1)ln(1)(10)a b a a a a +≤+-+++>令22()ln (0)F x x x x x =->;则()(12ln )F x x x '=-()00,()0F x x e F x x e ''>⇔<<<⇔>当x e =时,max ()2e F x =当1,a e b e =-=时,(1)a b +的最大值为2e 15. 【解析】本题主要考察不等式,导数,单调性,线性规划等知识点及综合运用能力.(ⅰ)()2122f x ax b '=-.当b ≤0时,()2122f x ax b '=->0在0≤x ≤1上恒成立,此时()f x 的最大值为:()1423f a b a b a b =--+=-=|2a -b |﹢a ; 当b >0时,()2122f x ax b '=-在0≤x ≤1上的正负性不能判断, 此时()f x 的最大值为:()max 2max{(0)1}max{()3}32b a b af x f f b a a b a b b a ->⎧==--=⎨-<⎩，，（），()，=|2a -b |﹢a ;综上所述:函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a ; (ⅱ) 要证()f x +|2a -b |﹢a ≥0,即证()g x =﹣()f x ≤|2a -b |﹢a . 亦即证()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a -b |﹢a ,∵()342g x ax bx a b =-++-,∴令()212206bg x ax b x a'=-+=⇒=. 当b ≤0时,()2122g x ax b '=-+<0在0≤x ≤1上恒成立, 此时()g x 的最大值为:()03g a b a b =-<-=|2a -b |﹢a ; 当b <0时,()2122g x ax b '=-+在0≤x ≤1上的正负性不能判断, ()max max{()1}6bg x g g a=，（） 4max{2}36463662bb a b b a a bb a ba b ab a b a =+--⎧≤+-⎪=⎨>⎪-⎩，，，≤|2a -b |﹢a ;综上所述:函数()g x 在0≤x ≤1上的最大值小于(或等于)|2a -b |﹢a . 即()f x +|2a -b |﹢a ≥0在0≤x ≤1上恒成立.(Ⅱ)由(Ⅰ)知:函数()f x 在0≤x ≤1上的最大值为|2a -b |﹢a , 且函数()f x 在0≤x ≤1上的最小值比﹣(|2a -b |﹢a )要大. ∵﹣1≤()f x ≤1对x ∈[0,1]恒成立, ∴|2a -b |﹢a ≤1.取b 为纵轴,a 为横轴. 则可行域为:21b a b a ≥⎧⎨-≤⎩和231b aa b <⎧⎨-≤⎩,目标函数为z =a +b .作图如下:由图易得:当目标函数为z =a +b 过P (1,2)时,有max 3z =,min 1z =-.∴所求a +b 的取值范围为:[]13-，. 【答案】(Ⅰ) 见解析;(Ⅱ) []13-，. 16. 【考点定位】本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义,两条直线平行的判定等基础知识,考查运算求解能力. 解:(1)因()13ln 122f x a x x x =+++,故()21322a f x x x '=-+由于曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于y 轴,故该切线斜率为0,即()10f '=,从而13022a -+=,解得1a =- (2)由(1)知()()13ln 1022f x x x x x =-+++>,()222113321222x x f x x x x--'=--+= ()2(31)(1)2x x f x x +-'∴=令()0f x '=,解得1211,3x x ==-(因213x =-不在定义域内,舍去), 当()0,1x ∈时,()0f x '<,故()f x 在()0,1上为减函数; 当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在()1,+∞上为增函数; 故()f x 在1x =处取得极小值()13f =.17.解析:(1)1,1b c ==-,2n ≥时,()1nn f x x x =+-∵111()(1)()10222n n n f f =-⨯<,∴()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在零点.又当1,12x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,1()10n n f x nx -'=+> ∴ ()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增的,所以()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内存在唯一零点. (2)当2n =时,22()f x x bx c =++对任意12,[1,1]x x ∈-都有2122|()()|4f x f x -≤等价于2()f x 在[1,1]-上最大值与最小值之差4M ≤,据此分类讨论如下:(ⅰ)当||12b>,即||2b >时, 22|(1)(1)|2||4M f f b =--=>,与题设矛盾(ⅱ)当102b-≤-<,即02b <≤时, 222(1)()(1)422b bM f f =---=+≤恒成立(ⅲ)当012b≤≤,即20b -≤≤时,222(1)()(1)422b bM f f =---=-≤恒成立.综上可知,22b -≤≤注:(ⅱ)(ⅲ)也可合并证明如下: 用max{,}a b 表示,a b 中的较大者.当112b-≤≤,即22b -≤≤时, 222max{(1),(1)}()2bM f f f =---22222(1)(1)|(1)(1)|()222f f f f b f -+--=+--21||()4b c b c =++--+2||(1)42b =+≤恒成立 (3)证法一 设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的唯一零点(2)n ≥ ()1n n n n n f x x x =+-,11111()10n n n n n f x x x +++++=+-=,11,12n x +⎛⎫∈ ⎪⎝⎭于是有11111111()0()11()n nn n n n n n n n n n f x f x x x x x f x ++++++++===+-<+-=又由(1)知()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭上是递增的,故1(2)n n x x n +<≥, 所以,数列23,,,n x x x L L 是递增数列. 证法二 设n x 是()n f x 在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内的唯一零点 1111()(1)(1)(111)n n n n n n n f x f x x ++++=+-+- 21世纪教育网 1110n n n n n n x x x x +=+-<+-=则1()n f x +的零点1n x +在(,1)n x 内,故1(2)n n x x n +<≥, 所以,数列23,,,n x x x L L 是递增数列.18.解析:由f(x) = x e k x +ln 可得=')(x f xe xk x ln 1--,而0)1(='f ,即01=-e k ,解得1=k ;(Ⅱ)=')(x f xex x ln 11--,令0)(='x f 可得1=x ,当10<<x 时,0ln 11)(>--='x x x f ;当1>x 时,0ln 11)(<--='x xx f . 于是)(x f 在区间)1,0(内为增函数;在),1(+∞内为减函数.(Ⅲ)xx e x x x x e xx x x x g ln )(1ln 11)()(222+--=--+=, (1)当1≥x 时, 0,0,0ln ,0122>>+≥≤-xe x x x x ,210)(-+<≤ex g .(2)当10<<x 时,要证221ln 11)()(-+<--+=e exx x x x g x. 只需证)ln 1(1112x x e ex x +-+<+-即可设函数)1,0(),ln 1(1)(,1)(∈+-=+=x x x x q ex x p e . 则)1,0(,ln 2)(,0)(∈--='<-='x x x q exx p x , 则当10<<x 时1)0(1)(=<+=p ex x p e ,令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-ex ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=ee q x x x q ,且0)(>x q ,则≥+-+-)ln 1(112x x e 11122=++--e e ,于是可知当10<<x 时)ln 1(1112x x e ex x +-+<+-成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,21)(-+<e x g 恒成立.另证1:设函数)1,0(,1)(∈+=x e x x p e ,则0)(<-='x e xx p , 则当10<<x 时1)0(1)(=<+=p ex x p x ,于是当10<<x 时,要证221)ln 11(ln 11)()(-+<--<--+=e x x x exx x x x g x, 只需证21)ln 11(-+<--e x xx 即可,设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-ex ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=ee q x x x q ,于是可知当10<<x 时221ln 11)(-+<--+e exx x x x成立 综合(1)(2)可知对任意x>0,21)(-+<e x g 恒成立.另证2:根据重要不等式当10<<x 时x x <+)1ln(,即xe x <+1,于是不等式221)ln 11(ln 11)()(-+<--<--+=e x x x exx x x x g x, 设)1,0(),ln 1(1)(∈+-=x x x x q ,)ln 1(1)(x x x q +-=', 令0ln 2)(=--='x x q 解得)1,0(2∈=-ex ,当),0(2-∈e x 时0)(>'x q ;当)1,(2-∈e x 时0)(<'x q , 则当10<<x 时221)()ln 1(1)(--+=≤+-=ee q x x x q ,于是可知当10<<x 时221ln 11)(-+<--+e exx x x x成立. 19. 【答案及解析】【点评】本题综合考查导数的概念、几何意义、导数在判断函数单调性与最值中的运用.本题容易忽略函数)(x f 的定义域,根据条件曲线()y f x =与直线32y x =在(0,0)点相切,求出,a b 的值,然后,利用函数的单调性或者均值不等式证明9()6xf x x <+即可.从近几年的高考命题趋势看,此类型题目几乎年年都有涉及,因此,在平时要加强训练.本题属于中档题.20. 【答案】解:(1)由32()f x x ax bx =++,得2()32f'x x ax b =++.∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点,∴ (1)32=0f'a b =++,(1)32=0f'a b -=-+,解得==3a b -0，. (2)∵ 由(1)得,3()3f x x x =- ,∴()()23()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+,解得123==1=2x x x -，. ∵当2x <-时,()0g x <';当21<x <-时,()0g x >',∴=2x -是()g x 的极值点.∵当21<x <-或1x >时,()0g x >',∴ =1x 不是()g x 的极值点. ∴()g x 的极值点是-2.(3)令()=f x t ,则()()h x f t c =-.先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况:[]2, 2d ∈-当=2d 时,由(2 )可知,()=2f x -的两个不同的根为I 和一 2 ,注意到()f x 是奇函数,∴()=2f x 的两个不同的根为一和2.当2d <时,∵(1)=(2)=20f d f d d >----,(1)=(2)=20f d f d d <----- , ∴一2 , -1,1 ,2 都不是()=f x d 的根. 由(1)知()()()=311f'x x x +-.① 当()2x ∈+∞，时,()0f'x > ,于是()f x 是单调增函数,从而()(2)=2f x >f . 此时()=f x d 在()2+∞，无实根. ② 当()12x ∈，时.()0f'x >,于是()f x 是单调增函数. 又∵(1)0f d <-,(2)0f d >-,=()y f x d -的图象不间断,∴()=f x d 在(1 , 2 )内有唯一实根.同理,()=f x d 在(一2 ,一I )内有唯一实根.③ 当()11x ∈-，时,()0f'x <,于是()f x 是单调减两数. 又∵(1)0f d >--, (1)0f d <-,=()y f x d -的图象不间断,∴()=f x d 在(一1,1 )内有唯一实根.因此,当=2d 时,()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，;当2d < 时 ()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，,满足2 =3, 4, 5i x <i ，. 现考虑函数()y h x =的零点:( i )当=2c 时,()=f t c 有两个根12t t ，,满足12==2t t 1，. 而1()=f x t 有三个不同的根,2()=f x t 有两个不同的根,故()y h x =有5 个零点.( 11 )当2c <时,()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，,满足2 =3, 4, 5i t <i ，. 而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根,故()y h x =有9 个零点.综上所述,当=2c 时,函数()y h x =有 5 个零点;当2c <时,函数()y h x =有9 个零点.【考点】函数的概念和性质,导数的应用.【解析】(1)求出)(x f y =的导数,根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可.(2)由(1)得,3()3f x x x =-,求出()g x ',令()=0g x ',求解讨论即可.(3)比较复杂,先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况;再考虑函数()y h x =的零点.21. 【解析】(Ⅰ)若0a <,则对一切0x >,()f x 1axex =-<,这与题设矛盾,又0a ≠,故0a >.而()1,axf x ae '=-令11()0,ln .f x x a a'==得 当11ln x a a <时,()0,()f x f x '<单调递减;当11ln x a a >时,()0,()f x f x '>单调递增,故当11ln x a a =时,()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-于是对一切,()1x R f x ∈≥恒成立,当且仅当111ln 1a a a-≥. ① 令()ln ,g t t t t =-则()ln .g t t '=-当01t <<时,()0,()g t g t '>单调递增;当1t >时,()0,()g t g t '<单调递减. 故当1t =时,()g t 取最大值(1)1g =.因此,当且仅当11a=即1a =时,①式成立. 综上所述,a 的取值集合为{}1.(Ⅱ)由题意知,21212121()() 1.ax ax f x f x e e k x x x x --==---令2121()(),ax ax axe e xf x k ae x x ϕ-'=-=--则121()12121()()1,ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=----⎣⎦- 212()21221()()1.ax a x x e x e a x x x x ϕ-⎡⎤=---⎣⎦- 令()1tF t e t =--,则()1tF t e '=-.当0t <时,()0,()F t F t '<单调递减;当0t >时,()0,()F t F t '>单调递增. 故当0t =,()(0)0,F t F >=即10.te t --> 从而21()21()10a x x e a x x ---->,12()12()10,a x x e a x x ---->又1210,ax e x x >-2210,ax e x x >-所以1()0,x ϕ<2()0.x ϕ>因为函数()y x ϕ=在区间[]12,x x 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在012(,)x x x ∈使0()0,x ϕ=2()0,()ax x a e x ϕϕ'=>单调递增,故这样的c 是唯一的,且21211ln()ax ax e e c a a x x -=-.故当且仅当212211(ln ,)()ax ax e e x x a a x x -∈-时, 0()f x k '>. 综上所述,存在012(,)x x x ∈使0()f x k '>成立.且0x 的取值范围为212211(ln ,)()ax ax e e x a a x x --. 【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数法求出()f x 取最小值11111(ln )ln .f a a a a a=-对一切x∈R,f(x) ≥1恒成立转化为min ()1f x ≥,从而得出a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.22.考点分析:本题主要考察利用导数求函数的最值,并结合推理,考察数学归纳法,对考生的归纳推理能力有较高要求.解析:(Ⅰ)11()(1)r r f x r rx r x --'=-=-,令()0f x '=,解得1x =.当01x <<时,()0f x '<,所以()f x 在(0,1)内是减函数; 当 1x > 时,()0f x '>,所以()f x 在(1,)+∞内是增函数.故函数()f x 在1x =处取得最小值(1)0f =. [来源:21世纪教育网](Ⅱ)由(Ⅰ)知,当(0,)x ∈+∞时,有()(1)0f x f ≥=,即(1)r x rx r ≤+- ① 若1a ,2a 中有一个为0,则12121122b b a a a b a b ≤+成立;若1a ,2a 均不为0,又121b b +=,可得211b b =-,于是 21世纪教育网在①中令12a x a =,1r b =,可得1111122()(1)b a ab b a a ≤⋅+-, 即111121121(1)b b a a a b a b -≤+-,亦即12121122b b a a a b a b ≤+.综上,对120,0a a ≥≥,1b ,2b 为正有理数且121b b +=,总有12121122b b a a a b a b ≤+. ② (Ⅲ)(Ⅱ)中命题的推广形式为: 21世纪教育网 设12,,,n a a a L 为非负实数,12,,,n b b b L 为正有理数.若121n b b b +++=L ,则12121122n b b b n n n a a a a b a b a b ≤+++L L . ③ 用数学归纳法证明如下:(1)当1n =时,11b =,有11a a ≤,③成立.(2)假设当n k =时,③成立,即若12,,,k a a a L 为非负实数,12,,,k b b b L 为正有理数,且121k b b b +++=L ,则12121122k b b b k k k a a a a b a b a b ≤+++L L . 当1n k =+时,已知121,,,,k k a a a a +L 为非负实数,121,,,,k k b b b b +L 为正有理数, 且1211k k b b b b +++++=L ,此时101k b +<<,即110k b +->,于是 因121111111k k k k b b b b b b ++++++=---L ,由归纳假设可得从而112121k k b b b b kk a a a a++≤L 1111122111k k b b k k k k a b a b a b a b ++-++⎛⎫+++ ⎪-⎝⎭L .又因11(1)1k k b b ++-+=,由②得从而112121k k b b b b k k a a a a ++L 112211k k k k a b a b a b a b ++≤++++L . 故当1n k =+时,③成立.由(1)(2)可知,对一切正整数n ,所推广的命题成立.说明:(Ⅲ)中如果推广形式中指出③式对2n ≥成立,则后续证明中不需讨论1n =的情况.23.解析:(Ⅰ)考虑不等式()223160x a x a -++>的解.因为()()()2314263331a a a a ∆=⎡-+⎤-⨯⨯=--⎣⎦,且1a <,所以可分以下三种情况: ①当113a <<时,0∆<,此时B =R ,()0,D A ==+∞. ②当13a =时,0∆=,此时{}1B x x =≠,()()0,11,D =+∞U .③当13a <时,0∆>,此时()223160x a x a -++=有两根,设为1x 、2x ,且12x x <,则()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=,于是{}12B x x x x x =<>或.当103a <<时,()123102x x a +=+>,1230x x a =>,所以210x x >>,此时()()120,,D x x =+∞U ;当0a ≤时,1230x x a =≤,所以10x ≤,20x >,此时()2,D x =+∞.综上所述,当113a <<时,()0,D A ==+∞;当13a =时,()()0,11,D =+∞U ;当103a <<时,()()120,,D x x =+∞U ;当0a ≤时,()2,D x =+∞.其中()()()13133314a a a x +---=,()()()23133314a a a x ++--=.(Ⅱ)()()26616f x x a x a '=-++,令()0f x '=可得()()10x a x --=.因为1a <,所以()0f x '=有两根1m a =和21m =,且12m m <.①当113a <<时,()0,D A ==+∞,此时()0f x '=在D 内有两根1m a =和21m =,列表可得x()0,aa (),1a1 ()1,+∞()f x ' + 0 - 0 + ()f x递增极小值递减极大值递增所以()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a . ②当13a =时,()()0,11,D =+∞U ,此时()0f x '=在D 内只有一根113m a ==,列表可得[21世纪教育网x10,3⎛⎫⎪⎝⎭131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,+∞()f x ' + 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点. ③当103a <<时,()()120,,D x x =+∞U ,此时1201a x x <<<<(可用分析法证明),于是()0f x '=在D 内只有一根1m a =,列表可得x()0,aa ()1,a x()2,x +∞()f x ' + 0 - + ()f x递增极小值递减递增所以()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.④当0a ≤时,()2,D x =+∞,此时21x >,于是()f x '在D 内恒大于0,()f x 在D 内没有极值点.综上所述,当113a <<时,()f x 在D 内有极大值点1,极小值点a ;当103a <≤时,()f x 在D 内只有极小值点a ,没有极大值点.当0a ≤时,()f x 在D 内没有极值点.24. 【考点定位】本题主要考查函数的导数、导数的应用、二次函数的性质、函数的零点等基础知识,考查运算求解能力、抽象与概括的能力、推理与论证的能力,考查数形结合的思想、转化与化归的思想、分类讨论的思想、有限与无限的思想.解:(1)()2xf x e ax e '=+-Q ,(1)200k f a a '===⇒=,故()xf x e e '=-1x ∴>时,()0f x '>,1x <时,()0f x '<,所以函数()f x 的增区间为(1,)+∞,减区间为(,1)-∞(2)设切点00(,)P x y ,则切线000()()()y f x x x f x '=-+令000()()()()()g x f x f x x x f x '=---,因为只有一个切点,所以函数()g x 就只有一个零点,因为0()0g x =000()()()2()x x g x f x f x e e a x x '''=-=-+-,若0,()0a g x '≥>Q0()()0g x g x >=,因此有唯一零点,由P 的任意性知0a ≥不合题意若0a <,令00()2()xxh x e e a x x =-+-,则0()0h x =()2x h x e a '=+,存在一个零点(ln(2),(ln 2))P a f a --,使曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点.故a 的取值范围为0a <.25. 【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用.第一就是函数中有三角函数,要利用三角函数的有界性,求解单调区间.另外就是运用导数证明不等式问题的构造函数思想的运用.解:()sin f x a x '=-.(Ⅰ)因为[0,]x π∈,所以0sin 1x ≤≤.当1a ≥时,()0f x '≥,()f x 在[0,]x π∈上为单调递增函数; 当0a ≤时,()0f x '≤,()f x 在[0,]x π∈上为单调递减函数;当01a <<时,由()0f x '=得sin x a =,由()0f x '>得0arcsin x a ≤<或arcsin a x ππ-<≤; 由()0f x '<得arcsin arcsin a x a π<<-.所以当01a <<时()f x 在[0,arcsin ]a 和[arcsin ,]a ππ-上为为单调递增函数;在[arcsin ,arcsin ]a a π-上为单调递减函数.(Ⅱ)因为()1sin cos 1sin 1sin cos f x x ax x x ax x x ≤+⇔+≤+⇔≤+- 当0x =时,01sin0cos00≤+-=恒成立 当0x π<≤时,min 1sin cos 1sin cos 1sin cos []x x x xax x x a a x x+-+-≤+-⇔≤⇔≤令1sin cos ()(0)x xg x x xπ+-=<≤,则22(cos sin )1sin cos (1)cos (1)sin 1()x x x x x x x x x g x x x+--+++--'== 又令()(1)cos (1)sin 1c x x x x x =++--,则()cos (1)sin sin (1)cos (sin cos )c x x x x x x x x x x '=-+++-=-+则当3(0,)4x π∈时,sin cos 0x x +>,故()0c x '<,()c x 单调递减 当3(,]4x ππ∈时,sin cos 0x x +<,故()0c x '≥,()c x 单调递增 所以()c x 在(0,]x π∈时有最小值3()214c π=--,而0lim ()(10)cos0(01)sin 010x c x +→=++--=,lim ()()(1)10x c x c πππ-→==-+-<综上可知(0,]x π∈时,()0()0c x g x '<⇒<,故()g x 在区间(0,]π单调递 所以min 2[()]()g x g ππ==故所求a 的取值范围为2a π≤.另解:由()1sin f x x ≤+恒成立可得2()111f a a πππ≤⇔-≤⇔≤令2()sin (0)2g x x x x ππ=-≤≤,则2()cos g x x π'=-[来源:21世纪教育网]当2(0,arcsin)x π∈时,()0g x '>,当2(arcsin,)2x ππ∈时,()0g x '< 又(0)()02g g π==,所以()0g x ≥,即2sin (0)2x x x ππ≤≤≤故当2a π≤时,有2()cos f x x x π≤+①当02x π≤≤时,2sin x x π≤,cos 1x ≤,所以()1sin f x x ≤+②当2x ππ≤≤时,22()cos 1()sin()1sin 22f x x x x x x ππππ≤+=+---≤+ 综上可知故所求a 的取值范围为2a π≤.【点评】试题分为两问,题词面比较简单,给出的函数比较新颖,因为里面还有三角函数,这一点对于同学们来说有点难度,不同于平时的练习题,相对来说做得比较少.但是解决的关键还是要看导数的符号,求解单调区间.第二问中,运用构造函数的思想,证明不等式,一直以来是个难点,那么这类问题的关键是找到合适的函数,运用导数证明最值大于或者小于零的问题得到解决.26. 【考点定位】此题应该说是导数题目中较为常规的类型题目,考查的切线、单调性、极值以及最值的问题都是课本中要求的重点内容,也是学生掌握比较好的知识点.解:(1)由()1c ，为公共切点可得:2()1(0)f x ax a =+>,则()2f x ax '=,12k a =, 3()g x x bx =+,则2()=3g x x b '+,23k b =+,∴23a b =+①又(1)1f a =+,(1)1g b =+,∴11a b +=+,即a b =,代入①式可得:33a b =⎧⎨=⎩.(2)Q 24a b =,∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++,令()0h x '=,解得:12a x =-,26a x =-;Q 0a >,∴26a a -<-,∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增,在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减,在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增①若12a--≤,即2a ≤时,最大值为2(1)4a h a =-;②若126a a -<-<-,即26a <<时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时,即6a ≥时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 综上所述:当(]02a ∈，时,最大值为2(1)4a h a =-;当()2,a ∈+∞时,最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 27. 【解析】(I)设(1)xt e t =≥;则2222111a t y at b y a at at at -'=++⇒=-= ①当1a ≥时,0y '>⇒1y at b at=++在1t ≥上是增函数 得:当1(0)t x ==时,()f x 的最小值为1a b a++②当01a <<时,12y at b b at =++≥+ 当且仅当11(,ln )xat t e x a a ====-时,()f x 的最小值为2b +(II)11()()x xx x f x ae b f x ae ae ae'=++⇒=-由题意得:2222212(2)333131(2)222f ae b a ae e f ae b ae ⎧⎧=++==⎧⎪⎪⎪⎪⎪⇔⇔⎨⎨⎨'=⎪⎪⎪-==⎩⎪⎪⎩⎩。
导数与积分经典例题以及答案
精品高三数学导数与积分经典例题以及答案一. 教学内容：导数与积分二. 重点、难点：1. 导数公式：y f (x)c f( x)0y f (x)x n f ( x)n x n 1y f (x)sin x f( x)cos xy f (x)cos x f( x)sin xy f (x) a x f( x)a x ln ay f (x)log a x f( x)1log a e x2.运算公式[ f ( x) g (x)] f (x)g (x)[ f ( x) g( x)] f ( x) g (x) f ( x) g (x)[ f ( x) ] f ( x)g (x) f (x)g ( x)g( x)g2 ( x)3.切线，过 P（x0, y0）为切点的y f (x) 的切线， y y0f( x0 )( x x0 )4.单调区间不等式 f(x)0，解为 y f ( x) 的增区间， f (x)0 解为 y f ( x) 的减区间。
5.极值（ 1）x(a, x0 ) 时， f ( x)0 ， x( x0 ,b) 时， f( x)0∴ f ( x0 ) 为 y f (x) 极大值精品（ 2） x(a, x 0 ) 时 f ( x) 0 ， x ( x 0 ,b) 时， f ( x) 0∴ f ( x 0 ) 为 y f (x) 的极小值。
【典型例题】[ 例 1] 求下列函数的导数。
（ 1） y31 3x 3 7 x2 1；x（ 2） y ln | x |；（ 3） yx；1x x 2（ 4） y3x e x2x e ；ln x（5）yx 21 ；（ 6） yx cos x sin x 。
分析：直接应用导数公式和导数的运算法则解析：（ 1） y( 1)(3x 3 ) (7 x 2 ) (1)3x11 x(x 3 ) 3(x 3 ) 7( x 2 ) 03439x 214 x（ 2）当 x0时， yln x, y1 ；x当 x0 时， y ln( x) ， y1 1()(1)1xx∴ yx（ 3） yx (1 x x 2 ) x(1 xx 2 )(1 x x 2) 21x x2x(012x)1x 2(1 x x 2 ) 2(1 x x2 ) 2（ 4）y(3x e x )(2x )(e)(3x ) e x 3 x (e x )(2x )03x ln 3e x3x e x 2 x ln 2(3e) x ln 3e 2 x ln 2（ 5）y (ln x) ( x21)ln x (x21)( x21)21 ( x21) 2x ln xx 212x2ln xx(x 21) 2x( x 21) 2（ 6）y( x cos x)(sin x)cosx x sin x cosx x sin x[例 2]如果函数 f ( x)2a1)的图象在 x1处的切线 l 过点（0，1 ln( x）并且 l 与圆b bC：x2y 21相离，则点（a, b ）与圆C的位置关系。
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2.3 导数与积分命题角度1导数的运算与几何意义高考真题体验·对方向1.(2018全国Ⅰ·5)设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax,若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x答案 D解析因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即-x3+(a-1)x2-ax=-x3-(a-1)x2-ax,解得a=1,则f(x)=x3+x.由f'(x)=3x2+1,得在(0,0)处的切线斜率k=f'(0)=1.故切线方程为y=x.2.(2016山东·10)若函数y=f(x)的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y=f(x)具有T性质.下列函数中具有T性质的是() A.y=sin x B.y=ln x C.y=e x D.y=x3答案 A解析当y=sin x时,y'=cos x,因为cos0·cosπ=-1,所以在函数y=sin x图象存在两点x=0,x=π使条件成立,故A正确;函数y=ln x,y=e x,y=x3的导数值均非负,不符合题意,故选A.3.(2019全国Ⅰ·13)曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为.答案y=3x解析由题意可知y'=3(2x+1)e x+3(x2+x)e x=3(x2+3x+1)e x,∴k=y'|x=0=3.∴曲线y=3(x2+x)e x在点(0,0)处的切线方程为y=3x.4.(2019天津·11)曲线y=cos x-在点(0,1)处的切线方程为.答案x+2y-2=0解析y'=-sin x-,y'|x=0=k=-.切线方程为y-1=-x,即x+2y-2=0.5.(2016全国Ⅱ·16)若直线y=kx+b是曲线y=ln x+2的切线,也是曲线y=ln(x+1)的切线,则b=.答案1-ln 2解析对函数y=ln x+2求导,得y'=,对函数y=ln(x+1)求导,得y'=.设直线y=kx+b与曲线y=ln x+2相切于点P1(x1,y1),与曲线y=ln(x+1)相切于点P2(x2,y2),则y1=ln x1+2,y2=ln(x2+1).由点P1(x1,y1)在切线上,得y-(ln x1+2)=(x-x1),由点P2(x2,y2)在切线上,得y-ln(x2+1)=(x-x2).因为这两条直线表示同一条直线,所以解得x1=,所以k==2,b=ln x1+2-1=1-ln2.6.(2015陕西·15)设曲线y=e x在点(0,1)处的切线与曲线y=(x>0)上点P处的切线垂直,则P的坐标为.答案(1,1)解析曲线y=e x在点(0,1)处的切线斜率k=y'=e x|x=0=1;由y=,可得y'=-,因为曲线y=(x>0)在点P处的切线与曲线y=e x在点(0,1)处的切线垂直,故-=-1,解得x P=1,由y=,得y P=1,故所求点P的坐标为(1,1).典题演练提能·刷高分1.(2019重庆模拟)若直线y=ax是曲线y=2ln x+1的一条切线,则实数a=()A.-B.2-C. D.2答案 B解析依题意,设直线y=ax与曲线y=2ln x+1的切点的横坐标为x0,则有y',于是有解得x0=,a==2-,选B.2.曲线xy-x+2y-5=0在点A(1,2)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为()A.9B.C.D.答案 B解析由xy-x+2y-5=0,得y=f(x)=,∴f'(x)=-,∴f'(1)=-.∴曲线在点A(1,2)处的切线方程为y-2=-(x-1).令x=0,得y=;令y=0,得x=7.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为S=×7=. 3.过曲线y=e x上一点P(x0,y0)作曲线的切线,若该切线在y轴上的截距小于0,则x0的取值范围是()A.(0,+∞)B.,+∞C.(1,+∞)D.(2,+∞)答案 C解析y=e x,y'=e x,切线斜率为 ,切线方程为y-y0=(x-x0),当x=0时,y=-x0+y0=-x0(1-x0)<0,∴x0>1,则x0的取值范围是(1,+∞),故选C.4.(2019山东潍坊二模)若函数f(x)=x-a ln x在点(1,1)处的切线方程为y=2x-1,则实数a=.答案-1解析f'(x)=1-,f'(1)=1-=1-a,由题意得1-a=2,解得a=-1.5.已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足关系式f(x)=3xf'(2)+ln x,则f'(1)的值等于.答案解析由f(x)=3xf'(2)+ln x,可得f'(x)=3f'(2)+,∴f'(2)=3f'(2)+,解得f'(2)=-,∴f'(1)=3f'(2)+1=.6.已知函数f(x)=2ln x和直线l:2x-y+6=0,若点P是函数f(x)图象上的一点,则点P到直线l的距离的最小值为.答案解析设直线y=2x+m与函数f(x)的图象相切于点P(x0,y0)(x0>0).f'(x)=,则f'(x0)==2,解得x=1..∴P(1,0).则点P到直线2x-y+6=0的距离d=--即为点P到直线2x-y+6=0的距离的最小值.命题角度2导数与函数的单调性、极值和最值高考真题体验·对方向1.(2017浙江·7)函数y=f(x)的导函数y=f'(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可能是()答案 D解析设导函数y=f'(x)的三个零点分别为x1,x2,x3,且x1<0<x2<x3.所以在区间(-∞,x1)和(x2,x3)上,f'(x)<0,f(x)是减函数,在区间(x1,x2)和(x3,+∞)上,f'(x)>0,f(x)是增函数,所以函数y=f(x)的图象可能为D,故选D.2.(2017全国Ⅱ·11)若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)e x-1的极值点,则f(x)的极小值为()A.-1B.-2e-3C.5e-3D.1答案 A解析由题意可得,f'(x)=(2x+a)e x-1+(x2+ax-1)e x-1=[x2+(a+2)x+a-1]e x-1.因为x=-2是函数f(x)的极值点,所以f'(-2)=0.所以a=-1.所以f(x)=(x2-x-1)e x-1.所以f'(x)=(x2+x-2)e x-1.令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,-2) -2 (-2,1) 1 (1,+∞)f'(x) +0 -0 +f(x) ↗极大值↘极小值↗所以当x=1时,f(x)有极小值,并且极小值为f(1)=(1-1-1)e1-1=-1,故选A.3.(2017山东·15)若函数e x f(x)(e=2.…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质.下列函数中所有具有M性质的函数的序号为.①f(x)=2-x②f(x)=3-x③f(x)=x3④f(x)=x2+2答案①④解析对①,设g(x)=e x·2-x,则g'(x)=e x--=e x·2-x·>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质;对②,设g(x)=e x·3-x,则g'(x)=e x--=e x·3-x<0,∴g(x)在R上单调递减,不具有M性质;对③,设g(x)=e x·x3,则g'(x)=e x·x2(x+3),令g'(x)=0,得x1=-3,x2=0,∴g(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,+∞)上单调递增,不具有M性质;对④,设g(x)=e x(x2+2),则g'(x)=e x(x2+2x+2),∵x2+2x+2=(x+1)2+1>0,∴g'(x)>0,∴g(x)在R上单调递增,具有M性质.故填①④.典题演练提能·刷高分1.已知函数f(x)=2e f'(e)ln x-(e是自然对数的底数),则f(x)的极大值为()A.2e-1B.-C.1D.2ln 2答案 D解析∵f'(x)=,∴f'(e)=,∴f'(e)=,∴f'(x)=.令f'(x)=0,则x=2e.∴x∈(0,2e)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;x∈(2e,+∞)时,f'(x)<0,f(x)单调递减.∴f(x)的极大值为f(2e)=2ln2e-2=2ln2,选D.2.若x=1是函数f(x)=ax2+ln x的一个极值点,则当x∈,e时,f(x)的最小值为()A.1-B.-e+C.--1D.e2-1答案 A解析由题意得f'(x)=2ax+,∵f'(1)=0,∴2a+1=0.∴a=-.当x∈,1时,f'(x≥当x∈[1,e]时,f'(x≤∴f(x)min=min=1-,选A.3.已知函数f(x)满足f(x)>f'(x),在下列不等关系中,一定成立的是()A.e f(1)>f(2)B.e f(1)<f(2)C.f(1)>e f(2)D.f(1)<e f(2)答案 A解析由题意得f'(x)-f(x)<0,∴-<0,∴-<0,∴-<0,∴'<0,∴y=在R上是减函数.∵1<2,∴,∴e f(1)>f(2),故选A.4.(2019山西吕梁一模)函数f(x)=ln x+x2-ax(x>0)在区间,3上有且仅有一个极值点,则实数a 的取值范围是()A.,3B.C. D.2,答案 B解析∵f(x)=ln x+x2-ax(x>0),∴f'(x)=+x-a(x>0).∵函数f(x)=ln x+x2-ax(x>0)在区间,3上有且仅有一个极值点,∴y=f'(x)在区间,3上只有一个变号零点.令f'(x)=+x-a=0,得a=+x.令g(x)=+x,x∈,3,则g(x)在区间,1上单调递减,在区间(1,3)上单调递增,∴g(x)min=g(1)=2,又g=,g(3)=.结合函数g(x)=+x,x∈,3的图象可得,当≤a<时,y=f'(x)在区间,3上只有一个变号零点.∴实数a的取值范围为.故选B.5.已知函数y=f(x)对任意的x∈(0,π)满足f'(x)sin x>f(x)cos x(其中f'(x)为函数f(x)的导函数),则下列不等式成立的是()A.f<fB.f>fC.f>fD.f<f答案 B解析令F(x)=,x∈(0,π),则F'(x)=-,∵f'(x)sin x>f(x)cos x,∴f'(x)sin x-f(x)cos x>0,∴F'(x)>0,∴y=F'(x)在(0,π)内为单调递增函数.∴F>F,即,即f>f,故选B.6.已知函数f(x)=x3-ax+2的极大值为4,若函数g(x)=f(x)+mx在(-3,a-1)上的极小值不大于m-1,则实数m的取值范围是()A.-9,-B.-9,-C.-,+∞D.(-∞,-9)答案 B解析∵f'(x)=3x2-a,当a≤ 时,f'(x≥f(x)无极值;当a>0时,易得f(x)在x=-处取得极大值,则有f-=4,即a=3,于是g(x)=x3+(m-3)x+2,g'(x)=3x2+(m-3).当m-≥ 时,g'(x≥g(x)在(-3,2)上不存在极小值.当m-3<0时,易知g(x)在x=-处取得极小值,--依题意有--解得-9<m≤-.故选B.7.已知函数f(x)与其导函数f'(x)的图象如图所示,则满足f'(x)<f(x)的x的取值范围为()A.(0,4)B.(-∞,0),(1,4)C.0,D.(0,1),(4,+∞)答案 D解析根据导函数与原函数的关系可知,当f'(x)>0时,函数f(x)单调递增,当f'(x)<0时,函数f(x)单调递减.由图象可知,当0<x<1时,函数y=f'(x)的图象在y=f(x)图象的下方,满足f'(x)<f(x);当x>4时,函数y=f'(x)的图象在y=f(x)图象的下方,满足f'(x)<f(x).所以满足f'(x)<f(x)的解集为{x|0<x<1或x>4},故选D.8.已知函数f(x)=+k(ln x-x),若x=1是函数f(x)的唯一极值点,则实数k的取值范围是()A.(-∞,e]B.(-∞,e)C.(-e,+∞)D.[-e,+∞)答案 B解析由函数f(x)=+k(ln x-x),可得f'(x)=-+-1=--k,已知f(x)有唯一极值点x=1,∴f'(x)=0有唯一解x=1.∴-k=0无解,即y=k与g(x)=无交点.g'(x)=-,由g'(x)>0得g(x)在[1,+∞)上递增,由g'(x)<0得g(x)在(0,1)上递减,∴g(x)min=g(1)=e.∴k<e,即实数k的取值范围是(-∞,e),故选B.命题角度3定积分的计算与应用高考真题体验·对方向(2015天津·11)曲线y=x2与直线y=x所围成的封闭图形的面积为.答案解析在同一平面直角坐标系中作出函数y=x2与y=x的图象如图,所围成的封闭图形如图中阴影所示,设其面积为S.由得或故所求面积S=(x-x2)d x=-.典题演练提能·刷高分1.f(x)=且f(f(e))=10,则m的值为()A.1B.2C.-1D.-2答案 B解析因为3t2d t=t3=m3,所以有f(x)=f(e)=lne=1,∴f(f(e))=f(1)=2+m3=10,解得m=2,故选B.2.若(sin x+cos x)d x=,则a的值不可能为()A. B. C. D.答案 B解析由题意得(sin x-cos x)=(sin a-cos a)-sin-cos=sin a-cos a=sin a-=,所以sin a-=,验证各选项,把a=代入,sin,显然不成立,故选B.3.如图,在由x=0,y=0,x=及y=cos x围成的区域内任取一点,则该点落在x=0,y=sin x及y=cos x 围成的区域内(阴影部分)的概率为()A.1-B.-C.3-2D.-1答案 D解析由x=0,y=0,x=及y=cos x围成的区域面积S=cos x d x=sin x=sin=1.由x=0,y=sin x 及y=cos x围成的区域面积S'=(cos x-sin x)d x=(sin x+cos x)-1=-1.根据几何概型的概率公式可得所求的概率P=--1,故选D.4.曲线y=x3与直线y=x在第一象限内所围成的封闭图形的面积为.答案解析把曲线y=x3与直线y=x的方程联立解得x=0或x=1.由题意得曲线y=x3与直线y=x所围成的封闭图形的面积为S=(x-x3)d x=x2-x4×12-×14=.5.直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为.答案 1解析由题意知直线y=4x与曲线y=4x3在第一象限内所围成的封闭图形如图所示,又由解得x=0或x=1,所以封闭图形的面积为S=(4x-4x3)d x=(2x2-x4)=1.6.已知曲线y=x3与直线y=kx(k>0)在第一象限内围成的封闭图形的面积为4,则k=. 答案 4解析联立方程可得解得x=0或x=,先根据题意画出图形,如图阴影部分所示.直线y=kx与曲线y=x3所围图形的面积S=(kx-x3)d x=kx2-x4k2-k2=k2=4,解得k=4.7.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,则f(x-2)+d x=.答案ln 3解析由定积分的运算性质可得f(x-2)+d x=f(x-2)d x+d x.∵函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,f(x)d x=0.∴f(x-2)d x=-∵d x=ln x=ln3,∴f(x-2)+d x=f(x-2)d x+d x=ln3.8.如图,已知点A(0,1),点P(x0,y0)(x0>0)在曲线y=x2上移动,过P点作PB垂直x轴于点B,若图中阴影部分的面积是四边形AOBP面积的,则P点的坐标为.答案(1,1)解析设P(a,a2),则四边形AOBP的面积为(1+a2)a,阴影部分的面积为x2d x=x3a3, ∴a3=(1+a2)a,∴a=1.所以点P的坐标为(1,1).。