2013届高三数学二轮复习专题二第3讲平面向量教案

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高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数平面向量第三讲平面向量教案

第三讲平面向量[考情分析]平面向量的命题近几年较稳定，一般是单独命题考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，难度较低，有时也与三角函数、解析几何综合命题，难度中等.[真题自检]1．(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|，则( )B．|a|＝|b|A．a⊥bD．|a|>|b|C．a∥b解析：依题意得(a＋b)2－(a－b)2＝0，即4a·b＝0，a⊥b，选A.答案：A 2．(2015·高考全国卷Ⅱ)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝( )B．0A．－1D．2C．1 解析：法一：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴a2＝2，a·b＝－3，从而(2a＋b)·a＝2a2＋a·b＝4－3＝1.法二：∵a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，∴2a＋b＝(2，－2)＋(－1,2)＝(1,0)，从而(2a＋b)·a＝(1,0)·(1，－1)＝1，故选C.答案：C 3．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，则m＝________.解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6.答案：－6 4．(2017·高考全国卷Ⅰ)已知向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)．若向量a＋b与a垂直，则m＝________.解析：因为a ＋b ＝(m －1,3)，a ＋b 与a 垂直，所以(m －1)×(－1)＋3×2＝0，解得m ＝7.答案：7平面向量的概念及线性运算[方法结论]1．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．2．利用平面向量基本定理实现了平面内任一向量都可以表示为同一平面内两个不共线的向量e 1，e 2的线性组合λ1e 1＋λ2e 2，常用方法有两种：一是直接利用三角形法则与平行四边形法则及向量共线定理来破解；二是利用待定系数法，即利用定理中λ1，λ2的唯一性列方程组求解．[题组突破]1．如图，在△OAB 中，点B 关于点A 的对称点为C ，D 在线段OB 上，且OD ＝2DB ，DC 和OA 相交于点E .若OE →＝λOA →，则λ＝( )A.34B.35C.45D.12解析：通解：设OA →＝a ，OB →＝b ，由题意得DC →＝OC →－OD →＝OA →＋AC →－23OB →＝OA →＋BA →－23OB →＝2a －53b .因为OE →＝λOA →＝λa ，设DE →＝μDC →＝2μa －53μb ，又OE →＝OD →＋DE →，所以λa ＝23b ＋2μa －53μb ＝2μa＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23－53μb ，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2μ23－53μ＝0，所以λ＝45.优解：由题意知，AB ＝AC ，OD ＝2DB ，过点A 作AF ∥OB 交CD 于点F (图略)，则AF BD ＝AC BC ＝12，即AF ＝12BD ＝14OD ，故AE ＝14OE ，则OE ＝45OA ，又OE →＝λOA →，故λ＝45.。

高考数学二轮复习专题二三角函数、平面向量与复数第3讲平面向量与复数教案-高三全册数学教案

第3讲平面向量与复数平面向量的概念与线性运算[核心提炼]1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化；2．在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．[典型例题](1)(2019·杭州模拟)如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →＝( )A ．a －12bB ．12a －bC ．a ＋12bD ．12a ＋b(2)(2019·金华市十校联考)已知A 、B 、C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，点P 满足OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)，则S △PAB S △OAB为( )A ．32 B ．23C ．2D ．12(3)(2019·嘉兴七校联考)在△ABC 中，点D 满足BD →＝34BC →，当点E 在射线AD (不含点A )上移动时，若AE →＝λAB →＋μAC →，则(λ＋1)2＋μ2的取值范围为________．【解析】 (1)连接CD ，由点C ，D 是半圆弧的三等分点，得CD ∥AB 且CD →＝12AB →＝12a ，所以AD →＝AC →＋CD →＝b ＋12a .(2)如图，延长CO ，交AB 中点D ，O 是△ABC 的重心，则OP →＝14(OA →＋OB →＋2OC →)＝14(2OD →＋2OC →)＝14(－OC →＋2OC →)＝14OC →，所以OP ＝14OC ＝14×23CD ＝16CD ；所以DP ＝DO ＋OP ＝13CD ＋16CD ＝12CD ，DO ＝13CD ；所以S △PAB S △OAB ＝DP DO ＝12CD13CD ＝32.(3)因为点E 在射线AD (不含点A )上，设AE →＝kAD →(k >0)，又BD →＝34BC →，所以AE →＝k (AB →＋BD →)＝k ⎣⎢⎡⎦⎥⎤AB →＋34（AC →－AB →）＝k 4AB →＋3k 4AC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k 4μ＝3k4，(λ＋1)2＋μ2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k 4＋12＋916k 2＝58⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋252＋910>1，故(λ＋1)2＋μ2的取值范围为(1，＋∞)．【答案】 (1)D (2)A (3)(1，＋∞)平面向量的线性运算技巧(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意共线向量定理的灵活运用． (2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．[对点训练]1．(2019·瑞安市四校联考)设M 是△ABC 边BC 上的点，N 为AM 的中点，若AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.14B.13C.12D.1 解析：选C.因为M 在BC 边上，所以存在实数t ∈[0，1]使得BM →＝tBC →. AM →＝AB →＋BM →＝AB →＋tBC →＝AB →＋t (AC →－AB →)＝(1－t )AB →＋tAC →，因为N 为AM 的中点，所以AN →＝12AM →＝1－t 2AB →＋t 2AC →，所以λ＝1－t 2，μ＝t 2，所以λ＋μ＝1－t 2＋t 2＝12，故C 正确．2．(2019·宁波诺丁汉大学附中期中考试)在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267.若动点P 满足AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →，(λ∈R )，则点P 的轨迹与直线BC ，AC 所围成的封闭区域的面积为( )A ．5B ．10C ．2 6D ．4 6解析：选A.设AD →＝23AC →，因为AP →＝(1－λ)AB →＋2λ3AC →＝(1－λ)AB →＋λAD →，所以B ，D ，P 三点共线．所以P 点轨迹为直线BC .在△ABC 中，BC ＝7，AC ＝6，cos C ＝267，所以sin C ＝57，所以S △ABC ＝12×7×6×57＝15，所以S △BCD ＝13S △ABC ＝5.3．(2019·高考浙江卷)已知正方形ABCD 的边长为1.当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________．解析：以点A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图，则A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，所以λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6)，所以当⎩⎪⎨⎪⎧λ1－λ3＋λ5－λ6＝0λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，可取λ1＝λ3＝1，λ5＝λ6＝1，λ2＝－1，λ4＝1，此时|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0；取λ1＝1，λ3＝－1，λ5＝λ6＝1，λ2＝1，λ4＝－1，则|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最大值22＋42＝2 5.答案：0 2 5平面向量的数量积 [核心提炼]1．平面向量的数量积的两种运算形式(1)数量积的定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ(其中θ为向量a ，b 的夹角)；(2)坐标运算：a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)时，a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. 2．平面向量的三个性质(1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x 2＋y 2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2.(3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a·b |a||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 22. [典型例题](1)(2018·高考浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( )A ．3－1B ．3＋1C ．2D ．2－ 3(2)(2019·浙江新高考研究联盟)已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝k ，|c |＝2－k 且a ＋b ＋c ＝0，则b 与c 夹角的余弦值的取值范围是________．【解析】 (1)设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆．因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA →|－|CB →|＝3－1.故选A. (2)设b 与c 的夹角为θ，由题b ＋c ＝－a ，所以b 2＋c 2＋2b ·c ＝1.即cos θ＝2k 2－4k ＋32k 2－4k ＝1＋32（k －1）2－2. 因为|a |＝|b ＋c |≥|b －c |，所以|2k －2|≤1. 所以12≤k ≤32.所以－1≤cos θ≤－12.【答案】 (1)A (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12(1)平面向量数量积的计算①涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路(ⅰ)直接利用数量积的定义； (ⅱ)建立坐标系，通过坐标运算求解．②在利用数量积的定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模、夹角和已知的向量进行计算．(2)求解向量数量积最值问题的两种思路①直接利用数量积公式得出代数式，依据代数式求最值．②建立平面直角坐标系，通过坐标运算得出函数式，转化为求函数的最值．[对点训练]1．(2019·嘉兴市高考一模)已知平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，若向量c满足|a －b ＋c |≤1，则|c |的最大值为( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2解析：选D.由平面向量a 、b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝12，可得|a|·|b |·cos 〈a ，b 〉＝1·1·cos 〈a ，b 〉＝12，由0≤〈a ，b 〉≤π，可得〈a ，b 〉＝π3，设a ＝(1，0)，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，c ＝(x ，y )，则|a －b ＋c |≤1，即有⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋x ，y －32≤1，即为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －322≤1，故|a －b ＋c |≤1的几何意义是在以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32为圆心，半径等于1的圆上和圆内部分，|c |的几何意义是表示向量c 的终点与原点的距离，而原点在圆上，则最大值为圆的直径，即为2.2．如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →，则( )A ．I 1＜I 2＜I 3B ．I 1＜I 3＜I 2C ．I 3 ＜ I 1＜I 2D ．I 2＜I 1＜I 3解析：选C.如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，所以∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD与∠BOC 为锐角．根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →|·|CA →|·cos ∠AOB <0，所以I 1<I 2，同理得，I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，又AB ＝AD ，所以OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，所以|OA →|·|OB →|<|OC →|·|OD →|，而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，所以OA →·OB →>OC →·OD →，即I 1>I 3.所以I 3<I 1<I 2.3．(2019·金华十校高考模拟)若非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，则cos 〈a ，b 〉的最小值为________．解析：非零向量a ，b 满足：a 2＝(5a －4b )·b ，可得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)＝15(|a |2＋4|b |2)≥15·2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，即有cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45·|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |，取得最小值45.答案：45平面向量与其他知识的交汇[核心提炼]平面向量具有代数形式与几何形式的“双重身份”，常与三角函数、解三角形、平面解析几何、函数、数列、不等式等知识交汇命题，平面向量的“位置”为：一是作为解决问题的工具，二是通过运算作为命题条件．[典型例题](1)如图，已知点D 为△ABC 的边BC 上一点，BD →＝3DC →，E n (n ∈N *)为边AC 上的列点，满足E n A →＝14a n ＋1·E n B →－(3a n ＋2)E n D →，其中实数列{a n }中，a n ＞0，a 1＝1，则数列{a n }的通项公式为a n ＝( )A ．3·2n －1－2 B ．2n－1 C ．3n－1 D ．2·3n －1－1(2)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量p ＝(cos B ＋sinB ，2sin B －2)，q ＝(sin B －cos B ，1＋sin B )，且p ⊥q .①求B 的大小；②若b ＝2，△ABC 的面积为3，求a ，c .【解】 (1)选D.因为BD →＝3DC →，所以E n C →＝E n B →＋BC →＝E n B →＋43BD →＝E n B →＋43(BE n →＋E n D →)＝－13E n B→＋43E n D →.设mE n C →＝E n A →，则由E n A →＝14a n ＋1E n B →－(3a n ＋2)E n D →，得(14a n ＋1＋13m )E n B →－(43m ＋3a n ＋2)E n D →＝0，则－13m ＝14a n ＋1，43m ＝－(3a n ＋2)，所以14a n ＋1＝14(3a n ＋2)，所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)．因为a 1＋1＝2，所以数列{a n ＋1}是以2为首项，3为公比的等比数列，所以a n ＋1＝2·3n －1，所以a n ＝2·3n －1－1.(2)①因为p ⊥q ，所以p ·q ＝(cos B ＋sin B )(sin B －cos B )＋(2sin B －2)·(1＋sin B )＝0，即3sin 2B －cos 2B －2＝0，即sin 2B ＝34，又角B 是锐角三角形ABC 的内角，所以sin B ＝32，所以B ＝60°. ②由①得B ＝60°，又△ABC 的面积为3，所以S △ABC ＝12ac sin B ，即ac ＝4.①由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，又b ＝2，所以a 2＋c 2＝8，② 联立①②，解得a ＝c ＝2.平面向量与其他知识的交汇点主要体现在与三角函数、立体几何、解析几何，求最值． (1)利用平面向量的知识给出三角函数之间的一些关系，解题的关键还是三角函数的知识．在解析几何中只是利用向量知识给出一些几何量的位置关系和数量关系，在解题中要善于根据向量知识分析解析几何中几何量之间的关系，最后的解题还要落实到解析几何知识上．(2)因为向量是沟通代数、几何的工具，有着极其丰富的实际背景，对于某些代数问题，可构造向量，使其转化为向量问题求解．[对点训练]1．(2019·杭州市高三二模)△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3，D 是AB 的中点，E ，F 分别是边BC 、AC 上的动点，且EF ＝1，则DE →·DF →的最小值等于( )A.54 B.154 C.174D.174解析：选B.以三角形的直角边为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：则A (0，4)，B (3，0)，C (0，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2. 设E (x ，0)，则F (0，1－x 2)，0≤x ≤1. 所以DE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，－2，DF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1－x 2－2.所以DE →·DF →＝94－32x ＋4－21－x 2＝254－3x 2－21－x 2.令f (x )＝254－3x 2－21－x 2，当x ≠1时，则f ′(x )＝－32＋2x1－x 2. 令f ′(x )＝0得x ＝35.当0≤x ＜35时，f ′(x )＜0，当35＜x ＜1时，f ′(x )＞0.所以当x ＝35时，f (x )取得最小值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫35＝154.当x ＝1时，f (1)＝254－32＝194＞154，故选B.2．(2019·浙江新高考研究联盟联考)已知向量a ，b 满足|a ＋b |＝4，|a －b |＝3，则|a |＋|b |的取值范围是( )A ．[3，5]B ．[4，5]C ．[3，4]D ．[4，7]解析：选B.|a |＋|b |≥max{|a ＋b |，|a －b |}＝4， (|a |＋|b |)2≤|a ＋b |2＋|a －b |2＝25，所以|a |＋|b |≤5.3．(2019·江苏常州武进区高三上学期期中考试改编)已知数列{a n }中，a 1＝2，点列P n (n ＝1，2，…)在△ABC 内部，且△P n AB 与△P n AC 的面积比为2∶1.若对n ∈N *都存在数列{b n }满足b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，求a 4.解：在线段BC 上取点D ，使得BD ＝2CD ，则P n 在线段AD 上，因为b n P n A →＋12a n ＋1P n B →＋(3a n ＋2)P n C →＝0，所以－12a n ＋1BP n →＝b n AP n →＋(3a n ＋2)CP n →＝b n (BP n →－BA →)＋(3a n ＋2)(BP n →－BC →)，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a n ＋1－b n －3a n －2BP n →＝－b n BA →－32×(3a n ＋2)BD →.因为A ，P n ，D 三点共线，所以－12a n ＋1－b n －3a n －2＝－b n －32(3a n ＋2)，即a n ＋1＝3a n ＋2，所以a 2＝3a 1＋2＝8，a 3＝3a 2＋2＝26，a 4＝3a 3＋2＝80.复数 [核心提炼]1．复数的除法复数的除法一般是将分母实数化，即分子、分母同乘以分母的共轭复数再进一步化简． 2．复数运算中常见的结论(1)(1±i)2＝±2i ，1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i.(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)． (3)i 4n＝1，i 4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i.(4)i 4n＋i4n ＋1＋i 4n ＋2＋i4n ＋3＝0.[典型例题](1)(2019·杭州学军中学高考模拟)设复数z 满足1＋z1－z ＝i ，则|z |＝( )A ．1B ． 2C ． 3D ．2(2)设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ； p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2； p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4(3)(2019·浙江新高考冲刺卷)已知复数z ＝1＋i ，其中i 为虚数单位，则复数1＋z ＋z 2＋…＋z 2 017的实部为( )A ．1B ．－1C ．21 009D ．－21 009【解析】 (1)因为复数z 满足1＋z1－z＝i ，所以1＋z ＝i －z i ，所以z (1＋i)＝i －1，所以z ＝i －1i ＋1＝i ，所以|z |＝1，故选A.(2)对于命题p 1，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，得b ＝0，则z ∈R成立，故命题p 1正确；对于命题p 2，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，由z 2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，得ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，复数z 可能为实数或纯虚数，故命题p 2错误；对于命题p 3，设z 1＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，由z 1·z 2＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ∈R ，得ad ＋bc ＝0，不一定有z 1＝z 2，故命题p 3错误；对于命题p 4，设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，则由z ∈R ，得b ＝0，所以z ＝a ∈R 成立，故命题p 4正确．故选B.(3)因为z ＝1＋i ，所以1＋z ＋z 2＋…＋z2 017＝1×（1－z 2 018）1－z＝z 2 018－1z －1＝（1＋i ）2 018－11＋i －1＝（2i ）1 009－1i ＝（－1＋21 009i ）（－i ）－i2＝21 009＋i. 所以复数1＋z ＋z 2＋…＋z2 017的实部为21 009.故选C.【答案】 (1)A (2)B (3)C复数问题的解题思路(1)以复数的基本概念、几何意义、相等的条件为基础，结合四则运算，利用复数的代数形式列方程或方程组解决问题．(2)若与其他知识结合考查，则要借助其他的相关知识解决问题．[对点训练]1．(2019·福建省普通高中质量检查)若复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，则在复平面内，z 对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由题意，得z ＝（3）2＋121＋i ＝2（1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1－i ，所以z ＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，故选A.2．(2019·金丽衢十二校联考)设z 是复数，|z －i|≤2(i 是虚数单位)，则|z |的最大值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.因为|z －i|≤2，所以复数z 在复平面内对应点在以(0，1)为圆心，以2为半径的圆及其内部．所以|z |的最大值为3.故选C.3．(2019·高考浙江卷)复数z ＝11＋i (i 为虚数单位)，则|z |＝________．解析：通解：z ＝11＋i ＝1－i 2＝12－i2，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＝22. 优解：|z |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪11＋i ＝1|1＋i|＝112＋12＝22.答案：22专题强化训练1．(2019·绍兴诸暨高考二模)已知复数z 满足z (1＋i)＝2i ，则z 的共轭复数z 等于( )A ．1＋iB ．1－iC ．－1＋iD ．－1－i解析：选B.由z (1＋i)＝2i ，得z ＝2i 1＋i ＝2i （1－i ）（1＋i ）（1－i ）＝1＋i ，则z 的共轭复数z ＝1－i.故选B.2．在等腰梯形ABCD 中，AB →＝－2CD →，M 为BC 的中点，则AM →＝( ) A.12AB →＋12AD → B.34AB →＋12AD →C.34AB →＋14AD → D.12AB →＋34AD → 解析：选B.因为AB →＝－2CD →，所以AB →＝2DC →.又M 是BC 的中点，所以AM →＝12(AB →＋AC →)＝12(AB →＋AD →＋DC →)＝12(AB →＋AD →＋12AB →)＝34AB →＋12AD →，故选B.3．(2019·嘉兴一中高考模拟)复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，则复数|zi|＝( )A.253 B.2C.553D. 5解析：选D.复数z 满足z ·(2－i)＝3－4i(其中i 为虚数单位)，所以z ·(2－i)(2＋i)＝(3－4i)(2＋i)，化为：5z ＝10－5i ，可得z ＝2－i.则复数|z i |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－i i ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－i （2－i ）－i·i＝|－1－2i|＝|1＋2i|＝12＋22＝ 5.故选D.4.在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，则DE →·BF →＝( )A ．－52B ．32C ．－4D ．－2解析：选C.通过建系求点的坐标，然后求解向量的数量积．在边长为2的正方形ABCD 中，E ，F 分别为BC 和DC 的中点，以A 为坐标原点，AB ，AD 为坐标轴，建立平面直角坐标系，则B (2，0)，D (0，2)，E (2，1)，F (1，2)．所以DE →＝(2，－1)，BF →＝(－1，2)，所以DE →·BF →＝－4.5．(2019·台州市书生中学检测)已知点O 是△ABC 的外接圆圆心，且AB ＝3，AC ＝4.若存在非零实数x 、y ，使得AO →＝xAB →＋yAC →，且x ＋2y ＝1，则cos ∠BAC 的值为( )A.23B.33C.23D.13解析：选A.设线段AC 的中点为点D ，则直线OD ⊥AC .因为AO →＝xAB →＋yAC →，所以AO →＝xAB →＋2yAD →.又因为x ＋2y ＝1，所以点O 、B 、D 三点共线，即点B 在线段AC 的中垂线上，则AB ＝BC ＝3.在△ABC 中，由余弦定理得，cos ∠BAC ＝32＋42－322×3×4＝23.故选A.6．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝2，∠A ＝π2，如果不等式|BA →－tBC →|≥|AC →|恒成立，则实数t 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C ．⎝⎛⎦⎥⎤－∞，12∪[1，＋∞) D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)解析：选C.在直角三角形ABC 中，易知AC ＝1，cos ∠ABC ＝32，由|BA →－tBC →|≥|AC →|，得BA →2－2tBA →·BC →＋t 2BC →2≥AC →2，即2t 2－3t ＋1≥0，解得t ≥1或t ≤12.7．称d (a ，b )＝|a －b |为两个向量a ，b 间的“距离”．若向量a ，b 满足：①|b |＝1；②a ≠b ；③对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，则( )A ．a ⊥bB ．b ⊥(a －b )C ．a ⊥(a －b )D ．(a ＋b )⊥(a －b )解析：选B.由于d (a ，b )＝|a －b |，因此对任意的t ∈R ，恒有d (a ，t b )≥d (a ，b )，即|a －t b |≥|a －b |，即(a －t b )2≥(a －b )2，t 2－2t a ·b ＋(2a ·b －1)≥0对任意的t ∈R 都成立，因此有(－2a ·b )2－4(2a ·b －1)≤0，即(a ·b －1)2≤0，得a ·b －1＝0，故a ·b －b 2＝b ·(a －b )＝0，故b ⊥(a －b )．8．(2019·温州市高考模拟)记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥bb ，a ＜b ，已知向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·b ＝0，c ＝λa ＋μb (λ，μ≥0，且λ＋μ＝1，则当max{c ·a ，c ·b }取最小值时，|c |＝( )A.255B.223 C.1D.52解析：选A.如图，设OA →＝a ，OB ＝b ，则a ＝(1，0)，b ＝(0，2)，因为λ，μ≥0，λ＋μ＝1，所以0≤λ≤1. 又c ＝λa ＋μb ，所以c ·a ＝(λa ＋b －λb )·a ＝λ；c ·b ＝(λa ＋b －λb )·b ＝4－4λ.由λ＝4－4λ，得λ＝45.所以max{c ·a ，c ·b }＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.令f (λ)＝⎩⎪⎨⎪⎧λ，45≤λ≤14－4λ，0≤λ＜45.则f (λ)∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，1. 所以f (λ)min ＝45，此时λ＝45，μ＝15，所以c ＝45a ＋15b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫45，25. 所以|c |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫452＋⎝ ⎛⎭⎪⎫252＝255.故选A.9．(2019·绍兴市柯桥区高三期中检测)已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝4，|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2的最大值为( )A ．43＋37B ．47＋3 3C ．(43＋37)2D ．(47＋33)2解析：选D.设OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，a －b 与a －c 所成夹角为θ，则(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2＝|AB |2|AC |2－|AB |2|AC |2cos 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2θ＝|AB |2|AC |2sin 2∠CAB ＝4S 2△ABC ，因为|b |＝3，|c |＝2，b ·c ＝3，所以b ，c 的夹角为60°，设B (3，0)，C (1，3)，则|BC |＝7，所以S △OBC ＝12×3×2×sin 60°＝332，设O 到BC 的距离为h ，则12·BC ·h ＝S △OBC ＝332，所以h ＝3217，因为|a |＝4，所以A 点落在以O 为圆心，以4为半径的圆上，所以A 到BC 的距离最大值为4＋h ＝4＋3217.所以S △ABC 的最大值为 12×7×⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋3217 ＝27＋332，所以(a －b )2(a －c )2－[(a －b )·(a －c )]2最大值为4⎝ ⎛⎭⎪⎫27＋3322＝(47＋33)2.故选D.10．(2019·金华市东阳二中高三月考)若a ，b 是两个非零向量，且|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，则b 与a －b 的夹角的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，23πB.⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πD.⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，π 解析：选B.因为|a |＝|b |＝λ|a ＋b |，λ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤33，1，不妨设|a ＋b |＝1，则|a |＝|b |＝λ.令OA →＝a ，OB →＝b ，以OA 、OB 为邻边作平行四边形OACB ，则平行四边形OACB 为菱形．故有△OAB 为等腰三角形，故有∠OAB ＝∠OBA ＝θ，且0<θ<π2.而由题意可得，b 与a －b 的夹角，即OB →与BA →的夹角，等于π－θ，△OAC 中，由余弦定理可得|OC |2＝1＝|OA |2＋|AC |2－2|OA |·|AC |·cos 2θ＝λ2＋λ2－2·λ·λcos 2θ，解得cos 2θ＝1－12λ2.再由33≤λ≤1，可得12≤12λ2≤32，所以－12≤cos 2θ≤12，所以π3≤2θ≤2π3，所以π6≤θ≤π3，故2π3≤π－θ≤5π6，即b 与a －b 的夹角π－θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，5π6.11．(2019·杭州市高考二模)已知复数z ＝1＋a ii (a ∈R )的实部为1，则a ＝________，|z |＝________．解析：因为z ＝1＋a i i ＝（1＋a i ）（－i ）－i 2＝a －i 的实部为1，所以a ＝1，则z ＝1－i ，|z |＝ 2. 答案：1212．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)设e 1，e 2为单位向量，其中a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 2，且a 在b 上的投影为2，则a ·b ＝________，e 1与e 2的夹角为________．解析：设e 1，e 2的夹角为θ，因为a 在b 上的投影为2，所以a ·b |b |＝（2e 1＋e 2）·e 2|e 2|＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2，解得cos θ＝12，则θ＝π3.a ·b ＝(2e 1＋e 2)·e 2＝2e 1·e 2＋|e 2|2＝2|e 1|·|e 2|cos θ＋1＝2. 答案：2π313．已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________．解析：由题意，令e ＝(1，0)，a ＝(cos α，sin α)，b ＝(2cos β，2sin β)，则由|a ·e |＋|b ·e |≤6，可得|cos α|＋2|cos β|≤ 6.①令sin α＋2sin β＝m ，②①2＋②2得4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1＋m 2对一切实数α，β恒成立，所以4[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤1，故a·b ＝2(cos αcos β＋sin αsin β)≤2[|cos αcos β|＋sin αsin β]≤12.答案：1214．(2019·温州市十五校联合体联考)已知坐标平面上的凸四边形ABCD 满足AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)，则凸四边形ABCD 的面积为________；AB →·CD →的取值范围是________．解析：由AC →＝(1，3)，BD →＝(－3，1)得AC →⊥BD →，且|AC →|＝2，|BD →|＝2，所以凸四边形ABCD 的面积为12×2×2＝2；因为ABCD 为凸四边形，所以AC 与BD 交于四边形内一点，记为M ，则AB →·CD →＝(MB →－MA →)(MD →－MC →)＝MB →·MD →＋MA →·MC →－MB →·MC →－MA →·MD →，设AM →＝λAC →，BM →＝μBD →，则λ，μ∈(0，1)，且MA →＝－λAC →，MC →＝(1－λ)AC →， MB →＝－μBD →，MD →＝(1－μ)BD →，所以AB →·CD →＝－4μ(1－μ)－4λ(1－λ)∈[－2，0)，所以有λ＝μ＝12时，AB →·CD →取到最小值－2.答案：2 [－2，0)15．(2019·嘉兴一中高考适应性考试)在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，CO →＝xCA →＋yCB →且x ＋y ＝1，函数f (m )＝|CA →－mCB →|的最小值为32，则|CO →|的最小值为________．解析：在△ABC 中，∠ACB 为钝角，AC ＝BC ＝1，函数f (m )的最小值为32. 所以函数f (m )＝|CA →－mCB →| ＝CA →2＋m 2CB →2－2mCA →·CB →＝1＋m 2－2m cos ∠ACB ≥32，化为4m 2－8m cos ∠ACB ＋1≥0恒成立．当且仅当m ＝8cos ∠ACB8＝cos ∠ACB 时等号成立，代入得到cos ∠ACB ＝－12，所以∠ACB ＝2π3.所以|CO →|2＝x 2CA →2＋y 2CB →2＋2xyCA →·CB →＝x 2＋y 2＋2xy ×cos 2π3＝x 2＋(1－x )2－x (1－x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14，当且仅当x ＝12＝y 时，|CO →|2取得最小值14，所以|CO →|的最小值为12.答案：1216．在△OAB 中，已知|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，若OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →在OP →上的投影的取值范围是________．解析：由OP →＝λOA →＋μOB →，且λ＋2μ＝2，则OA →·OP →＝OA →·⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →＝λOA →2＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →，又|OB →|＝2，|AB →|＝1，∠AOB ＝45°，所以由余弦定理求得|OA →|＝1，所以OA →·OP →＝λ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2×1×2×22＝1＋λ2，|OP →|＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤λOA →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OB →2＝ λ2|OA →|2＋2λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－λ2OA →·OB →＋⎝⎛⎭⎪⎫1－λ22|OB →|2＝λ22＋2，故OA →在OP →上的投影OA →·OP →|OP →|＝1＋λ2λ22＋2＝22·λ＋2λ2＋4(*)．当λ＜－2时，(*)式＝－22·（λ＋2）2λ2＋4＝－221＋4λλ2＋4＝－221＋4λ＋4λ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0；当λ≥－2时，(*)式可化为22（λ＋2）2λ2＋4；①λ＝0，上式＝22；②－2≤λ＜0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，22； ③λ＞0，上式＝221＋4λ＋4λ∈⎝⎛⎦⎥⎤22，1. 综上，OA →在OP →上的投影的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－22，1 17．已知OA →，OB →是非零不共线的向量，设OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，定义点集P ＝⎩⎪⎨⎪⎧K ⎪⎪⎪⎪KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，⎭⎪⎬⎪⎫KC →≠0，当K 1，K 2∈P 时，若对于任意的r ≥3，不等式|K 1K 2→|≤c |AB→|恒成立，则实数c 的最小值为________．解析：由OC →＝1r ＋1·OA →＋r r ＋1OB →，可得A ，B ，C 三点共线，由KB →·KC →|KB →|＝KA →·KC→|KA →|，可得|KC →|cos ∠AKC ＝|KC →|cos ∠BKC ，即有∠AKC ＝∠BKC ，则KC 为∠AKB 的角平分线．由角平分线的性质定理可知|KA ||KB |＝|AC ||BC |＝r ，以AB 所在的直线为x 轴，以线段AB 上某一点为原点建立直角坐标系，设点K (x ，y )，A (－a ，0)，B (b ，0)，所以（x ＋a ）2＋y 2（x －b ）2＋y2＝r 2，化简得(1－r 2)x 2＋(1－r 2)y 2＋(2a ＋2br 2)x ＋(a 2－b 2r 2)＝0.由方程知K 的轨迹是圆心在AB 上的圆，当|K 1K 2|为直径时最大，方便计算，令K 1K 2与AB 共线，如图，由|K 1A |＝r |K 1B |，可得|K 1B |＝|AB |r ＋1，由|K 2A |＝r |K 2B |，可得|K 2B |＝|AB |r －1，可得|K 1K 2|＝|AB |r ＋1＋|AB |r －1＝2r r 2－1|AB |＝2r －1r|AB |，而易知r －1r ≥3－13＝83，即有|K 1K 2|≤34|AB |，即|K 1K 2||AB |≤34，即c ≥⎝⎛⎭⎪⎫|K 1K 2||AB |max ＝34，故c 的最小值为34.答案：3418．在△ABC 中，已知C ＝π6，向量p ＝(sin A ，2)，q ＝(2，cos B )，且p ⊥q .(1)求角A 的值；(2)若BC →＝2BD →，AD ＝7，求△ABC 的面积．解：(1)因为p ⊥q ，所以p ·q ＝0⇒p ·q ＝2sin A ＋2cos B ＝0，又C ＝π6，所以sin A ＋cos B ＝sin A ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6－A ＝0，化简得tan A ＝33，A ∈(0，π)，所以A ＝π6. (2)因为BC →＝2BD →，所以D 为BC 边的中点，设|BD →|＝x ，|BC →|＝2x ，由(1)知A ＝C ＝π6，所以|BA →|＝2x ，B ＝2π3，在△ABD 中，由余弦定理，得|AD →|2＝|BA →|2＋|BD →|2－2|BA →|·|BD →|·cos 2π3＝(2x )2＋x 2－2·2x ·x ·cos 2π3＝7，所以x ＝1，所以AB ＝BC ＝2，所以S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝12×2×2×sin 2π3＝ 3.19．已知m ＝(2sin x ，sin x －cos x )，n ＝(3cos x ，sin x ＋cos x )，记函数f (x )＝m ·n .(1)求函数f (x )的最大值以及取得最大值时x 的取值集合；(2)设△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若f (C )＝2，c ＝3，求△ABC 面积的最大值．解：(1)由题意，得f (x )＝m ·n ＝23sin x cos x ＋sin 2x －cos 2x ＝3sin 2x －(cos 2x －sin 2x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以f (x )max ＝2；当f (x )取最大值时，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＝1，此时2x －π6＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得x ＝k π＋π3(k ∈Z )，所以x 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π＋π3，k ∈Z .(2)由f (C )＝2，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2C －π6＝1，又0＜C ＜π，即－π6＜2C －π6＜11π6，所以2C －π6＝π2，解得C ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，得3＝a 2＋b 2－ab ≥ab ，即ab ≤3，当且仅当a ＝b ＝3时，取等号，所以S △ABC ＝12ab sinC ＝34ab ≤334，所以△ABC 面积的最大值为334.。

高考数学专题二第3讲平面向量(2)复习教学案-人教版高三全册数学教学案

教学内容：平面向量（2）教学目标：1平面向量的概念及线性运算 2.平面向量的数量积3.平面向量与三角函数综合应用教学重点：平面向量的数量积和平面向量与三角函数综合应用教学难点：平面向量与三角函数综合应用教学过程：一、基础训练1、(2014·宁波模拟)梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别是CD ，AB 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b .若MN →＝m a ＋n b ，则n m＝________.解析：∵MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a －b ＋12＝14a －b ，∴m ＝14，n ＝－1.∴nm＝－4.答案：－42．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，AB →·BC →＝1，则BC ＝________.解析：∵AB →·BC →＝1，且AB ＝2，∴1＝|AB →|·|BC →|cos(π－B )，∴|AB →|·|BC →|cos B ＝－1.在△ABC 中，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos B ，即9＝4＋BC 2－2×(－1)．∴BC ＝ 3.答案： 33．(2014·武汉质检)已知平面上不共线的四点O ，A ，B ，C .若OA →＋2OC →＝3OB →，则|BC →||AB →|的值为__________．解析：由OA →＋2OC →＝3OB →，得OA →－OB →＝2OB →－2OC →，即BA →＝2CB →，所以|BC →||AB →|＝12.答案：124．(2013·高考山东卷)已知向量AB →与AC →的夹角为120°，且|AB →|＝3，|AC →|＝2.若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，则实数λ的值为 ________.解析：∵AP →⊥BC →，∴AP →·BC →＝0. 又AP →＝λAB →＋AC →，BC →＝AC →－AB →，∴(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝0，即(λ－1)AC →·AB →－λAB →2＋AC →2＝0，∴(λ－1)|AC →||AB →|cos 120°－9λ＋4＝0.∴(λ－1)×3×2×(－12)－9λ＋4＝0.解得λ＝712.复备栏二、例题精析例1、(2013·高考江苏卷)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．解：(1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧cos α＋cos β＝0，sin α＋sin β＝1，由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π.又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α>β，所以α＝5π6，β＝π6.变式训练：(2014·太原模拟)已知向量a ＝(3cos α，1)，b ＝(－2，3sin α)，且a ⊥b ，其中α∈(0，π2)．(1)求sin α和cos α的值．(2)若5sin(α＋β)＝35cos β，β∈(0，π)，求角β的值．解：(1)∵a ⊥b ，∴a ·b ＝－6cos α＋3sin α＝0，即sin α＝2cos α，又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴cos 2α＝15，sin 2α＝45，又α∈(0，π2)，∴sin α＝255 ，cos α＝55.(2) ∵5sin(α＋β)＝5(sin αcos β＋cos αsin β) ＝25cos β＋5sin β＝35cos β， ∴cos β＝sin β，即tan β＝1，∵β∈(0，π)，∴β＝π4.例2、已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，其中0<α<x <π.(1)若α＝π4，求函数f (x )＝b ·c 的最小值及相应x 的值；(2)若a 与b 的夹角为π3，且a ⊥c ，求tan 2α的值．解：(1)∵b ＝(cos x ，sin x )，c ＝(sin x ＋2sin α，cos x ＋2cos α)，α＝π4，∴f (x )＝b ·c＝cos x sin x ＋2cos x sin α＋sin x cos x ＋2sin x cos α ＝2sin x cos x ＋2(sin x ＋cos x )．令t ＝sin x ＋cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4<x <π，则2sin x cos x ＝t 2－1，且－1<t < 2.课后反思：则y ＝t 2＋2t －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋222－32，－1<t <2， ∴当t ＝－22时，y min ＝－32，此时sin x ＋cos x ＝－22，即2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝－22，∵π4<x <π，∴π2<x ＋π4<54π， ∴x ＋π4＝76π，∴x ＝11π12.∴函数f (x )的最小值为－32，相应x 的值为11π12.(2)∵a 与b 的夹角为π3，∴cos π3＝a ·b |a |·|b |＝cos αcos x ＋sin αsin x＝cos(x －α)．∵0<α<x <π，∴0<x －α<π，∴x －α＝π3.∵a ⊥c ，∴cos α(sin x ＋2sin α)＋sin α(cos x ＋2cos α)＝0，∴sin(x ＋α)＋2sin 2α＝0，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π3＋2sin 2α＝0. ∴52sin 2α＋32cos 2α＝0，∴tan 2α＝－35. 变式训练：已知向量a ＝3e 1－2e 2，b ＝4e 1＋e 2，其中e 1＝(1,0)，e 2＝(0,1)，求： (1)a ·b 和|a ＋b |的值； (2)a 与b 夹角θ的余弦值．解：由已知，a ＝(3，－2)，b ＝(4,1)， (1)a ·b ＝10，|a ＋b |＝5 2. (2)|a |＝13，|b |＝17，∴cos θ＝a ·b |a |·|b |＝10221221.巩固练习：完成专题强化训练的练习。

高中数学必修第二章平面向量教案完整版

§2、1 平面向量得实际背景及基本概念1、数量与向量得区别:数量只有大小,就是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小; 向量有方向,大小,双重性,不能比较大小、 2、向量得表示方法:①用有向线段表示;②用字母ａ、ｂ(黑体,印刷用)等表示; ③用有向线段得起点与终点字母:;④向量得大小――长度称为向量得模,记作||、3、有向线段:具有方向得线段就叫做有向线段,三个要素:起点、方向、长度、向量与有向线段得区别:(1)向量只有大小与方向两个要素,与起点无关,只要大小与方向相同,则这两个向量就就是相同得向量;(2)有向线段有起点、大小与方向三个要素,起点不同,尽管大小与方向相同,也就是不同得有向线段、4、零向量、单位向量概念:①长度为0得向量叫零向量,记作0、 0得方向就是任意得、注意0与0得含义与书写区别、②长度为1个单位长度得向量,叫单位向量、说明:零向量、单位向量得定义都只就是限制了大小、 5、平行向量定义:①方向相同或相反得非零向量叫平行向量;②我们规定0与任一向量平行、说明:(1)综合①、②才就是平行向量得完整定义;(2)向量ａ、ｂ、ｃ平行,记作ａ∥ｂ∥ｃ、6、相等向量定义:长度相等且方向相同得向量叫相等向量、说明:(1)向量ａ与ｂ相等,记作ａ＝ｂ;(2)零向量与零向量相等;(3)任意两个相等得非零向量,都可用同一条有向线段来表示,并且与有向线段得起．．．．．．．点无关．．．、 7、共线向量与平行向量关系:平行向量就就是共线向量,这就是因为任一组平行向量都可移到同一直线上(与有向线．．．．段得起点无关．．．．．．)．、说明:(1)平行向量可以在同一直线上,要区别于两平行线得位置关系;(2)共线向量可以相互平行,要区别于在同一直线上得线段得位置关系、§2、2、1 向量得加法运算及其几何意义A(起点)B(终点)aO ABaaa bb b二、探索研究:１、向量得加法:求两个向量与得运算,叫做向量得加法、２、三角形法则(“首尾相接,首尾连”)如图,已知向量a 、ｂ、在平面内任取一点,作＝a ,＝ｂ,则向量叫做a 与ｂ得与,记作a ＋ｂ,即 a ＋ｂ,规定: a + 0-= 0 + a探究:(1)两相向量得与仍就是一个向量;(2)当向量与不共线时,+得方向不同向,且|+|<||+||;(3)当与同向时,则+、、同向,且|+|=||+||,当与反向时,若||>||,则+得方向与相同,且|+|=||-||;若||<||,则+得方向与相同,且|+b|=||-||、(4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量得终点为后一个向量得起点,可以推广到n 个向量连加３.例一、已知向量、,求作向量+ 作法:在平面内取一点,作 ,则、４.加法得交换律与平行四边形法则问题:上题中+得结果与+就是否相同？验证结果相同从而得到:１)向量加法得平行四边形法则(对于两个向量共线不适应)２)向量加法得交换律:+=+ ５.向量加法得结合律:(+) +=+ (+) 证:如图:使, , 则(+) +=,+ (+) = ∴(+) +=+ (+)从而,多个向量得加法运算可以按照任意得次序、任意得组合来进行、第3课时§2、2、2 向量得减法运算及其几何意义1．用“相反向量”定义向量得减法aA BCa +ba +baab b aｂｂａa(1) “相反向量”得定义:与a 长度相同、方向相反得向量、记作 -a (2) 规定:零向量得相反向量仍就是零向量、-(-a ) = a 、任一向量与它得相反向量得与就是零向量、a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量,则a = -b , b = -a , a + b = 0 (3) 向量减法得定义:向量a 加上得b 相反向量,叫做a 与b 得差、即:a - b = a + (-b ) 求两个向量差得运算叫做向量得减法、 2．用加法得逆运算定义向量得减法: 向量得减法就是向量加法得逆运算: 若b + x = a ,则x 叫做a 与b 得差,记作a - b 3．求作差向量:已知向量a 、b ,求作向量 ∵(a -b ) + b = a + (-b ) + b = a + 0 = a作法:在平面内取一点O , 作= a , = b则= a - b 即a - b 可以表示为从向量b 得终点指向向量a 得终点得向量、4．探究:１）如果从向量a 得终点指向向量b 得终点作向量,那么所得向量就是b - a 、２)若a ∥b, 如何作出a - b §2、3、1平面向量基本定理复习引入:1.实数与向量得积:实数λ与向量得积就是一个向量,记作:λ(1)|λ|=|λ|||;(2)λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ= 2.运算定律结合律:λ(μ)=(λμ) ;分配律:(λ+μ)=λ+μ, λ(+)=λ+λ3、向量共线定理向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2、探究:OabBa ba -b a -bA ABBB’Oa -b a ab bO AOBa -ba -b BA O-b(1) 我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;(2) 基底不惟一,关键就是不共线;(3) 由定理可将任一向量a在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;(4) 基底给定时,分解形式惟一、λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量§2、3、2—§2、3、3 平面向量得正交分解与坐标表示及运算一、复习引入:1.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量得一组基底;(2)基底不惟一,关键就是不共线;(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２得条件下进行分解;(4)基底给定时,分解形式惟一、λ1,λ2就是被,,唯一确定得数量二、讲解新课:1.平面向量得坐标表示如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得…………○1我们把叫做向量得(直角)坐标,记作…………○2其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标,○2式叫做向量得坐标表示、与相等得向量得坐标也为．．．．．．．．．．．、特别地,,,、如图,在直角坐标平面内,以原点O为起点作,则点得位置由唯一确定、设,则向量得坐标就就是点得坐标;反过来,点得坐标也就就是向量得坐标、因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都就是可以用一对实数唯一表示、2.平面向量得坐标运算(1) 若,,则,两个向量与与差得坐标分别等于这两个向量相应坐标得与与差、设基底为、,则即,同理可得(2)若,,则一个向量得坐标等于表示此向量得有向线段得终点坐标减去始点得坐标、=-=( x2, y2) - (x1,y1)= (x2- x1, y2- y1)(3)若与实数,则、实数与向量得积得坐标等于用这个实数乘原来向量得相应坐标、设基底为、,则,即第6课时§2、3、4 平面向量共线得坐标表示一、复习引入:1.平面向量得坐标表示分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得把叫做向量得(直角)坐标,记作其中叫做在轴上得坐标,叫做在轴上得坐标, 特别地,,,、2.平面向量得坐标运算若,,则,,、若,,则二、讲解新课:∥(≠)得充要条件就是x1y2-x2y1=0设=(x1, y1) ,=(x2, y2) 其中≠、由=λ得, (x1, y1) =λ(x2, y2) 消去λ,x1y2-x2y1=0探究:(1)消去λ时不能两式相除,∵y1, y2有可能为0, ∵≠∴x2, y2中至少有一个不为0(2)充要条件不能写成∵x1, x2有可能为0(3)从而向量共线得充要条件有两种形式:∥(≠)§2、4平面向量得数量积一、平面向量得数量积得物理背景及其含义一、复习引入:1. 向量共线定理向量与非零向量共线得充要条件就是:有且只有一个非零实数λ,使=λ、2.平面向量基本定理:如果,就是同一平面内得两个不共线向量,那么对于这一平面内得任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ23.平面向量得坐标表示分别取与轴、轴方向相同得两个单位向量、作为基底、任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得把叫做向量得(直角)坐标,记作4.平面向量得坐标运算若,,则,,、若,,则5.∥(≠)得充要条件就是x1y2-x2y1=06.线段得定比分点及λP1, P2就是直线l上得两点,P就是l上不同于P1, P2得任一点,存在实数λ,使=λ,λ叫做点P分所成得比,有三种情况:λ>0(内分) (外分) λ<0 (λ<-1) ( 外分)λ<0 (-1<λ<0)7、定比分点坐标公式:若点P１(x1,y1) ,Ｐ２(x2,y2),λ为实数,且＝λ,则点P得坐标为(),我们称λ为点P分所成得比、8、点P得位置与λ得范围得关系:①当λ＞０时,与同向共线,这时称点P为得内分点、②当λ＜０()时,与反向共线,这时称点P为得外分点、9、线段定比分点坐标公式得向量形式:在平面内任取一点O,设＝ａ,＝ｂ,可得=、10.力做得功:W = |F|⋅|s|cosθ,θ就是F与s得夹角、二、讲解新课:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、说明:(1)当θ＝０时,ａ与ｂ同向;(2)当θ＝π时,ａ与ｂ反向;(3)当θ＝时,ａ与ｂ垂直,记ａ⊥ｂ;(4)注意在两向量得夹角定义,两向量必须就是同起点得、范围0︒≤θ≤180︒C2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b= |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、⋅探究:两个向量得数量积与向量同实数积有很大区别(1)两个向量得数量积就是一个实数,不就是向量,符号由cosθ得符号所决定、(2)两个向量得数量积称为内积,写成a⋅b;今后要学到两个向量得外积a×b,而a⋅b就是两个向量得数量得积,书写时要严格区分、符号“·”在向量运算中不就是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替、(3)在实数中,若a≠0,且a⋅b=0,则b=0;但就是在数量积中,若a≠0,且a⋅b=0,不能推出b=0、因为其中cosθ有可能为0、(4)已知实数a、b、c(b≠0),则ab=bc ⇒ a=c、但就是a⋅b = b⋅c a = c如右图:a⋅b = |a||b|cosβ = |b||OA|,b⋅c = |b||c|cosα = |b||OA|⇒ a⋅b = b⋅c但a≠c(5)在实数中,有(a⋅b)c = a(b⋅c),但就是(a⋅b)c≠a(b⋅c)显然,这就是因为左端就是与c共线得向量,而右端就是与a共线得向量,而一般a与c不共线、3.“投影”得概念:作图定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影、投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为|b|;当θ = 180︒时投影为-|b|、4.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、5.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ =5︒|a⋅b| ≤|a||b|二、平面向量数量积得运算律一、复习引入:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b = |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、3.“投影”得概念:作图C 定义:|b|cosθ叫做向量b在a方向上得投影、投影也就是一个数量,不就是向量;当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ = 0︒时投影为|b|;当θ = 180︒时投影为-|b|、4.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、5.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ; 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ = ;5︒|a⋅b| ≤|a||b|二、讲解新课:平面向量数量积得运算律1.交换律:a⋅b = b⋅a证:设a,b夹角为θ,则a⋅b = |a||b|cosθ,b⋅a = |b||a|cosθ∴a⋅b = b⋅a2.数乘结合律:(a)⋅b =(a⋅b) = a⋅(b)证:若> 0,(a)⋅b =|a||b|cosθ, (a⋅b) =|a||b|cosθ,a⋅(b) =|a||b|cosθ,若< 0,(a)⋅b =|a||b|cos(π-θ) = -|a||b|(-cosθ) =|a||b|cosθ,(a⋅b) =|a||b|cosθ,a⋅(b) =|a||b|cos(π-θ) = -|a||b|(-cosθ) =|a||b|cosθ、3.分配律:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c在平面内取一点O,作= a, = b,= c, ∵a + b (即)在c方向上得投影等于a、b在c方向上得投影与,即|a + b| cosθ = |a| cosθ1 + |b| cosθ2∴| c | |a + b| cosθ =|c| |a| cosθ1 + |c| |b| cosθ2, ∴c⋅(a + b) = c⋅a + c⋅b即:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c说明:(1)一般地,(ａ·ｂ)с≠ａ(ｂ·с)(2)ａ·с＝ｂ·с,с≠0ａ＝ｂ(3)有如下常用性质:ａ２＝｜ａ｜２,(ａ＋ｂ)(с＋ｄ)＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２三、平面向量数量积得坐标表示、模、夹角一、复习引入:1.两个非零向量夹角得概念已知非零向量ａ与ｂ,作＝ａ,＝ｂ,则∠ＡＯＢ＝θ(０≤θ≤π)叫ａ与ｂ得夹角、2.平面向量数量积(内积)得定义:已知两个非零向量ａ与ｂ,它们得夹角就是θ,则数量|a||b|cosθ叫ａ与ｂ得数量积,记作a⋅b,即有a⋅b = |a||b|cosθ,(０≤θ≤π)、并规定0与任何向量得数量积为0、3.向量得数量积得几何意义:数量积a⋅b等于a得长度与b在a方向上投影|b|cosθ得乘积、4.两个向量得数量积得性质:设a、b为两个非零向量,e就是与b同向得单位向量、1︒e⋅a = a⋅e =|a|cosθ; 2︒a⊥b⇔a⋅b = 03︒当a与b同向时,a⋅b = |a||b|;当a与b反向时,a⋅b = -|a||b|、特别得a⋅a = |a|2或4︒cosθ = ;5︒|a⋅b| ≤|a||b|5.平面向量数量积得运算律交换律:a⋅b = b⋅a数乘结合律:(a)⋅b =(a⋅b) = a⋅(b)分配律:(a + b)⋅c = a⋅c + b⋅c二、讲解新课:⒈平面两向量数量积得坐标表示已知两个非零向量,,试用与得坐标表示、设就是轴上得单位向量,就是轴上得单位向量,那么,所以又,,,所以这就就是说:两个向量得数量积等于它们对应坐标得乘积得与、即2、平面内两点间得距离公式一、设,则或、(2)如果表示向量得有向线段得起点与终点得坐标分别为、,那么(平面内两点间得距离公式)二、向量垂直得判定设,,则三、两向量夹角得余弦()co sθ =。

高三数学复习教案设计：《平面向量》

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【知识网络】【学法点拨】向量是沟通代数与几何的重要工具，它在日常生活、生产实践以及其他相关学科中有着广泛的应用.学习和理解向量有关知识时，建议：1. 注意比较与分析.向量的有关概念与我们学习过的有关知识既有联系又有区别，如：平行、相等、乘积等等.留心比较分析，可防止学习过的有关知识对现学知识的负面影响.2. 能画图时尽可能多画草图.数离形时少直观，形离数时欠入微.向量具有数与形的双重特征，加减法以三角形法则、平行四边形法则为背景，平行、垂直都对应着一个方程，数形结合考察问题，常常事半功倍.3. 学会联想与化归.向量知识是从日常生活、生产实践中抽象出来的，求解向量综合题，常需要适当联想，并将应用问题数学化，复杂问题熟悉化、简单化.【考点指津】1. 理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量、相等向量等概念.2.掌握向量的加法与减法，会正确运用三角形法则、平行四边形法则.3掌握向量加法的交换律、结合律，并会用它们进行向量化简与计算.4.理解向量的减法运算可以转化为向量的加法运算.【知识在线】1.（2a 8b）-（4a-2b）=2.在△ABC中，BC→=a，CA→=b，则AB→=3.设a表示向东3km，b表示向北偏东30o走3km，则a b表示的意义为4.画出不共线的任意三个向量，作图验证a-b-c=a-（b c）.5.向量a、b满足|a|=8，|b|=10，求|a b|的最大值、最小值.【讲练平台】例1 化简以下各式：①AB→ BC→ CA→ ；②AB→ -AC→ BD→ -CD→ ；③OA→ -OD→ AD→ ；④NQ→ QP→ MN→ -MP→ .结果为0的个数为（）分析题设条件中多处涉及首尾相接的两个向量求和以及同起点的两个向量相减，对此，我们可以运用向量加减的定义进行合并，当最终形式出现两相反向量之和或相等向量之差时，结果为0.答 D.点评本题巩固了向量加减的定义及向量加法的交换律、结合律等基础知识.求解时需将杂乱的向量运算式有序化处理，必要时也可化减为加，减低出错律.注意：AB→=-BA→ ，CB→=AB→ .变题作图验证A1A2→ A2A3→ A3A4→ … An-1An→=A1An→ （n≥2，n∈N）.例2 如图，在δABC中，D、E为边AB的两个三等分点，CA→=3a，CB→=2b，求CD→ ，CE→ .分析本题中的已知向量都集中体现在三角形中.为此，可充分利用向量加减法的三角形法则实施求解.如已知CA→ 、CB→ 可求AB→ ，根据AD→ 、AE→ 、AB→ 均为共线向量，故又可求得AD→ 、DE→ 、.由CA→ 、AD→ 又可求CD→ ，由DE→ 、CD→ 又可求CE→ .解AB→=AC→ CB→=-3a 2b，因D、E为AB→ 的两个三等分点，故AD→=AB→=-a b=DE→ ，CD→=CA→ AD→=3a-a b=2a b，CE→=CD→ DE→=2a b-a b=a b.点评三角形中两边对应向量已知，可求第三边所对应的向量.值得注意的是，向量的方向不能搞错.当向量运算转化成基底向量的代数式运算时，其运算过程可仿照多项式的加减运算进行.例3 已知A、B、C、P为平面内四点，求证：A、B、C三点在一条直线上的充要条件是存在一对实数m、n，使PC→=mPA→ nPB→ ，且m n=1.分析 A、B、C 三点共线的一个充要条件是存在实数λ，使得AC→=λAB→ .很显然，题设条件中向量表达式并未涉及AC→ 、AB→ ，对此，我们不妨利用PC→=PA→ AC→ 来转化，以便进一步分析求证.证明充分性，由PC→=mPA→ nPB→ ， m n=1，得PA→ AC→=mPA→ n（PA→ AB→ ）=（m n）PA→ nAB→=PA→ nAB→ ，∴AC→=nAB→ .∴A、B、C三点共线.必要性：由A、B、C 三点共线知，存在常数λ，使得AC→=λAB→ ，即AP→ PC→=λ（AP→ PB→ ）.PC→=（λ-1）AP→ λPB→=（1-λ）PA→ λPB→ ，m=1-λ，n=λ，m n=1，PC→=mPA→ nPB→ .点评逆向应用向量加法运算法则，使得本题的这种证法比其他证法更简便，值得一提的是，一个向量拆成两个向量的和，一定要强化目标意识.变题在δA BC 所在平面上有一点P ，满足PA→ PB→ PC→=AB→ ，试确定点 P的位置.答：P在 AC边上，且 P为 AC的一个三等分点（距 A点较近）例4 （1）若点 O是三角形ABC的重心，求证：OA→ OB→ OC→=0；（2）若 O为正方形ABCD的中心，求证：OA→ OB→ OC→ OD→=0；（3）若O 为正五边形ABCDE 的中心，求证：OA→ OB→ OC→ OD→ OE→=0.若 O为正n边形A1A2A3…A n的中心，OA1→ OA2→ OA3→ …OAn→=0 还成立吗？说明理由.分析本题四问构成一个题链，条件相似，结论相似，求证方法可望相似.正三角形、正方形性质特殊，我们十分熟悉，求证方法多，不容易发现那一种方更有利于推广，我们选定正五边形来研究.看着结论，联想一个相似的并且已经解决的问题，本课例1的变题A1A2→ A2A3→ A3A4→ … An-1An→ AnA1→=0 ，这里的向量首尾相接，我们能不能将OA→ 、OB→ 、OC→ 、OD→ 、OE→ 也转化成首尾相接的形式呢？运用向量相等的定义试试看.解证（3）以 A为起点作AB′→=OB→ ，以B′为起点作B′C′→=OC→ ，以C′为起点作C′D′→=OD→ ，以D′为起点作D′E′→=OE→ .∵∠AOB=72o，∴∠OAB′=108o.同理∠AB′C′=∠B′C′D′=∠C′D′E′=108o，故∠D′E′A=108o.|OA→ |=|AB′→ |=∣B′C′→ |=|C′D′→ |=|D′E′→ |，故E′与 O重合，OAB′C′D′为正五边形.OA→ OB→ OC→OD→ OE→=OA→ AB′→ B′C′→ C′D′→D′E′→=0.正三角形，正方形、正n边形可类似获证.点评本题不仅揭示了正多边形的一类共同性质，而且巩固了“以退为进”的数学思想.面对一般的问题，我们经常先考虑其特殊的情况；面对陌生的问题，经常去联想熟悉的模型.注意退是为了进，退到特殊简单情形后，要在求解中悟出一般的规律.如退到正方形情况，发现OA→ OB→ 与OC→ OD→ 正好互为相反向量，结论成立.这一方法却不具一般性.【知能集成】1. 基础知识：向量加减的代数形式运算与几何形式运算.2. 基本技能：向量运算中的合二为一与拆一为二.3. 基本思想：向量表达式运算与几何式运算的相互结合思想，联想熟悉的类似的模型，化归转化思想.【训练反馈】1.下列各式正确的是：（）A.∣a-b∣≤∣a∣ ∣b∣B. a b∣>∣a∣ ∣b∣C.∣a b∣>∣a-b∣D.∣ a-b∣=∣a∣-∣b∣2.下面式子中不能化简成AD→ 的是（）A.OC→ -OA→ C D→B.PB→ -DA→ -BP→C.AB→ -DC→ BC→D.（AD→ -BM→ ）（BC→ -MC→ ）3.正方形ABCD的边长为1，AB→=a，BC→=b，AC→=c，则a b c、a-b c、-a-b c 的摸分别等于 .4.设a、b 为已知向量，若3x 4y=a，2x-3y=b ，则 x=.y=.5. 已知 e1、e2 不共线，AB→=2e1 ke2，CB→=e1 3e2，C D→=2e1-e2，且A、B、D 三点在同一条直线上，求实数k .6.在正六边形ABCDEF中，O 为中心，若OA→=a，OE→=b，用a、b 表示向量OB→ ，OC→ ，OD→ ，结果分别为（），-b-a，-a B. b，-a，b-a，a，，-a，a b7. 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形.8.已知P为△ABO 所在平面内的一点，满足OP→=，则P在（）A.∠AOB的平分线所在直线上B. 线段AB的中垂线上C. AB边所在的直线上D. AB边的中线上.9.设O是平面正多边形A1A2A3…A n 的中心，P为任意点，求证：PA1→ PA2→ PA3→ … PAn→=nPO→ .10.如图设O为△ABC内一点，PQ∥BC，且PQ→ ∶BC→=2∶3，OA→=a，OB→=b，OC→=c，则OP→ ，OQ→ .为△ABC所在平面内一点，PA→ PB→ PC→=0 ，则P为△ABC的（）A.重心B.垂心C. 内心D.外心12.在四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点.求证：EF→=（AB→DC→ ）.第30课向量的坐标运算【考点指津】1. 理解平面向量的坐标表示法，知道平面向量和一对有序实数一一对应.2. 掌握平面向量的和、差、实数与向量积的坐标运算，能利用向量的坐标运算解题.3. 掌握平面向量平行的充要条件的坐标表示，并利用它解决向量平行（共线）的有关问题，弄清向量平行和直线平行的区别.【知识在线】1. 若向量a的起点坐标为（-2，1），终点坐标为（2，-1），则向量a的坐标为2.若O为坐标原点，向量a=（-3，4），则与a共线的单位向量为3.已知a=（-1，2），b=（1，-2），则a b与a-b的坐标分别为（）A.（0，0），（-2，4）B.（0，0），（2，-4）C.（-2，4），（2，-4）D.（1，-1），（-3，3）4.若向量a=（x-2，3），与向量b=（1，y 2）相等，则（）A. x=I，y=3，B. x=3，y=1C. x=1，y=-5D. x=5，y=-15.已知A（0，0），B（3，1），C（4，3），D（1，2），M、N分别为DC、AB的中点.（1）求证四边形ABCD为平行四边形；（2）试判断AM→ 、CN→ 是否共线？为什么？【讲练平台】例1 已知a=（1，2），b=（-3，2），当k为何值时，ka b与a-3b平行？分析已知a、b的坐标，可求a-3b的坐标，ka b的坐标也可用含k的表达式表示.运用两向量平行的充要条件x1y2-x2y1=0可求k值.解由已知a=（1，2），b=（-3，2），得a-3b=（10，-4）， ka b=（k-3，2k 2）.因（ka b）∥（a-3b），故10（2k 2） 4（k-3）=0.得k=- .点评坐标形式给出的两个向量，其横坐标之和即为和向量的横坐标；其纵坐标之和即为和向量的纵坐标.实数与向量的积其横、纵坐标分别等于实数与该向量的横、纵坐标的积.向量的平行用坐标形式表达即为一个方程.例2 已知向量a=（，），b=（-1，2），c=（2，-4）.求向量d，使2a，-b c及4（c-a）与d四个向量适当平移后，能形成一个顺次首尾相接的封闭向量链.分析四个向量适当平移后，形成一个顺次首尾相接的封闭向量链，说明这四个向量之和为0.即四个向量的纵横坐标之和均为0.据此列出关于向量d （x，y）的方程组，不难求得x、y.简解设向量d的坐标为（x，y），由2a （-b c） 4（c-a） d=0，可解得d=（-9，23）.点评数学语言常有多种表达方式，学会转化与变通是求解的关键.本题以几何特征语言形式出现，最终落足点要变式成方程的语言来求解，这一思想方法在求解向量问题时经常用到.例3 已知平面上三点P（2，1），Q（3，-1），R（-1，3）.若点S与这三点可以为一个平行四边形的四个顶点，求S的坐标.分析平行四边形对边对应向量相等或相反，由此可求得S点的坐标.但由于题设四点构成四边形的四个顶点，那一组边是对边不明显，需要分类讨论.简解设S的坐标为（x，y）.（1）当PQ→ 与RS→ 是一组对边时，若PQ→=RS→ ，则（3，-1）-（2，1）=（x 1，y-3），即（1，-2）=（x 1，y-3），得S点坐标为（0，1）.若PQ→=SR→ ，则S点坐标为（-2，5）.（2）当PR→ 与SQ→ 是一组对边时，若PR→=SQ→ ，则S点的坐标为（6，-3）.若PR→=QS→ ，则S点的坐标为（0，1）.（3）当PS→ 与RQ→ 是一组对边时，若PS→=RQ→ ，则S点的坐标为（6，-3）.若PS→=QR→ ，则S点的坐标为（-2，5）.综上所述，S点坐标可以为（0，1），（6，-3），（-2，5）.点评本题求解需运用分类讨论思想.上述解法思路自然、条理清晰，但很显然不是最简方案，如何数形结合，避免重复劳动，读者不妨思考.例4 向量PA→=（k，12），PB→=（4，5），PC→=（10，k），当k为何值时，A、B、C三点共线.分析三点共线问题前一课已涉及，A、B、C三点共线的充要条件是AB→=λBC→ ，本题所不同的是向量用坐标形式给出，对此，我们可以将坐标代入运算.解AB→=PB→ -PA→=（4-k，-7），BC→=PC→ -PB→=（6，k-5）.当A、B、C三点共线时，存在实数λ，使得AB→=λBC→ ，将坐标代入，得4-k=6λ，且 -7=λ（k-5），故（4-k）（k-5）=-42.解得k=11，或k=-2.点评向量的几何运算与向量的坐标运算，可以从不同角度去求解（证）同一个问题.只不过两套工具各有适用范围，即便两套工具都适用，也可能繁简不一，应用时要注意前瞻性选择.变题求证：互不重合的三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）共线的充要条件是（x2-x1）（y3-y1）=（x3-x1）（y2-y1）.证明必要性（略）.充分性若（x2-x1）（y3-y1）=（x3-x1）（y2-y1），由A、B、C互不重合，得（x2-x1）、（y3-y1）、（x3-x1）、（y2-y1）中至少有一个不为零，不妨设x3-x1≠0.令x2-x1=λ（x3-x1），若λ=0，则x2-x1=0，此时y2≠y1（否则A、B重合）.而已知等式不成立，故λ≠0.于是（x3-x1）（y2-y1）=λ（x3-x1）（y3-y1）.因x3-x1≠0 ，故（y2-y1）=λ（y3-y1）.于是（x2-x1，y2-y1）=λ（x3-x1，y3-y1），即AB→=λAC→ ，且AC→ ≠0 .又因AB→ 与AC→ 有相同起点，所以A、B、C三点共线.【知能集成】基础知识：坐标形式的向量的加减运算，实数与向量坐标的积.基本技能：向量平行的充要条件及向量相等的充要条件用坐标形式描述和应用.基本思想：将向量等式转化成方程的思想；对几何图形的分类讨论思想.【训练反馈】1.若a=（2，3），b=（4，y-1），且a∥b，则y=（）A.6B.5C.7D. 82.已知点B的坐标为（m，n），AB→ 的坐标为（i，j），则点A的坐标为（）A.（m-i，n-j）B.（i-m，j-n）C.（m i，n j）D.（m n，i j）3.若A（-1，-1），B（1，3），C（x，5）三点共线，则x=.4.已知a=（5，4），b=（3，2），则与2a-3b平行的单位向量为5.有下列说法① 已知向量PA→=（x，y），则A点坐标为（x，y）；② 位置不同的向量，其坐标有可能相同；③ 已知i=（1，0），j=（0，1），a=（3，4），a=3i-4j ；④ 设a=（m，n），b=（p，q），则a=b的充要条件为m=p，且n=q.其中正确的说法是（）A.①③B.①④C.②③D.②④6.下列各向量组中，不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是（）A.a=（-1，2），b=（0，5）B.a=（1，2），b=（2，1）C.a=（2，-1）b=（3，4）D.a=（-2，1），b=（4，-2）7.设a=（-1，2），b=（-1，1），c=（3，-2），用a、b作基底，可将向量c表示为c=pa qb，则（）A.p=4， q=1B.p=1， q=-4C.p=0 ， q=4D.p=1， q=48.设i=（1，0），j=（0，1），在平行四边形ABCD中，AC→=4i 2j，BD→=2i 6j，则AB→ 的坐标为 .9.已知3s inβ=sin（2α β），α≠kπ ，β≠kπ，k∈z，a=（2，tan （α β）），b=（1，tanα），求证：a∥b.10.已知A（4，0），B（4，4），C（2，6），求AC与OB的交点P的坐标（x，y）.11.已知点O（0，0），A（1，2），B（4，5），且OP→=OA→ tAB→ .（1）当t变化时，点P是否在一条定直线上运动？（2）当t取何值时，点P在y轴上？（3） OABP能否成为平行四边形？若能求出相应的t值；若不能，请说明理由.第31课平面向量的数量积【考点指津】1. 掌握平面向量的数量积及其几何意义.2. 了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题.3. 掌握向量垂直的条件.【知识在线】1.若∣a∣=4，∣b∣=3，a？b=-6，则a与b的夹角等于（）A.150o B 120o C.60o D.30 o2.若a=（-2，1），b=（1，3），则2a2-a？b=（）A，3.已知向量 i=（1，0），j=（0，1），则与向量2i j垂直的一个向量为（）A. 2i-jB. i-2jC. i jD. i-j4.已知a=（1，2），b=（1，1），c=b-ka，且c⊥a，则C点坐标为5.已知∣a∣=3，∣b∣=4，且a与b夹角为60o，∣ka-2b∣=13，求k的值【讲练平台】例1 （1）在直角三角形ABC中，∠C=90o，AB=5，AC=4，求AB→ ？BC→（2）若a=（3，-4），b=（2，1），试求（a-2b）？（2a 3b）分析（1）中两向量AB→ 、BC→ 的模及夹角容易求得，故可用公式a？b=|a||b|cosθ求解.（2）中向量a、b坐标已知，可求a2、b2、a？b，也可求a-2b与2a 3b 的坐标，进而用（x1，y1）？（x2，y2）=x1x2 y1y2求解.解（1）在△ABC中，∠C=90o，AB=5，AC=4，故BC=3，且cos∠ABC=，AB→ 与BC→ 的夹角θ=π-∠ABC，∴AB→ ？BC→=-∣AB→ ∣∣BC→ ∣cos∠ABC=-5×3×=-9.（2）解法一 a-2b=（3，-4）-2（2，1）=（-1，-6），2a-3b=2（3，-4） 3（2，1）=（12，-5），（a-2b）？（2a 3b）=（-1）×12 （-6）×（-5）=18.解法二（a-2b）？（2a 3b）=2a2-a？b-6b2=2[32 （-4）2]-[3×2 （-4）×1]-6（22 12）=18.点评向量的数量积有两种计算方法，一是依据模与夹角来计算，二是依据坐标来计算.具体应用时可根据已知条件的特征来选择.值得注意的是，向量的夹角与向量的方向相关，（1）中∠ABC并非AB→ 与BC→ 的夹角.从第（2）问的解法二可以看到，向量数量积的运算律，类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算.如：a？（b c）=a？b b？c，而（a？b）c≠a（b？c）.例2.已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足OA2 BC2=OB2 CA2，试用向量方法证明AB⊥OC .分析要证AB→ ⊥OC→ ，即证AB→ ？OC→=0，题设中不涉及AB→ ，我们用AB→=AO→ OB→ 代换，于是只需证AO→ ？OC→=BO→ ？OC→ .至此，我们可以尝试将已知等式转化成只含有OA→ 、OB→ 、OC→ 的形式.证明由已知得OA→ 2 BC→ 2=OB→ 2 CA→ 2，即OA→ 2 （BO→OC→ ）2=OB→ 2 （CO→ OA→ ）2，整理得AO→ ？OC→=BO→ ？OC→ ，即OC→ ？（BO→ OA→ ）=0，故OC→ ？AB→=0.所以AB→ ⊥OC→ .点评用向量方法证明垂直问题，通常转化为证两个向量的数量积为0.本题已知式与求证式中向量的表达形式不统一，针对差异进行有目标的化归，是求解的关键所在.例3.设OA→=a=（ 1， -1），OB→=b=（，3），试求∠AOB及δAOB的面积.分析已知a、b可以求|a|、|b|及a？b，进而求得∠AOB（即a与b的夹角），在求到三角形的两边及夹角后，可用公式：S=∣a∣∣b∣sinθ求面积.解设∠AOB=θ，δAOB的面积为S，由已知得：∣OA→ ∣=∣a∣==2 ，∣OB→ ∣=∣b∣=2 ，∴cosθ===.∴θ=.又S=∣a∣∣b∣sinθ=？2=2 ，即∠AOB=，δAOB的面积为2 .点评向量的数量积公式a？b=∣a∣∣b∣cosθ不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角.要注意该公式与三角形的面积公式的区别.此外，本题的解题方法可适用于更一般的情况（见变题）.变题设δABC的面积为S，AB→=a，AC→=b，求证S=例4.已知a与b都是非零向量，且a 3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角.分析要求夹角θ，必需求出cosθ；求cosθ需求出a？b与∣a∣∣b∣的比值（不一定要求出∣a∣、∣b∣的具体值）.由已知的两个向量的垂直关系，可以得到∣a∣∣b∣与a？b的关系.解∵（a 3b）⊥（7a-5b），（a-4b）⊥（7a-2b），∴ （a 3b）？（7a-5b）=0，（a-4b）？（7a-2b）=0.即 7a2 16a？b-15b2=0，7a2-30a？b 8b2=0.两式相减，得 b2=2a？b.故 a2=b2 ，即∣a∣=∣b∣.∴cosθ==.∴θ=60o ， a与b的夹角为60o .点评从基本量思想考虑，似乎没有具体的a与b，无法求出a与b的夹角，其实不然，cosθ是一个a？b与∣a∣∣b∣的比值，并不需要具体分别求出.类似于本题的条件表明，向量的数量积公式、向量的垂直关系都揭示了一种数量积与模的关系，就此意义而言，它们的本质是一致的相通的，可以相互转化和利用.在本题求解过程中注意，b2=2a？b不能得出b=2a，同样a2=b2也不能得到a=±b.【知能集成】基础知识：向量数量积的两种计算公式，向量垂直的充要条件.基本技能：求向量数量积、模及向量的夹角，向量垂直问题的论证与求解.基本思想：向量表达式的数量积与多项式乘法进行类比的思想，将线的垂直这一图形特征转化成方程解决的思想.求向量夹角时的设而不求的思想.【训练反馈】。

高三数学一轮复习 2.3 平面向量学案

高三数学一轮复习 2.3 平面向量学案第三讲平面向量【最新考纲透析】1．平面向量的实际背景及基本概念（1）了解向量的实际背景。

（2）理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义。

（3）理解向量的几何意义。

2．向量的线性运算（1）掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义。

（2）掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义。

（3）了解向量线性运算的性质及其几何意义。

3．平面向量的基本定理及坐标表示（1）了解平面向量的基本定理及其意义。

（2）掌握平面向量的正交分解及其坐标表示。

（3）会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算。

（4）理解用坐标表示的平面向量共线的条件。

4．平面向量的数量积（1）理解平面向量数量积的含义及其物理意义。

（2）了解平面向量的数量积与向量投影的关系。

（3）掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算。

（4）能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。

5．向量的应用（1）会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

（2）会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题。

【核心要点突破】要点考向1：向量的有关概念及运算考情聚焦：1．向量的有关概念及运算，在近几年的高考中年年都会出现。

2．该类问题多数是单独命题，考查有关概念及其基本运算；有时作为一种数学工具，在解答题中与其他知识点交汇在一起考查。

3．多以选择、填空题的形式出现，有关会渗透在解答题中。

考向链接：向量的有关概念及运算要注意以下几点：（1）正确理解相等向量、共线向量、相反向量、单位向量、零向量等基本概念，如有遗漏，则会出现错误。

（2）正确理解平面向量的运算律，一定要牢固掌握、理解深刻（3）用已知向量表示另外一些向量，是用向量解题的基础，除了用向量的加减法、实数与向量乘积外，还要充分利用平面几何的一些定理，充分联系其他知识。

例1：（2010·山东高考理科·Ｔ12）定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下，对任意的a=(m,n)，b p,q)=（，令a ⊙b mq np =-，下面说法错误的是（） A.若a 与b 共线，则a ⊙b 0= B. a ⊙b = b ⊙a C.对任意的R λ∈，有()a λ⊙b = (a λ⊙)b D. (a ⊙b )2222()a b a b +⋅= 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.【思路点拨】根据所给定义逐个验证.【规范解答】选B ，若a 与b 共线，则有a ⊙b 0mq np =-=，故A 正确；因为b ⊙apn qm =-,，而a ⊙b mq np =-，所以有a ⊙b ≠ b ⊙a ，故选项B 错误，故选B.【方法技巧】自定义型信息题1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型.2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性要点考向2：与平面向量数量积有关的问题考情聚焦：1．与平面向量数量积有关的问题（如向量共线、垂直及夹角等问题）是高考考查的重点。

高中数学《平面向量》的教案

高中数学《平面向量》的教案人教版高中数学《平面向量》的教案作为一位优秀的人民教师，常常要根据教学需要编写教案，教案有利于教学水平的提高，有助于教研活动的开展。

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高中数学《平面向量》的教案篇1第一教时教材：向量目的：要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念，并能作一个向量与已知向量相等，根据图形判定向量是否平行、共线、相等。

过程：一、开场白：本P93（略）实例：老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，问：猫能否追到老鼠？（画图）结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。

二、提出题：平面向量1．意义：既有大小又有方向的量叫向量。

例：力、速度、加速度、冲量等注意：1数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。

2从19世纪末到20世纪初，向量就成为一套优良通性的数学体系，用以研究空间性质。

2．向量的表示方法：1几何表示法：点—射线有向线段——具有一定方向的线段有向线段的三要素：起点、方向、长度记作（注意起讫）2字母表示法：可表示为（印刷时用黑体字）P95 例用1cm表示5n mail（海里）3．模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。

记作：模是可以比较大小的4．两个特殊的向量：1零向量——长度（模）为0的向量，记作。

的方向是任意的。

注意与0的区别2单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。

例：温度有零上零下之分，“温度”是否向量？答：不是。

因为零上零下也只是大小之分。

例：与是否同一向量？答：不是同一向量。

例：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？单位向量是否都相等？答：有无数个单位向量，单位向量大小相等，单位向量不一定相等。

三、向量间的关系：1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。

记作：∥ ∥规定：与任一向量平行2．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。

第03讲平面向量基本定理及其拓展(爪子定理)(高阶拓展)(教师版) 2025年高考数学一轮复习学案

第03讲平面向量基本定理及其拓展（“爪子定理”）（高阶拓展）（3类核心考点精讲精练）1. 5年真题考点分布2. 命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的必考内容，设题稳定，难度较低，分值为5分【备考策略】1.理解平面向量基本定理及其意义2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示3.掌握基底的概念及灵活表示未知向量4.会综合应用平面向量基本定理求解【命题预测】本节一般考查平面向量数量积基本定理的基底表示向量、在平面几何图形中的应用问题，易理解，易得分，需重点复习。

1.平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.其中，不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．（1）．基底e 1，e 2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底．（2）基底给定，同一向量的分解形式唯一．　2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．应用平面向量基本定理应注意的问题(1)只要两个向量不共线，就可以作为平面向量的一组基底，基底可以有无穷多组．(2)利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减运算或数乘运算.3. 形如AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r条件的应用（“爪子定理”）“爪”字型图及性质：（1）已知,AB AC uuu r uuu r 为不共线的两个向量，则对于向量AD uuu r，必存在,x y ，使得AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r 。

则,,B C D 三点共线Û1x y +=当01x y <+<，则D 与A 位于BC 同侧，且D 位于A 与BC 之间当1x y +>，则D 与A 位于BC 两侧1x y +=时，当0,0x y >>，则D 在线段BC 上；当0xy <，则D 在线段BC 延长线上（2）已知D 在线段BC 上，且::BD CD m n =，则n m AD AB AC m n m n=+++uuu r uuu r uuu r 3、AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r中,x y 确定方法（1）在几何图形中通过三点共线即可考虑使用“爪”字型图完成向量的表示，进而确定,x y（2）若题目中某些向量的数量积已知，则对于向量方程AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r，可考虑两边对同一向量作数量积运算，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解（3）若所给图形比较特殊（矩形，特殊梯形等），则可通过建系将向量坐标化，从而得到关于,x y 的方程，再进行求解B1．（2024高三·全国·专题练习）下列各组向量中，可以作为基底的是（）．A ．()10,0e =r，()21,2e =-r B ．()11,2e =-r ，()25,7e =r C ．()13,5e =r，()26,10e =r D ．()12,3e =-r，213,24e æö=-ç÷èør 【答案】B【分析】不共线的非零向量可以作为向量的基底.【详解】因为()11,2e =-r 与()25,7e =r不共线，其余选项中1e r 、2e r 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B【点睛】本题考查平面向量的基本定理及其意义，属于基础题.2．（2024高三·全国·专题练习）如果12,e e r r是平面α内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（）A ．1e r 与12e e +r r B ．122e e -r r 与122e e +r r C ．12e e +r r 与12e e -r r D ．123e e +r r 与1226e e +r r 【答案】D【分析】分别验证四个选项中的两向量是否共线即可选出正确答案.【详解】选项A 中，设121=e e e l +r r r，无解，则两向量不共线；选项B 中，设()12122=2e e e e l -+r r r r，则=11l l ìí=-î，无解，则两向量不共线；选项C 中，设()1212=e e e e l +-r r r r，则=11l l ìí=-î，无解，则两向量不共线；选项D 中，()121213262e e e e +=+r r r r，所以两向量是共线向量．故选:D .【点睛】本题考查了基底的涵义，考查了两向量是否共线的判定.本题的关键是判断两向量是否共线.3．（2023高三·福建·阶段练习）下列向量组中，可以用来表示该平面内的任意一个向量的是（）A ．()1,2a =r ，()0,0b =r B ．()1,2a =r，()1,2b =--r C ．()1,2a =r，()5,10b =r D ．()1,2a =r，()1,2b =-r 【答案】D【分析】根据平面向量基本定理可知，表示平面内的任意向量的两个向量不能共线，结合选项，即可判断.【详解】表示平面内的任意一个向量的两个向量不能共线，A.向量b r是零向量，所以不能表示平面内的任意向量，故A 错误；B.a b =-r r，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故B 错误；C.5b a =r r，两个向量共线，所以不能表示平面内的任意向量，故C 错误；D.不存在实数l ，使b a l =r r，所以向量,a b r r 不共线，所以可以表示平面内的任意向量，故D 正确.故选：D1．（2023·陕西西安·一模）设R k Î，下列向量中，可与向量()1,1q =-r组成基底的向量是（）A ．(),b k k =rB ．(),c k k =--rC ．()221,1k d k =++u rD ．()221,1k e k =--r 【答案】C【分析】根据构成基地向量的条件不共线的两个非零向量解决.【详解】对于AB 项，若0k =时，()0,0b =r，()0,0c =r 不满足构成基向量的条件，所以AB 都错误；对于D 项，若1k =±时，()0,0e =r不满足构成基向量的条件，所以D 错误；对于C 项，因为2R,10k k "Î+¹，又因为()()()2211110k k +´--+´¹恒成立，说明d u r 与q r 不共线，复合构成基向量的条件，所以C 正确.故选：C2．（2023高三·全国·专题练习）设{}12,e e u r u u r为平面内的一个基底，则下面四组向量中不能作为基底的是（）A ．12e e +u r u u r 和12e e -u r u ur B ．1224e e +u r u u r 和2124e e -u u r u rC ．122e e +u r u u r 和1212e e +u r u u r D ．122e e -u r u u r 和2142e e +u u r u r【答案】C【分析】根据基底的概念确定正确答案.【详解】平面向量的基底由两个不共线的非零向量组成，C 选项中，12121222e e e e æö+=+ç÷èøu r u u r u r u u r ，即122e e +u r u u r 和1212e e +u r u u r 为共线向量，所以它们不能作为基底.其它选项中的两个向量都没有倍数关系，所以可以作为基底.故选：C1．（2022·全国·高考真题）在ABC V 中，点D 在边AB 上，2BD DA =．记CA m CD n ==uuu r uuu r r r ，，则CB uuu r=（）A ．32m n-r r B ．23m n -+r r C ．32m n +r r D ．23m n +r r【答案】B【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．【详解】因为点D 在边AB 上，2BD DA =，所以2BD DA =uuu r uuu r，即()2CD CB CA CD -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以CB uuu r =3232CD CA n m -=-uuu r uuu r r u r 23m n =-+r r ．故选：B ．2．（全国·高考真题）在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =uuu vA ．3144AB AC-uuuv uuu v B ．1344AB AC-uuuv uuu v C ．3144+AB AC uuuv uuu v D ．1344+AB AC uuuv uuu v 【答案】A【分析】分析：首先将图画出来，接着应用三角形中线向量的特征，求得1122BE BA BD =+uuu v uuu v uuu v，之后应用向量的加法运算法则-------三角形法则，得到BC BA AC =+uuu v uuu v uuu v，之后将其合并，得到3144BE BA AC =+uuu v uuu v uuu v ，下一步应用相反向量，求得3144EB AB AC =-uuu v uuu v uuu v，从而求得结果.【详解】根据向量的运算法则，可得()111111222424BE BA BD BA BC BA BA AC =+=+=++uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v uuu v1113124444BA BA AC BA AC uuuv uuu v uuu v uuu v uuu v =++=+，所以3144EB AB AC =-uuu v uuu v uuu v，故选A.【点睛】该题考查的是有关平面向量基本定理的有关问题，涉及到的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算.3．（2024·陕西安康·模拟预测）在ABC V 中，M 是AB 的中点，3,AN NC CM =uuu r uuu r 与BN 相交于点P ，则AP =uuu r（）A ．3155AB AC +uuu r uuu r B ．1355AB AC +uuur uuu r C ．1324AB AC +uuur uuu r D ．3142AB AC +uuur uuu r 【答案】B【分析】根据向量的线性运算、三点共线等知识列方程组，由此求得正确答案.【详解】设AP AB AC l m =+uuu r uuu r uuu r ，由M 是AB 的中点，得2AB AM =uuu r uuuu r，由3AN NC =uuu r uuu r，得43AC AN =uuu r uuu r ，所以2AP AM AC l m =+uuu r uuuu r uuu r，且43AP AB AN l m =+uuu r uuu r uuu r ，由CM 与BN 相交于点P 可知，点P 在线段CM 上，也在线段BN 上，由三点共线的条件可得21413l m l m +=ìïí+=ïî，解得1535l m ì=ïïíï=ïî，所以1355AP AB AC =+uuu r uuu r uuu r .故选：B1．（广东·高考真题）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ，若AC a =uuu v v ，BD b =uuu v v ，则AF =uuu vA ．1142a b+v v B ．2133a b+v vC ．1124a b+vv D ．1233a b+v v【答案】B【分析】利用平面几何知识求解【详解】如图，可知222()333AF AC CF AC CD AC AB AC AO OB =+=+=-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r =2112112132232233AC AC BD a a b a b æöæö--=--=+ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r uuu r r r r rr ，选B.【点睛】本题考查向量的运算及其几何意义，同时要注意利用平面几何知识的应用，2．（2024·山西吕梁·三模）已知等边ABC V 的边长为1，点,D E 分别为,AB BC 的中点，若3DF EF =uuu r uuu r ，则AF =uuu r （）A ．1526AB AC +uuur uuu r B ．1324AB AC +uuur uuu r C ．12AB AC+uuur uuu r D ．1322AB AC+r r 【答案】B【分析】取{},AC AB uuu r uuu r为基底，利用平面向量基本定理结合已知条件求解即可.【详解】在ABC V 中，取{},AC AB uuu r uuu r为基底，则2,,60AC AB AC AB ===ouuu r uuu r uuu r uuu r ，因为点,D E 分别为,AB BC 的中点，3DF EF =uuu r uuu r,所以1124DE AC EF ==uuu r uuu r uuu r ，所以()11132424AF AE EF AB AC AC AB AC =+=++=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .故选：B.3．（22-23高一下·河南洛阳·阶段练习）在ABC V 中，点M 是AB 的中点，N 点分AC 的比为:1:2,AN NC BN =与CM 相交于E ，设,AB a AC b ==uuu r uuu r r r ，则向量AE =uuu r（）A ．1132a b+r r B ．1223a b+rr C ．2155a b+rr D ．3455a b+rr【答案】C【分析】由三点共线性质以及平面向量基本定理解方程组即可得解.【详解】由题意,,B E N 三点共线，所以存在R l Î，使得()113AE AB AN AB AC l l l l -=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，同理,,C E M 三点共线，所以存在R m Î，使得()112AE AC AM AC AB m m m m -=+-=+uuu r uuu r uuuu ruuu r uuu r，由平面向量基本定理可得1213m l lm -ì=ïïí-ï=ïî，解得21,55l m ==，所以2155AE a b =+uuu r rr .故选：C.1．（全国·高考真题）设D 为ABC V 所在平面内一点，且3BC CD =uuu r uuu r，则（）A. 1433AD AB AC =-+uuu r uuur uuu rB. 1433AD AB AC=-uuu r uuu r uuu rC. 4133AD AB AC =+uuu r uuu r uuu rD. 4133AD AB AC=-uuu ruuur uuu r 答案：A解析：由图可想到“爪字形图得：1344AC AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，解得：1433AD AB AC=-+uuu r uuur uuu r 2. 如图，在ABC V 中，13AN NC =uuu r uuu r ，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r，则实数m 的值为（）A.911 B.511C.311D.211解：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP mAB nAN =+uuu r uuu r uuu r ，且1m n +=，由13AN NC =uuu r uuu r 可得14AN AC =uuu r uuu r ，所以14AP mAB nAC =+uuu r uuu r uuu r ，由已知211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r 可得：12841111n n =Þ=，所以311m =答案：C3. 如图，在ABC V 中，13AN NC =uuu r uuu r ，P 是BN 上的一点，若211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r，则实数m 的值为（）A.911 B.511C.311D.211解：观察到,,B P N 三点共线，利用“爪”字型图，可得AP mAB nAN =+uuu r uuu r uuu r ，且1m n +=，由13AN NC =uuu r uuu r 可得14AN AC =uuu r uuu r ，所以14AP mAB nAC =+uuu r uuu r uuu r ，由已知211AP mAB AC =+uuu r uuu r uuu r 可得：12841111n n =Þ=，所以311m =答案：C1．（2024·云南昆明·一模）在ABC V 中，点D 满足4AD DB =uuu r uuu r，则（）A ．1344CD CA CB=+uuu r uuu r uuu r B ．3144CD CA CB=+uuu r uuu r uuu r C ．1455CD CA CB =+uuu ruuu r uuu r D ．4155CD CA CB=+uuu ruuu r uuu r 【答案】C【分析】利用平面向量的加减法则，根据向量定比分点代入化简即可得出结果.【详解】如下图所示：易知()()4441455555CD CA AD CA AB CA AC CB CA CA CB CA CB =+=+=++=+-+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ；即可得1455CD CA CB =+uuu r uuu r uuu r.故选：C2．（2024·广东广州·一模）已知在ABC V 中，点D 在边BC 上，且5BD DC =uuu r uuur ，则AD =uuu r（）A ．1566AB AC +uuur uuu r B ．1566AC AB +r r C ．1455AB AC +uuur uuu r D ．4155AB AC +uuur uuu r 【答案】A【分析】根据向量的线性运算即可.【详解】在ABC V 中，BC AC AB uuu r uuu r uuu r =-，又点D 在边BC 上，且5BD DC =uuu r uuur，则()55156666AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，故选：A.A ．13,22x y ==C ．13,22x y =-=-【分析】用向量的线性运算把向量AD uuu r分解成AD xAB y AC =+uuu r uuu r uuu r 形式即可得答案.【详解】∵3,2AD AB BD BD BC =+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，∴()33132222AD AB BC AB AC AB AB AC =+=+-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，故选：B ．【分析】分点内分与外分线段BC 讨论，再由向量的线性运算求解即可.【详解】当D 点在线段BC 上时，如图，()331313444444AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b ®®=+=+=+-=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以114334m n ==，当D 点在线段BC 的延长线上时，如图，()331313222222AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC a b ®®=+=+=+-=-+=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，则112332m n -==-，故选：BC.1．（2024·上海浦东新·三模）给定平面上的一组向量1e u r 、2e u ur ，则以下四组向量中不能构成平面向量的基底的是（）A ．122e e +u r u u r 和12e e -u r u u r B ． 123e e +u r u u r 和213e e +u ur u r C ． 123e e -u r u u r 和2126e e -u u r u r D ． 1e u r 和12e e +u r u u r 【答案】C【分析】根据平面向量共线定理，结合选项，进行逐一分析即可.【详解】对A ：不存在实数l ，使得()12122e e e e l +=-u r u u r u r u u r ，故122e e +u r u u r 和12e e -u r u u r不共线，可作基底；对B ：不存在实数l ，使得()122133e e e e l +=+u r u u r u u r u r，故123e e +u r u u r 和213e e +u ur u r 不共线，可作基底；对C ：对 123e e -u r u u r 和2126e e -u u r u r ，因为21,e e u r u u r是不共线的两个非零向量，且存在实数2-，使得()21122326e e e e =---u r u u u u r u rr ，故123e e -u r u u r 和2126e e -u u r u r共线，不可作基底；对D ：不存在实数l ，使得()112e e e l =+u r u r u u r ，故1e u r 和12e e +u r u u r 不共线，可作基底.故选：C.2．（2024·浙江绍兴·二模）已知四边形ABCD 是平行四边形，2EC BE =uuu r uuu r ，2DF FC =uuu r uuu r ，记AB a uuu r r=，AD b =uuu r r ，则EF =uuu r（）A ．1233a b -+r r B ．1233a b--r rC ．2133a b+r rD ．2133a b-r r 【答案】A【分析】根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解即得.【详解】在ABCD Y 中，2EC BE =uuu r uuu r ，2DF FC =uuu r uuu r ，AB a uuu r r=，AD b =uuu r r ，所以12123333EF CF CE CD CB a b =-=-=-+uuu r u ruuu uu r uuu u r r r r uu .故选：A3．（2024·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，2,EB AE BF FC ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，记,AB a AD b ==uuu r uuu r r r ，则EF =uuu r（）A ．2132a b-r r B ．2132a b+rr C ．1132a b+r r D ．1223a b+r r 【答案】B【分析】由向量的线性运算，用,AB AD uuu r uuu r 表示EFuuu r【详解】因为2,EB AE BF FC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，则有211,322EB AB BF BC AD ===uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，所以2132EF EB BF a b =+=+uuu r uuu r r uur ru .故选：B ．4．（2024·山东济南·二模）在ABC V 中，E 为边AB 的中点，23BD BC =uuu r uuu r ，则DE =uuu r（）A ．1263AB AC -+uuu r uuu r B ．5163AB AC +uuur uuu r C ．1263AB AC+uuur uuu r D ．1263AB AC-uuur uuu r 【答案】D【分析】借助平面向量的线性运算及平面向量基本定理计算即可得解.【详解】因为E 为边AB 的中点，23BD BC =uuu r uuu r，所以()212131262233DE DB BE CB AB AB AC A C B AB A =+=-=---=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu u u uuu r uuu r uuu r u r r uu r u .故选：D.5．（2024·全国·模拟预测）已知等边三角形ABC 的边长为2，P 为ABC V 的中心，PE AC ^，垂足为E ，则PE =uuu r（）A ．1233AB AC -+uuur uuu r B ．1136AB AC-+uuu r uuu r C ．1163AB AC-+uuur uuu r D ．2133AB AC-+r r 【答案】B【分析】连接AP 并延长，交BC 于点D ，根据P 为ABC V 的中心，易得D 为BC 的中点，E 为AC 的中点，利用平面向量的线性运算求解.【详解】解：如图所示：连接AP 并延长，交BC 于点D ，因为P 为ABC V 的中心，所以D 为BC 的中点．又,PE AC E ^\为AC 的中点，1223PE AE AP AC AD \=-=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，()1211123236AC AB AC AB AC =-´+=-+uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，故选：B ．6．（2024·陕西安康·模拟预测）在梯形ABCD 中，3,DC AB E =uuu r uuu r 为线段AD 的中点，2DF FC =uuu r uuu r ，则EF =uuu r （）A ．12BA BC-+uuu r uuu r B ．12BA BC-+uuur uuu r C ．1122BA BC-+uuur uuu r D ．32BA BC-+uuu r uuu r【答案】A【分析】先用向量和三角形减法法则得EF DF DE =-uuu r uuu r uuu r ，再对它们进行线性运算转化为5122EF BA BD -+=uuu r uuur uuu r ，此时继续找到3BD BC BA =+uuu r uuu r uuu r，从而可得结果.【详解】由图可得：EF DF DE =-uuu r uuu r uuu r，由2,DF FC E =uuu r uuu r 为线段AD 的中点可得，2312EF DC DA =-uuu r uuu r uuu r ，再由3DC AB =uuu r uuu r可得，()()215133222EF BA BA BD BA BD =´---=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，又因为3BD BC CD BC BA +==+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，代入得：()5113222EF BA BC BA BA BC =-++=-+uuu r uuur uuu r uuu r uuu r uuu r ，故选：A.7．（2024·四川·模拟预测）已知平行四边形ABCD 中，E 为AC 中点.F 为线段AD 上靠近点A 的四等分点，设AB a =uuu r r，AD b uuu r r =，则EF =uuu r （）A ．1142a b--r r B ．3142a b--rr C ．1124a b--r r D ．1324a b--r r 【答案】C【分析】利用向量的线性运算可得答案.【详解】如图所示，由题意可得AC AB AD a b =+=+uuu r uuu r uuu r rr ，而()111111242424EF EA AF CA AD a b b a b =+=+=-++=--uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r r r r ，故选：C.8．（2024·黑龙江·模拟预测）已知在梯形ABCD 中，//AB CD 且满足2AB DC =uuu r uuur，E 为AC 中点，F 为线段AB上靠近点B 的三等分点，设AB a =uuu r r，AD b uuu r r =，则EF =uuu r （）．A ．2132a b-r r B ．3146a b-rr C ．51122a b -rr D ．1126a b-r r【答案】C【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得.【详解】如图所示，由题意可得1122AC AD DC AD AB b a =+=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r r ，而121125123223122EF EA AF CA AB b a a a b æö=+=+=-++=-ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r r rr r r .故选：C ．9．（2024·广东汕头·三模）已知四边形ABCD 是平行四边形，2BE EC =uuu r uuu r ，DF FC =uuu r uuu r ，则EF =uuu r（）A ．1123AB AD -+uuur uuu r B ．1123AB AD --uuur uuu r C ．1132AB AD-+uuur uuu r D ．1132AB AD--uuur uuu r 【答案】A【分析】根据给定条件，利用向量的加法，结合共线向量求解即得.【详解】在ABCD Y 中，由2BE EC =uuu r uuu r ，DF FC =uuu r uuur ，得11113223EF EC CF BC CD AB AD =+=+=-+uuu r uuu r uuu r uuu u uu r uuu u r r uu r .故选：A10．（2024·广东佛山·模拟预测）在ABC V 中，,AB a AC b ==uuu r uuu r rr ，若2,2AC EC BC DC ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，线段AD 与BE 交于点F ，则CF =uuu r（）A ．1233a b+r r B ．1233a b-rrC ．1233a b-+r r D ．1233a b--r r【答案】B【分析】根据中线性质得出23AF AD = r r，再由平面向量线性运算即可求得结果.【详解】如下图所示：由2,2AC EC BC DC ==uuu r uuu r uuu r uuu r可得,D E 分别为,BC AC 的中点，由中线性质可得23AF AD = r r，又()()1122AD AB AC a b =+=+uuu r uuu r uuu r r r ，所以()()211323AF a b a b =´+=+uuu r r r r r ，因此()112333CF CA AF b a b a b =+=-++=-uuu r uuu r uuu r r r rr r .故选：B一、单选题1．（2024·福建漳州·模拟预测）在ABC V 中，D 是边BC 上一点，且2,BD DC E =是AC 的中点，记,AC m AD n ==uuu r uuu r u r r ，则BE =uuu r（）A ．533n m-r u r B ．732n m-r u r C ．732m n-u r r D ．532m n-u r r 【答案】D【分析】根据平面向量的线性运算法则进行运算即可.【详解】1()2BE AE AB AC AC CB =-=-+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ()113322AC CD AC AD AC =--=---uuu r uuu r uuu ruuu r uuu r 553322AC AD m n =-=-uuu r uuu r r r ，故选：D ．2．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD ，点P 在BCD △的内部（不含边界），则下列选项中，AP uuu r可能的关系式为（）A ．1355AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r B ．1344AP AB AD=+uuu r uuu r uuu rC ．2334AP AB AD=+uuu r uuu r uuu rD ．2433AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r【答案】C【分析】根据题意，设AP xAB y AD =+uuu r uuu r uuu r，结合平面向量的基本定理，逐项判定，即可求解.【详解】设(,R)AP xAB y AD x y =+Îuuu r uuu r uuu r，由平面向量的基本定理，可得：当1x y +=时，此时点P 在直线BD 上；当01x y <+<时，此时点P 在点A 和直线BD 之间；当12x y <+<时，此时点P 在点C 和直线BD 之间；当2x y +=时，此时点P 在过点C 且与直线BD 平行的直线上，对于A 中，由向量1355AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足13155+<，所以点P 在ABD △内部，所以A 错误；对于B 中，由1344AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足13144+=，所以点P 在BD 上，所以B 错误；对于C 中，由2334AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足231234<+<，所以点P 可能在BCD △内部，所以C 正确；对于D 中，由2433AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r ，满足24233+=，此时点P 在过点C 且与直线BD 平行的直线上，所以D错误.故选：C.3．（2023·湖南·一模）在ABC V 中，点D 满足2,AD DB E =uuu r uuu r 为BCD △重心，设,BC m AC n ==uuu r uuu r r r ，则AE uuu r可表示为（）A ．1233m n+r r B ．1233m n-+r rC ．5899m n-+r rD ．5899m n+r r 【答案】C【分析】根据向量的线性运算、三角形的重心等知识求得正确答案.【详解】()211211323333AE AC CE AC CD CB AC CB CA CB æö=+=+´´+=+++ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r .()2199n m =+×-+r r ()()158399n m m n -+×-=-+rrr r .故选：C4．（22-23高三上·全国·阶段练习）在平行四边形ABCD 中，2BE ED =uuu r uuu r ，2AF AC AB =+uuu r uuu r uuu r，若(),EF AB AD l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，则lm=（）A ．1B ．2C ．4D ．8【答案】D【分析】根据向量的加减运算及数乘运算可得8133EF AB AD =+ r r r，从而得解.【详解】223AF AC AB AB AD AB AB AD =+=++=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，Q 22()AE AB BE AB ED AB AD AE =+=+=+-uuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu ruuu r uuu r，\2331AE AD AB =+uuur uuu ruuu r ，\113283333EF AF AE AB AD AD AB AB AD =-=+--=+uuur uuu ruuur uuur uuu ruuu ruuu r uuu r uuu r ，Q EF AB AD l m =+uuu r uuu r uuu r，83l \=，13m =，8l m \=．故选：D ．5．（2024·内蒙古包头·一模）如图，在菱形ABCD 中，4AB =，60ABC Ð=o ，,E F 分别为,AB BC 上的点，3BE EA =uuu r uuu r ，3BF FC =uuu r uuu r．若线段EF 上存在一点M ，使得()12DM DC xDA x =+ÎR uuuu r uuu r uuu r ，则DM CA ×uuuu r uuu r 等于（）A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】A【分析】以,BE BF uuu r uuu r 为基底可表示出BM uuuu r，由三点共线可构造方程求得x，将所求数量积化为()1324BA BC BA BC æö--×-ç÷èøuuur uuu r uuu r uuu r ，根据数量积的定义和运算律可求得结果.【详解】3BE EA =uuu r uuu r Q ，3BF FC =uuur uuu r ，43BA BE \=uuu r uuu r ，43BC BF =uuu r uuu r ，1112422233x DM DC xDA AB xCB BA xBC BE BF \=+=+=--=--uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r ，()24133BM BD DM BA BC DM BE x BF \=+=++=+-uuuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r，,,E M F Q 三点共线，()241133x \+-=，解得：34x =，1324DM BA BC \=--uuuu r uuu r uuu r ，()221311324244DM CA BA BC BA BC BA BA BC BC æö\×=--×-=--×+ç÷èøuuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuur uuu r uuu r uuu r 84cos 60122=--+=o .故选：A.6．（2024·河北衡水·模拟预测）在ABC V 中，D 是BC 的中点，直线l 分别与,,AB AD AC 交于点,,M E N ，且43AB AM =uuu r uuuu r ，2,AE ED AC AN l ==uuu r uuu r uuu r uuu r，则l =（）A ．85B ．53C ．74D ．52【答案】B【分析】根据向量运算法则，利用,AM AN uuuu r uuu r 表示AE uuu r，结合向量三点共线的定理列式运算求解.【详解】由2AE ED =uuu r uuu r，得()21144333393AE AD AB AC AM AN AM AN l l æö==+=+=+ç÷èøuuu r uuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuuu r uuu r .因为,,M E N 共线，所以4193l+=，解得53l =.故选：B.7．（2024·宁夏银川·模拟预测）在ABC V 中，2BD DC =uuu r uuu r，过点D 的直线分别交直线AB 、AC 于点E 、F ，且,AE mAB AF nAC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，其中0m >，0n >，则2m n +的最小值为（）A ．2BC ．3D ．83【答案】C【分析】根据题意以,AB AC uuu r uuu r 为基底表示出AD uuu r ，再根据,,E F D 三点共线，利用共线定理可得12133m n+=，再由基本不等式即可求得2m n +的最小值为3.【详解】如下图所示：因为2BD DC =uuu r uuu r，易知()22123333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，又,AE mAB AF nAC ==uuu r uuu r uuu r uuu r，所以12123333AD AB AC AE AF m n +=+=uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，易知,,E F D 三点共线，利用共线定理可得12133m n+=，又0m >，0n >，所以()1212245252223333333333m n m n m n m n n m æö+=++=+++³=´+=ç÷èø；当且仅当2233m nn m=，即1m n ==时，等号成立，所以2m n +的最小值为3.故选：C二、多选题8．（2024·河北廊坊·模拟预测）如图，在矩形ABCD 中，6,4,AB BC E ==是BC 的中点，F 是DC 上的一点，且2DF FC =，则下列说法正确的是（）A ．23AF AB AD=+uuu r uuu r uuu r B ．13AF AB AD=+uuu r uuu r uuu r C ．28AE AF ×=uuu r uuu rD ．32AE AF ×=uuu r uuu r【答案】AD【分析】利用向量加法法则运算判断AB ，先用加法法则求得12AE AB AD =+uuu r uuu r uuu r，再利用数量积的定义及运算律求解判断CD.【详解】2233D AF AD DF A C AB D AD =+==++uuu r uuu uuu r uuu r uuu r uuu u u r rr u ，故A 正确，B 错误；因为1122AE AB BE AB BC AB AD =+=+=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，所以1223AE AF AB AD AB AD æöæö×=+×+ç÷ç÷èøèøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r 22124824032233AD AB AD AB =++×=++=uuu r uuur uuu r uuu r ，故C 错误，D 正确.故选：AD.三、填空题9．（23-24高三上·天津和平·阶段练习）如图，在ABC V 中，2,3,3AB AC AB AC ==×=uuu r uuu r，点D 是BC 的中点，点E 在边AC 上，3,AE AC BE =uuu r uuu r交AD 于点F ，设(),BF AB AC l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，则l m += ；点G 是线段BC 上的一个动点，则BF FG ×uuu r uuu r的最大值为．【答案】12-/0.5- 98【分析】利用平面向量的基本定理计算即可得空一，利用平面向量数量积的运算律计算即可得空二.【详解】设,AF mAD BF nBE ==uuu r uuu r uuu r uuu r ，由题意可知112222m m AD AB AC AF AB AC =+Þ=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，133n BE AE AB AC AB BF AC nAB =-=-Þ=-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，则()1322n m m AF AB BF AC n AB AB AC =+=+-=+uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r，因为AB AC 、不共线，所以有13223142n m m m n n ìì==ïïïïÞííïï=-=ïïîî，此时3131414424BF AC AB l l m m ì=-ïï=-ÞÞ+=-íï=ïîuuu r uuu r uuu r ；可设()[]()0,1BG k BC k AC AB k ==-Îuuu r uuu r uuu r uuu r ，则()2221334444k k BF FG k AC AB BF AC AB AC k AB AC AB BF æöéù×=--×-=-×+-ç÷ëûèøuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，92794168k =-£当C G 、重合时取得等号.故答案为：12-；98.10．（2024·天津·模拟预测）如图，在ABC V 中，2AB =，5AC =，3cos 5CAB Ð=，D 是边BC 上一点，且2BD DC =uuu r uuu r.若34BP AD =uuu r uuu r ，记(),PD AB AC l m l m =+ÎR uuu r uuu r uuu r ，则l m += ；若点P 满足BP uuu r 与AD uuu r共线，PA PC ^uuu r uuu r，则BP ADuuu r uuu r 的值为.【答案】34-/0.75- 34或316【分析】把2BD DC =uuu r uuu r 两边用,,AD AB AC uuu r uuu r uuu r 表示即可得解；利用共线向量建立BP uuu r ，AD uuu r之间的数乘关系，进而结合第一空把,PA PC uuu r uuu r 用,AB AC uuu r uuu r表示，利用垂直向量点积为零可得解．【详解】2BD DC =uuu r uuu r，∴()2AD AB AC AD -=-uuu r uuu r uuu r uuu r ，∴1233AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，则()232312343433PD BD BP BC AD AC AB AB AC æö=-=-=--+ç÷èøu u u u u u uuu r uuu r uuu r uuu r u u r uuu r r uu r uu r 111126AB AC =-+uuur uuu r ，又PD AB AC l m =+uuu r uuu r uuu r ，∴111,126l m =-=，所以34l m +=-；∵BP uuu r 与AD uuu r共线，∴可设BP xAD =uuu r uuu r，x ÎR ，∵1233AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，∴233x x BP AB AC =+uuu r uuu r uuu r，∴PA PB BA=+uuu r uuu r uuu r BP AB=--uuu r uuu r =2133x x AB AC æö-+-ç÷èøuuur uuu r ，PC PA AC =+uuu r uuu r uuu r =21133x x AB AC æöæö-++-ç÷ç÷èøèøuuur uuu r ，∴PA PC ×uuu r uuu r =222422111133333x x x x x AB AB AC AC æöæöæöæö+++-×--ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøuuur uuu r uuu r uuu r ，①∵32,5,cos 5AB AC CAB ==Ð=，∴24AB =uuu r，225AC =uuu r ，6AB AC ×=uuu r uuu r ，②把②代入①并整理得：∴2128829PA PC x x ×=--uuu r uuu r ，∵PA PC ^uuu r uuu r ，∴0PA PC ×=uuu r uuu r，∴21288209x x --=，解得：1233,416x x ==-，∴BP x AD=uuu r uuu r 34=或316，故BP ADuuu ruuu r 的值为34或316．故答案为：34-；34或316．1．（2020·山东·高考真题）已知平行四边形ABCD ，点E ，F 分别是AB ，BC 的中点（如图所示），设AB a =uuu r r ，AD b =uuu r r，则EF uuu r 等于（）A ．()12a b+r r B ．()12a b-r r C ．()12b a-r r D ．12a b+r r 【答案】A【分析】利用向量的线性运算，即可得到答案；【详解】连结AC ，则AC 为ABC V 的中位线，\111222EF AC a b ==+uuu r uuu r r r ，故选：A2．（全国·高考真题）在ABC V 中，AB c =uuu v v ，AC b =uuu v v ．若点D 满足2BD DC =uuu v uuu v ，则AD =uuu v（）A ．2133b c+v v B ．5233c b-v v C ．2133b c-v vD ．1233b c+v v【答案】A【详解】试题分析：，故选A ．3．（·全国·高考真题）在ABC V 中，D 是AB 边上一点.若12,3AD DB CD CA CB l ==+uuu r uuu r uuu ruuur uuu r ，则l 的值为（）A ．23B ．13C ．13-D ．23-【答案】A【分析】利用向量的加法的法则，以及其几何意义，把CD uuu r 化为1233CA CB +uuur uuu r ，和已知的条件作对比，求出l值．【详解】解：Q 12,3AD DB CD CA CB l ==+uuu ruuu r uuu ruuur uuu r，22()33CD CA AD CA AB CA CB CA =+=+=+-uuu ruuu ruuu ruuu ruuur uuu r uuu r uuuu r2133CA CB +=uur uuur ，23l \=，故选：A ．4．（全国·高考真题）ABC V 中，点D 在AB 上，CD 平分ACB Ð．若CB a =uuu v v ，CA b =uuuv v ，1=v a ，2b =v ，则CD =uuu vA ．1233a b+v v B ．2133a b+v vC ．3455a b+v vD ．4355a b+v v【答案】B【详解】如图所示，由题设条件知∠1＝∠2，∴BD DA＝CB CA＝12，∴BD uuu r ＝13BA uuu r ＝13(CA uuu r －CB uuu r )＝13b －13a ，∴CD uuu r ＝CB uuu r ＋BD uuu r ＝a ＋13b －13a ＝23a ＋13b .5．（安徽·高考真题）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===uuu v v uuu v v uuu v uuu v ，M 为BC 的中点，则MN =uuuu v _______．（用a bvv 、表示）【答案】1144MN a b=-+r uuuu v r 【详解】解：343A =3()AN NC AN C a b ==+uuu r uuu r uuu r uuu r rr 由得，12AM a b =+uuuu r r r ，所以3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+uuuu r r r r r r r 。

高三数学二轮专题复习：平面向量人教实验版(B)知识精讲

高三数学二轮专题复习：平面向量人教实验版（B ）【本讲教育信息】一. 教学内容：高三二轮专题复习：平面向量【高考要求】1、理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念。

2、掌握向量的加法和减法的运算法则及运算律。

3、掌握实数与向量的积的运算法则及运算律，理解两个向量共线的充要条件。

4、了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算。

5、掌握平面向量的数量积及其几何意义，了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题，掌握向量垂直的条件。

6、掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并且能熟练运用；掌握平移公式。

【热点分析】对本章内容的考查主要分以下三类：1、以选择、填空题型考查本章的基本概念和性质.此类题一般难度不大，用以解决有关长度、夹角、垂直、判断多边形形状等问题.2、以解答题考查圆锥曲线中的典型问题.此类题综合性比较强，难度大，以解析几何中的常规题为主.3、向量在空间中的应用（在B 类教材中）。

在空间坐标系下，通过向量的坐标的表示，运用计算的方法研究三维空间几何图形的性质.在复习过程中，抓住源于课本，高于课本的指导方针.本章考题大多数是课本的变式题，即源于课本.因此，掌握双基、精通课本是本章关键。

分析近几年来的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算。

对于和解析几何相关的线段的定比分点和平移等交叉内容，作为学习解析几何的基本工具，在相关内容中会进行考查。

本章的另一部分是解斜三角形，它是考查的重点。

总而言之，平面向量这一章的学习应立足基础，强化运算，重视应用。

考查的重点是基础知识和基本技能。

【典型例题】例1. 已知a =（2,1）, b =（－1,3）,若存在向量c 使得：a ·c =4, b ·c =－9，试求向量c 的坐标、【解析】设c =（x ,y ）,则由a ·c =4可得：2x +y =4；又由b ·c =－9可得：－x +3y =－9于是有：⎩⎨⎧=+-=+9342y x y x )2()1(由（1）+2⨯（2）得7y =－14,∴y =－2,将它代入（1）可得：x =3∴c =（3,－2）、例2. 已知△ABC 的顶点分别为A （2，1），B （3，2），C （－3，－1），BC 边上的高为AD ，求AD 及点D 的坐标。

二轮复习平面向量教案(全国通用)

二轮复习平面向量教案（全国通用）1．向量的基本概念(1)既有大小又有方向的量叫做向量． (2)零向量的模为0，方向是任意的，记作0. (3)长度等于1的向量叫单位向量． (4)长度相等且方向相同的向量叫相等向量．(5)方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量．零向量和任一向量平行． 2．共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . 3．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.4．两向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，在平面上任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫作a 与b 的夹角．5．向量的坐标表示及运算 (1)设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ±b ＝(x 1±x 2，y 1±y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)．(2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)． 6．平面向量共线的坐标表示已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a 与b 共线． 7．平面向量的数量积设θ为a 与b 的夹角． (1)定义：a ·b ＝|a ||b |cos θ.(2)投影：a ·b|b |＝|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影．8．数量积的性质 (1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0；(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a |·|b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a |·|b |；特别地，a ·a ＝|a |2； (3)|a ·b |≤|a |·|b |； (4)cos θ＝a ·b |a |·|b |.9．数量积的坐标表示、模、夹角已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2) (1)a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；(2)|a |＝x 21＋y 21；(3)a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0； (4)cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.【误区警示】1．两向量夹角的范围是[0，π]， a ·b >0与〈a ，b 〉为锐角不等价；a ·b <0与〈a ，b 〉为钝角不等价． 2．点共线和向量共线，直线平行与向量平行既有联系又有区别． 3．a 在b 方向上的投影为a ·b |b |，而不是a ·b|a |.4．若a 与b 都是非零向量，则λa ＋μb ＝0⇔a 与b 共线，若a 与b 不共线，则λa ＋μb ＝0⇔λ＝μ＝0.高频考点一平面向量的概念及运算例1．【2017课标1，理13】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2 b |= . 【答案】23【解析】利用如下图形，可以判断出2a b r r的模长是以2为边长的菱形对角线的长度，所以.【变式探究】已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________. 解析：基本法：∵a ∥b ，∴a ＝λb即(m,4)＝λ(3，－2)＝(3λ，－2λ)∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3λ，4＝－2λ，故m ＝－6. 速解法：根据向量平行的坐标运算求解： ∵a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，a ∥b ∴m ×(－2)－4×3＝0 ∴－2m －12＝0，∴m ＝－6. 答案：－6【变式探究】(1)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4)【举一反三】向量的三角形法则要保证各向量“首尾相接”；平行四边形法则要保证两向量“共起点”，结合几何法、代数法(坐标)求解．(2)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( ) A.AD →B.12AD →C.BC →D.12BC →解析：基本法一：设AB →＝a ，AC →＝b ，则EB →＝－12b ＋a ，FC →＝－12a ＋b ，从而EB →＋FC →＝⎝⎛⎭⎫－12b ＋a ＋⎝⎛⎭⎫－12a ＋b ＝12(a ＋b )＝AD →，故选A.基本法二：如图，EB →＋FC →＝EC →＋CB →＋FB →＋BC →＝EC →＋FB →＝12(AC →＋AB →)＝12·2AD →＝AD →. 答案：A高频考点二平面向量数量积的计算与应用例2．（2018年全国I 卷理数）设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则=A. 5B. 6C. 7D. 8 【答案】D【解析】根据题意，过点（–2，0）且斜率为的直线方程为，与抛物线方程联立，消元整理得：，解得，又，所以，从而可以求得，故选D.【变式探究】已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC ＝( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°解析：基本法：根据向量的夹角公式求解．∵BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，∴|BA →|＝1，|BC →|＝1，BA →·BC →＝12×32＋32×12＝32，∴cos ∠ABC ＝cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.∵0°≤〈BA →，BC →〉≤180°，∴∠ABC ＝〈BA →，BC →〉＝30°.速解法：如图，B 为原点，则A ⎝⎛⎭⎫12，32∴∠ABx ＝60°，C ⎝⎛⎭⎫32，12∠CBx ＝30°，∴∠ABC ＝30°.答案：A【变式探究】(1)向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，则(2a ＋b )·a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2【举一反三】当向量以几何图形的形式(有向线段)出现时，其数量积的计算可利用定义法；当向量以坐标形式出现时，其数量积的计算用坐标法；如果建立坐标系，表示向量的有向线段可用坐标表示，计算向量较简单．【考点定位】平面向量的应用、线性规划.7. 【2014高考北京卷理第10题】已知向量a 、b 满足1||=a ，)1,2(=b ，且0b a =+λ（R λ∈），则||λ= .【答案】5【解析】当0=+b a λ，则a b λ-=，于是，因为)1,2(=b ，所以5||=b ，又因为1||=a ，所以5||=λ. 【考点定位】平面向量的模8. 【2014高考湖北卷理第11题】设向量(3,3)a =r ，(1,1)b =-r，若，则实数λ= .【答案】3± 【解析】因为，，因为，所以，解得3±=λ.【考点定位】平面向量的坐标运算、数量积10. 【2014江西高考理第15题】已知单位向量1e u r 与2e u u r 的夹角为α，且1cos 3α=，向量与123b e e =-r u r u u r的夹角为β，则cos β= .【答案】223【解析】因为所以【考点定位】向量数量积及夹角11. 【2014辽宁高考理第5题】设,,a b c r r r是非零向量，已知命题P ：若0a b •=r r ，0b c •=r r ，则0a c •=r r ；命题q ：若//,//a b b c r r r r，则//a c r r ，则下列命题中真命题是（）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．D ．()p q ∨⌝【答案】A【解析】由题意可知，命题P 是假命题；命题q 是真命题，故p q ∨为真命题. 【考点定位】命题的真假12. 【2014全国1高考理第15题】已知C B A ,,为圆O 上的三点，若，则AB 与AC的夹角为_______．【答案】090．【解析】由，故,,O B C 三点共线，且O 是线段BC 中点，故BC 是圆O 的直径，从而，因此AB 与AC 的夹角为090【考点定位】平面向量基本定理13. 【2014全国2高考理第3题】设向量a,b 满足|a+b |=10，|a-b |=6，则a ⋅b = ( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 5【答案】A 【解析】因为=10，，两式相加得：228a b +=r r ，所以1a b ⋅=r r，故选A.【考点定位】本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量 14. 【2014高考安徽卷理第15题】已知两个不相等的非零向量,,b a 两组向量和均由2个a 和3个b 排列而成.记，min S 表示S 所有可能取值中的最小值.则下列命题的是_________（写出所有正确命题的编号）.①S 有5个不同的值. ②若,b a ⊥则min S 与a 无关. ③若,b a ∥则min S 与b 无关. ④若a b 4>，则0min >S .⑤若，则a 与b 的夹角为4π，∴2cos 1θ=，∴3πθ=，故⑤错误.所以正确的编号为②④【考点定位】平面向量的运算、平面向量的数量积.15. 【2014四川高考理第7题】平面向量(1,2)a =r ，(4,2)b =r，c ma b =+r r r （m R ∈），且c r 与a r 的夹角等于c r 与b r的夹角，则m =（）A ．2-B ．1-C ．1D ．2 【答案】 D.【解析】由题意得：，选D.法二、由于OA ，OB 关于直线y x =对称，故点C 必在直线y x =上，由此可得2m = 【考点定位】向量的夹角及向量的坐标运算.16. 【2014浙江高考理第8题】记，，设,a b r r为平面向量，则（）A. B.C. D. 【答案】Ｄ【解析】根据向量运算的几何意义，即三角形法则，可知与{}min ,a b r r的大小不确定，由平行四边形法则及余弦定理可知，所对的角大于或等于90︒，故，故选Ｄ【考点定位】向量运算的几何意义. 17. 【2014重庆高考理第4题】已知向量，且，则实数k =（）9.2A - .0B .C 3 D.152【答案】C【解析】因为所以又因为，所以，，所以，，解得：3k =故选C.【考点定位】平面向量的坐标运算、平面向量的数量积.19. 【2014大纲高考理第4题】若向量,a b r r满足：则b =r（）A ．2B ．2C ．1D ．22【答案】B ．【解析】把①代入②得故选B ．【考点定位】1.向量垂直的充要条件；2. 平面向量的数量积运算． 20. 【2014高考陕西第18题】在直角坐标系xOy 中，已知点，点),(y x P 在ABC∆三边围成的区域（含边界）上（1）若，求OP ；（2）设，用y x ,表示n m -，并求n m -的最大值. 【答案】（1）22；（2），1.【解析】（1）因为所以即得所以||22OP =u u u r（2）即两式相减得：令y x t -=，由图可知，当直线y x t =+过点(2,3)B 时，t 取得最大值1，故m n -的最大值为1.【考点定位】平面向量的线性运算、线性规划.学+科网21.【2014高考上海理科第16题】如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB 是一条侧棱，是上底面上其余的八个点，则的不同值的个数为（）（A ）1 (B)2 (C)4 (D)8 【答案】A【解析】如图，AB 与上底面垂直，因此i AB BP ⊥(1,2,)i =L ，．【考点定位】数量积的定义与几何意义． 22.【2014高考上海理科第14题】已知曲线C ：，直线l ：x=6.若对于点A （m ，0）,存在C 上的点P 和l 上的点Q 使得，则m 的取值范围为 .【答案】[2,3] 【解析】由知A 是PQ 的中点，设(,)P x y ，则，由题意20x -≤≤，26m x -=，解得23m ≤≤．【考点定位】向量的坐标运算．。

高三数学平面向量的综合应用复习教案全国通用

平面向量的综合应用（2）基本训练： 1、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若A:B:C=1:2:3，则a:b:c=( ) A. 1:2:3 B. 2:3:4 C. 3:4:5 D. 1:3:2 2、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2220,a b c +-<则△ABC （）A. 一定是锐角三角形；B. 一定是直角三角形；C. 一定是钝角三角形；D. 是锐角或直角三角形；3、 △ABC 中，若22tan tan b a B A =，则△ABC 的形状是（） A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形或等腰三角形.4、三角形的两条边长分别为3cm 、5cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －６＝0的根，则此三角形的面积是 .5、在△ABC 中已知sinA:sinB:sinC=(3+1):2;6，求三角形的最小角是 .6．（安徽卷）如果111A BC ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形 C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形7．（湖南卷）已知||2||0a b =≠,且关于x 的方程2||0x a x a b ++⋅=有实根,则a 与b 的夹角的取值范围是 ( ) A.[0,6π] B.[,]3ππ C.2[,]33ππ D.[,]6ππ 8．（辽宁卷）ABC 的三内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c 设向量(,)p a c b =+,(,)q b a c a =--,若//p q ,则角C 的大小为(A)6π (B)3π (C) 2π (D) 23π9．(陕西卷) 已知非零向量AB →与AC →满足(AB →|AB →| +AC →|AC →| )·BC →=0且AB →|AB →| ·AC →|AC →| =12 , 则△ABC 为( )A.三边均不相等的三角形B.直角三角形C.等腰非等边三角形D.等边三角形三、例题分析：例1、在△ABC 中，已知a=3，b=2，B=450，求角A 、C 及边c.例2、在△ABC 中，若sinA=2sinBcosC ，sin 2A=sin 2B+sin 2C ，试判断△ABC 的形状.例3、在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，求证：cb a 222-=C B A sin )sin(-例4、在△ABC 中，D 是BC 边上一点，AD ⊥BC ，垂足为D ，且AD=BC=a ，求cb +bc 的最大值。

安徽省阜阳三中高考数学二轮复习平面向量3学案理

二轮复习专题：平面向量§3平面向量的综合应用【学习目标】1会用向量方法解决简单的三角函数、解析几何知识2.以极度的热情投入到课堂学习中，体验学习的快乐【学法指导】1.先认真阅读教材和一轮复习笔记，处理好知识网络构建，构建知识体系，形成系统的认识；2.限时30分钟独立、规范完成探究部分，并总结规律方法；3.找出自己的疑惑和需要讨论的问题准备课上讨论质疑；4.重点理解的内容：平面向量的应用。

【高考方向】向量与其它知识的结合。

【课前预习】：一、知识网络构建平面向量可以应用于哪些方面？二、高考真题再现[2014·安徽卷] 在平面直角坐标系xOy 中，已知向量,,1,0,a b a b a b ==⋅=点Q 满足2()OQ a b =+.曲线{cos sin ,02}C P OP a b θθθπ==+≤≤，区域{0,}P r PQ R r R Ω=<≤≤<.若C Ω为两段分离的曲线，则( )A. 13r R <<<B.13r R <<≤C.13r R ≤<<D.13r R <<<三、基本概念检测1. 设,,a b c 是非零向量，已知命题P ：若0a b ∙=，0b c ∙=，则0a c ∙=；命题q ：若//,//a b b c ，则//a c ，则下列命题中真命题是（）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．()()p q ⌝∧⌝D ．()p q ∨⌝2．在平面直角坐标系中,O 为原点,()),0,3(),3,0(,0,1C B A -动点D 满足CD =1，则OA OB OD ++的最大值是_________.3. 已知向量(sin ,cos )m x x =，33(,2n =，x ∈R ，函数()f x m n = (1)求()f x 的最大值； (2)在△ABC 中，设角A ，B 的对边分别为a ，b ，若B ＝2A ，且2()6b a f A π=-，求角C 的大小．【课中研讨】：例1.已知向量(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b x x =，(sin 2sin ,cos 2cos )c x x αα=++，其中0x απ<<<(1)若4πα=，求函数()f x b c =的最小值及相应x 的值； (2)若a 与b 的夹角为3π，且a c ⊥，求tan 2α的值．例2. 已知向量3(sinx,)4a =，(cos ,1)b x =-．(1)当a b 时，求2cos sin 2x x -的值；(2)设函数()2()f x a b b =+，已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a =b ＝2，sin 3B =，求()4cos(2)0,63f x A x ππ⎛⎫⎡⎤++∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的取值范围．例3．设动点M 的坐标为(x,y)(x,y ∈R)，向量(x 2,)a y =-，(x 2,)b y =+，且8a b +=（1）求动点M (x,y)的轨迹C 的方程（2）过点N(0,2)作直线L 与曲线C 交于A,B 两点，若OP OA OB =+(O 为坐标原点)，是否存在直线L ，使得四边形OAPB 为矩形；若存在，求出直线L 的方程；若不存在，请说明理由【课后巩固】1．给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为90°.如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动．若OC xOA yOB =+，其中x 、y ∈R ，则x ＋y 的最大值是________．2．已知三点O （0,0），A （-2,1），B （2,1），曲线C 上任意一点M （x,y ）满足()2MA MB OM OA OB +=++.求曲线C 的方程.3. 已知△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若向量2(cos ,2cos 1)2C M B =-与向量(2,)n a b c =-共线．(1)求角C 的大小；(2) c =，ABC S ∆=a ，b 的值．【反思与疑惑】：请同学们将其集中在典型题集中。

高三数学第二章平面向量教案

城东蜊市阳光实验学校第二章平面向量本章内容介绍向量这一概念是由物理学和工程技术抽象出来的，是近代数学中重要和根本的数学概念之一，有深化的几何背景，是解决几何问题的有力工具.向量概念引入后，全等和平行〔平移〕、相似、垂直、勾股定理就可转化为向量的加〔减〕法、数乘向量、数量积运算，从而把图形的根本性质转化为向量的运算体系.向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景.在本章中，学生将理解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，学习平面向量的线性运算、平面向量的根本定理及坐标表示、平面向量的数量积、平面向量应用五部分内容.能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题.本节从物理上的力和位移出发，抽象出向量的概念，并说明了向量与数量的区别，然后介绍了向量的一些根本概念.〔让学生对整章有个初步的、全面的理解.〕第1课时§平面向量的实际背景及根本概念教学目的：1.理解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示；掌握向量的模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、一一共线向量等概念；并会区分平行向量、相等向量和一一共线向量.2.通过对向量的学习，使学生初步认识现实生活中的向量和数量的本质区别.3.通过学生对向量与数量的识别才能的训练，培养学生认识客观事物的数学本质的才能.教学重点：理解并掌握向量、零向量、单位向量、相等向量、一一共线向量的概念，会表示向量.教学难点：平行向量、相等向量和一一共线向量的区别和联络.学法：本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大.学生可根据在原有的位移、力等物理概念来学习向量的概念，结合图形实物区分平行向量、相等向量、一一共线向量等概念.教具：多媒体或者者实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、情景设置：如图，老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，设问：猫能否追到老鼠？〔画图〕结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了.分析：老鼠逃窜的道路AC、猫追逐的道路BD实际上都是有方向、有长短的量.引言：请同学指出哪些量既有大小又有方向？哪些量只有大小没有方向？二、新课学习：〔一〕向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量〔二〕请同学阅读课本后答复：〔可制作成幻灯片〕1、数量与向量有何区别？ABCD2、如何表示向量？3、有向线段和线段有何区别和联络？分别可以表示向量的什么？4、长度为零的向量叫什么向量？长度为1的向量叫什么向量？5、满足什么条件的两个向量是相等向量？单位向量是相等向量吗？6、有一组向量，它们的方向一样或者者相反，这组向量有什么关系？7、假设把一组平行向量的起点全部移到一点O，这是它们是不是平行向量？这时各向量的终点之间有什么关系？〔三〕探究学习1、数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进展代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小.2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母ａ、ｂ〔黑体，印刷用〕等表示；③用有向线段的起点与终点字母：AB；④向量AB的大小――长度称为向量的模，记作|AB|.3.有向线段：具有方向的线段就叫做有向线段，三个要素：起点、方向、长度.A(起点)Ba向量与有向线段的区别：〔1〕向量只有大小和方向两个要素，与起点无关，只要大小和方向一样，那么这两个向量就是一样的向量；〔2〕有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向一样，也是不同的有向线段.4、零向量、单位向量概念：①长度为0的向量叫零向量，记作0.0的方向是任意的.注意0与0的含义与书写区别.②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.说明：零向量、单位向量的定义都只是限制了大小.5、平行向量定义：①方向一样或者者相反的非零向量叫平行向量；②我们规定0与任一向量平行.说明：〔1〕综合①、②才是平行向量的完好定义；〔2〕向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ.6、相等向量定义：长度相等且方向一样的向量叫相等向量.说明：〔1〕向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ；〔2〕零向量与零向量相等；〔3〕任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.7、一一共线向量与平行向量关系：平行向量就是一一共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上〔与有向线段的起点无关〕.说明：〔1〕平行向量可以在同一直线上，要区别于两平行线的位置关系；〔2〕一一共线向量可以互相平行，要区别于在同一直线上的线段的位置关系.〔四〕理解和稳固：例1书本86页例1.例2判断：〔1〕平行向量是否一定方向一样？〔不一定〕〔2〕不相等的向量是否一定不平行？〔不一定〕〔3〕与零向量相等的向量必定是什么向量？〔零向量〕〔4〕与任意向量都平行的向量是什么向量？〔零向量〕〔5〕假设两个向量在同一直线上，那么这两个向量一定是什么向量？〔平行向量〕〔6〕两个非零向量相等的当且仅当什么？〔长度相等且方向一样〕〔7〕一一共线向量一定在同一直线上吗？〔不一定〕例3以下命题正确的选项是〔〕A.ａ与ｂ一一共线，ｂ与ｃ一一共线，那么ａ与c也一一共线B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点C.向量ａ与ｂ不一一共线，那么ａ与ｂ都是非零向量D.有一样起点的两个非零向量不平行解：由于零向量与任一向量都一一共线，所以A不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就构不成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以B 不正确；向量的平行只要方向一样或者者相反即可，与起点是否一样无关，所以Ｄ不正确；对于C ，其条件以否认形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假假设ａ与ｂ不都是非零向量，即ａ与ｂ至少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都一一共线，可有ａ与ｂ一一共线，不符合条件，所以有ａ与ｂ都是非零向量，所以应选C.例4如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，分别写出图中与向量OA 、OB 、OC 相等的向量. 变式一：与向量长度相等的向量有多少个？〔11个〕变式二：是否存在与向量长度相等、方向相反的向量？〔存在〕变式三：与向量一一共线的向量有哪些？〔FE DO CB ,,〕课堂练习：1．判断以下命题是否正确，假设不正确，请简述理由.①向量AB 与CD 是一一共线向量，那么A 、B 、C 、D 四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④四边形ABCD 是平行四边形当且仅当AB ＝DC⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0；⑥一一共线的向量，假设起点不同，那么终点一定不同.解：①不正确.一一共线向量即平行向量，只要求方向一样或者者相反即可，并不要求两个向量AB 、AC在同一直线上.②不正确.单位向量模均相等且为1，但方向并不确定.③不正确.零向量的相反向量仍是零向量，但零向量与零向量是相等的.④、⑤正确.⑥不正确.如图AC与BC一一共线，虽起点不同，但其终点却一样.2．书本88页练习三、小结：1、描绘向量的两个指标：模和方向.2、平行向量不是平面几何中的平行线段的简单类比.3、向量的图示，要标上箭头和始点、终点.四、课后作业：书本88页习题第3、5题〔吴春霞〕第2课时§2.2.1向量的加法运算及其几何意义教学目的：1、掌握向量的加法运算，并理解其几何意义；2、会用向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么作两个向量的和向量，培养数形结合解决问题的才能；3、通过将向量运算与熟悉的数的运算进展类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和结合律，并会用它们进展向量计算，浸透类比的数学方法；教学重点：会用向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么作两个向量的和向量.教学难点：理解向量加法的定义.学法：数能进展运算，向量是否也能进展运算呢？数的加法启发我们，从运算的角度看，位移的合成、力的合成可看作向量的加法.借助于物理中位移的合成、力的合成来理解向量的加法，让学生顺理成章承受向量的加法定义.结合图形掌握向量加法的三角形法那么和平行四边形法那么.联络数的运算律理解和掌握向量加法运算的交换律和结合律.教具：多媒体或者者实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、设置情景：1、复习：向量的定义以及有关概念强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向一样的向量相等.因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置2、情景设置：ABC〔1〕某人从A到B，再从B按原方向到C，O ABaaab b b那么两次的位移和：AC BC AB =+〔2〕假设上题改为从A 到B ，再从B 按反方向到C ，那么两次的位移和：AC BC AB =+〔3〕某车从A 到B ，再从B 改变方向到C ，那么两次的位移和：AC BC AB =+〔4〕船速为AB ，水速为BC ，那么两速度和：AC BC AB =+二、探究研究：１、向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.２、三角形法那么〔“首尾相接，首尾连〞〕如图，向量a 、ｂ.在平面内任取一点A ，作AB ＝a ，BC ＝ｂ，那么向量AC 叫做a 与ｂ的和，记作a ＋ｂ，即a ＋ｂAC BC AB =+=，规定：a+0-=0+a探究：〔1〕两相向量的和仍是一个向量；量a 与b 不一一共〔2〕当向线时，a +b 的方向不同向，且|a +b |<|a |+|b |；〔3〕当a 与b 同向时，那么a +b 、a 、b 同向，且|a +b |=|a |+|b |，当a 与b 反向时，假设|a |>|b |，CABABCABCABCa +ba +baab b aｂｂａa那么a +b 的方向与a 一样，且|a +b |=|a |-|b |；假设|a |<|b |，那么a +b 的方向与b 一样，且|a +b|=|b |-|a |.〔4〕“向量平移〞〔自由向量〕：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到n 个向量连加３．例一、向量a 、b ，求作向量a +b作法：在平面内取一点，作a OA =b AB =，那么b a OB +=.４．加法的交换律和平行四边形法那么问题：上题中b +a 的结果与a +b 是否一样？验证结果一样从而得到：１〕向量加法的平行四边形法那么〔对于两个向量一一共线不适应〕２〕向量加法的交换律：a +b =b +a５．向量加法的结合律：(a +b )+c =a +(b +c )证：如图：使a AB =，b BC =，c CD =那么(a +b )+c =AD CD AC =+，a +(b +c )=AD BD AB =+∴(a +b )+c =a +(b +c )从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进展.三、应用举例：例二〔P94—95〕略练习：P95四、小结1、向量加法的几何意义；２、交换律和结合律；３、注意：|a +b |≤|a |+|b |，当且仅当方向一样时取等号. 五、课后作业：P103第２、３题六、板书设计〔略〕七、备用习题1、一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，船的实际航行的速度的大小为h km /4，求水流的速度.2、一艘船距对岸，以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，到达对岸时，船的实际航程为8km ，求河水的流速.3、一艘船从A 点出发以1v 的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2v ，船的实际航行的速度的大小为h km /4，方向与水流间的夹角是60︒，求1v 和2v .4、一艘船以5km/h 的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h ，那么船的实际航行速度大小最大是km/h ，最小是km/h５、两个力F1，F2的夹角是直角，且它们的合力F 与F1的夹角是60︒，|F|=10N 求F1和F2的大小.６、用向量加法证明：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形〔吴春霞〕第3课时§2.2.2向量的减法运算及其几何意义教学目的：1. 理解相反向量的概念；2. 掌握向量的减法，会作两个向量的减向量，并理解其几何意义；3. 通过阐述向量的减法运算可以转化成向量的加法运算，使学生理解事物之间可以互相转化的辩证思想.教学重点：向量减法的概念和向量减法的作图法.教学难点：减法运算时方向确实定.学法：减法运算是加法运算的逆运算，学生在理解相反向量的根底上结合向量的加法运算掌握向量的减法运算；并利用三角形做出减向量.教具：多媒体或者者实物投影仪，尺规授课类型：新授课教学思路：一、复习：向量加法的法那么：三角形法那么与平行四边形法那么向量加法的运算定律：例：在四边形中，=++BA BA CB .解：CD AD BA CB BA BA CB =++=++二、提出课题：向量的减法ABDC1．用“相反向量〞定义向量的减法〔1〕“相反向量〞的定义：与a长度一样、方向相反的向量.记作a 〔2〕规定：零向量的相反向量仍是零向量.(a)=a.任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(a)=0假设a、b互为相反向量，那么a=b，b=a，a+b=0〔3〕向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差.即：a b=a+(b)求两个向量差的运算叫做向量的减法.2．用加法的逆运算定义向量的减法：向量的减法是向量加法的逆运算：假设b+x=a，那么x叫做a与b的差，记作a b3．求作差向量：向量a、b，求作向量∵(a b)+b=a+(b)+b=a+0=a作法：在平面内取一点O，作OA=a ，AB=b那么BA=a b即a b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量.注意：1AB表示a b.强调：差向量“箭头〞指向被减数O abBaba b2用“相反向量〞定义法作差向量，a b=a+(b)显然，此法作图较繁，但最后作图可统一.4．探究：１）假设从向量a 的终点指向向量b 的终点作向量，那么所得向量是b a.２〕假设a∥b，如何作出ab ？三、例题：例一、〔P ９７例三〕向量a 、b 、c 、d ，求作向量a b 、cd.解：在平面上取一点O ，作OA =a ，OB =b ，OC =c ，OD =d ，作BA ，DC ，那么BA =a b ，DC =c d例二、平行四边形ABCD 中，=AB a ，=AD b ，用a 、b 表示向量AC 、DB . 解：由平行四边形法那么得：AC =a+b ，DB =AD AB -=ab变式一：当a ，b 满足什么条件时，a+b 与a b 垂直？〔|a|=|b|〕变式二：当a ，b 满足什么条件时，|a+b|=|ab|？〔a ，b 互相垂直〕OABaB’b -bbBa +(-b )abABDCA B Cbad cDOa -bA ABBB’Oa -ba ab bO A OBa -ba -bBA O-b变式三：a+b与a b 可能是相当向量吗？〔不可能，∵对角线方向不同〕练习：Ｐ98四、小结：向量减法的定义、作图法|五、作业：P103第4、５题六、板书设计〔略〕七、备用习题：1.在△ABC中，BC=a，CA=b，那么AB等于()A.a+bB.-a+(-b)C.a-bD.b-a2.O为平行四边形ABCD平面上的点，设OA=a，OB=b，OC=c，OD=d，那么A.a+b+c+d=0B.a-b+c-d=0C.a+b-c-d=0D.a-b-c+d=0３.如图，在四边形ABCD中，根据图示填空：a+b=，b+c=，c-d=，a+b+c-d=.４、如下列图，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向〔用箭头表示〕，使a+b=AB，c-d=DC，并画出b-c和a+d.第３题〔吴春霞〕平面向量的根本定理及坐标表示第4课时§2.3.1平面向量根本定理教学目的：〔1〕理解平面向量根本定理；〔2〕理解平面里的任何一个向量都可以用两个不一一共线的向量来表示，初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法；〔3〕可以在详细问题中适当地选取基底，使其他向量都可以用基底来表达.教学重点：平面向量根本定理.教学难点：平面向量根本定理的理解与应用.授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa〔1〕|λa |=|λ||a |；〔2〕λ>0时λa 与a 方向一样；λ<0时λa 与a 方向相反；λ=0时λa=0 2．运算定律结合律：λ(μa )=(λμ)a ；分配律：(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa+λb3.向量一一共线定理向量b 与非零向量a 一一共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.二、讲解新课：平面向量根本定理：假设1e ，2e 是同一平面内的两个不一一共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e . 探究：(1)我们把不一一共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不一一共线；(3)由定理可将任一向量a 在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进展分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量三、讲解范例：例1向量1e ，2e 求作向量1e +32e .例2如图ABCD 的两条对角线交于点M ，且AB =a ，AD =b ，用a ，b表示MA ，MB ，MC 和MD例3ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ，O 是任意一点，求证：OA +OB +OC +OD =4OE例4〔1〕如图，OA ，OB 不一一共线，AP =t AB (t R)用OA ，OB 表示OP .〔2〕设OA 、OB 不一一共线，点P 在O 、A 、B 所在的平面内，且(1)()OP t OA tOB t R =-+∈.求证：A 、B 、P 三点一一共线.例5a=2e1-3e2，b=2e1+3e2，其中e1，e2不一一共线，向量c=2e1-9e2，问是否存在这样的实数,d a b λμλμ=+、使与c 一一共线.四、课堂练习：1.设e1、e2是同一平面内的两个向量，那么有()A.e1、e2一定平行B.e1、e2的模相等C.同一平面内的任一向量a 都有a=λe1+μe2(λ、μ∈R)D.假设e1、e2不一一共线，那么同一平面内的任一向量a 都有a=λe1+ue2(λ、u ∈R)2.矢量a=e1-2e2，b=2e1+e2，其中e1、e2不一一共线，那么a+b 与c=6e1-2e2的关系A.不一一共线B.一一共线C.相等D.无法确定3.向量e1、e2不一一共线，实数x 、y 满足(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2，那么x-y 的值等于()A.3B.-3C.0D.24.a 、b 不一一共线，且c=λ1a+λ2b(λ1，λ2∈R)，假设c 与b 一一共线，那么λ1=.5.λ1＞0，λ2＞0，e1、e2是一组基底，且a=λ1e1+λ2e2，那么a 与e1_____，a 与e2_________(填一一共线或者者不一一共线).五、小结〔略〕六、课后作业〔略〕：七、板书设计〔略〕八、课后记：第5课时§2.3.2—§.3平面向量的正交分解和坐标表示及运算教学目的：〔1〕理解平面向量的坐标的概念；〔2〕掌握平面向量的坐标运算；〔3〕会根据向量的坐标，判断向量是否一一共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性.授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量根本定理：假设1e ，2e 是同一平面内的两个不一一共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e(1)我们把不一一共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不一一共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进展分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，1e ，2e 唯一确定的数量二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向一样的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………我们把),(y x 叫做向量a 的〔直角〕坐标，记作),(y x a =…………其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，式叫做向量的坐标表示.与a 相等的向量的坐标也为),(y x .特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.如图，在直角坐标平面内，以原点O 为起点作a OA =，那么点A 的位置由a 唯一确定. 设yj xi OA+=，那么向量OA 的坐标),(y x 就是点A 的坐标；反过来，点A 的坐标),(y x 也就是向量OA 的坐标.因此，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示. 2．平面向量的坐标运算〔1〕假设),(11y x a =，),(22y x b =，那么b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.设基底为i 、j ，那么b a +)()(2211j y i x j y i x +++=j y y i x x )()(2121+++=即ba +),(2121y y x x ++=，同理可得b a -),(2121y y x x --= 〔2〕假设),(11y x A ，),(22y x B ，那么()1212,y y x x AB --=一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.AB =OBOA =(x2，y2)(x1，y1)=(x2x1，y2y1)〔3〕假设),(y x a=和实数λ，那么),(y x a λλλ=.实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i 、j ，那么a λ)(yj xi +=λyj xi λλ+=，即),(y x a λλλ= 三、讲解范例：例1A(x1，y1)，B(x2，y2)，求AB 的坐标.例2a =(2，1)，b =(-3，4)，求a +b ，a -b ，3a +4b 的坐标.例3平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D 的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD 时，由DC AB =得D1=(2，2)当平行四边形为ACDB 时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB 时，得D3=(6，0)例4三个力1F (3，4)，2F (2，5)，3F (x ，y)的合力1F +2F +3F =0，求3F 的坐标.解：由题设1F +2F +3F =0得：(3，4)+(2，5)+(x ，y)=(0，0)即：⎩⎨⎧=+-=++054023y x ∴⎩⎨⎧=-=15y x ∴3F (5，1)四、课堂练习：1．假设M(3，-2)N(-5，-1)且21=MP MN ，求P 点的坐标 2．假设A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，那么AB2BC =.3．：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求证：四边形ABCD 是梯形.五、小结〔略〕六、课后作业〔略〕七、板书设计〔略〕八、课后记：〔王海〕第6课时§2.3.4平面向量一一共线的坐标表示教学目的：〔1〕理解平面向量的坐标的概念；〔2〕掌握平面向量的坐标运算；〔3〕会根据向量的坐标，判断向量是否一一共线.教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：1．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向一样的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的〔直角〕坐标，记作),(y x a =其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，特别地，)0,1(=i ，)1,0(=j ，)0,0(0=.2．平面向量的坐标运算假设),(11y x a=，),(22y x b =，那么ba +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.假设),(11y x A ，),(22y x B ，那么()1212,y y x x AB --=二、讲解新课：a ∥b (b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0设a=(x1，y1)，b =(x2，y2)其中ba .由a=λb 得，(x1，y1)=λ(x2，y2)⎩⎨⎧==⇒2121y y x x λλ消去λ，x1y2-x2y1=0探究：〔1〕消去λ时不能两式相除，∵y1，y2有可能为0，∵b0∴x2，y2中至少有一个不为0〔2〕充要条件不能写成2211x y x y =∵x1，x2有可能为0(3)从而向量一一共线的充要条件有两种形式：a ∥b (b0)01221=-=⇔y x y x b a λ三、讲解范例：例1a =(4，2)，b =(6，y)，且a ∥b，求y.例2A(-1，-1)，B(1，3)，C(2，5)，试判断A ，B ，C 三点之间的位置关系.例3设点P 是线段P1P2上的一点，P1、P2的坐标分别是(x1，y1)，(x2，y2).(1) 当点P 是线段P1P2的中点时，求点P 的坐标；(2)当点P 是线段P1P2的一个三等分点时，求点P 的坐标.例4假设向量a=(-1，x)与b =(-x ，2)一一共线且方向一样，求x解：∵a=(-1，x)与b =(-x ，2)一一共线∴(-1)×2-x•(-x)=0∴x=±2∵a 与b方向一样∴x=2例5A(-1，-1)，B(1，3)，C(1，5)，D(2，7)，向量AB 与CD 平行吗？直线AB 与平行于直线CD 吗？解：∵AB =(1-(-1)，3-(-1))=(2，4)，CD =(2-1，7-5)=(1，2)又∵2×2-4×1=0∴AB∥CD又∵AC=(1-(-1)，5-(-1))=(2，6)，AB=(2，4)，2×4-2×60∴AC与AB不平行∴A，B，C不一一共线∴AB与CD不重合∴AB∥CD四、课堂练习：1.假设a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，那么y=〔〕A.6B.5C.7D.82.假设A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点一一共线，那么x的值是〔〕A.-3B.-1C.1D.33.假设AB=i+2j，DC=(3-x)i+(4-y)j(其中i、j的方向分别与x、y轴正方向一样且为单位向量).AB 与DC一一共线，那么x、y的值可能分别为〔〕A.1，2B.2，2C.3，2D.2，44.a=(4，2)，b=(6，y)，且a∥b，那么y=.5.a=(1，2)，b=(x，1)，假设a+2b与2a-b平行，那么x的值是.6.□ABCD四个顶点的坐标为A(5，7)，B(3，x)，C(2，3)，D(4，x)，那么x=.五、小结〔略〕六、课后作业〔略〕七、板书设计〔略〕八、课后记：〔王海〕§平面向量的数量积第7课时一、平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.理解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用授课类型：新授课教具：多媒体、实物投影仪内容分析：本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.教学过程：一、复习引入：1．向量一一共线定理向量b 与非零向量a 一一共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa.2．平面向量根本定理：假设1e ，2e 是同一平面内的两个不一一共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e 3．平面向量的坐标表示分别取与x 轴、y 轴方向一样的两个单位向量i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量根本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=把),(y x 叫做向量a 的〔直角〕坐标，记作),(y x a =4．平面向量的坐标运算假设),(11y x a=，),(22y x b =，那么b a +),(2121y y x x ++=，b a -),(2121y y x x --=，),(y x a λλλ=.假设),(11y x A ，),(22y x B ，那么()1212,y y x x AB --=5．a ∥b (b0)的充要条件是x1y2-x2y1=06．线段的定比分点及λP1，P2是直线l 上的两点，P 是l 上不同于P1，P2的任一点，存在实数λ，使PP 1=λ2PP ，λ叫做点P 分21P P 所成的比，有三种情况：λ>0(内分)(外分)λ<0(λ<-1)(外分)λ<0(-1<λ<0)7.定比分点坐标公式：假设点P １(x1，y1)，Ｐ２(x2，y2)，λ为实数，且P P 1＝λ2PP ，那么点P 的坐标为〔λλλλ++++1,12121y y x x 〕，我们称λ为点P 分21P P 所成的比.8.点P 的位置与λ的范围的关系：①当λ＞０时，P P 1与2PP 同向一一共线，这时称点P 为21P P 的内分点. ②当λ＜０(1-≠λ)时，P P 1与2PP 反向一一共线，这时称点P 为21P P 的外分点.9.线段定比分点坐标公式的向量形式：在平面内任取一点O ，设1OP ＝ａ，2OP ＝ｂ，可得OP =b a b a λλλλλ+++=++1111.10．力做的功：W=|F||s|cos ，是F 与s 的夹角.二、讲解新课：1．两个非零向量夹角的概念非零向量ａ与ｂ，作OA ＝ａ，OB ＝ｂ，那么∠ＡＯＢ＝θ〔０≤θ≤π〕叫ａ与ｂ的夹角. 说明：〔1〕当θ＝０时，ａ与ｂ同向；〔2〕当θ＝π时，ａ与ｂ反向；〔3〕当θ＝2π时，ａ与ｂ垂直，记ａ⊥ｂ；〔4〕注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围0≤≤180C2．平面向量数量积〔内积〕的定义：两个非零向量ａ与ｂ，它们的夹角是θ，那么数量|a||b|cos叫ａ与ｂ的数量积，记作a b，即有a b=|a||b|cos，〔０≤θ≤π〕.并规定0与任何向量的数量积为0.探究：两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别〔1〕两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cos的符号所决定.〔2〕两个向量的数量积称为内积，写成a b；今后要学到两个向量的外积a×b，而a b是两个向量的数量的积，书写时要严格区分.符号“·〞在向量运算中不是乘号，既不能略，也不能用“×〞代替.〔3〕在实数中，假设a0，且a b=0，那么b=0；但是在数量积中，假设a0，且a b=0，不能推出b=0.因为其中cos有可能为0.〔4〕实数a、b、c(b0)，那么ab=bc a=c.但是a b=b c a=c如右图：a b=|a||b|cos=|b||OA|，b c=|b||c|cos=|b||OA|a b=b c但a c(5)在实数中，有(a b)c=a(b c)，但是(a b)c a(b c)然，这是因为左端是与c一一共线的向量，而右端是与a一一共线的向量，而一般a与c不一一共线.3．“投影〞的概念：作图。

高考数学二轮复习第一部分专题二三角函数、平面向量第三讲平面向量教案(2021学年)

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第三讲平面向量［考情分析]平面向量的命题近几年较稳定,一般是单独命题考查平面向量的模、数量积的运算、线性运算等，难度较低,有时也与三角函数、解析几何综合命题,难度中等.年份卷别考查角度及命题位置201７Ⅰ卷向量垂直的应用·T１3Ⅱ卷向量加减法的几何意义·Ｔ４Ⅲ卷向量垂直的应用·Ｔ1３2０16Ⅰ卷平面向量垂直求参数·T13Ⅱ卷平面向量共线求参数·T13Ⅲ卷向量的夹角公式·T32０1５Ⅰ卷平面向量的坐标运算·T2Ⅱ卷平面向量数量积的坐标运算·T4[真题自检]1.(2017·高考全国卷Ⅱ)设非零向量a，ｂ满足|a＋b｜=｜a－b|，则（）A．a⊥bＢ．|a｜＝|b|C．a∥b D.|a|〉|b|解析：依题意得(a＋b)2－(a－b)２=0,即4ａ·b＝0,ａ⊥b，选A。

答案：Ａ2．（２015·高考全国卷Ⅱ）向量ａ＝(1,－1),b=(-1，2),则(2a+ｂ）·ａ=（)A．-1 ﻩB．0C.1 Ｄ.2解析:法一：∵a=(1，-1),b＝(－1,２),∴a2=2，a·b＝－３,从而(２a＋b)·ａ=2a２＋a·b=4-3＝1.法二:∵a＝(1，－１），ｂ=(－1，2),∴2a+b＝(2,－2)＋（-1，2)=（1,0),从而(２a＋b)·a=（1,0)·（１，－１）＝1，故选C.答案：Ｃ3．（2０16·高考全国卷Ⅱ)已知向量a＝(m,4),b＝(3，－２),且ａ∥b，则m=__＿＿＿__＿。

高中数学解题技巧复习教案(2)：平面向量教案

第二讲平面向量【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主．透析高考试题，知命题热点为：1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积．2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义．3．两非零向量平行、垂直的充要条件．4．图形平移、线段的定比分点坐标公式．5．由于向量具有“数”与“形”O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0，那么（）Ａ．AO OD =Ｂ．2AO OD =Ｃ．3AO OD =Ｄ．2AO OD =命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力．解：22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,故选A ．例2．在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示）命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积.解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12AM a b =+，所以,3111()()4244MN a b a b a b =+-+=-+.例3．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( )（A ）BA BC 21+-（B ）BA BC 21--（C ）BA BC 21-（D ）BA BC 21+命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力.解：BA BC BD CB CD 21+-=+=，故选A.例4．与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( )(A) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54 (B) ⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭⎫ ⎝⎛-53,54（C ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322（D ）⎪⎭⎫- ⎝⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题.解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1.555c c ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭4或-时5另一方面,当222274134312525,,cos ,.55271432255a c c a c a c ⎛⎫⨯+⨯- ⎪⋅⎛⎫⎝⎭=-=== ⎪⋅⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭时当7413431,,cos ,.5527a c c a c a c ⎛⎫⎛⎫⨯-+⨯ ⎪ ⎪⋅⎛⎫=-===- ⎪⋅⎝⎭⎛⎫时故平面向量c 与向量a =71,,22b ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎪⎭⎫ ⎝⎛27,21的夹角相等.故选 B. 例5．设向量a 与b 的夹角为θ，且)3,3(=a ，)1,1(2-=-a b ，则=θcos __．命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及用平面向量的数量积处理有关角度的问题.解: ()()()()(),,22,3,323,231,1.b x y b a x y x y =-=-=--=-设由()2311,1,2.231 2.xx b y y -=-=⎧⎧⇒∴=⎨⎨-==⎩⎩得23cos ,33a ba b a b ⋅⨯===⋅+()3,1a =，b 是不平行于x 轴的单位向量，且3a b ⋅=，则b = （）（A ） ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛21,23（B ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛23,21（C ）⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛433,41 （D ） ()0,1命题意图: 本题主要考查应用平面向量的坐标运算和平面向量的数量积,以及方程的思想解题的能力.解:设(),()b x y x y =≠，则依题意有1,y =+=1,22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩故选B.1a 、2a 、3a 的和1230a a a ++=.如果向量1b 、2b 、3b ，满足2i i b a =，且i a 顺时针旋转30o 后与i b 同向，其中1,2,3i =，则（）（A ）1230b b b -++= （B ）1230b b b -+=（C ）1230b b b +-= （D ）1230b b b ++=命题意图: 本题主要考查向量加法的几何意义及向量的模的夹角等基本概念.常规解法：∵1230a a a ++=，∴1232220.a a a ++=故把2i a (i=1,2,3)，分别按顺时针旋转30 后与i b 重合，故1230b b b ++=，应选D.巧妙解法：令1a =0，则2a =3a -，由题意知2b =3b -，从而排除B ，C ，同理排除A ，故选(D).点评：巧妙解法巧在取1a =0，使问题简单化.本题也可通过画图,利用数形结合的方法来解决.2. 平面向量与三角函数,解析几何等问题结合(1) 平面向量与三角函数、三角变换、数列、不等式及其他代数问题，由于结合性强，因而综合能力较强，所以复习时，通过解题过程，力争达到既回顾知识要点，又感悟思维方法的双重效果，解题要点是运用向量知识，将所给问题转化为代数问题求解.(2)解答题考查圆锥曲线中典型问题，如垂直、平行、共线等，此类题综合性比较强，难度大.例8．设函数f(x)=a-b,其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2,4π，（Ⅰ）某某数m 的值；（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x 的值的集合.解：（Ⅰ）()(1sin 2)cos 2f x a b m x x ==++，由已知πππ1sin cos 2422f m ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()1sin 2cos 2124f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x 的最小值为1πsin 214x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，得x 值的集合为3ππ8x x k k ⎧⎫=-∈⎨⎬⎩⎭Z ，例9．设函数b a x f 、=)(.其中向量2)2π(R,),1,sin 1(),cos ,(=∈+==f x x b x m a 且.（Ⅰ）某某数m 的值; （Ⅱ）求函数)(x f 的最小值.解：（Ⅰ）()(1sin )cos f x m x x ==++a b ，πππ1sin cos 2222f m ⎛⎫⎛⎫=++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，得1m =．（Ⅱ）由（Ⅰ）得π()sin cos 114f x x x x ⎛⎫=++=++ ⎪⎝⎭，∴当πsin 14x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，()f x的最小值为110．已知ABC △的面积为3，且满足06AB AC ≤≤，设AB 和AC 的夹角为θ．（I ）求θ的取值X 围；（II ）求函数2()2sin 24f θθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π的最大解：（Ⅰ）设ABC △中角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，则由1sin 32bc θ=，0cos 6bc θ≤≤，可得0cot 1θ≤≤，ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴．（Ⅱ）2π()2sin 24f θθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭π1cos 222θθ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦(1sin 2)2θθ=+-πsin 2212sin 213θθθ⎛⎫=+=-+ ⎪⎝⎭．ππ42θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∵，ππ2π2363θ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，，π22sin 2133θ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∴≤≤．即当5π12θ=时，max ()3f θ=；当π4θ=时，min ()2f θ=．例11．已知ABC 的三个顶点的直角坐标分别为A(3,4)、B(0,0)、Ｃ(c,0) （1）若c=5，求sin ∠A 的值；（2）若∠A 为钝角，求c 的取值X 围；解：（1）(3,4)AB =--，(3,4)AC c =--，若c=5，则(2,4)AC =-，∴cos cos ,A AC AB ∠=<=sin ∠A＝；（2）∠A 为钝角，则39160,0,c c -++<⎧⎨≠⎩解得253c >，∴c 的取值X 围是25(,)3+∞例12．在ABC △中，角A B C ，，的对边分别为tan a b c C =，，，（1）求cos C ；（2）若52CB CA =，且9a b +=，求c ．解：（1）sin tan cos C C C =∴=又22sin cos 1C C +=解得1cos 8C =±．tan 0C >，C ∴是锐角．1cos 8C ∴=．（2）52CB CA =，5cos 2ab C ∴=，20ab ∴=．又9a b +=22281a ab b ∴++=．2241a b ∴+=．2222cos 36c a b ab C ∴=+-=．6c ∴=()()f x a b c =⋅+，其中向量()()sin ,cos ,sin ,3cos a x x b x x =-=-, ()cos ,sin ,c x x x R =-∈. （Ⅰ）求函数()x f 的最大值和最小正周期；（Ⅱ）将函数()x f y =的图像按向量d 平移，使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称，求长度最小的d .命题意图:本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、三角公式、三角函数的性质及图像的基本知识，考查推理和运算能力.解：(Ⅰ)由题意得，f(x)＝a ·(b c +)=(sinx,－cosx)·(sinx －cosx,sinx －3cosx) ＝sin2x －2sinxcosx+3cos2x ＝2+cos2x －sin2x ＝2+2sin(2x+43π).所以，f(x)的最大值为2+2，最小正周期是22π＝π.（Ⅱ）由sin(2x+43π)＝0得2x+43π＝k.π，即x ＝832ππ-k ,k ∈Z ，于是d ＝（832ππ-k ，－2），(2k d π=-k ∈Z.因为k 为整数，要使d 最小，则只有k ＝1，此时d ＝（―8π，―2）即为所求.例14．已知向量a ＝(sinθ，1)，b ＝(1，cosθ)，－π2＜θ＜π2．（Ⅰ）若a ⊥b ，求θ；（Ⅱ）求｜a ＋b ｜的最大值．命题意图:本小题主要考查平面向量数量积和平面向量的模的计算方法、以及三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力.解：（Ⅰ）若a ⊥b ，则sinθ＋cosθ＝0，由此得 tanθ＝－1(－π2＜θ＜π2)，所以 θ＝－π4；（Ⅱ）由a ＝(sinθ，1)，b ＝(1，cosθ)得｜a ＋b ｜＝(sinθ＋1)2＋(1＋cosθ)2＝3＋2(sinθ＋cosθ) ＝3＋22sin(θ＋π4)，当sin(θ＋π4)＝1时，|a ＋b|取得最大值，即当θ＝π4时，|a ＋b|最大值为2＋1．例15．如图，三定点(2,1),(0,1),(2,1);A B C --三动点D 、E 、M 满足,,AD t AB BE tBC ==,[0,1].DM tDE t =∈ （I ）求动直线DE 斜率的变化X 围；（II ）求动点M 的轨迹方程。

2013高考数学二轮复习精品资料专题06 平面向量教学案(学生版)-推荐下载

对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术通关，1系电过，力管根保线据护敷生高设产中技工资术艺料0不高试仅中卷可资配以料置解试技决卷术吊要是顶求指层，机配对组置电在不气进规设行范备继高进电中行保资空护料载高试与中卷带资问负料题荷试2下卷2，高总而中体且资配可料置保试时障卷，各调需类控要管试在路验最习；大题对限到设度位备内。进来在行确管调保路整机敷使组设其高过在中程正资1常料中工试，况卷要下安加与全强过，看度并22工且22作尽22下可22都能22可地护以缩1关正小于常故管工障路作高高；中中对资资于料料继试试电卷卷保破连护坏接进范管行围口整，处核或理对者高定对中值某资，些料审异试核常卷与高弯校中扁对资度图料固纸试定，卷盒编工位写况置复进.杂行保设自护备动层与处防装理腐置，跨高尤接中其地资要线料避弯试免曲卷错半调误径试高标方中高案资等，料，编试要5写、卷求重电保技要气护术设设装交备备置底4高调、动。中试电作管资高气，线料中课并敷3试资件且、设卷料中拒管技试试调绝路术验卷试动敷中方技作设包案术，技含以来术线及避槽系免、统不管启必架动要等方高多案中项；资方对料式整试，套卷为启突解动然决过停高程机中中。语高因文中此电资，气料电课试力件卷高中电中管气资壁设料薄备试、进卷接行保口调护不试装严工置等作调问并试题且技，进术合行，理过要利关求用运电管行力线高保敷中护设资装技料置术试做。卷到线技准缆术确敷指灵设导活原。。则对对：于于在调差分试动线过保盒程护处中装，高置当中高不资中同料资电试料压卷试回技卷路术调交问试叉题技时，术，作是应为指采调发用试电金人机属员一隔，变板需压进要器行在组隔事在开前发处掌生理握内；图部同纸故一资障线料时槽、，内设需，备要强制进电造行回厂外路家部须出电同具源时高高切中中断资资习料料题试试电卷卷源试切，验除线报从缆告而敷与采设相用完关高毕技中，术资要资料进料试行，卷检并主查且要和了保检解护测现装处场置理设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

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第3讲平面向量自主学习导引真题感悟1．(2012²重庆)设x 、y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝A. 5B.10C ．2 5D ．10解析利用平面向量共线和垂直的条件求解． ∵a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，由a ⊥c 得a ²c ＝0，即2x －4＝0，∴x ＝2. 由b ∥c ，得1³(－4)－2y ＝0，∴y ＝－2. ∴a ＋b ＝(3，－1)，∴|a ＋b |＝32＋－12＝10.答案 B2．(2012²浙江)在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，则AB →²AC →＝________. 解析利用向量数量积的运算求解．如图所示，AB →＝AM →＋MB →，AC →＝AM →＋MC →＝AM →－MB →，∴AB →²AC →＝(AM →＋MB →)²(AM →－MB →)＝AM →2－MB →2 ＝|AM →|2－|MB →|2＝9－25＝－16. 答案－16考题分析近年的新课标高考，对于平面向量的考查主要是向量的模、夹角的运算以及平行、垂直的判断及应用，重点考查的是平面向量数量积的运算与应用，考查形式多样，且常与其他数学知识交汇命题网络构建高频考点突破考点一：向量的有关运算问题【例1】(1)(2012²聊城模拟)如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC 、BD 的交点，N 是线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是A.AC →＝AB →＋AD →B.BD →＝AD →－AB →C.AO →＝12AB →＋12AD →D.AE →＝53AB →＋AD →(2)(2012²天水模拟)已知O 为△ABC 内一点，且OA →＋OC →＋2OB →＝0，则△AOC 与△ABC 的面积比值是A.12B.13C.23D ．1 [审题导引] (1)利用平面向量的加减法及平面向量基本定理逐一判定； (2)把所求面积的比转化为线段的比值．[规范解答] (1)设AE →＝λAN →＝λ(AB →＋BN →)＝λAB →＋34λBD →＝λAB →＋34λ(AD →－AB →)＝14λAB →＋34λAD →，又设DE →＝μDC →，∴AE →＝AD →＋DE →＝AD →＋μDC →＝AD →＋μAB → 故⎩⎪⎨⎪⎧ 14λ＝μ34λ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝43μ＝13.∴AE →＝13AB →＋AD →.故选D.(2)如图所示，设AC 的中点为M ，则OA →＋OC →＝2OM →，又OA →＋OC →＋2OB →＝0， ∴OM →＝－OB →，即O 是BM 的中点，故△AOC 的底边AC 上的高是△ABC 底边AC 上高的12，∴△AOC 与△ABC 的面积比值是12.[答案] (1)D (2)A 【规律总结】平面向量运算中的易错点平面向量的线性运算包括向量的加法、向量的减法及实数与向量的积，在解决这类问题时，经常出现的错误有：忽视向量的终点与起点，导致加法与减法混淆；错用数乘公式．对此，要注意三角形法则和平行四边形法则适用的条件，运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合；运用三角形法则时两个向量必须首尾相接，否则就要把向量进行平移，使之符合条件．【变式训练】1．(2012²密云一模)在△ABC 中，点P 是BC 上的点.BP →＝2PC →，AP →＝λAB →＋μAC →，则A ．λ＝2，μ＝1B ．λ＝1，μ＝2C ．λ＝13，μ＝23D ．λ＝23，μ＝13解析如图，AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，∴λ＝13，μ＝23.答案 C考点二：平面向量的数量积及应用【例2】(1)(2012²三明模拟)在边长为1的正三角形ABC 中，若BC →＝2BD →，CA →＝3CE →，则AD →²BE →＝________.(2)(2012²海淀一模)已知向量a ＝(1，x )，b ＝(－1，x )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝ A. 2 B. 3 C ．2D ．4[审题导引] (1)向量AD →与BE →用AB →，BC →或AC →表示计算其数量积； (2)利用(2a －b )⊥b ，求出x ，然后计算|a |. [规范解答] (1)AD →²BE →＝(AB →＋BD →)²(AE →－AB →)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →＋12BC →⎝ ⎛⎭⎪⎫23AC →－AB →＝23AB →²AC →－|AB →|2＋13BC →²AC →－12BC →²AB →＝23³1³1³12－1＋13³1³1³12－12³1³1³⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－14. (2)(2a －b )²b ＝(3，x )²(－1，x )＝x 2－3＝0， ∴x ＝±3，∴|a |＝2. [答案] (1)－14(2)C【规律总结】[易错提示] 由于两向量的数量积与它们的模和夹角有关，因此数量积是解决长度、夹角(尤其是垂直)等问题的重要工具．注意在△ABC 中，向量的夹角与△ABC 的内角之间的关系，向量与的夹角为角A ，而与的夹角为π－B ，这一点不要出错．【变式训练】2．(2012²皖南八校联考)设向量a 、b 满足：|a |＝2，a ²b ＝32，|a ＋b |＝22，则|b |等于A.12 B ．1 C.32D ．2解析 |a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a ²b ＋|b |2＝4＋3＋|b |2＝8，∴|b |＝1.答案 B3．(2012²厦门模拟)已知平面向量a 、b 满足a ²(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 的夹角为A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析 a ²(a ＋b )＝|a |2＋a ²b ＝4＋a ²b ＝3， ∴a ²b ＝－1， ∴cos 〈a ，b 〉＝a ²b |a ||b |＝－12³1＝－12，∴〈a ，b 〉＝2π3.答案 C考点三：平面向量的综合应用性问题【例3】已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2，sin 3x 2，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 2，－sin x 2，且x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求： (1)a ²b 及|a ＋b |；(2)若f (x )＝a ²b －2λ|a ＋b |的最小值是－32，求λ的值．[审题导引] 应用向量的数量积公式和模的公式，可得f (x )的表达式，再运用三角函数知识化简f (x )，根据f (x )的表达式求出λ的值．[规范解答] (1)a ²b ＝cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x2＝cos 2x ， |a ＋b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3x 2＋cos x 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3x 2－sin x 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 23x 2＋sin 23x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2x 2＋sin 2x 2＋2⎝⎛⎭⎪⎫cos 3x 2cos x 2－sin 3x 2sin x 2 ＝2＋2cos 2x ＝2cos 2x ，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴0≤cos x ≤1，∴|a ＋b |＝2cos x . (2)f (x )＝a ²b －2λ|a ＋b |＝cos 2x －2λ²2cos x＝2(cos x －λ)2－1－2λ2，当λ＜0时，当且仅当cos x ＝0时，f (x )取得最小值－1，这与已知矛盾；当0≤λ≤1时，当且仅当cos x ＝λ时，f (x )取得最小值－1－2λ2，由已知，得－1－2λ2＝－32，解得λ＝12；当λ＞1时，当且仅当cos x ＝1时，f (x )取得最小值1－4λ，由已知，得1－4λ＝－32，解得λ＝58，与λ＞1矛盾．综上所述，λ＝12.【规律总结】平面向量综合应用的技巧[例3]体现了函数问题向量化、向量问题函数化的等价转化思想，其中，模的平方与向量数量积之间的关系|a |2＝a ²a ＝x 2＋y 2和a ＝(x ，y )是实现向量与实数互化的依据和桥梁，也是重要的转化方法．在近几年的高考中，经常以解答题的形式考查上面所说的这种转化，且常见于以三角函数为背景的中易档解答题中．【变式训练】4．(2012²青岛二模)已知向量m ＝(sin x ，3sin x )，n ＝(sin x ，－cos x )，设函数f (x )＝m ²n ，若函数g (x )的图象与f (x )的图象关于坐标原点对称．(1)求函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值，并求出此时x 的值；(2)在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，A 为锐角，若f (A )－g (A )＝32，b ＋c＝7，△ABC 的面积为23，求边a 的长．解析 (1)由题意得：f (x )＝sin 2x －3sin x cos x ＝1－cos 2x 2－32sin 2x ＝12－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以g (x )＝－12－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6，因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2π3，π6，所以当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时，函数g (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值为12.(2)由f (A )－g (A )＝32，得1－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A ＋π6＋sin ⎝⎛⎭⎪⎫2A －π6＝32，化简得：cos 2A ＝－12.又因为0＜A ＜π2，解得：A ＝π3，由题意知：S △ABC ＝12bc sin A ＝23，解得bc ＝8，又b ＋c ＝7，所以a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc (1＋cos A )＝49－2³8³⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝25，故所求边a 的长为5. 名师押题高考【押题1】在正三角形ABC 中，AB ＝1，CP →＝7CA →＋3CB →，则CP →²AB →＝________.解析 CP →²AB →＝(7CA →＋3CB →)²AB →＝7CA →²AB →＋3CB →²AB →＝7³1³1³cos 120°＋3³1³1³cos 60°＝－2.[押题依据] 本题主要考查平面向量的线性运算及数量积运算，属中等偏易题．每年高考大多数情况下都会涉及此类题目，有时还会与正、余弦定理交汇命题，所以在备考中掌握其基础知识，能熟练运算即可．【押题2】在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .已知向量m ＝(b ，a －2c )，n ＝(cos A －2cos C ，cos B )，且m ⊥n .(1)求sin C sin A的值；(2)若a ＝2，|m |＝35，求△ABC 的面积S .解析 (1)解法一由m ⊥n ，得b (cos A －2cos C )＋(a －2c )cos B ＝0. 根据正弦定理，得sin B cos A －2sin B cos C ＋sin A cos B －2sin C cos B ＝0. 因此(sin B cos A ＋sin A cos B )－2(sin B cos C ＋sin C cos B )＝0，即sin(A ＋B )－2sin(B＋C )＝0.因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin C －2sin A ＝0.即sin Csin A ＝2.解法二由m ⊥n 得，b (cos A －2cos C )＋(a －2c )cos B ＝0.根据余弦定理，得b ³b 2＋c 2－a 22bc ＋a ³a 2＋c 2－b 22ac －2b ³a 2＋b 2－c 22ab －2c ³a 2＋c 2－b 22ac＝0.即c －2a ＝0.所以sin C sin A ＝ca ＝2.(2)因为a ＝2，由(1)知，c ＝2a ＝4. 因为|m |＝35，即b 2＋a －2c 2＝35，解得b ＝3.所以cos A ＝32＋42－222³3³4＝78.所以sin A ＝158. 因此△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12³3³4³158＝3415. [押题依据] 向量的垂直、平行是向量的重点内容，而向量与三角恒等变换，三角函数的性质，正、余弦定理综合的题目是高考的一类热点题型．本题主要考查了向量垂直的充要条件、向量的模以及正、余弦定理的综合应用，难度中等，符合高考的要求，故押此题．。

2013届高三数学二轮复习 专题二 第3讲 平面向量教案