届广州市高三二模数学理

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2019年广东省广州市高考数学二模(理科)试题和参考答案

侧视图正视图试卷类型：A2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2018.4本试卷共4页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3，将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13C7．一个几何体的三视图如图1，则该几何体D CB A 的体积为A ．6π4+B ．12π4+C ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,按表1的方式进行排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253表二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==，则AE AF ⋅的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t=-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点，且1AB AD ==，3BD =. (1) 求cos A 的值；（2）求sin C 的值.图217．（本小题满分12分）一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值；（注：设样本数据第i 组的频率为i p ，第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++. （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图4 19．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E . (1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=. （1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围；（3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+. 2019年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a 12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）（1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，3BD =， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅2221112113+-⎝⎭==⨯⨯. ……………4分（2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A==. ……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分解得3BC =. ……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin AB A C BC ⨯⋅===……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分解得0.03x =. ……………2分（2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分M O H F E D CB A （3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分（或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt△BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分（2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点，取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂平面EBD ，BD ⊂平面EBD ，∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH == 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -. ∴()1,1,1AE =-，()2,2,0BD =--，()1,1,1BE =--. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=，n 0BE ⋅=，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,nAE⋅=n AE n AE=. ……………11分∴cos 3θ==，sin tan cos θθθ==……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分（2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅，② ……………11分①-②得0121344444n n n T n --=++++-⋅14414nnn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅.由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦. ……………13分 ∴ ()131419n n T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--，故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=，即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-，则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>，则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<. 故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x ==>，则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减，从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+，由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<，得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分专业资料word 完美格式综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分把2,3,4,,x n =分别代入上面不等式，并相加得，11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭……………12分111121n n =+--+ ……………13分223222n n n n --=+. ……………14分。

广东广州届高三年级第二次模拟考试数学(理)试题Word版含答案

广东广州市届高三第二次模拟考试数学（理）试题Word版含答案
）年广州市普通高中毕业班综合测试（二）
理科数学
）.4一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．1．已知复数z=m(3+i)-(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m的取值范围是
A ． B. C ． D.
2．己知集合A= ，则
A.x|x<2或x≥6}
B.x|x≤2或x≥6
C.x|x<2或x≥10}
D.x|x≤2或x≥10
3．某公司生产A，B，C三种不同型号的轿车，产量之比依次为2：3：4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本，若样本中A种型号的轿车比B种型号
的轿车少8辆，则n=
A. 96
B. 72
C. 48
D. 36
4．执行如图所示的程序框图，则输出z的值是
A. 21
B. 22
C. 23
D. 24
5．己知点A与点B(1，2)关于直线x+y+3=0对称，则点A的坐标为
A.(3,4)
B. (4,5)
C. (-4,-3)
D. (-5,-4) 6．从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动．设
1 / 1。

广东省广州市2021届新高考数学二模试卷含解析

广东省广州市2021届新高考数学二模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知点P是双曲线2222:1(0,0,x y C a b c a b-=>>=上一点，若点P 到双曲线C 的两条渐近线的距离之积为214c ，则双曲线C 的离心率为（） ABCD ．2【答案】A 【解析】【分析】设点P 的坐标为(,)m n ，代入椭圆方程可得222222b m a n a b -=，然后分别求出点P 到两条渐近线的距离，由距离之积为214c ，并结合222222b m a n a b -=，可得到,,a b c 的齐次方程，进而可求出离心率的值. 【详解】设点P 的坐标为(,)m n ，有22221m n a b-=，得222222b m a n a b -=.双曲线的两条渐近线方程为0bx ay -=和0bx ay +=，则点P 到双曲线C的两条渐近线的距离之积为222222222b m a n a b a b c-==+，所以222214a b c c =，则22244()a c a c -=，即()22220c a -=，故2220c a -=，即2222c e a ==，所以e =故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的离心率，构造,,a b c 的齐次方程是解决本题的关键，属于中档题.2．如图，已知平面αβ⊥，l αβ⋂=，A 、B 是直线l 上的两点，C 、D 是平面β内的两点，且DA l ⊥，CB l ⊥，3AD =，6AB =，6CB =．P 是平面α上的一动点，且直线PD ，PC 与平面α所成角相等，则二面角P BC D --的余弦值的最小值是（）A ．5 B ．3 C ．12D ．1【答案】B 【解析】【分析】PBA ∠为所求的二面角的平面角，由DAP CPB ~n n 得出PAPB，求出P 在α内的轨迹，根据轨迹的特点求出PBA ∠的最大值对应的余弦值【详解】DA l ⊥Q ，αβ⊥，l αβ⋂=，AD β⊂ AD α∴⊥，同理BC α⊥DPA ∴∠为直线PD 与平面α所成的角，CPB ∠为直线PC 与平面α所成的角DPA CPB ∴∠=∠，又90DAP CBP ∠=∠=︒DAP CPB ∴~n n ，12PA DA PB BC == 在平面α内，以AB 为x 轴，以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系则()()3030A B -，，，，设()()0P x y y >， ()()2222233x y x y ∴++=-+()22516x y ++=P ∴在α内的轨迹为()50M -，为圆心，以4为半径的上半圆 Q 平面PBC ⋂平面BC β=，PB BC ⊥，AB BC ⊥PBA ∴∠为二面角P BC D --的平面角，∴当PB 与圆相切时，PBA ∠最大，cos PBA ∠取得最小值此时48PM MB MP PB PB ==⊥=，，，cos 82PB PBA MB ∠===故选B 【点睛】本题主要考查了二面角的平面角及其求法，方法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果．3． “完全数”是一些特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.古希腊数学家毕达哥拉斯公元前六世纪发现了第一、二个“完全数”6和28，进一步研究发现后续三个完全数”分别为496，8128，33550336，现将这五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则6和28不在同一组的概率为（） A ．15B ．25C ．35D ．45【答案】C 【解析】【分析】先求出五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个的基本事件总数为2510C =，再求出6和28恰好在同一组包含的基本事件个数，根据即可求出6和28不在同一组的概率. 【详解】解：根据题意，将五个“完全数”随机分为两组，一组2个，另一组3个，则基本事件总数为2510C =，则6和28恰好在同一组包含的基本事件个数21234C C +=， ∴6和28不在同一组的概率1043105P -==. 故选：C. 【点睛】本题考查古典概型的概率的求法，涉及实际问题中组合数的应用.4．函数()231f x x x =-+在[]2,1-上的最大值和最小值分别为（） A ．23，-2 B ．23-，-9 C ．-2，-9 D ．2，-2【答案】B 【解析】【分析】由函数解析式中含绝对值，所以去绝对值并画出函数图象，结合图象即可求得在[]2,1-上的最大值和最小值. 【详解】依题意，()151,2323111,13x x f x x x x x ⎧+-≤<-⎪⎪=-+=⎨⎪---≤≤⎪⎩，作出函数()f x 的图象如下所示；由函数图像可知，当13x =-时，()f x 有最大值23-，当2x =-时，()f x 有最小值9-. 故选：B. 【点睛】本题考查了绝对值函数图象的画法，由函数图象求函数的最值，属于基础题. 5．若5(1)(1)ax x ++的展开式中23,x x 的系数之和为10-，则实数a 的值为（） A ．3- B ．2- C ．1-D ．1【答案】B 【解析】【分析】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，进而分别求出展开式中2x 的系数及展开式中3x 的系数，令二者之和等于10-，可求出实数a 的值. 【详解】由555(1)(1)(1)(1)ax x x ax x ++=+++，则展开式中2x 的系数为1255105C aC a +=+，展开式中3x 的系数为32551010C aC a +=+，二者的系数之和为(105)(1010)152010a a a +++=+=-，得2a =-.【点睛】本题考查二项式定理的应用，考查学生的计算求解能力，属于基础题. 6．已知函数2(0x y a a -=>且1a ≠的图象恒过定点P ，则函数1mx y x n+=+图象以点P 为对称中心的充要条件是( ) A ．1,2m n ==- B ．1,2m n =-= C ．1,2m n == D ．1,2m n =-=-【答案】A 【解析】【分析】由题可得出P 的坐标为(2,1)，再利用点对称的性质，即可求出m 和n . 【详解】根据题意，201x y -=⎧⎨=⎩，所以点P 的坐标为(2,1)，又1()1mx m x n mn y m x n x n +++-===+++ 1mnx n-+，所以1,2m n ==-. 故选：A. 【点睛】本题考查指数函数过定点问题和函数对称性的应用，属于基础题.7．已知F 是双曲线22:4||C kx y k +=（k 为常数）的一个焦点，则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为（） A ．2k B ．4k C ．4 D ．2【答案】D 【解析】【分析】分析可得k 0<,再去绝对值化简成标准形式,进而根据双曲线的性质求解即可. 【详解】当0k ≥时,等式224||kx y k +=不是双曲线的方程；当k 0<时,224||4kx y k k +==-,可化为22144y x k -=-,可得虚半轴长2b =,所以点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为2. 故选：D本题考查双曲线的方程与点到直线的距离.属于基础题. 8．已知函数()()1xf x k xe =-，若对任意x ∈R ，都有()1f x <成立，则实数k 的取值范围是（）A ．(),1e -∞-B ．()1,e -+∞C ．(],0e -D ．(]1,1e -【答案】D 【解析】【分析】先将所求问题转化为()11e x k x -<对任意x ∈R恒成立，即1xy e =得图象恒在函数 (1)y k x =-图象的上方，再利用数形结合即可解决.【详解】由()1f x <得()11e x k x -<，由题意函数1xy e =得图象恒在函数(1)y k x =-图象的上方，作出函数的图象如图所示过原点作函数1xy e =的切线，设切点为(,)a b ，则1e e aa b a a --==，解得1a =-，所以切线斜率为e -，所以e 10k -<-≤，解得1e 1k -<≤. 故选：D. 【点睛】本题考查导数在不等式恒成立中的应用，考查了学生转化与化归思想以及数形结合的思想，是一道中档题. 9．执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P 的取值范围是（）.A ．37,48⎛⎤⎥⎝⎦B ．59,610⎛⎤⎥⎝⎦C ．715,816⎛⎤⎥⎝⎦D ．1531,1632⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】C 【解析】【分析】框图的功能是求等比数列的和，直到和不满足给定的值时，退出循环，输出n. 【详解】第一次循环：1,22S n ==；第二次循环：2113,3224S n =+==；第三次循环：231117,42228S n =++==；第四次循环：234111115,5222216S n =+++==；此时满足输出结果，故715816P <≤. 故选：C. 【点睛】本题考查程序框图的应用，建议数据比较小时，可以一步一步的书写，防止错误，是一道容易题. 10．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1AB 的中点，,M N 分别为线段1AC 和棱11B C 上任意一点，则22PM MN 的最小值为（）A ．22B ．2C ．3D ．2【答案】D 【解析】【分析】取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，可得MFN ∆为等腰直角三角形，由APM AEM ∆≅∆，可得PM EM =，当11MN B C ⊥时， MN 最小，由 22MF MN =，故()122222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫+=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭，即可求解.【详解】取AC 中点E ，过M 作MF ⊥面1111D C B A ，如图：则APM AEM ∆≅∆，故PM EM =，而对固定的点M ，当11MN B C ⊥时， MN 最小．此时由MF ⊥面1111D C B A ，可知MFN ∆为等腰直角三角形，2MF =，故()122222222PM MN PM MN EM MF AA ⎛⎫=+=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本题考查了空间几何体中的线面垂直、考查了学生的空间想象能力，属于中档题.11．定义在上的函数满足，且为奇函数，则的图象可能是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据为奇函数，得到函数关于中心对称，排除，计算排除，得到答案.【详解】为奇函数，即，函数关于中心对称，排除.，排除.故选：.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数关于中心对称是解题的关键.12．某校在高一年级进行了数学竞赛（总分100分），下表为高一·一班40名同学的数学竞赛成绩：55 57 59 61 68 64 62 59 80 8898 95 60 73 88 74 86 77 79 9497 100 99 97 89 81 80 60 79 6082 95 90 93 90 85 80 77 99 68如图的算法框图中输入的i a为上表中的学生的数学竞赛成绩，运行相应的程序，输出m，n的值，则-=（）m nA ．6B ．8C ．10D ．12【答案】D 【解析】【分析】根据程序框图判断出,n m 的意义，由此求得,m n 的值，进而求得m n -的值. 【详解】由题意可得n 的取值为成绩大于等于90的人数，m 的取值为成绩大于等于60且小于90的人数，故24m =，12n =，所以241212m n -=-=.故选：D 【点睛】本小题考查利用程序框图计算统计量等基础知识；考查运算求解能力，逻辑推理能力和数学应用意识. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届高考广州市二模数学试题及答案

广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（本试卷共6页，22小题，满分150分.考试时间120分钟.）注意事项：1.答卷前，考生必须用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡相应的位置上.2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题同的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；不能答在试卷上．3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，涉及作图的题目，用2B 铅笔画图．答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；改动的答案也不能超出指定的区域．不准使用铅笔、圆珠笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，有一项是符合题目要求的） 1.已知集合{}3Px x =<，{}22Q x x −<<，则（）A.P Q ⊆B.Q P ⊆C.P Q P ∩=D.P Q Q ∪= 2. 某中学甲、乙、丙、丁四名学生去A 、B 、C 、D 四个社区展开“厉行节约，反对餐饮浪费”宣传活动，每名学生只去一个社区，每个社区一名学生。

甲说我不去A 社区，乙说我不去A 社区也不去D 社区，丙说我不去B 社区.若甲、乙、丙三人中只有甲和乙说了真话，则去D 设区的是（）A.甲B. 乙C. 丙D. 丁3. 已知1z ，2z 都是复数，2z 的共轭复数为2z ，下列命题中，真命题的是（）A.若12z z =，则12z z =B.若12z z >，则12z z >C. 若12z z =，则12z z =D. 若12z z =，则12z z +为实数4.已知第二象限角θ的终边上有两点A(-1,a )，B(b ，2)，且cos 3sin 0θθ+=，则3a-b =（）A.-7B.-5C.5D. 75.261(1)(2)x x x+−展开式的常数项是（）A.160B.100C.-100D. -1606.已知函数()x x xf x xe e=+，且2(1+)(2)0f a f a a +−++>，则a 的取值范围是（）A.(,1)(3,)−∞−∪+∞B.(1,3)−C.(,3)(1,)−∞−∪+∞D.(3,1)−7.学生到工厂参加实践劳动，永薄铁皮制作一个圆柱体，圆柱体的全面积为8π，则该圆柱体的外接球的表面积的最小值是（）A.1)π−B.1)π−C.1)π+D. 1)π+8. 如图，有一种变压器，铁芯的截面是正十字形（阴影部分，其中矩形ABCD 绕其对称中心，按顺时针方向旋转90度后与矩形EFGH 重合），已知AB=2，正十字形有一个外接圆，从外接圆内部随机取一点，此点取自正十字形的，则tan ∠ACD=（）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.） 9. 2020年，中国经济在疫情阻击战的基础上实现了正增长，国内生产总值首次突破百万亿大关.根据中国统计局官方提供的数据，2010年~2020年，中国国内生产总值（单位：亿元）的条形图和国内生产总值年增长率（YoY ）的折线图如图，根据该图，下列结论正确的是（）A ．2017年国内生产总值的年增长率最大B ．2011年国内生产总值的年增长率最大C ．这11年国内生产总值的年增长率不断减小D ．这11年国内生产总值的年增长率逐年增长10. 过双曲线22:14x C y −=的左焦点F 作直线l 交C 于A 、B 两点，则（）A.若AB =1，则直线l 只有1条B. 若AB =2，则直线l 有2条C. 若AB =3，则直线l 有3条D. 若AB =4，则直线l 有4条11. 如图，四棱锥P—ABCD 的底面为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=1,PD=AB=2，点E 是PB 的中点，过ADE 三点的平面α与平面PBC 的交线为l ，则（）A ． l ∥平面PADB ．AE ∥平面PCDC.直线PA 与l所成角的余弦值为D ．平面α截P—ABCD 四棱锥所得的上、下两部分几何体的体积之比为3512.对于函数21141,,2213()(1),,2213(2),,22x x f x f x x f x x −+∈−=−−∈−∈+∞，则下列结论正确的是（）A.任取121,,2x x∈−+∞，都有12()()2f x f x −<恒成立B.10101(0)(2)(4)(6)(2020)22f f f f f ++++=−C. 对任意x>0，不等式()kf x x≤恒成立，则实数k 的取值范围是[)1,+∞D.函数1()ln()2y f x x =−−有且仅有2个零点三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.已知等差数列{}n a 满足32a =，4510a a +=，则26log a =_____.14. 在△ABC 中，∠ABC=90°，，AC=3，点D 在AC 上，且AD=2DC ，则BD AC ⋅=_____.15.若直线223y x =−+与曲线313y x ax =−相切，则a =_____.F 1，F 2点关于直线l 对称点A 在C 上，且21122)(8F F F F A A +⋅=，则C 的方程为______________.四、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本题满分10分）已知等比数列{}n a 的前n 项和为S n ，11a =，1123(2)n n n S S S n +−+=≥. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和T n .18.（本题满分12分）如图，在四边形ABCD 中，△BCD 是等腰直角三角形，∠BCD=90°，∠ADB=90°，sin ∠ADB=，BD=2，AC 与BD 交于点E. （1）求sin ∠ACD ；（2）求△ABE 的面积.习近平总书记指出:在扶贫的道路上，不能落下任何一个贫困家庭，丢下一个贫困群众.根据相关统计，2010年以后中国贫困人口规模呈逐年下降趋势，2011年~2019年，全国农村贫困发生率的散点图如下:（1）求y 关于t 的回归直线方程（系数精确到0.01）；（2）已知某贫困地区的农民人均年纯收入X （单位：万元）满足正态分布N （1.6，0.36），若该地区约有97.72%的农民人均年纯收入高于该地区最低人均年纯收入标准，则该地区最低人均年纯收入标准大约为多少万元？. 参考数据与公式：9154.2i i y ==∑，91183.6i i i t y ==∑回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计分别为b ^=121ni ii ni i t y nt yt t ==−(−)∑∑，a ^＝y －b ^x .若随机变量X 服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ≤X ≤μ＋σ)≈0.6826；P (μ－2σ≤X ≤μ＋2σ)≈0.9544；P (μ－3σ≤X ≤μ＋3σ)≈0.9974.如图，三棱柱ABC—A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 是菱形，∠ABB 1=∠ABC. （1）求证：B 1C ⊥平面ABC 1；（2）若BB 1= B 1C=2，AB=AC 1，且二面角B 1—AB—C 为直二面角，求三棱锥C 1—ABB 1的体积.21.（本题满分12分）已知抛物线C ：x 2=2py (p >0)上的点到点A(0，p )的距离的最小值为2. （1）求C 的方程；（2）若点F 是C 的焦点，过F 作两条相互垂直的直线l 1，l 2与C 交于M ，N 两点，与C 交于P ，Q 两点，线段MN ，PQ 的中点分别是S ，T ，是否存在定圆使得直线ST 截该圆所得的线段长为定值？若存在，写出一个定圆的方程；若不存在，请说明理由.22.（本题满分12分）已知函数2()ln(1)(1)(0)f x x a x a =++−>. （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）证明：对任意*n N ∈，都有2223521123n n −++++< .2021年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学试题参考答案及评分标准评分说明:1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数．选择题不给中间分．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．9. BD 10. ABD 11. ACD 12. B 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 3 14. 3 15. 3 16. +=x y 1612122四、解答题：本题共6小题，共70分． 17.（10分）（1）解法1：由=≥-S S S n n n n +23(2)+11，得-=--S S S S n n n n 2+11)(， …………………1分得=+a a n n 21≥n 2)(， …………………………2分即=+a a nn 21≥n 2)(， …………………………3分因为a n }{是等比数列，所以=q 2. …………………………4分因为=a 11，所以=-a n n 21. …………………………5分解法2: 由=≥-S S S n n n n +23(2)+11，得+=S S S 23312， …………………………1分得+++=+a a a a a a 23123112)(， …………………………2分整理得=a a 232，即=a a 223. …………………………3分因为a n }{是等比数列，所以==a q a 223. …………………………4分因为=a 11，所以=-a n n 21. …………………………5分解法3：设等比数列a n {}的公比为q ，若=q 1，由于=a 11，则=a n 1，=S n n . …………………………1分因而=++-=-≠≥-S S n n n S n n n n +2121313(2)+11)()(，与题设=≥-S S S n n n n +23(2)+11矛盾，所以≠q 1. …………………………2分由=≥-S S S n n n n +23(2)+11，得---+⨯=⨯---+-q q qq q q n n n1112311111， …………………………3分解得=q 2. …………………………4分因为=a 11，所以=-a n n 21. …………………………5分（2）解法1：由（1）得-==--S n n n 122112. …………………………6分则=-++S n n 2111. …………………………7分所以--==+++S S b a n n n n n n n 21212111)()(--=-+n n 2121111. …………………………8分所以 ⎝⎭⎝⎭⎝⎭------⎪ ⎪ ⎪=-+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+T n n n 2121212121211111112231……………9分 -=-+n 21111. …………………………10分解法2：由（1）得-==--S n n n122112. …………………………6分-++a S Sn n n 11ABCDE=-+S S n n 111. …………………………8分所以 ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪ ⎪ ⎪=-+-++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫+S S S S S S T n n n 11111112231 …………………………9分 =-+S S n 1111-=-+n 21111. …………………………10分18. (12分)（1）解：因为△BCD 是等腰直角三角形， ∠=BCD 90，=BD 2，所以==BC CD ，∠=∠=CBD CDB 45. …………1分因为 ∠=ADB 90，∠=ABD 5sin ，所以<∠<ABD 090，∠==ABD 5cos ， ………2分∠==ABDAB BDcos ，=∠=AD AB ABD sin 1. …………………………4分在△ACD 中， ∠=ADC 135，由余弦定理得=AC==. …………………………5分由正弦定理得∠=ACD AC ADsin135sin ，得∠==⨯ACD 10sin 1. …………………………6分（2）解法1：在△ACD 中，由正弦定理得∠∠=CAD ACDCD ADsin sin ，得∠==⋅∠ADCAD CD ACDsinsin 5. …………………………7分由于 <∠<CAD 090，得∠==CAD 5cos . …………8分所以∠∠==∠CAD CAD CAD cos 2tan sin 1. …………………………9分在Rt △ADE 中，=⋅∠=DE AD CAD 2tan 1，=⋅⋅=∆S AD DE ADE 2411. …………………………10分在Rt △ABD 中， =⋅⋅=∆S AD BD ABD 211. …………………………11分所以△ABE 的面积为=-∆∆S S S ABD ADE =43. …………………………12分解法2：由（1）知==AC AB =BC ，则=⋅∆S BC ABC21=23. …………………………7分由于=⋅⋅⋅∠=⋅=∆S AB BE ABD BE BE ABE 2252sin 111， …………8分=⋅⋅⋅∠=⋅=∆S BC BE CBD BE BE CBE 222sin sin 45111， ……………9分所以=∆∆S S ABE CBE . …………………………10分因为+=∆∆∆S S S ABE CBE ABC ， …………………………11分所以△ABE 的面积为=∆∆S S ABE ABC 21=43. …………………………12分解法3：由sin ∠=ACD 10，且0ACD <∠<90，得10==∠ACD cos . …………………………7分在△CDE 中， ∠=-∠-∠=-∠CED ACD CDB ACD 180135，则∠=-∠CED ACD sin sin 135)(=∠-∠ACD ACD sin135cos cos135sin …………………8分⎪ ⎪=⨯--⨯⎛⎫2102105=. …………………………9分由正弦定理得sin sin DE CDACD CED=∠∠，得sin sin CD ACDDE CED⋅∠=∠125==. …………………………10分所以32BE BD DE =-=. …………………………11分所以△ABE 的面积为1sin 2S BE AB ABD =⋅⋅⋅∠13225=⨯34=.…12分解法4：由sin 10ACD ∠=，且090ACD <∠< ，得cos 10ACD ∠==. …………………………7分因为90ACB BCD ACD ACD ∠=∠-∠=-∠ ，所以()cos cos 90sin 10ACB ACD ACD ∠=-∠=∠=，…………………8分 ()sin sin 90cos 10ACB ACD ACD ∠=-∠=∠=. ……………………9分在△BCE 中，18045135BEC ACB ACB ∠=--∠=-∠ ，则()sin sin 135BEC ACB ∠=-∠sin135cos cos135sin ACB ACB =∠-∠210210⎛⎫=⨯--⨯ ⎪ ⎪⎝⎭5=. …………………………10分由正弦定理得sin sin BC BEBEC ACB=∠∠，A 1得sin sin BC ACBBE BEC⋅∠=∠325==. …………………………11分所以△ABE 的面积为1sin 2S BE AB ABD =⋅⋅⋅∠13225=⨯34=.…12分19.（12分）（1）解: 由散点图中数据和附注中参考数据得5t =，()92160i i t t=-=∑，54.26.029y =≈， …………………………3分得()919219183.6554.287.41.466060i i i i i t y t ybt t==-∑-⨯-===≈--∑ ， …………………………5分所以 ()6.02 1.46513.32ay bt =-=--⨯= . …………………………6分所以y 关于t 的回归直线方程为 1.4613.32y t =-+. …………………………7分（2）解：由题意()1.6,0.36X N9分所以2 1.620.60.4μσ-=-⨯=时，满足题意. …………………………11分所以该地区最低人均年纯收入标准大约为0.4万元. ………………………12分 20. (12分)（1）证明：记11BC B C O = ，连结AO ，因为侧面11BB C C 是菱形，所以11B C BC ⊥, 1BB BC =. …………………………1分因为1ABB ABC ∠=∠,AB AB =, 所以△1ABB ≌△ABC . …………………………2分所以1AB AC =. …………………………3分因为O 是1B C 的中点，所以1AO B C ⊥.因为1AO BC O = ,AO ⊂平面1ABC ,1BC ⊂平面所以1B C ⊥平面1ABC . …………………………5分（2）解法1：DOC 1B 1A 1CBA由（1）可知1B C AO ⊥，因为11BC B C O = ，所以AO ⊥面11BB C C . …………………………7分以O 为原点建立如图的空间直角坐标系O xyz -, 设AO t =, …………………………8分因为112BB B C ==，所以11B O =，BO =.则)B，()10,1,0B ，()0,1,0C -，()0,0,A t ，()10,1,B A t =-，)11,0B B =-，()BA t = ，()0,1,CA t =设平面1AB B 的法向量为1n ()111,,=x y z ，则有1⋅n 1110B A y tz =-+= ，1⋅n 1110B B y =-=，令1y =，得平面1AB B 的一个法向量为1n t ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. …………………………9分设平面ABC 的法向量为2n ()222,,x y z =，则有2⋅n 220BA tz =+= ，2⋅n 220CA y tz =+=，令2x =，则23y =-，23z t=.则平面ABC 的一个法向量为2n 33,t ⎫=-⎪⎭. ………………………10分由题意知1⋅n 2n 20t =-=,解得2t =. …………………………11分所以111111113322=C ABB A BB C BB C V V AO S --∆=⨯⨯=⨯=. ………………………12分解法2：作CD AB ⊥于D ，连接1B D ，由（1）知 △1ABB ≌△ABC ，所以1B D AB ⊥，1CD B D =. …………………………6分所以1B DC ∠是二面角1B AB C --的平面角，依题意得190B DC ∠=︒. …………7分因为112BB B C ==，所以1CD B D ==.ODBCC 1B 1A 1A 因为1AB AC =，O 为1BC 的中点，所以1AO BC ⊥. …………………………8分由（1）可知1B C AO ⊥，因为11BC B C O = ，所以AO ⊥面11BB C C . …………9分设AO x =，在R t △1AOB 中, 2222111AB B O AO x =+=+， ……………………10分在R t △1ADB 中, AD ==在R t △AOB 中, AB ==，在R t △1BDB 中,BD ==，因为AB BD AD =+,则=解得2x =. ………………………11分所以111111113322=C ABB A BB C BB C V V AO S --∆=⨯⨯=⨯=. ……………………12分解法3：作CD AB ⊥于D ，连接1B D ，DO ，由（1）知 △1ABB ≌△ABC ，所以1B D AB ⊥，1CD B D =. …………………………6分所以1B DC ∠是二面角1B AB C --的平面角，依题意得190B DC ∠=︒. …………7分又1CD B D D = ，则AB ⊥平面1CDB .因为DO ⊂平面1CDB ，所以DO AB ⊥. …………………………8分因为112BB B C ==，所以1CD B D ==，1DO =，BO =.在Rt △1BDB中，BD ==.因为 Rt △AOB ～Rt △BOD ，所以AO DO BO BD =，得2AO =. …………………………9分因为1AB AC =，O 为1BC 的中点，所以1AO BC ⊥. …………………………10分由（1）可知1B C AO ⊥，因为11BC B C O = ，所以AO ⊥面11BB C C . ………11分所以111111113322=C ABB A BB C BB CV V AO S--∆=⨯⨯=⨯=. ……………………12分21.（12分）（1）解: 设()00,B x y是抛物线C上的任一点，则2002x py=. …………………………1分AB===. …………………………2分因为00y≥,所以当00y=时，minAB p==. …………………………3分依题意，得2p=.所以C的方程为24x y=. …………………………4分（2）解法1：因为点F是C的焦点，所以()0,1F. …………………………5分根据题意，直线1l的斜率k存在且0k≠，设1:1l y kx=+，由于12l l⊥，则21:1l y xk=-+.设()11,M x y，()22,N x y，(),S x y''，由21,4,y kxx y=+⎧⎨=⎩消去y，得2440x kx--=，()()()224441610k k∆=-⨯-=+>，则124x x k+=. …………………………6分因为S是线段MN的中点，所以1222x xx k+'==，2121y kx k''=+=+.所以()22,21S k k+. …………………………7分同理得222,1Tk k⎛⎫-+⎪⎝⎭. …………………………8分则直线ST 的斜率为()22221122kk k k k ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭'=⎛⎫-- ⎪⎝⎭21k k -=.…………………………9分则直线ST 的方程为()()221212k y k x k k--+=-，得213k y x k-=+. …………………………10分所以直线ST 恒过定点()0,3. …………………………11分所以存在定圆:H ()2223(x y r r +-=为常数，且0)r ≠，使得直线ST 截圆H 所得的线段长恒为定值2r . …………………………12分解法2：因为点F 是C 的焦点，所以()0,1F . …………………………5分根据题意，直线1l 的斜率k 存在且0k ≠，设1:1l y kx =+，由于12l l ⊥，则21:1l y x k=-+. 设()11,M x y ，()22,N x y ，(),S x y ''，由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y ，得2440x kx --=， ()()()224441610k k ∆=-⨯-=+>，则124x x k +=. …………………………6分因为S 是线段MN 的中点，所以1222x x x k +'==，2121y kx k ''=+=+. 所以()22,21S k k +. …………………………7分同理得222,1T k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭. …………………………8分设点()0,3H ，由于2221312SHk k k k k+--==， 2221312TH k k k k k+--==-， ……………9分所以SH TH k k =. …………………………10分所以S ，T ，H 三点共线.所以直线ST 恒过点H . …………………………11分所以存在定圆:H ()2223(x y r r +-=为常数，且0)r ≠，使得直线ST 截圆H 所得的线段长恒为定值2r . …………………………12分 22. (12分)（1）解：函数()f x 的定义域为()1,+-∞，21212()2(1)11ax af x a x x x +-'=+-=++. …………………………1分① 若120a -≥，即102a <≤，则()0f x '≥对()1,+x ∈-∞恒成立，所以()f x 在()1,+-∞上单调递增； …………………………2分② 若120a -<，即12a >，则方程22120ax a +-=的两根为x =；当1x -<<()0f x '>；当x <<()0f x '<；当x >()0f x '>；所以函数()f x在1,⎛- ⎝上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. …………………………3分综上所述,当102a <≤时， ()f x 在()1,+-∞上单调递增；当12a >时，()f x在1,⎛- ⎝上单调递增，在⎛ ⎝上单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递增. …………………………4分（2）证明：当12a =时，()21()ln(1)12f x x x =++-，由（1）知()f x 在()0,+∞上单调递增，即对任意()0,x ∈+∞，有1()(0)2f x f >=，即22ln(1)(1)1x x ++->，整理得222ln(1)x x x -<+. …………………………5分令1(1,2,,)x k n k ==…，则22112lnk kk k -+<. …………………………6分累加得222352134112ln 2ln ln ln 2ln(1).2323n n n n n -+⎛⎫++++<++++=+ ⎪⎝⎭ … …………………………7分下面证明：对任意n ∈N *，ln(1)n +<. 记函数2()2ln 1(1)h t t t t t =-+>，则()2(ln 1)h t t t '=-+，[]1()21h t t⎛⎫''=- ⎪⎝⎭，当1t >时，[]()0h t ''<，故函数()h t '在区间(1,)+∞上单调递减.所以()(1)0h t h ''<=. …………………………8分故函数()h t 在(1,)+∞上单调递减，所以()(1)0h t h <=.即对1t >，有22ln 1t t t <-， ………………………9分令t n =∈N *)，则21n <-=. ……………………10分所以ln(1)n +<. ………………………11分所以2223521123n n -++++<… …………………………12分。

2019年广东省广州市高考数学二模试卷及参考答案(理科)

形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减
上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”如果把以上这段文字写成公式就是 S＝
பைடு நூலகம்
，其中 a，b，c 是△ABC 的内角 A，B，C 的对边．若 sinC
＝2sinAcosB，且 b2，1，c2 成等差数列，则△ABC 面积 S 的最大值为
x（年龄 26 27 39 41 49 53 56 58 60 61 /岁）
y（脂肪 14.5 17.8 21.2 25.9 26.3 29.6 31.4 33.5 35.2 34.6 含量
/%）
根据上表的数据得到如下的散点图．
第 3 页（共 28 页）
（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i）求；（ii）计算样本相关系数（精确到 0.01），并刻画它们的相关程度．
C．（
）
D．（﹣∞，）∪（1，+∞）
2．（5 分）己知集合 A＝{x|1﹣ ＜0}，则∁RA＝（）
A．{x|x＜2 或 x≥6} B．{x|x≤2 或 x≥6} C．{x|x＜2 或 x≥10} D．{x|x≤2 或 x≥10}
3．（5 分）某公司生产 A，B，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为 2：3：4，为检验该
（2）若 y 关于 x 的线性回归方程为方程估计年龄为 50 岁时人体的脂肪含量．附：
，求的值（精确到 0.01），并根据回归
参考数据：＝27，
，
，
＝7759.6，
，
参考公式：相关系数 r＝
＝
回归方程
中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为＝
，
19．（12 分）如图，在四棱锥 P﹣ABCD 中，底面 ABCD 为菱形，∠BAD＝60°，∠APD＝

2021年广东省广州市高考数学二模试卷(理科)(解析版)

2021年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）（解析版）2021年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|��1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（） A．M?N B．N?M C．M∩N={0} D．M∪N=N 2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A． B．1 C． D．2）的值是（）3．已知cos（A．B．��θ）=，则sin（C．�� D．��4．已知随机变量x服从正态分布N（3，?2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.165．不等式组b）的解集记为D，若（a，∈D，则z=2a��3b的最小值是（）A．��4 B．��1 C．1 6．使（x2+A．3B．4D．4）n（n∈N）展开式中含有常数项的n的最小值是（） C．5D．6）的图象的一个对称中心为（，0），则函7．已知函数f（x）=sin（2x+φ）0＜φ＜数f（x）的单调递减区间是（）A．[2kπ��C．[kπ��，2kπ+，kπ+]（k∈Z）B．[2kπ+，2kπ+]（k∈Z）]（k∈Z） D．[kπ+，kπ+]（k∈Z）8．已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面ABC的距离为R．AB=AC=2，∠BAC=120°，则球O的表面积为（） A．π B．π C．π D．π，则下列命题9．已知命题p：?x∈N*，（）x≥（）x，命题q：?x∈N*，2x+21��x=2中为真命题的是（） A．p∧q B．C．p∧（�Vq） D．（�Vp）∧q （�Vp）∧（�Vq）10．如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是（）第1页（共21页）A．4+6π B．8+6π C．4+12π D．8+12π11．已知点O为坐标原点，点M在双曲线C：x2��y2=λ（λ为正常数）上，过点M 作双曲线C的某一条渐近线的垂线，垂足为N，则|ON|?|MN|的值为（） A．B．C．λD．无法确定12．设函数f（x）的定义域为R，f（��x）=f（x），f（x）=f（2��x），当x∈[0，1]时，f （x）=x3．则函数g（x）=|cos（πx）|��f（x）在区间[��，]上的所有零点的和为（）A．7B．6C．3D．2二.填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．曲线f（x）=+3x在点（1，f（1））处的切线方程为______． 14．已知平面向量与的夹角为， =（1，），|��2|=2．则||=______．15．已知中心在坐标原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），点F关于直线y=x的对称点在椭圆C上，则椭圆C的方程为______．16．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，a+c=4，（2��cosA）tan=sinA，则△ABC的面积的最大值为______．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=3，an+1=2Sn+3（n∈N）（I）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）令bn=（2n��1）an，求数列{bn}的前n项和Tn．18．班主任为了对本班学生的考试成绩进行分折，决定从本班24名女同学，18名男同学中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（I）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可，不必计算出结果）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的数学，物理成绩（单位：分）对应如表：2 3 4 5 6 7 学生序号i 1 数学成绩 60 65 70 75 85 87 90 xi 物理成绩 70 77 80 85 90 86 93 yi （i）若规定85分以上（包括85分）为优秀，从这7名同学中抽取3名同学，记3名同学中数学和物理成绩均为优秀的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；第2页（共21页）（ii）根据上表数据，求物理成绩y关于数学成绩x的线性回归方程（系数精确到0.01）；若班上某位同学的数学成绩为96分，预测该同学的物理成绩为多少分？附：回归直线的方程是：，其中b=，a=．76 83 812 526 19．如图，在多面体ABCDM中，△BCD是等边三角形，△CMD是等腰直角三角形，∠CMD=90°，平面CMD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD．（Ⅰ）求证：CD⊥AM；（Ⅱ）若AM=BC=2，求直线AM与平面BDM所成角的正弦值．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=��1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．21．已知函数f（x）=e��x��ax（x∈R）．（Ⅰ）当a=��1时，求函数f（x）的最小值；（Ⅱ）若x≥0时，f（��x）+ln（x+1）≥1，求实数a的取值范围；（Ⅲ）求证：．四.请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，AB是圆O的直径，BC=CD，AD的延长线与BC的延长线交于点E，过C作CF⊥AE，垂足为点F．（Ⅰ）证明：CF是圆O的切线；（Ⅱ）若BC=4，AE=9，求CF的长．第3页（共21页）[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数）．以点O为极=．点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+（Ⅰ）将曲线C和直线l化为直角坐标方程；（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=log2（|x+1|+|x��2|��a）．（Ⅰ）当a=7时，求函数f （x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥3的解集是R，求实数a的最大值．第4页（共21页）2021年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合M={x|��1＜x＜1}，N={x|x2＜2，x∈Z}，则（） A．M?N B．N?M C．M∩N={0} D．M∪N=N 【考点】集合的包含关系判断及应用．【分析】N={x|x2＜2，x∈Z}={��1，0，1}，从而解得．【解答】解：N={x|x2＜2，x∈Z}={��1，0，1}，故M∩N={0}，故选：C．2．已知复数z=，其中i为虚数单位，则|z|=（）A． B．1 C． D．2【考点】复数求模．【分析】先根据复数的运算法则化简，再根据计算复数的模即可．【解答】解：z=∴|z|=1，故选：B．3．已知cos（A．B．��θ）=，则sin（C．�� D．��）的值是（）===，【考点】三角函数的化简求值．【分析】由已知及诱导公式即可计算求值．【解答】解：cos（��θ）=sin[��（��θ）]=sin（）=，故选：A．4．已知随机变量x服从正态分布N（3，?2），且P（x≤4）=0.84，则P（2＜x＜4）=（）A．0.84 B．0.68 C．0.32 D．0.16【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据对称性，由P（x≤4）=0.84的概率可求出P（x＜2）=P（x＞4）=0.16，即可求出P（2＜x＜4）．【解答】解：∵P（x≤4）=0.84，第5页（共21页）感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2020届广东省广州市高三二模数学(理)试题(解析版)

设＝0的根为m，即有a＝2me2m， .
当0＜x＜m时，＜0，f（x）单调递减；当x＞m时，＞0，f（x）单调递增，
可得x＝m处f（x）取得极小值，且为最小值e2m﹣alnm，
由题意可得e2m﹣alnm a，即 alnm a，
化为m+2mlnm≤1，设g（m）＝m+2mlnm，＝1+2（1+lnm），
所以面NEMF∥平面BCC1B1，而EF 面MN，
所以EF∥平面BCC1B1，
所以要使EF∥平面BCC1B1，则动点F的轨迹为线段FN．
故选：A．
【点睛】
本题主要考查线线平行，线面平行，面面平行的转化，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于中档题.
7．函数的图象大致是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：如图,
在正四棱锥P﹣ABCD中,由底面边长为2,侧棱长为 ,
可得△PAC为正三角形,取PC的中点G,得AG⊥PC,且AG .
设过AG与PC垂直的平面交PB于E,交PD于F,连接EF,
则EG⊥PC,FG⊥PC,可得Rt△PGE≌Rt△PGF,得GE＝GF,PE＝PF,
在△PAE与△PAF中,由PA＝PA,PE＝PF,∠APE＝∠APF,得AE＝AF.
则A∩B＝{x|0≤x≤1}＝[0，1].
故选：B.
【点睛】
本题主要考查一元二次不等式的解法，考查函数定义域的求法，考查集合的交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.
2．已知复数，若是纯虚数，则b＝（）
A．﹣2B． C． D．1
【答案】A
【解析】根据复数的除法法则把化成复数的一般形式，然后由实部为零，虚部不等于零计算即可．

广东省广州市高三数学毕业班综合测试(二)试题理 (广州二模)新人教A版

数学（理科）本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。

用黑色字迹钢笔或签字笔将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

参考公式：锥体的体积公式ShV31=，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．对于任意向量a、b、c，下列命题中正确的是A．=a b a bB．+=+a b a bC．()()=a b c a b cD．2=a a a2．直线1y kx=+与圆2220x y y+-=的位置关系是A．相交B．相切C．相离D．取决于k的值文3（理1）．若1i-（i是虚数单位）是关于x的方程220x px q++=（p q∈R、）的一个解，则p q+=A．3-B．1-C．1D．34．已知函数()y f x=的图象如图1所示，则其导函数()y f x'=的图象可能是图1 A．B．C．D．125．若函数cos 6y x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()*ω∈N 的一个对称中心是06π⎛⎫⎪⎝⎭，，则ω的最小值为 A ．1 B ．2 C ．4 D ．86．一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为1﹕7的上、下两部分，则截面的面积为A ．14πB ．πC ．94πD ．4π7．某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年限（即使用多少年的年平均费用最少）是A ．8年B ．10年C ．12年D ．15年8．记实数1x ，2x ，…，n x 中的最大数为{}12max ,,n x x x …,，最小数为{}12min ,,n x x x …,，则{}{}2max min 116x x x x +-+-+=，，A ．34B ．1C ．3D ．72二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．某商场销售甲、乙、丙三种不同型号的钢笔，甲、乙、丙三种型号钢笔的数量之比依次为2﹕3﹕4．现用分层抽样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中甲型钢笔有12支，则此样本容量n = ．10．已知 α为锐角，且3cos 45απ⎛⎫+=⎪⎝⎭，则 sin α= ． 11．用0，1，2，3，4，5这六个数字，可以组成个没有重复数字且能被5整除的五位数（结果用数值表示）．12．已知函数()22f x x x=-，点集()()(){}M x y f x f y =+，≤2，()()(){}N x y f x f y =-，≥0，则M N 所构成平面区域的面积为．图2313．数列}{n a 的项是由1或2构成，且首项为1，在第k 个1和第1k +个1之间有21k -个2，即数列}{n a为：1，2，1，2，2，2，1，2，2，2，2，2，1，…，记数列}{n a 的前n 项和为n S ，则20S = ；2013S = ．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）在△ABC 中，D 是边AC 的中点，点E 在线段BD 上，且满足13BE BD=，延长AE 交BC 于点F ，则BFFC 的值为．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，已知点1,2A π⎛⎫ ⎪⎝⎭，点P 是曲线2sin 4cos ρθθ=上任意一点，设点P 到直线 cos 10ρθ+=的距离为d ，则PA d +的最小值为．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）某单位有A 、B 、C 三个工作点，需要建立一个公共无线网络发射点O ，使得发射点到三个工作点的距离相等．已知这三个工作点之间的距离分别为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ．假定A 、B 、C 、O 四点在同一平面内．（1）求BAC ∠的大小；（2）求点O 到直线BC 的距离． 17．（本小题满分12分）已知正方形ABCD 的边长为2，E F G H 、、、分别是边AB BC CD DA 、、、的中点．（1）在正方形ABCD 内部随机取一点P，求满足||PH <4 （2）从AB C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，随机选取两个点，记这两个点之间的距离为ξ，求随机变量ξ的分布列与数学期望E ξ．18．（本小题满分14分）等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足AD DB=12CE EA =（如图 3）．将△ADE 沿DE 折起到△1A DE的位置，使二面角1A DE B--成直二面角，连结1A B 、1AC（如图4）．（1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD所成的角为60？若存在，求出PB的长，若不存在，请说明理由．19．（本小题满分14分）已知0a >，设命题p ：函数()2212f x x ax a =-+-在区间[]0,1上与x 轴有两个不同的交点；命题q ：()g x x a ax=--在区间()0,+∞上有最小值．若()p q ⌝∧是真命题，求实数a 的取值范围．20．（本小题满分14分）经过点()0,1F 且与直线1y =-相切的动圆的圆心轨迹为M ．点A 、D 在轨迹M 上，且关于y 轴对称，过线段AD （两端点除外）上的任意一点作直线l ，使直线l 与轨迹M 在点D 处的切线平行，设直线l 与轨迹M 交于点B 、C ．（1）求轨迹M 的方程；5（2）证明：BAD CAD ∠=∠；（3）若点D 到直线AB，且△ABC 的面积为20，求直线BC 的方程．21．（本小题满分14分）设n a 是函数()321f x x n x =+-()*n ∈N 的零点．（1）证明：01n a <<；（2）证明：1nn <+1232n a a a +++<．2013年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共8小题，每小题5分，满分40分．二、填空题：本大题查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．第13题第一个空2分，第二个空3分．9．54 10．10 11．216 12．2π 13．36；3981 14．14 15三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题主要考查解三角形等基础知识，考查正弦定理与余弦定理的应用，本小题满分12分）解：（1）在△ABC 中，因为80AB =m ，70BC =m ，50CA =m ，6由余弦定理得222cos 2AB AC BC BAC AB AC +-∠=⨯⨯ ………………………………………………………2分 2228050701280502+-==⨯⨯． ……………………………………………………3分因为BAC ∠为△ABC 的内角，所以3BAC π∠=．……………………………………………………4分（2）方法1：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………………………………………………………5分设外接圆的半径为R ，在△ABC 中，由正弦定理得2sin BCRA =， ……………………………………………………………7分因为70BC =，由（1）知3A π=，所以sin A =．所以232R ==，即R =．…………………8分过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ，…………………………9分在△OBD中，3OB R ==，703522BC BD ===，所以OD ==………………………………………………………11分3=．所以点O 到直线BC的距离为3m ．……………………………………………………………12分方法2：因为发射点O 到A 、B 、C 三个工作点的距离相等，所以点O 为△ABC 外接圆的圆心．……………………5分7连结OB ，OC ，过点O 作边BC 的垂线，垂足为D ， …………………6分由（1）知3BAC π∠=，所以3BOC 2π∠=．所以3BOD π∠=．………………………………………9分在Rt △BOD 中，703522BC BD ===，所以35tan tan 603BD OD BOD ===∠．……………………………………………11分所以点O 到直线BC 的距离为3m ．………………………………………………12分17．（本小题主要考查几何概型、随机变量的分布列与数学期望等基础知识，考查运算求解能力与数据处理能力等，本小题满分12分）解：（1）这是一个几何概型．所有点P 构成的平面区域是正方形ABCD 的内部，其面积是224⨯=．………………………………………………1分满足||PH <P 构成的平面区域是以HABCD 内部的公共部分，它可以看作是由一个以H圆心角为2π的扇形HEG 的内部（即四分之一个圆）与两个直角边为1的等腰直角三角形（△AEH 和△DGH ）内部构成． ……………………………………………………………2分8其面积是2112111422π⨯π⨯+⨯⨯⨯=+．………………3分所以满足||PH <112484π+π=+．………………………………………………………4分（2）从AB C D E F G H 、、、、、、、这八个点中，任意选取两个点，共可构成28C 28=条不同的线段．………………………………………………………5分其中长度为1的线段有84条，长度为2的线段有68条，长度为的线段有2条．所以ξ所有可能的取值为127分且()821287P ξ===，(41287P ξ===， ()6322814P ξ===，(82287P ξ===，(212814P ξ===． ………………………………………9分所以随机变量ξ的分布列为：随机变量ξ的数学期望为21321127714714E ξ=⨯++⨯++57+=．…………………………12分18．（本小题主要考查空间直线与平面垂直、直线与平面所成角等基础知识，考查空间想象能力和运算求解能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为等边△ABC 的边长为3，且AD DB =12CE EA =，所以1AD =，2AE =．在△ADE 中，60DAE ∠=，……10分9由余弦定理得3DE == 因为222AD DE AE +=，所以AD DE ⊥．折叠后有1A D DE⊥．……………………………………………………………………………………2分因为二面角1A DE B--是直二面角，所以平面1A DE ⊥平面BCED ． …………………………3分又平面1A DE平面BCED DE =，1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE⊥，所以1A D ⊥平面BCED ． ………………………………………………………………………………4分（2）解法1：假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60．如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H 、1A P．………………5分由（1）有1A D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ，所以1A D ⊥PH ．…………………………………………………6分又1A DBD D=，所以PH ⊥平面1A BD ．…………………………………………………………………………………7分所以1PA H∠是直线1PA 与平面1A BD所成的角． ……………………………………………………8分设PB x=()03x ≤≤，则2xBH =，PH x=．…………………………………………………9分在Rt △1PA H 中，160PA H ∠=，所以112A H x=．………………………………………………10分在Rt △1A DH 中，11A D =，122DH x =-．………………………………………………………11分由22211A D DH A H +=，得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．…………………………………………………………………………12分10 解得52x =，满足03x ≤≤，符合题意．……………………………………………………………13分所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，此时52PB =．………14分解法2：由（1）的证明，可知ED DB ⊥，1A D ⊥平面BCED ．以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、zD xyz -如图． …………………………………………………………5分设2PB a=()023a ≤≤，则BH a =，PH =，2DH a =-． ……………………6分所以()10,0,1A ，()2,0P a -，()E ．…………7分所以()12,,1PA a =-．……………………………………………………………………………8分因为ED ⊥平面1A BD，所以平面1A BD 的一个法向量为()0,DE =．……………………………………………………9分因为直线1PA 与平面1A BD所成的角为60，所以11sin 60PA DE PA DE=………………………………………………………………………………10分2==，……………………………………………………………11分解得54a =． ……………………………………………………………………………………………12分即522PB a ==，满足023a ≤≤，符合题意． ……………………………………………………13分所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60，此时52PB =．………14分1119．（本小题主要考查二次函数的交点与分段函数的最值、常用逻辑用语等基础知识，考查数形结合思想、分类讨论思想和运算求解能力、抽象概括能力等，本小题满分14分）解：要使函数()2212f x x ax a=-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点，必须()()0101,0.f f a ⎧⎪⎪⎨<<⎪⎪∆>⎩≥0，≥0,……………………………………………………………………………………………2分即()()2,1224012412a a a a a -⎧⎪-⎪⎨<<⎪⎪--->⎩≥0,≥0,0.………………………………………………………………………………4分112a <≤．112a <≤时，函数()2212f x x ax a =-+-在[]0,1上与x 轴有两个不同的交点．…5分下面求()g x x a ax=--在()0,+∞上有最小值时a 的取值范围：方法1：因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分①当1a >时，()g x 在()0,a 和[),a +∞上单调递减，()g x 在()0,+∞上无最小值；……………7分②当1a =时，()1,,21, 1.x g x x x -⎧=⎨-+<⎩≥1()g x 在()0,+∞上有最小值1-；………………………8分③当01a <<时，()g x 在()0,a 上单调递减，在[),a +∞上单调递增，()g x 在()0,+∞上有最小值()2g a a =-．…………………………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值．……………………………………………10分方法2：因为()()()1,,1,.a x a x a g x a x a x a --⎧⎪=⎨-++<⎪⎩≥…………………………………………………………6分12 因为0a >，所以()10a -+<．所以函数()()110y a x a x a =-++<<是单调递减的．………………………………………………7分要使()g x 在()0,+∞上有最小值，必须使()21y a x a =--在[),a +∞上单调递增或为常数．……8分即10a -≥，即1a ≤．……………………………………………………………………………………9分所以当01a <≤时，函数()g x 在()0,+∞上有最小值． ……………………………………………10分若()p q ⌝∧是真命题，则p ⌝是真命题且q 是真命题，即p 是假命题且q 是真命题．……………11分所以101,,20 1.a a a ⎧<>⎪⎨⎪<⎩≤或 …………………………………………………………………………12分解得01a <或112a <≤． ………………………………………………………………………13分故实数a的取值范围为(11,12⎛⎤⎤ ⎥⎦⎝⎦．…………………………………………………………14分20．（本小题主要考查动点的轨迹和直线与圆锥曲线的位置关系、导数的几何意义等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）解：（1）方法1：设动圆圆心为(),x y 1y =+．…………………………1分整理，得24x y =．所以轨迹M 的方程为24x y =．…………………………………………………2分方法2：设动圆圆心为P ，依题意得点P 到定点()0,1F 的距离和点P 到定直线1y =-的距离相等，根据抛物线的定义可知，动点P 的轨迹是抛物线．……………………………………………………1分且其中定点()0,1F 为焦点，定直线1y =-为准线．所以动圆圆心P 的轨迹M 的方程为24x y =．………………………………………………………2分（2）由（1）得24x y =，即214y x =，则12y x '=．设点2001,4D x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由导数的几何意义知，直线l 的斜率为012BC k x =．…………………………3分13由题意知点2001,4A x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭．设点2111,4C x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2221,4B x x ⎛⎫⎪⎝⎭，则2212120121114442BCx x x x k x x x -+===-，即1202x x x +=．……4分因为2210101011444ACx x x x k x x --==+，2220202011444ABx x x x k x x --==+．……………………………5分由于()120102020444AC AB x x x x x x x k k +---+=+==，即AC AB k k =-．………………………6分所以BAD CAD ∠=∠．…………………………………………………………………………………7分（3）方法1：由点D 到AB 的距离等于22AD ，可知BAD ∠45=．………………………………8分不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，直线AB 的方程为：()20014y x x x -=-+．由()20021,44.y x x x x y ⎧-=-+⎪⎨⎪=⎩解得点B 的坐标为()20014,44x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭．……………………………………………………………10分所以()()00024222AB x x x =---=-．由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，同理可得0222AC x =+．………………………………11分所以△ABC 的面积2000122222244202S x x x =⨯-⨯+=-=，解得03x =±．……………………………………………………………………………………………12分A B CDOxylE14 当03x =时，点B 的坐标为11,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =，直线BC 的方程为()13142y x -=+，即6470x y -+=．…………………………………………13分当03x =-时，点B 的坐标为497,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，32BC k =-，直线BC 的方程为()493742y x -=-+，即6470x y +-=． ……………………………………14分方法2：由点D 到ABAD，可知BAD ∠45=．…………………………………8分由（2）知CAD BAD ∠=∠45=，所以CAB ∠90=，即AC AB ⊥．由（2）知104AC x x k -=，204AB x xk -=．所以1020144AC AB x x x x k k --=⨯=-．即()()102016x x x x --=-． ①由（2）知1202x x x +=． ②不妨设点C 在AD 上方（如图），即21x x <，由①、②解得10204,4.x x x x =+⎧⎨=-⎩…………………………10分因为02AB ==-，同理02AC =+． ………………………………………………………………………………11分以下同方法1．21．（本小题主要考查函数的零点、函数的导数和不等式的证明等基础知识，考查运算求解能力和推理论证能力等，本小题满分14分）证明：（1）因为()010f =-<，()210f n =>，且()f x 在R 上的图像是一条连续曲线，所以函数()f x 在()01，内有零点．………………………………………………………………………1分15因为()2230f x x n '=+>，所以函数()f x 在R 上单调递增．………………………………………………………………………2分所以函数()f x 在R 上只有一个零点，且零点在区间()01，内．而n a 是函数()f x 的零点，所以01n a <<．……………………………………………………………………………………………3分（2）先证明左边的不等式：因为3210n n a n a +-=，由（1）知01n a <<，所以3n na a <．……………………………………………………………………………………………4分即231n n nn a a a -=<．所以211n a n >+．…………………………………………………………………………………………5分所以1222211111211n a a a n +++>++++++．…………………………………………………6分以下证明222111112111nn n +++≥++++． ①方法1（放缩法）：因为()21111111n a n n n n n >≥=-+++，…………………………………………7分所以1211111111223341n a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111n n n =-=++．………………………………………………………………9分方法2（数学归纳法）：1）当1n =时，2111111=++，不等式①成立．2）假设当n k =（*k ∈N ）时不等式①成立，即16 222111112111kk k +++≥++++．那么()222211111121111k k +++++++++()21111k k k ≥++++．以下证明()()()21111111k k k k k ++≥+++++． ②即证()()()21111111k k k k k +≥-+++++．即证22112232k k k k ≥++++．由于上式显然成立，所以不等式②成立．即当1n k =+时不等式①也成立．根据1）和2），可知不等式①对任何*n ∈N 都成立．所以121n na a a n +++>+．…………………………………………………………………………9分再证明右边的不等式：当1n =时，()31f x x x =+-．由于31113102228f ⎛⎫⎛⎫=+-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3333111044464f ⎛⎫⎛⎫=+-=> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以11324a <<．…………………………………………………………………………………………10分由（1）知01n a <<，且3210n n a n a +-=，所以32211n n a a n n -=<． ……………………………11分因为当2n ≥时，()2111111n n n n n<=---，…………………………………………………………12分17所以当2n ≥时，12342311111114223341n a a a a a n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++<++-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭113122n =+-<．所以当*n ∈N 时，都有1232n a a a +++<．综上所述，1nn <+1232n a a a +++<．……………………………14分。

2021届广东省高三二模数学试题(解析版)

2021届广东省高三二模数学试题一、单选题1．已知集合{}24xA x =>，集合{}B xx a =<∣，若A B =R ，则实数a 的取值范围为（） A ．(),4-∞ B ．()1,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞【答案】D【分析】由2xy =单调递增，解出指数不等式24x >的解集得集合A ，因A B =R ，结合数轴可求得a 的取值范围. 【详解】解：{}{}{}224222x x A x x x x =>=>=>，{}B x x a =<∣，又A B =R ，∴结合数轴可得2a >，所以a 的取值范围为()2,+∞.故选：D. 2．已知复数2iz i i=++(i 为虚数单位)，则z =（）A ．BC 1D【答案】B【分析】根据复数运算整理得到1755z i =+，由模长运算可求得结果. 【详解】()()()22117222555i i i i z i i i i i i i -+=+=+=+=+++-，z ∴==故选：B.3．2020年12月4日是第七个“国家宪法日”.某中学开展主题为“学习宪法知识，弘扬宪法精神”的知识竞赛活动，甲同学答对第一道题的概率为23，连续答对两道题的概率为12.用事件A 表示“甲同学答对第一道题”，事件B 表示“甲同学答对第二道题”，则()P B A =（）A ．13B ．12C ．23D ．34【答案】D【分析】由条件概率公式直接计算可得结果.【详解】()12P AB =，()23P A =，()()()132243P AB P B A P A ∴===. 故选：D.4．某一次乒乓球赛的参赛队共有5小组，每小组3队.首先每小组中各队进行单循环比赛(即每两队比赛一次)，然后各小组的第一名再进行单循环比赛，则先后比赛的总次数为（） A ．15 B ．20 C ．25 D ．30【答案】C【分析】利用组合数首先求出每小组中各队进行比赛次数，再求出各小组的第一名单循环比赛次数即可求解.【详解】由题意每小组中各队进行单循环比赛次数为23515C =，各小组的第一名再进行单循环比赛次数为2510C =，先后比赛的总次数为151025+=. 故选：C5．函数211x x y x -+=-的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】选将函数表达式分离后运用基本不等式求出值域就可以选出答案.【详解】221(1)(1)11(1)1111x x x x y x x x x -+-+-+===-++---，当1x >时，1(1)1131y x x =-++≥=-（2x =等号成立）；当1x <时，11(1)1[(1)]1111y x x x x =-++=--++≤-=---（0x =等号成立）；从而可知选项D 正确. 故选：D.【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.6．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有这样一道题：“今有垣厚五尺，两鼠对穿.大鼠日一尺，小鼠亦日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半.问何日相逢？”题意为：有一堵墙厚五尺，有两只老鼠从墙的正对面打洞穿墙.大老鼠第一天打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的2倍；小老鼠第一天也打进一尺，以后每天打进的长度是前一天的一半.若这一堵墙厚16尺，则几日后两鼠相逢( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【分析】依次列举出大鼠、小鼠前几天打洞穿墙的尺数，至某天总和不小于16尺即得解.【详解】大鼠从第一天起打进尺数依次为：1，2，4，8，…，小鼠从第一天起打进尺数依次为：1，12，14，18，…，前3天两鼠完成量的总和为35164<，前4天两鼠完成量的总和为135168>，所以第4天两鼠相逢. 故选：B7．已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为的最大值为（）A ．32πB ．323πC ．10πD ．24π【答案】A【分析】设圆柱底面圆半径为r ，高为h ，利用勾股定理可构造方程，利用h 表示出r ，从而将圆柱体积表示为关于h 的函数的形式，利用导数求最值的方法即可求得圆柱体积的最大值.【详解】设圆柱底面圆半径为r ，高为h ，则(2222h r ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，2211204r h ∴=->，0h ∴<<∴圆柱体积23124V r h h h πππ==-，23124V h ππ'∴=-，令0V '=，解得：4h =，∴当()0,4h ∈时，0V '>；当(h ∈时，0V '<，3124V h h ππ∴=-在()0,4h ∈时单调递增，在(h ∈时单调递减， max 4864324V πππ∴=-⨯=.故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中几何体体积最值的求解问题，解题关键是能将圆柱体积表示为关于圆柱的高h 的函数的形式，从而利用导数求得最值.8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为4，焦距为.过椭圆C 的上端点B 作圆222x y +=的两条切线，与椭圆C 分别交于另外两点M ，N .则BNM 的面积为（） A ．6 B ．14425C ．125D ．152【答案】B【分析】根据椭圆的短轴长为4，焦距为BN 的方程，利用直线与圆相切，求得直线方程，与椭圆方程联立，求得M ，N 的坐标即可.【详解】因为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的短轴长为4，焦距为，22,6b c a ==，所以椭圆方程为22164x y +=，如图所示：设直线BN 的方程为2y kx =+，则原点到直线BN 的距离为21d k=+，又因为直线BN 与圆222x y +=相切， 221k=+1k =±，则直线BN 的方程为2y x =-+，由222164y x x y=-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得12525x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，即122,55N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，同理求得122,55M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以BNM 的面积为112421442225525S MN BD ⎛⎫=⨯⨯=⨯⨯+= ⎪⎝⎭，故选：B二、多选题9．正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E ，F ，G 分别为BC ，1CC ，1BB 的中点，则（）A ．直线1BC 与直线AF 垂直B ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为92C ．三棱锥F AGE -的体积为2D ．点1A 与点G 到平面AEF 的距离相等【分析】A.建立空间直角坐标系，由1AF B C ⋅是否为零判断；B.根据1//EF AD ，由平面的基本性质得到截面是等腰梯形 1AEFD 求解判断；C.由F AGE A FGE V V --=求解判断；D. 根据1//AG 平面1AEFD ，即1//AG 平面AEF 判断. 【详解】如图所示：A.建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()()()112,0,0,0,2,1,2,2,2,0,2,0,2,2,1,2,0,2A F B C AF B C =-=--，而120AF B C ⋅=≠，所以直线1B C 与直线AF 不垂直，故错误；B.如图所示：因为1//EF AD ，所以截面为等腰梯形 1AEFD ，所以截面面积为()2222221111292222122222AD EF S EF AD AB BE ⎛⎫-⎛⎫=++-=+-= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,故正确；C.1111163223F AGE A FGE V V FG BB AB --==⨯⨯⨯=，故错误； D. 因为11//AG D F ，1//AG 平面1AEFD ，即1//AG 平面AEF ,所以点1A 与点G 到平面AEF 的距离相等，故正确；故选：BD【点睛】方法点睛：画几何体的截面，关键是画截面与几何体各面的交线，此交线只需两个公共点即可确定，作图时充分利用几何体本身提供的面面平行等条件，可以更快地确定交线的位置．10．将函数()sin f x x =的图象向右平移6π个单位长度，再将曲线上各点的横坐标变为原来的()10ωω>，得到函数()g x 的图象.若()g x 在[]0,π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，则A ．()g x 在[]0,π上有两个零点B ．()g x 在[]0,π上有两个极值点C ．()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．ω的取值范围为24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】CD【分析】先由图象的平移和伸缩变换得到函数()sin 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再根据正弦函数的图像，单调性，值域逐一判断可得选项．【详解】将函数()sin f x x =的图象向右平移6π个单位长度后，函数的解析式为sin 6y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将曲线上各点的横坐标变为原来的()10ωω>，得到函数()sin 6g x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又[]0,x π∈，所以666x πππωωπ-≤-≤-，又()g x 在[]0,π上的值域为1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，所以7266πππωπ≤-≤，解得2433ω≤≤，故D 正确；当23ω=时，则662x πππω-≤-≤，此时()g x 在[]0,π上只有一个零点，故A 不正确；并且662x πππω⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，时，()g x 单调递增，故B 不正确； 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，6626x ππππωω-≤-≤-，当2433ω≤≤时，666x πππω-≤-≤，所以函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故C 正确.故选：CD ．【点睛】关键点睛：本题考查三角函数的图像变换和正弦函数的性质，关键在于由6x πω-的范围．运用整体代换的思想，得以解决问题．11．已知0a >，0b >，21a b +=，则（）A ．2215a b +≥B ．113a b+≥+ C ．22a b +> D ．22log log 3a b +≤-【答案】ABD【分析】利用12a b =-将22a b +化为关于b 的二次函数形式，结合b 的范围可求得A 正确；由()11112a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式可知B 正确；由11a b b +=-<可知C 错误；利用基本不等式可求得18ab ≤，结合对数函数单调性可求得D 正确. 【详解】对于A ，0a >，0b >，21a b +=，120a b ∴=->，解得：102b <<， ()2222212541a b b b b b ∴+=-+=-+，∴当25b =时，()2min 4815411555b b -+=-+=，2215a b ∴+≥，A 正确；对于B ，()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当2b aa b=，即a =时取等号，B 正确；对于C ，0b >，21a b +=，11a b b ∴+=-<，22a b +∴<，C 错误；对于D ，21a b +=≥（当且仅当2a b =时取等号），18ab ∴≤，22221log log log log 38a b ab ∴+=≤=-，D 正确.故选：ABD.【点睛】易错点睛：本题重点考查了利用基本不等式和函数单调性求最值的问题；利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：一正二定三相等. （1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.12．函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，则下列说法正确的是（）A ．()f x 是周期为2的周期函数B ．()f x 是周期为4的周期函数C ．()2f x +为奇函数D ．()3f x +为奇函数【答案】BD【分析】AB 选项，利用周期函数的定义判断；CD 选项，利用周期性结合()1f x -，()1f x +为奇函数判断.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，且()1f x -与()1f x +都为奇函数，所以()()11f x f x --=--，()()11f x f x -+=-+，所以()()2f x f x =---，()()2f x f x =--+，所以()()22f x f x --=-+，即()()4f x f x +=，故B 正确A 错误；因为()()()3341f x f x f x +=+-=-，且()1f x -为奇函数，所以()3f x +为奇函数，故D 正确；因为()2f x +与()1f x +相差1，不是最小周期的整数倍，且()1f x +为奇函数，所以()2f x +不为奇函数，故C 错误. 故选：BD.三、填空题 13．曲线1ln y x x=-在1x =处的切线在x 轴上的截距为___________. 【答案】32【分析】根据导数的几何意义，求得曲线在1x =处的切线方程，进而求得切线在x 轴上的截距.【详解】由题意，函数1ln y x x=-，可得211y x x '=--，所以12x y |='=-，由当1x =时，1ln11y =-=，即切点坐标为(1,1)，所以切线方程为12(1)y x -=--，即230x y +-=，令0y =，可得32x =，即切线在x 轴上的截距为32. 故答案为：32.14．已知θ为第二象限角，且sin 24θπ⎛⎫+=⎪⎝⎭tan θ=___________. 【答案】43-【分析】根据θ的范围可求得24θπ+的范围，结合sin 024θπ⎛⎫+>⎪⎝⎭可确定24θπ+为第二象限角，结合同角三角函数关系求得cos 24θπ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，利用二倍角公式和诱导公式可求得cos θ，由同角三角函数关系可求得结果. 【详解】θ为第二象限角，()222k k k Z ππθππ∴+<<+∈，32244k k πθππππ∴+<+<+()k Z ∈，又sin 024θπ⎛⎫+=>⎪⎝⎭，()3222244k k k Z πθππππ∴+<+<+∈，cos 024θπ⎛⎫∴+< ⎪⎝⎭，cos 24θπ⎛⎫∴+== ⎪⎝⎭， 32sin cos sin cos 242425θπθππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴++=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，又θ为第二象限角，4sin 5θ∴==，sin 4tan cos 3θθθ∴==-. 故答案为：43-. 【点睛】易错点点睛：已知三角函数值求解函数值时，易错点是忽略角所处的范围，造成在求解三角函数值时出现符号错误.15．已知ABC 中，1AB =，3AC =，1cos 4A =，点E 在直线BC 上，且满足：()BE AB l AC l =+∈R ，则||AE =___________.【分析】设()BE BC AC AB AB l AC λλ==-=+，得BE BC =-，由余弦定理解得BC ，再利用向量线性运算得AE AB BC =-，则()2||AE AB BC =-展开即可得结果．【详解】设()BE BC AC AB AB l AC λλ==-=+，所以1l λ==- 故BE BC =-，则AE AB BE AB BC =+=-由余弦定理的2221cos 24AB AC BC A AB AC +-==⋅，又1AB =，3AC =所以2BC =，则22212cos 2BA BC B BA BC AC ⋅⋅=+-=由()222||21AE AB BCAB AB BC BC =-=-⋅+==【点睛】关键点点睛：本题的关键先求解1l =-，得BE BC =-，然后再由向量模计算方法运算．四、双空题16．已知抛物线2:4C x y =的焦点为F ，直线l 过点F 且与抛物线C 交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作抛物线C 的切线1l ，2l ，设直线1l 与2l 交于点()00,P x y ，则0y =___________，PAB ∆面积的最小值为___________.【答案】1-; 4【分析】设211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，先根据导数几何意义求得两切线方程，然后联立两切线方程可求得交点坐标()2,1P k -.因为12PABSAB d =，所以将弦长AB 和点P 到直线AB 的距离d 带入即可求得面积的最小值. 【详解】解：抛物线方程为24x y =，∴抛物线的焦点()0,1F由题意，直线AB 的斜率存在，设:1AB l y kx =+，211,4x A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，联立241x y y kx ⎧=⎨=+⎩，得2440x kx --=，124x x k ∴+=，12·4x x =-，由24x y =，得24x y =，求导得2x y '=，∴()21111:42x x l y x x -=-，即21124x x y x =-① 同理2222:24x x l y x =-② ∴由①②得12022x x x k +==，2211112112001242244x x x x x x x x yx +=-=-==-.()21241AB xk=-===+点P 到直线AB 的距离2d ===()()322221141214122PABSAB d k k k ∴==++=+，易知20k =，即0k =时，()min 4PABS =，故PAB △面积的最小值为4. 故答案为：1-；4.【点睛】思路点睛：设出A ，B 两点的坐标，由导数几何意义求出两切线方程，然后联立求解交点P 坐标；设出直线AB 方程，并联立抛物线方程，由弦长公式可得AB ，由点到直线距离公式可得点P 到直线AB 的距离，从而求得12PABSAB d =，进而易得面积的最小值.五、解答题17．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且23sin 2CC +=c =，___________，求ABC 的周长.从下列三个条件中任选一个，补充在上面问题的横线中，然后对题目进行求解.条件①：2AB AC bc ⋅=；条件②：ABCS=，条件③：2(cos cos )2a a C c A +=. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】条件选择见解析；ABC 的周长为6.【分析】由题设条件，求出角C ，选条件①：由向量数量积求出角A ，由正弦定理求解即得；选条件②：由三角形面积公式求出边b ，再由余弦定理求解即得；选条件③：由正弦定理边化角，再用余弦定理求解.【详解】由23sin 2CC +=3sin cos )C C +-=，即3sin 0C C =，所以tan C =，因为(0,)C π∈，所以6C π=.选择条件①：由2AB AC bc ⋅=，得2cos bc A bc ⋅=，所以1cos 2A =，因为(0,)A π∈，所以3A π=，所以2ππ=--=B AC ，所以2b c ==，6a =，所以ABC 的周长为6；选择条件②：由ABCS=，得1sin 2ab C =，所以b = 由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，所以2124812a a =+-，即212360a a -+=，解得6a =，所以ABC 的周长为6；选择条件③：由2(cos cos )a a C c A +=及正弦定理得：(sin cos sin cos )sin a A C C A B +=，所以sin()sin a A C B +=，所以sin sin a B B =，即a =，由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，所以222331242b b b =+-，所以b =，62a b ==，所以ABC 的周长为6.18．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，2144n n n a a a ++=-. （1）证明：{}12n n a a +-为等比数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .【答案】（1）证明见解析；（2）(1)21nn S n =-+.【分析】（1）由2144n n n a a a ++=-，化简得到211222n n n na a a a +++-=-，结合等比数列的定义，即可求解.（2）由（1）求得112222n n n n a a -+-=⨯=，得到11122n nn n a a +--=，根据等差数列的定义和通项公式，求得12n n a n -=⨯，结合“乘公比错位相减法”，即可求解.【详解】（1）因为2144n n n a a a ++=-，所以()211122422n n n n n n a a a a a a ++++-=-=-，即211222n n n na a a a +++-=-，又由2122a a -=，所以{}12n n a a +-是以2为首项，2为公比的等比数列. （2）由（1）知{}12n n a a +-是以2为首项，2为公比的等比数列，所以112222n n n n a a -+-=⨯=，可得11122n nn n a a +--= 又由1012a =，所以12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列，所以11(1)12nn a n n -=+-⨯=，即12n n a n -=⨯，所以01211222322n n S n -=⨯+⨯+⨯++⨯，所以12321222322n nS n =⨯+⨯+⨯++⨯，两式相减，可得012122222n nn S n --=++++-⨯()0212212n n n ⨯-=-⨯-，所以(1)21nn S n =-+.【点睛】错位相减法求解数列的前n 项和的分法：（1）适用条件：若数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，求解数列{}n n a b 的前n 项和n S ；（2）注意事项：①在写出n S 和n qS 的表达式时，应注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出n n S qS -；②作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号；③作差后，作差部分应用为1n -的等比数列求和.19．如图，AB 是半圆E 的直径，C 是半圆E 上异于,A B 的一点，点D 在线段AC 上，满足DE AB ⊥，且PA PC ⊥，30BAC PAC ∠=∠=，4AB =，7PB =.（1）证明：BC PA ⊥；（2）求二面角D PE B --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）777. 【分析】（1）由圆的性质和勾股定理可证得AC BC ⊥，PC BC ⊥，由此可得BC ⊥平面PAC ，由线面垂直的性质可证得结论；（2）以C 为原点可建立空间直角坐标系，利用二面角的向量求法可求得结果. 【详解】（1）AB 是半圆E 的直径，C 是半圆E 上异于,A B 的一点，∴AC BC ⊥.30BAC ∠=，4AB =，∴2BC =，2223ACAB BC .PA PC ⊥，30PAC ∠=，∴3PC =，7PB =∴222PC BC PB +=，∴PC BC ⊥.PC AC C ⋂=，,PC AC ⊂平面PAC ，BC ∴⊥平面PAC ，又PA ⊂平面PAC ，∴BC PA ⊥.（2）以C 为原点，CA ，CB 所在直线分别为x 轴､y 轴，过点C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系C xyz -如图所示，则()0,0,0C ，()23,0,0A ，()0,2,0B ，)3,1,0E ，23D ⎫⎪⎪⎝⎭，332P ⎫⎪⎪⎝⎭， ∴3322PE ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，33DE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()3,1,0BE =-，设平面PDE 的法向量为()111,,m x y z =，则1111133022303m PE x y z m DE x y ⎧⋅=+-=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，令11y =，得：13x =-113z =-，13,1,3m ⎛⎫∴=-- ⎪⎝⎭；设平面PBE 的法向量为()222,,n x y z =，得222223302230n PE y z n BE x y ⎧⋅=+-=⎪⎨⎪⋅=-=⎩，令21x =，得：23y 23z =(1,3,3n ∴=；3337773cos ,2593779m n m n m n-⋅∴<>===-⋅⨯结合图可知，二面角D PE B --为钝二面角，∴二面角D PE B --的余弦值为777. 【点睛】方法点睛：空间向量法求解二面角的基本步骤是：（1）建立空间直角坐标系，利用坐标表示出所需的点和向量；（2）分别求得二面角的两个半平面的法向量，根据向量夹角公式求得法向量的夹角；（3）根据图形或法向量的方向确定所求角为二面角的大小或二面角补角的大小.20．已知双曲线2222:1(0,0)x yC a ba b-=>>的离心率为32，过双曲线C的右焦点F作渐近线的垂线，垂足为N，且FON(O为坐标原点)（1）求双曲线C的标准方程；（2）若P，Q是双曲线C上的两点，且P，Q关于原点对称，M是双曲线上异于P，Q的点.若直线MP和直线MQ的斜率均存在，则MP MQk k⋅是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）22145x y-=；（2）是定值，定值为54.【分析】（1）先求得点(),0F c到渐近线的距离，再根据FON(O为坐标原点)的面积1||||2S NF ON=⋅=求得a，b的关系，再结合离心率求解；（2）设()11,P x y，()00,M x y，得到()11,Q x y--，由22002211145145x yx y⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩两式相减，计算MP MQk k⋅即可.【详解】（1）双曲线C的渐近线方程为by xa=±，即0bx ay±=，所以点(),0F cbcbc==.所以FON的面积为111||||222NF ON ba⋅=⋅=⋅=即ab=.因为双曲线C的离心率为32ca====，所以2254ba=，即b=.代人ab=，解得2a=，所以b=故双曲线C的标准方程为22145x y-=.（2）MP MQ k k ⋅是定值，理由如下：设()11,P x y ，()00,M x y ，则()11,Q x y --，2201x x ≠，所以22002211145145x y x y ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减并整理得2201220154y y x x -=- 所以220101012201010154MP MQy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅==-+-. 所以MP MQ k k ⋅是定值，且该定值为54. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．21．城市大气中总悬浮颗粒物(简称TSP )是影响城市空气质量的首要污染物，我国的《环境空气质量标准》规定，TSP 日平均浓度(单位：3μg/m )在[]0,120时为一级水平，在(]120,300时为二级水平.为打赢蓝天保卫战，有效管控和治理那些会加重TSP 日平均浓度的扬尘污染刻不容缓.扬尘监测仪与智能雾化喷淋降尘系统为城市建筑工地的有效抑尘提供了技术支持.某建筑工地现新配置了智能雾化喷淋降尘系统，实现了依据扬尘监测仪的TSP 日平均浓度进行自动雾化喷淋，其喷雾头的智能启用对应如下表：根据以往扬尘监测数据可知，该工地施工期间TSP 日平均浓度X 不高于380μg/m ，3120μg/m ，3200μg/m ，3300μg/m 的概率分别为0.15，0.35，0.7，0.95.（1）若单个喷雾头能实现有效降尘38m ，求施工期间工地能平均有效降尘的立方米数. （2）若实现智能雾化喷淋降尘之后，该工地施工期间TSP 日平均浓度X 不高于380μg/m ，3120μg/m ，3200μg/m ，3300μg/m 的概率均相应提升了5%，求：①该工地在未来10天中至少有2天TSP 日平均浓度能达到一级水平的概率；(100.60.006≈，结果精确到0.001)②设单个喷雾头出水量一样，如果TSP 日平均浓度达到一级水平时，无需实施雾化喷淋，二级及以上水平时启用所有喷雾头150个，这样设置能否实现节水节能的目的？说明理由.【答案】（1）()3608m；（2）①0.954；②无法达到节水节能的目的，理由见解析. 【分析】（1）根据条件求出每个TSP 段对应的概率，列出设置喷头个数的分布列，求出设置喷头数的均值，从而计算出有效除尘体积.（2）①根据（1）中的概率，求得TSP 日平均浓度达到一级水平的概率，未来10天的日平均浓度概率情况满足二项分布，从而求得概率.②计算出此时启用喷头数的期望值，与前面只能启动的期望值比较，若更大，则不能实现节水节能，更小则可以.【详解】解：（1）由已知条件和互斥事件的概率加法公式有(80)0.15P X ≤=，(80120)(120)(80)0.350.150.2P X P X P X <≤=≤-≤=-=， (120200)(200)(120)0.70.350.35P X P X P X <≤=≤-≤=-=， (200300)(300)(200)0.950.70.25P X P X P X <≤=≤-≤=-=， (300)1(300)10.950.05P X P X >=-≤=-=.则智能设置喷雾头个数Y 的分布列为：则()200.15500.2800.351100.251500.0576E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(个) 所以施工期间工地能平均有效降尘的立方米数为()3(8)8()876608E Y E Y m =⨯=⨯=（2）①由已知，该工地智能雾化喷淋降尘之后，TSP 日平均浓度X 达到一级水平的概率为(120)0.350.050.4P X ≤=+=，设未来10天中TSP 日平均浓度能达到一级水平的天数为ξ，则~(10,0.4)B ξ所以101910(2)1(0)(1)10.6C 0.40.610.00640.010.954P P P ξξξ≥=-=-==--⨯⨯≈--⨯=.故该工地在未来10天中至少有2天TSP 日平均浓度能达到一级水平的概率约为0.954. ②该工地智能雾化喷淋降尘之后，TSP 日平均浓度X 对应喷雾头个数Y 的分布列为则()200.2500.2800.351100.25150069.5E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(个)，若只有当TSP 日平均浓度在二级及以上水平时启用150个喷雾头，则启用喷雾头个数的期望值为(0.20.2)0(0.350.25)15090+⨯++⨯=(个)，大于之前智能启用喷雾头个数的期望值69.5，由于单个喷雾头出水量一样，所以无法达到节水节能的目的. 【点睛】关键点点睛：求得每个事件的概率，列出分布列，求出期望来解决相关问题. 22．已知函数21()(1)ln (0)2f x x a x a x a =+--≠. （1）当12a ≥时，证明：()0f x ≥；（2）若()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析；（2）10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【分析】（1）求导，根据参数取值范围，确定函数的单调区间，从而求得最小值. （2）导数中有参数，对参数分类讨论，结合（1）中的结论，求得函数有2个零点时的参数取值范围.【详解】（1）证明：()f x 的定义域为()0,∞+，又()(1)()(1)a x a x f x x a x x+-'=+--=因为102a ≥>，所以令()0f x '=，得1x =. ()f x '，()f x 的变化情况如下表：所以当1x =时，()f x 取得极小值，也是最小值，即min 1()(1)02f x f a ==-≥. 所以当12a ≥时，()0f x ≥. （2）解：①当0a >时，由（1）可知，当1x =时，()f x 取得极小值1(1)2f a =-. 又由（1）知，当12a ≥时()0f x ≥ 要使得()f x 有两个零点，则1(1)02f a =-<，即102a <<此时(2)(2ln 2)0f a =->，1211121111(1)1(1)102a a aa f e e a e a a e a ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+--->--> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()f x 在11,1ae -⎛⎫ ⎪⎝⎭和()1,2上各有一个零点，满足题意. ②当10a -<<时，令()0f x '=，得1x a =-或21x =.()f x '，()f x 的变化情况如下表：当x a =-时，()f x 取得极大值211()ln()1ln()2f a a a a a a a a a ⎡⎤-=-+--=-+--⎢⎥⎣⎦令1()1ln()(10)2u a a a a =-+---<<，则112()022a u a a a+'=--=-> 所以在()1,0-上，()u a 单调递增因为3()(1)02u a u >-=>，所以()()0f a au a -=< 所以()f x 不可能有两个零点.③当1a =-时2(1)()0x f x x-=≥'，在()0,∞+上，()f x 单调递增，所以()f x 不可能有两个零点. ④当1a <-时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：当1x =时，()f x 取得极大值(1)02f a =-<，所以()f x 不可能有两个零点，综上所述，若()f x 有两个零点，则实数a 的取值范围为10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】方法点睛：借助导数求解单调区间，研究最值情况，带参问题需要分类讨论，从而确定函数零点情况.。

【答案】广州市2023届高三二模数学试题

17．（1）1，2；（2）2122n +-18．（1）20010y x =+；（2）当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值． 19．（1）π3A =；（2）tan BAD ∠=20．（1）证明见解析；（2．21．（1）24y x =；（20y -=0y += 22．（1）0a ≥；（2）证明见解析．1．【答案】C 【解析】由题意得，(2i)(3i)7i1i ia -+--===-，故选：C ． 2．【答案】B 【解析】因为*{|32,}A x x n n ==-∈N ，{6,7,10,11}B ，则{7,10}A B = ，故集合A B 的元素个数为2．故选：B ．3．【答案】D 【解析】因为()a b b +⊥ ，所以()0a b b +⋅= ，所以20a b b ⋅+= ，所以2a b b ⋅=- ，221cos ,33b b ab a b a b a b b b--⋅〈〉====-⋅⋅⋅，故选D ．4．【答案】D 【解析】由213339a ==，314428b ==，134c =，则111334889b a =<<<，ca <，又14223log log 84b ==，13222log log 43c ==，则22log log cb <，即c b<，所以c b a <<．故选：D ．5．【答案】A【解析】如图：正四棱台，由题意可知：O 是底面正方形的中心也是球O的球心，且50R OB ==，40OO '=，所以BC =， 30O B ''===，进而可得B C ''=取BC 的中点为N ，过B C ''的中点P 作PM ON ⊥，连接PN ，所以12OM O P B A '''===，12ON BA ==，故MN ON OM =-= 在直角三角形PMN 中，tan PM PNM MN ∠===，故sin PNM ∠=，由于PN BC ⊥，ON BC ⊥，所以PNM ∠即为正四棱台的侧面与底面所成二面角，，故选：A 6．【答案】A【解析】设过点,()0A a -且方向向量为(1,1)n =-的光线，经直线y b =-的点为B ，右焦点为C ．因为方向向量(1,1)n =-的直线斜率为1-，则45CAB ∠=︒，1AB k =-，又由反射光的性质可得1BC k =，故AB BC ⊥，所以ABC △为等腰直角三角形，且B 到AC 的距离为b ，又AC c a =+，故2a c b +=，22222244()a c ac b a c ++==-，则(35)()0a c a c -+=，故35a c =，离心率35c e a ==．故选：A7．【答案】D 【解析】因为π()3f x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤恒成立，所以max π()13f f x ⎛⎫== ⎪⎝⎭，即2πsin 13ϕ⎛⎫+=± ⎪⎝⎭，所以2ππ2π32k ϕ+=+或2π3π2π,32k k ϕ+=+∈Z ，所以π2π6k ϕ=-+或5π2π,6k k ϕ=+∈Z ，当π2π,6k k ϕ=-+∈Z 时，π1()sin 2π2π62f k π⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭，ππππsin 2πsin 4263f k ⎛⎫⎛⎫=+-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭π()4f f π⎛⎫< ⎪⎝⎭，与题意矛盾，当5π2π,6k k ϕ=+∈Z 时，5π1()sin 2π2π62f k π⎛⎫=++= ⎪⎝⎭，ππ5π5πsin 2πcos 4266f k ⎛⎫⎛⎫=++== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以5π2π,6k k ϕ=+∈Z ，所以5π5π()sin 22πsin 266f x x k x ⎛⎫⎛⎫=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令ππ2π5π22π226k k x +-++≤≤，得2ππππ,36Z x k k k --++∈≤≤，所以()f x 的单调递增区间为2πππ,π()36Z k k k ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦．故选：D ． 8．【答案】B 【解析】因为()f x 为偶函数，则()()f x f x =-，等式两边求导可得()()f x f x ''=--，① 因为函数()e x f x x -++'为偶函数，则()e ()e x x f x x f x x -'++=-+-'，②联立①②可得e e ()2x x f x x --'=-，令()()g x f x '=，则e e()1102x xg x -+'=-=≥，且()g x '不恒为零，所以，函数()g x 在R 上为增函数，即函数()f x '在R 上为增函数，故当0x >时，()(0)0f x f ''>=，所以，函数()f x 在[0,)+∞上单调递增，由(21)(1)f a f a -<+可得()()211f a f a -<+，所以，211a a -<+，整理可得220a a -<，解得02a <<．故选：B ．9．【答案】BC 【解析】记事件A ：车床加工的零件为次品，记事件i B ：第i 台车床加工的零件，则1(|)8%P A B =，2(|)3%P A B =，3(|)2%P A B =，1()10%P B =，2()40%P B =，3()50%P B =，对于A ，任取一个零件是第1台生产出来的次品概率为111()(|)()8%10%0.008P AB P A B P B ==⨯=，故A 错误；对于B ，任取一个零件是次品的概率为123()()()()8%10%3%40%2%50%0.03P A P AB P AB P AB =++=⨯+⨯+⨯=，故B 正确；对于C ，如果该零件是第3台车床加工出来的，那么它不是次品的概率为33()1()12%0.98P A B P A B =-=-=，故C 正确；对于D ，如果该零件是次品，那么它不是第3台车床加工出来的概率为3333()(|)()2%50%21(|)11()()0.033P AB P A B P B P B A P A P A ⨯-=-==-=，故D 错误．故选：BC ．10．【答案】ACD 【解析】显然24()14xf x x =-+是偶函数，其图像如下图所示：要使值域为[0,1]，且a ，b ∈Z ，则2a =-，0,1,2b =；1a =-，2b =；0a =，2b =．故选：ACD ． 11．【答案】BD【解析】双曲线Γ的标准方程为22221x y a a-=，则c ==，易知点1(,0)F、2,0)F ，双曲线Γ的渐近线方程为y x =±．对于A 选项，当BC x ⊥轴，直线BC的方程为x =，联立222x x y a ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，可得x y a⎧=⎪⎨=±⎪⎩，此时，2BC a =，则()()11222246BF CF BF a CF a BC a a +=+++=+=，此时，1BCF △的周长为118BC BF CF a ++=，A 错；对于B 选项，因为双曲线Γ关于原点对称，则点B 关于原点O 的对称点也在双曲线Γ上，因为若直线OB 交双曲线Γ的左支于点E ，则点B 、E 关于原点对称，即BE 、12F F 的中点均为原点，故四边形12BF EF 为平行四边形，所以，12//EF BF ，即1//EF BC ，B 对；对于C 选项，易知OA 的方程为y x =，OD 的方程为y x =-，所以，OA OD ⊥，因为直线l 与双曲线Γ的右支交于点B 、C ，则直线l 不与x 轴重合，设直线l的方程为x my =+，则11m -<<，设点11(,)B x y 、22(,)C x y ，联立x my y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得x y ==，即点A ⎝⎭，联立x my y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩可得x =y =D ⎝⎭，所以，21A a OA x m =⋅=-，21Da OD x m=⋅+，所以，222221222211AODa a S OA OD a m m=⋅==--△≥，当且仅当0m =时，等号成立，C 错；对于D 选项，12222AB BF AB BF a AF a +=++=+，2AF 的最小值为点2F 到渐近线的距离，为a ，当2AF 与渐近线垂直时，直线2AF 与双曲线只有一个交点，所以不能取等号，所以13AB BF a +>，D 正确．12．【答案】BCD【解析】选项A ，因为CN ⊥平面ABD ，且,AN BN ⊂平面ABD ，所以CN AN ⊥，CN BN ⊥，所以当点P 与点N 重合时，AP BP +取得最小值，A 错误；若3CP PN =，则点P 为正四面体的中心，此时必有DP ⊥平面ABC ，B 正确；若DP ⊥平面ABC ，则是外接球的圆锥模型，圆锥底面半径r =高h =，设外接球半径为R ，则222()h R r R -+=，代入并解得：222h r R h +==，外接球的表面积2247π2S R π==，C 正确；1133MN ACD N ACD B ACD d d d ---====，D 正确． 13．【答案】8【解析】由X （单位：分）服从正态分布2(80,)N σ，知正态密度曲线的对称轴为80x =，成绩在[80,90]A上的学生人数为16，由对称性知成绩在80分上的学生人数为24人，所以90分以上的学生人数为24168-=．14．【答案】3或者*3()k k ∈N【解析】二项式21n x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的通项为3121C (1)C ,0,1,2,,rr n r r r n r r n n T x x r n x --+⎛⎫=-=-⋅= ⎪⎝⎭ ，因为二项式21nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中存在常数项，所以30n r -=有解，即3n r =，可得n 的一个值为3．故答案为：3（答案不唯一）15．【答案】10【解析】由12a =，m n m n a a a +=+，令1m =，则112n n a a a +-==，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等差数列，即2(1)22n a n n =+-⨯=，又k 为正整数，所以122(1)440k k a a k k +=⨯+=，即(1)110k k +=，解得10k =或11k =-（舍去）．故答案为：10．16．【答案】①．12##0.5 ②．133212⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】设(,)P x y ，1(,)12d Q P x y =-+=，当1,0x y ≥≥时，则112x y -+=，即302x y +-=，当1,0x y <≥时，则112x y --=，即302x y --=，当1,0x y <<时，则112x y --=，即102x y +-=当1,0x y <≥时，则112x y -+=，即102x y --=，故点P 的轨迹所围成图形如图阴影部分四边形ABCD 的面积：则111142222S =⨯⨯⨯=．如下图，设00(,)P x y ，11(,)M x y ，显然10x x >，10y y >，101010101100(,)()d P M x x y y x x y y x y x y =-+-=-+-=+-+，求(,)d P M 的最小值，即11x y +的最小值，00x y +的最大值，又00max ()32x y +=，下面求11x y +的最小值，令111211y x y x x =+=+，3133112210x y x x -'=-==，即1312x =，令0y '>，解得：1312x >，令0y '<，解得：1312x <，所以y 在13,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，在132,⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以1312x =时，y 有最小值，且min2332y =，所以13min 23333(,)21222d P M ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭．故答案为：12；133212⎛⎫- ⎪⎝⎭．17．【答案】（1）11a =，23a =；（2）2122n +-【解析】（1）由1(1)2n nn n a S ++-=得212a a -=，即212a a =+，····································1分23242a S +==，即1324a a a +=+，··········································································3分又30a =，所以11a =，23a =．·················································································5分（2）当2n k =时，22122kk k a S ++=， ①······························································6分当21n k =-时，221212k k k a S --=-， ②······························································7分两式相加可得22121221222kk k k k k a S a S +--=+-++，得2212121222322k k k k k a a --++=⨯+=，···8分由于12n n n b a a +=+，所以3254724622126(2)(2)(22)()n n n a a a a a a b b b b a a +=++++++++++++135213(2222)n -=⨯++++ ·····················································································9分 212(14)32214n n +-=⨯=--．·························································································10分18．【答案】（1）20010y x =+；（2）当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值．【解析】（1）令1u x =，则y 关于u 的线性回归方程为y u αβ=+，···································1分由题意可得 1221103502102001.60.910ni ni i i iu y u yu uβ==--===--∑∑，·······················································3分702000.310y x αβ=-=-⨯=，···············································································4分则10200y u =+，·····································································································5分所以y 关于x 的回归方程为20010y x =+．·····································································6分（2）由20010y x=+可得20010x y =-，·········································································7分年利润10M m x =--································································································8分2220020010010500251010y y y y =-+++----······································································9分21(20)90.8500y =--+，··························································································10分当20y =时，年利润M 取得最大值，此时20020020102010x y ===--，·······························11分所以，当年技术创新投入为20千万元时，年利润的预报值取最大值．··································12分19．【答案】（1）π3A =；（2）tan BAD ∠= 【解析】（1）因为cos cos b A a B b c -=-，由余弦定理可得22222222b c a a c b b a b c bc ac+-+-⋅-⋅=-，·················································2分化简可得222b c a bc +-=，························································································3分由余弦定理可得2221cos 22b c a A bc +-==，····································································4分因为0πA <<，所以π3A =．·····················································································5分（2）因为cos B =，则B为锐角，所以sin B ===，···········6分因为πA B C ++=，所以，2π3C B =-，所以2π2π2πsin sin sin cos cos sin 333C B B B ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭1122==，(7分) 设BAD θ∠=，则π3CAD θ∠=-，在ABD △和ACD △中，由正弦定理得sin sin BD AD B θ==，······························································································································8分πsin sin 3CD AD C θ==⎛⎫- ⎪⎝⎭··················································································9分因为2CD BD =π(33θθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，·························10分1sin (32θθθ⎫-=+⎪⎪⎭(2θθ=，·························11分所以tan tan BAD θ∠===································································12分20．【答案】（1）证明见解析；（2．【解析】（1）证明：取1BC 的中点M ，连接DM ，EM ，因为点D 是BC 的中点，所以11////DM CC AA ，则A ，E ，M ，D 四点共面．····················································································1分因为//AD 平面1BC E ，平面AEMD 平面1BC E EM =，所以//AD EM ．······················2分因为AB AC =，所以AD BC ⊥．···············································································3分在直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ，则1AD CC ⊥．又1BC CC C = ，BC ⊂平面11BB C C ，1CC ⊂平面11BB C C ，所以AD ⊥平面11BB C C ．····························································4分所以EM ⊥平面11BB C C ．又EM ⊂平面1BC E ，所以平面1BC E ⊥平面11BB C C ．··············5分（2）由（1）知ME ⊥平面11BB C C ，则111113B BC E B BC V S ME -=⋅⋅△，设2BC a =，则BD a =，AD =，1112332B BC S a a =⨯⋅=△，11221993322B BC E a a V a -+-∴=⋅=，······························································7分由基本不等式知，当且仅当a =时等号成立，即三棱锥11B BC E -的体积最大，此时，a =．·····································································································8分以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DB 所在直线为y 轴，DM 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则有A ⎫⎪⎪⎝⎭，0,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，32E ⎫⎪⎪⎝⎭，10,C ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，AC ⎛⎫∴= ⎪ ⎪⎝⎭，13)C B =-，32BE ⎫=⎪⎪⎝⎭，····················9分设平面1BC E 的一个法向量为111(,,)x n y z =，则有11111130302n C B z n BE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =2)n = ，·····················10分设直线AC 与平面1BC E 所成的角为θ，sin cos ,n AC θ∴===，·············11分故直线AC 与平面1BC E．····························································12分 21．【答案】（1）24y x =；（20y -=0y +=【解析】（1）设(,)P x y ，则以PF 为直径的圆的圆心为1,02x +⎛⎫⎪⎝⎭，···································1分根据圆与y 轴相切，可得1122x PF +==，············································2分化简得24y x =，所以C 的方程为24y x =．···································································4分（2）由题意可知：直线l 的斜率存在且不为0，设直线l ：:(1)l y k x =-，11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22222(1)2(2)04y k x k x k x k y x=-⎧⇒-++=⎨=⎩，所以21222(2)k x x k++=，121x x =，·············································································5分设直线l 的倾斜角为θ，则tan AM AF θ=⋅，tan BN BF θ=⋅，································6分所以tan tan tan AM BN AF BF AB AB k θθθ+=⋅+⋅=⋅=⋅，······························7分所以2212222(2)4422k k AB AF BF x x k k++=+=++=+=，········································8分由题意可知四边形为梯形，所以()222318(1)22AMF BMFAB k k S S S AB AM BN k+=+=⋅+==△△······························9分 4238(21)k k k++=，(10分)设0t k =>，则42338(21)21()8t t S t t t t t ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，所以422442323()818t t S t t t t ⎛⎫--⎛⎫'=--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=，当t >，()0S t '>，()S t 单调递增，当0t <<，()0S t '<，()S t 单调递减，所以当t =时，即k =········11分此时k =，故直线的方程为：1)y x =-0y -=0y +-=．·12分 22．【答案】（1）0a ≥；（2）证明见解析．【解析】（2）令()ln(1)(1)h x x x x =+->-，则1()111xh x x x '=-=-++，当10x -<<时，()0h x '>，则函数()h x 在()1,0-上单调递增，当0x >时，()0h x '<，则函数()h x 在(0,)+∞上单调递减，所以max ()(0)0h x h ==，即ln(1)x x +≤，···································································1分所以当0a ≥时，2ln(1)x x ax x ++≤≤，即()()f x g x ≤，··········································2分当0a <时，取010x a =->，由于0ln(1)ln10x +>=，而2200110ax x a a a ⎛⎫+=⋅--= ⎪⎝⎭，得2000ln(1)x ax x +>+，故00()()f x g x >，不符合题意．····················································3分综上所述，0a ≥．···································································································4分（2）证明：当0a =时，由（1）可得ln(1)x x +≤，则ln 1x x -≤，可得11ln 1x x -≤，即1ln 1x x --≤，即1ln 1(1)x x x ->≥，··········································5分令111t x =-，则1t x t =-，所以1ln1t t t -≥，即1ln ln(1)(1)t t t t-->≥，························6分所以1ln()ln(1)n k n k n k+-+-+≤，(0,1,2,,)k n ∈ ，················································7分令()sin (0)g x x x x =->，则()1cos 0g x x '=-≥，且()g x '不恒为零，所以，函数()g x 在(0,)+∞上单调递增，故()(0)0g x g >=，············································8分则sin (0)x x x <>，··································································································9分所以11sinln()ln(1)n k n k n k n k <+-+-++≤，{0,1,2,,}k n ∈ ，·································10分所以111sinsin sin 122n n n+++++ [][][]ln(1)ln ln(2)ln(1)ln(2)ln(21)n n n n n n <+-++-+++-- ···································11分 2ln(2)ln ln2nn n n=-==．·······················································································12分。

广东省广州市2022届高三二模数学试题附答案解析

广东省广州市2022届高三二模数学试题一、单选题1．若复数i1im z -=+是实数，则实数m =（）A ．1-B ．0C ．1D ．22．下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是（）A ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．2y x x=-C ．1y x =-D ．1y x x=-3．某种包装的大米质量ξ（单位：kg ）服从正态分布()210,N ξσ:，根据检测结果可知9.9810.02()0.98P ξ≤≤=，某公司购买该种包装的大米2000袋．则大米质量在10.02kg 以上的袋数大约为（）A ．10B ．20C ．30D ．404．已知数列{}n a 是等差数列，且258a a a π++=，则()19tan a a +=（）AB C ．D ．5．如果函数()sin(2)f x x ϕ=+的图像关于点2,03π⎛⎫-⎪⎝⎭对称，则||ϕ的最小值是（）A ．6πB ．3πC ．56πD ．43π6．甲，乙，丙，丁四支足球队进行单循环比赛（每两个球队都要比赛一场），每场比赛的计分方法是﹔胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，全部比赛结束后，四队的得分为：甲6分，乙5分，丙4分，丁1分，则（）A ．甲胜乙B ．乙胜丙C ．乙平丁D ．丙平丁7．已知抛物线21:4C y x =，圆222(2):2C x y -+=，直线():1l y k x =-与1C 交于A 、B两点，与2C 交于M 、N 两点，若8AB =，则MN =( )A B C D 8．已知0a >且1a ≠，若集合{}{}22,log ||a M x x x N x x x =<=<，且N M ⊆﹐则实数a 的取值范围是（）A ．()1e 0,11,e ⎛⎤⎥⎝⎦ B ．()1e 0,1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．()12e 0,11,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．()12e 0,1e ,⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题9．抛掷两枚质地均匀的骰子，记“第一枚骰子出现的点数小于3”为事件A ，“第二枚骰子出现的点数不小于3”为事件B ，则下列结论中正确的是（）A ．事件A 与事件B 互为对立事件B ．事件A 与事件B 相互独立C ．()()2P B P A =D ．()()1P A P B +=10．如图，圆柱的轴截面ABCD 是正方形，E 在底面圆周上， ,AE BE AF DE =⊥，F 是垂足，G 在BD 上， 2DG BG =，则下列结论中正确的是（）A ．AF BD⊥B ．直线DE 与直线AG 所成角的余弦值为12C ．直线DE 与平面ABCD D ．若平面AFG ⋂平面ABE l =，则l FG∥11．已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则下列不等式成立的是（）A ．18ab ≤B ．218a b+≤C ≤D ．3a b +≤12．我们常用的数是十进制数，如32101079110010710910⨯⨯+⨯⨯=++，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数()32102110112120212⨯⨯⨯++⨯=+，等于十进制的数13．把m 位n 进制中的最大数记为(),M m n ，其中m ，*,2n n ∈≥N ，(),M m n 为十进制的数，则下列结论中正确的是（）A ．()5,231M =B ．()()4,22,4M M =C ．()()2,11,2M n n M n n ++<++D ．()()2,11,2M n n M n n ++>++三、填空题13．已知,a b 是两个单位向量，2c a b =+ ，且b c ⊥ ，则()a ab ⋅+= __________．14．写出一个同时满足下列性质①②③的双曲线方程__________．①中心在原点，焦点在y 轴上；②一条渐近线方程为2y x =﹔③焦距大于1015．函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为__________．四、双空题16．在梯形ABCD 中，,2,1AB CD AB AD CD CB ====∥，将ACD △沿AC 折起，连接BD ，得到三棱锥D ABC -，则三棱锥D ABC -体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球的表面积为__________．五、解答题17．问题：已知*n ∈N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，是否存在数列{}n a ，满足111,1n n S a a +=≥+，__________﹖若存在．求通项公式n a ﹔若不存在，说明理由．在①1n a +=﹔②()12n n a S n n -=+≥；③121n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．某校为全面加强和改进学校体育工作，推进学校体育评价改革，建立了日常参与，体质监测和专项运动技能测试相结合的考查机制，在一次专项运动技能测试中，该校班机抽取60名学生作为样本进行耐力跑测试，这60名学生的测试成绩等级及频数如下表成绩等级优良合格不合格频数711411(1)从这60名学生中随机抽取2名学生，这2名学生中耐力跑测试成绩等级为优或良的人数记为X ，求()1P X =；(2)将样本频率视为概率，从该校的学生中随机抽取3名学生参加野外拉练活动，耐力跑测试成绩等级为优或良的学生能完成该活动，合格或不合格的学生不能完成该活动，能完成活动的每名学生得100分，不能完成活动的每名学生得0分．这3名学生所得总分记为Y ，求Y 的数学期望．19．在平面四边形ABCD 中，90,60,6,A D AC CD ∠=︒∠=︒==(1)求ACD △的面积；(2)若9cos 16ACB ∠=，求34AB BC +的值；20．如图，已知四边形ABCD 是边长为2的菱形，60,,2ABC EF AC AC EF ∠=︒=∥，平面AEFC ⊥平面,ABCD AE AB =．(1)求证：平面BED ⊥平面AEFC ；(2)若AE AC ⊥，求二面角A CF D --的余弦值．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，短轴长为4；(1)求C 的方程；(2)过点()3,0P -作两条相互垂直的直线上1l 和2l ，直线1l 与C 相交于两个不同点A ，B ，在线段AB 上取点Q ，满足AQ APQB PB=，直线2l 交y 轴于点R ，求PQR V 面积的最小值．22．已知函数2()2ln 1f x x x x mx =--+．(1)若0m =，求()f x 的单调区间；(2)若0,0m b a <<<，证明：2242lna b abm a b a b +<---．参考答案：1．A 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出复数z ，再由已知列式计算作答.【详解】依题意，(i)(1i)1(1)i 11i (1i)(1i)222m m m m m z ----+-+===-+-，因R m ∈，且z 是实数，则1=02m +，解得1m =-，所以实数1m =-.故选：A 2．C 【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义，对每个选项进行逐一判断，即可选择.【详解】对A ：容易知12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是偶函数，且在()0,+∞单调递减，故错误；对B ：容易知2y x x =-是偶函数，当0x >时，2y x x =-，其在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增，在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递减，故错误；对C ：容易知1y x =-是偶函数，当0x >时，1y x =-是单调增函数，故正确；对D ：容易知1y x x=-是奇函数，故错误；故选：C.3．B 【解析】【分析】根据大米质量()210,N ξσ:，利用正态分布的对称性求出102().0P ξ>，再列式计算作答.【详解】因大米质量()210,N ξσ:，且9.9810.02()0.98P ξ≤≤=，则9.981()()0.10.0210120.02P P ξξ≤=≤>-=，所以大米质量在10.02kg 以上的袋数大约为20000.0120⨯=.故选：B 4．D 【解析】【分析】利用等差数列的性质求出5a ，再利用此性质结合诱导公式计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，258a a a π++=，则有53a π=，即53a π=，所以()1952tan tan 2tan 3a a a π+===.故选：D 5．B 【解析】【分析】根据三角函数的对称性，带值计算即可.【详解】根据题意，2sin 203πϕ⎛⎫-⨯+= ⎪⎝⎭，即4,3k k Z πϕπ-+=∈，解得4,3k k Z πϕπ=+∈；当1k =-时，ϕ取得最小值3π.故选：B.6．C 【解析】【分析】甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为16分，由比赛计分规则可得出在6场比赛中有2场比赛是平局，丁在3场比赛中有1场是平局，丙在3场比赛中有1场是平局，乙在3场比赛中有2局是平局，由此可得答案.【详解】解：甲，乙，丙，丁四支足球队总比赛场次6场，总得分为6+5+4+1=16分，由比赛计分规则：胜者得3分，负者得0分，平局两队各得1分，所以在6场比赛中有2场比赛是平局，即34+2216⨯⨯=，丁得1分，即1+0+0=1，所以丁在3场比赛中有1场是平局，丙得4分，即3+1+0=4，所以丙在3场比赛中有1场是平局，而乙得分5分，即3+1+1=5，所以乙在3场比赛中有2局是平局，所以乙可能平丙，乙可能平丁，故选：C.7．B 【解析】【分析】联立直线方程和抛物线方程，设()11,A x y ，()22,B x y ，根据抛物线焦点弦长公式12x x p ++和韦达定理可求出k ，根据圆的弦长公式即可求MN ．【详解】由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得，()2222240k x k x k -++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，∵Δ0>，∴21222242k k x x k k++==+，∵():1l y k x =-过抛物线的焦点(1，0)，故AB 为焦点弦，∴1228AB x x =++=，∴126x x +=，∴2426k +=，解得1k =±，由圆关于x 轴对称可知，k ＝1和k ＝－1时MN 相同，故不妨取k ＝1，l 为y ＝x －1，即x －y －1＝0，圆心(2，1)到l 的距离d ，∴MN ===故选：B ．8．D 【解析】【分析】求出集合M ，再由给定条件，对集合N 分类讨论，构造函数，利用导数探讨函数最小值求解作答.【详解】依题意，{}(1)0|{|01}x M x x x x =<<=<-，{}2lo |g 0a N x x x =-<，令2(g )lo a f x x x -=，当01a <<时，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，而2(1)10,()10f f a a =>=-<，则0(,1)x a ∃∈，使得0()0f x =，当00x x <<时，()0f x <，当0x x >时，()0f x >，此时{}0|0N x x x M =<<⊆，因此，01a <<，当1a >时，若01x <≤，log 0a x ≤，则()0f x >恒成立，N =∅，满足N M ⊆，于是当1a >时，N M ⊆，当且仅当N =∅，即不等式()0f x ≥对(0,)∀∈+∞x 成立，2n (l )1x f x x a '-=，由()0f x '=得x =0x <<()0f x '<，当x >时，()0f x '>，则函数()f x 在上单调递减，在)+∞上单调递增，min 1111ln(2ln )log ()222ln 2n ln 2l ln a a a a a af x f =-=+=，于是得1ln(2ln )220ln ln a a a +≥，即1ln(2ln )0a +≥，变形得1ln 2ea ≥，解得12e e a ≥，从而得当12e e a ≥时，()0f x ≥恒成立，N =∅，满足N M ⊆，所以实数a 的取值范围是01a <<或12e e a ≥.故选：D 【点睛】思路点睛：涉及函数不等式恒成立问题，可以利用导数探讨函数的最值，借助函数最值转化解决问题.9．BCD 【解析】【分析】利用对立事件的意义判断A ；利用相互独立事件的定义判断B ；由事件A ，B 的概率计算判断C ，D 作答.【详解】依题意，第一枚骰子出现的点数小于3与第二枚骰子出现的点数不小于3可以同时发生，即事件A 与事件B 不互斥，则事件A 与事件B 不是对立事件，A 不正确；显然有()()2142,6363P A P B ====，抛掷两枚质地均匀的骰子的试验的所有结果：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)，共36个，它们等可能，事件AB 所含的结果有：(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，共8个，则有812()()()3633P AB P A P B ==⨯=，即事件A 与事件B 相互独立，B 正确；显然2()2()3P B P A ==，12()()133P A P B +=+=，C ，D 都正确.故选：BCD 10．AD 【解析】【分析】选项A ：由线面垂直的判定定理，以及线面垂直的性质定理得出；选项B ：平移法找出异面直线所成角，构造三角形，求解三角形可得；选项C ：找出线面垂直，作出线面角，再求解三角形可得；选项D ：运用线面平行的判定定理，以及线面平行的性质定理可得.【详解】对于A ：由圆柱的性质得：DA ⊥面AEB ， EB ⊂面AEB ，DA EB ∴⊥又AB 是下底面圆的直径AE EB∴⊥又AD AE A ⋂= ，DA ⊂面DAE ，AE ⊂面DAEEB ∴⊥面DAE ，又 AF ⊂面DAE EB AF ∴⊥，又 AF D E ⊥又DE EB E = ，DE ⊂面DBE ，BE ⊂面DBEAF ∴⊥面DBE ，又 DB ⊂面DBE AF BD ∴⊥，A 正确；对于B ：过点G 作GH DE ∥交EB 于点H ，如图则AGH ∠就是直线DE 与直线AG 所成角（或补角）设1AE BE ==，则AD AB ==在Rt AED △中，DE =D GHE ∥，2DG BG =∴BG GH DE BD =⋅=在等腰Rt ABD △中，2BD =，又 2DG BG =23GB ∴=在ABG V 中，AB =，4ABG π∠=，2222cos AG GB AB GB AB ABG∴=+-⋅⋅∠即：22222102cos 3349AG π⎛⎫=+-⋅=⎪⎝⎭在Rt AEH V 中，1AE =，2AEH π∠=，23EH =22222213139AH AE EH ⎛⎫∴=+=+=⎪⎝⎭在AGH V 中，222AG GH AH +=，cos 02AGH AGH π∴∠=∠=，，B 错误；对于C ：取AB 的中点O ，连接DO EO ，，如图所示则：EO AB ⊥，DA ⊥ 面AEB ，又 EO ⊂面AEB DA EO ∴⊥又DA AB A = ，DA ⊂面DAB ，AB Ì面DABEO ∴⊥面DABEDO ∴∠就是直线DE 与平面ABCD 所成角又DE EO ==DO ∴==cos DO EDO DE ∴∠===，C 错误；对于D ：在Rt AED △中，DE =EF ，DF =E FG B ∴∥，又EB ⊂面AEB ，FG ⊄面AEB FG ∴∥面AEB又平面AFG ⋂平面ABE l =，FG ⊂面AFGl FG ∴∥ ，D 正确.故选：AD.11．AC 【解析】【分析】利用导数的几何意义，求出a ，b 的关系，再结合均值不等式逐项分析、计算并判断作答.【详解】设直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切的切点为00(,)x y ，由1e 21x y b -=-+求导得：1e x y -'=，则有01e 1x -=，解得01x =，因此，0122y a b =+=-，即21a b +=，而0,0a b >>，对于A ，211212()2228a b ab a b +=⋅⋅≤=，当且仅当122a b ==时取“=”，A 正确；对于B ，21214(2)(448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即122a b ==时取“=”，B 不正确；对于C ，因22332(2)222a a b b a b +=+++=+=，则有232≤，≤=，即4a b =时取“=”，由214a b a b+=⎧⎨=⎩得21,36a b ==，所以当21,36a b ==时，max =C 正确；对于D ，由21a b +=，0,0a b >>得，102b <<，11(,1)2a b b +=-∈，而函数3x y =在R 上单调递增，33a b +<<，D 不正确.故选：AC 12．ABD 【解析】【分析】根据问题背景的介绍，可以得到m 位n 进制中的最大数的书写方法，进而得到选项中最大数的式子，再进行大小比较即可.【详解】对于A ：()5,2M 即是：()43210211111121212121231=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，A 正确；对于B ：()4,2M 即是：()3210211111212121215=⨯+⨯+⨯+⨯=()2,4M 即是：()1041533343=+⨯⨯4=，B 正确；对于C 、D ：*,2n n ∈≥N ，()2,1M n n ++即是：()()()()()()()()()()()()()()111011110221111111111111111n n n n n nn n n nnn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +-++-++=++++++++++⎡⎤=++++++++++⎣⎦-+=⋅=+--+*,2n n ∈≥N ，()1,2M n n ++即是：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()21210121011111112121212121222221212112n nn n nn n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +----++++++=+++++++++++++++⎡⎤=+++++++++++⎣⎦-+=+⋅=+--+ 构造函数：()ln xf x x=，求导得：()21ln xf x x -'=∴()0,e x ∈，()0f x '>，()f x 单调递增；()e,x ∞∈+，()0f x '<，()f x 单调递减； *,2n n ∈≥N e 12n n ∴<+<+∴ ()()12f n f n +>+ 代入得：()()ln 1ln 212n n n n ++>++ 即是：()()2112n n n n +++>+，∴()()211121n n n n +++->+-∴()()2,11,2M n n M n n ++>++，D 正确.故选：ABD 【点睛】本题考查背景知识的从特殊到一般的转化过程，对获取信息从而抽象成数学问题的能力有一定的要求，随后需要用数列求和得出需要的结果，再从构造函数的角度考查了导数在函数中的应用，运用函数的性质进行大小比较，对学生来说是一个挑战，属难题.13．12##0.5【解析】【分析】根据给定条件，结合垂直关系的向量表示求出a b ⋅，再利用数量积的运算律计算作答.【详解】,a b 是两个单位向量，2c a b =+ ，且b c ⊥ ，则2(2)20b c b a b a b b ⋅=⋅+=⋅+= ，解得12a b ⋅=-r r ，所以()212a ab a a b ⋅+=+⋅= .故答案为：1214．2255114436y x -=（答案不唯一，写出一个即可）【解析】【分析】根据①设出双曲线方程，根据②求出a 与b 的关系式，根据③对c 进行赋值，进而联立解方程求出双曲线方程，答案不唯一.【详解】由①中心在原点，焦点在y 轴上知，可设双曲线方程为：()222210,0y x a b a b-=>>由②一条渐近线方程为2y x =知，2ab =，即2a b=由③知，210c >，即5c >，则可取6c =（此处也可取大于5的其他数）又222a b c += ，()22236b b ∴+=，2365b ∴=2214445a b ∴==则同时满足下列性质①②③的一个双曲线方程为：2255114436y x -=故答案为：2255114436y x -=（答案不唯一, 写出一个即可）.15．9【解析】【分析】根据给定条件，构造函数sin y x =π，ln 23y x =-，作出这两个函数的部分图象，确定两个图象的交点个数，再结合性质计算作答.【详解】由()0sin ln |23|x x f x π=⇔=-，令sin y x =π，ln 23y x =-，显然sin y x =π与ln 23y x =-的图象都关于直线32x =对称，在同一坐标系内作出函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象，如图，观察图象知，函数sin y x =π，ln 23y x =-的图象有6个公共点，其横坐标依次为123456,,,,,x x x x x x ，这6个点两两关于直线32x =对称，有1625343x x x x x x +=+=+=，则1234569x x x x x x +++++=，所以函数()sin ln 23f x x x π=--的所有零点之和为9.故答案为：916．5π【解析】【分析】注意到三棱锥D ABC -体积最大时，平面ACD ⊥平面ABC ，可知以B 为顶点时，BC 为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面ACD 的距离、ACD △外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.【详解】过点C 作CE AB ⊥，垂足为E ，ABCD 为等腰梯形，2,1AB CD ==12BE ∴=，3B π∴=由余弦定理得2222cos33AC AB BC AB BC π=+-⋅=，即AC =222AB BC AC =+BC AC∴⊥易知，当平面ACD ⊥平面ABC 时，三棱锥D ABC -体积最大，此时，BC ⊥平面ACD 易知，23D π∠=12sin 23ACD S AD CD π∴=⋅=V 113D ABC V -∴==记O 为外接球球心，半径为RBC ⊥ 平面ACD ，OB OC=∴O 到平面ACD 的距离12d =又ACD △的外接圆半径122sin3ACr π==22254R r d ∴=+=245S R ππ∴==5π17．选①：1,188,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩；选②：121n n a +=-；选③：2nn a n=-【解析】【分析】选①：利用n a 与n S 的关系得到关于n S 的递推公式，再由递推公式求n S ，然后可得通项n a ；选②：利用n a 与n S 的关系得到递推公式，然后构造等比数列可求通项；选③：根据递推公式构造等比数列可解.【详解】选①：11n n n a S S ++==-=+1111,1n n S a a a +==-≥>2=，即是以2为公差，1为首项的等差数列21n =-，即2(21)n S n ∴=-当2n ≥时，221(21)(23)88n n n a S S n n n -=-=---=-显然，1n =时，上式不成立，所以1,188,2n n a n n =⎧=⎨-≥⎩.选②：当2n ≥时，1n n a S n -=+，即1n n S a n -=-所以11(1)()n n n n n a S S a n a n -+=-=-+--整理得112(1)n n a a ++=+又2123a S =+=，214a +=所以{1}n a +从第二项起，是以2为公比，4为首项的等比数列∴当2n ≥时，211422n n n a -++=⋅=，即121n n a +=-显然，1n =时，上式成立，所以121nn a +=-选③：121n n a a n +=+- 112()n n a n a n +∴++=+又112a +={}n a n ∴+是以2为公比和首项的等比数列2n n a n ∴+=，即2n n a n ∴=-18．(1)126295；(2)90.【解析】【分析】（1）由题意根据古典概率公式可求得答案；（2）由题得Y 可以取0，100，200，300，分别求得Y 取每一个随机变量的概率得出Y 的分布列，由期望公式可求得答案．(1)解：由题意得()111842260C C 1261C 295P X ===；(2)解：能完成活动的概率为1836010=，不能完成活动的概率为4276010=，由题得Y 可以取0，100，200，300，则()0303373430C 10001001P Y ⎛⎫⎛=⎫⎪=⎪⎝⎭⎝⎭=，()1213371441100C 1001000P Y ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()2123371189200C 1001000P Y ===⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()33337127300C 1000010P Y ⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝=⎭==，所以Y 的分布列为：Y 0100200300P343100044110001891000271000则Y 的数学期望为()343441189270+100+200+300901000100010001000E Y =⨯⨯⨯⨯=．19．(2)8.【解析】【分析】（1）在ACD △中，由余弦定理求得得AD ，再根据三角形的面积公式可求得答案；（2）在ACD △中，由正弦定理求得sin DAC ∠，再由正弦和角公式求得sin B ，在ABC V 中，根据正弦定理求得AB BC ，，由此可求得答案.(1)解：在ACD △中，60,6,D AC CD ∠=︒==2221cos 22CD AD AC D AD CD +-===⋅⋅，解得AD =，所以11sin 22ACD S AD CD D =⋅⋅⋅∠==V(2)解：在ACD △中，60,6,D AC CD ∠=︒==sin sin AC DCD DAC=∠，即=3sin 4DAC ∠=，又90A ∠=︒，所以3cos cos sin 24CAB DAC DAC π⎛⎫∠=-∠=∠= ⎪⎝⎭，所以sin CAB ∠=又9cos 16ACB ∠=，所以sin ACB ∠=所以()()sin sin +sin +B ACB CAB ACB CAB π=-∠∠=∠∠⎡⎤⎣⎦sin cos +cos sin ACB CAB ACB CAB=∠∠∠∠39416==在ABC V 中，sin sin sin AB BC ACACB CAB B==∠∠=所以6564AB BC ====，，所以335+4844AB BC +=⨯=.20．(1)证明见解析；.【解析】【分析】（1）根据面面垂直的性质和判定可得证；（2）设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面角的空间向量求解方法可得答案.(1)证明：菱形ABCD 中，BD AC ⊥，又平面AEFC ⊥平面ABCD ，平面AEFC ⋂平面ABCD AC =，所以BD ⊥平面AEFC ，又BD 在平面BED 内，所以平面BED ⊥平面AEFC ；(2)解：因为平面AEFC ⊥平面,ABCD AE AC ⊥．平面AEFC ⋂平面ABCD AC =，所以AE ⊥平面ABCD ．设AC 与BD 相交于点O ，连接FO ，因为//,2EF AC AC EF =，所以//,EF AO AO EF =，所以四边形AOEF 为平行四边形，所以//OF EA ，所以OF ⊥平面ABCD ，菱形ABCD 中，60ABC ∠=︒，所以ABC V 是正三角形，则OC =1，OF =AE =AB =2，OB OD ==，以点O 为坐标原点建立空间直角坐标系如下图所示，则()0,10A -，，()0,10C ，，()0,02F ，，()0D ，，则()01,2CF =-，，()02,0CA =- ，，)2DF = ，设平面ACF 的法向量为()10,0n =，，设平面DCF 的法向量为(),m x y z = ，，则+20+20m CF y z m DF z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=⎪⎩，令z =，则(2m =- ，所以cos ,m n又由图示得二面角A CF D --为锐角，所以二面角A CF D --． 21．(1)22184x y +=；(2)1.【解析】【分析】（1）由题可得24,c b e a ====，即得；（2）由题可设1l 的方程为3x ty =-，进而可得PR=，然后利用面积公式及基本不等式即求.(1)由题可得24,c be a ====∴2a b==，∴椭圆C 的方程为22184x y +=；(2)由题可知直线1l 的斜率存在且不为0，设直线1l 的方程为3x ty =-，()()()112200,,,,,A x y B x y Q x y ，由223184x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，可得()222610t y ty +-+=，由()22236423280t t t ∆=-+=->，可得12t >，或12t <-，∴12122261,22t y y y y t t +==++，由AQ AP QB PB=及,,,P A Q B 四点共线，知011202y y y y y y -=-，∴21201222212632y y t y t y y tt +===++，∵1l 和2l 相互垂直，则2l 的方程为13x y t=--，令0x =，得3y t =-，∴()0,3R t -，∴PQR V面积为21111112222t S PQ PR t t t ⎛⎫+====+≥ ⎪ ⎪⎝⎭，当且仅当1t t =，即112t =>等号成立，所以PQR V 面积的最小值为1.22．(1)单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间；(2)证明见解析．【解析】【分析】(1)求f (x )的导数()f x '，令()()h x f x ='，求()h x '，根据()h x '正负判断()f x '单调性，根据()f x '单调性判断()f x '正负，从而判断f (x )单调性；(2)将2242ln a b ab m a b a b +<---化为2ln a b a b a b m a b a b a b ++-<----+，令a b x a b+=-＞1，则22ln 10(1)x x x mx x -++<>，根据(1)中f (x )单调性即可证明．(1)()f x 的定义域为()0,∞+，由于0m =，则()22ln 1f x x x x =-+，()2ln 22f x x x =+-'，令()()h x f x ='，则()()2122x h x x x-'=-=，当01x <<时，()0h x '>，()f x '在()0,1上单调递增；当1x >时，()0h x '<，()f x '在()1,+∞上单调递减．则()()12ln1220f x f '≤+-'==．∴函数()f x 的单调递减区间为()0,∞+，无单调递增区间﹒(2)方法一：欲证2242ln a b ab m a b a b+<---，只要证()()22()()2ln a b a b a b m a b a b a b ++--<--+-，即证2lna b a b a b m a b a b a b ++-<----+．令a b x a b+=-，由于0a b >>，则1x >．故只要证12ln x x m x<--，即证22ln 10(1)x x x mx x -++<>．由(1)可知，()22ln 1g x x x x =-+在区间()0,∞+上单调递减，故1x >时，()()10g x g <=，即22ln 10x x x -+<．由于0m <，1x >，则0mx <．∴22ln 10x x x mx -++<成立．∴2242ln a b ab m a b a b+<---．方法二：由(1)得()2ln 22f x x x m =+--'在()0,1上单调递增，当0m <时，()10f m '=->，120e 1m<<，111222e 2122e 2e 02m m m m f m ---⎛⎫⎛⎫=-+--=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'，则()00,1x ∃∈，使()00f x '=，即002ln 220x x m +--=，则002ln 22m x x =+-．当00x x <<时，()0f x '<，()f x 在()00,x 上单调递减；当01x x <<时，()0f x '>，()f x 在()0,1x 上单调递增．则()()()22000000000002ln 12ln 2ln 221f x f x x x x mx x x x x x x ≥=--+=--+-+()2010x =->，∴22ln 10x x x mx --+>，令a b x a b-=+，由于0b a <<，则01x <<，则()()22ln 10a b m a b a b a b a b a b a b a b----⎛⎫--+> ⎪++++⎝⎭，整理得2242lna b ab m a b a b +<---．【点睛】本题第一问关键是二次求导，依次通过导数的正负判断原函数的单调性；第二问的关键是注意到要证的不等式可以化为2ln a b a b a b m a b a b a b ++-<----+，令a b x a b+=-＞1，则化为12ln x x m x<--，即22ln 10(1)x x x mx x -++<>，结合(1)中函数单调性即可证明得到结论．。

广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学(理)试卷及解析

……装…………_____姓名：_________……装…………广东省广州市2019届高三第二次模拟考试数学（理）试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知复数z =m(3+i)−(2+i)在复平面内对应的点在第三象限，则实数m 的取值范围是（）A. (−∞,1)B. (−∞,23)C. (23,1) D. (−∞,23)∪(1,+∞)2.已如集合A ={x|1−8x−2<0}，则∁R A =（）A. {x|x <2或x ⩾6}B. {x|x ⩽2或x ⩾6}C. {x|x<2或x ⩾10}D. {x|x⩽2或x ≥10}3.某公司生产A ，B ，C 三种不同型号的轿车，产量之比依次为2:3:4，为检验该公司的产品质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号的轿车比B 种型号的轿车少8辆，则n =（） A. 96B. 72C. 48D. 364.执行如图所示的程序框图，则输出z 的值是（）A. 21B. 22C. 23D. 245.已知点A 与点B(1,2)关于直线x +y +3=0对称，则点A 的坐标为（）A. (3,4)B. (4,5)C. (−4,−3)D. (−5,−4)6.从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动.设所选3人中女生人数为ξ，则数学期望Eξ=（）A. 45 B. 1C. 75D. 27.已知sinα+cosα=15，其中α∈(π2,π)，则tan2α=（）A. −247B. −43C. 724D. 2478.过双曲线x 2a 2−y 22=1 (a >0,b >0)的左焦点F 作圆x 2+y 2=a 29的切线，切点为E ，延长FE 交双答案第2页，总21页…………订……※订※※线※※内※※答※…………订……曲线右支于点P ，若FP ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2FE ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ ，则双曲线的离心率为（） A. √173 B. √176C. √105D. √1029.若曲线y =x 3−2x 2+2在点A 处的切线方程为y =4x −6，且点A 在直线mx +ny −1=0（其中m >0，n >0）上，则1m +2n的最小值为（）A. 4√2B. 3+2√2C. 6+4√2D. 8√210.函数f(x)=2sin(ωx +φ) (ω>0,|φ|<π)的部分图像如图所示，先把函数y =f(x)图像上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的图像向右平移π4个单位长度，得到函数y =g(x)的图像，则函数y =g(x)的图像的一条对称轴为（）A. x =3π4B. x =π4C. x =−π4D. x =−3π411.已知点P 在直线x +2y −1=0上，点Q 在直线x +2y +3=0上，PQ 的中点为M (x 0,y 0)，且1⩽y 0−x 0⩽7，则y0x 0的取值范围为（）A. [2,125]B. [−25,0]C. [−516,14]D. [−2,25]12.若点A(t,0)与曲线y =e x 上点P 的距离的最小值为2√3，则实数t 的值为（）A. 4−ln23B. 4−ln22C. 3+ln33D. 3+ln32第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题（题型注释）13.若e 1⃑⃑⃑⃑ ，e 2⃑⃑⃑⃑ 是夹角为60°的两个单位向量，向量a ⃑⃑ =2e 1⃑⃑⃑⃑ +e 2⃑⃑⃑⃑ ，则|a|=________.14..若5(1)ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是15.秦九韶是我国南宋著名数学家，在他的著作《数书九章》中有己知三边求三角形面积的方法：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实.一为从隅，开平……外…………○………学校:________……内…………○………方得积.”如果把以上这段文字写成公式就是S =√14[a 2c 2−(a 2+c 2−b 22)2]，共中a ，b ，c 是△ABC的内角A ，B ，C 的对边为.若sinC =2sinAcosB ，且b 2，1，c 2成等差数列，则△ABC 面积S 的最大值为________.16.有一个底面半径为R ，轴截面为正三角形的圆锥纸盒，在该纸盒内放一个棱长均为a 的四面体，并且四面体在纸盒内可以任意转动，则a 的最大值为________.三、解答题（题型注释）17.已知{a n }是递增的等比数列，a 2+a 3=4，a 1a 4=3.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令b n=na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .18.科研人员在对人体脂肪含量和年龄之间关系的研究中，获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据，如下表：根据上表的数据得到如下的散点图.（1）根据上表中的样本数据及其散点图：（i ）求x̅；（i ）计算样本相关系数（精确到0.01），并刻画它们的相关程度.答案第4页，总21页…○…………订…※装※※订※※线※※内※※答…○…………订…（2）若y 关于x 的线性回归方程为y ̂=1.56+b ̂x ，求b ̂的值（精确到0.01），并根据回归方程估计年龄为50岁时人体的脂肪含量. 附：参考数据：y ̅=27，∑x i 10i=1y i=13527.8，∑x i210i=1=23638，∑y i 210i=1=7759.6，√43≈6.56，√2935≈54.18，参考公式：相关系数r=∑(x −x̅)ni=1(y −y̅)√∑(x i −x̅)2i=1√∑(y i −y ̅)2i=1 ∑x ni=1y −nx̅y̅√∑x i i=1−n(x̅)2√∑y ii=1−n(y ̅)2回归方程y ̂=a ̂+b ̂x 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ̂=∑(x i −x ̅)ni=1(y i −y ̅)∑(x i −x̅)2n i=1，a ̂=y ̅−b ̂x ̅. 19.如图，在四棱锥P−ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60°，∠APD =90°，且AD =PB .（1）求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；（2）若AD⊥PB ，求二面角D −PB −C 的余弦值.20.在平面直角坐标系中，动点M 分别与两个定点A(−2,0)，B(2,0)的连线的斜率之积为−12. （1）求动点M 的轨迹C 的方程；（2）设过点(−1,0)的直线与轨迹C 交于P ，Q 两点，判断直线x =−52与以线段PQ 为直径的圆的位置关系，并说明理由. 21.己知函数f(x)=lnx −k x (k ∈R).（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若函数f(x)有两个零点x 1，x 2，求k 的取值范围，并证明x 1+x 2>2√−2k .22.在直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 的参数方程为{x =2+tcosα,y =√3+tsinα（t 为参数）.在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ2=2ρcosθ+8.（1）求直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A，B两点，且|AB|=4√2，求直线l的倾斜角.23.[选修4-5：不等式选讲]己知函数f(x)=|2x−1|−a．(1)当a=1时，解不等式f(x)>x+1；(2)若存在实数x，使得f(x)<12f(x+1)成立，求实数a的取值范围.答案第6页，总21页参数答案1.B【解析】1.根据复数的几何意义建立不等式关系即可.z =m(3+i)−(2+i)=(3m −2)+(m −1)i ，若复数在复平面内对应的点在第三象限，则{3m −2<0m −1<0，解得m<23，所以m 的取值范围是(−∞,23)，故选B. 2.D【解析】2.先解分式不等式求集合A ，再由补集的定义直接求解即可．解：由1−8x−2＜0，即x−10x−2＜0，即（x ﹣10）（x ﹣2）＜0解得2＜x ＜10，即A={x|2＜x ＜10}，则∁R A ＝{x|x ≤2或x ≥10}故选：D ． 3.B【解析】3.根据分层比例列式求解. 由题意得29n −39n =−8∴n =72.选B.4.A【解析】4. 运行第一次，x=1,y =2,z =3；运行第二次，x =2，y =3，z =5；运行第三次x =3,y =5,z =8；类推，直到不再符合z <20为止，输出z 即可。

广东省广州市天河区2023届高三二模数学试题(解析版)

（2）根据四棱锥的体积求得，建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线EC与平面PAB所成角的正弦值.
【小问1详解】
连接交于，连接，
因为四边形是菱形，所以是的中点，
又是的中点，所以，
因为平面平面，
所以平面 .
【小问2详解】
取的中点，连接，则，
因为平面平面且交线为，平面，
A.圆关于直线对称
B.圆被直线截得的弦长为
C.圆关于直线对称的圆为
D.若点在圆上，则的最小值为5
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用圆的方程可求得圆心与半径，由直线不过圆心即可判断A；求出圆心到直线的距离，进而求得弦长，即可判断B；设圆关于直线对称的圆的圆心为，列方程组求出，由此可得所求圆的方程，即可判断C；表示与点的距离，求得，进而可得所求的最小值，即可判断D．
所以平面 .
设，则，解得 .
因为底面是菱形，，所以，且 .
以为坐标原点，以所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，
，
设平面的法向量为，
则，
故可设，
则，
所以直线EC与平面PAB所成角的正弦值为 .
20.某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向，此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐”的收费标准互不相同，得到的统计数据如下表，x为收费标准（单位：元/日），t为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图．
2023届高三天河区二模数学模拟测试（答案在最后）

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2017届广州市高三第二次调研考试试题（二）数学（理科） 2017.4一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合{}11A x x =-<，110B x x ⎧⎫=-≥⎨⎬⎩⎭，则A B =∩（） A ．{}12x x ≤< B ．{}02x x << C ．{}01x x <≤ D ．{}01x x <<2、若复数z 满足()34i i 2i z -+=+，则复数z 所对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3、执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（）A ．4B ．3C ．2-D ．3-4、从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为（）A ．15B ．25C ．12D ．355、函数()()ln 1f x x x =-+的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．6、已知2cos 423πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin θ=（） A ．79 B ．19 C ．19- D ．79- 7、已知点()4,4A 在抛物线22y px =（()0p >）上，该抛物线的焦点为F ，过点A 作该抛物线准线的垂线，垂足为E ，则EAF ∠的平分线所在的直线方程为（）A ．2120x y +-=B ．2120x y +-=C ．240x y --=D ．240x y -+=8、在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱11A D 的中点，过1C ，B ，M 作正方体的截面，则这个截面的面积为（）A 35B 35C ．92D ．989、已知R k ∈，点(),P a b 是直线2x y k +=与圆22223x y k k +=-+的公共点，则ab 的最大值为（）A ．15B ．9C ．1D ．53- 10、已知函数()2sin 4f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0ω>）的图象在区间[]0,1上恰有3个最高点，则ω的取值范围为（）A ．1927,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．913,22ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1725,44ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．[)4,6ππ 11、如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（）A ．83B ．163C ．323D ．16 12、定义在R 上的奇函数()y f x =为减函数，若m ，n 满足()22f m m -+()220f n n -≥，则当1n ≤32≤时，m n的取值范围为（） A ．2,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．13,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13、已知点()00O ，，()1,3A -，()24B -，，→→→+=AB m OA OP 2，若点P 在y 轴上，则实数m = ．14、《孙子算经》是我国古代重要的数学着作，约成书于四、五世纪，传本的《孙子算经》共三卷，其中下卷“物不知数”中有如下问题：“今有物，不知其数.三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二.问：物几何？”其意思为：“现有一堆物品，不知它的数目.3个3个数，剩2个；5个5个数，剩3个；7个7个数，剩2个.问这堆物品共有多少个？”试计算这堆物品至少有个．15、设()()5423x y x y -+9872987a x a x y a x y =+++8910a xy a y ++，则08a a += ．16、在平面四边形ABCD 中，连接对角线BD ，已知9CD =，16BD =，90BDC ∠=︒，4sin 5A =，则对角线AC 的最大值为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17、设等比数列{}n a 的前n 项和n S ，已知1238a a a =，(2133n S a a =++)521n a a -+（*N n ∈）.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n b nS =，求数列{}n b 的前n 项和n T .18、如图，ABCD 是边长为a 的菱形，60BAD ∠=︒，EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，23EB FD a ==.（Ⅰ）求证：EF AC ⊥；（Ⅱ）求直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值.19、某商场拟对某商品进行促销，现有两种方案供选择，每种促销方案都需分两个月实施，且每种方案中第一个月与第二个月的销售相互独立.根据以往促销的统计数据，若实施方案1，预计第一个月的销量是促销前的1.2倍和1.5倍的概率分别是0.6和0.4，第二个月的销量是第一个月的1.4倍和1.6倍的概率都是0.5；若实施方案2，预计第一个月的销量是促销前的1.4倍和1.5倍的概率分别是0.7和0.3，第二个月的销量是第一个月的1.2倍和1.6倍的概率分别是0.6和0.4.令()1,2i i ξ=表示实施方案i 的第二个月的销量是促销前销量的倍数.（Ⅰ）求1ξ，2ξ的分布列；（Ⅱ）不管实施哪种方案，i ξ与第二个月的利润之间的关系如下表，试比较哪种方案第二个月的利润更大.20、已知双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设动点M ，N 在椭圆C 上，且43MN =MN 在y 轴上的截距为m ，求m 的最大值.21、已知函数()ln x f x ax b x=-+在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+. （Ⅰ）求实数b 的值；（Ⅱ）若存在2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，满足()1e 4f x ≤+，求实数a 的取值范围. 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22、选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的普通方程为20x y --=，曲线C 的参数方程为,2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点. （Ⅰ）求线段AB 的长；（Ⅱ）已知点P 在曲线C 上运动，当PAB ∆的面积最大时，求点P 的坐标及PAB ∆的最大面积.23、选修4-5：不等式选讲（Ⅰ）已知1a b c ++=，证明：()()2211a b ++++()21613c +≥；（Ⅱ）若对任意实数x ，不等式x a -+212x -≥恒成立，求实数a 的取值范围.2017年广州市普通高中毕业班综合测试（二）理科数学试题答案及评分参考一、选择题1-5:ABABA 6-10:CDCBC 11、12：BD二、填空题13．23 14．23 15．2590- 16．27三、解答题17．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 是等比数列，所以2132a a a =.因为1238a a a =，所以328a =，解得22a =.因为()2135213n n S a a a a -=++++，所以213S a =，即1213a a a +=.因为22a =，所以11a =.因为等比数列{}n a 的公比为212a q a ==，所以数列{}n a 的通项公式为12n n a -=.（Ⅱ）因为等比数列{}n a 的首项为11a =，公比2q =，所以()111n n a q S q -==-122112nn -=--.因为n n b nS =，所以()21n n b n =-=2n n n ⋅-.所以123n T b b b =+++1n n b b -++(23122232=⨯+⨯+⨯)2n n ++⨯-()123n ++++.设23122232n P =⨯+⨯+⨯2n n ++⨯. 则2321222n P =⨯+⨯+41322n n +⨯++⨯.所以(1232222n n P n +=⨯-++)422n +++=()1122n n +-+. 因为123+++()12n n n ++=，所以()112n n T n +=-()122n n ++-. 所以数列{}n b 的前n 项和()112n n T n +=-()122n n ++-. 18．解：（Ⅰ）证明：连接BD ，因为ABCD 是菱形，所以AC BD ⊥. 因为FD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以AC FD ⊥.因为BD FD D =∩，所以AC ⊥平面BDF .因为EB ⊥平面ABCD ，FD ⊥平面ABCD ，所以EB FD ∥.所以B ，D ，F ，E 四点共面.因为EF ⊂平面BDFE ，所以EF AC ⊥.（Ⅱ）如图，以D 为坐标原点，分别以DC ，DF 的方向为y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系D xyz -.可以求得1,,02A a ⎫-⎪⎪⎝⎭，1,,02B a ⎫⎪⎪⎝⎭，F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()0,,0C a，1,2E a a ⎫⎪⎪⎝⎭. 所以()0,,0AB a =，1,2AF a a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭.设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =，则0,0,n ABn AF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,10222ay ax ay az =⎧⎪⎨-++=⎪⎩ 不妨取1x =，则平面ABF 的一个法向量为()1,0,1n =.因为31,22CE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以cos ,n CEn CE nCE ⋅==8. 所以直线CE 与平面ABF 所成角的正弦值为. 19．解：（Ⅰ）依题意，1ξ的所有取值为1.68，1.92，2.1，2.4，因为()1 1.68P ξ==0.60.50.30⨯=，()1 1.92P ξ==0.60.50.30⨯=，()1 2.1P ξ==0.40.50.20⨯=，()1 2.4P ξ==0.40.50.20⨯=.所以1ξ的分布列为依题意，2ξ的所有取值为1.68，1.8，2.24，2.4，因为()2 1.68P ξ==0.70.60.42⨯=，()2 1.8P ξ==0.30.60.18⨯=，()2 2.24P ξ==0.70.40.28⨯=，()2 2.4P ξ==0.30.40.12⨯=.所以2ξ的分布列为（Ⅱ）令i Q 表示方案i 所带来的利润，则所以1150.30EQ =⨯200.50250.20+⨯+⨯=19.5，2150.42EQ =⨯+200.46250.12⨯+⨯=18.5.因为12EQ EQ >，所以实施方案1，第二个月的利润更大.20．解：（Ⅰ）双曲线2215x y -=的焦点坐标为(). 因为双曲线2215x y -=的焦点是椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以a =6a =，解得1b =. 故椭圆C 的方程为2216x y +=. （Ⅱ）因为2MN =>，所以直线MN 的斜率存在.因为直线MN 在y 轴上的截距为m ，所以可设直线MN 的方程为y kx m =+. 代入椭圆方程2216x y +=得()221612k x kmx +++()2610m -=. 因为()()22122416km k ∆=-+()2124m -=()22160k m +->，所以221+6m k <.设()11,M x y ，()22,N x y ，根据根与系数的关系得1221216km x x k -+=+，()21226116m x x k -=+.则12MN x =-==因为MN ==. 整理得()42221839791k k m k -++=+. 令211k t +=≥，则21k t =-.所以221875509t t m t -+-==15075189t t ⎡⎤⎛⎫-+≤ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦75230593-⨯=. 等号成立的条件是53t =，此时223k =，253m =满足2216m k <+，符合题意.故m 21．解：（Ⅰ）函数()f x 的定义域为()()0,11,+∞∪.因为()ln x f x ax b x =-+，所以()2ln 1ln x f x a x-'=-. 所以函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为e e y a b --+e ax =--，即e y ax b =-++. 已知函数()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为2e y ax =-+，比较求得e b =. 所以实数b 的值为e .（Ⅱ）由()1e 4f x ≤+，即e ln x ax x -+1e 4≤+.所以问题转化为11ln 4a x x≥-在2e,e ⎡⎤⎣⎦上有解. 令()11ln 4h x x x=-2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦，则()22114ln h x x x x '=-=222ln 44ln x x x x -=(22ln ln 4ln x x x x +-. 令()ln p x x =-所以当2e,e x ⎡⎤∈⎣⎦时，有()1p x x '=10x =<. 所以函数()p x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()e p x p<ln e 0=-<.所以()0h x '<，即()h x 在区间2e,e ⎡⎤⎣⎦上单调递减.所以()()2e =h x h ≥2211ln e 4e -21124e=-. 所以实数a 的取值范围为211,24e ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. 22．解：（Ⅰ）曲线C 的普通方程为221124x y +=. 将直线20x y --=代入221124x y +=中消去y 得，230x x -=. 解得0x =或3x =.所以点()0,2A -，()3,1B ，所以AB ==（Ⅱ）在曲线C 上求一点P ，使PAB 的面积最大，则点P 到直线l 的距离最大. 设过点P 且与直线l 平行的直线方程y x b =+. 将y x b =+代入221124x y +=整理得，()2246340x bx b ++-=. 令()()2264434b b ∆=-⨯⨯-0=，解得4b =±. 将4b =±代入方程()2246340x bx b ++-=，解得3x =±. 易知当点P 的坐标为()3,1-时，PAB 的面积最大.且点()3,1P -到直线l的距离为d ==. PAB 的最大面积为192S AB d =⨯⨯=. 23．解：（Ⅰ）证明：因为1a b c ++=，所以()()()222111a b c +++++222a b c =++()23a b c ++++2225a b c =+++. 所以要证明()()2211a b ++++()21613c +≥，即证明22213a b c ++≥. 因为222a b c ++=()2a b c ++()2ab bc ca -++ ()2a b c ≥++-()2222a b c ++，所以()2223a b c ++()2a b c ≥++. 因为1a b c ++=，所以22213a b c ++≥. 所以()()2211a b ++++()21613c +≥. （Ⅱ）设()f x =21x a x -+-，则“对任意实数x ，不等式212x a x -+-≥恒成立”等价于“()min 2f x ≥⎡⎤⎣⎦”. 当12a <时，()f x =31,,11,,2131,.2x a x a x a a x x a x ⎧-++<⎪⎪⎪-+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩ 此时()min 12f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a =-，要使212x a x -+-≥恒成立，必须122a -≥，解得32a ≤-. 当12a =时，1223x -≥不可能恒成立.当12a>时，()f x=131,,211,,231,.x a xx a x ax a x a⎧-++<⎪⎪⎪+-≤≤⎨⎪⎪-->⎪⎩此时()min 1 2f x f ⎛⎫=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭12a=-，要使212x a x-+-≥恒成立，必须122a-≥，解得52a≥.综上可知，实数a的取范为3,2⎛⎤-∞-⎥⎝⎦5,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭∪.。