参变量函数的导数
10 由参数方程确定的函数的导数、高阶导数
6
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二、高阶导数
1、高阶导数的定义
问题:变速直线运动的加速度 问题:变速直线运动的加速度.
设 s = f (t ), 则瞬时速度为 v ( t ) = f ′( t )
Q 加速度 a是速度 v对时间 t的变化率
∴ a ( t ) = v ′( t ) = [ f ′( t )]′ .
一 地 函 f ( x)的 −1 导 的 数 为 般 , 数 n 阶 数 导 称
数 n 导 , 作 函 f ( x)的 阶 数 记
dn y dn f ( x) f (n) ( x), y(n) , . 或 n n dx dx 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数 高阶导数. 二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数
(4) ( x α ) ( n ) = α(α − 1) L (α − n + 1) x α − n
(n)
(5) (ln x )
14
= ( −1)
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n −1
( n − 1)! xn
返回
1 (n) n n! ( ) = ( −1) n + 1 x x
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1 (5) , 求y . 2 x −1 1 1 1 1 解Qy= 2 ) = ( − x −1 2 x −1 x +1
例6 设 y =
∴y
(5)
1 − 5! − 5! ] = [ − 6 6 2 ( x − 1) ( x + 1) 1 1 ] = 60[ − 6 6 ( x + 1) ( x − 1)
15
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由参数方程确定的函数的求导方法
一、概述从高中开始学习数学，我们就被教导如何求解代数函数的导数。
但是在高等数学领域，我们还需要学会如何求解由参数方程确定的函数的导数。
参数方程在描述曲线、曲面等几何图形时具有独特的优势，因此求解由参数方程确定的函数的导数是十分重要的。
二、参数方程的定义参数方程是由参数对确定的函数，其自变量和因变量均为参数。
常见的参数方程形式可表示为$x=f(t)$，$y=g(t)$，其中$x$和$y$分别是$t$的函数。
参数方程的优点在于能够将几何问题转化为代数问题，简化问题的求解过程。
三、从参数方程求导的基本方法1. 链式法则当我们需要求解由参数方程确定的函数的导数时，可以利用链式法则。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$。
通过对参数$t$的求导，我们可以得到$y$关于$x$的导数。
2. 极限定义法我们也可以利用极限定义法来求解由参数方程确定的函数的导数。
设有参数方程$x=f(t)$，$y=g(t)$，需求解函数$y$关于$x$的导数$\frac{dy}{dx}$。
我们可以将$\frac{dy}{dx}$表示为$\lim_{\Delta t\to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$，其中$\Delta t$趋近于$0$。
通过极限的定义，我们可以求得函数$y$关于$x$的导数。
四、实例分析为了更好地理解从参数方程求导的方法，我们通过实例来进行分析。
假设有参数方程$x=2t$，$y=t^2$，我们需要求解函数$y$关于$x$的导数。
根据链式法则，我们有$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$，代入参数方程得$\frac{dy}{dx}=\frac{2t}{2}=\frac{t}{1}=t$。
浅谈柯西—布涅柯夫斯基不等式证明中的参变量
浅谈柯西—布涅柯夫斯基不等式证明中的参变量柯西布涅柯夫斯基不等式是一个重要的数学定理，它有多种应用，在今天的数学及其相关学科中都十分重要。
证明这个定理时，使用的参变量会受到不等式本身的要求，从而影响最终的结果。
因此，了解参变量的重要性，对于理解完整的证明过程有着至关重要的作用。
柯西布涅柯夫斯基不等式及其参变量柯西布涅柯夫斯基不等式由罗斯福数学家马可柯西于1730年提出，它定义为：设一个函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上可导，则存在一个实数$x_0$，使得$$frac{f(b) - f(a)}{b - a} ge frac{f(x_0) - f(a)}{x_0-a}$$ 即$$f(b) - f(a) ge (b - a)f(x_0)$$其中$f(x)$表示函数$f(x)$的导数。
参变量$x_0$在数学上又称为柯西布涅柯夫斯基不等式的中心点，它具有以下特征：（1）无论函数$f(x)$的形式如何，$x_0$总是存在；（2）$x_0$可以在$[a,b]$上的任何位置，因此它的位置具有弹性；（3）$x_0$的位置受到不等式本身的要求，因此$x_0$的位置影响到最终的结果。
参变量$x_0$的特性由于参变量$x_0$受到不等式本身的要求，因此它的特性与函数$f(x)$的类型有关。
一般而言，可以将$x_0$的特性分为三种情况：1.数$f(x)$是单调递减函数：在函数$f(x)$单调递减的情况下，参变量$x_0$的值只能大于或等于极限点$a$，否则导数$f(x)$则不受正确的符号影响，进而无法推导出正确的结果。
2.数$f(x)$是单调递增函数：在函数$f(x)$单调递增的情况下，参变量$x_0$的值只能小于或等于极限点$b$，否则导数$f(x)$则不受正确的符号影响，进而无法推导出正确的结果。
3.数$f(x)$是凸函数：在函数$f(x)$是凸函数的情况下，参变量$x_0$的值必须等于$a$或者$b$，否则导数$f(x)$则不受正确的符号影响，进而无法推导出正确的结果。
含参变量的积分求导公式
含参变量的积分求导公式1.引言积分求导是微积分中非常重要的概念，它使我们能够在数学和物理问题中处理函数的变化率和曲线的斜率。
在一元微积分中，我们通常处理不包含参量的函数，而不受外界因素的影响。
然而，在某些情况下，我们需要考虑参量对函数的影响。
本文档将介绍含参变量的积分求导公式，并提供一些具体例子来帮助读者理解和应用这些公式。
2.含参变量的积分求导公式在含参变量的函数中，函数的形式可以写为$f(x;a)$，其中$x$表示自变量，$a$表示参数。
求导的目标是找到函数在某一点$x$的斜率或变化率。
在求导过程中，我们将参数$a$视为常数，只对变量$x$进行求导。
根据链式法则，含参变量的积分求导公式可以写为：$$\f ra c{d}{d x}\in t{f(x;a)d x}=\int{\f ra c{\p ar ti al}{\p ar ti a lx}f(x;a)d x}$$其中，$\f ra c{\p ar t ia l}{\pa rt ia lx}f(x;a)$表示对函数$f(x;a)$关于$x$的偏导数。
注意，求导结果仍然包含变量$x$。
3.示例为了更好地理解含参变量的积分求导公式，我们来看几个具体的例子。
3.1.例子1考虑一个含参变量的函数$f(x;a)=x^2+a x$，我们的目标是求它在某一点$x_0$的斜率。
首先，我们对函数$f(x;a)$关于$x$进行偏导数运算，得到：$$\f ra c{\p ar ti al}{\p ar ti al x}f(x;a)=2x+a$$然后，我们可以根据公式计算出在点$x_0$处的斜率：$$\f ra c{d}{d x}\in t{f(x;a)d x}=\int{\f ra c{\p ar ti al}{\p ar t i a lx}f(x;a)d x}=\i n t{(2x+a)dx}=x^2+ax+C$$其中，$C$为常数。
3.2.例子2现在考虑一个含参变量的函数$f(x;a)=e^{ax}$。
含参变量求导
( x 2 y 2 2)
例3 设曲线Γ由极坐标方程r=r(θ)所确定，试求该 曲线上任一点的切线斜率，并写出过对数螺线
上点 re (e 2 , ) 处的切线的直角坐标方程 2
解
由极坐标和直角坐标的变换关系知 x r ( ) cos y r ( ) sin
dy dy dt dy 1 ( t ) dx dt dx dt dx ( t ) dt
dy dy dt 即 dx dx dt
x ( t ) 若函数 二阶可导, y ( t )
d ( t ) dt d 2 y d dy ) ( ) ( 2 dx dx dt ( t ) dx dx
5.3 参变量函数的导数
一、由参数方程所确定的函数的导数
x (t ) 若参数方程 确定 y与x间的函数关系 , y (t ) 称此为由参数方程所确定的函数.
x 2t , x 例如 消去参数 t 2 y t , 2 2 x 2 x 1 2 yt ( ) y x 2 4 2 问题: 消参困难或无法消参如何求导?
上式两边对x求导得
1 1 y cos x ln x sin x y x 1 y y(cos x ln x sin x ) x sin x sin x x (cos x ln x ) x
一般地
f ( x ) u( x )v ( x ) ( u( x ) 0)
解
dy a sin t sin t dy dt dx dx a a cos t 1 cos t dt sin dy 2 1. dx t 2 1 cos 2
所求切线方程为
参数方程确定的函数的导数课件
参数方程的一般形式
参数方程的特性
参数方程可以描述曲线、曲面或更复 杂的几何对象。
$x = f(t), y = g(t)$，其中 $t$ 是参数。
参数方程与函数的关系
函数
函数是一种特殊的数学关系，它定义 了在一个集合中每个元素与另一个集 合中唯一元素之间的关系。
参数方程与函数的关系
参数方程可以用来描述函数的几何形 状，而函数的导数则描述了函数在各 个点的切线斜率。
导数的计算方法
通过链式法则和参数变化 率，将参数方程转化为导 数形式，即 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt)。
具体计算步骤
首先对参数方程求导，得 到 dy/dt 和 dx/dt，然后 代入公式 dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) 计算导数。
导数的几何意义
导数的几何表示 导数在几何上表示函数图像在该点的切线的斜率，即切线 的倾斜角正切值。
曲线的凹凸性
通过导数的符号变化，可 以判断曲线的凹凸性，进 而研究曲线的弯曲程度和 变化趋势。
极值问题
导数可以用来研究函数的 极值问题，确定函数在哪 些点取得极值，以及极值 的大小和性质。
导数在物理中的应用
速度和加速度
导数可以用来描述物理量的变化 率，例如速度和加速度，进而研
究物体的运动规律。
斜抛运动
参数方程的几何意 义
参数方程的几何意 义
参数方程描述了一个或多个点随参数变化而变化的轨迹，这些轨迹形成曲线或 曲面。
参数方程在几何中的应用
参数方程广泛应用于解析几何、微分几何等领域，用于描述和分析各种几何对象。
02 参数方程确定的函数的 导数
导数的定义
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率， 表示函数在该点附近的小范围内
隐函数、参数方程导数
导数与微分
20
dy
三、 求下列参数方程所确定的函数的一阶导数 dx ：
1、
x y
a b
cos t sin t
；
2、
x y
f tf
(t ) (t )
f
(t)
设 f (t)存在且不为零
.
四、 求由参数方程 x ln(1 t 2 ) 所确定的函数的 y t arctant
dy
一阶导数 dx .
cos t sin t
x e x y
二、1、e 2 y (2
(3
y)
y
3
)
；
2、-2csc2 ( x y)c tan3 ( x y) ；
y(ln y 1)2 x(ln x 1)2
3、
xy(ln y 1)3
.
导数与微分
22
三、1、 b ； a 2 sin3 t
四、 t 4 1. 8t 3
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
由复合函数及反函数的求导法则得
dy dx
dy dt
dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
dy
即
dy dx
dt dx
dt
dt
导数与微分
11
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
F(x, y) 0
y f ( x) 隐函数的显化
问题:隐函数不易显化或不能显化如何求导?
隐函数求导法则:
用复合函数求导法则直接对方程两边求导.
隐函数与参数方程的求导法则
隐函数与参数方程的求导法则在微积分中，求导是求函数在某一点的变化率的操作。
当我们面对的函数是显式函数时，也就是可以通过直接表示成y=f(x)的形式，求导问题相对较为简单。
但在一些情况下，我们会遇到隐式函数或参数方程，这就需要用到隐函数与参数方程的求导法则。
一、隐函数的求导法则隐函数是指通过x和y之间的关系式来定义的函数，其中y不能用x的表达式直接表示出来。
在求解隐函数的导数时，我们需要运用到隐函数的求导法则，具体步骤如下：1.对于隐函数关系式进行求导，将dy/dx表示为f(x, y)。
2.将dx移到方程的一侧，得到f(x, y)dx+(-1)dy=0。
3.根据链式法则，乘得dy/dx=-(f(x, y)dx/dy)。
4.将方程中的dy/dx替换成-dy/dx，便可得到所求的导数。
举个例子来进行说明。
假设我们有一个方程x^2+y^2=R^2表示一个圆的形状，其中R是一个常数。
如果我们想要求解这个圆的切线斜率，就需要使用隐函数的求导法则。
首先对方程两边求导，得到2xdx+2ydy=0。
将dy/dx替换成-dy/dx，得到2xdx-2ydy=0。
然后将式子整理为dy/dx的形式，即dy/dx=-(2x/2y)=-x/y。
这就是所求的切线斜率。
二、参数方程的求导法则参数方程是指通过t来表示x和y，即x=f(t)，y=g(t)，其中t是一个独立变量。
求解参数方程的导数时，我们同样需要运用到参数方程的求导法则，具体步骤如下：1.对于参数方程中的每一个方程分别求导，得到dx/dt和dy/dt。
2.将两个式子相除，得到dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。
接下来，让我们通过一个例子来进一步说明参数方程的求导法则。
假设我们有一个参数方程x=cos(t)，y=sin(t)，其中0≤t≤2π。
我们想求解在该参数方程下的切线斜率。
首先对参数方程x=cos(t)和y=sin(t)分别求导，得到dx/dt=-sin(t)和dy/dt=cos(t)。
《数学分析(上)》课程标准
《数学分析上》课程标准一、课程说明课程编码〔37004 〕承担单位〔师范学院〕制定〔〕制定日期〔2022年11月26日〕审核〔〕审核日期〔〕批准〔〕批准日期〔〕（1）课程性质：《数学分析(上)》是数学教育专业三年制专科生最重要的专业基础课之一，是数学教育专业的专业必修课，也是数学教育专业的专业核心课程。
（2）课程任务：本课程针对中小学数学教师开设，为深入理解中小学数学打下必要的基础，为从事中小学数学教师职业打下扎实的知识基础。
通过本课程的学习，能够使学生掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法，为学习后继的所有专业课程奠定必要的数学基础。
（3）课程衔接：在课程设置上，本课程前置课程是《高中数学》，后续课程有数学分析（中），数学分析（下）。
二、学习目标课程的目标是通过系统的学习与严格的训练，全面掌握数学分析中初等函数及极限的基本概念、基本理论和基本方法；培养严格的逻辑思维能力与推理论证能力；具备熟练的运算能力与技巧；提高建立数学模型，并应用微分和积分这一工具解决实际应用问题的能力。
通过该课程的学习，使学生能够理解数学分析的概念、性质；掌握函数初等函数的概念及相关性质，理解并掌握一元函数的极限的概念和运算法则，并熟练运用法则进行相应计算；理解并掌握函数连续的概念及性质，理解并掌握一元函数微分学的概念及运算法则。
三、课程设计本课程以课堂为载体，根据中小学数学教师工作任务要求，确定学习目标及学习任务内容；本课程采取讲解教学模式，以学生为主体、以闭卷笔试为导向组织教学考核。
表3-1教学内容与学时分配表表2课程总体设计4.教学设计表3学习情境设计五、课程考核（1）考核方式：考试成绩由平时考核和期末考试组成。
平时考核：听课出勤、平时作业、课堂练习、小测验、课堂提问题等，占30%；期末考试：卷面成绩占70%，试卷可包括填空题、选择题、判断题、计算题、证明题及证明题。
（2）考核标准：学生能够理解并掌握数学.符合中小学数学教师的知识理论基础要求和职业资格要求。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案05第五章 导数和微分习题§5.1导数的概念1、已知直线运动方程为2510t t s +=，分别令01.0,1.0,1=∆t ，求从t=4至t t ∆+=4这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。
2、等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。
3、设4)(,0)(0='=x f x f ，试求极限xx x f x ∆+∆→∆)(lim 00。
4、设⎩⎨⎧<+≥=,3,,3,)(2x b ax x x x f 试确定的a,b 值，使f在x=3处可导。
5、试确定曲线y x ln =上哪些点的切线平行于下列直线：（1）;1-=x y （2）32-=x y6、求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程：（1）).1,0(,cos )2();1,2(,42p x y p x y ==7、求下列函数的导函数： ⎩⎨⎧<≥+==,0,1,0,1)()2(;)()1(3x x x x f xx f8、设函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )(x x xx x f m（m 为正整数），试问：（1）m 等于何值时,f 在x=0连续；（2）m 等于何值时,f 在x=0可导； （3）m 等于何值时,f '在x=0连续。
9、求下列函数的稳定点：(1)f(x)=sinx-cosx ；(2)x x x f ln )(-=。
10、设函数f 在点0x 存在左右导数，试证明f 在点0x 连续。
11、设0)0()0(='=g g ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠=,0,0,0,1sin )()(x x xx g x f求)0(f '。
12、设f 是定义在R 上的函数，而且对任何Rxx ∈21,，都有)()()(2121x f x f x x f =+。
若1)0(='f ，证明对任何R x ∈，都有)()(x f x f ='。
数学分析教案 (华东师大版)第五章 导数和微分
第五章导数和微分教学目的：1.使学生准确掌握导数与微分的概念。
明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分；2.弄清函数可导与可微之间的一致性及其相互联系，熟悉导数与微分的运算性质和微分法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练地进行初等函数的微分运算；3.能利用导数与微分的意义解决某些实际问题的计算。
教学重点、难点：本章重点是导数与微分的概念及其计算；难点是求复合函数的导数。
教学时数：16学时§ 1 导数的概念（4学时）教学目的：使学生准备掌握导数的概念。
明确其物理、几何意义，能从定义出发求一些简单函数的导数与微分，能利用导数的意义解决某些实际应用的计算问题。
教学要求：深刻理解导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数的导数；知道导数与导函数的相互联系和区别；明确导数与单侧导数、可导与连续的关系；能利用导数概念解决一些涉及函数变化率的实际应用为体；会求曲线上一点处的切线方程。
教学重点：导数的概念。
教学难点：导数的概念。
教学方法：“系统讲授”结合“问题教学”。
一、问题提出：导数的背景.背景：曲线的切线；运动的瞬时速度.二、讲授新课：1.导数的定义: 定义的各种形式. 的定义. 导数的记法. 有限增量公式:例1 求例2 设函数在点可导, 求极限2.单侧导数: 定义. 单侧可导与可导的关系. 曲线的尖点.考查在点的可导情况.例33.导数的几何意义:可导的几何意义, 导数的几何意义, 单侧导数的几何意义.例4求曲线在点处的切线与法线方程.4.可导与连续的关系:5.导函数:函数在区间上的可导性, 导函数, 导函数的记法.注意:等具体函数的导函数不能记为应记为6.费马定理及达布定理§ 2 求导法则（4学时）教学目的：熟悉导数的运算性质和求导法则，牢记基本初等函数的导数公式，并熟练进行初等函数的导数运算。
教学要求：熟练掌握导数的四则运算法则，复合函数的求导法则；会求反函数的导数，并在熟记基本初等函数导数公式的基础上综合运用这些法则与方法熟练准确地求出初等函数的导数。
隐函数与参变量函数求导法则
由复合函数及反函数的求导法则得
dy
dy dy dt dx dt dx
dy dt
1 dx
(t) (t)
即 dy dt dx dx
dt
dt
例6
求由参数方程
x y
t arctan ln(1 t 2 )
t
所表示的函数
y y( x)的导数.
dy
2t
解
dy dx
dt dx
dt
1 t2
四、小结
隐函数求导法则: 直接对方程两边求导;
对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求 导法则求导; 参变量函数求导: 实质上是利用复合函数求导法 则.
dx |x0 x e y x0 1.
y0
例3 求由方程 x3 3xy y3 3所确定的曲线
y f ( x)在点M(1, 2)的切线方程.
解 方程两边对x求导,
3x2 3 y 3xy 3 y2 y 0
y
y y
x2 2x
，y
(1,2)
1 3
所求切线方程为
y 2 1 ( x 1) 3
x 2t, x 2
消去参数 t
y t2 ( x)2 x2 24
y 1 x 2
问题: 消参困难或无法消参如何求导?
在方程
x y
(t )中, (t )
设函数x (t)具有单调连续的反函数 t (1 x),
y [ 1( x)]
再设函数x (t), y (t)都可导, 且(t) 0,
2
上式两边对 x求导得
1 y
y
2x
1 2
1 x1
1 x2
1 x 3
y ex2 2
参数方程求导法则
参数方程求导法则的适用范围
参数方程求导法则适用于具有明显参数 关系的函数，如机械运动、电磁场等领 域的函数关系。
对于一些复杂的函数关系，如果能够通过适 当的变换将其转换为参数方程形式，也可以 使用参数方程求导法则进行求导。
需要注意的是，参数方程求导法则 不适用于一些具有特殊性质的函数， 如超越函数、分式函数等。在这些 情况下，可能需要使用其他求导方 法或技巧。
学基础。
参数方程求导法则的未来发展方向
参数方程求导法则的深入 研究
尽管参数方程求导法则已经有了较为完善的 理论体系，但仍然有许多细节和边缘问题需 要进一步研究。例如，对于某些特殊的参数 方程，其求导法则可能存在特殊性，需要进 行深入探讨。
参数方程求导法则的应用 拓展
随着科学技术的不断发展，参数方程的应用 领域也在不断扩大。未来，参数方程求导法 则可能会被应用到更加广泛的领域中，例如 人工智能、大数据分析等。因此，如何将参 数方程求导法则与这些领域相结合，将会是
详细描述
对于圆心在原点，半径为r的圆参数方程 x=r*cosθ, y=r*sinθ，其中θ为参数，对参数θ求导得到 dx/dθ=-r*sinθ， dy/dθ=r*cosθ，即圆上一点的切线斜率。
抛物线参数方程求导实例
总结词
抛物线参数方程的导数可以通过求参数t 的导数得到。
VS
详细描述
对于抛物线参数方程 x=2t, y=4t^2，其中 t为参数，对参数t求导得到 dx/dt=2， dy/dt=8t，即抛物线上一点的切线斜率。
04
参数方程求导法则的实例分析
直线参数方程求导实例
总结词
直线参数方程的导数可以通过求参数t的导数得到。
由参数方程确定函数的二阶导数
由参数方程确定函数的二阶导数
参数方程是指以参数表示的函数的形式，比如y=f(x)，其中x和y都是变量，是参数方程的参数。
如果想确定函数的二阶导数，我们首先要明确函数的表达式。
参数方程可以分为一般形式和特殊形式，一般形式是指具有参数的函数表达式，特殊形式是指特定参数的函数表达式。
具体来讲，一般形式的参数方程可以表示为：y=f(x,a,b,c,…)
其中，a, b, c等是函数的参数，x是函数的自变量，y是函数的因变量。
接下来，我们就要求解函数的二阶导数，根据泰勒展开定理，函数的二阶导数可以表示为：f”(x)=∑[f(x+2h)-
2f(x+h)+f(x)]/(h^2)
其中，h是一个小的正数，表示函数f(x)在x处的一阶导数的增量，用来表示函数在不同位置变化的程度。
经过上述步骤，我们就可以求出参数方程的二阶导数了。
但是，在实际应用中，我们求解参数方程的二阶导数往往会遇到一些困难，因为参数方程的参数和自变量都是变量，很难确定函数的具体表达式。
因此，求解参数方程的二阶导数往往需要进行复杂的计算，才能得出准确的结果。
总之，求解参数方程的二阶导数是一个复杂的问题，需要熟练掌握泰勒展开定理，以及参数方程的参数和自变量，才能求出准确的解。
这对于深入理解函数的特性，以及更好地应用函数具有重要意义。
参数方程二阶可导
我们要证明参数方程定义的函数是二阶可导的。
首先，我们需要理解什么是参数方程。
参数方程是一个数学工具，它通过引入一个或多个参数来定义一个点的轨迹。
例如，一个简单的参数方程是：
x(t) = t^2
y(t) = t^3
这里，t 是参数，x 和 y 是关于 t 的函数。
为了证明这个函数是二阶可导的，我们需要证明它的二阶导数存在。
二阶导数表示函数的变化率的变化率。
换句话说，我们需要证明 x'(t) 和 y'(t) 都是可导的。
一阶导数 x'(t) = 2t，y'(t) = 3t**2
二阶导数 x''(t) = 2，y''(t) = 6*t
由于所有的二阶导数都存在并已给出，我们证明了参数方程定义的函数是二阶可导的。
浙江海洋大学806数学分析2021年考研专业课初试大纲
806《数学分析》一、考查目标1、系统、正确地理解数学分析的基本概念和基本理论，掌握解决数学分析中问题的基本思维方法和证明方法。
2、具有抽象思维能力和逻辑推理能力，掌握熟练的演算技巧，具备初步的应用能力和较强的分析问题和解决问题的综合能力。
二、试卷结构1、题型结构填空题（48分）、计算题（70分）、证明题（32分），共计150分。
2、内容结构函数极限与连续性（15%）、一元函数的微积分（40%）、多元函数的微积分（30%）、级数理论（15%）。
三、考试内容及要求1、实数集与函数实数：实数概念及性质；绝对值与不等式。
数集确界原理：区间与邻域；有界集与无界集；上确界与下确界，确界原理。
函数概念：函数定义；函数的表示方法；函数的四则运算；复合函数；反函数；初等函数。
具有某些特征的函数：有界函数，无界函数；单调函数，单调递增（减）函数，严格单调函数，单调函数与反函数；奇函数与偶函数；周期函数。
2、数列极限极限概念：数列极限定义，数列的敛散性；无穷小数列。
收敛数列的性质：唯一性；有界性；保号性；保不等式性；迫敛性；四则运算；归结原则。
数列极限存在的条件：单调有界定理；柯西收敛准则。
3、函数极限函数极限的概念：函数极限的几种形式；左、右极限。
函数极限的性质：唯一性；局部有界性；局部保号性；保不等式性；迫敛性；四则运算函数极限存在的条件：归结原则；柯西准则。
两个重要极限：1sin lim 0=→x x x ；e x xx =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→11lim 。
无穷小量与无穷大量：无穷小量与阶的比较、高阶无穷小量、同阶无穷小量、等价无穷小量；无穷大量；曲线的渐近线（斜渐近线、水平渐近线与垂直渐近线）。
4、函数连续函数连续性概念：函数的点连续性、左（右）连续性的概念及相互关系；间断点及类型；区间上的连续函数。
连续函数的性质：连续函数的局部性质，包括局部有界性、局部保号性、四则运算、复合函数的连续性；有界闭区间上连续函数的基本性质，包括有界性定理、最值定理、介值性定理、根的存在定理、一致连续性定理；反函数的连续性。
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(4)
1 tan tan
将 (3) 式代入 (4) 式, 化简后可得
tan ( ) .
(5)
( )
例3 证明对数螺线 e 2上所有点处的切线与向
径的夹角 是常数.
证 因为对每一 值 , tan ( ) ( )
e 2 1 e 2
2 2,
T
e 2
H
•M
O
1x
所以这条曲线上任一点的切线与向径的夹角等于
其中 是切线与 x 轴正向的夹角 ( 见下页图 ) .
当 (t0 ) 0 时, 有 cot (t0 ) . (t0 )
y
Q
•
P•
Δy Δx
O
C
x
若 , 在 [ , ] 上都存在连续导数,且 2(t) 2(t) 0 ,
则称曲线 C 为光滑曲线. 光滑曲线的每一点都存在
切线, 且切线与 x 轴正向的夹角 (t)是 t 的连续函
常数 arctan 2.
Δ y (t0 Δt) (t0) , Δ x (t0 Δt) (t0)
如果 (t ), (t ) 在点 t0 可导，(t0 ) 0, 则切线
的斜率为
tan lim Δ y lim [ (t0 Δt) (t0 )] Δt Δt0 Δ x t0 [ (t0 Δt) (t0 )] Δt (t0 ) , (t0 )
函数和反函数的求导法 (t) .
(2)
dx dt dx dt dt (t)
(2) 式的几何意义如下: 设由 (1) 式表示的曲线 C
在点 P( (t0 ), (t0 )) 处有切线. 过点 P及邻近点
Q( (t0 Δt), (t0 Δt)) 的割线 PQ 的斜率为
( )tan ( ) . ( ) ( )tan
(3) 式表示的是曲线
( )
T
C
在点 M ( , ) 处的切
线 MT 与极轴 Ox 的
•M
O•
(3)
H
x
夹角 的正切 tan . 过 M 的射线 OH ( 即点M的
向径 ) 与切线 MT 的夹角 的正切是
tan tan( ) tan tan .
数.
例1 求由参数方程
x a cos t ,
y
b sin
t,
t (0, π)
( 这是上半椭圆方程 ) 所确定的函数 y f ( x) 的 导数, 并求此椭圆在 t π 4 处的切线方程. 解 由公式 (2) 得到
dy dy dx dt
dx (bsin t) b cot t , dt (a cos t) a
dy dx
tπ
b a
.
4
故所求切线为:
y 2b b ( x 2a ).
2a
2
例2 若曲线 C 由极坐标方程 ( ) 给出, 则
可以把它转化成以极角 为参数的参数方程
x ( )cos ,
y
(
)sin
.
如果
dx , dy
d d
存在,
且 dx 0, 则
d
dy (( )sin ) ( )sin ( )cos dx (( )cos ) ( )cos ( )sin
设平面曲线 C 的参数方程为
x
y
(t), (t),
t
.
(1)
如果函数 x (t)有反函数 t 1( x), 则 (1) 式可
确定复合函数 y ( 1( x)) f ( x) . 由此说明
平面曲线两种方程之间的联系.
这种由参数方程 (1) 所表示的函数, 称为参变量函
数. 如果 (t), (t) 都可导, 且(t) 0, 根据复合