chapter11电子自旋和泡利原理

Pˆ12hq1 ,q2 ,q3 , ,qn 1 hq1 ,q2 ,q3 , ,qn
即：
hq2 ,q1 ,q3 , ,qn hq1 ,q2 ,q3 , ,qn
10.3 泡利原理
Pˆ12Pˆ12 f q1 ,q2 ,q3 , ,qn Pˆ12 f q2 ,q1 ,q3 , ,qn f q1 ,q2 ,q3 , ,qn
这样，表明置换算符的平方是单位算符。与 前面宇称算符一样，可以推得置换算符的本征值 为＋1和－1。
如果h是 Pˆ12的具有本征值＋1的本征函数，则有：
10.2 自旋与氢原子
描述一个电子的状态波函数不仅依赖于坐标 x，y和z，也依赖于电子的自旋状态。这对氢原 子的波函数和能级有什么影响？
假设体系的哈密顿算符不包含自选变量，则 可以将单电子的波函数分离成空间和自旋函数的
乘积，即： ψx, y, zgms
10.2 自旋与氢原子
这样，有：
Hˆ ψx, y,zgms gms Hˆψx, y,z Eψx, y,zgms
在我们所限于讨论的非相对论量子力学中， 电子自旋必须作为一个附加的假设加入。
10.1 电子自旋
由于微观粒子的固有的自旋角动量在经典力学中没有类似
的量，所以，我们没有办法按照以前的办法写出其算符形式。只
能简单地用符号来表示自旋算符。与轨道角动量算符
Lˆ2 , Lˆx , Lˆ y , Lˆz 类似，自旋角动量算符为 Sˆ 2 ,Sˆ x ,Sˆ y ,Sˆz 。算符 Sˆ 2 是 一个粒子总自旋角动量大小的平方的算符； Sˆz 是粒子自旋角动 量的 z 分量的算符。且有：
可见，考虑了电子的自旋以后，得到了一样 的能量值，自旋只改变了简并的态函数的数目。 对于氢原子来说，考虑自旋，只是使能级的简并 度增大了一倍，变为了2n2。
10.3 泡利原理
在经典力学中，粒子的等同性可以通过跟踪 粒子的运动路径把他们分辨出来。球的等同性对 他们的运动没有特殊的影响。
但是，在量子力学中，测不准原理使得我们 不能跟踪一个微观粒子的准确路径。所以相互作 用的等同粒子体系的波函数必须是粒子之间不可 分辨。
αms 1 αms 0 βms 0 βms 1
对m
＝
s
1 2
对m
＝
s
1 2
对m
＝
s
1 2
对m
＝
s
1 2
1பைடு நூலகம்.1 电子自旋
当考虑包括空间和自旋两者的一个电子的 完全波函数，其归一化有：
1
2
ms 12
ψ
x, y, z, ms
2 dxdydz 1
简写为：
ψx, y,z,ms 2 dτ 1
10.1 电子自旋
例如：氢原子中电子由1s－> 2p的跃迁， 在高分辨率的光谱仪中，得到的不是一条而是 两条靠的很近的谱线；钠光谱的黄线（D线） 也分裂为两条波长只相差0.6nm的谱线。这种 双线的光谱精细结构不可能是因“轨道”运动 状态的不同所引起，电子一定还有其他运动。
10.1 电子自旋
1925 年 荷 兰 物 理 学 家 乌 仑 贝 克 (G. Uhlenbeck)和哥希密特(S. Goudsmit)提出了原 子光谱精细结构的解释，即电子除了绕原子核 运动的轨道角动量外还有内在的角动量——自 旋角动量。除电子外，其他的基本粒子也有 “自旋”角动量。
这样，一个电子的自旋角动量的大小是：
1
1 2
3 2
2
2
3 2
10.6
10.1 电子自旋
对应s＝1/2，有两个可能的Sˆ
z的本征值：21
和
1 2
。
对应这些Sˆ z的本征值的电子自旋本征函数用α和β表
示：
Sˆ z α
1 2
α
Sˆ z
β
1 2
β
10.7 10.8
由于与可对易，也可以把Sˆz的本征函数取做Sˆ 2的本征
第十章 电子自旋和泡利原理
➢10.1 电子自旋 ➢10.2 自旋与氢原子 ➢10.3 泡利原理 ➢10.4 氦原子 ➢10.5 锂原子 ➢10.6 Slater行列式
10.1 电子自旋
在讨论氢原子和类氢离子的结构时，用三 个量子数n、l、m来描述核外一个电子的运动 状态，可以求得其能量、轨道角动量、磁矩以 及二者在磁场方向的分量，并得到与实验符合 得相当好得结论。然而，进一步研究却发现一 些难以解释得现象。
根据前面阶梯算符推导得到的结果，有 Sˆ 2 的本
征值为： ss 12 ,
s 0, 1 ,1, 3 , 22
10.4
10.1 电子自旋
以及有Sˆ z的本征值为：
ms, ms s,s 1, , s 1,s
10.5
量子数s叫做粒子的自旋。实验证明对于所有
的电子，s的取值是唯一的，即：s＝1/2。
10.3 泡利原理
考虑一个有n个等同的微观粒子体系。波函 数依赖于所有粒子的空间和自旋变量。即：
ψ ψq1 ,q2 , ,qn
式中，q代表空间和自旋x，y，z，ms四个变量。
定义：置换算符Pˆ12是交换粒子1和粒子2的所有坐
标的算符。即：Pˆ12 f q1 ,q2 ,q3 , ,qn f q2 ,q1 ,q3 , ,qn
函数：
Sˆ 2α 3 2α, Sˆ 2 β 3 2 β 10.9
4
4
10.1 电子自旋
以前处理的波函数是粒子空间坐标的函数，
即： ψ ψx, y,z
对于自旋本征函数α和β我们一般选取自 旋量子数ms作为自旋本征函数所依赖的变量。
α αms , β βms
由于电子自旋本征函数的变量ms只能取两
Sˆ 2
Sˆ
2 x
Sˆ
2 y
Sˆ
2 z
10.1
10.1 电子自旋
同样，假定有如下的对易关系：
[Sˆ x , Sˆ y ] iSˆz , [Sˆ y , Sˆz ] iSˆ x , [Sˆz , Sˆ x ] iSˆ y
由(10.1)和(10.2)，可以推得：
10.2
[Sˆ 2 , Sˆx ] [Sˆ 2 , Sˆ y ] [Sˆ 2 , Sˆz ] 0 10.3
个分立的数值 1 和 1，所以单粒子自旋本征函
2
2
数的归一化为：
10.1 电子自旋
1
2 αms 2 1,
ms 12
1
2 βms 2 1
ms 12
10.10
因为本征函数对应于厄密算符的不同的本 征值，它们是正交的：
1 2
αms βms 0
ms 12
10.11
10.1 电子自旋
为了满足(10.10)和(10.11)，我们可以取：