6.4多边形的内角和与外角和1
北师大版数学八年级下册6.4《多边形的内角和与外角和》说课稿
北师大版数学八年级下册6.4《多边形的内角和与外角和》说课稿一. 教材分析北师大版数学八年级下册6.4《多边形的内角和与外角和》这一节主要讲述了多边形的内角和与外角和的概念及其计算方法。
多边形的内角和是指多边形所有内角的度数之和，而外角和则是指多边形所有外角的度数之和。
这部分内容是初中数学的重要知识点，对于学生来说，掌握这部分内容对于理解和掌握整个初中数学知识体系具有重要意义。
二. 学情分析在教学之前，我们需要对学生的学习情况进行分析。
学生们在学习了多边形的概念、四边形的性质等基础知识后，对于多边形的内角和与外角和的学习已具备了一定的基础。
然而，由于多边形的内角和与外角和的概念较为抽象，部分学生可能对其理解和运用存在一定的困难。
因此，在教学过程中，我们需要关注学生的学习情况，针对性地进行教学，帮助学生理解和掌握这部分内容。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握多边形的内角和与外角和的概念及其计算方法，能够运用所学知识解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过观察、操作、推理等过程，培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生在解决实际问题的过程中感受到数学的价值。
四. 说教学重难点1.教学重点：多边形的内角和与外角和的概念及其计算方法。
2.教学难点：多边形内角和与外角和计算方法的推导过程，以及如何运用所学知识解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动、合作探究的教学方法，引导学生通过观察、操作、推理等过程主动学习，提高学生的学习兴趣和参与度。
2.教学手段：利用多媒体课件、实物模型等教学辅助手段，帮助学生直观地理解多边形的内角和与外角和的概念及其计算方法。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示一些多边形的图片，引导学生观察多边形的特征，从而引出多边形的内角和与外角和的概念。
2.自主学习：让学生通过阅读教材，了解多边形的内角和与外角和的概念及其计算方法。
北师大版八年级下册《多边形的内角和与外角和》
2、（1）一个十边形的每一个内角都相等，那么这
个十边形的每一外角等于( C )
A、144°
B、 72 °
C、 36°
D 、18°
（2）一个多边形每一个外角都等于45°，则这个多
边形的内角和等于( C )
A、 720°
B、 675°
C、 1080°
D、945°
课堂跟踪训练
1.八边形的内角和是__1_0_8_0____度.
在四边形的内角中，最多能有几个钝角？ 最多能有几个锐角？
因四边形的内角和是360度，而一个钝角的度数大于90 度，所以360除以一个钝角度数的商小于4，所以最多能有3 个钝角。又，一个锐角的度数小于90度，如果四个内角均 是锐角，则其内角和小于360，显然是不可能的（因四边形 的内角和是360度），所以至少应有一个钝角，所以在四边 形的四个内角中，最多能有3个锐角。
B C
A D
巩固练习一：
1、七边形内角和为（ 900°） 2、十边形内角和为（1440°） 3、十七边形内角和为（2700°） 4、二十边形内角和为（3240°） 5、八边形内角和为（ 1080°）
例：已知一个多边形的内角和 是1440O，求这个多边形的边数。
解：设这个多边形为n边形。 （n-2）×180° =1440° n-2=1440°÷180° n-2=8 n=10
随堂演练
1、（1）每个内角都为144°的多边形为( 十 )边形。 （2）每个内角都为140°的多边形为( 九 )边形。 （3）每个外角都为30°的多边形为(十二)边形。 （4）每个外角都为36°的多边形为( 十 )边形。 （5）正八边形的内角为( 135°)，外角为( 45°)。 （6）正十二边形的内角为( 150°)，外角为( 30°)。
八年级数学下册 第6章 平行四边形 6.4 多边形的内角和与外角和课件
∴ ∠B＋∠D= 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180°.
如果一个(yī ɡè)四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补.
第九页，共三十五页。
【变式题】如图，在四边形ABCD中，∠A与∠C互补， BE平分(píngfēn)∠ABC，DF平分∠ADC，若BE∥DF，求证： △DCF为直角三角形．
2
2
第十六页，共三十五页。
二 多边形的外角和
小刚每跑完一圈，身体转过的角度(jiǎodù)之和是多少？
第十七页，共三十Байду номын сангаас页。
概念学习
多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角
叫做(jiàozuò)这个多边形的外角. 如图，∠A的外角是∠1.
多边形所有外角的和叫做 B
(jiàozuò)这个多边形的外角和.
2
1A 5
E
C3
4 D
第十八页，共三十五页。
如图，在五边形的每个顶点(dǐngdiǎn)处 各取一个外角．
1A
B
5
2 C3
E 4
D
问题1：任意一个外角和它相邻的内角有什么关系？
互补(hù bǔ) 问题2：五个外角加上它们分别(fēnbié)相邻的五个内角和是多少？
5×180°=900°
第十九页，共三十五页。
个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？
每个内角(nèi jiǎo)的度 (n 2)180 ,
数是
n
每个外角(wài jiǎo)的度数3 6 0 .
是
n
练一练：(1)若一个正多边形的内角是120 °,那么这是正
____六边形.
(2)已知多边形的每个外角都是45°,则这个多边形是
多边形的内角和与外角和
例：一个正多边形的一个内角为150°，它是几 边形?
解法一：依题意可得 （n-2）·180°=n·150
解得n=12 答：它是十二边形。
解法二：依题意可得 它的每一个外角 180°-150°=30°
n=360°÷30°=12
课后作业
1.(1)如图，小陈从点O出发，前进5m后向右转20°，再前进
5m后又向右转20°，…，这样一直走下去，他第一次回到出
0
5．【分类讨论思想】(2018·聊城)如果一个正 方形被截掉一个角后，得到一个多边形，那么
这个多边形的内角和是 180°或360°．或540°
6．（自贡·中考）一个多边形截取一个角后， 形成的另一个多边形的内角和是1620°，则原 来多边形的边数是（ D ）. A．10 B．11 C．12 D．以上都有可能
边形的边数是___2__4___
2.若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的
度数为__3_6_____度，每个内角的度数为__1_4__4___度.
3.若一个多边形的内角和等于它的外角和，
则它的边数是_____4__．
4.多边形的边数增加1，则内角和增加
_1_8__0_度．外角和增加_____度
第六章 平行四边形
6.4 多边形的内角和与外角和
1．能说出多边形的有关概念及多边形内角和定理. 2．能说出正多边形的定义. 3．能熟练运用多边形的内角和定理解决问题. 4．能说出并会熟练运用多边形的外角和定理解决问题.
知识回顾 问题1：你还记得三角形内角和是多少度吗？ （三角形内角和 180°）
4
计算规律 1 ×180° 2 ×180° 3 ×180° 4 ×180°
…
… … … … …
北师大版八年级数学下册教案 6-4 多边形的内角和与外角和
6.4多边形的内角和与外角和教学目标【知识与技能】1.理解并能够说出多边形的内角和定理,且能够应用它证明或解决相关问题;2.理解并能够说出多边形的外角及外角和定理,且能够综合应用多边形的内角和定理、外角和定理证明或解决有关问题.【过程与方法】经历多边形的内角和定理、外角和定理的探究过程,体会把未知转化为已知进行探究的数学思想,提高自己的探究能力.【情感、态度与价值观】体验猜想得到证实的喜悦感和成就感,在解题中感受生活中数学的存在,体验数学的探索性和创造性.教学重难点【教学重点】多边形内角和定理、外角和定理的探索和应用.【教学难点】灵活运用多边形的内角和定理和外角和定理解决简单的实际问题,利用转化思想解决问题.教学过程一、问题导入三角形的内角和是多少?外角和是多少?三角形是边数最少的多边形,那么n边形的内角和、外角和分别是多少呢?二、合作探究探究点1多边形的内角和典例1已知正n边形的每一个内角都等于144°,则n为()A.9B.10C.12D.15[解析]∵正n边形的每一个内角都等于144°,∴根据题意得144n=(n-2)×180,解得n=10.[答案]Bn边形的内角和为(n-2)×180°,因为正多边形的每一个内角都相等,所以正n边形的每一个内角为(n−2)×180°.这类问题常常利用方程思想,利用多边形的内角和公式列方程求角的度数.n探究点2多边形的外角及多边形的外角和典例2一个多边形的每一个内角都相等,并且每个外角都等于和它相邻的内角的一半.求这个多边形的边数.[解析]设内角为x,则外角为1x.2x=180°,解得x=120°,由题意得x+12x=60°,∴12=6.∴这个多边形的边数为36060【技巧点拨】多边形的外角和等于360°,因为多边形的外角是一个“固定值”,不随边数的变化而变化,因此在求边数的时候,利用多边形的外角和比利用多边形的内角和要简便一些.三、板书设计多边形的内角和与外角和多边形的内角和与多边形的内角和为(n−2)×180°外角和{多边形的外角和为360°教学反思本节课突出对多边形的内角和与外角和定理的探究与推导过程,探究过程既有类比的方法,又有承接多边形内角和的新方法;既是新知识的学习过程,又是旧知识的拓展过程.。
多边形的内角和与外角和(1)
多边形的内角和与外角和（1）1.本节知识点：（1）在平面内，由若干不在同一直线上的线段首尾顺次连接组成的封闭图形叫做多边形.多边形 实线为该多边形的对角线（2）对角线：在多边形中，连接不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.（3）内角：多边形的一边与相邻的另一边所组成的角叫做这个多边形的内角.（4）外角：多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.（5）三角形：三角形的内角和是0180，三角形的一个外角对于它不相邻的两个内角的和.（6）多边形的内角和：()02180n -⨯，这里n 是多边形的边数.（7）其他概念：对顶角相等.2.如图，∠A＝25°，∠B＝65°，∠D＝30°，求∠1的度数.3.如图，∠A＝70°，∠B＝35°，∠E＝25°，求∠1、∠2、∠3的度数.4.如图，问：∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝？5.如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，求∠5.6.如图，∠A＝55º，∠C＝45º，∠B＝20º，则 BPC＝7.如图，∠A＝35º，∠B＝∠C＝90º，则∠D＝8.如图，∠A＝80º，∠1＝∠2＝30º，那么∠BDC＝9.一根直尺EF压在三角板30º的角∠BAC上，与两边AC、AB交于M、N，则∠l+∠2＝10.如图，∠A＝65º，∠B＝75º，将纸片的一角折叠，使点C落在△ABC内，若∠l＝20º，则∠2＝11.如图，∠A＝62º，∠l＝∠2，∠3＝∠4，求∠D的度数.12.如图，∠A＋∠B和∠C＋∠D相等吗？为什么？13.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝14.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝15.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝16.如图，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＋∠G＋∠H＋∠I＝。
初中数学八下习题与解析6-4 多边形的内角和与外角和
6.4 多边形的内角和与外角和一、选择题1．如果一个多边形的每一个内角都是108°，那么这个多边形是 ( )A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形2．已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是 ( )A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形3．如果一个多边形的边数增加1倍，它的内角和是2160°，那么原来的多边形的边数是( )A．5 B．6 C．7 D．84．一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是________边形（）A．8 B．7 C．6 D．55．一个多边形的外角和是内角和的一半，则它的边数为（）A．7 B．6 C．5 D．46．一个多边形的内角和与外角和共为540°，则它的边数为（）A．5 B．4 C．3 D．不确定7．若等角n边形的一个外角不大于40°，则n的值为（）A．n＝8 B．n＝9 C．n＞9 D．n≥98．中华人民共和国国旗上的五角星，它的五个锐角的度数和是（）A．50°B．100° C．180° D．200°9．用三块正多边形的木板铺地，拼在一起并相交于一点的各边完全吻合，其中两块木板的边数都是8，则第三块木板的边数应是（）A． 4 B．5 C．6 D．810．如果只用正三角形作平面镶嵌（要求镶嵌的正三角形的边与另一正三角形有边重合），则在它的每一个顶点周围的正三角形的个数为（）A． 3 B． 4 C． 5 D． 6二、填空题11．在四边形ABCD中，∠A＝∠D，∠A∶∠B∶∠C＝3∶2∶1，则∠A＝．12．一个多边形的内角和与外角和的比是4：1，它的边数是，顶点的个数是，对角线的条数是．13．若四边形ABCD的相对的两个内角互补，且满足∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A＝________°，∠B＝________°，∠C＝________°，∠D＝________°．14．若一个n边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为3∶1，那么，这个多边形的边数为________．15．若一个十边形的每个外角都相等，则它的每个外角的度数为________°，每个内角的度数为________°．16．如果一个多边形的每个内角都等于108°，那么这个多边形是_____边形．17.一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的每一个内角等于____ ___°．18．若一个多边形的各边都相等，它的周长是63，且它的内角和为900°，则它的边长是_____．19．多边形的内角中，最多有________个直角．20．已知一个多边形的内角和与外角和共2160°，则这个多边形的边数是21．用正三角形和正方形能够铺满地面，每个顶点周围有_____个正三角形和_____个正方形三、解答题22．如图4－124所示，求∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数．23．一个凸多边形的内角的度数从小到大排列起来，恰好依次增加相同的度数，其中最小角是100°，最大角是140°，求这个多边形的边数．24．已知多边形内角和与外角和的和为2160°，求多边形对角线的条数．25．在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，∠B与∠D的度数比是3：2，求∠B，∠D的度数．26．已知和多边形一个内角相邻的外角与其余各内角度数总和为600°，求该多边形的边数．27．过n边形的一个顶点有7条对角线，m边形有m条对角线，p边形没有对角线，q边形的内角和与外角和相等，求q(n－m)p的值．28．如图4－125所示，已知六边形ABCDEF中，∠A＝∠B=∠C＝∠D＝∠E ＝∠F＝120°．试说明AB＋BC=EF＋ED．29．某科技小组制作了一个机器人，它能根据指令要求进行行进和旋转，某一指令规定：机器人先向前方行走2 m，然后左转60°，若机器人反复执行这一指令，则从出发到第一次回到原处，机器人共走了多少米?30．我们知道过n边形的一个顶点可以做（n－3）条对角线，这（n－3）条对角线把三角形分割成（n－2）个三角形，想一想这是为什么？如图1．图1如图2，在n边形的边上任意取一点，连结这点与各顶点的线段可以把n边形分成几个三角形？图2想一想，利用这两个图形，怎样证明多边形的内角和定理．参考答案1．B2．B3．C4．B 5．B 6．C 7．D 8．C 9．A 10．D11．120°12．10 10 35 13．60，90，120，90 14．八 15．36，144 16．五 16．120 17．9 18．四 19．12 20．3，221．提示：延长BC交EF于M，所以∠A＋∠B＋∠BMF＋∠F＝360°，又因为∠DCB＋∠D＋∠E=∠B MF，所以∠A＋∠B＋∠DCB＋∠D＋∠E＋∠F＝360°．22．解：设这个多边形的边数为n，由题意知(100+140)2n︒︒＝(n－2)·180°，解得n=6．答：这个多边形的边数是6．23．解：设这个多边形的边数为n，由题意，得(n－2)·180°＋360°＝2160°，解得n＝12．∴多边形对角线的条数为12n(n－3)＝12×12×(12－3)=54．即这个多边形对角线的条数为54．24．解：∵∠A＋∠C＝90°＋90°＝180°，∴∠B＋∠D＝360°－(∠A＋∠C)＝360°－180°＝180°．设∠B＝(3x)°，则∠D＝(2x)°，∴(3x)°＋(2x)°＝180°，解得x＝36，∴3x＝108，2x＝72．即∠B＝108°，∠D＝72°．25．解：设边数为n，这个内角为α，依题意有(n－2)·180°－α＋180°－α＝600°，∴α＝90°n－390°，又∵0°＜α＜180°，°0°＜90°n－390°＜180°，∴4 13＜n＜613，∵n为正整数，∴n＝5或n＝6．答：边数为5或6．26．解：由已知可得37(3)2(3)2(2)180360nm mmp pq-=⎧⎪-⎪=⎪⎨-⎪=⎪⎪-︒=︒⎩，，，，所以n＝10，m＝5，p＝3，q＝4，所以q(n－m)p=4×(10－5)3＝500．27．解：如图4－126所示，向两方分别延长AB，CD，EF，得△PQ R．∵∠PAF＝180°－∠BAF＝180°－120°＝60°，同理∠AFP＝60°，∴∠P＝60°，∴△PAF为等边三角形．同理△BCQ，△DE R均为等边三角形．∴△PQ R也为等边三角形，∴PQ＝P R，AP＝PF，BC＝BQ，DE＝R E，∴PQ－PA＝RP－PF ，即AQ ＝FR，∴AB＋BQ＝FE＋RE，∴AB＋BC＝EF＋ED．29．解：如图4－127所示，由题意可知机器人从出发到第一次回到原处的行走路线是一个正多边形，设边数为n，则60°·n＝360°，解得n＝6．又2×6＝12(m)，∴机器人共走了12 m.30．略。
北师大版八年级下册数学《6.4 多边形的内角和与外角和》教案
北师大版八年级下册数学《6.4 多边形的内角和与外角和》教案一. 教材分析《6.4 多边形的内角和与外角和》这一节主要让学生理解多边形的内角和、外角和的概念，掌握多边形内角和与外角和的计算方法。
教材通过生活实例引入多边形的内角和、外角和的概念，让学生在具体的情境中感受数学与生活的联系，激发学生的学习兴趣。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了多边形的基本概念，对图形的认知有一定的基础。
但是，学生对多边形的内角和、外角和的概念可能还比较模糊，需要通过实例和活动加深理解。
此外，学生可能对多边形内角和与外角和的计算方法感到困惑，需要通过引导和练习掌握。
三. 教学目标1.知识与技能：理解多边形的内角和、外角和的概念，掌握多边形内角和与外角和的计算方法。
2.过程与方法：通过生活实例和数学活动，培养学生的观察能力、思考能力和解决问题的能力。
3.情感态度价值观：感受数学与生活的联系，增强学生对数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：多边形的内角和、外角和的概念及计算方法。
2.难点：多边形内角和与外角和的计算方法的灵活运用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入多边形的内角和、外角和的概念，让学生在具体的情境中感受数学与生活的联系。
2.活动教学法：学生进行数学活动，引导学生动手操作、观察发现，培养学生的观察能力和思考能力。
3.引导发现法：教师引导学生发现问题、解决问题，培养学生的解决问题的能力。
六. 教学准备1.教具：多媒体课件、黑板、粉笔。
2.学具：学生每人一份多边形的内角和、外角和的计算练习题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些生活中的多边形图片，如自行车轮胎、篮球场等，引导学生观察多边形的特征。
然后提出问题：“你们认为多边形有哪些特征？”，让学生思考并回答。
2.呈现（10分钟）教师通过多媒体呈现多边形的内角和、外角和的概念，并用具体例子解释。
例如，一个四边形的内角和为360度，外角和为360度。
初中数学_多边形的内角和与外角和(1)教学设计学情分析教材分析课后反思
八下 6.4多边形的内角和与外角和（1）一．备课标：（一）内容标准：（1）了解多边形的定义，多边形的顶点、边、内角、对角线等概念。
探索并掌握多边形内角和公式。
（2）通过探索多边形内角和的公式，平等活动，积累探索规律的的活动经验，体验解决问题方法的多样性。
（二）核心概念：初步学会在具体情境中从数学的角度发现和提出问题，发展灵活运用数学知识解决实际问题能力，让学生体会归纳、类比、转化、分类讨论以及从特殊到一般的数学思想。
十大核心概念在本节课中突出培养的是几何直观、推理能力和应用意识，同时发展数形结合意识。
二. 备重点、难点：（一）教材分析：本节课是《义务教育课程标准实验教科书》北师大新版八年级上册第六章第4节《探索多边形内角和与外角和》的第一课时．本节内容是七年级上册多边形相关知识的延展和升华，在探索学习过程中又与三角形相联系，从三角形的内角和到多边形的内角和环环相扣，前面的知识为后边的知识做了铺垫，同时本节内容与下一课时的多边形外角和又是一脉相承的。
本节知识是今后学习空间几何的基础，联系性比较强。
编写意图上，编者强调学生在具体情境中从数学的角度发现和提出问题，经历探索、猜想、归纳等过程。
发展灵活运用数学知识解决实际问题能力，让学生体会归纳、类比、转化、分类讨论以及从特殊到一般的数学思想。
回归多边形的几何特征，而不是硬背公式，发展了学生的合情推理能力．学好多边形内角和的内容，为学生认识探索客观世界中不同形状物体存在的一般规律打下基础，对发展学生的空间观念和几何直觉有很大的帮助。
（二）重点、难点分析：重点：探索多边形的内角和公式，并能应用它解决问题。
难点：掌握多边形内角和公式的推导方法及化归等方法的渗透。
三．备学情：（一）学习条件和起点能力分析：1.学习条件分析：（1）必要条件：学生已学过三角形的内角和定理，以及三角形的边、顶点、内角等概念，并且已初步了解四边形可分成两个三角形来求内角和，这为本节课的学习打下了基础。
多边形的内角和与外角和
课题：6.4.1多边形的内角和与外角和课型：新授课年级：八年级教学目标：1.经历探索多边形内角和公式的过程，发展合情推理能力.2.掌握多边形内角和公式，运用多边形的内角和公式解决简单的几何问题,发展应用意识..3. 通过多边形内角和定理的探索过程，体会类比、转化和从特殊到一般的思想方法. 教学重点与难点：重点：探索多边形内角和公式.难点：多边形内角和公式的应用.课前准备：多媒体课件．教学过程:一、复习回顾，导入新课活动内容：回顾三角形相关知识，梳理知识顺序，确立研究对象和研究思路。
处理方式：以问题串的形式让学生回忆三角形的研究思路，引导学生对多边形的性质内容提出问题，进而解决问题.设计意图：激发学生提出问题，为接下来的自主学习、探究做作铺垫．二、探究学习，感悟新知活动内容1：探索四边形内角和（多媒体出示）处理方式：让学生回顾三角形内角和的探究方法，几何画板演示“拼凑法”，总结“实验---猜想---证明”的一般研究思路，类比猜想四边形的内角和，并用几何语言证明。
设计意图：让学生进一步认识转化的方法，为下一步的多边形内角和的探讨作何准备.活动内容2：探索五边形内角和（多媒体出示）处理方式：学生们通过小组合作，互相交流，分享方法，并展示小组成果，利用Geogebra 软件动态演示，便于学生直观理解。
设计意图：学生可以类比四边形的内角和的证明方法，合作探究五边形的内角和，并说明自己采用的方法和依据，提高学生应用的熟练程度.主要还是为下一步的探索做好伏笔.活动内容3：探索n边形内角和（多媒体出示）提出问题： n边形的内角和又是多少呢？你会计算吗?下面请同学们完成学习任务单。
处理方式：1.学生自主完成，教师巡视学生的探索情况，必要时给予引导点拨.学生完探索三：成后小组派代表展示自己的探索成果，同时渗透从“特殊到一般”的数学思想.得到定理：n 边形内角和等于(n-2)·180 °.（n是大于等于3的正整数）2.教师带领学生总结探究多边形内角和的方法。
6.4探索多边形的内角和与外角和(1)
2个 三角形
时20分28秒
3个 三角形
4个 三角形
(n–2)个 三角形
6
你能归纳出 2014年5月16日星期五6 n边形的内角和公式吗？
新知归纳
“n边形”的内角和公式 ： n边形的内角和等于(n–2)×180°。
2014年5月16日星期五6 时20分28秒
7
Hale Waihona Puke 巩固练习1、如图： (1) 作多边形所有过顶点A的对角线，并分别用字 母表示出来； (2) 求这个多边形的内角和。
不一定 ⅲ、一个多边形的内角都相等，它的边一定都相 等吗？ 不一定
2014年5月16日星期五6 时20分28秒
13
合作交流
ⅳ、正三角形、正四边形(正方形)、正五边形、 正六边形、正八边形的内角分别是多少度？
180 3
360 4
540 5
720 6
1080 8
你知道正n边形的内角怎样计算吗？
6.4 探索多边形 的内角和与外角和(1)
2014年5月16日星期五6 时20分28秒
1
复习旧知
1、什么叫做三角形？ 在平面内，由不在同一直线上的三条线段首 尾顺次相连组成的封闭图形叫做三角形。 A 顶点 2、指出三角形的顶点、 边、角： 边 3、三角形的内角和 是多少度？ B 角 C
三角形的内角和等于180°
2014年5月16日星期五6 时20分28秒
8
范例讲解 例1、一个多边形的内角和等于1080°，求这个 多边形的边数。
2014年5月16日星期五6 时20分28秒
9
巩固练习
2、过某个多边形一个顶点的所有对角线，将 这个多边形分成5个三角形，这个多边形是几 边形？它的内角和是多少？
6.4多边形的内角和与外角和(1)
那么对于正多边形来说,又遇到怎样的问题呢?
因为正多边形的每个角相等,所以知道 正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数.
一个n边形 有n个内角
(n 2) 180 n
例3.正五边形的每一个内角等于
解: （n－2）×180°/ n = （5－2）×180°/5 =540°/5 =108°
请问：六边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ 3
……
请问：N边形从一个顶点出发，能引出几条对角线？ N-3
五边形ABCDE共有几条对角线呢？
五边形ABCDE共有5条对角线。
请大家思考：六边形ABCDEF共有几条对角线呢？
有没有什么 规律呢？
六边形ABCDEF共有9条对角线。
从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可 以引(n－3)条，那么n个顶点就有n(n－3)条，但其中 n(n－3) 每一条都重复计算一次，所以n边形一共有 2
方法1：如图1，连结AD、AC，五边形的内角和为： 3×180°=540°。 方法2：如图2，连结AC，则五边形内角和 为： 360°+180°=540°。 方法3：如图3，在AB上任取点F，连FC、FD、FE， 则五边形的内角和为：4×180-180°=540°。
方法4：如图4，在五边形内任取一点O，连结OA、 小结：纵观以上各种证明思 OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为： 路，其共同点是: 5×180°-360°=540 °。 通过图形分割，把五边形问 方法5：如图5，在AB上任取一点 F，连结FD， 题转化为熟悉的三角形、四 则五边形的内角和为： 边形问题来解决。 2×360°-180°=540°。 方法6：如图6，在五边形外任取一点O，连结 OA、OB、OC、OD、OE，则五边形内角和为： 4×180°-180°=540°。
6.4多边形的内角和与外角和(教案)
在实践活动中，学生们的参与度很高，他们通过折叠纸片和测量角度来直观感受内角和与外角和的关系。这种动手操作的学习方式不仅增加了课堂的趣味性，也让学生们对几何图形有了更深刻的认识。
-能够运用数学知识，解释和预测多边形现象
三、教学难点与重点
1.教学重点
-掌握多边形的内角和定理：即任意n边形的内角和为（n-2）×180°。这是本节课的核心内容，教师需通过直观演示、学生动手操作等方式，让学生深刻理解并记忆该定理。
-举例：解释三角形的内角和为180°，四边形的内角和为360°，以此类推到n边形。
2.培养学生的逻辑推理能力，通过严密的数学证明，理解多边形内角和与外角和的本质联系，提升数学论证能力。
-能够运用逻辑推理，证明多边形内角和与外角和的相关性质
-能够运用数学语言，准确表达证明过程和结果
3.培养学生的数学建模素养，通过构建数学模型，解决实际情境中的多边形问题，增强数学应用意识。
-能够建立数学模型，解决生活中的多边形相关问题
我反思到，对于难点的处理，可能需要更多的个别辅导。有些学生在理解内角和的推导过程中遇到了障碍，我计划在下一节课中提供更多的机会，让学生单独或小组内提出疑问，以便我能够针对性地解答。
此外，我还注意到，在总结回顾环节，有些学生似乎还不能完全自信地回答关于内角和与外角和的问题。我打算在下一节课的开始阶段，通过快速问答的形式，来巩固学生对这些概念的理解。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
资源拓展 6.4 多边形的内角和与外角和
4 多边形的内角和与外角和基础闯关全练拓展训练1.多边形边数每增加一条,它的内角和会增加,外角和增加.答案180°;0°解析多边形内角和为(n-2)·180°,当n≥3时,每增加一条边,内角和增加180°,外角和不随边数增加而变化,都是360°.2.一个多边形的内角和是外角和的3倍,则这个多边形的边数是.2答案 5解析设这个多边形的边数为n,由题意得(n-2)·180°=3×360°,解得n=5,故填5.23.如果两个多边形的边数之比为1∶2,这两个多边形的所有内角之和为1 440°,请你确定这两个多边形的边数.解析设两个多边形边数分别为x 和2x,根据题意,得(x-2)·180+(2x-2)·180=1 440,解得x=4,∴2x=8,∴这两个多边形的边数分别为 4 和 8.能力提升全练拓展训练1.如图,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H的度数为( )A.90°B.180°C.270°D.360°答案 D 如图,∵∠1=∠A+∠B,∠2=∠C+∠D,∠3=∠E+∠F,∠4=∠G+∠H,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G +∠H=∠1+∠2+∠3+∠4,又∵∠1+∠2+∠3+∠4=360°,∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°.2.如图,正五边形FGHIJ 的顶点在正五边形ABCDE 的边上,若∠1=20°,则∠2=.答案52°解析∵正五边形的每一个内角为540°÷5=108°,∴∠AFG=180°-∠1-∠GFJ=180°-20°-108°=52°,∴∠AGF=180°-∠A-∠AFG=180°-108°-52°=20°,∴∠2=180°-∠AGF-∠FGH=180°-20°-108°=52°.3.如图所示,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的度数.解析连接BE,设DE 与BC 的交点为M,如图.在△CDM 与△BEM 中,∠CMD=∠BME,∴∠C+∠D=∠MBE+∠MEB,∴∠A+∠ABC+∠C+∠D+∠DEF+∠F+∠G=∠A+∠ABC+∠MBE+∠MEB+∠DEF+∠F+∠G=∠A+∠ABE+∠BEF+∠F+∠G=(5-2)×180°=540°.三年模拟全练拓展训练1.一个正多边形,它的一个外角与一个内角的比是1∶4,则这个多边形的内角和是( )A.720°B.900°C.1 080°D.1 440°答案 D 设该正多边形每个外角为x°,则每个内角为4x°,则x+4x=180,解得x=36.∵360=10,∴这个多边形是一个正十边形,∴该正多边形内角和为4×36°×10=361 440°.故选 D.2.已知一个多边形的最小的外角是60°,其余外角依次增加20°,则这个多边形的边数为()A.6B.5C.4D.3答案 C ∵多边形的外角和等于360°,多边形的最小的外角是60°,∴这个多边形的边数<360=6,60当边数为 3 时,60°+80°+100°<360°,不合题意;当边数为 4 时,60°+80°+100°+120°=360°,符合题意;当边数为 5 时,60°+80°+100°+120°+140°>360°,不合题意.故选 C.3.(2018 浙江温州乐清期末,4,★★☆)在四边形 ABCD 中,∠A,∠B,∠C,∠D 的度数之比为1∶2∶3∶3,则∠B的度数为( ) A.30°B.40°C.80°D.120°答案 C ∠B= 2 ×360°=80°,故选C.1+2+3+34.从某个多边形的一个顶点出发的所有对角线将这个多边形分成5 个三角形,则这个多边形的内角和是°.答案900解析设这个多边形的边数为n,由题意得n-2=5,故这个多边形的内角和为(n-2)·180°=5×180°=900°.五年中考全练拓展训练1.如图,在五边形ABCDE 中,∠A+∠B+∠E=300°,DP、CP 分别平分∠EDC、∠BCD,则∠P=()A.50°B.55°C.60°D.65°答案 C ∵在五边形ABCDE 中,∠A+∠B+∠E=300°,∴∠EDC+∠BCD=(5-2)×180°-300°=240°,又∵DP、CP 分别平分∠EDC、∠BCD,∴∠PDC+∠PCD=120°,∴在△CDP 中,∠P=180°-(∠PDC+∠PCD)=180°-120°=60°.故选 C.2.(2018 山西中考,12,★☆☆)图①是我国古代建筑中的一种窗格,其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消溶,形状无一定规则,代表一种自然和谐美.图②是从图①冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的图形,则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=.图①图②答案360°解析由多边形的外角和等于360°,可知∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=360°.3.如图,在正五边形ABCDE 中,AC 与BE 相交于点F,则∠AFE的度数为 .答案72°解析∵五边形ABCDE 为正五边形,∴AB=BC=AE,各内角均为(5-2)×180°=108°,5∴∠BAC=180°-108°=36°,2同理,∠ABE=36°,∴∠AFE=∠BAC+∠ABE=72°.4.如图,五边形ABCDE是正五边形,若l1∥l2,则∠1-∠2=°.答案72解析如图,过B点作BF∥l1,交DE于点F.∵五边形 ABCDE 是正五边形,∴∠ABC=108°.∵BF∥l1,l1∥l2,∴BF∥l2,∠4=∠2,∴∠3=180°-∠1,∴∠3+∠4=180°-∠1+∠2=∠ABC=108°,∴∠1-∠2=72°.故答案为 72.5.平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起,如图,则∠3+∠1-∠2=°.答案24解析正三角形、正方形、正五边形、正六边形的每个内角的度数分别为60°、90°、108°、120°,由题图可知∠3=90°-60°=30°,∠1=120°-108°=12°,∠2=108°-90°=18°,所以∠3+∠1-∠2=30°+12°-18°=24°.核心素养全练拓展训练(1)如图①,已知△ABC为直角三角形,∠A=90°,若沿图中虚线剪去∠A,则∠1+∠2等于( )A.90°B.135°C.270°D.315°(2)如图②,已知△ABC中,∠A=40°,剪去∠A后成四边形,则∠1+∠2=;(3)如图②,根据(1)与(2)的求解过程,请你归纳猜想∠1+∠2与∠A的关系是.(4)若没有剪掉∠A,而是把它折成如图③所示的形状,试探究∠1+∠2与∠A 的关系,并说明理由.解析(1)∵四边形的内角和为360°,直角三角形中两个锐角的和为90°,∴∠1+∠2=360°-(∠C+∠B)=360°-90°=270°, 故选 C.(2)∠1+∠2=360°-(∠C+∠B)=360°-140°=220°,故答案是220°.(3)∠1+∠2=180°+∠A.(4)∵△EFP 是由△EFA 折叠得到的,∴∠AFE=∠PFE,∠AEF=∠PEF,∴∠1=180°-2∠AFE,∠2=180°-2∠AEF,∴∠1+∠2=360°-2(∠AFE+∠AEF).又∵∠AFE+∠AEF=180°-∠A,∴∠1+∠2=360°-2(180°-∠A)=2∠A.。
多边形的内角和与外角和
(n 3) 条对角线，共有
n( n 3)条对 2
3、正n边形的每条边 4、三角形的内角和为
相等
，每个内角 。
相等
。
180°
你会算正方形、长方形的内角和吗？
360°
任意四边形的内角和是否都是这个度数呢？
我们也可以利用以下不同的方法分割多边形， 得到n边形的内角和公式
An
A 1
A2
A 3
A5
⌒
x
⌒
基础过关：
⌒
挑战自我：
1、如图，以五边形的每个顶点为圆心，以1 为半径画圆，求圆与五边形重合的面积．
2、如图，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E+ ∠F+ ∠G的值．
E A G D F B C
A B E
变式：
C
图3
D
3、多边形最多有几个直角？最多有几个锐角？为什么？
多边形内角 和与外角和
1
⌒
如图，五边形的外角有哪些？
B 2
5
⌒E
⌒
4
⌒
C
⌒
3
D
小组合作
动手操作：在你喜欢的彩色纸卡上画出一个多边形，并画 出它的一组外角并标记好，拿到课堂和组内同学分享，并选 出一人的纸卡在课堂上完成以下操作： 1）、将多边形的外角剪下 2）、将剪下角的顶点重合在一起，两角的的边重合到一 起相邻粘到一张白纸上 A 1 3）、将完成的作品送到黑板前展示 5
A 15° 15°
当堂检测:
1.求图形中的x值
⌒
100°
95°
80°
2．一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形的边数是（ ） A ．9 B ．8 C ．7 D ．6 3.若正多边形的一个外角是30°，则这是 边形。 4.一个多边形从一个顶点可引对角线4条，这个多边形内角和等于（ ） A:360° B:540° C:720° D:900° 5.正方形的桌面，砍下一个角后，问桌面还剩几个角？这几个角的和是 多少？
多边形的内角和与外角和
4．从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形．（）
5．四边形的四个内角至少有一个角不小于直角．（）
二）填空题．
1．一个多边形的每一个外角都等于30°，则这个多边形为边形．
2．一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形为边形．
X B 1
. c o
4.阅读p155页的内容，完成p156页的“想一想”
三、探究释疑：X
多边形：在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连所组成的封闭图形叫做多边形。
n变形的内角和=(n-2)×180°
正n边行的一个内角=【（n-2）×180°】/n
多边形的外角和等于360°
四、例题讲解：
三）选择题．
1．多边形的每个外角与它相邻内角的关系是（）
A．互为余角B．互为邻补角C．两个角相等D．外角大于内角
2．若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（）
A．九边形B．十边形C．十一边形D．十二边形
3．随着多边形的边数n的增加，它的外角和（）
A．增加B．减小C．不变D．不定
4．若多边形的外角和等于内角和，它的边数是（）
8．多边形的内角和为它的外角和的4倍，这个多边形是（）
A．八边形B．九边形C．十边形D，十一边形
四、解答题．
1．已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数．
六、能力提升：
1、下图是三个不完全相同的正多边形拼成的无缝隙、不重叠的图形的一部分，这种多边形是几边形？为什么？
2、两个多边形的边数之比为1：2，两个多边形的内角和之和为1440°，求这两个多边形的边数
1．如图6-24，四边形ABCD中，∠A+∠C=180°，∠B与∠D有怎样的关系？
多边形内角和与外角和(1)优质数学课件
一个顶
多边形
边 数
点出发 的对角
线条数
三角形 3
0
四边形 4
1
五边形 5
2
六边形 6
3
七边形 7
4
图形
分成三角 计算规律 形的个数
1
1 ×180°
2
2 ×180°
3
3 ×180°
C
A D
2、一个多边形的内角和为2700°，求它的边数
风采展示（四）
剪掉一张长方形纸片的一个角 后,纸片还剩几个角?这个多边形 的内角和是多少度?与同伴交流.
课堂小结
• 本节课，你学到了那些知识？
n边形的内角和公式为：（n-2) ·180°
• 你还学到了那些数学方法和思想？
1、把复杂问题尽量简单化的数学思想。 2、由特殊到一般的探究方法。 3、类比、转化的思想方法的运用。
D
x0 1500
1350
A (2) B
600 C
AB∥CD
风采展示（二）
①正三角形、正四边形（正方形）、正五边形的内 角分别是多少度？
②正n 边形的内角是多少度？
③一个正多边形的每个内角都是150°， 求它的边数 ？
风采展示（三）
1、已知四边形ABCD，∠A+∠C=180°，求 ∠B+∠D=？
B
4
4 ×180°
5
5 ×180°
…
… … … … …
n
n边形
n-3
n-2
(n－2) ·180°
结论总结：
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2、会用多边形内角和定理计算实际问题。
学习重难点：多边形内角和定理的证明
重点：多边形内角和定理
难点：多边形内角和定理的推导
学法指导：通过学生动手操作总结求出多边形内角和的公式
知识链接：（阅读课本153页）
1.三角形定义：__________________________________三角形的内角和为
2.多边形定义：___________________________________________
评价设计：通过活动一、二、三，完成教学目标。
学习过程
一、合作探究
提出问题：三角形的内角和为180°，那么多边形的内角和是多少度呢？
活动一：1、探索五边形内角和（要求：独立思考，自主完成．）
问题：（1）从顶点A 可以画几条对角线？
（2）这样五边形被分成了几个三角形？
（3）五边形的内角和是多少度？
2、小明、小亮分别利用下面的图形求出了该五边形的五个内角的和，你知道他们是怎么做的吗？
3、还有其他的方法吗？(学生讨论、画图、归纳自己的方法)
想一想：不同的方法求五边形的内角和，这些看似不同的方
法有没有相似之处？
把五边形的问题转化成 ，由三角形内角和为180°，求出五边形内角和为 活动二：探索n 边形内角和，请同学们完成课本126页的“想一想”。
小结 从n 边形的一个顶点出发，向自身和相邻的两个顶点无法引对角线，向其他顶点共引 条对角线，这时n 边形被分割成 个三角形，因为每个三角形的内角和是180°，n 边形的内角和= 。
（字母n 的取值范围大于等于3的自然数.）
n 边形共有 条对角线
二、课堂检测：
1.求八边形的内角和的度数
A B
2.已知一个多边形，它的内角和等于720°，求这个多边形的边数。
活动三：观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？
在平面内，叫正多边形
议一议：
（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？
（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？
（3）上面正多边形的内角各是多少度？
小结正n边形的一个内角=
三、巩固训练
1、n边形的内角和等于__________，九边形的内角和等于_______
2、一个多边形的内角和等于1440°，那么它是______边形。
3、正五边形的每一个内角的度数是_______。
4、从六边形的一个顶点出发可画_____条对角线，这些对角线把六边形分成_____个三角形。
5、若正n边形的一个内角是144°，那么n= .
四、知识网络构建
五、课堂检测：
1. 六边形的内角和等于________。
2. 过某个多边形一个顶点的所有对角线,将这个多边形分成5个三角形, 则这个多边形是边形.它的内角和是度.
3.已知一个多边形的内角和是2340°，则这个多边形的边数是
4.一个多边形共有27条对角线，则这个多边形是边形
5.在四边形ABCD中，∠A=120°，∠B：∠C：∠D = 3：4：5，求∠B，∠C，∠D的度数。
六、学教反思
八年级数学下册作业设计
课时：第六章第8课时
课题：多边形的内角和外角和1
作业要求：独立完成，书写规范
预计时间：20分钟
设计者：八年级数学教师
作业内容：
1、n边形的内角和等于__________，九边形的内角和等于_______
2、一个多边形的内角和等于1440°，那么它是______边形。
3、正五边形的每一个内角的度数是_______。
4、从六边形的一个顶点出发可画_____条对角线，这些对角线把六边形分成_____个三角形。
5、若正n边形的一个内角是144°，那么n= .
6、六边形的内角和等于________。
7、过某个多边形一个顶点的所有对角线,将这个多边形分成5个三角形, 则这个多边形是边形.它的内角和是度.
8、已知一个多边形的内角和是2340°，则这个多边形的边数是
9、一个多边形共有27条对角线，则这个多边形是边形
10、在四边形ABCD中，∠A=120°，∠B：∠C：∠D = 3：4：5，求∠B，∠C，∠D 的度数。