2017届广东省揭阳一中高三上学期第二次段考理科数学试题及答案
2017高考广东揭阳一模理数试卷
绝密★启用前揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合}2,1,0,1{-=A ，集合={|23,}B y y x x A =-∈，则A B =I（A ）{1,0,1}- （B ）{1,1}- （C ）{1,1,2}- （D ）{0,1,2}（2）已知复数1234,z i z t i =+=-,且21z z ⋅是实数,则实数t =（A ）43 （B ）34 （C ）43- （D ）34- （3）若(cos 20,sin 20)a =o o r ，(cos10,sin190)b =o or , 则a b ⋅=r r（A ）12（B）2 （C ）cos10o（D）2（4）已知命题:p 存在向量,,a b r r 使得||||a b a b ⋅=⋅r r r r，命题:q的向量a r 、b r 、c r ，若a b a c ⋅=⋅r r r r 则b c =r r. （A ）命题p q ∨是假命题 （B ）命题p q ∧是真命题（C ）命题()p q ∨⌝是假命题 （D ）命题()p q ∧⌝是真命题 （5）秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法. 如图1所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为4，2，则输出v 的值为 （A ）66 （B ）33 （C ）16 （D ）8图2（6）如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ， 那么2x y -的最大值为 （A ）2 （B ）1 （C ）2- （D ）3-（7）在同一坐标系中，曲线xy )31(=与抛物线2y x =的交点横坐标所在区间为（A ）)31,0(（B ）)21,31(（C ）)32,21( （D ）)1,32(（8）在421)(1)x ⋅-的展开式中，x 项的系数为（A ）－4 （B ）－2 （C ）2（D ）4（9）某工件的三视图如图2所示，现将该工件通过切割， 加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的 一个面落在原工件的一个面内，则新工件的体积为 （A ）18 （B ）1 （C ） 2 （D ）43π（10）已知正数,a b 满足4a b +=，则曲线()ln xf x x b=+在点(,())a f a 处的切线的倾斜角的 取值范围为 （A ）,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ （B ）5,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （C ）,42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （D ）,43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（11）已知双曲线22142x y -=右焦点为F ，P为双曲线左支上一点，点A ,则△APF 周长的最小值为（A）4(1+ （B）4 （C） （D（12）已知函数()=|sin |([,])f x x x ππ∈-，()g x x x sin 2-=（],[ππ-∈x ），设方程(())0f f x =，(())0f g x =，(())0g g x =的实根的个数为分别为m 、n 、t ，则m n t ++= （A ）9 (B)13 (C)17 (D) 21第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．俯视图ACBA 1C 1B 1DE图31105(日泄流量）x1210901206030频率组距图4（13）已知函数3()1f x ax bx =++，若()8f a =，则()f a -=_________.（14）连续掷两次骰子，以先后得到的点数m , n 作为点P 的坐标(,)m n ，那么点P 在圆2217x y +=内部（不包括边界）的概率是 .（15）已知△ABC 的顶点都在球O 的球面上，AB=6，BC=8，AC=10，三棱锥O-ABC 的体积为403，则该球的表面积等于 .（16）在△ABC 中，6B π∠=,1AC =,点D 在边AB 上，且DA=DC ，BD=1，则DCA ∠= .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且244S S =,2123n n a a +=-. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设数列{}n b 满足11222332n n nn a b a b a b ++++=-L ，求{}n b 的前n 项和n T ． （18）（本小题满分12分）如图3，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB=BC=BB 1，11AB A B E =I ，D 为AC 上的点，B 1C ∥平面A 1BD ；(Ⅰ)求证：BD ⊥平面11ACC A ；(Ⅱ)若1AB =，且1AC AD =⋅，求二面角11B D A B -- 的余弦值．（19）（本小题满分12分）某地政府拟在该地一水库上建造一座水电站，用泄流水 量发电．图4是根据该水库历年的日泄流量的水文资料画成的日泄流量X （单位：万立方米）的频率分布直方图（不完 整），已知)120,0[∈X ，历年中日泄流量在区间[30，60） 的年平均天数为156，一年按364天计． （Ⅰ）请把频率分布直方图补充完整；（Ⅱ）该水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每30万立方米的日泄流量才够运行一台发电机，如60≤X <90时才够运行两台发电机，若运行一台发电机，每天可获利润为4000元，若不运行，则该台发电机每天亏损500元，以各段的频率作为相应段的概率，以水电站日利润的期望值为决策依据，问：为使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装多少台发电机？（20）（本小题满分12分）如图5，已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 顶点为B 、C ，右焦点为F ，|AF |=3，且ABC ∆的周长为（I ）求椭圆的离心率；（II ）过点M (4, 0)的直线l 与椭圆相交于不同两点P 、点N 在线段PQ 上．设||||||||QN MQ PN MP ==λ，试判断点是否在一条定直线上，并求实数λ的取值范围． （21）（本小题满分12分）已知函数()(2)=-+x f x x e ax .(a R ∈) （I ）试确定函数()f x 的零点个数；（II ）设12，x x 是函数()f x 的两个零点，当122+≤x x 时，求a 的取值范围． 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C 的参数方程为12cos 12sin x y θθ=-+⎧⎨=+⎩（θ为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l ：αθ=)),,0[(R ∈∈ρπα与曲线C 相交于A 、B 两点，设线段AB 的中点为M ，求||OM 的最大值．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数)1()(-=x a x f ．（Ⅰ）当1a =时，解不等式|()||()|3f x f x x +-≥； （Ⅱ）设1||≤a ，当1||≤x 时，求证：45|)(|2≤+x x f ．揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BDBDABBDBCAB（92，高为2，要使加工成的正方体新工件体积最大，则该正方体为圆锥的内接正方体，设棱长为2x 22222x x-=，解得12x =，故2x =1，故新工件的体积为1.（10）设曲线在点(,())a f a 处的切线的倾斜角为α， 则122211)('tan =+≥≥+==ba ab b a a f α，故42ππα≤<．（11）易得点6,0)F ,△APF 的周长l =||||||AF AP PF ++||2|'|||AF a PF AP =+++，要△APF 的周长最小，只需|||'|AP PF +最小，如图，当A 、P 、F 三点共线时取到，故l 2||24(12)AF a =+=+.（12）由条件可在函数()f x 的值域为[0,1]，方程()0f x =的根为0，π-，π，所以方程(())0f f x =的根为方程()0f x =或π-=)(x f 或()f x π=的根，显然方程()0f x =有3个实根，π-=)(x f 与()f x π=均无实根，所以方程(())0f f x =的实根个数为3，即3m =；因x x x g sin 2)(-=是奇函数，先考虑],0[π∈x 的图象，因x x g cos 21)('-=，由0)('>x g 得],3(ππ∈x ，可知)(x g 在],3(ππ上递增，在]3,0(π上递减，又0)0(=g ，ππ=)(g ，由图象DCBA 关于原点对称得)(x g 的示意图如右，极小值为33)3(-≈-=ππg 极大值为7.0)3(≈-πg . 方程(())0f g x =的实根为方程()0g x =或π-=)(x g 或π=)(x g 的根，显然方程()0g x =有3个根， 方程π-=)(x g 与π=)(x g 各有１个根，从而方程(())0f g x = 实根的个数为5，即n =5；记方程()0g x =除0外的另外两个实根分别为00,x x -，可知10>x ，方程(())0g g x =的实根为方程()0g x =或0)(x x g =或0)(x x g -=的根，显然方程()0g x =有3个根，方程0)(x x g =与0)(x x g -=各有１个根，从而方程(())0g g x =根的个数为5，即t =5，故m n t ++=13. 二、填空题：（15）依题意知△ABC 为直角三角形，其所在圆面的半径为152AC =，设三棱锥O-ABC 的高为h ，则由116832h ⨯⨯⨯=得h =，设球O 的半径为R ，则由2225h R +=得10R =，故该球的表面积为400π.（16）解法1：设A ACD θ∠=∠=，02πθ<<，则2ADC πθ∠=-，又1AC =,由正弦定理得：1.sin 2sin 2cos AC CD CD θθθ=⇒=在△BDC 中由正弦定理得：112cos 5sin sin sin sin(2)66CD BD B BCD θππθ=⇒=∠∠- 55cos sin(2)sin()sin(2)626πππθθθθ⇒=-⇒-=-，由02πθ<<550,222666πππππθθ⇒<-<-<-<，得5226ππθθ-=-或5226ππθθπ-+-=3πθ⇒=或9π. [注：该题若考生漏掉一解扣2分]EDB 1C 1A 1BCA【或5cos sin(2)cos cos(2)63ππθθθθ=-⇒=-23πθθ⇒-=±3πθ⇒=或9π】 解法2：过点C 作CE AB ⊥于E ，A ACD θ∠=∠=,则2CDB θ∠=,在Rt △AEC 中，sin CE θ=，则在Rt △CED 中，θθθ2tan sin 2tan -=-=CE DE ，在Rt △CEB 中,tan 6CEBE θπ==，由BD=1得sin 1tan 2θθθ=sin cos 2sin 2sin 2θθθθθ⇒+=cos 222cos θθθ⇒+=cos cos(2)3πθθ⇒=-23πθθ⇒-=±3πθ⇒=或9π.】三、解答题：（17）解：（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，则有1111464(2)(21)2()3a d a d a n d a nd +=+⎧⎨+-=⋅+-⎩，解得11,2a d ==--------------------------------------------------------------------------------------4分1(1)21n a a n d n ∴=+-=-------------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）由11222332n n nn a b a b a b ++++=-L L L L L ① 当1n =时，1112a b =，所以112b =-----------------------------------------------------------------7分当2n ≥时，11221112132n n n n a b a b a b ---++++=-L L L L L ②-----------------------------8分①式减去②式得212n n nn a b -=， 求得12n n b =，易知1n =也成立，所以数列{}n b 为等比数列，-------------------------------------------------------------------------10分其前n 项和1211[1()]1221()1212n n n n T b b b -=+++==--L ------------------------------------12分 （18）解：（Ⅰ）连结ED ，-------------------------------------------1分∵平面AB 1C ∩平面A 1BD=ED ，B 1C ∥平面A 1BD ， ∴B 1C ∥ED ，-------------------------------------------------------2分 ∵E 为AB 1中点，∴D 为AC 中点，∵AB=BC ， ∴BD ⊥AC ①，--------------------------------3分 法一：由A 1A ⊥平面ABC ，⊂BD 平面ABC ，得A 1A ⊥BD ②， 由①②及A 1A 、AC 是平面11ACC A 内的两条相交直线， 得BD ⊥平面11ACC A .-------------------------------------------5分1701105x1210频率【法二:由A 1A ⊥平面ABC ，A 1A ⊂平面11ACC A∴平面11ACC A ⊥平面ABC ，又平面11ACC A I 平面ABC=AC ，得BD ⊥平面11ACC A .】 （Ⅱ）由1AB =得BC=BB 1=1，由（Ⅰ）知AC DA 21=，又1=⋅DA AC 得22AC =,----------------------------------------6分 ∵2222BC AB AC +==，∴BC AB ⊥，-----------------7如图以B 为原点，建立空间直角坐标系xyz B -如图示，则)1,0,1(1A ，)1,0,0(1B ，)0,21,21(D ，得)0,0,1(11=A B ，111(,,1)22B D =-u u u u r ，设),,(z y x m =ρ是平面A 1B 1D 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥B m A B m 111ρρ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-+=⋅==⋅021210111z y x D B m x A B m ρρ，令z =1，得)1,2,0(=m ρ，----------9分 设(,,)n a b c =r 为平面A 1BD 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥1BA n n ρρ，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅00221c a BA n b a BD n ρρ， 令1c =得(1,1,1)n =-r， ---------------------------------------------------------------------------10分 依题意知二面角11B D A B --为锐二面角，设其大小为θ，则 |||||||,cos |cos m n m n m n ρρρρρρ⋅⋅=><=θ515353=⋅=， 即二面角11B D A B --的余弦值为515．----------------------------------------------------12分其它解法请参照给分．（19）解：（Ⅰ）在区间[30，60）的频率为73364156=------------------------------------------------1分 31==73070⨯频率组距，----------------2分设在区间[0，30）上，a =频率组距， 则130)21011051701(=⨯+++a ， 解得2101=a ，-------------------------------------------------3分 补充频率分布直方图如右；-----------------------------------------------------------------------6分（Ⅱ）记水电站日利润为Y 元．由（Ⅰ）知：不能运行发电机的概率为71，恰好运行一台发电机的概率为73，恰好运行二台发电机的概率为72，恰好运行三台发电机的概率为71，①若安装1台发电机，则Y 的值为-500，4000，其分布列为E (Y )＝72350076400071500=⨯+⨯-；----------------------------------8分 ②若安装2台发电机，则Y 的值为-1000，3500，8000，其分布列为E (Y )＝3335001000350080007777-⨯+⨯+⨯=；-----------------------------10分 ③若安装3台发电机，则Y 的值为-1500，3000，7500，12000，其分布列为E (Y )＝7345007112000775007300071500=⨯+⨯+⨯+⨯-；∵345003350023500777>>∴要使水电站日利润的期望值最大，该水电站应安装3台发电机．--------------12分 （20）解：（I ）由2222||a c b AF =+=，得3=a ，--------------------------1分ABC ∆的周长为14)(2=+a AC ，即722=++a a b ，得72=b ，所以2=c ，椭圆的离心率为32=e ；---------------------------------------------4分 （II ）显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为)4(-=x k y ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)， 由||||||||QN MQ PN MP =，得022101y y y y y y -=-，化简得)(221021y y y y y +=①，-----6分由22(4),1.97=-⎧⎪⎨+=⎪⎩yk x x y 消去x ，得04956)79(222=+++k ky y k ，得7956221+-=+k ky y ，79492221+=k k y y ，----------------------------------------------------8分 代入①式得k y 470-=，由)4(00-=x k y 得490=x ，49471414||||1010011-+-=--+-=--==x x x x x x x PN MP λ，---------------------------------------10分因为3491≤<x ，得434901≤-<x ，所以34371=+-≥λ，因此，N 在一条直线49=x 上，实数),34[∞+∈λ．------------------------------------------12分【法二：显然直线l 的斜率存在，设l 的方程为)4(-=x k y ，不妨设0>k ，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，12y y <， 由||||||||QN MQ PN MP ==λ，得022101y y y y y y -=-=λ，化简得)(221021y y y y y +=①，6分由)(101y y y -=λ，)(022y y y -=λ，得)(1221y y y y -=+λ②，由22(4),1.97=-⎧⎪⎨+=⎪⎩y k x x y 消去x ，得04956)79(222=+++k ky y k ，可知=∆=⋅+-22249)79(4)56(k k k 0)1(364922>-⋅k k ，得7956221+-=+k k y y ，79492221+=k k y y ，)79(25622,1+∆±-=k k y ，----------------------8分 代入①式得k y 470-=，由)4(00-=x k y 得490=x ，---------------------------------------9分 由②式得79562+-k k792+∆-⋅=k λ，得341341425622≥-=-=kk k k λ，因此，N 在一条直线49=x 上，实数),34[∞+∈λ．--------------------------------------12分】 【法三：设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，N (x 0，y 0)，21x x <，由||||||||QN MQ PN MP ==λ， 得,,MP PN MQ QN λλ==-u u u r u u u r u u u u r u u u r-----------------------------------------------------------------------5分所以01010202411411x x y y x x y y λλλλλλλλ+⎧=⎪+⎪⎪=⎪+⎨-⎪=⎪-⎪-⎪=-⎩将()11,A x y ，()22,B x y 代入椭圆方程得------------------7分 2200222002222002004()()(4)()111(1)97974(4)()()()(1)1197197x y x y x y x y λλλλλλλλλλλλλλ+⎧⎪⎧++++=+=+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨----⎪⎪+=-⎪⎪--⎩+=⎪⎩-----------------9分 上面两式相减化简得490=x 0110101744||4119||4x x MP PN x x x x x λ--∴===-+=-+---， 因为3491≤<x ，得434901≤-<x ，所以34371=+-≥λ， 因此，N 在一条直线49=x 上，实数),34[∞+∈λ．----------------------------------12分】 （21）解法1：（I ）函数()f x 的零点即方程()0=f x 的根，由(2)0-+=x x e ax 得(2)=-x ax x e ，令()(2)=-xg x x e ，则'()(2)(1)=-+-=-x x x g x e x e x e ，--------------------2分由'()0g x >得1x <，∴函数()g x 在(,1)-∞单调递增，由'()0g x <得1x >，∴函数()g x 在(1,)+∞上单调递减，----3分∴当1=x 时，函数()g x 有最大值，max ()(1)==g x g e ，又当1x <时，()g x >0，当→-∞x 时()0→g x ；当2<x 时()g x >0，(2)0=g ，当2>x 时()0<g x ，----------------------------------------4分 ∴当0≥a 时，ax y =与()g x 只有一个公共点，从而函数()f x 有一个零点；---------- 5分 当0<a 时，ax y =与()g x 有两个公共点，从而函数()f x 有两个零点．-----------------6分（II ）设12<x x 由（I ）知0<a 且120,2<>x x ，由1111()(2)0=-+=x f x x e ax ，得111(2)-=-x x e a x （10<x ） 由2222()(2)0=-+=x f x x e ax ，得222(2)-=-x x e a x （22>x ）-----------------------8分 ∴2a 111)2(x e x x -=222)2(x e x x -⋅21212121]4)(2[x x e x x x x x x +++-=， -------------------------9分 ∵221≤+x x ∴0)(2421≥+-x x ，2210e e x x ≤<+，（两者仅当221=+x x 时取等号） ∴212121)(24x x x x x x ≥++-，又021<x x ， ∴1]4)(2[212121≤++-x x x x x x ，----------------------------------------------------------------------11分 ∴22211e ea x x ≤⋅≤+，由0<a 得0<≤-a e ．--------------------------------------------------------------------------------12分【解法2：（I ）∵02)0(≠-=f ，0=∴x 不是函数的零点； 当0≠x 时，由0)2()(=+-=ax e x x f x 得x e x a x)2(--=，------------------------------1分 设x e x x g x )2()(--=，则0)22()('22<+--=xe x x x g x，----------------------------------2分 所以)(x g 在)0,(-∞和),0(∞+上单调递减，-----------------------------------------------------3分 当0>x 且0→x 时，+∞→)(x g ；当+∞→x 时，-∞→)(x g ；当0<x 且0→x 时，-∞→)(x g ；当-∞→x 时，0)(→x g ；当0<x 时，由0)(<x g ，有)0,()(-∞∈x g ，当0>x 时，有0)2(=g ，),()(∞+-∞∈x g ，所以当0≥a 时，曲线a y =与)(x g 只一个公共点，函数)(x f 有一个零点； -----------5分 当0<a 时，曲线a y =与()g x 有两个公共点，函数)(x f 有两个零点； -----------------6分 （II ）不妨设21x x <，由（I ）得0<a ，且01<x ，22>x ，由0)(1=x f ，0)(2=x f ，得)(1x g a =，)(2x g a =，∴)()(212x g x g a ⋅=111)2(x e x x -=222)2(x e x x -⋅21212121]4)(2[x x e x x x x x x +++-=，-----8分 ∵221≤+x x ∴0)(2421≥+-x x ，2210e e x x ≤<+，（两者仅当221=+x x 时取等号） ∴212121)(24x x x x x x ≥++-，又021<x x ，----------------------------------------------------10分 ∴1]4)(2[212121≤++-x x x x x x ，------------------------------------------------------------------------11分 ∴22211e e a x x ≤⋅≤+，由0<a 得0<≤-a e ．------------------------------------------------12分】选做题：（22）解：（I ）曲线C 的普通方程为222(1)(1)2x y ++-=，-------------------------------------2分由⎩⎨⎧==θρθρsin cos y x ，得22cos 2sin 20ρρθρθ+--=；---------------------------------------5分 （II ）解法1：联立αθ=和22cos 2sin 20ρρθρθ+--=， 得22(cos sin )20ρραα+--=，-----------------------------------------------------------------6分 设),(1αρA 、),(2αρB ，则)4sin(22)cos (sin 221παααρρ-=-=+，---------8分 由|2|||21ρρ+=OM ， 得2|)4sin(|2||≤-=παOM ，--------------------------------9分 当34πα=时，|OM |取最大值2．----------------------------------------------------------------10分 【解法2：由（I ）知曲线C 是以点P (1,1)-为圆心，以2为半径的圆，在直角坐标系中，直线l的方程为x y ⋅=αtan ，则||PM =，-----------------------------------------------------6分 ∵2222||||||2OM OP PM =-=-22tan 11tan αα=-+，---------------------------------8分 当(,)2παπ∈时，tan 0α<，21tan 2|tan |αα+≥，222|tan |||121tan OM αα=+≤+，当且仅当tan 1α=-，即34πα=时取等号，∴||OM ≤即||OM 的最大值为2．------------------------------------------------------------10分】（23）解：（I ）当1a =时，不等式|()||()|3f x f x x +-≥即|1||1|3x x x -++≥当1x ≤-时，得113x x x ---≥0x ⇒≤，∴1x ≤------------------------------------------1分当11x -<<时，得113x x x -++≥23x ⇒≤，∴213x -<≤------------------------------2分 当1x ≥时，得113x x x -++≥0x ⇒≤，与1x ≥矛盾，--------------------------------------3分 综上得原不等式的解集为2{|1}{|1}3x x x x ≤--<≤U =2{|}3x x ≤-------------------------5分 （II ）|)1(||)(|22x x a x x f +-=+|||)1(|2x x a +-≤-----------------------------------------------6分∵1||≤a ，1||≤x∴2|()|f x x +||)1(||2x x a +-≤||12x x +-≤--------------------------------------------------7分4545)21|(|1||||22≤+--=++-=x x x ，------------------------------------------------------9分 当21||=x 时取“=”，得证． ------------------------------------------------------------------------10分。
广东省揭阳市第一中学2016-2017学年高二上学期第二次阶段性数学(理)试题 Word版含答案
数学（理）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设,a b R ∈，若0a b +<，则下列不等式中正确的是（ ）A ．0a b +<B ．330a b +>C ．220a b -< D ．0a b ->2.已知直线1:(1)10l ax a y +++=，2:20l x ay ++=，则“2a =-”是“12l l ⊥”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.已知等差数列{}n a 满足233,51n n a S S -=-=（3n >），100n S =，则n 的值为（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．114.已知n S 是等比数列{}n a 的前n 项和，若存在*m N ∈满足29m m S S =，2511m m a m a m +=-，则数列{}n a 的公比为（ ）A ．-2B ．2C ．-3D ．3 5.若0x >，则232x x+的最小值为（ ） A ．1 BD6.设,,l m n 表示三条不同的直线，,,αβγ表示三个不同的平面，给出下列四个命题： ①若l α⊥，m l ⊥，m β⊥，则αβ⊥；②若m β⊂，n 是l 在β内的射影，m n ⊥，则m l ⊥；③若m 是平面α的一条斜线，A α∉，l 为过A 的一条动直线，则可能有l m ⊥且l α⊥； ④若l α⊥，αγ⊥，则//γβ 其中真命题的个数为（ ）个 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47.已知2()log f t t =，[2,16]t ∈，对于函数()f t 值域内的任意实数m ，则使2444x mx m x ++>+恒成立的实数x 的取值范围为（ ）A ．(,2]-∞-B ．[2,)+∞C ．(,2][2,)-∞-+∞D ．(,2)(2,)-∞-+∞8.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，若22()6c a b =-+，3C π=，则ABC∆的面积是（ ） A ．3 BC．9.函数22(3)1x y x x +=≥-的最小值是（ ） A．2 B．2 C．．11210.222111213141+++--- (21)(1)1n ++-的值为（ ） A ．12(2)n n ++ B ．3142(2)n n +-+ C ．3111()4212n n -+++ D ．311212n n -+++11.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，*1(1)()n n n S nS n N ++<∈，若871a a <-，则（ ） A ．n S 的最大值是8S B ．n S 的最小值是8S C ．n S 的最大值是7S D ．n S 的最小值是7S12.设实数,x y 满足约束条件220840x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩，若目标函数11z x y a b =+，（0,0a b >>）的最大值为2，则a b +的最小值为（ ） A ．2 B ．1 C ．32 D ．92第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在机读卡上相应的位置.）13.已知命题0:p x R ∃∈，001sin 2x x <，则p ⌝为___________. 14.若不等式213222x x a a -++≥++对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为_____________.15.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，2a =且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为__________.16.已知函数2()2f x x x =--，1,0()41,0x x g x xx x ⎧+>⎪=⎨⎪+≤⎩，若方程[()]0g f x a -=有4个不同的实数根，则实数a 的取值范围为___________.三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a <，:q 实数x 满足260x x --≤，若2280x x +->，且p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求a 的取值范围.18.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c，已知cos sin 0a C C b c --=. （1）求角A 的大小；（2）若7,11a b c =+=，求ABC ∆的面积. 19.用数学归纳法求证：1112n n ++++ (1536)n +>，(2,)n n N +≥∈. 20.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时，若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元. （1）试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w （元）； （2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 21.已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +-=.（1）证明：1{}2n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）设2n n b na n =+，求数列{}n b 的前n 项和n S 22.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切*n N ∈，点(,)n S n n 都在函数()2n af x x x=+的图象上.（1）求123,,a a a 的值，猜想n a 的表达式，并证明你的猜想；（2）设n A 为数列1{}n na a -的前n 项积，是否存在实数a，使得不等式3()2n a A f a a+<-对一切*n N ∈都成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.揭阳一中96届高二上学期第二次阶段考试理科数学试卷答案一、选择题：AACBD BDCDC DD二、填空题：13.∀x ∈R ，sin x≥12x 14. 32,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15.16.5[1,)4三、解答题：17．解：设{}{}22|430,(0)|3,(0)A x x ax a a x a x a a =-+<<=<<<{}{}22|60,280|4,2B x x x x x x x x =--≤+->=<-≥-或 或∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件 ∴p 是q 的充分不必要条件 ∴A B ⊂ ∴43200a a a a ≤-≥-⎧⎧⎨⎨<<⎩⎩或 ∴2403a a ≤--≤<或 ∴a 的取值范围为(]2,4,03⎡⎫-∞-⋃-⎪⎢⎣⎭………………10分18.解：(1)由a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0及正弦定理得， sin A cos C ＋3sin A sin C －sin B －sin C ＝0. 因为B ＝π－A －C ，所以3sin A sin C －cos A sin C －sin C ＝0.由于sin C ≠0， 所以1sin()62A π-=又0<A <π，故A ＝π3 . ……………………5分(2)2222cos a b c bc A =+- 2()3b c bc =+- ∴24bc =∴ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==………………10分 19. 证明：(1)当n ＝2时，左边=1111534566+++>,不等式成立； (2)设当n ＝k (k ≥2)时，命题成立 即11151236k k k ++⋅⋅⋅+>++ 则当n ＝k ＋1时，111111(1)1(1)2331323(1)k k k k k k ++⋅⋅⋅+++++++++++ =1111111()1233132331k k k k k k k ++⋅⋅⋅++++-++++++ 51111()63132331k k k k >+++-++++ 5115(3)63316k k >+⨯-=++ 即当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)(2)知对任意n ≥2 (n ∈N ＋)，原不等式成立．………………12分目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300. 作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最，最大为利润550元．………………12分21. 证明：(1)由131n n a a +=+，得1113()22n n a a ++=+ 又11322a +=∴12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列．∴1322n n a += 因此{a n }的通项公式为312n n a -= …………6分(2)由(1)得312n n a -= 所以b n ＝n ·3n. …………………8分S n ＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.②①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1＝－3n1－3－n ·3n ＋1＝－2nn ＋1－32.∴S n ＝n －n ＋1＋34. ……………………12分22. (1)因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n 都在函数f (x )＝x ＋a n 2x 的图象上，故S n n ＝n ＋a n 2n .所以S n ＝n 2＋12a n .令n ＝1，得a 1＝1＋12a 1，所以a 1＝2.令n ＝2，得a 1＋a 2＝4＋12a 2，所以a 2＝4.令n ＝3，得a 1＋a 2＋a 3＝9＋12a 3，所以a 3＝6.由此猜想：a n ＝2n (n ∈N *)．下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，由上面的求解知，猜想成立； ②假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝2k 成立，那么当n ＝k ＋1时，由条件，知S k ＝k 2＋12a k ，S k ＋1＝(k ＋1)2＋12a k ＋1，两式相减，得a k ＋1＝2k ＋1＋12a k ＋1－12a k ，所以a k ＋1＝4k ＋2－a k ＝4k ＋2－2k ＝2(k ＋1)，即当n ＝k ＋1时，猜想成立． 根据①②，知对一切n ∈N *，a n ＝2n 成立． …………6分 (2)因为a n －1a n ＝1－1a n ，故A n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ，所以A n a n ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 1·⎝⎛⎭⎪⎫1－1a 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ·2n ＋1.又f (a )－a n ＋32a ＝a ＋a n 2a －a n ＋32a ＝a －32a， 故A n a n ＋1<f (a )－a n ＋32a对一切n ∈N *都成立，等价于⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ·2n ＋1<a －32a 对一切n ∈N *都成立． 设g (n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 1·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a 2·…·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ·2n ＋1，则只需g (n )max <a －32a 即可．由于g n ＋1g n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1a n ＋1·2n ＋32n ＋1＝2n ＋12n ＋2·2n ＋32n ＋1＝4n 2＋8n ＋34n 2＋8n ＋4<1， 所以g (n ＋1)<g (n )，故g (n )是单调递减的，于是g (n )max ＝g (1)＝32. 由32<a －32a ，得a －32a ＋3a>0，解得－32<a <0或a > 3. 综上所述，使得不等式对一切n ∈N *都成立的实数a 存在，a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0∪(3，＋∞)．………………14分。
广东省揭阳市2017届高三上学期期末调研考试数学(理)试题
（1）已知集合{}3,2,1,0,1,2A =---，{}23B x x =≤，则A B =（A ）{}0,2 （B ）{}1,0,1- （C ）{}3,2,1,0,1,2--- （D ）[]0,2（2）复数z 满足(1＋i)z ＝i ＋2，则z 的虚部为（A ）32（B ）12（C ）12-（D ）12i -（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且322315S S -=,则数列{}n a 的公差为（A ）3（B ）4（C ）5（D ）6（4）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC BD =,则AD =（A ）2133AB AC + （B ）1233AB AC +（C ）4133AB AC +（D ）2533AB AC +（5）若空间四条直线a 、b 、c 、d ，两个平面α、β，满足b a ⊥，d c ⊥，α⊥a ，α⊥c ，则（A ）α//b（B ）b c ⊥（C ）d b // （D ）b 与d 是异面直线（6）若命题：“20,20x R ax ax ∃∈-->”为假命题，则a 的取值范围是（A ）(,8][0,)-∞-+∞ （B ）(8,0)- （C ）(,0]-∞ （D ）[8,0]-（7）函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ） （8）已知0a >且1a ≠，函数()13log ,0,0x x x f x a b x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩满足()02f =，()13f -=，则()()3f f -=（A ）3- （B ）2-（C ）3（D ）2（9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（A ）1234 （B ）2017 （C ）2258 （D ）722y-πyyy（10）六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6，每组3人，现需从中任选3人组成一个新的学习小组，则3人来自不同学习小组的概率为( )（A ）5204 （B ）4568 （C ）1568（D ）568（11）直线:42l x y +=与圆22:1C x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 、OB 的倾斜角分别为α、β，则cos cos αβ+= ( ) （A ）1817（B ）1217-（C ）417- （D ）417 （12）已知,a b R ∈、且2222290ab a b ++-=，若M 为22a b +的最小值，则约束条件⎩⎨⎧≤+≤+.2||||,322M y x M y x 所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为 （A ）29（B ）25（C ）18 （D ）16（13）在8)1(xx -的展开式中，常数项是 ．（14）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为,a b 为实半轴长和 虚半轴长，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为 .（15）一几何体的三视图如图2示，则该几何体的体积为 . （16）已知正项数列{}n a 的首项11a =，且对一切的正整数n ， 均有:211(1)(1)0n n n n n n a na n a a na +++-++-=，则数列{}n a 的通项公式n a = .（17）（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，=1b ，且2cos 20C a c --=．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)求△ABC 外接圆的圆心到AC 边的距离．（18）（本小题满分12分）如图3，在四棱锥ABCD P -中，AD O ∈，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AO=AB=BC=1，3=PC ．(Ⅰ)证明：平面POC ⊥平面P AD ；(Ⅱ）若AD=2，P A=PD ，求CD 与平面P AB 所成角的余弦值．图3（19）（本小题满分12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A 箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B 箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B 箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．（Ⅰ）经统计，消费额X 服从正态分布)625,150(N ，某天有1000位顾客，请估计消费额X （单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+<<-σμσμX P ，9544.0)22(=+<<-σμσμX P ．（Ⅱ）某三位顾客各有一次A 箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A 箱内摸奖机会；方法二： 一次B 箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大． （20）(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （-1, 0）、B （1,0）、C （0, -1），N 为y 轴上的点，MN 垂直于y 轴，且点M 满足AM BM ON CM ⋅=⋅（O 为坐标原点），点M 的轨迹为曲线T ．(Ⅰ)求曲线T 的方程；(Ⅱ)设点P （P 不在y 轴上）是曲线T 上任意一点，曲线T 在点P 处的切线l 与直线54y =-交于点Q ，试探究以PQ 为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．（21）（本小题满分12分）设a >0，已知函数)ln()(a x x x f +-=(x >0)．(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)试判断函数)(x f 在(0,)+∞上是否有两个零点，并说明理由．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修44：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos +=θρρ．(Ⅰ)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； (Ⅱ)若4πα=，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．（23）（本小题满分10分）选修45：不等式选讲设函数|2||1|)(--+=x m x x f ． (Ⅰ)若1m =，求函数)(x f 的值域； (Ⅱ)若1m =-，求不等式x x f 3)(>的解集．B ,y 1)x揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（9）输出结果为：2921211122221121-+++++=+=- （10）31363318()4568C C P C ==； （11）设1122(,),(,)A x y B x y ，由三角函数的定义得：12cos cos x x αβ+=+，由2242,1.x y x y +=⎧⎨+=⎩消去y 得：2174120x x --=， 则12417x x +=，即4cos cos 17αβ+=. （12）由2222290ab a b ++-=结合222ab a b ≤+得22223()93a b a b +≥⇒+≥（当且仅当a b =时等号成立）故3M =,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示，在 区域内，由2,2x y =±=±围成的矩形区域（含边界）整点 有25个，加上圆2223x y +=与坐标轴的交点4个，共29个.二、填空题：解析：（15）==522=30222V V V V =+⨯⨯⨯长方体长方体长方体. （16）由211(1)(1)0n n n n n n a na n a a na +++-++-=1(1)(1)(1)0n n n n n a a na a +⇒++-+=，1(1)[(1)]0n n n a n a na +⇒++-=11n n a n a n +⇒=+，则1212112112n n n n a a a n n a a a n n -----⋅=⋅- ，1n a n⇒=. 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由2cos 20C a c --=，=1b 结合余弦定理得：22120a c a c a+---=，-------------------------------------------------------------------------------2分 221a c ac ⇒+-=-，----------------------------------------------------------------------------------3分则2222211cos 222a cb ac B ac ac +-+-===-，-----------------------------------------------------5分 ∵0B π<< ∴23B π=. ---------------------------------------------------------------------------7分 (Ⅱ)设△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理知122sin sin 3b R B π===-------------------------------------------------------------------9分故R =,-------------------------------------------------------------------------------------------10分 则△ABC 外接圆的圆心到AC 边的距离d ==.---------------------------------------------------------------12分 （18）解：（Ⅰ）在四边形OABC 中，∵AO //BC ，AO =BC ，AB ⊥AD ，∴四边形OABC 是正方形，得OC ⊥AD ，-----------------------2分 在△POC 中，∵222PC OC PO =+，∴OC ⊥PO ，-------4分E又O AD PO = ，∴OC ⊥平面P AD ，又⊂OC 平面POC ，∴平面POC ⊥平面P AD ；-------------6分 （Ⅱ）解法1：由O 是AD 中点，P A=PD ，得PO ⊥AD ； 以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O -xyz ， ----------7分 得)0,1,0(-A ，)0,1,1(-B ，)2,0,0(P ，)0,0,1(C ，)0,1,0(D ， 得)0,1,1(-=，)2,1,0(--=，)0,0,1(=AB ， 设),,(z y x m =是平面P AB 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥m m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=--=⋅002x m z y m ，取z =1， 得)1,2,0(-=m，----------------------------------------------------------------------------------10分设CD 与平面P AB 所成角为θ，则|,cos |sin m CD=><=θ33322=⋅=， ∴36cos =θ，即CD 与平面PAB所成角的余弦值为3------------------------------12分 【解法2：连结OB ，∵OD//BC ，且OD=BC ∴BCDO 为平行四边形，∴OB//CD, ----------------------------7分 由（Ⅰ）知OC ⊥平面P AD ，∴AB ⊥平面P AD ，∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ，----------------------------------------------------8分 过点O 作OE ⊥PA 于E ，连结BE ，则OE ⊥平面PAB ， ∴∠OBE 为CD 与平面PAB 所成的角，----------------------10分 在Rt △OEB中，∵PO AO OE PA ⋅==,OB =,∴cos BEOBE OB∠===,即CD 与平面P AB--------------------------------------------------12分】 （19）解：（Ⅰ）依题意得150=μ，6252=σ，得25=σ，σμ2100-=，------------1分消费额X 在区间（100，150]内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6，---------2分人数约为)2(1000μσμ≤<-⨯X P 29544.01000⨯==477人，------------------------3分 其中中奖的人数约为477×0.6=286人；--------------------------------------------------------4分（Ⅱ）三位顾客每人一次A 箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布)6.0,3(B ，k k kC k P -⋅==334.06.0)(ξ，（k=0, 1, 2, 3）----------------------------------------------------6分 故ξ的分布列为-----------（Ⅲ）A 箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，-------------------------9分B 箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5=35，---------------------------------------10分 方法一所得奖金的期望值为3×10.5=31.5，方法二所得奖金的期望值为35，所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．-----------------------------------------------12分 （20）解：（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意知(0,)N y ，∵(1,),(1,),(0,),(,1)AM x y BM x y ON y CM x y =+=-==+，---------------------------2分由AM BM ON CM ⋅=⋅得221(1)x y y y -+=+，即21y x =-，∴所求曲线T 的方程为21y x =--------------------4（Ⅱ）解法1：设000(,)(0)P x y x ≠， 由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x ===---------------------------5分 ∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为20041(8x x -设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由 ，得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415()()()()084x x x x y y y x ---+-+=------①-----------8分在①中，令001,0x y =±=得35(1)()()084x x y y ++++=，------------------------②35(1)()()084x x y y --++=， -----------------------------------------------------------③由②③联立解得0,3.4x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或 0,1.2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩--------------------------------------------------------------10分将30,4x y ==-代入①式，左边=20041335()()8444x y -+---+0011022y y =-==右边， 即以PQ 为直径的圆过点3(0,)4-，--------------------------------------------------------------------11分 将10,2x y ==-代入①式，左边≠右边， ∴以PQ 为直径的圆恒过点，该定点的坐标为3(0,)4---------------------------------------------12分 【解法2：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x ===-----------------------------------------------------------------------------------------5分 ∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x ---------------------------------------------6分设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由0PG QG ⋅=，得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415()()()()08x x x x y y y x ---+-+=------①------------8分假设以PQ 为直径的圆过定点),(b a ， 则0)45)(()8121)((0000=+-++--b y b x x a x a ， 0)45)(1(81823212000202=++-+-+-+b x b x a ax x a ， )45)(1()45(81823212000202=++++--+-+b b x b x a ax x a0)45)(1()43(81)8123(20002=++++----b b x b x x a a ，令43,0-==b a ，上式恒成立， ∴以PQ 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4-----------------------------------------------12分】 【解法3：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x ===------------------------------------------------------------------------------------------5分 ∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x --------------------------------------------6分假设以PQ 为直径的圆恒过定点H ，则根据对称性，点H 必在y 轴上，设(0,)H t ，则由0PH QH ⋅= 得20000415()()084x x t y t x -⋅+-+=------① --------------------------------------8分001355()()02844y t t y t +++-+=，031()()042t t y ++-=， ∴34t =-，即以PQ 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4---------------------------12分】 （21）解：（Ⅰ）ax xx f +-=121)('，----------------------------------------------------------------1分 0)2(220)('22>+-+⇔>+⇔>a x a x x a x x f ， 0)2(20)('22<+-+⇔<a x a x x f ，设22)2(2)(a x a x x g +-+=，则)1(16a -=∆， ①当1≥a 时，0≤∆，0)(≥x g ，即0)('≥x f ，∴)(x f 在),0(∞+上单调递增；-----------------------------------------------------------------3分 ②当10<<a 时，0>∆， 由0)(=x g 得a a aa x ---=---=122214241，a a x -+-=1222，-----------------------------------------------------------------------------4分可知210x x <<，由)(x g 的图象得：)(x f 在)122,0(a a ---和),122(∞+-+-a a 上单调递增；--------------------5分 )(x f 在,122(a a ---)122a a -+-上单调递减．---------------------------------6分 （Ⅱ）解法1：函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点----------------------------------------------7分假设函数)(x f 有两个零点，由（Ⅰ）知，10<<a ，因为0ln )0(>-=a f ，则0)(2<x f ，即)ln(22a x x +<，由0)('2=x f 知222x a x =+，所以）（222ln x x <， 设t x =2，则)2ln(t t <（＊），-----------------------------------------------------------------9分 由)4,1(1222∈-+-=a a x ，得)2,1(∈t ，设)2ln()(t t t h -=，得011)('>-=tt h ，-------------------------------------------------10分 所以)(t h 在)2,1(递增，得02ln 1)1()(>-=>h t h ，即)2ln(t t >，这与（＊）式矛盾，---------------------------------------------------------------------------------11分 所以上假设不成立，即函数)(x f 没有两个零点．------------------------------------------12分【解法2：函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点；-------------------------------------------------7分 由（Ⅰ）知当1≥a 时，函数)(x f 在),0(∞+上单调递增，∴函数)(x f 在),0(∞+上至多有一个零点；-----------------------------------------------------8分 当10<<a 时，∵0ln )0(>-=a f ，由（Ⅰ）知当2x x =时，()f x 有极小值，22()=()ln()f x f x x a =+极小11)]=-，---------------------9分1,t =则12t <<，()ln(2)f x t t =-极小，设)2ln()(t t t h -=，得011)('>-=tt h ，------------------------------------------------------10分 ∴)(t h 在)2,1(单调递增，得02ln 1)1()(>-=>h t h ，即()0f x >极小，可知当10<<a 时，函数)(x f 在(0,)+∞不存在零点；综上可得函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点.-------------------- -----------------------12分】 选做题：（22）解：（Ⅰ）直线l 经过定点)1,1(-，-----------------------------------------------------------------2分由2cos +=θρρ得22)2cos (+=θρρ，得曲线C 的普通方程为222)2(+=+x y x ，化简得442+=x y ；---5分 （Ⅱ）若4πα=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 221221，的普通方程为2+=x y ，----------------------------------6分 则直线l 的极坐标方程为2cos sin +=θρθρ，------------------------------------------------8分 联立曲线C ：2cos +=θρρ．得1sin =θ，取2πθ=，得2=ρ，所以直线l 与曲线C 的交点为)2,2(π．------------10分 （23）解：（Ⅰ）当1m =时，|2||1|)(--+=x x x f -------------------------------------------------1分∵3|)2()1(|||2||1||=--+≤--+x x x x ，-------------------------------------------------3分 3|2||1|3≤--+≤-∴x x ，函数)(x f 的值域为]3,3[-；------------------------------5分 （Ⅱ）当m =－1时，不等式x x f 3)(>即x x x 3|2||1|>-++，--------------------------------6分①当1-<x 时，得x x x 321>+---，解得51<x ，1-<∴x ； ---------------------7分 ②当21<≤-x 时，得x x x 321>+-+，解得1<x ，11<≤-∴x ； ---------------8分 ③当2≥x 时，得x x x 321>-++，解得1-<x ，所以无解； ------------------------9分 综上所述，原不等式的解集为)1,(-∞．-----------------------------------------------------10分。
广东省揭阳市高三上学期期末学业水平考试数学(理科)试卷 Word版含答案
绝密★启用前揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}3,2,1,0,1,2A =---，{}23B x x =≤，则AB =（A ）{}0,2 （B ）{}1,0,1- （C ）{}3,2,1,0,1,2--- （D ）[]0,2（2）复数z 满足(1＋i)z ＝i ＋2，则z 的虚部为（A ）32（B ）12（C ）12-（D ）12i -（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且322315S S -=,则数列{}n a 的公差为（A ）3（B ）4（C ）5 （D ）6（4）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC BD =,则AD =（A ）2133AB AC + （B ）1233AB AC + （C ）4133AB AC + （D ）2533AB AC + （5）若空间四条直线a 、b 、c 、d ，两个平面α、β，满足b a ⊥，d c ⊥，α⊥a ，α⊥c ，则（A ）α//b （B ）b c ⊥（C ）d b //（D ）b 与d 是异面直线（6）若命题：“20,20x R ax ax ∃∈-->”为假命题，则a 的取值范围是（A ）(,8][0,)-∞-+∞ （B ）(8,0)-（C ）(,0]-∞（D ）[8,0]-（7）函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ）（8）已知0a >且1a ≠，函数()13log ,0,0x x x f x a b x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩满足()02f =，()13f -=，则()()3f f -=（A ）3-（B ）2-（C ）3（D ）2（9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是 （A ）1234 （B ）2017 （C ）2258 （D ）722（10）六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6，每组3人，现需从中任选3人组成一个新的学习小组，则3人来自不同学习小组的概率为（A ）5204（B ）4568（C ）1568（D ）568（11）直线:42l x y +=与圆22:1C x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 、OB 的倾斜角分别为α、β，则cos cos αβ+= 图1 （A ）1817 （B ）1217- （C ）417-（D ）417（12）已知,a b R ∈、且2222290ab a b ++-=，若M 为22a b +的最小值，则约束条件⎩⎨⎧≤+≤+.2||||,322M y x M y x 所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为 （A ）29（B ）25（C ）18 （D ）16第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）在8)1(xx -的展开式中，常数项是 ．（14）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为,a b 为实半轴长和 虚半轴长，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为 . （15）一几何体的三视图如图2示，则该几何体的体积为 . （16）已知正项数列{}n a 的首项11a =，且对一切的正整数n ，均有:211(1)(1)0n n n n n n a na n a a na +++-++-=，则数 图2列{}n a 的通项公式n a = .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.（17）（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，=1b ，且2c o s 20C a c --=．(Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)求△ABC 外接圆的圆心到AC 边的距离． （18）（本小题满分12分）如图3，在四棱锥ABCD P -中，AD O ∈，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AO=AB=BC=1，3=PC ．(Ⅰ)证明：平面POC ⊥平面P AD ；(Ⅱ）若AD=2，P A=PD ，求CD 与平面P AB 所成角的余弦值． 图3（19）（本小题满分12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A 箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B 箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B 箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金． （Ⅰ）经统计，消费额X 服从正态分布)625,150(N ，某天有1000位顾客，请估计消费额X（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+<<-σμσμX P ，9544.0)22(=+<<-σμσμX P ．（Ⅱ）某三位顾客各有一次A 箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A 箱内摸奖机会；方法二：一次B 箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大． （20）(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （-1, 0）、B （1, 0）、C （0, -1），N 为y 轴上的点，MN 垂直于y 轴，且点M 满足AM BM ON CM ⋅=⋅（O 为坐标原点），点M 的轨迹为曲线T ．(Ⅰ)求曲线T 的方程；(Ⅱ)设点P （P 不在y 轴上）是曲线T 上任意一点，曲线T 在点P 处的切线l 与直线54y =-交于点Q ，试探究以PQ 为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．（21）（本小题满分12分）设a >0，已知函数)ln()(a x x x f +-=(x >0)．(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)试判断函数)(x f 在(0,)+∞上是否有两个零点，并说明理由．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos +=θρρ．(Ⅰ)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； (Ⅱ)若4πα=，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数|2||1|)(--+=x m x x f ． (Ⅰ)若1m =，求函数)(x f 的值域； (Ⅱ)若1m =-，求不等式x x f 3)(>的解集．B ,y 1)x揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（9） 输出结果为：2921211122221121-+++++=+=-（10）31363318()4568C C P C ==； （11）设1122(,),(,)A x y B x y ，由三角函数的定义得：12cos cos x x αβ+=+，由2242,1.x y x y +=⎧⎨+=⎩消去y 得：2174x x --则12417x x +=，即4cos cos 17αβ+=.（12）由2222290ab a b ++-=结合222aba b ≤+得22223()93a b a b +≥⇒+≥（当且仅当a b =时等号成立）故3M =,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示，在 区域内，由2,2x y =±=±围成的矩形区域（含边界）整点 有25个，加上圆2223x y +=与坐标轴的交点4个，共29个.二、填空题：解析：（15）==522=30222V V V V =+⨯⨯⨯长方体长方体长方体.（16）由211(1)(1)0n n n n n n a na n a a na +++-++-=1(1)(1)(1)0n n n n n a a na a +⇒++-+=，1(1)[(1)]0n n n a n a na +⇒++-=11n n a na n +⇒=+，则1212112112n n n n a a a n n a a a n n -----⋅=⋅-，1n a n⇒=. 三、解答题： （17）解：（Ⅰ）由2cos 20C a c --=，=1b 结合余弦定理得：22120a c a c a+---=，-------------------------------------------------------------------------------2分221a c ac ⇒+-=-，----------------------------------------------------------------------------------3分则2222211cos 222a cb ac B ac ac +-+-===-，-----------------------------------------------------5分∵0B π<< ∴23B π=.---------------------------------------------------------------------------7分(Ⅱ) 设△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理知122sin sin 3b R B π===-------------------------------------------------------------------9分故R =,-------------------------------------------------------------------------------------------10分 则△ABC 外接圆的圆心到AC 边的距离6d ==.---------------------------------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）在四边形OABC 中，∵AO //BC ，AO =BC ，AB ⊥AD ，∴四边形OABC 是正方形，得OC ⊥AD ，-----------------------2分在△POC 中，∵222PC OC PO =+，∴OC ⊥PO ，-------4分又O AD PO = ，∴OC ⊥平面P AD ，又⊂OC 平面POC ，∴平面POC ⊥平面P AD ；-------------6分 （Ⅱ）解法1：由O 是AD 中点，P A=PD ，得PO ⊥AD ； 以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O -xyz ， ---------- 7分 得)0,1,0(-A ，)0,1,1(-B ，)2,0,0(P ，)0,0,1(C ，)0,1,0(D ， 得)0,1,1(-=CD ，)2,1,0(--=PA ，)0,0,1(=AB ，E设),,(z y x m =是平面P AB 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥m PA m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=--=⋅002x m z y m ，取z =1，得)1,2,0(-=m，----------------------------------------------------------------------------------10分 设CD 与平面P AB 所成角为θ，则|||||,cos |sin m CD m⋅=><=θ33322=⋅=， ∴36cos =θ，即CD 与平面PAB------------------------------12分【解法2：连结OB ，∵OD//BC ，且OD=BC ∴BCDO 为平行四边形，∴OB//CD, ----------------------------7分由（Ⅰ）知OC ⊥平面P AD ，∴AB ⊥平面P AD ，∵AB ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PAD ，----------------------------------------------------8分过点O 作OE ⊥PA 于E ，连结BE ，则OE ⊥平面PAB ， ∴∠OBE 为CD 与平面PAB 所成的角，----------------------10分 在Rt △OEB中，∵PO AO OE PA ⋅==,OB =,∴cos BEOBE OB∠=== 即CD 与平面P AB--------------------------------------------------12分】（19）解：（Ⅰ）依题意得150=μ，6252=σ，得25=σ，σμ2100-=， ------------ 1分消费额X 在区间（100，150]内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6，--------- 2分人数约为)2(1000μσμ≤<-⨯X P 29544.01000⨯==477人，------------------------3分其中中奖的人数约为477×0.6=286人； -------------------------------------------------------- 4分（Ⅱ）三位顾客每人一次A 箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布)6.0,3(B ，k k kC k P -⋅==334.06.0)(ξ，（k=0, 1, 2, 3） ----------------------------------------------------6分故ξ的分布列为-----------8分（Ⅲ）A 箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，-------------------------9分B箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5=35，---------------------------------------10分方法一所得奖金的期望值为3×10.5=31.5，方法二所得奖金的期望值为35， 所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．-----------------------------------------------12分 （20）解：（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意知(0,)N y ，∵(1,),(1,),(0,),(,1)AM x y BM x y ON y CM x y =+=-==+，---------------------------2分 由AM BM ON CM ⋅=⋅得221(1)x y y y -+=+，即21y x =-， ∴所求曲线T 的方程为21y x =-------------------- 4（Ⅱ）解法1：设000(,)(0)P x y x ≠， 由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x ===---------------------------5分 ∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为20041(8x x -设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415()()()()084x x x x y y y x ---+-+=------①-----------8分在①中，令001,0x y =±=得35(1)()()084x x y y ++++=，------------------------②35(1)()()084x x y y --++=， -----------------------------------------------------------③由②③联立解得0,3.4x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或 0,1.2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩--------------------------------------------------------------10分将30,4x y ==-代入①式，左边=20041335()()8444x y -+---+0011022y y =-==右边， 即以PQ 为直径的圆过点3(0,)4-，--------------------------------------------------------------------11分将10,2x y ==-代入①式，左边≠右边，∴以PQ 为直径的圆恒过点，该定点的坐标为3(0,)4---------------------------------------------12分【解法2：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x === -----------------------------------------------------------------------------------------5分∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x ---------------------------------------------6分设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由0PG QG ⋅=，得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415()()()()08x x x x y y y x ---+-+=------①------------8分假设以PQ 为直径的圆过定点),(b a ， 则0)45)(()8121)((0000=+-++--b y b x x a x a ， 0)45)(1(81823212000202=++-+-+-+b x b x a ax x a ， )45)(1()45(81823212000202++++--+-+b b x b x a ax x a 0)45)(1()43(81)8123(20002=++++----b b x b x x a a ，令43,0-==b a ，上式恒成立， ∴以PQ 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4-----------------------------------------------12分】【解法3：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x ===------------------------------------------------------------------------------------------5分∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x --------------------------------------------6分假设以PQ 为直径的圆恒过定点H ，则根据对称性，点H 必在y 轴上，设(0,)H t ， 则由0PH QH ⋅=得20000415()()084x x t y t x -⋅+-+=------① --------------------------------------8分001355()()02844y t t y t +++-+=，031()()042t t y ++-=， ∴34t =-，即以PQ 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4---------------------------12分】（21）解：（Ⅰ）ax xx f +-=121)('，----------------------------------------------------------------1分0)2(220)('22>+-+⇔>+⇔>a x a x x a x x f ，0)2(20)('22<+-+⇔<a x a x x f ，设22)2(2)(a x a x x g +-+=，则)1(16a -=∆， ①当1≥a 时，0≤∆，0)(≥x g ，即0)('≥x f ， ∴)(x f 在),0(∞+上单调递增；-----------------------------------------------------------------3分②当10<<a 时，0>∆， 由0)(=x g 得a a aa x ---=---=122214241，aa x -+-=1222，-----------------------------------------------------------------------------4分可知210x x <<，由)(x g 的图象得：)(x f 在)122,0(a a ---和),122(∞+-+-a a 上单调递增；--------------------5分)(x f 在,122(a a ---)122a a -+-上单调递减． ---------------------------------6分（Ⅱ）解法1：函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点 ----------------------------------------------7分假设函数)(x f 有两个零点，由（Ⅰ）知，10<<a ， 因为0ln )0(>-=a f ，则0)(2<x f ，即)ln(22a x x +<， 由0)('2=x f 知222x a x =+，所以）（222ln x x <，设t x =2，则)2l n(t t <（＊）， -----------------------------------------------------------------9分 由)4,1(1222∈-+-=a a x ，得)2,1(∈t ，设)2ln()(t t t h -=，得011)('>-=t t h ， -------------------------------------------------10分所以)(t h 在)2,1(递增，得02ln 1)1()(>-=>h t h ，即)2ln(t t >，这与（＊）式矛盾， ---------------------------------------------------------------------------------11分所以上假设不成立，即函数)(x f 没有两个零点． ------------------------------------------12分【解法2：函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点； -------------------------------------------------7分由（Ⅰ）知当1≥a 时，函数)(x f 在),0(∞+上单调递增，∴函数)(x f 在),0(∞+上至多有一个零点；-----------------------------------------------------8分当10<<a 时，∵0ln )0(>-=a f ，由（Ⅰ）知当2x x =时，()f x 有极小值，22()=()ln()f x f x x a =+极小11)]=-，---------------------9分1,t =则12t <<，()ln(2)f x t t =-极小，设)2ln()(t t t h -=，得011)('>-=t t h ，------------------------------------------------------10分∴)(t h 在)2,1(单调递增，得02ln 1)1()(>-=>h t h ，即()0f x >极小，可知当10<<a 时，函数)(x f 在(0,)+∞不存在零点；综上可得函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点.-------------------- -----------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）直线l 经过定点)1,1(-，-----------------------------------------------------------------2分由2cos +=θρρ得22)2cos (+=θρρ，得曲线C 的普通方程为222)2(+=+x y x ，化简得442+=x y ；---5分（Ⅱ）若4πα=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 221221，的普通方程为2+=x y ，----------------------------------6分则直线l 的极坐标方程为2cos sin +=θρθρ，------------------------------------------------8分联立曲线C ：2cos +=θρρ．得1sin =θ，取2πθ=，得2=ρ，所以直线l 与曲线C 的交点为)2,2(π．------------10分（23）解：（Ⅰ）当1m =时，|2||1|)(--+=x x x f -------------------------------------------------1分∵3|)2()1(|||2||1||=--+≤--+x x x x ，-------------------------------------------------3分 3|2||1|3≤--+≤-∴x x ，函数)(x f 的值域为]3,3[-；------------------------------ 5分（Ⅱ）当m =－1时，不等式x x f 3)(>即x x x 3|2||1|>-++，------------------------------- -6分①当1-<x 时，得x x x 321>+---，解得51<x ，1-<∴x ； --------------------- 7分②当21<≤-x 时，得x x x 321>+-+，解得1<x ，11<≤-∴x ； --------------- 8分③当2≥x 时，得x x x 321>-++，解得1-<x ，所以无解； ------------------------9分综上所述，原不等式的解集为)1,(-∞． -----------------------------------------------------10分。
2017-2018学年广东省揭阳三中高二上学期第二次段考数学试题(理科)(解析版)
2017-2018学年广东省揭阳三中高二（上）第二次段考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则命题p的否定¬p是（）A．¬p：∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．￢p：∀x∈R，x2+2x+2＞0C．¬p：∃x0∈R，x02+2x0+2≥0 D．¬p：∀x∈R，x2+2x+2≥02．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）A．120°B．60°C．45°D．30°4．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（）A．B．C．D．5．（5分）不等式的解为（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞﹣1）∪（0，+∞）C．D．6．（5分）在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为（）A．20（1+）m B．20（1+）m C．10（+）m D．20（+）m 7．（5分）设点A，B的坐标分别为（﹣5，0），（5，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为﹣2，则点M的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线8．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（）A．4 B．2 C．1 D．89．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．310．（5分）已知双曲线﹣=1上一点P到左焦点F1的距离为10，则当PF1的中点N到坐标原点O的距离为（）A．3或7 B．6或14 C．3 D．711．（5分）若A（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，P在抛物线上，则使|PF|+|PA|最小时的P点坐标为（）A．（2，2） B．C．D．12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，把{S n}的前n项和称为“和谐和”，用H n来表示，对于a n=3n，其“和谐和”H n=（）A．B．C．D．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）当x＜0时，f（x）=﹣x﹣的最小值是．14．（5分）在等差数列{a n}中，a5=﹣1，a6=1，则a5+a6+…+a15=．15．（5分）数列{a n}的通项公式，其前n项和时S n=9，则n等于．16．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，若△PF1F2的面积为．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．18．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且（1）求∠C；（2）若c=1，a+b=2ab，求△ABC的面积．19．（12分）已知数列{a n}满足．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．20．（12分）已知抛物线C的标准方程是y2=6x（Ⅰ）求它的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）直线l过已知抛物线C的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求线段AB的长度．21．（12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）求cosB的最小值．22．（12分）已知椭圆=1 （a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．（1）求椭圆的方程；（2）求△CDF2的面积．2017-2018学年广东省揭阳三中高二（上）第二次段考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分）1．（5分）已知命题p：∃x0∈R，x02+2x0+2≤0，则命题p的否定¬p是（）A．¬p：∃x0∈R，x02+2x0+2＞0 B．￢p：∀x∈R，x2+2x+2＞0C．¬p：∃x0∈R，x02+2x0+2≥0 D．¬p：∀x∈R，x2+2x+2≥0【分析】直接利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题p：“∃x0∈R，x02+2x0+2≤0”，则命题p的否定￢p是：∀x∈R，x2+2x+2＞0．故选：B【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．2．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．【解答】解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．【点评】本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．3．（5分）在△ABC中，a2=b2+c2+bc，则A等于（）A．120°B．60°C．45°D．30°【分析】先根据a2=b2+bc+c2，求得bc=﹣（b2+c2﹣a2）代入余弦定理中可求得cosA，进而求得A．【解答】解：根据余弦定理可知cosA=∵a2=b2+bc+c2，∴bc=﹣（b2+c2﹣a2）∴cosA=﹣∴A=120°故选A【点评】本题主要考查了余弦定理的应用．属基础题．4．（5分）在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，BC=3，则AC=（）A．B．C．D．【分析】结合已知，根据正弦定理，可求AC【解答】解：根据正弦定理，，则故选B【点评】本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础试题5．（5分）不等式的解为（）A．（﹣1，0）B．（﹣∞﹣1）∪（0，+∞）C．D．【分析】根据分式不等式的解法求出不等式的解集即可．【解答】解：∵，∴﹣＜0，即＞0，解得：x＞或x＜0，故选：D．【点评】本题考查了解分式不等式，是一道基础题．6．（5分）在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔仰角为60°，塔底俯角为45°，那么这座塔的高为（）A．20（1+）m B．20（1+）m C．10（+）m D．20（+）m 【分析】作出图形，解三角形即可．【解答】解：依题意作图如下：AB=20m，仰角∠DAE=60°，俯角∠EAC=45°，在等腰直角三角形ACE中，AE=EC=20m，在直角三角形DAE中，∠DAE=60°，∴DE=AEtan60°=20m，∴塔高CD=（20+20）m．故选B．【点评】本题考查解三角形，着重考查作图能力，考查解直角三角形的能力，属于中档题．7．（5分）设点A，B的坐标分别为（﹣5，0），（5，0）．直线AM，BM相交于点M，且它们的斜率之积为﹣2，则点M的轨迹是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线【分析】设出点M的坐标，表示出直线AM、BM的斜率，进而求出它们的斜率之积，利用斜率之积是﹣2，建立方程，去掉不满足条件的点，即可得到点M的轨迹方程．【解答】解：设M（x，y），因为A（﹣5，0），B（5，0）所以kAM=（x≠﹣5），kBM=（x≠5）由已知，=﹣2化简，得2x2+y2=50（x≠±5）轨迹方程是椭圆．故选B．【点评】本题重点考查轨迹方程的求解，解题的关键是正确表示出直线AM、BM 的斜率，利用条件建立方程．8．（5分）公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，则a5=（）A．4 B．2 C．1 D．8【分析】利用等比数列的通项公式求解．【解答】解：∵公比为2的等比数列{a n}的各项都是正数，且a3a11=16，∴，且a1＞0，解得，∴a5==1．故选：C．【点评】本题考查等比数列的第5项的求法，是基础题，解题时要注意等比数列的性质的合理运用．9．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值是（）A．﹣3 B．0 C．D．3【分析】画出约束条件表示的可行域，推出三角形的三个点的坐标，直接求出z=x﹣y的最小值．【解答】解：约束条件，表示的可行域如图，解得A（0，3），解得B（0，）、解得C（1，1）；由A（0，3）、B（0，）、C（1，1）；所以t=x﹣y的最大值是1﹣1=0，最小值是0﹣3=﹣3；故选A．【点评】本题考查简单的线性规划的应用，正确画出约束条件的可行域是解题的关键，常考题型．10．（5分）已知双曲线﹣=1上一点P到左焦点F1的距离为10，则当PF1的中点N到坐标原点O的距离为（）A．3或7 B．6或14 C．3 D．7【分析】连接ON，利用ON是三角形PF1F2的中位线，及双曲线的定义即可求得ON的大小．【解答】解：依题意，连接ON，ON是△PF1F2的中位线，∴ON=PF2，∵|PF1﹣PF2|=4，PF1=10，∴PF2=14或6，∴ON=PF2=7或3；故答案选：A．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查三角形的中位线定理及双曲线的定义，考查分析与运算能力，属于基础题．11．（5分）若A（3，2），F为抛物线y2=2x的焦点，P在抛物线上，则使|PF|+|PA|最小时的P点坐标为（）A．（2，2） B．C．D．【分析】利用抛物线的定义，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离即可．【解答】解：设点P在其准线x=﹣上的射影为M，有抛物线的定义得：|PF|=|PM|，∴欲使|PA|+|PF|取得最小值，就是使|PA|+|PM|最小，∵|PA|+|PM|≥|AM|（当且仅当M，P，A三点共线时取“=”），∴|PA|+|PF|取得最小值时（M，P，A三点共线时）点P的纵坐标y0=2，设其横坐标为x0，∵P（x0，2）为抛物线y2=2x上的点，∴x0=2，∴点P的坐标为P（2，2）．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质，将点P到其焦点的距离转化为它到其准线的距离是关键，考查转化思想的灵活应用，属于中档题．12．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，把{S n}的前n项和称为“和谐和”，用H n来表示，对于a n=3n，其“和谐和”H n=（）A．B．C．D．【分析】运用等比数列的求和公式，以及数列的求和方法：分组求和，计算即可得到所求和．【解答】解：由，可得S n==（3n﹣1），则H n=（3+9+…+3n﹣n）=•（﹣n）=．故选：A．【点评】本题考查等比数列的求和公式的运用，考查数列的求和方法：分组求和，考查运算能力，属于中档题．二、填空题（每小题5分，共20分）13．（5分）当x＜0时，f（x）=﹣x﹣的最小值是2．【分析】由x＜0，可得﹣x＞0，函数f（x）化为f（x）=（﹣x）+，运用基本不等式，计算即可得到所求最小值和x的值．【解答】解：当x＜0时，﹣x＞0，即有f（x）=﹣x﹣=（﹣x）+≥2=2．当且仅当x=﹣时，f（x）取得最小值2．故答案为：2．【点评】本题考查函数的最值的求法，注意运用基本不等式，注意满足的条件：一正二定三等，考查运算能力，属于基础题．14．（5分）在等差数列{a n}中，a5=﹣1，a6=1，则a5+a6+…+a15=99．【分析】由已知求得首项和公差，然后利用a5+a6+…+a15=S15﹣S4求解．【解答】解：在等差数列{a n}中，由a5=﹣1，a6=1，得d=2．∴a1=a5﹣4d=﹣1﹣8=﹣9．则a5+a6+…+a15=S15﹣S4=[]﹣[]=99．故答案为：99．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的前n项和，是基础的计算题．15．（5分）数列{a n}的通项公式，其前n项和时S n=9，则n等于99．【分析】根据题意，数列的通项公式可转化a n=﹣，进而可得S n=（﹣）﹣（﹣）+…+（﹣1）=﹣1，已知S n=9，即﹣1=9，解可得答案．【解答】解：根据题意，=﹣，则S n=（﹣）﹣（﹣）+…+（﹣1）=﹣1，若S n=9，即﹣1=9，解可得n=99；故答案为99．【点评】本题考查数列的求和，解本题的关键在于数列的通项公式的转化，即=﹣，进而化简得到前n项和的表达式．16．（5分）已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，且，若△PF1F2的面积为9．【分析】由椭圆可得：a，b，c．设|PF1|=m，|PF2|=n．由于，可得∠F1PF2=90°．利用勾股定理可得：m2+n2=（2c）2=64．利用椭圆的定义可得：m+n=2a=10，进而得到mn．【解答】解：由椭圆可得：a2=25，b2=9．∴a=5，b=3，c==4．设|PF1|=m，|PF2|=n．∵，∴∠F1PF2=90°．∴m2+n2=（2c）2=64．又m+n=2a=10，联立，解得mn=18．∴△PF1F2的面积S=mn=9．故答案为：9．【点评】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、向量垂直、勾股定理、三角形的面积等基础知识与基本技能方法，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（10分）已知命题p：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立；命题q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根；如果p与q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．【分析】先对两个命题进行化简，转化出等价条件，根据p与q中有且仅有一个为真命题，两命题一真一假，由此条件求实数a的取值范围即可．【解答】解：对任意实数x都有ax2+ax+1＞0恒成立⇔a=0或⇔0≤a＜4；关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根⇔1﹣4a≥0⇔a≤；如果p正确，且q不正确，有0≤a＜4，且a＞；∴＜a＜4如果q正确，且p不正确，有a＜0或a≥4，且a≤∴a＜0．所以实数a的取值范围为（﹣∞，0）∪（，4）．故答案为：（﹣∞，0）∪（，4）．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，求解本题的关键是得出两命题为真命题的等价条件，本题寻找P的等价条件时容易忘记验证二次项系数为0面错，解题时要注意特殊情况的验证．是中档题．18．（12分）在锐角△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，且（1）求∠C；（2）若c=1，a+b=2ab，求△ABC的面积．【分析】（1）直接利用正弦定理求出结果．（2）利用（1）的结论和余弦定理，进一步求出三角形的面积．【解答】解：（1）∵，由正弦定理得，…（2分）又A、C均为锐角，∴sinA≠0，∴，…（4分）∴…（5分）（2）由余弦定理得c2=a2+b2﹣2abcosC，即，∴a2+b2﹣ab=1，∴（a+b）2﹣3ab=1，又∵a+b=2ab，∴4（ab）2﹣3ab﹣1=0，…（8分）解得ab=1，或（舍去），…（10分）∴．…（12分）【点评】本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用．19．（12分）已知数列{a n}满足．（Ⅰ）证明数列{a n+1}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（I）由数列{a n}满足，变形为a n+1=2（a n+1），+1即可证明数列{a n+1}是等比数列，利用通项公式即可得出；（II）利用“错位相减法”即可得出．+1=2【解答】（I）证明：∵数列{a n}满足，∴a n+1（a n+1），∴数列{a n+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列．∴，∴．（II）解：由（I）可知：=n•2n﹣1．∴+…+（n﹣1）•2n﹣2+n•2n﹣1，2S n=1×2+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n，∴﹣S n=1+2+22+…+2n﹣1﹣n•2n==2n﹣1﹣n•2n=（1﹣n）•2n﹣1．∴．【点评】本题考查了变形转化为等比数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”等基础知识与基本技能方法，属于难题．20．（12分）已知抛物线C的标准方程是y2=6x（Ⅰ）求它的焦点坐标和准线方程；（Ⅱ）直线l过已知抛物线C的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求线段AB的长度．【分析】（Ⅰ）由抛物线C的标准方程是y2=6x，能求出抛物线C的焦点和准线方程．（Ⅱ）直线l的方程为y=x﹣，联立，得y2﹣6y﹣9=0，由此利用弦长公式能求出线段AB的长度．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线C的标准方程是y2=6x，∴抛物线C的焦点为F（，0），准线方程：．（Ⅱ）∵直线l过抛物线C的焦点F（，0），且倾斜角为45°，∴直线l的方程为y=x﹣，联立，得y2﹣6y﹣9=0，△=36+36=72＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=6，y1y2=﹣9，∴线段AB的长度|AB|==12．【点评】本题考查抛物线的焦点坐标、准线方程的求法，考查线段长的求法，考查抛物线性质、直线方程、韦达定理、弦长公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．21．（12分）△ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b．（1）求证：a，b，c成等差数列；（2）求cosB的最小值．【分析】（1）直接利用和正弦定理和三角函数关系式的恒等变换，求出结论；（2）利用余弦定理的基本不等式求出结果．【解答】解：（1）证明：∵a（1+cosC）+c（1+cosA）=3b，∴由正弦定理得sinA（1+cosC）+sinC（1+cosA）=3sinB，即sinA+sinC+sin（A+C）=3sinB，∴sinA+sinC=2sinB．∴由正弦定理得a+c=2b，所以a，b，c成等差数列．（2）=．当且仅当，即a=c时取等号，∴cosB的最小值为．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式的应用．22．（12分）已知椭圆=1 （a＞b＞0）的一个顶点为A（0，1），离心率为，过点B（0，﹣2）及左焦点F1的直线交椭圆于C，D两点，右焦点设为F2．（1）求椭圆的方程；（2）求△CDF 2的面积．【分析】（1）根据椭圆的基本概念和平方关系，建立关于a 、b 、c 的方程，解出a=，b=c=1，从而得到椭圆的方程；（2）求出F 1B 直线的斜率得直线F 1B 的方程为y=﹣2x ﹣2，与椭圆方程联解并结合根与系数的关系算出|x 1﹣x 2|=，结合弦长公式可得|CD |=，最后利用点到直线的距离公式求出F 2到直线BF 1的距离d ，即可得到△CDF 2的面积． 【解答】解：（1）由题意知b=1，e==，又∵a 2=b 2+c 2，∴a 2=2． ∴椭圆方程为+y 2=1．（2）∵F 1（﹣1，0），∴直线BF 1的方程为y=﹣2x ﹣2， 由，得9x 2+16x +6=0．∵△=162﹣4×9×6=40＞0， ∴直线与椭圆有两个公共点， 设为C （x 1，y 1），D （x 2，y 2）， ∴x 1+x 2=﹣，x 1x 2==，∴|CD |=|x 1﹣x 2|=•==，又点F 2到直线BF 1的距离d=，故S △CDF 2=|CD |•d=．【点评】本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并求三角形的面积．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆角曲线的位置关系等知识，属于中档题．。
【高考模拟】广东省揭阳市2017届高三第二次模拟考试数学试题(理)含答案
6 23 正视图俯视图左视图图1绝密★启用前揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效．3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试卷上无效．4.考试结束，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）函数()lg(63)f x x -的定义域为（A ）(,2)-∞ （B ）(2,)+∞ （C ）[1,2)- （D ）[1,2]- （2）已知复数iia z 213++=(R a ∈，i 是虚数单位)是纯虚数，则||z 为 （A ）32（B ）152（C ）6（D ）3（3）“p q ∧为真”是“p q ∨为真”的（A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件（4）已知1sin cos 3αα-=，则cos(2)2πα-= （A ）89-（B ）23 （C ）89 （D（5）已知01a b c <<<<，则（A ）b aa a >（B ）a bc c >（C ）log log a b c c > （D ）log log b b c a >（6）中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图1 所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升） （A ）14（B ）212π+（C ）π+12（D ）π238+ （7）设计如图2的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数 （用j 表示），则判断框中应填入的条件是 （A ）?58<i （B ）?58≤i （C ）?59<j（D ）?59≤j（8）某微信群中四人同时抢3 则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（A ）14 （B ）34 （C ）53 （D ）21（9）已知实数,x y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤-+≥+-a y y x y x 003202，若 y x z 2-=的最小值为-3，则a 的值为（A ）1（B ）23 （C ）2 （D ）37（10）函数xx x f 21()(2-=的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ） （11）已知一长方体的体对角线的长为10，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（A ）64 （B ）128（C ）192 （D ）384（12）已知函数)0(21sin 212sin)(2>-+=ωωωx xx f ，R x ∈.若)(x f 在区间)2,(ππ内O P QQD E F COBAP 图4图3F E DBCA有零点，则ω的取值范围是（A ）155(,(,)484+∞ （B ）)1,85[41,0( （C ）1155(,(,)8484 （D ）115(,)(,)848+∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题 第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题 第(23)题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）已知向量(1,2),(2,1)a x b x =-=- 满足||||a b a b ⋅=-⋅，则 x = .（14）已知直线3460x y --=与圆2220()x y y m m R +-+=∈相切，则m 的值为 .（15）在△ABC 中，已知AB 与BC 的夹角为150°，||2AC = ，则||AB的取值范围是 .（16）已知双曲线2221(0)4x y b b -=>1F 、2F 是双曲线的两个焦点，A 为左顶点、B (0,)b ，点P 在线段AB 上，则12PF PF ⋅的最小值为 .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，11a =，1)1(21+++=+n na n a nn ． （I ）求证：数列}1{+nan 是等比数列；（II ）求数列}{n a 的前n 项和为n S ． (18)（本小题满分12分）已知图3中，四边形 ABCD 是等腰梯形，CD AB //，CD EF //，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，OQ 与EF的交点为P ，OP =1，PQ =2，现将梯形ABCD 沿EF 折起，使得3=OQ ，连结AD 、BC ，得一几何体如图4示．(Ⅰ)证明：平面ABCD ⊥平面ABFE ；(Ⅱ)若图3中，45A ∠=，CD=2，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值． （19）（本小题满分12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n *)(N n ∈关者奖励12-n 件小奖品（奖品都一样）．图5 是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估 计概率．(Ⅰ)估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值； (Ⅱ)估计小明在3 次游戏中至少过两关的平均次数； (Ⅲ)估计小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率． （20）(本小题满分12分)已知椭圆()012222>>=+b a by a x 与抛物线)0(22>=p px y 共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足25||2=QF ． （I ）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II ）过抛物线上的点P 作抛物线的切线=+y kx m 交椭圆于A 、B 两点，设线段AB 的中点为),(00y x C ，求0x 的取值范围．(21)（本小题满分12分）设函数2)()(a x x f -=（a R ∈），x x g ln )(=，(Ⅰ) 试求曲线)()()(x g x f x F +=在点))1(,1(F 处的切线l 与曲线)(x F 的公共点个数；(Ⅱ) 若函数)()()(x g x f x G ⋅=有两个极值点，求实数a 的取值范围． （附：当0<a ，x 趋近于0时，xax -ln 2趋向于∞+） 请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． (22) (本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，已知直线l 1：x y ⋅=αtan （πα<≤0，2πα≠），抛物线C ：⎩⎨⎧-==ty t x 22（t 为参数）．以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l 1 和抛物线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 1 和抛物线C 相交于点A （异于原点O ），过原点作与l 1垂直的直线l 2，l 2和抛物线C 相交于点B （异于原点O ），求△OAB 的面积的最小值．(23) (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知函数()21f x x =-． （Ⅰ）求不等式()1f x ≤的解集A ；（Ⅱ）当,m n A ∈时，证明：1m n mn +≤+．揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（6）易得该几何体为一底面半径为2、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： 21()24311222ππ⨯⨯+⨯⨯=+.（8）3个红包分配给四人共有34A 种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为2213223432214322C A A A ⋅⨯⨯==⨯⨯． （9）如右图，当直线y x z 2-=过点(2,)A a a -时，z 取得最小值，即2231a a a --=-⇒=. （10）由(0)1f =-可排除（D ），由044)2(=-=-f ，01616)4(=-=-f ，可排（A ）（C ），故选（B ）. （116=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=．(12) 1cos sin 1())22224x x f x x ωωπω-=+-=-，由(41)()0()4k f x x k Z πω+=⇒=∈令2ω=得函数)(x f 有一零点98x π=(,2)ππ∈，排除（B ）、（C ），令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：12210,,33x x ππ== ，显然1x ∉)2,(ππ，2x ∉)2,(ππ可排除（A ），故答案为（D ）【法二：)4si n (22)(πω-=x x f ，由0)(=x f 得ππωk x =-4，当)2,(ππ∈x 时，)42,4(4πωππωππω--∈-x ，由题意知存在Z k ∈，)42,4(πωππωππ--∈k ，即)412,41(--∈ωωk ，所以41)41(21+<<+k k ω，由0>ω知0≥k ，当 ,2,1,0=k 时，4181<<ω，4585<<ω，4989<<ω，…，所以选D ．】 二、填空题：(15) 由AB与BC的夹角为150°知30B ∠= ,由正弦定理得： ||||4sin sin 30AB AC C ==||4sin AB C ⇒= ,又0150C <<得0||4AB <≤ . （16）易得1c b ==，设(,)P x y 则12(,),)PF PF x y x y ⋅=-⋅-225x y =+-，显然，当OP AB ⊥时，22x y +取得最小值， 由面积法易得22min4()5x y +=，故12PF PF ⋅ 的最小值为421555-=-. 三、解答题：（17）解：（I ）证法1：由已知得1211+⋅=++nan a n n ，-----------------------------1分 ∴)1(2111+=+++nan a n n ，--------------------------------------------------------3分 又211=+a ，得01≠+na n，∴21111=++++na n a n n ，---------------------------------------5分∴数列}1{+nan 是首项为2，公比为2的等比数列．-----------------------6分【证法2：由1)1(21+++=+n na n a nn 得12(1)(1)n n na n a n n +=+++，----------------1分 由01>a 及递推关系，可知0>n a ，所以01≠+na n， ∴111(1)2(1)2(1)12(1)(1)(1)(1)1n n n n n n a na n n n a n n n a n a n n n a n n n+++++++++===+++++++，------------------5分Q D EF COBAP∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列．----------------------------------6分】 （II ）由（I ）得n n nna 22211=⋅=+-，∴n n a n n -⋅=2，---------------------------8分 23122232(1)22n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅ ])1(321[n n +-++++- ，设23122232(1)22n n n T n n -=+⨯+⨯++-+⋅ ，-------------① 则2341222232(1)22n n n T n n +=+⨯+⨯++-+⋅ ，---------② ①式减去②式得23122222n n n T n +-=++++-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-22)1(1---=+n n ，得22)1(1+-=+n n n T ，------------------------------------------------------------------10分 又(1)123(1)2n n n n +++++-+=， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=--+．-----------------------------------------------------12分 （18）解：(Ⅰ)证明：在图3中，四边形ABCD 为等腰梯形，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，∴OQ 为等腰梯形ABCD 的对称轴，又AB//CD EF //，∴OP ⊥EF 、PQ ⊥EF ，①---------------------2分 在图4中，∵222PQ OP OQ =+，∴OP OQ ⊥--------------3分 由①及P PQ OP = ，得EF ⊥平面OPQ ，∴EF ⊥OQ ，----------------4分 又OP EF P = ，∴OQ ⊥平面ABFE ，----------------------------------5分又⊂OQ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABFE ；-------------------------------------6分 (Ⅱ)在图4中，由45A ∠=，CD=2，易得PE=PF=3，AO=OB=4，----------------7分以O 为原点，PO 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系xyz O -，如图所示， 则)0,4,0(B 、)0,3,1(-F、(0,1C得)0,1,1(--=，(0,BC =--------8分 设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥BC m m，得030m BF x y m BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-=⎪⎩， 取z =3，得(m = ---------9分同理可得平面ADE的一个法向量(n =-------------------------------------10分 设所求锐二面角的平面角为θ，则|||||||,cos |cos n m n m n m⋅⋅=><=θ35=所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为35．-------------------------------12分 （19）解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ的分布列为-------------------2分ξ的期望值41.0161.082.043.022.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；----------------4分(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，-----------------------------5分 设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为X ，可知)7.0,3(~B X ， 则X 的平均次数1.27.03)(=⨯=X E ；------------------------------------------7分(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次16=ξ和两次8=ξ，恰好二次16=ξ，恰好三次16=ξ，---------------------------------------------------------------8分213)8()16(=⋅=ξξP P C 003.01.01.032=⨯⨯=，---------------------------------9分 )16()16(223≠⋅=ξξP P C =027.0)1.01(1.032=-⨯⨯，------------------------10分 333)16(=ξP C 001.01.03==------------------------------------------------------------11分所以小明在 3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为031.0001.0027.0003.0=++．------12分（20）解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，----------------1分得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分 可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由25||2=QF 得251=+Q x ，又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-------4分 由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-----------------------------------------------------6分 （II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去x ，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ， 其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分 又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则89922210+-=+=k x x x <0， 由91122>=mk ，得10->x ，∴0x 的取值范围是)0,1(-．--------------12分 （21）解：（Ⅰ）∵2)1()1(a F -=，xa x x F 1)(2)('+-=，切线l 的斜率为a F 23)1('-=，---------------------------------------------1分∴切线l 的方程为)1)(23()1(2--=--x a a y ，即2)23(2-+-=a x a y ，-----2分联立x a x x F y ln )()(2+-==，得02ln 32=++-x x x ；设2ln 3)(2++-=x x x x h ，则x x x h 132)('+-=xx x )1)(12(--=，----------3分 由0)('>x h 及0>x ，得210<<x 或1>x ， ∴)(x h 在)21,0(和),1(∞+上单调递增，可知)(x h 在)1,21(上单调递减，----4分 又0)1(=h ，031)1(242<-=ee e h ，所以∈∃0x )21,0(，0)(0=x h ，-----------5分∴方程02ln 32=++-x x x 有两个根：1和0x ，从而切线l 与曲线)(x F 有两个公共点．--6分(Ⅱ)由题意知0)1ln 2)(()('=-+-=xax a x x G 在),0(∞+至少有两不同根，----------------7分设xa x x r -+=1ln 2)(， ①当0>a 时，a x =1是0)('=x G 的根， 由1ln 2+=x y 与x a y =（0>a ）恰有一个公共点，可知01ln 2=-+xax 恰有一根2x ，由a x x ==12得a =1，不合题意，∴当0>a 且1≠a 时，检验可知a x =1和2x 是)(x G 的两个极值点；-----------------8分 ②当0=a 时，0)1ln 2()('=+=x x x G 在),0(∞+仅一根，所以0=a 不合题意；--9分③当0<a 时，需01ln 2)(=-+=xax x r 在),0(∞+至少有两不同根，由02)('2>+=x a x x r ，得2a x ->，所以)(x r 在),2(∞+-a 上单调递增， 可知)(x r 在)2,0(a -上单调递减， 因为0<a ，x 趋近于0时，)(x r 趋向于∞+，且1>x 时，0)(>x r ， 由题意知，需0)(min <x r ，即03)2ln(2)2(<+-=-a a r ，解得232-->e a ，------11分 ∴0223<<--a e ． 综上知，32(2,0)(0,1)(1,)a e -∈-+∞ ．---------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈---------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分（Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分 可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆ |cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α， ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分 依题意得直线2l 的方程为1y x k=-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】（23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分 （Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--------------------------------------7分 因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+ 又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．-------------------------------------------------1 0分【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+．------------------------------------10分】。
广东省揭阳一中高二数学上学期第二次阶段考试题 理 新
揭阳一中93届13-14学年度第一学期第二次阶段考试题高二级数学(理)一．选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分.)1．已知F 1、F 2是椭圆162x +92y =1的两焦点，经点F 2的的直线交椭圆于点A 、B ，若|AB |=5，则|AF 1|+|BF 1|等于( )A ．2 B ．10 C ．9 D ．162．设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x ＋y ≥2y ≥3x －6，则目标函数z ＝2x ＋y 的最小值为( )A ．2B ．3C ．5D ．7 3．如果实数x ,y 满足等式(x －2)2+y 2=3，那么xy的最大值是( )A ．21B ．33C ．23D ．34．已知f (x )＝x ＋1x－2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－45．已知a r 、b r均为单位向量，它们的夹角为60°，那么｜a r ＋3b r|=( ) A ．7 B 10 C ．13 D ．46．一个等差数列的前n 项和为48，前2n 项和为60，则它的前3n 项和为( )A ．－24 B ．84 C ．72 D ．367．已知{a n }是等差数列，a 1=-9,S 3=S 7,那么使其前n 项和S n 最小的n 是( )A ．4 B ．5 C ．6 D ．78．过)0(2>=a ax y 的焦点F 作直线交抛物线与Q 、P 两点，若PF 与FQ 的长分别是q 、p ，则=+qp 11( )A 、a 2 B 、a 21 C 、a 4 D 、 a4二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分.）9．不等式0121>+-x x的解集是 ． 10．以双曲线221169x y -=的中心为顶点，左焦点为焦点的抛物线方程是 ．11． “若a ∉M 或a ∉P ，则a ∉M ∩P ”的逆否命题是 ． 12．某算法流程图如右图，输入x =1，得结果是________． 13．有三个命题：①垂直于同一个平面的两条直线平行； ②过平面α的一条斜线l 有且仅有一个平面与α垂直； ③异面直线a 、b 不垂直，那么过a 的任一个平面与b 都不垂直．其中正确命题的个数为14．已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为________．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）15．(12分)已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值．16．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ．(1)求角A 的大小；(2)若s1n B ·s1n C ＝s1n 2A ，试判断△ABC 的形状．17. (14分)等比数列}{n a ，)(0*N n a n ∈>，且134a a =，13+a 是2a 和4a 的等差中项.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若数列}{n b 满足12log n n n b a a +=+(1,2,3...n =)，求数列}{n b 的前n 项和n S . 18．(14分)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n －1(n ≥1)(1)设b n ＝a n －1(n ＝1,2,3…)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设c n ＝2na n ·a n ＋1，求证：数列{c n }的前n 项和S n ＜13.19．(14分)已知长方形ABCD , AB =22,BC =1．以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy ．(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;(2)过点P (0,2)的直线l 交(1)中椭圆于M ,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦M N 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由．20．(14分)已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，xx f )21()(=. (1)求)1(-f 的值；(2)求函数)(x f 的值域A ； (3)设函数a x a x x g +-+-=)1()(2的定义域OxyA BCD图8A ，求实数a的取值范围. 为集合B，若B揭阳一中93届13-14学年度第一学期第二次阶段考试题高二级数学(理)答案一、选择题：1~8：ABDC CDBC 二、填空题：9．112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭； 10．y 2＝－20x ； 11．若a ∈M ∩P ，则a ∈M 且a ∈P ；12．92-； 13．3； 14．22．三、解答题(本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)15．(12分)已知点M (3,1)，直线ax －y ＋4＝0及圆(x －1)2＋(y －2)2＝4.(1)求过M 点的圆的切线方程；(2)若直线ax －y ＋4＝0与圆相切，求a 的值． 解析：(1)圆心C (1,2)，半径r ＝2，当直线的斜率不存在时，方程为x ＝3.由圆心C (1,2)到直线x ＝3的距离d ＝3－1＝2＝r 知，此时直线与圆相切． 当直线的斜率存在时，设方程为y －1＝k (x －3)，即kx －y ＋1－3k ＝0.由题意知|k －2＋1－3k |k 2＋1＝2，解得k ＝34.∴方程为y －1＝34(x －3)，即3x －4y －5＝0.(2)由题意，有|a －2＋4|a 2＋1＝2，解得a ＝0，或a ＝43.16．(12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2＋c 2＝a 2＋bc ．(1)求角A 的大小；(2)若s1n B ·s1n C ＝s1n 2A ，试判断△ABC 的形状．解析：(1)由已知得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，又∠A 是△ABC 的内角，∴A ＝π3．(2)由正弦定理，得bc ＝a 2，又b 2＋c 2＝a 2＋bc ，∴b 2＋c 2＝2bc ．∴(b －c )2＝0，即b ＝c ．∴△ABC 是等边三角形．17. (14分)在等比数列}{n a 中，)(0*N n a n ∈>，且134a a =，13+a 是2a 和4a 的等差中项.(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)若数列}{n b 满足12log n n n b a a +=+(1,2,3...n =)，求数列}{n b 的前n 项和n S . 解析：(1)设等比数列}{n a 的公比为q .由134a a =可得224a =， ……………………………………1分 因为0n a >，所以22a = ……………………………………2分 依题意有)1(2342+=+a a a ，得3432a a a q == …………………3分 因为30a >，所以，2=q …………………………………..4分所以数列}{n a 通项为12-=n n a ……………………………………...6分(2)12log 21n n n n b a a n +=+=+-……………………………………....8分可得232(12)(1)(222...2)[123...(1)]122n nn n nS n --=+++++++++-=+- .......12分 1(1)222n n n +-=-+…………………………………....14分18．(14分)已知数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n －1(n ≥1)(1)设b n ＝a n －1(n ＝1,2,3…)，求证：数列{b n }是等比数列； (2)求数列{a n }的通项公式；(3)设c n ＝2na n ·a n ＋1，求证：数列{c n }的前n 项和S n ＜13.解析：(1)由a n ＋1＝2a n －1，得a n ＋1－1＝2(a n －1)，即a n ＋1－1a n －1＝2 b n ＝a n －1，b n －1＝a n －1－1 故b n ＋1b n＝2， ∴数列{b n }是等比数列．(2)由(1)知{b n }是b 1＝3－1＝2，q ＝2的等比数列； 故b n ＝b 1qn －1＝2·2n －1＝2n＝a n －1∴a n ＝2n＋1. (3)∴c n ＝2na n a n ＋1＝2n2n＋12n ＋1＋1＝2n ＋1＋1－2n＋12n ＋12n ＋1＋1＝12n ＋1－12n ＋1＋1∴S n ＝(121＋1－122＋1)＋(122＋1－123＋1)＋…＋(12n ＋1－12n ＋1＋1)＝13－12n ＋1＋1＜13.19．已知长方形ABCD , AB =22,BC =1．以AB 的中点O 为原点建立如图8所示的平面直角坐标系xoy ．(1)求以A 、B 为焦点，且过C 、D 两点的椭圆的标准方程;(2)过点P (0,2)的直线l 交(1)中椭圆于M ,N 两点,是否存在直线l ,使得以弦M N 为直径的圆恰好过原点?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由．解析：(1)由题意可得点A ,B ,C 的坐标分别为()()()1,2,0,2,0,2-．设椭圆的标准方程是()012222>>=+b a by ax ．()()()()()2240122012222222>=-+-+-+--=+=BC AC a 则2=∴a 224222=-=-=∴c a b ． ∴椭圆的标准方程是.12422=+y x (2)由题意直线的斜率存在,可设直线l 的方程为()02≠+=k kx y ．Oy A BC D 图8设M,N 两点的坐标分别为()().,,,2211y x y x联立方程:⎩⎨⎧=++=42222y x kx y 消去y 整理得,()0482122=+++kx x k 有221221214,218k x x k k x x +=+-=+ 若以M N 为直径的圆恰好过原点,则⊥,所以02121=+y y x x , 所以,()()0222121=+++kx kx x x , 即()()042121212=++++x x k x x k所以,()0421*******222=++-++k k k k ，即,0214822=+-k k 得.2,22±==k k 所以直线l 的方程为22+=x y ,或22+-=x y ．所以存在过P (0,2)的直线l :22+±=x y 使得以弦M N 为直径的圆恰好过原点． 20．(14分)已知函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，且0≥x 时，xx f )21()(=. (1)求)1(-f 的值； (2)求函数)(x f 的值域A ； (3)设函数a x a x x g +-+-=)1()(2的定义域为集合B ，若B A ⊆，求实数a 的取值范围.解析：(1)Θ函数)(x f 是定义在R 上的偶函数)1()1(f f =-∴ ...........1分又 0≥x 时，xx f )21()(=21)1(=∴f ...........2分 21)1(=-f ...........3分(2)由函数)(x f 是定义在R 上的偶函数，可得函数)(x f 的值域A 即为0≥x 时，)(x f 的取值范围. ..........5分 当0≥x 时，1)21(0≤<x...........7分 故函数)(x f 的值域A =]1,0( ...........8分 (3)a x a x x g +-+-=)1()(2Θ∴定义域}0)1({2≥+-+-=a x a x x B ...........9分方法一 ：由0)1(2≥+-+-a x a x 得0)1(2≤---a x a x ，即 0)1)((≤+-x a x ...........2分 ΘB A ⊆],,1[a B -=∴且1≥a ...........13分 ∴实数a 的取值范围是}1{≥a a ...........14分 方法二：设a x a x x h ---=)1()(2B A ⊆当且仅当⎩⎨⎧≤≤0)1(0)0(h h ...........2分 即⎩⎨⎧≤---≤-0)1(10a a a ...........13分∴实数a 的取值范围是}1{≥a a ...........14分。
广东省揭阳市2017届高三数学上学期期末调研考试试题理
广东省揭阳市2017届高三数学上学期期末调研考试试题理本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合，，则（A）（B）（C）（D）（2）复数z满足(1＋i)z＝i＋2，则z的虚部为（A）（B）（C）（D）（3）已知等差数列的前n项和为，且,则数列的公差为（A）3（B）4（C）5（D）6（4）设D为△ABC所在平面内一点，且,则（A）（B）（C）（D）（5）若空间四条直线a、b、c、d，两个平面、，满足，，，，则（A）（B）（C）（D）b与d是异面直线（6）若命题：“”为假命题，则的取值范围是（A）（B）（C）（D）（7）函数的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ） （8）已知且，函数满足，，则（A ）（B ）（C ）3（D ）2（9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（A ）1234（B ）2017（C ）2258 （D ）722（10）六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6，每组3人，现需从中任选3人组成一个新的学习小组，则3人来自不同学习小组的概率为 （A ）（B ）（C ）（D ）（11）直线与圆交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 、OB 的倾斜角分别为、，则=图1（A ）（B ）（C ）（D ）（12）已知且，若为的最小值，则约束条件所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为（A ）29（B ）25（C ）18（D ）16 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上． （13）在的展开式中，常数项是．（14）设椭圆的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为，则分别以为实半轴长和虚半轴长，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为.。
2017届广东省揭阳一中、金山中学高三三模联考理科数学试卷及答案 精品
2016-2017学年度第二学期高三三模联考理科数学试题命题学校：潮州金山中学本试卷共4页，21题，满分150分。
考试时间为120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。
2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。
3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
参考公式:标准差公式：()()()[]222211x x x x x x ns n -++-+-=一、选择题（满分40分） 1.i 是虚数单位，=-ii1（ ） A ．i 2121+- B ．i 2121+ C ．i 2121- D ．i 2121--2.命题“若α=4π，则tan α=1”的逆否命题是（ ） A.若α≠4π，则tan α≠1 B. 若α=4π，则tan α≠1 C. 若tan α≠1，则α≠4π D. 若tan α≠1，则α=4π 3.ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4．下列四个命题中，正确的是（ ）A ．已知命题1tan ,:=∈∃x R x p ；命题01,:2>+-∈∀x x R x q ．则命题“q p ⌝∧”是真命题B ．已知ξ服从正态分布()2,0δN ，且()4.022=≤≤-ξP ，则()3.02=>ξPC ．设回归直线方程为x y 5.22-=，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位D ．已知直线01:,013:21=++=-+by x l y ax l ,，则21l l ⊥的充要条件是3=ba5.已知向量()()θθcos 2,1,cos ,1=-=b a且b a ⊥,则cos 2θ=（ ）A ．1-B ．0C ．12D6.在等差数列}{n a 中，已知1693=+a a ，则该数列前11项和=11S （ ）(A)58 (B)88 (C)143 (D)1767. 若函数x y 2=图像上存在点（x ，y ）满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤--≤-+m x y x y x 03203，则实数m 的最大值为（ ）A ．12 B.2 C. 32D.1 8．对于正实数α，记M α为满足下述条件的函数f （x ）构成的集合：R x x ∈∀21,且2x ＞1x ,有-α（2x -1x ）＜f （2x ）-f （1x ）＜α（2x -1x ）.下列结论正确的是（ ）A.2121)()(,)(,)(αααα+∈+∈∈M x g x f M x g M x f 则若 w ks5uB.121,)(,)(ααα且若M x g M x f ∈∈＞212)()(ααα-∈-M x g x f ，则C.若2121)()(,)(,)(αααα⋅∈⋅∈∈M x g x f M x g M x f 则D.2121)()(,0)()(,(ααααM x g x f x g M x g M x f ∈≠∈∈则且）若 二、填空题（满分30分）（一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答． 9．从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如下（单位：克）125 124 121 123 127则该样本标准差s = （克）（用数字作答）． 10．一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 .）图题（11题（10）图11.如图中的程序框图所描述的算法称为欧几里得 辗转相除法．若输入11077m =，2014n =，则输出m = ．（注：框图中的的赋值符号“＝”也可以写成“←” 或“：＝”）12．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交抛物线于,A B 两点，点O 是原点，若3AF =，则AOB ∆的面积为 .13．非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；（2）存在c G ∈，使得对一切a G ∈，都有a c c a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”。
2017届广东省揭阳一中高三上学期第二次段考理科数学试
揭阳一中92届高三第二次段考理科数学试卷—、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N ⋂为 （ ）A ． [0，1）B ．（0，1）C ．[0，1]D ．（-1，0]2、已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ）A 1B 1- D3、设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A.0PA PB +=B.0PC PA +=C.0PB PC +=D.0PA PB PC ++=4.已知圆C ：222)()(r b y a x =-+-的圆心为抛物线x y 42=的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆 C 相切，则该圆的方程为( ) A ．2564)1(22=+-y xB ．2564)1(22=-+y xC ．1)1(22=+-y xD ．1)1(22=-+y x 5．将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短 到原来的21倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为( ) A ．y ＝cos2xB ．y ＝－2cosxC ．y ＝－2sin4xD ．y ＝－2cos4x6. 设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( )A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg7. 已知函数2()(f x x b x a b =+-++是偶函数，则此函数的图象与ｙ轴交点的纵坐标的最大值为( )B.2C.4D.－28、如右图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线()sin ((0,))f x x x π=∈及直线((0,))x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为163，则a 的值为（ ）A ．π31B ．π32C ．π43D ．π65二、填空题（本大题共7小题, 分为必做题和选做题两部分．每小题5分, 满分30分）（一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答．9、若函数))(2()(2c x x x f +-=在2=x 处有极值，则函数)(x f 的图象在1=x 处的切线的斜率为 。
广东省揭阳市2017届高三数学上学期期末调研考试试题理
广东省揭阳市2017届高三数学上学期期末调研考试试题 理本试卷共4页，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}3,2,1,0,1,2A =---，{}23B x x =≤，则AB =（A ）{}0,2（B ）{}1,0,1-（C ）{}3,2,1,0,1,2--- （D ）[]0,2（2）复数z 满足(1＋i)z ＝i ＋2，则z 的虚部为（A ）32（B ）12（C ）12-（D ）12i -（3）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且322315S S -=,则数列{}n a 的公差为（A ）3（B ）4（C ）5 （D ）6（4）设D 为△ABC 所在平面内一点，且3BC BD =,则AD =（A ）2133AB AC + （B ）1233AB AC + （C ）4133AB AC + （D ）2533AB AC + （5）若空间四条直线a 、b 、c 、d ，两个平面α、β，满足b a ⊥，d c ⊥，α⊥a ，α⊥c ，则（A ）α//b（B ）b c ⊥（C ）d b //（D ）b 与d 是异面直线（6）若命题：“20,20x R ax ax ∃∈-->”为假命题，则a 的取值范围是（A ）(,8][0,)-∞-+∞ （B ）(8,0)- （C ）(,0]-∞ （D ）[8,0]-（7）函数],[|,|sin ππ-∈+=x x x y 的大致图象是（A ） （B ） （C ） （D ）（8）已知0a >且1a ≠，函数()13log ,0,0x x x f x a b x >⎧⎪=⎨⎪+≤⎩满足()02f =，()13f -=，则()()3f f -= （A ）3- （B ）2- （C ）3 （D ）2（9）阅读如图1所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（A ）1234（B ）2017（C ）2258（D ）722（10）六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6，每组3人，现需从中任选3人组成一个新的学习小组，则3人来自不同学习小组的概率为 （A ）5204（B ）4568（C ）1568（D ）568（11）直线:42l x y +=与圆22:1C x y +=交于A 、B 两点，O 为坐标原点，若直线OA 、OB 的倾斜角分别为α、β，则cos cos αβ+= 图1 （A ）1817 （B ）1217- （C ）417-（D ）417（12）已知,a b R ∈、且2222290ab a b ++-=，若M 为22a b +的最小值，则约束条件⎩⎨⎧≤+≤+.2||||,322M y x M y x 所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为 （A ）29（B ）25（C ）18 （D ）16 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题~第(21)题为必考题，每个试题考生都必须做答．第π -π-ππ xyO π -π-ππxyO π -π-ππxyO π -π-ππ xyO(22)题~第(23)题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．（13）在8)1(xx -的展开式中，常数项是 ．（14）设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为33,a b 为实半轴长和 虚半轴长，焦点在y 轴上的双曲线标准方程为 . （15）一几何体的三视图如图2示，则该几何体的体积为 . （16）已知正项数列{}n a 的首项11a =，且对一切的正整数n ，均有:211(1)(1)0n n n n n n a na n a a na +++-++-=，则数 图2列{}n a 的通项公式n a = .三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分12分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 所对的边，=1b ，且2cos 20C a c --=． (Ⅰ)求角B 的大小；(Ⅱ)求△ABC 外接圆的圆心到AC 边的距离． （18）（本小题满分12分）如图3，在四棱锥ABCD P -中，AD O ∈，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AO=AB=BC=1，2，3=PC ．(Ⅰ)证明：平面POC ⊥平面PAD ；(Ⅱ）若AD=2，PA=PD ，求CD 与平面PAB 所成角的余弦值． 图3 （19）（本小题满分12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A 箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B 箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A 箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B 箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．（Ⅰ）经统计，消费额X 服从正态分布)625,150(N ，某天有1000位顾客，请估计消费额X （单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+<<-σμσμX P ，9544.0)22(=+<<-σμσμX P ．（Ⅱ）某三位顾客各有一次A 箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A 箱内摸奖机会；方法二： 一次B 箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大． （20）(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A （-1, 0）、B （1, 0）、C （0, -1），N 为y 轴上的点，MN 垂直于y 轴，且点M 满足AM BM ON CM ⋅=⋅（O 为坐标原点），点M 的轨迹为曲线T ．(Ⅰ)求曲线T 的方程；(Ⅱ)设点P （P 不在y 轴上）是曲线T 上任意一点，曲线T 在点P 处的切线l 与直线54y =-交于点Q ，试探究以PQ 为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．（21）（本小题满分12分）设a >0，已知函数)ln()(a x x x f +-=(x >0)．(Ⅰ)讨论函数)(x f 的单调性；(Ⅱ)试判断函数)(x f 在(0,)+∞上是否有两个零点，并说明理由．请考生在第（22）、（23）题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分． （22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+=+-=ααsin 1cos 1t y t x （t 为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2cos +=θρρ．(Ⅰ)写出直线l 经过的定点的直角坐标，并求曲线C 的普通方程； (Ⅱ)若4πα=，求直线l 的极坐标方程，以及直线l 与曲线C 的交点的极坐标．（23）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数|2||1|)(--+=x m x x f ． (Ⅰ)若1m =，求函数)(x f 的值域；(Ⅱ)若1m =-，求不等式x x f 3)(>的解集．βαB (x 2,y 2)A (x 1,y 1)oyx揭阳市2016-2017学年度高中三年级学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数． 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCCABDCBABDA解析：（9） 输出结果为：29212111222211123421-+++++=+=-； （10）31363318()4568C C P C ==； （11）设1122(,),(,)A x y B x y ，由三角函数的定义得：12cos cos x x αβ+=+，由2242,1.x y x y +=⎧⎨+=⎩消去y 得：2174120x x --=， 则12417x x +=，即4cos cos 17αβ+=. （12）由2222290ab a b ++-=结合222ab a b ≤+得22223()93a b a b +≥⇒+≥（当且仅当a b =时等号成立）故3M =,故约束条件确定的平面区域如右图阴影所示，在 区域内，由2,2x y =±=±围成的矩形区域（含边界）整点 有25个，加上圆2223x y +=与坐标轴的交点4个，共29个.二、填空题：解析：（15）==522=30222V V V V =+⨯⨯⨯长方体长方体长方体. （16）由211(1)(1)0n n n n n n a na n a a na +++-++-=1(1)(1)(1)0n n n n n a a na a +⇒++-+=，1(1)[(1)]0n n n a n a na +⇒++-=11n n a na n +⇒=+，则1212112112n n n n a a a n n a a a n n -----⋅=⋅-，1n a n⇒=. 三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由2cos 20C a c --=，=1b 结合余弦定理得：22120a c a c a+---=，-------------------------------------------------------------------------------2分221a c ac⇒+-=-，----------------------------------------------------------------------------------3分则2222211cos 222a cb ac B ac ac +-+-===-，-----------------------------------------------------5分∵0B π<< ∴23B π=.---------------------------------------------------------------------------7分(Ⅱ) 设△ABC 外接圆的半径为R ，由正弦定理知122sin sin 3b R B π===，-------------------------------------------------------------------9分故13R =,-------------------------------------------------------------------------------------------10分则△ABC 外接圆的圆心到AC 边的距离22113()234b d R =-=-=.---------------------------------------------------------------12分（18）解：（Ⅰ）在四边形OABC 中，∵AO //BC ，AO =BC ，AB ⊥AD ，∴四边形OABC 是正方形，得OC ⊥AD ，-----------------------2分 在△POC 中，∵222PC OC PO =+，∴OC ⊥PO ，-------4分又O AD PO = ，∴OC ⊥平面PAD ，又⊂OC 平面POC ，∴平面POC ⊥平面PAD ；-------------6分 （Ⅱ）解法1：由O 是AD 中点，PA=PD ，得PO ⊥AD ； 以O 为原点，如图建立空间直角坐标系O-xyz ， ---------- 7分 得)0,1,0(-A ，)0,1,1(-B ，)2,0,0(P ，)0,0,1(C ，)0,1,0(D ， 得)0,1,1(-=CD ，)2,1,0(--=PA ，)0,0,1(=AB ， 设),,(z y x m =是平面PAB 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥m m ，得⎪⎩⎪⎨⎧==⋅=--=⋅002x m z y m ，取z =1， 得)1,2,0(-=m，----------------------------------------------------------------------------------10分设CD 与平面PAB 所成角为θ，则|,cos |sin m CD=><=θ33322=⋅=， ∴36cos =θ，即CD 与平面PAB 所成角的余弦值为63------------------------------12E分【解法2：连结OB ，∵OD//BC ，且OD=BC ∴BCDO 为平行四边形，∴OB//CD, ----------------------------7分由（Ⅰ）知OC ⊥平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ， ∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD ，----------------------------------------------------8分过点O 作OE⊥PA 于E ，连结BE ，则OE⊥平面PAB ，∴∠OBE 为CD 与平面PAB 所成的角，----------------------10分在Rt△OEB 中，∵23PO AO OE PA ⋅==,2OB =, ∴6269cos 2BEOBE OB-∠===,即CD 与平面PAB 所成角的余弦值为6． --------------------------------------------------12分】 （19）解：（Ⅰ）依题意得150=μ，6252=σ，得25=σ，σμ2100-=， ------------ 1分消费额X 在区间（100，150]内的顾客有一次A 箱内摸奖机会，中奖率为0.6，--------- 2分 人数约为)2(1000μσμ≤<-⨯X P 29544.01000⨯==477人， ------------------------3分其中中奖的人数约为477×0.6=286人；-------------------------------------------------------- 4分 （Ⅱ）三位顾客每人一次A 箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布)6.0,3(B ，kk k C k P -⋅==334.06.0)(ξ，（k=0, 1, 2, 3）----------------------------------------------------6分lQPoyxy=-54故ξ的分布列为ξ0 1 2 3P 0.064(或1258) 0.288(或12536) 0.432(或12554) 0.216(或12527) 8分 （Ⅲ）A 箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，-------------------------9分B箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5=35，---------------------------------------10分方法一所得奖金的期望值为3×10.5=31.5，方法二所得奖金的期望值为35， 所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．-----------------------------------------------12分 （20）解：（Ⅰ）设点(,)M x y ，依题意知(0,)N y ，∵(1,),(1,),(0,),(,1)AM x y BM x y ON y CM x y =+=-==+，---------------------------2分 由AM BM ON CM ⋅=⋅得221(1)x y y y -+=+，即21y x =-，∴所求曲线T 的方程为21y x =-------------------- 4分 （Ⅱ）解法1：设000(,)(0)P x y x ≠， 由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x === ∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为015(,)84x ---------6分设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由0PG QG ⋅=，得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415()()()()084x x x x y y y x ---+-+=------①-----------8分在①中，令001,0x y =±=得35(1)()()084x x y y ++++=，------------------------②y 35(1)()()084x x y y --++=， -----------------------------------------------------------③ 由②③联立解得0,3.4x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩或 0,1.2x y =⎧⎪⎨=-⎪⎩--------------------------------------------------------------10分 将30,4x y ==-代入①式，左边=20041335()()8444x y -+---+0011022y y =-==右边， 即以PQ 为直径的圆过点3(0,)4-，--------------------------------------------------------------------11分将10,2x y ==-代入①式，左边≠右边， ∴以PQ为直径的圆恒过点，该定点的坐标为3(0,)4---------------------------------------------12分 【解法2：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x ===-----------------------------------------------------------------------------------------5分 ∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x ---------------------------------------------6分设(,)G x y 是以PQ 为直径的圆上任意一点，则由0PG QG ⋅=，得以PQ 为直径的圆的方程为：20000415()()()()084x x x x y y y x ---+-+=------①------------8分 假设以PQ 为直径的圆过定点),(b a ，则0)45)(()8121)((0000=+-++--b y b x x a x a ， 0)45)(1(81823212000202=++-+-+-+b x b x a ax x a ， 0)45)(1()45(81823212000202=++++--+-+b b x b x a ax x a ， 0)45)(1()43(81)8123(20002=++++----b b x b x x a a ， 令43,0-==b a ，上式恒成立， ∴以PQ为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4-----------------------------------------------12分】 【解法3：设000(,)(0)P x y x ≠，由21y x =-得'2y x =则00'|2l x x k y x ===------------------------------------------------------------------------------------------5分∴直线l 的方程为：0002()y y x x x -=-令54y =-得200418x x x -=，即点Q 的坐标为200415(,)84x x --------------------------------------------6分假设以PQ 为直径的圆恒过定点H ，则根据对称性，点H 必在y 轴上，设(0,)H t ，则由0PH QH ⋅=得20000415()()084x x t y t x -⋅+-+=------① --------------------------------------8分001355()()02844y t t y t +++-+=，031()()042t t y ++-=， ∴34t =-，即以PQ 为直径的圆恒过定点，该点的坐标为3(0,)4---------------------------12分】（21）解：（Ⅰ）a x x x f +-=121)('，----------------------------------------------------------------1分0)2(220)('22>+-+⇔>+⇔>a x a x x a x x f ，0)2(20)('22<+-+⇔<a x a x x f ，设22)2(2)(a x a x x g +-+=，则)1(16a -=∆，①当1≥a 时，0≤∆，0)(≥x g ，即0)('≥x f ，∴)(x f 在),0(∞+上单调递增；-----------------------------------------------------------------3分②当10<<a 时，0>∆，由0)(=x g 得a a a a x ---=---=122214241， aa x -+-=1222， -----------------------------------------------------------------------------4分可知210x x <<，由)(x g 的图象得：)(x f 在)122,0(a a ---和),122(∞+-+-a a 上单调递增； --------------------5分)(x f 在,122(a a ---)122a a -+-上单调递减． ---------------------------------6分（Ⅱ）解法1：函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点 ----------------------------------------------7分假设函数)(x f 有两个零点，由（Ⅰ）知，10<<a ，因为0ln )0(>-=a f ，则0)(2<x f ，即)ln(22a x x +<，由0)('2=x f 知222x a x =+，所以）（222ln x x <， 设t x =2，则)2ln(t t <（＊），-----------------------------------------------------------------9分 由)4,1(1222∈-+-=a a x ，得)2,1(∈t ，设)2ln()(t t t h -=，得011)('>-=t t h ，-------------------------------------------------10分所以)(t h 在)2,1(递增，得02ln 1)1()(>-=>h t h ，即)2ln(t t >，这与（＊）式矛盾，---------------------------------------------------------------------------------11分所以上假设不成立，即函数)(x f 没有两个零点． ------------------------------------------12分【解法2：函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点； -------------------------------------------------7分由（Ⅰ）知当1≥a 时，函数)(x f 在),0(∞+上单调递增，∴函数)(x f 在),0(∞+上至多有一个零点；-----------------------------------------------------8分当10<<a 时，∵0ln )0(>-=a f ，由（Ⅰ）知当2x x =时，()f x 有极小值，222()=()ln()f x f x x x a =-+极小11ln[2(11)]a a =-+--+，---------------------9分令11,a t -+=则12t <<，()ln(2)f x t t =-极小，设)2ln()(t t t h -=，得011)('>-=t t h ，------------------------------------------------------10分∴)(t h 在)2,1(单调递增，得02ln 1)1()(>-=>h t h ，即()0f x >极小，可知当10<<a 时，函数)(x f 在(0,)+∞不存在零点；综上可得函数)(x f 在(0,)+∞上不存在两个零点.-------------------------------------------12分】选做题：（22）解：（Ⅰ）直线l 经过定点)1,1(-，-----------------------------------------------------------------2分由2cos +=θρρ得22)2cos (+=θρρ， 得曲线C 的普通方程为222)2(+=+x y x ，化简得442+=x y ；---5分 （Ⅱ）若4πα=，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 221221，的普通方程为2+=x y ，----------------------------------6分则直线l 的极坐标方程为2cos sin +=θρθρ，------------------------------------------------8分联立曲线C ：2cos +=θρρ．得1sin =θ，取2πθ=，得2=ρ，所以直线l 与曲线C 的交点为)2,2(π．------------10分 （23）解：（Ⅰ）当1m =时，|2||1|)(--+=x x x f -------------------------------------------------1分∵3|)2()1(|||2||1||=--+≤--+x x x x ，-------------------------------------------------3分3|2||1|3≤--+≤-∴x x ，函数)(x f 的值域为]3,3[-；------------------------------ 5分（Ⅱ）当m =－1时，不等式x x f 3)(>即x x x 3|2||1|>-++，------------------------------- -6分①当1-<x 时，得x x x 321>+---，解得51<x ，1-<∴x ； --------------------- 7分②当21<≤-x 时，得x x x 321>+-+，解得1<x ，11<≤-∴x ； --------------- 8分③当2≥x 时，得x x x 321>-++，解得1-<x ，所以无解； ------------------------9分综上所述，原不等式的解集为)1,(-∞． -----------------------------------------------------10分。
2017高考广东揭阳一模理数试卷
揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第1页（共4页）绝密★启用前揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)本试卷共4页,满分150分．考试用时120分钟．注意事项:1。
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题)两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2。
回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号,写在本试卷上无效.3。
回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效。
4。
考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一、选择题：共12小题,每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1）已知集合}2,1,0,1{-=A ，集合={|23,}B y y x x A =-∈，则A B =(A ）{1,0,1}- (B ）{1,1}- （C ）{1,1,2}- （D ）{0,1,2}（2)已知复数1234,z i z t i =+=-,且21z z ⋅是实数,则实数t =（A ）43 （B)34 （C ）43- （D ）34- （3）若(cos 20,sin 20)a =,(cos10,sin190)b =, 则a b ⋅=（A)12（B）2 （C ）cos10 （D）2（4)已知命题:p 存在向量,,a b 使得||||a b a b ⋅=⋅，命题:q 对任意的向量a 、b 、c ，若a b a c ⋅=⋅则b c =(A)命题p q ∨是假命题 (B ）命题p q ∧是真命题(C)命题()p q ∨⌝是假命题 (D ）命题()p q ∧⌝是真命题 （5）秦九韶是我国南宋时期的数学家,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法. 如图1所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ,x 的值分别为4，2，则输出v 的值为 (A ）66 （B ）33 （C ）16 （D ）8揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第2页（共4页）图2(6)如果实数x y 、满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤++≥+≥+-010101y x y y x ， 那么2x y -的最大值为 （A ）2 （B ）1 （C ）2- （D ）3-（7）在同一坐标系中,曲线xy )31(=与抛物线2y x =的交点横坐标所在区间为（A ）)31,0(（B ）)21,31((C ）)32,21( （D ）)1,32( （8)在421)(1)x ⋅-的展开式中，x 项的系数为（A)－4 (B ）－2 （C ）2（D)4（9)某工件的三视图如图2所示,现将该工件通过切割, 加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的 一个面落在原工件的一个面内,则新工件的体积为 （A ）18 （B)1 （C) 2 (D ）43π（10）已知正数,a b 满足4a b +=,则曲线()ln xf x x b=+在点(,())a f a 处的切线的倾斜角的 取值范围为 （A ）,4π⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ （B ）5,412ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ （C),42ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ (D),43ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭（11）已知双曲线22142x y -=右焦点为F ，P为双曲线左支上一点，点A ,则△APF 周长的最小值为（A)4(1+ （B）4+ （C） （D（12）已知函数()=|sin |([,])f x x x ππ∈-，()g x x x sin 2-=（],[ππ-∈x )，设方程(())0f f x =，(())0f g x =,(())0g g x =的实根的个数为分别为m 、n 、t ，则m n t ++= （A ）9 （B ）13 (C ）17 （D) 21第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13)题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须做答．第（22）题～第（23）题为选考题,考生根据要求做答．二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．俯视图揭阳市2017年高中毕业班高考第一次模拟考试数学(理科)试题 第3页（共4页）ACBA 1C 1B 1DE图31105(日泄流量）x1210901206030频率组距图4（13）已知函数3()1f x ax bx =++,若()8f a =，则()f a -=_________.（14）连续掷两次骰子,以先后得到的点数m ， n 作为点P 的坐标(,)m n ，那么点P 在圆2217x y +=内部（不包括边界）的概率是 。
广东省揭阳市2017届高三第二次(4月)模拟考试数学理试题
揭阳市2017年高中毕业班第二次高考模拟考试题数学(理科)参考答案及评分说明一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．一、选择题：解析：（6）易得该几何体为一底面半径为2、高为2的圆柱与一长、宽、高分别为4、3、1的长方体的组合，故其体积为： 21()24311222ππ⨯⨯+⨯⨯=+.（8）3个红包分配给四人共有34A 种分法，“甲、乙两人都抢到红包”指从3个红包中选2个分配给甲、乙，其余1个分配给另外二人，其概率为2213223432214322C A A A ⋅⨯⨯==⨯⨯． （9）如右图，当直线y x z 2-=过点(2,)A a a -时，z 取得最小值，即2231a a a --=-⇒=.（10）由(0)1f =-可排除（D ），由044)2(=-=-f ，01616)4(=-=-f ，可排（A ）（C ），故选（B ）. （116=，设长方体底面边长分别为,a b ，则2264a b +=，6V ab =223()192a b ≤+=．(12) 1cos sin 1())22224x x f x x ωωπω-=+-=-，由(41)()0()4k f x x k Z πω+=⇒=∈令2ω=得函数)(x f 有一零点98x π=(,2)ππ∈，排除（B ）、（C ），令38ω=得函数()f x 在(0,)+∞上的零点从小到大为：12210,,33x x ππ== ，显然1x ∉)2,(ππ，2x ∉)2,(ππ可排除（A ），故答案为（D ）【法二：)4sin(22)(πω-=x x f ，由0)(=x f 得ππωk x =-4，当)2,(ππ∈x 时，)42,4(4πωππωππω--∈-x ，由题意知存在Z k ∈，)42,4(πωππωππ--∈k ，即)412,41(--∈ωωk ，所以41)41(21+<<+k k ω，由0>ω知0≥k ，当 ,2,1,0=k 时，4181<<ω，4585<<ω，4989<<ω，…，所以选D ．】 二、填空题：(15) 由AB与BC 的夹角为150°知30B ∠=,由正弦定理得：||||4sinsin 30AB AC C ==||4sin AB C ⇒= ,又0150C <<得0||4AB <≤ . （16）易得1c b ==，设(,)P x y 则12(,),)PF PF x y x y ⋅=-⋅-225x y =+-，显然，当OP AB ⊥时，22x y +取得最小值， 由面积法易得22min4()5x y +=，故12PF PF ⋅ 的最小值为421555-=-.三、解答题：（17）解：（I ）证法1：由已知得1211+⋅=++nan a n n ，-----------------------------1分 ∴)1(2111+=+++nan a n n ，--------------------------------------------------------3分 又211=+a ，得01≠+na n，∴21111=++++na n a n n ，---------------------------------------5分∴数列}1{+nan 是首项为2，公比为2的等比数列．-----------------------6分【证法2：由1)1(21+++=+n na n a nn 得12(1)(1)n n na n a n n +=+++，----------------1分 由01>a 及递推关系，可知0>n a ，所以01≠+na n， ∴111(1)2(1)2(1)12(1)(1)(1)(1)1n n n n n n a na n n n a n n n a n a n n n a n n n+++++++++===+++++++，------------------5分Q D E F COBAP∴数列}1{+na n是首项为2，公比为2的等比数列．----------------------------------6分】 （II ）由（I ）得n n nna 22211=⋅=+-，∴n n a n n -⋅=2，---------------------------8分 23122232(1)22n n n S n n -=+⨯+⨯++-+⋅ ])1(321[n n +-++++- ，设23122232(1)22n n n T n n -=+⨯+⨯++-+⋅ ，-------------① 则2341222232(1)22n n n T n n +=+⨯+⨯++-+⋅ ，---------② ①式减去②式得23122222n n n T n +-=++++-⋅12(12)212n n n +-=-⋅-22)1(1---=+n n ，得22)1(1+-=+n n n T ，------------------------------------------------------------------10分 又(1)123(1)2n n n n +++++-+= ， ∴1(1)(1)222n n n n S n ++=--+．-----------------------------------------------------12分 （18）解：(Ⅰ)证明：在图3中，四边形ABCD 为等腰梯形，O 、Q 分别为线段AB 、CD 的中点，∴OQ 为等腰梯形ABCD 的对称轴，又AB//CD EF //， ∴OP ⊥EF 、PQ ⊥EF ，①---------------------2分在图4中，∵222PQ OP OQ =+，∴OP OQ ⊥--------------3分 由①及P PQ OP = ，得EF ⊥平面OPQ ，∴EF ⊥OQ ，----------------4分 又OP EF P = ，∴OQ ⊥平面ABFE ，----------------------------------5分又⊂OQ 平面ABCD ，∴平面ABCD ⊥平面ABFE ；-------------------------------------6分 (Ⅱ)在图4中，由45A ∠=，CD=2，易得PE=PF=3，AO=OB=4，----------------7分以O 为原点，PO 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系xyz O -，如图所示， 则)0,4,0(B 、)0,3,1(-F、(0,1C得)0,1,1(--=BF，(0,BC =--------8分 设(,,)m x y z =是平面BCF 的一个法向量，则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥m BF m，得030m BF x y m BC y ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取z =3，得(m = ---------9分同理可得平面ADE的一个法向量(n =-------------------------------------10分 设所求锐二面角的平面角为θ，则|||||||,cos |cos n m n m n m⋅⋅=><=θ35=所以平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值为35．-------------------------------12分 （19）解：(Ⅰ)设小明在1次游戏中所得奖品数为ξ，则ξ的分布列为-------------------2分ξ的期望值41.0161.082.043.022.01)(=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ；----------------4分(Ⅱ)小明在1 次游戏中至少过两关的概率为0.7，-----------------------------5分 设小明在3 次游戏中至少过两关的次数为X ，可知)7.0,3(~B X ， 则X 的平均次数1.27.03)(=⨯=X E ；------------------------------------------7分(Ⅲ)小明在3 次游戏中所得奖品超过30件含三类：恰好一次16=ξ和两次8=ξ，恰好二次16=ξ，恰好三次16=ξ，---------------------------------------------------------------8分213)8()16(=⋅=ξξP P C 003.01.01.032=⨯⨯=，---------------------------------9分 )16()16(223≠⋅=ξξP P C =027.0)1.01(1.032=-⨯⨯，------------------------10分333)16(=ξP C 001.01.03==------------------------------------------------------------11分所以小明在3 次游戏中所得奖品超过30件的概率为031.0001.0027.0003.0=++．------12分（20）解：（I ）∵抛物线上的点M 到y 轴的距离等于2||1MF -，∴点M 到直线1-=x 的距离等于点M 到焦点2F 的距离，----------------1分得1-=x 是抛物线px y 22=的准线，即12-=-p， 解得2=p ，∴抛物线的方程为x y 42=；-----------------------------------3分可知椭圆的右焦点)0,1(2F ，左焦点)0,1(1-F ， 由25||2=QF 得251=+Q x ，又Q Q x y 42=，解得)6,23(±Q ，-------4分 由椭圆的定义得||||221QF QF a +=62527=+=，----------------------5分 ∴3=a ，又1=c ，得8222=-=c a b ，∴椭圆的方程为18922=+y x ．-----------------------------------------------------6分 （II ）显然0≠k ，0≠m ，由⎩⎨⎧=+=xy m kx y 42，消去x ，得0442=+-m y ky ， 由题意知01616=-=∆km ，得1=km ，-----------------------------------7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=18922y x m kx y ，消去y ，得072918)89(222=-+++m kmx x k ，其中4)18(22-=∆km 0)729)(89(22>-+m k ，化简得08922>+-m k ，-------------------------------------------------------9分又mk 1=，得09824<--m m ，解得902<<m ，--------------------10分 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则89922210+-=+=k x x x <0， 由91122>=mk ，得10->x ，∴0x 的取值范围是)0,1(-．--------------12分（21）解：（Ⅰ）∵2)1()1(a F -=，xa x x F 1)(2)('+-=，切线l 的斜率为a F 23)1('-=，---------------------------------------------1分∴切线l 的方程为)1)(23()1(2--=--x a a y ，即2)23(2-+-=a x a y ，-----2分联立x a x x F y ln )()(2+-==，得02ln 32=++-x x x ； 设2ln 3)(2++-=x x x x h ，则x x x h 132)('+-=xx x )1)(12(--=，----------3分 由0)('>x h 及0>x ，得210<<x 或1>x ， ∴)(x h 在)21,0(和),1(∞+上单调递增，可知)(x h 在)1,21(上单调递减，----4分又0)1(=h ，031)1(242<-=ee e h ，所以∈∃0x )21,0(，0)(0=x h ，-----------5分∴方程02ln 32=++-x x x 有两个根：1和0x ，从而切线l 与曲线)(x F 有两个公共点．--6分(Ⅱ)由题意知0)1ln 2)(()('=-+-=xax a x x G 在),0(∞+至少有两不同根，----------------7分设xa x x r -+=1ln 2)(， ①当0>a 时，a x =1是0)('=x G 的根，由1ln 2+=x y 与xa y =（0>a ）恰有一个公共点，可知01ln 2=-+x ax 恰有一根2x ，由a x x ==12得a =1，不合题意，∴当0>a 且1≠a 时，检验可知a x =1和2x 是)(x G 的两个极值点；-----------------8分 ②当0=a 时，0)1ln 2()('=+=x x x G 在),0(∞+仅一根，所以0=a 不合题意；--9分③当0<a 时，需01ln 2)(=-+=xax x r 在),0(∞+至少有两不同根，由02)('2>+=x a x x r ，得2a x ->，所以)(x r 在),2(∞+-a上单调递增， 可知)(x r 在)2,0(a-上单调递减，因为0<a ，x 趋近于0时，)(x r 趋向于∞+，且1>x 时，0)(>x r ，由题意知，需0)(min<x r ，即03)2ln(2)2(<+-=-aa r ，解得232-->e a ，------11分∴0223<<--a e．综上知，32(2,0)(0,1)(1,)a e -∈-+∞ ．---------------------------------------------------12分选做题：（22）解：（Ⅰ）可知l 1是过原点且倾斜角为α的直线，其极坐标方程为αθ=(,)2R παρ≠∈---------------------------------------------------------2分抛物线C 的普通方程为x y 42=，-------------------------------------------3分 其极坐标方程为θρθρcos 4)sin (2=，化简得θθρcos 4sin 2=．-----------------------------------------------------5分 （Ⅱ）解法1：由直线l 1 和抛物线C 有两个交点知0α≠，把αθ=代入θθρcos 4sin 2=，得ααρ2sin cos 4=A ，-----------------6分可知直线l 2的极坐标方程为2παθ+=)(R ∈ρ，-----------------------7分代入θθρcos 4sin 2=，得ααρsin 4cos 2-=B ，所以ααρ2cos sin 4-=B ，----8分 ||||21||||21B A OAB OB OA S ρρ⋅=⋅=∆|cos sin 2|16αα=16|2sin |16≥=α， ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分【解法2：设1l 的方程为(0)y kx k =≠，由24,.y x y kx ⎧=⎨=⎩得点244(,)A k k ，------6分依题意得直线2l 的方程为1y x k=-，同理可得点2(4,4)B k k -，-------------7分故1||||2OAB S OA OB ∆=⋅=分21816||k k +==⋅≥，（当且仅当1k =±时，等号成立） ∴△OAB 的面积的最小值为16．----------------------------------------------------------10分】（23）解：（Ⅰ）由211x -≤，得1211x -≤-≤，即||1x ≤，--------------3分解得11x -≤≤，所以[]1,1A =-；----------------------------------------------5分 （Ⅱ）法一：()22222211m n mn m n m n +-+=+--()()2211m n =--------------------------------------7分 因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，210m -≤，210n -≤，--------8分故()()22110m n ---≤，()221m n mn +≤+ 又显然10mn +≥，故1m n mn +≤+．-------------------------------------------------1 0分【法二：因为,m n A ∈，故11m -≤≤，11n -≤≤，----------------6分而()()()1110m n mn m n +-+=--≤------------------------------7分()()()1110m n mn m n +--+=++≥⎡⎤⎣⎦，-------------------------8分即()11mn m n mn -+≤+≤+，故1m n mn +≤+．------------------------------------10分】。
2017年广东省揭阳市高三理科二模数学试卷
2017年广东省揭阳市高三理科二模数学试卷一、选择题（共12小题；共60分）1. 函数的定义域为A. B. C. D.2. 己知复数（，是虚数单位）是纯虚数，则为A. B. C. D.3. “是真命题”是“是真命题”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4. 已知，则A. B. C. D.5. 已知，则A. B. C. D.6. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前年商鞅督造一种标准量器——商鞍铜方升，其三视图如图所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）A. B. C. D.7. 设计如图的程序框图，统计高三某班位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数（用表示），则判断框中应填入的条件是A. ?B. ?C. ?D. ?8. 某微信群中四人同时抢个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为A. B. C. D.9. 己知实数，满足不等式组若的最小值为，则的值为A. B. C. D.10. 函数的大致图象是A. B.C. D.11. 已知一长方体的体对角线的长为，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为，则这个长方体体积的最大值为A. B. C. D.12. 已知函数，，若在区间内有零点，则的取值范围是A. B.C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 设向量，，若，则 ______．14. 已知直线与圆相切，则的值为______．15. 在中，已知与的夹角为，，则的取值范围是______．16. 已知双曲线的离心率为，，是双曲线的两个焦点，为左顶点、，点在线段上，则的最小值为______．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知数列中，，．（1）求证：数列是等比教列；（2）求数列的前项和．18. 已知图中，四边形是等腰梯形，，，，分别为线段，的中点，与的交点为，，，现将梯形沿折起，使得，连接，，得一几何体如图示．（1）证明：平面平面；（2）若图中，，，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．19. 某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过关者奖励件小奖品（奖品都一样）．如图是小明在次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．（1）估计小明在次游戏中所得奖品数的期望值；（2）估计小明在次游戏中至少过两关的平均次数；（3）估计小明在次游戏中所得奖品超过件的概率．20. 己知椭圆与抛物线共焦点，抛物线上的点到轴的距离等于，且椭圆与抛物线的交点满足．（1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点作抛物线的切线交椭圆于，两点，设线段的中点为，求的取值范围．21. 设函数，，（1）试求曲线在点处的切线与曲线的公共点个数；（2）若函数，有两个极值点，求实数的取值范围．（附：当，趋近于时，趋向于）22. 在直角坐标系中，已知直线：，抛物线：（为参数）．以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线和抛物线的极坐标方程；（2）若直线和抛物线相交于点（异于原点），过原点作与垂直的直线，和抛物线相交于点（异于原点），求的面积的最小值．23. 己知函数．（1）求不等式的解集；（2）当时，证明：．答案第一部分1. C2. D3. A4. C5. C6. B7. B8. D9. A 10. B11. C 12. D第二部分13.14.15.16.第三部分17. （1）因为，所以，所以，所以数列是等比数列，公比为，首项为．（2）由（）可得：，可得，设数列的前项和为，则，，相减可得：，可得：，所以．18. （1）在图中，四边形为等腰梯形，，分别为线段，的中点，所以为等腰梯形的对称轴，又，所以在图中，因为，所以，由及，得平面，所以，又，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）在图中，由，，解得，，以为原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系，如图所示，，，，所以，，设是平面的一个法向量，则取，得，同理可得平面的一个法向量，设所求锐二面角的平面角为，则所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．19. （1）设小明在次游戏中所得奖品数为，则的分布列为的期望值为．（2）小明在次游戏中至少过两关的概率为，设小明在次游戏中至少过两关的次数为，可知，则的平均次数．（3）小明在次游戏中所得奖品超过件含三类：恰好一次和两次，恰好二次，恰好三次，，，；所以小明在次游戏中所得奖品超过件的概率为．20. （1）因为抛物线上的点到轴的距离等于，所以点到直线的距离等于点到焦点的距离，得是抛物线的准线，即，解得，所以抛物线的方程为；可知椭圆的右焦点，左焦点，由，得，又，解得，由椭圆的定义得，所以，又，得，所以椭圆的方程为．（2）显然，，由消去，得，由题意知，得，由消去，得，其中，化简得，又，得，解得，设，，则，由，得，所以的取值范围是．21. （1）因为，，切线的斜率是，故切线方程是，即，联立，得，设，则，由以及，得或，故在和递增，由，得，故在递减，又，，故存在，，故方程有个根：和，从而切线和曲线有个公共点；（2）由题意得在上至少有个不同的根，设，①时，是的根，由与恰有个公共点，可知恰有根，由得，不合题意，故且时，检验可知和是的个极值点；②时，在仅根，故不合题意；③时，需在至少有个不同的实根，由，得，故在递增，故在递减，因为，时，，且时，，由题意得，需，即，解得，故，综上，．22. （1）因为直线：，所以直线是过原点且倾斜角为的直线，其极坐标方程为，抛物线的普通方程为，其极坐标方程为，化简得．（2）由直线和抛物线有两个交点知，把代入，得，可知直线的极坐标方程为，代入，得，所以，所以的面积的最小值为．23. （1）即．所以，所以．解得：，所以．（2）要证：，即证．因为因为，所以，，所以，所以，所以．。
2017-2018学年度揭阳市学业水平考试数学(理科)daan (1)
O DC BA P 揭阳市2017-2018学年度高中毕业班学业水平考试数学(理科)参考答案及评分说解析（12）由()(4)f x f x =-知函数()y f x =的图象关于直线2x =对称，且函数2|41|y x x =-+的图象也关于直线2x =对称，则两个函数图象的交点两两关于直线2x =对称，故1nii x==∑2n .解析（16）1=a ，2=b ，设)1,0(B ，1||||-≥PB PQ （当点Q 在BP 上时取“=”），||2||21PF a PF +=，||||1PF PQ +|1|||2++≥PF PB 251231||2=+=+≥BF ，当点Q 、P 在BF 2上时取“=”． 三、解答题（17）解：（Ⅰ）由633a a -=得数列}{n a 的公差6313a a d -==，---------------------------2分 由258,a a +=得1258a d +=，解得132a = ------------------------------------------------4分∴1(1)(2)22n n n n n S na d -+=+=；----------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可得1211(2)2n S n n n n ==-++； -------------------------------------------------7分 ∴n n b b b b T ++++= 3211111113(1)()()(122)32422n n n -=-+-++-+++++ -------------------8分11111111321(1)()233412221n n n n n -=++++-++++++⨯++- -------10分3113(21)2122n n n =--+⨯-++ 1113212n n n -=⋅--++.-----------------------------------------12分（18）证明：（Ⅰ）取AD 的中点O ，连OB 、OP ，---------1分∵BA BD =，EA ED =，即PA PD =，∴OB AD ⊥且OP AD ⊥，-----------------------------------3分又OB OP O = ，∴AD ⊥平面BOP ，------------------5分 而PB ⊂平面BOP ，∴PB AD ⊥；-----------------------------------------------------6分（Ⅱ）解法1：在图4（2）中，∵OP=1，OB=2，2225O P O B P B +==，∴PO OB ⊥,-------------------------------------7分 ∴OP 、OB 、OD 两两互相垂直，以O 为坐标原点，OB 所在的直线为x 轴建立空间直角坐标系如图示，则(010),(200)A B -，，，，，(010),(001)D P ，，，，,(0,11),(011)DP AP =-=，，，，(2,0,1)BP =-,设(,,)m a b c =为平面PAB 的一个法向量，则由00200AP m b c a c BP m ⎧⋅=+=⎧⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎩⎪⎩令1,a =则得2,2c b ==-，∴(1,2,2)m =-，---------------------------10分设PD 与平面PAB 所成角为θ，则cos()23πθ-==，---11分故sin 3θ=，即PD 与平面PAB所成角的正弦值为3.--------------------12分 （19）解：（Ⅰ）乙品种棉花的纤维长度的平均值较甲品种的大；乙品种棉花的纤维长度的方差较甲品种的小． -----------------------------------------2分 （Ⅱ）由所给的茎叶图知，甲、乙两种棉花纤维长度在[30.0,30.9]（即二级）比率分别为：51255=，--------------3分； 30.1225=，---------------------------------------------------4分 故估计甲、乙两种棉花纤维长度等级为二级的概率分别为15（或0.2）和325（或0.12）.-----5分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，从甲种棉花中任取1根，其纤维长度为二级的概率为15，不是二级的概率为14155-=，依题意知ξ的可能取值为：0，1，2，3，4. 又44256(0)()5625P ξ===（或0.4096），13414256(1)()55625P C ξ==⨯⨯=（或0.4096）， 22241496(2)()()55625P C ξ==⨯⨯=（或0.1536），3341416(3)=55625P C ξ==⨯⨯（）（或0.0256），411(4)=5625P ξ==（）（或0.0016）---------------------------------------10分故ξ的分布列为：14455E ξ=⨯=（或0.）.-------------------------------------------------12分（20）解：（Ⅰ）设00(,)P x y 0(2)x ≠±，(,)M x y ，------------------------------------------1分由AP AQ =得则00,x x y =，---2分∵点P 在圆224x y +=上，即2204x y +=，∴22)4x +=，即12422=+y x ，∴点Q 的轨迹C 方程为12422=+y x （2±≠x ）.--------------------------------------5分（Ⅱ）设),(11y x M ，),(22y x N ，若直线l 与x 轴平行，则MN 的中点在y 轴上，与已知矛盾，所以0≠k ，------------------------------------6分把m kx y +=代入12422=+y x ，得0424)12(222=-+++m kmx x k ，-----7分 则)42)(12(4162222-+-=∆m k m k )48(822m k -+=，由0>∆，得22)12(4m k >+，-------------------------------------------------------8分由11222221=+-=+k kmx x ，得1222+=-k km ，---------------------------------9分 所以222222)12(4)12(16+=>+k m k k k ，解得1142>k ，所以k 的取值范围是),1414()1414,(∞+--∞ ．--------------------------------12分 （21）解：（Ⅰ）∵函数)(x f 的定义域为),0(∞+，e x ax x a xf -++=1ln )('e a x x a -++=1ln ， 设e a x x a x g -++=1ln )(，则21)('xx a x g -=，当0≤a 时，0)('<x g ，得函数)(x g 即)('x f 在),0(∞+上单调递减， 又0)1('=-++-=e a e a ef ，∴当)1,0(ex ∈时，0)('>x f ，当),1(∞+∈ex 时，0)('<x f ， 因此函数)(x f 在)1,0(e 上单调递增，在),1(∞+e 上单调递减，得3)1()(max --==eae f x f ，另由题意知0)(max <x f ，解得e a 3->，∴a 的取值范围是]0,3(e -；（Ⅱ）由01)('2>-=xax x g 得a x 1>， ∴)(x g 即)('x f 在),1(∞+a 上单调递增，在)1,0(a 上单调递减，得e a a a af x f -+-==2ln )1(')('min ，设e x x x x h -+-=2ln )(（e x ≤<0），由01ln )('>+-=x x h ，得e x <<0，∴)(x h 在],0(e 上单调递增，得0)()(=≤e h x h ，因此0)('min ≤x f （仅当e a =时取“=”）， ①当e a =时，0)('min =x f ，得0)('≥x f ，∴)(x f 在),0(∞+上单调递增，又011)(2=--+=e ae e f ，∴函数)(x f 仅有一个零点，为e ；②当e a <<0时，0)1(')('min <=af x f ，又'()0e ea a f e a e -=+>，∴存在a x 12>，使0)('2=x f ，又0)1('=-++-=e a e a e f ，而a e 11<，∴当)1,0(e x ∈),(2∞+x 时，0)('>x f ，当),1(2x ex ∈时，0)('<x f ，因此函数)(x f 在)1,0(e 和),(2∞+x 上单调递增，在),1(2x e上单调递减，又03)1(<--=e a e f ，01)(>-=aee f a e，∴函数)(x f 仅有一个零点，又0)()(<⋅-=e e a e f ，因此这个零点大于e ，综上所述，函数)(x f 仅有一个零点，不小于e ．选做题（22）解：（Ⅰ）由曲线1C 的参数方程知，1C 是以原点O ----2分其极坐标方程为[])0,ρθπ=∈；-----------------------------------------4分（Ⅱ）联立方程[])0,ρθπ=∈，ρ=得sin 2cos 20θθ-=，-----5分于是tan 21θ=，[]20,2θπ∈，--------------------------------------------------------6分解得24πθ=或524πθ=，即8M πθ=以及58N πθ=---------------------------------------8分 故2N M MON πθθ∠=-=．------------------------------------------------------------------10分（23）解：（Ⅰ）3|2||2|)2(>--+=a a f --------------------------------------------------------1分①当2-<a 时，得322>-+--a a ，无解；--------------------------------------------2分 ②当22<≤-a 时，得322>-++a a ，解得23>a ，所以223<<a ；---------3分 ③当2≥a 时，得322>+-+a a ，恒成立；-----------------------------------------------4分 综上知，a 的取值范围为),23(∞+．------------------------------------------------------------5分（Ⅱ）|||1|||1|1||1|)1(22a a a a a a a a a f --+=--+=，---------------------------------------------6分 当1||<a 时，012>-a ，||2||2||1||1)1(222a a a a a a a a f ==--+=，-------------------7分|2||)(||||||||)(|a a x a x a x a x x f =--+≤--+=，---------------------------------------9分所以|)(|)1(x f af ≥．------------------------------------------------------------------------------10分。
2016-2017年广东省揭阳市高三(上)期末数学试卷和参考答案(理科)
2016-2017学年广东省揭阳市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x2≤3}，则A∩B=（）A．{0，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}D．[0，2]2．（5分）复数z满足（1+i）z=i+2，则z的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2S3﹣3S2=15，则数列{a n}的公差为（）A．3 B．4 C．5 D．64．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，且，则=（）A．B．C．D．5．（5分）若空间四条直线a、b、c、d，两个平面α、β，满足a⊥b，c⊥d，a ⊥α，c⊥α，则（）A．b∥αB．c⊥bC．b∥d D．b与d是异面直线6．（5分）若命题：“”为假命题，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞）B．（﹣8，0）C．（﹣∞，0]D．[﹣8，0] 7．（5分）函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．8．（5分）已知a＞0且a≠1，函数满足f（0）=2，f（﹣1）=3，则f（f（﹣3））=（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．29．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）A．1234 B．2017 C．2258 D．72210．（5分）六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6，每组3人，现需从中任选3人组成一个新的学习小组，则3人来自不同学习小组的概率为（）A． B．C．D．11．（5分）直线l：x+4y=2与圆C：x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，则cosα+cosβ=（）A．B．C．D．12．（5分）已知a、b∈R，且2ab+2a2+2b2﹣9=0，若M为a2+b2的最小值，则约束条件所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为（）A．29 B．25 C．18 D．16二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．（5分）在的二项展开式中，常数项是．14．（5分）设椭圆的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为，则分别以a，b为实半轴长和虚半轴长，焦点在y轴上的双曲线标准方程为．15．（5分）一几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为．16．（5分）已知正项数列{a n}的首项a1=1，且对一切的正整数n，均有：（n+1）a n+1﹣na n2+（n+1）a n a n+1﹣na n=0，则数列{a n}的通项公式a n=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，b=1，且2cosC ﹣2a﹣c=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求△ABC外接圆的圆心到AC边的距离．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O∈AD，AD∥BC，AB⊥AD，AO=AB=BC=1，PO=，．（Ⅰ）证明：平面POC⊥平面PAD；（Ⅱ）若AD=2，PA=PD，求CD与平面PAB所成角的余弦值．19．（12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．（Ⅰ）经统计，消费额X服从正态分布N（150，625），某天有1000位顾客，请估计消费额X（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；附：若，则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．（Ⅱ）某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：一次B箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0）、C（0，﹣1），N为y轴上的点，MN垂直于y轴，且点M满足（O为坐标原点），点M的轨迹为曲线T．（Ⅰ）求曲线T的方程；（Ⅱ）设点P（P不在y轴上）是曲线T上任意一点，曲线T在点P处的切线l 与直线交于点Q，试探究以PQ为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．21．（12分）设a＞0，已知函数（x＞0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）试判断函数f（x）在（0，+∞）上是否有两个零点，并说明理由．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcosθ+2．（Ⅰ）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+1|﹣m|x﹣2|．（Ⅰ）若m=1，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若m=﹣1，求不等式f（x）＞3x的解集．2016-2017学年广东省揭阳市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|x2≤3}，则A∩B=（）A．{0，2}B．{﹣1，0，1}C．{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}D．[0，2]【解答】解：由B中不等式解得：﹣≤x≤，即B=[﹣，]，∵A={﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故选：B．2．（5分）复数z满足（1+i）z=i+2，则z的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：∵（1+i）z=i+2，∴（1﹣i）（1+i）z=（i+2）（1﹣i），∴2z=3﹣i，∴﹣i．则z的虚部为，故选：C．3．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且2S3﹣3S2=15，则数列{a n}的公差为（）A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵2S3﹣3S2=15，∴2（a1+a2+a3）﹣3（a1+a2）=15，∴3d=15，解得d=5．故选：C．4．（5分）设D为△ABC所在平面内一点，且，则=（）A．B．C．D．【解答】解：∵∴==（﹣），则=+=+（﹣）=，故选：A．5．（5分）若空间四条直线a、b、c、d，两个平面α、β，满足a⊥b，c⊥d，a ⊥α，c⊥α，则（）A．b∥αB．c⊥bC．b∥d D．b与d是异面直线【解答】解：∵a⊥α，c⊥α，∴a∥c，又∵a⊥b，∴c⊥b，故选：B．6．（5分）若命题：“”为假命题，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣8]∪[0，+∞）B．（﹣8，0）C．（﹣∞，0]D．[﹣8，0]【解答】解：∵命题”为假命题，命题“∀x∈R，ax2﹣ax ﹣2≤0”为真命题，当a=0时，﹣2≤0成立，当a≠0时，a＜0，故方程ax2﹣ax﹣2=0的△=a2+8a≤0解得：﹣8≤a＜0，故a的取值范围是：[﹣8，0]故选：D．7．（5分）函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]的大致图象是（）A．B．C．D．【解答】解：由函数y=x+sin|x|，x∈[﹣π，π]，可得y=，显然函数y在[0，π]上单调递增，且经过点（0，0）、（π，π）；函数y在[﹣π，0）上也单调递增，且经过点（0，0）、（﹣π，﹣π）；且函数y既不是奇函数也不是偶函数，故选：C．8．（5分）已知a＞0且a≠1，函数满足f（0）=2，f（﹣1）=3，则f（f（﹣3））=（）A．﹣3 B．﹣2 C．3 D．2【解答】解：∵a＞0且a≠1，函数满足f（0）=2，f（﹣1）=3，∴，解得a=，∴f（﹣3）=a﹣3+b=，f（f（﹣3））=f（9）==﹣2．故选：B．9．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应程序，输出的结果是（）A．1234 B．2017 C．2258 D．722【解答】解：根据程序框图得到程序的功能是计算；故选：A．10．（5分）六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6，每组3人，现需从中任选3人组成一个新的学习小组，则3人来自不同学习小组的概率为（）A． B．C．D．【解答】解：六个学习小组依次编号为1、2、3、4、5、6，每组3人，现需从中任选3人组成一个新的学习小组，基本事件总数n=，3人来自不同学习小组包含的基本事件个数m=，∴3人来自不同学习小组的概率为p===．故选：B．11．（5分）直线l：x+4y=2与圆C：x2+y2=1交于A、B两点，O为坐标原点，若直线OA、OB的倾斜角分别为α、β，则cosα+cosβ=（）A．B．C．D．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），由三角函数的定义得：cosα+cosβ=x1+x2，由，消去y得：17x2﹣4x﹣12=0则，即．故选：D．12．（5分）已知a、b∈R，且2ab+2a2+2b2﹣9=0，若M为a2+b2的最小值，则约束条件所确定的平面区域内整点（横坐标纵坐标均为整数的点）的个数为（）A．29 B．25 C．18 D．16【解答】解：由2ab+2a2+2b2﹣9=0结合2ab≤a2+b2得3（a2+b2）≥9⇒a2+b2≥3（当且仅当a=b时等号成立）故M=3，故约束条件为，确定的平面区域如右图阴影所示，在区域内，在直线x=﹣3上有1个，在x=﹣2上有5个，在x=﹣1上有5个，在x=0上有7个，在直线x=1上有5个，在x=2上有5个，在x=3上有1个，共29个．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上．13．（5分）在的二项展开式中，常数项是70．=•x8﹣r•（﹣1）r x﹣r=【解答】解：在的二项展开式中，通项公式为T r+1（﹣1）r••x8﹣2r．令8﹣2r=0，解得r=4，故展开式中的常数项是=70，故答案为70．14．（5分）设椭圆的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，若焦点到椭圆上点的最大距离为，则分别以a，b为实半轴长和虚半轴长，焦点在y轴上的双曲线标准方程为=1．【解答】解：∵椭圆的两焦点与短轴一端点组成一正三角形三个顶点，∴b=c．由焦点到椭圆上点的最大距离为，则a+c=3，又a2=b2+c2，联立解得a2=12，b=3．∴焦点在y轴上的双曲线标准方程为=1．故答案为：=1．15．（5分）一几何体的三视图如图示，则该几何体的体积为30．【解答】解：由题意，直观图是直四棱柱，底面为侧视图，高为5，体积V==30．故答案为30．16．（5分）已知正项数列{a n}的首项a1=1，且对一切的正整数n，均有：（n+1）a n+1﹣na n2+（n+1）a n a n+1﹣na n=0，则数列{a n}的通项公式a n=．【解答】解：由，∴（n+1）a n（1+a n）﹣na n（1+a n）=0，+1﹣na n]=0，∴（1+a n）[（n+1）a n+1∴=，则，∴a n=．故答案为：．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，b=1，且2cosC ﹣2a﹣c=0．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）求△ABC外接圆的圆心到AC边的距离．【解答】解：（Ⅰ）由2cosC﹣2a﹣c=0，b=1，结合余弦定理得：，（2分）∴a2+c2﹣1=﹣ac，（3分）∴，（5分）∵0＜B＜π，∴．（7分）（Ⅱ）设△ABC外接圆的半径为R，由正弦定理知，（9分）故，（10分）则△ABC外接圆的圆心到AC边的距离：．（12分）18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，O∈AD，AD∥BC，AB⊥AD，AO=AB=BC=1，PO=，．（Ⅰ）证明：平面POC⊥平面PAD；（Ⅱ）若AD=2，PA=PD，求CD与平面PAB所成角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：在四边形OABC中，∵AO∥BC，AO=BC，AB⊥AD，∴四边形OABC是正方形，得OC⊥AD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）在△POC中，∵PO2+OC2=PC2，∴OC⊥PO，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）又PO∩AD=O，∴OC⊥平面PAD，又OC⊂平面POC，∴平面POC⊥平面PAD；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）解：连结OB，∵OD∥BC，且OD=BC∴BCDO为平行四边形，∴OB∥CD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）由（Ⅰ）知OC⊥平面PAD，∴AB⊥平面PAD，∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）过点O作OE⊥PA于E，连结BE，则OE⊥平面PAB，∴∠OBE为CD与平面PAB所成的角，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）在Rt△OEB中，∵，，∴，即CD与平面PAB所成角的余弦值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）19．（12分）某商场举行促销活动，有两个摸奖箱，A箱内有一个“1”号球、两个“2”号球、三个“3”号球、四个无号球，B箱内有五个“1”号球、五个“2”号球，每次摸奖后放回．消费额满100元有一次A箱内摸奖机会，消费额满300元有一次B箱内摸奖机会，摸得有数字的球则中奖，“1”号球奖50元、“2”号球奖20元、“3”号球奖5元，摸得无号球则没有奖金．（Ⅰ）经统计，消费额X服从正态分布N（150，625），某天有1000位顾客，请估计消费额X（单位：元）在区间（100，150]内并中奖的人数；附：若，则P（μ﹣σ＜X＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）=0.9544．（Ⅱ）某三位顾客各有一次A箱内摸奖机会，求其中中奖人数ξ的分布列；（Ⅲ）某顾客消费额为308元，有两种摸奖方法，方法一：三次A箱内摸奖机会；方法二：一次B箱内摸奖机会．请问：这位顾客选哪一种方法所得奖金的期望值较大．【解答】解：（Ⅰ）依题意得μ=150，σ2=625，得σ=25，100=μ﹣2σ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）消费额X在区间（100，150]内的顾客有一次A箱内摸奖机会，中奖率为0.6，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）人数约为1000×P（μ﹣2σ＜X≤μ）==477人，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）其中中奖的人数约为477×0.6=286人；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）三位顾客每人一次A箱内摸奖中奖率都为0.6，三人中中奖人数ξ服从二项分布B（3，0.6），，（k=0，1，2，3）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）故ξ的分布列为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）（Ⅲ）A箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.1+20×0.2+5×0.3=10.5，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）B箱摸一次所得奖金的期望值为50×0.5+20×0.5=35，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）方法一所得奖金的期望值为3×10.5=31.5，方法二所得奖金的期望值为35，所以这位顾客选方法二所得奖金的期望值较大．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0）、B（1，0）、C（0，﹣1），N为y轴上的点，MN垂直于y轴，且点M满足（O为坐标原点），点M的轨迹为曲线T．（Ⅰ）求曲线T的方程；（Ⅱ）设点P（P不在y轴上）是曲线T上任意一点，曲线T在点P处的切线l与直线交于点Q，试探究以PQ为直径的圆是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标，若不过定点，说明理由．【解答】解：（Ⅰ）设点M（x，y），依题意知N（0，y），∵，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由得x2﹣1+y2=y（y+1），即y=x2﹣1，∴所求曲线T的方程为y=x2﹣1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）设P（x0，y0）（x0≠0），由y=x2﹣1，得y'=2x则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴直线l的方程为：y﹣y0=2x0（x﹣x0）令得，即点Q的坐标为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）假设以PQ为直径的圆恒过定点H，则根据对称性，点H必在y轴上，设H（0，t），则由得﹣﹣﹣﹣﹣﹣①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分），，∴，即以PQ为直径的圆恒过定点，该点的坐标为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）】21．（12分）设a＞0，已知函数（x＞0）．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）试判断函数f（x）在（0，+∞）上是否有两个零点，并说明理由．【解答】解：（Ⅰ），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分），f'（x）＜0⇔x2+2（a﹣2）x+a2＜0，设g（x）=x2+2（a﹣2）x+a2，则△=16（1﹣a），①当a≥1时，△≤0，g（x）≥0，即f'（x）≥0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）②当0＜a＜1时，△＞0，由g（x）=0得，，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）可知0＜x1＜x2，由g（x）的图象得：f（x）在和上单调递增；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）f（x）在，上单调递减．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（Ⅱ）解法1：函数f（x）在（0，+∞）上不存在两个零点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）假设函数f（x）有两个零点，由（Ⅰ）知，0＜a＜1，因为f（0）=﹣lna＞0，则f（x 2）＜0，即，由f'（x 2）=0知，所以，设，则t＜ln（2t）（*），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）由，得t∈（1，2），设h（t）=t﹣ln（2t），得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）所以h（t）在（1，2）递增，得h（t）＞h（1）=1﹣ln2＞0，即t＞ln（2t），这与（*）式矛盾，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）所以上假设不成立，即函数f（x）没有两个零点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）解法2：函数f（x）在（0，+∞）上不存在两个零点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7分）由（Ⅰ）知当a≥1时，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，∴函数f（x）在（0，+∞）上至多有一个零点；﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）当0＜a＜1时，∵f（0）=﹣lna＞0，由（Ⅰ）知当x=x2时，f（x）有极小值，=，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）=t﹣ln（2t），令，则1＜t＜2，f（x）极小设h（t）=t﹣ln（2t），得，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）∴h（t）在（1，2）单调递增，得h（t）＞h（1）=1﹣ln2＞0，即f（x）＞0，极小可知当0＜a＜1时，函数f（x）在（0，+∞）不存在零点；综上可得函数f（x）在（0，+∞）上不存在两个零点．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知直线l的参数方程为（t为参数）．以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=ρcosθ+2．（Ⅰ）写出直线l经过的定点的直角坐标，并求曲线C的普通方程；（Ⅱ）若，求直线l的极坐标方程，以及直线l与曲线C的交点的极坐标．【解答】解：（Ⅰ）直线l经过定点（﹣1，1），﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）由ρ=ρcosθ+2得ρ2=（ρcosθ+2）2，得曲线C的普通方程为x2+y2=（x+2）2，化简得y2=4x+4；﹣﹣﹣（5分）（Ⅱ）若，得的普通方程为y=x+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）则直线l的极坐标方程为ρsinθ=ρcosθ+2，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）联立曲线C：ρ=ρcosθ+2．得sinθ=1，取，得ρ=2，所以直线l与曲线C的交点为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）=|x+1|﹣m|x﹣2|．（Ⅰ）若m=1，求函数f（x）的值域；（Ⅱ）若m=﹣1，求不等式f（x）＞3x的解集．【解答】解：（Ⅰ）当m=1时，f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|，∵||x+1|﹣|x﹣2||≤|（x+1）﹣（x﹣2）|=3，∴﹣3≤|x+1|﹣|x﹣2|≤3，函数f（x）的值域为[﹣3，3]，（Ⅱ）当m=﹣1时，不等式f（x）＞3x即|x+1|+|x﹣2|＞3x，①当x＜﹣1时，得﹣x﹣1﹣x+2＞3x ，解得，∴x＜﹣1；②当﹣1≤x＜2时，得x+1﹣x+2＞3x，解得x＜1，∴﹣1≤x＜1；③当x≥2时，得x+1+x﹣2＞3x，解得x＜﹣1，所以无解；综上所述，原不等式的解集为（﹣∞，1）．第21页（共21页）。
广东省揭阳市2017届高考数学二模试卷(理科) 有答案
2017年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．函数f（x）=+lg（6﹣3x）的定义域为（）A．（﹣∞，2）B．（2，+∞） C．[﹣1，2）D．[﹣1，2]2．己知复数z=（a∈R，i是虚数单位）是纯虚数，则|z|为（）A．B．C．6 D．33．“p∧q是真命题”是“p∨q是真命题”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．已知sinα﹣cosα=，则cos（﹣2α）=（）A．﹣B．C．D．5．己知0＜a＜b＜l＜c，则（）A．a b＞a a B．c a＞c b C．log a c＞log b c D．log b c＞log b a6．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器﹣﹣商鞍铜方升，其三视图如图所示（单位：升），则此量器的体积为（单位：立方升）（）A．14 B．12+C．12+πD．38+2π7．设计如图的程序框图，统计高三某班59位同学的数学平均分，输出不少于平均分的人数（用j表示），则判断框中应填入的条件是（）A．i＜58？ B．i≤58？ C．j＜59？ D．j≤59？8．某撤信群中四人同时抢3个红包，每人最多抢一个，则其中甲、乙两人都抢到红包的概率为（）A．B．C．D．9．己知实数x，y满足不等式组，若z=x﹣2y的最小值为﹣3，则a的值为（）A．1 B．C．2 D．10．函数f（x）=x2﹣（）x的大致图象是（）A．B．C．D．11．已知一长方体的体对角线的长为l0，这条对角线在长方体一个面上的正投影长为8，则这个长方体体积的最大值为（）A．64 B．128 C．192 D．38412．已知函数f（x）=sin2+sinωx﹣（ω＞0），x∈R，若f（x）在区间（π，2π）内有零点，则ω的取值范围是（）A．（，）∪（，+∞）B．（0，]∪[，1） C．（，）∪（，） D．（，）∪（，+∞）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确的答案填写在答题卡相应的横线上.13．已知向量=（x﹣1，2），=（2，x﹣1）满足=﹣||•||，则x=．14．已知直线3x﹣4y﹣6=0与圆x2+y2﹣2y+m=0（m∈R）相切，则m的值为．15．在△ABC中，已知与的夹角为150°，||=2，则||的取值范围是．16．己知双曲线﹣=1（b＞0）的离心率为，F1，F2时双曲线的两个焦点，A为左顶点、B（0，b），点P在线段AB上，则•的最小值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.=+n+1．17．（12分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1（I）求证：数列{+1}是等比教列．（II）求数列{a n}的前n项和为S n．18．（12分）己知图1中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，EF∥CD，O、Q分别为线段AB，CD的中点，OQ与EF的交点为P，OP=1，PQ=2，现将梯形ABCD沿EF折起，使得OQ=，连结AD，BC，得一几何体如图2示．（I）证明：平面ABCD⊥平面ABFE；（II）若图1中．∠A=45°，CD=2，求平面ADE与平面BCF所成锐二面角的余弦值．19．（12分）某学校在一次第二课堂活动中，特意设置了过关智力游戏，游戏共五关．规定第一关没过者没奖励，过n（n∈N*）关者奖励2n﹣1件小奖品（奖品都一样）．如图是小明在10次过关游戏中过关数的条形图，以此频率估计概率．（Ⅰ）估计小明在1次游戏中所得奖品数的期望值；（II）估计小明在3次游戏中至少过两关的平均次数；（Ⅲ）估计小明在3次游戏中所得奖品超过30件的概率．20．（12分）己知椭圆+=1（a＞b＞0）与抛物线y2=2px（p＞0）共焦点F2，抛物线上的点M到y轴的距离等于|MF2|﹣1，且椭圆与抛物线的交点Q满足|QF2|=．（I）求抛物线的方程和椭圆的方程；（II）过抛物线上的点P作抛物线的切线y=kx+m交椭圆于A，B两点，设线段AB的中点为C （x0，y0），求x0的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=（x﹣a）2（a∈R），g（x）=lnx，（I）试求曲线F（x））=f（x）+g（x）在点（1，F（1））处的切线l与曲线F（x）的公共点个数；（II）若函数G（x）=f（x）．g（x）有两个极值点，求实数a的取值范围．（附：当a＜0，x趋近于0时，2lnx﹣趋向于+∞）三、请考生在第（12）、（23）題中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一个题目计分.[选修4-4:坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=tanα•x（0≤a＜π，α），抛物线C：（t为参数）．以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（Ⅰ）求直线l1和抛物线C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l1和抛物线C相交于点A（异于原点O），过原点作与l1垂直的直线l2，l2和抛物线C相交于点B（异于原点O），求△OAB的面积的最小值．五、[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．己知函数f（x）=|2|x|﹣1|．（I）求不等式f（x）≤1的解集A；（Ⅱ）当m，n∈A时，证明：|m+n|≤mn+1．2017年广东省揭阳市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
广东省揭阳市第一中学高三数学上学期第二次阶段性(期
广东省揭阳市第一中学2017届高三数学上学期第二次阶段性（期中）试题 文本试卷共4页，共23题，满分150分，考试时间为120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。
2．非选择题必须用黑色字迹的铅笔或签字笔作答。
3．答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{}0≥=x x B ，且A B A =I ，则集合A 可能是（ ）A.{}2,1B.{}1≤x x C.{}1,0,1- D.R 2.复数iiz +=1的共轭复数在复平面上对应的点在（ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知平面向量,a b r r 满足()5a a b ⋅+=r r r，且2a =r ，1b =r ，则向量a r 与b r夹角的余弦值为（ ）A.23B.23-C.21D.21-4.执行如图所示的程序框图，如输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ）A.1B.2C.3D.45.在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布同数递减，初日织五尺，末一日织一尺，计织三十日.”由此推断，该女子到第十日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88%6.某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为扇形，则该几何体的体积为（ ）A.32πB.3πC.92πD.916π7.为了得到x y 2cos =，只需要将)32sin(π+=x y 作如下变换（ ）A.向右平移3π个单位 B.向右平移6π个单位 C.向左平移12π个单位 D.向右平移12π个单位8.若A 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤200x y y x 表示的平面区域，则当a 从-2连续变化到1时，则直线a y x =+扫过A 中的那部分区域的面积为（ ）A.1B. 32C. 34D. 749. 已知,A B 是球O 的球面上两点，60AOB ∠=︒，C 为该球面上的动点，若三棱锥O ABC -体积的最大值为183，则球O 的体积为（ ）A ．81πB ．128πC ．144πD ．288π10. 焦点在x 轴上的椭圆方程为)0(12222＞＞b a by a x =+,短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为3b，则椭圆的离心率为（ ） A.41 B.31 C.21 D.32则关于x 的方程(),()f x a a R =∈实根个 11.已知函数数不可能为（ ）A.2B.3C.4D.512.函数()sin(2)(,0)2f x A x A πθθ=+≤＞部分图像如图所示，且0)()(==b f a f ，对不同的[]b a x x ,,21∈，若)()(21x f x f =，有3)(21=+x x f ，则（ ）A.)(x f 在)12,125(ππ-上是减函数B.)(x f 在)12,125(ππ-上是增函数C.)(x f 在)65,3(ππ上是减函数D.)(x f 在)65,3(ππ上是增函数第II 卷(非选择题 共90分)二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）13. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, …, 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间[481,720]的人数为 ．()52log 1,(1)()(2)2,(1x x f x x x ⎧-⎪=⎨--+≥⎪⎩＜）14.已知110,0,lg 2lg8lg 2,3x yx y x y>>+=+则的最小值是_______. 15.已知抛物线)0(22＞p px y =上一点),1(m M 到其焦点的距离为5，双曲线122=-ay x 的左顶点为A ，若双曲线一条渐近线与直线AM 垂直，则实数a=_______.16.设函数x x x f 1)(2+=，x e x x g =)(，对任意),0(,21+∞∈x x ，不等式1)()(21+≤k x f k x g 恒成立，则正数k 的取值范围是________.三、解答题（本大题共6小题，共70分。
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揭阳一中高三第二次段考理科数学试卷—、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、设不等式20x x -≤的解集为M ，函数()ln(1||)f x x =-的定义域为N ，则M N ⋂为 （ ）A ． [0，1）B ．（0，1）C ．[0，1]D ．（-1，0]2、已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ）A 1B 1- D3、设P 是△ABC 所在平面内的一点，2BC BA BP +=，则（ ）A.0PA PB +=B.0PC PA +=C.0PB PC +=D.0PA PB PC ++=4.已知圆C ：222)()(r b y a x =-+-的圆心为抛物线x y 42=的焦点，直线3x ＋4y ＋2＝0与圆 C 相切，则该圆的方程为( ) A ．2564)1(22=+-y xB ．2564)1(22=-+y xC ．1)1(22=+-y xD ．1)1(22=-+y x 5．将函数y ＝2cos2x 的图象向右平移2π个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短 到原来的21倍（纵坐标不变），得到的函数解析式为( ) A ．y ＝cos2xB ．y ＝－2cosxC ．y ＝－2sin4xD ．y ＝－2cos4x6. 设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是( )A.y 与x 具有正的线性相关关系B.回归直线过样本点的中心（x ，y ）C.若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD.若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重比为58.79kg7. 已知函数2()(f x x b x a b =+-++是偶函数，则此函数的图象与ｙ轴交点的纵坐标的最大值为( )B.2C.4D.－28、如右图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线()sin ((0,))f x x x π=∈及直线((0,))x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为163，则a 的值为（ ）A ．π31B ．π32C ．π43D ．π65二、填空题（本大题共7小题, 分为必做题和选做题两部分．每小题5分, 满分30分）（一）必做题: 第9至13题为必做题, 每道试题考生都必须作答．9、若函数))(2()(2c x x x f +-=在2=x 处有极值，则函数)(x f 的图象在1=x 处的切线的斜率为 。
10、 若关于x 的不等式2|1||2|1()x x a a x R ---≥++∈的解集为空集，则实数a 的取值范围是 。
11. 设向量a ，b ，c 满足0a b c ++= ，且0=∙b a，则||3,||4a c == ，则||b=_____________．12．给定下列四个ss ：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．其中，为真ss 的是 。
13．某程序框图如图1所示，该程序运行后输出的结果k 的值是（二）选做题: 第14、15题为选做题, 考生只能选做其中一题, 两题全答的, 只计前一题的得分。
14. （坐标系与参数方程选做题）设Ｍ、Ｎ分别是曲线2sin 0ρθ+=和s ()4in πρθ+=上的动点，则Ｍ、Ｎ的最小距离是15. （几何证明选做题）如图，圆O是ABC ∆的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD =，3AB BC ==。
则BD 的长___________(2AC 的长______________(3分)．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出必要过程或演算步骤）16.（本小题满分14分）函数R x Z k xk x x f ∈∈-++-=,,)2214cos()2cos()(π。
（1）求)(x f 的周期；（2）)(x f 在),0[π上的减区间；（3）若=)(αf 5102，)2,0(πα∈，求)42tan(πα+的值。
17. （本小题满分12分）某次有1000人参加的数学摸底考试，其成绩的频率分布直方图如图所示，规定85分及其以上为优秀.（1）下表是这次考试成绩的频数分布表，求正整数a, b 的值；（2）现在要用分层抽样的方法从这1000人中抽取40人的成 绩进行分析，求其中成绩为优秀的学生人数；（3）在（2）中抽取的40名学生中，要随机选取2名学生参 加座谈会，记“其中成绩为优秀的人数”为X ，求X 的分布列与 数学期望.18. （本小题满分12分） 已知几何体A BCED -的三视图如图所示， 其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰 直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求异面直线DE 与AB 所成角的余弦值； （2）求二面角A ED B --的正弦值； （3）求此几何体的体积的大小19.（本小题满分14分）已知数列}{n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n n S a ,,21成等差数列.（I ）求数列}{n a 的通项公式；（II ）数列满足)(log )(log 322122++⨯=n n n a a b ，求证：211111321<++++n b b b b20. （本小题满分14分）已知三点O(0,0)，A(－2,1)，B(2,1)，曲线C 上任意一点M(x ，y)满足|MA ＋MB|＝OM ·(OA ＋OB )＋2. (1)求曲线C 的方程；(2)点Q(x 0，y 0)(－2<x 0<2)是曲线C 上的动点，曲线C 在点Q 处的切线为l ，点P 的坐标是(0，－1)，l 与PA ，PB 分别交于点D ，E ，求△QAB 与△PDE 的面积之比．21．(本小题满分14分) 已知函数x x x g x x f 221)(,ln )(2-==． （Ⅰ）设)()1()('x g x f x h -+=（其中)('x g 是)(x g 的导函数），求)(x h 的最大值；（Ⅱ）求证: 当0b a <<时，有aab a f b a f 2)2()(-<-+；（Ⅲ）设Z k ∈,当1>x 时,不等式4)(3)()1('++<-x g x xf x k 恒成立，求k 的最大值.揭阳一中92届高三第二次段考理科数学答案一 、 AABCDDBB9. -5 10.）（），（∞+∞01-- 11.7 12. ②④ 13.7 14. 1-2 15. 4,72316.解：（1）)222cos(2cos )2214cos()2cos()(xk x x k xx f -++=-++-=πππ )42(sin 22cos 2sinπ+=+=x x x ，（Z k ∈）… 3分所以，)(x f 的周期2412T ππ==。
…… 4分 （2）由Z k k x k ∈+≤+≤+,2234222πππππ，得Z k k x k ∈+≤≤+,42542ππππ。
… 6分又),0[π∈x ， 令0=k ，得ππ252≤≤x ；令1-=k ，得ππ2327-≤≤-x （舍去）∴ )(x f 在),0[π上的减区间是),2[ππ。
…… 8分（3）由=)(αf 5102，得51022cos 2sin =+αα， ∴ 58sin 1=+α， ∴53sin =α… 10分 又)2,0(πα∈，∴542591sin 1cos 2=-=-=αα… 11分 ∴ 43cos sin tan ==ααα，∴7241691432tan 1tan 22tan 2=-⨯=-=ααα… 13分 ∴)42tan(πα+1731724117244tan2tan 14tan2tan -=-+=-+=παπα。
……14分17.解：解：（1）依题意，0.0451000200,0.025*******a b =⨯⨯==⨯⨯=. ……………4分（2）设其中成绩为优秀的学生人数为x ，则350300100401000x ++=，解得：x =30， 即其中成绩为优秀的学生人数为30名. ……………6分（3）依题意，X 的取值为0，1，2，2102403(0)52C P X C ===，1110302405(1)13C C P X C ===，23024029(2)52C P X C ===，所以X 的分布列为350125213522EX =⨯+⨯+⨯=，所以X 的数学期望为2. ……………12分 18.解：（1）取EC 的中点是F ，连结BF ，则//BF DE ，∴FBA ∠或其补角即为异面直线DE 与AB 所成的角．……………2分在BAF ∆中，AB =，BF AF ==．∴cos ABF ∠=．……………4分∴异面直线DE 与AB 5分 （2）因为AC ⊥平面BCE ，过C 作CG DE ⊥交DE 于G ，连AG ．可得DE ⊥平面ACG ，从而AG DE ⊥，∴AGC ∠为二面角A ED B --的平面角． ……………7分在ACG ∆中，90ACG ∠= ，4AC =，CG =∴tan AGC ∠=．∴sin AGC ∠=．∴二面角A ED B --．… 10分 （3）1163BCED V S AC =⋅⋅=，∴几何体的体积为16．… 12分 方法2：（1）以C 为原点，以CA ，CB ，CE 所在直线为x,y,z 轴建立空间直角坐标系． 则A （4，0，0），B （0，4，0），D （0，4，2），E （0，0，4）(0,4,2)DE =- ，(4,4,0)AB =- ，∴cos ,DE AB <>=∴异面直线DE 与AB （2）平面BDE 的一个法向量为(4,0,0)CA = ，设平面ADE 的一个法向量为(,,)n x y z =， 所以(4,4,2)AD =- ，(0,4,2)DE =-，则n ADn DE⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩， ∴0,0n AD n DE == 从而4420x y z -++=，420y z -+=，令1y =，则(2,1,2)n = ，2cos ,3CA n <>= ，∴二面角A ED B --． （3）1163BCED V S AC =⋅⋅=，∴几何体的体积为16．20.解：(1)由MA ＝(－2－x,1－y )，MB＝(2－x,1－y )，得 ……………1分 |MA ＋MB |＝ －2x 2＋ 2－2y 2， ……………2分OM ·(OA ＋OB)＝(x ，y )·(0,2)＝2y ， ……………3分由已知得 －2x 2＋ 2－2y 2＝2y ＋2， ……………4分化简得曲线C 的方程是x 2＝4y . …… 6分(2)直线PA ，PB 的方程分别是y ＝－x －1，y ＝x －1，……………7分曲线C 在Q 处的切线l 的方程是y ＝x 02x －x 204，……………8分且与y 轴的交点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－x 204，……………9分分别联立方程，得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x －1，y ＝x 02x －x 204，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，y ＝x 02x －x 204，解得D ，E 的横坐标分别是x D ＝x 0－22，x E ＝x 0＋22，……………11分则x E －x D ＝2，|FP |＝1－x 204，故S △PDE ＝12|FP |·|x E －x D |＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204·2＝4－x 204，而S △QAB ＝12·4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝4－x 202，则S △QAB S △PDE ＝2.即△QAB 与△PDE 的面积之比为2. ……14分21.（本题满分14分）解:(1）/()(1)()ln(1)2h x f x g x x x =+-=+-+,1x >-……………1分所以 1()111xh x x x -'=-=++． ……………2分 当10x -<<时，()0h x '>；当0x >时，()0h x '<．因此，()h x 在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减．……………3分因此，当0x =时，()h x 取得最大值(0)2h =； ………………4分 （Ⅱ）当0b a <<时，102b aa--<<．由（1）知：当10x -<<时，()2h x <，即ln(1)x x +<．·11· 因此，有()(2)ln ln 1222a b b a b a f a b f a a a a +--⎛⎫+-==+< ⎪⎝⎭．………………7分 （Ⅲ）不等式/(1)()3()4k x xf x g x -<++化为ln 21x x x k x +<+- ……………8分 所以ln 21x x x k x +<+-对任意1x >恒成立．令()ln 21x x x g x x +=+-， 则()()2ln 21x x g x x --'=-，令()ln 2h x x x =--()1x >，则()1110x h x x x -'=-=>， 所以函数()h x 在()1,+∞上单调递增．因为()()31ln 30,422ln 20h h =-<=->， 所以方程()0h x =在()1,+∞上存在唯一实根0x ，且满足()03,4x ∈． 当01()0x x h x <<<时，，即()0g x '<，当0()0x x h x >>时，，即()0g x '>，所以函数()ln 21x x x g x x +=+-在()01,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增． 所以()()()()()000000min 001ln 122225,611x x x x g x g x x x x ++-==+=+=+∈⎡⎤⎣⎦--． 所以()()0min 25,6k g x x <=+∈⎡⎤⎣⎦．故整数k 的最大值是5. ………14分。