数列求和——裂项相消法

1[ 1
1
]
n(n 1)(n 2) 2 n(n 1) (n 2)(n 1)
(an
(a 1)an b)(an1

b)
(an
an1 an b)(an1


b)
1 (an b)

1 (an1 b)
类型二：
通过有理化、对数的运算法则、公式的变形、阶乘和组合数
数列求和
————裂项相消法
2015全国I卷节选：
若an1

2n
1, 令bn

1 an an 1
, 求{bn}的前n项和Tn。
裂项求和法:
将数列的通项分解成两项或多项的差，使
数列中的项出现有规律的抵消项，只剩下首 尾若干项。
一般有两种类型：
类型一：an

k f (n) f (n c)

A[ 1 f (n)
例2、(2013江西卷）
已知正项数列an的前n项和为Sn满足：
Sn2 (n2 n 1)Sn (n2 n) 0
(1)求数列an的通项an
(2)令bn

(n
n 1 2)2 an2
,数列bn的前n项和为Tn; 证明：
对n
N *, 都有Tn

5 64
注意：利用裂项相消法求和时
等直接裂项
如：无理型：an

k
进行分母有理化。
f (n)+f (n c)
若an (n 1)
1 nn
n 1 ,则an的前n项和为___
常见形式：
(1)
1
1 ( n k n)
nk n k
(2) loga
an1 an

loga
an1
loga
an (a

0且a
1)
(3)n n! (n 1)! n!
(4) n 1 1 1 n! (n 1)! n!
(5)Cnm1
Cnm

C m1 n
(6) tan tan tan tan 1 tan( )
如：化简:tan1tan 2 tan 2 tan 3 L tan n tan(n 1)
例1：化简下列各式：
1 ],其中A是常数， f (n c)
f (n)可以为一次，二次、指数、抽象、混合型函数
常见形式：
1 1 1 ; n(n 1) n n 1
1 1 (1 1 ); n(n k) k n n 1
1
1( 1 1 )
(2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
1
(1)应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一 项，也有可能前面剩多项，后面也剩多项，
(2)再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前 面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通 项公式相等．
变式：若数列an的前n项和为Sn满足：
Sn

4 3
an

1 3
•
2n1

2 3
(1)求an
(2)设Tn

2n Sn
, 求证：T1 T2 L
Tn

3 2
练习：步步高P93例3及跟踪训练3
课堂小结：
1、分解与组合思想在数列求和中的应用。 2、裂项相消常用于方式和根式求和。 可以用通项裂解，也可以利用首项裂解， 甚至可以利用待定系数法去完成裂开通项
(1)1 1 1 +...+
1
1 2 1+2+3 1+2+3 ... n
(2) 1 + 2 + 3 +... n 1
2! 3! 4!
n!
(3) 1 + 1 + 1 +...
1
3 1 2 2 5 3
n2 n
22 42 62
(2n)2
(4) + + +...
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1 3 5 3 5 7 (2n 1)(2n 1)