(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形

两角和与差的正弦、余弦、正切公式及变形

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)公式

①cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β(C (α－β)) ②cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β(C (α＋β)) ③sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(S (α－β)) ④sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(S (α＋β)) ⑤tan(α－β)＝tan α－tan β

1＋tan αtan β(T (α－β))

⑥tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β(T (α＋β))

(2)公式变形

①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． ②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 2．二倍角公式 (1)公式

①sin 2α＝2sin_αcos_α，

②cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α， ③tan 2α＝

2tan α

1－tan 2α

.

(2)公式变形

①cos 2

α＝1＋cos 2α2，sin 2

α＝1－cos 2α2

；

②1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin )4(π

α±.

3．判断下列结论的正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(√) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(√) (3)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．(×)

(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β

可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意

角α，β都成立．(×)

(5)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(×) (6)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．(√) (7)若α＋β＝π

4，则(1＋tan α)(1＋tan β)＝2.(√)

(8)不存在实数α，β，使得cos(α＋β)＝sin α＋cos β.(×) (9)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.(√) (10)y ＝1－2cos 2x 的x 无意义．(×)

考点一 三角函数式的给角求值

命题点

1.已知非特殊角求函数式的值

2.已知含参数的角化简函数或求值

[例1] (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1(0

-； 解：原式＝2cos 210°2×2sin 10°cos 10°－sin 10°)5cos 5sin 5sin 5cos (00

00- ＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 25°－sin 25°sin 5°cos 5°＝cos 10°2sin 10°－sin 10°·cos 10°

1

2sin 10°

＝cos 10°

2sin 10°－2cos 10°＝cos 10°－2sin 20°2sin 10°

＝

cos 10°－2sin (30°－10°)

2sin 10°

＝cos 10°－2⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－3

2sin 10°

2sin 10°＝

3sin 10°2sin 10°＝3

2. (2)化简：sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－1

2cos 2α·cos 2β. 解：法一：(复角→单角，从“角”入手)

原式＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(2cos 2α－1)·(2cos 2β－1) ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·cos 2β－12·(4cos 2α·cos 2β－2cos 2α－2cos 2β＋1)

＝sin 2α·sin 2β－cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β－1

2 ＝sin 2α·sin 2β＋cos 2α·sin 2β＋cos 2β－12 ＝sin 2β＋cos 2β－12＝1－12＝12. 法二：(从“名”入手，异名化同名)

原式＝sin 2α·sin 2β＋(1－sin 2α)·cos 2β－12cos 2α·cos 2β＝cos 2β－sin 2α(cos 2β－sin 2β)－1

2cos 2α·cos 2β

＝cos 2β－sin 2α·cos 2β－12

cos 2α·cos 2β

＝cos 2β－cos 2β·)2cos 2

1

(sin 2αα+

＝1＋cos 2β2－cos 2β·

⎣⎢⎡⎦⎥⎤

sin 2α＋12(1－2sin 2α) ＝

1＋cos 2β2－12cos 2β＝1

2.

法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次) 原式＝

1－cos 2α2·1－cos 2β2＋1＋cos 2α2·1＋cos 2β2－1

2

cos 2α·cos 2β ＝14(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋14(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－1

2·cos 2α·cos 2β＝12.

[方法引航] 给角求值问题往往给出的角是非特殊角，求值时要注意：(1)观察角，分析角之间的差异，巧用诱导公式或拆分.

(2)观察名，尽可能使函数统一名称.(3)观察结构，利用公式，整体化简.

1．求值sin 50°(1＋3tan 10°)．

解：sin 50°(1＋3tan 10°)＝sin 50°(1＋tan 60°·tan 10°) ＝sin 50°·cos 60°cos 10°＋sin 60°sin 10°cos 60°cos 10°

＝sin 50°·cos (60°－10°)cos 60°cos 10°＝2sin 50°cos 50°cos 10°＝sin 100°cos 10°

＝cos 10°

cos 10°＝1.