高中数学 第三章 第4节 4.3 直线与圆锥曲线的位置关系同步练习 理 北师大版选修2-1
直线与圆锥曲线的位置关系(总结归纳)
y＝±
33x，
∴有－ 33≤k≤ 33.
• 答案：C
• 【例1】 已知直线y＝(a＋1)x－1与曲线y2＝ax恰有一 个公共点，求实数a的值．
解• 析分证：联结析立论：方程．先组用yy2＝＝代(aax＋数. 1)方x－法1，即联(1)立当 a方＝0程时，组此解方程决组恰，有再一组从解几为何xy＝＝上10.，验
两式相减可得yx11－－yx22·yx11＋＋yx22＝－ba22，即 kAB＝－ba22xy00
.
x2 y2 类似的可得圆锥曲线为双曲线a2－b2＝1
时，有
kAB＝ab22yx00.
2px0
圆锥曲线为抛物线 y2＝2px(p＞0)时，有 kAB＝ y0 .
求椭圆
x2 9
y2 4
1 被点
Q(2,1)平分的弦 AB
1.直线y=kx-k+1与椭圆 x2 y2 1 的位置关系为( A )
(A) 相交 (B) 相切 9 (C)4相离
(D) 不确定
2.已知双曲线方程x2-y2=1，过P(0，1)点的直线l与双曲线
只有一个公共点，则l的条数为( A )
(A)4
(B)3
(C)2
(D)1
3.过点(0，1)与抛物线y2=2px(p＞0)只有一个公共点的直线
a
为
4 0，－1，－5时，
直线 y＝(a＋1)x－1 与曲线 y2＝ax 恰有一个公共点．
三、弦的中点问题
x2 y2 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)是椭圆a2＋b2＝1 上不同的两点，
且 x1≠x2，x1＋x2≠0，M(x0，y0)为 AB 的中点，则xaxa212222＋＋ybyb212222＝＝11，.
2021_2022学年高中数学第3章圆锥曲线与方程章末复习课学案北师大版选修2_1
第3章 圆锥曲线与方程1．三种圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质椭圆双曲线 抛物线定义平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数(大于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹平面内与一个定点F和一条定直线l (l 不经过点F )距离相等的点的轨迹标准方程(以焦点在x轴为例) x 2a 2＋y 2b 2＝1 (a >b >0)x 2a 2－y 2b 2＝1 (a >0，b >0)y 2＝2px(p >0) 关系式 a 2－b 2＝c 2a 2＋b 2＝c 2图形封闭图形无限延展， 有渐近线无限延展， 无渐近线 对称性 对称中心为原点 无对称中心 两条对称轴一条对称轴顶点 四个两个一个离心率 0<e <1 e >1 e ＝1 准线方程 x ＝－p 2决定形 状的因素 e 决定扁平程度e 决定开口大小2p 决定 开口大小统一定义圆锥曲线上的点到一个定点的距离与它到一条定直线的距离之比为定值e2.椭圆的焦点三角形设P 为椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)上任意一点(不在x 轴上)，F 1，F 2为焦点且∠F 1PF 2＝α，那么△PF 1F 2为焦点三角形(如图)．(1)焦点三角形的面积S ＝b 2tan α2；(2)焦点三角形的周长L ＝2a ＋2c ． 3．待定系数法求圆锥曲线标准方程 (1)椭圆、双曲线的标准方程求椭圆、双曲线的标准方程包括“定位〞和“定量〞两方面，一般先确定焦点的位置，再确定参数．当焦点位置不确定时，要分情况讨论．①可将椭圆方程设为Ax 2＋By 2＝1(A >0，B >0，A ≠B )，其中当1A >1B 时，焦点在x 轴上，当1A <1B时，焦点在y 轴上．②双曲线方程可设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，当1A <0时，焦点在y 轴上，当1B<0时，焦点在x轴上．(2)抛物线的标准方程对顶点在原点，对称轴为坐标轴的抛物线方程，一般可设为y 2＝ax (a ≠0)或x 2＝ay (a ≠0)． 4．双曲线及渐近线的设法技巧(1)由双曲线标准方程求其渐近线方程时，把标准方程中的1换成0，即可得到两条渐近线的方程．(2)如果双曲线的渐近线为x a ±y b ＝0时，它的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．5．抛物线的焦点弦问题抛物线过焦点F 的弦长|AB |的一个重要结论． (1)y 2＝2px (p >0)中，|AB |＝x 1＋x 2＋p ； (2)y 2＝－2px (p >0)中，|AB |＝－x 1－x 2＋p ； (3)x 2＝2py (p >0)中，|AB |＝y 1＋y 2＋p ； (4)x 2＝－2py (p >0)中，|AB |＝－y 1－y 2＋p . 6．直线与圆锥曲线有关的问题(1)直线与圆锥曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定，通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x (或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式Δ，那么有：①Δ>0⇔直线与圆锥曲线相交于两点； ②Δ＝0⇔直线与圆锥曲线相切于一点； ③Δ<0⇔直线与圆锥曲线无交点．提醒：直线与双曲线、直线与抛物线有一个公共点应有两种情况：一是相切；二是直线与双曲线渐近线平行、直线与抛物线的对称轴平行．(2)直线l 截圆锥曲线所得的弦长|AB |＝〔1＋k 2〕〔x 1－x 2〕2或⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1k 2〔y 1－y 2〕2，其中k 是直线l 的斜率，(x 1，y 1)，(x 2，y 2)是直线与圆锥曲线的两个交点A ，B 的坐标，且(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，x 1＋x 2，x 1x 2可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出．圆锥曲线的定义及应用【例1】 (1)F 1，F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两焦点，P 是椭圆上任一点，从任一焦点引∠F 1PF 2的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，那么点Q 的轨迹为( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线(2)设F 1，F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上的一点，P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|＞|PF 2|，求|PF 1||PF 2|的值．[思路探究] (1)借助角平分线的性质及相关曲线的定义求解；(2)要求|PF 1||PF 2|的值，可考虑利用椭圆的定义和△PF 1F 2为直角三角形的条件，求出|PF 1|和|PF 2|的值，但Rt △PF 1F 2的直角顶点不确定，故需要分类讨论．(1)A [延长垂线F 2Q 交F 1P 的延长线于点A ，如图． 那么△APF 2是等腰三角形，∴|PF 2|＝|AP |， 从而|AF 1|＝|AP |＋|PF 1|＝|PF 2|＋|PF 1|＝2a . ∵O 是F 1F 2的中点，Q 是AF 2的中点， ∴|OQ |＝12|AF 1|＝a .∴Q 点的轨迹是以原点O 为圆心，半径为a 的圆．] (2)解：由题意知，a ＝3，b ＝2，那么c 2＝a 2－b 2＝5，即c ＝5，由椭圆定义知|PF 1|＋|PF 2|＝6，|F 1F 2|＝2 5.①假设∠PF 2F 1为直角，那么|PF 1|2＝|F 1F 2|2＋|PF 2|2，|PF 1|2－|PF 2|2＝20，即⎩⎪⎨⎪⎧|PF 1|－|PF 2|＝103，|PF 1|＋|PF 2|＝6，解得|PF 1|＝143，|PF 2|＝43.所以|PF 1||PF 2|＝72.②假设∠F 1PF 2为直角，那么|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2.即20＝|PF 1|2＋(6－|PF 1|)2，解得|PF 1|＝4，|PF 2|＝2或|PF 1|＝2，|PF 2|＝4(舍去．)所以|PF 1||PF 2|＝2.运用定义解题主要表达在以下几个方面：(1)在求动点的轨迹方程时，如果动点所满足的几何条件符合某种圆锥曲线的定义，那么可直接根据圆锥曲线的方程写出所求的动点的轨迹方程；(2)涉及椭圆或双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题，常常运用圆锥曲线的定义并结合三角形中的正、余弦定理来解决；(3)在求有关抛物线的最值问题时，常利用定义，把抛物线上某一点到焦点的距离转化为到准线的距离，并结合图形的几何意义去解决．1．(1)点M (－3，0)，N (3，0)，B (1，0)，动圆C 与直线MN 切于点B ，过点M ，N 与圆C 相切的两直线相交于点P ，那么P 点的轨迹方程为( )A ．x 2－y 28＝1(x ＞1)B ．x 2－y 28＝1(x ＜－1)C ．x 2＋y 28＝1(x ＞0)D ．x 2－y 210＝1(x ＞1)(2)点P 是抛物线y 2＝8x 上的任意一点，F 是抛物线的焦点，点M 的坐标是(2，3)，求|PM |＋|PF |的最小值，并求出此时点P 的坐标．(1)A [设PM ，PN 与⊙C 分别切于点E ，F ，如图，那么|PE |＝|PF |，|ME |＝|MB |，|NF |＝|NB |.从而|PM |－|PN |＝|ME |－|NF |＝|MB |－|NB | ＝4－2＝2＜|MN |，∴P 点的轨迹是以M ，N 为焦点，实轴长为2的双曲线的右支(除去右顶点)．∴所求轨迹方程为x 2－y 28＝1(x ＞1)．](2)解：抛物线y 2＝8x 的准线方程是x ＝－2，那么点P 到焦点F 的距离等于它到准线x ＝－2的距离，过点P 作PD 垂直于准线x ＝－2，垂足为D ，那么|PM |＋|PF |＝|PM |＋|PD |.如下图，根据平面几何知识，当M ，P ，D 三点共线时，|PM |＋|PF |的值最小，且最小值为|MD |＝2－(－2)＝4，所以|PM |＋|PFP 的纵坐标为3，所以其横坐标为98，即点P 的坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫98，3.圆锥曲线简单性质的应用【例2】 (1)椭圆x 23m 2＋y 25n 2＝1和双曲线x 22m 2－y 23n2＝1有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程是( )A ．x ＝±152yB ．y ＝±152xC ．x ＝±34y D ．y ＝±34x (2)椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F 1(－c ，0)，A (－a ，0)，B (0，b )是两个顶点，如果F 1到直线AB 的距离为b7，求椭圆的离心率e .[思路探究] (1)由椭圆和双曲线有公共的焦点可得m ，n 的等量关系，从而求出双曲线的渐近线方程；(2)写出AB 的直线方程，由F 1到直线AB 的距离为b7得出a ，c 的关系，求椭圆的离心率e .(1)D [由题意，3m 2－5n 2＝2m 2＋3n 2，∴m 2＝8n 2，令x 22m 2－y 23n 2＝0，y 2＝3n 22m 2x 2＝316x 2，∴y ＝±34x ，即双曲线的渐近线方程是y ＝±34x .] (2)由A (－a ，0)，B (0，b )，得直线AB 的斜率为k AB ＝ba，故AB 所在的直线方程为y －b＝b ax ，即bx －ay ＋ab ＝0.又F 1(－c ，0)，由点到直线的距离公式可得d ＝|－bc ＋ab |a 2＋b 2＝b 7，∴7·(a －c )＝a 2＋b 2.又b 2＝a 2－c 2， 整理，得8c 2－14ac ＋5a 2＝0，即8×⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－14×c a ＋5＝0，∴8e 2－14e ＋5＝0.∴e ＝12或e＝54(舍去)． 综上可知，椭圆的离心率e ＝12.1.(变结论)在本例(1)条件不变的情况下，求该椭圆的离心率． [解] 题意可知，该椭圆的焦点在x 轴上，故 椭圆的离心率e ＝1－5n 23m2＝1－5n 224n 2＝11412.2.(变条件)在本例(2)条件换为“F 1，F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，〞求椭圆离心率的取值范围．[解] ∵MF 1→·MF 2→＝0，∴点M 的轨迹是以F 1F 2为直径的圆，其方程为x 2＋y 2＝c 2. 由题意知椭圆上的点在该圆的外部， 设椭圆上任意一点P (x ，y )，到|OP |min ＝b ， ∴c ＜b ，即c 2＜a 2－c 2.解得e ＝c a ＜22. ∵0＜e ＜1，∴0＜e ＜22.1．本类问题主要有两种考察类型：(1)圆锥曲线的方程研究其几何性质，其中以求椭圆、双曲线的离心率为考察重点； (2)圆锥曲线的性质求其方程．2．对于求椭圆和双曲线的离心率，有两种方法： (1)代入法就是代入公式e ＝c a求离心率；(2)列方程法就是根据条件列出关于a ，b ，c 的关系式，然后把这个关系式整体转化为关于e 的方程，解方程即可求出e 的值．直线与圆锥曲线的位置关系2程是________．(2)向量a ＝(x ，3y )，b ＝(1，0)，且(a ＋3b )⊥(a －3b )． ①求点Q (x ，y )的轨迹C 的方程；②设曲线C 与直线y ＝kx ＋m 相交于不同的两点M 、N ，又点A (0，－1)，当|AM |＝|AN |时，求实数m 的取值范围．8x －y －15＝0 [(1)设所求直线与y 2＝16x 相交于点A 、B ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入抛物线方程得y 21＝16x 1，y 22＝16x 2，两式相减，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝16(x 1－x 2)，即y 1－y 2x 1－x 2＝16y 1＋y 2，得k AB ＝8. 设直线方程为y ＝8x ＋b ，代入点(2，1)得b ＝－15； 故所求直线方程为y ＝8x －15.](2)①由题意得，a ＋3b ＝(x ＋3，3y )，a －3b ＝(x －3，3y )，∵(a ＋3b )⊥(a －3b )，∴(a ＋3b )·(a －3b )＝0，即(x ＋3)(x －3)＋3y ·3y ＝0， 化简得x 23＋y 2＝1，∴点Q 的轨迹C 的方程为x 23＋y 2＝1.②由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1.得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0， 由于直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ>0，即m 2<3k 2＋1.①(ⅰ)当k ≠0时，设弦MN 的中点为P (x P ，y P )，x M 、x N 分别为点M 、N 的横坐标，那么x P ＝x M ＋x N2＝－3mk3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m3k 2＋1，k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk，又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .那么－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k，即2m ＝3k 2＋1， ②将②代入①得2m >m 2，解得0<m <2， 由②得k 2＝2m －13>0，解得m >12，故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2.(ⅱ)当k ＝0时，|AM |＝|AN |， ∴AP ⊥MN ，m 2<3k 2＋1. 即为m 2<1，解得－1<m <1.综上，当k ≠0时，m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2， 当k ＝0时，m 的取值范围是(－1，1)．解决圆锥曲线中的参数范围问题与求最值问题类似，一般有两种方法：(1)函数法：用其他变量表示该参数，建立函数关系，利用求函数值域的方法求解． (2)不等式法：根据题意建立含参数的不等关系式，通过解不等式求参数范围．2．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4.(1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？假设存在，求λ的值；假设不存在，请说明理由．[解] (1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，得1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，那么b 2＝3c 2.②将②代入①，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)由题意可设AB 的斜率为k ， 那么直线AB 的方程为y ＝k (x －1)． ③代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12，并整理，得 (4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么有 x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4〔k 2－3〕4k 2＋3. ④在方程③中令x ＝4，得M 的坐标为(4，3k )． 从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.注意到A ，F ，B 三点共线，那么有k ＝k AF ＝k BF ， 即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－〔x 1＋x 2〕＋1.⑤将④代入⑤，得k 1＋k 2＝2k －32·8k24k 2＋3－24〔k 2－3〕4k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1. 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意.函数与方程的思想【例4】 椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过点(m ，0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．(1)求椭圆G 的焦点坐标和离心率；(2)将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值． [解] (1)由得a ＝2，b ＝1，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.所以椭圆G 的焦点坐标为(－3，0)，(3，0)，离心率为e ＝c a ＝32. (2)由题意知|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32.此时|AB |＝ 3.当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.当|m |>1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k 〔x －m 〕，x 24＋y 2＝1，得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. 设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，那么 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k 2，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k 2.又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1.所以|AB |＝〔x 2－x 1〕2＋〔y 2－y 1〕2＝〔1＋k 2〕[〔x 1＋x 2〕2－4x 1x 2]＝〔1＋k 2〕⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m 2〔1＋4k 2〕2－4〔4k 2m 2－4〕1＋4k 2＝43|m |m 2＋3. 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2， 当且仅当m ＝±3时，|AB |＝2， 所以|AB |的最大值为2.1．函数思想是解决最值问题最有利的武器．通常用建立目标函数的方法解有关圆锥曲线的最值问题．2．方程思想是从分析问题的数量关系入手，通过联想与类比，将问题中的条件转化为方程或方程组，然后通过解方程或方程组使问题获解，在求圆锥曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系的问题中经常利用方程或方程组来解决．3．如下图，过抛物线y 2＝2px 的顶点O 作两条互相垂直的弦交抛物线于A 、B 两点．(1)证明直线AB 过定点； (2)求△AOB 面积的最小值．[解] (1)证明：当直线AB 的斜率不存在时，AB ⊥x 轴，又OA ⊥OB ，∴△AOB 为等腰直角三角形，设A (x 0，y 0)，那么y 20＝2px 0，∴x 0＝2p ，直线AB 过点(2p ，0)．当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝k (x －a )，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2px ，y ＝k 〔x －a 〕，消去x 得ky 2－2py －2pak ＝0，那么y 1y 2＝－2pa .又OA ⊥OB .∴y 1y 2＝－x 1x 2.由方程组消去y ，得k 2x 2－(2k 2a ＋2p )x ＋k 2a 2＝0， 那么x 1·x 2＝a 2.因此，a 2＝2pa .∴a ＝2p ..下载后可自行编辑修改，页脚下载后可删除。
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理
直线与圆锥曲线的位置关系知识梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定(1)代数法：把圆锥曲线方程C 1与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0.说明：(2)几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线，利用图象和性质可判定直线与圆锥曲线的位置关系．2．圆锥曲线的弦长设斜率为k (k ≠0)的直线l 与圆锥曲线C 相交于A 、B 两点，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝1＋k 2（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝1＋1k 2|y 2－y 1|＝1＋1k2（y 1＋y 2）2－4y 1y 2， |x 2－x 1|＝||a ∆，|y 2－y 1|＝||a ∆ 3．中点弦问题：中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．(1)点差法设而不求，借用中点公式即可求得斜率．(2)在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0； 在双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝b 2x 0a 2y 0； 在抛物线y 2＝2px 中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝p y 0. 典型例题题型一 直线与圆锥曲线的位置关系的判断及应用例1 若过点(0,1)作直线，使它与抛物线y 2＝4x 仅有一个公共点，则这样的直线有( )条变式训练 若直线y ＝kx 与双曲线x 29－y 24＝1相交，则k 的取值范围是________．题型二 中点弦问题例2 过椭圆x 216＋y 24＝1内一点P (3，1)，且被这点平分的弦所在直线的方程是________．变式训练 已知双曲线E 的中心为原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为____________．题型三 弦长问题例3 已知倾斜角为60°的直线l 通过抛物线x 2＝4y 的焦点，且与抛物线相交于A 、B 两点，则弦AB 的长为________．课堂练习1．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为________．2．已知F 1、F 2为椭圆x 225＋y 2169＝1的两个焦点，过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，若|F 2A |＋|F 2B |＝30，则|AB |＝________．3. 已知椭圆x 2＋2y 2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为________．4．(四川文)过双曲线x 2－y 23＝1的右焦点与x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于A ，B 两点，则|AB |等于________．5．(课标全国I )已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点为F (3,0)，过点F 的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为________．课下作业1．直线y ＝kx ＋2与抛物线y 2＝8x 有且只有一个公共点，则k 的值为________．2．已知双曲线x 2－y 24＝1，过点A (1,1)的直线l 与双曲线只有一个公共点，则l 的条数为________．3．已知直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，交抛物线于A ，B 两点，且点A ，B 到y 轴的距离分别为m ，n ，则m ＋n ＋2的最小值为________．4．椭圆的焦点为F 1，F 2，过F 1的最短弦PQ 的长为10，△PF 2Q 的周长为36，则此椭圆的离心率为________．5．直线l 过点(2，0)且与双曲线x 2－y 2＝2仅有一个公共点，这样的直线有________．6．若直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝6的右支交于不同的两点，则k 的取值范围是________．7．已知斜率为－12的直线l 交椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)于A ，B 两点，若点P (2,1)是AB 的中点，则C 的离心率等于________．8．直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为________． 9．动直线l 的倾斜角为60°，若直线l 与抛物线x 2＝2py (p ＞0)交于A 、B 两点，且A 、B 两点的横坐标之和为3，则抛物线的方程为________．10．已知对k ∈R ，直线y －kx －1＝0与椭圆x 25＋y 2m＝1恒有公共点，则实数m 的取值范围是________．11．已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F (0，－1)，直线l 与抛物线C 相交于A 、B 两点，若AB 的中点为(2，－2)，则直线l 的方程为________．12．已知椭圆M ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短半轴长b ＝1，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形的周长为6＋4 2. (1)求椭圆M 的方程；(2)设直线l ：x ＝my ＋t 与椭圆M 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过椭圆的右顶点C ，求t 的值．13．(陕西文)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，经过点A (0，－1)，且离心率为22.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.。
高三数学一轮同步训练直线与圆锥曲线的位置关系2 Word版含答案
. 直线与圆锥曲线的位置关系
.设、为椭圆的左右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于，两点，当
时，四边形的面积最大．
. 以双曲线－的焦点为焦点，过直线：上一点，且长轴最短的椭圆方程是．
. 已知椭圆＋
＝(＞＞)的离心率是，过椭圆上一点作直线，交椭圆于，两点，且斜率分别为，，若点，关于原点对称，则的值为．
. 设点、分别为椭圆＋
＝(＞＞)的左、右两焦点，直线为右准线．若在椭圆上存在点，使，，点到直线的距离成等比数列，则此椭圆离心率的取值范围是．
. 已知双曲线的右焦点是，右顶点是,虚轴的上端点是，·，∠°.
（）求双曲线的方程；
（）设是双曲线上的点，且过点、的直线与轴交于点，若，求直线的斜率.
. 已知均在椭圆上，直线、分别过椭圆的左右焦
点、，当时，有.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上的任一点，为圆的任一条直径，求的最大值.
. 已知定点（，）及椭圆,过点的动直线与椭圆相交于，两点.
（）若线段中点的横坐标是，求直线的方程；
（）在轴上是否存在点，使·为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.
【回顾反思】
．直线与圆锥曲线的位置关系
1.
.
. 设(，)，(－，－)，则＋＝，再设
(，)，则＋＝，所以·＝·＝
＝－＝－＝－＋＝－＋＝－.
. 因为＝·，且＝，所以＝·.设(，)，则有
＋＝(－)，解得＝.又因为－≤≤，所以－≤＋，。
高三数学一轮同步训练直线与圆锥曲线的位置关系1 Word版含答案
. 直线与圆锥曲线的位置关系
.已知为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于、两点若
，则．
.过抛物线的焦点作倾角为的直线，与抛物线分别交于、两点（在轴左侧），则．
.已知椭圆（＞＞）的右焦点为，右准线为，离心率过顶点(，)作,垂足为，则直线的斜率等于.
.双曲线（，）的左、右焦点分别是，过作倾斜角为的直线交双曲线右支于点，若垂直于轴，则双曲线的离心率为.
.已知椭圆的中心为坐标原点，短轴长为，一条准线方程为：＝.
()求椭圆的标准方程；
()设为坐标原点，是椭圆的右焦点，点是直线上的动点，过点作的垂
线与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值．
.过点(，)的椭圆的离心率为，椭圆与轴交于两点、，过点的直线与椭圆交于另一点，并与轴交于点，直线与直线交于点．
（）当直线过椭圆右焦点时，求线段的长；
（Ⅱ）当点异于点时，求证：为定值．
.已知抛物线:上横坐标为的点到焦点的距离为.
（Ⅰ）求抛物线的方程；
（Ⅱ）设直线与抛物线交于两点，，且（，且为常数）.过弦的中点作平行于轴的直线交抛物线于点，连结、得到.
（）求证：；
（）求证：的面积为定值.
【回顾反思】
．直线与圆锥曲线的位置关系。
高中数学课本目录(北师大版)
必修1第一章集合集合的含义与表示集合的基本关系集合的基本运算第二章函数生活中的变量关系对函数的进一步认识函数的单调性二次函数性质的研究简单的幂函数第三章指数函数和对数函数正整数指数函数指数概念的扩充指数函数对数对数函数指数增长，幂增长，对数增长的比较第四章函数应用函数与方程实际问题的函数建模必修2第一章立体几何初步简单几何体直观图三视图空间图形的基本关系与公理平行关系垂直关系简单几何体的面积和体积第二章解析几何初步直线与直线的方程圆与圆的方程空间直角坐标系必修3第一章统计从普查到抽样抽样方法统计图表数据的数字特征用样本估计总体统计活动：结婚年龄的变化相关性最小二乘估计第二章算法初步算法的基本思想算法框图的基本结构与设计几种基本语句第三章概率随机时间的概率古典概型模拟方法---概率的应用必修4第一章三角函数周期现象角的概念的推广弧度制正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式正弦函数的性质与图像与弦函数的性质与图像正切函数函数()ϕω+=xAy sin的图像三角函数的简单应用第二章平面向量从位移、速度、力到向量从位移的合成到向量的加法从速度的倍数到数乘向量平面向量的坐标从力做的功到平面向量的数量积平面向量数量积的坐标表示向量应用举例第三章三角函数恒等变换两角和与差的三角函数二倍角的三角函数三角函数的简单应用必修5第一章数列数列等差数列等比数列数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形正弦定理与余弦定理三角形中的几何计算解三角形的实际应用举例第三章不等式不等关系一元二次不等式基本不等式简单线性规划选修I系列（文史）1—1第一章常用逻辑用语（命题充分条件与必要条件全称量词与存在量词逻辑连接词“或”“且”“非”）第二章圆锥曲线与方程（椭圆抛物线双曲线）第三章变化率与导数（变化的快慢与变化率导数的概念及其几何意义计算倒数导数的四则运算法则）第三章导数的应用（函数的单调性与极值导数在实际问题中的应用）1—2 第一章统计案例（回归分析独立性检验）第二章框图（流程图结构图）第三章推理与证明（归纳与类比数学证明综合法与分析法反证法）第四章数系的扩充与复数的引入（数系的扩充与复数的引入复数的四则运算）选修II系列（理工）2—1第一章常用逻辑用语（命题充分条件与必要条件全称量词与存在量词逻辑连接词“或”“且”“非”）第二章空间向量与立体几何（从平面向量到空间向量空间向量的运算向量的坐标表示和空间向量基本定理用向量讨论垂直于平行夹角的计算距离的计算）第三章圆锥曲线与方程（椭圆抛物线双曲线曲线与方程）2—2第一章推理与证明（归纳于类比综合法与分析法反证法数学归纳法）第二章变化率与导数（变化的快慢与变化率导数的概念及其几何意义计算导数导数的四则运算法则简单复合函数的求导法则）第三章导数的应用（函数的单调性与极值导数在实际问题中的应用）第四章定积分（定积分的概念微积分基本定理定积分的简单应用）第五章复数（数系的扩充与复数的引入复数的四则运算）2—3第一章计数原理（分类加法计数原理和分步乘法计数原理排列组合简单计数问题二项式定理）第二章概率（离散型随机变量及其分布列超几何分布条件概率与独立事件二项分布离散型随机变量的均值与方差正态分布）第三章统计案例（回归分析独立性检验）选修III系列（不做高考内容）文化类：选修3-1 数学史选讲代数类：选修3-6 三等分角与数域扩充选修3-4 对称与群几何类：选修3-3 球面几何选修3-5 欧拉公式与闭曲面分类应用类：选修3-2 信息安全与密码选修IV系列（有高考内容）代数类：选修4-4 坐标系与参数方程选修4-5 不等式选讲选修4-6 初等数论初步几何类：选修4-1 几何证明选讲选修4-2 矩阵与变换分析类： 选修4-3 数列与差分应用类： 选修4-7 优选法与试验设计初步选修4-8 统筹法与图论初步选修4-9 风险与决策选修4-10开关电路与布尔代数*代表模块， 代表专题，其中2个专题组成1个模块.选修3-6 选修3-5选修3-4 选修3-3 选修3-2 选修3-1 选修4-10选修4-4选修4-3选修4-2选修4-1……（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。
北师大版高中数学课本目录(含重难点及课时分布)
高中数学课本内容及其重难点北师大版高中数学必修一·第一章集合（考点的难度不是很大，是高考的必考点）· 1、集合的基本关系· 2、集合的含义与表示· 3、集合的基本运算（重点)（2课时）·第二章函数· 1、生活中的变量关系· 2、对函数的进一步认识· 3、函数的单调性（重点）· 4、二次函数性质的再研究（重点)· 5、简单的幂函数(5课时)·第三章指数函数和对数函数· 1、正整数指数函数· 2、指数概念的扩充· 3、指数函数（重点）· 4、对数· 5、对数函数（重点）· 6、指数函数、幂函数、对数函数增减性（重点）(3课时）·第四章函数应用· 1、函数与方程· 2、实际问题的函数建模（2课时）北师大版高中数学必修二·第一章立体几何初步· 1、简单几何体· 2、三视图（重点）· 3、直观图（1课时）· 4、空间图形的基本关系与公理（重点)· 5、平行关系(重点）· 6、垂直关系（重点)· 7、简单几何体的面积和体积（重点）· 8、面积公式和体积公式的简单应用(重点、难点）(4课时）·第二章解析几何初步· 1、直线与直线的方程· 2、圆与圆的方程· 3、空间直角坐标系（4课时）北师大版高中数学必修三·第一章统计· 1、统计活动：随机选取数字· 2、从普查到抽样· 3、抽样方法· 4、统计图表· 5、数据的数字特征(重点）· 6、用样本估计总体· 7、统计活动：结婚年龄的变化· 8、相关性· 9、最小二乘法(3课时)·第二章算法初步· 1、算法的基本思想· 2、算法的基本结构及设计（重点）· 3、排序问题（重点）· 4、几种基本语句（2课时）·第三章概率· 1、随机事件的概率（重点）· 2、古典概型(重点）· 3、模拟方法――概率的应用（重点、难点）（4课时)北师大版高中数学必修四·第一章三角函数· 1、周期现象与周期函数· 2、角的概念的推广· 3、弧度制· 4、正弦函数（重点)· 5、余弦函数（重点）· 6、正切函数(重点）· 7、函数的图像（重点)· 8、同角三角函数的基本关系(重点、难点）（5课时）·第二章平面向量· 1、从位移、速度、力到向量· 2、从位移的合成到向量的加法（重点）· 3、从速度的倍数到数乘向量（重点）· 4、平面向量的坐标（重点)· 5、从力做的功到向量的数量积(重点）· 6、平面向量数量积的坐标表示（重点)· 7、向量应用举例（难点）（5课时）·第三章三角恒等变形(重点）· 1、两角和与差的三角函数· 2、二倍角的正弦、余弦和正切· 3、半角的三角函数· 4、三角函数的和差化积与积化和差· 5、三角函数的简单应用（难点）（4课时)北师大版高中数学必修五·第一章数列· 1、数列的概念· 2、数列的函数特性· 3、等差数列（重点）· 4、等差数列的前n项和（重点）· 5、等比数列（重点）· 6、等比数列的前n项和（重点)· 7、数列在日常经济生活中的应用(6课时）·第二章解三角形（重点）· 1、正弦定理与余弦定理正弦定理· 2、正弦定理· 3、余弦定理· 4、三角形中的几何计算（难点）· 5、解三角形的实际应用举例(6课时）·第三章不等式· 1、不等关系· 1。
新北师大版高中数学高中数学选修2-1第三章《圆锥曲线与方程》测试题(含答案解析)(2)
一、选择题1．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为（ ） A ．13B ．32C ．12D ．12．如图，过抛物线22y px =（0p >）的焦点F 的直线l 交抛物线于点A ，B ，交其准线于点C ，若2BC BF =，且6AF =，则此抛物线方程为（ ）A ．29y x =B ．26y x =C ．23y x =D ．23y x =3．若圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2，则m =（ ） A ．3B 3C ．13-D ．134．已知F 是双曲线22:13y C x -=的右焦点，Q 是双曲线C 左支上的一点，(0,23M 是y 轴上的一点.当MQF 的周长最小时，过点Q 的椭圆与双曲线C 共焦点，则椭圆的离心率为（ ） A ．25B ．45C ．15D ．235．已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ） A ．(2,)+∞B ．2)C ．(3,)+∞D ．3)6．如图，已知点()00,P x y 是双曲线221:143x y C -=上的点，过点P 作椭圆222:143x y C +=的两条切线，切点为A 、B ，直线AB 交1C 的两渐近线于点E 、F ，O是坐标原点，则OE OF ⋅的值为（ ）A ．34B ．1C ．43D ．9167．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,P Q 两点，且30FP FQ +=，则(OPQ O △为坐标原点)的面积S 等于（ ）A 3B ．23C 23D 438．设1F ，2F 分别为双曲线22134x y -=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点.若12120F PF ∠=︒，则点P 到x 轴的距离为（ ）A ．2121B ．22121C ．42121D 219．椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左､右焦点分别为F 1，F 2，点P (x 1，y 1)，Q (-x 1，-y 1)在椭圆C 上，其中x 1>0，y 1>0，若|PQ |=2|OF 2|，11||3||QF PF ≥，则离心率的取值范围为（ ） A ．61⎛- ⎝⎦B ．62]C ．231⎤⎥⎝⎦D ．31]10．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ） A ．45π B ．34π C ．(625)π-D ．54π 11．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>> 的右焦点为F ，椭圆C 上的两点,A B 关于原点对称，且满足0,||||2||FA FB FB FA FB ⋅=≤≤，则椭圆C 的离心率的取值范围是（ ） A ．25[B ．5[C ．2[31] D ．[31,1)12．已知椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>，过点()4,0的直线交椭圆E 于A ，B 两点.若AB 中点坐标为()2,1-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12B ．32C ．13D ．233二、填空题13．设F 为抛物线2:=3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交C 于A ,B 两点，则AB =________.14．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于__________.15．过椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左焦点F 作斜率为12的直线l 与C 交于A ，B 两点，若||||OF OA =，则椭圆C 的离心率为________.16．如图，直线3y x =-与抛物线24y x =交于A 、B 两点，过A 、B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为________.17．已知抛物线24x y =的焦点为F ，双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为1F ，过点F 和1F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为M ，且抛物线在点M 处的切线与直线3y x =-垂直，当3a b 取最大值时，双曲线C 的方程为________.18．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为12,F F ，点P 在第一象限的双曲线C 上，且2PF x ⊥轴，12PF F △内一点M 满足21230MF MF MP ++=，且点M 在直线2y x =上，则双曲线C 的离心率为____________.19．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>上有一点22(,)22M ，F 为右焦点，B 为上顶点，O 为坐标原点，且2BFO BFMS S∆=，则椭圆C 的离心率为________20．双曲线221916x y -=的左焦点到渐近线的距离为________．三、解答题21．已知抛物线2:2(0)C x py p =>上一点(,9)M m 到其焦点的距离为10． （Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设过焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，且抛物线在A ，B 两点处的切线分别交x 轴于P ，Q 两点，①设()11,A x y ，求点P 的横坐标； ②求||||AP BQ ⋅的取值范围．22．如图，直线:l x ty n =+与抛物线2:C y x =交于A ，B 两点，且l 与圆22:1O x y +=相切于点()00,P x y ．（Ⅰ）证明：00ny t +=； （Ⅱ）求||||PA PB ⋅（用n 表示）23．在直角坐标系xOy 中，已知一动圆经过点()3,0，且在y 轴上截得的弦长为6，设动圆圆心的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）过点3(,0)2作相互垂直的两条直线1l ，2l ，直线1l 与曲线C 相交于A ，B 两点，直线2l 与曲线C 相交于E ，F 两点，线段AB ，EF 的中点分别为M 、N ，求证：直线MN 恒过定点，并求出该定点的坐标.24．在平面直角坐标系中，动点M 到点(2,0)F 的距离和它到直线52x =的距离的比是常25（1）求动点M 的轨迹方程；（2）若过点F 作与坐标轴不垂直的直线l 交动点M 的轨迹于,A B 两点，设点A 关于x 轴的对称点为P ，当直线l 绕着点F 转动时，试探究：是否存在定点Q ，使得,,B P Q 三点共线？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 25．已知双曲线C 过点(3，且渐近线方程为12y x =±，直线l 与曲线C 交于点M 、N 两点.（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线l 过点()1,0，问在x 轴上是否存在定点Q ，使得QM QN ⋅为常数？若存在，求出点坐标及此常数的值；若不存在，说明理由.26．如图，过抛物线24y x =的焦点F 任作直线l ，与抛物线交于A ，B 两点，AB 与x 轴不垂直，且点A 位于x 轴上方.AB 的垂直平分线与x 轴交于D 点.（1）若2,AF FB =求AB 所在的直线方程； （2）求证：||||AB DF 为定值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由椭圆的离心率可得a ，b 的关系，得到椭圆方程为22244x y b +=，设出A ，B 的坐标并代入椭圆方程，利用点差法求得直线l 的斜率． 【详解】解：由3c e a ==2222234c a b a a -==， 224a b ∴=，则椭圆方程为22244x y b +=，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则124x x +=-，122y y +=，把A ，B 的坐标代入椭圆方程得：22211222224444x y b x y b ⎧+=⎨+=⎩①②， ①-②得：12121212()()4()()x x x x y y y y -+=--+， ∴12121212414()422y y x x x x y y -+-=-=-=-+⨯．∴直线l 的斜率为12． 故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，训练了利用“点差法”求中点弦的斜率，属于中档题．2．B解析：B 【分析】分别过A ，B 作准线的垂线，交准线于E ，D ，设|BF |=a ，运用抛物线的定义和直角三角形的性质，求得p ，可得所求抛物线的方程． 【详解】如图，分别过点A ，B 作准线的垂线，分别交准线于点E ，D ，设BF a =， 则由已知得2BC a =，由抛物线定义得BD a =，故30BCD ∠=︒.在Rt ACE 中，因为6AE AF ==，63AC a =+，2AE AC =， 所以6312a +=，得2a =，36FC a ==，所以132p FG FC ===， 因此抛物线方程为26y x =. 故选：B 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，以及直角三角形的性质，考查方程思想和数形结合思想，属于中档题．3．C解析：C 【详解】因为圆锥曲线C ：221x my +=的离心率为2， 所以，该曲线是双曲线，2222111y x my x m+=⇒-=-, 11()123m m +-=⇒=-， 故选C.4．B解析：B 【分析】当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，进而可求出Q 的坐标，结合椭圆的性质，可知椭圆的离心率EF e QE QF=+.【详解】由题意，双曲线22:13y C x -=中，2221,3,4a b c ===，设双曲线的左焦点为E ，则()2,0E -，右焦点()2,0F ，则()222324MF =+=，根据双曲线的性质可知，2QF QE a -=，则MQF 的周长为26MF MQ QF MF MQ QE a MQ QE ++=+++=++，当,,M Q E 三点共线时，MQ QE +最小，此时MQF 的周长最小，此时直线ME 的方程为)32y x =+，联立)221332y x x y ⎧==+-⎪⎨⎪⎩，消去y 得450x +=，解得54x =-，则334y = 所以MQF 的周长最小时，点Q 的坐标为5334⎛- ⎝⎭， 过点Q 的椭圆的左焦点()2,0E -，右焦点()2,0F ，则2222533533224444QE QF ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭614544=+=， 所以椭圆的离心率45EFe QE QF ==+.故选：B.【点睛】本题考查双曲线、椭圆的性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生的计算求解能力，属于中档题.5．A解析：A 【分析】由点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，可得出直线1AF 的方程为0ax by ac -+=，与双曲线联立，利用120x x <可建立关系求解. 【详解】设点A 的坐标为(,)m n ，则直线1AF 的方程为()()0m c y n x c +-+=， 点()2,0F c 到直线1AF 的距离为2a ，2a =，可得()a n m c b =+，则直线1AF 的方程化为0ax by ac -+=，与双曲线方程联立，可得()4424422420b a x a cx a c a b ----=，A 在右支上，4224440a c a b b a--∴<-，即440b a ->，即220b a ->，即2220c a ->，则可得e >故选：A. 【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.6．B解析：B 【分析】设点()00,P x y ，求出直线AB 的方程为003412x x y y +=，联立直线AB 与双曲线两渐近线方程，求出点E 、F 的坐标，由此可计算得出OE OF ⋅的值. 【详解】先证明结论：椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.由于点()00,M x y 在椭圆2C 上，则22003412x y +=，联立002234123412x x y y x y +=⎧⎨+=⎩，消去y 得()()22220000342448160x y x x x y +-+-=， 即22001224120x x x x -+=，即()200x x -=，所以，直线003412x x y y +=与椭圆2C 相切.所以，椭圆222:143x y C +=在其上一点()00,M x y 的切线方程为003412x x y y +=.本题中，设点()00,P x y ，设点()11,A x y 、()22,B x y ，直线PA 的方程为113412x x y y +=，直线PB 的方程为223412x x y y +=，由于点()00,P x y 在直线PA 、PB 上，可得1010202034123412x x y y x x y y +=⎧⎨+=⎩，所以点()11,A x y 、()22,B x y 满足方程003412x x y y +=， 所以，直线AB 的方程为003412x x y y +=.联立0034122x x y y y x +=⎧⎪⎨=⎪⎩，得点E ⎫，同理F ⎫.因此，()()()()2222220000048361213422OE OF x y y y ⋅=-==---. 故选：B. 【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线： （1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0∆=进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，在应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.7．D解析：D 【分析】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程整理后应用韦达定理得1212,y y y y +，由30FP FQ +=得123y y =-，从而可求得k ，12,y y ，再由面积公式1212S OF y y =-得结论． 【详解】设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，将1x ky =+代入24y x =，消去x 可得2440yky --=，所以124y y k +=，124y y =-．因为3FP QF =，所以123y y =-，所以2234y y k -+=，则22y k =-，16y k =，所以264k k -⋅=-，所以3||3k =， 又||1OF =，所以OPQ △的面积S =121143||||18||223OF y y k ⋅-=⨯⨯=． 故选：D ． 【点睛】方法点睛：本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是应用韦达定理．即设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，直线l 的方程为1x ky =+，直线方程代入抛物线方程后整理，应用韦达定理得1212,y y y y +，再结合已知求出12,,y y k ，然后求出三角形面积．8．C解析：C 【分析】如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=23m n -，平方得：22212m n mn +-=，在12F PF △中利用余弦定理可得：2228m n mn ++=，即可得到163mn =，再利用等面积法即可求得PD 【详解】由题意，双曲线22134x y -=中，2223,4,7a b c === 如图，设1=PF m ，2=PF n ，由双曲线定义知=223m n a -= 两边平方得：22212m n mn +-=在12F PF △中，由余弦定理可得：2222cos120428m n mn c +-==，即2228m n mn ++=两式相减得：316mn =，即163mn = 利用等面积法可知：11sin120222mn c PD =⨯⨯，即1632732PD ⨯=⨯ 解得42121PD = 故选：C.【点睛】关键点睛：本题考查双曲线的定义及焦点三角形的几何性质，解题的关键是熟悉焦点三角形的面积公式推导，也可以直接记住结论：（1）设1F ，2F 分别为椭圆22221x y a b+=的左，右焦点，点P 为椭圆上的一点，且12F PF θ∠=，则椭圆焦点三角形面积122tan2F PF Sb θ=（2）设1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=的左，右焦点，点P 为双曲线上的一点，且12F PF θ∠=，则双曲线焦点三角形面积122tan2F PF b Sθ=9．C解析：C 【分析】根据2||2PQ OF =，可得四边形12PFQF 为矩形，设12,PFn PF m ==，根据椭圆的定义以及勾股定理可得()22242c m n n m a c =+-，再分析18m t n m =+的取值范围， 进而求得()222422c a c <≤-，再求离心率的范围即可【详解】设12,PF n PF m ==，由210,0x y >>，知m n <，因为()()1111,,,P x y Q x y --，在椭圆C 上，222PQ OP OF ==， 所以，四边形12PFQF 为矩形，12=QF PF ；由11QF PF ≥，可得13mn≤<， 由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①； 平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-； 令=+m nt n m，令m v n ⎫=∈⎪⎪⎣⎭，所以，1t v v ⎛=+∈ ⎝⎦， 即()2224232c a c <≤-，所以，()22222a c c a c -<≤-，所以，()222113e e e -<≤-，所以，2142e <≤-解得12e <≤ 故选：C 【点睛】关键点睛：解题的关键在于运用椭圆的定义构造齐次式求椭圆的离心率， 即由椭圆定义可得2222,4m n a m n c +=+=①； 平方相减可得()222mn a c=-②；由①②得()2222242c m n m nmn n m a c +==+-，然后利用换元法得出()222113e e e -<≤-，进而求解 属于中档题10．A解析：A 【详解】试题分析：设直线:240l x y +-=因为1||||2C l OC AB d -==，1c d -表示点C 到直线l 的距离，所以圆心C 的轨迹为以O 为焦点，l 为准线的抛物线，圆C 的半径最小值为11225O l d -==，圆C 面积的最小值为245ππ=⎝⎭．故本题的正确选项为A. 考点：抛物线定义.11．A解析：A 【分析】设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性结合0FA FB ⋅=，得到四边形'AFBF 为矩形，设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，利用椭圆的定义和勾股定理化简得到222m n c n m b+=，再根据2FB FA FB ≤≤，得到m n 的范围，然后利用双勾函数的值域得到22b a 的范围，然后由c e a ==. 【详解】 如图所示：设椭圆的左焦点'F ，由椭圆的对称性可知，四边形'AFBF 为平行四边形， 又0FA FB ⋅=，即FA FB ⊥， 所以平行四边形'AFBF 为矩形， 所以'2AB FF c ==， 设'AF n =，AF m =，在直角ABF 中，2m n a +=，2224m n c +=，得22mn b =，所以222m n c n m b +=，令m t n =，得2212t c t b+=， 又由2FB FA FB ≤≤，得[]1,2mt n=∈， 所以221252,2c t t b ⎡⎤+=∈⎢⎥⎣⎦，所以 2251,4c b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ ，即2241,92b a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2225123c b e a a ==-⎣⎦，所以离心率的取值范围是25⎣⎦， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的定义，对称性，离心率的范围的求法以及函数值域的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.12．B解析：B 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，利用点差法得到22221212220x x y y a b --+=，然后根据AB 中点坐标为()2,1-，求出斜率代入上式，得到a ，b 的关系求解.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则22112222222211x y a bx y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212220x x y y a b--+=， 因为AB 中点坐标为()2,1-， 所以12124,2x x y y +=+=-，所以()()2212122212122x x b y y b x x y y a a +-=-=-+， 又1212011422AB y y k x x -+===--， 所以22212b a =，即2a b =，所以c e a ===， 故选：B 【点睛】本题主要考查椭圆的方程，点差法的应用以及离心率的求法，还考查了运算求解的能力，属于中档题.二、填空题13．12【解析】由知焦点所以设直线AB 方程为联立抛物线与直线方程消元得：设则根据抛物线定义知故填：解析：12 【解析】由2=3y x 知焦点3(0)4F ，，所以设直线AB方程为3)34y x =-，联立抛物线与直线方程，消元得：21616890x x -+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则12212x x += ，根据抛物线定义知12213||=x 1222AB x p ++=+=.故填：12. 14．或【分析】设设直线方程为利用焦点弦长公式可求得参数【详解】由题意抛物线的焦点为则的斜率存在设设直线方程为由得所以所以所以直线的倾斜角为或故答案为：或【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题解题方法是设而解析：3π或23π 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，利用焦点弦长公式12AB x x p =++可求得参数k ．【详解】 由题意6p，抛物线的焦点为(3,0)F ， 16AB =，则AB 的斜率存在，设1122(,),(,)A x y B x y ，设直线AB 方程为(3)y k x =-，由2(3)12y k x y x =-⎧⎨=⎩得22226(2)90k x k x k -++=，所以21226(2)k x x k ++=，所以12616AB x x =++=，21226(2)10k x x k++==，k =， 所以直线AB 的倾斜角为3π或23π．故答案为：3π或23π． 【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，解题方法是设而不求思想方法，解题关键是掌握焦点弦长公式．15．【分析】作出示意图记右焦点根据长度和位置关系计算出的长度再根据的形状列出对应的等式即可求解出离心率的值【详解】如图所示的中点为右焦点为连接所以因为所以所以又因为所以且所以又因为所以所以所以故答案为：【分析】作出示意图，记右焦点2F ，根据长度和位置关系计算出2,AF AF 的长度，再根据2AFF 的形状列出对应的等式，即可求解出离心率e 的值. 【详解】如图所示，AF 的中点为M ，右焦点为2F ，连接2,MO AF ，所以2//MO AF ， 因为OA OF=，所以OM AF ⊥，所以2AFAF ⊥，又因为12AF k =，所以212AF AF =且22AF AF a +=，所以242,33a aAF AF ==，又因为22222AF AF FF +=，所以222164499a a c +=，所以2259c a =，所以e =故答案为：53.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，难度一般.(1)涉及到利用图形求解椭圆的离心率时，注意借助几何图形的性质完成求解；(2)已知,,a b c 任意两个量之间的倍数关系即可求解出椭圆的离心率.16．【分析】设点将直线的方程与抛物线的方程联立求得点的坐标进而可得出的坐标由此可计算得出梯形的面积【详解】设点并设点在第一象限由图象可知联立消去得解得或所以点因此梯形的面积为故答案为：【点睛】本题考查抛 解析：48【分析】设点()11,A x y 、()22,B x y ，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，求得点A 、B 的坐标，进而可得出P 、Q 的坐标，由此可计算得出梯形APQB 的面积. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，并设点A 在第一象限，由图象可知12x x >，联立234y x y x =-⎧⎨=⎩消去y ，得21090x x -+=，解得19x =，21x =，1196x y =⎧∴⎨=⎩或2212x y =⎧⎨=-⎩， 所以点()9,6A 、()1,2B -、()1,6P -、()1,2Q --，10AP ∴=，2BQ =，8PQ =，因此，梯形APQB 的面积为()()10284822AP BQ PQ S +⋅+⨯===.故答案为：48. 【点睛】本题考查抛物线中梯形面积的计算，解题的关键就是求出直线与抛物线的交点坐标，考查计算能力，属于中等题.17．【分析】设点的坐标为则利用导数的几何意义结合已知条件求得点的坐标可求得直线的方程并求得点的坐标可得出利用三角换元思想求得的最大值及其对应的的值由此可求得双曲线的标准方程【详解】设点的坐标为则对于二次解析：2213944x y -= 【分析】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，利用导数的几何意义结合已知条件求得点M 的坐标，可求得直线l 的方程，并求得点1F 的坐标，可得出223a b +=，利用三角换元思想求得a 的最大值及其对应的a 、b 的值，由此可求得双曲线的标准方程. 【详解】设点M 的坐标为()00,x y ，则00x >，对于二次函数24x y =，求导得2x y '=，由于抛物线24x y =在点M处的切线与直线y =垂直，则(012x ⨯=-，解得0x =，则200143x y ==，所以，点M的坐标为13⎫⎪⎪⎝⎭， 抛物线24x y =的焦点为()0,1F ，直线MF的斜率为11MFk -==所以，直线l的方程为13y x =-+，该直线交x轴于点)1F ，223a b ∴+=，可设a θ=，b θ=，其中02θπ≤<，3sin 6a πθθθ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，02θπ≤<，13666πππθ∴≤+<， 当62ππθ+=时，即当3πθ=时，a取得最大值此时，32a π==，332b π==， 因此，双曲线的标准方程为2213944x y -=. 故答案为：2213944x y -=. 【点睛】本题考查双曲线方程的求解，同时也考查了利用导数求解二次函数的切线方程，以及利用三角换元思想求代数式的最值，考查计算能力，属于中等题.18．【分析】先根据题意得再根据向量关系得再算出代入化简整理得解方程即可求解【详解】由图像可知点则由则则则则由则则点由点在直线上则则由则故答案为：【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解是中档题【分析】先根据题意得2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，再根据向量关系得1212::1:2:3MPF MPF MF F SSS=，再算出2,32c b M a ⎛⎫⎪⎝⎭，代入2y x =，化简整理得23430e e --=，解方程即可求解. 【详解】由图像可知，点2,b P c a ⎛⎫⎪⎝⎭，则122PF F b cS a=，由21230MF MF MP ++=， 则1212::1:2:3MPF MPF MF F S SS=，则222132PMF b c b S d a a==⋅⋅，则23c d =，则3M c x =， 由1221222F MF b c Sc h a ==⋅⋅，则22b h a=， 则22M b y a =，点2,32c b M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由点M 在直线2y x =上，则22222234334343023b cb ac c a ac e e a =⇒=⇒-=⇒--=，则e =，由1e >，则e =.【点睛】本题考查双曲线的离心率的求解，是中档题.19．【分析】由题意可得直线的方程求出到直线的距离且求出的值求出的面积及的面积再由题意可得的关系进而求出椭圆的离心率【详解】由题意可得直线的方程为：即所以到直线的距离因为所以而因为所以整理可得：整理可得解解析：22【分析】由题意可得直线BF 的方程，求出M 到直线BF 的距离，且求出|BF |的值，求出BFM 的面积及BFO 的面积，再由题意可得a ，c 的关系，进而求出椭圆的离心率． 【详解】由题意可得直线BF 的方程为：1x yc b+=，即0bx cy cb +-=， 所以M 到直线BF 的距离2222||12|(21)|222ab bc bc b a c d ab c +---==+，因为22||BF b c a =+=， 所以12||[(21)]24BFMS BF d b a c ==--， 而12BFOSbc =， 因为2BFOBFMSS=，所以122[(21)]24bc b a c =--， 整理可得：[(21)]c a c =--， 整理可得2a c =，解得22e =， 故答案为：22【点睛】本题主要考查椭圆的简单几何性质和椭圆离心率的计算，考查直线和椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20．4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程求出其左焦点坐标和渐近线方程之后利用点到直线的距离公式求得结果【详解】根据题意双曲线的方程为其中所以所以其左焦点的坐标为渐近线方程为即则左焦点到其渐近线的距离为解析：4【分析】首先根据题中所给的双曲线方程，求出其左焦点坐标和渐近线方程，之后利用点到直线的距离公式求得结果. 【详解】根据题意，双曲线的方程为221916x y -=，其中3,4a b ==，所以5c =，所以其左焦点的坐标为(5,0)-，渐近线方程为43y x =±，即430x y ±=，则左焦点到其渐近线的距离为2045d ===， 故答案为：4. 【点睛】该题考查的是有关双曲线的问题，涉及到的知识点有根据双曲线的方程求其焦点坐标以及渐近线方程，点到直线的距离公式，属于简单题目.三、解答题21．（1）24x y =；（2）①112x ；②[2，)+∞． 【分析】（1）可得抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=，解得2p =，即可得抛物线的方程； （2）①设:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，可得21111:()42x PA y x x x -=-，令0y =即得解；②||AP =||BQ =||||AP BQ ⋅的取值范围．【详解】（1）已知(9,)M m 到焦点F 的距离为10，则点M 到其准线的距离为10． 抛物线的准线为2py =-，∴9102p +=， 解得2p =，∴抛物线的方程为24x y =．（2）①由已知可判断直线l 的斜率存在，设斜率为k ，因为(0,1)F ，则:1l y kx =+．设211(,)4x A x ，2(B x ，22)4x ，由214y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得，2440x kx --=， 124x x k ∴+=，124x x =-．由于抛物线C 也是函数214y x =的图象，且12y x '=，则21111:()42x PA y x x x -=-．令0y =，解得112x x =，11(,0)2P x ∴，②||AP．同理可得，||BQ∴||||AP BQ ⋅=20k ，||||AP BQ ∴⋅的取值范围为[2，)+∞．【点睛】方法点睛：解析几何里的最值范围问题常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数法；（4）基本不等式法. 要根据已知条件灵活选择方法求解.22．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）||||PA PB ⋅21n n =--，1n ≤-或1n ≥.【分析】（Ⅰ）利用圆心到直线的距离为半径可得221n t =+，结合00x ty n =+以及点P 在圆上可得01nx =，在00x nt y -=消去n 后可得所求证的关系式. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ，则||||PA PB ⋅可用前者的纵坐标表示，联立直线方程和抛物线方程，消去x 后利用韦达定理化简||||PA PB ⋅，则可得其表达式. 【详解】解：（Ⅰ）若00y =，则直线l 垂直于x 轴，此时0t =，故00ny t +=成立， 若00y ≠，因为直线:l x ty n =+1=，整理得到：221n t =+，又00x ty n =+，故()222022121x n nx n n y y --+=+=， 整理得到2200120nx n x -+=即01nx =，而2000000000011x x x n x x y t ny y y y x ---====-=-即00ny t +=. （Ⅱ）设()11,A x y ，()22,B x y ．联立2x ty ny x=+⎧⎨=⎩，得20y ty n --=，∴12y y t +=，12y y n =-．由（Ⅰ）可得221n t =+，故1n ≤-或1n ≥，而240t n ∆=+>，故2410n n +->即2n <-2n >- 故1n ≤-或1n ≥.而1020||||PA PB y y ⋅=--()()221201201t y y y y y y =+-++()22222220021t t t t t n ty y n n t n n n n n n--⎛⎫=+--+=--⨯+=-++ ⎪⎝⎭222211n n n n n n--=-++21n n =--，其中1n ≤-或1n ≥. 【点睛】思路点睛：对于直线与抛物线、圆的位置关系的问题，前者可设而不求（即韦达定理）来处理，后者利用几何方法来处理，计算过程中注意判别式的隐含要求以及代数式非负对应范围的影响.23．（1）26y x =；（2）证明见解析，9(,0)2. 【分析】（1）设圆心(),C x y ，然后根据条件建立方程求解即可；（2）设直线1l 的方程为3()2y k x =-，然后算出22363(,)2k M k k +，236(,3)2k N k +-，然后表示出直线MN 的方程即可. 【详解】（1）设圆心(),C x y ，由题意得2229(3)x x y =-++，即26y x = 所以曲线C 的方程为26y x =（2）由题意可知，直线12,l l 的斜率均存在，设直线1l 的方程为3()2y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y联立方程组2632y x y k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩得22224(1224)90k x k x k -++=， 所以212236k x x k ++=，12126(3)y y k x x k +=+-= 因为点M 是线段AB 的中点，所以22363(,)2k M k k +同理，将k 换成1k -得236(,3)2k N k +-，当222363622k k k ++≠，即1k ≠±时2222333636122MNkk k k k k k k +-==++--所以直线MN 的方程为22363()12k k y k x k -++=--即29()12k y x k -=--， 所以直线MN 恒过定点9(,0)2当1k =±时，直线MN 的方程为92x =，也过点9(,0)2所以直线MN 恒过定点9(,0)2【点睛】方法点睛：定点问题的常见解法：①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意.24．（1）2215x y +=；（2）存在定点5,02Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，使得,,P B Q 三点共线．【分析】（1）设(,)M x y=化简可得结果；（2）联立直线l 与椭圆方程，根据韦达定理得1212,x x x x +，椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上，设(,0)Q t ，根据//PB PQ 列式，结合1212,x x x x +可求出52t =. 【详解】（1）设(,)M x y=，化简得2215x y +=故动点M 的轨迹方程为2215x y +=．（2）由题知(2,0)F 且直线l 斜率存在，设为k ，则直线l 方程为(2)y k x =- 由22(2)15y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(51)202050k x k x k +-+-=设1122(,),(,)A x y B x y ，则2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++， 由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上故假设存在定点(,0)Q t ，使得,,P B Q 三点共线，则//PB PQ 且11(,)P x y - 又212111(,),(,).PB x x y y PQ t x y =-+=-211211()()()x x y y y t x ∴-=+-，即211121()(2)(4)()x x k x k x x t x --=+-- 化简得12122(2)()40x x t x x t -+++=将2212122220205,5151k k x x x x k k -+==++式代入上式得2222205202(2)405151k k t t k k -⨯-+⨯+=++ 化简得52t =故存在定点5(,0)2Q ，使得,,P B Q 三点共线． 【点睛】关键点点睛：由椭圆的对称性知，若存在定点Q ，则点Q 必在x 轴上是解题关键.25．（1）2214x y -=；（2）存在；23(,0)8Q ；27364QM QN ⋅=. 【分析】（1）由渐近线方程和点的坐标列出关于,a b 的方程组，解之可得；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t ，设()11,M x y ，()22,N x y ，直线方程代入双曲线方程得应用韦达定理得12y y +，12y y ，计算QM QN ⋅，并代入12y y +，12y y ，利用此式与m 无关可得t （如果得不出t 值，说明不存在）．【详解】（1）∵双曲线C过点，且渐近线方程为12y x =±， ∴22163112a b b a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得221,4b a ==， ∴双曲线的方程为2214x y -=；（2）设直线l 的方程为1x my =+，设定点(,0)Q t联立方程组22141x y x my ⎧-=⎪⎨⎪=+⎩，消x 可得()224230m y my -+-=，∴240m -≠，且()2241240m m ∆=+->，解得23m >且24m ≠， 设()11,M x y ，()22,N x y ， ∴12122223,44m y y y y m m +=-=---， ∴()2121222282244m x x m y y m m -+=++=-+=--， ()()()22221212121222232441111444m m m x x my my m y y m y y m m m +=++=+++=--+=---- 22044m =--- ∴()()()()11221212,,QM QN x t y x t y x t x t y y ⋅=--=--+()22212121222222083823444444t x x t x x t y y t t t m m m m -=-+++=--+⋅-+=-++----为常数，与m 无关. ∴8230t -=， 解得238t =．即23(,0)8Q ，此时27364QM QN ⋅=．【点睛】方法点睛：本题考查求双曲线的标准方程，考查直线民双曲线相交中定点问题．解题方法是设而不求的思想方法：即设直线方程，设交点坐标，直线方程与双曲线方程联立消元后应用韦达定理，然后计算QM QN ⋅（要求定值的量），利用它是关于参数m 的恒等式，求出定点坐标．26．（1）0y --=；（2）证明见解析. 【分析】（1）由于直线l 斜率不为0，(1,0)F ，所以设直线:1l x ty =+，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意可得120,0y y ><，然后直线方程和抛物线方程联立，消去x ，再利用韦达定理结合2,AF FB =可求出t 的值，从而可得AB 所在的直线方程；（2）设AB 中点为(),N N N x y ，则由（1）可得2122,212N N y y y t x t +===+，从而可得AB 中垂线()2:221l y t t x t -=---'，求出点()223,0D t +，进而可求出DF 的长，再利用两点间的距离公式可求出AB 的长，从而可求得||||AB DF 的值【详解】解：（1）直线l 斜率不为0，(1,0)F ，设直线:1l x ty =+， 设()()1122,,,A x y B x y ，因为A 点在x 轴上方，所以120,0y y ><由214x ty y x =+⎧⎨=⎩，得2440y ty --= 12124,4y y t y y ∴+==-()()11221221,21,2AF FB x y x y y y =⇒-=-∴-=由1211224824y y t y ty y y t ⎧+==⎧⎪⇒⎨⎨-==-⎪⎩⎩代入124y y =-因10y >，所以0t >，解得t =所以AB所在直线方程为0y --= （2）设AB 中点为(),N N N x y()22122,2121,22N N y y y t x t N t t +∴===+∴+ 所以AB 中垂线()()22:22123,0l y t t x t D t -=---+'∴22||23122DF t t ∴=+-=+(||AB ====244t =+22||442||22AB t DF t +∴==+(定值) 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的应用，解题的关键是利用设而不求的方法，设出直线方程和交点坐标，然后将直线方程和抛物线的方程联立，消元，再利用韦达定理，然后结已知条件求解即可，考查计算能力，属于中档题。
直线与圆锥曲线的位置关系(有答案)汇编
第4讲 直线与圆锥曲线的位置关系（教师）【2013年高考会这样考】1．考查圆锥曲线中的弦长问题、直线与圆锥曲线方程的联立、根与系数的关系、整体代入和设而不求的思想．2．高考对圆锥曲线的综合考查主要是在解答题中进行，考查函数、方程、不等式、平面向量等在解决问题中的综合运用． 【复习指导】本讲复习时，应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求直线与曲线相交的弦长、中点、最值、定值、点的轨迹、参数问题及相关的不等式与等式的证明问题．基础梳理1．直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l 与圆锥曲线C 的位置关系时，通常将直线l 的方程Ax ＋By ＋C ＝0(A 、B 不同时为0)代入圆锥曲线C 的方程F (x ，y )＝0，消去y (也可以消去x )得到一个关于变量x (或变量y )的一元方程．即⎩⎨⎧Ax ＋By ＋C ＝0，F (x ，y )＝0，消去y 后得ax 2＋bx ＋c ＝0. (1)当a ≠0时，设一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的判别式为Δ，则Δ＞0⇔直线与圆锥曲线C 相交；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C 相切； Δ＜0⇔直线与圆锥曲线C 无公共点．(2)当a ＝0，b ≠0时，即得到一个一次方程，则直线l 与圆锥曲线C 相交，且只有一个交点，此时，若C 为双曲线，则直线l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C 为抛物线，则直线l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行． 2．圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长直线与圆锥曲线相交有两个交点时，这条直线上以这两个交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任意两点所得的线段)，线段的长就是弦长．(2)圆锥曲线的弦长的计算设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝1＋k2|x1－x2|＝1＋1k2·|y1－y2|.(抛物线的焦点弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝2psin2θ，θ为弦AB所在直线的倾斜角)．一种方法点差法：在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交和被截的线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程．“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ是否为正数．一条规律“联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”．双基自测1．(人教A版教材习题改编)直线y＝kx－k＋1与椭圆x29＋y24＝1的位置关系为()．A．相交B．相切C．相离D．不确定解析直线y＝kx－k＋1＝k(x－1)＋1恒过定点(1,1)，而点(1,1)在椭圆内部，故直线与椭圆相交．答案 A2．(2012·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析 与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点． 答案 A3．已知以F 1(－2,0)，F 2(2,0)为焦点的椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为( )．A ．3 2B ．2 6C ．27D ．4 2解析 根据题意设椭圆方程为x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1(b ＞0)，则将x ＝－3y －4代入椭圆方程，得4(b 2＋1)y 2＋83b 2y －b 4＋12b 2＝0，∵椭圆与直线x ＋3y ＋4＝0有且仅有一个交点，∴Δ＝(83b 2)2－4×4(b 2＋1)·(－b 4＋12b 2)＝0，即(b 2＋4)(b 2－3)＝0，∴b 2＝3， 长轴长为2b 2＋4＝27.答案 C4．(2012·成都月考)已知双曲线E 的中心为原点，F (3,0)是E 的焦点，过F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 的中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )． A.x 23－y 26＝1 B.x 24－y 25＝1 C.x 26－y 23＝1D.x 25－y 24＝1解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知c ＝3，a 2＋b 2＝9，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有：⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，x 22a 2－y 22b 2＝1，两式作差得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－12b 2－15a 2＝4b 25a 2，又AB 的斜率是－15－0－12－3＝1，所以将4b 2＝5a 2代入a 2＋b 2＝9得a 2＝4，b 2＝5，所以双曲线的标准方程是x 24－y 25＝1.答案 B5．(2011·泉州模拟)y ＝kx ＋2与y 2＝8x 有且仅有一个公共点，则k 的取值为________．解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，y 2＝8x ，得ky 2－8y ＋16＝0，若k ＝0，则y ＝2；若k ≠0，则Δ＝0，即64－64k ＝0，解得k ＝1.故k ＝0或k ＝1. 答案 0或1考向一 直线与圆锥曲线的位置关系【例1】►(2011·合肥模拟)设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12 B ．[－2,2] C ．[－1,1]D ．[－4,4][审题视点] 设直线l 的方程，将其与抛物线方程联立，利用Δ≥0解得． 解析 由题意得Q (－2,0)．设l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入y 2＝8x 得k 2x 2＋4(k 2－2)x ＋4k 2＝0，∴当k ＝0时，直线l 与抛物线恒有一个交点；当k ≠0时，Δ＝16(k 2－2)2－16k 4≥0，即k 2≤1，∴－1≤k ≤1，且k ≠0，综上－1≤k ≤1. 答案 C研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数，但对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．【训练1】 若直线mx ＋ny ＝4与⊙O ：x 2＋y 2＝4没有交点，则过点P (m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数是( )． A ．至多为1 B ．2 C ．1 D ．0 解析 由题意知：4m 2＋n 2＞2，即m 2＋n 2＜2，∴点P (m ，n )在椭圆x 29＋y 24＝1的内部，故所求交点个数是2个． 答案 B考向二 弦长及中点弦问题【例2】►若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．[审题视点] 联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系后代入弦长公式，利用基本不等式求出弦长的最大值即可． 解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)当AB ⊥x 轴时，|AB |＝3；(2)当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋m .由已知，得|m |1＋k 2＝32，即m 2＝34(k 2＋1)．把y ＝kx ＋m 代入椭圆方程，整理，得(3k 2＋1)x 2＋6kmx ＋3m 2－3＝0.∴x 1＋x 2＝－6km 3k 2＋1，x 1x 2＝3(m 2－1)3k 2＋1.∴|AB |2＝(1＋k 2)(x 2－x 1)2＝(1＋k 2)·⎣⎢⎡⎦⎥⎤36k 2m 2(3k 2＋1)2－12(m 2－1)3k 2＋1＝12(k 2＋1)(3k 2＋1－m 2)(3k 2＋1)2＝3(k 2＋1)(9k 2＋1)(3k 2＋1)2＝3＋12k 29k 4＋6k 2＋1.当k ≠0时，上式＝3＋129k 2＋1k 2＋6≤3＋122×3＋6＝4， 当且仅当9k 2＝1k 2，即k ＝±33时等号成立．此时|AB |＝2；当k ＝0时，|AB |＝3，综上所述|AB |max ＝2.∴当|AB |最大时，△AOB 面积取最大值S max ＝12×|AB |max ×32＝32.当直线(斜率为k )与圆锥曲线交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)时，则|AB |＝1＋k 2·|x 1－x 2|＝1＋1k 2|y 1－y 2|，而|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2，可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式，然后再进行整体代入求解．【训练2】 椭圆ax 2＋by 2＝1与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若AB ＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 法一 设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 代入椭圆方程并作差得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0. 而y 1－y 2x 1－x 2＝－1，y 1＋y 2x 1＋x 2＝k oc ＝22， 代入上式可得b ＝2a .再由|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， 其中x 1、x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根， 故⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b ＝4，将b ＝2a 代入得a ＝13，∴b ＝23. ∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.法二 由⎩⎨⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y ＝1，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.设A (x 1，y 1)、B (x 2，y 2)， 则|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)(a ＋b )2.∵|AB |＝22，∴a ＋b －aba ＋b ＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b， ∵OC 的斜率为22，∴a b ＝22. 代入①，得a ＝13，b ＝23. ∴椭圆方程为x 23＋23y 2＝1.考向三 圆锥曲线中的最值(或取值范围)问题【例3】►(2011·湘潭模拟)已知椭圆x 22＋y 2＝1的左焦点为F ，O 为坐标原点． (1)求过点O 、F ，并且与直线l ：x ＝－2相切的圆的方程；(2)设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围． [审题视点] (1)求出圆心和半径，得出圆的标准方程；(2)设直线AB 的点斜式方程，由已知得出线段AB 的垂直平分线方程，利用求值域的方法求解．解 (1)∵a 2＝2，b 2＝1，∴c ＝1，F (－1,0)， ∵圆过点O ，F ，∴圆心M 在直线x ＝－12上． 设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，t ，则圆半径r ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－(－2)＝32，由|OM |＝r ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋t 2＝32，解得t ＝±2，∴所求圆的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋(y ±2)2＝94.(2)设直线AB 的方程为y ＝k (x ＋1)(k ≠0)，代入x 22＋y 2＝1， 整理得(1＋2k 2)x 2＋4k 2x ＋2k 2－2＝0.∵直线AB 过椭圆的左焦点F 且不垂直于x 轴， ∴方程有两个不等实根．如图，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 中点N (x 0，y 0)， 则x 1＋x 2＝－4k 22k 2＋1，x 0＝12(x 1＋x 2)＝－2k 22k 2＋1，y 0＝k (x 0＋1)＝k2k 2＋1，∴AB 的垂直平分线NG 的方程为y －y 0＝－1k (x －x 0)． 令y ＝0，得x G ＝x 0＋ky 0＝－2k 22k 2＋1＋k 22k 2＋1＝－k 22k 2＋1＝－12＋14k 2＋2，∵k ≠0，∴－12＜x G ＜0，∴点G 横坐标的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0.直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．【训练3】 (2012·金华模拟)已知过点A (－4,0)的动直线l 与抛物线G ：x 2＝2py (p ＞0)相交于B 、C 两点．当直线l 的斜率是12时，AC →＝4AB →.(1)求抛物线G 的方程；(2)设线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为b ，求b 的取值范围．解 (1)设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，当直线l 的斜率是12时，l 的方程为y ＝12(x ＋4)，即x ＝2y －4.由⎩⎨⎧x 2＝2py ，x ＝2y －4得2y 2－(8＋p )y ＋8＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧y 1y 2＝4， ①y 1＋y 2＝8＋p2， ②又∵AC →＝4AB →，∴y 2＝4y 1，③ 由①②③及p ＞0得：y 1＝1，y 2＝4，p ＝2， 得抛物线G 的方程为x 2＝4y .(2)设l ：y ＝k (x ＋4)，BC 的中点坐标为(x 0，y 0)， 由⎩⎨⎧x 2＝4y ，y ＝k (x ＋4)得x 2－4kx －16k ＝0，④ ∴x 0＝x C ＋x B2＝2k ，y 0＝k (x 0＋4)＝2k 2＋4k . ∴线段BC 的中垂线方程为y －2k 2－4k ＝－1k (x －2k )， ∴线段BC 的中垂线在y 轴上的截距为： b ＝2k 2＋4k ＋2＝2(k ＋1)2，对于方程④，由Δ＝16k 2＋64k ＞0得k ＞0或k ＜－4. ∴b ∈(2，＋∞)．考向四 定值(定点)问题【例4】►(2011·四川)椭圆有两顶点A (－1,0)、B (1,0)，过其焦点F (0,1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q . (1)当|CD |＝322时，求直线l 的方程．(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：O P →·O Q →为定值．[审题视点] (1)设出直线方程与椭圆方程联立．利用根与系数的关系和弦长公式可求出斜率从而求出直线方程；(2)关键是求出Q 点坐标及其与P 点坐标的关系，从而证得OP →·OQ →为定值．证明过程中要充分利用已知条件进行等价转化． (1)解 因椭圆焦点在y 轴上，设椭圆的标准方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a ＞b ＞0)， 由已知得b ＝1，c ＝1，所以a ＝2，椭圆方程为y 22＋x 2＝1. 直线l 垂直于x 轴时与题意不符．设直线l 的方程为y ＝kx ＋1，将其代入椭圆方程化简得 (k 2＋2)x 2＋2kx －1＝0. 设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2，|CD |＝k 2＋1·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝22(k 2＋1)k 2＋2.由已知得22(k 2＋1)k 2＋2＝322，解得k ＝±2.所以直线l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋1. (2)证明 直线l 与x 轴垂直时与题意不符． 设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0且k ≠±1)， 所以P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ，0.设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，由(1)知x 1＋x 2＝－2k k 2＋2，x 1·x 2＝－1k 2＋2， 直线AC 的方程为y ＝y 1x 1＋1(x ＋1)， 直线BD 的方程为y ＝y 2x 2－1(x －1)， 将两直线方程联立，消去y 得x ＋1x －1＝y 2(x 1＋1)y 1(x 2－1).因为－1＜x 1，x 2＜1，所以x ＋1x －1与y 2y 1异号．⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －12＝y 22(x 1＋1)2y 21(x 2－1)2 ＝2－2x 222－2x 21·(x 1＋1)2(x 2－1)2＝(1＋x 1)(1＋x 2)(1－x 1)(1－x 2)＝1＋－2k k 2＋2＋－1k 2＋21－－2k k 2＋2＋－1k 2＋2＝⎝⎛⎭⎪⎫k －1k ＋12. 又y 1y 2＝k 2x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1 ＝2(1－k )(1＋k )k 2＋2＝－2(1＋k )2k 2＋2·k －1k ＋1，∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号， ∴x ＋1x －1＝k －1k ＋1，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y 0)． O P →·O Q →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k，0·()－k ，y 0＝1. 故O P →·O Q →为定值．解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确． 【训练4】 (2011·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 23＋y 2＝1.如图所示，斜率为k (k ＞0)且不过原点的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，线段AB 的中点为E ，射线OE 交椭圆C 于点G ，交直线x ＝－3于点D (－3，m )． (1)求m 2＋k 2的最小值；(2)若|OG |2＝|OD |·|OE |，求证：直线l 过定点．(1)解 设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (k ＞0)，由题意，t ＞0. 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6ktx ＋3t 2－3＝0.由题意Δ＞0，所以3k 2＋1＞t 2. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－6kt3k 2＋1，所以y 1＋y 2＝2t3k 2＋1.由于E 为线段AB 的中点，因此x E ＝－3kt3k 2＋1，y E ＝t3k 2＋1，此时k OE ＝y E x E＝－13k .所以OE 所在直线方程为y ＝－13k x ，又由题设知D (－3，m )，令x ＝－3，得m ＝1k ，即mk ＝1，所以m 2＋k 2≥2mk ＝2，当且仅当m ＝k ＝1时上式等号成立，此时由Δ＞0得0＜t ＜2，因此当m ＝k ＝1且0＜t ＜2时，m 2＋k 2取最小值2. (2)证明 由(1)知OD 所在直线的方程为y ＝－13k x ， 将其代入椭圆C 的方程，并由k ＞0， 解得G ⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋1，13k 2＋1. 又E ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋1，t 3k 2＋1，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，1k ， 由距离公式及t ＞0得|OG |2＝⎝⎛⎭⎪⎫－3k 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13k 2＋12＝9k 2＋13k 2＋1， |OD |＝(－3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1k 2＝9k 2＋1k ，|OE |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－3kt 3k 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 3k 2＋12＝t 9k 2＋13k 2＋1，由|OG |2＝|OD |·|OE |得t ＝k ， 因此直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)， 所以直线l 恒过定点(－1,0)．规范解答17——怎样求解析几何中的探索性问题【问题研究】 解析几何中探索性问题的结论往往不明确，需要根据已知条件通过推理论证或是计算对结论作出明确的肯定或是否定，因此解决起来具有较大的难度．【解决方案】 明确这类问题的解题思想：即假设其结论成立、存在等，在这个假设下进行推理论证，如果得到了一个合情合理的推理结果，就肯定假设，对问题作出正面回答，如果得到一个矛盾的结果，就否定假设，对问题作出反面回答． 【示例】►(本题满分12分)(2011·辽宁)如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M 、N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e .直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D . (1)设e ＝12，求|BC |与|AD |的比值；(2)当e 变化时，是否存在直线l ，使得BO ∥AN ，并说明理由．第(1)问，设C 1的方程，C 2的方程同样由C 1的系数a ，b 来表示，再分别求点A 、B 的坐标，进而可求|BC |∶|AD |；第(2)问利用k BO ＝k AN ，得t 与e 、a 的关系式，再由|t |＜a ，求e 的范围．[解答示范] (1)因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1，C 2：b 2y 2a 4＋x 2a 2＝1，(a ＞b ＞0)．设直线l ：x ＝t (|t |＜a )，分别与C 1，C 2的方程联立， 求得A (t ，a b a 2－t 2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，b a a 2－t 2.(4分)当e ＝12时，b ＝32a ，分别用y A ，y B 表示A ，B 的纵坐标，可知 |BC |∶|AD |＝2|y B |2|y A|＝b 2a 2＝34.(6分)(2)t ＝0时的l 不符合题意．t ≠0时，BO ∥AN 当且仅当BO 的斜率k BO 与AN 的斜率k AN 相等，即b a a 2－t 2t ＝a ba 2－t 2t －a ，(8分) 解得t ＝－ab 2a 2－b 2＝－1－e 2e 2·a .因为|t |＜a ，又0＜e ＜1，所以1－e 2e 2＜1，解得22＜e ＜1.(10分) 所以当0＜e ≤22时，不存在直线l ，使得BO ∥AN ； 当22＜e ＜1时，存在直线l ，使得BO ∥AN .(12分) 本题探索的是离心率e 的变化范围，化解这个难点的方法首先假设存在直线l ，使得BO ∥AN ，根据k BO ＝k AN ，再由|t |＜a 构建关于e 的不等式，解出e 的范围，最后作出肯定回答．【试一试】 已知一条曲线C 在y 轴右边，C 上每一点到点F (1,0)的距离减去它到y 轴距离的差都是1. (1)求曲线C 的方程；(2)是否存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB →＜0？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． [尝试解答] (1)设P (x ，y )是曲线C 上任意一点，那么点P (x ，y )满足： (x －1)2＋y 2－x ＝1(x ＞0)． 化简得y 2＝4x (x ＞0)．(2)设过点M (m,0)(m ＞0)的直线l 与曲线C 的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 设l 的方程为x ＝ty ＋m ，由⎩⎨⎧x ＝ty ＋m ，y 2＝4x ，得y 2－4ty －4m ＝0，Δ＝16(t 2＋m )＞0，于是⎩⎨⎧y 1＋y 2＝4t ，y 1y 2＝－4m .①又F A →＝(x 1－1，y 1)，FB →＝(x 2－1，y 2)． F A →·FB →＜0⇔(x 1－1)(x 2－1)＋y 1y 2＝x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＋y 1y 2＜0.② 又x ＝y 24，于是不等式②等价于y 214·y 224＋y 1y 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫y 214＋y 224＋1＜0⇔(y 1y 2)216＋y 1y 2－14[(y 1＋y 2)2－2y 1y 2]＋1＜0，③由①式，不等式③等价于m 2－6m ＋1＜4t 2，④对任意实数t,4t 2的最小值为0，所以不等式④对于一切t 成立等价于m 2－6m ＋1＜0，即3－22＜m ＜3＋2 2.由此可知，存在正数m ，对于过点M (m,0)且与曲线C 有两个交点A ，B 的任一直线，都有F A →·FB→＜0，且m 的取值范围是(3－22，3＋22)．一、选择题1．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦点分别为F 1、F 2，b ＝4，离心率为35.过F 1的直线交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( )A ．10B ．12C ．16D ．20解析：如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝1625a 2＝b 2＝16，∴a ＝5.△ABF 2的周长为20. 答案：D2．设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P 、Q两点，当四边形PF 1QF 2的面积最大时，1PF ·2PF 的值等于( )A ．0B ．2C ．4D ．－2解析：易知当P 、Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2的面积最大． 此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，P (0,1)， ∴1PF ＝(－3，－1)，2PF ＝(3，－1)． ∴1PF ·2PF ＝－2. 答案：D3．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一个点B ，且点B 在x 轴上的射影恰好为右焦点F ，若13<k <12，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(14，94)B ．(23，1)C ．(12，23)D ．(0，12)解析：由题意：B (c ，b 2a )，∴k ＝b 2ac ＋a ＝a －c a ＝1－e ，∴13<1－e <12， ∴12<e <23. 答案：C4．(2011·东北三校第一次联考)已知双曲线x 29－y 216＝1，过其右焦点F 的直线(斜率存在)交双曲线于P 、Q 两点，PQ 的垂直平分线交x 轴于点M ，则|MF ||PQ |的值为( )A.53B.56C.54D.58解析：依题意，将直线PQ 特殊化为x 轴，于是有点P (－3,0)、Q (3,0)、M (0,0)、F (5,0)，|MF ||PQ |＝56. 答案：B5．(2012·潍坊模拟)椭圆x 24＋y 23＝1的离心率为e ，点(1，e )是圆x 2＋y 2－4x －4y ＋4＝0的一条弦的中点，则此弦所在直线的方程是( )A ．3x ＋2y －4＝0B ．4x ＋6y －7＝0C ．3x －2y －2＝0D ．4x －6y －1＝0解析：依题意得e ＝12，圆心坐标为(2,2)，圆心(2,2)与点(1，12)的连线的斜率为2－122－1＝32，所求直线的斜率等于－23，所以所求直线方程是y －12＝－23(x －1)．即4x ＋6y －7＝0.答案：B 二、填空题6．(2011·北京东城区期末)设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为________．解析：设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，令x ＝c ，则|y |＝b 2a ，由题意得|PF 2|＝b 2a ，又∵|F 1F 2|＝|PF 2|，∴2c ＝b 2a ，∵b 2＝a 2－c 2，∴c 2＋2ac －a 2＝0，∴e 2＋2e －1＝0，解之得e ＝－1±2，又∵0<e <1，∴e ＝2－1.答案：2－17．已知以坐标原点为顶点的抛物线C ，焦点在x 轴上，直线x －y ＝0与抛物线C 交于A 、B 两点．若P (2,2)为AB 的中点，则抛物线C 的方程为________．解析：由题意知，抛物线的顶点为坐标原点，焦点在x 轴上，所以可设抛物线的方程为y 2＝ax (a ≠0)．将直线方程和抛物线方程联立⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝axy ＝x ，得：x 2－ax ＝0，解得x 1＝0，x 2＝a ，故AB中点的横坐标为x 0＝12(x 1＋x 2)＝12a ，由题意得12a ＝2，解得a ＝4.所以该抛物线的方程为y 2＝4x .答案：y 2＝4x 三、解答题8．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为22，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F 1、F 2为顶点的三角形的周长为4(2＋1)．一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P 为该双曲线上异于顶点的任一点．(1)求椭圆和双曲线的标准方程；(2)设直线PF 1、PF 2的斜率分别为k 1、k 2，证明：k 1·k 2＝1. 解：(1)设椭圆的半焦距为c ，由题意知：c a ＝22，2a ＋2c ＝4(2＋1)， 所以a ＝22，c ＝2， 又a 2＝b 2＋c 2，因此b ＝2. 故椭圆的标准方程为x 28＋y 24＝1.由题意设等轴双曲线的标准方程为x 2m 2－y 2m 2＝1(m >0)，因为等轴双曲线的顶点是椭圆的焦点， 所以m ＝2，因此双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1.(2)证明：P (x 0，y 0)， 则k 1＝y 0x 0＋2，k 2＝y 0x 0－2. 因为点P 在双曲线x 2－y 2＝4上，所以x 20－y 20＝4. 因此k 1k 2＝y 0x 0＋2·y 0x 0－2＝y 20x 20－4＝1，即k 1k 2＝1.9．(2012·大连模拟)已知椭圆C 过点M (1，32)，两个焦点为A (－1,0)，B (1,0)，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 过点A (－1,0)，且与椭圆C 交于P ，Q 两点，求△BPQ 的内切圆面积的最大值．解：(1)由题意，c ＝1，可设椭圆方程为x 21＋b 2＋y 2b 2＝1.因为A 在椭圆上，所以11＋b 2＋94b 2＝1，解得b 2＝3，b 2＝－34(舍去)．所以椭圆方程为x 24＋y 23＝1.(2)设直线l 方程为x ＝ky －1，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ky －1，x 24＋y 23＝1⇒(4＋3k 2)y 2－6ky －9＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧y 1＋y 2＝6k 3k 2＋4，y 1·y 2＝－93k 2＋4，所以S △BPQ ＝12·|F 1F 2||y 1－y 2|＝12k 2＋13k 2＋4.令k 2＋1＝t ，则t ≥1，所以S △BPQ ＝123t ＋1t ，而3t ＋1t 在[1，＋∞)上单调递增， 所以S △BPQ ＝123t ＋1t ≤3，当t ＝1时取等号， 即当k ＝0时，△BPQ 的面积最大值为3.10．已知椭圆的一个顶点为A (0，－1)，焦点在x 轴上．若右焦点F 到直线x －y ＋22＝0的距离为3.(1)求椭圆的方程；(2)设直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点M 、N .当|AM |＝|AN |时，求m 的取值范围．解：(1)依题意，可设椭圆方程为x 2a2＋y 2＝1，则右焦点为F (a 2－1，0)．由题意，知|a 2－1＋22|2＝3，解得a 2＝3.故所求椭圆的方程为x 23＋y 2＝1.(2)设点M 、N 的坐标分别为M (x M ，y M )、N (x N ，y N )，弦MN 的中点为P (x P ，y P )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 23＋y 2＝1，得(3k 2＋1)x 2＋6mkx ＋3(m 2－1)＝0.∵直线y ＝kx ＋m (k ≠0)与椭圆相交于不同的两点， ∴Δ＝(6mk )2－4(3k 2＋1)×3(m 2－1)>0⇒m 2<3k 2＋1.① ∴x P ＝x M ＋x N 2＝－3mk 3k 2＋1，从而y P ＝kx P ＋m ＝m 3k 2＋1.∴k AP ＝y P ＋1x P ＝－m ＋3k 2＋13mk .又|AM |＝|AN |，∴AP ⊥MN .则－m ＋3k 2＋13mk ＝－1k ，即2m ＝3k 2＋1，②把②代入①，得m 2<2m ，解得0<m <2. 由②，得k 2＝2m －13>0，解得m >12. 综上可得，m 的取值范围是12<m <2.。
高中数学 第三章 第4节 4.3 直线与圆锥曲线的位置关系同步练习 理 北师大版选修2-1
高二数学北师大版（理）选修2－1 第三章 第4节 4.3 直线与圆锥曲线的位置关系同步练习（答题时间：60分钟）一：选择题：(每题6分，计42分)1、 已知点A(4，2)是直线L 被椭圆193622=+y x 所截得的线段中点，则L 的方程是（ ） A 、x －2y=0 B 、x+2y －4=0 C 、2x+3y+4=0 D 、x+2y －8=02、已知双曲线方程12222=-by a x ，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的右焦点F 2，|AB|=m ，F 1为另一焦点，则1ABF ∆的周长是（ ）A 、2a+2mB 、4a+2mC 、a+mD 、2a+4m3、已知直线L 与抛物线x y 82=交于A 、B 两点，且L 经过抛物线的焦点F,点A(8，8),则线段AB 的中点到准线的距离是（ ） A 、425 B 、225 C 、825 D 、25 4、过椭圆13422=+y x 的一个焦点且垂直于长轴的弦长是（ ） A 、21 B 、1 C 、23 D 、3 5、函数12+=ax y 的图像与直线y=x 相切，则a=( )A 、81B 、41C 、21 D 、1 6、正三角形的三个顶点在双曲线122=-my x 的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶点，则实数m 的取值范围为（ ）A 、m>0B 、0<m<1C 、0<m<3D 、m>37、已知双曲线)0(1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率是（ ）A 、23B 、23 C 、26 D 、332 二：填空题：（每题6分,计18分）8、直线L 过椭圆181222=+y x 的焦点且垂直于x 轴，则直线被椭圆截得的弦长是_______。
9、过抛物线x y 42=焦点的直线的倾斜角是45°，则此直线方程是_______。
10、若直线L:y=－x+m 与椭圆1222=+y x 有两个不同的交点，则m 的范围是_______。
2019最新高中数学 第三章 圆锥曲线与方程 3.3.2.2 直线与双曲线的位置关系训练案 北师大版必备2-1
3.3.2.2 直线与双曲线的位置关系[A.基础达标]1．直线y ＝kx ＋2与双曲线x 2－y 2＝2有且只有一个交点，那么k 的值是( ) A ．±1 B ．± 3 C ．±1，± 3 D ．± 2解析：选C.把y ＝kx ＋2代入x 2－y 2＝2，整理得，(1－k 2)x 2－4kx －6＝0.当1－k 2＝0，即k ＝±1时，y ＝kx ＋2与双曲线渐近线平行，满足要求．当1－k 2≠0时，当y ＝kx ＋2与x 2－y 2＝2相切时，满足要求，即Δ＝0，得k ＝± 3. 综上可知，满足条件的k 的值为±1，± 3.2．已知双曲线E 的中心在原点，F (3，0)是E 的焦点，过F 且斜率为1的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且AB 中点为N (－12，－15)，则E 的方程为( )A.x 23－y 26＝1B.x 24－y 25＝1C.x 26－y 23＝1 D.x 25－y 24＝1 解析：选B.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，E 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 21a 2－y 21b2＝1，①x 22a 2－y 22b 2＝1，②①－②得（x 1＋x 2）（x 1－x 2）a 2－（y 1＋y 2）（y 1－y 2）b 2＝0，因为x 1＋x 2＝－24，y 1＋y 2＝－30，y 1－y 2x 1－x 2＝1，所以4b 2＝5a 2，又因为c ＝3，所以a ＝2，b ＝5，故E 的方程为x 24－y 25＝1.3．已知双曲线的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，过左焦点F 1作斜率为33的直线交双曲线的右支于点P ，且y 轴平分线段F 1P ，则双曲线的离心率为( )A. 3B.5＋1C. 2D ．2＋ 3解析：选A.由题意得P 的横坐标为c ，由c 2a 2－y 2b 2＝1得y ＝b 2a ，即P (c ，b 2a )，kF 1P ＝b 2ac －（－c ）＝c 2－a 22ac ＝e 2－12e ＝33得e ＝ 3.4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若过右焦点F 且倾斜角为30°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是( )A ．(1，2)B ．(1，233)C ．[2，＋∞)D ．[233，＋∞)解析：选B.双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的渐近线为y ＝±ba x ，由题意得，0＜b a ＜tan 30°＝33，即c 2－a 2a ＜33.又因为e ＞1，所以e ∈(1，233)． 5．已知直线y ＝12x 与双曲线x 29－y24＝1交于A ，B 两点，P 为双曲线上不同于A ，B 的点，当直线PA ，PB 的斜率k PA ，k PB 存在时，k PA ·k PB ＝( )A.49B.12C.23D ．与P 点位置有关 解析：选A.设点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，P (x 0，y 0)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x ，x 29－y24＝1得y 2＝367，则y 1＋y 2＝0，y 1y 2＝－367，x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－4×367.由于k PA ·k PB ＝y 1－y 0x 1－x 0·y 2－y 0x 2－x 0＝y 20＋y 1y 2x 20＋x 1x 2＝y 20－3679（y 204＋1）－4×367＝y 20－36794（y 20－367）＝49，即k PA ·k PB 为定值49，故选A. 6．双曲线x 29－y 216＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2.给定四条直线：①5x －3y ＝0；②x －y－4＝0；③5x －3y －52＝0；④4x －3y ＋15＝0.如果上述直线上存在点P ，使|PF 2|＝|PF 1|＋6，则满足这样条件的直线对应的序号是________．解析：由x 29－y 216＝1，所以a 2＝9，b 2＝16，所以c 2＝25，c ＝5，由双曲线的定义，双曲线上任意一点P 满足|||PF 2|－|PF 1|＝6＜10.当直线上存在点P 满足|PF 2|－|PF 1|＝6时，说明直线与双曲线的左支有公共点．由已知双曲线的渐近线方程为y ＝±43x ，对于①③两直线的斜率均为53＞43，故①③均与双曲线左支无公共点，经验证②④表示的直线与双曲线有交点． 答案：②④ 7．直线l 与双曲线x 22－y 2＝1相交同一支于A ，B 两点，线段AB 的中点在直线y ＝2x 上，则直线AB 的斜率为________．解析：设l 的方程为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧x 22－y 2＝1，y ＝kx ＋b消去y 得：(1－2k 2)x 2－4kbx －2b 2－2＝0. 因为l 与双曲线交于A ，B 两点， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，故Δ＝8b 2＋8－16k 2＞0，①1－2k 2≠0，由根与系数的关系知：x 1＋x 2＝4kb 1－2k 2，则y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2b ＝2b1－2k2.因为线段AB 的中点在直线y ＝2x 上，所以有b 1－2k 2＝4kb1－2k 2，得k ＝14，满足①式．当直线l 的斜率不存在时，不符合题意．答案：148．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点，且AF →＝3BF →，则双曲线离心率的最小值为________．解析：因为过右焦点的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点且AF →＝3BF →，故直线与双曲线相交只能是如图所示的情况，即A 点在双曲线的左支，B 点在右支，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，右焦点F (c ，0)，因为AF →＝3BF →，所以c －x 1＝3(c －x 2)，3x 2－x 1＝2c ，由图可知，x 1≤－a ，x 2≥a ，所以－x 1≥a ，3x 2≥3a ，故3x 2－x 1≥4a ，即2c ≥4a ，ca≥2，即e ≥2，所以离心率的最小值为2.答案：29．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为4，且经过点()－3，26.(1)求双曲线C 的方程和其渐近线方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 有且只有一个公共点，求所有满足条件的k 的取值．解：(1)由题意可知：双曲线的焦点为(－2，0)和(2，0)，根据定义有2a ＝|（－3＋2）2＋（26－0）2－（－3－2）2＋（26－0）2|＝2，所以a ＝1，由以上可知：a 2＝1，c 2＝4，b 2＝3. 所以所求双曲线C 的方程为x 2－y 23＝1.渐近线方程为y ＝±3x .(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2x 2－y 23＝1，得(3－k 2)x 2－4kx －7＝0.①当3－k 2＝0即k ＝±3时，此时直线l 与双曲线相交于一个公共点，符合题意； ②当3－k 2≠0即k ≠±3时，由Δ＝0得k ＝±7， 此时直线l 与双曲线相切于一个公共点，符合题意，综上所述：符合题意的k 的所有取值为3，－3，7，－7.10．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为(2，0)，右顶点为(3，0)． (1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋2与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和B ，且OA →·OB →>2(其中O 为原点)，求k 的取值范围．解：(1)设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝22，得b 2＝1.故双曲线C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)将y ＝kx ＋2代入x 23－y 2＝1得(1－3k 2)x 2－62kx －9＝0.由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎩⎨⎧1－3k 2≠0，Δ＝（－62k ）2＋36（1－3k 2）＝36（1－k 2）>0，即k 2≠13且k 2<1.(*)设A (x A ，y A )，B (x B ，y B )，则x A ＋x B ＝62k 1－3k 2，x A x B ＝－91－3k2，由OA →·OB →>2得x A x B ＋y A y B >2，而x A x B ＋y A y B ＝x A x B ＋(kx A ＋2)(kx B ＋2)＝(k 2＋1)x A x B ＋2k (x A ＋x B )＋2＝(k 2＋1)－91－3k 2＋2k 62k 1－3k 2＋2＝3k 2＋73k 2－1. 于是3k 2＋73k 2－1>2，即－3k 2＋93k 2－1>0，解此不等式得13<k 2<3.(**)由(*)(**)得13<k 2<1.故k 的取值范围为(－1，－33)∪(33，1)． [B.能力提升]1．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线平行于直线l ：y ＝2x ＋10，双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( )A.x 25－y 220＝1B.x 220－y 25＝1 C.3x 225－3y2100＝1 D.3x 2100－3y225＝1 解析：选A.由题意得：b a＝2，左焦点为(－c ，0)在y ＝2x ＋10上，得c ＝5，a ＝5，b ＝2 5.故双曲线的标准方程为x 25－y 220＝1.2．设双曲线C 的中心为点O ，若有且只有一对相交于点O ，所成的角为60°的直线A 1B 1和A 2B 2，使|A 1B 1|＝|A 2B 2|，其中A 1，B 1和A 2，B 2分别是这对直线与双曲线C 的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤233，2 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫233，＋∞ D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫233，＋∞ 解析：选A.由双曲线的对称性知，满足题意的这一对直线也关于x 轴(或y 轴)对称．又由题意知有且只有一对这样的直线，故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°且小于等于60°，即tan 30°<b a ≤tan 60°，所以13<b 2a 2≤3.又e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2＝c 2a 2＝1＋b 2a 2，所以43<e 2≤4，所以233<e ≤2，故选A.3．已知双曲线x 216－y 29＝1，左焦点为F 1(－5，0)，点P 在双曲线的右支上，则直线PF 1的斜率的取值范围是________．解析：设直线方程为y ＝k (x ＋5)，和双曲线x216－y29＝1联立有⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋5），①x 216－y29＝1，②将①代入②得(9－16k 2)x 2－160k 2x －400k 2－144＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1602k 4＋4（9－16k 2）（400k 2＋144）＞0，x 1·x 2＝400k 2＋14416k 2－9＜0，得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1＋k 2＞0，k 2＜916， 解得－34＜k ＜34.答案：(－34，34)4．已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为2c ，右顶点为A ，抛物线x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F .若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c ，且|FA |＝c ，则双曲线的渐近线方程为________．解析：抛物线的准线为y ＝－p2，焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，所以a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫p 22＝c 2.①设抛物线的准线y ＝－p2交双曲线于M ⎝⎛⎭⎪⎫x 1，－p 2，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，－p 2两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－p2，x 2a 2－y2b 2＝1，即x 2a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 22b 2＝1，解得x ＝±a p 24b2＋1， 所以2a p 24b 2＋1＝2c .②又因为b 2＝c 2－a 2，③所以由①②③，得c 2a 2＝2，所以b 2a 2＝c 2a2－1＝1，解得ba＝1.所以双曲线的渐近线方程为y ＝±x . 答案：y ＝±x5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为y ＝±3x ，O 为坐标原点，点M (5，3)在双曲线上．(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线l 与双曲线交于P ，Q 两点，且OP →·OQ →＝0，求|OP |2＋|OQ |2的最小值．解：(1)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±3x ，所以b 2＝3a 2，双曲线的方程可设为3x 2－y 2＝3a 2.因为点M (5，3)在双曲线上，可解得a 2＝4，所以双曲线C 的方程为x 24－y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为y ＝kx ＋m ，点P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将直线PQ 的方程代入双曲线C 的方程，可化为(3－k 2)x 2－2kmx －m 2－12＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3－k 2≠0，Δ＝（－2km ）2－4（3－k 2）（－m 2－12）>0.① x 1＋x 2＝2km 3－k 2，x 1x 2＝－m 2－123－k 2.由OP →·OQ →＝0⇒x 1·x 2＋y 1·y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，所以(1＋k 2)－m 2－123－k 2＋km 2km 3－k2＋m 2＝0，化简得m 2＝6k 2＋6，|OP |2＋|OQ |2＝|PQ |2＝(1＋k 2)·[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝24＋384k 2（k 2－3）2.当k ＝0时，|PQ |2＝24＋384k 2（k 2－3）2≥24成立，且满足①，又因为当直线PQ 垂直于x 轴时，|PQ |2>24，所以|OP |2＋|OQ |2的最小值是24.6．(选做题)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，如图，B 是右顶点，F 是右焦点，点A 在x 轴正半轴上，且满足：|OA →|，|OB →|，|OF →|成等比数列，过F 作双曲线C 在第一、三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P .(1)求证：PA →·OP →＝PA →·FP →；(2)若l 与双曲线C 的左右两支分别相交于点E ，D ，求双曲线离心率e 的取值范围． 解：(1)证明：双曲线的渐近线为y ＝±b ax ，F (c ，0)，所以直线l 的斜率为－ab，所以直线l ：y ＝－ab(x －c )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－ab （x －c ），y ＝bax ，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c .因为|OA →|，|OB →|，|OF →|成等比数列，所以x A ·c ＝a 2，所以x A ＝a 2c，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，0，PA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－ab c ，OP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c ，ab c ，FP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－b 2c ，ab c ，所以PA →·OP →＝－a 2b 2c 2，PA →·FP →＝－a 2b 2c2，则PA →·OP →＝PA →·FP →.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－a b （x －c ），b 2x 2－a 2y 2＝a 2b 2得，⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－a 4b 2x 2＋2a 4b 2cx －⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c2b 2＋a 2b 2＝0， 因为点E ，D 分别在双曲线的左右两支上，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 4c2b 2＋a 2b 2b 2－a 4b2＜0，所以b 2＞a 2.所以e 2＞2，所以e ＞ 2.。
2019高中数学第三章圆锥曲线与方程直线与圆锥曲线的综合问题(习题课)课件北师大版
2.由弦的性质求参数值
【例2】
设双曲线C:
������2 ������2
-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不
同的点A,B.
(1)求双曲线C的离心率e的取值范围;
(2)设直线
l
与
y
轴的交点为
P,且������������
=
5 12
������������ ,求
a
的值.
思维点拨:由于直线与双曲线交于两点,所以联立后二次方程中
kAB=������������22--������������11.⑤
由②-①,得(y2+y1)(y2-y1)=8(x2-x1),
∴������2-������1
������2-������1
=
������2+8 ������1.将④⑤代入上式可得
kAB=-4.
∴弦所在直线的方程为y+1=-4(x-1),
Δ>0,可得a的取值范围,从而求得e的范围,利用向量的坐标,转化为
二次方程根的问题,求得a的值.
探究一
探究二
解:(1)由双曲线C与直线l相交于两个不同的点,
可知方程组
������2 ������2
-������
2
=
1,有两组不同的实数解.
������ + ������ = 1
消去 y 并整理得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0.①
又由 kAB=-1,所以 2×
2������ ������ +������
2 -4·������-1 =8,
������+������
即 a2+b2+3ab-a-b=0.②
北师大版必修二 直线与圆锥曲线的位置关系(一) 课时作业
直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.直线4kx-4y-k=0与抛物线y2=x交于A,B两点,若|AB|=4,则弦AB的中点到直线x+=0的距离等于(C)(A)(B)2 (C)(D)4解析:易知直线4kx-4y-k=0过抛物线y2=x的焦点(,0),所以|AB|为焦点弦.设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点N(,),所以|AB|=x1+x2+p=4.所以=.所以AB中点到直线x+=0的距离为+=.2.过抛物线y2=2x的焦点作一条直线与抛物线交于A,B两点,它们的横坐标之和等于2,则这样的直线(B)(A)有且只有一条(B)有且只有两条(C)有且只有三条(D)有且只有四条解析:设该抛物线焦点为F,A(xA,yA),B(xB,yB),则|AB|=|AF|+|FB|=xA++xB+=xA+xB+1=3>2p=2.所以符合条件的直线有且只有两条.故选B.3.斜率为1的直线l与椭圆+y2=1相交于A,B两点,则|AB|的最大值为(C)(A)2 (B)(C) (D)解析:设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),直线l的方程为y=x+t,由消去y,得5x2+8tx+4(t2-1)=0,则x1+x2=-t,x1x2=.所以|AB|=|x1-x2|=·=·=·,当t=0时,|AB|max=.4.直线l与抛物线y2=x交于点A(x1,y1),B(x2,y2),若y1y2=-1,点O为坐标原点,则△AOB是(A)(A)直角三角形(B)钝角三角形(C)锐角三角形(D)任意三角形解析:=x1,=x2,故x1x2=(y1y2)2=1.所以·=x1x2+y1y2=0.所以⊥,即OA⊥OB.所以△AOB是直角三角形.故选A.5.(2018·嵊州模拟)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的一条渐近线截圆M:(x-1)2+y2=1所得弦长为,则该双曲线的离心率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:双曲线的一条渐近线为bx-ay=0,圆心到直线的距离为d==,c=2b,a==b,故离心率e=.6.点P为直线y=x上任一点,F1(-5,0),F2(5,0),则下列结论正确的是(C)(A)||PF1|-|PF2||>8 (B)||PF1|-|PF2||=8(C)||PF1|-|PF2||<8 (D)以上都有可能解析:若||PF1|-|PF2||=8,则点P的轨迹是以F1(-5,0),F2(5,0)为焦点的双曲线,其方程为-=1.因为直线y=x 是它的渐近线,整条直线在双曲线的外面,因此有||PF1|-|PF2||<8.7.已知F为抛物线y2=8x的焦点,过点F且斜率为1的直线l交抛物线于A,B两点,则||FA|-|FB||的值为(C)(A)4(B)8 (C)8(D)16解析:依题意知F(2,0),所以直线l的方程为y=x-2,联立方程,得消去y得x2-12x+4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=4,x1+x2=12,则||FA|-|FB||=|(x1+2)-(x2+2)|=|x1-x2|===8.二、填空题8.直线y=kx-2与抛物线y2=8x交于A,B两点,且AB中点的横坐标为2,则k的值是. 解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得k2x2-4(k+2)x+4=0,由题意得所以即k=2.答案:29.过椭圆+=1内一点P(3,1),且被这点平分的弦所在直线的方程是.解析:设直线与椭圆交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由于A,B两点均在椭圆上,故+=1,+=1,两式相减得+=0.又因为P是A,B的中点,所以x1+x2=6,y1+y2=2,所以kAB==-.所以直线AB的方程为y-1=-(x-3).即3x+4y-13=0.答案:3x+4y-13=010.已知O为坐标原点,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,P为C上一点,M是线段PF的中点,则直线OM的斜率的最大值为.解析:根据题意可得F(,0),设P(,y0),M(x,y),因为M是线段PF的中点,则M(+,),所以kOM==≤=1,当且仅当y0=p时取等号,所以直线OM的斜率的最大值为1.答案:111.已知椭圆的方程为+=1,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A点的坐标为(2,1),P为椭圆上一点,则|PA|+|PF2|的最大值是,最小值是.解析:连结PF1,AF1,如图,因为P为椭圆上一点,所以|PF1|+|PF2|=10.因此|PA|+|PF2|=10+|PA|-|PF1|.因为A(2,1),F1(-3,0),所以||PA|-|PF1||≤|AF1|=.所以10-≤|PA|+|PF2|≤10+,即|PA|+|PF2|的最大值和最小值分别为10+和10-.答案:10+10-12.若△OAB的垂心H(1,0)恰好为抛物线y2=2px的焦点,O为坐标原点,点A,B在此抛物线上,则此抛物线的方程是,△AOB的面积是.解析:因为焦点为H(1,0),所以抛物线的方程是y2=4x.设A(a2,2a),B(b2,2b),由抛物线的对称性可知,b=-a.又因为AH⊥OB,得·=-1,解得a=(不妨取正值),从而可得S△OAB=×5×4=10.答案:y2=4x1013.已知A是射线x+y=0(x≤0)上的动点,B是x轴正半轴上的动点,若直线AB与圆x2+y2=1相切,则|AB|的最小值是.解析:法一设A(-a,a),B(b,0)(a,b>0),则直线AB的方程是ax+(a+b)y-ab=0.因为直线AB与圆x2+y2=1相切,所以d==1,化简得2a2+b2+2ab=a2b2,利用基本不等式得a2b2=2a2+b2+2ab≥2ab+2ab,即ab≥2+2,从而得|AB|==ab≥2+2,当b=a,即a=,b=时,|AB|的最小值是2+2.法二在△AOB中,设|OA|=a,|OB|=b,则利用面积可得absin 135°=|AB|·1,得|AB|=ab.由余弦定理得,|AB|2=a2+b2-2abcos 135°,即a2b2=a2+b2+ab≥2ab+ab,解得ab≥4+2,即有|AB|=ab≥2+2.法三设切点为C点,∠AOC=α,∠BOC=β,|AC|=a,|BC|=b,则tan α=a,tan β=b,tan(α+β)==-1,即a+b=ab-1≤()2-1,整理得(a+b)2-4(a+b)-4≥0,解得a+b≥2+2,即|AB|的最小值是2+2.答案:2+2三、解答题14.已知椭圆C:+=1,直线l:y=kx+m(m≠0),设直线l与椭圆C交于A,B两点.(1)若|m|>,求实数k的取值范围;(2)若直线OA,AB,OB的斜率成等比数列(其中O为坐标原点),求△OAB的面积的范围.解:(1)联立方程+=1和y=kx+m,得(2+3k2)x2+6kmx+3m2-6=0,所以Δ=(6km)2-4(2+3k2)(3m2-6)>0,所以m2<2+3k2,所以2+3k2>3,即k2>,解得k>或k<-,即k的取值范围是(-∞,-)∪(,+∞).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,设直线OA,OB的斜率k1,k2,因为直线OA,AB,OB的斜率成等比数列,所以k1k2==k2,即=k2,化简,得2+3k2=6k2,即k2=.因为|AB|=|x1-x2|=,原点O到直线AB的距离h==|m|,所以S△OAB=|AB|·h=≤×=,当m=±时,直线OA与OB的斜率不存在,等号取不到,所以S∈(0,).15.已知点P是圆O:x2+y2=1上任意一点,过点P作PQ⊥y轴于点Q,延长QP到点M,使=.(1)求点M的轨迹E的方程;(2)过点C(m,0)作圆O的切线l,交(1)中曲线E于A,B两点,求△AOB面积的最大值.解:(1)设点M(x,y),因为=,所以P为QM的中点,又PQ⊥y轴,所以P(,y).因为点P是圆O:x2+y2=1上的点,所以()2+y2=1,即点M的轨迹E的方程为+y2=1.(2)由题意可知直线l不与y轴垂直,故可设l:x=ty+m,t∈R,A(x1,y1),B(x2,y2).因为l与圆O:x2+y2=1相切,所以=1,即m2=t2+1.①联立消去x,得(t2+4)y2+2mty+m2-4=0.其中Δ=(2mt)2-4(t2+4)(m2-4)=16(t2-m2)+64=48>0.所以y1+y2=-,y1y2=.②所以|AB|===.将①②代入上式得|AB|==,|m|≥1,所以S△AOB=|AB|·1=×=≤=1,当且仅当|m|=,即m=±时,等号成立.所以(S△AOB)max=1.巩固提高B一、选择题1.设F为抛物线C:y2=3x的焦点,过F且倾斜角为30°的直线交C于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为(D)(A)(B)(C)(D)解析:易知直线AB的方程为y=(x-),与y2=3x联立并消去x得4y2-12y-9=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=3,y1y2=-,所以S△OAB=|OF|·|y1-y2|=×==,故选D.2.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点,若椭圆中心到l的距离为其短轴长的,则该椭圆的离心率为(B)(A)(B)(C)(D)解析:如图,由题意得,|BF|=a,|OF|=c,|OB|=b,|OD|=×2b= b.在Rt△FOB中,|OF|×|OB|=|BF|×|OD|,即cb=a·b,解得a=2c,故椭圆离心率e==,故选B.3.过点M(-2,0)的直线m与椭圆+y2=1交于P1,P2两点,线段P1P2的中点为P,设直线m的斜率为k1(k1≠0),直线OP的斜率为k2,则k1k2的值为(D)(A)2 (B)-2 (C)(D)-解析:设P1(x1,y1),P2(x2,y2),则有两式作差,可得(-)+(-)=0⇒(x1-x2)(x1+x2)+(y1-y2)(y1+y2)=0,化为+=0.中点P(,),所以k2=,且k1=,所以+k1k2=0,所以k1k2=-.故选D.4.已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=,则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为(B)(A)(B)(C)1 (D)解析:设椭圆的长半轴长为a1,双曲线的实半轴长为a2,P为第一象限的点⇒⇒|PF1|=a1+a2,|PF2|=a1-a2⇒4c2=(a1+a2)2+(a1-a2)2-2(a1+a2)(a1-a2)cos⇒4c2=(2-)+(2+)⇒4=+≥2=⇒e1e2≥,故选B.5.已知抛物线E:y2=2px(p>0),过其焦点F的直线l交抛物线E于A,B两点(点A在第一象限),若S△OAB=-tan∠AOB,则p的值是(A)(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:S△OAB=-tan∠AOB=||·||sin∠AOB,即·=-3,不妨设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2+y1y2=-3,即有+y1y2=-3,又因为y1y2=-p2,故p=2.故答案为A.6.已知点A是抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,O为坐标原点.若A,B是以点M(0,10)为圆心,OA的长为半径的圆与抛物线C的两个公共点,且△ABO为等边三角形,则p的值是(C)(A)(B)(C)(D)解析:如图,因为|MA|=|OA|,所以点A在线段OM的垂直平分线上.又因为M(0,10),所以可设A(x,5).由tan 30°=,得x=.将A(,5)代入方程x2=2py,得p=.7.已知抛物线C的顶点是原点O,焦点F在x轴的正半轴上,经过F的直线与抛物线C交于A,B两点,如果·=-12,那么抛物线C的方程为(C)(A)x2=8y (B)x2=4y(C)y2=8x (D)y2=4x解析:由题意,设抛物线方程为y2=2px(p>0),直线方程为x=my+,联立消去x得y2-2pmy-p2=0,Δ=4m2p2+4p2>0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=2pm,y1y2=-p2,得·=x1x2+y1y2=(my1+)(my2+)+y1y2=m2y1y2+(y1+y2)++y1y2=-p2=-12⇒p=4,即抛物线C的方程为y2=8x.8.直线3x-4y+4=0与抛物线x2=4y和圆x2+(y-1)2=1从左到右的交点依次为A,B,C,D,则的值为(B)(A)16 (B)(C)4 (D)解析:由条件知抛物线的焦点和圆的圆心重合,坐标为F(0,1),并且直线恰好经过该点,由得A(-1,),D(4,4).则|FA|=,|FD|=5,所以|AB|=|FA|-|FB|=-1=,|CD|=|FD|-|FC|=5-1=4,所以=,故选B.二、填空题9.已知椭圆方程C为+=1,F1,F2为椭圆上的两个焦点,点P在C上且∠F1PF2=.则三角形F1PF2的面积为.解析:由+=1可得a2=16,b2=8,所以c2=a2-b2=8,设|PF1|=t1,|PF2|=t2,由椭圆的定义可得t1+t2=8,①由余弦定理得+-2t1t2·cos 60°=32,t1t2=,所以=××sin 60°=.答案:10.已知抛物线C的方程为y2=8x,设抛物线C的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=.解析:设P(x0,y0),直线AF的倾斜角为α,准线l与x轴交于点B,由题意知,F(2,0),直线l:x=-2,又tan α=-,所以α=π,所以∠AFB=,因为|BF|=4,所以|AB|=4,即A(-2,4).因为PA⊥l,所以P(x0,4),代入y2=8x得x0=6,所以|PF|=x0+2=8.答案:811.过抛物线y2=4x的焦点作倾斜角为45°的直线l交抛物线于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.解析:由题意知,抛物线焦点为(1,0),直线l的方程为y=x-1,与抛物线方程联立,得消去x,得y2-4y-4=0,设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1+y2=4,y1y2=-4,|y1-y2|==4,从而△OAB的面积为××|y1-y2|=2.答案:212.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线为l,过M(1,0)且斜率为的直线与l相交于点A,与C的一个交点为B,若=,则p=.解析:如图,由AB的斜率为,知∠α=60°,又=,所以M为AB的中点.过点B作BP垂直准线l于点P,则∠ABP=60°,所以∠BAP=30°,所以|BP|=|AB|=|BM|.所以M为焦点,即=1,所以p=2.答案:213.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,已知点A,B为抛物线上的两个动点,且满足∠AFB=120°.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN,垂足为N,则的最大值为.解析:设|AF|=a,|BF|=b,分别过A,B作准线的垂线,垂足分别为Q,P,由抛物线的定义知,|AF|=|AQ|,|BF|=|BP|,在梯形ABPQ中,2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b.|AB|2=a2+b2-2abcos 120°=a2+b2+ab=(a+b)2-ab.又ab≤()2,所以(a+b)2-ab≥(a+b)2-(a+b)2=(a+b)2,得到|AB|≥(a+b),所以≤=,即的最大值为.答案:三、解答题14.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),其离心率为e,b是3e和a的等比中项.(1)求曲线C的方程;(2)倾斜角为α的直线过原点O且与C交于A,B两点,倾斜角为β的直线过F1且与C交于D,E两点,若α+β=π,求的值.解:(1)由题可知,椭圆中解得所以椭圆的方程是+=1.(2)设倾斜角为α的直线为l1,倾斜角为β的直线为l2,①当α=时,由α+β=π,知β=,则l1:x=0,l2:x=-1,于是|AB|=2b=2,|DE|==3,此时=4.②当α≠时,由α+β=π,知β≠,且这两条直线的斜率互为相反数,设l1:y=kx,则l2:y=-k(x+1),由可得则|AB|2=(2)2=4()=,由可得(4k2+3)x2+8k2x+4k2-12=0,由于Δ=(8k2)2-4(4k2+3)(4k2-12)=4(36k2+36)>0,设l2与椭圆的两个交点坐标依次为D(x1,y1),E(x2,y2)于是x1+x2=-,x1x2=,所以|DE|=|x1-x2|=,===所以=4,综上所述总有=4.15.已知抛物线C:y2=2px(p>0),圆M:(x-2)2+y2=4,圆心M到抛物线准线的距离为3,点P(x0,y0)(x0≥5)是抛物线在第一象限上的点,过点P作圆M的两条切线,分别与x轴交于A,B两点.(1)求抛物线C的方程;(2)求△PAB面积的最小值.解:(1)由题知2+=3,p=2,所以抛物线方程为y2=4x.(2)设切线方程为y-y0=k(x-x0),令y=0,解得x=x0-,所以切线与x轴的交点为(x0-,0),圆心(2,0)到切线的距离为d==2,所以(2k+y0-kx0)2=4(k2+1),整理得(-4x0)k2+(4y0-2x0y0)k+-4=0,设两条切线的斜率分别为k1,k2,则k1+k2=,k1·k2=,所以S△PAB=|(x0-)-(x0-)|·y0=||=2=2=2[(x0-1)++2]. 记t=x0-1∈[4,+∞),则f(t)=t++2.因为f′(t)=1-=>0,所以f(t)在[4,+∞)上单调递增,所以f(t)≥4++2=,所以S△PAB≥2×=,所以△PAB面积的最小值为.。
北师大版必修二 直线与圆锥曲线的位置关系(二) 课时作业
直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1.已知点A(1,0),直线l:y=2x-4,点R是直线l上的一点,若=,则点P的轨迹方程为(B)(A)y=-2x (B)y=2x(C)y=2x-8 (D)y=2x+4解析:设P(x,y),R(x1,y1),由=知,点A是线段RP的中点,所以即因为点R是直线l上的点,所以-y=2(2-x)-4.即y=2x.故选B.2.已知圆O:x2+y2=4,从这个圆上任意一点P向y轴作垂线段PP1(P1在y轴上),M在直线PP1上,且=2,则动点M的轨迹方程是(D)(A)4x2+16y2=1 (B)16x2+4y2=1(C)+=1 (D)+=1解析:由题意可知P是MP1的中点,设M(x,y),P(x0,y0),P1(0,y0),则又+=4,故()2+y2=4,即+=1.故选D.3.已知两点M(-2,0),N(2,0),点P为平面内的动点,满足||·||+·=0,则动点P(x,y)的轨迹方程是(B)(A)y2=8x (B)y2=-8x(C)y2=4x (D)y2=-4x解析:根据||·||+·=0,得4+4(x-2)=0,化简得y2=-8x.故选B.4.已知椭圆+=1(a>b>0)与双曲线-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0),若c是a,m的等比中项,n2是2m2与c2的等差中项,则椭圆的离心率是(D)(A)(B)(C)(D)解析:由椭圆和双曲线有相同的焦点,可得a2-b2=m2+n2=c2,由c是a,m的等比中项,可得c2=am;由n2是2m2与c2的等差中项,可得2n2=2m2+c2.可得m=,n2=+c2,即有+c2=c2,化简可得,a2=4c2,即有e==.故选D.5.设a,b是关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为(A)(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0有两个不等实根为t1=0,t2=-tan θ(tan θ≠0),则过A,B两点的直线方程为y= -xtan θ,双曲线-=1的渐近线为y=±xtan θ,所以直线y=-xtan θ与双曲线没有公共点.故选A.6.动点P为椭圆+=1(a>b>0)上异于椭圆顶点A(a,0),B(-a,0)的一点,F1,F2为椭圆的两个焦点,动圆M与线段F1P,F1F2的延长线及线段PF2相切,则圆心M的轨迹为除去坐标轴上的点的(D)(A)抛物线(B)椭圆(C)双曲线的右支(D)一条直线解析:如图,设切点分别为E,G,D,由切线长相等可得|F1E|=|F1G|,|F2D|=|F2G|,|PD|=|PE|.由椭圆的定义可得|F1P|+|PF2|=|F1P|+|PD|+|DF2|=|F1E|+|DF2|=2a,即|F1E|+|GF2|=2a,也即|F1G|+|GF2|=2a,故点G与点A重合,所以点M的横坐标是x=a,即点M的轨迹是一条直线(除去A点),故选D.7.如图所示,在平面直角坐标系xOy中,A(1,0),B(1,1),C(0,1),映射f将xOy平面上的点P(x,y)对应到另一个平面直角坐标系uO′v上的点P′(2xy,x2-y2),则当点P沿着折线A B C运动时,在映射f的作用下,动点P′的轨迹是(D)解析:当P沿AB运动时,x=1,设P′(x′,y′),则(0≤y≤1),故y′=1-(0≤x′≤2,0≤y′≤1).当P沿BC运动时,y=1,则(0≤x≤1),所以y′=-1(0≤x′≤2,-1≤y′≤0),由此可知P′的轨迹如D所示,故选D.二、填空题8.已知△ABC的顶点B(0,0),C(5,0),AB边上的中线长|CD|=3,则顶点A的轨迹方程为.解析:设A(x,y),则D(,),所以|CD|==3,化简得(x-10)2+y2=36,由于A,B,C三点构成三角形,所以A不能落在x轴上,即y≠0.答案:(x-10)2+y2=36(y≠0)9.已知☉O的方程是x2+y2-2=0,☉O′的方程是x2+y2-8x+10=0,若由动点P向☉O和☉O′所引的切线长相等,则动点P的轨迹方程是.解析:设P(x,y),切点分别为A,B,由☉O′的方程为(x-4)2+y2=6及已知|AP|=|BP|,知|OP|2-|AO|2=|O′P|2-|O′B|2,即|OP|2-2=|O′P|2-6,所以x2+y2-2=(x-4)2+y2-6.所以x=,故动点P的轨迹方程是x=.答案:x=10.点P是圆C:(x+2)2+y2=4上的动点,定点F(2,0),线段PF的垂直平分线与直线CP的交点为Q,则点Q的轨迹方程是.解析:如图,由题意知|QP|=|QF|.又|QP|=|QC|±|CP|,所以|QF|-|QC|=±|CP|,即||QF|-|QC||=|CP|=2,所以点Q的轨迹是以F,C为焦点,实轴长为2的双曲线,其方程为x2-=1.答案:x2-=111.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos ∠F1PF2=.解析:因为a=b=,所以c=2.由得|PF1|=4,|PF2|=2,由余弦定理得cos ∠F1PF2==.答案:12.已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使=,则该椭圆的离心率的取值范围为.解析:如图,e=====-1,所以|PF2|=.又因为a-c<|PF2|<a+c,所以a-c<<a+c,解得<-1-(舍去)或>-1,即e>-1.又因为0<e<1,所以-1<e<1.答案:(-1,1)13.若抛物线y=x2上存在两点关于直线l:y=m(x-3)对称,则m的取值范围为.解析:法一(联立方程)设A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上关于l对称的两个点,设线段AB的中点为P(x0,y0),又直线l与直线AB垂直,故可设直线AB的方程为y=-x+n,将其代入y=x2得mx2+x-mn=0.因为x1,x2是该方程的两个根,故x0=(x1+x2)=-,又点P在直线l上,所以y0=m(x0-3)=m(--3)=-3m-,又因为点P在抛物线内,所以<y0,即<-3m-,也就是12m3+2m2+1<0,即(2m+1)(6m2-2m+1)<0,又6m2-2m+1>0恒成立,所以m<-.法二(点差法)显然m≠0,设A(x1,y1),B(x2,y2)为抛物线上关于l对称的两个点,设线段AB的中点为P(x0,y0),则kAB===x1+x2=2x0,又直线l与直线AB垂直,所以2x0=-,即x0=-,下同法一略.答案(-∞,-)三、解答题14.已知椭圆C:+=1,点A(3,0),P是椭圆C上的动点.(1)若直线AP与椭圆C相切,求点P的坐标;(2)若P在y轴的右侧,以AP为底边的等腰△ABP的顶点B在y轴上,求四边形OPAB面积的最小值. 解:(1)设直线AP的方程为x=my+3,联立消去x可得(m2+3)y2+6my+3=0,故Δ=12(2m2-3)=0,解得m=±,从而y2±3y+3=0,解得y=±,x=2.所以,点P的坐标为(2,±).(2)设线段AP的中点为D.因为△ABP是以AP为底边的等腰三角形,故BD⊥AP.由题意,设P(x0,y0)(-<y0<),则点D的坐标为(,),且直线AP的斜率kAP=,故直线BD的斜率为-=,从而直线BD的方程为y-=(x-).又+=1,令x=0,得y=,化简得B(0,).所以,四边形OPAB的面积S四边形OPAB=S△OAP+S△OAB=×3×|y0|+×3×||=(|y0|+||)=(2|y0|+)≥×2=3.当且仅当y0=±∈[-,]时等号成立.所以,四边形OPAB面积的最小值为3.巩固提高B一、选择题1.已知△ABC中,A,B的坐标分别为(0,2)和(0,-2),若三角形的周长为10,则顶点C的轨迹方程是(C)(A)+=1(y≠0) (B)+=1(y≠0)(C)+=1(x≠0) (D)+=1(x≠0)解析:由题|AB|=4,|CA|+|CB|=6,且6>|AB|,所以C点轨迹是以A,B为焦点,6为长轴长,4为焦距的椭圆,去掉长轴端点,故选C.2.已知椭圆x2+my2=1的离心率e∈(,1),则实数m的取值范围是(C)(A)(0,) (B)(,+∞)(C)(0,)∪(,+∞) (D)(,1)∪(1,)解析:椭圆标准方程为x2+=1.当m>1时,e2=1-∈(,1),解得m>;当0<m<1时,e2==1-m∈(,1),解得0<m<,故实数m的取值范围是(0,)∪(,+∞).故选C.3.若抛物线y2=4x的焦点是F,准线是l,点M(4,m)是抛物线上一点,则经过点F,M且与l相切的圆共(D)(A)0个(B)1个(C)2个(D)4个解析:因为F(1,0),m2=4×4,所以m=±4,所以MF中垂线方程为6x±8y-31=0,与抛物线有四个交点,所以满足条件的圆有四个.故选D.4.若曲线C上存在点M,使M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,则称曲线C为“好曲线”.以下曲线不是“好曲线”的是(B)(A)x+y=5 (B)x2+y2=9(C)+=1 (D)x2=16y解析:因为M到平面内两点A(-5,0),B(5,0)距离之差的绝对值为8,所以M的轨迹是以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线,方程为-=1.A项,直线x+y=5过点(5,0),(0,5),故直线与M的轨迹有交点,满足题意;B项,x2+y2=9的圆心为(0,0),半径为3,与M的轨迹没有交点,不满足题意;C项,+=1的右顶点为(5,0),故椭圆+=1与M的轨迹有交点,满足题意;D项,方程代入-=1,可得y-=1,即y2-9y+9=0,Δ>0即有交点,满足题意.5.已知△ABP的顶点A,B分别为双曲线-=1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则的值等于(A)(A)(B)(C)(D)解析:在△ABP中,由正弦定理得===.故选A.6.双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与双曲线的两支分别交于点P,Q,若△PQF2为等边三角形,则双曲线C的离心率为(A)(A)(B)(C)(D)7解析:设|PF1|=n,|PQ|=|QF2|=|PF2|=m,根据双曲线的定义有n=2a, m=4a,在三角形PF1F2中,∠F1PF2=,由余弦定理得4c2=(2a)2+(4a)2- 2·2a·4a·cos,化简得e2=7,e=.故选A.7.将双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫作双曲线的“黄金三角形”,则双曲线C:x2-y2=4的“黄金三角形”的面积是(B)(A)-1 (B)2-2(C)1 (D)2解析:由x2-y2=4,得-=1,则a2=b2=4,所以a=2,b=2,c=2,则双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为(2,0),(2,0),(0,2),故所求“黄金三角形”的面积S=×(2-2)×2=2-2.故选B.8.过抛物线y2=x的焦点F的直线l交抛物线于A,B两点,且直线l的倾斜角θ≥,点A在x轴上方,则|FA|的取值范围是(D)(A)(,1) (B)(,+∞)(C)(,+∞) (D)(,1+]解析:记点A的横坐标是x1,则有|AF|=x1+=(+|AF|cos θ)+= +|AF|cos θ,|AF|(1-cos θ)=,|AF|=.由≤θ<π得-1<cos θ≤,2-≤2(1-cos θ)<4,<≤=1+,即|AF|的取值范围是(,1+).故选D.二、填空题9.已知F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,现以F2为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点M,N,若过F1作直线MF1是圆F2的切线,则椭圆的离心率等于.解析:由题意知∠F1MF2=90°,|MF2|=c,|F1F2|=2c,所以∠MF1F2=30°.因为|MF1|+|MF2|=2a,所以|MF1|=2a-|MF2|=2a-c,所以2a-c=c,所以==-1,即离心率e=-1.答案:-110.设F1,F2是双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a,且△PF1F2的最小内角为30°,则C的离心率等于.解析:不妨设点P在双曲线右支上,则|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|+|PF2|=6a,所以|PF1|=4a,|PF2|=2a.又c>a,所以在△PF1F2中,∠PF1F2为最小内角,∠PF1F2=30°.在△PF1F2中,由余弦定理得(2a)2=(4a)2+(2c)2-2×4a×2c·cos 30°,即c2-2ac+3a2=0,两边同除以a2,得e2-2e+3=0,解得e=.答案:11.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点,O为坐标原点,若双曲线C的离心率为2,△AOB的面积为,则△AOB的内切圆半径为.解析:由e====2,可得=.由解得A(-,),B(-,-),所以=××=.将=代入,得p2=4,解得p=2.所以A(-1,),B(-1,-),则△AOB的三边长分别为2,2,2,设△AOB的内切圆半径为r,由(2+2+2)r=,解得r=2-3.答案:2-312.已知抛物线C:y2=4x,直线l与抛物线C交于A,B两点,若线段AB的中点坐标为(2,2),则直线l的方程为.解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),由A,B在抛物线上,所以=4x1,=4x2,两式作差得-=4(x1-x2),所以直线AB的斜率k====1,直线l的方程为y-2=x-2即x-y=0.答案:x-y=013.已知△ABC的顶点A,B坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sin B+sin A=sin C,则C点的轨迹方程为.解析:由sin B+sin A=sin C可知b+a=c=10,则|AC|+|BC|=10>8=|AB|,所以满足椭圆定义.令椭圆方程为+=1,则a′=5,c′=4,b′=3,则轨迹方程为+=1(x≠±5).答案:+=1(x≠±5)14.已知抛物线y2=4x的焦点为F,过焦点的直线与抛物线交于A,B两点,则当|AF|+4|BF|取得最小值时,直线AB的倾斜角的正弦值为.解析:由题意知F(1,0),当直线的斜率存在时,设直线方程为y=k(x-1)(k≠0),由消去y,得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),x1>0,x2>0,则x1+x2=,①x1x2=1,②+=+===1.当直线的斜率不存在时,易知|AF|=|BF|=2,故+=1.设|AF|=a,|BF|=b,则+=1,所以|AF|+4|BF|=a+4b=(+)(a+4b)=5++≥9,当且仅当a=2b时取等号,故a+4b的最小值为9,此时直线的斜率存在,且x1+1=2(x2+1),③联立①②③得,x1=2,x2=,k=±2,故直线AB的倾斜角的正弦值为.答案:三、解答题15.已知两个不同的动点A,B在椭圆+=1上,且线段AB的垂直平分线恒过点P(0,-1).求:(1)线段AB中点M的轨迹方程;(2)线段AB长度的最大值.解:(1)法一设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),易知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+m,与+=1联立得(2+k2)x2+2kmx+m2-8=0,则x0==-,y0=kx0+m=,所以,kMP===-,得m=-(2+k2).于是,y0==-2.从而,线段AB中点M的轨迹方程为y=-2(-<x<).法二设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0)易知直线AB的斜率存在.+=1,+=1,则+=0,得=-,又·=-1,得y0=-2.从而,线段AB中点M的轨迹方程为y=-2(-<x<).(2)由(1)知,直线AB的斜率k=x0,所以直线AB的方程为y+2=x0(x-x0)与椭圆方程联立得(+2)x2-2x0(+2)x++4-4=0,则x1+x2=2x0,x1x2=,于是,|AB|=|x1-x2|==2≤2,当x0=0时取等号,线段AB长度的最大值为2.16.(2018·镇海5月)已知椭圆C的方程为+=1(a>b>0),P(1,)在椭圆上,离心率e=,左、右焦点分别为F1,F2.(1)求椭圆C的方程;(2)直线y=kx(k>0)与椭圆C交于A,B,连接AF1,BF1并延长交椭圆C于D,E,连接DE,求kDE与k之间的函数关系式.解:(1)由P(1,)在椭圆上,可得+=1,a=c,又a2=b2+c2,可得a=,b=1,c=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)设A(x0,y0),则B(-x0,-y0),直线AD:x=y-1,代入C:+y2=1,得[(x0+1)2+2]y2-2(x0+1)y0y-=0,因为+=1,代入化简得(2x0+3)y2-2(x0+1)y0y-=0,设D(x1,y1),E(x2,y2),则y0y1=,所以y1=,x1=y1-1, 直线BE:x=y-1,同理可得y2=,x2=y2-1,所以kDE======3·=3k.。
2019最新高中数学 第三章直线与圆锥曲线的交点课时作业 北师大版必备2-1
3.4.2-4.3 圆锥曲线的共同特征 直线与圆锥曲线的交点[基础达标]1.过点(2，4)作直线与抛物线y 2＝8x 只有一个公共点，这样的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．4条解析：选B.易知点(2，4)在抛物线上，从而这样的直线有两条，一条为切线，一条与x轴平行．2.方程（x －1）2＋（y －1）2＝|x ＋y ＋2|表示的曲线是( ) A ．椭圆 B ．双曲线 C ．抛物线D ．线段解析：选B.∵（x －1）2＋（y －1）2＝|x ＋y ＋2|， ∴（x －1）2＋（y －1）2|x ＋y ＋2|2＝2>1.∴由圆锥曲线的共同特征知该方程表示双曲线． 3.曲线y ＝1－x 2和y ＝－x ＋ 2 公共点的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1D ．0解析：选C.y ＝1－x 2可化为x 2＋y 2＝1(y ≥0)，其图形为半圆，在同一坐标系中画出两曲线的图形，直线与半圆相切．4.若椭圆上的点P 到一个焦点的距离最小，则点P 是( ) A ．椭圆短轴的端点 B ．椭圆长轴的一个端点 C ．不是椭圆的顶点D ．以上都不对解析：选B.由圆锥曲线的共同特征知，点P 到右焦点的距离|PF 2|＝de ＝(a 2c－x 0)e ＝a －ex 0.当x 0＝a 时，|PF 2|最小． 5.直线l ：y ＝x ＋3与曲线y 29－x ·|x |4＝1交点的个数为( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：选D.当x ≤0时，曲线方程可化为x 24＋y 29＝1，即椭圆y 轴左侧部分；当x ＞0时，曲线方程可化为y29－x 24＝1，即双曲线y 轴右侧部分，如图可知直线y ＝x ＋3与曲线有三个交点．6.已知斜率为1的直线过椭圆x24＋y 2＝1的右焦点交椭圆于A ，B 两点，则弦AB 的长是________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －3x 24＋y 2＝1，得5x 2－83x ＋8＝0. ∴设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝835，e ＝32，|AB |＝2×2－e (x 1＋x 2)＝4－32×835＝85. 答案：857.已知双曲线x 2a2－y 2＝1(a >0)的一条准线与抛物线y 2＝－6x 的准线重合，则a ＝________．解析：抛物线y 2＝－6x 的准线方程为x ＝32.由双曲线准线方程的求法得a 2c ＝32，∴a 2＝32c .又b ＝1，c 2＝a 2＋b 2，∴c 2＝a 2＋1，即c 2＝32c ＋1，解得c ＝2或c ＝－12(舍去)，∴a ＝ 3.答案： 38.直线y ＝kx ＋1与曲线mx 2＋5y 2＝5m (m >0)恒有公共点，则m 的取值范围是________． 解析：将y ＝kx ＋1代入mx 2＋5y 2＝5m ，得(m ＋5k 2)x 2＋10kx ＋5(1－m )＝0，对k ∈R ，总有实数解． ∴Δ＝20m (m －1＋5k 2)≥0，对k ∈R 恒成立． ∵m >0，∴m ≥1－5k 2恒成立，∴m ≥1. 即m 的取值范围为[1，＋∞)． 答案：[1，＋∞)9.一动点到定直线x ＝3的距离是它到定点F (4，0)的距离的12，求这个动点的轨迹方程．解：法一：由题意知，动点到定点的距离与它到定直线的距离之比为2，则动点的轨迹为双曲线，且离心率e ＝c a＝2.又定点F (4，0)与定直线x ＝3是双曲线相应的右焦点和右准线，得c －a 2c ＝4－3＝1.又∵c ＝2a 且c －a 2c＝1，∴a ＝23且c ＝43，∴双曲线的中心O ′的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫83，0.又b 2＝c 2－a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫432－⎝ ⎛⎭⎪⎫232＝43，∴双曲线的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832⎝ ⎛⎭⎪⎫232－y 243＝1. 法二：由题意知，设动点为P (x ，y )， 则|x －3|＝12 （x －4）2＋y 2，两边平方，得(x －3)2＝14(x －4)2＋14y 2.化简，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －832⎝ ⎛⎭⎪⎫232－y 243＝1即为所求． 10.已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)． (1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解：(1)将(1，－2)代入y 2＝2px ， 得(－2)2＝2p ·1，所以p ＝2.故所求抛物线C 的方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1. (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－2x ＋t y 2＝4x 消去x ，得y 2＋2y －2t ＝0. 因为直线l 与抛物线C 有公共点， 所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12.由直线OA 与l 的距离等于55可得|t |5＝55，解得t ＝±1. 因为－1∉[－12，＋∞)，1∈[－12，＋∞)，所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x ＋y －1＝0.[能力提升]1.若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫0，33 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞ 解析：选B.C 1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需要圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两个交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意， 则－33<m <0或0<m <33. 综上知－33<m <0或0<m <33. 2.在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，右焦点为F, 右准线为l ，短轴的一个端点为B .设原点到直线BF 的距离为d 1，F 到l 的距离为d 2, 若d 2＝6d 1，则椭圆C 的离心率为________．解析：依题意，d 2＝a 2c －c ＝b 2c.又BF ＝c 2＋b 2＝a ，所以d 1＝bca.由已知可得b 2c ＝6·bca，所以6c 2＝ab ，即6c 4＝a 2(a 2－c 2)，整理可得a 2＝3c 2，所以离心率e ＝c a ＝33. 答案：333.已知双曲线x 2a 2－y 2b2＝1的离心率e ＞1＋2，左、右焦点分别为F 1，F 2，左准线为l ，能否在双曲线的左支上找到一点P ，使得PF 1是P 到l 的距离d 与PF 2的等比中项？解：设在左半支上存在P 点，使PF 21＝PF 2·d ，由双曲线的第二定义知PF 1d ＝PF 2PF 1＝e ，即PF 2＝ePF 1.①再由双曲线的第一定义，得PF 2－PF 1＝2a ，② 由在△PF 1F 2中有PF 1＋PF 2≥2c ，∴2a e －1＋2ae e －1≥2c .③ 利用e ＝c a，由③式得e 2－2e －1≤0，解得1－2≤e ≤1＋ 2. ∵e ＞1，∴1＜e ≤1＋2，与已知e ＞1＋2矛盾． ∴不存在符合条件的点P .4．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，离心率e ＝12，直线l 的方程为x ＝4. (1)求椭圆C 的方程；(2)AB 是经过右焦点F 的任一弦(不经过点P )，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，问：是否存在常数λ，使得k 1＋k 2＝λk 3？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．解：(1)由P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，得1a 2＋94b 2＝1.① 依题设知a ＝2c ，则b 2＝3c 2.② 将②代入①，解得c 2＝1，a 2＝4，b 2＝3. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.(2)法一：由题意可设AB 的斜率为k ， 则直线AB 的方程为y ＝k (x －1)．③ 代入椭圆方程3x 2＋4y 2＝12，并整理， 得(4k 2＋3)x 2－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有x 1＋x 2＝8k 24k 2＋3，x 1x 2＝4（k 2－3）4k 2＋3.④ 在方程③中令x ＝4，得M 的坐标为(4，3k )．从而k 1＝y 1－32x 1－1，k 2＝y 2－32x 2－1，k 3＝3k －324－1＝k －12.注意到A ，F ，B 三点共线，则有k ＝k AF ＝k BF ， 即有y 1x 1－1＝y 2x 2－1＝k . 所以k 1＋k 2＝y 1－32x 1－1＋y 2－32x 2－1＝y 1x 1－1＋y 2x 2－1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1－1＋1x 2－1＝2k －32·x 1＋x 2－2x 1x 2－（x 1＋x 2）＋1.⑤ 将④代入⑤，得k 1＋k 2＝2k －32·8k24k 2＋3－24（k 2－3）4k 2＋3－8k24k 2＋3＋1＝2k －1. 又k 3＝k －12，所以k 1＋k 2＝2k 3.故存在常数λ＝2符合题意． 法二：设B (x 0，y 0)(x 0≠1)， 则直线FB 的方程为y ＝y 0x 0－1(x －1)，令x ＝4，求得M (4，3y 0x 0－1)， 从而直线PM 的斜率为k 3＝2y 0－x 0＋12（x 0－1），联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝y 0x 0－1（x －1），x 24＋y23＝1，得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫5x 0－82x 0－5，3y 02x 0－5，则直线PA 的斜率为k 1＝2y 0－2x 0＋52（x 0－1），直线PB 的斜率为k 2＝2y 0－32（x 0－1），所以k 1＋k 2＝2y 0－2x 0＋52（x 0－1）＋2y 0－32（x 0－1）＝2y 0－x 0＋1x 0－1＝2k 3，故存在常数λ＝2符合题意．。
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高二数学北师大版（理）选修2－1 第三章 第4节 4.3 直线与圆锥
曲线的位置关系同步练习
（答题时间：60分钟）
一：选择题：(每题6分，计42分) 1、 已知点A(4，2)是直线L 被椭圆
19
36
2
2
=+
y
x
所截得的线段中点，则L 的方程是（ ）
A 、x －2y=0
B 、x+2y －4=0
C 、2x+3y+4=0
D 、x+2y －8=0 2、已知双曲线方程
12
22
2=-
b
y a
x ，点A 、B 在双曲线的右支上，线段AB 经过双曲线的
右焦点F 2，|AB|=m ，F 1为另一焦点，则1ABF ∆的周长是（ ）
A 、2a+2m
B 、4a+2m
C 、a+m
D 、2a+4m 3、已知直线L 与抛物线x y 82
=交于A 、B 两点，且L 经过抛物线的焦点F,点A(8，8),则线段AB 的中点到准线的距离是（ ）
A 、
4
25 B 、
2
25 C 、8
25 D 、25
4、过椭圆13
4
2
2
=+
y
x
的一个焦点且垂直于长轴的弦长是（ ）
A 、
2
1 B 、1 C 、
2
3 D 、3
5、函数12
+=ax y 的图像与直线y=x 相切，则a=( )
A 、
8
1 B 、4
1 C 、
2
1 D 、1
6、正三角形的三个顶点在双曲线12
2
=-my x 的右支上，其中一个顶点是双曲线的右顶
点，则实数m 的取值范围为（ ）
A 、m>0
B 、0<m<1
C 、0<m<3
D 、m>3 7、已知双曲线
)0(12
2
2>=-a y
a
x 的一条准线与抛物线x y
62
-=的准线重合，则该双
曲线的离心率是（ ）
A 、
2
3 B 、2
3 C 、
2
6 D 、
3
32
二：填空题：（每题6分,计18分） 8、直线L 过椭圆18
12
2
2
=+
y
x
的焦点且垂直于x 轴，则直线被椭圆截得的弦长是_______。
9、过抛物线x y
42
=焦点的直线的倾斜角是45°，则此直线方程是_______。
10、若直线L:y=－x+m 与椭圆12
2
2
=+y
x 有两个不同的交点，则m 的范围是_______。
三：计算题（40分）
11、（12分）经过双曲线13
2
2
=-
y
x 的右焦点F 2作倾斜角为30°的弦AB ，
（1）求|AB|
（2）求三角形AB F 1的周长，（F 1是左焦点） 12、（14分）已知抛物线x y -=2
与直线y=k(x+1)相交于A 、B 两点
（1）求证：OB OA ⊥ （2）当10=
∆OAB S ，求k 的值。
13、（14分）已知中心在原点，顶点A 1、A 2在x 轴上，离心率e =3
21的双曲线过点P (6，
6)。
(1)求双曲线方程。
(2)动直线l 经过△A 1P A 2的重心G ，与双曲线交于不同的两点M 、N ，问：是否存在直线l ，使G 平分线段MN ，证明你的结论。
【试题答案】
一：选择题：
1、(D) 解析：设弦的两端点P ),(),,(2211y x Q y x ，则4,82121=+=+y y x x
⎪⎪⎩⎪⎪
⎨⎧=+=+19y 36
x 19
y 36x 2
222
21
21两式相减得：0))((91))((36121212
121=+-++-y y y y x x x x
2
1x x y y 0)y y (9
4)x x (9
22
1212121-
=--⇒
=-+
-∴
故直线方程y －2=－)4(2
1-x ,即：x+2y －8=0
2、(B)
利用双曲线的第一定义。
3、（A ）解析：设AB 的中点是P,到准线的距离是|PQ| F(2,0),直线AB 方程是：y=)2(3
4-x
A(),(),,2211y x B y x
⎪⎩
⎪⎨⎧-==)
2(34
82x y x
y 消去x 得：2,80166)243(8212
2-==⇒=--⇒+=y y y y y y 225||)43(1||212=-+=
∴y y AB ，由抛物线的定义知：|PQ|=4
25
||21=AB
4、(D)
5、（B ）由已知：011
2
2
=+-⇒⎩⎨
⎧=+=x ax
x
y ax
y ，4
1041=
⇒=-=∆a a
6、(D) 解析：将0)]3()3)[(1()1(3
3=++---=m x m x x y 代入双曲线方程得：
3)0(,03
3>⇒>>-+=∴m m m m x
7、（D ）
二：填空题 8、
3
38 解析：椭圆的右焦点F(2,0),过右焦点F 且垂直于x 轴的直线方程是x=2
)334,2(),334,2(2
18
122
2-⇒⎪⎩
⎪
⎨⎧==+∴Q P x y
x ,P,Q 是直线x=2与椭圆的两个交点 9、y=x －1 10、（)
3,
3-
解析：0
2m mx 2x 32)m x (x 22
y x 2m x y 2
2
222
2
=-+-⇒=+-+⇒⎩⎨⎧=++-=
3
m 30)2m (12)m 2(22<
<-⇒>---=∆
三：计算题： 11、解：（1）由双曲线的方程知：)0,2(),0,2(21F F - AB 的直线方程为：)2(3
3-=
x y
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
=--=1
3
)
2(332
2y
x x y 消去y 得：013482
=-+x x ，8
13,2
12121-
=-
=+∴x x x x
34)(1||212
212
=-+⋅
+=x x x x k AB
(2)由于021<x x ，故A 、B 两点在双曲线的两支上，设21x x <有
334)(2)())((||||212
21122121=-+=-=++-=+x x x x x x e a ex a ex BF AF
1ABF ∆∴的周长=|AB|+||||21BF AF +=3+33
12、解：（1）如图：由方程组
)0(,0)
1(2
2
≠=-+⇒⎩⎨
⎧+=-=k k y ky x k y x
y
121-=y y ，k
y y 121-
=+
设A(),(),,2221y x B x x ，由A 、B 两点在抛物线上得：
212
2122
212
1)
(,x x y y x y x y =⇒-=-=
OB
OA 1y y 1
x x y y x y x y k k 2
12
1212
21
1OB OA ⊥⇒-==
=∙=
∴
（2）设直线AB 与x 轴交于N,显然k 不等于0 令y=0,则x=－1,即N(－1,0)
6
1104)1(2
14)(2
1||||2
12
2
12
2121±
=⇒=+=-+=-=+=∆∆∆k k
y y y y y y ON S S S OBN OAN OAB
13、解：（1）如图，设双曲线方程为2
22
2b
y a
x -
=1。
由已知得
3
21,16622
2
2
2
22
2=
+=
=-
a
b a
e
b
a
,解得a 2=9,b 2=12。
所以所求双曲线方程为
12
9
2
2
y
x
-
=1。
(2)P 、A 1、A 2的坐标依次为(6,6)、(3，0)、(－3，0），∴其重心G 的坐标为(2，2）
假设存在直线l ，使G (2，2)平分线段MN ，设M (x 1，y 1)，N （x 2，y 2）。
则有
2
2
12111222
1212224129108124,493129108
x x x y y y y y x x x y ⎧+=-=⎧-⎪⇒==⎨⎨+=--=⎪⎩⎩，∴k l =34
∴l 的方程为y =
3
4 (x －2)+2,
由⎪⎩
⎪⎨⎧-==-)
2(34
108
91222x y y x ,消去y ,整理得x 2－4x +28=0。
∵Δ=16－4×28＜0,∴所求直线l 不存在。