功和功率

图 5－1－3 解析 本题主要考查的是力做功正负的判断． 由弹力的产生 条件， 可知斜面对小物块的作用力(支持力)垂直于接触面； 根据 力做功的定义 W＝Fscos α，为了求斜面对小物块的支持力所 做的功，应找到小物块的位移，由如图 5－1－3 所示的关系可 以确定支持力与物块位移的夹角大于 90° ，则斜面对物块做负 功，选项 B 正确． 答案 B
考点二 功的计算 1.恒力及合力做功的计算 (1)恒力的功：直接用 W＝Fscos α 计算. (2)合外力的功： ①先求合外力 F 合，再应用公式 W 合＝F 合 scos α 求功，其 中 α 为合力 F 合与位移的夹角.一般适用于整个过程中合力恒定 不变的情况. ②分别求出每个力的功 W1、W2、W3„，再应用 W 合＝W1 ＋W2＋W3＋„求合外力的功.这种方法一般适用于在整个过程 中，某些力分阶段作用的情况. ③利用动能定理或功能关系求解.
图 5－1－7
1 1 【答案】Fhsin α－sin β
【解析】本题中，显然 F 与 FT 的大小相等，FT 在对物体做功 的过程中，大小不变，但方向时刻改变，因此本题是个变力做功 的问题.但在题设条件下， 人的拉力 F 对绳的端点(也即对滑轮机械) 做的功就等于绳的拉力 FT(即滑轮机械)对物体做的功.而 F 的大小 和方向都不变，因此只要计算恒力 F 对绳做的功就能解决问题.设 绳的拉力 FT 对物体做的功为 WT，由题图可知在绳与水平面的夹 角由 α 变到 β 的过程中，拉力 F 作用的绳端的位移的大小 Δl＝l1 1 1 － l2 ＝ h sin α－sin β . 由 W ＝ Fl ， 可 知 WT ＝ WF ＝ FΔl ＝ 1 1 Fhsin α－sin β.
【跟踪训练】 1．(单选)下列四幅图是小明提包回家的情景，其中小明提 包的力不做功的是( )
【答案功与完成这些功____________ 做功的快慢 ． 2．物理意义：描述力对物体______________ 3．公式 W (1)P＝ t ，P 为时间 t 内的 平均功率 . 瓦特 ，符号：______. W 单位：______ (2)P＝Fvcos α(α 为 F 与 v 的夹角) ①v 为平均速度，则 P 为__________ 平均功率 ． 瞬时功率 ． ②v 为瞬时速度，则 P 为__________
机车的两种启动模型 如图 5－1－7 所示，当汽车从静止开始沿水平面加速运动 时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是瞬 时功率公式：P＝Fv 和牛顿第二定律：F－f＝ma.
图 5－1－7
比较如下：
易错警示： (1)图表中的 v1 为机车以恒定加速度启动时匀加速运动的 末速度， 而 vm 为机车以额定功率运动时所能达到的最大速度． v1 P额 P额 ＝ F < f ＝vm. (2)公式 P＝Fv 中，F 是机车的牵引力，而不是合外力．
一题一得 机车以两种方式启动，是两种典型的运动形式，解答时应 认真分析运动过程，分析各物理量的变化及相互制约关系，准 确找出临界点．
3．做功的正负判断 若力是恒力或力在作用过程中力的方向不变，一般根据 W ＝Fscos α 判断： ①当 α<90° 时，W>0，F 对物体做正功； ②当 α＝90° 时，W＝0，F 对物体不做功； ③当 α>90° 时，W<0，F 对物体做负功．
图 5－1－2 (单选)如图 5－1－2 所示，小物块 A 位于光滑的斜面 上，斜面位于光滑的水平面上，从地面上看，小物块沿斜面下 滑的过程中，斜面对小物块的作用力( ) A．垂直于接触面，做功为零 B．垂直于接触面，做功不为零 C．不垂直于接触面，做功为零 D．不垂直于接触面，做功不为零
解析 (1)将圆弧 AB 分成很多小段 l1，l2，„，ln，拉力 在每小段上做的功为 W1，W2，„，Wn，因拉力 F 大小不变， 方向始终与物体在该点的切线成 37° 角，所以 W1＝Fl1cos 37° ，W2＝Fl2cos 37° ，„，Wn＝Flncos 37° 所以 WF＝W1＋W2＋„＋Wn＝Fcos 37° (l1＋l2＋„＋ln)＝ Fcos 37° · R＝47.1 J. (2)重力 G 做的功 WG＝－mgR(1－cos 45° )＝－29.3 J. (3)物体受的支持力 N 始终与物体的运动方向垂直，所以 WN＝0. (4)因物体在拉力 F 作用下缓慢移动，动能不变，由动能 定理知 WF＋WG＋Wf＝0 所以 Wf＝－WF－WG＝(－47.1＋29.3)J＝－17.8 J. 答案 (1)47.1 J (2)－29.3 J (3)0 (4)－17.8 J
(4)作出变力 F 随位移 l 变化的图象，图象与位移轴所围的 “面积”即为变力做的功.图 5－1－5 中 a 图表示恒力 F 做的功 W， b 图表示变力 F 做的功 W， c 图中横轴上方的面积表示正功， 横轴下方的面积表示负功，其总功等于正、负功的代数和.
图 5－1－5 (5)微元法： 将物体的运动分成很多份， 则每份做的功为 ΔWn ＝FΔln，力 F 做的功为这些小份的总和 W＝ΔW1＋ΔW2＋ΔW3 ＋„„
一题一得 在遇到求功的问题时， 一定要注意分析是求恒 力做的功还是变力做的功，如果是求变力做的功，看能否转 化为求恒力做功的问题，不能转化的，还可以借助动能定理 和能量守恒定律来求解.
如图 5－1－7 所示， 某人用大小不变的力 F 拉着 放在光滑水平面上的物体，开始时与物体相连接的绳与水平 面间的夹角是 α，当拉力 F 作用一段时间后，绳与水平面间 的夹角为 β.已知图中的高度是 h，求绳的拉力 FT 对物体所做 的功.假定绳的质量、滑轮质量及绳与滑轮间的摩擦不计.
一、功
力的大小 、 1 ． 定 义 ： 力 对 物 体 所 做 的 功 等 于 ____________ 位移的大小 以及力和位移夹角的__________ 余弦 ____________ 的乘积． 力的方向 上发生 2．做功的两个必要因素：力和物体在____________ 的位移． Fscos α 功的单位是 ________ 焦耳 ，符号是 3 ．公式： W ＝ __________. J ． ____ 4．功的正负的意义 标量 ，α 取值不同，功会出现正负．正功表示力 功是________ 推动 作用；负功表示力对物体的运动起 对物体的运动起到________ 阻碍 作用；合力做的功等于各分力做功的________ 代数 和． 到________
【答案】B 【解析】物体由静止开始，加速度相同、位移相同，则时 间、末速度都相同，由动能定理，知合外力做功相同，而物体 W 所受重力、 支持力都不做功， 所以两次拉力做功相同． 由 P＝ t ， W 相同、t 相同，可得 P1＝P2，选项 B 正确．
考点一 对做功的理解和判断 1．功的定义：力的空间积累效应，和位移相对应 (也和时 间相对应)．功等于力和沿该力方向上的位移的乘积．即 W＝ Fscos α. 注意： 求功必须指明是“哪个力”“在哪个过程中”做的． 2．功的计算 W＝Fscos α 其中 F 为恒力，s 是物体相对于地面的位移，而不是相对 于和它接触的物体的位移．恒力做功的多少与物体的运动性质 (a、v、t 等)无关，同时与有无其他力做功也无关．
图 5－1－6 例 2 如图 5－1－6 所示， 一质量为 m＝2.0 kg 的物体从半 径为 R＝5.0 m 的圆弧轨道的 A 端，在拉力作用下沿圆弧缓慢 运动到 B 端(圆弧 AB 在竖直平面内).拉力 F 大小始终为 15 N， 方向始终与物体在该点的切线成 37° 角.圆弧所对应的圆心角为 45° ，BO 边为竖直方向.求这一过程中：(g 取 10 m/s2) (1)拉力 F 做的功. (2)重力 G 做的功. (3)圆弧面对物体的支持力 N 做的功. (4)圆弧面对物体的摩擦力 f 做的功.
2.变力做功的计算 (1)用动能定理 W＝ΔEk 或功能关系 W＝ΔE，即用能量的增量 等效代换变力所做的功.(也可计算恒力功) (2)当变力的功率一定时，可用 W＝Pt 求功，如机车恒定功率 启动时. (3)将变力做功转化为恒力做功 ①当力的大小不变，而方向始终与运动方向相同或相反时， 这类力的功等于力和路程(不是位移)的乘积.如滑动摩擦力做功、 空 气阻力做功等. ②当力的方向不变，大小随位移做线性变化时，可先求出力 F1＋F2 对位移的平均值 F＝ 2 ，再由 W＝Flcos α 计算，如弹簧弹力 做功.
例 3 如图所示为修建高层建筑常用的塔式 起重机．在起重机将质量 m＝5×103 kg 的重物 竖直吊起的过程中，重物由静止开始向上做匀 加速直线运动，加速度 a＝0.2 m/s2，当起重机 输出功率达到其允许的最大值时，保持该功率 直到重物做 vm＝1.02 m/s 的匀速运动． 取 g＝10 m/s2，不计额外功．求： (1)起重机允许输出的最大功率； (2)重物做匀加速直线运动所经历的时间和起重机在第 2 s 末 的输出功率．
4．额定功率：机械__________ 正常工作 时输出的______ 最大 功率．
实际工作 时 输 出 的 功 率 ． 要 求 5 ． 实 际 功 率 ： 机 械 __________ 小于或等于 额定功率． ____________
【跟踪训练】
图 5－1－1 2．(单选)如图 5－1－1 所示，质量为 m 的物体放在光滑水 平面上，都是从静止开始以相同的加速度移动同样的距离．第 一次拉力 F1 方向水平，第二次拉力 F2 与水平方向成 α 角斜向 上拉，在此过程中，两力的平均功率分别为 P1、P2，则( ) A．P1>P2 B．P1＝P2 C．P1<P2 D．无法判断
一题一得 判断某一个力 F 对物体是否做功， 做正功还是做 负功，若该力是恒力或力的方向恒定，通常利用公式 W＝Fscos α 判断(如本题中斜面对小物块的支持力恒定)， 但如果该力是变 力，特别是力的方向发生变化时，则依据 F 与 v 的夹角 θ 的关 系来判断．