2019-2020学年河南省安阳市林州一中高一下学期4月月考数学试题(解析版)

2019-2020学年河南省安阳市林州一中高一下学期4月月考数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}，则A ∩B ＝( ) A ．{α|α为锐角} B ．{α|α小于90°} C ．{α|α为第一象限角} D ．以上都不对【答案】D【解析】先根据题意得出A ∩B ，再比较A ∩B 与小于90°的角、锐角和第一象限角的关系，这种问题可以通过列举出特殊角来得到结论． 【详解】解：∵A ＝{α|α小于90°}，B ＝{α|α为第一象限角}， ∴A ∩B ＝{小于90°且在第一象限的角}，对于A ：小于90°的角不一定是第一象限的，不正确，比如﹣30°；对于B ：小于90°的角且在第一象限的角不一定是0°～90°的角，不正确，例如﹣300°；对于C ：第一象限的角不一定是小于90°的角且在第一象限的角，不正确，例如380°， 故选D ． 【点睛】此题考查了象限角、任意角的概念，交集及其运算，熟练掌握基本概念是解本题的关键． 2．若α为三角形的一个内角，且sin α，cos α，是方程2320x x c -+=的两个根，则这个三角形是（ ） A ．正三角形B ．直角三角形C ．锐角三角形但不是正三角形D ．钝角三角形 【答案】D【解析】由韦达定理得出12x x +，两边平方得到α三角函数乘积，再判断三角形形状. 【详解】由韦达定理得2sin cos 3αα+=，两边平方得412sin cos 9αα+=， 即5sin cos 18αα=-，又0απ<<，所以cos 0α<，2παπ<<，所以ABC ∆是钝角三角形.故选：D 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、同角三角函数的性质. 3．函数cos tan y x x =⋅的值域是（ ） A ．(1,0)(0,1)-B ．[]1,1-C ．(1,1)-D ．[1,0)(0,1)-【答案】C 【解析】2x k ππ≠+时，sin y cosx tanx x =⋅=()sin 1,1y x ∴=-y cosx tanx =⋅的值域是()1,1-故选C4．要得到函数πy sin 2x 4⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象，可以将函数πy cos 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象( ) A ．向右平移π24个单位 B ．向左平移π24个单位 C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位【答案】A【解析】直接利用三角函数关系式的恒等变变换和图象的平移变换和伸缩变换的应用求出结果． 【详解】 函数ππy cos 2x cos 2x 66⎛⎫⎛⎫=-=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象，转换为：πππy sin 2x sin 2x 263⎛⎫⎛⎫=+-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，将函数的图象向右平移π24个单位， 得到πy sin 2x 4⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象．故选A ． 【点睛】本题主要考查了三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数图象的平移变换和伸缩变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 5．函数()()sin 22f x x πϕϕ⎛⎫=+<⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位后关于y 轴对称，则函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（ ）A． B ．12-C ．12D【答案】B【解析】利用平移后的图像关于y 轴对称求出ϕ，再利用三角函数的性质可求其在给定范围上的最小值. 【详解】平移得到的图像对应的解析式为()sin 23g x x πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭， 因为()g x 为偶函数，所以()0sin 13g πϕ⎛⎫=+=± ⎪⎝⎭，所以32k ππϕπ+=+，其中k Z ∈.因为2πϕ<，所以6π=ϕ， 当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72666x πππ≤+≤，所以1sin 2126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭， 当且仅当2x π=时，()min 12f x =-，故选B . 【点睛】本题考查三角函数的图像变换及正弦型函数的最值的求法，属于中档题. 6． ）A ．2sin 44cos4-B ．2sin 44cos4--C ．2sin 4-D ．4cos42sin 4-【答案】D 【解析】因为2sin 4cos 42cos 44cos 42sin 4==--=- 选D7．已知O 为ABC ∆内一点，且有23OA OC BC +=，则OBC ∆和ABC ∆的面积之比为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．23【答案】C【解析】取AC 中点，利用向量中线定理，得到中线与BC 平行，三角形的面积比转化为边长比. 【详解】设D 是AC 的中点，则2OA OC OD +=， 又因为23OA OC BC +=， 所以223OD BC =,3BC OD =，//OD BC ， 所以12OBC DBC ABC ABC S S DC S S AC ∆∆∆∆=== 故选：C 【点睛】本题主要考查向量基本定理，属于基础题.8．已知向量()1,2a =，()1,b t =，82,3c ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若()2//a b c +，则向量b 在a方向上的投影为（ ） A． B．CD 【答案】B【解析】通过向量共线解得t ，然后利用向量的数量积转化求解向量b 在a 方向上的投影． 【详解】解：由已知可得2(1,2)2(1,)(3,22)a b t t +=+=+，因为()2//a b c +，8(2,)3c =-，所以82(22)0t --⨯+=，解得3t =-，故(1,3)b =-，则||5a =，||10b=，cos ,2a b <>==，故向量b 在a 方向上的投影为2||cos ,10()52b a b <>=⨯-=-， 故选：B ． 【点睛】本题考查向量的共线与向量的数量积的应用，向量的投影的求法，属于基础题． 9．已知平面向量,a b →→满足(1,3)a →=，||3b →=，(2)a a b →→→⊥-，则|23|a b →→-=（ ） A ．73 B ．7 C ．4 D ．5【答案】A【解析】根据向量的垂直关系求出a b ⋅，再将向量的模长转化为向量的数量积，即可求解. 【详解】由题意可得||132a =+=且(2)0a a b ⋅-=， 即220a a b -⋅=，所以420a b -⋅=， 所以2a b ⋅=，222|23|(23)4129a b a b a a b b -=-=-⋅+16248173=-+=．故选：A . 【点睛】本题考查向量的数量积运算，熟记公式即可，属于基础题．10．如图所示，在ABC 中，设,AB a AC b ==，AP 的中点为Q ，BQ 的中点为R ，CR 的中点恰为P ，则AP =（）A ．1122a b + B ．1233a b +C ．2477a b + D ．4277a b + 【答案】C【解析】由向量的三角形法则以及向量中点关系结合向量的基本定理可表示出AP ． 【详解】如图，连接BP ，则AP AC CP b PR=+=+，①AP AB BP a RP RB=+=+-.②①+②，得2AP a b RB=+-.③又()11112222RB QB AB AQ a AP⎛⎫==-=-⎪⎝⎭，④将④代入③，得11222AP a b a AP⎛⎫=+--⎪⎝⎭，解得2477AP a b=+.故选C.【点睛】本题考查平面向量基本定理，属中档题．11．求23445cos cos cos cos cos cos111111111111ππππππ=（）A．512B．412C．512-D．412-【答案】A【解析】直接利用二倍角公式化简求解即可．【详解】解：2345cos cos cos cos cos1111111111πππππ23452sin cos cos cos cos cos1111111111112sin11πππππππ=223452sin cos cos cos cos11111111114sin11ππππππ=43452sin cos cos cos111111118sin11πππππ=3352sin cos cos 11111116sin11ππππ=652sin cos 111132sin11πππ=10sin 1132sin11ππ=132=． 故选：A ． 【点睛】本题考查二倍角公式的应用，三角函数化简求值，考查计算能力，属于中档题． 12．已知1e 、2e 是两个不共线的向量，若1228AB e e =-，123CB e e =+，122CD e e =-，则（ ）A ．A 、B 、C 三点共线 B ．A 、C 、D 三点共线 C ．A 、B 、D 三点共线 D ．B 、C 、D 三点共线【答案】C【解析】利用平面向量共线的基本定理可判断A 、B 、C 、D 四个选项的正误. 【详解】对于A 选项，1228AB e e =-，123CB e e =+且2813-≠，则AB 、CB 不共线， 则A 、B 、C 三点不共线，A 选项错误；对于B 选项，()()12121228311AC AB BC e e e e e e =+=--+=-，122CD e e =-且11121-≠-，则AC 、CD 不共线，则A 、C 、D 三点不共线， B 选项错误；对于C 选项，()()121212234BD CD CB e e e e e e =-=--+=-， 所以，2AB BD =，则A 、B 、D 三点共线，C 选项正确； 对于D 选项，123CB e e =+，122CD e e =-且1321≠-，则CB 、CD 不共线，则B 、C 、D 三点不共线，D 选项错误. 故选：C. 【点睛】本题考查利用共线向量的基本定理判断三点共线，考查计算能力与推理能力，属于基础题.13．已知向量(4sin ,1cos ),(1,2)a b αα=-=-,若2a b ⋅=-,则22sin cos 2sin cos αααα=-( ) A ．1 B ．1-C ．27-D ．12-【答案】A【解析】利用a b ⋅的坐标运算列方程求出1tan 2α=-，再将22sin cos 2sin cos αααα-变形，用tan α表示出来，代入tan α的值即可.【详解】由2a b ⋅=-，得4sin 2(1cos )2αα--=-，整理得1tan 2α=-，所以2221sin cos tan 2112sin cos 2tan 112αααααα-===---， 故选：A . 【点睛】本题考查数量积的坐标运算，考查正余弦齐次式的求解，是基础题.14．在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，22BC AB ==，E 为AC 的中点，则AB BE ⋅= A ．-2 B ．-1C ．0D ．1【答案】B【解析】根据向量的线性运算得()1·2AB BE AB BA BC =⨯+ 21122AB AB BC =-+⋅，再利用和数量积的运算，即可求解． 【详解】由题意，在ABC ∆中，60ABC ∠=︒，22BC AB ==，E 为AC 的中点，所以()1·2AB BE AB BA BC =⨯+ 21122AB AB BC =-+⋅11cos120122AB BC =-+⋅︒=-【点睛】本题主要考查了向量的线性运算，以及向量的数量积的运算，其中解答中熟记平面向量的线性表示和数量积的运算公式求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．15．已知函数()()2sin 0,2f x x πωφωφ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列不可能是()f x 图象的对称中心的是（ ）A ．,06π⎛⎫⎪⎝⎭B ．11012π⎛⎫⎪⎝⎭， C ．203π⎛⎫⎪⎝⎭， D ．7,06π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B【解析】由函数图象求出函数的周期，利用周期公式求出ω，由图象过点5(,2)12π即可求出ϕ的值，得到函数的解析式，再根据正弦函数的对称性，得出结论． 【详解】解：由图象可得1254312T ππ=-，解得T π=，2ω∴=，又图象过点5(,2)12π，∴52sin(2)212πϕ⨯+=，则23k πϕπ=-+，k Z ∈，||2πϕ<，∴3πϕ=-，∴()sin()f x x π=-223．1111()2sin(2)2012123f πππ=⨯-=-≠， ∴11(,0)12π 不可能是函数()f x 的对称中心．故选：B ． 【点睛】本题主要考查由函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象求解析式，正弦函数的对称性，考查了数形结合思想，属于中档题．16．函数()21sin 1xf x x e ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭的图象的大致形状是（ ） A ． B ．C ．D ．【答案】A【解析】根据已知中函数的解析式，可得函数f （x ）为偶函数，可排除C,D ，由()0,0x f x →>得到答案．【详解】()211sin sin 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭故()()f x f x -=则()f x 是偶函数，排除C 、D ，又当()0,0x f x →> 故选：A. 【点睛】本题主要考查函数的图象特征，函数的奇偶性的判断，结合排除特值与极限判断是常见方法，属于基础题． 17．若02πα<<，2ππβ-<<-，1cos 43πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，3cos 423πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则cos 2βα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．BC ．D 【答案】D【解析】利用同角三角函数的平方关系求得sin 4πα⎛⎫+⎪⎝⎭、sin 42πβ⎛⎫- ⎪⎝⎭的值，利用两角差的余弦公式可求得cos 2βα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值. 【详解】02πα<<，2ππβ-<<-，则3444πππα<+<，32424ππβπ<-<，sin 43πα⎛⎫∴+==⎪⎝⎭，sin 42πβ⎛⎫-==⎪⎝⎭， 因此，cos cos cos cos sin sin 2442442442βππβππβππβαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+--=+-++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦133333⎛=⨯-+= ⎝⎭. 故选：D. 【点睛】本题考查利用两角差的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题. 18．已知函数()()2log 3f x x =-，若对于任意的实数x ，都有()223sin cos 4f a x f a x ⎛⎫+≤++ ⎪⎝⎭成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．(1⎤-⎦ B ．⎡-⎣C ．2⎤⎦D ．(][)2-∞+∞,-1,【答案】A【解析】根据()f x 在(,3)-∞上单调递减，将所求不等式转化为2233sin cos 4a x a x >+≥++恒成立，先有23sin a x >+求出a 的取值范围，再由223sin cos 4a x a x +≥++，分离参数得223cos sin 4a a x x -≥-+，求出23cos sin 4x x -+的最大值，进而得到关于a 的不等式，求解即可求出结论.【详解】()f x 的定义域为(,3)-∞且单调递减，对于任意的实数x ，()223sin cos 4f a x f a x ⎛⎫+≤++ ⎪⎝⎭恒成立， 即2233sin cos 4a x a x >+≥++恒成立，由23sin a x >+对任意x 恒成立，则213,a a +<<<由223sin cos 4a x a x +≥++， 得223cos sin 4a a x x -≥-+对任意x 恒成立， 设222371cos sin sin sin (sin )2442y x x x x x =-+=--+=-++， 当1sin 2x =-时，22max 2,2,20y a a a a =∴-≥--≥，1a ≤-或2a ≥，又a <<所以1a <≤-. 故选：A. 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，以及不等式恒成立求参数范围，注意函数的定义域，考查计算求解能力，属于中档题.19．过圆221:68210O x y x y +--+=上一动点P 作圆22:4O x y +=的两条切线，切点分别为A 、B ，设向量PA 、PB 的夹角为θ，则cos θ的取值范围为（ ）A ．141,949⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．117,925⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1741,2549⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．⎣⎦【答案】A【解析】通过分析，||PO 最小时，θ最大，cos θ最小；||PO 最大时，θ最小，cos θ最大，所以转化成圆1O 的圆心到O 上点在最值，求出||PO 的取值范围，从而求出cos θ的取值范围，得出结论. 【详解】0θπθ∈∴（，），最大时，cos θ最小；θ∴最小时，cos θ最大， 22,sin AO APO APO PO POθ=∠∠==||PO ∴最小时，θ最大，cos θ最小；||PO ∴最大时，θ最小，cos θ最大圆221:68210O x y x y +--+=，22(3)(4)4x y ∴-+-=15O O ==，2237,sin 73PO APO ∴≤≤∴≤∠≤， 由2cos 212sin θθ=-222212()cos 12()37θ∴-≤≤-即141cos 940θ≤≤ 故选：A . 【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系、圆外点到圆上点的取值范围、以及三角函数值、二倍角公式的计算，难度不大，属于基础题. 20．π()sin()(0,),2f x x ωϕωϕ=+>≤若π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴，()f x 在区间ππ(,)54上单调，则ω的最大值是( ) A ．14 B ．18C ．20D ．22【答案】A【解析】因为π8x =-是函数()f x 的零点，π8x =是函数()f x 的对称轴， 所以2144n T n N ，π+=∈，即21244n ππω+=, n N ∈，即42,?n n N ω=+∈，即ω为正偶数.因为()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上单调，则ππ45202T π-=≤，即210T ππω=≥. 20ω≤.当18ω=时，ππ sin 18088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得9 ,4k k Z πϕπ-+=∈，9 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=，()πsin 184f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π779518,42020x ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，其中，901202f f ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调； 当14ω=时，ππ sin 14088f ϕ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=⨯-+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，得7 ,4k k Z πϕπ-+=∈，7 ,?4k k Z πϕπ=+∈,π 2ϕ≤，所以π4ϕ=-，()πsin 144f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，ππ,54x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，π516514,42020x ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，满足()f x 在区间ππ,54⎛⎫⎪⎝⎭上不单调. 故ω的最大值是14. 故选A.点睛：本题将三角函数的单调性与对称性结合在一起进行考查,题目新颖,是一道考查能力的好题.注意本题求解中用到的两个结论：①()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的单调区间长度是最小正周期的一半;②若()()()sin 0,0f x A x A ωϕω=+≠≠的图像关于直线0x x =对称,则()0f x A = 或()0f x A =-.二、填空题21．函数224sin 6cos 633y x x x ππ⎛⎫=+--≤≤ ⎪⎝⎭的值域________． 【答案】16,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【解析】利用同角三角函数基本关系22sin 1cos x x =- 将已知条件化简为关于cos x 的函数，配方即可得值域 【详解】224sin 6cos 64(1cos )6cos 6y x x x x =+-=-+-22314cos 6cos 24(cos )44x x x =-+-=--+，233x ππ-≤≤， 1cos 12x ∴-≤≤ ，故231164(cos )444x -≤--+≤，故答案为：16,4⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查了三角函数值域的求法，属于基础题.22．已知关于x 的方程22sin 3sin 210x x m -+-=在,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上有两个不同的实数根，则m 的取值范围是________． 【答案】()2,1--【解析】利用三角函数的倍角公式,将方程整理化简,利用三角函数的图象和性质,确定条件关系,进行求解即可. 【详解】22sin 3sin 210x x m -+-=，∴ 1cos 23sin 210x x m --+-= ，即cos 23sin 20x x m +-=，∴ 2sin(2)6x m π+= ，即sin(2)62mx π+=， ,2πx π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，7132(,)666x πππ+∈，设7132,(,)666x t t πππ+=∈，则sin 2m t =在713(,)66t ππ∈上有两个不同的实数根，∴ 1sin y t =，22m y =713(,)66t ππ∈的图像有两个不同的交点，如图由图象可知， 1122m -<<- ，即21m -<<- 故答案为：()2,1-- 【点睛】本题主要考查了函数零点的判断，利用三角函数的倍角公式，将三角函数化简，利用三角函数图象和性质解决问题，属于中档题.23．已知向量()1,2a =-，()1,b λ=，若a 与b 的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是________． 【答案】()1,22,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭【解析】根据题意即可得出12020λλ->⎧⎨+≠⎩，然后解出λ的范围即可．【详解】 解：a 与b 的夹角为锐角∴0a b >，且,a b 不共线， ∴12020λλ->⎧⎨+≠⎩，解得12λ<且2λ≠-，∴实数λ的取值范围是()1,22,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．故答案为：()1,22,2⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算，平行向量的坐标关系，考查了计算能力，属于基础题．24．关于平面向量有下列四个命题： ①若a b a c ⋅=⋅，则b c =；②已知(),3a k =，()2,6b =-．若//a b ，则1k =-．③非零向量a 和b ，满足a b a b ==-，则a 与 a b +的夹角为30．④0a b a b a a b b ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪+⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．其中正确的命题为________．（写出所有正确命题的序号）【答案】②③④【解析】根据向量数量积的定义，向量平行的坐标表示，由向量加减法的几何意义，向量数量积的运算律对各个命题进行判断．【详解】①当0a=时，由a b a c⋅=⋅不能得出b c=，①错误；②//a b，则6(6)0k--=，1k=-，②正确；③如图，设,OA a OB b==，则BA a b=-，OC a b=+，由已知a b a b==-，则OAB是等边三角形，四边形OABCB是菱形，且60AOB∠=︒，所以a与a b+的夹角为COA∠=30，③正确；④22110a b a b a ba a ab b b⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪+⋅-=-=-=⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，④正确．故答案为：②③④【点睛】本题考查向量的数量积，向量共线的坐标表示，考查向量加减法的几何意义．考查知识点较多，属于中档题．三、解答题25．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(3)P-.（Ⅰ）求tan()sin()2cos()sin(3)πααπαπα-++---的值；（Ⅱ）求tan2tan2αα+的值.【答案】（Ⅰ）23-；（Ⅱ）2【解析】（Ⅰ）根据三角函数的定义求出cos α、sin α、tan α的值，再利用诱导公式将所求代数式化简，将角α的三角函数值代入进行计算可得出结果； （Ⅱ）利用二倍角公式求出tan2α的值，利用半角公式sin tan 21cos ααα=+求出tan 2α的值，再代入所求代数式进行计算即可． 【详解】（Ⅰ）由题意得：1sin ,cos tan 2ααα=== 原式tan cos (cos )sin αααα-+=-⋅23==- （Ⅱ）22tan tan 21tan ααα==-1sin tan 221cos ααα===+tan 2tan2αα+=2．【点睛】本题考查三角函数定义、诱导公式、二倍角公式以及半角公式，在三角求值时，充分利用相关公式进行化简，朝着已知角进行化简计算，着重考察学生对三角公式的掌握和应用水平，属于中等题．26．设平面向量16sin ,2m x ⎛⎫= ⎪⎭，()2cos ,1n x =，函数()()f x m n n =-⋅．（1）求函数()f x 的最小正周期； （2）当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，求函数()f x 的最大值和最小值． 【答案】（1）T π=；（232，最小值72-【解析】（1）本题首先可根据题意得出())12f x xx x =-，然后通过三角恒等变换得出()32sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，最后根据周期计算公式即可得出结果；（2）本题可根据,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦得出22363x πππ-≤-≤，然后根据正弦函数性质即可得出结果. 【详解】（1）因为16sin ,2m x ⎛⎫= ⎪⎭，()2cos ,1n x =，所以()())12cos 2f x m n n xx x =-⋅=-213cos 2cos 2cos 222x x x x x =--=-- 32sin 262x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭故函数()f x 的最小正周期22T ππ==， （2）因为,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，所以22363x πππ-≤-≤，故当263x ππ-=，即4x π=时，函数()f x 取最大值，342f π⎛⎫=⎪⎝⎭， 当262x ππ-=-，即6x π=-时，函数()f x 取最小值，672f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭-. 【点睛】本题考查求三角函数的最小正周期以及最值，考查三角恒等变换以及正弦函数的相关性质，考查三角函数的周期计算公式，考查向量的坐标运算，考查计算能力，考查转化与化归思想，是中档题.27．已知函数()()f x a b c =+，其中向量()sin ,cos a x x =-，()sin ,3cos b x x =-，()cos ,sin c x x =-，x ∈R .（Ⅰ）若()52f α=，588ππα-<<-，求cos2α的值； （Ⅱ）不等式()2f x m -<在,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（Ⅰ）14（Ⅱ）(0,4 【解析】(Ⅰ)利用向量数量积公式得到()f x 后,再用二倍角公式以及两角和的正弦公式的逆用公式化成辅助角的形式,根据已知条件及同角公式解得3cos 244πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,再将所求变成33cos 2cos 244ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦后,利用两角差的余弦公式求得; (Ⅱ)将不等式恒成立转化为最大最小值可解得. 【详解】()()f x a b c =+()()sin ,cos sin cos ,sin 3cos x x x x x x =---222sin 2sin cos 3cos 1sin 22cos x x x x x x =-+=-+32cos 2sin 2224x x x π⎛⎫=+-=++⎪⎝⎭（Ⅰ）若()52f α=，则352242πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即3sin(2)44πα+=， 由588ππα-<<-∴544ππα-<2<-，即3242πππα-<2+<，则3cos 244πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 则333333cos 2cos 2cos 2cos sin 2sin 444444ππππππαααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-=+++ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦4242⎛=-+= ⎝⎭（Ⅱ）∵不等式()2f x m -<在,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立， ∴()22f x m -<-<，即()()22f x m f x -<<+在,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，当,82x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则2,4x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，372,44x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦， 则当324x ππ+=，即8x π=时,()f x 取得最大值，最大值为()max 2f x =，当33242x ππ+=，即38x π=时,()f x 取得最小值，最小值为()min 322f x π=+2=-第 1 页 共 6 页则2222m m >-⎧⎪⎨<⎪⎩,得04m <<， 即实数m的取值范围是(0,4.。