工程力学(运动学与动力学)-14-点的复合运动
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工程力学(运动学与动力学)14点的复合运动
绝对运动的分析方法
绝对运动
描述一个物体相对于绝对空间的运动， 是物体在固定参考系中的位置和速度。
VS
分析方法
通过绝对坐标系和相对坐标系之间的关系 ，分析物体的绝对运动。
复合运动的合成定理
合成定理
将相对运动和牵连运动结合起来，描述一个 物体在复合运动中的位置和速度。
应用范围
适用于分析复杂机械系统中的运动关系，如 机床、机器人等。
要点二
弹性体在振动时发生的形变
例如，振动的弦或振动的梁，在振动过程中发生的形变可 以通过动力学方程进行描述。这种形变是由于弹性体内部 分子之间的相互作用以及外力作用共同作用的结果。
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平面内两个旋转运动的复合
例如，搅拌机的搅拌叶片，既围绕中心轴做旋转运动 ，同时又围绕自身的轴线做旋转运动。这种复合运动 可以通过引入角速度和角加速度的概念进行描述。
空间内复合运动的实例分析
空间内旋转与直线运动的 复合
例如，直升机的螺旋桨，在围绕自身轴线旋 转的同时，直升机机体沿着垂直方向做直线 运动。这种运动可以通过三维坐标系进行描 述，并运用相应的运动学和动力学公式进行 分析。
空间运动
物体在三维空间中的运动，其轨迹位 于三维空间中。
定轴转动与定平台转动
定轴转动
物体绕固定轴线的转动，轴线位置固定不变。
定平台转动
物体绕固定平面上某点的转动，平面位置固定不变。
刚体运动与弹性体运动
刚体运动
物体在运动过程中形状和大小保持不 变。
弹性体运动
物体在运动过程中发生弹性形变，恢 复原状后继续运动。
工程力学（运动学与动力学 14点的复合运动
目录
• 复合运动的概述 • 复合运动的分类 • 复合运动的运动学分析 • 复合动力学的分析方法 • 复合运动的实例分析
点的复合运动
例1、沿直线轨道作纯滚动的车轮轮缘上点的运动
点的合成运动
y’
o’
x’
例2、直升飞机在匀速前进的军舰上降落
y
y’
o’
x’
x
o
点的合成运动
y’ x’
o’
物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关。同一物体的运动，在不同的 参考系中看来，可以具有极为不同的运动学特征（具有不同的轨迹、速度、 加速度等）。
相对运动：未知
3、
va ve vr
大小 v1 v2
?
方向 √ √
?
vr va2 ve2 2vave cos60 3.6 m s
arcsin(ve sin 60o ) 46o12
点的合成运动
vr
求解合成运动的速度问题的一般步骤为(P180):
① 选取动点，动系和静系。
B
曲柄－滑块机构
点的合成运动
思考题 动 点：杆上A点。 动系：固连于滑块B。 定系：固连于墙面。 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
点的合成运动
A Bv
点的合成运动
动 点？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
练习题1
点的合成运动
点的合成运动
点的合成运动
动 点？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
定系的速度。
点的合成运动
基本概 念
牵连点的概念
（1）、定 义 动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的一点，
这点称为瞬时重合点或动点的牵连点。 （2）、进一步说明
牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起 着“牵连”作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬 时与动点相重合的那一点，该点称为瞬时重合点或牵连点。 （3）、注 意
点的合成运动
y’
o’
x’
例2、直升飞机在匀速前进的军舰上降落
y
y’
o’
x’
x
o
点的合成运动
y’ x’
o’
物体的运动的描述结果与所选定的参考系有关。同一物体的运动，在不同的 参考系中看来，可以具有极为不同的运动学特征（具有不同的轨迹、速度、 加速度等）。
相对运动：未知
3、
va ve vr
大小 v1 v2
?
方向 √ √
?
vr va2 ve2 2vave cos60 3.6 m s
arcsin(ve sin 60o ) 46o12
点的合成运动
vr
求解合成运动的速度问题的一般步骤为(P180):
① 选取动点，动系和静系。
B
曲柄－滑块机构
点的合成运动
思考题 动 点：杆上A点。 动系：固连于滑块B。 定系：固连于墙面。 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
点的合成运动
A Bv
点的合成运动
动 点？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
练习题1
点的合成运动
点的合成运动
点的合成运动
动 点？ 动参考系？ 绝对运动？ 相对运动？ 牵连运动？
定系的速度。
点的合成运动
基本概 念
牵连点的概念
（1）、定 义 动参考系给动点直接影响的是该动系上与动点相重合的一点，
这点称为瞬时重合点或动点的牵连点。 （2）、进一步说明
牵连运动一方面是动系的绝对运动，另一方面对动点来说起 着“牵连”作用。但是带动动点运动的只是动系上在所考察的瞬 时与动点相重合的那一点，该点称为瞬时重合点或牵连点。 （3）、注 意
论点的复合运动中动点、动系的选择原则和方法
论点的复合运动中动点、动系的选择原则和方法1引言理论力学是机械、土木类专业的专业基础课。
包括静力学、运动学和动力学三大部分。
运动学是从几何角度研究物体运动轨迹、运动方程、速度和加速度，而不考虑引起物体运动的物理原因。
其中点的合成运动是运动学的重点内容。
此部分内容题目多样，解题方法灵活，并且具有趣味性，完成一道题目时很有成就感。
当然也是让学生感到没有思路、无从下手的部分，普遍反映难度较大，也是测验、考核过程中丢分比较多的部分，问题的关键是无法正确的选取动点和动系。
本文从典型例题出发，介绍了点的合成运动中动点和动系的选取原则，可以帮助学生理清思路，提高点的合成运动的解题能力。
2点的合成运动概述在日常生活中，会经常遇到这样的情况。
当我们站在不同的参考物上，观察同一个物体的运动，发现物体所呈现的运动形式是不一样的。
举个最常见的例子，如图1。
人站在一辆沿直线匀速行驶的公共汽车上，以地面为参考物，观察人的运动，人在作匀速直线运动。
而以公共汽车为参考物，则人静止的。
可见，人的运动形式依选取的参考物不同而不同。
再引申一个例子，如图2。
沿直线轨道滚动的车轮，研究其轮缘上任意一点M的运动。
对于地面来说，点M的轨迹是旋轮线，而对于车厢来说，点M的轨迹则是一个圆。
车轮上的点M是沿旋轮线运动，是一种比较复杂复杂的运动形式，但是以车厢作为参考体，则点M相对于车厢的运动是简单的定轴转动，车厢相对于地面的运动是简单的平移。
轮缘上一点M的运动就可以看成为两个简单运动的合成，即点M相对于车厢作圆周运动，同时车厢相对地面作平移。
于是得到了合成运动的定义，即相对于某一参考体的运动可由相对于其他参考体的几个运动组合而成，称这种运动为合成运动。
3一点二系三运动研究点的合成运动，确定一个动点，选择定参考系和动参考系两个坐标系，分析动点的绝对运动、相对运动和牵连运动是首要任务。
3.1两个参考坐标系研究点的合成运动，总要涉及两个参考坐标系。
（1）定参考系建立在固定参考物上的坐标系，简称定系。
第4章 点的复合运动
相对运动－沿O1B的直线运动。 牵连运动－摇杆绕O1轴的摆动。
70
例题
点的复合运动
例 题 3
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
l 2 r2
72
r 2 所以可得 1 2 l r2
例题
点的复合运动
例 题 3
讨论：
若取摇杆 O1B上A点为动 点，动系固连 曲柄OA，则相 对运动轨迹是 什么曲线？
73
例题
点的复合运动
例 题 3
讨论：
若取摇杆 O1B上A点为动 点，动系固连 曲柄OA，则相 对运动轨迹是 什么曲线？
55
n
例题
点的复合运动
例 题 1
运 动 演 示
56
例题
点的复合运动
例 题 1 平动实例
相对运动轨迹
57
例题
点的复合运动
例 题 1
解： 1. 选择动点，动系与定系。
B
动点－ AB的端点A 。
动系－Ox'y'，固连于凸轮。
y'
定系－固连于水平轨道。
A
R φ
v0
2. 运动分析。 绝对运动－直线运动。
得船B的绝对速度和对于船A的相对速度的大小 v v2 1 , v r v1 tan cos 85
ve=v1
va=v2
例题
点的复合运动
解：由坐标变换关系
例 题 7
已知点在平面内运动，
70
例题
点的复合运动
例 题 3
3. 速度分析。
绝对速度va：va＝OA · ＝r ω ，方 ω 向垂直于OA，沿铅垂
方向向上。
牵连速度ve：ve为所要求的未知量， 方向垂直于O1B 。 相对速度vr：大小未知，方向沿摇杆 O1B 。 应用速度合成定理
l 2 r2
72
r 2 所以可得 1 2 l r2
例题
点的复合运动
例 题 3
讨论：
若取摇杆 O1B上A点为动 点，动系固连 曲柄OA，则相 对运动轨迹是 什么曲线？
73
例题
点的复合运动
例 题 3
讨论：
若取摇杆 O1B上A点为动 点，动系固连 曲柄OA，则相 对运动轨迹是 什么曲线？
55
n
例题
点的复合运动
例 题 1
运 动 演 示
56
例题
点的复合运动
例 题 1 平动实例
相对运动轨迹
57
例题
点的复合运动
例 题 1
解： 1. 选择动点，动系与定系。
B
动点－ AB的端点A 。
动系－Ox'y'，固连于凸轮。
y'
定系－固连于水平轨道。
A
R φ
v0
2. 运动分析。 绝对运动－直线运动。
得船B的绝对速度和对于船A的相对速度的大小 v v2 1 , v r v1 tan cos 85
ve=v1
va=v2
例题
点的复合运动
解：由坐标变换关系
例 题 7
已知点在平面内运动，
《理论力学》第七章-点的复合运动
v0
Ra
n r
aa
a
φ
x'
O
n
arn
vr2 R
v2
Rsin2
3、速度分析
va vevr
vr
ve
sin
v
sin
4、加速度分析
aaaear arn
n
aasinaecosarn
aa
acot
v2
Rsin3
48
§7–4 牵连运动为转动的加速度合成定理
牵连运动为平动时加速度合成定理：aaaear
牵连运动为定轴平动时 aaaear是否成立？
37
§7–2 速度合成定理
va vr
应用速度合成定理
va vevr
3、速度分析。 绝对速度va： va＝OA·ω＝rω ， 方向垂直于OA向上
牵连速度ve： ve为所要求的未知量，
方向垂直于O1B 相对速度vr： 大小未知， 方向沿摇杆O1B
38
§7–2 速度合成定理
va vr
其中 O1A l2 r2
1
第七章 点的复合运动
§7–1 复合运动的概念 §7–2 速度合成定理 §7–3 牵连运动为平动时点的加速度合成定理 §7–4 牵连运动为转动时点的加速度合成定理
2
第七章 点的复合运动
复合运动问题：研究物体相对于不同参考系 的运动之间的关系。
复合运动不是一种新的运动形式，只是
一种研究运动学问题的思路和方法。
40
§7–3 牵连运动为平动的加速度合成定理
一、绝对运动和相对运动之间的关系
z M
绝对运动方程：r r(t)
z
r (t)
r (t ) k O j
理论力学 点的复合运动
1）常接触点（点线接触） 条件：运动过程中，一刚体上的点始终与另一刚体轮廓线接触 结论：常接触点为动点，另一刚体为动系。
动点：AB上点A
动系：凸轮
相对运动轨迹清楚
绝对运动：地面上看A 点
直线
相对运动：凸轮上 看A点
圆周运动
牵连运动：在地面 看凸轮的运动
定轴转动
Байду номын сангаас
动点：凸轮上A1点 动系：顶杆AB
(xiv + yvj )
+ yv&j
+ y(ωv ×
vj )
= vvA + ωv × ρv + vvr = vve + vvr
牵连点
的速度
7-2 速度合成定理及其应用
vv = vv + vv 速度合成定理（theorem for composition of velocities）
a
er
动点的绝对速度等于其相对速度与牵连速度的矢量和。
ω
ve = O1A×ω1 =
r 2ω
(l 2 + r2 )
ϕ
B
va
vr
A
O1
O1A =
(l 2
+
r2
)
→
ω1
=
r 2ω
l2 + r2
例7-3求图示机构中OC杆端点C的速度。其中v与θ已知，且设
OA=a, AC＝b。
解：动点A(AB) ，动系OC
vC
vra = vre + vrr
ωOC
ve
C v
ve = va sinθ = v sinθ
tan θ = ve
va
工程力学课件(点的合成运动).91页PPT
23、一切节省，归根到底都归结为时间的节省。——马克思 24、意志命运往往背道而驰，决心到最后会全部推倒。——莎士比亚
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
工程力学课件(点的合成运 动).
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
25、学习是劳动，是充满思想的劳动。——乌申斯基
谢谢！
33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
工程力学课件(点的合成运 动).
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。
21、要知道对好事的称颂过于夸大，也会招来人们的反感轻蔑和嫉妒。——培根 22、业精于勤，荒于嬉；行成于思，毁于随。——韩愈
《工程力学》点的合成运动
y
a
n a
ae aa
ar
x
由加速度合成定理
即 a ae ar
aa aan ae ar
aan
ae aa
ar
x投影： y投影：
aan sin aa cos ar
aan cos aa sin ae
将 aan 2 OA 代入上式可解出 ar和 ae
aa OA
例7-7 设OA＝O1B＝r，斜面倾角为1，O2D＝l, D
点可以在斜面上滑动，A、B为铰链连接。 图示位置时OA、O1B铅垂，AB、O2D为水
平，已知此瞬时OA转动的角速度为，角
加速度为零，试求此时O2D绕O2转动的角速 度和角加速度。
解：以三角斜面为 动坐标系，D点为 动点
dz dt
dk) dt
ar
( dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k )
ar r
其中 ac 2 r
科氏加速度
aa ae ar 2 r
点的加速度合成定理
实例：
在北半球，河水向北流动时，科氏加速 度向西，有右岸对水向左的力，由作用力 与反作用力，河水必对右岸有反作用力。 故右岸有明显的冲刷。
北
r
西 ac
东
南
例7-8
如图所示，点M在杆OA上按规律x=20+30t2运动（其 中t以s计；x以mm计），同时杆OA绕轴O以 = 2t rad的规律转动。求当t=1s时，点M的加速度大小。
取点M在动点，动系建在杆OA上，把x=20+30t2对时 间求导，得vr=60t, ar=60mm/s2
复合运动
对于动系 S ' , 1
v1
e
=v
1
,
v 1r
只能沿直线
1
方向。
对于动系 S ' , 2
v
2
e=
v
2
,
v 2r
只能沿直线
2
方向。
v 1e
v
P
v
2e
v
1
2
1
P 点速度 v=v1ev1r 矢端只能沿图示平行于直线 1 的虚线方向滑动 P 点速度 v=v2ev2r 矢端只能沿图示平行于直线 2 的虚线方向滑动 只有图示虚线交点才能使等式同时成立，此即求得的 P 点速度 v
(2). S' 中观察者只能观测到 v 和 a , 观测不到 v, v ,a, a 和 a .
r
r
e
e
c
S 中观察者只能观测到 v 和 a , 无法区分 v 中的 v 和 v ,
e
r
a 中的 a , a 和 a . 只有站在理论工作者的角度 , 同时考虑
er
c
到 S 系和 S' 系 , 才能把 v 和 a 理性地分解出来 .
Oxyz-->OXYZ 动作分解 将 Oxyz 绕 Oz 轴转动 φ, Ox 转到 ON 再绕 ON 轴转动 θ, Oz 转到 OZ 再绕 OZ 轴转动 ψ, ON 转到 OX
θ
O
φ
ψ
这样我们有三个过 O 点的角速度矢量
˙ e3 ˙ N ˙ E3
根据瞬时定轴转动的合成定理，有
=˙ e3˙ N ˙ E3
⇒
dV dt
=
d'V dt
×V
也就是说这个公式不仅仅是对于不同参考系成立；对同一参考系内
工程力学学习资料 点的复合运动2
aa ae ar ak
点的合成运动2种类型的问题： 1、带有滑套的机构。
2、运动中，物体相互接触 的机构，接触点不变。
例题：已知：OA杆匀速转动 w，OA=r，该 瞬时已知，求：BC杆的加速度。
解： 动点：滑块A 动系：杆BCDE
绝对运动－
O
D w B C A
以O为圆心的圆周运动
v v v
a e
vr
va
r
ve
即在任一瞬时点的绝对速度等于其牵连速度与相对 速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
选择动点、动系的原则： 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是 已知的，或者能直接看出的。
(相对轨迹、
动 点
速度与加速度)
(绝对轨迹、
速度与加速度)
动 系
牵连运动 (刚体运动)
定 系 (牵连速度与加速度)
E
相对运动－ 沿DE的直线运动
牵连运动－
水平直线平移
aa ae ar
大小： 方向： ？
2
？
D
ae
O
w
A
aa rw
aa
ar B
E
C
加速度向水平方向投影
aa cos＝ae
ae rw cos
2
aBC w r cos（）
2
作业：17－7，8
12（a）
ve v0
0＝ve vr sin
v0 2 vr v0 o sin 60 3
4v v a R 3R
n r
2 r
2 0
aa ae a r ar
加速度向AC方向投影
0 0
点的复合运动
12
MM MM M M t t t
1 1
t 0
时的极限，得
MM 1 M 1M MM lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
va v e vr
13
v v v
a e
vr
va
r
ve
即在任一瞬时点的绝对速度等于其牵连速度与相对 速度的矢量和，这就是点的速度合成定理。
ve
ae
y
x` o`
A
y`
o
转轮
x
5
实例一：车刀的运动分析
动点：车刀刀尖 绝对运动：直线运动 动系：工件
相对运动：曲线运动（螺旋运动） 牵连运动：定轴转动
p4d.swf★
6
实例二：偏心轮的运动分析
动点：AB杆上的A点 绝对运动：上下直线运动 动系：偏心轮C
相对运动：C为圆心的圆周运动
牵连运动：定轴转动
第17章 点的复合运动
1
运动具有相对性，不同的观察者观察的结果不同
以地面为参考系
以盘为参考系
2
§17-1
动 点： 研究对象
点的复合运动概念
z'
x' o'
M
定参考系：（定系）
固定在地球上的坐标系Oxyz 。 动参考系： （动系） 固定在其他相对于地球运动的
z
o x
y'
y
物体上的坐标系
Oxyz
已知：OC＝e , R 3e , （匀角速度）图示瞬时, OCCA 且 O，A，B三点 共线。 求：杆AB的速度。
20
解：动点：AB杆上的A点 动系：固连在偏心轮C上 绝对运动－ 上下直 线运动 相对运动－以C为圆
工程力学之点的合成运动和刚体的平面运动
工程力学14.1 合成运动的概念14.1.1 合成运动实例例如，无风时，站在地上的人看到雨点是铅垂下落的，但坐在行驶的车辆上的人看到的雨点却是向后倾斜下落的。
产生这种差异是由于观察者所在的坐标系不一样。
但两者得到的结论都是正确的，都反映了雨点的运动这一客观存在。
又如图14-1所示的桥式起重机搬运重物时(也称行车或天车)，如桥架不动，重物相对于地面作平面曲线运动，相对于桥架上的小车则作平面直线运动。
图14-1 桥式起重机14.1.2 合成运动的概念一般将研究的点称为动点；将固连地球表面上的参考系称为静参考系，并以Oxyz表示；把相对于地球运动的参考系(如固连在行驶车辆上的参考系)称为动参考系，并以O′x′y′z ′表示。
“一点、二系、三运动”14.1 合成运动的概念14.1.2 合成运动的概念如上面雨点的例子(如图14-2所示)，如把行驶的车子取为动参考系，则雨点相对于车沿着与铅垂线成角的直线运动就是相对运动，相对于地面的铅垂直线运动为绝对运动，车子相对地面的运动为牵连运动。
图14-2 合成运动例1所以，绝对运动和相对运动都是点的运动，可以是直线运动或曲线运动。
而牵连运动是一个坐标系相对于另一个坐标系的运动，为刚体的运动，可能是平动、转动或更复杂的运动。
14.1.2 合成运动的概念在研究点的合成运动时，动点和动参考系的选择很重要，动点和动参考系的选择必须遵循以下原则：(1) 动点和动参考系不能选在同一物体上，即动点和动参考系必须有相对运动。
(2) 动点、动参考系的选择应以相对运动轨迹易于分析为好。
机械中两构件在传递运动时常以点相接触，其中有的点始终处于接触位置，称为常接触点，有的点则为瞬时接触点，一般以瞬时接触点所在的物体固连动参考系，以常接触点为动点，这个原则称为常接触原则。
14.2 速度合成定理14.2.1 点的速度合成定理动点牵连速度是动点随动参考系一起运动的速度。
把某一瞬时动参考系上与动点相重合的那一点，称为牵连点，牵连点的速度称为动点的牵连速度，用v e表示。
点的复合运动-动点、动系的确定
：与飞机固连
牵连运动：飞机的空间飞行
相对运动：P绕螺旋桨轴的圆周运动
绝对运动：空间螺旋曲线运动
+
动点相对于动系的相对运动
分
合
解
成
动点的绝对运动
点的复合运动，研究点运动分解与合成的规律。
3
问题：动点、动系如何选择？？
➢ 动点、动系一定在两个不同的刚体上（存在相 对运动）
➢ 动点、动系选择时应该使点的相对运动简单、 明确（便于运动分析）
试求:图示瞬时（ ∠OAB=60 ）套筒的转角速度。
A
动点、动系如何选择？
谢 谢！
选持续接触点（关联点）为动点，动系固结 在另一个物体上 。
两个运动物体，无持续接触点
动点：接触点 相对运动？
B
D
A Oe
M
动点：凸轮的轴心A点
动系：固连在顶杆BCD上
相对运动：铅垂直线运动
ω
C
对于两个运动物体无持续接触点(或无关联点) 的情况。
选便于运动分析的点为动点，动系固结在另 一个物体上。
动点、动系选择唯一吗？
动点：L杆上E点
A
动系：固连在上面的构件上
相对运动：以C点为圆心的半圆周运动
是否可以选C点为动点，动系固连在L型杆上 ？
B
C
D
相对运动：以E点为圆心的圆周运动
R
E
v
M
N
a
思考题：
已知平面机构中，曲柄OA以匀角速度 绕O 轴转动，曲 柄长OA=r，摆杆AB 可在套筒C 中滑动，摆杆长AB=4r，套 筒C 绕定轴C 转动。
点的复合运动-动点、动系的确定
研究对象：一个动点
• 绝对运动
动点相对静参考系
牵连运动：飞机的空间飞行
相对运动：P绕螺旋桨轴的圆周运动
绝对运动：空间螺旋曲线运动
+
动点相对于动系的相对运动
分
合
解
成
动点的绝对运动
点的复合运动，研究点运动分解与合成的规律。
3
问题：动点、动系如何选择？？
➢ 动点、动系一定在两个不同的刚体上（存在相 对运动）
➢ 动点、动系选择时应该使点的相对运动简单、 明确（便于运动分析）
试求:图示瞬时（ ∠OAB=60 ）套筒的转角速度。
A
动点、动系如何选择？
谢 谢！
选持续接触点（关联点）为动点，动系固结 在另一个物体上 。
两个运动物体，无持续接触点
动点：接触点 相对运动？
B
D
A Oe
M
动点：凸轮的轴心A点
动系：固连在顶杆BCD上
相对运动：铅垂直线运动
ω
C
对于两个运动物体无持续接触点(或无关联点) 的情况。
选便于运动分析的点为动点，动系固结在另 一个物体上。
动点、动系选择唯一吗？
动点：L杆上E点
A
动系：固连在上面的构件上
相对运动：以C点为圆心的半圆周运动
是否可以选C点为动点，动系固连在L型杆上 ？
B
C
D
相对运动：以E点为圆心的圆周运动
R
E
v
M
N
a
思考题：
已知平面机构中，曲柄OA以匀角速度 绕O 轴转动，曲 柄长OA=r，摆杆AB 可在套筒C 中滑动，摆杆长AB=4r，套 筒C 绕定轴C 转动。
点的复合运动-动点、动系的确定
研究对象：一个动点
• 绝对运动
动点相对静参考系
工程力学第十三章：点的合成运动
牛头刨床：在此运动机构中，曲柄是主动件，有预先给定的运动
规律，那么曲柄的运动确定以后，如何确定刨床在轨道上作往复 运动的运动规律呢？
第一节 点的合成运动的概念 第二节 点的速度合成定理
第一节 点的合成运动的概念
前一章中我们研究点和刚体的运动，一般都是以地面为参
考体的。然而在实际问题中，还常常要在相对于地面运动着的
使相对运动轨迹简单清晰。
相对运动：沿滑槽的直线运动
动点：摆杆O1B上的A点 动系：曲柄OA
动点和动系选择不当，则相对
运动轨迹复杂，难以分析其相 对轨迹和速度。
相对运动：复杂的曲线运动
第二节 点的速度合成定理
绝对速度和相对速度是在不同参考系中来描述动点的速度，
因此它们之间应该有某种关系。速度合成定理将建立动点的绝对
动点：人
动系：车辆
静系：地球
牵 连 点 的 分 析
牵连点是动系上与动点重合的点，跟随动系作直线运动
车辆运动方向
在不同瞬时，牵连点在不同位置。
动点：物块
动系：小车
x
静系：桥梁支座
牵 连 点 的 分 析
牵连点不在动系小车 上时，可将动系扩大，
y
使动系覆盖动点。
a 牵连点是动系上的a点，跟随动系作水平直线运动
二、坐标系 1. 静坐标系：把固结于地面的坐标系称为静坐标系，简称 静系。例如固定支座、地球等。 2. 动坐标系：把固结于相对于地面运动物体上的坐标系称 为动坐标系，简称动系。例如正在行驶的汽车。
三、三种运动
绝对运动：动点相对于静系的运动。 相对运动：动点相对于动系的运动。
点的运动
例如：人在行驶的汽车里走动，人相对于汽车的运动 是相对运动，人相对与地球的运动是绝对运动。
第14章点的复合运动-习题
14.4图示平面机构中，杆O1A绕O1轴转动，设O2B=L，在图示=30°位置时，杆O1A的角速度为，角加速度为零。试求该瞬时杆O2B转动的角速度与角加速度。
解：以铰链为动点，杆O1A为动系。有
， ，
故 (逆钟向) [6分]
又
[10分]
由
x：
得
(逆钟向) [15分]
14.1图示半径为r的半圆形凸轮在水平面上滑动，使直杆OA可绕轴O转动。OA=r，在图示瞬时杆OA与铅垂线夹角 ，杆端A与凸轮相接触，点O与O1在同一铅直线上，凸轮的的速度为 ，加速度为 。求在图示瞬时A点的速度和加速度。并求OA杆的角速度和角加速度。
14.2图示机构中AB＝CD=EF＝l，设在图示位置时 ，杆EF的角速度为 ，角加速度为0，求此时杆AB的角速度与角加速度。
以滑块F为动点，动系固结于BD杆上，定系固结于地面，牵连运动为平动。动点的速度矢量合成图如图（a）所示，则有
而 ，所以
（顺时针转向）。
动点的加速度矢量合成图如图（b）所示。其中 ， ，
将 向水平方向投影得
（顺时针转向）
14.3圆盘的半径 动到A、C两点位于同一铅垂线上，且 时，AB杆转动的角速度与角加速度。
解：以铰链为动点，杆O1A为动系。有
， ，
故 (逆钟向) [6分]
又
[10分]
由
x：
得
(逆钟向) [15分]
14.1图示半径为r的半圆形凸轮在水平面上滑动，使直杆OA可绕轴O转动。OA=r，在图示瞬时杆OA与铅垂线夹角 ，杆端A与凸轮相接触，点O与O1在同一铅直线上，凸轮的的速度为 ，加速度为 。求在图示瞬时A点的速度和加速度。并求OA杆的角速度和角加速度。
14.2图示机构中AB＝CD=EF＝l，设在图示位置时 ，杆EF的角速度为 ，角加速度为0，求此时杆AB的角速度与角加速度。
以滑块F为动点，动系固结于BD杆上，定系固结于地面，牵连运动为平动。动点的速度矢量合成图如图（a）所示，则有
而 ，所以
（顺时针转向）。
动点的加速度矢量合成图如图（b）所示。其中 ， ，
将 向水平方向投影得
（顺时针转向）
14.3圆盘的半径 动到A、C两点位于同一铅垂线上，且 时，AB杆转动的角速度与角加速度。
点的复合运动的分类
点的复合运动的分类
一、直线运动：又称作线性运动，是指在限定的直线路径上，沿着一定方向和速度移动的运动。
二、角动：也称为旋转运动，是指物体围绕某一点旋转，或以一定角速度斜率运动，以该点为转轴，其轨迹是一个旋线。
三、抛物运动：指物体投掷后，在重力作用下，以匀加速度直线运动，以及水平和竖直方向上有相对应变化而称之为抛物运动。
四、径向运动：也称为近似圆周运动。
指物体在一定的轨道上以其圆心为旋转轴，以相对圆心的位置的改变不断诞生外转力。
五、螺旋运动：也称升降运动，是指一个物体水平沿螺旋线运动，由低点向高点或者高点到低点而移动，以螺旋线形式而呈现上升或下降的运动状态。
点的复合运动
22
——基本概念 “一点两系三运动”
• 例5：
工 程 力 学
动点： 顶杆的尖点A 定系： 机架
动系： 凸轮 绝对运动：
A在y方向上的直线运动 牵连运动：凸轮的平动
相对运动： A绕O'点的圆周运动
思考：如果动点取凸轮上的点A，该怎么分析？
23
——速度合成定理
刚体（用刚体上在定系中运动的曲线表示）
工
6
——基本概念
运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。同一物体 的运动在不同的参考系中是不一样的。
点的复合运动理论研究点相对不同参考坐标系的运动
工 之间的关系. 程 力 学
7
——基本概念 “一点两系三运动”
动点
所研究的点
动系
工
程
通常将固连在相对于地球运动的参考体上的坐标系
力 称为动参考系，简称动系。
学
定系
通常将固定在地球上的坐标系称为定参考系，简称定系。
注意:三个对象应分别属于三个物体.
8
——基本概念 “一点两系三运动”
绝对运动 动点相对定系的运动 相对运动 动点相对动系的运动
点的运动
工 程
牵连运动
动系相对定系的运动
力
学
动点：点P
定系：地面
刚体的运动
动系：小车
绝对运动：旋轮线
相对运动：圆周运动
ve
工 程 力 学
绝对运动：以O为圆心的圆周运动 相对运动：沿DE的直线运动 牵连运动：T形杆的水平平动
2. 速度分析
根据速度合成定理，作出速度平行四边形得到
va r ω 10 20 200cm/s
ve va sin
0 vT 0
——基本概念 “一点两系三运动”
• 例5：
工 程 力 学
动点： 顶杆的尖点A 定系： 机架
动系： 凸轮 绝对运动：
A在y方向上的直线运动 牵连运动：凸轮的平动
相对运动： A绕O'点的圆周运动
思考：如果动点取凸轮上的点A，该怎么分析？
23
——速度合成定理
刚体（用刚体上在定系中运动的曲线表示）
工
6
——基本概念
运动是绝对的，但运动的描述则是相对的。同一物体 的运动在不同的参考系中是不一样的。
点的复合运动理论研究点相对不同参考坐标系的运动
工 之间的关系. 程 力 学
7
——基本概念 “一点两系三运动”
动点
所研究的点
动系
工
程
通常将固连在相对于地球运动的参考体上的坐标系
力 称为动参考系，简称动系。
学
定系
通常将固定在地球上的坐标系称为定参考系，简称定系。
注意:三个对象应分别属于三个物体.
8
——基本概念 “一点两系三运动”
绝对运动 动点相对定系的运动 相对运动 动点相对动系的运动
点的运动
工 程
牵连运动
动系相对定系的运动
力
学
动点：点P
定系：地面
刚体的运动
动系：小车
绝对运动：旋轮线
相对运动：圆周运动
ve
工 程 力 学
绝对运动：以O为圆心的圆周运动 相对运动：沿DE的直线运动 牵连运动：T形杆的水平平动
2. 速度分析
根据速度合成定理，作出速度平行四边形得到
va r ω 10 20 200cm/s
ve va sin
0 vT 0
理论力学PPT课件第3章 点的复合运动2
2020年2月10日
13
2020年2月10日
例 用铣刀切削工件的直径 端面，刀尖M 沿水平轴x作 往复运动，如图所示。设 Oxy为定坐标系，刀尖的运 动方程为x=bsinωt。工件以 匀角速度ω逆时针转向转动。 求铣刀在工件圆端面上切 出的痕迹。
14
y'
y
x'
M
O
C
ωt
x
解: 1. 选择动点，建立动系 动点－刀尖上的M点。
题型：两物体接触有固 定的联结件，取为动点， 其相对轨迹简明。
2020年2月10日
45
2020年2月10日
46
2020年2月10日
47
2020年2月10日
48
2020年2月10日
49
曲柄滑杆机构,已知: OA＝l , φ= 45o 时, ω,α 求：小车的速度与加速度．
2020年2月10日
牵连点的特征: 运动的、变化的, 不同瞬时有不同的 牵连点, 故有不同的牵连速度和加速度.
牵连点的特征的例子—喷水管
2020年2月10日
12
动点
绝
相
对 运 动
aa va
对
vr 运 ar 动
定系
ve ae
.牵连点
动系
牵连运动
速度和加速度分析的任务：确定运动量方位（如同受力分析） 关键：弄清动点的绝对轨迹、相对轨迹和牵连点的(绝对)轨迹
32
选择方法二
动系
动点
2020年2月10日
33
动点动系反取
2020年2月10日
34
2020年2月10日
35
2020年2月10日
36
例1：已知R、v, 30,OA R,求aBA, aAB ?
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点的合成运动的几个基本概念
三种运动与三种速度和加速度
分析3种运动时需要注意的几个问题
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1. 动点的绝对运动和相对运动都是指点的运动，它可 能作直线运动或曲线运动；而牵连运动则是指动系的运动， 实际上也就是与之相连的参考体－刚体的运动，牵连运动 可能是平移、转动或其它较复杂的运动；
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点的速度合成定理
例 题
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y´
例 题 1
解：1. 运动分析
x´ 动点：CD上的C点； 动系：固连于AB杆。
绝对运动：上下直线运动； 相对运动：沿AB直线运动； 牵连运动：铅垂平面内曲线平移。
点的速度合成定理
例 题
va 3ve 0.173m / s
此外，还可求得vr=2 ve=0.2m/s
第14章 点的复合运动
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牵连运动为平移时点的 加速度合成定理
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牵连运动为平移时点的加速度合成定理
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点的合成运动中，加速度之间的关系比较复杂 ，因此，我们由简单到复杂，先分析动系作平移的 情形。即先研究牵连运动为平动时的加速度合成定 理，然后再介绍牵连运动为转动时的加速度合成定 理。
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点的速度合成定理
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点的速度合成定理
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动系与定系 三种运动轨迹 速度合成定理 关于速度合成定理的讨论 例题
点的速度合成定理
动系与定系
刚体（用刚体上在定系中运动的曲线表示） z
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第14章 点的复合运动
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点的合成运动的 几个基本概念
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点的合成运动的几个基本概念
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两种参考系 三种运动与三种速度和加速度
点的合成运动的几个基本概念
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两种参考系
点的合成运动的几个基本概念
三种运动与三种速度和加速度
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动系相对于定系的运动， 称 为 牵 连 运 动 （ convected motion ）。图中，牵连运动为 绕Oy ' 轴的定轴转动。
点的合成运动的几个基本概念
三种运动与三种速度和加速度
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点的速度合成定理
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例 题
点的速度合成定理
例 题
例 题 1
铰接四边形
O1A=O2B=100mm， O1O2=AB， 杆O1A以等角速度 ω=2rad/s绕轴 O1转动。 AB杆上有一套筒C，此 套筒与杆CD相铰接，机构的各部 件都在同一铅垂平面内。 试求:当 =60°时，CD杆的 速度。
点的速度合成定理
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关于速度合成定理的讨论
点的速度合成定理
关于速度合成定理的讨论
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牵连运动与牵连速度－牵连运动是刚体(动 系)的运动；牵连速度是刚体上一点(与动系相重 合的点)的速度。
速度合成定理为平面矢量式，由此可以写出 两个分量式，用于求解两个未知量。
利用点的速度合成定理
y
z
x
y x O t 瞬时
t+t 瞬时
点的速度合成定理
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三种运动轨迹
速度合成定理
三种运动轨迹
刚体在定系中运动，动系固结在刚体上。
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动点P沿着刚体上的曲线运动。 P1点－动系上与动点重合的点。
z z x
2. 牵连速度（加速度）是指牵连点的（绝对）速度（加 速度），而牵连运动是指动参考体－刚体的运动。这在概 念上是不同的，二者的联系是牵连点是动参考体上与动点 的瞬时重合点； 3. 分析这三种运动时，必须明确：以哪一物体作为 参考系。
点的合成运动的几个基本概念
三种运动与三种速度和加速度
分析3种运动的实例
工程力学
工程力学
第三篇 运动学与动力学
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第14章 点的复合运动
第14章 点的复合运动
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由于运动的相对性，在不同的参考系中，对于同一动点， 其运动方程、速度和加速度是不相同的。许多力学问题中，常 常需要研究一点在不同参考系中的运动量(速度和加速度)的相 互关系。 本章将用定、动两种参考系，描述同一动点的运动；分析 两种结果之间的相互关系，建立点的速度合成定理和加速度合 成定理。
y´
例 题 1
x´
解：2. 速度分析
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va =ve+ vr
ve=vA=O1A× =0.2m/s, ve垂直O1A；
vr 方向沿BA； va方向铅垂向上。式中只有vr 、va两者大 小未知，由平行四边形法则求得：
vCD=va=vecos=0.1m/s ,
方向如图中所示。
点的合成运动的几个基本概念
两种参考系
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一般工程问题中，通常将固连在地球或相对 地球不动的架构上的坐标系，称为定参考系（fixed reference system ） , 简称定系，以坐标系 Oxyz 表示； 固定在其它相对于地球运动的参考体上的坐标系称 为动参考系（moving reference system），简称动 系，以坐标系O'x'y'z'表示。
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范钦珊教育教学工作室
FAN Qin-Shans Education & Teaching Studio
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清华大学 范钦珊
范钦珊教育与教学工作室
工程力学
课堂教学软件(14)
2016年9月6日
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第三篇 运动学与动力学
点的合成运动的几个基本概念
三种运动与三种速度和加速度
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动点相对于动系的运动，称为 动点的相对运动（relativemotion）。 动点刀尖上P点的相对运动是在工件 圆柱面上的螺旋线（相对轨迹）运 动。 动点相对于动系的运动速度和 加速度，分别称为动点的相对速度 （relative velocity）和相对加速度 （relative acceleration），分别用符 号vr和ar表示。
解：
1．运动分析 动点：小环P； 动系：固连于OBC；
绝对运动：沿OA固定直线； 相对运动：沿BC杆直线； 牵连运动：绕O定轴转动。
点的速度合成定理
例 题
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例题2
x´
解 :2. 速度分析
va =ve+ vr
y´
vr va
ve
其中 va、ve、vr方向如图； ve =OP=0.2×0.5=0.1m/s；于是式 中只有va、vr二者大小未知。从 而由速度平行四边形解得小环P 的速度
点的速度合成定理
பைடு நூலகம்
例 题
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y´
例 题 1
解：3. 讨论
x´ 如果vr的方向假设与图示方向相反
，则无法用平行四边形法则确定va 。 这时，需向与未知矢量vr垂直方向投 影，以确定va 。这种方法称为矢量投 影法。
采用矢量投影法求解速度合成定理的矢量方程，是最一般的 方法，这时速度的方向即使假设错了，也能求得到正确的解答。
r1
r1 r r lim lim lim t 0 t t 0 t t 0 t
va vr ve
点的速度合成定理
速度合成定理
va vr ve
绝对速度 相对速度 牵连速度
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此即为速度合成定理（ theorem for composition of velocities），即动点的绝对速度等于其牵连速度与相对 速度的矢量和。 由于没有对绝对运动和相对运动轨迹形状作任何限 制，也没有对牵连运动为何种刚体运动作限制，因此 本定理对各种运动都是适用的。
牵连运动为平移时点的加速度合成定理
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设O´x´y´z´为平移参考系，由于 x´、y´、z´各轴方向不变，可使与 定坐标轴x、y、z分别平行。
如果动点M相对于动系的相对坐标为 x´、y´、z´，由于 i´、 j´、k´ 为平移动坐标轴的单位常矢量，则点M的相对速度和相 对加速度为
动系上每一瞬时与动点相重合 的那一点，称为瞬时重合点,又称为 牵连点。由于动点相对于动系是运 动的，因此，在不同的瞬时，牵连 点是动系上的不同点。 动系上牵连点相对定系的运动 速度和加速度，分别称为为动点的 牵连速度（convected velocity）和 牵连加速（convectedacceleration）， 分别用符号ve和ae表示。
i y j z k vr x
i j k ar x y z
牵连运动为平移时点的加速度合成定理
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i y j z k vr x
i j k ar x y z