第7部分：平面向量
平面向量的概念
平面向量的概念平面向量是数学中的一个重要概念，是指由两个矢量组成的有向线段。
平面向量通常用加粗的小写字母来表示，例如a、b等。
平面向量具有长度和方向两个基本属性，同时也具有加法、减法、数乘等运算，可用于求解各种几何和物理问题。
平面向量的表示方法有两种，一种是初末点法。
即用平面上两个点A(x1,y1)和B(x2,y2)来表示平面向量AB。
向量AB的表示方法为AB=(x2-x1,y2-y1)。
另一种是分量表示法，即将平面向量投影到坐标轴上，用坐标表示向量的长度和方向。
例如，向量AB在x 轴上的投影为x轴方向上的分量a，y轴方向上的投影为y轴方向上的分量b，则向量AB 可以表示为AB=a+b。
平面向量的长度可以用勾股定理求解，即向量AB的长度为√[(x2-x1)²+(y2-y1)²]。
方向可以用夹角cos求解，即两个向量的夹角cosθ=AB·CD/|AB|·|CD|，其中·表示点乘，|AB|和|CD|分别表示向量AB和CD的长度。
平面向量具有加法和减法运算，其运算方法为：对应坐标相加或相减。
例如向量AB 和向量CD的和为向量AC，其坐标为AC=(x2-x1+x4-x3,y2-y1+y4-y3)。
减法也是同样的方法。
数乘则是将向量的长度与方向进行分解，再将其乘以一个实数k，具体计算方法为：向量kAB=k(x2-x1,y2-y1)=(kx2-kx1,ky2-ky1)。
平面向量的重要应用之一是向量叉乘，即将两个向量进行叉乘，得到的结果是一个新的向量，并且该向量垂直于原来的向量。
例如向量AB和向量CD的叉乘为向量n，其坐标为n=AB×CD=[(y2-y1)(z4-z3)-(z2-z1)(y4-y3),(z2-z1)(x4-x3)-(x2-x1)(z4-z3),(x2-x1)(y4-y3)-(y2-y1)(x4-x3)]。
向量叉乘在计算平面和空间中的向量积、平面的法线、对称线等问题中都有着广泛的应用。
平面向量基本定理
平面向量基本定理
平面向量基本定理：
1、定义：平面向量基本定理是一种数学定理，它将向量的矢量乘积和其他数学定理结合在一起。
2、证明：平面向量基本定理可以由叉积定理和等价矢量乘积定理来证明：
A×B = C×A+B , 其中A和B是两个向量，C是其叉积。
同时有：A⋅(B×C) = B⋅(C×A) + C⋅(A×B)
将C×A替换成A×B，得到A⋅B×C= B⋅C×A + A⋅A×B，再将A⋅A×B 替换成C×A，即得到A⋅B×C = B⋅C×A + C⋅A×B。
故A×B=C×A+B，即平面向量基本定理得证。
3、应用：平面向量基本定理主要应用于平面向量运算。
它可以用于求解三角形和圆的关系，计算叉积和点面积，求解抛物线的中心，解决线性方程组的特殊解，以及证明连续多边形的属性等。
4、例题：
（1）已知AB、BC、CD是相互垂直的向量，若AB=2，BC=3，则
AC⋅CD的值为？
（2）A、B、C、D四点不共线，且AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，若AC=4，求CD的值？
解：（1）由题意可知，ABCD四点不共线，AB、BC、CD相互垂直，由矢量乘积的叉积定理可得，AB×BC=AC×CD，故
AC⋅CD=AB⋅BC=2×3=6。
（2）由题意可知，AB⋅BC=2，BC⋅CD=3，且AC=4，因为AB、BC、CD相互垂直，所以有：AB×BC=AC×CD，由于有AB⋅BC=2，AC=4，故CD=2/4=1/2。
中职教育-数学(基础模块)下册课件：第七章 平面向量.ppt
，E→．F
→
FG
（3）相等向量为
→
AB
C→D ，D→E
→
GH
．
（4）互为负向量的向量为
→
BC
D→E ，B→C
→
GH
．
7.2 平面向量的线性运算
7.2.1 平面向量的加法
如右图所示，一人从A点出发，走到B点，又从B点
走到C点，则他的最终位移
→
AC
可以看作是位移
→
AB
与
B→C 的和．
如右图所示，已知向量a与b，
解 位移是向量，它包括大小和方向 两个要素．本题中，虽然这两个向量的 模相等，但它们的方向不同，所以，两 辆汽车的位移不相同．如图所示为用有 向线段表示两辆汽车的位移．
方向相同或相反的两个非零向量称为平行向量．向量a与b平行记作 a ∥b ． 如图所示，向量 a ，b ，c平行，任意作一条与向量a所在直线平行的直线l，
如右
图所示，
设有两个
非零向量
a
，b
，
作
→
OA
a
，O→B
b
，则
AOB θ(0°剟θ 180°) 称为向量 a ，b 的夹角．
显然，当 θ 0°时，a 与 b 同向；当 θ 180°时，a 与 b 反向；当 θ 90° 时，a 与 b 垂直，记作 a b ．
我们将 a b cosθ 称为向量 a ，b 的内积（或数量积），记作 a gb ，
7.1
• 平面向量的概念
7.2
• 平面向量的线性运算
7.3
• 平面向量的坐标表示
7.4
• 平面向量的内积
7.1 平面向量的概念
标量是指只有大小、没有方向的量，如长度、质量、温度、面积等； 向量是指既有大小、又有方向的量，如速度、位移、力等．
中职数学基础模块下册第七单元《平面向量》word教案
第1节平面向量的概念及线性运算基础梳理1．向量的有关概念(1)向量：既有又有的量叫做向量，向量的大小叫做向量的(或称)．(2)零向量：的向量叫做零向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于个单位的向量．(4)平行向量：方向或的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫做向量，任一组平行向量都可以移动到同一直线上．规定：0与任一向量(5)相等向量：长度且方向的向量．(6)相反向量：与a长度，方向的向量，叫做a的相反向量．2．向量的加法运算及其几何意义(1)三角形法则：已知非零向量a、b，在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，则向量AC 叫做a与b的，记作a＋b，即a＋b＝AB＋BC＝AC，这种求向量和的方法，称为向量加法的．(2)平行四边形法则：以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作▱OACB，则以O为起点的对角线就是a与b的和，这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．(3)向量加法的几何意义：从法则可以看出，如图所示．3．向量的减法运算及其几何意义(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的．(2)如图，AB＝a，AD＝b，则DB＝a－b.4．向量数乘运算及其几何意义(1)定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向；当λ＜0时，λa的方向与a的方向；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律设λ，μ是两个实数，则①λ(μa)＝(λμ) a；②(λ＋μ) a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.(3)两个向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使b＝λa.典例分析向量的有关概念【例1】 给出下列各命题：①零向量没有方向；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③单位向量都相等；④向量就是有向线段；⑤若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ；⑥若四边形ABCD 是平行四边形，则AB ＝，＝.其中真命题是________．向量共线与三点共线问题【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线，(1)若AB ＝a ＋b ，＝2a ＋8b ，＝3(a －b )，求证：A 、B 、D 三点共线；(2)试确定实数k ，使k a ＋b 和a ＋k b 共线．变式探究31：已知向量a 、b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )(A)k ＝1且c 与d 同向 (B)k ＝1且c 与d 反向(C)k ＝－1且c 与d 同向 (D)k ＝－1且c 与d 反向向量的线性运算【例2】 (2010年高考全国卷Ⅱ)△ABC 中，点D 在边AB 上，CD 平分∠ACB .设CB ―→＝a ，CA ―→＝b ，|a |＝1，|b |＝2，则CD ―→等于( ) (A)13a ＋23b (B)23a ＋13b (C)35a ＋45b (D)45a ＋35b 变式探究21：(2010年山东济南模拟)已知平面上不共线的四点O 、A 、B 、C .若OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→＝0，则|AB ―→||BC ―→|等于______．易错警示错源一：零向量“惹的祸”【例1】下列命题正确的是()(A)向量a、b共线的充要条件是有且仅有一个实数λ，使b＝λa；(B)在△ABC中，AB―→＋BC―→＋CA―→＝0；(C)不等式||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|中两个等号不可能同时成立；(D)向量a、b不共线，则向量a＋b与向量a－b必不共线错源二：向量有关概念理解不当【例2】如图，由一个正方体的12条棱构成的向量组成了一个集合M，则集合M的元素个数为________．第2节平面向量基本定理及其坐标表示基础梳理1．向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a和b，如图，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a 与b的夹角，也可记作〈a，b〉＝θ.(2)范围：向量夹角θ的范围是[0，π]，a与b同向时，夹角θ＝0；a与b反向时，夹角θ＝π.(3)垂直关系：如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.质疑探究1：在△ABC中，设＝a，＝b，则a与b的夹角是∠ABC吗？2．平面向量基本定理如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组．质疑探究2：平面内任一向量用两已知不共线向量e1、e2表示时，结果唯一吗？平面内任何两个向量a、b都能作一组基底吗？3．平面向量的正交分解与坐标表示(1)平面向量的正交分解把一个向量分解为两个的向量，叫做把向量正交分解．(2)平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中x ，y 分别叫做a 在x 轴、y 轴上的坐标，a ＝(x ，y )叫做向量a 的坐标表示．相等的向量其坐标相同，坐标相同的向量是相等向量．4．平面向量的坐标运算(1)已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则＝(x 2－x 1，y 2－y 1)．(2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，a ∥b (b ≠0)的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0.(3)非零向量a ＝(x ，y )的单位向量为典例分析 平面向量基本定理及其应用【例1】 如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为DC ，BC的中点，已知AM ＝c ，AN ＝d ，试用c ，d表示AB ，AD .共线向量的坐标运算【例3】 (2010年高考陕西卷)已知向量a ＝(2，－1)，b ＝(－1，m )，c ＝(－1,2)，若(a ＋b )±1|a |a 或±1x 2＋y 2(x ，y )． (4)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a ＝b ⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝x 2y 1＝y 2. 质疑探究3：若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的条件能否可以写成x 1x 2＝y 1y2？ 提示：不能，因为x 2，y 2有可能为0，应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0. 向量坐标的概念及运算 【例2】 已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC ―→＝13AB ―→，DA ―→＝－13―→，求点C 、D 的坐标和CD ―→的坐标． 变式探究21：(2010年山东临沂联考)已知A (7,1)、B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于C ，且AC ―→＝2CB ―→，则实数a 等于( )(A)2 (B)1 (C)45 (D)53∥c ，则m ＝________.变式探究31：(2010年福州市质检)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，若a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )(A)(－5，－10) (B)(－4，－8)(C)(－3，－6) (D)(－2，－4)易错警示第3节 平面向量的数量积基础梳理1．数量积的定义已知两个非零向量a 与b ，其夹角为θ.我们把数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0.2．数量积的几何意义(1)向量的投影：|a |cos θ叫做向量a 在b 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正数，当θ为钝角时，它是负数；当θ为直角时，它是0.(2)a ·b 的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．3．数量积的运算律已知向量a 、b 、c 和实数λ，则：(1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；(3)分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c .质疑探究：若非零向量a ，b ，c 满足①a ·c ＝b·c ，则a ＝b 吗？②(a·b )·c ＝a ·(b·c )恒成立吗？ 提示：①不一定有a ＝b ，因为a ·c ＝b ·c ⇔c ·(a －b )＝0，即c 与a －b 垂直，但不一定有a ＝错源：对共线向量不理解 【例题】 已知两点A (2,3)，B (－4,5)，则与AB ―→共线的单位向量是( ) (A)e ＝(－6,2) (B)e ＝(－31010，1010) (C)e ＝(－31010，1010)或e ＝(31010，－1010) (D)e ＝(－6,2)或(6，－2)b .因此数量积不满足消去律．②因为(a·b )·c 与向量c 共线，(b·c )·a 与向量a 共线．当c 与a 不共线时(a ·b )·c ≠a ·(b ·c )即向量的数量积不满足结合律．4．向量数量积的性质设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量，θ是a 与e 的夹角，则(1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ.(2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |；典例分析向量数量积的运算及模的问题【例1】(1)(2010年高考天津卷)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC ＝，||＝1，则·＝________.(2)(2010年高考广东卷)若向量a ＝(1,1)，b ＝(2,5)，c ＝(3，x )，满足条件(8a －b )·c ＝30，则x ＝( )(A)6 (B)5 (C)4 (D)3特别地，a ·a ＝|a|2或|a |＝a ·a . (4)cos θ＝a ·b |a ||b |. (5)|a ·b |≤|a ||b |. 5．用平面向量数量积的坐标表示表达相关问题 (1)若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)夹角公式：若非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，2与b 的夹角，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12x 22＋y 22. (3)距离公式：若表示向量a 的有向线段的起点坐标和终点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则|a |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2，这就是平面内两点间的距离公式．(4)垂直关系：设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (1)向量的数量积有两种计算方法：一是根据数量积的定义进行计算；二是依据向量的坐标来计算．(2)利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，此类问题的处理方法如下： ①若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.②|a |2＝a 2＝a ·a .③|a ±b |2＝a 2±2a ·b ＋b 2. 变式探究11：(2009年高考辽宁卷)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |等于( ) (A) 3 (B)2 3 (C)4 (D)12易错警示错源：忽视角的范围而“惹祸”【例题】设两个向量e 1，e 2，满足|e 1|＝2，|e 2|＝1，e 1与e 2的夹角为，若向量2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．两向量垂直问题 【例2】 已知|a |＝5，|b |＝4，且a 与b 的夹角为60°，则当向量k a －b 与a ＋2b 垂直时，k ＝________. 变式探究21：(2009年高考宁夏、海南卷)已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) (A)－17 (B)17 (C)－16 (D)16 两向量夹角问题【例3】 已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12，求： (1)a 与b 的夹角的大小；(2)a －b 与a ＋b 的夹角的余弦值． 变式探究31：(2009年高考重庆卷)已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与b 的夹角是( ) (A)π6 (B)π4 (C)π3 (D)π2 数量积的综合应用 【例4】 已知|a |＝1，|b |＝ 2. (1)若a ∥b ，求a ·b ； (2)若a ，b 的夹角为60°，求|a ＋b |； (3)若(a －b )⊥b ，求a 与b 的夹角．第4节 平面向量的应用基础梳理1．向量在平面几何中的应用平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算和数量积解决平行、垂直、长度、夹角等问题．设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，①证明线线平行或点共线问题，主要利用共线向量定理，即a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.②证明垂直问题，主要利用向量数量积，即a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.③求线段的长，主要利用向量的模，即2．平面向量在物理中的应用(1)由于物理中的力、速度、位移都是向量，它们的分解与合成是向量的加法与减法的具体应用，可用向量来解决．(2)物理中的功W 是一个标量，它是力f 与位移s 的数量积，即W ＝f ·s ＝|f ||s |cos θ.3．平面向量与其他数学知识的交汇平面向量作为一种运算工具，经常与函数、不等式、三角函数、数列、解析几何等知识结合，当平面向量给出的形式中含有未知数时，由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未知数的关系式．在此基础上，可以求解有关函数、不等式、三角函数、数列的综合问题． 此类问题的解题思路是转化为代数运算，其转化途径主要有两种：一是利用平面向量平行或垂直的充要条件；二是利用向量数量积的公式和性质．典例分析向量在平面几何中的应用【例1】 如图所示，若点D 是三角形ABC 内一点，并且满足AB 2＋CD 2＝AC 2＋BD 2，|a |＝a 2＝x 12＋y 12. ④求夹角问题，利用数量积的变形公式：即cos θ＝cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 12＋y 12·x 22＋y 22.求证：AD ⊥BC .变式探究11：在直角△ABC 中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是( ) (A)|AC ―→|2＝AC ―→·AB ―→ (B)|BC ―→|2＝BA ―→·BC ―→ (C)|AB ―→|2＝AC ―→·CD ―→ (D)|CD ―→|2＝(AC ―→·AB ―→)×(BA ―→·BC ―→)|AB ―→|2平面向量在物理中的应用【例2】 (2009年高考广东卷)一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( ) (A)6 (B)2 (C)2 5 (D)27 向量与三角的整合 【例3】 已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)． (1)求向量b ＋c 的长度的最大值； (2)设α＝π4，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值． 变式探究31：(2010年河西区模拟)已知向量a ＝(3，1)，向量b ＝(sin α－m ，cos α)， (1)若a ∥b ，且α∈[0,2π)，将m 表示为α的函数，并求m 的最小值及相应的α的值； (2)若a ⊥b ，且m ＝0，求cos (π2－α)sin (π＋2α)cos (π－α)的值．变式探究41：(2010年大连市六校联考)设F 为抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点，A ，B ，C 为该抛物线上三点，若＋＋＝0，||＋||＋||＝3，则该抛物线的方程是( )(A)y 2＝2x (B)y 2＝4x(C)y 2＝6x (D)y 2＝8x易错警示错源：“共线”运用出错【例题】 如图，半圆的直径AB ＝2，O 为圆心，C 是半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(＋)·PC 的最小值是________．第5节 复数的概念及运算基础梳理1．复数的有关概念(1)复数的概念：形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数，若b ≠0，则a ＋b i 为虚数，若a ＝0，b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．(2)复数相等：a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(3)共轭复数：a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)复平面：建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示复数．平面向量与解析几何的整合 【例4】 (2010年安徽巢湖模拟)已知A (－3，0)，B (3，0)，动点P (x ，y )满足|PA ―→|＋|PB ―→|＝4. (1)求动点P 的轨迹C 的方程； (2)过点(1,0)作直线l 与曲线C 交于M 、N 两点，求OM ―→·ON ―→的取值范围． (5)复数的模：向量OZ ―→的模r 叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，r ∈R )．质疑探究2：(1)z 1，z 2为复数，z 1－z 2＞0，那么z 1＞z 2，这个命题是真命题吗？(2)若z 1，z 2∈R ，z 12＋z 22＝0，则z 1＝z 2＝0，此命题对z 1，z 2∈C 还成立吗？提示：(1)假命题．例如：z 1＝1＋i ，z 2＝－2＋i ，z 1－z 2＝3＞0.但z 1＞z 2无意义，因为虚数无大小概念．(2)不一定成立．比如z 1＝1，z 2＝i 满足z 12＋z 22＝0.但z 1≠0，z 2≠0.典例分析变式探究11：已知(x ＋i)(1－i)＝y ，则实数x ，y 分别为( )(A)x ＝－1，y ＝1 (B)x ＝－1，y ＝2(C)x ＝1，y ＝1 (D)x ＝1，y ＝2质疑探究1：复数a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的充要条件是a ＝0吗？提示：不是，a ＝0是a ＋b i(a ，b ∈R )为纯虚数的必要条件，只有当a ＝0，b ≠0时，a ＋b i 才为纯虚数．2．复数的几何意义(1)复数z ＝a ＋b i ――→一一――→对应复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )；(2)复数z ＝a ＋b i ――→一一――→对应平面向量OZ ―→ (a ，b ∈R )．3．复数的运算设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，则(1)加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ；(2)减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ；(3)乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i)·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ；(4)除法：z 1z 2＝a ＋b i c＋d i ＝(a ＋b i )(c －d i )(c ＋d i )(c －d i )＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc－adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(1)i n 的周期性：i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i ，n ∈Z .(2)常用结论：1i ＝－i ，(1±i)2＝±2i.(对应学生用书第69页)复数的有关概念【例1】 已知0＜a ＜2，复数z 的实部为a ，虚部为1，则|z |的取值范围是()(A)(1,5) (B)(1,3) (C)(1，5) (D)(1，3) 思路点拨：写出|z |的表达式，根据a 的范围确定|z |的取值范围．复数代数形式的运算【例2】 (2009年高考海南、宁夏卷)复数3＋2i 2－3i －3－2i2＋3i 等于( )(A)0 (B)2 (C)－2i (D)2i变式探究21：(2010年高考广东卷)若复数z 1＝1＋i ，z 2＝3－i ，则z 1·z 2等于( )(A)4＋2i (B)2＋i (C)2＋2i (D)3＋i变式探究31：已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别为A ，B ，C .O 为坐标原点，若＝x ＋y ，则x ＋y 的值是______．易错警示篇末总结平面向量是高中数学中的工具性知识，是高考必考内容，直接命题时题量一般为1道选择题或填空题，更多地是作为工具整合于三角函数、解析几何相应的解答题中，其考查的重点是向量的概念和线性运算(如2010年高考湖北卷，理5)，数量积(如2010年高考湖南卷，文6)，与三角或解析几何的结合仍是高考中的重要题型(如2010年高考福建卷，文11)．复数是每年高考必考内容，题量为1道选择题或填空题，主要考查复数的有关概念、几何意义和代数形式的四则运算(如2010年高考辽宁卷，理2)．复数的几何意义【例3】 (2010年高考陕西卷)复数z ＝i 1＋i 在复平面上对应的点位于( ) (A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限 错源：对复数的概念理解不透 【例题】 设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )的共轭复数为z ＝a －b i ，则z －z 为( ) (A)实数 (B)纯虚数 (C)0 (D)零或纯虚数1．(2010年高考湖北卷，理5)已知△ABC 和点M 满足MA ―→＋MB ―→＋MC ―→＝0，若存在实数m 使得AB ―→＋AC ―→＝mAM ―→成立，则m 等于( )(A)2 (B)3 (C)4 (D)52．若非零向量a ，b 满足|a |＝|b |，(2a ＋b )·b ＝0，则a 与b 的夹角为 ( )(A)30° (B)60° (C)120° (D)150°【真题2】 (2010年高考重庆卷，理14)已知以F 为焦点的抛物线y 2＝4x 上的两点A 、B 满足AF ―→＝3FB ―→，则弦AB 的中点到准线的距离为______．3．(2010年高考福建卷，文11)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP ―→·FP ―→的最大值为( )(A)2 (B)3 (C)6 (D)8 4．(2010年高考辽宁卷，理2)设a ，b 为实数，若复数1＋2i a ＋b i ＝1＋i ，则( ) (A)a ＝32b ＝12 (B)a ＝3，b ＝1 (C)a ＝12b ＝32 (D)a ＝1，b ＝3 【真题1】 (2010年高考江西卷，理13)已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a －b |＝______. 追本溯源：人教A 版必修4第119页复习参考题A 组第13题： 已知|a |＝3，|b |＝2，a 与b 的夹角为30°，求|a ＋b |，|a －b |.【真题3】 (2010年高考江苏卷，2)设复数z 满足z (2－3i)＝6＋4i(i 为虚数单位)，则z 的模为____．2．已知平面向量a ＝(3,1)，b ＝(x ，－3)，a ∥b ，则x 等于( C )(A)9 (B)1 (C)－9 (D)－15．在平行四边形ABCD 中，AC 为一条对角线，若AB ―→＝(2,4)，AC ―→＝(1,3)，则BD ―→等于( B )(A)(－2，－4) (B)(－3，－5)(C)(3,5) (D)(2,4)6．已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列结论不正确的是( D )(A)e 1在e 2方向上的投影为cos θ(B)e 12＝e 22(C)(e 1＋e 2)⊥(e 1－e 2)(D)e 1·e 2＝18．(2010年高考四川卷)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC ―→2＝16，|AB ―→＋AC ―→|＝|AB ―→－AC ―→|，则|AM ―→|等于( C )(A)8 (B)4 (C)2 (D)110．(2009年高考海南、宁夏卷)已知点O ，N ，P 在△ABC 所在平面内，且|OA ―→|＝|OB ―→|＝|OC ―→|，NA ―→＋NB ―→＋NC ―→＝0，且P A ―→·PB ―→＝PB ―→·PC ―→＝PC ―→·P A ―→，则点O ，N ，P 依次是△ABC 的( C )一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2010年河西区模拟)复数z ＝(2＋i )21－i (i 是虚数单位)在复平面上对应的点位于( B ) (A)第一象限 (B)第二象限(C)第三象限 (D)第四象限3．在△ABC 中，AB ―→＝c ，AC ―→＝b ，若点D 满足BD ―→＝2DC ―→，则AD ―→等于( A ) (A)23b ＋13c (B)53c －23b (C)23b －13c (D)13b ＋23c4．(2010年高考山东卷)已知a ＋2i i ＝b ＋i(a ，b ∈R )，其中i 为虚数单位，则a ＋b 等于( B )(A)－1 (B)1 (C)2 (D)3 7．(2010年高考全国新课标卷)a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( C ) (A)865 (B)－865 (C)1665 (D)－16659．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，若a 与b 的夹角为60°，则直线x cos α－y sin α＋12＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝12的位置关系是( D ) (A)相交 (B)相交且过圆心 (C)相切 (D)相离(A)重心、外心、垂心 (B)重心、外心、内心(C)外心、重心、垂心 (D)外心、重心、内心11．(2011年广东江门市高考模拟考试)若四边形ABCD 满足AB ―→＋CD ―→＝0，(AB ―→－AD ―→)·AC ―→＝0，则该四边形一定是( B )(A)直角梯形 (B)菱形(C)矩形 (D)正方形16．(2011年深圳市高三第一次调研)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，S 为△ABC 的面积．若向量p ＝(4，a 2＋b 2－c 2)，q ＝(1，S )满足p ∥q ，则C ＝______.18．(本小题满分11分)(2010年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB ―→－tOC ―→)·OC ―→＝0，求t 的值．19．(本小题满分11分)(2009年高考湖南卷)已知向量a ＝(sin θ，cos θ－2sin θ)，b ＝(1,2)．(1)若a ∥b ，求tan θ的值；(2)若|a |＝|b |,0＜θ＜π，求θ的值．12．设a 、b 、c 是单位向量，且a·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( D ) (A)－2 (B)2－2 (C)－1 (D)1－ 2 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．(2010年高考上海卷)若复数z ＝1－2i(i 为虚数单位)，则z ·z ＋z ＝________. 14．(2010年重庆模拟)已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，若|a ＋λb |＜10，则实数λ的取值范围是________． 15．(2010年高考重庆卷)已知复数z ＝1＋i ，则2z－z ＝________. 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(本小题满分11分) (2009年高考上海卷)已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ＋)(i 是虚数单位)是方程x 2－4x ＋5＝0的根．复数w ＝u ＋3i(u ∈R )满足|w －z |＜25，求u 的取值范围．20．(本小题满分11分)已知：两点M(－1,0)，N(1,0)，且点P使MP―→·MN―→，PM―→·PN―→，NM―→·NP―→成公差小于零的等差数列．(1)点P的轨迹是什么曲线？(2)若点P坐标为(x0，y0)，θ为PM―→，PN―→的夹角，求θ的取值范围．21．(本小题满分12分)已知复数z1＝m＋(3－2m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋2sin θ)i，(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围．22．(本小题满分14分)已知抛物线x2＝8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且AF―→＝λFB―→(λ＞0)，过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.(1)证明：线段FM被x轴平分；(2)计算FM―→·AB―→的值；(3)求证：|FM|2＝|F A|·|FB|.。
平面向量的坐标表示
第7章 平面向量的坐标表示1。
理解向量的有关概念（1）向量的概念：既有方向又有大小的量,注意向量和数量的区别；(2)零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意方向;（3)单位向量：给定一个非零向量→a ，与→a 同向且长度为1的向量叫→a 的单位向量， →a 的单位向量是a a→→；（4)相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性;(5）平行向量(也叫共线向量)：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行；(6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，→a 的相反向量是长度相等方向相反的向量a →-. 2.向量的表示方法(1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如AB ,注意起点在前，终点在后； （2）符号表示法:用一个小写的英文字母来表示，如→a ,→b ，→c 等；（3)坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量→i ,→j 为基底，则平面内的任一向量→a 可表示为→→→+=j y i x a ，称(),x y 为向量→a 的坐标，),(y x a =→叫做向量→a 的坐标 表示,如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。
3．实数与向量的积:实数λ与向量→a 的积是一个向量，记作a λ,它的长度和方向规定如下：提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有→0)； ④三点C B A 、、共线⇔AB AC 、共线；【提醒】）若0a b ⋅>则a b <⋅>为锐角或者0角若0a b ⋅<则a b <⋅>为钝角或者|a b ⋅|＝a b 可以用来证明a b .）非零向量a ，b 夹角θ的计算公式：→→→→⋅=ba b a θcos .→→（1)a a λλ=；（2）当0λ>时,a λ的方向与→a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与→a 的方向相反；当0λ=时，零向量,注意：0a λ≠。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则在数学中，平面向量是具有大小和方向的量，常用箭头表示。
平面向量有许多运算法则，包括相加、相减、数量乘法等。
1. 平面向量的表示方法平面向量通常用坐标表示，形式为 (x, y) 或 i*x + j*y，x、y分别表示向量在x轴和y轴上的分量，i和j是单位向量。
2. 平面向量的相加设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A + B 的坐标表示为 (x1 + x2, y1 + y2)。
3. 平面向量的相减设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
则 A - B 的坐标表示为 (x1 - x2, y1 - y2)。
4. 平面向量的数量乘法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为实数。
则 kA 的坐标表示为 (k*x, k*y)。
5. 平面向量的数量除法设有一个平面向量 A，A 的坐标表示为 (x, y)，k 为非零实数。
则A/k 的坐标表示为 (x/k, y/k)。
6. 平面向量的数量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的数量积为 A·B = x1*x2 + y1*y2，是一个数量。
7. 平面向量的向量积设有两个平面向量 A 和 B，A 的坐标表示为 (x1, y1)，B 的坐标表示为 (x2, y2)。
两个向量的向量积为 A×B = x1*y2 - x2*y1，是一个向量。
8. 平面向量的模长一个平面向量 A 的模长表示为 |A|，计算公式为|A| = √(x^2 + y^2)，其中 x 和 y 分别为向量 A 在 x 轴和 y 轴上的分量。
9. 平面向量的数量积与夹角设有两个非零平面向量 A 和 B，它们之间的夹角θ 满足以下公式：cosθ = (A·B) / (|A|*|B|)。
7.2 数乘向量课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第七章平面向量
不一定是直解) 【解】 因为 3xa＋(10－y)b＝(4y－7)a＋2xb
所以(3x，10－y)＝(4y－7，2x)，联立方程组31x0＝－4yy＝－27x，解得yx＝＝43. 故 x＝3，y＝4.
二、填 空 题
9．向量 a∥b 且|a|＝3|b|，则向量 a、b 的关系式是__a_＝__3_b_或__a_＝__－__3_b___． 【解析】 由两向量平行知 a＝3b 或 a＝－3b.
10．若向量 a＝e1＋e2，b＝e1－e2，则 2a＋3b＝__5_e_1_－__e_2 __． 【解析】 2a＋3b＝2(e1＋e2)＋3(e1－e2)＝5e1－e2.
11．在四边形 ABCD 中，A→D＝12B→C，则四边形 ABCD 是___梯___形． 【解析】 由A→D＝12B→C得A→D∥B→C，A→D＝12B→C.
12．如果 a＝－2b(b≠0)，则 a 与 b 的位置关系是_平__行__且__反__向___． 【解析】 由向量平行的概念可知 a 与 b 平行，又 λ＝－2＜0，∴a 与 b 反向．
6．(1)(－2)×12 a＝__－__a__；(2)2(a＋b)－3(a－b)＝__－__a_＋__5_b__． 【解析】 (1)(－2)×12a＝（－2）×12a＝(－1)a＝－a；
(2)2(a＋b)－3(a－b)＝2a＋2b－(3a－3b)＝2a＋2b－3a＋3b＝－a＋5b.
一、选 择 题
5．已知向量 e1、e2 不共线，实数 x、y 满足(3x－4y)e1＋(2x－3y)e2＝6e1
＋3e2，则 x－y＝( A )
中职数学教学课件：第7章-平面向量
： 2.向量与数量的区别： ①数量只有大小 ，可以比较大小。
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比 较大小的，因此向量不能比较大小。
注：物理中向量与数量分别叫做
矢量、标量
(二）向量的表示方法
1、几何表示法：用有向线段表示 。
A(起点）
B(终点）
有向线段三要素： 起点、 方向、长度
例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k，两条 绳子的方向与垂线的夹角为 ，求物体受到沿两条绳子的方向的 拉力 f1与 f2 的大小．
解 利用平行四边形法则，可以得到 f2
f1
f1 f2 2 f1 cos k ，
k
所以
f1
k． 2 cos
根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时，两臂 成什么角度时，双臂受力最小？
必和a，b之一的方向相同； √
(2)△ABC中，必有AB BC CA 0; × (3)若AB BC CA 0，则A, B,C为一个三角形的三顶×点； (4)若a，b均为非零向量，则a b 与 a b 相等； ×
(5)若向量a，b反向，且a b ,则a b与a的方向相同. ×
例3 一艘船以12 km/h的速度航行，方向垂直于河岸，已知水流
例5 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图，AB ＝a， AD ＝b，试用a, b表示向量AO 、OD．
解 AC ＝a＋b，BD ＝b − a，
因为O分别为AC，BD的中点，所以
•——平面向量的数乘运算
已知非零向量a, 作出a a a和(a) (a) (a), 你 能 说 明 它 们 的 几 何 意义 吗 ？
a
aaa OA B C
-a -a -a N M QP
高一数学讲义 第七章 平面向量
高一数学讲义 第七章 平面向量7.1 向量的基本概念及表示现实生活中，有些量在有了测定单位之后只需用一个实数就可以表示，例如温度，时间，面积，这些只需用一个实数就可以表示的量叫作标量．还有些量不能只用一个实数表示，例如位移，力，速度等既有大小又有方向的量，这些既有大小又有方向的量叫作向量．向量既有大小又有方向，因此向量不能比较大小．数学中常用平面内带有箭头的线段来表示平面向量．以线段的长来表示向量的大小：以箭头所指的方向（即从始点到终点的方向）来表示向量的方向．一般地，以点P 为始点，点Q 为终点的向量记作PQ ．为书写简便，在不强调向量的起点与终点时，向量也可以用一个小写的字母并在上面画一个小箭头来表示，如a ．PQ 的大小叫作PQ 的模，记作PQ ，类似地，a 的模记作a ． 1．零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作0；0的方向是任意的． 2．单位向量：长度为1的向量叫做单位向量．3．平行向量：方向相同或相反的向量叫做平行向量（也叫共线向量）． 4．相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．5．负向量：与a 的模相等，方向相反的向量叫作a 的负向量，记作a -．我们规定：0的相反向量仍是零向量．易知对任意向量a 有()a a --=．向量共线与表示它们的有向线段共线不同：向量共线时表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在一条直线上；而有向线段共线则线段必须在同一条直线上．规定。
与任一向量平行．图7-1图7-1三个向量a 、b 、c 所在的直线平行，易知这三个向量平行，记作a b c ∥∥，我们也可以称这三个向量共线．例l ．如图7-2所示，128A A A 、是O 上的八个等分点，则在以128A A A 、及圆O 九个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少??A 8A 7A 6A 5A 4A 3A 2A 1图7-2解：（1）模等于半径的向量只有两类，一类是()128i OA i =、共8个；另一类是()128iAO i =、也有8个．两类合计16个． （2）以128A A A 、为顶点的O 的内接正方形有两个，一个是正方形1257A A A A ；另一个是正方形2468A A A A ．在题中所述的向量中，只有这两个正方形的边（看成有向线段，每一边对应两个向量）的√2倍的向量共有42216⨯⨯＝个． 注意：（1）在模等于半径的向量个数的计算中，要计算i OA 与()128i AO i =、两类．一般地我们易想到()128i OA i =、这8个，而易遗漏()128iAO i =、这8个．（2的两个向量，例如边13A A 对应向量13A A 与31A A ，因此与（1）一样，在解题过程中主要要防止漏算．认为满足条件的向量个数为8是错误的．例2．在平面中下列各种情形中，将各向量的终点的集会分别构成什么图形? （1）把所有单位向量的起点平移到同一点O ．（2）把平行于直线l 的所有单位向量的起点平移到直线l 上的p 点． （3）把平行于直线l 的所有向量的起点平移到直线l 的点p ． 解：（1）以点O 为圆心，l 为半径的圆．（2）直线l 上与点p 的距离为1个长度单位的两个点． （3）直线l ．例3．判断下列命题的真假：①直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量； ②两个向量平行是两个向量相等的必要条件；③向量AP 与CD 是共线向量，则A 、B 、C 、D 必在同一直线上； ④向量a 与向量b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ⑤四边形ABCD 是平行四边形的宽要条件是AB DC =．解：①直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的．②由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确； ③不正确．AB 与CD 共线，可以有AB 与CD 平行；④不正确．如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定；⑤正确．此命题相当于平面几何中的命题：四边形ABCD是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等．1．下列各量中是向量的有__________．（A）动能（B）重量（C）质量（D）长度（F）作用力与反作用力（F）温度2．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．3．回答下列问题，并说明理由．（1）平行向量的方向一定相同吗?（2）共线向量一定相等吗?（3）相等向量一定共线吗?不相等的向量一定不共线吗?4．命题“a b∥，b c∥（）∥，则a bA．总成立B．当0a ≠时成立C．当0b ≠时成立D．当0c ≠时成立5．已知正六边形ABCDEF（见图7-3），在下列表达式中：①BC CD EC+；③FE ED++；②2BC DC+；④2ED FA-；与AC相等的有__________．CF图737.2向量的加减法两个向量可以求和．一般地，对于两个互不平行的向量a、b，以A为共同起点平移向量，有AB a=，=叫作a和b这两个向量的和，即AD b=，则以AB、AD为邻边的平行四边形ABCD的对角线AC c+=．求两个向量和的运算叫做向量的加法．上述求两个向量的和的方法称为向量加法的平行四a b c边形法则，见图7-4．平行四边形法则B图74又AD BC = AB BC AC ∴+=由此发现，当第二个向量的始点与第一个向量的终点重合时．这两个向量的和向量即为第一个向量的始点指向第二个向量终点的向量．此法则称为向量加法的三角形法则，地图7-5．三角形法则图75特殊地．求两个平行向量的和，也可以用三角形法则进行（如图7-6）：（b ）（a ）a BA图76显然，对于任何a ，有0a a +=；()0a a +-=． 对于零向量与任一向量a ，有00a a a +=+=．向量的加法具有与实数加法类似的运算性质，向量加法满足交换律与结合律： 交换律：a b b a +=+结合律：()()a b c a b c ++=++与实数的减法相类似，我们把向量的减法定义为向量加法的逆运算．若向量a 与b 的和为向量c ，则向量b 叫做向量c 与a 的差，记作b c a =-．求向量差的运算叫做向量的减法．由向量加法的三角形法则以及向量减法的定义．我们可得向量减法的三角形法则，其作法：在平面内取一点O，作OA a=-，即a b-声可以表示为从向量b的终点指向向=，则BA a b=，OB b量a的终点的向量．注意差向量的“箭头”指向被减向量，见图7-7．CB图77此外，我们可以先做向量b的负向量OB b′，可根据向量加法的平行四边形法则得()=-OC a b=+-．易知向量OC BA=，因此，()+-=-．a b a b例1．如图7-8所示，已知向量a，b，c，试求作和向量a b c++．图78分析：求作三个向量的和的问题，首先求作其中任意两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个新向量与另一个向量的和．即可先作a b+，再作()++．a b c解：如图7-9所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA a=+，=，再作向量AB b=，则得向量OB a b然后作向量BC c=++即为所求．=，则向量OC a b cO图79例2．化简下列各式（1）AB CA BC ++； （2）OE OF OD DO -+--．解：（1）原式()0AB BC CA AB BC CA AC CA AC AC =++=++=+=-= （2）原式()()0OE OF OD DO EO OF EF =+-+=+-=例3．用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形．分析：要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等．由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量．已知：如图7-10，ABCD 是四边形，对角线AC 与BD 交于0，且AO OC =，DO OB =．ODCBA图710求证：四边形ABCD 足平行四边形． 证明：由已知得AO OC =，BO OD =，AD AO OD OC BO BO OC BC =+=+=+=，且A D B C ，，，不在同一直线上，故四边形ABCD 是平行四边形．例4．已知平面上有不共线的四点O A B C ，，，．若320OA OB OC -+=，试求AB BC的值．解：因为23OA OC OB +=，所以()2OB OA OC OB -=-．于是有2AB BC =-．因此2AB BC=．基础练习1．若对n 个向量12n a a a ，，，存在n 个不全为零的实数12n k k k ，，，，使得11220n n k a k a k a +++=成立，则称向量12n a a a ，，，为“线性相关”，依此规定，能说明()110a =，，()211a =-，，()322a =，“线性相关”的实数123k k k ，，依次可以取____________________（写出一组数值即可，不必考虑所有情况）．2．已知矩形ABCD 中，宽为2，长为AB a =，BC b =，AC c =，试作出向量a b c ++，并求出其模的大小．3．设a ，b 为两个相互垂直的单位向量．已知OP a =，OR ra kb =+．若PQR △为等边三角形，则k ，r 的取值为（ ）A．k r == B．k r =C．k r ==D．k r = 4．若A B C D 、、、是平面内任意四点，则下列四式中正确的是（ ）①AC BD BC AD +=+ ②AC BD DC AB -=+ ③AB AC DB DC --=④AB BC AD DC +-=A ．1B ．2C ．3D ．45．设a 表示“向东走10km ”，b 表示“5km ”，c 表示“向北走10km ”，d 表示“向南走5km ”．说明下列向量的意义．（1）a b +；（2）b d +；（3）d a d ++．6．在图7-11的正六边形ABCDEF 中，AB a =，AF b =，求AC ，AD ，AE ．FC图7117.3 实数与向量的乘法如图7-12，已知非零向量a ，可以作出a a a ++和()()()a a a -+-+-．P Q M N aaa-a图712aOC OA AB BC a a a =++=++，简记3OC a =；同理有()()()3PN PQ QM MN a a a a =++=-+-+-=-．观察得：3a 与a 方向相反相反且33a a -=．一般地，实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：a λ．a λ的模与方向规定如下：（1）a a λλ=；（2）a λ的方向定义为：0λ>时a λ与a i 方向相同；0λ<时a λ与a i 方向相反；0λ=或0a =时规定：0a λ=．以上规定的实数与向量求积的运算叫作实数与向量的乘法（简称向量的数乘）．向量数乘的几何意义就是：把向量a 沿向量a 的方向或反方向放大或缩小，a λ与a 是互相平行的向量．对于任意的非零向量a ，与它同方向的单位向量叫做向量a 的单位向量，记作0a ．易知01a a a =．向量共线定理：如果有一个实数λ，使()0b a a λ=≠，那么b 与a 是共线向量；反之，如果b 与()0a b ≠是共线向量，那么有且只有一个实数λ，使得b a λ=．通过作图，可以验证向量数乘满足以下运算定律：当m 、n ∈R 时，有 1．第一分配律()m n a ma na +=+． 2．第二分配律()m a b ma mb +=+． 3．结合律()()m na mn a =． 例1．计算：（1）()()63292a b a b -+-+；（2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（3）()()()64222a b c a b c a c -+--+--+． 解：（1）原式18121893a b a b b =---+=-． （2）原式12711332236227a a b b a a b ⎛⎫⎛⎫=-+--++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭17732367a b a b ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 77106262b a a b =+--=． （3）原式66648442a bc a b c a c =-+-+-+-()()()64468642a a a b b c c c =-++-++-- 62a b =+．例2．已知O 为原点，A ，B ，C 为平面内三点，求证A ，B ，C 三点在一条直线上的充要条件是OC OA OB αβ=+，且αβ∈R ，，1αβ+=．分析：证明三点共线可从三点构成的其中两个向量存在数乘关系．证明必要条件也是从向量共线时向量的数乘关系入手．证明：必要性．设A B C ，，三点共线，则AC 与AB 共线．于是存在实数λ，使AC AB λ=． 而AC OC OA =-，AB OB OA =-，()OC OA OB OA λ∴-=-．()1OC OB OA λλ∴=+-． 令λβ=，1λα-=，有()11αβλλ+=-+=， OC OA OB αβ∴=+，且1αβ+=．充分性．若OC OA OB αβ=+，且1αβ+=，则()1OC OA OB ββ=-+，()OC OA OB OA β=+-，()OC OA OB OC β-=-，AC AB β∴=，β∈R ． AC ∴与AB 共线，而A 为AC 与AB 的公共端点，A B C ∴，，三点在一条直线上．在证明必要性时，A B C ，，三点共线还可用AB kBC =，AC kBC =表示．本题的结论还可有更一般的形式：A B C 、、三点在一条直线上的充要条件是存在实数h ，k ，l ，使0hOA kOB lOC ++=，且1h k l ++=，l k h ，，中至少有一个不为0．例3．如图7-13，设O 为ABC △内一点，PQ BC ∥，且PQt BC=，，OB b =，OC c =，试求OP ，OQ ． 解：由平面几何知，APQ ABC ⨯△∽△，且对应边之比为t ，图713故AP AQ PQt AB AC BC===， 又A P B 、、与A Q C 、、分别共线，即知 AP t AB =，AQ t AC =．()()OP OA AP OA t AB OA t OB OA a t b a ∴=+=+=+-=+-，即()1OP t a tb =-+，()()OQ OA AQ OA t AC OA t OC OA a t c a =+=+=+-=+-， 即()1OQ t a c =-+．例4．设两非零向量1e 和2e 不共线，（1）如果12AB e e =+，1228BC e e =+，()123CD e e =-，求证A B D ，，三点共线． （2）试确定实数k ，使12ke ke +共线． （1）证明12AB e e =+，()121212283355BD BC CD e e e e e e AB =+=++-=+=，AB BD ∴，共线，又有公共点B A B D ∴，，三点共线．（2）解12ke e +与12e ke +共线，∴存在λ使()1212ke e e ke λ+=+， 则()()121k e k e λλ-=-，由于1e 与2e 不共线， 只能有010k k λλ-=⎧⎨-=⎩则1k =±．例5．在ABC △中，F 是BC 中点，直线l 分别交AB AF AC ，，于点D ，G ，E （见图7-14）．如果AD AB λ=，AE AC μ=，λ，μ∈R ．证明：G 为ABC △重心的充分必要条件是113λμ+=．l GF E DCB A图714解：若G 为ABC △重心，则()221332AG AF AB AC ==⋅+=13AD AE λμ⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭． 又因点D G E ，，共线，所以，()113AD AE AG t AD t AE λμ⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭， 因AD ，AE 不共线，所以，13t λ=且113t μ=-，两式相加即得113λμ+=． 反之，若113λμ+=，则()2xAG xAF AB AC ==+()12x AD AE t AD t AE λμ⎛⎫=+=+- ⎪ ⎪⎝⎭， 所以，2x t λ=且12x t μ=-，相加即得23x =，即G 为ABC △重心． 基础练习1．已知向量a 、b 是两非零向量，在下列四个条件中，能使a 、b 共线的条件是（ ） ①234a b e -=且23a b e +=-；②存在相异实数λ、u ，使0a ub λ+=； ③0xa yb +=（其中实数x y 、满足0x y +=）； ④已知梯形ABCD 中，其中AB a =、CD b =． A ．①② B ．①③C ．②④D ．③④2．判断下列命题的真假：（1）若AB 与CD 是共线向量，则A B C D ，，，四点共线． （2）若AB BC CA ++=0，则A B C ，，三点共线． （3）λ∈R ，则a a λ>．（4）平面内任意三个向量中的每一个向量都可以用另外两个向量的线性组合表示． 3．已知在ABC △中，D 是BC 上的一点，且BDDCλ=，试求证：1AB AC AD λλ+=+． 4．已知3AD AB =，3DE BC =．试判断AC 与AE 是否共线．5．已知在四边形ABCD 中，2AB a b =+，4BC a b =--，53CD a b =--，求证：四边形ABCD 是梯形．6．已知()2cos A αα，()2cos B ββ，()10C -，是平面上三个不同的点，且满足关系式CA BC λ=，求实数λ的取值范围．7．已知梯形ABCD 中，2AB DC =，M N ，分别是DC AB 、的中点，若1AB e =，2AD e =，用1e ，2e 表示DC BC MN 、、．8．四边形ABCD 是一个梯形，AB CD ∥且2AB CD =，M N 、分别是DC 和AB 的中点，已知AB a =，AD b =，试用a ，b 表示BC 和MN ．9．已知a b 、是不共线的非零向量，11c a b λμ=+，22d a b λμ=+，其中1122λμλμ、、、为常数，若c d ma nb +=+，求m n 、的值．10．设a 、b 是不共线的两个非零向量，OM ma =，ON nb =，OP a b αβ=+，其中m n αβ、、、均为实数，0m ≠，0n ≠，若M P N 、、三点共线，求证：1mnαβ+=．11．在ABC △中，BE 是CD 交点为P ．设AB a =，AC b =，AP c =，AD a λ=，（01λ<<），()01AE b μμ=<<，试用向量a ，b 表示c ．12．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量()12OA =，，()21OB =-，若OP xOA yOB =+且12x y ≤≤≤，则求出点P 所有可能的位置所构成的区域面积．7.4 向量的数量积数量积定义：一般地．如果两个非零向量a 与b 的夹角为α．我们把数量cos a b α⋅叫做a 与b 的数量积（或内积），记作：a b ⋅，即：cos a b a b α⋅=⋅，其中记法“a b ⋅”中间的“⋅”不可以省略，也不可以用“×”代替．特别地，a b ⋅可记作2a ．规定：0与任何向量的数量积为0．非零向量夹角的范围：0≤口≤Ⅱ．投影的定义：如果两个非零向量a 与b 的夹角为α，则数量cos b θ称为向量b 在a 方向上的投影．注意：投影是一个数量．数量积的几何意义：如图7-15，我们把cos b α<叫做向量b 在a 方向上的投影，即有向线段1OB 的数量．图715当π02α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模1OB ； 当ππ2α<≤时，1OB 的数量等于向量1OB 的模－1OB ； 当π2α=时，1OB 的数量等于零． 当然，cos a α即为a 在b 方向上的投影．综上，数量积的几何意义：a b ⋅等于其中一个向量a 的模a 与另一个向量b 在a 的方向上的投影cos b α的乘积．向量的数量积的运算律： ①a b b a ⋅=⋅②()()()a b b a b λλλ⋅⋅=⋅（λ为实数）③()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅ 鉴于篇幅这里仅证明性质②：证明：（1）若0λ>，()cos a b a b λλθ⋅=，()cos a b a b λλθ⋅=，()cos a b a b λλθ⋅=，（2）若0λ<，()()()cos πcos cos a b a b a b a b λλθλθλθ⋅=-=--=，()cos a b a b a b λλλθ⋅=⋅=，()()()cos πcos a b a b a b λλθλθ⋅=-=--=cos a b λθ． （3）若0λ=，则()()()0a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅=． 综合（1）、（2）、（3），即有()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．例1．已知4a =，5b =，当（1）a b ∥，（2）a b ⊥，（3）a 与b 的夹角为30︒时，分别求a 与b 的数量积．解：（1）a b ∥，若a 与b 同向，则0θ=︒，cos04520a b a b ∴⋅=⋅︒=⨯=； 若a 与b 反向，则180θ=︒，()cos18045120a b a b ∴⋅=⋅︒⨯⨯⨯-=-． （2）当a b ⊥时，90θ=︒，cos900a b a b ∴⋅=⋅︒=．（3）当a 与b 的夹角为30︒时，cos3045a b a b ⋅=⋅︒=⨯= 例2．空间四点A B C D 、、、满足3AB =，7BC =，11CD =，9DA =，则AC BD ⋅的取值有多少个？解：注意到2222311113079+==+，由于0AB BC CD DA +++=， 则()()2222222DA DA AB BC CDAB BC CD AB BC BC CD CD AB ==++=+++⋅+⋅+⋅()()2222AB BC CD AB BC BC CD =-+++⋅+，即222220AC BD AD BC AB CD ⋅=+--=，AC BD ∴⋅只有一个值0．例3．已知a b 、都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a b 、的夹角． 解：由()()223750716150a b a b a a b b +⋅-=⇒+⋅-= ①()()22472073080a b a b a a b b -⋅-=⇒-⋅+=②两式相减：22a b b ⋅=代入①或②得：22a b =． 不妨设a b 、的夹角为θ，则221cos 22a b ba bbθ⋅===，又因为0πθ≤≤，60θ∴=︒．例4．在凸四边形ABCD 中，P 和Q 分别为对角线BD 和AC 的中点，求证：2222224AB BC CD DA AC BD PQ +++=++．证明：联结BQ ，QD ，因为BP PQ BQ +=，DP PQ DQ +=， 所以()()2222BQ DQ BP PQ DP PQ +=+++ 222222BP DP PQ BP PQ DP PQ =+++⋅+⋅()22222BP DP PQ BP DP PQ =++++⋅ 2222BP DP PQ =++①又因为BQ QC BC +=，BQ QA BA +=，0QA QC +=， 同理222222BA BC QA QC BQ +=++② 222222CD DA QA QC QD +=++③由①、②、③可得()()2222222224222BA BC CD QA BQ QD AC BP PQ ++=++=++= 2224AC BD PQ ++．得证．例5．平面四边形ABCD 中，AB a =，BC b =，CD c =，DA d =，且a b b c c d d a ⋅=⋅=⋅=⋅，判断四边形ABCD 的形状．证明：由四边形ABCD 可知，0a b c d +++=（首尾相接）()a b c d ∴+=-+，即()()22a bc d +=+展开得222222aa b b c c d d +⋅+=+⋅+a b c d ⋅=⋅，222a b c d ∴+=+①同理可得2222a dbc +=+② ①-②得2222b a ac =⇒=，b d ∴=，ac =，即AB CD =，BC DA =， 故四边形ABCD 是平行四边形．由此a c =-，bd =-．又a b b c ⋅=⋅，即()0b a c -=()20b a ∴⋅=即a b AB BC ⊥⇒⊥， 故四边形ABCD 是矩形．例6．已知非零向量a 和b 夹角为60︒，且()()375a b a b +⊥-，求证：()()472a b a b -⊥-．证明：因为a 和b 夹角为60︒，所以1cos602a b a b a b ⋅=⋅⋅︒=⋅；又因为()()375a b a b +⊥-，所以，即()()3750a b a b +⋅-=．22222217161571615781502a ab b a a b b a a b b +⋅-=+⨯⋅-=+⋅-=． ()()7150a b a b ∴+⋅-=，0a b ∴-=，即a b =．因为()()22222214727308730871582a b a b a a b b a a b b a a b b -⋅-=-⋅+=-⨯+=-+，把a b =代入上式消去b 得()()2247271580a b a b a a a a -⋅-=-+=．所以()()472a b a b -⊥-．基础练习1．已知a b c 、、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数为（ ） ①a b a b a b ⋅=⋅⇔∥； ②a b 、反向a b a b ⇔⋅=-⋅； ③a b a b a b ⊥⇔+=-； ④a b a c b c =⇔⋅=⋅． A ．1B ．2C ．3D ．42．已知向量i j ，为相互垂直的单位向量，28a b i j +=-，816a b i j -=-+，求a b ⋅．3．如图7-16所示，已知平行四边形ABCD ，AB a =，AD b =，4a=，2b =，求：OA OB ⋅．C图7164．设6a =，10b =，46a b -=，求a 和b 的夹角θ的余弦值． 5．已知a b ⊥，2a =，3b =，当()()32a b a b λ-⊥+时，求实数λ的值．6．已知不共线向量a ，b ，3a =，2b =，且向量a b +与2a b -垂直．求：a 与b 的夹角θ的余弦值． 7．已知3a =，4b =，且a 与b 不共线，k 为何值时，向量a kb +与a kb -互相垂直？ 8．在ABC △中，已知4AB AC ⋅=，12AB BC ⋅=-，求AB ．9．在ABC △中，AB a =，BC b =，且0a b ⋅>，则ABC △的形状是__________． 10．已知向量()24a =，，()11b =，．若向量()b a b λ⊥+，则实数λ的值是__________．11．如图7-17，在四边形ABCD 中，4AB BD DC ++=，0AB BD BD DC ⋅=⋅=，4AB BD BD DC ⋅+⋅=，求()AB DC AC +⋅的值．图717DCBA能力提高12．如图7-18，在Rt ABC △中，已知BC a =，若长为2a 的线段PQ 以点A 为中点．问PQ 与BC 的夹角θ为何值时，BP CQ ⋅的值最大?并求出这个最大值．PQ图71813．已知ABC △中满足()2ABAB AC BA BC CA CB =⋅+⋅+⋅，a b c 、、分别是ABC △的三边．试判断ABC △的形状并求sin sin A B +的取值范围．14．设边长为1的正ABC △的边BC 上有n 等分点，沿点B 到点C 的方向，依次为121n P P P -，，，，若1121n n S AB AP AP AP AP AC -=⋅+⋅++⋅，求证：21126n n S n-=．15．在ABC △中，AB a =，BC c =，CA b =，又()()()123c b b a a c ⋅⋅⋅=∶∶∶∶，则ABC △三边长之比a b c =∶∶__________．16．在向量a b c ，，之间，该等式()()())132a b c a b b c c a ⎧++=⎪⎨⋅⋅⋅=-⎪⎩∶∶∶成立，当1a =时，求b 和c 的值．17．若a b c ，，中每两个向量的夹角均为60︒，且4a =，6b =，2c =，求a b c ++的值． 7.5 向量的坐标表示及其运算向量的坐标表示在平面直角坐标系中，每一个点都可用一对实数()x y ，来表示，那么，每一个向量可否也用一对实数来表示?前面的平面向量分解告诉我们，只要选定一组基底，就有唯一确定的有序实数对与之一一对应． 我们分别选取与x 轴、y 轴方向相同的单位向量i ，j 作为基底，由平面向量的基本定理．对于任一向量a ，存在唯一确定的实数对()x y ，使得()a xi y j x y =+∈R ，，我们称实数对()x y ，叫向量a 的坐标，记作()a x y =，．其中x 叫向量a 在x 轴上的坐标,y 叫向量a 在y 轴上的坐标，见图7-19．图719注意：（1）与a 相等的向量的坐标也是()x y ，．（2）所有相等的向量坐标相同；坐标相同的向量是相等的向量． 平面向量的坐标运算（1）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y +=++，． （2）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y -=--，． （3）设()11A x y ，，()22B x y ，，则()2121AB OB OA x x y y =-=--，． （4）设()11a x y =，，λ∈R ，则()a x y λλλ=，．（5）设()11a x y =，，()22b x y =，，则()1212a b x x y y ⋅=+． 向量平行的坐标表示设()11a x y =，，()22b x y =，，且0b ≠，则()1212a b x x y y =+∥． 向量的平行与垂直的充要条件设()11a x y =，，()22b x y =，，且0b ≠，0a ≠则 12210a b b a x y x y λ⇔=⇔-=∥． 121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+=．重要的公式（1）长度公式：2221a a a x y ===+()()11a x y =，（2）夹角公式：()())1122cos a x y b x y θ===，，，．（3）平面两点间的距离公式： (()())1122A B d AB AB AB x A x y B xy ==⋅=，，，，．（4）不等式：cos a b a b a b θ⋅=≥．例1．已知()12a a a =，，()12b b b =，，且12210a b a b -≠，求证：（1）对平面内任一向量()12c c c ，，都可以表示为()xa yb x y +∈R ，的形式； （2）若0xa yb +=，则0x y ==．证明：（1）设c xa yb =+，即()()()()1212121122c c x a a y b b a x b y a x b y =+=++，，，，， 111222.a xb yc a x b y c +=⎧∴⎨+=⎩，12210a b a b -≠，∴上述关于x y ，的方程组有唯一解．1221122112211221.c b c b x a b a b a c a c y a b a b -⎧=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，1221122112211221c b c b a c a c c a b a b a b a b a b --∴=+--． （2）由（1）的结论，0c =，即120c c ==，则 122112210c b c b x a b a b -==-，122112210a c a c y a b a b -==-，0x y ∴==． 小结：证明（1）的过程就是求实数x ，y 的过程，而12210a b a b -≠是上面二元一次方程组有唯一解的不可缺少的条件．另外，本题实际上是用向量的坐标形式表述平面向量基本定理．其中1x λ=，2y λ=，这里给出了一个具体的求12λλ，的计算方法．例2．向量()10OA =，，()11OB =，，O 为坐标原点，动点()P x y ，满足0102OP OA OP OB ⎧⋅⎪⎨⋅⎪⎩≤≤≤≤，求点()Q x y y +，构成图形的面积．解：由题意得点()P x y ，满足0102x x y ⎧⎨+⎩≤≤≤≤，令x y uy v +=⎧⎨=⎩，则点()Q u v ，满足0102u v u -⎧⎨⎩≤≤≤≤，在uOv 平面内画出点()Q u v ，构成图形如图7-20所示，∴其面积等于122⨯=．图720例3．在直角坐标系中，已知两点()11A x y ，，()22B x y ，；1x ，2x 是一元二次方程222240x ax a -+-=两个不等实根，且A B 、两点都在直线y x a =-+上． （1）求OA OB ⋅；（2）a 为何值时OA 与OB 夹角为π3． 解：（1）12x x 、是方程222240x ax a -+-=两个不等实根，()224840a a ∴∆=-->解之a -<()212142x x a =-，12x x a +=又A B 、两点都在直线y x a =-+上，()()()()2212121212142y y x a x a x x a x x a a ∴=-+-+=-++=- 121224OA OB x x y y a ∴⋅=+=-（2）由题意设1x =，2x =112y x a x ∴=-+==，同理21y x =(()22212121224OA OB xx x x x x x ∴==+=+-=当OA 与OB夹角为π3时，π1cos 4232OA OBOA OB ⋅==⨯= 242a ∴-=解之(a =- a ∴=即为所求． 例4．已知()10a =，，()21b =，． ①求3a b +；②当k 为何实数时，ka b -与3a b +平行，平行时它们是同向还是反向？解：①()()()31032173a b +=+=，，，，2373a b ∴+=+ ②()()()102121ka b k k -=-=--，，，． 设()3ka b a b λ-=+，即()()2173k λ--=，，， 12731313k k λλλ⎧=-⎪-=⎧⎪∴⇒⎨⎨-=⎩⎪=-⎪⎩．故13k =-时，它们反向平行．例5．对于向量的集合(){}221A v x y x y ==+，≤中的任意两个向量12v v 、与两个非负实数αβ、；求证：向量12v v αβ+的大小不超过αβ+．证明：设()111v x y =，，()222v x y =，，根据已知条件有：22111x y +≤，22221x y +≤， 又因为(12v v αβα+==其中12121x x y y +所以12v v αβααβαβ+=+=+≤． 基础练习1．已知()21a =，，()34b =-，，求a b +，a b -，34a b +的坐标． 2．设O 点在ABC △内部，且有230OA OB OC ++=，求ABC △的面积与AOC △的面积的比． 3．已知平行四边形ABCD 的三个顶点A B C ，，的坐标分别为（-2，1），（-1，3），（3，4），求顶点D 的坐标．4．已知向量i ，j 为相互垂直的单位向量，设()12a m i j =+-，()1b i m j =+-，()()a b a b +⊥-，求m 的值．5．已知等腰梯形ABCD ，其中AB CD ∥，且2DC AB =，三个顶点()12A ，，()21B ，，()42C ，，求D 点的坐标．6．如图7-21所示，已知()20OA =，，(1OB =，将BA 绕着B 点逆时针方向旋转60︒，且模伸长到BA 模的2倍，得到向量BC ．求四边形AOBC 的面积S ．图7217．如图7-22所示，已知四边形ABCD 是梯形，AD BC ∥，2BC AD =，其中()12A ，，()31B ，，()24D ，，求C 点坐标及AC 的坐标．图7228．已知向量()2334a x x x =+--，与AB 相等，其中()12A ，，()32B ，，求x ． 9．平面内有三个已知点()12A -，，()70B ，，()56C -，，求 （1）AB ，AC ；（2）AB AC +，AB AC -；（3）122AB AC +，3AB AC -． 10．已知向量()12a =，，()1b x =，，2u a b =+，2v a b =-，且u v ∥，求x ． 11．已知()23a =，，()14b =-，，()56c =，，求()a b c ⋅，和()a b c ⋅⋅．12．已知两个非零向量a 和b 满足()28a b +=-，，()64a b -=--，，求a 与b 的夹角的余弦值． 能力提高13．已知平面上三个向量a ，b ，c 均为单位向量，且两两的夹角均为120︒，若()1ka b c k ++>∈R ，求k 的取值范围．14．已知OA ，OB 不共线，点C 分AB 所成的比为2，OC OA OB λμ=+，求λμ-． 7.6 线段的定比分点公式与向量的应用线段的定比分点公式设点P 是直线12P P 上异于1P 、2P 的任意一点，若存在一个实数()1λλ≠-，使12PP PP λ=，则λ叫做点P 分有向线段12P P 所成的比，P 点叫做有向线段12P P 的以定比为λ的定比分点．当P 点在线段12P P 上时0λ⇔≥；当P 点在线段12P P 的延长线上时1λ⇔<-； 当P 点在线段21P P 的延长线上时10λ⇔-<<；设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，是线段12P P 的分点，λ是实数且12P P PP λ=，则121211x x x OP y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⇔=⎨+⎪=⎪+⎩()12121111OP OP OP tOP t OP t λλλ+⎛⎫⇔=+-= ⎪++⎝⎭．()1λ≠-由线段的定比分点公式得：中点坐标公式设()111P x y ，，()222P x y ，，()P x y ，为12P P 的中点，（当1λ=时） 得121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩三角形的重心坐标公式ABC △三个顶点的坐标分别为()11A x y ，、()22B x y ，、()33C x y ，，则ABC △的重心的坐标是12312233x x x y y y G ++++⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 利用向量可以解决许多与长度、距离及夹角有关的问题．向量兼具几何特性和代数特性，成为沟通代数、三角与几何的重要工具，同时在数学、物理以及实际生活中都有着广泛的应用． 三角形五“心”向量形式的充要条件设O 为ABC △所在平面上一点，角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c 则（1）O 为ABC △的外心222OA OB OC ⇔==． （2）O 为ABC △的重心0OA OB OC ⇔++=．（3）O 为ABC △的垂心OA OB OB OC OC OA ⇔⋅=⋅=⋅． （4）O 为ABC △的内心0aOA bOB cOC ⇔++=． （5）O 为ABC △的A ∠的旁心()aOA b OB cOC ⇔=+．例1．如图7-23所示，已知矩形ABCD 中，()21A ，，()54B ，，()36C ，，E 点是CD 边的中点，联结BE 与矩形的对角线AC 交于F 点，求F 点坐标．图723解：四边形ABCD 是矩形，E 是CD 边的中点，ABF CEF ∴△∽△，且2AB CE =2AF CF ∴=即点F 分AC 所成的比2λ=．设()F x y ，．由(21)A ，，(36)C ，，根据定比分点坐标公式得2238123x +⨯==+，12613123y +⨯==+ F ∴点坐标是81333⎛⎫⎪⎝⎭，． 例2．证明：()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+．证明：在单位圆O 上任取两点A ，B ，以Ox 为始边，以OA ，OB 为终边的角分别为β，α，见图7-24．β，sin β）B （cos α图724则A 点坐标为()cos sin ββ，，B 点坐标为()cos sin αα，；则向量()cos sin OA ββ=，，()cos sin OB αα=，，它们的夹角为αβ-，1OA OB ==，cos cos sin sin OA OB αβαβ⋅=+， 由向量夹角公式得：()cos cos cos sin sin OA OB OA OBαβαβαβ⋅-==+，从而得证．注意：用同样的方法可证明()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-．例3．证明柯西不等式()()()2222211221212x y x y x x y y +⋅++≥．证明：令()11a x y =，，()22b x y =，（1）当0a =或0b =时，12120a b x x y y ⋅=+=，结论显然成立； （2）当当0a ≠且0b ≠时，令θ为a ，b 的夹角，则[]0πθ∈，1212cos a b x x y y a b θ⋅=+=．又cos 1θ≤，a b a b ∴⋅≤（当且仅当ab ∥时等号成立）． 1212x x y y ∴+()()()2222211221212x y x y x x y y ∴+⋅++≥（当且仅当1212x x y y =时等号成立）． 例4．给定ABC △，求证：G 是ABC △重心的充要条件是0GA GB GC ++=．证明：必要性 设各边中点分别为D E ，，F ，延长AD 至P ，使DP GD =，则2AG GD =GP =． 又因为BC 与GP 互相平分，所以BPCG 为平行四边形，所以BG PC ∥，所以GB CP =． 所以0GA GB GC GC CP PG ++=++=．充分性 若0GA GB GC ++=，延长AG 交BC 于D ，使GP AG =，联结CP ，则GA PG =． 因为0GC PG PC ++=，则GB PC =，所以GB CP ∥，所以AG 平分BC ．同理BG 平分CA ．所以G 为重心． 例5 ABC △外心为O ，垂心为H ，重心为G ．求证：O G H ，，为共线，且12OG GH =∶∶． 证明：首先()()2112333OG OA AG OA AM OA AB AC OA AO OB OC =+=+=++=+++= ()13OA OB OC ++． 其次设BO 交外接圆于另一点E ，则联结CE 后得CE BC ⊥． 又AH BC ⊥，所以AH CE ∥．又EA AB ⊥，CH AB ⊥，所以AHCE 为平行四边形．所以AH EC =． 所以OH OA AH OA EC OA EO OC OA OB OC =+=+=++=++， 即3OH OG =，所以OG 与OH 共线，所以O G H ，，共线． 即12OG GH =∶∶． 注意：O G H ，，所在的直线称为欧拉线．例6．已知ABC △，AD 为中线，求证()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭（中线长公式）． 证明：以B 为坐标原点，以BC 所在的直线为x 轴建立如图7-25所示的直角坐标系，图725设()A a b ，，()0C c ，，02c D ⎛⎫⎪⎝⎭，，则()22222024c c AD a b ac a b ⎛⎫=-+-=-++ ⎪⎝⎭，()()22222222221122244BC c c AB AC a b c a b a b ac ⎛⎫⎡⎤⎪+-=++-+-=+-+⎢⎥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 从而()2222122BC AD AB AC ⎛⎫ ⎪=+- ⎪⎝⎭，()2222122BC AD AB AC ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭． 例7．是否存在4个两两不共线的平面向量，其中任两个向量之和均与其余两个向量之和垂直？解：如图7-26所示，在正ABC △中，O 为其内心，P 为圆周上一点，满足PA ，PB ，PC ，PO 两两不共线，有POCBA图726()()PA PB PC PO +⋅+=()()PO OA PO OB PO OC PO +++⋅++()()22PO OA OB PO OC =++⋅+ ()()22PO OC PO OC =-⋅+ 2240PO OC =-=有()PA PB +与()PC PO +垂直． 同理可证其他情况．从而PA ，PB ，PC ，PO 满足题意、故存在这样四个平面向量．例8．已知向量1OP ，2OP ，3OP 满足条件1230OP OP OP ++=，1231OP OP OP ===，求证：123PP P △是正三角形．解：令O 为坐标原点，可设()111cos sin P θθ，，()222cos sin P θθ，，()333cos sin P θθ， 由123OP OP OP +=-，即()()()112233cos sin cos sin cos sin θθθθθθ+=--，，， 123123cos cos cos sin sin sin θθθθθθ+=-⎧⎪⎨+=-⎪⎩①② 两式平方和()1212cos 11θθ+-+=，()121cos 2θθ-=-，由此可知12θθ-的最小正角为120︒，即1OP 与2OP 的夹角为120︒， 同理可得1OP 与3OP 的夹角为120︒，2OP 与3OP 的夹角为120︒， 这说明123P P P ，，三点均匀分布在一个单位圆上， 所以123PP P △为等腰三角形． 基础练习1．在ABC △中，若321AB BC BC CA AB CA⋅⋅⋅==，则tan A =__________． 2．已知P 为ABC △内一点，且满足3450PA PB PC ++=，那么PAB PBC PCA S S S =△△△∶∶__________． 3．如图7-27，设P 为ABC △内一点，且2155AP AB AC =+，求ABP △的面积与ABC △的面积之比． PCA图7274．已知ABC △的三顶点坐标分别为()11A ，,()53B ，，()45C ，，直线l AB ∥，交AC 于D ，且直线l 平分ABC △的面积，求D 点坐标． 5．已知()23A ，，()15B -，，且13AC AB =，3AD AB =，求点C D 、的坐标． 6．点O 是平面上一定点，A B C ，，是此平面上不共线的三个点，动点P 满足AC AB OP OA AB AC λ⎛⎫ ⎪=++ ⎪⎝⎭，[)0λ∈+∞，．则点P 的轨迹一定通过ABC △的__________心．能力提高7．设x y ∈R ，，i j 、为直角坐标系内x y 、轴正方向上的单位向量，若()2a xi y j =++，()62b xi y j =+-且2216a b +=．（1）求点()M x y ，的轨迹C 的方程；（2）过定点()03，作直线l 与曲线C 交于A B 、两点，设OP OA OB =+，是否存在直线l 使四边形OAPB 为正方形？若存在，求出l 的方程，或不存在说明理由．8．（1）已知4a =，3b =，()()23261a b a b -⋅+=，求a 与b 的夹角θ；（2）设()25OA =，，()31OB =，，()63OC =，，在OC 上是否存在点M ，使MA MB ⊥，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由． 9．设a b 、是两个不共线的非零向量()t ∈R （1）记OA a =，OB tb =，()13OC a b =+，那么当实数t 为何值时，A B C 、、三点共线？ （2）若1a b ==且a 与b 夹角为120︒，那么实数x 为何值时a xb -的值最小？10．设平面内的向量()17OA =，，()51OB =，，()21OM =，，点P 是直线OM 上的一个动点，求当PA PB ⋅取最小值时，OP 的坐标及APB ∠的余弦值．11．已知向量()11m =，，向量n 与向量m 夹角为3π4，且1m n ⋅=-． （1）求向量n ；（2）若向量n 与向量()10q =，的夹角为π2，向量22sin 4cos 2A p A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，求2n p +的值．12．已知定点()01A ，，()01B -，，()10C ，．动点P 满足：2AP BP k PC ⋅=． （1）求动点P 的轨迹方程；（2）当0k =时，求2AP BP +的最大值和最小值．13．在平行四边形ABCD 中，()11A ，，()60AB =，，点M 是线段AB 的中点，线段CM 与BD 交于点P ．（1）若()35AD =，，求点C 的坐标； （2）当AB AD =时，求点P 的轨迹．14．已知向量()22a =，，向量b 与向量a 的夹角为3π4，且2a b ⋅=-， （1）求向量b ；（2）若()10t =，且b t ⊥，2cos 2cos 2C c A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，，其中A C 、是ABC △的内角，若三角形的三内角A B C 、、依次成等差数列，试求b c +的取值范围．。
人教版中职数学教案-第七章--平面向量
[精品]人教版中职数学教案-第七章--平面向量[9份教案]7.1.1 位移与向量的表示【教学目标】1. 了解有向线段的概念，理解并掌握向量的有关概念和向量相等的含义．2. 会用有向线段表示向量，并能根据图形判定向量是否平行、相等．3. 通过教学培养学生数形结合的能力．【教学重点】向量的概念．【教学难点】向量的概念．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．从物理背景和几何背景入手，建立起学习向量概念及其表示方法的基础，结合丰富的实例，归纳、概括向量的有关概念，使学生容易理解．同时结合习题让学生加深对相等向量的理解．7.1.2 向量的加法【教学目标】1. 理解并掌握向量的加法运算并理解其几何意义，掌握向量加法的运算律．2. 会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则求作两个向量的和．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】利用向量加法的三角形法则和平行四边形法则，作两个向量的和向量．【教学难点】对向量加法定义的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．创设问题情境，激发学生的好奇心与求知欲．并在教学过程中始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．7.1.3 向量的减法【教学目标】1. 理解并掌握向量的减法运算并理解其几何意义，理解相反向量．2. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的思想方法．【教学重点】向量减法的三角形法则．【教学难点】理解向量减法的定义．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．由实例引入，创设问题情境，教师引导学生由向量加法得到向量减法．并在教学过程中始终注重数形结合，对比教学，使问题处于学生思维的最近发展区，较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．7.2 数乘向量【教学目标】1. 通过实例掌握数乘向量的运算，并理解其几何意义，掌握数乘向量运算的运算律．2. 理解并掌握平行向量基本定理．3. 通过教学，养成学生规范的作图习惯，培养学生数形结合的能力．【教学重点】数乘向量运算及运算律与平行向量基本定理．【教学难点】对数乘向量定义与平行向量基本定理的理解．【教学方法】这节课主要采用启发式教学和讲练结合的教学方法．在向量加法的基础上引入数乘向量的定义，教学过程中紧扣向量的两要素分析定义，始终注重数形结合，引导学生思考，使问题处于学生思维的最近发展区，以此较好地培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力．d7.3.1 向量的分解【教学目标】1. 理解平面向量的基本定理，会用已知的向量来表示未知的向量．2. 启发学生发现问题和提出问题，培养学生独立思考的能力，让学生学会分析问题和解决问题．3. 通过教学，培养学生数形结合的能力．【教学重点】平面向量的基本定理，用已知的向量来表示未知的向量．【教学难点】理解平面向量的基本定理．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．7.3.2 向量的直角坐标运算【教学目标】1. 理解平面向量的坐标表示，掌握平面向量的坐标运算．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否平行．3. 通过学习，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】平面向量的坐标表示，平面向量的坐标运算，根据平面向量的坐标判断向量是否平行．【教学难点】理解平面向量的坐标表示．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，教师可以充分发挥学生的主体作用，开展自学活动，通过类比、联想，发现问题，解决问题．引导学生分析归纳，形成概念．7.4.1 向量的内积【教学目标】1. 理解并掌握平面向量内积的基本概念，会用已知条件来求向量的内积．2. 掌握向量内积的基本性质及运算律并运用其解决相关的数学问题．3. 通过教学，渗透一切事物相互联系和相互制约的辩证唯物主义观点．【教学重点】平面向量内积的概念，平面向量内积的基本性质及运算律．【教学难点】平面向量内积的概念、基本性质及运算律的正确理解．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法，引导学生分析归纳，形成概念．7.4.2 向量内积的坐标运算与距离公式【教学目标】1. 掌握向量内积的坐标表示，并应用向量内积的知识解决有关长度、角度和垂直的问题．2. 能够根据平面向量的坐标，判断向量是否垂直．3. 通过学习向量的坐标表示，使学生进一步了解数形结合思想，认识事物之间的相互联系，培养学生辩证思维能力．【教学重点】向量内积的坐标表达式，向量垂直的充要条件，向量长度的计算公式的应用．【教学难点】向量内积的坐标表达式的推导，即a·b＝| a | | b | cos?a，b?与a·b ＝a1b1＋a2b2两个式子的内在联系．【教学方法】本节课采用启发式教学和讲练结合的教学方法．向量内积的坐标表达式，是向量运算内容与形式的统一．无论是向量的线性运算还是向量的内积运算，最终归结为直角坐标运算．教学中教师要引导学生抓住这条线索，不断使学生的平面向量知识系统化、条理化，从而有利于学生知识体系的形成．7.5 向量的应用【教学目标】1. 能运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．2. 通过例题，研究利用向量知识解决物理中有关“速度的合成与分解”等问题．3. 通过教学，培养探究问题和解决问题的能力．【教学重点】运用向量的有关知识对物理中力的作用进行相关分析和计算．【教学难点】以向量为主题的数学模型的建立．【教学方法】这节课主要采用问题解决法和分组教学法．运用现代化教学手段，通过两个实例，分析抽象出以向量为主题的数学模型，使学生更容易理解向量的实质．。
四川省中等职业学校对口升学考试-数学-第七章《平面向量》总复习-课件
例1 给出下列四个命题:
（1）零向量没有方向；（2）单位向量的模一定相等；
（3）若a∥b,b∥c,则a∥c;(4)若a=b，则a∥b.
注意：
其中真命题的个数是（ ）.
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】零向量模长为0，方向不确定，所以（1）为假命题；单位向量的模都等于1，
所以（2）为真命题；对于（3），只要b=0，就不一定能得到a∥c，所以（3）为假命题
与b的和向量，如图7-2(b)所示.
2.向量的减法
三角形法则:已知向量a、b,在平面内任取一点O,作OA=a,OB=b,则BA=OA-OB=a-b,如图7-2(c)所示
图7-2
一Байду номын сангаас
知识清单
3.数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量,记作λa.λa与a的模、方向的关系规定如下:
(1)|λa|=|λ||a|.
2.两个向量垂直
如果两个向量a与b的夹角是90°,我们就说a与b垂直,记作a⊥b.
3.两个向量的内积(数量积)的定义
向量a与b的模与它们的夹角的余弦之积称为a 与b 的内积(数量积),记作a·b,即
a·b=|a||b|cos<a,b>.
说明:零向量与任意向量的内积为0.
一
知识清单
4.向量内积的性质
填空题,4分
选择题,4分
选择题,4分
本章内容在历年真题中多以选择题和解答题形式出现,其分值比例约占15%,难度不大.涉及的
命题趋势
知识点有:平面向量的线性运算,平面向量基本定理及向量的坐标运算,向量的数量积运算.有
时也会与三角函数、平面几何、解析几何进行交汇命题
一
高中数学讲义(人教A版必修二)：第07讲 平面向量基本定理(学生版)
第07课平面向量基本定理课程标准课标解读1.理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2..掌握平面向量基本定理，会用基底表示平面向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．1.在课本知识学习的基础上，加上初中阶段对数轴的理解，以及物理知识中里的分解的知识，进一步理解平面向量基本定理及其意义，了解向量基底的含义.2.掌握平面向量基本定理，不仅仅局限在直角坐标系，更应该学会用基底表示平面向量.3.在掌握基础知识的基础上，学会学习致用，会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题．知识精讲知识点平面向量基本定理1．平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个向量，那么对于这一平面内的向量a ，实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.2．基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内向量的一个基底．【即学即练】（多选）下列结论正确的是（）A ．已知向量(,2),(3,1)a b，且a 与b 的夹角为锐角，则23B ．ABC 中，π3,3b c C，则ABC 有两解C ．向量(1,2),(5,7)a b能作为所在平面内的一组基底D ．已知平面内任意四点O ，A ，B ，P 满足1233OP OA OB，则A ，B ，P 三点共线反思感悟平面向量基本定理的作用以及注意点(1)根据平面向量基本定理可知，同一平面内的任何一个基底都可以表示该平面内的任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算．(2)基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程或方程组求出要表示的向量．能力拓展考法01平面向量基本定理的理解【典例1】已知G 是ABC 的重心，点D 满足BD DC，若GD xAB y AC ，则x y 为（）A ．13B ．12C ．23D ．1【变式训练】我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示．在“赵爽弦图”中，已知3,,AE EF AB a AD b ，则AE（）A ．1292525a bB ．16122525a bC ．4355a bD ．3455a b考法02用基底表示向量【典例2】如图，在ABC 中，4BD DC ，则AD（）A ．1455AB ACB ．4155AB ACC ．1566AB ACD ．5166AB AC 【变式训练】《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象.如图1所示的是八卦模型图，其平面图形(图2)中的正八边形ABCDEFGH ，其中O 为正八边形的中心，则下列说法不正确的是（）A ．OA ED DO B ．AB EF C ．OB OD D ．AH 和CE能构成一组基底考法03平面向量基本定理的应用【典例3】在平行四边形ABCD 中，3,4AB AD ，60BAD ，点E 是BC 的中点，2CF FD ，则AE BF（）A ．6B ．2C ．2D ．6【变式训练】锐角三角形ABC 中，D 为边BC 上一动点（不含端点），点O 满足3AO OD，且满足AO AB AC ，则11的最小值为（）A ．43B ．34C ．3D ．163分层提分题组A 基础过关练1．在ABC 中，点D 在边AB 上，3AD DB .记,CA a CD b ，则CB（）A ．4133a bB ．1433a bC ．4133a bD ．1343a b2．在四边形ABCD 中，//AB CD ，若(,R)AC AB AD ，且3 ，则||||CD AB（）A ．13B ．3C ．12D ．23．如图，已知,,,2OA a OB b OC c AB BC ，则c（）A ．3122b aB ．2b aC ．2a bD ．3122a b4．若向量a 与b是平面上的两个不平行向量，下列向量不能作为一组基的是（）A ．a 与a bB ．a b 与2a bC ．25a b 与410a bD ．2a b 与2a b5．如果21,e e表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）A ．212,e e eB ．12212,2e e e eC ．21212,42e e e e D ．1212,e e e e 6．（多选）已知12,e e是平面内的一组基底，则下列说法中正确的是（）A ．若实数m ，n 使120me ne，则0m n B ．平面内任意一个向量a 都可以表示成12a me ne，其中m ，n 为实数C．对于m ，n R ，12me ne不一定在该平面内D ．对平面内的某一个向量a ，存在两对以上实数m ，n ，使12a me ne7．（多选）在下列向量组中，可以把向量(3,2)a表示出来的是（）A ．1(0,0)e ，2(1,2)eB ．1(1,2)e ，2(5,2)eC ．1(3,5)e ，2(6,10)eD ．1(2,3)e ，2(2,3)e8．（多选）已知向量a ，b 是两个不共线的向量，且向量3ma b 与 2a m b共线，则实数m 的可能取值为（）A ．1BC ．4D ．39．（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（）A ．12(1,0),(0,1)e eB ．12(1,2),(2,1)e eC ．1234(3,4),,55e eD ．12(2,6),(1,3)e e10．在平行四边形ABCD 中，2AE AD ，AF AB，若E ，C ，F 三点共线，则实数 ________.11．如果12,e e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝________.我们把12,e e叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.12．已知下列四个命题：①若//a b ，//b c，则// a c ；②设a 是已知的平面向量，则给定向量b 和c，总存在实数 和 ，使a b c ；③第一象限角小于第二象限角；④函数11()(sin cos )|cos sin |22f x x x x x 的最小正周期为2π.正确的有________.题组B 能力提升练1．已知1e ，2e是不共线向量，则下列各组向量中，是共线向量的有（）①15a e ，17b e ；②121123a e e ，1232b e e；③12a e e ，1233b e e．A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③2．若12e e ，是平面内的一个基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是（）A ．12e e ，21e eB ．12e e ，12e eC ．212e e ，212e e D ．122e e ，124e 2e3．若1e ，2e是平面内的一组基底，则下面的四组向量中不能作为一组基底的是（）．A ．12e e 和12e eB ．1232e e 和2146e e C ．123e e 和213e e D ．2e 和12e e4．如果12 e e ，是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是（）A ．1e 与12 e eB ．12 2e e 与12 2e eC ．12 e e 与12e e D ．12 2e e 与122e e 5．在给出的下列命题中，错误的是（）A ．设,,,O ABC 是同一平面上的四个点，若(1)()OA m OB m OC m R，则点,,A B C 必共线B ．若向量,a b 是平面 上的两个向量，则平面 上的任一向量c 都可以表示为(,) c a b R，且表示方法是唯一的C ．已知平面向量,,OA OB OC 满足,||||AB AC OA OB OA OC AO AB AC，则ABC 为等腰三角形D ．已知平面向量,,OA OB OC 满足||||(0)OA OB OC r r |=|，且0OA OB OC，则ABC 是等边三角形6．（多选）设a是已知的平面向量，向量,,a b c 在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（）A ．给定向量b ，总存在向量c ，使a b c ；B ．给定向量b 和c，总存在实数 和 ，使a b c ；C ．给定单位向量b 和正数 ，总存在单位向量c和实数 ，使a b c ；D ．若2a ，存在单位向量,b c 和正实数, ，使a b c，则2 .7．（多选）下列说法中正确的为（）A ．已知 1,2a r ， 1,1b r 且a 与b 的夹角为锐角，则实数 的取值范围是5,3B ．向量 12,3e，213,24e不能作为平面内所有向量的一组基底C ．非零向量a ，b ，满足a b 且a 与b 同向，则a bD ．非零向量a ，b ，满足a b a b ，则a 与a b 的夹角为30°8．（多选）下列命题正确的是（）A ．AB MB BC OM CO ABB ．已知向量(6,2)a 与(3,)b k的夹角是钝角，则k 的取值范围是0k C ．若向量 12,3e，213,24e 能作为平面内所有向量的一组基底D ．若//a b ，则a 在b 上的投影向量为a9．（多选）古代典籍《周易》中的“八卦”思想对我国建筑中有一定影响．下图是受“八卦”的启示，设计的正八边形的八角窗，若O 是正八边形ABCDEFGH 的中心，且1AB u u u r ，则（）A ．AH 与CF 能构成一组基底B ．0OD OFC ．OA OCD ．AC CD 10．设12,e e 是两个不共线的非零向量，且12122,3a e e b e e ．（1）证明：,a b 可以作为一个基底；（2）以,a b 为基底，求向量123c e e 的分解式．题组C 培优拔尖练1．在ABC 中，2360AB AC BAC ，，，N 为线段BC 的中点，M 为线段AC 上靠近点A 的三等分点，两条直线AN 与BM 相交于点P ，则AP BC =（）A ．54B ．74C ．94D ．1142．如图，ABC 中，3BD DC ，AE mAB ，AF nAC ，0m ，0n ，则13m n （）A ．3B ．4C ．43D ．343．在平行四边形ABCD 中，E ､F 分别在边AD ､CD 上，3AE ED ，,DF FC AF 与BE 相交于点G ，记,AB a AD b ，则 AG （）A ．341111a b B ．631111a b C ．451111a b D ．361111a b 4．如图，在ABC 中，点D 是边AB 上一点且2BD AD ，E 是边BC 的中点，直线AE 和直线CD 交于点F ，若BF 是ABC 的平分线，则BC BA （）A ．4B ．3C ．2D ．125．在平行四边形ABCD 中，E 是边CD 的中点，AE 与BD 交于点F ．若AB a =，AD b ，则AF （）A ．1344a b B ．2133a b +r r C ．3144a b D ．1233a b 6．在三角形ABC 中，已知D ，E 分别为CA ，CB 上的点，且15AD AC ，13BE BC ，AE 与BD 交于O 点，若CO mCA nCB ，则mn 的值为___________.7．如图，在ABC 中，已知182,,,,49AD DC BE BC AF AE AB a AC b .(1)用向量,a b 分别表示AF 与BD ；(2)证明：,,B F D 三点共线.8．如图，在梯形ABCD 中，AB CD ，且2AB CD ，设,AD a BC b .(1)试用a 和b 表示AC ；(2)若点P 满足34AP a b ，且,,B D P 三点共线，求实数 的值.。
中职数学基础模块下册第七章《平面向量》单元检测试题及参考答案
中职数学第七章《平面向量》单元检测试题（满分100分，时间：90分钟）.选择题（3分*10=30分）A. -12B.12C. -3D. 35、下列各不等式中成立的是( )A 、a+b〉b B、a+b”b C、a+b>a — b D、a+b 兰冋+|b6、若A(-1 ,2),B(3, 4),P(x ,y)，且2AP=PB,则P点坐标为()A. (4,8)B. (〔,4)C. (4,4)D.(-,-)3 3 3 3 3 3 37、设向量a, b的长度分别为4和3,夹角为120度，则a& =()A. -6B. 6C. -12 .3D. 12 .38、已知向量AB =13,4，点A的坐标为-2,3 ,则点B的坐标是()A、-7,-1 B 、7,1 C 、1,7 D 、-1,-79、已知向量a h[2,4,b=]1, x ,若 a —b,则x 二()1 1A B 、一C 、2 D 、- 22 210、已知向量 a = (1,m) , b = (m,2),若 a // b，贝卩m=()A. 一、、2B. 、2C. - ,2 或，2D. 0二.填空题(4分*8=32分)11. 若< = ( — 1,3) ______________________________________ , 6 = (1,—1)，贝y F—b 为12. 已知也ABC中，A B爲，B C=6当a^>0时，AABC为_____ 三角形.13. AB —AC BC = _____14. 已知< = (2,1), b = (1,3) , c = (8,9) 且 c = ma + nb 贝卩m= __,n= ____5 515. 设a= (1, 2), b= (-2 , 1),则2a+3b 等于_________________16. 设向量a=(1, m),向量 b = (2, m-3)，若 a 丄b，贝S m= __________ .17. 已知向量；=(1,2), b = (-1,1)，则3<—2b= _______ .218. 已知向量a=( 1,2), b=(2, -1)，贝,2a+b丨的值为______________ .三.解答题(共计38分)19. (6 分)若 a • b=5,丨 a 丨=,10 ,| b 丨=.5，求<a , b >20. ( 6 分)已知 a b = 3, a = 3 .. 2, b = 2，求V a , b >21. ( 8分)已知a,b是平面上两个不共线的非零向量，且a=(4,-3) , 1且a b =0，求向量b的坐标。
7.4 向量的内积课件-2023届广东省高职高考数学第一轮复习第七章平面向量
_－__1_0__3__．
【解析】
A→B·B→C＝|A→B|·|B→C|cos∠150°＝5×4×－
23＝－10
3.
三、解 答 题
14．判断下列各组向量是否互相垂直． (1)a＝(3，8)，b＝(－2，5)； (2)a＝(－1，4)，b＝(12，3)． 【解析】 (1)因为 a·b＝a1b1＋a2b2＝3×(－2)＋8×5＝34，所以 a 与 b 不垂直； (2)因为 a·b＝a1b1＋a2b2＝(－1)×12＋4×3＝0，所以 a⊥b.
则 a·b＝( B )
A．1
B. 3
C．2
1 D.2
【解析】 a·b＝|a|·|b|·cos 30°＝4sin 15°·2cos 15°·cos 30°＝4sin
30°· 23＝ 3，故选 B.
3．已知向量|a|＝1，|b|＝2，且〈a，b〉＝23π，则|a－b|＝( D )
A．3
B. 3
C. 6
a1b1＋a2b2＝0，即 3×(3－k)＋4×6＝0，解得 k＝11，故选 D.
6．已知 a＝(3，2)，b＝(2，1)，则(2a－b)·a＝( C )
A．12
B．16
C．18
D．20
【解析】 a＝(3，2)，b＝(2，1)，∴(2a－b)＝(4，3)，(2a－b)·a＝a1b1
＋a2b2＝3×4＋2×3＝18.，故选 C.
D．10
【解析】 a·b＝|a|·|b|·cos〈a·b〉＝5×6×cos60°＝3，b＝(2，－3)，若 a·b＝2，则 x＝( D )
A．－5
B．－2
C．2
D．7
【分析】 已知向量的坐标求向量的内积，用 a·b＝a1b1＋a2b2.
职高数学第七章平面向量习题及答案
职高数学第七章平面向量习题及答案化简下列向量的表达式：1）2(a+b)-3(2a-3b)2）3(2a-3b)+4(3a-4b)-2(5a-2b)参考答案：1、2b-4a+6b=8b-4a2、6a-9b+12a-16b-10a+4b=8a-21b1、（1）平行（2）不平行2、由AB∥a可知，向量a与向量AB平行，即a=k(2,5)，代入a的横纵坐标可得k=1，y=5，所以a=(1,5)。
3、可以计算向量AB和向量BC，发现它们是共线的，即AB=kBC，代入点坐标可得k=2，所以A，B，C三点共线。
1、因为(-1)×(-15)-3×5=12，所以向量a和向量b平行；因为2×3-(-1)×(-5)=1≠0，所以向量e和f不平行。
2、由已知条件得AB=(0,4)-(-2,-1)=(2,5)，因为AB∥a，所以1×5-2×y=0.解得y=2.3、由已知条件得AB=(0,1)-(-2,-3)=(2,4)，AC=(2,5)-(-2,-3)=(4,8)。
因为2×8-4×4=0，所以AB∥AC，又线段AB和AC有公共点A，所以A，B，C三点共线。
练7.3.11．已知|a|，|b|，‹a，b›，求a·b：1) |a|=7，|b|=12，‹a，b›=120°；a·b=|a||b|cos120°=-42.2) |a|=8，|b|=4，‹a，b›=π；a·b=|a||b|cosπ=-32.2．已知|a|，|b|，a·b，求‹a，b›：1) |a||b|=16，a·b=-8；cos‹a，b›=a·b/|a||b|=-(1/2)，所以‹a，b›=120°。
2) |a||b|=12，a·b=63.cos‹a，b›=a·b/|a||b|=21/24=7/8，所以‹a，b›=30°。
同济大学出版社 基础模块 下册 第七单元 平面向量
三、平面向量的数乘运算
和实数之间相乘一样，对于任意的向量a,b及 实数λ,μ，向量的数乘运算满足下列运算律：
（1）(λμ)a=λ(μa)=μ(λa)； （2）(λ+μ)a=λa+μa； （3）λ(a+b)=λa+λb. 向量的加法、减法以及数乘向量运算都叫作 向量的线性运算.
三、平面向量的数乘运算
甲、乙两车分别以v1=40 km/h，v2=50 km/h的速度 从同一地点出发，甲车向北，乙车向南．2小时后，它们相 距180 km，如图7-1（b）所示.
它们的行驶速度一样，为什么2小时后的距离相差这么 大？
第 一节
平面向量的概念
当人用力推一个箱子的时候，根据初中所学的物理知识我们 知道，箱子在水平方向上受到的推力及地面给箱子的摩擦力，这 两个力不但有数值的大小，而且还有方向.
（1）如果两个向量的横坐标、纵坐标分别 相等，那么这两个向量相等；
（2）如果两个向量相等，那么它们的横坐 标、纵坐标都分别相等.
三 、 共线向量的坐标表示
做一做
第四节
平面向量的内积
一、平面向量内积的概念
在世界大力士比赛中有一项拉卡车的比赛,某个人用 1 500 N的拉力F,沿着与水平方向成30°角的方向拉卡车， 使得卡车前进了2 m，求这个人做了多少功？如图7-17 所示，根据物理学知识，我们知道拉力F所做的功W为
一、平面向量内积的概念
做一做
1.已知︱a︱=8，︱b︱=3，<a,b>=60°，求a•b. 2.a•a=16，求︱a︱. 3.已知︱a︱=3，︱b︱=2，<a,b>=30°，求 (3a+b)•b.
二、平面向量内积的坐标表示
在平面直角坐标系中，向量a的坐标为(x1,y1)，向量b的 坐标为(x2,y2)，i、j分别为x轴、y轴上的单位向量，则
人教A版数学必修4 课件 平面向量 7
人教A版数学必修4 课件 平面向量 7
提示: （ 1 ） a b a b c o s a , b b a c o s a , b b a ； （2） ( a ) b a b co s a , b
= a b cos a, b a b cos a, b = a ( b )
人教A版数学必修4 课件 平面向量 7
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【解析】 ∵|2a＋b|＝|a＋2b|， ∴(2a＋b)2＝(a＋2b)2， ∴4a2＋4a·b＋b2＝a2＋4a·b＋4b2， ∴a2＝b2，∴(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0. 又 a 与 b 不共线， ∴a＋b≠0，a－b≠0， ∴(a＋b)⊥(a－b)．
例3.已知 | a | 6,| b | 4, a与b的夹角为60°, 求(a 2b) (a - 3b).
【解析】
（a2b） （ a3b） aaab6bb
|a |2 a b 6 |b |2
|a|2 |a||b|cos60°6|b|2
3 6 1 2 9 6 7 2 .
人教A版数学必修4 课件 平面向量 7
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特别地
a 与 b 同向
a
Ob B
A
0
a 与 b 反向
a
Bb O
A
B
b
O
a
A
a 与 b 垂直
2
向 量 夹 角 的 取 值 范 围 : 0
人教A版数学必修4 课件 平面向量 7
人教A版数学必修4 课件 平面向量 7
1.了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积 的含义及其物理意义.(重点） 2. 掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和 运算律进行相关的判断和运算.（重点、难点） 3.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，了解用 平面向量的数量积处理垂直问题的方法，以及能 解决一些简单问题.
中职数学(基础模块)下册第七章《平面向量》教学设计
思考
带领 学生 分析
移等．
我们经常用箭头来表示方向，带有方向的线段叫做有向线
理解
1
教学 过程
教师 学生 教学 行为 行为 意图
段．通常使用有向线段来表示向量．线段箭头的指向表示向量 的方向，线段的长度表示向量的大小．如图 7-2 所示，有向线 段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量 的终点．以 A 为起点，B 为终点的向量记作 AB ．也可以使用 小写英文字母，印刷用黑体表示，记作 a；手写时应在字母上
例 1 一架飞机从 A 处向正南方向飞行 200km，另一架飞机 从 A 处朝北偏东 45°方向飞行 200km， 两架飞机的位移相同 吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的
说明 强调 引领
方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向
讲解
线段表示分别为图 7-3 中的有向线段 a 与 b．
量 a 与向量 b 平行记作 a //b．
规定：零向量与任何一个向量平行． 由于任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上，因此 相互平行的向量又叫做共线向量． 【想一想】 图 7−4 中，哪些向量是共线向量？
仔细 分析 讲解 关键 词语
思考 归纳
理解 记忆
带领 学生 总结
*动脑思考 探索新知
3
教学 过程
归纳
a −b = a＋(−b)． 设 a =OA ，b OB ，则
思考 归纳
OA OB OA (OB)= OA BO BO OA BA ．
即
OA OB = BA
（7．2）
观察图 7－13 可以得到：起点相同的两个向量 a、 b，其
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第7部分:平面向量1．已知向量a =(1，2)和b =(x ，1)，若向量a +2b 与2a -b 平行，则实数x 等于 ( ) A ．21 B ．1 C ．31 D ．22．若平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC →→→→→→=∙=+-则该四边形一定是（ ） A ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形 3．已知b a b a b a b a与则,33)3()(,4,3=+⋅+==的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．若向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ== ，则a 与b一定满足A ．a 与b的夹角等于αβ-B ．a b ⊥C ．a ∥bD ．()()a b a b +⊥-5.若向量a 与b的夹角为120° ，且||1,||2,a b c a b ===+ ，则有(A) c a ⊥(B) b c ⊥ (C) b c // (D) a c //6.在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是（ ）A 、AB CD = ，BC AD = B 、AD OD DA +=C 、AO OD AC CD +=+ D 、AB BC CD DA ++=7.正方形ABCD 内有一个正A B E ∆，设,A B i A D j == ，则D E等于（ ）A 、1124i j -B 、12322i j --C 、1124i j --D 、12322i j --- 8.如图，在平面直角坐标系xoy 中，两个非零向量,O A O B 与x 轴正半轴的夹角分别为6π和23π，向量OC 满足0OA OB OC ++= ，则OC与x 轴正半轴夹角取值范围是（ ）A 、0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ B 、5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭C 、2,23ππ⎛⎫⎪⎝⎭ D 、25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭9. 已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则n m= .xy A B CO（第8题10． 22(,1),(2,3),||||x x a ba b a b ==+⋅已知向量则的最大值是 . 11．已知在平面直角坐标系中，O B A ),3,1(),0,2(-为原点，且,OB OA OM βα+=（其中1,,αβαβ+=均为实数），若N （1，0），则||MN 的最小值是 .12.在平面直角坐标系中，,i j分别是与,x y 轴正方向同向的单位向量，平面内三点A 、B 、C 满足AB i j =+ ，2AC i m j=+。
若A 、B 、C 三点构成直角三角形，则实数m 的值为 ．13．设311(sin ,),(,cos ),432a b αα-→-→== 且→-→-b a //，则锐角α为14．已知在平面直角坐标系中，O B A ),3,1(),0,2(-为原点，且,OB OA OM βα+=（其中1,,αβαβ+=均为实数），若N （1，0），则||MN 的最小值是 .15 P 为ΔABC 所在平面上的点，且满足A P =A B +12AC，则ΔABP 与ΔABC 的面积之比是 ．16.设,i j是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且42,34AB i j AC i j =+=+，则ABC ∆面积的值等于 。
17.设a 与b 是两个不共线的向量，且向量a b λ+ 与()2b a --共线，则λ的值等于18.已知向量1(sin ,1),(cos ,)2a xb x ==-．(Ⅰ) 当a b ⊥ 时，求a b+ 的值；（Ⅱ）求函数)()(a b a x f -∙=的最小正周期。
19．已知||4,||3,a b == (23)(2)a b a b -+=61，求：（1）向量a 与b 的夹角θ； （2）||a b -20.已知向量)1,(sin ),2cos ,cos 2(x b x x a ==b a x f ⋅=)(,令.(Ⅰ) 求 f (4π)的值； (Ⅱ)求∈x ]2,2[ππ-时，f (x )的单调递增区间.21.已知向量(cos ,1sin ),(1cos ,sin )a b αααα=+=+，（1）若3,a b +=求sin 2α的值；（2）设(cos ,2)c α=--，求()a cb +⋅ 的取值范围.22.已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0=⋅n m(Ⅰ)求tan A 的值； (Ⅱ)求)4sin(2sin cos π+-A A A 的值23．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,3(A 、)3,0(B 、).23,2(),sin ,(cos ππααα∈C（1）若α求角|,|||BC AC =的值；（2）若.tan 12sin sin2,12的值求ααα++-=⋅BC AC24．已知ABC 的面积满足33S ≤≤，且6AB BC = ，A B与BC 的夹角为θ。
（1）求θ的取值范围；（2）求函数22()sin 2sin cos 3cos f θθθθθ=++的最小值。
第7部分:平面向量一选择题1．已知向量a =(1，2)和b =(x ，1)，若向量a +2b 与2a -b 平行，则实数x 等于 ( ▲ ) A A ．21 B ．1 C ．31 D ．22．若平面四边形ABCD 满足0,()0,AB CD AB AD AC →→→→→→=∙=+-则该四边形一定是（ ）CA ．正方形B ．矩形C ．菱形D ．直角梯形3．已知b a b a b a b a与则,33)3()(,4,3=+⋅+==的夹角为（ ） A ．30° B ．60° C ．120°D ．150°答案：C4．若向量(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ== ，则a 与b一定满足A ．a 与b的夹角等于αβ- B ．a b ⊥C ．a ∥bD ．()()a b a b +⊥- 答案：D5.若向量a 与b的夹角为120° ，且||1,||2,a b c a b ===+ ，则有(A) c a ⊥(B) b c ⊥ (C) b c // (D) a c //答案：A6.在平行四边形ABCD 中，O 是对角线的交点，下列结论正确的是（ ）A 、AB CD = ，BC AD = B 、AD OD DA +=C 、AO OD AC CD +=+ D 、AB BC CD DA ++=答案：C 解析：AO OD AD AC CD +==+7.如图，正方形ABCD 内有一个正A B E ∆，设,A B i A D j == ，则D E等于（ ）ABCD E（第6题图）A 、1124i j -B 、12322i j --C 、1124i j --D 、12322i j ---答案：B 解析：因为D E D A AE =+ ，13,22D A j AE i j =-=+， 因此D E = 12322i j --8.如图，在平面直角坐标系xoy 中，两个非零向量,O A O B 与x 轴正半轴的夹角分别为6π和23π，向量OC 满足0OA OB OC ++= ，则OC与x 轴正半轴夹角取值范围是（ ）A 、0,3π⎛⎫⎪⎝⎭ B 、5,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭C 、2,23ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D 、25,36ππ⎛⎫⎪⎝⎭答案： B 解析：因为23AO C AO B BO C π∠=∠=∠=，因此OC 与x 轴的夹角为2362πππ-=，即5,236πππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭二填空题9. 已知向量)3,2(=→a ，)2,1(-=→b ，若→→+b n a m 与 →→-b a 2共线，则n m= 2- .10． 22(,1),(2,3),||||x x a ba b a b ==+⋅已知向量则的最大值是 42 .11．已知在平面直角坐标系中，O B A ),3,1(),0,2(-为原点，且,OB OA OM βα+=（其中1,,αβαβ+=均为实数），若N （1，0），则||MN 的最小值是 .22312.在平面直角坐标系中，,i j分别是与,x y 轴正方向同向的单位向量，平面内三点A 、B 、C 满足AB i j =+ ，2AC i m j=+。
若A 、B 、C 三点构成直角三角形，则实数m 的值为 ． 答案：-2或0xy A B CO（第8题图）13．设311(sin ,),(,cos ),432a b αα-→-→== 且→-→-b a //，则锐角α为答案：4π14．已知在平面直角坐标系中，O B A ),3,1(),0,2(-为原点，且,OB OA OM βα+=（其中1,,αβαβ+=均为实数），若N （1，0），则||MN 的最小值是 .答案：22315 P 为ΔABC 所在平面上的点，且满足A P =A B +12AC，则ΔABP 与ΔABC 的面积之比是 ． 答案：1:216.设,i j是平面直角坐标系内x 轴、y 轴正方向上的单位向量，且42,34AB i j AC i j =+=+，则ABC ∆面积的值等于 。
答案：11517.设a 与b 是两个不共线的向量，且向量a b λ+ 与()2b a --共线，则λ的值等于答案：12- 解析：因为a b λ+ 与()2b a -- 共线,则有a b m λ+= ()2b a ⎡⎤--⎣⎦，即有112,,2m m λλ==-∴=-.三.解答题18.已知向量1(sin ,1),(cos ,)2a xb x ==-．(Ⅰ) 当a b ⊥ 时，求a b+ 的值；（Ⅱ）求函数)()(a b a x f -∙=的最小正周期。
解:（Ⅰ）由已知得 0=∙b a222222)(||ba bb a a b a b a +=+∙+=+=+＝2341cos1sin22=+++x x …………7分（Ⅱ）1sin21cos sin )(22---=-∙=x x x ab a x f2322cos 12sin 21---=xx 2)42sin(22-+=πx所以 分－－－－－－－的周期是函数14)(πx f19．已知||4,||3,a b == (23)(2)a b a b -+=61，求：（1）向量a 与b 的夹角θ； （2）||a b -解：①向量a与b 的夹角θ=120°…………8分②||ab -=37............................14分20.已知向量)1,(sin ),2cos ,cos 2(x b x x a ==b a x f ⋅=)(,令.(Ⅰ) 求 f (4π)的值； (Ⅱ)求∈x ]2,2[ππ-时，f (x )的单调递增区间.解：(Ⅰ) x x x b a x f 2cos sin cos 2)(+=⋅=x x 2cos 2sin +=, --- 3分12cos 2sin )4(=π+π=π∴f --- 3分(Ⅱ) )42sin(2)(π+=x x f , --- 3分 当πππππk x k 224222+≤+≤+-（Z k ∈）时，f(x)单增， --- 2分即ππππk x k +≤≤+-883（Z k ∈） ∵∈x ]2,2[ππ-,∴ )(x f 在]2,2[ππ-上的单调递增区间为]8,83[ππ-. - 3分21.已知向量(cos ,1sin ),(1cos ,sin )a b αααα=+=+，（1）若3,a b +=求sin 2α的值；（2）设(cos ,2)c α=--，求()a cb +⋅ 的取值范围.解析：（1）因22(12cos ,12sin ),(12cos )(12sin )a b a b αααα+=+++=+++64(sin cos )αα=++，3sin cos 4αα∴+=-，两边平方得912sin cos 16αα+=，7sin 216α∴=-（2）因(0,1sin 2)a c α+=-+ ，()2211sin sin (sin ),24a cb ααα∴+⋅=-=-- 又[]sin 1,1α∈-，()a cb ∴+⋅ 的取值范围为1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.22.已知向量(sin ,cos ),(1,2)m A A n ==-,且0=⋅n m(Ⅰ)求tan A 的值； (Ⅱ)求)4sin(2sin cos π+-A A A 的值解：（Ⅰ）由题意得:m ·n =sin A -2cos A =0, ……4分 因为cos A ≠0,所以tan A =2. ……7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知tan A =2；AA A A A A AA A A A cos sin sin cos 4sin cos 4cos sin 2sin cos )4sin(2sin cos +-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+-πππ……11分312121tan 1tan 1-=+-=+-=AA ……14分23．已知A 、B 、C 三点的坐标分别为)0,3(A 、)3,0(B 、).23,2(),sin ,(cos ππααα∈C（1）若α求角|,|||BC AC =的值；（2）若.tan 12sin sin2,12的值求ααα++-=⋅BC AC解：(1) )sin ,3(cos αα-=AC )3s i n ,(c o s -=ααBC∵||||BC AC = ∴22BCAC =即2222)3(sin cos sin )3(cos -+=+-αααα∴ααcos sin = （4分）又∵παπ232<<∴πα45= （7分）（2）)3(sin sin )3(cos cos -+-=⋅ααααBC AC1sin 3sincos 3cos 22-=-+-αααα∴ 32cos sin =+αα①① 平方，得952sin cos sin 2-==ααα （10分）ααααααααααααααcos sin cos cos sin 2sin 2cos sin 1cos sin 2sin2tan 12sin sin2222++=++=++αααααααααααcos sin )cos (sin cos sin 2sin cos cos sin 2cos sin222++=++=95cos sin 2-=αα （14分）24．已知ABC 的面积满足33S ≤≤，且6AB BC = ，A B与BC 的夹角为θ。