上海交通大学附属中学2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案

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2017-2018年上海市交大附中高一(上)数学期中试卷和答案

2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷一.填空题1．（3分）设集合M={x|0＜x≤3}，集合N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．2．（3分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（A∩∁U B）∪（∁U A∩B）=．3．（3分）函数f（x）=+的定义域为．4．（3分）已知集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，，且A∩B=∅，则实数a的取值范围是．5．（3分）已知y=f（x），y=g（x）是两个定义在R上的二次函数，其x、y的取值如表所示：则不等式f（g（x））≥0的解集为．6．（3分）关于x的不等式的解集不为空集，则k的取值范围为．7．（3分）已知本张试卷的出卷人在公元x2年时年龄为x﹣8岁，则出卷人的出生年份是（假设出生当年的年龄为1岁）8．（3分）若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是．9．（3分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为．10．（3分）设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a=．11．（3分）若二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2﹣2x+4≤f（x）≤2x2﹣4x+5成立，且f（5）=27，则f（11）=．12．（3分）已知f（x）=（a2﹣5）x2+2x+2，若不等式f（x）＞x的解集为A，已知（0，1）⊆A，则a的取值范围为．二.选择题13．（3分）设P、Q为两个非空实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}．若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．914．（3分）不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解集是（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|x＜0且x≠﹣1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜1且x≠﹣1}15．（3分）已知三个不等式：ab＞0，bc﹣ad＞0，﹣＞0（其中a、b、c、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．316．（3分）设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥三.解答题17．已知△ABC为直角三角形，记其两条直角边长分别为a，b∈R+，记面积为S，周长为C，若三角形面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时取到，为多少？（结果用S表示）．18．已知a∈R，若关于x的方程有实根，求a的取值范围．19．阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题．证明：证：令，=，故．（1）若，利用上述结论，证明：；（2）若，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：．（提示：若a，b，c∈R+，有）20．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排査，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．21．已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a、c∈R），满足f（1）=0，且f（x）≥0在x ∈R时恒成立．（1）求a、c的值；（2）若h（x）=x2﹣bx+﹣，解不等式f（x）+h（x）＜0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）设集合M={x|0＜x≤3}，集合N={x|0＜x≤2}，那么“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件．（用“充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件”填空）．【解答】解：由x∈M不能推出x∈N，如x=3时，故充分性不成立．根据N⊆M 可得，由x∈N成立，一定能推出x∈M，故必要性成立．故“a∈M”是“a∈N”的必要不充分条件，故答案为必要不充分．2．（3分）已知集合U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则（A∩∁U B）∪（∁U A∩B）={1，3} ．【解答】解：集合U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，∴∁U B={1，4}，∁U A={3，4}，∴A∩∁U B={1}，∁U A∩B={3}，∴（A∩∁U B）∪（∁U A∩B）={1，3}．故答案为：{1，3}．3．（3分）函数f（x）=+的定义域为[﹣1，2）U（2，+∞）．【解答】解：根据题意：解得：x≥﹣1且x≠2∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞）故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）4．（3分）已知集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}，，且A∩B=∅，则实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2] ．【解答】解：∵集合A={x||x﹣a|＜1，x∈R}={x|a﹣1＜x＜a+1}，={x|＜0}，当a+1＞﹣1时，即a＞﹣2时，B={x|﹣1＜x＜a+1}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，不满足A∩B=∅；当a+1=﹣1，即a=﹣2时，B=∅，满足A∩B=∅；当a+1＜﹣1时，即a＜﹣2，B={x|a+1＜x＜﹣1}，A={x|a﹣1＜x＜a+1}，满足A ∩B=∅．综上，实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2]．故答案为：（﹣∞，﹣2]．5．（3分）已知y=f（x），y=g（x）是两个定义在R上的二次函数，其x、y的取值如表所示：则不等式f（g（x））≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．【解答】解：由题意可知，f（1）=f（3）=﹣3，g（1）=g（3）=0，可知二次函数f（x）与g（x）的对称轴为x=2，又f（2）=﹣4，g（2）=1，∴设f（x）=a（x﹣2）2﹣4，g（x）=m（x﹣2）2+1，把f（4）=0，g（4）=﹣3分别代入两个函数解析式，可得：a（4﹣2）2﹣4=0，m（4﹣2）2+1=﹣3，解得a=1，m=﹣1．∴f（x）=（x﹣2）2﹣4=x2﹣4x，g（x）=﹣（x﹣2）2+1=﹣x2+4x﹣3．由f（g（x））≥0，得g（x）≤0或g（x）≥4．即﹣x2+4x﹣3≤0①，或﹣x2+4x﹣3≥4②，解①得x≤1或x≥3；解②得x∈∅．∴不等式f（g（x））≥0的解集为（﹣∞，1]∪[3，+∞）．故答案为：（﹣∞，1]∪[3，+∞）．6．（3分）关于x的不等式的解集不为空集，则k的取值范围为k＞3或k＜0．【解答】解：k＜0时，f（x）=2kx2+kx+开口向下，符合题意，k=0时，f（x）=，不合题意，k＞0时，只需△=k2﹣4•2k•＞0，解得：k＞3，故答案为：k＞3或k＜0．7．（3分）已知本张试卷的出卷人在公元x2年时年龄为x﹣8岁，则出卷人的出生年份是1989年（假设出生当年的年龄为1岁）【解答】解：设出卷人的出生年份是n，则由题意可得：x2﹣n+1=x﹣8，即n=x2﹣x﹣9．结合实际意义不妨取：取x=44时，x2=1936，n=1883，x2﹣n+1≠x﹣8；取x=45时，x2=2025，n=1989，x2﹣n+1=37=44﹣8=x﹣8，符合题意；取x=46时，x2=2116，n=2061，不合题意．∴出卷人的出生年份是1989年．故答案为：1989年．8．（3分）若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，则实数a的取值范围是[﹣1，1] ．【解答】解：当x＞0时，x≥ax恒成立，即a≤1，当x=0时，0≥a×0恒成立，即a∈R，当x＜0时，﹣x≥ax恒成立，即a≥﹣1，若对任意x∈R，不等式|x|≥ax恒成立，所以﹣1≤a≤1，故答案为：[﹣1，1]．9．（3分）设常数a＞0，若9x+对一切正实数x成立，则a的取值范围为[，+∞）．【解答】解：常数a＞0，若9x+≥a+1对一切正实数x成立，故（9x+）min≥a+1，又9x+≥6a，当且仅当9x=，即x=时，等号成立故必有6a≥a+1，解得a≥故答案为[，+∞）10．（3分）设函数f（x）=，若f（f（a））=2，则a=．【解答】解：设t=f（a），则f（t）=2，若t＞0，则f（t）=﹣t2=2，此时不成立，若t≤0，由f（t）=2得，t2+2t+2=2，即t2+2t=0，解得t=0或t=﹣2，即f（a）=0或f（a）=﹣2，若a＞0，则f（a）=﹣a2=0，此时不成立；或f（a）=﹣a2=﹣2，即a2=2，解得a=．若a≤0，由f（a）=0得，a2+2a+2=0，此时无解；或f（a）=﹣2，即a2+2a+4=0，此时无解，综上：a=，故答案为：．11．（3分）若二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2﹣2x+4≤f（x）≤2x2﹣4x+5成立，且f（5）=27，则f（11）=153．【解答】解：二次函数y=f（x）对一切x∈R恒有x2﹣2x+4≤f（x）≤2x2﹣4x+5成立，可得x2﹣2x+4=2x2﹣4x+5，解得x=1，f（1）=3，函数的对称轴为x=1，设函数f（x）=a（x2﹣2x）+b，由f（1）=3，f（5）=27，可得﹣a+b=3，15a+b=27，解得a=，b=．f（x）=（x2﹣2x）+，f（11）=（112﹣2×11）+=153．故答案为：153；12．（3分）已知f（x）=（a2﹣5）x2+2x+2，若不等式f（x）＞x的解集为A，已知（0，1）⊆A，则a的取值范围为a≥或a≤﹣．【解答】解：根据题意，f（x）=（a2﹣5）x2+2x+2，则不等式f（x）＞x即（a2﹣5）x2+2x+2＞x变形可得（a2﹣5）x2+x+2＞0，若其解集为A，且（0，1）⊆A，设g（x）=（a2﹣5）x2+x+2，则分3种情况讨论：①、a2﹣5=0，即a=±时，f（x）=2x+2，f（x）＞x即x+2＞0，其解集为（﹣2，+∞），符合题意；②、a2﹣5＜0，即﹣＜a＜时，f（x）＞x即（a2﹣5）x2+x+2＞0，若（0，1）⊆A，必有，解可得a≥或a≤﹣，则此时有：﹣＜a＜﹣或＜x＜，③、当a2﹣5＞0，a＜﹣或a＞，g（x）=（a2﹣5）x2+x+2，g（x）为二次函数，开口向上且其对称轴为x=＜0，又由g（0）=2＞0，此时有a＜﹣或a＞，综合可得：a的取值范围为：a≥或a≤﹣，故答案为：a≥或a≤﹣，二.选择题13．（3分）设P、Q为两个非空实数集，定义集合P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}．若P={0，2，5}，Q={1，2，6}，则P+Q中元素的个数是（）A．6 B．7 C．8 D．9【解答】解：∵P={0，2，5}，Q={1，2，6}，P+Q={a+b|a∈P，b∈Q}∴当a=0时，b∈Q，P+Q={1，2，6}当a=2时，b∈Q，P+Q={3，4，8}当a=5时，b∈Q，P+Q={6，7，11}∴P+Q={1，2，3，4，6，7，8，11}故选：C．14．（3分）不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解集是（）A．{x|0≤x＜1}B．{x|x＜0且x≠﹣1}C．{x|﹣1＜x＜1}D．{x|x＜1且x≠﹣1}【解答】解：求不等式（1+x）（1﹣|x|）＞0的解集则分两种情况讨论：情况1：即：则：﹣1＜x＜1．情况2：即：则：x＜﹣1两种情况取并集得{x|x＜1且x≠﹣1}．故选：D．15．（3分）已知三个不等式：ab＞0，bc﹣ad＞0，﹣＞0（其中a、b、c、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：由ab＞0，bc﹣ad＞0可得出﹣＞0．bc﹣ad＞0，两端同除以ab，得﹣＞0．同样由﹣＞0，ab＞0可得bc﹣ad＞0.ab＞0．故选：D．16．（3分）设a＞0，b＞0，则以下不等式中不恒成立的是（）A．≥4 B．a3+b3≥2ab2C．a2+b2+2≥2a+2b D．≥【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴A．≥≥4故A恒成立，B．a3+b3≥2ab2，取，则B不成立C．a2+b2+2﹣（2a+2b）=（a﹣1）2+（b﹣1）2≥0故C恒成立D．若a＜b则≥恒成立若a≥b，则=2﹣2b=2（﹣）≥0，∴≥故选：B．三.解答题17．已知△ABC为直角三角形，记其两条直角边长分别为a，b∈R+，记面积为S，周长为C，若三角形面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时取到，为多少？（结果用S表示）．【解答】解：设三角形ABC中，∠C=90°，AB=c，AC=b，BC=a，可得a2+b2=c2，S=ab，C=a+b+c，可得C=a+b+≥2+=2+2，当且仅当a=b=时，C取得最小值，且为2+2．18．已知a∈R，若关于x的方程有实根，求a的取值范围．【解答】解：由x2+x+|a﹣|+|a|=0得﹣x2﹣x=|a﹣|+|a|，设f（x）=﹣x2﹣x，则f（x）=﹣x2﹣x=﹣（x+）2+，所以要使关于x的方程x2+x+|a﹣|+|a|=0有实根，则|a﹣|+|a|≤，因为|a﹣|+|a|，所以|a﹣|+|a|=，此时0故a的取值范围为：[0，]．19．阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题．证明：证：令，=，故．（1）若，利用上述结论，证明：；（2）若，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：．（提示：若a，b，c∈R+，有）【解答】证明：（1）由，由，可得（x 1+x2）（y1+y2）=[（）2+（）2][（）2+（）2]≥（+）2，即有；（2）先证（x13+x23）（y13+y23）（z13+z23）≥（x1y1z1+x2y2z2）3，设A=，B=，C=，则=+=••+••≤（++）+（++）=（+）+（+）+（+）=×（1+1+1）=1，则（x13+x23）（y13+y23）（z13+z23）≥（x1y1z1+x2y2z2）3，由，（x 1+x2）（y1+y2）（z1+z2）=[（）3+（）3][（）3+（）3][（）3+（）3]≥（+）3，则．20．公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变．（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排査，设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案．【解答】解：（1）设每个组x个人，那么最坏情况下，需要进行+1000x次检测可以找到所有的被感染者，由y=+1000x≥2=4×104，由=1000x，即x≈44.72，由于x为正整数，由x=44，可得y=+44000≈89854.54，由x=45，可得y=+45000≈89444.44，可得在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数为45；（2）设第一次每个组x1人，第二次每个组x2人，可得检测的总次数为++1000x2≥3=3×104，当且仅当==1000x2，即x22=x1，x1=100≈158.74，由x1为正整数，可得x1=159离100，较158离100近，即x1为159；=≈12.6，则13较12与12.6距离近，由x则x2为13，则第一次每个组159人，第二次每个组13人；（3）当进行n次这样的检验，可以达到最优，由+++…+1000x n≥（n+1），由===…=1000x n，可得x n=，由n=18，x18=≈1.49，可取x18=1，即进行这样的检验18次，即可得到总次数更少．21．已知函数f（x）=ax2﹣x+c（a、c∈R），满足f（1）=0，且f（x）≥0在x ∈R时恒成立．（1）求a、c的值；（2）若h（x）=x2﹣bx+﹣，解不等式f（x）+h（x）＜0；（3）是否存在实数m，使函数g（x）=f（x）﹣mx在区间[m，m+2]上有最小值﹣5？若存在，请求出m的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由f（1）=0，得a+c=，因为f（x）≥0在R上恒成立，所以a＞0且△=﹣4ac≤0，ac≥，即a（﹣a）≥，即（a﹣）2≤0，所以a=c=．（2）由（1）得f（x）=x2﹣x+，由f（x）+h（x）＜0，得x2﹣（b+）x+＜0，即（x﹣b）（x﹣）＜0，所以，当b＜时，原不等式解集为（b，）；当b＞时，原不等式解集为（，b）；当b=时，原不等式解集为空集．（3）g（x）=x2﹣（+m）x+，g（x）的图象是开口向上的抛物线，对称轴为直线x=2m+1．假设存在实数m，使函数g（x）在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．①当2m+1＜m，即m＜﹣1时，函数g（x）在区间[m，m+2]上是增函数，所以g（m）=﹣5，即m2﹣（+m）m+=﹣5，解得m=﹣3或m=，因为m＜﹣1，所以m=﹣3；②当m≤2m+1≤m+2，即﹣1≤m≤1时，函数g（x）的最小值为g（2m+1）=﹣5，即（2m+1）2﹣（+m）（2m+1）+=﹣5，解得m=﹣﹣或m=﹣+，均舍去；③当2m+1＞m+2，即m＞1时，g（x）在区间[m，m+2]上是减函数，所以g（m+2）=﹣5，即（m+2）2﹣（+m）（m+2）+=﹣5，解得m=﹣1﹣2或m=﹣1+2，因m＞1，所以m=﹣1+2．综上，存在实数m，m=﹣3或m=﹣1+2时，函数g（x）在区间[m，m+2]上有最小值﹣5．…（18分）。

2017-2018学年上海市交大附中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. “x ＜2”是“x 2＜4”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设函数f （x ）={1x <0−1x>0，则(a+b)+(a−b)⋅f(a−b)2（a ≠b ）的值为（）A. aB. bC. a ，b 中较小的数D. a ，b 中较大的数3. 如图中，哪个最有可能是函数y =x2x 的图象（）A.B.C.D.4. 若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R 有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1，则下列说法一定正确的是（） A. f(x)为奇函数 B. f(x)为偶函数 C. f(x)+1为奇函数 D. f(x)+1为偶函数二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 若关于x 的不等式x−ax+1≥0的解集为（-∞，-1）∪[4，+∞），则实数a =______． 6. 设集合A ={x ||x -2|＜1}，B ={x |x ＞a }，若A ∩B =A ，则实数a 的取值范围是______． 7. 一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．8. 若函数f （x ）=log 2（x +1）+a 的反函数的图象经过点（4，1），则实数a =______． 9. 若f(x)=x 13−x −2，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是______．10. 已知f （x ）={a x ,x ≥1(7−a)x−4a,x<1是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是______． 11. 定义在R 上的偶函数y =f （x ），当x ≥0时，f （x ）=lg （x 2+3x +2），则f （x ）在R上的零点个数为______． 12. 设f （x ）=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f （1）=1，f （2）=2，f （3）=3，则14[f(0)+f(4)]的值为______．13. 设f -1（x ）为f （x ）=4x -2+x -1，x ∈[0，2]的反函数，则y =f （x ）+f -1（x ）的最大值为______． 14. 已知函数f （x ）={(x −a)2，x ≤0x +4x +3a ，x ＞0，且f （0）为f （x ）的最小值，则实数a 的取值范围是______．15.设a、b∈R，若函数f(x)=x+ax+b在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为______．16.已知下列四个命题：①函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]；②函数f(x)=log2(x+√x2+1)，g(x)=1+22x−1均为奇函数；③若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足f（4-x）=f（x），那么f（2）=f（2018）；④设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1）的两根，则x1x2=1其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x的不等式：(log2x)2+(a+1a )log12x+1＜018.设a∈R，函数f(x)=3x+a3x+1；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若f(x)＜a+33对任意的x∈R成立，求a的取值范围19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=k3x+5（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．20. 已知函数f 1（x ）=e |x -2a +1|，f 2（x ）=e |x -a |+1，x ∈R ．（1）若a =2，求f （x ）=f 1（x ）+f 2（x ）在x ∈[2，3]上的最小值；（2）若|f 1（x ）-f 2（x ）|=f 2（x ）-f 1（x ）对于任意的实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围；（3）当4≤a ≤6时，求函数g （x ）=f 1(x)+f 2(x)2−|f 1(x)−f 2(x)|2在x ∈[1，6]上的最小值．21. 对于定义在[0，+∞）上的函数f （x ），若函数y =f （x ）-（ax +b ）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p ，使其值域为（0，p ]，则称函数g （x ）=ax +b 是函数f （x ）的“逼进函数”．（1）判断函数g （x ）=2x +5是不是函数f （x ）=2x 2+9x+11x+2，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g （x ）=12x 不是函数f （x ）=（12）x ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数” （3）若g （x ）=ax 是函数f （x ）=x +√x 2+1，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由x2＜4，解得：-2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．2.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=，∴当a＞b时，==b；当a＜b时，=a．∴（a≠b）的值为a，b中较小的数．故选：C．由函数f（x）=，知当a＞b时，==b；当a＜b时，=a．本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数值的合理运用．3.【答案】A【解析】解：y′==，令y′＞0，解得：x＜，令y′＜0，解得：x＞，故函数在（-∞，）递增，在（，+∞）递减，而x=0时，函数值y=0，x→-∞时，y→-∞，x→+∞时，y→0，故选：A．求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题．4.【答案】C【解析】解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=-1∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选C对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．5.【答案】4【解析】解：由，得（x-a）（x+1≥0，故-1，4是方程（x-a）（x+1）=0的根，故a=4，故答案为：4解不等式的解集转化为方程的根，求出a的值即可．本题考查了不等式的解法以及转化思想，是一道基础题．6.【答案】（-∞，1]【解析】解：由|x-2|＜1得1＜x＜3，则A=|{x|1＜x＜3}，∵B={x|x＞a}，且A∩B=A，∴A⊆B，即a≤1，故答案为：（-∞，1]．先求出不等式|x-2|＜1的解集即集合A，根据A∩B=A得到A⊆B，即可确定出a的范围．本题考查了交集及其运算，集合之间的关系，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.【答案】π3【解析】解：因为一条长度等于半径的弦，所对的圆心角为弧度．故答案为：．直接利用弧长公式求出圆心角即可．本题考查弧长公式的应用，基本知识的考查．8.【答案】3【解析】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．9.【答案】（1，+∞）【解析】解：若，则满足f（x）＞0，即-x-2＞0，变形可得：＞1，函数g（x）=为增函数，且g（1）=1，解可得：x＞1，即x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）．根据题意，将f（x）＞0变形为＞1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式转化为整式不等式．10.【答案】[7，7)6【解析】解：根据题意，f（x）=是（-∞，+∞）上的增函数，必有，解可得≤a＜7，即a的取值范围为：故答案为：根据题意，由分段函数的单调性分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的单调性，注意分段函数分段分析．11.【答案】0【解析】解：当x≥0时，f（x）=lg（x2+3x+2），函数的零点由：lg（x2+3x+2）=0，即x2+3x+1=0，解得x（舍去）．因为函数是定义在R上的偶函数y=f（x），所以函数的零点个数为：0个．故答案为：0．利用函数是偶函数求出x≥0时，函数的零点个数，即可得到结果．本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.【答案】7【解析】解：f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，可得：，∴b=-6a-25；c=11a+61；d=-6a-36，∴[f（4）+f（0）]=（256+64a+16b+4c+2d）=（128+32a+8b+2c+d）=（128+32a-48a-200+22a+122-6a-36）=×14=7．利用已知条件求出a、b、c、d的关系式，化简所求的表达式，求解即可．本题考查方程的根与函数的零点的求法，待定系数法的应用，考查计算能力．13.【答案】4【解析】【分析】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．由f（x）=4x-2+x-1在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f-1（x）在[-，2]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f-1（x）的最大值【解答】解：由f（x）=4x-2+x-1在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[-，2]，可得y=f-1（x）在[-，2]上为增函数，因此y=f（x）+f-1（x）在[-，2]上为增函数，∴y=f（x）+f-1（x）的最大值为f（2）+f-1（2）=2+2=4．故答案为4．14.【答案】[0，4]【解析】解：若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）2为减函数，则a≥0，当x＞0时，函数f（x）=的最小值4+3a≥f（0），即4+3a≥a2，解得：-1≤a≤4，综上所述实数a的取值范围是[0，4]，故答案为：[0，4]若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）2为减函数，当x＞0时，函数f（x）=的最小值4+3a≥f（0），进而得到实数a的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．15.【答案】（0，1）【解析】解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，-2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，-4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒画出数对（a，b）所表示的区域，求出目标函数z=f（1）═a+b+1的范围即可．本题是函数零点的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题．16.【答案】②③④【解析】解：函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，f（x1）+f（x2）=2+2＞2=2•2=2f（），故①错误；由x＞0，x=0时，x+＞0成立；由x＜0，x2+1＞x2，可得＞-x，即x+＞0，由f（-x）+f（x）=log2（x2+1-x2）=0，即有f（x）为奇函数；又g（-x）+g（x）=2++=2++=0，可得g（x）为奇函数．函数均为奇函数，故②正确；若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，可得f（x）+f（2-x）=0，且满足f（4-x）=f（x），则f（4-x）=-f（2-x），即f（2+x）=-f（x），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）为最小正周期为4的函数，可得f（2018）=f（4×504+2）=f（2），那么f（2）=f（2018），故③正确；设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1）的两根，可得log a x1+log a x2=0，即log a x1x2=0，则x1x2=1，故④正确．故答案为：②③④．由指数的运算性质和基本不等式，可判断①；运用奇偶性的定义和性质，可判断②；由题意可得f（x）+f（2-x）=0，结合条件可得f（x）为最小正周期为4的函数，可得结论，可判断③；由对数的运算性质，可判断④．本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：关于x 的不等式：(log 2x)2+(a +1a )log 12x +1＜0，即 (log 2x)2-（a +1a ）log 2x +1＜0，即（log 2x -a ）•（log 2x -1a）＜0．当a ＞1a 时，即a ＞1或-1＜a ＜0时，1a ＜log 2x ＜a ，21a ＜x ＜2a ，原不等式的解集为{x |21a ＜x ＜2a }．当a =1a 时，即a =±1时，不等式即(log 2x −a)2＜0，显然它无解，即解集为∅．当a ＜1a 时，即0＜a ＜1或a ＜-1时，1a ＞log 2x ＞a ，21a ＞x ＞2a ，原不等式的解集为{x |21a ＞x ＞2a }．【解析】原不等式即（log 2x-a ）•（log 2x-）＜0，分类讨论a 与的大小关系，求得log 2x 的范围，可得x 的范围．本题主要考查一元二次不等式的解法，对数不等式的解法，属于中档题． 18.【答案】解：（1）根据题意，函数f(x)=3x +a 3x +1，其定义域为R ，若f （x ）为奇函数，则f （0）=30+a 30+1=0，解可得a =-1；故a =-1；（2）根据题意，f(x)＜a+33，即3x +a 3x +1＜a+33，变形可得：a−13x +1＜a 3，即3（a -1）＜a （3x +1），（①）分3种情况讨论：当a =0时，（①）变形为-3＜0，恒成立，当a ＞0时，（①）变形为3a−3a ＜3x +1，若3a−3a ＜3x +1恒成立，必有3a−3a ≤1，解可得a ≤32，此时a 的取值范围为（0，32]，当a ＜0时，（①）变形为3a−3a ＞3x +1，不可能恒成立，综合可得：a 的取值范围为[0，32]．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）==0，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，变形可得3（a-1）＜a（3x+1），分3种情况讨论，求出a的取值范围，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题．19.【答案】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．再由C（0）=8，得k=40，因此C(x)=403x+5．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10)（Ⅱ）f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f'（x）=0，即2400(3x+5)2=6．解得x=5，x=−253（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．20.【答案】解：（1）对于a=2，x∈[2，3]，f（x）=e|x-3|+e|x-2|+1=e3-x+e x-1（3分）≥2√e3−x⋅e x−1=2e，当且仅当e3-x=e x-1，即x=2时等号成立，∴f（x）min=2e．（6分）（2）|f1（x）-f2（x）|=f2（x）-f1（x）对于任意的实数x恒成立，即f1（x）≤f2（x）对于任意的实数x恒成立，亦即e|x-2a+1|≤e|x-a|+1对于任意的实数x恒成立，∴|x-2a+1|≤|x-a|+1，即|x-2a+1|-|x-a|≤1对于任意的实数x恒成立．（9分）又|x-2a+1|-|x-a|≤|（x-2a+1）-（x-a）|=|-a+1|对于任意的实数x恒成立，故只需|-a+1|≤1，解得0≤a≤2，∴a的取值范围为0≤a≤2．（12分）（3）g（x）=f1(x)+f2(x)2−|f1(x)−f2(x)|2={f2(x),f1(x)>f2(x)f1(x),f1(x)≤f2(x)（13分）∵f1（x）与f2（x）的底数都同为e，外函数都单调递增∴比较f1（x）与f2（x）的大小关系，只须比较|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系令F1（x）=|x-2a+1|，F2（x）=|x-a|+1，G（x）={F2(x),F1(x)>F2(x)F1(x),F1(x)≤F2(x)其中4≤a≤6，x∈[1，6]（14分）∵4≤a≤6∴2a-1≥a≥1，令2a-1-x=1，得x=2a-2，由题意可以如下图象：（15分）当4≤a≤6时，a≤6≤2a-2，G（x）min=F2（a）=1，g（x）min=e1=e；（18分）【解析】（1）对于a=2，x∈[2，3]，去掉绝对值得f（x）=e3-x+e x-1（3分），利用基本不等式积为定值，和有最小值即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件；（2）根据条件可知f1（x）≤f2（x）对于任意的实数x恒成立，转化成|x-2a+1|-|x-a|≤1对于任意的实数x恒成立，然后利用绝对值不等式进行求解即可求出参数a的范围；（3）f1（x）与f2（x）的底数都同为e，外函数都单调递增，比较f1（x）与f2（x）的大小关系，只须比较|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系，则令F 1（x ）=|x-2a+1|，F 2（x ）=|x-a|+1，则G （x ）=其中4≤a≤6，x ∈[1，6]，结合图形可知当4≤a≤6时G （x ）min =F 2（a ）=1，g （x ）min =e 1=e ．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及函数的最值及其几何意义和恒成立问题等有关知识，解决本题的关键是等价转化，以及数形结合，分类讨论的思想，难点是绝对值如何去．21.【答案】解：（1）f （x ）-g （x ）=2x 2+9x+11x+2-（2x +5）=1x+2，可得y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）递减，且x +2≥2，0＜1x+2≤12，可得存在p =12，函数y 的值域为（0，12]，则函数g （x ）=2x +5是函数f （x ）=2x 2+9x+11x+2，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f （x ）-g （x ）=（12）x -12x ，由y =（12）x ，y =-12x 在[0，+∞）递减，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）递减，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）的最大值为1；由x =1时，y =12-12=0，x =2时，y =14-1=-34＜0，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）的值域为（-∞，1]，即有函数g （x ）=12x 不是函数f （x ）=（12）x ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g （x ）=ax 是函数f （x ）=x +√x 2+1，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y =x +√x 2+1-ax 为[0，+∞）的减函数，可得导数y ′=1-a +√x 2+1≤0在[0，+∞）恒成立，可得a -1≥√x 2+1，由x ＞0时，√x 2+1=√1+1x 2≤1，则a -1≥1，即a ≥2；又y =x +√x 2+1-ax 在[0，+∞）的值域为（0，1]，则√x 2+1＞（a -1）x ，x =0时，显然成立；x ＞0时，a -1＜√1+1x 2，可得a -1≤1，即a ≤2．则a =2．【解析】（1）由f（x）-g（x），化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；（2）由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；（3）由新定义，可得y=x+-ax为[0，+∞）的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得a的范围；再由值域为（0，1]，结合不等式恒成立思想可得a 的范围，即可得到a的值．本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和值域的求法和运用，考查导数的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。

上海市交大附中2017-2018学年高一上学期第一次月考数

上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高一数学月考一试卷一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是____________.2. 已知集合2{1,},{1,}A m B m =-=，且A B =，则m 的值为____________.3. 设集合{1,2,6},{2,4},{|15,}A B C x x x R ===-≤≤∈，则()A B C =____________.4. 已知关于x 的一元二次不等式20ax x b ++>的解集为(,2)(1,)-∞-+∞，则a b -=____________.5. 设集合{}3(,)|1,(,)12y U x y y x A x y x ⎧-⎫==+==⎨⎬-⎩⎭，则U A =ð____________.6. 不等式21x≥+____________. 7. 已知x R ∈，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是____________.8. 设[]:13,:1,25x x m m αβ-≤≤∈-+，α是β的充分条件，则m ∈____________.9. 若对任意x R ∈，不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，则实数a 值范围是____________.10. 向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A 、B 都赞成的学生有____________人11. 设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[5.5]5,[ 5.5]6=-=-），则2[]5[]60x x -+≤的解集为____________.12. 已知有限集123{,,,,}(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,,)i a i n =满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”； ④若*i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号）二、选择题（每题5分）13. 若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论中正确的是（）A. Q P ⊆B. PQ =∅ C. P Q ≠∅ D. P Q P ≠14. 集合{}*|4|21|A x x N =--∈，则A 的非空真子集的个数是（）A. 62B. 126C. 254D. 51015. 已知,,a b c R ∈，则下列三个命题正确的个数是（） ①若22ac bc >，则a b >；②若|2||2|a b ->-，则22(2)(2)a b ->-③若0a b c >>>，则a a cb b c+>+； ④若0,0,4,4a b a b ab >>+>>，则2,2a b >>A. 1B. 2C. 3D. 416. 若实数,a b 满足0,0a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的（） A. 必要而不充分的条件 B. 充分而不必要的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件三、解答题17. （本题满分14分）已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M （1）4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围18. （本题满分14分）解关于x 的不等式2(2)(21)60a x a x -+-+>19. （本题满分16分）已知函数()|1||2|f x x x =+-- （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围20. （本题满分14分）某商场在促销期间规定：商场内所有商品标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=（元），设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价。

2017-2018学年上海市交大附中高一(上)期末数学试卷-教师用卷

2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷副标题一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. “x <2”是“x 2<4”的( )A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件【答案】B【解析】解：由x 2<4，解得：−2<x <2，故x <2是x 2<4的必要不充分条件，故选：B ．先求出x 2<4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．2. 设函数f (x )= 1 x <0−1 x >0，则(a +b )+(a−b )⋅f (a−b )2(a ≠b )的值为( )A. aB. bC. a ，b 中较小的数D. a ，b 中较大的数【答案】C【解析】解：∵函数f (x )= 1 ,x <0−1 ,x >0， ∴当a >b 时，(a +b )+(a−b )⋅f (a−b )2=(a +b )−(a−b )2=b ；当a <b 时，(a +b )+(a−b )2=a ．∴(a +b )+(a−b )⋅f (a−b )2(a ≠b )的值为a ，b 中较小的数．故选：C ．由函数f (x )= 1 ,x <0−1 ,x >0，知当a >b 时，(a +b )+(a−b )⋅f (a−b )2=(a +b )−(a−b )2=b ；当a <b 时，(a +b )+(a−b )2=a ．本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数值的合理运用．3. 如图中，哪个最有可能是函数y =x2x 的图象( )A. B.C. D. 【答案】A【解析】解：y′=2x−x2x ln222x =1−x ln22x，令y′>0，解得：x<1ln2，令y′<0，解得：x>1ln2，故函数在(−∞,1ln2)递增，在(1ln2,+∞)递减，而x=0时，函数值y=0，x→−∞时，y→−∞，x→+∞时，y→0，故选：A．求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题．4.若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，则下列说法一定正确的是()A. f(x)为奇函数B. f(x)为偶函数C. f(x)+1为奇函数D. f(x)+1为偶函数【答案】C【解析】解：∵对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，∴令x1=x2=0，得f(0)=−1∴令x1=x，x2=−x，得f(0)=f(x)+f(−x)+1，∴f(x)+1=−f(−x)−1=−[f(−x)+1]，∴f(x)+1为奇函数．故选C对任意x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1进行赋值研究即可本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x的不等式x−ax+1≥0的解集为(−∞,−1)∪[4，+∞)，则实数a=______．【答案】4【解析】解：由x−ax+1≥0，得(x−a)(x+1≥0,故−1，4是方程(x−a)(x+1)=0的根，故a=4，故答案为：4解不等式的解集转化为方程的根，求出a的值即可．本题考查了不等式的解法以及转化思想，是一道基础题．6.设集合A={x||x−2|<1}，B={x|x>a}，若A∩B=A，则实数a的取值范围是______．【答案】(−∞,1]【解析】解：由|x−2|<1得1<x<3，则A=|{x|1<x<3}，∵B={x|x>a}，且A∩B=A，∴A⊆B，即a≤1，故答案为：(−∞,1]．先求出不等式|x−2|<1的解集即集合A，根据A∩B=A得到A⊆B，即可确定出a的范围．本题考查了交集及其运算，集合之间的关系，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．【答案】π3弧度．【解析】解：因为一条长度等于半径的弦，所对的圆心角为π3．故答案为：π3直接利用弧长公式求出圆心角即可．本题考查弧长公式的应用，基本知识的考查．8.若函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4,1)，则实数a=______．【答案】3【解析】解：函数f(x)=log2(x+1)+a的反函数的图象经过点(4,1)，即函数f(x)=log2(x+1)+a的图象经过点(1,4)，∴4=log2(1+1)+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．由题意可得函数f(x)=log2(x+1)+a过(1,4)，代入求得a的值．本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．9.若f(x)=x1−x−2，则满足f(x)>0的x的取值范围是______．【答案】(1,+∞)【解析】解：若f(x)=x13−x−2，则满足f(x)>0，即x13−x−2>0，变形可得：x7>1，函数g(x)=x7为增函数，且g(1)=1，解可得：x>1，即x的取值范围为(1,+∞)；故答案为：(1,+∞)．根据题意，将f (x )>0变形为x 7>1，解可得x 的取值范围，即可得答案．本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式转化为整式不等式．10. 已知f (x )= a x ,x ≥1(7−a )x−4a ,x <1是(−∞,+∞)上的增函数，那么a 的取值范围是______．【答案】[76,7)【解析】解：根据题意，f (x )= a x ,x ≥1(7−a )x−4a ,x <1是(−∞,+∞)上的增函数，必有 7−a >0a >1(7−a )−4a ≤a ，解可得76≤a <7，即a 的取值范围为：[76,7) 故答案为：[76,7)根据题意，由分段函数的单调性分析可得 7−a >0a >1(7−a )−4a ≤a ，解可得a 的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的单调性，注意分段函数分段分析．11. 定义在R 上的偶函数y =f (x )，当x ≥0时，f (x )=lg(x 2+3x +2)，则f (x )在R上的零点个数为______．【答案】0【解析】解：当x ≥0时，f (x )=lg(x 2+3x +2)，函数的零点由：lg(x 2+3x +2)=0，即x 2+3x +1=0，解得x−3± 52(舍去)．因为函数是定义在R 上的偶函数y =f (x )，所以函数的零点个数为：0个．故答案为：0．利用函数是偶函数求出x ≥0时，函数的零点个数，即可得到结果．本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12. 设f (x )=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=3，则14[f (0)+f (4)]的值为______．【答案】7【解析】解：f (x )=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f (1)=1，f (2)=2，f (3)=3，可得： 1+a +b +c +d =116+8a +4b +2c +d =281+27a +9b +3c +d =3，∴b =−6a −25；c =11a +61；d =−6a −36，∴14[f (4)+f (0)] =14(256+64a +16b +4c +2d )=1(128+32a+8b+2c+d)=1(128+32a−48a−200+22a+122−6a−36)=1×14=7．利用已知条件求出a、b、c、d的关系式，化简所求的表达式，求解即可．本题考查方程的根与函数的零点的求法，待定系数法的应用，考查计算能力．13.设f−1(x)为f(x)=4x−2+x−1，x∈[0,2]的反函数，则y=f(x)+f−1(x)的最大值为______．【答案】4【解析】解：由f(x)=4x−2+x−1在x∈[0,2]上为增函数，得其值域为[−1516,2]，可得y=f−1(x)在[−1516,2]上为增函数，因此y=f(x)+f−1(x)在[−1516,2]上为增函数，∴y=f(x)+f−1(x)的最大值为f(2)+f−1(2)=2+2=4．故答案为：4．由f(x)=4x−2+x−1在x∈[0,2]上为增函数可得其值域，得到y=f−1(x)在[−1516,2]上为增函数，由函数的单调性求得y=f(x)+f−1(x)的最大值本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．14.已知函数f(x)=(x−a)2,x≤0x+4x+3a,x>0，且f(0)为f(x)的最小值，则实数a的取值范围是______．【答案】[0,4]【解析】解：若f(0)为f(x)的最小值，则当x≤0时，函数f(x)=(x−a)2为减函数，则a≥0，当x>0时，函数f(x)=x+4x+3a的最小值4+3a≥f(0)，即4+3a≥a2，解得：−1≤a≤4，综上所述实数a的取值范围是[0,4]，故答案为：[0,4]若f(0)为f(x)的最小值，则当x≤0时，函数f(x)=(x−a)2为减函数，当x>0时，函数f(x)=x+4x+3a的最小值4+3a≥f(0)，进而得到实数a的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．15.设a、b∈R，若函数f(x)=x+ax+b在区间(1,2)上有两个不同的零点，则f(1)的取值范围为______．【答案】(0,1)【解析】解：函数f(x)=x+ax+b在区间(1,2)上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间(1,2)上两个不相等的实根，⇒1<−b2<2b2−4a>01+a+b>04+2b+a>0⇒−4<b<−2b2>4a1+a+b>04+2b+a>0，如图画出数对(a,b)所表示的区域，目标函数z=f(1)═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点(1,−2)时，z的最大值为z=a+b+1过点(4,−4)时∴f(1)的取值范围为(0,1)故答案为：(0,1)函数f(x)=x+ax+b在区间(1,2)上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间(1,2)上两个不相等的实根，⇒1<−b2<2b2−4a>01+a+b>04+2b+a>0⇒−4<b<−2b2>4a1+a+b>04+2b+a>0画出数对(a,b)所表示的区域，求出目标函数z=f(1)═a+b+1的范围即可．本题是函数零点的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题．16.已知下列四个命题：①函数f(x)=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]；②函数f(x)=log2(x+ x2+1),g(x)=1+22x−1均为奇函数；③若函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称图形，且满足f(4−x)=f(x)，那么f(2)=f(2018)；④设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k(a>0,a≠1)的两根，则x1x2=1其中正确命题的序号是______．【答案】②③④【解析】解：函数f(x)=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，f(x1)+f(x2)=2 x1+2 x2>22x1+x2=2⋅2 x1+x22=2f(x1+x22)，故①错误；由x>0，x=0时，x+1+x2>0成立；由x<0，x2+1>x2，可得1+x2>−x，即x+2>0，由f(−x)+f(x)=log2(x2+1−x2)=0，即有f(x)为奇函数；又g(−x)+g(x)=2+22−x−1+22x−1=2+2⋅2x1−2x+22x−1=0，可得g(x)为奇函数．函数f(x)=log2(x+ x2+1),g(x)=1+22x−1均为奇函数，故②正确；若函数f(x)的图象关于点(1,0)成中心对称图形，可得f(x)+f(2−x)=0，且满足f(4−x)=f(x)，则f(4−x)=−f(2−x)，即f(2+x)=−f(x)，可得f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，即f(x)为最小正周期为4的函数，可得f(2018)=f(4×504+2)=f(2)，那么f(2)=f(2018)，故③正确；设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k(a>0,a≠1)的两根，可得log a x1+log a x2=0，即log a x1x2=0，则x1x2=1，故④正确．故答案为：②③④．由指数的运算性质和基本不等式，可判断①；运用奇偶性的定义和性质，可判断②；由题意可得f(x)+f(2−x)=0，结合条件可得f(x)为最小正周期为4的函数，可得结论，可判断③；由对数的运算性质，可判断④．本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x的不等式：(log2x)2+(a+1a )log12x+1<0【答案】解：关于x的不等式：(log2x)2+(a+1a)log1x+1<0，即(log2x)2−(a+1 a )log2x+1<0，即(log2x−a)⋅(log2x−1a)<0．当a>1a 时，即a>1或−1<a<0时，1a<log2x<a，21<x<2a，原不等式的解集为{x|21a<x<2a}．当a=1a时，即a=±1时，不等式即(log2x−a)2<0，显然它无解，即解集为⌀．当a<1a 时，即0<a<1或a<−1时，1a>log2x>a，21a>x>2a，原不等式的解集为{x|21>x>2a}．【解析】原不等式即(log2x−a)⋅(log2x−1a )<0，分类讨论a与1a的大小关系，求得log2x的范围，可得x的范围．本题主要考查一元二次不等式的解法，对数不等式的解法，属于中档题．18.设a∈R，函数f(x)=3x+a3+1；(1)求a的值，使得f(x)为奇函数；(2)若f(x)<a+33对任意的x∈R成立，求a的取值范围【答案】解：(1)根据题意，函数f(x)=3x+a3x+1，其定义域为R，若f(x)为奇函数，则f(0)=30+a30+1=0，解可得a=−1；故a=−1；(2)根据题意，f(x)<a+33，即3x+a3x+1<a+33，变形可得：a−13+1<a3，即3(a−1)<a(3x+1)，(①)分3种情况讨论：当a=0时，(①)变形为−3<0，恒成立，当a>0时，(①)变形为3a−3a<3x+1，若3a−3a <3x+1恒成立，必有3a−3a≤1，解可得a≤32，此时a的取值范围为(0,32]，当a<0时，(①)变形为3a−3a>3x+1，不可能恒成立，综合可得：a的取值范围为[0,32]．【解析】(1)根据题意，由奇函数的性质可得f(0)=30+a3+1=0，解可得a的值，即可得答案；(2)根据题意，f(x)<a+33变形可得3(a−1)<a(3x+1)，分3种情况讨论，求出a的取值范围，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题．19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式．(Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值．【答案】解：(Ⅰ)设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．再由C(0)=8，得k=40，因此C(x)=403x+5．而建造费用为C1(x)=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10)(Ⅱ)f′(x)=6−2400(3x+5)，令，即2400(3x+5)=6．解得x=5，x=−253(舍去)．当0<x<5时，f′(x)<0，当5<x<10时，f′(x)>0，故x=5是f(x)的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】(I)由建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位：cm)满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元.我们可得C(0)=8，得k=40，进而得到C(x)=403x+5.建造费用为C1(x)=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)，我们不难得到f(x)的表达式．(II)由(1)中所求的f(x)的表达式，我们利用导数法，求出函数f(x)的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f(x)的最小值．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑.将实际的最大(小)化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大(小)是最优化问题中，最常见的思路之一．20.已知函数f1(x)=e|x−2a+1|，f2(x)=e|x−a|+1，x∈R．(1)若a=2，求f(x)=f1(x)+f2(x)在x∈[2,3]上的最小值；(2)若|f1(x)−f2(x)|=f2(x)−f1(x)对于任意的实数x∈R恒成立，求a的取值范围；(3)当4≤a≤6时，求函数g(x)=f1(x)+f2(x)2−|f1(x)−f2(x)|2在x∈[1,6]上的最小值．【答案】解：(1)对于a=2，x∈[2,3]，f(x)=e|x−3|+e|x−2|+1=e3−x+e x−1(3分)≥2 e3−x⋅e x−1=2e，当且仅当e3−x=e x−1，即x=2时等号成立，∴f(x)min=2e.(6分)(2)|f1(x)−f2(x)|=f2(x)−f1(x)对于任意的实数x恒成立，即f1(x)≤f2(x)对于任意的实数x恒成立，亦即e|x−2a+1|≤e|x−a|+1对于任意的实数x 恒成立，∴|x−2a+1|≤|x−a|+1，即|x−2a+1|−|x−a|≤1对于任意的实数x恒成立.(9分)又|x−2a+1|−|x−a|≤|(x−2a+1)−(x−a)|=|−a+1|对于任意的实数x恒成立，故只需|−a+1|≤1，解得0≤a≤2，∴a的取值范围为0≤a≤2.(12分)(3)g(x)=f1(x)+f2(x)2−|f1(x)−f2(x)|2=f2(x),f1(x)>f2(x)f1(x),f1(x)≤f2(x)(13分)∵f1(x)与f2(x)的底数都同为e，外函数都单调递增∴比较f1(x)与f2(x)的大小关系，只须比较|x−2a+1|与|x−a|+1的大小关系令F1(x)=|x−2a+1|，F2(x)=|x−a|+1，G(x)=F2(x),F1(x)>F2(x)F1(x),F1(x)≤F2(x)其中4≤a≤6，x∈[1,6](14分)∵4≤a≤6∴2a−1≥a≥1，令2a−1−x=1，得x=2a−2，由题意可以如下图象：(15分)当4≤a≤6时，a≤6≤2a−2，G(x)min=F2(a)=1，g(x)min=e1=e；(18分) 【解析】(1)对于a=2，x∈[2,3]，去掉绝对值得f(x)=e3−x+e x−1(3分)，利用基本不等式积为定值，和有最小值即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件；(2)根据条件可知f1(x)≤f2(x)对于任意的实数x恒成立，转化成|x−2a+1|−|x−a|≤1对于任意的实数x恒成立，然后利用绝对值不等式进行求解即可求出参数a的范围；(3)f1(x)与f2(x)的底数都同为e，外函数都单调递增，比较f1(x)与f2(x)的大小关系，只须比较|x−2a+1|与|x−a|+1的大小关系，则令F1(x)=|x−2a+1|，F2(x)=|x−a|+1，则G(x)=F2(x),F1(x)>F2(x)F1(x),F1(x)≤F2(x)其中4≤a≤6，x∈[1,6]，结合图形可知当4≤a≤6时G(x)min=F2(a)=1，g(x)min=e1=e．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及函数的最值及其几何意义和恒成立问题等有关知识，解决本题的关键是等价转化，以及数形结合，分类讨论的思想，难点是绝对值如何去．21.对于定义在[0,+∞)上的函数f(x)，若函数y=f(x)−(ax+b)满足：①在区间[0,+∞)上单调递减，②存在常数p，使其值域为(0,p]，则称函数g(x)=ax+b是函数f(x)的“逼进函数”．(1)判断函数g(x)=2x+5是不是函数f(x)=2x2+9x+11x+2，x∈[0,+∞)的“逼进函数”；(2)求证：函数g(x)=12x不是函数f(x)=(12)x，x∈[0,+∞)的“逼进函数”(3)若g(x)=ax是函数f(x)=x+ x2+1，x∈[0,+∞)的“逼进函数”，求a的值．【答案】解：(1)f(x)−g(x)=2x2+9x+11x+2−(2x+5)=1x+2，可得y=f(x)−g(x)在[0,+∞)递减，且x+2≥2，0<1x+2≤12，可得存在p=12，函数y的值域为(0,12]，则函数g(x)=2x+5是函数f(x)=2x2+9x+11x+2，x∈[0,+∞)的“逼进函数”；(2)证明：f(x)−g(x)=(12)x−12x，由y=(12)x，y=−12x在[0,+∞)递减，则函数y=f(x)−g(x)在[0,+∞)递减，则函数y=f(x)−g(x)在[0,+∞)的最大值为1；由x=1时，y=12−12=0，x=2时，y=14−1=−34<0，则函数y=f(x)−g(x)在[0,+∞)的值域为(−∞,1]，即有函数g(x)=12x不是函数f(x)=(12)x，x∈[0,+∞)的“逼进函数”；(3)g(x)=ax是函数f(x)=x+ x2+1，x∈[0,+∞)的“逼进函数”，可得y=x+2+1−ax为[0,+∞)的减函数，可得导数y′=1−a+ x2+1≤0在[0,+∞)恒成立，可得a−1≥x2+1，由x>0时， x2+1=1+12≤1，则a−1≥1，即a≥2；又y=x+ x2+1−ax在[0,+∞)的值域为(0,1]，则 x2+1>(a−1)x，x=0时，显然成立；x>0时，a−1<1+1，x可得a−1≤1，即a≤2．则a=2．【解析】(1)由f(x)−g(x)，化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；(2)由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；(3)由新定义，可得y=x+ x2+1−ax为[0,+∞)的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得a的范围；再由值域为(0,1]，结合不等式恒成立思想可得a的范围，即可得到a的值．本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和值域的求法和运用，考查导数的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．第11页，共11页。

上海市交大附中2017-2018学年高一下期中数学试题(无答案)word-文档资料

交大附中高一期中数学试卷2019.04一、填空题1、已知数学期中考试时长为2小时，则考试期间分针旋转了弧度_____2、方程012cos 2=+x 的解集是______3、ABC ∆中，4,1,60==︒=c b A ，则a =______4、化简计算：⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅--⋅+-25cos 2sin )3cos()2tan()tan()sin(πααπαππααπαπ=______ 5、函数)arcsin(2x x y -=的单调递增区间是________ 6、已知20πθ<<，将)sin(cos ),cos(sin ,cos θθθ从小到大排列___________7、若)0(4sin 4sin )(≠⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=ab x b x a x f ππ是偶函数，则有序实数对),(b a 可以是_________（写出你认为正确的一组数即可）8、若函数])2,0[(|sin |cos )(π∈+=x x x x f 的图像与直线k y =有且仅有四个不同的交点，则k 的取值范围是______9、将⎪⎭⎫ ⎝⎛+=432s i n πx y 图像上所有点向右平移6π个单位，再把所得的图像上各点横坐标扩大到原来的3倍（纵坐标不变），这样得到的图像对应的函数解析式为________10、在锐角ABC ∆中，A B BC 2,1==，则AC 的取值范围是_______11、函数xx x y +-+=11arctan arctan 的值域是_______ 12、设函数)sin()sin()sin()(2211n n x a x a x a x f ααα+⋅+++⋅++⋅= ，其中)2,,,,2,1(≥∈=*n N n n i a i i α、为已知实常数，R x ∈，下列关于函数)(x f 的性质判断正确的有________（填写序号） ①若02)0(=⎪⎭⎫ ⎝⎛=πf f ，则)(x f 对任意实数x 恒成立 ②若0)0(=f ，则函数)(x f 为奇函数 ③若02=⎪⎭⎫ ⎝⎛πf ，则函数)(x f 为偶函数 ④当02)0(22≠⎪⎭⎫ ⎝⎛+πf f 时，若0)()(21==x f x f ，则)(21Z k k x x ∈=-π 二、选择题13、化简2tan 2cot cos 42ααα-=（）A 、α2sinB 、αsinC 、αsin 2D 、α2tan14、与函数x y =表示同一个函数的是（）A 、)arcsin(sin x y =B 、)cos(arccos x y =C 、)tan(arctan x y =D 、)tan (sec 22x x x y -= 15、已知函数)sin()(ϕω+=x A x f （其中0>A ，2||πϕ<）的图像如图所示，则函数)(x f 的解析式为（） A 、⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin )(πx x f B 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=62sin )(πx x f C 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=32sin )(πx x f D 、⎪⎭⎫ ⎝⎛+=64sin )(πx x f 16、函数xx x x x x f cos sin 4sin |cos sin |22)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅=π是（）A 、周期为2π的偶函数 B 、周期为π的偶函数 C 、周期为2π的非奇非偶函数 D 、周期为π的非奇非偶函数三、解答题17、在A B C ∆中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，已知)0(sin sin sin >⋅=+p B p C A ，且241b ac = （1）当1,45==b p 时，求c a 、的值（2）若B 为锐角，求实数p 的取值范围18、已知函数x x x g x x f cos sin 321)(,cos )(2+== （1）若直线a x =是函数)(x f y =的图像的一条对称轴，求)2(a g 的值（2）若20π≤≤x ，求)()()(x g x f x h +=的值域19、如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足b x A y ++=)sin(ϕω，],[ππϕ-∈，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P 距离地面超过85米？20、如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角星形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设α=∠11H AA（1）试用α表示11H AA ∆的面积（2）求八角星所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小21、已知)(x f 是定义域为D 上的函数，若对任意的实数D x x ∈21,，都有：⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤+2)]()([212121x x f x f x f 成立，当且仅当21x x =时取等号，则称函数)(x f 是D 上的凸函数，凸函数具有以下性质：对任意的实数D x i ∈，都有：)()]()()([12121*∈⎪⎭⎫ ⎝⎛+++≤++N n n x x x f x f x f x f n n n 成立，当且仅当n x x x === 21时取等号，设),0(,sin )(π∈=x x x f（1）求证：x x f sin )(=是),0(π上的凸函数（2）设⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x f x f x g 2)()(π，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，利用凸函数的定义求)(x g 的最大值（3）设C B A 、、是ABC ∆三个内角，利用凸函数性质证明233sin sin sin ≤++C B A。

2017-2018年上海市交大附中高一上期末

上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高一数学期终试卷2018.1一、填空题（本大题共有12题，满分54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 若关于x 的不等式01x a x -³+的解集为()[),14,-?+?U ，则实数a =____________．2. 设集合{}{}|2|1,A x x B x x m =-<=>，若A B A =I ，则实数m 的取值范围是____________．3. 一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于____________弧度．4. 若函数2()log (1)f x x a =++的反函数的图像经过点(4,1)，则实数a =____________．5. 若123()f x x x -=-，则满足()0f x >的x 的取值范围是____________．6. 已知(7)41()1x a x a x f x ax ì--<ïï=íï³ïî是(),-??上的增函数，那么a 的取值范围是____________． 7. 定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ³时，()2()lg 32f x x x =++，则()f x 在R 上的零点个数为____________．8. 设432()f x x ax bx cx d =++++，(1)1,(2)2,(3)3f f f ===，则[]1(0)(4)4f f +的值为____________．9. 设1()f x -为[]2()41,0,2x f x x x -=+-?的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为____________．10. 已知2()0()430x a x f x x a x x ìï-?ïï=íï++>ïïî，若(0)f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围是____________．11. 设ab R Î，若函数()a f x x b x=++在区间(1,2)上有两个不同的零点，则(1)f 的取值范围为____________．12. 已知下列四个命题： ①函数()2x f x =满足：对任意1212,,x x R x x 喂，有[]12121()()22x x f f x f x 骣+÷ç?÷ç÷ç桫；②函数(22()log ,()121x f x x g x =+=+-均为奇函数； ③若函数()f x 的图像关于点(1,0)成中心对称图形，且满足(4)()f x f x -=，那么(2)(2018)f f =； ④设12,x x 是关于x 的方程log (0,1)a x k a a =>?的两根，则121x x =其中正确命题的序号是____________．二、选择题（本题共有4题，满分20分，每题5分13. “2x <”是“24x <”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件14. 设函数10()10x f x x ì->ïï=íï<ïî，则()()()()2a b a b f a b a b +---¹的值为（）A. aB. bC. ,a b 中较小的数D. ,a b 中较大的数 15. 下图中最有可能是函数2x x y =的图像是（） A. B. C. D.16. 若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意12,x x R Î有1212()()()1f x x f x f x +=++，则下列说法一定正确的是（）A. ()f x 为奇函数B. ()f x 为偶函数C. ()1f x +为奇函数D. ()1f x +为偶函数三、简答题（第17题12分，第18-19题14分，第20-21题18分）17. 解关于x 的不等式：()22121log log 10x a x a 骣÷ç+++<÷ç÷ç桫18. 设a R Î，函数3()31x x a f x +=+；（1）求a 的值，使得()f x 为奇函数；（2）若3()3a f x +<对任意的x R Î成立，求a 的取值范围19. 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。

高三数学-【数学】上海交大附中2018届高三上学期期中考试19精品

2 sin( x 2
) ，若对任意 5
x
R ，都有 f (x1)
f ( x)
f ( x2 ) 成立，则 x1 x2
的最小值为
；2
8．将函数 y tan( 3x) 的图像上的各点经过怎样的平移 _________________ ，可以得到函 4
数 y tan3 x 的图像？向左平移个单位 12
1 9．已知函数 y sin( x ) ( 0) 与直线 y 的交点中，距离最近的两点间距离为
1 23 1 32
和都是 12，所以， b1+b2+…＋b6=- 12+2 12- 3 12=-24 ．那么，在用 1，2，3，4， 2 1 3
5 形成的数阵中， b1+b2+…＋b120=
．
2 31 3 12
321
二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
A．－ 2 － 10； B．－－ 5； C． 2kπ－ 2 － 10（ k Z）； D． kπ－－ 5（ k Z）
3
3
3
3
17．若函数 y
2x 2x
1 的值域为 M ，则只能以 M 或 M 的子集为定义域的函数可以是（ 1
）
A． y lg 1 x ； B． y 1x
1 x ； C． y 1x
1x
出同时满足上述两个条件的一个函数解析式 ___________；
14．用 n 个不同的实数 a1， a2， … ， an 可得 n! 个不同的排列，每个排列为一行写成一个
n!
行的数阵．
对第
i
行
ai1 ，ai2，┄，ain，记

上海市交大附中2017-2018学年高一下期中数学试题(无答案)word

上海市交大附中2017-2018学年高一下期中数学试题（无答案）word交大附中高一期中数学试卷2018.04一、填空题1、已知数学期中考试时长为2小时，则考试期间分针旋转了弧度________2、方程2cos2x+1=0的解集是_________3、AABC 中，A=60：b=1,c=4，贝V a= ______4、化简计算: sin（二-：）tan（： -2二）tan（实卜篇）cos（3富一黑）25、函数y=arcsin（x -x）的单调递增区间是___________6、已知0 <8<一，将cos8,cos（sin0）,sin（cos8）从小到大排列27、若f（x） =asin x+：j + bsin x—：（ab式0）是偶函数，则有序实数对（a, b）可以是_________ （写出你认为正确的一组数即可）&若函数f （x）二cosx ■ |si n x |（x・ [0,2二]）的图像与直线y=k有且仅有四个不同的交点,则k的取值范围是________厂3j[ ] JT9、将y=si 2x+丄[图像上所有点向右平移二个单位，再把所得的图像上各点横坐标扩I 4丿 6大到原来的3倍（纵坐标不变），这样得到的图像对应的函数解析式为_____________10、在锐角MBC中，BC =1,B =2A，贝y AC的取值范围是___________11、函数y1 一x=arcta n x arcta n ------1 + x的值域是 _______12、设函数f（x）二a1 sin（x ：1） a? sin（x ：2） a n sin（x ：n）, 其中a i 、: i(i =1,2^ , nn N ”，n 一 2)为已知实常数，R ，下列关于函数f(x)的性质判断正确的有 _________ (填写序号)① 若f (0)= f 二1=0，则f (x)对任意实数x 恒成立辽丿② 若f(0) =0，则函数f (x)为奇函数③ 若f0，则函数f (x)为偶函数辽丿. 2 2『兀、小④ 当 f (0) +f - 1工0 时，若 f (xj = f (x 2) = 0 ,贝y 为一x 2 =kx(k€ Z)l2丿二、选择题 ot a cot tan 2 2A 、sin2：B sin ：C 、2si n ：D 、tan2： 14、与函数y = x 表示同一个函数的是() A 、y = arcsin(sin x) B 、y =cos(arccosx)2 2C 、y 二 tan(arctan x)D 、y = x(sec x - tan x)15、已知函数f(x)=As in (「x 宀)(其中A 0,「| )的图像如图所示，贝U 函数f (x) 2( 叮sin x13、化简广 JI(J ) A 、f (x) =sin 2x — B 、 f (x) =sin 2x + — i< 3丿< 6丿广 JI (n \C 、 f(x) =si n 2x+-D 、 f (x) =sin 4x +—< 3 < 6丿的解析式为()厂I 4 }16、函数f (x) = 22 | sin x cosx | 是()sin x — cosxA、周期为二的偶函数B、周期为二的偶函数2TTC周期为—的非奇非偶函数D、周期为二的非奇非偶函数2三、解答题17、在.A B (中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，已知1 2sin A sin C = p sin B( p 0)，且ac b45(1)当^4,^1时，求a、c的值(2)若B为锐角，求实数p的取值范围18、已知函数f(x) 2二cos x, g (x) 3 sin xcosx2(1)若直线x二a是函数y二f (x)的图像的一条对称轴，求g(2a)的值JC(2)若0 乞x "，求h(x)二f (x) g (x)的值域219、如图，摩天轮上一点P在t时刻距离地面高度满足y = As in （ .x •• b ,「U, 已知某摩天轮的半径为50米，点0距地面的高度为60 米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P的起始位置在摩天轮的最低点处（1）根据条件写出y （米）关于t （分钟）的解析式（2）在摩天轮转动的一圈内，有多长时间点P距离地面超过85米？20、如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角星形，由对称性,图中8个三角形都是全等的三角形，设• AAH, =（1）试用:-表示：AA1H1的面积（2）求八角星所覆盖面积的最大值，并指出此时:的大小21、已知f （x）是定义域为D上的函数，若对任意的实数％, X2 • D，都有：1‘X d +x2—[f (xj + f(X2)]兰f --------------- 成立，当且仅当X i = X2时取等号，则称函数 f (x)是D上2I 2丿的凸函数，凸函数具有以下性质：对任意的实数x・D ，都有：1 ‘Xt + X2' + x n —[f(Xi) + f(X2)十…f(Xn)]兰f -―2---------------------nX1 = X2 二…=x n时取等号，设f (x) = sin x, x 三(0,二) (1)求证：f (x) =sinx是(0,二)上的凸函数(^ N )成立，当且仅当(2)x壬0丄L禾U用凸函数的定义求< 2丿g(x)的最大值g(xHf (x) f(3 )设A、B、C是ABC三个内角，利用凸函数性质证明si nA・si n B • si nC乞空2。

交大附中2017-2018高一上期末数学卷(含答案)

往年模考题目，一模还是二模忘了很多学校考过
20.（1）证明略；（2）是“逼近数列”；；（3） a = 2 .
可参考 2018 届（今年）青浦区高三一模最后一题
年的隔热层，厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物年的能源消耗费用 C （单位：万元）与隔热层厚度
x （单位：cm ）满足关系: C(x) =
k 3x +
5
(0
≤
x
≤ 10), 若不建隔热层，
年能源消耗费用为 8 万元.设 f (x) 为隔热
层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.
（1）求 k 的值及 f (x) 的表达式.
（1）求证：函数 g(x) = 1 x 不是函数 f (x) = (1 )x ， x ∈[0,+∞) 的“逼近函数”；
2
2
（2）判断函数
g(x)
=
2x
+
5 是不是函数
f
(x)
=
2x2
+ 9x +11 x+2
，
x ∈[0,+∞)
的“线性替代函数”；
（3）若 g(x) = ax 是函数 f (x) = x + x2 +1 ， x ∈[0,+∞) 的“线性替代函数”，求 a 的值.
(x) =
2x
满足：对任意
x1, x2
∈ R, x1
≠
x2
，有
f
x1
+ x2 2
<
1[f
2
(x1 ) +
f
(x2 )]；
( ) ②函数 f (x) = log2 x +
x2

上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高一数学月考二试卷-文档资料

上海交通大学附属中学2019-2019学年度第一学期高一数学月考二试卷一、填空题1. 已知集合{}1,1,2,4A =-，{}1,0,2B =-，则A B ⋂=____________2.函数y =____________3. 已知()f x =()g x =，则()()f x g x ⋅=____________4. 函数11,,22y x x x ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦的值域为____________ 5. 若抛物线23y x ax =--恒在直线4y x =-上方，则实数a 的取值范围为____________6. 不等式21x x a +-<的解集为∅，则实数a 的取值范围是____________7. 若()2133f x x x -=-，则满足()0f x >的x 的取值范围____________8. 已知函数()3f x x x a =-+-，()31g x x =+，若()y f g x =⎡⎤⎣⎦的图象关于y 轴对称，则a =____________9. 若函数2x b y x -=+在()(),62a a b +<-上的值域为()2,+∞，则a b +=____________ 10. 密码学是一种密写技术，即把信息写成代码的技术。

将信息转换成保密语言的过程叫编码；有保密形式语言道出原始信息的过程称作译码。

凯撒（Julius Caesar 公元前100~前44年）曾使用过一种密码系统，现称为凯撒暗码。

按照这种系统的规划，原始信息的字母都用另一字母代替，后者在标准字母表中的位置比前者靠后三位（即暗码~原码后移3个位置）。

如：标准字母表：ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ凯撒暗码表：DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC这样就将信息“Julius Caesar”编码为“Mxolxv Fdhvdu”当你知道所得到的信息使用凯撒暗码写成的密码时，译码工作很容易，只需要把上述过程倒过来进行。

上海市交通大学附属中学2017-2018学年高三上学期摸底考试数学试题 Word版含解析

上海交通大学附属中学2017-2018学年度高三第一学期数学摸底试卷本试卷共有23道试题，满分150分，考试时间120分钟。

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1、设全集U={1, 3, 5, 7}，集合M={1,| a-5 |} ，，{5, 7} ，则实数a的值是____________.2或8；2、若复数z满足其中i为虚数单位，则z=__________.12i3、若双曲线中心在坐标原点，一个焦点为F（10,0），两条渐近线的方程为，则该双曲线的标准方程为____________.4、行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为.45、若变量满足约束条件，则的最小值为_________.-76、五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有_______种.24a}为等差数列，为其前项和.若，则.64 7、已知{n8、设（x2+1）(2x+1)9=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+ a11(x+2)11，则a0+a1+a2+…+ a11=_________.-29、一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为________.10、函数为奇函数，则实数a的值为__________.1或-111、关于x的方程|x|=ax+1有且仅有一个负根，则实数a的取值范围是_________.=sgnxB、sgn=-sgnxC、sgn=sgnD、sgn=-sgn三、解答题（本大题满分74分）19、（本题满分12分）本题共有2个小题，第(1)小题满分5分，第(2)小题满分7分．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（I）求C；（II）若的面积为，求△ABC的周长．20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分10分．如图，在四棱锥P–ABCD中，AD∥BC，ADC=PAB=90°，BC=CD=AD，E为边AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.（I ）在平面PAB 内找一点M ，使得直线CM ∥平面PBE ，并说明理由；（II ）若二面角P –CD –A 的大小为45°，求直线PA 与平面PCE 所成角的正弦值.21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第(1)小题满分6分，第(2)小题满分8分．已知，函数F （x ）=min{2|x −1|，x 2−2ax +4a −2}，其中min{p ，q }=（I ）求使得等式F （x ）=x 2−2ax +4a −2成立的x 的取值范围；（II ）求F （x ）在区间上的最大值M （a ）. 【答案】（I ）；（II ）．22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第(1)小题满分4分，第(2)小题满分6分，第(3)小题满分6分．各项均为正数的数列{}n b 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有2(1)n n n S b b =+．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）如果等比数列{}n a 共有2016项，其首项与公比均为2，在数列{}n a 的每相邻两项i a 与1i a +之间插入i 个*(1)()i i b i -∈N 后，得到一个新的数列{}n c ．求数列{}n c 中所有项的和；（3）是否存在实数，使得存在，使不等式成立，若存在，求实数的范围，若不存在，请说明理由．23、（本题满分18分）本题共有3个小题．第1小题3分，第2小题6分，第3小题9分．如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C 1—C 2型点”； (3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．2016-2017学年上海交大附中高三（上）摸底数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．1．（4分）设全集U={1，3，5，7}，集合M={1，|a ﹣5|}，C U M={5，7}，则a 的值为 2或8 ．【考点】补集及其运算．【专题】计算题．【分析】题目给出了全集U={1，3，5，7}，给出了全集的子集M 及M 的补集，由M∪（C U M ）=U 可求a 的值．【解答】解：由U={1，3，5，7}，且C U M={5，7}，所以，M={1，3}，又集合M={1，|a ﹣5|}，所以|a ﹣5|=3．所以，实数a 的值为2或8．故答案为：2或8【点评】本题考查了补集及其运算，解答此题的关键是一个集合与其补集的并集等于全集，此题是基础题．2．（4分）（2016秋•杨浦区校级月考）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z= 1﹣2i ．【考点】复数代数形式的加减运算．【专题】计算题；整体思想；定义法；数系的扩充和复数．【分析】设复数z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，代入已知等式，再根据复数相等的含义可得a、b的值，从而得到复数z的值．【解答】解：设z=a+bi，（a、b是实数），则=a﹣bi，∵2z+=3﹣2i，∴2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i，∴3a=3，b=﹣2，解得a=1，b=﹣2，则z=1﹣2i故答案为：1﹣2i．【点评】本题给出一个复数乘以虚数单位后得到的复数，求这个复数的值，着重考查了复数的四则运算和复数相等的含义，属于基础题．3．（4分）（2011•福建模拟）已知双曲线的中心在坐标原点，一个焦点为F（10，0），两条渐近线的方程为y=±，则该双曲线的标准方程为．【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题．【分析】由题意得，c=10，=，100=a2+b2，解出a和b的值，即得所求的双曲线的标准方程．【解答】解：由题意得，c=10，=，100=a2+b2，∴a=6，b=8，故该双曲线的标准方程为，故答案为．【点评】本题考查双曲线的定义和双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用．4．（4分）（2016秋•杨浦区校级月考）行列式的第2行第3列元素的代数余子式的值为 4 ．【考点】三阶矩阵．【专题】选作题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第3列后所余下的2阶行列式为第3行第3列元素的代数余子式，求出值即可．【解答】解：由题意得第2行第3列元素的代数余子式M23=﹣=8﹣4=4故答案为：4．【点评】此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题．5．（4分）（2016春•黔西南州校级期末）若变量x，y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为﹣7 ．【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：x，y满足约束条件对应的平面区域如图：当直线y=3x﹣z经过C时使得z最小，解得，所以C （﹣2，1），所以z=3x﹣y的最小值为﹣2×3﹣1=﹣7；故答案为：﹣7．【点评】本题考查了简单的线性规划，关键是正确画出平面区域，利用z的几何意义求最值；考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．6．（4分）（2016秋•杨浦区校级月考）五位同学排成一排，其中甲、乙必须在一起，而丙、丁不能在一起的排法有24 种．【考点】排列、组合及简单计数问题．【专题】应用题；方程思想；综合法；排列组合．【分析】根据题意，先使用捆绑法，将甲乙看成一个“元素”，再将丙、丁单独排列，进而将若甲、乙与第5个元素分类讨论，分析丙丁之间的不同情况，由乘法原理，计算可得答案．【解答】解：根据题意，先将甲乙看成一个“元素”，有2种不同的排法，将丙、丁单独排列，也有2种不同的排法，若甲、乙与第5个元素只有一个在丙丁之间，则有2×C21=4种情况，若甲、乙与第5个元素都在丙丁之间，有2种不同的排法，则不同的排法共有2×2×（2+4）=24种情况；故答案为：24．【点评】本题考查排列、组合的综合运用，涉及相邻与不能相邻的特殊要求，注意处理这几种情况的特殊方法．7．（4分已知{a n}为等差数列，S n为其前n项和．若a1+a9=18，a4=7，则S8= 64 ．【考点】等差数列的前n项和．【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】由等差数列的性质可得：a1+a9=18=2a5，解得a5．可得S8==4（a4+a5）．【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a9=18=2a5，解得a5=9．又a4=7，则S8==4（a4+a5）=4×（9+7）=64．故答案为：7=64．【点评】本题考查了等差数列的性质及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．（4分）（2014•余杭区校级模拟）若（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11，则a0+a1+…+a11的值为﹣2 ．【考点】二项式定理．【专题】计算题．【分析】本题通过赋值法进行求解，在题干所给的式子中令x=﹣1，即可得到所求的结果．【解答】解：∵（x2+1）（2x+1）9=a0+a1（x+2）+a2（x+2）2+…+a11（x+2）11∴在上式中，令x=﹣1：（（﹣1）2+1）（2（﹣1）+1）2=a0+a1+…+a11即a0+a1+…+a11=﹣2故答案为：﹣2【点评】本题通过赋值法进行求解，另外此种方法在函数的求值问题也常用到，属于基础题．9．（4分）一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示．则该几何体的体积为．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体上部是一个半球，下部是一个四棱锥，进而可得答案．【解答】解：由三视图可知，上面是半径为的半球，体积为V==，下面是底面积为1，高为1的四棱锥，体积，所以该几何体的体积为．故答案为．【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键．10．（4分）函数f（x）=为奇函数，则实数a的值为1或﹣1 ．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】综合题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】函数f（x）=为奇函数，可得=﹣，化简即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）=为奇函数，∴=﹣，∴=﹣，∴a=1或﹣1．故答案为1或﹣1．【点评】本题考查了奇函数的性质，考查学生的计算能力，属于基础题．11．（4分）（已知关于x的方程|x|=ax+1有一个负根，但没有正根，则实数a的取值范围是a≥1 ．【考点】根的存在性及根的个数判断．【专题】数形结合．【分析】构造函数y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象，通过数形结合求出a的范围．【解答】解：令y=|x|，y=ax+1，在坐标系内作出函数图象，方程|x|=ax+1有一个负根，但没有正根，由图象可知a≥1故答案为：a≥1【点评】本题考查根的存在性及根的个数判断，考查数形结合思想，计算能力，是基础题．12．（4分）设O为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线y2=2px（p＞0）上任意一点，M是线段PF上的点，且|PM|=2|MF|，则直线OM的斜率的最大值为．【考点】抛物线的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】根据体积，建立方程组，求出M的坐标，可得直线OM的斜率，利用基本不等式可得结论．【解答】解：设P（2pt，2pt），M（x，y），则，∴x=，y=，∴k OM==≤=，当且仅当t=时取等号，∴直线OM的斜率的最大值为．故答案为：．【点评】本题考查抛物线的方程及运用，考查直线的斜率的最大值，考查基本不等式，考查运算能力，属于中档题．13．（4分）已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，且f（x）在（，）单调，则ω的最大值为9 ．【考点】正弦函数的图象．【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质．【分析】先跟据正弦函数的零点以及它的图象的对称性，判断ω为奇数，由f（x）在（，）单调，可得ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，由此求得ω的范围，检验可得它的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=﹣为f（x）的零点，x=为y=f（x）图象的对称轴，∴ω（﹣）+φ=nπ，n∈Z，且ω•+φ=n′π+，n′∈Z，∴相减可得ω•=（n′﹣n）π+=kπ+，k∈Z，即ω=2k+1，即ω为奇数．∵f（x）在（，）单调，∴ω•+φ≥2kπ﹣，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z，即﹣ω•﹣φ≤﹣2kπ+①，且ω•+φ≤2kπ+，k∈Z ②，把①②可得ωπ≤π，∴ω≤12，故有奇数ω的最大值为11．当ω=11时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=﹣．此时f（x）=sin（11x﹣）在（，）上不单调，不满足题意．当ω=9时，﹣+φ=kπ，k∈Z，∵|φ|≤，∴φ=，此时f（x）=sin（9x+）在（，）上单调递减，满足题意；故ω的最大值为9，故答案为：9．【点评】本题主要考查正弦函数的零点以及它的图象的对称性，正弦函数的单调性的应用，属于中档题．14．（4分）在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，）；当P是原点时，定义P的“伴随点“为它自身，平面曲线C上所有点的“伴随点”所构成的曲线C′定义为曲线C的“伴随曲线”．现有下列：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A；②单位圆的“伴随曲线”是它自身；③若曲线C关于x轴对称，则其“伴随曲线”C′关于y轴对称；④一条直线的“伴随曲线”是一条直线．其中的真是②③（写出所有真的序列）．【考点】的真假判断与应用．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】利用新定义，对4个分别进行判断，即可得出结论．【解答】解：①若点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），则点A′（，）的“伴随点”是点（﹣x，﹣y），故不正确；②由①可知，单位圆的“伴随曲线”是它自身，故正确；③若曲线C关于x轴对称，点A（x，y）关于x轴的对称点为（x，﹣y），“伴随点”是点A′（﹣，），则其“伴随曲线”C′关于y轴对称，故正确；④设直线方程为y=kx+b（b≠0），点A（x，y）的“伴随点”是点A′（m，n），则∵点A（x，y）的“伴随点”是点A′（，），∴，∴x=﹣，y=∵m=，∴代入整理可得n﹣1=0表示圆，故不正确．故答案为：②③．【点评】此题考查点的坐标规律，读懂题目信息，理解“伴随点”的定义是解题的关键．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，填上正确的答案，选对得5分，否则一律得零分．15．（5分）钱大姐常说“好货不便宜”，她这句话的意思是：“好货”是“不便宜”的（）A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】压轴题；规律型．【分析】“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，根据充要条件的定义进行判断即可，【解答】解：若p⇒q为真，则p是q的充分条件；“好货不便宜”，其条件是：此货是好货，结论是此货不便宜，由条件⇒结论．故“好货”是“不便宜”的充分条件．故选A【点评】本题考查了必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．16．（5分）若D′是平面α外一点，则下列正确的是（）A．过D′只能作一条直线与平面α相交B．过D′可作无数条直线与平面α垂直C．过D′只能作一条直线与平面α平行D．过D′可作无数条直线与平面α平行【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】存在型．【分析】将点和线放置在正方体中，视平面α为正方体中的平面ABCD，结合正方体中的线面关系对选支进行判定，取出反例说明不正确的，正确的证明一下即可．【解答】解：观察正方体，A、过D′可以能作不止一条直线与平面α相交，故A错；B、过D′只可作一数条直线与平面α垂直，故B错；C、过D′能作不止一条直线与平面α平行，故C错；D、过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行，且这个平面内的任一条直线都与已知平面平行，故D对．故选D．【点评】本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．17．（5分）（2016秋•杨浦区校级月考）已知函数f（x）=sinϖx+cosωx（ω＞0）的图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，把函数f（x）的图象沿x轴向左平移个单位，得到函数g（x）的图象，则（）A．g（x）是奇函数B．g（x）关于直线x=﹣对称C．g（x）在[，]上是增函数D．当x∈[，]时，g（x）的值域是【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【专题】计算题；转化思想；综合法．【分析】将函数化简，图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，可知周期为π，由周期求出ω，向左平移个单位可得g（x）的解析式，再利用三角函数图象及性质，可得结论．【解答】解：f（x）=sinϖx+cosωx（ω＞0），化简得：f（x）=2sin（ϖx+），∵图象与x轴交点的横坐标依次构成一个公差为的等差数列，可知周期为π∴T=π=，解得ω=2．那么：f（x）=2sin（2x+），图象沿x轴向左平移个单位，得：2sin=2cos2x．∴g（x）=2cos2x，故g（x）是偶函数，在区间单调减函数．所以A，C不对．对称轴方程为x=（k=Z），检验B不对．当x∈[，]时，那么2x∈[，]，g（x）的最大值为1，最小值为﹣2，故值域为．D正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数的辅助角公式的化简和图象的平移，三角函数的性质的运用能力．属于中档题．18．（5分）（2015•湖北）已知符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），则（）A．sgn=sgnx B．sgn=﹣sgnx C．sgn=sgn D．sgn=﹣sgn【考点】函数与方程的综合运用．【专题】函数的性质及应用．【分析】直接利用特殊法，设出函数f（x），以及a的值，判断选项即可．【解答】解：由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数sgnx=，f（x）是R上的增函数，g（x）=f（x）﹣f（ax）（a＞1），不妨令f（x）=x，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=﹣sgnx．所以A不正确，B正确，sgn=sgnx，C不正确；D正确；对于D，令f（x）=x+1，a=2，则g（x）=f（x）﹣f（ax）=﹣x，sgn=sgn（x+1）=；sgn=sgn（﹣x）=，﹣sgn=﹣sgn（x+1）=；所以D不正确；故选：B．【点评】本题考查函数表达式的比较，选取特殊值法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．三、解答题（本大题满分74分）19．（12分）（2016春•寿县校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC （acosB+bcosA）=c．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．【考点】解三角形．【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC∴cosC=，又0＜C＜π，∴C=；（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，∴（a+b）2﹣3ab=7，∵S=absinC=ab=，∴ab=6，∴（a+b）2﹣18=7，∴a+b=5，∴△ABC的周长为5+．【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．20．（2016秋•杨浦区校级月考）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，（14分）BC=CD=AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【专题】数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．（I）延长AB交直线CD于点M，由点E为AD的中点，可得AE=ED=AD，由BC=CD=AD，【分析】可得ED=BC，已知ED∥BC．可得四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可．（II）如图所示，由∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M，可得AP⊥平面ABCD．由CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．可得P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出．【解答】解：（I）延长AB交直线CD于点M，∵点E为AD的中点，∴AE=ED=AD，∵BC=CD=AD，∴ED=BC，∵AD∥BC，即ED∥BC．∴四边形BCDE为平行四边形，即EB∥CD．∵AB∩CD=M，∴M∈CD，∴CM∥BE，∵BE⊂平面PBE，∴CM∥平面PBE，∵M∈AB，AB⊂平面PAB，∴M∈平面PAB，故在平面PAB内可以找到一点M（M=AB∩CD），使得直线CM∥平面PBE．（II）如图所示，∵∠ADC=∠PAB=90°，异面直线PA与CD所成的角为90°，AB∩CD=M，∴AP⊥平面ABCD．∴CD⊥PD，PA⊥AD．因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角，大小为45°．∴PA=AD．不妨设AD=2，则BC=CD=AD=1．∴P（0，0，2），E（0，1，0），C（﹣1，2，0），∴=（﹣1，1，0），=（0，1，﹣2），=（0，0，2），设平面PCE的法向量为=（x，y，z），则，可得：．令y=2，则x=2，z=1，∴=（2，2，1）．设直线PA与平面PCE所成角为θ，则sinθ====．【点评】本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质，考查了空间想象能力、推理能力与计算能力，属于中档题．21．（14分）（2016•浙江）已知a≥3，函数F（x）=min{2|x﹣1|，x2﹣2ax+4a﹣2}，其中min （p，q）=（Ⅰ）求使得等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围（Ⅱ）（i）求F（x）的最小值m（a）（ii）求F（x）在上的最大值M（a）【考点】函数最值的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】新定义；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】（Ⅰ）由a≥3，讨论x≤1时，x＞1，去掉绝对值，化简x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|，判断符号，即可得到F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，求得f（x）和g（x）的最小值，再由新定义，可得F（x）的最小值；（ii）分别对当0≤x≤2时，当2＜x≤6时，讨论F（x）的最大值，即可得到F（x）在上的最大值M（a）．【解答】解：（Ⅰ）由a≥3，故x≤1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2+2（a﹣1）（2﹣x）＞0；当x＞1时，x2﹣2ax+4a﹣2﹣2|x﹣1|=x2﹣（2+2a）x+4a=（x﹣2）（x﹣2a），则等式F（x）=x2﹣2ax+4a﹣2成立的x的取值范围是；（Ⅱ）（i）设f（x）=2|x﹣1|，g（x）=x2﹣2ax+4a﹣2，则f（x）min=f（1）=0，g（x）min=g（a）=﹣a2+4a﹣2．由﹣a2+4a﹣2=0，解得a=2+（负的舍去），由F（x）的定义可得m（a）=min{f（1），g（a）}，即m（a）=；（ii）当0≤x≤2时，F（x）≤f（x）≤max{f（0），f（2）}=2=F（2）；当2＜x≤6时，F（x）≤g（x）≤max{g（2），g（6）}=max{2，34﹣8a}=max{F（2），F（6）}．则M（a）=．【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查分类讨论的思想方法，以及二次函数的最值的求法，不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．22．（16分）（2015•闵行区二模）各项均为正数的数列{b n}的前n项和为S n，且对任意正整数n，都有2S n=b n（b n+1）．（1）求数列{b n}的通项公式；（2）如果等比数列{a n}共有2015项，其首项与公比均为2，在数列{a n}的每相邻两项a k与a k+1之间插入k个（﹣1）k b k（k∈N*）后，得到一个新的数列{c n}．求数列{c n}中所有项的和；（3）如果存在n∈N*，使不等式成立，求实数λ的范围．【考点】数列与不等式的综合；数列的求和．【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用．【分析】（1）运用数列的通项和前n项和的关系，结合等差数列的定义和通项公式，即可得到；（2）运用等比数列的求和公式和数列求和方法：分组求和，即可得到所求；（3）运用参数分离可得，运用基本不等式和单调性，分别求出不等式左右两边的最值，即可得到所求范围．【解答】解：（1）当n=1时，由2S1=b1（b1+1）得b1=1，当n≥2时，由2S n=b n（b n+1），2S n﹣1=b n﹣1（b n﹣1+1）得（b n+b n﹣1）（b n﹣b n﹣1）=b n+b n﹣1因数列{b n}的各项均为正数，所以b n﹣b n﹣1=1，所以数列{b n}是首项与公差均为1的等差数列，所以数列{b n}的通项公式为b n=n．（2）数列{a n}的通项公式为，数列{c n}共有2015+1+2+…+2014=1008×2015项，其所有项的和为S1008×2015=（2+22+…+22015）+（﹣1+22﹣32+42﹣…20132+20142）=2（22015﹣1）+=22016﹣2+×1007=22016+2015×1007﹣2=22016+2029103；（3）由，得，记因为，当取等号，所以取不到，当n=3时，的最小值为（n ∈N*）递减，的最大值为B1=6，所以如果存在n∈N*，使不等式成立实数λ应满足A3≤λ≤B1，即实数λ的范围应为．【点评】本题考查数列的通项和前n项和的关系，主要考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，同时考查不等式存在性问题转化为求最值问题，具有一定的难度和综合性．23．（18分）（2013•上海）如图，已知双曲线C1：，曲线C2：|y|=|x|+1，P是平面内一点，若存在过点P的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”（1）在正确证明C1的左焦点是“C1﹣C2型点“时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；（2）设直线y=kx与C2有公共点，求证|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：圆x2+y2=内的点都不是“C1﹣C2型点”【考点】直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式；双曲线的简单性质．【专题】压轴题；新定义；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由双曲线方程可知，双曲线的左焦点为（），当过左焦点的直线的斜率不存在时满足左焦点是“C1﹣C2型点”，当斜率存在时，要保证斜率的绝对值大于等于该焦点与（0，1）连线的斜率；（2）由直线y=kx与C2有公共点联立方程组有实数解得到|k|＞1，分过原点的直线斜率不存在和斜率存在两种情况说明过远点的直线不可能同时与C1和C2有公共点；（3）由给出的圆的方程得到圆的图形夹在直线y=x±1与y=﹣x±1之间，进而说明当|k|≤1时过圆内的点且斜率为k的直线与C2无公共点，当|k|＞1时，过圆内的点且斜率为k的直线与C2有公共点，再由圆心到直线的距离小于半径列式得出k的范围，结果与|k|＞1矛盾．从而证明了结论．【解答】（1）解：C1的左焦点为（），写出的直线方程可以是以下形式：或，其中．（2）证明：因为直线y=kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|=|x|+1，得．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x=0或y=kx（|k|＞1）．显然直线x=0与C1无公共点．如果直线为y=kx（|k|＞1），则由方程组，得，矛盾．所以直线y=kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）证明：记圆O：，取圆O内的一点Q，设有经过Q的直线l与C1，C2都有公共点，显然l不与x轴垂直，故可设l：y=kx+b．若|k|≤1，由于圆O夹在两组平行线y=x±1与y=﹣x±1之间，因此圆O也夹在直线y=kx±1与y=﹣kx±1之间，从而过Q且以k为斜率的直线l与C2无公共点，矛盾，所以|k|＞1．因为l与C1由公共点，所以方程组有实数解，得（1﹣2k2）x2﹣4kbx﹣2b2﹣2=0．因为|k|＞1，所以1﹣2k2≠0，因此△=（4kb）2﹣4（1﹣2k2）（﹣2b2﹣2）=8（b2+1﹣2k2）≥0，即b2≥2k2﹣1．因为圆O的圆心（0，0）到直线l的距离，所以，从而，得k2＜1，与|k|＞1矛盾．因此，圆内的点不是“C1﹣C2型点”．【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了点到直线的距离公式，考查了直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等．突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法．属难题．。

上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高一上学期10月月考数学试题

绝密★启用前上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高一上学期10月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论正确的是（） A ．Q P ⊆B ．PQ =∅C ．P Q ⋂≠∅D ．P Q P ≠2．集合{}*421A x x N =--∈，则A 的非空真子集的个数是（）A ．62B ．126C ．254D ．5103．已知,,a b c ∈R ，则下列四个命题正确的个数是（）①若22ac bc >，则a b >；②若22a b ->-，则()()2222a b ->-； ③若0a b c >>>，则a a cb b c+>+；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >.A ．1B ．2C ．3D ．44．若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题5．用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是____________.6．已知集合，，且，则的值为_________________ 7．设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=_____ 8．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(1,)-∞-+∞，则a b -=________9．设集合(){},|1U x y y x ==+，()3,|12y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，UC A =______.10．不等式21x+≥____________. 11．已知x ∈R ，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是______.12．设[]:13,:1,25x x m m αβ-≤≤∈-+，α是β的充分条件，则m ∈____________.13．若对任意x ∈R ，不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，则实数a 值范围是____________.14．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A 、B 都赞成的学生有____________人15．设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]5.55, 5.56=-=-），则不等式[][]2560x x -+≤的解集为____________16．已知有限集{}123,,,,(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,,)i a i n =满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”；其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题17．已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ．（1）当4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围． 18．解关于x 的不等式2(2)(21)60a x a x -+-+> 19．已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.20．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在商场内消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=元，设购买商品得到的优惠率＝（购买商品获得的优惠额）/（商品标价），试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在[]500,800（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于13的优惠率？ 21．对于四个正数,,,x y z w ，如果xw yz <，那么称(,)x y 是(,)z w 的“下位序对”，（1）对于2,3,7,11，试求(2,7)的“下位序对”；（2）设a b c d ,,,均为正数，且(,)a b 是(,)c d 的“下位序对”，试判断,,c a a cd b b d++之间的大小关系；**使得(,2017)m 是(,)k n 的“下位序对”，且(,)k n是(1,2018)m 的“下位序对”，求正整数n 的最小值.参考答案1．D 【解析】【分析】根据互为逆否命题的两个命题等价，得到答案. 【详解】原命题：“若PQ P =，则集合P 是集合Q 的子集”，真命题；逆否命题：“若集合P 不是集合Q 的子集，则PQ P ≠”，根据互为逆否命题的两个命题等价，原命题真，那么逆否命题也是真命题，故选：D 【点睛】本题考查根据互为逆否命题的两个命题是等价的，判断命题的真假，意在考查对命题内容的理解，和掌握情况，属于基础题型. 2．B 【解析】【分析】由条件{}*421A x x N =--∈计算出集合A ,再求出A 的非空真子集的个数．【详解】解：{}*421A x x N =--∈∴2x =,或32x =,或1x =,或12x =, 或0x =,或12x =-,或1x =-,3112,,1,,0,,1222A --⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,A ∴的非空真子集的个数是722126-=.故选：B 【点睛】当集合中的元素个数为n ,该集合的子集个数为2n ;真子集个数为21n -;非空真子集个数为22n -.3．C【解析】【分析】利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论. 【详解】①当22ac bc >时，20c >，两边同时除以2c ，得到a b >，正确；②220a b ->-≥，那么2222a b ->-，即()()2222a b ->-，正确； ③()()()()()a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==++- ，0a b c >>> 0,0a b b c ∴->->a a cb b c+∴>+，正确； ④令110,2a b == 同样能满足4,4a b ab +>> ，2,2a b ∴>>不正确.共有3个正确. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小. 4．C 【解析】【分析】首先根据(),0a b ϕ=,证明0a ≥，0b ≥且0ab = ，再证明0a ≥，0b ≥且0ab =时，(),0a b ϕ= .【详解】若(),0a b ϕ=，0a b -=a b =+ 两边平方后可得20ab =，即0a =或0b =当0a =0b b b =-= ，0b ∴≥ ，即a 与b 互补，同理0b =时，a 与b 互补，反过来，当0ab =时，0a b -= ，即(),0a b ϕ= ，故(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断和证明，意在考查逻辑推理和分析证明的能力，属于中档题型，本题的关键需根据充要条件的判断证明(),0a b a ϕ=⇒与b 互补，a 与b 互补(),0a b ϕ⇒=.5．1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】解方程22320,x x x R --=∈，得112x =-，22x =，从而可得方程的解集. 【详解】解方程22320,x x x R --=∈，得112x =-，22x =， ∴用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故答案为：1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了列举法表示集合，属于基础题. 6．0 【解析】【分析】由A={1，﹣m}，B={1，m 2}，且A=B ，知m 2=﹣m ，由此能求出实数m 的值，m=﹣1不满足集合中元素的互异性，舍去．【详解】解：，且，，解得或者 . 不满足集合中元素的互异性，舍去．符合题意．故答案是：0．【点睛】本题考查集合相等的概念及集合元素的互异性，是基础题． 7．{1，2，4} 【解析】【分析】根据并集与交集的定义计算即可．【详解】∵A={1，2，6}，B={2，4}， ∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x|﹣1≤x≤5，x∈R}， ∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故答案为：{1，2，4}．【点睛】本题考查交集与并集的运算，解题时根据集合运算的定义求解即可，是基础题． 8．0 【解析】【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(1,)-∞-+∞,可得方程20ax bx c ++=的两根为2-和1,根据两根之和21ba-+=-,即可求得a 与b 的比值,得到a b =,即可求得-a b 的值. 【详解】解：已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(1,)-∞-+∞,则关于x 的方程20ax bx c ++=的两个实数根是2-和1,且0a >,由两根之和得：21b a-+=- , 1b a\-=- 所以1ba=,则a b =,所以0a b -=. 故答案为：0 【点睛】本题重点考查一元二次不等式,考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系,解题的关键是利用根与系数的关系. 9．(){}2,3【解析】【分析】首先求集合A ，再根据全集求U C A . 【详解】(){},1,2A x y y x x ==+≠，集合A 表示直线1y x =+上除去()2,3的所有点组成的集合，(){}2,3U C A ∴=.故答案为：(){}2,3【点睛】本题考查点表示的集合的补集，属于简单题型. 10．(]0,1 【解析】【分析】先求出x 的范围，再解分式不等式即可. 【详解】由21x+1x ≤且0x ≠， 21x ∴≥，即20x x-≥，即()20x x -≥，解得02x <≤，综上所述不等式的解集为(]0,1. 故答案为：(]0,1 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，解不等式时注意式子要有意义，此题属于基础题. 11．若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥ 【解析】【分析】根据四种命题的形式，直接写其否命题. 【详解】原命题的否命题是“若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥” 故答案为：若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥ 【点睛】本题考查四种命题的书写形式，属于基础题型，若原命题是“若p 则q ”那么否命题：“若p ⌝则q ⌝”，逆命题：“若q 则p ”，逆否命题：“若q ⌝则p ⌝”. 12．[]1,0- 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义可得关于m 的不等式组，解出即可. 【详解】:13,x α-≤≤[]:1,25x m m β∈-+， α是β的充分条件，令α：{}13A x x =-≤≤，:β{}125B x m x m =-≤≤+， A B ∴⊆，可得11253m m -≤-⎧⎨+≥⎩，即10m -≤≤故答案为： []1,0-【点睛】本题考查了充分必要条件、集合的包含关系求参数的取值范围，解题的关键是根据充分条件推出集合之间的关系，属于基础题.13．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据题意，分两种情况讨论：1若210a -=，则1a =±，分别验证1a =或1-时，是否能保证该不等式满足对任意的实数x 都成立； 2若210a -≠，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为二次不等式，结合二次函数的性质，可解得此时a 值范围.【详解】由题意，分两种情况讨论： 1若210a -=，则1a =±，当1a =时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为：10-<，满足对任意的实数x 都成立，则1a =满足题意，当1a =-时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为：20x -<，不满足对任意的实数x 都成立，则1a =-满足题意， 2若210a -≠，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为二次不等式，要保证22(1)(1)10a x a x ----<实数x 都成立，必须有()()222101410a a a ⎧-<⎪⎨∆=-+-<⎪⎩ 可解得315a -<<，综上可得3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题. 14．21【解析】【分析】赞成A 的人数30，赞成B 的人数为33，设对A 、B 都赞成的学生为x ，则对A 、B 都不赞成的学生数为113x +，画出韦恩图，形象的表示出各数量间的联系即可求出都赞成的学生数.【详解】赞成A 的人数为350305⨯=，赞成B 的人数为30333+= 画出韦恩图，如图，记50名学生组成的集合为U赞成事件A 的学生全体为集合A ，赞成事件B 的学生全体为集合B ，对A 、B 都赞成的学生为x ，则对A 、B 都不赞成的学生数为113x +，赞成A 而不赞成B 的人数为30x -，赞成B 而不赞成A 的人数为33x -，依题意()()30331503x x x x ⎛⎫-+-+++= ⎪⎝⎭，解得21x = 故答案为：21【点睛】本题考查了韦恩图的应用，解题的关键是找到各数量之间的关系，属于基础题.15．[)2,4【解析】【分析】先将[]x 看成整体，利用不等式2[]5[]60x x -+≤求出[]x 的范围，然后根据新定义[]x 表示不超过x 的最大整数，得到x 的范围．【详解】解：不等式2[]5[]60x x -+≤可化为：([]2)([]3)0x x --≤解得：2[]3x ≤≤，所以解集为2[]3x ≤≤，根据[x ]表示不超过x 的最大整数,得不等式的解集为：24x ≤<.【点睛】考查学生理解新定义的能力，一元二次不等式，不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查整体思想、化归与转化思想．属于基础题．16．①③④【解析】【分析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理以及反证法，依次判断四个结论的正误，进而可得答案.【详解】对于①， 1==-，故①正确；对于②，不妨设1212a a a a t +==，则由韦达定理知12,a a 是一元二次方程20x tx t -+=的两个根，由>0∆，可得0t <或4t >，故②错；对于③，不妨设A 中123n a a a a <<<<，由1212n n n a a a a a a na =+++<得121n a a a n -<，当2n =时，即有12a <，∴11a =，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“复活集”A ，故③正确；对于④，当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“复活集” A 只有一个，为{}1,2,3，当4n ≥时，由()1211231n a a a n -≥⨯⨯⨯⨯-，即有()1!n n >-，也就是说“复活集”A 存在的必要条件是()1!n n >-，事实上()()()()221!1232222n n n n n n n -≥--=-+=--+>，矛盾， ∴当4n ≥时不存在“复活集”A ，故④正确.故答案为：①③④【点睛】本题主要考查了集合新定义，需理解“复活集”的定义，考查了学生的知识迁移能力以及分析问题的能力，属于中档题.17．（1）()5,2,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】（1）代入4a =后将分式不等式转化为高次不等式，求解后可得M .（2）根据3M ∈且5M ∉可得关于a 的不等式组，其解为实数a 的取值范围.【详解】（1）因为4a =，故24504x x -<-即()()()45220x x x --+<，所以2x <-或524x <<，故M 为()5,2,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. （2）因为3M ∈且5M ∉，故350955025a a a a -⎧<⎪⎪-⎨-⎪≥⎪-⎩或250a -=，故()()()()35901250a a a a ⎧-->⎪⎨--≤⎪⎩，解得513a ≤<或925a <≤，故a 的取值范围为(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】一般地，()()0f x g x >等价于()()0f x g x >，而()()0f x g x ≥则等价于()()()00f x g x g x ⎧≥⎪⎨≠⎪⎩，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.解本题时还应注意5M ∉对应的a 满足的条件中容易遗漏250a -=这个情况.18．当2a <时，解集为322x x a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭；当2a =时，解集为{}2x x >-；当72a >时，解集为32x x a ⎧>⎨-⎩或}2x <-；当722a <<时，解集为{2x x >-或32x a ⎫<⎬-⎭；当72a =时，解集为{}2x x ≠-；【解析】【分析】分情况讨论：即2a <时；当2a =时；当722a <<；当72a >时；当72a =时；分别解不等式即可.【详解】当2a <时，则()()2(2)(21)602320a x a x a x x ⎡⎤-+-+>⇒--+<⎣⎦，故解集为322x x a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭；当2a =时，则360x +>，解得2x >-，故解集为{}2x x >-；当72a >时，则()()2(2)(21)602320a x a x a x x ⎡⎤-+-+>⇒-++>⎣⎦，由于322a >--，故解集为32x x a ⎧>⎨-⎩或}2x <-；当722a <<时，由于322a <--，故解集为{2x x >-或32x a ⎫<⎬-⎭；当72a =时，22(2)(21)60440a x a x x x -+-+>⇒++>，故解集为{}2x x ≠-；综上所述，当2a <时，解集为322x x a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭；当2a =时，解集为{}2x x >-；当72a >时，解集为32x x a ⎧>⎨-⎩或}2x <-；当722a <<时，解集为{2x x >-或32x a ⎫<⎬-⎭；当72a =时，解集为{}2x x ≠-；【点睛】本题主要考查含有参数的不等式解法，考查了学生的分类讨论的思想，属于基础题. 19．（1）[)1,+∞；（2）5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】【分析】（1）由于f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x ≤2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；（2）依题意可得m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ，分x ≤1、﹣1＜x ＜2、x ≥2三类讨论，可求得g （x ）max 54=，从而可得m 的取值范围．【详解】解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，f （x ）≥1，∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2；综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立，即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）22231311232x x x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--⎨⎪-++≥⎩，，＜＜，，当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x 12=-＞1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x 32=∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）9942=-+-154=；当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x 12=＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1；综上，g （x ）max 54=， ∴m 的取值范围为（﹣∞，54]．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．20．（1）33%；（2）[]625,750.【解析】【分析】本题考查的是不等式的应用问题．在解答时：（1）直接根据购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价，即可获得问题的解答；（2）由于标价在[500，800]（元)内的商品，其消费金额满足：4000.8640x 剟，所以要结合消费金额（元)的范围进行讨论，然后解不等式组即可获得问题的解答．【详解】（1）由题意可知：10000.213033%1000⨯+=．故购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是33%．（2）设商品的标价为x 元．则500800x 剟，消费额：4000.8640x 剟．由已知得（Ⅰ）0.260134000.8500x x x +⎧⎪⎨⎪⎩…剟或（Ⅱ）0.2100135000.8640x x x +⎧⎪⎨⎪⎩…剟不等式组（Ⅰ）无解，不等式组（Ⅱ）的解为625750x 剟．因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于13的优惠率．【点睛】本题考查的是不等式的应用问题．在解答的过程当中充分体现了应用题要仔细审题的特点，同时考查了分类讨论的思想．21．（1）()3,11；（2）b ac c a bd d+<<+；（3）4035 【解析】【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可；（2）根据新定义得到ad bc <，再利用不等式的性质，即可判断；（3）由题意得到()201712018mn k m n k <⎧⎨+>⎩，从而求出4035n ≥，再验证该式对集合{|02017}t t <<内的每个m N +∈的每个正整数m 都成立，继而求出最小值.【详解】（1）37112⨯<⨯，∴(2,7)的“下位序对”是()3,11（2）(,)a b 是(,)c d 的“下位序对”，ad bc ∴<，a b c d ,,,均为正数，故()0a c a bc ad b d b b d b +--=>++，即 a c b b d a+>+，同理a c cb d d+<+，综上所述，b a c c a b d d +<<+. （3）依题意得()201712018mn k m n k <⎧⎨+>⎩，注意到,,m n l 整数，故1201712018mn k mn n k+≤⎧⎨+-≥⎩ 于是()()201712017201820181mn n k mn +-≥⨯≥+40352017n m∴≥- 该式对集合{|02017}t t <<内的每个m N +∈的每个正整数m 都成立，4035403520172016n ∴≥=-， 120172018m k m n +<<， 112017201720182018m m m m +++∴<<+ ， 211201740352018m m m ++∴<<， ∴对集合{|02017}t t <<内的每个m N +∈，总存在k N +∈，使得(,2017)m 是(,)k n 的“下位序对”，且(,)k n 是(1,2018)m +的“下位序对”，正整数n 的最小值为4035.【点睛】本题主要考查了集合新定义，需理解题干中的定义，考查了学生的知识迁移能力以及分析问题的能力，属于中档题.。

上海交通大学附属中学2015-2016学年高一上学期期中考试数学试题Word版缺答案

上海交通大学附属中学2015-2016学年度第一学期高一数学期中试卷（满分150分，120分钟完成，允许使用计算器，答案一律写在答题纸上）命题：曹建华审核：杨逸峰一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，只要求直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．1．不等式35x -<的解是__________________．2．已知结合1|12xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，集合{}|lg 0B x x =>，则A B =∪__________________．3．已知函数()1log a f x x =+，（0a >，1a ≠）若函数()1y f x -=的图像过点()3,4，则a =_________．4．方程()()2lg 3lg 35x x -=-的解是__________________。

5．设()()[)3,,,,,.x x t f x x x t ⎧∈-∞⎪=⎨∈+∞⎪⎩若()327f =，则t 的取值范围为_________．6．若()2132f x x x-=-，则满足()0f x >的x 的取值范围是_________．7．若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，在(],0-∞上是单调递减的，且()10f =，则使()0f x <的x 的取值范围是_________．8．若函数()2axf x x b=+的图像如右图所示，其中，当1x =时，函数()f x 取得最大值为1，则a b +=__________________．9．设正数a 、b 满足23a b ab +=，则a b +的最小值是_________． 10．若函数()12f x m x =--只有一个零点，则实数m =_________． 11．已知函数()221f x x x =++，如图使()f x kx ≤对任意实数(]1,x m ∈都成立的m 的最大值是5，则实数k =_________．12．设()1f x -为()131x f x x -=+-，[]0,1x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________．13．设命题p ：函数()21lg 16f x ax x a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的值域为R ；命题q ：不等式39x x a -<对一切正实数x 均成立，如果命题p 和q 不全为真命题，则实数a 的取值范围是_________． 14．定义区间(),c d ，[),c d ，(],c d ，[],c d 的长度均为()d c d c ->．已知实数a b >，则满足11122x a x b+--≥的x 构成的区间的长度之和为_________．二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得5分，否则一律得零分．15．牛大叔常数“价贵货不假”，他这句话的意思是：“不贵”是“假货”的（） A ．充分条件B ．必要条件C ．充分必要条件D ．既非充分也非必要条件16．若0a b >>，则下列不等式不成立的是（） A ．11a b< B ．a b > C．a b +> D．21a b1+17．已知函数()y f x =（x ∈R ）是奇函数，其部分图象如图所示，则在()2,0-上与函数()f x 的单调性相同的是（）A ．21y x =+B ．2log y x =C ．()()00xx e x y e x -⎧⎪=⎨<⎪⎩≥D ．2y x =+18．设()()2,0,1,0x a x f x x a x x ⎧-⎪=⎨++>⎪⎩≤若()0f 是()f x 的最小值，则a 的取值范围为（） A ．[]1,2-B ．[]1,0-C ．[]0,2D ．[]1,2三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤． 19．（本题满分12分）设函数()()2ln 12f x x x =--的定义域为集合A ，集合8|12B x x ⎧⎫=>⎨⎬+⎩⎭．请你写出一个不等式，使它的解集为u C A B ∩，并说明理由．20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分．某环线地铁内、外环线同时运行，内外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）． ⑴当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；⑵新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时，现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内、外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，问：内、外环线应各投入几列列车运行？21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．对定义在[]0,1上，并且同时满足一下两个条件的函数()f x 称为“G 函数”． ①对任意的[]0,1x ∈，总有()0f x ≥；②当10x ≥，20x ≥，121x x +≤时，总有()()()1212f x x f x f x ++≥成立．已知函数()2g x x =与()2x h x b =-是定义在[]0,1上的函数． ⑴试问函数()g x 是否为“G 函数”？并说明理由； ⑵若函数()h x 是“G 函数”，求实数b 组成的集合．22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知函数()y f x =是单调递增函数，其反函数是()1y f x -=． ⑴若2112y x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，求()1y f x -=并写出定义域M ；⑵对于⑴的()1y f x -=和M ，设任意1x M ∈，2x M ∈，12x x ≠，求证：()()111212f x f x x x ---<-；⑶已知函数()y f x =和()1y f x -=的图象有交点，求证：它们的交点一定在直线上． 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．若函数()y f x =，x D ∈，对任意的1x D ∈，总存在2x D ∈，使得()()121f x f x ⋅=，则称函数()f x 具有性质M ．⑴判断函数2x y =和2log y x =是否具有性质M ，说明理由； ⑵若函数()8log 2y x =+，[]0,x t ∈具有性质M ，求t 的值；⑶若函数2299x ax y x ax ++=-+（0a ≠）在实数集R 上具有性质M ，求a 的取值范围．。

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交大附中高一上期中
2017.11
一. 填空题
1. 集合{|03}M x x =<≤，{|02}N x x =<≤，则“a M ∈”是“a N ∈” 条件
2. 已知集合{1,2,3,4}U =，集合{1,2}A =，{2,3}B =，则()()U U A C B C A B =
3. 函数1
()2f x x
=
-的定义域为 4. 已知集合{|||1,}A x x a x R =-<∈，2{|1,}1
x a
B x x R x -=<∈+，且A B =∅ ，则实数a 的取值范围是
5. 已知()y f x =，()y g x =是两个定义在R 上的二次函数，其x 、y 的取值如下表所示：
则不等式(())0f g x ≥的解集为
6. 关于x 的不等式2
3
208
kx kx ++
<的解集不为空集，则k 的取值范围为 7. 已知本张试卷的出卷人在公元2x 年时年龄为8x -岁，则出卷人的出生年份是（假设出生当年的年龄为1岁）
8. 若对任意x R ∈，不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是
9. 设常数0a >，若2
91a x a x
+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为 10. 设函数22
220
()0x x x f x x
x ⎧++≤=⎨->⎩，若(())2f f a =，则a = 11. 若二次函数()y f x =对一切x R ∈恒有2224()245x x f x x x -+≤≤-+成立，且
(5)27f =，则(11)f =
12. 已知22()(5)22f x a x x =-++，若不等式()f x x >的解集为A ，已知(0,1)A ⊆，则a 的取值范围为
二. 选择题
13. 设P 、Q 为两个非空实数集，定义集合{|,}P Q a b a P b Q +=+∈∈，若{0,2,5}P =，
{1,2,6}Q =，则P Q +中元素的个数是（）
A. 9
B. 8
C. 7
D. 6 14. 不等式(1)(1||)0x x +->的解集是（）
A. {|01}x x ≤<
B. {|0x x <且1}x ≠-
C. {|11}x x -<<
D. {|1x x <且1}x ≠- 15. 已知三个不等式0ab >，0bc ad ->，
0c d
a b
->（其中a 、b 、c 、d 均为实数），用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，可组成的正确命题的个数是（）
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3 16. 设0a >，0b >，则以下不等式中不恒成立的是（） A. 11()()4a b a b
++≥ B. 3322a b ab +≥ C. 22222a b a b ++≥+
≥
三. 解答题
17. 已知ABC ∆为直角三角形，记其两条直角边长分别为,a b R +∈，记面积为S ，周长为C ，若三角形面积为定值，其周长是否有最值，最大值还是最小值，何时取到，为多少？（结果用S 表示）.
18. 已知a R ∈，若关于x 的方程2
1
||||04
x x a a ++-
+=有实根，求a 的取值范围.
19. 阅读下列不等式的证法，再解决后面的问题. 证明：22222
11221212()()()a b a b a a b b +≤++
证：令A =
，B =
2222
112211221122222211()()22a b a b a b a b a b a b AB AB A B A B A B A B =+=⋅+⋅≤+++
2222
121222
11()22
a a
b b A B ++=+=，故22222
11221212()()()a b a b a a b b +≤++.
（1）若1212,,,x x y y R +∈，利用上述结论，证明：21212()()x x y y ++≥；（2）若121212,,,,,x x y y z z R +∈，模仿上述证法并结合（1）的证法，证明：
3121212()()()x x y y z z +++≥. （提示：若,,a b c R +
∈，有
333
3
a b c abc ++≥）
20. 公元2222年，有一种高危传染病在全球范围内蔓延，被感染者的潜伏期可以长达10年，期间会有约0.05%的概率传染给他人，一旦发病三天内即死亡，某城市总人口约200万人，专家分析其中约有1000名传染者，为了防止疾病继续扩散，疾病预防控制中心现决定对全市人口进行血液检测以筛选出被感染者，由于检测试剂十分昂贵且数量有限，需要将血样混合后一起检测以节约试剂，已知感染者的检测结果为阳性，末被感染者为阴性，另外检测结果为阳性的血样与检测结果为阴性的血样混合后检测结果为阳性，同一检测结果的血样混合后结果不发生改变.
（1）若对全市人口进行平均分组，同一分组的血样将被混合到一起检测，若发现结果为阳性，则再在该分组内逐个检测排査，设每个组x 个人，那么最坏情况下，需要进行多少次检测可以找到所有的被感染者？在当前方案下，若要使检测的次数尽可能少，每个分组的最优人数？（2）在（1）的检测方案中，对于检测结果为阳性的组来取逐一检测排査的方法并不是很好，或可将这些组的血样在进行一次分组混合血样检测，然后再进行逐一排査，仍然考虑最坏的情况，请问两次要如何分组，使检测总次数尽可能少？
（3）在（2）的检测方案中，进行了两次分组混合血样检测，仍然考虑最坏情况，若再进行若干次分组混合血样检测，是否会使检测次数更少？请给出最优的检测方案.
21. 函数2
1
()2
f x ax x c =-
+（,a c R ∈），满足(1)0f =，且()0f x ≥在x R ∈时恒成立. （1）求a 、c 的值；（2）若231
()424
b h x x bx =
-+-，解不等式()()0f x h x +<；（3）是否存在实数m ，使函数()()g x f x mx =-在区间[,2]m m +上有最小值5-？若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由.
参考答案
一. 填空题
1. 必要非充分
2. {1,3}
3. [1,2)(2,)-+∞
4. 若2a ≤-
5. {|1x x ≤}或{|3}x x ≥
6. 3k >或0k <
7. 1989年
8. [1,1]-
9. 1
5
a ≥
(,)-∞+∞
二. 选择题
13. B 14. D 15. D 16. B
三. 解答题
17. 当a b =
时，min C =18. 1[0,]4
. 19. 略.
20.（1）45人；（2）第一次每组159人，第二次每组13人；（3）略.
21.（1）14a c ==；（2）1
1(,)221
1(,)2
212b b x b b b ⎧<⎪⎪
⎪∈>⎨⎪⎪
∅=⎪⎩
；（3）3m =-
或1m =.。