北师大版九年级数学上典中点第一章阶段强化专训三
北师大版九年级数学上典中点第四章阶段强化专训三
专训三：巧添辅助线构造相似三角形名师点金：解题时，往往会遇到要证的问题与相似三角形联系不上或者说图中根本不存在相似三角形的情况，添加辅助线构造相似三角形是这类几何证明题的一种重要方法．常作的辅助线有以下几种：(1)由比例式作平行线；(2)有中点时，作中位线；(3)根据比例式，构造相似三角形．平行线型如图，在△ABC 中，点M 为AC 边的中点，点E 为AB 上一点，且AE ＝14AB ，连接EM 并延长交BC 的延长线于点D.求证：BC ＝2CD.作辅助线的方法一：作辅助线的方法二：作辅助线的方法三：作辅助线的方法四：专训三证明：(方法一)过点C作CF∥AB，交DE于点F，∴∠FCD＝∠B，∵∠D为公共角，∴△CDF∽△BDE.∴CFBE＝CDBD.∵点M为AC边的中点，∴AM＝CM.∵CF∥AB，∴∠BAC＝∠MCF.又∵∠AME＝∠CMF，∴△AME ≌△CMF.∴AE ＝CF.∵AE ＝14AB ，BE ＝AB －AE ， ∴BE ＝3AE.∴AE BE ＝13. ∵CF BE ＝CD BD， ∴AE BE ＝CD BD ＝13，即BD ＝3CD. 又∵BD ＝BC ＋CD ，∴BC ＝2CD.(方法二)过点C 作CF ∥DE ，交AB 于点F ，∴AE AF ＝AM AC. 又∵点M 为AC 边的中点，∴AC ＝2AM.∴2AE ＝AF.∴AE ＝EF.又∵AE AB ＝14，∴BF EF＝2. 又∵CF ∥DE ，∴BF FE ＝BC CD＝2. ∴BC ＝2CD.(方法三)过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ，∴∠AEF ＝∠B.又∵∠A 为公共角，∴△AEF ∽△ABC.由AE ＝14AB ，知 EF BC ＝AE AB ＝AF AC ＝14， ∴EF ＝14BC ，AF ＝14AC. ∵EF ∥CD ，易证得△EFM ∽△DCM ，∴EF CD ＝MF MC. 又∵AM ＝MC ，∴MF ＝12MC ， ∴EF ＝12CD.∴BC ＝2CD. (方法四)过点A 作AF ∥BD ，交DE 的延长线于点F ，∴∠F ＝∠D ，∠FAE ＝∠B.∴△AEF ∽△BED.∴AE BE ＝AF BD. ∵AE ＝14AB ， ∴AE ＝13BE.∴AF ＝13BD. 由AF ∥CD ，易证得△AFM ∽△CDM.又∵AM ＝MC ，∴AF ＝CD.∴CD ＝13BD.∴BC ＝2CD. 点拨：由已知线段的比，求证另外两线段的比，通常添加平行线，构造相似三角形来求解．。
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5．一个口袋中放有红球、白球和黑球若干个，每个球除了颜 色以外没有任何区别．已知红球比黑球多 1 个，比白球少 3 个．小王通过大量重复试验(每次取 1 个球，放回搅匀后 再取第 2 个)发现，取出黑球的频率稳定在14左右．
(1)请你估计口袋中黑球的个数； 解：设口袋中红球有 x 个，则黑球有(x－1)个，白球有 (x＋3)个，共有球 x＋(x－1)＋(x＋3)＝(3x＋2)个． 根据题意，得3xx－＋12＝14，解得 x＝6. 经检验，x＝6 是原方程的解且符合题意． 所以 x－1＝5.因此估计口袋中有 5 个黑球．
明 3 点朝上这一事件发生的概率就是110.只有当试验的次数足 够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，
才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率．
(3)小刚说：“如果掷600次，那么出现6点朝上的次数正 好是100次．”小刚的这一说法正确吗？为什么？ 解：小刚的说法不正确，因为随机事件的发生具有随 机性，所以出现6点朝上的次数不一定是100次．
是 (3)_小__刚_说__：__“．如果掷600次，那么出现6点朝上的次数正好是100次．”小刚的这一说法正确吗？为什么？
解：6＋5＋6＋3＝20(个)，故口袋中共有球 20 个．小王 2(1．)甲【同20学1随9·南机京选】择某两校天计，划其在中暑有假一第天二是周星的期星二期的一概至率星是期多四少开？展社会实践活动，要求每名学生选择两天参加活动．
4．一个均匀的正方体各面上分别标有数字 1，2，3，4，6， 8，其表面展开图如图所示，抛掷这个正方体，则朝上 一面的数字恰好等于朝下一面的数字的 2 倍的概率是
() A．23ຫໍສະໝຸດ B．12C．13D．16
【点拨】根据表面展开图，得出三组相对的面分别是 6 对 3， 4 对 2，8 对 1.故 P(朝上一面的数字恰好等于朝下一面的数 字的 2 倍)＝26＝13.故选 C. 【答案】C
北师大版九年级数学上典中点第二章阶段强化专训三
专训三：根的判别式的四种常见应用名师点金：对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，式子b2－4ac的值决定了一元二次方程的根的情况，利用根的判别式可以不解方程直接判断方程根的情况，反过来，利用方程根的情况可以确定方程中待定系数的值或取值范围．利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1．已知关于x的方程kx2＋(1－k)x－1＝0，下列说法正确的是()A．当k＝0时，方程无解B．当k＝1时，方程有一个实数解C．当k＝－1时，方程有两个相等的实数解D．当k≠0时，方程总有两个不相等的实数解2．已知关于x的方程x2－2x－m＝0没有实数根，其中m是实数，试判断关于x的方程x2＋2mx＋m(m＋1)＝0有无实数根．利用根的判别式求字母的值或取值范围3．(2015·咸宁)已知关于x的一元二次方程mx2－(m＋2)x＋2＝0，(1)证明：不论m为何值，方程总有实数根；(2)m为何整数时，方程有两个不相等的正整数根？利用根的判别式求代数式的值4．(2015·福州改编)已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)·x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m －1（2m －1）2＋2m的值．利用根的判别式确定三角形的形状5．已知a ，b ，c 是一个三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状．专训三1．C 点拨：当k ＝0时，方程为一元一次方程，解为x ＝1；当k≠0时，因为Δ＝(1－k)2－4k·(－1)＝k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2≥0，所以当k ＝1时，Δ＝4，方程有两个不相等的实数解；当k ＝－1时，Δ＝0，方程有两个相等的实数解；当k≠0时，Δ≥0，方程总有两个实数解．故选C .2．解：∵x 2－2x －m ＝0没有实数根，∴Δ1＝(－2)2－4·(－m)＝4＋4m<0，即m<－1.∴对于方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0，Δ2＝(2m)2－4·m(m ＋1)＝－4m>4.∴方程x 2＋2mx ＋m(m ＋1)＝0有两个不相等的实数根．3．(1)证明：Δ＝[－(m ＋2)]2－8m ＝m 2－4m ＋4＝(m －2)2.∵不论m 为何值，(m －2)2≥0，即Δ≥0.∴不论m 为何值，方程总有实数根．(2)解：解关于x 的一元二次方程mx 2－(m ＋2)x ＋2＝0，得x ＝m ＋2±Δ2m ＝m ＋2±（m －2）2m. ∴x 1＝2m，x 2＝1.∵方程的两个根都是正整数，∴2m是正整数．∴m ＝1或m ＝2. ∵两根不相等，∴m≠2.∴m ＝1.4．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0.∴2m －1＝±4.∴m ＝52或m ＝－32. 当m ＝52时，m －1（2m －1）2＋2m ＝52－116＋5＝114， 当m ＝－32时，m －1（2m －1）2＋2m ＝－32－116－3＝－526. 5．解：∵关于x 的一元二次方程(a ＋c)x 2＋bx ＋a －c 4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝b 2－4(a ＋c)·a －c 4＝b 2－(a 2－c 2)＝0， 即b 2＋c 2＝a 2.∴此三角形是直角三角形．。
北师大版九年级数学上典中点第二章阶段强化专训二
专训二：一元二次方程的解法归类名师点金：解一元二次方程时，主要考虑降次，其解法有直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法等．在详细的解题过程中，联合方程的特色选择适合的方法，常常会达到事半功倍的成效．限制方法解一元二次方程方法 1形如(x＋m)2＝n(n≥0)的一元二次方程用直接开平方法求解1．方程4x2－25＝0的解为()25A．x＝5B． x＝252C． x＝±D． x＝±252．用直接开平方法解以下一元二次方程，此中无解的方程为()A．x2－ 5＝ 5B．－ 3x2＝0C． x2＋ 4＝ 0 D ． (x＋1) 2＝ 0方法 2当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解3．用配方法解方程x2＋ 3＝ 4x，配方后的方程变成()A．(x－ 2)2＝7B． (x ＋2)2＝ 1C． (x－ 2)2＝ 1D． (x＋ 2)2＝ 24．解方程：x2＋4x－2＝0.22x5．已知x－10x＋y－16y＋89＝0，求的值．方法 3能化成形如(x＋a)(x＋b)＝0的一元二次方程用因式分解法求解6．(改编·宁夏)一元二次方程x(x － 2)＝ 2－ x 的根是 ()A．x＝－ 1B． x＝ 0C． x1＝ 1， x2＝ 2D ．x1＝－ 1， x2＝27．解以下一元二次方程：(1)x2－ 2x＝ 0；(2)16x 2－ 9＝ 0；(3)4x 2＝ 4x－ 1.方法 4假如一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解8．用公式法解一元二次方程x2－14＝ 2x，方程的解应是()A．x＝－2± 5B． x＝2± 5 22C． x＝1± 5D ． x＝1± 3 229．用公式法解以下方程．(1)3(x 2＋ 1)－ 7x＝ 0；(2)4x 2－3x－ 5＝x－ 2.选择适合的方法解一元二次方程10．方程 4x 2－ 49＝0 的解为()27A ．x ＝ 7B ． x ＝ 2C ． x 1＝ 7， x 2＝－ 7D ． x 1＝ 2， x2＝－ 22 2 7711．一元二次方程 x 2－ 9＝ 3－ x 的根是 ()A ．x ＝ 3B ． x ＝－ 4C ． x 1＝ 3， x 2＝－ 4D ． x 1＝ 3， x 2＝4 12．方程 (x ＋ 1)(x － 3)＝ 5 的解是 ()A ．x 1＝ 1， x 2＝－ 3B ． x 1＝4， x 2＝－ 2C ． x 1＝－ 1， x 2＝ 3D ． x 1＝－ 4，x 2＝ 2 13．解以下方程．(1)3y 2－ 3y －6＝ 0； (2)2x 2－ 3x ＋1＝ 0.用特别方法解一元二次方程方法 1结构法14．解方程： 6x 2＋19x ＋ 10＝0.15．若 m ， n ， p 知足 m － n ＝ 8， mn ＋ p 2＋ 16＝ 0，求 m ＋ n ＋ p 的值．方法 2换元法a．整体换元16．已知x2－2xy＋y2＋x－y－6＝0，则x－y的值是() A．－2或3B．2 或－ 3C．－1或6D．1或－ 617．解方程：(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)＝48.b．降次换元18．解方程：6x4－35x3＋62x2－35x＋6＝0.c．倒数换元19．解方程x－2－3x＝2. x x－ 2方法 3特别值法20．解方程：(x－2 013)(x－2 014)＝2 015×2016.专训二1．C 2.C 3.C4．解：x2＋ 4x－2＝ 0，x2＋ 4x＝2，(x＋ 2)2＝6，x＋2＝± 6，x1＝－ 2＋6， x2＝－ 2－ 6.5．解：x2－10x ＋ y2－ 16y＋ 89＝ 0，(x2－ 10x＋ 25)＋ (y2－ 16y ＋ 64)＝0，(x－ 5)2＋ (y－ 8)2＝0，x 5∴ x ＝5， y ＝8，∴ y ＝ 8.6． D7．解： (1)x 2－2x ＝ 0， x(x －2) ＝0，x 1＝ 0，x 2＝2.20，x 1 ＝－3 3(2)16x － 9＝ 0， (4x ＋ 3)(4x － 3)＝ 4， x 2＝ .4(3)4x2＝ 4x － 1， 4x 2－ 4x ＋ 1＝ 0， 2＝ 0， x 1＝ x 2 1(2x － 1) ＝ .28． B9．解： (1)3(x 2＋ 1)－ 7x ＝ 0， 3x 2－7x ＋ 3＝ 0，∴ b 2－ 4ac ＝ (－7)2－ 4×3×3＝13.∴ x ＝7± 13＝7± 13.2×3 6 ∴ x 1＝7＋ 13， x 2＝ 7－ 13 .6 6 (2)4x 2－ 3x － 5＝ x － 2，4x 2－ 4x － 3＝ 0，224± 64∴ b － 4ac ＝ (－4) － 4×4×(－ 3)＝ 64.∴ x ＝ 2×4.3 1∴ x 1＝ ， x 2＝－ .2 2 10． C 11.C 12.B13．解： (1)3y2221 9 12 91 3 － 3y － 6＝0， y － y － 2＝ 0， y－ y ＋－ ＝ 0， y －2＝， y － ＝ ± ，44422∴ y 1＝ 2， y 2＝－ 1.2223±1(2)2x － 3x ＋ 1＝ 0，∴ b － 4ac ＝ (－ 3) － 4×2×1＝1.∴ x ＝.1∴ x 1＝ 1， x 2＝ 2.14．解：将原方程两边同乘 6，得 (6x) 2＋ 19×(6x) ＋ 60＝0.解得 6x ＝－ 15 或 6x ＝－ 4.∴ x 1＝－ 5， x 2＝－ 2.2 315．解：由于 m － n ＝ 8，因此 m ＝ n ＋ 8.将 m ＝ n ＋ 8 代入 mn ＋ p 2＋ 16＝ 0 中，得 n(n ＋ 8)＋ p 2＋ 16＝ 0，因此 n 2 ＋8n ＋ 16＋p 2＝ 0，即 (n ＋ 4)2＋ p 2＝ 0.又由于 (n ＋ 4)2 ≥0， p 2≥0，因此n ＋ 4＝0，p ＝ 0，解得n ＝－ 4， p ＝ 0.因此 m ＝n ＋ 8＝ 4，因此 m ＋n ＋ p ＝ 4＋( －4)＋ 0＝ 0.16． B17．解：原方程即 [(x －1)(x －4)][(x － 2)(x － 3)] ＝ 48，即 (x 2－ 5x ＋4)(x 2－ 5x ＋ 6)＝ 48.设 y ＝ x 2－ 5x ＋ 5，则原方程变成 (y － 1)(y ＋ 1)＝ 48.解得 y 1＝ 7， y 2＝－ 7.当 x 2－ 5x ＋ 5＝ 7 时，解得 x 1＝5＋ 33， x 2＝ 5－ 33；22当 x 2－ 5x ＋ 5＝－ 7 时， ＝ (－ 5)2－ 4×1×12＝－ 23<0，无实数根． ∴原方程的根为 x 1＝5＋33， x 2＝5－ 33 .2 218．解：经考证， x ＝ 0 不是方程的根， 原方程两边同除以x 2，得 6x 2－ 35x ＋ 62－35＋ 62x x＝ 0，211即 6 x＋x 2－ 35 x ＋x ＋ 62＝0.设 y ＝ x ＋ 1，则 x 2＋ 12＝ y 2－ 2，x x 原方程可变成6(y 2－ 2)－ 35y ＋ 62＝ 0.5 10解得 y 1＝ 2， y 2＝3 .当 x ＋1x ＝ 52时，解得 x ＝2 或 x ＝12；当 x ＋1＝ 10时，解得x ＝3 或 x ＝1.x 33经查验，均切合题意．∴原方程的解为 x 1＝ 2， x 2＝ 1， x 3＝ 3， x 4＝1.23 19．解：设 x － 2＝ y ，则原方程化为 y － 3＝ 2，整理，得 y 2－ 2y －3＝ 0，∴ y 1 ＝3， y 2＝x y－ 1.当 y ＝ 3 时，x － 2＝3，∴ x ＝－ 1.当 y ＝－ 1 时，x － 2＝－ 1，∴ x ＝ 1.经查验， x ＝ ±1 都是xx原方程的根，∴原方程的根为x1＝ 1， x2＝－ 1.x－ 2 013＝ 2 016，20．解：方程组的解必定是原方程的解，解得x＝4 029.x－ 2 014＝ 2 015x－ 2 013＝－ 2 015，方程组的解也必定是原方程的解，解得x＝－ 2.x－ 2 014＝－ 2 016∵原方程最多有两个实数解，∴原方程的解为x1＝ 4 029， x2＝－ 2.点拨：解此题也可采纳换元法．设x－ 2 014＝ t，则 x－ 2 013＝ t＋ 1，原方程可化为t(t ＋ 1)＝ 2 015 ×2 016，先求出t，从而求出x.。
2016年秋北师大版九年级数学上典中点第一章整合提升专训四.doc
专训四：特殊平行四边形中的五种热门考点名师点金：章主要学习菱形、矩形、正方形的性质与判定的灵活应用，其中特殊平行四边形中的折叠问题、动点问题、中点四边形问题、图形变换问题是中考的热门考点．特殊平行四边形中的折叠问题1．如图，将一张长为10 cm，宽为8 cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)剪下，再打开，得到的菱形的面积为()A．10 cm2B．20 cm2C．40 cm2D．80 cm2(第1题)(第2题)2．(2015·泰安)如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F.若AB＝6，BC＝46，则FD的长为()A．2 B．4 C. 6 D．2 33．如图，将正方形纸片ABCD折叠，使边AB，CB均落在对角线BD上，得折痕BE，BF，则∠EBF 的大小为()A．15°B．30°C．45°D．60°(第3题)(第4题)特殊平行四边形中的动点问题4．如图，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AC ＝60 cm ，∠A ＝60°.点D 从点C 出发沿CA 方向以4 cm/s 的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以2 cm/s 的速度向点B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D ，E 运动的时间是t s(0<t≤15)．过点D 作DF ⊥BC 于点F ，连接DE ，EF.若四边形AEFD 为菱形，则t 的值为( )A ．5B ．10C ．15D ．205．如图，正方形ABCD 的边长为4，∠DAC 的平分线交DC 于点E.若点P ，Q 分别是AD 和AE 上的动点，则DQ ＋PQ 的最小值是( )A ．2B ．4C ．2 2D ．4 2(第5题)(第6题)特殊平行四边形中的中点四边形问题6．如图，在四边形ABCD 中，AC ＝a ，BD ＝b ，且AC ⊥BD ，顺次连接四边形ABCD 各边中点，得到四边形A 1B 1C 1D 1，再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，得到四边形A 2B 2C 2D 2，…，如此进行下去，得到四边形A n B n C n D n .下列结论正确的是( )①四边形A 4B 4C 4D 4是菱形；②四边形A 3B 3C 3D 3是矩形；③四边形A 7B 7C 7D 7的周长为a ＋b 8；④四边形A n B n C n D n 的面积为ab2n .A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④7．(2015·广安)如图，已知E ，F ，G ，H 分别为菱形ABCD 四边的中点，AB ＝6 cm ，∠ABC ＝60°，则四边形EFGH 的面积为________．(第7题)(第8题)特殊平行四边形中的图形变换问题8．(2015·枣庄)如图，边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转45°得到正方形AB 1C 1D 1，边B 1C 1与CD 交于点O ，则四边形AB 1OD 的面积是( )A.34B.2－12C.2－1 D ．1＋ 29．如图，四边形ABCD 是正方形，点G 是BC 边上任意一点，DE ⊥AG 于点E ，BF ∥DE ，交AG 于点F.(1)求证：AF －BF ＝EF ；(2)将△ABF 绕点A 逆时针旋转，使得AB 与AD 重合，记此时点F 的对应点为点F′，若正方形ABCD 的边长为3，求点F′与旋转前的图形中点E 之间的距离．(第9题)灵活应用特殊平行四边形的性质与判定进行计算或证明10．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接AF，CE.(1)求证：△BEC≌△DFA；(2)连接AC，当CA＝CB时，判断四边形AECF是什么特殊四边形，并说明理由．(第10题)11．(2015·漳州)如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG.(1)求证：四边形DEFG为菱形；(2)若CD＝8，CF＝4，求CEDE的值．(第11题)12．如图①，在正方形ABCD中，E，F分别是边AD，DC上的点，且AF⊥BE.(1)求证：AF＝BE.(2)如图②，在正方形ABCD中，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA上的点，且MP⊥NQ.MP 与NQ是否相等？并说明理由．(第12题)专训四1．A2．B点拨：由题易知，AE＝EG＝ED，∠A＝∠EGB＝∠EGF＝∠D＝90°，又EF＝EF，所以Rt△EDF≌Rt△EGF，所以FD＝FG.设FD＝x，则BF＝6＋x，CF＝6－x，在Rt△BCF中，(46)2＋(6－x)2＝(6＋x)2，解得x ＝4，所以FD ＝4.3．C4．B 点拨：在△DFC 中，∠DFC ＝90°，∠C ＝30°，DC ＝4t cm ，所以DF ＝2t cm.又因为AE ＝2t cm ，所以AE ＝DF.因为AE ∥DF ，所以可推出四边形AEFD 为平行四边形．令AE ＝AD ，则60－4t ＝2t.所以t ＝10，当t ＝10时，四边形AEFD 为菱形．5．C 点拨：连接BD 交AC 于点O ，由图可知，DQ ＋PQ 的最小值即为DO 的长，由正方形的边长为4可知，DO 的长为22，所以DQ ＋PQ 的最小值为2 2.6．A(第7题)7．9 3 cm 2 点拨：连接AC ，BD ，设AC ，BD 相交于点O ，如图， 易知，四边形EFGH 是矩形． 由四边形ABCD 是菱形， ∠ABC ＝60°， 可得∠ABO ＝30°， 又∵∠AOB ＝90°， ∴OA ＝12AB ＝3 cm.∴AC ＝6 cm.在Rt △AOB 中，OB ＝AB 2－OA 2＝33(cm)， ∴BD ＝6 3 cm.∵EH ＝12BD ，EF ＝12AC ，∴EH ＝3 3 cm ，EF ＝3 cm.∴矩形EFGH 的面积＝EF·EH ＝3×33＝93(cm 2)． 8．C9．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝AD ，∠BAD ＝∠BAG ＋∠EAD ＝90°. ∵DE ⊥AG ， ∴∠AED ＝90°.∴∠EAD ＋∠ADE ＝90°.∴∠ADE ＝∠BAF. 又∵BF ∥DE ，∴∠AFB ＝∠AED ＝90°. 在△AED 和△BFA 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧∠AED ＝∠AFB ，∠ADE ＝∠BAF ，AD ＝BA ， ∴△AED ≌△BFA(AAS)． ∴BF ＝AE. ∵AF －AE ＝EF ， ∴AF －BF ＝EF.(第9题)(2)解：如图，由题意知将△ABF 绕A 点旋转得到△ADF′，B 与D 重合，连接F′E ， 根据题意知：∠FAF′＝90°，DE ＝AF′＝AF ， ∴∠F′AE ＝∠AED ＝90°. 即∠F ′AE ＋∠AED ＝180°. ∴AF′∥ED.∴四边形AEDF′为平行四边形． 又∠AED ＝90°， ∴四边形AEDF′是矩形． ∵AD ＝3， ∴EF′＝AD ＝3.10．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，∠B ＝∠D ，BC ＝AD. ∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴BE ＝DF.∴△BEC ≌△DFA(SAS)．(2)解：四边形AECF 是矩形，理由： ∵AE ＝12AB ，CF ＝12CD ，AB ＝CD ，∴AE ＝CF. ∵AE ∥CF ，∴四边形AECF 是平行四边形． 当CA ＝CB 时，CE ⊥AB ， ∴∠AEC ＝90°.∴四边形AECF 是矩形．(第11题)11．(1)证明：如图，由折叠的性质可知：DG ＝FG ，ED ＝EF ，∠1＝∠2， ∵FG ∥CD ， ∴∠3＝∠1. ∴∠2＝∠3. ∴FG ＝FE.∴DG ＝GF ＝EF ＝DE. ∴四边形DEFG 为菱形．(2)解：设DE ＝x ，则EF ＝DE ＝x ，EC ＝8－x ， 在Rt △EFC 中，FC 2＋EC 2＝EF 2， 即42＋(8－x)2＝x 2，解得x ＝5，∴CE ＝8－x ＝3， ∴CE DE ＝35. 12．(1)证明：在正方形ABCD 中， ∵AB ＝AD ，∠BAE ＝∠D ＝90°， ∴∠DAF ＋∠BAF ＝90°. ∵AF ⊥BE ，∴∠ABE ＋∠BAF ＝90°. ∴∠ABE ＝∠DAF. ∴△ABE ≌△DAF(ASA)．∴AF＝BE.(2)解：MP与NQ相等．理由如下：过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则与(1)的情况完全相同．。
2022秋北师版九年级数学 典中点 第一章达标检测卷
第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形．此图形的对称轴有()A．2条B．4条C．6条D．8条2．【2020·天津】如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是()A．(6，3) B．(3，6) C．(0，6) D．(6，6)3．如图，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为()A．4 B．6 C．8 D．104．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF＝5，则菱形ABCD的周长为()A．20 B．30 C．40 D．505．【2020·日照】已知菱形的周长为8，两邻角的度数比为1：2，则菱形的面积为()A．8 3 B．8 C．4 3 D．2 3 6．【2020·荷泽】如果顺次连接四边形各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是()A．互相平分B．相等C．互相垂直D．互相垂直平分7．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE 的度数是()A．67.5°B．22.5°C．30°D．45°8．【2020·遂宁】如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是()A．1 B．43C．32D．539．【2020·绍兴】如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B移动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF 形状的变化依次为()A．平行四边形→正方形→平行四边形→矩形B．平行四边形→菱形→平行四边形→矩形C．平行四边形→正方形→菱形→矩形D．平行四边形→菱形→正方形→矩形10．【2021·安徽】如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，过菱形ABCD 的对称中心O分别作边AB，BC的垂线，交各边于点E，F，G，H，则四边形EFGH的周长为()A．3＋ 3 B．2＋2 3 C．2＋ 3 D．1＋2 3 二、填空题(每题3分，共24分)11．【2021·益阳】如图，已知四边形ABCD是平行四边形，从①AB＝AD，②AC＝BD，③∠ABC＝∠ADC中选择一个作为条件，补充后使四边形ABCD 成为菱形，应选择______(限填序号)．12．【2021·南充】如图，点E是矩形ABCD边AD上一点，点F，G，H分别是BE，BC，CE的中点，AF＝3，则GH的长为________．13．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边的正方形ACEF 的周长为________．14．【教材P16例3变式】如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠EDC∶∠EDA＝1∶2，且AC＝10，则EC的长度是________．15．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若S△ABE＝18，CE＝4，则线段BE的长为________．16．【2021·连云港】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE⊥AD，垂足为E，AC＝8，BD＝6，则OE的长为________．17．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD 于点F，连接CE．若∠BAE＝56°，则∠CEF＝________．18．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为________．三、解答题(每题11分，共66分)19．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF．(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE＝5，请求出EF的长．20．如图，在▱ABCD中，点O是边BC的中点，连接DO并延长，交AB的延长线于点E，连接BD，EC．(1)求证：四边形BECD是平行四边形；(2)若∠A＝50°，则当∠BOD＝________时，四边形BECD是矩形．21．【教材P7习题T1改编】【2020·连云港】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点M，N．(1)求证：四边形BNDM是菱形；(2)若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．22．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点B作AC的平行线交DC的延长线于点E．(1)求证：BD＝BE；(2)若BE＝10，CE＝6，连接OE，求△ODE的面积．23．如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF．(1)求证：△BCE≌△DCF．(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．24．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠BAD＝120°，以点A为顶点，度数为60°的∠EAF绕点A旋转，∠EAF的两边分别交BC，CD于点E，F，且E，F不与B，C，D重合．(1)求证：BE＝CF．(2)在∠EAF绕点A旋转的过程中，四边形AECF的面积是否发生变化？如果不变，求出其定值；如果变化，请说明理由．答案一、1．B 2．D 3．C 4．C 5．D 6．C 7．B 8．D 9．B10．A 点拨：连接OA ，OD ．由四边形ABCD 是菱形可得OA ⊥OD ，∠OAD ＝∠ADC ＝60°，则∠ADO ＝30°，所以OA ＝12AD ＝1．易求得AH ＝12，DH ＝32，则EH ＝32，HG ＝32．最后由O 是对称中心得四边形EFGH 是平行四边形，则其周长为2(EH ＋HG )＝3＋3．二、11．① 12．3 13．16 14．2.5 15．213 16．12517．22°18．154 点拨：连接EG ，易知EG ＝FG ．不妨设DE ＝x ，则BF ＝x ，EG＝FG ＝3＋x ，EC ＝5－x ．在Rt △ECG 中，利用勾股定理列方程求出x ，问题得解．三、19．(1)证明：∵ 四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ，∠ABC ＝∠ADC ＝∠ADF ＝90°．在△ABE 和△ADF 中，⎩⎨⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADF ，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF (SAS)． (2)解：∵△ABE ≌△ADF ， ∴AE ＝AF ＝5，∠BAE ＝∠DAF ． ∵∠BAE ＋∠EAD ＝90°，∴∠DAF ＋∠EAD ＝90°，即∠EAF ＝90°． ∴EF ＝AE 2＋AF 2＝52．20．(1)证明：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥DC ． ∴∠OEB ＝∠ODC ．∵O 为BC 的中点，∴BO ＝CO ．在△BOE 和△COD 中，⎩⎨⎧∠OEB ＝∠ODC ，∠BOE ＝∠COD ，BO ＝CO ，∴△BOE ≌△COD (AAS)． ∴OE ＝OD ． 又∵BO ＝CO ，∴四边形BECD 是平行四边形． (2)100°21．(1)证明：∵AD ∥BC ，∴∠DMO ＝∠BNO ．∵MN 是对角线BD 的垂直平分线， ∴OB ＝OD ，MN ⊥BD ．在△MOD 和△NOB 中，⎩⎨⎧∠DMO ＝∠BNO ，∠MOD ＝∠NOB ，OD ＝OB ，∴△MOD ≌△NOB (AAS)． ∴OM ＝ON ．∵OB ＝OD ，∴四边形BNDM 是平行四边形． 又∵MN ⊥BD ，∴四边形BNDM 是菱形．(2)解：∵四边形BNDM 是菱形，BD ＝24，MN ＝10， ∴BM ＝BN ＝DM ＝DN ， OB ＝12BD ＝12，OM ＝12MN ＝5．在Rt △BOM 中，由勾股定理得BM ＝OM 2＋OB 2＝52＋122＝13， ∴菱形BNDM 的周长为4BM ＝4×13＝52． 22．(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，AB ∥CD ．又∵BE ∥AC ，E 在DC 的延长线上， ∴四边形ABEC 是平行四边形． ∴AC ＝BE ．∴BD ＝BE ．(2)解：如图，过点O 作OF ⊥CD 于点F ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BCD ＝90°． ∴∠BCE ＝90°．在Rt △BCE 中，根据勾股定理可得BC ＝8． ∵BE ＝BD ，∠BCD ＝90°，∴CD ＝CE ＝6． ∴DE ＝12．由题易知OD ＝OC ，∵OF ⊥CD ，∴CF ＝DF ． 又∵OB ＝OD ，∴OF 为△BCD 的中位线． ∴OF ＝12BC ＝4．∴S △ODE ＝12DE ·OF ＝12×12×4＝24．23．(1)证明：∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠B ＝∠D ． ∵点E ，F 分别为AB ，AD 的中点， ∴BE ＝12AB ，DF ＝12AD ． ∴BE ＝DF ．在△BCE 和△DCF 中，⎩⎨⎧BC ＝DC ，∠B ＝∠D ，BE ＝DF ，∴△BCE ≌△DCF (SAS)． (2)解：AB ⊥BC ．理由如下：∵四边形ABCD 是菱形，点E ，O ，F 分别为AB ，AC ，AD 的中点， ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，OE ＝12BC ，OF ＝12CD ，AF ＝12AD ，AE ＝12AB ，OE ∥BC ．晨鸟教育Earlybird ∴OE ＝OF ＝AF ＝AE ．∴四边形AEOF 是菱形．∵AB ⊥BC ，OE ∥BC ，∴AE ⊥OE ．∴∠AEO ＝90°．∴四边形AEOF 是正方形．24．(1)证明：如图，连接AC ．∵四边形ABCD 为菱形，∠BAD ＝120°，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∠BAC ＝∠DAC ＝60°．∴△ABC 和△ADC 都是等边三角形，∠1＋∠2＝60°． ∴∠ABE ＝∠ACF ＝60°，AB ＝AC ．∵∠3＋∠2＝∠EAF ＝60°，∴∠1＝∠3．∴△ABE ≌△ACF (ASA)．∴BE ＝CF ．(2)解：四边形AECF 的面积不变．由(1)知△ABE ≌△ACF ，则S △ABE ＝S △ACF ．故S 四边形AECF ＝S △AEC ＋S △ACF ＝S △AEC ＋S △ABE ＝S △ABC ． 如图，过点A 作AM ⊥BC 于点M ，则BM ＝MC ＝2， ∴AM ＝AB 2－BM 2＝42－22＝23．∴S △ABC ＝12BC ·AM ＝12×4×23＝43．∴S 四边形AECF ＝43．。
2022秋北师陕西九年级数学上册 点训 第1章 习题课件
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9.[易错题]在菱形ABCD中，∠A＝30°，在同一平面内，以对角线BD为底边作 顶角为120°的等腰三角形BDE，则∠EBC的度数为______________． 45°或105°
【点拨】本题考查菱形的性质，解题的关键是正确 画出图形，考虑问题要全面.
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10. 西安市某中学校门是伸缩电动门(如图①)，伸缩电动门中的每一行菱形有20 个，每个菱形的边长为30 cm.当每个菱形的内角(锐角)度数为60°(如图②)时， 校门打开了5 m，当每个菱形的内角度数为90°时，校门打开了多少米？
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定
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核心必知 1
2 垂直；四边形
3 相等
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1D
2 见习题 3 D
4是
5 见习题
6A
7 见习题
8D
9 见习题 10 见习题
11 见习题
核心必知
1．由菱形定义可知：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
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2．对角线互相__垂__直____的平行四边形是菱形，对角线互相 垂直且平分的__四__边_形___是菱形．
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6．[2021·陕西模拟]如图，已知∠A，以点A为圆心，恰当长为
半径画弧，分别交AE，AF于点B，D，继续分别以点B，D
为圆心，线段AB长为半径画弧交于点C，连接BC，CD，则
所得四边形ABCD为菱形的依据为( A)
A．四条边相等的四边形是菱形
B．一组邻边相等的四边形是菱形
C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形
在又R∵t△AABB⊥CA中C，，A∴C∠＝AOB＝45°，∴B＝C∠2，2A－∴OFOA＝AB＝4251°，＝AB，
2022秋北师山西九年级数学上册 点训 第1章学情评估
第一章学情评估一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，对角线AC＝3，则该菱形的周长为() A．12 B．15 C．6＋4 3 D．3＋6 3(第1题)(第2题)(第3题)2．如图所示，在菱形ABCD中，若对角线AC＝6，BD＝8，过点A作AH⊥BC 于点H，则AH的长为()A.65 B.125 C.245 D.4853．如图，在菱形ABCD中，点A在x轴上，点C的坐标为(4，4)，点D的坐标为(0，2)，则点B的坐标是()A．(8，2) B．(2，8) C．(4，2) D．(2，4) 4．关于▱ABCD的叙述，不正确的是()A．若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形B．若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形C．若AC＝BD，则▱ABCD是矩形D．若AB＝AD，则▱ABCD是菱形5．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点E在边BC上，连接DE，AE，若EA平分∠BED，则EC的长为()A.35 B.9 38 C.7 D．4－7 (第5题)(第6题)6．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AD＝3，AB＝1，则∠BOC的度数为()A．60°B．120°或60°C．120°D．30°或60°7．如图，已知F、E分别是正方形ABCD的边AB与BC的中点，AE与DF交于P，连接PC，则下列结论成立的是()A．BE＝12AE B．PC＝PDC．∠EAF＋∠AFD＝90°D．PE＝EC(第7题)(第8题)(第10题)8．如图，先将正方形纸片对折再展开，折痕为MN，再把点B折叠在折痕MN 上再展开，折痕为AE，点E在CB上，点B在MN上的对应点为H，沿AH 和DH剪下得到三角形ADH，则下列选项错误的是()A．DH＝AD B．AH＝DHC．NE＝BE D．DM＝12DH9．在四边形ABCD中，AC，BD交于点O.在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是()A．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，AC⊥BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°C．∠A＝∠B＝90°，AC＝BDD．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD10．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝4，点M，N为对角线BD上的两点，且满足DN＝BM，连接AN，AM，则AM＋AN的最小值为()A．6 B．3 6 C．2 13 D．10二、填空题(每题3分，共15分)11．如图，CD是Rt△ABC的中线，∠ACB＝90°，∠ABC＝25°，则∠ADC的度数是________．(第11题)12．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠BOC＝120°，AC＝6，则矩形ABCD的面积为________．(第12题)13．如图，AD是△ABC的角平分线，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，且AD交EF于O，则∠AOF的度数是________．(第13题)(第14题)(第15题)14．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是________．15．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠BAC＝90°时，四边形AEDF 是正方形；④AE＋DF＝AF＋DE.其中正确的是________(填序号)．三、解答题(16题7分，17题8分，其余每题10分，共75分)16．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE∥AB交AC于点E，∠B ＝34°.(1)求∠ADE的度数；(2)求证：AE＝DE.(第16题)17．如图，延长平行四边形ABCD的边AD，AB.作CE⊥AB交AB的延长线于点E，作CF⊥AD交AD的延长线于点F，若CE＝CF.求证：四边形ABCD是菱形．(第17题)18．如图，在正方形ABCD中，点E为CD边上一点，点F为AD延长线上一点，且DE＝DF，则AE与CF之间有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由．(第18题)19．如图，正方形ABCD的边长为2，以对角线BD为边作菱形BEFD，点C，E，F在同一直线上，求CE的长．(第19题)20. 如图，DF是平行四边形ABCD中∠ADC的平分线，EF∥AD交DC于E.(1)求证：四边形AFED是菱形；(2)如果∠A＝60°，AD＝5，求菱形AFED的面积．(第20题)21．如图，已知AD∥BC，AB∥CD，∠B＝∠C.(1)求证：四边形ABCD为矩形；(2)已知M为AD的中点，N为AB的中点，BN＝2.若∠BNC＝2∠DCM，求BC的长．(第21题)22．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，点E为AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AD＝AF；(2)填空：①当∠ACB＝________°时，四边形ADCF为正方形；②连接DF，当∠ACB＝______°时，四边形ABDF为菱形．(第22题)23．综合与实践问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将一张菱形纸片ABCD(∠BAD＞90°)沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD.操作发现(1)将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是________；(2)创新小组将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角β，使β＝2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB，C′C，得到四边形BCC′D，发现它是矩形，请你证明这个结论．(第23题)答案一、1.A 2.C 3.A 4.B 5.C 6.C 7．C 8.C 9.A 10.C二、11.50° 12.9 3 13.90° 14.3 2 15.②③④ 三、16.(1)解：∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°. ∵∠B ＝34°，∴∠BAD ＝90°－34°＝56°.∵DE ∥AB ，∴∠ADE ＝∠BAD ＝56°. (2)证明：∵D 是BC 的中点，DE ∥AB ， ∴E 是AC 的中点． 又∵∠ADC ＝90°， ∴DE ＝12AC ＝AE .17．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥CD ， ∴∠CBE ＝∠A ，∠CDF ＝∠A ， ∴∠CBE ＝∠CDF . ∵CE ⊥AB ，CF ⊥AD ， ∴∠CEB ＝∠CFD .在△CBE 与△CDF 中，⎩⎨⎧∠CBE ＝∠CDF ，∠CEB ＝∠CFD ，CE ＝CF ，∴△CBE ≌△CDF ， ∴CB ＝CD ，∴四边形ABCD 是菱形．18．解：AE ＝CF ，AE ⊥CF ，理由如下：如图，延长AE 交CF 于点G .(第18题)∵四边形ABCD 是正方形， ∴AD ＝CD ，∠ADC ＝∠CDF ＝90°. 在△ADE 和△CDF 中，⎩⎨⎧AD ＝CD ，∠ADE ＝∠CDF ，DE ＝DF ，∴△ADE ≌△CDF (SAS)， ∴AE ＝CF ，∠DAE ＝∠DCF . ∵∠DCF ＋∠F ＝90°， ∴∠DAE ＋∠F ＝90°， ∴AG ⊥CF ，即AE ⊥CF ， ∴AE ＝CF ，AE ⊥CF .19．解：过点E 作EG ⊥BC ，交BC 的延长线于点G .∵BD ∥EF ，∴∠ECG ＝∠DBC ＝45°， ∴△ECG 是等腰直角三角形， ∴EG ＝CG .设EG ＝x ，则BG ＝2＋x . ∵四边形BEFD 为菱形， ∴BE ＝BD ＝2 2.在Rt △BEG 中，BE 2＝BG 2＋EG 2， 即(2 2)2＝(2＋x )2＋x 2， 即x 2＋2x －2＝0，解得x ＝3－1或x ＝－3－1(舍去)，∴EG ＝3－1， ∴CE ＝2EG ＝6－ 2.20．(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴DE ∥AF . ∵EF ∥AD ，∴四边形DAFE 是平行四边形， ∴∠EDF ＝∠AFD .∵DF 是平行四边形ABCD 中∠ADC 的平分线， ∴∠ADF ＝∠EDF ， ∴∠AFD ＝∠ADF ， ∴AD ＝AF ，∴四边形AFED 是菱形． (2)解：∵∠DAF ＝60°， 又由(1)知AD ＝AF ， ∴△AFD 为等边三角形， ∴DF ＝5.连接AE 与DF 相交于O . 由(1)知四边形AFED 是菱形， ∴OF ＝12DF ，DF ⊥AE ， 易得FO ＝52，∴OA ＝AF 2－FO 2＝5 32， ∴AE ＝5 3，∴S 菱形AFED ＝12AE ·DF ＝25 32. 21．(1)证明：∵AD ∥BC ，AB ∥CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形，∠B ＋∠C ＝180°. ∵∠B ＝∠C ， ∴∠B ＝∠C ＝90°，∴四边形ABCD 为矩形．(2)解：如图，延长BA ，CM 交于点E .(第21题)∵M 为AD 的中点，N 为AB 的中点，∴AN ＝BN ＝2，AM ＝MD ，∴AB ＝CD ＝4.∵AE ∥DC ，∴∠E ＝∠DCM .在△AEM 和△DCM 中，⎩⎨⎧∠E ＝∠MCD ，∠AME ＝∠DMC ，AM ＝DM ，∴△AME ≌△DMC (AAS)，∴AE ＝CD ＝4.∵∠BNC ＝2∠DCM ＝∠E ＋∠NCE ，∴∠NCE ＝∠DCM ＝∠E ，∴CN ＝EN ＝AE ＋AN ＝4＋2＝6，∴BC ＝CN 2－BN 2＝62－22＝4 2.22．(1)证明：∵∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的中线，∴AD ＝CD ＝BD .∵点E 为AD 的中点，∴AE ＝DE .∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DBE .又∵∠AEF ＝∠DEB ，∴△AEF ≌△DEB (AAS)，∴AF ＝BD ，∴AD＝AF.(2)①45②3023．(1)菱形(2)证明：作AM⊥CC′于点M.由旋转得AC′＝AC，则∠CAM＝∠C′AM＝12β＝∠BAC.∵题图1中四边形ABCD是菱形，∴BA＝BC，∴∠BCA＝∠BAC，∴∠CAM＝∠BCA，∴AM∥BC，同理AM∥DC′，∴BC∥DC′.又∵BC＝DC′，∴四边形BCC′D是平行四边形．∵AM∥BC，∠CMA＝90°，∴∠BCC′＝90°，∴四边形BCC′D是矩形．。
2022秋北师九年级数学上册 点训 全册 检查卷
第一章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．如图，已知菱形ABCD的边长等于2，∠DAB＝60°，则对角线BD的长为() A．1 B. 3 C．2 D．2 3(第1题)(第3题)(第4题)(第6题)2．已知正方形的面积为36，则其对角线的长为()A．6 B．6 2 C．9 D．9 2 3．【教材P3例1变式】如图，矩形ABCD的对角线AC＝8 cm，∠AOD＝120°，则AB的长为()A. 3 cm B．2 cm C．2 3 cm D．4 cm 4．【2021·柳州】如图，在菱形ABCD中，对角线AC＝8，BD＝10，则△AOD 的面积为()A．9 B．10 C．11 D．125．下列命题中，真命题是()A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形6．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，分别交AB，CD于点E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的()A.15 B.14 C.13 D.3107．【教材P4习题T2改编】【2021·陕西】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，连接AC、BD，则ACBD的值为()A.12 B.22 C.32 D.33(第7题)(第9题)(第10题)8．在四边形ABCD中，点O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是()A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CDB．AD∥BC，∠BAD＝∠BCDC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BDD．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC9．【2021·兰州】如图，将图①中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图②的四边形ABCD(相邻纸片之间不重叠，无缝隙)．若四边形ABCD 的面积为13，中间空白处的四边形EFGH的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a，b则(a＋b)2＝()A．25 B．24 C．13 D．12 10．【教材P28复习题T15拓展】如图，把矩形OABC放入平面直角坐标系中，点B的坐标为(10，8)，点D是OC上一点，将△BCD沿BD折叠，点C恰好落在OA上的点E处，则点D的坐标是()A．(0，4) B．(0，5) C．(0，3) D．(0，2)二、填空题(每题3分，共30分)11．在Rt△ABC中，如果斜边上的中线CD＝4 cm，那么斜边AB＝________．12．已知菱形的两条对角线长分别为6 cm，8 cm，则它的周长是________．13．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16 cm，若墙上钉子间的距离AB ＝BC＝16 cm，则∠1＝________．(第13题)(第14题)(第15题)(第16题) 14．【2021·北京】如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在BC、AD上，AF＝EC.只需添加一个条件即可证明四边形AECF是菱形，这个条件可以是________(写出一个即可)．15．【教材P9习题T3变式】如图，四边形ABCD是菱形，AC＝24，BD＝10，DH⊥AB于点H，则线段BH的长为________．16．如图，菱形ABCD的顶点A在x轴上，点B的坐标为(8，2)，点D的坐标为(0，2)，则点C的坐标为________．17．【2020·包头】如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE＝56°，则∠CEF＝________．(第17题)(第18题)(第19题)(第20题)18．【中考·安顺】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D 是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．19．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC，BD，CE平分∠ACD交BD 于点E，则DE＝________.20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于点G.给出下列结论：①BE＝DF；②∠DAF＝15°；③AC垂直平分EF；④BE＋DF＝EF；⑤S△CEF .＝2S△ABE其中正确结论的序号为__________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．【教材P9习题T1改编】【2021·菏泽】如图，在菱形ABCD中，点M、N分别在AB、CB上，且∠ADM＝∠CDN，求证：BM＝BN.22．【2021·云南】如图，四边形ABCD是矩形，E、F分别是线段AD、BC上的点，点O是EF与BD的交点，若将△BED沿直线BD折叠，则点E与点F 重合．(1)求证：四边形BEDF是菱形；(2)若ED＝2AE，AB·AD＝33，求EF·BD的值．23．【2021·贵阳】如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N.(1)求证：△ABN≌△MAD；(2)若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．24．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE＝2，AE＝3BE，P是AC上一动点，连接PE，PB.(1)在AC上找一点P，使△BPE的周长最小(作图说明)；(2)求出△BPE周长的最小值．25．【教材P19习题T3变式】【2020·贺州】如图，已知在△ABC中，AB＝AC，AD 是BC边上的中线，E，G分别是AC，DC的中点，F为DE延长线上的点，∠FCA＝∠CEG.(1)求证：AD∥CF；(2)求证：四边形ADCF是矩形．26．在正方形ABCD的边AB上任取一点E，作EF⊥AB交BD于点F，取FD 的中点G，连接EG，CG，如图①，易证EG＝CG且EG⊥CG.(1)将△BEF绕点B逆时针旋转90°，如图②，则线段EG和CG有怎样的数量关系和位置关系？请直接写出你的猜想．(2)将△BEF绕点B逆时针旋转180°，如图③，则线段EG和CG又有怎样的数量关系和位置关系？请写出你的猜想，并加以证明．答案一、1.C 2.B 3.D 4.B 5.C 6.B7．D8.C9.A10.C 点思路：先根据勾股定理求出AE的长，进而可得出OE的长，在Rt△DOE中，由DE＝CD及勾股定理可求得OD长，进而得出D点坐标．二、11.8 cm12.20 cm13.120°14．AE＝AF(答案不唯一)15.501316.(4，4)17．22°18.12519.2－120.①②③⑤三、21.证明：∵四边形ABCD为菱形，∴AD＝CD＝AB＝BC，∠A＝∠C.∴△AMD≌△CND(ASA)．∴AM＝CN.∴AB－AM＝BC－CN，即BM＝BN.22．(1)证明：∵△BED沿直线BD折叠，点E与点F重合，∴BE＝BF，DE＝DF，∠EDB＝∠FDB.∵四边形ABCD是矩形，且E、F分别是线段AD、BC上的点，∴DE∥BF.∴∠EDB＝∠FBD.∴∠FDB＝∠FBD.∴BF＝DF.∴BE＝BF＝DF＝DE.∴四边形BEDF是菱形．(2)解：∵ED＝2AE，E是线段AD上的点，∴ED＝23AD.∵四边形BEDF是菱形，四边形ABCD是矩形，∴S菱形BEDF ＝12EF·BD＝ED·AB＝23AD·AB.∵AB·AD＝3 3.∴12EF·BD＝23×33，∴EF·BD＝4 3.23．(1)证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD.∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°.∴△ABN≌△MAD(AAS)．(2)解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD. ∵AD＝2，∴BN＝2.又∵AN＝4，∴在Rt△ABN中，由勾股定理，得AB＝2 5.∴S矩形ABCD＝2×25＝4 5.又∵S△ABN ＝S△MAD＝12×2×4＝4.∴S四边形BCMN ＝S矩形ABCD－S△ABN－S△MAD＝45－8.24．解：(1)如图，连接DE，交AC于点P′，连接BP′，则此时P′B＋P′E的值最小，即当点P在点P′处时，△BPE的周长最小．(2)∵四边形ABCD是正方形，∴B，D关于AC对称．∴P′B＝P′D.∴P′B＋P′E＝DE.∵BE＝2，AE＝3BE，∴AE＝6.∴AD＝AB＝AE＋BE＝8.∴DE＝62＋82＝10.∴PB＋PE的最小值是10.∴△BPE周长的最小值为10＋BE＝10＋2＝12.25．证明：(1)∵E，G分别是AC，DC的中点，∴EG是△ACD的中位线．∴EG∥AD.∵∠FCA＝∠CEG，∴EG∥CF.∴AD∥CF.(2)由(1)得AD∥CF，∴∠DAE＝∠FCE，∠ADE＝∠CFE.∵E是AC的中点，∴AE＝CE.∴△ADE≌△CFE(AAS)．∴AD＝CF.∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.∴平行四边形ADCF是矩形．26. 点方法：本题综合考查了旋转的性质及全等三角形的判定和性质，如何构造全等的三角形是解答本题的关键．解：(1)EG＝CG，EG⊥CG.(2)EG＝CG，EG⊥CG.证明如下：延长FE交DC的延长线于点M，连接MG，如图所示．易得∠AEM＝90°，∠EBC＝90°，∠BCM＝90°，∴四边形BEMC是矩形．∴BE＝CM，BC＝EM，∠EMC＝90°.易知∠ABD＝45°，∴∠EBF＝45°.又∵∠BEF＝90°，∴△BEF为等腰直角三角形．∴BE＝EF，∠F＝45°.∴EF＝CM.∵∠EMC＝90°，FG＝DG，∴MG＝12FD＝FG.∵BC＝EM，BC＝CD，∴EM＝CD. ∵EF＝CM，∴FM＝DM.又∵FG＝DG，∴∠CMG＝12∠EMC＝45°.∴∠F＝∠CMG.∴△GFE≌△GMC(SAS)．∴EG＝CG，∠FGE＝∠MGC.∵MF＝MD，FG＝DG，∴MG⊥FD. ∴∠FGE＋∠EGM＝90°.∴∠MGC＋∠EGM＝90°，即∠EGC＝90°.∴EG⊥CG.第二章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．下列式子是一元二次方程的是()A．3x2－6x＋2 B．x2－y＋1＝0 C．x2＝0 D.1x2＋x＝22．若方程2x2＋mx＝4x＋2不含x的一次项，则m＝()A．1 B．2 C．3 D．43．【教材P47例题(1)变式】一元二次方程x2－2x＝0的根是() A．x1＝0，x2＝－2 B．x1＝1，x2＝2C．x1＝1，x2＝－2 D．x1＝0，x2＝24．用配方法解方程x2－6x－8＝0时，配方结果正确的是()A．(x－3)2＝17 B．(x－3)2＝14 C．(x－6)2＝44 D．(x－3)2＝1 5．已知关于x的一元二次方程x2－4x＋c＝0有两个相等的实数根，则c的值为()A．4 B．2 C．1 D．－46．关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0的两实根分别为x1，x2，且x1＋3x2＝5，则m的值为()A.74 B.75 C.76D．07．扬帆中学有一块长30 m、宽20 m的矩形空地，计划在这块空地上划出四分之一的区域种花，小禹同学的设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为x m，则可列方程为()A．(30－x)(20－x)＝34×20×30B．(30－2x)(20－x)＝14×20×30C．30x＋2×20x＝14×20×30D．(30－2x)(20－x)＝34×20×308．【教材P51习题T4改编】已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则△ABC的周长为()A．7 B．10 C．11 D．10或11 9．一个菱形的边长是方程x2－8x＋15＝0的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为()A．48 B．24 C．24或40 D．48或80 10．若关于x的一元二次方程mx2－2x－1＝0无实数根，则一次函数y＝mx＋m 的图象不经过．．．()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限二、填空题(每题3分，共30分)11．若关于x的方程(m－1)x|m＋1|＋3x－2＝0是一元二次方程，则m的值为________．12．【教材P32随堂练习T2变式】一元二次方程(3x－1)(2x＋4)＝1化成一般形式为__________________，其中二次项系数为________，一次项系数为________．13．已知－3是关于x的一元二次方程ax2－2x＋3＝0的一个解，则此方程的另一个解为______．14．若关于x的一元二次方程x2＋(2k－1)x＋(k2－1)＝0无实数根，则k的取值范围是_________________________________________________________________ _______．15．定义运算“★”：对于任意实数a，b，都有a★b＝a2－3a＋b，如3★5＝32－3×3＋5.若x★2＝6，则实数x的值是____________．16．已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋(2m＋3)x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足1α＋1β＝－1，则m的值为________．17．有一个两位数，它的十位上的数字比个位上的数字小2，十位上的数字与个位上的数字的积的3倍刚好等于这个两位数，则这个两位数是________．18．已知关于x的一元二次方程x2＋kx－2＝0的一个解与方程x＋2x－1＝4的解相同，则k＝________．19．【易错题】【2021·菏泽改编】关于x的方程(k－1)2x2＋(2k＋1)x＋1＝0有实数根，则k的取值范围是________．20．如果关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有______(填序号)．①方程x2－x－2＝0是倍根方程；②若(x－2)(mx＋n)＝0是倍根方程：则4m2＋5mn＋n2＝0；③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2＋3x＋q＝0是倍根方程；④若方程以ax2＋bx＋c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac.三、解答题(21题16分，26题12分，其余每题8分，共60分)21．用适当的方法解下列方程：(1)4(x－1)2－9＝0；(2)(x＋2)2－4(x－3)2＝0；(3)x2－3x－94＝0; (4)y2－2y＝5.22．已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为倒数？23．【教材P56复习题T7变式】某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2，3，4月每个月生产成本的下降率都相同．(1)求每个月生产成本的下降率；(2)请你预测4月份该公司的生产成本．24．已知关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根x1，x2.(1)若a为正整数，求a的值；(2)若x1，x2满足x21＋x22－x1x2＝16，求a的值．25．【教材P57复习题T12变式】先阅读下面的材料，再解答问题．解方程：x4－5x2＋4＝0.这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2－5y＋4＝0①，解得y1＝1，y2＝4.当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2.∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝－1，x3＝2，x4＝－2.(1)解方程(x2＋2x)2－4(x2＋2x)－5＝0.则x2＋2x＝________；(2)若(a2＋b2)(a2＋b2－1)＝20，求a2＋b2＝________；(3)若实数x满足x2＋1x2＋2⎝⎛⎭⎪⎫x＋1x－1＝0，求x＋1x.26．某文明小区有50平方米和80平方米两种户型的住宅，50平方米住宅套数是80平方米住宅套数的2倍．物管公司每月底按每平方米2元收取当月物管费，该小区全部住宅都入住且每户均按时全额缴纳物管费．(1)该小区每月可收取物管费90 000元，该小区共有多少套80平方米的住宅？(2)为建设“资源节约型社会”，该小区物管公司5月初推出活动一：“垃圾分类送礼物”，50平方米和80平方米的住户分别有40%和20%参加了此次活动．为提高大家的积极性，6月份准备把活动一升级为活动二：“垃圾分类抵扣物管费”，同时终止活动一．经调查与测算，参加活动一的住户会全部参加活动二，参加活动二的住户会大幅增加，这样，6月份参加活动的50平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加2a%，每户物管费将会减少310a%；6月份参加活动的80平方米的总户数在5月份参加活动的同户型户数的基础上将增加6a%，每户物管费将会减少14a%.这样，参加活动的这部分住户6月份总共缴纳的物管费比他们按原方式共缴纳的物管费将减少5 18a%，求a的值．答案一、1.C 2.D 3.D 4.A 5.A 6.A 7．D 8.D9.B 点方法：利用因式分解法解方程得到x 1＝5，x 2＝3，利用菱形的对角线互相垂直平分和三角形三边的关系得到菱形的边长为5，利有勾股定理计算出菱形的另一条对角线为6，然后计算菱形的面积． 10．A二、11.－3 12.6x 2＋10x －5＝0；6；10 13．1 14.k ＞54 15.4或－1 16．3 17.2418．－1 点拨：解x ＋2x －1＝4，得x ＝2.经检验，x ＝2是分式方程的解． ∴x ＝2是x 2＋kx －2＝0的一个解． ∴4＋2k －2＝0，解得k ＝－1. 19．k ≥14 20.②③④三、21.解：(1)原方程变形为(x －1)2＝94，开平方，得x －1＝±32.∴x 1＝52，x 2＝－12.(2)原方程变形为(x ＋2)2－[2(x －3)]2＝0，因式分解得[(x ＋2)＋2(x －3)]·[(x ＋2)－2(x －3)]＝0，即(3x －4)(－x ＋8)＝0， ∴3x －4＝0或－x ＋8＝0. ∴x 1＝43，x 2＝8.(3)方程中a ＝1，b ＝－3，c ＝－94. ∴Δ＝b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－94＝12. ∴x ＝3±122，即x 1＝3＋232＝32 3，x 2＝3－232＝－12 3. (4)配方，得y 2－2y ＋1＝5＋1，即y2－2y＋1＝6，则(y－1)2＝6.∴y－1＝±6.∴y1＝1＋6，y2＝1－ 6.22. 点方法：如果说一元二次方程有实数根，那么应包括有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根两种情况，此时b2－4ac≥0，切勿丢掉等号．(1)证明：在方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0.∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)解：设方程的两根分别为m，n，则mn＝t－2.∵方程的两个根互为倒数，∴mn＝t－2＝1，解得t＝3.∴当t＝3时，方程的两个根互为倒数．23．解：(1)设每个月生产成本的下降率为x.根据题意，得400(1－x)2＝361，解得x1＝0.05＝5%，x2＝1.95(不合题意，舍去)．答：每个月生产成本的下降率为5%.(2)361×(1－5%)＝342.95(万元)．答：4月份该公司的生产成本约为342.95万元．24．解：(1)∵关于x的一元二次方程x2－2(a－1)x＋a2－a－2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＝[－2(a－1)]2－4(a2－a－2)>0，解得a<3.∵a为正整数，∴a＝1或2.(2)由根与系数的关系知x1＋x2＝2(a－1)，x1x2＝a2－a－2.∵x21＋x22－x1x2＝16，∴(x1＋x2)2－3x1x2＝16.∴[2(a－1)]2－3(a2－a－2)＝16，解得a1＝－1，a2＝6.∵a <3， ∴a ＝－1.25．解：(1)5或－1 (2)5(3)x 2＋1x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＝0，⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＝0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －3＝0， ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －1＝0， x ＋1x ＋3＝0或x ＋1x －1＝0，解得x ＋1x ＝－3或x ＋1x ＝1，∵x ＋1x ＝1，∴x 2－x ＋1＝0， Δ＝(－1)2－4×1×1＝－3＜0， 此时x 不存在，∴x ＋1x ＝－3.26．解：(1)设该小区共有x 套80平方米的住宅，则50平方米的住宅有2x 套．由题意得2(50×2x ＋80x )＝90 000，解得x ＝250. 答：该小区共有250套80平方米的住宅． (2)参加活动一：50平方米的住户每户所缴纳的物管费为100元，有250×2×40%＝200(户)参加；80平方米的住户每户所缴纳的物管费为160元，有250×20%＝50(户)参加． 参加活动二：50平方米的住户每户所缴纳的物管费为100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－310a %元，有200(1＋2a %)户参加；80平方米的住户每户所缴纳的物管费为160⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a %元，有50(1＋6a %)户参加．由题意得100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－310a %·200(1＋2a %)＋160⎝ ⎛⎭⎪⎫1－14a %·50(1＋6a %)＝[200(1＋2a %)×100＋50(1＋6a %)×160](1－518a %)． 令t ＝a %，化简得t (2t －1)＝0， 解得t 1＝0(舍去)，t 2＝12.∴a ＝50.第三章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．【2021·齐齐哈尔】五张不透明的卡片，正面分别写有实数－1，2，115，9，5.060 060 006 000 06…(相邻两个6之间0的个数依次加1)，这五张卡片除正面的数不同外其余都相同，将它们背面朝上混合均匀后任取一张卡片，取到的卡片正面的数是无理数的概率是( ) A.15B.25C.35D.452．从1，2，－3三个数中，随机抽取两个数相乘，积是正数的概率是( )A ．0B.13C.23D ．13．在一个不透明的袋中装着3个红球和1个黄球，它们只有颜色上的区别，随机从袋中摸出2个球，两球恰好是一个黄球和一个红球的概率为( ) A.12B.13C.14D.164．【2021·临沂】现有4盒同一品牌的牛奶，其中2盒已过期，随机抽取2盒，至少有一盒过期的概率是( ) A.12B.23C.34D.565．【教材P 70随堂练习T 2改编】在一个不透明的盒中有20个除颜色外均相同的球，每次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重复摸球试验后，发现摸到红球的频率稳定于0.4，由此可估计盒中红球的个数为( ) A ．4个 B ．6个 C ．8个D ．12个6．【教材P73复习题T6改编】【2020·长沙】一个不透明袋子中装有1个红球、2个绿球，除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，然后放回摇匀，再随机摸出一个．下列说法中，错误．．的是()A．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球一定是绿球B．第一次摸出的球是红球，第二次摸出的球不一定是红球C．第一次摸出的球是红球的概率是1 3D．两次摸出的球都是红球的概率是1 97．【2021·兰州】如图，将一个棱长为3的正方体表面涂上颜色，再把它分割成棱长为1的小正方体，将它们全部放入一个不透明盒子中摇匀，随机取出一个小正方体，有三个面被涂色的概率为()A.2027 B.827C.29 D.4278．用1，2，3三个数字随机生成点的坐标，如果每个点出现的可能性相等，那么从中任意取一点，这个点在函数y＝x＋1的图象上的概率是()A.19 B.12 C.13 D.299．【教材P72复习题T2改编】【2021·常州】以下转盘分别被分成2个、4个、5个、6个面积相等的扇形，任意转动这4个转盘各1次．已知某转盘停止转动时，指针落在阴影区域的概率是13，则对应的转盘是()10．【2022·云南大学附属中学月考】甲、乙是两个不透明的纸箱，甲中有三张分别标有数14，12，1的卡片，乙中有三张分别标有数1，2，3的卡片，卡片除所标数外无其他差别，现制定一个游戏规则：从甲中任取一张卡片，将其数记为a，从乙中任取一张卡片，将其数记为b.若a，b能使关于x的一元二次方程ax2＋bx＋1＝0有两个不相等的实数根，则甲获胜；否则乙获胜，则乙获胜的概率为()A.23 B.59 C.49 D.13二、填空题(每题3分，共30分)11．【2021·天津】不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球、4个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是__________．12．从某玉米种子中抽取6批，在同一条件下进行发芽试验，有关数据如下：种子粒数100400800 1 000 2 000 5 000发芽种子粒数853******** 1 604 4 005发芽频率0.8500.7950.8150.7930.8020.801 根据以上数据可以估计，该玉米种子发芽的概率约为________(精确到0.01)．13．【2020·苏州】一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是________．(第13题)(第15题)14．【教材P64习题T4变式】现有一枚质地均匀的正方体骰子，连续投掷两次骰子，把朝上一面的点数相加，若和大于5，则小刚得1分，否则小明得1分，该游戏规则对________更有利一些．15．在如图所示的电路图中，随机闭合开关S1，S2，S3中的两个，能让灯泡L1发光的概率是________．16．在x2□2xy□y2的□中，分别填上“＋”或“－”，在所得的代数式中，能构成完全平方式的概率是________．17．【2021·贵阳】贵阳市2021年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，并随机抽签决定分组，有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同一组的概率是______．18．如图，一只蚂蚁从A点出发到D，E，F处寻觅食物．假定蚂蚁在每个岔路口都可能随机选择一条向左下或右下的路径(比如A岔路口可以向左下到达B处，也可以向右下到达C处，其中A，B，C都是岔路口)，那么蚂蚁从A 出发到达E处的概率是________．19．【教材P70随堂练习T2变式】袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将袋中的球搅匀，从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回袋中，不断重复这一过程．摸了100次后，发现有30次摸到红球，估计这个袋中红球约有________个．20．一个盒子里有完全相同的三个小球，小球上分别标有数－2，1，4，随机摸出一个小球(不放回)，将该小球上的数记为p，再随机摸出另一个小球，将该小球上的数记为q，则所得p，q满足关于x的方程x2＋px＋q＝0有实数根的概率是________．三、解答题(21题10分，25题14分，其余每题12分，共60分)21．【教材P73复习题T6变式】【2021·南京】不透明的袋子中装有2个红球、1个白球，这些球除颜色外无其他差别．(1)从袋子中随机摸出1个球，放回并摇匀，再随机摸出1个球．求两次摸出的球都是红球的概率；(2)从袋子中随机摸出1个球，如果是红球，不放回再随机摸出1个球；如果是白球，放回并摇匀，再随机摸出1个球，再次摸出的球都是白球的概率是________．22．某射击运动员在相同条件下射击160次，其成绩记录如下：射击次数20406080100120140160 “射中9环以上”的次数1533637997111130 “射中9环以上”的频率0.750.830.800.790.790.790.81 (1)根据上表中的信息将两个空格的数据补全(“射中9环以上”的次数为整数，频率精确到0.01)；(2)根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时，“射中9环以上”的概率(精确到0.1)，并简述理由．23．【教材P73复习题T8改编】如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有数－1，1，2，指针位置固定，转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数(若指针恰好指在等分线上，当作指向右边的扇形).(1)若小静转动转盘一次，求得到负数的概率．(2)小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“英雄所见略同”．用列表法(或画树状图法)求两人“英雄所见略同”的概率．24．有四张正面分别标有数2，1，－3，－4的不透明卡片，它们除所标数外其余全部相同，现将它们背面朝上，洗匀后从四张卡片中随机地摸取一张不放回，将该卡片上的数记为m，再随机地摸取一张，将该卡片上的数记为n.(1)请画出树状图，并写出(m，n)所有可能的结果；(2)求所选出的m，n能使一次函数y＝mx＋n的图象经过第二、三、四象限的概率．25．【2021·河北】某博物馆展厅的俯视示意图如图①所示，嘉淇进入展厅后开始自由参观，每走到一个十字道口，她自己可能直行，也可能向左转或向右转，且这三种可能性均相同．(1)求嘉淇走到十字道口A向北走的概率；(2)补全图②的树状图，并分析嘉淇经过两个十字道口后向哪个方向参观的概率较大．答案一、1.B 2.B 3.A 4.D 5.C 6.A7.B点规律：直接根据题意得出恰有三个面被涂色的有8个，再利用概率公式求出答案．8．D9.D10.C二、11.3712.0.8013.3814.小刚15.1316.1217.1318.1219.320.23三、21.解：(1)根据题意，列表如下.从表中可以看出，一共有9种等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4种．∴P(两次都摸到红球)＝4 9.(2)1 922. 点技巧：大量重复试验得出的频率来估计概率，随着试验次数的增加，表示频率的数据集中趋势指向的那个数值就是概率．解：(1)48；0.81(2)“射中9环以上”的概率约是0.8.理由：从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近，所以这名运动员射击一次时，“射中9环以上”的概率约是0.8.23．解：(1)P(得到负数)＝1 3.(2)列表如下：1 (1，－1) (1，1) (1，2)2 (2，－1) (2，1) (2，2)由表可知共有9种等可能的结果，两人得到的数相同的结果有3种，故P(两人“英雄所见略同”)＝39＝13.24. 点方法：此题为函数与概率的综合，画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．解：(1)画树状图如图所示．则(m，n)所有可能的结果为(2，1)，(2，－3)，(2，－4)，(1，2)，(1，－3)，(1，－4)，(－3，2)，(－3，1)，(－3，－4)，(－4，2)，(－4，1)，(－4，－3)．(2)∵所选出的m，n能使一次函数y＝mx＋n的图象经过第二、三、四象限的有(－3，－4)，(－4，－3)，∴所选出的m，n能使一次函数y＝mx＋n的图象经过第二、三、四象限的概率为212＝16.25．解：(1)∵当嘉淇走到十字道口A时，有直行、向左转、向右转3种等可能结果，只有向右转是向北走，∴P(嘉淇向北走)＝1 3.(2)如图，树状图：所有等可能结果共有9种，其中朝向：向东2种，向西3种，向南2种，向北2种．∴P(向西)＝39＝13＞P(向东)＝P(向南)＝P(向北)＝29.∴嘉淇向西参观的概率较大．第四章达标检测卷一、选择题(每题3分，共30分)1．【教材P79随堂练习T3改编】下列各组中的四条线段成比例的是() A．a＝2，b＝3，c＝2，d＝ 3B．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10C．a＝2，b＝5，c＝23，d＝15D．a＝2，b＝3，c＝4，d＝12．【2020·营口】如图，在△ABC中，DE∥AB，且CDBD＝32，则CECA的值为()A.35 B.23 C.45 D.32 (第2题)(第4题)(第5题)(第6题)3．下列说法正确的是()A．边都对应成比例的多边形相似B．角都对应相等的多边形相似C．边数相同的正多边形相似D．矩形都相似4．【教材P112习题T7改编】【2021·罗湖区模拟】如图，在△ABC中，DE∥BC，AD AB＝23，记△ADE的面积为S1，四边形DBCE的面积为S2，则S1S2的值是()A.45 B.59 C.23 D.495．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为12，∠OCD＝90°，CO＝CD.若点B的坐标为(1，0)，则点C的坐标为() A．(1，2) B．(1，1) C．(2，2) D．(2，1) 6．如图，方格纸中△ABC和△EPD的顶点均在格点上，若△ABC和△EPD相似，则点P所在格点为()A．P1B．P2C．P3D．P47．【2021·临沂】如图，点A，B都在格点上，若BC＝2133，则AC的长为()A.13B.4133C．213 D．313(第7题)(第8题)(第9题)(第10题) 8．【2020·益阳】如图，在矩形ABCD中，E是DC上的一点，△ABE是等边三角形，AC交BE于点F，则下列结论不成立．．．的是()A．∠DAE＝30°B．∠BAC＝45° C.EFFB＝12 D.ADAB＝329．如图，AB是斜靠在墙上的一个梯子，梯脚B距墙1.4 m，梯子上点D距墙1.2 m，BD长0.5 m，则梯子的长为()A．3.5 m B．3.85 m C．4 m D．4.2 m 10．如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，给出下列结论：①DEBC＝12；②S△DOES△COB＝12；③ADAB＝OEOB；④S△DOES△ADE＝13.其中正确的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题(每题3分，共30分)11．【教材P80随堂练习变式】【2020·娄底】若ba＝dc＝12(a≠c)，则b－da－c＝________．12．相邻两边长的比值是黄金比的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感．现在想要制作一张“黄金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于20 cm，那么与其相邻的一条边的长等于__________．13．一个多边形图案在一个有放大功能的复印机上复印出来，它的一条边的长度由原来的1 cm变成了2 cm，那么它的面积会由原来的6 cm2变为________．14．如图，点G是△ABC的重心，AD GD＝31，GH⊥BC，垂足为H，若GH＝3，则点A到BC的距离为________．(第14题)(第15题)(第16题)(第17题)(第18题) 15．【教材P93习题T3改编】如图，在△ABC中，AB＞AC，点D在AB上(点D 与A，B不重合)，若再增加一个条件就能使△ACD∽△ABC，则这个条件是____________(写出一个条件即可)．16．【2021·烟台】《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法．如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线BD与井口的直径AC交于点E，如果测得AB＝1 m，AC＝1.6 m，AE＝0.4 m，那么CD为______ m.17．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若AB＝8，BD＝3，BF＝4，则FC的长为________．18．【教材P117随堂练习改编】如图，在平面直角坐标系中，每个小方格的边长均为1，△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是________．19．【2021·内江】如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E.交BC于点F，则线段EF的长为________．20．如图，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝3，在线段AB上取一点D，作DE⊥AB交AC于点E，将△ADE沿DE折叠．设点A落在线段BD 上的对应点为A1，DA1的中点为F，若△FEA1∽△FBE，则AD＝________．三、解答题(21题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．【教材P81习题T1改编】【2021·奉贤区校级期中】已知a∶b∶c＝3∶4∶5.(1)求代数式3a－b＋c2a＋3b－c的值；(2)如果3a－b＋c＝10，求a、b、c的值．22．【2021·南京】如图，AC与BD交于点O，OA＝OD，∠ABO＝∠DCO，E为BC延长线上一点，过点E作EF∥CD，交BD的延长线于点F.(1)求证：△AOB≌△DOC；(2)若AB＝2，BC＝3，CE＝1，求EF的长．23．如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．(1)画出△ABC向上平移6个单位长度得到的△A1B1C1；(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的相似比为21，并直接写出点A2的坐标．24．【教材P102习题T4改编】【2020·枣庄一模】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，翻折∠C，使点C在斜边AB上的某一点D处，折痕为EF(点E，F分别在边AC，BC上)．(1)若△CEF与△ABC相似．①当AC＝BC＝2时，AD的长为________；②当AC＝3，BC＝4时，AD的长为________；(2)当点D是AB的中点时，△CEF与△ABC相似吗？说明理由．25．如图，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场上的旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶端A在同一直线上．已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝20 m ，求旗杆的高度．26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D为CB上的一个动点(点D不与点B重合)，过点D作DO⊥AB，垂足为O，点B′在AB上，且与点B关于直线DO对称，连接DB′，AD.(1)求证：△DOB∽△ACB；(2)若AD平分∠CAB，求线段BD的长；。
2022秋北师广东专版九年级数学上册 点训 第1章 习题课件
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定 第2课时 菱形的判定
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1 见习题 2 D
3D
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5 见习题
6B
7 见习题
8 见习题
9 见习题
10 见习题
11 见习题 12 见习题
新知对点练
1．对角线__互__相_垂__直_______的平行四边形是菱形； 对角线互相垂直平分的__四__边_形_____是菱形．
B C．∠BAD＝90° D．AC＝BD
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7．【教材P7习题T1改编】【2021·淮安】已知：如图，在 ▱ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且BE平分
∠ABC，EF∥AB.求证：四边形ABFE是菱形． 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC.
又∵EF∥AB，∴四边形ABFE是平行四边形．
北师 九年级上
第一章 特殊平行四边形
1 菱形的性质与判定 第1课时 菱形及其性质
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1 见习题 2 B 6 见习题 7 B 11 见习题 12 D
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5C
8C
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13 见习题
14 见习题
15 见习题
新知对点练
1．有一组__邻__边____相等的平行四边形叫做菱形，因此有：平 行四边形＋__邻__边_相__等____⇔菱形．
证明：∵D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，
1 ∴AF＝ AC2，DE为△ABC的中位线． ∴DE∥AC，且DE＝ AC＝AF1. ∴四边形ADEF为平行四边形．2
(2)加上条件____后，能使得四边形ADEF为菱形，请从①∠BAC＝90°；②AE平 分∠BAC；③AB＝AC这三个条件中选择一个条件填空(填序号)，并加以证 明．
北师大版九年级数学上典中点第一章整合提升专训三
专训三：特殊平行四边形中的最值问题名师点金：特殊平行四边形中的最值问题，一般都要用它们的轴对称的性质把几条线段转移到一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题．矩形中的最值问题1．如图，∠MON＝90°，矩形ABCD的顶点A，B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB＝2，BC＝1，在运动过程中，求点D到点O的最大距离．(第1题)菱形中的最值问题2．如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上任意一点，求PK＋QK的最小值．(第2题)正方形中的最值问题(第3题)3．如图，正方形ABCD的边长为2，点E为边BC的中点，点P在对角线BD上移动，则PE＋PC的最小值是________．4．如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三角形，M为对角线BD(不含B点)上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN，AM，CM.(1)求证：△AMB≌△ENB.(2)①当M点在何处时，AM＋CM的值最小？②当M点在何处时，AM＋BM＋CM的值最小？并说明理由．(第4题)专训三(第1题)1．解：如图，取AB 的中点E ，连接OE ，DE ，OD ，则OE ＝12AB ＝1，AE ＝1，因为∠DAE ＝90°，所以DE ＝2，当D ，E ，O 三点共线时，OD ＝OE ＋DE ，否则OD<OE ＋DE ，所以OD 长的最大值是2＋1.即点D 到点O 的最大距离为2＋1.点拨：在这个问题中，关键是运用三角形三边的不等关系确定点D 到点O 的距离何时最大，具体作法是取AB 的中点E ，连接OE ，DE ，OD 后，通过分情况讨论得出OD≤OE ＋DE ，所以OD 长的最大值等于OE ＋DE.(第2题)2．解：如图，过点K 作PK ⊥BC 于点P ，作点P 关于直线BD 的对称点P 1，所以PK ＝P 1K ，直线P 1K 与直线CD 交于点Q ，则P 1Q 的长即为PK ＋QK 的最小值．因为P 1K ⊥AB ，AB ∥CD ，所以QK ⊥CD ，过点D 作DM ⊥BC 交BC 的延长线于点M ，过点Q 作QE ∥BC 交AB 于点E.在△QEP 1与△DCM 中，易得∠QP 1E ＝∠DMC ＝90°，∠P 1EQ＝∠DCM ＝60°，EQ ＝CD ，所以△QEP 1≌△DCM.所以P 1Q ＝DM.由∠CDM ＝30°，可得CM ＝12CD ， 因为BC ＝CD ＝AB ＝2，所以CM ＝1，在Rt △CDM 中，由勾股定理，得DM ＝3，所以PK ＋QK 的最小值为 3.点拨：本题以菱形为背景，利用轴对称求最小值问题．此类问题的求解一般先作其中一点关于对称轴的对称点，再结合相关知识解决．(第3题) 3.5 点拨：如图，连接AE ，AP ，∵点C 关于直线BD 的对称点为点A ，∴PE ＋PC ＝PE ＋AP.根据两点之间线段最短可得AE 的长就是AP ＋PE 的最小值，∵正方形ABCD 的边长为2，点E 是BC 边的中点，∴BE ＝1.∴AE ＝12＋22＝ 5. 故答案为 5.4．(1)证明：∵△ABE 是等边三角形，∴BA ＝BE ，∠ABE ＝60°.∵∠MBN ＝60°，∴∠MBN －∠ABN ＝∠ABE －∠ABN.即∠MBA ＝∠NBE.又∵MB ＝NB ，∴△AMB ≌△ENB.(2)解：①当M 点落在BD 的中点时，A ，M ，C 三点共线，此时AM ＋CM 的值最小． ②当M 点位于BD 与CE 的交点处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小．理由如下：连接CE ，MN ，由(1)知，△AMB ≌△ENB ，∴AM ＝EN.∵∠MBN ＝60°，BM ＝BN ，∴△BMN为等边三角形．∴BM＝MN，∴AM＋BM＋CM＝EN＋MN＋CM.根据“两点之间线段最短”，得当M点位于BD与CE的交点处时，AM＋BM＋CM的值最小，即等于EC的长．。
阶段核心归类专训概率与其他知识的综合应用类型北师大版九年级数学上册典中点习题PPT课件
的方法，求这个一次 图或列表法，求点M落在四边形ABCD所围
第三章 概率的进一步认识
函
数的图象经
过第一、二、四象限的
解：30÷15%＝200(名)．故本次随机调查了200名学生．
概率． 2．【2018·扬州】4张相同的卡片上分别写有数－1，－3，4，6，将卡片的背面朝上，并洗匀．
成的部分内(含边界)的概率．
4．【2019·黄冈】某校开设了“书画、器乐、戏曲、棋类”四 大类兴趣课程，为了解全校学生对每类课程的选择情况， 随机抽取了若干名学生进行调查(每人必选且只能选一类)， 现将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图：
(1)本次随机调查了多少名学生？ 解：30÷15%＝200(名)．故本次随机调查了200名学生．
上 的 数 记 作 一 次 函 数 y ＝ kx ＋ b 中 的 b. 利 用 画 树 状 图 或 列 表 小球上分别标有数字2，3，4，先从甲口袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙口袋中摸出一个小球，记下数字为n.
(1)请用列表或画树状图的方法表示出所有(m，n)可能的结果；
图或列表法，求点M落在四边形ABCD所围
解：画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，其中 k＜0，b＞0 的情况有 4 种，所以这个一次函数的图象经过第一、二、四象 限的概率为142＝13.
3．【2019·孝感】一个不透明的袋子中装有四个小球，上
面分别标有数－2，－1，0，1，它们除了数不同外，
其他完全相同．
(1)随机从袋子中摸出一个小球，摸出的小球上面标的数为 1
的人数； 图或列表法，求点M落在四边形ABCD所围
(3)若该校共有1 200名学生，请估计全校学生选择“戏曲”类的人数；
概率与其他知识的综合应用类型
2022-2023学年北师大版九年级数学上册第一次阶段性(1-1-3-2)综合测试题(附答案)
2022-2023学年北师大版九年级数学上册第一次阶段性（1.1-3.2）综合测试题（附答案）一、选择题（30分）1．关于x的一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数为（）A．1B．4C．﹣3D．32．一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有71次摸到红球．请你估计这个口袋中白球的数量为（）个．A．29B．30C．3D．73．下列命题错误的是（）A．对角线互相平分的四边形是平行四边形B．两组邻边分别相等的四边形是菱形C．矩形的四个内角均为直角D．正方形的两条对角线互相垂直且相等4．一元二次方程x2﹣8x﹣1＝0配方后可变形为（）A．（x+4）2＝17B．（x﹣4）2＝17C．（x+4）2＝15D．（x﹣4）2＝15 5．下列说法正确的是（）A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是B．某种彩票中奖的概率是，那么买10000张这种彩票一定会中奖C．掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率与“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率相同D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率6．若顺次连接某四边形的四边中点得到一个矩形，则原四边形一定是（）A．任意四边形B．对角线相等的四边形C．平行四边形D．对角线互相垂直的四边形7．已知关于x的一元二次方程x2+bx﹣2＝0，则下列关于该方程根的判断，正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．实数根的个数与实数b的取值有关8．要组织一次足球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．计划安排28场比赛，应邀请多少个队参赛（）A．6B．7C．8D．99．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E，F．则PE+PF的值为（）A．2.5B．3C．2.4D．4.810．如图，在矩形ABCD中，点F在AD上，点E在BC上，把这个矩形沿EF折叠后，使点D恰好落在BC边上的G点处，若矩形面积为4且∠AFG＝60°，GE＝2BG，则折痕EF的长为（）A．1B．C．2D．二、填空题（15分）11．菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别为6cm，8cm，则这个菱形的周长是cm．12．若从﹣2，0，1这三个数中任取两个数，其中一个记为a，另一个记为b，则点A（a，b）恰好落在直线y＝﹣x﹣1上的概率是．13．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，那么m的取值范围是．14．已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O．E、F分别是边AD、CD 上的点，若AE＝4cm，CF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为cm．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝8，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A'处，如果A'恰在矩形的某条对称轴上，则AE的长为．三、解答题（75分）16．解方程：（1）（x﹣1）2＝2x（1﹣x）．（2）3x2+5x+1＝0．17．某市有A，B，C，D，E五个景区很受游客喜爱．对某小区居民在暑假期间去以上五个景区旅游（只选一个景区）的意向做了一次随机调查统计，并根据这个统计结果制作了两幅不完整的统计图．（1）该小区居民在这次随机调查中被调查的人数是人，m＝；（2）补全条形统计图，若该小区有居民1500人，试估计去C景区旅游的居民约有多少人？（3）甲、乙两人暑假打算游玩，甲从B，C两个景点中任意选择一个游玩，乙从B，C，E三个景点中任意选择一个游玩，用列表法或树状图法求甲、乙恰好游玩同一景点的概率．18．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点E、F．求证：四边形AFCE是菱形．19．小明和小亮用下面两个可以自由转动的转盘做“配紫色”游戏（红色和蓝色在一起能配成紫色），同时随机转动这两个转盘，若配成紫色，则小明胜，否则小亮胜，这个游戏对双方公平吗？请列表格画树状图说明理由．20．如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC中点，F是AC中点，AN是△ABC的外角∠MAC 的角平分线，延长DF交AN于点E，连接CE．（1）求证：四边形ADCE是矩形；（2）填空：①若BC＝AB＝4，则四边形ABDE的面积为．②当△ABC满足时，四边形ADCE是正方形．21．已知关于x的一元二次方程x2﹣8x+m＝0．（1）若x＝1是方程的根，求m的值；（2）若等腰三角形ABC的一边长为3，它的其他两边长恰好为这个方程的两个根，求m 的值．22．今年是我国脱贫胜利年，我国在扶贫方面取得了巨大的成就，技术扶贫也使得我省某县的一个电子器件厂脱贫扭亏为盈．该电子器件厂生产一种电脑显卡，2019年该类电脑显卡的出厂价是200元/个，2020年，2021年连续两年在技术扶贫的帮助下改进技术，降低成本，2021年该电脑显卡的出厂价调整为162元/个．（1）这两年此类电脑显卡出厂价下降的百分率相同，求平均每年下降的百分率；（2）2021年某赛格电脑城以出厂价购进若干个此类电脑显卡，以200元/个销售时，平均每天可销售20个．为了减少库存，该电脑城决定降价销售．经调查发现，单价每降低5元，每天可多售出10个，如果每天盈利1150元，单价应降低多少元？23．如图1．已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP 的对称点是点Q，连接PQ、DQ、CQ、BQ，设AP＝x．（1）BQ+DQ的最小值是．此时x的值是．（2）如图2，若PQ的延长线交CD边于点E，并且∠CQD＝90°．①求证：点E是CD的中点；②求x的值．（3）若点P是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDQ为等腰三角形时x的值．参考答案一、选择题（30分）1．解：关于x的一元二次方程x2+4x﹣3＝0的一次项系数为4，故选：B．2．解：∵71÷100≈0.7，∴白球的数量为：10×（1﹣0.7）＝10×0.3＝3（个），故选：C．3．解：A、对角线互相平分的四边形是平行四边形，命题正确，不符合题意；B、两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如图，AB＝AD，CB＝CD，但四边形ABCD不是菱形，故本选项命题错误，符合题意；C、矩形的四个内角均为直角，命题正确，不符合题意；D、正方形的两条对角线互相垂直且相等，命题正确，不符合题意；故选：B．4．解：∵x2﹣8x﹣1＝0，∴x2﹣8x＝1，∴x2﹣8x+16＝1+16，即（x﹣4）2＝17，故选：B．5．解：A．掷一枚质地均匀的骰子，掷得的点数为3的概率是，此选项错误，不符合题意；B．某种彩票中奖的概率是，那么买10000张这种彩票不一定会中奖，原命题说法是错误的，此选项不符合题意；C．连续掷两枚质地均匀的硬币，“两枚硬币都是正面朝上”的概率是，“一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上”的概率是，此选项错误，不符合题意；D．通过大量重复试验，可以用频率估计概率，此选项符合题意；故选：D．6．解：∵顺次连接任意四边形的四边中点得到一个平行四边形，∴A选项不符合题意；∵顺次连接对角线相等的四边形的四边中点得到一个菱形，∴B选项的结论不符合题意；∵顺次连接一个平行四边形的四边中点得到一个平行四边形，∴C选项的结论不符合题意；∵顺次连接对角线互相垂直的四边形的四边中点得到一个矩形，∴D选项的结论正确，故选：D．7．解：x2+bx﹣2＝0，Δ＝b2﹣4×1×（﹣2）＝b2+8，∵不论b为何值，b2≥0，∴Δ＞0，∴方程有两个不相等的实数根，故选：A．8．解：设邀请x个球队参加比赛，依题意得1+2+3+…+x﹣1＝15，即＝28，∴x2﹣x﹣56＝0，∴x＝8或x＝﹣7（不合题意，舍去）．即：应邀请8个球队参加比赛．故选：C．9．解：如图所示，连接OP，过点A作AG⊥BD于G，∵AB＝3，AD＝4，∴由勾股定理可得BD＝＝5，S△ABD＝AB•AD＝BD•AG，即×3×4＝×5×AG，解得：AG＝，在矩形ABCD中，OA＝OD，∵S△AOD＝OA•PE+OD•PF＝OD•AG，∴PE+PF＝AG＝．故PE+PF＝＝2.4．故选：C．10．解：由折叠的性质可知，DF＝GF，HE＝CE，GH＝DC，∠DFE＝∠GFE．∵∠GFE+∠DFE＝180°﹣∠AFG＝120°，∴∠GFE＝60°．∵AF∥GE，∠AFG＝60°，∴∠FGE＝∠AFG＝60°，∴△GEF为等边三角形，∴EF＝GE．∵∠FGE＝60°，∠FGE+∠HGE＝90°，∴∠HGE＝30°．在Rt△GHE中，∠HGE＝30°，∴GE＝2HE＝2CE，∴GH＝＝HE＝CE．∵GE＝2BG，∴BC＝BG+GE+EC＝4EC．∵矩形ABCD的面积为4，∴4EC•EC＝4，∴EC＝1，EF＝GE＝2．故选：C．二、填空题（15分）11．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝AC＝×6＝3cm，OB＝BD＝×8＝4cm，根据勾股定理得，AB＝＝5cm，所以，这个菱形的周长＝4×5＝20cm．故答案为：2012．解：画树状图如下由树状图知，共有6个等可能的结果，在直线y＝﹣x﹣1上有（﹣2，1）和（1，﹣2），∴点A（a，b）恰好落在直线y＝﹣x﹣1上的概率是＝．故答案为：．13．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有两个实数根，∴Δ＝b2﹣4ac≥0，即：4﹣4（m﹣2）≥0，解得：m≤3，∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0中m﹣2≠0，∴m≠2，故答案为：m≤3且m≠2．14．解：连接EF，∵OE⊥OF∴∠EOD+∠FOD＝90°∵四边形ABCD是正方形∴∠COF+∠DOF＝90°∴∠EOD＝∠FOC而∠ODE＝∠OCF＝45°∴△OFC≌△OED，∴OE＝OF，CF＝DE＝3cm，则AE＝DF＝4，根据勾股定理得到EF＝＝5cm．故答案为5．15．解：分两种情况：①如图1，过A′作MN∥CD交AD于M，交BC于N，则直线MN是矩形ABCD的对称轴，∴AM＝BN＝AD＝4，MN＝AB＝5，∵△ABE沿BE折叠得到△A′BE，∴A′E＝AE，A′B＝AB＝5，∴A′N＝＝3，∴A′M＝MN﹣A'N＝5﹣3＝2，由勾股定理得：A′E2＝EM2+A′M2，∴A′E2＝（4﹣A′E）2+22，解得：A′E＝，∴AE＝；②如图2，过A′作PQ∥AD交AB于P，交CD于Q，则直线PQ是矩形ABCD的对称轴，∴PQ⊥AB，AP＝PB，AD∥PQ∥BC，∴A′B＝2PB，∴∠P A′B＝30°，∴∠A′BC＝30°，∴∠EBA′＝30°，∴AE＝A′E＝A′B＝；综上所述：AE的长为或，故答案为：或．三、解答题（75分）16．解：（1）（x﹣1）2＝2x（1﹣x），（x﹣1）2＝﹣2x（x﹣1），（x﹣1）2+2x（x﹣1）＝0，（x﹣1）（x﹣1+2x）＝0，x﹣1＝0或x﹣1+2x＝0，所以x1＝1，x2＝；（2）Δ＝52﹣4×3×1＝13＞0，x＝，所以x1＝，x2＝．17．解：（1）该小区居民在这次随机调查中被调查到的人数为20÷10%＝200（人）；m%＝×100%＝35%，即m＝35；故答案为200；35；（2）去C景区旅游的居民人数为200﹣20﹣70﹣20﹣50＝40（人），补全统计图如下：1500×＝300（人），所以估计去C景区旅游的居民约有300人；（3）画树状图为：共有6种等可能的结果，其中甲、乙恰好游玩同一景点的结果数为2，所以甲、乙恰好游玩同一景点的概率＝＝．18．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠FCO，在△AOE和△COF中∴△AOE≌△COF，∴OE＝OF，∵OA＝OC，∴四边形AFCE是平行四边形，∵EF是AC的垂直平分线，∴AE＝CE，∴平行四边形AFCE是菱形．19．解：不公平，将A盘中蓝色部分记为蓝a、蓝b，B盘中红色部分记为红1、红2，画树状图如下：由树状图可知共有9种等可能结果，其中能配成紫色的有5种结果，∴小明获胜的概率为，小亮获胜的概率为，∵≠，∴这个游戏对双方不公平．20．证明：∵AN是△ABC外角∠CAM的平分线，∴∠MAE＝∠MAC，∵∠MAC＝∠B+∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠MAE＝∠B，∴AN∥BC，∵F为AC的中点，D为BC的中点，∴FD∥AB，∴四边形ABDE为平行四边形，∴AE＝BD∵BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE为平行四边形，∵AB＝AC，点D为BC中点，∴AD⊥BC，∴AD⊥AE，∴∠DAE＝90°，∴四边形ADCE为矩形；（2）①解：∵AB＝AC，D是BC中点，F是AC中点，∴DF∥AB，由（1）知AE∥BD，∴四边形ABDE是平行四边形，∵BC＝AB＝4，AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABD＝60°，∵D为BC的中点，∴∠ADC＝90°，BD＝2，∴，∴四边形ABDE的面积为BD×AD＝2×＝4，故答案为：4；②解：答案不唯一，如当∠BAC＝90°时，四边形ADCE是正方形．∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴△ABC为等腰直角三角形，∵D为BC的中点，∴AD＝DC，∵四边形ADCE为矩形，∴四边形ADCE为正方形．故答案为：∠BAC＝90°．21．解：（1）将x＝﹣1代入x2﹣8x+m＝0得，1﹣8×1+m＝0，解得m＝7；（2）根据题意得Δ＝82﹣4m≥0，解得m≤16，当3是腰时，3是方程的一个根，把x＝3代入方程得9﹣24+m＝0，解得m＝15，此时方程的另一根为5，∵3+3＞5，∴三角形存在；两腰都是方程的根时，即方程有两个相等根，∴Δ＝0，此时两根都为4，三角形存在，综上所述，m＝15或16．22．解：（1）设平均下降率为x，依题意得：200（1﹣x）2＝162，解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：平均下降率为10%．（2）设单价应降低m元，则每个的销售利润为（200﹣m﹣162）＝（38﹣m）元，每天可售出20+×10＝（20+2m）个，依题意得：（38﹣m）（20+2m）＝1150，整理得：m2﹣28m+195＝0，解得：m1＝15，m2＝13．∵为了减少库存，∴m＝15，答：单价应降低15元．23．（1）答：，．（2）①证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠A＝∠BCD＝90°．∵Q点为A点关于BP的对称点，∴AB＝QB，∠A＝∠PQB＝90°，∴QB＝BC，∠BQE＝∠BCE，∴∠BQC＝∠BCQ，∴∠EQC＝∠EQB﹣∠CQB＝∠ECB﹣∠QCB＝∠ECQ，∴EQ＝EC．在Rt△QDC中，∵∠QDE＝90°﹣∠QCE，∠DQE＝90°﹣∠EQC，∴∠QDE＝∠DQE，∴CE＝EQ＝ED，即E为CD的中点．②解：∵AP＝x，AD＝1，∴PD＝1﹣x，PQ＝x，CD＝1．在Rt△DQC中，∵E为CD的中点，∴DE＝QE＝CE＝，∴PE＝PQ+QE＝x+，∴，解得x＝．（3）答：△CDQ为等腰三角形时x的值为2﹣，，2+．（分析如下：以下内容作答不要求书写）如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于Q1，Q3．此时△CDQ1，△CDQ3都为以CD为腰的等腰三角形．作CD的垂直平分线交弧AC于点Q2，此时△CDQ2以CD为底的等腰三角形．以下对此Q1，Q2，Q3．分别讨论各自的P点，并求AP的值．①讨论Q1，如图作辅助线，连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF ⊥AD于E，交BC于F．∵△BCQ1为等边三角形，正方形ABCD边长为1，∴，．在四边形ABQ1P中，∵∠ABQ1＝30°，∴∠APQ1＝150°，∴△PEQ1为含30°的直角三角形，∴PE＝．∵AE＝，∴x＝AP＝AE﹣PE＝2﹣．②讨论Q2，如图作辅助线，连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F．∵EF垂直平分CD，∴EF垂直平分AB，∴AQ2＝BQ2．∵AB＝BQ2，∴△ABQ2为等边三角形．在四边形ABQP中，∵∠BAD＝∠BQP＝90°，∠ABQ2＝60°，∴∠APE＝120°∴∠EQ2G＝∠DPG＝180°﹣120°＝60°，∴，∴EG＝，∴DG＝DE+GE＝﹣1，∴PD＝1﹣，∴x＝AP＝1﹣PD＝．③讨论Q3，如图作辅助线，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作BQ3⊥PQ3，交AD 的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，不妨记Q3与F 重合．∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形，BC＝1，∴，，∴．在四边形ABQ3P中∵∠ABF＝∠ABC+∠CBQ3＝150°，∴∠EPF＝30°，∴EP＝EF＝．∵AE＝，∴x＝AP＝AE+PE＝+2．综上所述，△CDQ为等腰三角形时x的值为2﹣，，2+．。
北师大版九年级数学上册解题技巧专题中点问题
北师大版九年级数学测试卷（考试题）解题技巧专题：中点问题——遇中点，定思路，一击即中◆类型一直角三角形中，已知斜边中点构造斜边上的中线1．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90°，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠BEC＝80°，那么∠GHE等于（）A．5°B．10°C．20°D．30°第1题图第2题图2．如图，在△ABC 中，D是BC上的点，AD＝AB，E，F分别是AC，BD的中点，AC＝6，则EF的长是_______.3．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，M是AB的中点，E，F分别是AC，BC延长线上的点，且CE＝CF＝12AB，则∠EMF的度数为_______.第3题图第5题图◆类型二中点四边形与特殊平行四边形4．若顺次连接四边形的各边中点所得的四边形是矩形，则该四边形一定是（）A．菱形B．等腰梯形C．对角线相等的四边形D．对角线互相垂直的四边形5．如图，在矩形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，连接AF，BE，CE，DF，分别交于点M，N，则四边形EMFN 是（）A．正方形B．菱形C．矩形D．无法确定6．(2016·兰州中考)阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.结合小敏的思路作答：(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？说明理由；(2)如图②，在(1)的条件下．①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？写出结论并证明；②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？写出结论并证明．解题技巧专题：中点问题答案1．B 解析：连接AH ，CH .∵∠BCD ＝∠BAD ＝90°，点H 是BD 的中点，∴AH ＝CH ＝12BD .∵点G 是AC 的中点，∴HG ⊥AC ，∴∠HGE ＝90°.又∵∠GEH ＝∠BEC ＝80°，∴∠GHE ＝10°.故选B.2．3 解析：如图，连接AF .∵AD ＝AB ，F 是BD 的中点，∴AF ⊥BD .又∵E 是AC 的中点，∴EF ＝12AC ＝12×6＝3.3．45° 解析：如图，连接CM .∵∠ACB ＝90°，M 是AB 的中点，∴CM ＝12AB .∵CE＝CF ＝12AB ，∴CE ＝CF ＝MC ，∴∠1＝∠E ，∠2＝∠F .∵∠1＋∠E ＝∠4，∠2＋∠F ＝∠3，∴∠1＝12∠4，∠2＝12∠3，∴∠1＋∠2＝12(∠4＋∠3)＝12×90°＝45°，即∠EMF ＝45°.4．D 5.B6．解：(1)四边形EFGH 还是平行四边形．理由如下：如图，连接AC .∵E 是AB 的中点，F 是BC 的中点，∴EF ∥AC ，EF ＝12AC .同理可得HG ∥AC ，HG ＝12AC ，∴EF ∥HG ，EF ＝HG ，∴四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图，连接BD .①当AC ＝BD 时，四边形EFGH 是菱形．证明如下：由(1)可知四边形EFGH 是平行四边形，HG ＝12AC .∵F是BC 的中点，G 是CD 的中点，∴FG ＝12BD .∵AC ＝BD ，∴HG ＝FG ，∴四边形EFGH 是菱形；②当AC ⊥BD 时，四边形EFGH 为矩形．证明如下：由(1)可知四边形EFGH 是平行四边形，HG ∥AC .∵AC ⊥BD ，∴HG ⊥BD .∵F 是BC 的中点，G 是CD 的中点，∴FG ∥BD ，∴HG ⊥GF ，∴∠HGF ＝90°，∴四边形EFGH 为矩形．附赠材料：怎样提高答题效率 直觉答题法相信自己的第一感觉 厦门英才学校彭超老师说,“经验表明,从做题的过程来看,同学们要相信自己的第一感觉,不要轻易改动第一次做出的选择,第一感觉的正确率在80%以上。
北师大版九年级数学上典中点第一章整合提升专训一
专训一：利用矩形的性质巧解折叠问题
名师点金：叠问题往往通过图形间的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等；在计算时，常常通过设未知数列方程求解．
利用矩形的性质巧求折叠中的角
1．当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉
之急”．如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一
个特定的角：
(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；
(2)将纸片平展后，再一次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度数．
(第1题)
利用矩形的性质巧求折叠中线段的长
衢州)如图①，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然2．(2015·
后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE上的点H处．如图②.
(1)求证：EG＝CH；
(2)已知AF＝2，求AD和AB的长．
(第2题)。
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专训三：正方形性质与判定的灵活运用名师点金：方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形、菱形的所有性质，判定一个四边形是正方形，只需保证它既是矩形又是菱形即可．
利用正方形的性质证明线段位置关系
1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，并延长AE，其延长线交DF于点M.
求证：AM⊥DF.
(第1题)
利用正方形的性质解决线段和差倍分问题
2．已知：在正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB，DC(或它们的延长线)于点M，N.
(1)如图①，当∠MAN绕点A旋转到BM＝DN时，易证：BM＋DN＝MN.当∠MAN绕点A旋转到BM≠DN时，如图②，请问图①中的结论是否还成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
(2)当∠MAN绕点A旋转到如图③的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并证明．
(第2题)
利用正方形的性质解决与函数相关的问题
3．(2015·绥化)在平面直角坐标系xOy中，直线y＝－x＋3与x轴、y轴分别交于点A，B，在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶点都落在该三角形的边上，求正方形落在x 轴正半轴上的顶点坐标．
正方形性质与判定的综合运用
4．如图，P，Q，R，S四个小球分别从正方形的四个顶点A，B，C，D同时出发，以同样的速度分别沿AB，BC，CD，DA的方向滚动，其终点分别是B，C，D，A.
(1)不管滚动多长时间，求证：连接四个小球所得的四边形PQRS总是正方形．
(2)四边形PQRS在什么时候面积最大？
(3)四边形PQRS在什么时候面积为原正方形面积的一半？并说明理由．
(第4题)
专训三
1．证明：∵AC ，BD 是正方形ABCD 的两条对角线，∴AC ⊥BD ，OA ＝OD ＝OC ＝OB.∵DE ＝CF ，∴OE ＝OF.
在Rt △AOE 与Rt △DOF 中，
⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OD ，∠AOE ＝∠DOF ＝90°
，OE ＝OF ，
∴Rt △AOE ≌Rt △DOF.∴∠OAE ＝∠ODF.∵∠DOF ＝90°，∴∠DFO ＋∠FDO ＝90°.∴∠DFO ＋∠FAE ＝90°.∴∠AMF ＝90°，即AM ⊥DF.
2．解：(1)仍有BM ＋DN ＝MN 成立．证明如下： 过点A 作AE ⊥AN ，交CB 的延长线于点E, 易证△ABE ≌△ADN ，∴DN ＝BE ，AE ＝AN. 又∵∠EAM ＝∠NAM ＝45°，AM ＝AM ，∴△EAM ≌△NAM.∴ME ＝MN.∵ME ＝BE ＋BM ＝DN ＋BM ，∴BM ＋DN ＝MN .
(第2题)
(2)DN －BM ＝MN.证明如下： 如图，在DN 上截取DE ＝BM ，连接AE.∵四边形ABCD 是正方形，
∴∠ABM ＝∠D ＝90°，AB ＝AD.
又∵BM ＝DE ，∴△ABM ≌△ADE.∴AM ＝AE ，∠BAM ＝∠DAE.∵∠DAB ＝90°，∴∠MAE ＝90°.
∵∠MAN ＝45°，
∴∠EAN ＝45°＝∠MAN.又∵AM ＝AE ，AN ＝AN ，∴△AMN ≌△AEN.∴MN ＝EN. ∴DN ＝DE ＋EN ＝BM ＋MN.
∴DN －BM ＝MN.
3．解：分两种情况：
(1)如图①，在y ＝－x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，令y ＝0，得x ＝3，
∴OA ＝OB ＝3.∴∠BAO ＝45°.
∵DE ⊥OA ，∴DE ＝AE.
∵四边形COED 是正方形，∴OE ＝DE.∴OE ＝AE.
∴OE ＝12OA ＝32
. ∴E ⎝⎛⎭⎫32，0.
(第3题)
(2)如图②，由①知△OFC ，△EFA 都是等腰直角三角形，
∴CF ＝2OF ，AF ＝2EF.
∵四边形CDEF 是正方形，
∴EF ＝CF.
∴AF ＝2×2OF ＝2OF.
∴OA ＝OF ＋2OF ＝3.∴OF ＝1.
∴F(1，0)．
4．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝∠D ＝90°，AB ＝BC ＝CD ＝DA.又∵在任何运动时刻，AP ＝BQ ＝CR ＝DS ，∴PB ＝QC ＝RD ＝SA.∴△ASP ≌△BPQ ≌△CQR ≌△DRS.∴PS ＝QP ＝RQ ＝SR ，∠ASP ＝∠BPQ.∴在任何运动时刻，四边形PQRS 是菱形．又∵∠APS ＋∠ASP ＝90°，∴∠APS ＋∠BPQ ＝90°.∴∠QPS ＝180°－(∠APS ＋∠BPQ)＝180°－90°＝90°.∴在任何运动时刻，四边形PQRS 总是正方形．
(2)解：当P ，Q ，R ，S 在出发时或在到达终点时面积最大，此时的面积就等于原正方形ABCD 的面积．
(3)解：当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形四边中点时，四边形PQRS 的面积是原正方形ABCD 面积的一半．
理由：设原正方形ABCD 的边长为a.
当PS 2＝12
a 2时，在Rt △APS 中，AS ＝a －SD ＝a －AP. 由勾股定理，得AS 2＋AP 2＝PS 2，即(a －AP)2＋AP 2＝12
a 2， 解得AP ＝12a.同理可得BQ ＝CR ＝SD ＝12
a. ∴当P ，Q ，R ，S 四点运动到正方形ABCD 各边中点时，四边形PQRS 的面积为原正方形面积的一半．。