(教师参考)高中数学 2.4 向量的数量积(一)课件1 苏教版必修4
苏教版必修4高中数学2.4《向量的数量积(一)》ppt课件1
A
B
OB
B
b Oa A
知识点1：向量“数量积”的概念 一个物体在力F的作用下产生位移S（如 图）
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角. 从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
典型例题
已知 | a | 6，| b | 4，a与b夹角为60，求： （1）（a 2b）（ a - 3b）（2）| a 2b |
注 （1）两向量的数量积是一个数量， 意 （2） a ·b不能写成a×b ，‘·’不能
省.
探究点4 运算率
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
课堂练习
例：已知a 1, b 2 (1)a // b,求a b; (2) 3 ,求a b
-72
2 37
典型例题
证明 :
2
2
(a b) (a b) a b
(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时, △ ABC各是什么三角 形当？a ·b＜0时， cos <0，为钝角三角形 当a · b=0时，为直角三角形
探究点2
投影的概念
B b
ab | a || b | cos
O
a B1 A
| b | cos 叫做向量b在向量a的方向上的投影，即有向线段OB1的数量
数量积 a ·b 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向上的投影 | b |cos 的乘积.
高中数学必修四[苏教版]2.4《向量的数量积》ppt课件
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例11：已知 a (2, 1)，b (,1)，若向量
a 与 b 的夹角 为锐角，求 的取值范围. 若向量 a 与 b 的夹角 为钝角，求 的范围. 若向量 a 与 b 垂直，求的范围.
例12：设O(0，0)，A(3，0)，B(0，3)，
向量 a 和 b 的夹角.
当 0 时，a 与 b 同向，a b | a || b | ； 当 180 时，a 与 b 反向，a b | a || b | ； 当 90 时，称 a 与 b 垂直，记作 a b ，
此时 a b 0 .
向量的数量积运算律
ab ba
(a) b a (b) (a b) a b
例6：已知 | a | 5 ，| b | 4 ， 且 a 与 b 的夹 角 60 ，若 ka b a 2b，求实数 k 的值.
例7：已知 a、b 都是非零向量，且向量 a 3b 与7a 5b 垂直，a 4b 与 7a 2b垂直，求 a a (x1, y1)，b (x2, y2) 那么
(a b) c a c b c 思考： (a b) c a (b c) 是否正确？ 错误
例1：已知向量 a 与 b 的夹角为 ，| a | 2 ，
| b | 3 ，分别在下列条件下求 a b ：
(1) 60
(2) 135
(3) a b
(4) a b
例2：已知 | a | 6 3 ，| b | 1 ，a b 9 ， 求 a 与 b 的夹角.
3 求：(1) | a b | ；(2) | 3a b | .
例5：已知 | a | 3 ，| b | 3，| c | 2 3 ，
且 a b c 0 ，求 a b b c c a .
高中数学 2.4向量的数量积课件 苏教版必修4
c 而言，(a·b)c＝a(b·c)未必成立．这是因为(a·b)c 表示一个与
栏 目
链
c 共线的向量，而 a(b·c)表示一个与 a 共线的向量，而 c 与 a 不一 接
定共线，所以(a·b)c＝a(b·c)未必成立．
第十四页，共28页。
知识点3 向量(xiàngliàng)的模
设 a＝(x，y)，|a|2＝a·a＝(x，y)·(x，y)＝x2＋y2，故|a|＝
(2)a⊥b⇔a·b＝0；
链 接
(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a|·|b|；
当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a|·|b|；
特别地，a·a＝|a|2 或|a|＝ a·a＝ a2，a·a 也可记作 a2.
(4)|a·b|≤|a|·|b|.
第十一页，共28页。
2．数量积的运算律．
已知 a，b，c 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律：
θ的乘积．这个投影值可正可负也可为零，
栏 目
链
所以我们说向量的数量积的结果是一个实数．
接
第十页，共28页。
知识点2 数量(shùliàng)积的性质及运 算律 1．数量积的重要性质．
设 a 与 b 都是非零向量，e 是单位向量，θ是 a 与 e 的夹角．
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ；
栏
目
答案：120°
栏 目
◎规律总结：本题涉及向量的加法、向量的模、向量垂直的等 链
接
价条件、向量的夹角和向量的数量积等基础知识．法一是通常方法； 法二将数学符号语言转化为图形语言，由平面几何知识快速得到答 案．无图考图，体现了数形结合思想的灵活运用．
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变式
高中数学 第2章 平面向量 2.4 第1课时 向量的数量积课件 苏教必修4苏教高二必修4数学课件
12/12/2021
1 2 3 45
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解析 答案
2.设向量 a，b 满足|a＋b|＝ 10，|a－b|＝ 6，则 a·b＝__1_.
解析(jiě xī) ∵|a＋b|2＝(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝10，
①
|a－b|2＝(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝6，
②
由①－②得4a·b＝4，
∴a·b＝1.
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12345
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解析 答案
3.若a⊥b，c与a及与b的夹角(jiā jiǎo)均为60°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，则(a＋2b－ c)2＝1_1___.
解析(jiě xī) (a＋2b－c)2＝a2＋4b2＋c2＋4a·b－2a·c－4b·c ＝12＋4×22＋32＋4×0－2×1×3×cos 60°－4×2×3×cos 60°＝11.
答案(dáàn) 由两个非零向量的夹角决定. 当0°≤θ＜90°时，非零向量的数量积为正数. 当θ＝90°时，非零向量的数量积为零. 当90°＜θ≤180°时，非零向量的数量积为负数.
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答案
梳理(shūlǐ)
(1)数量积性质
①当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
θ，称为向量a与b的夹角.
(2)范围： 0°≤θ≤180°. (3)当θ＝ 0°时，a与b同向；当θ＝ 18时0°，a与b反向. (4)当θ＝ 90°时，则称向量a与b垂直，记作a⊥b.
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知识点三 平面向量数量积的几何(jǐ hé)意义
思考 1 (sīkǎo)
高一数学苏教版必修4(江苏专用)课件2.4.1 向量的数量积
问题导学
当堂检测
二、平面向量数量积的运算
活动与探究 已知|a|=4,|b|=5,且 a 与 b 夹角为 60° ,求值: (1)a2-b2; (2)(2a+3b)· (3a-2b). 思路分析:充分利用条件及数量积的定义性质即可求解. 解:(1)a2-b2=|a|2-|b|2=42-52=-9; (2)(2a+3b)·(3a-2b)=6a2+5a·b-6b2 =6|a|2+5|a||b|cos 60° -6|b|2 =6×4
目标导航
预习导引
预习交流 1
已知|a|=5,|b|=4,a· b=-10 2,则 a 与 b 的夹角 θ= 提示:由公式得 cos θ= 所以 θ=135° .
������·������ |������||������|
.
=
-10 2 2 =- , 5×4 2
目标导航
预习导引
2.向量数量积的性质及其运算律 (1)向量数量积的性质:①a· a 可简写为 a2,所以 a· a=a2=|a|2 或 |a|= ������·������ ;②a⊥b⇔a· b=0;③a 与 b 的夹角为 θ, 则 cos θ=
解析:向量 a 在向量 b 上的投影为|a|cos θ,应用公式时要分清|a|与 |b|,不能套错公式,由已知|a|=3,|b|=5,cos θ=cos 45° = ,则向量 a 在向量 b 上的投影为|a|cos θ=3× =
2 2 3 2 ,a·b=|a||b|cos 2 2 2
θ=3×5×
2 2
=
15 2 . 2
问题导学(1)若 a· b>0⇔θ 为锐角或零角; (2)若 a· b=0⇔θ= 或 a 与 b 至少有一个为 0; (3)若 a· b<0⇔θ 为钝角或平角. 2.平面向量数量积的求法: (1)若已知向量的模及其夹角,则直接利用公式 a· b=|a||b|cos θ; (2)若已知一向量的模及另一向量在该向量上的投影,可利用数量 积的几何意义求 a· b; (3)一个向量在另一个向量上的投影是一个实数,可能为正数、负数 或 0.
高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积1课件苏教版必修4
⑦对任意向量 a 、 b 、 c 都有( a b )· ( b c )； c =a ·
⑧ a 与 b 是两个单位向量，则 a 2 = b
2
例2
已知向量
a 与向量 b 的夹角为 ，|a|＝2，| b |＝3，
分别在下列条件下求 a b ：
1350 ； （1 ）
a ∥b ； （2 ） （3）a ⊥ b
已知两个向量 a 和 b ，作 OA = a ， OB = b ，
则 AOB （ 0 180 ）叫做
向量 a 与 b 的夹角．
当 0 时， a 与 b 同向；
当 180 时， a 与 b 反向；
当 90 时， a 与 b 的夹角是 90 ，我们说 a 与 b 垂直，记作 a b ．
高中数学 必修4
问题情境
【提出问题】：向量的运算有向量的加法、减法、数乘， 那么向量与向量能否“相乘” 呢？
学生活动
【提出问题】：物理学中，物体所做的功的计算方法：
W | F || S | cos （其中 是 F 与 S 的夹角.)
F
S
建构数学
【提出问题】：求功的运算中可以抽象出什么样的数学运算？ 1.向量夹角
4．数量积的几何意义 （1）投影的概念：
如图， OA = a ，过点 B 作 BB1 垂直于直线 OA ，
垂足为 B1 ，则 OB1 | b | cos ． a │cos ）叫做向量 b 在 a 方向上（ a 在 b 方向上）的投影.
（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？
回顾反思
1.有关概念：向量的夹角、投影、向量的数量积.
(教师用书)高中数学 2.4 向量的数量积配套课件1 苏教版必修4
向量的数量积
【问题导思】 如果一个物体在力 F 的作用下产生位移 s，且 F 与 s 的 夹角为 θ，那么力 F 所做的功 W 等于什么？
本例中条件不变，如何求(2a＋3a)· (3a－2b)?
【解】
2
(2a＋3b)· (3a－2b)＝6a2－4a· b＋9a· b－6b2
1 ＝6×2 ＋5×2×3×(－ )－6×32＝－45. 2
求向量的模
(1)若向量 a，b 满足|a|＝ 2，|b|＝2，且(a－b)⊥a， 则|a＋b|等于________． (2)已知向量 a，b 满足|a|＝2，|b|＝3，|a＋b|＝4，求|a －b|.
●重点难点 重点：平面向量数量积的含义及其几何意义． 难点：运用数量积解决长度、夹角平行、垂直的几何问 题．
●教学建议 1．关于向量夹角的教学 教学时，建议教师从向量的概念出发，结合非零向量的 方向性， 利用数形结合的思想， 充分展示向量间的各种关系， 最后给出向量夹角的概念，并就零向量的特殊情形作出补 充．
向量数量积的运算
已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120° ，求： (1)a· b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)· (a＋3b)．
【思路探究】 利用向量数量积的定义和性质计算．
1 【自主解答】 (1)a· b＝|a||b|cos 120° ＝2×3×(－ )＝－ 2 3. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. (3)(2a－b)· (a＋3b)＝2a2＋5a· b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|cos 120° －3|b|2 ＝8－15－27＝－34.
高中新课程数学(苏教版必修四)《2.4.1.1 向量的数量积》课件
名师点睛 1．平面向量的数量积 (1)两个向量的数量积 a· b 是两个向量之间的一种规定的运算， 其结果不再是向量，而是数量，它的符号与两向量夹角的余弦值 的符号相同． (2)两个向量 a，b 的数量积 a· b 与代数中两个数 a，b 的乘积 ab(或 a· b)不同，但又类似，书写时一定要严格区分．a· b 中的“· ” 不能省略，也不能写成“×”形式．
题型一
向量数量积的运算
【例 1】 (1)已知|a|＝4，|b|＝5，且向量 a 与 b 的夹角为 60° ， 求(2a＋3b)· (3a－2b)； (2)在 Rt△ABC 中，∠C＝90° ，AB＝5，AC＝4， →· →. 求AB BC
[思路探索] 运用向量数量积的定义及运算律展开求解．
解
(1)(2a ＋ 3b)· (3a － 2b) ＝ 6a2 － 4a· b ＋ 9a· b － 6b2 ＝ 6×42 ＋
【核心扫描】 1．平面向量的数量积及其运算律．(重点) 2．向量数量积的应用．(难点)
自学导引 1．向量的夹角
→ ＝ a ， OB → ＝ b ，则∠ AOB ＝ 已知两个非零向量 a ， b ，作 OA θ(0≤θ≤π)叫做 a 与 b 的夹角．当 θ＝0 时，a 与 b同向；当 θ ＝ π π 反向 时，a 与 b ．如果 a 与 b 的夹角是2，则称 a 与 b 垂直，记 作 a⊥b.
→ → 性质：(1)从图可以看出OA与OB的夹角是 θ，但由向量夹角的 → → 定义可知OA与OB的夹角不是 θ，而是 π－θ . (2)向量夹角是针对非零向量定义的． (3)两个非零平面向量夹角范围是 [0，π] ．
2．平面向量数量积 (1)定义：已知两个非零向量 a 与 b，我们把数量|a||b|· cos θ 叫 做 a 与 b 的数量积(或内积)，记作 a· b，即 a· b＝|a||b|· cos θ，其中 θ 是 a 与 b 的夹角． (2)规定：零向量与任一向量的数量积为 0 . 试一试：由向量数量积的定义，判断两向量夹角与数量积的 关系．
(教师用书)高中数学 2.4 向量的数量积配套课件2 苏教版必修4
3 x＝ 2 ， 解得 y＝1 2
3 x＝－ 2 ， 或 y＝－1. 2
3 1 3 1 所以 b＝( ， )或 b＝(－ ，－ )． 2 2 2 2 → → 法二 设向量 b＝(x，y)，依题意，OA· OB＝0， → → |OA|＝|OB|， 则(a－b)· (a＋b)＝0， |a－b|＝|a＋b|，
●教学流程设计
演示结束
1.理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的 坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹 课标解读 角．(重点) 2.会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系． 3.增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意 识．(难点)
平面向量数量积的坐标表示
【问题导思】 i，j 分别是 x 轴、y 轴上的单位向量，a＝x1i＋y1j，b＝ x2i＋y2j，如何求 a· b?
已知向量 a＝(1,2)，b＝(3,4)，求 a· b，(a－b)· (2a＋3b)．
【解】
法一
∵a＝(1,2)，b＝(3,4)，
∴a· b＝(1,2)· (3,4)＝1×3＋2×4＝11， (a－b)· (2a＋3b)＝2a2＋a· b－3b2＝2|a|2＋a· b－3|b|2＝2(12 ＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.
∴a· b＝2×(－1)＋4×2＝6， ∴c＝a－(a· b)· b＝(2,4)－6(－1,2) ＝(2,4)－(－6,12) ＝(2＋6,4－12)＝(8，－8)， ∴|c|＝ 82＋－82＝8 2.
1． 进行数量积运算时， 要正确使用公式 a· b＝x1x2＋y1y2， 并能灵活运用以下几个关系： |a|2＝a· a. (a＋b)(a－b)＝|a|2－|b|2. (a＋b)2＝|a|2＋2a· b＋|b|2. 2．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应 当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量 坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程组来 进行求解．
高中数学第二章平面向量2.4向量的数量积(1)课件苏教版必修4
方法归纳 (1)此类求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联 系要灵活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方． (2)a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2，此性质可用来求向量的模，可 以实现实数运算与向量运算的相互转化． (3)一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋ b)·(a－b)＝a2－b2 等．
第十五页，共31页。
2.若向量(xiàngliàng)a与向量(xiàngliàng)b的夹角为60°，|b|＝4，(a ＋2b)·(a－3b)＝－72.求： (1)|a|；(2)|a＋b|；(3)|a－b|.
解：(1)∵(a＋2b)·(a－3b)＝－72， ∴a2－a·3b＋2b·a－6b2＝－72， ∴a2－|a||b|cos 60°－6b2＝－72， ∴|a|2－|a|×4×12－6×42＝－72， ∴|a|2－2|a|－24＝0，∴(|a|＋4)(|a|－6)＝0， ∴|a|＝6.
方法归纳 (1)求向量a，b夹角的流程图：
(2)由于|a|，|b|及a·b都是实数，因此在涉及有关|a|，|b|及 a·b的相应等式(děngshì)中,可用方程的思想求解(或表示)未 知量.
第二十页，共31页。
3.已知a、b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直(chuízhí)，a－4b 与7a－2b垂直(chuízhí)，求a与b的夹角．
4.四边形 ABCD 中，A→B＝a，B→C＝b，C→D＝c，D→A＝d，且
a·b＝b·c＝c·d＝d·a，试问四边形 ABCD 是什么图形？ 解：四边形 ABCD 是矩形，这是因为： 一方面：∵a＋b＋c＋d＝0， ∴a＋b＝－(c＋d)，∴(a＋b)2＝(c＋d)2， 即|a|2＋2a·b＋|b|2＝|c|2＋2c·d＋|d|2， 由于 a·b＝c·d， ∴|a|2＋|b|2＝|c|2＋|d|2，① 同理有|a|2＋|d|2＝|c|2＋|b|2, ②
高一数学苏教版必修4课件：2.4 向量的数量积(一)
求|a－b|.
解 ∵|a＋b|＝4，∴|a＋b|2＝42，
∴a2＋2a·b＋b2＝16.①
∵|a|＝2，|b|＝3，∴a2＝|a|2＝4，b2＝|b|2＝9，
代入①式得4＋2a·b＋9＝16，得2a·b＝3.
又∵(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝4－3＋9＝10，
∴|a－b|＝ 10.
2.4 向量的数量积(一)
2.4 向量的数量积(一)
19
方法二 ∵(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)，
a＋b＋c2－a2＋b2＋c2
∴a·b＋b·c＋c·a＝
2
0－32＋12＋42
＝
2
＝－13.
2.4 向量的数量积(一)
20
要点三 与向量的模有关的问题 例3 已知|a|＝3，|b|＝4，求|a－b|的取值范围. 解 方法一 ∵||a|－|b||≤|a－b|≤|a|＋|b|， ∴1≤|a－b|≤7，即|a－b|的取值范围是[1,7]. 方法二 ∵|a－b|2＝a2＋b2－2a·b ＝a2＋b2－2|a||b|cos θ＝25－24cos θ， θ为两向量a、b的夹角，∴θ∈[0，π]， ∴|a－b|2∈[1,49]，∴|a－b|∈[1,7].
2.4 向量的数量积(一)
27
代入①②中任一式得a2＝b2. 设 a，b 夹角为 θ，则 cos θ＝|aa|·|bb|＝21|bb|22＝12.
∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.
2.4 向量的数量积(一)
28
当堂检测
当堂训练，体验成功
1234
1.已知|a|＝8，|b|＝4，〈a，b〉＝120°，则向量b在a方向 上的投影为___－_2____. 解析 b在a方向上的投影为|b|cos〈a，b〉＝4×cos 120°＝ －2.
高中数学第二章平面向量2.4.1数量积的定义课件苏教版必修4
第四页，共37页。
教材整理 2 两个向量的夹角 阅读教材 P83 的有关内容，完成下列问题． 1．定义：已知两个非零向量 a，b，如图 2-4-1 所 示．作O→A＝a，O→B＝b，则__∠_A__O_B___称为向量 a 与 b 的夹角． 2．范围：__0_°≤__θ_≤__1_8_0_°__.
第十页，共37页。
[小组合作型]
向量数量积的运算及几何意义 已知|a|＝2，|b|＝3，a 与 b 的夹角为 120°，求： (1)a·b；(2)a2－b2；(3)(2a－b)·(a＋3b)． 【精彩点拨】 借助数量积的定义及运算律求解(1)(2)(3)．
第十一页，共37页。
【自主解答】 (1)a·b＝|a||b|cos 120°＝2×3×－12＝－3. (2)a2－b2＝|a|2－|b|2＝4－9＝－5. (3)(2a－b)(a＋3b)＝2a2＋5a·b－3b2 ＝2|a|2＋5|a||b|cos 120°－3|b|2 ＝8－15－27 ＝－34.
第十七页，共37页。
1．求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系， 要灵活应用 a2＝|a|2，勿忘记开方．
2．一些常见的等式应熟记，如(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，(a＋b)·(a －b)＝a2－b2 等．
第十八页，共37页。
[再练一题] 2．已知向量 a 与 b 夹角为 45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝ 10，则|b|＝________. 【解析】 因为|2a＋b|＝ 10， 所以(2a＋b)2＝10， 所以 4a2＋4a·b＋b2＝10， 又因为向量 a 与 b 的夹角为 45°，且|a|＝1， 所以 4|a|2＋4|a||b|cos 45°＋|b|2＝10，故 4×12＋4×1×|b|× 22＋|b|2＝10， 整理得|b|2＋2 2|b|－6＝0， 解得|b|＝ 2或|b|＝－3 2(舍去)，故|b|＝ 2.
苏教版高中数学必修4§2.4 向量的数量积(一).docx
§2.4 向量的数量积(一)课时目标1．通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.体会平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握向量数量积的运算律．1．向量的夹角已知两个非零向量a ，b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做________________．当θ＝0°时，a 与b ________；当θ＝180°时，a 与b 反向；当θ＝90°时，则称向量a 与b 垂直，记作________．2．平面向量数量积(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，我们把数量____________叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，其中θ是a 与b 的夹角．(2)规定：零向量与任一向量的数量积为________．(3)投影：设两个非零向量a 、b 的夹角为θ，则向量a 在b 方向上的投影是________，向量b 在a 方向上的投影是________．3．数量积的几何意义a ·b 的几何意义是数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影________的乘积．4．向量数量积的运算律(1)a ·b ＝________(交换律)；(2)(λa )·b ＝________＝________(结合律)；(3)(a ＋b )·c ＝________(分配律)．一、填空题1．|a |＝2，|b |＝4，向量a 与向量b 的夹角为120°，则向量a 在向量b 方向上的投影为________．2．已知a ⊥b ，|a |＝2，|b |＝3，且3a ＋2b 与λa －b 垂直，则λ＝________.3．已知向量a ，b 满足a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则|2a －b |＝________.4．在边长为1的等边三角形ABC 中，设BC →＝a ，CA →＝b ，AB →＝c ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a＝________.5．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为________．6．已知向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝|b |＝4，那么b ·(2a ＋b )的值为________．7．给出下列结论：①若a ≠0，a ·b ＝0，则b ＝0；②若a ·b ＝b ·c ，则a ＝c ；③(a ·b )c ＝a (b ·c )；④a ·[b (a ·c )－c (a ·b )]＝0.其中正确结论的序号是________．8．设非零向量a 、b 、c 满足|a |＝|b |＝|c |，a ＋b ＝c ，则〈a ，b 〉＝________.9．若向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为________．10．已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a －b )＝0，则|b |的取值范围是________．二、解答题11．已知|a |＝4，|b |＝3，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°时，分别求a 与b 的数量积．12．已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |.能力提升13．已知|a|＝1，|b|＝1，a，b的夹角为120°，计算向量2a－b在向量a＋b方向上的投影．14．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．1．两向量a 与b 的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a ≠0，b ≠0,0°≤θ<90°时)，也可以为负(当a ≠0，b ≠0,90°<θ≤180°时)，还可以为0(当a ＝0或b ＝0或θ＝90°时)．2．数量积对结合律一般不成立，因为(a ·b )·c ＝|a ||b |·cos 〈a ，b 〉·c 是一个与c 共线的向量，而(a ·c )·b ＝|a |·|c |cos 〈a ，c 〉·b 是一个与b 共线的向量，两者一般不同．3．向量b 在a 上的射影不是向量而是数量，它的符号取决于θ角，注意a 在b 方向上的射影与b 在a 方向上的射影是不同的，应结合图形加以区分．§2.4 向量的数量积(一)知识梳理1．a 与b 的夹角 同向 a ⊥b2．(1)|a ||b |cos θ (2)0 (3)|a |cos θ |b |cos θ3．|b |cos θ4．(1)b ·a (2)λ(a ·b ) a ·(λb ) (3)a ·c ＋b ·c作业设计1．－1解析 a 在b 方向上的投影是|a |cos θ＝2×cos 120°＝－1.2.32解析 ∵(3a ＋2b )·(λa －b )＝3λa 2＋(2λ－3)a ·b －2b 2＝3λa 2－2b 2＝12λ－18＝0.∴λ＝32. 3．2 2解析 |2a －b |2＝(2a －b )2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a －b |＝2 2.4．－32解析 a ·b ＝BC →·CA →＝－CB →·CA →＝－|CB →||CA →|cos 60°＝－12. 同理b ·c ＝－12，c ·a ＝－12， ∴a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝－32. 5．120°解析 由(2a ＋b )·b ＝0，得2a ·b ＋b 2＝0，设a 与b 的夹角为θ，∴2|a ||b |cos θ＋|b |2＝0.∴cos θ＝－|b |22|a ||b |＝－|b |22|b |2＝－12，∴θ＝120°. 6．0解析 b ·(2a ＋b )＝2a ·b ＋|b |2＝2×4×4×cos 120°＋42＝0.7．④解析 因为两个非零向量a 、b 垂直时，a ·b ＝0，故①不正确；当a ＝0，b ⊥c 时，a ·b ＝b ·c ＝0，但不能得出a ＝c ，故②不正确；向量(a ·b )c 与c共线，a (b ·c )与a 共线，故③不正确；④正确，a ·[b (a ·c )－c (a ·b )]＝(a ·b )(a ·c )－(a ·c )(a ·b )＝0.8．120°解析 ∵a ＋b ＝c ，∴|c |2＝|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2.又|a |＝|b |＝|c |，∴2a ·b ＝－b 2，即2|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝－|b |2.∴cos 〈a ，b 〉＝－12，∴〈a ，b 〉＝120°.9．6解析 ∵a ·b ＝|a|·|b |·cos 60°＝2|a |，∴(a ＋2b )·(a －3b )＝|a |2－6|b |2－a ·b＝|a |2－2|a |－96＝－72.∴|a |＝6.10．[0,1]解析 b ·(a －b )＝a ·b －|b |2＝|a||b |cos θ－|b |2＝0，∴|b |＝|a |cos θ＝cos θ (θ为a 与b 的夹角)，θ∈[0，π]，∴0≤|b |≤1.11．解 (1)当a ∥b 时，若a 与b 同向，则a 与b 的夹角θ＝0°，∴a ·b ＝|a||b |cos θ＝4×3×cos 0°＝12.若a 与b 反向，则a 与b 的夹角为θ＝180°，∴a ·b ＝|a||b |cos 180°＝4×3×(－1)＝－12.(2)当a ⊥b 时，向量a 与b 的夹角为90°，∴a ·b ＝|a||b |cos 90°＝4×3×0＝0.(3)当a 与b 的夹角为60°时，∴a ·b ＝|a||b |cos 60°＝4×3×12＝6.12．解 a ·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝(a －b )2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2＝25－2×252＋25＝5.13．解 (2a －b )·(a ＋b )＝2a 2＋2a ·b －a ·b －b 2＝2a 2＋a ·b －b 2＝2×12＋1×1×cos 120°－12＝12.|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝1＋2×1×1×cos 120°＋1＝1.∴|2a －b |cos 〈2a －b ，a ＋b 〉＝|2a －b |·(2a －b )·(a ＋b )|2a －b |·|a ＋b |＝(2a －b )·(a ＋b )|a ＋b |＝12.∴向量2a －b 在向量a ＋b 方向上的投影为12. 14．解 ∵|n |＝|m |＝1且m 与n 夹角是60°，∴m ·n ＝|m||n |cos 60°＝1×1×12＝12. |a |＝|2m ＋n |＝(2m ＋n )2＝4×1＋1＋4m ·n＝ 4×1＋1＋4×12＝7， |b |＝|2n －3m |＝(2n －3m )2 ＝4×1＋9×1－12m ·n＝ 4×1＋9×1－12×12＝7， a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝12－6×1＋2×1＝－72. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a||b |＝－727×7＝－12. 又θ∈[0，π]，∴θ＝2π3，故a 与b 的夹角为2π3.。
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（a k b）（ a - k b） 0
即a2 - k2b2 0
2
a
9，b 2
16
9 - 16 k 2 0
k 3
4
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10
探究点3 数量积的定义
已知两个非零向量a和b ，它们的夹角为 |，a||我b|c们os
把数量
叫做a 与b 的数量积|a（||b或|co内s积），
记作a ·b ，即
注 （1）两向量的数量积是一个数量， 意 （2） a ·b不能写成a×b ，‘·’不能
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典型例题
证明 :
22
(ab)(ab)a b
(a＋b)·(a－b)＝(a＋b)·a－(a＋b)·b ＝a·a＋b·a－a·b－b·b ＝a2－b2.
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想一想
已知△ABC中, AB=a, AC=b, 当 a·b <0, a·b =0时, △ ABC各是什么三角 形当？a ·b＜0时， cos <0，为钝角三角形 当a ·b=0时，为直角三角形
量积得运算律:
在实数中
在向量运算中
交换律:
ab=ba abba
√
()
(ab)ca(bc) ×
结合律： (ab)c=a(bc()a)b(ab)a(b) √
()
(ab)cacbc √
()
× abbc(b0)ac
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分配律： (a+b)c=ab+bc
典型例题
1.若a.b0，则a.b中至少有一个 0 为×
记为a⊥b.
A
B
OB
B
b Oa A
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3
知识点1：向量“数量积”的概念
一个物体在力F的作用下产生位移S（如 图）
F
θ
S
那么力F所做的功W为： W=|F| |S|cosθ 其中θ是F与S的夹角.
从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
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4
典型例题
已知 |a|6， |b|4， a与b夹角6为 0，求： （1）（ a2b） （ a-3b）（ 2） |a2b|
2.对任意a向 有a量 2 |a|2
√
3.若b0， a.bc.b，a则 c
×
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课堂小结
1.向量的数量积运算类似于多项式运算 2.数量积a•b等于a的长度 与b在a的方向上的投影
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第二章 平面 向量
2.4向量的数量积（一）
高中数学必修4·同步课件
引入课题
已知两个非零向量 a和ObA，a， 作OBb
，
则∠AOB=θ （0°≤θ ≤180°）叫做向量 a与 b 的
夹角。
B
θ O
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2
引入课题
当θ＝0°时，a与b同向； O 当θ＝180°时，a与b反向；A 当θ＝90°时，称a与b垂直，
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探究点2
投影的概念
B b
ab|a||b|cos
O
a B1 A
| b | cos 叫做b向 在量 向a的量方向上的向 投线 影 O段 1的 B，数 即量 有
数量积 a ·b 等于a 的模| a |与 b 在 a 的方向上的投影
| b |cos 的乘积.
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探究点2 投影的概念
投影的作图:
解 ： （1） （a 2b）（ a - 3b） （ 2） | a 2 b |
2
2
a - a b -6b
（ a 2 b） 2
|a |2 - |a ||b |cos - 6 |b |2
2
2
6 2 - 6 4 cos60 - 6 4 2 a 4 a b 4 b
-72
2 37
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省.
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探究点4 运算率
设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ① λ(μa)=(λμ) a ② (λ+μ) a=λa+μa ③ λ(a+b)=λa+λb
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12
课堂练习
例：已a知 1,b 2
(1)a//b,求ab; (2)3,求ab
4
解：（1）由a//b，分两种情况：
当a,b同向ab， 2
4
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13
课堂练习
证明 :
2
2
(ab)(ab)a 2abb
证明： (a＋b)2＝(a＋b)·(a
＋b)
＝(a＋b)·a＋(a＋b)·b
＝a·a＋b·a＋a·b＋
＝b·ab2＋2a·b＋b2.
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课堂练习
回顾实数运算中有关的运算律，类比数
B
B
B
b
θ B1
B1
Oa A
b
θ
Oa A
bθ
O aA
| b |cos O
B
| b |cos
0| b |cos 0 | b |cos 0
AB
A
O
b | b |cos = b
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已知 |a|3， |b|4，且 a与b不共线。
k为何值时， ak向 b）量与a（ -（ kb）互相垂直？
解：a k b与 a - k b相互垂直的条件是