2017-2018版高中数学 第二章 概率 2 超几何分布学案 北师大版选修2-3

2 超几何分布
学习目标 1.理解超几何分布的概念.2.掌握超几何分布的公式．
知识点超几何分布
已知在10名学生中，有4名男生，现任选3人，用X表示选到的男生的人数．
思考1 X可能取哪些值？
思考2 “X＝2”表示的试验结果是什么？P(X＝2)的值呢？
思考3 如何求P(X＝k)(k＝0,1,2,3)?
梳理超几何分步
一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n≤N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么
P(X＝k)＝__________________(其中k为非负整数)．
如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X服从参数为____________的超几何分布．特别提醒：(1)超几何分布，实质上就是有总数为N的两类物品，其中一类有M(M≤N)件，从所有物品中任取n件，则这n件中所含这类物品的件数X是一个离散型随机变量，它取值
为k时的概率为P(X＝k)＝C k M C n－k
N－M
C n N
(k≤l，l是n和M中较小的一个)．
(2)在超几何分布中，只要知道N，M和n，就可以根据超几何分布的公式求出X取不同值时的概率P，从而写出X的分布列．
类型一超几何分布概念的理解
例1 从一批含有13件正品、2件次品的产品中，不放回地任取3件，求取得次品数ξ的分布列，并求至少取得一件次品的概率．
反思与感悟解决此类问题的关键是判断所给问题是否属于超几何分布问题，而求其分布列的关键是求得P(ξ＝k)的组合关系式．
跟踪训练1 高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．
类型二求超几何分布的分布列
例2 某大学志愿者协会有6名男同学、4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列．
反思与感悟解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式求解．当然，此类题目也可通过古典概型解决．
跟踪训练2 端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
(1)求三种粽子各取到1个的概率；
(2)设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列．
类型三超几何分布的应用
例3 50张彩票中只有2张有奖，今从中任取n张，为了使这n张彩票中至少有一张中奖的概率大于0.5，则n至少为多少？
反思与感悟 利用超几何分布的知识可以解决与概率有关的问题，其关键是将实际问题转化为超几何分布的模型．在利用超几何分布的模型时，将实际问题与超几何分布的模型进行比较，认清实质，把问题涉及的对象转化为“产品”“次品”进行分析．
跟踪训练3 生产方提供一批50箱的产品，其中有2箱不合格．采购方接收该批产品的条件是：从该批产品中任取5箱产品进行检测，若至多有1箱不合格产品，便接收该批产品，则该批产品被接收的概率是多少？
1．下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是( ) A ．将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数为X
B ．从7名男生、3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X
C ．某射手的命中概率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X
D ．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，X 是首次摸出黑球时的已摸次数
2．在15个村庄中，有7个村庄交通不方便，若用随机变量X 表示任选10个村庄中交通不方便的村庄的个数，则X 服从超几何分布，其参数为( ) A ．N ＝15，M ＝7，n ＝10 B ．N ＝15，M ＝10，n ＝7 C ．N ＝22，M ＝10，n ＝7 D ．N ＝22，M ＝7，n ＝10
3．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( ) A.2845 B.1645 C.1145 D.1745
4．设袋中有80个红球、20个白球，若从袋中任取10个球，则其中恰有6个红球的概率为( )
A.C 480C 6
10
C 10100 B.C 680C 4
10C 10100 C.C 4
80C 6
20
C 10100
D.C 6
80C 4
20C 10100
5．从5名男生和3名女生中任选3人参加奥运会火炬接力活动．若随机变量X 表示所选3人中女生的人数，求X 的分布列及P (X <2)．
1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品由较明显的两部分组成．
2．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出随机变量X 取k 时的概率P (X ＝k )，从而列出随机变量X 的分布列．
答案精析
问题导学 知识点
思考1 0,1,2,3.
思考2 任选3人中恰有2人为男生， P (X ＝2)＝C 24C 1
6
C 310
.
思考3 P (X ＝k )＝C k 4C 3－k
6
C 310.
梳理 C k M C n －k
N －M
C n N N ，M ，n
题型探究
例1 解 依题意得，ξ服从超几何分布，其中N ＝15，M ＝2，n ＝3. ξ的可能取值为0,1,2，相应的概率依次为 P (ξ＝0)＝C 02C 313C 315＝22
35，
P (ξ＝1)＝C 12C 213C 315＝12
35，
P (ξ＝2)＝C 22C 113C 315＝1
35.
所以ξ的分布列为
故至少取得一件次品的概率为P (ξ＝1)＋P (ξ＝2)＝1235＋135＝13
35
.
跟踪训练1 解 若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X 表示取到的红球数，则X 服从超几何分步． 由公式得P (X ＝4)＝C 410C 5－4
20C 530＝100
3 393≈0.029 5，
所以获一等奖的概率约为2.95%.
例 2 解 (1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 3
7C 3
10＝49
60
，
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为49
60.
(2)随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3. P (X ＝k )＝C k 4·C 3－k
6
C 3
10
(k ＝0,1,2,3)， P (X ＝0)＝C 04C 3
6C 310＝16，P (X ＝1)＝C 14C 2
6C 310＝1
2，
P (X ＝2)＝C 24C 1
6C 310＝310，P (X ＝3)＝C 34C 0
6C 310＝1
30，
其分布列为
跟踪训练2 解 (1)设A 表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P (A )＝C 12C 13C 1
5C 310＝1
4
.
(2)X 的所有可能值为0,1,2，且 P (X ＝0)＝C 3
8C 310＝7
15，
P (X ＝1)＝C 12C 28C 310＝7
15，
P (X ＝2)＝C 22C 18C 310＝1
15.
综上可知，X 的分布列为
例3 解 设随机变量X 表示“抽出中奖彩票的张数”，则X 服从参数为N ＝50，M ＝2，n 的超几何分布，可得至少有一张中奖的概率为P (X ≥1)＝C 12C n －1
48C n 50＋C 22C n －2
48
C n 50
>0.5，又n ∈N ＋，且
n ≤50，解得n ≥15.
所以n 至少为15.
跟踪训练3 解 从50箱产品中随机抽取5箱，用X 表示“5箱中不合格产品的箱数”，则
X 服从参数为N ＝50，M ＝2，n ＝5的超几何分布．这批产品被接收的条件是5箱全合格或只
有1箱不合格，所以被接收的概率为
P (X ≤1)＝C 02C 548C 550＋C 12C 4
48C 550＝243
245.
所以该批产品被接收的概率为243
245.
当堂训练
1．B 2.A 3.B 4.D
5．解 由题意分析可知，随机变量X 服从超几何分布，其中N ＝8，M ＝3，n ＝3. 随机变量X 的可能取值为0,1,2,3.
所以P (X ＝0)＝C 35C 0
3C 38＝528，P (X ＝1)＝C 25C 1
3C 38＝15
28，
P (X ＝2)＝C 15C 2
3C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 05C 3
3C 38＝1
56.
故随机变量X 的分布列为
所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝28＋28＝7
.。