(完整版)两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)

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两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。

其中假命题是（）A。

①②B。

②③C。

③④D。

②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。

1+2B。

2-1C。

2D。

2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。

最大值为1，最小值为-1B。

最大值为1，最小值为-1/2C。

最大值为2，最小值为-2D。

最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。

1/2B。

2/2C。

-2D。

±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。

56/65B。

-56/65C。

6565/56D。

-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。

3/4B。

3/8C。

1/8D。

1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。

其中为相同函数的是（）A。

f(x)与g(x)B。

g(x)与h(x)C。

h(x)与f(x)D。

f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。

π/3B。

π/4C。

π/5D。

完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题

完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。

6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。

7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。

8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。

9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。

高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析

高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析1.若tanθ＝，则cos2θ＋sin2θ的值为()A．－B．－C．D．【答案】D【解析】cos2θ＋sin2θ＝＝＝.2.已知sin＝，则sin＝______.【答案】【解析】sin＝cos＝cos＝1－2sin2＝.3.已知0<α<，0<β<，且3sinβ＝sin(2α＋β)，4tan＝1－tan2，求α＋β的值．【答案】α＋β＝.【解析】由3sinβ＝sin(2α＋β)得3sin[(α＋β－α)]＝sin[(α＋β)＋α]∴tan(α＋β)＝2tanα①由4tan＝1－tan2得tanα＝＝②由①②得tan(α＋β)＝1，又∵0<α<，0<β<，∴0<α＋β<，∴α＋β＝.4.给出下列三个等式f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)·f(y)，f(x＋y)＝，下列函数中不满足其中任何一个等式的是()A．f(x)＝3x B．f(x)＝sin xC．f(x)＝logx D．f(x)＝tan x2【答案】B【解析】对选项A，满足f(x＋y)＝f(x)·f(y)，对选项C，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，对选项D，满足f(x＋y)＝，故选B.5.已知tanα、tanβ是方程x2＋x－2＝0的两个根，且－<α<，－<β<，则α＋β的值是()A．－B．－C．或－D．－或【答案】A【解析】由韦达定理得，tanα与tanβ一正一负，不妨设tanα>0，tanβ<0，则0<α<，－<β<0，∴－<α＋β<，又tan(α＋β)＝＝－.∴α＋β＝－.6.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.7.若tanα＝2，tan(β－α)＝3，则tan(β－2α)的值为________．【答案】【解析】tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝＝＝.8.不查表求值：tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝______.【答案】1【解析】tan15°＋tan30°＋tan15°tan30°＝tan(15°＋30°)(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝tan45°(1－tan15°tan30°)＋tan15°tan30°＝1－tan15°tan30°＋tan15°tan30°＝1.9.化简：tan(18°－x)tan(12°＋x)＋ [tan(18°－x)＋tan(12°＋x)]．【答案】1【解析】∵tan[(18°－x)＋(12°＋x)]＝＝tan30°＝∴tan(18°－x)＋tan(12°＋x)＝ [1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋· [1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.10.设tanα，tanβ是方程ax2－(2a＋1)x＋(a＋2)＝0的两根，求证：tan(α＋β)的最小值是－.【答案】见解析【解析】由tanα，tanβ是方程的两根得⇒a≤且a≠0，又，∴tan(α＋β)＝＝＝－－a≥－－＝－.∴tan(α＋β)的最小值是－.11. cos75°cos15°－sin255°sin15°的值是()A．0B．C．D．－【答案】B【解析】原式＝cos75°·cos15°＋sin75°sin15°＝cos(75°－15°)＝cos60°＝.12.已知α、β为锐角，cosα＝，cosβ＝，则tan(α－β)的值为()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α、β为锐角，∴－ <α－β<，又∵cosα＝，cosβ＝，∴sinα＝，sinβ＝，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝×＋×＝.∵y＝sin x在上单调递增，sinα＝>＝sinβ，∴α>β.∴0<α－β<，∴sin(α－β)＝＝＝.∴tan(α－β)＝＝.13.若sinα－sinβ＝，cosα－cosβ＝，则cos(α－β)的值为()A．B．C．D．1【答案】A【解析】将条件式两边分别平方相加得：2－2sinαsinβ－2cosαcosβ＝1，∴2－2cos(α－β)＝1，∴cos(α－β)＝.14. cos15°＋sin15°＝________.【答案】【解析】 cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.15.化简＝________.【答案】【解析】＝＝＝.16.设cos＝－，sin＝，其中α∈，β∈，求cos.【答案】【解析】∵α∈，β∈，∴α－∈，－β∈，∴sin＝＝＝.cos＝＝＝.∴cos＝cos＝cos cos＋sin·sin＝－×＋×＝.17.已知△ABC中，sin C＝，cos B＝－，求cos A.【答案】【解析】在△ABC中，由cos B＝－，可得sin B＝，且B为钝角，∴C为锐角，∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C＝－＝－.sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C＝，∴cos A＝cos[(A＋B)－B]＝－×＋×＝.[点评]本题易错点为忽视角范围的讨论，错误得出cos(A＋B)＝而致误．18.设a＝sin14°＋cos14°，b＝sin16°＋cos16°，c＝，则a、b、c的大小关系是() A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a【答案】B【解析】a＝sin(14°＋45°)＝sin59°，b＝sin(16°＋45°)＝sin61°，c＝·＝sin60°，由y＝sin x在(0°，90°)上单调增知：a<c<b.19.若cosαcosβ＝1，则sin(α＋β)等于()A．－1B．0C．1D．±1【答案】B【解析】∵cosαcosβ＝1，∴cosα＝1，cosβ＝1或cosα＝－1，cosβ＝－1，∴sinα＝0，sinβ＝0，∴sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ＝0.20.函数y＝2sin－cos (x∈R)的最小值等于()A．－3B．－2C．－1D．－【答案】C【解析】y＝2sin－cos＝2cos－cos＝cos (x∈R)．∵x∈R，∴x＋∈R，∴y＝－1.min。

两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)[2]

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两角和差的正弦余弦正切公式练习题一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立；②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立; ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-；其中假命题是（ )A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ )A ．21+B ．12-C ．2D ． 2 3．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（）A ．最大值为1，最小值为－1B ．最大值为1，最小值为21- C ．最大值为2，最小值为－2 D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值（）A ．21B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 ( ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（）A ．43 B ．83 C ．81 D ．417．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是（ )A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与 8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于（ )A ．3πB ．4πC ．π65D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是( )A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ )A ．412--a a B ．－412--a a C ．214a a --±D ．412--±a a 11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ )A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是( ）A ．41B ．23 C ．21 D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 . 14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= 。

两角和与差正弦,余弦,正切公式试题(含答案)1

两角和、差的正弦、余弦、正切测验题班级学号姓名得分 . 一、选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分。

) 1.oo o o 54cos 66cos 36cos 24cos -的值等于( )A.0B.21C.23D.21-2.在△ABC 中，如果sin A =2sin C cos B .那么这个三角形是 ( )A.锐角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形 3. 已知()414tan ,53tan =⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+πββα ,那么⎪⎭⎫ ⎝⎛+4tan πα为（） A ．1813B ．2313C ．227D ．183 4.()()()()oooo24tan 123tan 122tan 121tan 1++++ 的值是( )A.16B.8C.4D.25.在正项等比数列}{n a 中，2,1842==a a ，那么数列}{n a 的通项公式为( )A.n a n 834-=B.n n a 354⋅=C.n n a )31(54⋅= D.n n a )31(162⋅= 二、填空题(本大题共5小题，每小题8分，共40分)6.化简=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x x 3sin 32sin 3cos 32cos ππππ______.7. 已知角α的终边经过点()()04,3≠-a a a P 则=α2sin .8. 52coslog 5cos log 44ππ+的值等于______.9.已知21tan -=α，则=-+αααα22cos sin cos sin 2110.函数)2(22≥--=x x y 的反函数是。

三、解答题(本大题共3小题，共35分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 11.(本小题满分10分)已知()()⎪⎭⎫⎝⎛∈-⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+-=-=+ππβαππβαβαβα,43,2,47,54cos ,54cos ，求α2cos 的值。

高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析

高一数学两角和与差的正弦余弦和正切公式试题答案及解析1.已知，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据诱导公式有【考点】本小题主要考查诱导公式的应用.点评：解决此类问题关键是尽量用已知角来表示未知角.2. (2010·河南南阳调研)在△ABC中，3sin A＋4cos B＝6,4sin B＋3cos A＝1，则C等于() A．30°B．150°C．30°或150°D．60°或120°【答案】A【解析】两式平方后相加得sin(A＋B)＝，∴A＋B＝30°或150°，又∵3sin A＝6－4cos B>2，∴sin A>>，∴A>30°，∴A＋B＝150°，此时C＝30°.3. (2010·鞍山一中)已知a＝(sinα，1－4cos2α)，b＝(1,3sinα－2)，α∈，若a∥b，则tan＝()A．B．－C．D．－【答案】B【解析】∵a∥b，∴1－4cos2α＝sinα(3sinα－2)，∴5sin2α＋2sinα－3＝0，∴sinα＝或sinα＝－1，∵α∈，∴sinα＝，∴tanα＝，∴tan＝＝－.4.求值：＝________.【答案】－4【解析】＝＝＝＝＝＝－4.5. (2009～2010·浙江嵊泗中学高一期末)已知定义在区间上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，当x∈时，函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，－ <φ<)的图象如图所示．(1)求函数y＝f(x)在上的表达式；(2)求方程f(x)＝的解．【答案】(1)∴f(x)＝(2) x＝－，－，－，或即为所求【解析】(1)当x∈时，由图象知，A＝1，＝－＝，∴T＝2π，∴ω＝1.又f(x)＝sin(x＋φ)过点，则＋φ＝kπ，k∈Z，∵－<φ<，∴φ＝，∴f(x)＝sin当－π≤x<－时，－≤－x－≤，∴f＝sin＝－sin x而函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－对称，则f(x)＝f∴f(x)＝－sin x，－π≤x<－，∴f(x)＝.(2)当－≤x≤时，≤x＋≤π，∵f(x)＝sin＝，∴x＋＝或，∴x＝－或，当－π≤x<－时，∵f(x)＝－sin x＝，∴sin x＝－，x＝－或－，∴x＝－，－，－，或即为所求．6.设α和β是一个钝角三角形的两个锐角，下列四个不等式中不正确的是() A．tanα·tanβ<1B．sinα＋sinβ<C．cosα＋cosβ>1D．tan(α＋β)<tan【答案】D【解析】取特例，令α＝β＝可得，tan(α＋β)＝，tan＝，∴tan(α＋β)>tan，∴D不正确．7.已知α、β为锐角，cosα＝，tan(α－β)＝－，则tanβ的值为() A．B．C．D．【答案】B【解析】∵α是锐角，cosα＝，故sinα＝，tanα＝∴tanβ＝tan[α－(α－β)]＝＝.8.在△ABC中，若tan B＝，则这个三角形是()A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形【答案】B【解析】因为△ABC中，A＋B＋C＝π，所以tan B＝＝＝，即＝，∴cos(B＋C)＝0，∴cos(π－A)＝0，∴cos A＝0，∵0<A<π，∴A＝，∴这个三角形为直角三角形，故选B.9.若cosθ>0，且sin2θ<0，则角θ的终边所在象限是________．【答案】第四象限【解析】∵sin2θ＝2sinθcosθ<0，cosθ>0，∴sinθ<0，∴θ是第四象限角．10.如果tan＝2010，那么＋tan2α＝______.【答案】2010【解析】∵tan＝2010，∴＋tan2α＝＋＝＝＝＝tan＝2010.11.化简：.【答案】1【解析】原式＝＝＝＝1.12.已知锐角α、β满足cosα＝，cos(α＋β)＝－，则cosβ＝()A．B．－C．D．－【答案】A【解析】∵α、β为锐角，cosα＝，cos(α＋β)＝－，∴sinα＝，sin(α＋β)＝. ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cosα＋sin(α＋β)·sinα＝－×＋×＝.13.已知cosθ＝，θ∈，则cos＝()A．B．C．D．【答案】B【解析】∵cosθ＝，θ∈，∴sinθ＝，∴cos＝cosθ·cos＋sinθ·sin＝×＋×＝.14. (08·山东理)已知cos(α－)＋sinα＝，则sin(α＋)的值是() A．－B．C．－D．【答案】C【解析】∵cos(α－)＋sinα＝cosαcos＋sinαsin＋sinα＝cosα＋sinα＝，∴cosα＋sinα＝，∴sin(α＋)＝－sin＝－cos＝－sinα－cosα＝－.故选C.15. cos＋sin的值为()A．－B．C．D．【答案】B【解析】∵cos＋sin＝2＝2＝2cos＝2cos＝.16.化简＝________.【答案】【解析】＝＝＝.17.已知△ABC中，sin C＝，cos B＝－，求cos A.【答案】【解析】在△ABC中，由cos B＝－，可得sin B＝，且B为钝角，∴C为锐角，∴cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C＝－＝－.sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C＝，∴cos A＝cos[(A＋B)－B]＝－×＋×＝.[点评]本题易错点为忽视角范围的讨论，错误得出cos(A＋B)＝而致误．18.若α、β均为锐角，sinα＝，sin(α＋β)＝，则cosβ等于()A．B．C．或D．－【答案】B【解析】∵α与β均为锐角，且sinα＝>sin(α＋β)＝，∴α＋β为钝角，又由sin(α＋β)＝得，cos(α＋β)＝－，由sinα＝得，cosα＝，∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝－×＋×＝，故选B.19.已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，求sin2α的值．【答案】－.【解析】∵<β<α<，∴π<α＋β<，0<α－β<.∴sin(α－β)＝＝＝.∴cos(α＋β)＝－＝－＝－.则sin2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)＝×＋×＝－.20.在△ABC中，若sin A＝，cos B＝，求cos C.【答案】【解析】∵0<cos B＝<，且0<B<π.∴<B<，且sin B＝.又∵0<sin A<<，且0<A<π，∴0<A<或π<A<π.若π<A<π，则有π<A＋B<π，与已知条件矛盾，∴0<A<，且cos A＝.∴cos C＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝sin A sin B－cos A cos B＝×－×＝.[点评]本题易忽视对角范围的讨论，直接由sin A＝得出cos A＝±，导致错误结论cos C＝或.。

06两角和与差的正弦余弦和正切训练题(含经典例题+答案)

两角和与差的正弦余弦和正切训练题1.若3sinx﹣cosx=2sin（x﹣φ），φ∈（﹣π，π），则φ=（）A．﹣B．C．D．﹣2.（2015•重庆）若tanα=，tan（α+β）=，则tanβ=（）A．B．C．D．3.（2015•河北）sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=（）A．B．C． D．4.已知sin2α=，则cos2（）=（）A．﹣B．C．﹣D．5.已知函数，则函数f（x）在[﹣1，1]上的单调增区间为（）A．B．C．D．6.）己知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0），f（）+f（）=0，且f（x）在区间（，）上递减，则ω=（）A．3 B．2 C．6 D．57.函数f（x）=2sin（x﹣）cos（x﹣）图象的一条对称轴方程是（）A．x=B．x=C．x=D．x=8.在△ABC中，如果4sinA+2cosB=1，2sinB+4cosA=3，则sinC的大小是（）A．B．C．或D．﹣9.已知函数f（x）=sin2x+cos2x，若其图象是由y=sin2x图象向左平移φ（φ＞0）个单位得到，则φ的最小值为（）A．B．C．D．10.将函数f（x）=的图象向左平移个单位得到函数g（x）的图象，则函数g（x）是（）A．周期为π的奇函数 B．周期为π的偶函数C．周期为2π的奇函数D．周期为2π的偶函数11.若2sin2（+）=1﹣cos（π﹣x），则sin2x=（）A．﹣1 B．0 C．D．112.已知函数f（x）=sin2ωx﹣2sin2ωx+1（ω＞0）的最小正周期为4π，则函数f（x）的单调递减区间（）A．[+2kπ，+2kπ]k∈Z*B．[﹣+2kπ，+2kπ]k∈Z*C．[+4kπ，+4kπ]k∈Z*D．[﹣+4kπ，+4kπ]k∈Z*13.将函数f（x）=cosx﹣（x∈R）的图象向左平移a（a＞0）个单位长度后，所得的图象关于原点对称，则a的最小值是（）A．B．C．D．14.设α，β都是锐角，且cosα=，sin（α﹣β）=，则cosβ=（）A．B．﹣C．或﹣D．或15.化简cos15°cos45°﹣cos75°sin45°的值为（）A．B．C．﹣D．﹣16.已知sin（）=则cos（x）等于（）A．﹣B．﹣C．D．17.若△ABC中，cosA=，cosB=，则cosC的值为（）A．B．﹣C．﹣D．18.已知sinx+cosx=，则cos（﹣x）=（）A．﹣B．C．﹣D．19.已知=﹣＜α＜0，则cosα=（）A．B．C． D．20.已知函数f（x）=sinx+λcosx的图象的一个对称中心是点（，0），则函数g（x）=λsinxcosx+sin2x的图象的一条对称轴是直线（）A．x=B．x=C．x=D．x=﹣21.函数y=sin（x+）+cos（﹣x）的最大值为（）A．B． C． D．22.已知θ为锐角，且sin（θ﹣）=，则tan2θ=（）A．B．C．﹣D．23.若sin2α=，sin（β﹣α）=，且α∈[，π]，β∈[π，]，则α+β的值是（）A．B．C．或D．或24.已知角α在第一象限且cosα=，则等于（）A．B．C．D．﹣25.已知，则=（）A．B．C．﹣1 D．±126.已知函数f（x）=sin2ωx+sinωx•cosωx，α∈R，又f（α）=﹣，f（β）=．若|α﹣β|的最小值为，则正数ω的值为（）A．B．C．D．27.已知函数f（x）=cos2x+sinxcosx，R是实数解，若∃x1∈R，∃x2∈R，∀x∈R，f（x1）≤f（x）≤f（x2），则|x2﹣x1|的最小值为（）A．πB．C．D．28.已知函数f（x）=asinx﹣cosx的一条对称轴为x=﹣，且f（x1）•f（x2）=﹣4，则|x1+x2|的最小值为（）A．B．C． D．=（）29.A．B．C．﹣D．﹣30.已知，满足tan（α+β）=4tanβ，则tanα的最大值是（）A．B．C． D．31.已知α，β∈（，2π），满足tan（α+β）﹣2tanβ=0，则tanα的最小值是（）A． B．﹣C．﹣D．32.△ABC中，已知sinC+cosC+sin=1，则角C=．33.已知函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣2a（x∈[0，]）有唯一的一个零点，则实数a的取值范围是．34函数y=sinxcosx+cos2x﹣的图象的对称中心是．35.关于函数f（x）=sin（2x+）+sin（2x﹣），则①y=f（x）的最大值为；②y=f（x）在区间[﹣，]上是增函数；③当x1﹣x2=π时，f（x1）=f（x2）；④函数f（x）的图象关于点（，0）对称；⑤将函数y=cos2x的图象向右平移个单位后与函数f（x）的图象重合．其中正确结论的序号是．（填上所有正确结论的序号）36.（2015•重庆）已知函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和最大值；（Ⅱ）讨论f（x）在上的单调性．37.（2015•北京）已知函数f（x）=sin cos﹣sin．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．38.（2015•天津）已知函数f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣），x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；（Ⅱ）求f （x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值．39.（2015•上海）已知函数y=cos（+2x）+cos2x﹣sin2x，当x取何值时，y取得最大值和函数的对称中心？40.（2015•浙江）已知函数f（x）=2sinxcosx，x∈R．（Ⅰ）求f（）的值；（Ⅱ）求函数f（x）的最小正周期；（Ⅲ）求函数g（x）=f（x）+f（x+）的最大值．1-5 BADDA 6-10BCACB 11-15DCBAA 16-20DDBBD 21-25CCACC 26-30BBCDB 31.B 32.33.{a|0≤a＜或a=} 34.（kπ﹣，﹣），（k∈Z）．35.①③④．36.解：（Ⅰ）函数f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，故函数的周期为=π，最大值为1﹣．（Ⅱ）当x∈时，2x﹣∈[0，π]，故当0≤2x﹣≤时，即x∈[，]时，f（x）为增函数；当≤2x﹣≤π时，即x∈[，]时，f（x）为减函数．37.解：（Ⅰ）f（x）=sin cos﹣sin=sinx﹣（1﹣cosx）=sinxcos+cosxsin﹣=sin（x+）﹣，则f（x）的最小正周期为2π；（Ⅱ）由﹣π≤x≤0，可得﹣≤x+≤，即有﹣1，则当x=﹣时，sin（x+）取得最小值﹣1，则有f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值为﹣1﹣．38.解：（Ⅰ）化简可得f（x）=sin2x﹣sin2（x﹣）=（1﹣cos2x）﹣[1﹣cos（2x﹣）]=（1﹣cos2x﹣1+cos2x+sin2x）=（﹣cos2x+sin2x）=sin（2x﹣）∴f（x）的最小正周期T==π；（Ⅱ）∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣1，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，]，∴f（x）在区间[﹣，]内的最大值和最小值分别为，﹣39.解：∵函数y=cos（+2x）+cos2x﹣sin2x=sin2x+cos2x=2sin（2x+），故当2x+=+2kπ，k∈Z，即x=+kπ，k∈Z时，y取得最大值，由2x+=kπ，k∈Z得：x=+kπ，k∈Z，故函数图象的对称中心坐标为：（+kπ，0）（k∈Z）40.解：（Ⅰ）由题意得f（）=2sin cos=1，（Ⅱ）∵f（x）=sin2x，∴函数f（x）的最小正周期为T==π，（Ⅲ）∵g（x）=sin2x+sin（2x+）=sin2x+cos2x=sin（2x+），∴当x=k，k∈Z时，函数g（x）的最大值为．。

两角和与差的正弦+余弦和正切公式习题训练与答案解析

62
6
66
6
值-1.
5
5
5
7.已知
为第三象限的角,cos
2
3 5
求tan
(
4
2 ) 的值.
分析:本题主要考查了角的象限的判断及三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、两角和
的正切公式.
解:∵ 为第三象限的角,2k + 2k 3 k Z, 2
∴4k +2 2 4k +3 (k Z).
又cos 2 3 ∴sin 2 4 tan 2 4 .
4
24
方法二:y= g(x) f (2x) 1 cos (4x ) x [0 ] .g′(x)=-2sin (4x )
2
3
4
3
令g′
(
x)
0
x
[0
4
]
解得
x
12
g(0) 1 g( ) 1 g( ) 1 4 12 2 4 4
故函数g(x)在区间
[0
4
]
上的最大值和最小值分别为
强化训练
1.tan20 +tan40 3 tan20 tan40 等于( )
A.1
B.
3 3
C. 3
答案:D
解析:∵tan60
=tan(20
+40
)
tan20 tan40 1 tan20 tan40
∴tan20 +tan40 3 3 tan20 tan40 ,
即tan20 +tan40 3 tan20 tan40 3 .
3 5
则tan
2
.
答案: 24 7
解析:∵

高一两角和与差的余弦、正弦、正切公式知识点+例题+练习含答案

1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S (α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝ . 答案 2解析原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos (90°－50°)cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2. 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ . 答案 34解析由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3，则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 答案 17解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17. 4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .答案 22 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为．答案 17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45， ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35， ∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425， ∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725， ∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4) ＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝ . (2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是．答案 (1)－75(2) 3 解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45. ∴原式＝－75. (2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12，又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－231－(－3)2＝ 3. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ . (2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是．答案 (1)35(2)－1 解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17， ∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝925. 又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35. (2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1. 题型二三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为． (2)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ . 答案 (1)22(2) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22. (2)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为．(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为．答案 (1)π4(2)3 解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1，可得f (x )的最大值是3.题型三角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是．答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ . 答案 539解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.5．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ . 易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误． (2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×49×5729－1＝－239729. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34， ∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2，配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A 组专项基础训练(时间：40分钟)1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝ . 答案 12解析原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ . 答案 34解析由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2，又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝ . 答案3 解析 sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 4．已知cos α＝－55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则α－β的值为．答案 54π 解析因为π<α<32π，cos α＝－55，所以sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，所以tan(α－β)＝2－131＋23＝1，由π<α<32π，－π2<－β<0得π2<α－β<32π，所以α－β＝54π. 5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 322解析因为α＋π4＋β－π4＝α＋β，所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4，所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ .答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ . 答案 7210解析因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45，又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)，所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35，所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 9．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值．解 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14，即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π，又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值．解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62，两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π，所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310. B 组专项能力提升(时间：20分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝ . 答案－255解析由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12，得tan α＝－13. 又－π2<α<0，所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 12．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，则tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝ . 答案 8－5311解析 ∵sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，cos α≠0，∴tan 2α－tan α－2＝0.∴tan α＝2或tan α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan α＝2， tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝tan π3－tan α1＋tan π3tan α ＝3－21＋23＝(3－2)(23－1)(23－1)(23＋1)＝8－5312－1＝8－5311. 13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23，又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ±3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3， ∴a ＝±3.15．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ·⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12，求函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域．解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8[sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8] ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由于x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，5π12，所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8∈[－1，2]，所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。

两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题(可编辑修改word版)

两角和与差的正弦、余弦、正切一、两角和与差的余弦cos()cos cos sin sin cos()cos cos sin sin 1、求值：（1）cos15（2）cos 80 cos 20 sin 80 sin 20（3）c os130 cos10 sin 130 sin 10（4）cos105°（5）sin75°（6）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°（7）cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（8）cos 91 cos 29 sin 91 sin 292. （1）求证：cos（－α）＝sinα．2215（2）已知sinθ＝，且θ为第二象限角，求cos（θ－）的值．17 3（3）已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cosα．3. 化简 cos（36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．4.已知sin2，，cos 3，,3，求cos()的值.,35 25.已知cos12，, 3，求cos(的值。

)13 2 46.已知，都是锐角，cos 1，cos()1，求cos的值。

3 57.在△ABC 中，已知 sin A＝3 ，cos B＝5 ，求 cos C 的值.5 13二、两角和与差的正弦sin(+)=sin cos+cos sinsin(-)=sin cos-cos sin1 利用和差角公式计算下列各式的值（1）sin 72︒cos 42︒- cos 72︒sin 42︒（2）1 cos x - 3 sin x2 2（3） 3 sin x + cos x（4） 2 cos 2x - 2 sin 2x2 2二、证明：(1)3sin+1cos=s in(+2 2 6(2)cos+s in= 2 sin(+4 (3)2(sin x + cos x) = 2 cos(x -43（1）已知sin=-3 ，是第四象限角，求5-) 的值。

两角和与差的正弦、余弦和正切随堂练习(含答案)

两角和与差的正弦、余弦和正切(时间：45分钟分值：100分)一、选择题1. [2012·江西高考]若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan2α＝( ) A. －34B. 34C. －43D. 43答案：B解析：由tan α＋1tan α－1＝12，得tan α＝－3， ∴tan2α＝2tan α1－tan 2α＝34，选B 项． 2. [2013·金版原创]cos85°＋sin25°cos30°cos25°＝( ) A. －32 B. 22C. 12D. 1答案：C解析：cos85°＋sin25°cos30°cos25°＝ cos (60°＋25°)＋sin25°cos30°cos25°＝ cos60°cos25°－sin60°sin25°＋sin25°cos30°cos25°＝ cos60°cos25°cos25°＝cos60°＝12，选C. 3. 若3sin α＋cos α＝0，则1cos 2α＋sin2α的值为( ) A. 103 B. 53C. 23D. －2 答案：A解析：由3sin α＋cos α＝0得cos α＝－3sin α，则1cos 2α＋sin2α＝sin 2α＋cos 2αcos 2α＋2sin αcos α＝9sin 2α＋sin 2α9sin 2α－6sin 2α＝103，故选A.4. [2013·杭州月考]若函数f (x )＝sin 2(x ＋π4)＋cos 2(x －π4)－1，则函数f (x )是( ) A. 周期为π的偶函数B. 周期为2π的偶函数C. 周期为2π的奇函数D. 周期为π的奇函数答案：D解析：f (x )＝sin 2(π4＋x )＋sin 2(π4＋x )－1 ＝2sin 2(π4＋x )－1 ＝－cos(π2＋2x )＝sin2x ∴故D 正确．5. [2013·烟台模拟]把函数y ＝sin x －3cos x 的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6 答案：D解析：y ＝sin x －3cos x ＝2sin(x －π3)，图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得y ＝2sin(x ＋m －π3)，由于图象关于y 轴对称，∴m －π3＝k π＋π2，m ＝k π＋5π6(k ∈Z )， ∴m 的最小正数为5π6，故选D. 6. [2013·厦门质检]若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( ) A. 13B. －13C. 79D. －79答案：D解析：因为sin(π6－α)＝13，所以cos(π3＋α)＝13，即cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1 ＝2×19－1＝－79. 二、填空题7. [2013·嘉兴模拟]已知cos(α＋π4)＝13，α∈(0，π2)，则cos α＝________. 答案：2＋46解析：∵α∈(0，π2)，cos(α＋π4)＝13>0， ∴α∈(0，π4)，α＋π4∈(π4，π2)， ∴sin(α＋π4)＝223， cos α＝cos(α＋π4－π4) ＝cos(α＋π4)cos π4＋sin(α＋π4)·sin π4＝2＋46. 8. [2013·湘潭模拟]已知tan(α－β)＝12，tan β＝13，且α∈(0，π)，则α＝________. 答案：π4解析：∵α＝(α－β)＋β，∴tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β，∵tan(α－β)＝12，tan β＝13，tan α＝12＋131－12×13＝1，又∵α∈(0，π)，∴α＝π4. 9. [2013·江南十校联考]设α为锐角，若cos(α＋π3)＝15，则cos(α－π6)＝________. 答案：265解析：∵α为锐角，即0<α<π2，∴π3<α＋π3<5π6， ∵cos(α＋π3)＝15，∴sin(α＋π3)＝1－cos 2(α＋π3)＝265，∴cos(α－π6)＝sin[π2＋(α－π6)]＝sin(α＋π3)＝265. 三、解答题10. [2013·广东模考]已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R . (1)求f (5π4)的值； (2)设α、β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解：(1)f (5π4)＝2sin(13×5π4－π6)＝2sin π4＝ 2.(2)由f (3α＋π2)＝1013得2sin α＝1013，即sin α＝513，由f (3β＋2π)＝65得2sin(β＋π2)＝65，而cos β＝35，∵α、β∈[0，π2]， ∴cos α＝1－(513)2＝1213，sin β＝1－(35)2＝45， ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－513×45＝1665. 11. [2013·绍兴模拟]已知函数f (x )＝tan(3x ＋π4)． (1)求f (π9)的值； (2)设α∈(π，3π2)，若f (α3＋π4)＝2，求cos(α－π4)的值．解：(1)f (π9)＝tan(π3＋π4)＝tan π3＋tan π41－tan π3tan π4＝3＋11－3＝－2－ 3. (2)因为f (α3＋π4)＝tan(α＋3π4＋π4)＝tan(α＋π)＝tan α＝2. 所以sin αcos α＝2，即sin α＝2cos α. ① 因为sin 2α＋cos 2α＝1， ②由①、②解得cos 2α＝15. 因为α∈(π，3π2)，所以cos α＝－55，sin α＝－255. 所以cos(α－π4)＝cos αcos π4＋sin αsin π4＝－55×22＋(－255)×22＝－31010. 12. [2013·新余质检]设函数f (x )＝2cos 2(π4－x )＋sin(2x ＋π3)－1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域．解：(1)因为f (x )＝12sin2x ＋32cos2x ＋cos(π2－2x ) ＝32sin2x ＋32cos2x ＝3sin(2x ＋π6)，所以函数f (x )的最小正周期是T ＝2π2＝π. (2)因为x ∈[0，π2]，所以2x ＋π6∈[π6，7π6]，于是3sin(2x ＋π6)∈[－32，3]，所以当x ∈[0，π2]时，函数f (x )的值域是[－32，3]．。

(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题

两角和与差的正弦、余弦、正切一、两角和与差的余弦βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1、求值：（1） 15cos （2） 20802080sin sin cos cos +（3） 1013010130sin sin cos cos +（4）cos105°（5）sin75°（6）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°（7）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ．（8） 29912991sin sin cos cos -2. （1）求证：cos （2π－α）＝sin α．（2）已知sin θ＝1715，且θ为第二象限角，求cos （θ－3π）的值．（3）已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．3. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．4. 已知32=αsin ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+的值.5.已知1312-=αcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππα,，求)cos(4πα+的值。

6. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值。

7.在△ABC 中，已知sin A ＝53，cos B ＝135，求cos C 的值.二、两角和与差的正弦sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-1利用和差角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒ （2）13cos sin 22x x -（3）3sin cos x x + （4）22cos 2sin 222x x -二、证明： )4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x3（1）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。

两角和与差的正弦、余弦和正切专题及答案

两角和与差的正弦、余弦和正切专题一、选择题1. 已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( ) A.12 B ．－12 C.22 D ．－22 2．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于 ( )．A.54 B ．－54 C.43 D ．－43 3．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝ ( )．A.π4B.3π4C.π4和3π4 D ．－π4和－3π4 4．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( )．A.23 B ．－23 C.13 D ．－135．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为 ( )． A ．1 B.110 C ．1或110D ．1或10 6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )． A ．－235 B.236 C ．－45 D.45二、填空题7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝________.8．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．9．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．10．方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则A ＋B ＝________.三、解答题11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．12．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．13．函数f (x )＝6cos 2ωx2＋3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形． (1)求ω的值及函数f (x )的值域；(2)若f (x 0)＝8 35，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值．14．(1)①证明两角和的余弦公式C(α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；②由C(α＋β)推导两角和的正弦公式S(α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知cos α＝－45，α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，tan β＝－13，β∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos(α＋β)．两角和与差的正弦、余弦和正切专题及答案一、选择题1. 已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α等于( )A.12 B ．－12 C.22 D ．－22 解析由cos 2α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α得(cos α－sin α)(cos α＋sin α)＝22(cos α＋sin α) 由α为锐角知cos α＋sin α≠0.∴cos α－sin α＝22，平方得1－sin 2α＝12.∴sin 2α＝12.答案A 2．若1＋cos 2αsin 2α＝12，则tan 2α等于 ( )．A.54 B ．－54 C.43 D ．－43 解析 1＋cos 2αsin 2α＝2cos 2α2sin αcos α＝cos αsin α＝12，∴tan α＝2，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝41－4＝－43，故选D. 答案 D3．已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010，则α＋β＝ ( )． A.π4 B.3π4 C.π4和3π4 D ．－π4和－3π4 解析由α，β都为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝255，cos β＝1－sin 2β＝31010.所以cos(α＋β)＝cos α·cos β－sin α·sin β＝22，所以α＋β＝π4.答案 A4．已知sin θ＋cos θ＝43⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π4，则sin θ－cos θ的值为( )． A.23 B ．－23 C.13 D ．－13解析 ∵sin θ＋cos θ＝43，∴(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝169，∴sin 2θ＝79，又0<θ<π4，∴sin θ<cos θ.∴sin θ－cos θ＝－(sin θ－cos θ)2＝－1－sin 2θ＝－23. 答案 B5．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，且α＋β＝π4，则实数a 的值为 ( )．A ．1 B.110 C ．1或110D ．1或10 解析 tan(α＋β)＝1⇒tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0，所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110. 答案 C6．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435，则sin⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6的值是( )． A ．－235 B.236 C ．－45 D.45解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＋sin α＝435⇒32sin α＋32cos α＝435⇒sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋7π6＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－45. 答案 C 二、填空题7．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝13，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则cos α＝________.解析∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝223.故cos α＝cos [⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4－π4]＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos π4＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4sin π4＝13×22＋223×22＝4＋26. 答案4＋268．设α为锐角，若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，则 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12的值为________．解析 ∵α为锐角且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝45，∴α＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＝35.∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π12＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－π4 ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos π4－cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6sin π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6－1＝2×35×45－22⎣⎢⎡⎦⎥⎤2×⎝ ⎛⎭⎪⎫452－1＝12225－7250＝17250.答案172509．函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x 的最小值是________．解析 ∵f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＝1＋2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，∴f (x )min ＝1－2. 答案 1－ 210．方程x 2＋3ax ＋3a ＋1＝0(a >2)的两根为tan A ，tan B ，且A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，则A ＋B ＝________.解析由题意知tan A ＋tan B ＝－3a <－6，tan A ·tan B ＝3a ＋1>7，∴tan A <0，tan B <0， tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－3a1－(3a ＋1)＝1.∵A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴A ，B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，∴A ＋B ∈(－π，0)，∴A ＋B ＝－3π4. 答案－3π4三、解答题11．已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋2cos 2x －1，x ∈R.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值和最小值．解 (1)f (x )＝sin 2x ·cos π3＋cos 2x ·sin π3＋sin 2x ·cos π3－cos 2x ·sin π3＋cos 2x ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. 所以，f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π8上是增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是减函数．又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝1，故函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4上的最大值为2，最小值为－1. 12．已知sin α＋cos α＝355，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．解 (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45.又2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35，∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43. (2)∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，β－π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝35，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝45，于是sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝2425.又sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π4＝－cos 2β，∴cos 2β＝－2425，又2β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴sin 2β＝725，又cos 2α＝1＋cos 2α2＝45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55.∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β ＝255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－2425－55×725＝－11525. 13．函数f (x )＝6cos 2ωx2＋3sin ωx －3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A 为图象的最高点，B 、C 为图象与x 轴的交点，且△ABC 为正三角形． (1)求ω的值及函数f (x )的值域； (2)若f (x 0)＝8 35，且x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，求f (x 0＋1)的值．解 (1)由已知可得，f (x )＝3cos ωx ＋3sin ωx ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又正三角形ABC 的高为23，从而BC ＝4，所以函数f (x )的周期T ＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f (x )的值域为[－23，23]． (2)因为f (x 0)＝835，由(1)有f (x 0)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝835，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝45.由x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－103，23，知πx 04＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫452＝35.故f (x 0＋1)＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π4＋π3＝23sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3＋π4 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3cos π4＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫πx 04＋π3sin π4 ＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫45×22＋35×22＝765.14．(1)①证明两角和的余弦公式C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β； ②由C (α＋β)推导两角和的正弦公式S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)已知cos α＝－45，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，32π，tan β＝－13，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，求cos(α＋β)．解(1)证明 ①如图，在直角坐标系xOy 内作单位圆O ，并作出角α，β与－β，使角α的始边为Ox 轴非负半轴，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于点P 2；角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于点P 3，角－β的始边为OP 1，终边交⊙O 于点P 4.则P 1(1,0)，P 2(cos α，sin α)，P 3(cos(α＋β)，sin(α＋β))，P 4(cos(－β)，sin(－β))．由P 1P 3＝P 2P 4及两点间的距离公式，得[cos(α＋β)－1]2＋sin 2(α＋β)＝[cos(－β)－cos α]2＋[sin(－β)－sin α]2，展开并整理，得2－2cos(α＋β)＝2－2(cos αcos β－sin αsin β)． ∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β.②由①易得，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α，11sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos α. sin(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－ α＋β ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＋－β ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos(－β)－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αsin(－β) ＝sin αcos β＋cos αsin β.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)∵α∈⎝⎛⎭⎪⎫π，32π，cos α＝－45，∴sin α＝－35. ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，tan β＝－13， ∴cos β＝－31010，sin β＝1010. cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－45×⎝⎛⎭⎪⎫－31010－⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×1010＝31010.。

两角和与差的正弦、余弦和正切公式训练题

两角和与差的正弦、余弦和正切公式训练题一、题点全面练11．(2018·全国卷Ⅲ)若sin α＝，则cos 2α＝()38A.97C ．－97B.98D ．－91⎛1⎫272解析：选B ∵sin α＝，∴cos 2α＝1－2sin α＝1－2× ⎪＝.故选B.3⎝3⎭911⎛tan α⎫2＝()2．已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log ⎪5⎝tan β⎭23A ．5C ．3B ．4D ．211解析：选B ∵sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，2311∴sin αcos β＋cos αsin β＝，sin αcos β－cos αsin β＝，2351tan α∴sin αcos β＝，cos αsin β＝，∴＝5，1212tan β∴log⎛tan α⎫2＝log 52＝4. ⎪5⎝tan β⎭53．下列式子的运算结果为3的是()①tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°；②2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)；③1＋tan 15°；1－tan 15°πtan6π1－tan 62④.A ．①②④C ．①②③B ．③④D ．②③④解析：选C 对于①，tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝tan(25°＋35°)(1－tan 25°tan 35°)＋3tan 25°tan 35°＝3－3tan 25°tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝3；对于②，2(sin 35°cos 25°＋cos 35°cos 65°)＝2(sin 35°cos 25°＋cos 35°sin 25°)＝2sin 60°＝3；1＋tan 15°tan 45°＋tan 15°对于③，＝＝tan 60°＝3；1－tan 15°1－tan 45°tan 15°π2tan611π3对于④，＝×＝×tan ＝.22322π2π1－tan 1－tan 66综上，式子的运算结果为3的是①②③.故选C.π⎫2⎛π⎫⎛4．(2018·福州模拟)已知α∈ 0，⎪，cos α＋⎪＝－，则cos α＝()2⎭3⎭3⎝⎝A.C.5＋235－23B.D.15－2615＋26πtan6π⎛π5π⎫⎛π⎫解析：选B 因为α∈ 0，⎪，所以α＋∈ ，⎪，2⎭6⎭3⎝3⎝π⎫⎛所以sin α＋⎪＝3⎭⎝π⎫2⎛1－cos α＋⎪＝3⎭⎝451－＝，93π⎫π⎤π⎫π⎫ππ21⎡⎛⎛⎛α＋－⎥＝cos α＋⎪cos ＋sin α＋⎪sin ＝－×＋所以cos α＝cos ⎢ ⎪3⎭3⎦3⎭3⎭3332⎝⎝⎣⎝5315－2×＝.326π⎫22⎛5．已知sin 2θ＝，则tan θ－⎪＝()4⎭3⎝1A.5C ．55B.6D ．6π⎫π⎫⎤2π⎫2⎛⎡⎛2⎛解析：选A ∵sin 2θ＝cos 2θ－⎪＝cos ⎢2 θ－⎪⎥＝，∴2cos θ－⎪－1＝，2⎭4⎭⎦34⎭3⎝⎣⎝⎝π⎫52⎛即cos θ－⎪＝，4⎭6⎝π⎫12⎛sin θ－⎪＝，4⎭6⎝π⎫2⎛sin θ－⎪4⎭1π⎫⎝2⎛∴tan θ－⎪＝＝.4⎭π⎫5⎝2⎛cos θ－⎪4⎭⎝6.3cos 15°－4sin 15°cos 15°＝________.2解析：3cos 15°－4sin 15°cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°·2sin 15°·cos 15°＝3cos 15°－2sin 15°sin 30°＝3cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2.答案：27．sin 10°sin 50°sin 70°＝________.解析：sin 10°sin 50°sin 70°＝sin 10°cos 40°cos 20°1sin 80°sin 10°cos 10°cos 20°cos 40°81＝＝＝.cos 10°cos 10°81答案：83⎛π⎫8．已知sin β＝，β∈ ，π⎪，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝5⎝2⎭__________.34⎛π⎫解析：因为sin β＝，β∈ ，π⎪，所以cos β＝－.55⎝2⎭由sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin 43β＝－cos(α＋β)＋sin(α＋β)，5524得sin(α＋β)＝－cos(α＋β)，所以tan(α＋β)＝－2.55答案：－29．(2018·浙江高考)已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它4⎫⎛3的终边过点P －，－⎪.5⎭⎝5(1)求sin(α＋π)的值；5(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值．134⎫⎛3解：(1)由角α的终边过点P －，－⎪，5⎭⎝54得sin α＝－.54所以sin(α＋π)＝－sin α＝.54⎫3⎛3(2)由角α的终边过点P －，－⎪，得cos α＝－.5⎭5⎝5512由sin(α＋β)＝，得cos(α＋β)＝±.13132由β＝(α＋β)－α，得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，5616所以cos β＝－或cos β＝.65654510．(2018·江苏高考)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.35(1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．4sin α解：(1)因为tan α＝，tan α＝，3cos α4所以sin α＝cos α .3因为sin α＋cos α＝1，9722所以cos α＝，所以cos 2α＝2cos α－1＝－.2525(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π)．又因为cos(α＋β )＝－5，5222所以sin(α＋β )＝1－cos 所以tan(α＋β )＝－2.4因为tan α＝，3α＋β＝25，52tan α24所以 tan 2α＝＝－.21－tan α7所以tan(α－β )＝tan[2α－(α＋β) ]＝tan 2α－1＋tan 2αα＋β2＝－.α＋β11二、专项培优练(一)易错专练——不丢怨枉分cos θπ1．已知＝3cos(2π＋θ)，|θ|＜，则sin 2θ＝()sin θ2A.C.829429B.D.223229cos θcos θ解析：选C 因为＝3cos(2π＋θ)，所以＝3cos θ.sin θsin θπ122又|θ|＜，故sin θ＝，cos θ＝，23312242所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2××＝，故选C.339πtan αcos β2．设α，β为锐角，且2α－β＝，＝1，则x ＝()2x ＋sin βA ．1C.3B ．2D.2ππ解析：选A ∵2α－β＝，∴β＝2α－，22π⎫⎛tan αcos 2α－⎪2⎭tan αsin 2α⎝∴＝1，即＝1，π⎫x －cos 2α⎛x ＋sin 2α－⎪2⎭⎝∴x ＝cos 2α＋tan αsin 2α＝cos 2α＋2sin α＝1，故选A.π⎫π⎫⎛⎛3．若α为第一象限角，且sin 2α＝sin α－⎪cos(π＋α)，则2cos 2α－⎪的2⎭4⎭⎝⎝值为()7A ．－51C.37B.57D ．－32π⎫⎛解析：选B 由sin 2α＝sin α－⎪cos(π＋α)，2⎭⎝得2sin αcos α＝cos α.1∵α为第一象限角，∴cos α≠0，∴tan α＝，2π⎫ππ⎫⎛⎛∴2cos 2α－⎪＝2 cos 2αcos ＋sin 2αsin ⎪4⎭44⎭⎝⎝＝cos 2α＋sin 2α＝cos α－sin α＋2sin αcos α1－tan α＋2tan α＝21＋tan α111－＋2×427＝＝.故选B.151＋44．已知sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°，则m ＝__________.解析：由sin 10°＋m cos 10°＝2cos 140°可得，2222m ＝＝2cos 140°－sin 10°－2cos 40°－sin 10°＝cos 10°cos 10°－2cos 30°＋10°－sin 10°－3cos 10°＝＝－ 3.cos 10°cos 10°答案：－3(二)素养专练——学会更学通5．[逻辑推理]设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为________．解析：由sin αcos β－cos αsin β＝1，得sin(α－β)＝1，π又α，β∈[0，π]，∴－π＜α－β＜π，∴α－β＝，20≤α≤π，⎧⎪∴⎨π0≤β＝α－≤π，⎪2⎩π即≤α≤π，2∴sin(2α－β)＋sin(α－2β)π⎫⎛＝sin 2α－α＋⎪＋sin(α－2α＋π)2⎭⎝π⎫⎛＝cos α＋sin α＝2sin α＋⎪.4⎭⎝π3ππ5π∵≤α≤π，∴≤α＋≤，2444π⎫⎛∴－1≤2sin α＋⎪≤1，4⎭⎝即sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]1⎛π⎫⎛π⎫⎛ππ⎫6．[数学运算]已知cos ＋α⎪cos －α⎪＝－，α∈ ，⎪.4⎝6⎭⎝3⎭⎝32⎭(1)求sin 2α的值；(2)求tan α－解：(1)cos 1的值．tan α⎛π＋α⎫cos ⎛π－α⎫＝cos ⎛π＋α⎫sin ⎛π＋α⎫＝1sin ⎛2α＋π⎫＝－1，⎪ 3⎪ 6⎪ 6⎪2 3⎪4⎝6⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭π⎫1⎛即sin 2α＋⎪＝－.3⎭2⎝∵α∈ ⎛π，π⎫，∴2α＋π∈⎛π，4π⎫，⎪ 3⎪3⎝⎝32⎭⎭π⎫3⎛∴cos 2α＋⎪＝－，3⎭2⎝π⎫π⎤⎡⎛∴ sin 2α＝sin ⎢ 2α＋⎪－⎥3⎭3⎦⎣⎝π⎫ππ⎫π⎛⎛＝sin 2α＋⎪cos －cos 2α＋⎪sin3⎭3⎭33⎝⎝11⎛313⎫＝－×－－⎪×＝.22⎝2⎭22⎛ππ⎫⎛2π⎫(2)∵α∈ ，⎪，∴2α∈ ，π⎪，⎝32⎭⎝3⎭1又由(1)知sin 2α＝，2∴cos 2α＝－∴tan α－23.21sin αcos α＝－tan αcos αsin α2sin α－cos α－2cos 2α＝＝sin αcos αsin 2α3－2＝－2×＝2 3.127．[数学建模、数学运算]如图，在平面直角坐标系xOy 中，以x 轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于A ，B 两点，x 轴正半轴与单位圆交于点M ，已知S △OAM ＝(1)求cos(α－β)的值；(2)求2α－β的值．解：(1)由题意，OA ＝OM ＝1，因为S △OAM ＝52，点B 的纵坐标是.5105255和α为锐角，所以sin α＝，cos α＝.5552272，所以sin β＝，cos β＝－，1010105⎛72⎫25210× －＋×＝－.⎪5⎝10⎭51010又点B 的纵坐标是所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝(2)因为cos 2α＝2cos α－1＝2× 23⎛5⎫2⎪－1＝－5，⎝5⎭2554⎛π⎫sin 2α＝2sinαcosα＝2××＝，所以2α∈ ，π⎪.555⎝2⎭⎛π⎫⎛ππ⎫因为β∈ ，π⎪，所以2α－β∈ －，⎪.⎝2⎭⎝22⎭因为sin(2α－β)＝sin 2αcosβ－cos 2αsinβ＝－π所以2α－β＝－.42，2。

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