高一数学教案：苏教版高一数学向量的数量积2

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苏教版数学高一2.4《向量的数量积》学案(1)

2.4《向量的数量积》学案（1）一、学习目标：1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解数量积的几何意义，掌握平面向量数量积的运算性质；2．通过知识发生、发展过程的教学，使学生感受和领悟“数学化”过程及思想；3．通过师生互动，自主探究，交流与学习，培养学生探求新知识及合作交流的学习品质．二、学习重点：向量数量积的含义及其物理意义、几何意义；三、学习难点：向量数量积的含义、数量积的性质．四、学习方法：引导发现、合作探究．五、学习过程：一、问题情境问题1向量的运算有向量的加法、减法、数乘，那么向量与向量能否“相乘” 呢？二、学生活动（1）若力的方向与物体的运动方向相同：（2）若力F的方向与物体的位移S存在夹角θ（3）把“做功运算”一般化成什么样的数学运算？三、建构数学1．向量夹角．已知两个向量a 和b ，作−→−OA =a ，−→−OB =b ，则AOB θ∠=（0180θ≤≤）叫做向量a 与b 的夹角．当0θ=时，a 与b 同向；当180θ=时，a 与b 反向；当90θ=时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．2．向量数量积的定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积，记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数量，不是向量，这个数量的大小与两个向量的长度及其夹角有关，符号由cos θ的符号所决定；实数与向量的积是一个向量；②两个向量的数量积称为内积，写成a b ⋅；今后要学到两个向量的外积a ×b ，书写时要严格区分．符号“·”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替；③零向量与任一向量的数量积是0；④在实数中，若a ≠0，且0=⋅b a ，则0=b ；但是在数量积中，若a ≠0，且a b ⋅=0，不能推出b =0，因为其中cos θ有可能为0；3．数量积的性质：设a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则 ①cos ||||a b a b θ⋅=；（|a ||b |≠0） ②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-；特别地：2||a a a ⋅=或||a a a =⋅；③||||||a b a b ⋅≤；④a b ⊥0a b ⇔⋅=；（a ≠0，b ≠0）4．数量积的几何意义．（1）投影的概念：如图，−→−OA =a ，过点B 作1BB 垂直于直线OA ，垂足为1B ，则1||cos OB b θ=．我们把||cos b θ（│a │cos θ）叫做向量b 在a 方向上（a 在b 方向上）的投影，当θ为锐角时射影为正值；当θ为钝角时射影为负值；当θ为直角时射影为0；当θ = 0︒时射影为||b ；当θ= 180︒时射影为||b -．（2）提出问题：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积a b ⋅等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |αcos 的乘积．四、数学运用1．例题．例1 已知向量a 与向量b 的夹角为θ，|a |＝2，|b |＝3，分别在下列条件下求a b ⋅：（1）0135=θ；（2）a ∥b ；（3）a ⊥b ．例2、已知4,8a b ==。

向量的数量积教学设计-苏教版高中数学必修第二册

第九章平面向量第9.2.2节向量的数量积与数学中的概念一样，数学对象的运算也是一种数学模型，它也有一个建构的过程，它同样是从原型中抽象出来的．如向量的加法就是从位移的积累，从分力和合力的关系中抽象出来的．特别地，向量的数量积是以作功为原型抽象出来的．教学中要特别重视向量的运算．运算是向量的核心内容，要根据现实的原型，自觉地“构造”运算．虽然学生对运算并不陌生，但是，在此之前他们接触的运算只有数的运算、字母(式)的运算(还有集合的运算)．现在要学习向量的运算，这对于运算的理解有一个突破．要多注意和数的运算进行类比，这样既可以有效地利用有关数的运算的经验，而且可以发展对运算的认识．课程目标学科素养1.通过物理中功等实例，理解平面向量数量积的概念及其几何意义.2.掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.3.会利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.a数学抽象: 通过理解平面向量数量积的物理背景，学习向量的夹角及数量积的概念.b数学运算: 利用向量数量积的有关运算律进行计算或证明.1.教学重点：掌握平面向量数量积的运算律及常用的公式.2.教学难点：理解平面向量数量积的概念及其几何意义.多媒体调试、讲义分发。

如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力F与位移s的夹角为θ，那么力F所做的功W＝|F||s|cos θ. 功是一个标量，它由力和位移两个向量所确定，数学上，我们把“功”称为向量F与s的“数量积”.一般地，对于非零向量a与b的数量积是指什么呢？问题情景中涉及F与s的夹角.你能结合平面内角的定义及向量的概念给向量夹角下定义吗？两向量夹角的范围是怎样的呢？1.向量的夹角(1)定义：已知两个非零向量a ，b ，O 是平面上的任意一点，作向量OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角.(2)显然，当θ＝0时，a 与b 同向；当θ＝π时，a 与b 反向. 如果a 与b 的夹角是π2，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b .2.向量的数量积及其几何意义向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0(1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，我们把数量|a ||b |cos θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ. 规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2)投影如图，设a ，b 是两个非零向量，AB →＝a ，CD →＝b ，我们考虑如下变换：过AB →的起点A 和终点B ，分别作CD →所在直线的垂线，垂足分别为A 1，B 1得到A 1B 1→，我们称上述变换为向量a 向向量b 投影，A 1B 1→叫做向量a 在向量b 上的投影向量. 3.向量数量积的性质设a ，b 是非零向量，它们的夹角是θ，e 是与b 方向相同的单位向量，则 (1)a ·e ＝e ·a ＝|a |cos θ (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a . 在求解向量的模时一般转化为模的平方，但不要忘记开方 (4)|a ·b |≤|a |·|b |.4.平面向量数量积的运算律平面向量数量积的运算律与运算性质与实数的运算律及运算性质类似，可类比记忆类比实数的运算律，判断下表中的平面向量数量积的运算律是否正确.运算律实数乘法向量数量积判断正误交换律ab ＝baa ·b ＝b ·a正确结合律 (ab )c ＝a (bc ) (a ·b )c ＝a (b ·c ) 错误分配律 (a ＋b )c ＝ac ＋bc (a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c 正确消去律 ab ＝bc (b ≠0)⇒a ＝ca ·b ＝b ·c (b ≠0)⇒a ＝c错误题型一求向量的夹角【例1】已知|a |＝|b |＝2，且a 与b 的夹角为60°，则a ＋b 与a 的夹角是多少？a －b 与a 的夹角又是多少？解如图所示，作OA →＝a ，OB →＝b ，且∠AOB ＝60°.以OA →，OB →为邻边作平行四边形OACB ，则OC →＝a ＋b ，BA →＝a －b . 因为|a |＝|b |＝2，所以平行四边形OACB 是菱形，又∠AOB ＝60°，所以OC →与OA →的夹角为30°，BA →与OA →的夹角为60°. 即a ＋b 与a 的夹角是30°，a －b 与a 的夹角是60°.规律方法求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出. 题型二向量数量积的几何意义【例2】已知|a |＝5，|b |＝4，a 与b 的夹角θ＝120°. (1)求a ·b ；(2)求a 在b 上的投影.解 (1)a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×4×cos 120°＝－10； (2)a 在b 上的投影为|a |·cos θ＝a ·b |b |＝－104＝－52.【变式】在例题题设不变的情况下，求b 在a 上的投影. 解 b 在a 上的投影为|b |cos θ＝a ·b |a |＝－105＝－2.题型三求向量的数量积【例3】已知正三角形ABC 的边长为1，求： (1)AB →·AC →；(2)AB →·BC →；(3)BC →·AC →. 解 (1)∵AB →与AC →的夹角为60°. ∴AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.(2)∵AB →与BC →的夹角为120°，∴AB →·BC →＝|AB →||BC →|cos 120°＝1×1×⎝⎛⎭⎫－12＝－12. (3)∵BC →与AC →的夹角为60°，∴BC →·AC →＝|BC →||AC →|cos 60°＝1×1×12＝12.规律方法求平面向量数量积的两个方法(1)定义法：若已知向量的模及其夹角，则直接利用公式a ·b ＝|a ||b |cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.(2)几何意义法：若已知一向量的模及另一向量在该向量方向上的投影，可利用数量积的几何意义求a ·b .题型四向量数量积的运算性质【例4】对于任意向量a ，b ，c ，下列说法中正确的是( ) A.|a ·b |＝|a ||b | B.|a ＋b |＝|a |＋|b | C.(a ·b )c ＝a (b ·c )D.|a |＝a 2解析因为a ·b ＝|a ||b |cos θ，所以|a ·b |≤|a ||b |，所以A 错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a ＋b |≤|a |＋|b |，只有当a ，b 同向时取“＝”，所以B 错误；因为(a ·b )c 是向量，其方向与向量c 相同，a (b ·c )是向量，其方向与向量a 的方向相同，所以C 错误；因为a ·a ＝|a ||a |cos 0＝|a |2，所以|a |＝a 2，所以D 正确. 答案 D题型五求向量的模与夹角【例5】 (1)已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角θ为π3.求|a ＋b |，|a －b |.解 a ·b ＝|a ||b |cos θ＝5×5×12＝252.|a ＋b |＝（a ＋b ）2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2 ＝25＋2×252＋25＝5 3.|a －b |＝（a －b ）2＝|a |2－2a ·b ＋|b |2 ＝25－2×252＋25＝5.(2)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1及|3a －2b |＝7，则a ，b 的夹角为( )A.π3B.π6C.π4D.2π3解析设a 与b 的夹角为θ，由题意得(3a －2b )2＝7， ∴9|a |2＋4|b |2－12a ·b ＝7，又|a |＝|b |＝1，∴a ·b ＝12，∴|a ||b |cos θ＝12，即cos θ＝12.又θ∈[0，π]，∴a ，b 的夹角为π3.答案 A规律方法求向量夹角的基本步骤及注意事项 1、步骤：2、求向量的模的常见思路及方法(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量的数量积联系，并灵活应用a 2＝|a |2，勿忘记开方. (2)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化.1.在等腰直角三角形ABC 中，若∠C ＝90°，AC ＝2，则BA →·BC →的值等于( ) A.－2B.2C.－2 2D.22解析 BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos ∠ABC ＝2×2×cos 45°＝2. 答案 B2.已知|a |＝8，|b |＝4，a 与b 的夹角为120°，则向量b 在a 方向上的投影为( ) A.4B.－4C.2D.－2解析向量b 在a 方向上的投影为 |b |cos θ＝4×cos 120°＝－2. 答案 D3.已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 之间的夹角为60°，那么向量a －4b 的模为( )A.2B.2 3C.6D.12解析 ∵|a －4b |2＝a 2－8a ·b ＋16b 2 ＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12， ∴|a －4b |＝2 3. 答案 B4.已知|a |＝1，|b |＝2，且(a ＋b )与a 垂直，则a 与b 的夹角是________. 解析 ∵(a ＋b )·a ＝a 2＋a ·b ＝0， ∴a ·b ＝－a 2＝－1，设a 与b 的夹角为θ， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－11×2＝－22，又θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.答案3π41.通过平面向量数量积的概念及其几何意义提升数学抽象素养.通过计算平面向量的数量积培养数学运算素养.2.两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆.。

苏教版数学高一数学苏教版必修4教学案2.4向量的数量积

第1课时向量数量积的概念及运算律问题：一个物体在力F的作用下位移为s，则力F所做功W＝|F||s|cos θ，θ为F和位移s的夹角，试想功W是力F和位移s的乘积吗？提示：不是．1．数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则把数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.2．规定零向量与任一向量的数量积为0.如图，△ABC为等边三角形．问题1：向量AB与向量AC的夹角的大小是多少？提示：60°.问题2：向量AB与向量BC的夹角的大小是多少？提示：120°.两非零向量的夹角(1)定义：对于两非零向量a和b，作OA＝a，OB＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b 的夹角．(2)范围：0≤θ≤180°.(3)当θ＝0°时，a与b同向．当θ＝180°时，a与b反向．当θ＝90°时，则称a与b垂直，记作a⊥b.已知向量a和b都是非零向量，θ为a与b的夹角．问题1：若θ＝90°，求a·b；若a·b＝0，求θ.提示：若θ＝90°，则a·b＝|a|·|b|cos 90°＝0；若a·b＝0，则|a|·|b|cos θ＝0，∴cos θ＝0.又∵0°≤θ≤180°，∴θ＝90°.问题2：若θ＝0°，求a·b；若θ＝180°，求a·b.提示：若θ＝0°，则a·b＝|a|·|b|cos 0°＝|a|·|b|；若θ＝180°，则a·b＝|a|·|b|cos 180°＝－|a|·|b|.1．两个向量的数量积(1)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；(2)当a与b反向时，a·b＝－|a||b|；(3)a·a＝|a|2或|a|＝a·a.2．数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝a(λb)＝λ(a·b)＝λa·b；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.1．两个向量的数量积是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度及其夹角都有关，符号由夹角的余弦值的符号决定．2．向量数量积的几何意义，是一个向量的长度乘以另一向量在该向量方向上的投影值．这个投影值可正可负也可以为零，向量的数量积的结果是一个实数．3．数量积的运算只适合交换律，加乘分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)，这是因为a·b，b·c都是实数，(a·b)·c与向量c方向相同或相反．a·(b·c)与向量a方向相同或相反，而a与c不一定共线，就是a与c共线，(a·b)·c与a·(b·c)也不一定相等．[例1] 已知正方形ABCD 的边长为2，分别求：(1)AB ·CD ；(2)AB ·AD ；(3)DA ·AC . [思路点拨] 求数量积时，利用定义要注意两个向量的夹角大小和实际图形联系起来． [精解详析] (1)∵AB ，CD 的夹角为π，∴AB ·CD ＝|AB ||CD |cos π＝2×2×(－1)＝－4. (2)∵AB ，AD 的夹角为π2，∴AB ·AD ＝|AB ||AD |cos π2＝2×2×0＝0.(或∵AB ，AD 的夹角为π2，∴AB ⊥AD ，故AB ·AD ＝0)(3)∵DA ，AC 的夹角为3π4，∴DA ·AC ＝|DA ||AC |cos3π4＝2×22×⎝⎛⎭⎫－22＝－4. [一点通] 求平面向量的数量积时，常用到以下结论： (1)a 2＝|a |2；(2)(x a ＋y b )(m c ＋n d )＝xm a ·c ＋xn a ·d ＋ym b ·c ＋yn b ·d ，其中x ，y ，m ，n ∈R ，类似于多项式的乘法法则；(3)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2；(4)(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b ＋2b ·c ＋2a ·c .1．若|a |＝4，|b |＝6，a 与b 的夹角为135°，则a ·(－b )＝________. 解析：a ·(－b )＝－a ·b ＝－|a ||b |cos 135° ＝－4×6×cos 135°＝12 2. 答案：12 22．设正三角形ABC 的边长为2，AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，则a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝________.解析：a ·b ＋b ·c ＋c ·a ＝2·2cos 120°＋2·2·cos 120°＋2·2cos 120°＝－3.答案：－33．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，BC ＝10，求AB ·AC 的值．解：∵2AM ＝AB ＋AC ，BC ＝AC －AB ， ∴(2AM )2＝(AB ＋AC )2，BC 2＝(AC －AB )2， ∴4AB ·AC ＝4AM 2－BC 2＝－64， ∴AB ·AC ＝－16，[例2] 已知向量OA ＝a ，OB ＝b ，∠AOB ＝60°，且|a |＝|b |＝4.求|a ＋b |，|a －b |，|3a ＋b |.[思路点拨] 根据已知条件将向量的模利用|a |＝a ·a 转化为数量积的运算求解． [精解详析] ∵a ·b ＝|a |·|b |cos ∠AOB ＝4×4×12＝8，∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2 ＝16＋16＋16＝43， |a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝16－16＋16＝4，|3a ＋b |＝(3a ＋b )2＝9a 2＋6a ·b ＋b 2 ＝9×16＋48＋16＝413.[一点通] 关系式a 2＝|a |2可使向量的长度与向量数量积互相转化，利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法，特别注意不要忘记开方．4．已知向量a ，b 夹角为45°，且|a |＝1，|2a －b |＝10，则|b |＝________.解析：依题意，可知|2a －b |2＝4|a |2－4a ·b ＋|b |2＝4－4|a ||b |·cos 45°＋|b |2＝4－22|b |＋|b |2＝10，即|b |2－22|b |－6＝0，∴|b |＝22＋322＝32(负值舍去)．答案：3 25．已知向量a 、b 满足|a |＝2，|b |＝3，|a ＋b |＝4，则a －b |＝________. 解析：由|a ＋b |＝4，得|a ＋b |2＝42∴a 2＋2a ·b ＋b 2＝16.①∵|a |＝2，|b |＝3，∴a 2＝|a |2＝4，b 2＝|b |2＝9，代入①式得4＋2a ·b ＋9＝16，即2a ·b ＝3.(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝4－3＋9＝10， ∴|a －b |＝10. 答案：106．已知|a |＝2，|b |＝4，a ，b 的夹角为π3，以a ，b 为邻边作平行四边形，求平行四边形的两条对角线中较短一条的长度．解：∵平行四边形的两条对角线中较短一条的长度为|a －b |， ∴|a －b |＝(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝4－2×2×4×cos π3＋16＝2 3.[例3] 已知a ，b 是非零向量，且(a －2b )⊥a ，b ⊥(b －2a )，求a 与b 的夹角． [思路点拨] 根据向量的数量积公式变形为cos θ＝a ·b|a ||b |，从而可求θ.[精解详析] ∵(a －2b )⊥a ，b ⊥(b －2a )，∴⎩⎪⎨⎪⎧(a －2b )·a ＝0，b ·(b －2a )＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|a |2＝2a ·b ，|b |2＝2a ·b ，∴|a |＝|b |. 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝a ·b |a |2＝12|a |2|a |2＝12.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π3.[一点通] 向量的数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ不仅可以用来求数量积，也可以用来求模与夹角，即cos θ＝a ·b |a ||b |.在根据已知三角函数值求角时，要注意角的范围的确定．此外，要注意若两非零向量a ，b 的夹角为锐角⇔a ·b >0且a ·b ≠|a ||b |；两非零向量a ，b 的夹角为钝角⇔a ·b <0且a ·b ≠－|a ||b |.7．已知|a |＝1，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则向量a 与向量b 的夹角为________．解析：由条件得a ·b －|a |2＝2，设a 与b 的夹角为α，则a ·b ＝2＋|a |2＝3＝|a ||b |cos α＝1×6×cos α.所以cos α＝12，所以α＝π3.答案：π38．已知非零向量a ，b ，满足a ⊥b ，且a ＋2b 与a －2b 的夹角为120°，则|a ||b |＝________.解析：(a ＋2b )·(a －2b )＝a 2－4b 2，∵a ⊥b ， ∴|a ＋2b |＝a 2＋4b 2，|a －2b |＝a 2＋4b 2. ∴cos 120°＝(a ＋2b )·(a －2b )|a ＋2b ||a －2b |＝a 2－4b 2(a 2＋4b 2)2＝a 2－4b 2a 2＋4b 2＝－12.∴a 2b 2＝43.∴|a ||b |＝233. 答案：2339．已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，求向量a ＝e 1＋e 2，b ＝e 2－2e 1的夹角．解：设a ，b 的夹角为θ，∵单位向量e 1，e 2的夹角为60°， ∴e 1·e 2＝|e 1||e 2|cos 60°＝12.∴a ·b ＝(e 1＋e 2)·(e 2－2e 1)＝e 1·e 2＋e 22－2e 21－2e 1·e 2 ＝e 22－2e 21－e 1·e 2＝1－2－12＝－32， |a |＝a 2＝(e 1＋e 2)2＝e 21＋e 22＋2e 1·e 2 ＝1＋1＋1＝3， |b |＝b 2＝(e 2－2e 1)2＝e 22－4e 1·e 2＋4e 21＝＝ 3.∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－323·3＝－12.∵θ∈[0，π]，∴θ＝2π3.1．向量数量积的性质及作用设a 和b 是非零向量，a 与b 的夹角为θ.(1)a ⊥b ⇔a ·b ＝0，此性质可用来证明向量垂直或由向量垂直推出等量关系．(2)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |，当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |，即当a 与b 共线时，|a ·b |＝|a ||b |，此性质可用来证明向量共线．(3)a ·a ＝a 2＝|a |2或|a |＝a 2，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．(4)cos θ＝a ·b |a ||b |，此性质可求a 与b 的夹角．2．求向量夹角的一般步骤 (1)求两向量的模； (2)计算两向量的数量积； (3)计算夹角的余弦值；(4)结合夹角的范围[0，π]确定所求的夹角．课下能力提升(二十)一、填空题1．若|a |＝2，|b |＝12，a 与b 的夹角为60°，则a ·b 等于________．解析：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2×12×12＝12.答案：122．已知△ABC 是等腰直角三角形，C ＝90°，AB ＝22，则AB ·BC 等于________．解析：由题意知|BC |＝22×22＝2. ∴AB ·BC ＝|AB |·|BC |cos 135°＝22×2×⎝⎛⎭⎫－22＝－4. 答案：－43．设n 和m 是两个单位向量，其夹角是60°，则向量a ＝2m ＋n 与b ＝2n －3m 的夹角为________．解析：设a ，b 的夹角为θ.因为|m |＝1，|n |＝1，m ，n 夹角为60°，所以m ·n ＝12.所以|a |＝(2m ＋n )2＝4m 2＋4m ·n ＋n 2＝7， |b |＝(2n －3m )2＝4n 2－12m ·n ＋9m 2＝7， a ·b ＝(2m ＋n )·(2n －3m )＝m ·n －6m 2＋2n 2＝－72.所以cos θ＝a ·b |a ||b |＝－12.又因为0°≤θ≤180°，所以θ＝120°，即a ，b 的夹角为120°. 答案：120°4．已知向量a ，b 满足(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，则a 与b 的夹角为________．解析：设a 与b 的夹角为θ，由于(a ＋2b )·(a －b )＝－6，且|a |＝1，|b |＝2，所以a 2＋a ·b －2b 2＝－6，即12＋1×2cos θ－2×22＝－6，化简得cos θ＝12，又∵θ∈[0°，180°]， ∴θ＝60°. 答案：60°5．在边长为1的正三角形ABC 中，设BC ＝2BD ，CA ＝3CE ，则AD ·BE ＝________.解析：如图所示，∵BC ＝2BD ， ∴D 是BC 的中点． ∴AD ＝12(AB ＋AC )．∵CA ＝3CE ，∴BE ＝BA ＋AE ＝－AB ＋23AC .∴AD ·BE ＝12(AB ＋AC )·⎝⎛⎭⎫－AB ＋23 AC＝12⎝⎛⎭⎫－AB 2－13 AB ·AC ＋23 AC 2 ＝12⎝⎛⎭⎫－1－13×1×1×cos 60°＋23×1 ＝－14.答案：－14二、解答题6．已知|a |＝4，|b |＝5，当(1)a ∥b ；(2)a ⊥b ；(3)a 与b 的夹角为60°；(4)a 与b 的夹角为150°时．分别求a 与b 的数量积．解：令a 与b 的夹角为θ.(1)因为a ∥b ，则当a 与b 同向时，θ＝0°， a ·b ＝|a ||b |cos 0°＝20；当a 与b 反向时，θ＝180°， a ·b ＝|a ||b |cos 180°＝－20.(2)当a ⊥b 时，θ＝90°，a ·b ＝|a ||b |cos 90°＝0. (3)当θ＝60°时，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝4×5×12＝10.7．已知|a |＝1，a ·b ＝12，(a －b )·(a ＋b )＝12.(1)求a 与b 的夹角为θ； (2)求|a ＋b |.解：(1)∵(a －b )·(a ＋b )＝a 2－b 2＝12，|a |＝1，∴b 2＝a 2－12＝1－12＝12，∴|b |＝22.∴cos θ＝a ·b|a ||b |＝121×22＝22，又θ∈[0，π]， ∴θ＝π4.故a 与b 的夹角为π4.(2)|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝102. 8．已知|a |＝5，|b |＝12，当且仅当m 为何值时，向量a ＋m b 与a －m b 互相垂直？解：若向量a ＋m b 与a －m b 互相垂直，则有(a ＋m b )·(a －m b )＝0. ∴a 2－m 2b 2＝0.∵|a |＝5，|b |＝12，∴a 2＝25，b 2＝144.∴25－144m 2＝0.∴m ＝±512.∴当且仅当m ＝±512时，向量a ＋m b 与a －m b 互相垂直．第2课时平面向量数量积的坐标表示已知两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)．问题1：你认为a ·b ＝(x 1x 2，y 1y 2)对吗？为什么？提示：不对．因为两个向量的数量积a ·b 是一个实数，而不是一个向量．问题2：如何用坐标表示a ·b 呢？提示：a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.平面向量数量积的坐标表示若两个向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.由前面的学习，我们知道，|a |＝a ·a ；cos θ＝a ·b|a |·|b |(θ为非零向量a ，b 的夹角)；a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(其中a ，b 为非零向量)问题1：你能用坐标求|a |，cos θ的值吗？提示：能．问题2：你能用坐标表示两向量垂直的条件吗？提示：能．1．向量的模若a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2. 2．向量的夹角设两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝x1x2＋y1y2x21＋y21x22＋y22.3．两向量垂直的条件两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若a⊥b，则x1x2＋y1y2＝0.反之，若x1x2＋y1y2＝0，则a⊥b.1．两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，该公式可简记为：“对应相乘来求和．”2．两个向量垂直的等价条件是它们的相应坐标乘积的和为0.公式x1x2＋y1y2＝0是判定两个非零向量垂直的非常好用的条件．[例1](1)已知向量a＝(－1,2)，b＝(3,2)，求a·b和a·(a－b)．(2)若a＝(2，－3)，b＝(x,2x)，且a·b＝4，求x的值．[思路点拨]直接利用平面向量数量积的坐标表示求解即可．[精解详析](1)a·b＝(－1,2)·(3,2)＝(－1)×3＋2×2＝1，a·(a－b)＝(－1,2)·[(－1,2)－(3,2)]＝(－1,2)·(－4,0)＝4.(2)∵a·b＝(2，－3)·(x,2x)＝2x－6x＝4，∴x＝－1.[一点通]进行平面向量数量积的运算，前提是牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两种途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再依据已知计算．1．a＝(1,3)，b＝(－2，－1)，则(3a＋2b)·(2a＋5b)的值为________．解析：∵a＝(1,3)，b＝(－2，－1)，∴3a ＋2b ＝(3,9)＋(－4，－2)＝(－1,7)， 2a ＋5b ＝(2,6)＋(－10，－5)＝(－8,1)，∴(3a ＋2b )·(2a ＋5b )＝(－1,7)·(－8,1)＝8＋7＝15. 答案：152．已知a ＝(3，－1)，b ＝(1,2)，若x ·a ＝9，x ·b ＝－4，则向量x 的坐标为__________．解析：设x ＝(t ，s )，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ·a ＝9，x ·b ＝－4得⎩⎪⎨⎪⎧3t －s ＝9，t ＋2s ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧t ＝2，s ＝－3.∴x ＝(2，－3)．答案：(2，－3)3．已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10，求： (1)向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(a ·c )·b . 解：(1)∵a 与b 同向，且b ＝(1,2)， ∴a ＝λb ＝(λ，2λ)(λ>0)．又∵a ·b ＝10，∴λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)． (2)∵a ·c ＝2×2＋(－1)×4＝0， ∴(a ·c )·b ＝0·b ＝0.[例2] 已知A (16,12)、B (－5,15)，O 为坐标原点，求∠OAB 的大小．[思路点拨] 求∠OAB 的大小转化为求向量AO 与AB 的夹角的大小，所以需要求AO 与AB 二者的坐标，进而求得模的大小和数量积，代入夹角公式求解即可．[精解详析] 由已知得到：AO ＝－OA ＝－(16,12)＝(－16，－12)，AB ＝OB －OA ＝(－5,15)－(16,12)＝(－21,3)，∴|AO |＝(－16)2＋(－12)2＝20， |AB |＝(－21)2＋32＝152，AO ·AB ＝(－16，－12)·(－21,3)＝(－16)×(－21)＋(－12)×3＝300，cos ∠OAB ＝AO ·AB | AO ||AB |＝30020×152＝22，∵0°≤∠OAB ≤180°，∴∠OAB ＝45°.[一点通] 根据向量的坐标表示求a 与b 的夹角时，需要先求出a ·b 及|a ||b |，再由夹角的余弦值确定θ.其中，当a ·b >0时，a 与b 的夹角θ∈[0，π2)；当a ·b <0时，a 与b 的夹角θ∈(π2，π]；当a ·b ＝0，a 与b 的夹角为直角．4．已知a ＝(3,0)，b ＝(－5,5)，则a 与b 的夹角为________．解析：a ·b ＝－15，|a |＝3，|b |＝52， ∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－153×52＝－22，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.答案：3π45．已知a ＝(－2,2)，b ＝(1，y )，若a 与b 的夹角α为钝角，求y 的取值范围．解：由a ·b <0得－2×1＋2y <0，∴y <1，又设a ＝λb ，λ<0，则(－2,2)＝λ(1，y )＝(λ，λy )， ∴λ＝－2且λy ＝2，∴y ＝－1， ∴y ∈(－∞，－1)∪(－1,1).[例3] 已知三点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)． (1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度． [思路点拨] (1)求出AB ，AD 的坐标，计算得到二者数量积为0即可；(2)由(1)知四边形ABCD 为矩形，只需AB ＝DC ，利用相等向量坐标对应相等建立方程求出点C 的坐标，最后利用长度公式求对角线长度．[精解详析] (1)证明：∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)， ∴AB ＝(1,1)，AD ＝(－3,3)．则AB ·AD ＝1×(－3)＋1×3＝0， ∴AB ⊥AD ，即AB ⊥AD .(2)∵AB ⊥AD ，四边形ABCD 为矩形，∴AB ＝DC . 设C 点的坐标为(x ，y )，则DC ＝(x ＋1，y －4)，从而有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5，∴C 点的坐标为(0,5)．∵BD ＝(－4,2)，∴|BD |＝25，即矩形ABCD 的对角线的长度为2 5. [一点通](1)向量的数量积是否为零，是判断相应的两条线段或直线是否垂直的重要方法． (2)已知向量垂直求参数问题，即由向量的数量积为0建立关于参数的方程，求解即可．6．已知a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋λb 与－b 垂直，则λ的值为________．解析：a ＋λb ＝(3,4)＋λ(2，－1)＝(3＋2λ，4－λ)，－b ＝(－2,1)．∵(a ＋λb )⊥(－b )，∴－2(3＋2λ)＋(4－λ)＝0. ∴λ＝－25.答案：－257．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 解析：a ＋c ＝(3,3m )，由(a ＋c )⊥b ，可得(a ＋c )·b ＝0，即3(m ＋1)＋3m ＝0，解得m ＝－12，则a ＝(1，－1)，故|a |＝ 2. 答案： 28．已知在△ABC 中，A (2,4)，B (－1，－2)，C (4,3)，BC 边上的高为AD . (1)求证：AB ⊥AC ；(2)求点D 和向量AD 的坐标； (3)设∠ABC ＝θ，求cos θ.解：(1)证明：AB ＝(－1，－2)－(2,4)＝(－3，－6)，AC ＝(4,3)－(2,4)＝(2，－1)．∵AB ·AC ＝－3×2＋(－1)×(－6)＝0， ∴AB ⊥AC .(2)设D 点的坐标为(x ，y )，则AD ＝(x －2，y －4)，BC ＝(5,5)，∵AD ⊥BC ，∴AD ·BC ＝5(x －2)＋5(y －4)＝0.① 又BD ＝(x ＋1，y ＋2)，而BD 与BC 共线，∴5(x ＋1)－5(y ＋2)＝0.② 联立①②，解得x ＝72，y ＝52，故D 点坐标为⎝⎛⎭⎫72，52，∴AD ＝⎝⎛⎭⎫72－2，52－4＝⎝⎛⎭⎫32，－32. (3)cos θ＝BA ·BC | BA ||BC |＝3×5＋6×532＋62·52＋52＝31010.1．两向量平行、垂直的坐标表示的区别(1)已知非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则向量a 与b 垂直⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0；向量a 与b 平行⇔存在λ∈R ，使b ＝λa ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.(2)向量垂直的坐标表示x 1x 2＋y 1y 2＝0与向量共线的坐标表示x 1y 2－x 2y 1＝0很容易混淆，应仔细比较并熟记，当难以区分时，要从意义上鉴别，垂直是a ·b ＝0，而共线是方向相同或相反．2．向量的坐标运算的应用利用向量的坐标运算有助于解决平面几何中的长度问题、角度大小以及直线的平行与垂直等位置关系的判断．其求解过程就是首先将平面图形放置到坐标系中，正确地写出有关点的坐标，然后利用向量的模长公式、夹角公式以及向量共线、垂直的条件进行求解，实现数与形的结合．课下能力提升(二十一)一、填空题1．已知a ＝(2,3)，b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)，则a ·(b ＋c )＝________. 解析：∵b ＝(－2,4)，c ＝(－1,2)， ∴b ＋c ＝(－2,4)＋(－1,2)＝(－3,6)．又∵a ＝(2,3)，∴a ·(b ＋c )＝(2,3)·(－3,6)＝2×(－3)＋3×6 ＝－6＋18＝12. 答案：122．已知a ＝(2,4)，b ＝(1,3)，则|3a －2b |＝________. 解析：a ＝(2,4)，b ＝(1,3)，则3a －2b ＝(6,12)－(2,6)＝(4,6)． ∴|3a －2b |＝42＋62＝52＝213. 答案：2133．已知O 是坐标原点，A ，B 是坐标平面上的两点，且向量OA ＝(－1,2)，OB ＝(3，m )．若△AOB 是直角三角形，则m ＝________.解析：在Rt △AOB 中，AB ＝(4，m －2)，若∠OAB 为直角时，OA ·AB ＝0，可得m ＝4；若∠AOB 为直角时，OA ·OB ＝0，可得m ＝32；若∠OBA 为直角时，无解．答案：32或44．若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于________．解析：由a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)得2a ＋b ＝(3,3)， a －b ＝(0,3)，设2a ＋b 与a －b 的夹角为θ，则cos θ＝(2a ＋b )·(a －b )|2a ＋b |·|a －b |＝932·3＝22.∵0≤θ≤π，∴θ＝π4.答案：π45．设a ＝(4，－3)，b ＝(2,1)，若a ＋t b 与b 的夹角为45°，则实数t 的值为________．解析：a ＋t b ＝(4，－3)＋t (2,1)＝(4＋2t ，t －3)， (a ＋t b )·b ＝(4＋2t )×2＋(t －3)×1＝5t ＋5. |a ＋t b |＝(4＋2t )2＋(t －3)2＝5(t ＋1)2＋20. 由(a ＋t b )·b ＝|a ＋t b ||b |cos 45°，得5t ＋5＝522·(t ＋1)2＋4，即t 2＋2t －3＝0.∴t ＝－3或t ＝1，经检验t ＝－3不合题意，舍去，∴t ＝1. 答案：1 二、解答题6．已知a ＝(4,3)，b ＝(－1,2)，m ＝a －λb ，n ＝2a ＋b ，按下列条件求实数λ的值： (1)m ⊥n ；(2)m ∥n ；(3)|m |＝5.解：m ＝a －λb ＝(4＋λ，3－2λ)，n ＝2a ＋b ＝(7,8)， ∴(1)m ⊥n ⇒(4＋λ)×7＋(3－2λ)×8＝0⇒λ＝529；(2)m ∥n ⇒(4＋λ)×8－(3－2λ)×7＝0⇒λ＝－12；(3)|m |＝5⇒(4＋λ)2＋(3－2λ)2＝5⇒5λ2－4λ＝0 ⇒λ＝0或45.7．已知m ＝(1,1)，向量n 与m 的夹角为3π4，且m ·n ＝－1，求向量n .解：设n ＝(x ，y )．由m ·n ＝－1得x ＋y ＝－1.(1) 因为向量n 与m 的夹角为3π4，有m ·n ＝|m ||n |cos3π4＝－1，所以|n |＝1，即x 2＋y 2＝1.(2)由(1)(2)得x ＝－1，y ＝0，或x ＝0，y ＝－1，所以n ＝(－1,0)，或n ＝(0，－1)．8．已知OP ＝(2,1)，OA ＝(1,7)，OB ＝(5,1)，设C 是直线OP 上的一点(其中O 为坐标原点)．(1)求使CA ·CB 取得最小值时的OC ； (2)对于(1)中求出的点C ，求cos ∠ACB . 解：(1)因为点C 是直线OP 上一点，所以向量OC 与OP 共线，设OC ＝t OP ，则OC ＝(2t ，t )．CA ＝OA －OC ＝(1－2t,7－t )， CB ＝OB －OC ＝(5－2t,1－t )． CA ·CB ＝(1－2t )(5－2t )＋(7－t )(1－t ) ＝5t 2－20t ＋12＝5(t －2)2－8.当t ＝2时，CA ·CB 取得最小值，此时OC ＝(4,2)．(2)当OC＝(4,2)时，CA＝(－3,5)，CB＝(1，－1)，所以|CA|＝34，|CB|＝2，CA·CB＝－8.所以cos∠ACB＝CA·CB| CA||CB|＝－41717.。

高中数学向量数量积教案

高中数学向量数量积教案
一、教学目标
1. 理解向量数量积的定义和性质；
2. 掌握求解向量数量积的方法；
3. 能够运用向量数量积解决相关问题。

二、教学重点
1. 向量数量积的定义；
2. 向量数量积的性质；
3. 向量数量积的应用。

三、教学难点
1. 向量数量积的性质的理解和运用；
2. 向量数量积的应用实例的解决。

四、教学过程
1. 引入：通过一个生活中的具体例子引入向量数量积的概念，让学生了解向量数量积的实际应用和意义。

2. 讲解：详细介绍向量数量积的定义和性质，强调向量数量积的计算方法和解题技巧。

3. 练习：设计一些基础的练习题，让学生掌握向量数量积的求解方法，巩固相关知识点。

4. 拓展：提供一些拓展练习题，让学生能够灵活运用向量数量积解决实际问题，培养解决问题的能力。

5. 总结：通过总结本节课的内容，让学生对向量数量积有一个清晰的认识，强化重点知识点。

五、作业布置
完成课堂练习题和拓展练习题，巩固向量数量积的相关知识，准备下节课的学习。

六、教学反思
通过本节课的教学实践，发现学生对向量数量积的理解程度和解题能力，及时调整教学方法和内容，提高教学效果。

同时，鼓励学生积极思考，勇于探索，培养学生的数学思维和解决问题的能力。

《向量的数量积(二)》教案2 (苏教版必修4).doc

第10课时：§ 2. 4 向量的数量积(二)【三维目标】：一、知识与技能1.掌握平面向量数量积运算规律，能利用数量积的5个重要性质及数量积运算规律解决有关问题.2.掌握两个向量共线、垂直的几何判断，会证明两向量垂直，以及能解决一些简单问题二、过程与方法1.通过师生互动，学生自主探究、交流与合作培养学生探求新知及合作能力；2.通过讲解例题，培养学生逻辑思维能力；3.让学生充分经历，体验数量积的运算律以及解题的规律。

三、情感、态度与价值观1.让学生进一步领悟数形结合的思想；2.让学生进一步理解向量的数量积，进一步激发学生学习数学的兴趣、积极性和勇于创新的精神.【教学重点与难点】：重点：运算律的理解和平面向量数量积的应用难点：平面向量的数量积运算律的理解【学法与教学用具】：1.学法：(1)自主性学习+探究式学习法：(2)反馈练习法：以练习来检验知识的应用情况，找出未掌握的内容及其存在的差距.2.教学用具：多媒体、实物投影仪.【授课类型】：新授课【课时安排】：1课时【教学思路】:一、创设情景，揭示课题【复习提问】：1.(1)两个非零向量夹角的概念；(2)平面向量数量积(内积)的定义；(3)“投影”的概念；(4)向量数量积的几何意义；(5)两个向量的数量积的性质。

2.判断下列各题正确与否：①若a =6,则对任一向量方，有a3 = 0；( V )②若则对任一非零向量方，有( X )%1若a-b = 0，则b = 0 ；( X )%1若a-b = 0,则次方至少有一个为零向量；(X )%1若a-b = a-c ,则b = c当且仅当a 6时成立；—一2 一⑥对任意向量Q,有。

=\a\2.二、研探新知1.数量积的运算律(证明的过程可根据学生的实际水平决定)(1)交换律：a-b =b-a证明：设方夹角为0,则。

•方=lcl・l5l・cos0 , b-a=\b\-\a\-cos0 , a-b = b-a .(2)数乘结合律：(2a) - b = 2(a -b) = a- (Ab)证明：若2 = 0,此式显然成立.若■ > 0 , (Aa)-b = Al alibi cos 0 , A(a•方)=41 Q II 方I cos 0 ,a • (Ab) - X\a\\b\cos 0 , (Aa)-b = A(a ・b) = a・ (Ab)若人<0 , (2a)-b=l Aa\\b\cos(^-^) = -216zII/?I(-cos^) = ^\a\\b\cosO,2(a• Z?) = 21IIZ? I cos 0 , a• (2Z?) T Q II 死I cos(i—。

高一数学苏教版必修4教学案：第2章9向量的数量积(2)

江苏省泰兴中学高一数学教学案(60)必修4_02 向量的数量积（2）班级姓名目标要求1．掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的运算；2. 能运用向量数量积的坐标表示来实现形与数之间的转化.重点难点重点：平面向量数量积的坐标表示，以及由此推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示；难点：用坐标法解决长度、角度、垂直问题.典例剖析例1已知(2,1),(3,2),)(2)a b a b a b =-=---r r r r r rg求(3例2、（1）)4,2(),1,3(),2,1(-=-==，则()a b c r r r g=________，()a b c r r rg =_______ (2) 已知y x ⊥==-=),,2(),,2(),4,3(，//，则=_______，=________ , 与的夹角等于____ .(3）已知(3,4)a =-r，则与a 垂直的单位向量的坐标是______________（4）若向量)4,3(),,2(==b x a ，且向量b a ,的夹角为锐角，则x 的取值范围是 .例3、在ABC ∆中，设23AB =u u u r （，）,(1,)AC k =u u u r，且ABC ∆是直角三角形，求k 的值.例4、已知(cos ,sin ),(cos ,sin )a b ααββ==r r ,且||3|ka b a kb +=-r r r u u r,其中0k >.(1)用k 表示b a ⋅;(2)求b a ⋅的最小值,并求此时,a b r r 的夹角的大小.学习反思数量积向量长度夹角公式垂直定义形式坐标形式课堂练习1、已知ABC ∆的三个顶点坐标分别为)4,1(),4,3(),2,5(--C B A ，则这个三角形的形状是____________________.2、若)2,1(),3,4(-==b a ，则b a ,的夹角的余弦值为_____3、已知6,4a b ∣∣=∣∣=r r ，且两向量的夹角为3π, 则3a b →→∣-∣= .4、已知)1,1(),1,0(==，且)(λ+⊥，则λ= .5、已知正ABC V 的边长为2, 且,,BC a CA b AB c →→→→→→===,则a b c a →→→→+=g g .江苏省泰兴中学高一数学作业(60)班级姓名得分1、给定两个向量)1,2(),4,3(-==，且)()(x -⊥+，则实数x 等于 .2、设,,a b c r r r是任意的非零向量，且相互不共线，有下列命题：（1）()()0a b c c a b -=r r r r r r gg ；（2）||||||a b a b -<-r r r r ；（3）()()b c a c a b -r r r r r r gg 与c r 垂直；（4）22(34)(34)9||16||a b a b a b +-=-r r r r r r g 其中真命题是 .3、已知(3,5),,||2a b a b =⊥=r r r r且，则b r 的坐标为 .４、若向量,,a b c r r r 满足0a b c →++=r r r , 且,,a b c ∣∣=3∣∣=2∣∣=4,r r r 则a b b c c a →→→→→→++=g g g . ５、设向量(,3),(2,1)a x b ==-r r，若a b r r 与的夹角为钝角，求x 的取值范围.６、已知||1,||3,(3,1)a b a b ==+=r r r r ，求： (1)||a b -r r; (2)a b +r r 与a b -r r 的夹角.７、已知2a b →→∣∣=∣∣≠0，且关于x 的方程20x a x a b →→→+∣∣+=g 有实根，求a r 与b r的夹角θ的取值范围.８、已知向量(1,2),(3,2)a b ==-r r(1) 求||a b +r r 和||a b -r r；(2) 当k 为何值时, 向量ka b +r r 与3a b -r r垂直； (3) 当k 为何值时, 向量ka b +r r 与3a b -r r平行.9、已知133,1),(2a b =-=r r ，且存在实数k 和t ，使得2(3)x a t b =+-r r r ，y ka tb =-+u r r r ，且x y ⊥r u r ，试求2k t t+的最小值。

2019-2020学年高中数学第26课时《向量的数量积2》教学案苏教版必修4.doc

2019-2020学年高中数学第26课时《向量的数量积2》教学案苏教版必修4cos θ= ；θ= 。

例题剖析例1、已知a =(2,1)-，b =)1,3(，求 (3a －b )·(a －2b )，a 与b 的夹角θ。

例2、已知|a |=1， |b ，a +b =，试求：（1）|a －b | （2）a +b 与a －b 的夹角例3、在ABC ∆中，设AB =(2,3)，AC =(1,)k ，且ABC ∆是直角三角形，求k 的值。

巩固练习1、求下列各组中两个向量a 与b 的夹角：（1）a =，b =(2)- （2）a =(1,1)，b =(1+2、设(2,1)A -，(6,3)B -， (0,5)C ，求证：ABC ∆是直角三角形。

3、若a =(6,2)，b =(3,)k -，当k 为何值时：（1）//a b （2）a b ⊥（3）a 与b 的夹角为锐角课堂小结1、向量数量积、长度、角度、平行、垂直的坐标表示；班级：高一（）班姓名__________一、基础题1、设a ，b ，c 是任意的非零向量，且相互不共线，则下列命题正确的有： ① (a ·b )c －(c ·a )b =0 ② |a |－|b |<|a －b|③ (b ·c )a －(a ·c )b 不与c 垂直 ④ (3a +4b )·(3a －4b )=9|a |2－16|b |2⑤ 若a 为非零向量，a ·b =a ·c ，且b ≠c ，则a ⊥（b －c ）2、若a =(,2)λ，b =(3,5)-且a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是。

3、已知a =(2,3)-，则与a 垂直的单位向量的坐标为。

4、已知若a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a +b 与a －b 垂直的条件是。

二、提高题5、已知ABC ∆的三个顶点的坐标分别为(5,2)A ，(3,4)B ，(1,4)C -，判断三角形的形状。

高中数学 2.4向量的数量积 2教案苏教版必修4

2.4 向量的数量积（2）一、课题：向量的数量积二、教学目标：要求学生掌握平面向量数量积的运算律，明确向量垂直的充要条件。

三、教学重、难点：向量数量积的运算律和运算律的理解；四、教学过程：（一）复习：1．平面向量数量积（内积）的定义及其几何意义、性质； 2．判断下列各题正确与否：①若0a =，则对任一向量b ，有0a b ⋅=； ( √ ) ②若0a ≠，则对任一非零向量b ，有0a b ⋅≠； ( × ) ③若0a ≠，0a b ⋅=，则0b =； ( × ) ④若0a b ⋅=，则,a b 至少有一个为零向量； ( × ) ⑤若a b a c ⋅=⋅，则b c =当且仅当0a ≠时成立； ( × )⑥对任意向量a ，有22||a a =． ( √ ) （二）新课讲解：1．交换律：a b b a ⋅=⋅证：设,a b 夹角为θ，则||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅，||||cos b a b a θ⋅=⋅⋅ ∴a b b a ⋅=⋅．2．()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅ 证：若0λ>，()||||cos a b a b λλθ⋅=，()||||cos a b a b λλθ⋅=， ()||||cos a b a b λλθ⋅=，若0λ<，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=， ()||||cos a b a b λλθ⋅=，()||||cos()||||(cos )||||cos a b a b a b a b λλπθλθλθ⋅=-=--=．3．()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅．在平面内取一点O ，作OA a =, AB b =，OC c =， ∵a b +（即）在c 方向上的投影等于,a b在c 方向上的投影和，即：12||cos ||cos ||cos a b a b θθθ+=+ ∴12||||cos ||||cos ||||cos c a b c a c b θθθ+=+，∴()c a b c a c b ⋅+=⋅+⋅ 即：()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅． 4．例题分析：例1 已知,a b 都是非零向量，且3a b +与75a b -垂直，4a b -与72a b -垂直，求a 与b 的夹角。

高中数学 2.4 向量的数量积教案2 苏教版必修4(1)

第2课时数量积的坐标表示(教师用书独具)●三维目标1．知识与技能(1)掌握平面向量的数量积的坐标表示．(2)掌握用数量积表示线段长及两向量垂直的条件．(3)会用平面向量数量积的坐标表示解决具体问题．2．过程与方法通过学习数量积的坐标运算与度量公式，提高分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)用坐标表示向量，体现了代数与几何的完美结合，说明事物可以相互联系与转化．(2)用向量的坐标反映向量的数量积，为研究数量积开创了一个新天地．通过学习本节，使学生感受到同一事物的不同表示形式不会改变其本质规律．说明事物的变化形式是丰富多彩的，激发学生热爱科学的高尚情怀．●重点难点重点：用向量的坐标求数量积、向量的模及两个向量的夹角，会判断两向量间的垂直关系．难点：运用向量法与坐标法解决有关问题．(教师用书独具)●教学建议1．关于向量数量积的坐标运算的教学教学时，建议教师从向量的坐标概念出发，类比数的乘法运算，由学生自主推导出数量积的运算，并就数量积的坐标形式同向量加减及数乘运算的坐标加以比较，在熟悉的同时，记忆并熟练应用．2．关于向量的模、夹角及垂直关系的教学教学时，建议教师让学生结合数量积的定义及性质，完成对向量的模、夹角及垂直关系的坐标运算的推导，并通过题组训练，以便让学生熟练应用，为下节——向量的应用奠定基础．●教学流程创设问题情境，引入向量数量积的坐标运算.⇒引导学生类比数的乘法运算，推导出向量数量积的坐标运算法则.⇒结合数量积的定义及性质，引导学生对向量的模、夹角及垂直关系的坐标运算的推导.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握向量数量积的坐标运算.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握用坐标运算解决向量垂直问题的求解思路及方法.⇒通过例3及其变式训练，使学生掌握用坐标运算解决向量夹角问题的求解思路及方法.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.课标解读1.理解平面向量数量积的坐标表示，会用向量的坐标形式求数量积、向量的模及两个向量的夹角．(重点)2.会用两个向量的坐标判断它们的垂直关系．3.增强运用向量法与坐标法处理向量问题的意识．(难点)平面向量数量积的坐标表示【问题导思】i ，j 分别是x 轴、y 轴上的单位向量，a ＝x 1i ＋y 1j ，b ＝x 2i ＋y 2j ，如何求a ·b?【提示】 a ·b ＝(x 1i ＋y 1j )·(x 2i ＋y 2j )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 2y 1i ·j ＋y 1y 2j 2＝x 1x 2＋y 1y 2.若两个向量为a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和.长度、夹角、垂直的坐标表示 (1)向量的模：设a ＝(x ，y )，则a 2＝x 2＋y 2，即|a |＝x 2＋y 2.(2)向量的夹角公式：设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，它们的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 特别地，若a ⊥b ，则x 1x 2＋y 1y 2＝0，反之亦成立．数量积的坐标运算已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )·b ，求|c |.【思路探究】由已知条件求出c 的坐标，再根据公式|c |＝x 2＋y 2求解．【自主解答】 ∵a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)， ∴a ·b ＝2×(－1)＋4×2＝6，∴c ＝a －(a ·b )·b ＝(2,4)－6(－1,2) ＝(2,4)－(－6,12)＝(2＋6,4－12)＝(8，－8)，∴|c |＝82＋－82＝8 2.1．进行数量积运算时，要正确使用公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，并能灵活运用以下几个关系：|a |2＝a ·a .(a ＋b )(a －b )＝|a |2－|b |2.(a ＋b )2＝|a |2＋2a ·b ＋|b |2.2．利用数量积的条件求平面向量的坐标，一般来说应当先设出向量的坐标，然后根据题目中已知的条件找出向量坐标满足的等量关系，利用数量积的坐标运算列出方程组来进行求解．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，求a ·b ，(a －b )·(2a ＋3b )．【解】法一 ∵a ＝(1,2)，b ＝(3,4)， ∴a ·b ＝(1,2)·(3,4)＝1×3＋2×4＝11，(a －b )·(2a ＋3b )＝2a 2＋a ·b －3b 2＝2|a |2＋a ·b －3|b |2＝2(12＋22)＋11－3(32＋42)＝－54.法二 ∵a ＝(1,2)，b ＝(3,4)，∴a ·b ＝11， ∵a －b ＝(1,2)－(3,4)＝(－2，－2)，2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(3,4)＝(2×1＋3×3,2×2＋3×4)＝(11,16)，∴(a －b )·(2a ＋3b )＝(－2，－2)·(11,16)＝－2×11＋(－2)×16＝－54.向量垂直的坐标表示的应用已知a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△AOB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量b .【思路探究】题目中给出了向量a 的坐标，而欲求的向量b 满足：OA →＝a －b ，OB →＝a＋b 且三角形AOB 且以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则可先设出b ＝(x ，y )，由OA →⊥OB →，列出方程组求出向量b .【自主解答】法一设向量b ＝(x ，y )，则OA →＝a －b ＝(－12－x ，32－y )，OB →＝a ＋b ＝(－12＋x ，32＋y )，由题意可知，OA →·OB →＝0，|OA →|＝|OB →|，从而有：⎩⎪⎨⎪⎧－12－x －12＋x ＋32－y 32＋y ＝0，－12－x 2＋32－y 2＝－12＋x2＋32＋y 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－32，y ＝－12.所以b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)．法二设向量b ＝(x ，y )，依题意，OA →·OB →＝0， |OA →|＝|OB →|，则(a －b )·(a ＋b )＝0， |a －b |＝|a ＋b |，所以|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0.所以向量b 是与向量a 相互垂直的单位向量，即有⎩⎪⎨⎪⎧－12x ＋32y ＝0，x 2＋y 2＝1，解得b ＝(32，12)或b ＝(－32，－12)．1．向量的垂直问题主要借助于结论：a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，把几何问题转化为代数问题．它对于解决向量以及平面几何图形中有关垂直问题十分有效，应熟练掌握．2．两个向量共线的坐标表示与两个向量垂直的坐标表示截然不同，不能混淆．设a ＝(m ＋1，－3)，b ＝(1，m －1)，若(a ＋b )⊥(a －b )，求实数m 的值．【解】由题设，a ＋b ＝(m ＋2，m －4)，a －b ＝(m ，－m －2)． ∵(a ＋b )⊥(a －b )， ∴(a ＋b )·(a －b )＝0.即(m ＋2)m ＋(m －4)(－m －2)＝0. ∴m 2＋2m －m 2＋2m ＋8＝0，即4m ＋8＝0， ∴m ＝－2.向量夹角问题已知点A (2,2)，B (4,1)，O 为坐标原点，P 为x 轴上一动点，当AP →·BP →取最小值时，求向量PA →与PB →的夹角的余弦值．【思路探究】设点P (x,0)，将AP →·BP →表示成x 的函数，即可求得相应的最小值及x 的值，再由夹角公式即得结论．【自主解答】设点P (x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)． ∴AP →·BP →＝(x －2)(x －4)＋(－2)×(－1) ＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1.∴当x ＝3时，AP →·BP →取最小值1.此时，PA →＝(2,2)－(3,0)＝(－1,2)． PB →＝(4,1)－(3,0)＝(1,1)， ∴|PA →|＝5，|PB →|＝2，∴cos ∠APB ＝PA →·PB →|PA →||PB →|＝1010.利用向量的坐标运算求出两向量的数量积和模的积，其比值就是这两个向量夹角的余弦值．利用函数思想处理最值问题，是一种常用方法，需切实掌握．已知△ABC 顶点的坐标分别为A (3,4)，B (0,0)，C (c,0)． (1)若c ＝5，求cos A 的值；(2)若A 为钝角，求c 的取值范围．【解】 (1)AB →＝(－3，－4)，AC →＝(c －3，－4)，当c ＝5时，AC →＝(2，－4)．∴cos A ＝AB →·AC→|AB →|·|AC →|＝－6＋16520＝15＝55. (2)若A 为钝角，则AB →·AC →＝－3(c －3)＋16＝25－3c ＜0，解得c ＞253.显然此时有AB →和AC →不共线，故当A 为钝角时，c 的取值范围为(253，＋∞).由夹角范围求参数范围时忽视向量共线情况致误已知向量a ＝(－2，－1)，b ＝(t,1)，且a 与b 的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．【错解】 ∵a 与b 的夹角为钝角，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＜0，即a ·b ＝(－2，－1)·(t,1)＝－2t －1＜0，∴t ＞－12，∴t 的取值范围为(－12，＋∞) .【错因分析】错解忽视了a 与b 反向共线时，也有a ·b ＜0成立，应排除使a 与b 反向的t 值．【防范措施】两非零向量夹角θ的范围满足0°≤θ≤180°，因此，仅依靠cos θ的正负不能判定θ为锐角或钝角．cos θ＜0且cos θ≠－1时，θ为钝角，cos θ＞0且cos θ≠1时，θ为锐角．【正解】 ∵a 与b 的夹角为钝角，∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＜0，即a ·b ＝(－2，－1)·(t,1)＝－2t －1＜0，∴t ＞－12.若a ∥b ，可设a ＝λb ，则(－2，－1)＝λ(t,1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ －2＝λt ，－1＝λ.解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1， t ＝2.此时a ＝－b ，a 与b 反向，所成角为180°，故t ＝2不合题意．∴t 的取值范围是(－12，2)∪(2，＋∞)．1．向量的坐标表示和向量的坐标运算实现了向量运算的完全代数化，并将数与形紧密结合起来．本节主要应用有：(1)求两点间的距离(求向量的模)． (2)求两向量的夹角． (3)证明两向量垂直．2．利用数量积求两向量夹角的步骤(1)利用平面向量数量积的坐标表示公式求出这两个向量的数量积．(2)利用|a |＝x 2＋y 2计算出这两个向量的模．(3)由公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22直接求出cos θ的值． (4)在0≤θ≤π内，由cos θ的值求角θ.1．已知A (1,2)，B (2,1)，则|AB →|＝________.【解析】 ∵AB →＝(1，－1)，∴|AB →|＝12＋－12＝ 2. 【答案】 22．已知a ＝(－5,5)，b ＝(0，－3)，则a 与b 的夹角为________．【解析】 ∵cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1552×3＝－22，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝3π4.【答案】3π43．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，且a ⊥b ，则x 的值等于________．【解析】由a ⊥b 得a ·b ＝0，即2(x －5)＋3x ＝0，解得x ＝2. 【答案】 24．已知A ，B ，C 是坐标平面上的三点，其坐标分别为A (1,2)，B (4,1)，C (0，－1)，求AB →·AC →和∠ACB 的大小，并判断△ABC 的形状．【解】 ∵AB →＝(3，－1)，AC →＝(－1，－3)， ∴AB →·AC →＝3×(－1)＋(－1)×(－3)＝0. ∴AB →⊥AC →.又∵tan ∠ACB ＝|AB →||AC →|＝1010＝1.∴∠ACB ＝45°.∴△ABC 是等腰直角三角形，其中∠A ＝90°.一、填空题1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c ＝________. 【解析】 ∵a ＋2b ＝(－5,6)，∴(a ＋2b )·c ＝－15＋12＝－3. 【答案】－32．已知a ＝(1，3)，b ＝(－2,0)，则|a ＋b |＝________. 【解析】 ∵a ＋b ＝(－1，3)， ∴|a ＋b |＝－12＋32＝2.【答案】 23．(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．【解析】 ∵∠ABO ＝90°，∴AB →⊥OB →，∴OB →·AB →＝0. 又AB →＝OB →－OA →＝(2,2)－(－1，t )＝(3,2－t )， ∴(2,2)·(3,2－t )＝6＋2(2－t )＝0. ∴t ＝5. 【答案】 54．设向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，当向量a ＋2b 与2a －b 平行时，a ·b 等于________．【解析】 a ＋2b ＝(1＋2x,4)，2a －b ＝(2－x,3)，∵a ＋2b 与2a －b 平行，∴(1＋2x )×3－4×(2－x )＝0，∴x ＝12，a ·b ＝(1,2)·(12，1)＝1×12＋2×1＝52.【答案】 525．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角是________．【解析】设c ＝(x ，y )，则(a ＋b )·c ＝(－1，－2)·(x ，y )＝－x －2y ＝52，∴x ＋2y＝－52.又|a |＝|c |＝5，且a ·c ＝x ＋2y ＝|a ||c |·cos α，故cos α＝－12，α∈[0，π]，α＝23π.【答案】 23π6．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，O 为坐标原点，在x 轴上取一点P 使AP →·BP →有最小值，则点P 的坐标是________．【解析】设点P 坐标为(x,0)，则AP →＝(x －2，－2)，BP →＝(x －4，－1)，AP →·BP →＝(x－2)(x －4)＋(－2)×(－1)＝x 2－6x ＋10＝(x －3)2＋1，当x ＝3时，AP →·BP →有最小值1.∴点P 的坐标为(3,0)．【答案】 (3,0)7．若平面向量b 与向量a ＝(1，－2)的夹角是180°，且|b |＝35，则b ＝________. 【解析】 a 与b 共线且方向相反，∴b ＝λa (λ＜0)，设b ＝(x ，y )，则(x ，y )＝λ(1，－2)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，y ＝－2λ.由|b |＝35，得x 2＋y 2＝45，即λ2＋4λ2＝45，解得λ＝－3，∴b ＝(－3,6)．【答案】 (－3,6)8．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________.【解析】设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，因为(c ＋a )∥b ，所以－3(1＋m )＝2(2＋n )．① 又c ⊥(a ＋b )，所以3m －n ＝0.②联立①②，解得m ＝－79，n ＝－73，则c ＝(－79，－73)．【答案】 (－79，－73)二、解答题9．在▱ABCD 中，A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(3,2)，C 点坐标为(4，－1)，求AB →与BD →夹角的余弦值．【解】 ∵A 点坐标为(1,0)，B 点坐标为(3,2)，C 点坐标为(4，－1)， ∴AB →＝(2,2)，AC →＝(3，－1)， ∴BC →＝AC →－AB →＝(1，－3)．又由题意可知BC →＝AD →， ∴BD →＝AD →－AB →＝(1，－3)－(2,2)＝(－1，－5)．设AB →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AB →·BD →|AB →||BD →|＝－12413＝－31313.10．(2013·南昌高一检测)已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R . (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.【解】 (1)若a ⊥b ，则a ·b ＝(1，x )·(2x ＋3，－x )＝1×(2x ＋3)＋x (－x )＝0，即x 2－2x －3＝0，解得x ＝－1或x ＝3.(2)若a ∥b ，则1×(－x )－x (2x ＋3)＝0，即x 2＋2x ＝0，解得x ＝0或x ＝－2. 当x ＝0时，a ＝(1,0)，b ＝(3,0)，则|a －b |＝|(1,0)－(3,0)|＝|(－2,0)|＝2. 当x ＝－2时，a ＝(1，－2)，b ＝(－1,2)，则|a －b |＝|(1，－2)－(－1,2)|＝|(2，－4)|＝2 5. ∴|a －b |＝2或2 5.11．已知a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，且存在实数k 和t ，使得x ＝a ＋(t 2－3)b ，y＝－k a ＋t b ，且x ⊥y ，试求k ＋t 2t的最小值．【解】 ∵a ＝(3，－1)，b ＝(12，32)，∴|a |＝32＋－12＝2，|b |＝122＋322＝1.又∵a ·b ＝3×12＋(－1)×32＝0，∴a ⊥b .由x ⊥y 得[a ＋(t 2－3)b ]·(－k a ＋t b )＝0，即－k a 2＋(t 3－3t )b 2＋(t －kt 2＋3k )a ·b ＝0，∴－k |a |2＋(t 3－3t )|b |2＝0.将|a |＝2，|b |＝1代入上式，得－4k ＋t 3－3t ＝0，解得k ＝t 3－3t4.∴k ＋t 2t ＝14(t 2＋4t －3)＝14(t ＋2)2－74.故当t ＝－2时，k ＋t 2t 取得最小值，为－74.(教师用书独具)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)． (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →＝0，求t 的值．【思路探究】 (1)分别求出AB →，AC →的坐标，通过向量的坐标运算得到AB →＋AC →，AB →－AC →，代入向量长度公式即得对角线的长度；(2)利用向量数量积的坐标运算，建立关于t 的方程，解方程即得．【自主解答】 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)，所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2.故所求的两条对角线的长分别为210，4 2.(2)由题设知OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，即5t ＝－11，解得t ＝－115.1．熟练地运用向量的平行四边形法则，写出表示对角线的向量是关键．11 2．涉及方程思想的应用，一般地，求参数的值时，通常根据题意列出方程进行求解．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)若四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所夹的锐角的余弦值．【解】 (1)∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)．∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)∵AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设点C 坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴点C 坐标为(0,5)．从而AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，且|AC →|＝25，|BD →|＝2 5.AC →·BD →＝8＋8＝16.设AC →与BD →的夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45.∴矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45.。

苏教版高中数学必修4§2.4 向量的数量积(二).docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作§2.4 向量的数量积(二) 课时目标1．掌握数量积的坐标表示，会进行平面向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积的坐标表示求两个向量的夹角，会用数量积的坐标表示判断两个平面向量的垂直关系，会用数量的坐标表示求向量的模．1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝____________.即两个向量的数量积等于它们________________________．2．平面向量的模(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝________.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝________________.3．向量的夹角公式设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝________________＝________________________.4．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔________________.一、填空题1．已知向量a ＝(1，n )，b ＝(－1，n )，若2a －b 与b 垂直，则|a |＝________.2．已知a ＝(3，3)，b ＝(1,0)，则(a －2b )·b ＝______.3．若平面向量a ＝(1，－2)与b 的夹角是180°，且|b |＝45，则b ＝________.4．平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.5．若a ＝(2,3)，b ＝(－4,7)，则a 在b 方向上的投影为______．6．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值为________．7．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝________.8．已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |＝________.9．已知a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，向量λa ＋b 与a －2b 垂直，则实数λ的值为________．10．已知a ＝(－2，－1)，b ＝(λ，1)，若a 与b 的夹角α为钝角，则λ的取值范围为________．二、解答题11．已知a 与b 同向，b ＝(1,2)，a·b ＝10.(1)求a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求a (b·c )及(a·b )c .12．已知三个点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 两对角线所成的锐角的余弦值．能力提升13．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，a )，其中a 为实数，O 为原点，当此两向量夹角在⎝⎛⎭⎫0，π12变动时，a 的范围是________．14．若等边三角形ABC 的边长为23，平面内一点M 满足CM →＝16CB →＋23CA →，则MA →·MB →＝________.1．向量的坐标表示简化了向量数量积的运算．为利用向量法解决平面几何问题以及解析几何问题提供了完美的理论依据和有力的工具支持．2．应用数量积运算可以解决两向量的垂直、平行、夹角以及长度等几何问题，在学习中要不断地提高利用向量工具解决数学问题的能力．§2.4 向量的数量积(二)知识梳理1．x 1x 2＋y 1y 2 对应坐标的乘积的和2．(1)x 21＋y 21 (2)(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)23.a·b |a||b | x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21x 22＋y 224．x 1x 2＋y 1y 2＝0作业设计1．2解析由(2a －b )·b ＝0，则2a ·b －|b |2＝0，∴2(n 2－1)－(1＋n 2)＝0，n 2＝3.∴|a |＝1＋n 2＝2.2．1 解析 a －2b ＝(1，3)，(a －2b )·b ＝1×1＋3×0＝1.3．(－4,8)解析由题意可设b ＝λa ＝(λ，－2λ)，λ<0，则|b |2＝λ2＋4λ2＝5λ2＝80，∴λ＝－4，∴b ＝－4a ＝(－4,8)．4．2 3解析 a ＝(2,0)，|b |＝1， ∴|a |＝2，a ·b ＝2×1×cos 60°＝1.∴|a ＋2b |＝a 2＋4×a ·b ＋4b 2＝2 3.5.655解析设a 、b 的夹角为θ，则cos θ＝2×(－4)＋3×722＋32(－4)2＋72＝55，故a 在b 方向上的投影为|a |cos θ＝13×55＝655. 或直接根据a·b |b |计算a 在b 方向上的投影． 6.1665解析 ∵a ＝(4,3)，∴2a ＝(8,6)．又2a ＋b ＝(3,18)，∴b ＝(－5,12)，∴a ·b ＝－20＋36＝16.又|a |＝5，|b |＝13，∴cos 〈a ，b 〉＝165×13＝1665. 7.⎝⎛⎭⎫－79，－73 解析设c ＝(x ，y )，由(c ＋a )∥b 有－3(x ＋1)－2(y ＋2)＝0，① 由c ⊥(a ＋b )有3x －y ＝0，②联立①②有x ＝－79，y ＝－73，则c ＝(－79，－73)． 8．5解析 ∵|a ＋b |＝52，∴|a ＋b |2＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝5＋2×10＋b 2＝(52)2，∴|b |＝5.9．－17解析由a ＝(－3,2)，b ＝(－1,0)，知λa ＋b ＝(－3λ－1,2λ)，a －2b ＝(－1,2)．又(λa ＋b )·(a －2b )＝0，∴3λ＋1＋4λ＝0，∴λ＝－17. 10.⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞) 解析由题意cos α＝a·b |a||b |＝－2λ－15·λ2＋1， ∵90°<α<180°，∴－1<cos α<0，∴－1<－2λ－15·λ2＋1<0， ∴⎩⎨⎧ －2λ－1<0，－2λ－1>－5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，(2λ＋1)2<5λ2＋5，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ>－12，λ≠2，∴λ的取值范围是⎝⎛⎭⎫－12，2∪(2，＋∞)． 11．解 (1)设a ＝λb ＝(λ，2λ) (λ>0)，则有a·b ＝λ＋4λ＝10，∴λ＝2，∴a ＝(2,4)．(2)∵b·c ＝1×2－2×1＝0，a·b ＝10，∴a (b·c )＝0a ＝0，(a·b )c ＝10×(2，－1)＝(20，－10)．12．(1)证明 ∵A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)，∴AB →＝(1,1)，AD →＝(－3,3)，∴AB →·AD →＝1×(－3)＋1×3＝0，∴AB →⊥AD →，即AB ⊥AD .(2)解 AB →⊥AD →，四边形ABCD 为矩形，∴AB →＝DC →.设C 点坐标为(x ，y )，则AB →＝(1,1)，DC →＝(x ＋1，y －4)，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1＝1，y －4＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝5. ∴C 点坐标为(0,5)．由于AC →＝(－2,4)，BD →＝(－4,2)，所以AC →·BD →＝8＋8＝16，|AC →|＝2 5，|BD →|＝2 5.设AC →与BD →夹角为θ，则cos θ＝AC →·BD →|AC →|·|BD →|＝1620＝45>0， ∴解得矩形的两条对角线所成的锐角的余弦值为45. 13.⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)解析已知OA →＝(1,1)，即A (1,1)如图所示，当点B 位于B 1和B 2时，a 与b 夹角为π12，即∠AOB 1＝∠AOB 2＝π12，此时，∠B 1Ox ＝π4－π12＝π6，∠B 2Ox ＝π4＋π12＝π3，故B 1⎝⎛⎭⎫1，33，B 2(1，3)，又a 与b 夹角不为零，故a ≠1，由图易知a 的范围是⎝⎛⎭⎫33，1∪(1，3)． 14．－2解析建立如图所示的直角坐标系，根据题设条件即可知A (0,3)，B (－3，0)，M (0,2)， ∴MA →＝(0,1)，MB →＝(－3，－2)．∴MA →·MB →＝－2.。

苏教版数学高一苏教版必修42.4向量的数量积第二课时

互动课堂疏导引导从数学角度考虑，我们希望向量的数量积也能像数量乘法那样满足某些运算律.由数量积定义a ·b =|a |·|b |·cos 〈a ·b 〉=|b |·|a |cos 〈b ，a 〉=b ·a ,知数量积运算满足交换律.我们知道一个向量与一个轴上单位向量的数量积等于这个向量在轴上正投影的数量，如果将分配律（a +b ）·c =a ·c +b ·c 中的向量c 换成它的单位向量c 0，则分配律变为（a +b ）·c 0=a ·c 0+b ·c 0（*）.证明分配律就变为证明：两个向量和在一个方向上的正投影的数量等于各个向量在这个方向上投影的数量和.为此，我们画出（*）式两边的几何图形进行推导.作轴l 与向量c 的单位向量c 0平行，作=a , =b ,作=a +b .设点O 、A 、B 在轴l 上的射影为O 、A′、B′，根据向量的数量积定义有OA ='·c 0=a ·c 0 A′B′=·c 0=b ·c 0OB′=·c 0=（a +b ）·c 0但对轴上任意三点O 、A′、B′，都有''''B A OA OB +=,于是（*）式成立.（*）式两边同乘以|c |，得（a +b ）·c =a ·c +b ·c .容易验证数乘以向量的数量积，可以与任一向量交换结合，即对任意实数λ,有λ(a ·b )=（λa ）·b =a ·（λb ）.规律总结（1）数量积是由向量的长度和夹角来确定的，它对于这两个向量是对称的，即与次序无关，因而有交换律.（2）从力做功的情况看，若力增大几倍，则功也增大几倍，而当力反转方向时，功要变号，于是有（λa ）·b =λ(a ·b ).（3）两个力在同一物体上所做的功等于合力所做的功，于是有分配律：（a +b ）·c =a ·c +b ·c .(4)平面向量的数量积不满足结合律a ·（b ·c ）=(a ·b )·c 是错误的，这是因为a ·b 与b ·c 都是数量，所以a ·（b ·c ）代表的是与a 共线的向量；（a ·b ）·c 代表的是与c 共线的向量，向量a 与c 不一定共线，当然就不一定相等.活学巧用【例1】下列等式中，其中正确的是（）①|a |2=a 2;②a b ab a =•2;③（a ·b ）2=a 2·b 2;④（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2.A.1个B.2个C.3个D.4个解析：①|a |2=a 2是向量数量积的性质，在求模计算中常用； ②a b a b a b a a b a ≠=•=•θθcos ||||||cos ||||22. ③（a ·b ）2=（|a |·|b |cosθ）2=|a |2·|b |2cos 2θ④(a +b )2=(a +b )·（a +b ）=a 2+a ·b +b ·a +b 2=a 2+2a ·b +b 2.答案：B【例2】已知|a |=6，|b |=8，〈a ,b 〉=120°，求|a +b |2，|a +b |.解析：可以利用运算律结合性质处理.由题有|a +b |2=（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2=62+2×6×8·cos120°+82=52，∴|a +b |=132.【例3】运用内积证明矩形对角线相等.解析：设AB =a , AD =b ,且a ⊥b ，则AC =a +b ，BD =AD -AB =b -a .于是|AC |2=2AC =（a +b ）2=a 2+2a ·b +b 2；|BD |2=2BD =（b -a ）2=b 2-2a ·b +b 2.又a ⊥b ，即a ·b =0，∴|AC |2=|BD |2，即|AC |=|BD |，故矩形的两对角线长相等.【例4】求证：直径上的圆周角为直角.已知：AC 为⊙O 的直径，∠ABC 是直径AC 上的圆周角，如图所示.求证：∠ABC=90°.分析：欲证∠ABC=90°,只须证⊥.证明：设=a ，=b ，有=a .∵=a +b ,BC =a -b ，且|a |=|b |，∴AB ·BC =（a +b ）·（a -b ）=0，∴⊥，即∠ABC=90°.【例5】设e 1,e 2是夹角为45°的两个单位向量，且a =e 1+2e 2,b =2e 1+e 2,求|a +b |的值. 解：因a +b =3e 1+3e 2，所以|a +b |2=|3e 1+3e 2|2=9(e 1+e 2)2=9(e 12+2e 1e 2+e 22)=9(1+2×1×1×cos45°+1) =9(2+2)，∴|a +b |=223 .。

苏教版数学高一-必修4导学案 2.4向量的数量积(2)教师版

课题：§2.4 向量的数量积（2）总第____课时班级_______________姓名_______________ 【学习目标】1．要求学生掌握平面向量数量积的坐标表示，掌握向量垂直的坐标表示的充要条件；2．两点距离公式及夹角公式．【重点难点】学习重点：平面向量数量积的坐标表示及由其推出的重要公式；学习难点：向量数量积坐标表示在处理有关长度、角度、垂直问题中的应用．【学习过程】一、自主学习与交流反馈：1．两个平面向量垂直的条件：2．两个平面向量共线的坐标表示：二、知识建构与应用：1．向量数量积的坐标表示：设1122(,),(,)a x y b x y == ，i 、j 分别是x 轴、y 轴上的单位向量，则：____i i ⋅=，____j j ⋅=，____i j j i ⋅=⋅=.因为1122,a x i y j b x i y j =+=+，∴22112212121212()()a b x i y j x i y j x x i x y i j y x j i y y j ⋅=++=+⋅+⋅+1212x x y y =+. 从而得向量数量积的坐标表示公式：=⋅b a ．2．长度、夹角、垂直的坐标表示：①长度：设(,)a x y =则2cos 0a a a a a ==•=22x y +a ∴= ； ②两点间的距离公式：设1122(,),(,)A x y B x y 则2121(,)AB x x y y =-- =|| ；③夹角：设1122(,),(,)a x y b x y ==,a b 与的夹角为θ，则cos a ba b θ•== ；④垂直的条件：∵0a b a b ⊥⇔⋅=，即．（注意○1两向量垂直与向量共线的坐标表示的区别，○2对零向量只定义了平行，而不定义垂直，○3由于零向量的方向不确定，所以我们不定义零向量与其他向量的夹角）．三、例题例1 （1）已知(3,4),(4,3)a b =-=，求a 与b 的夹角；（2）已知(2,1),(3,3)a b =-=-，求(3)(2)a b a b -⋅-．例2 已知1,2a b ==，向量a 、b 的夹角为60︒，又(3)(2)ma b a mb +⊥-，求实数m 的值．例3 已知(1,2),(1,)a b m ==-，若a 与b 的夹角为钝角，求m 的取值范围．例4 在Rt ABC ∆中，(2,3)AB =，(1,)AC k =，求k 值．四、巩固练习1．已知(1,2),(3,2),(2,1)a b c ==-=-，分别求,,a a a b a c ⋅⋅⋅．2．已知(2,8),(8,16)a b a b +=-=-，求a b ⋅．3．设向量a 、b 满足8,3,12a b a b ==⋅=，求向量a 、b 的夹角．4．求下列各组中两个向量a 、b 的夹角：（1）(3,1),(23,2)a b ==-；（2）(1,1),(13,1a b ==-+．5．设a 是非零向量，a b a c ⋅=⋅，且b c ≠，求证：()a b c ⊥-．。

高中数学第26课时(向量的数量积2)导学案苏教版必修4

总课题平面向量总课时第26课时分课题向量的数量积（2）分课时第 2 课时教学目标掌握平面向量数量积的坐标表示；知道向量垂直的坐标表示的等价条件。

重点难点平面向量数量积的坐标表示以及由此推得的长度、角度、垂直关系的坐标表示。

引入新课 1、（1）已知向量a 和b 的夹角是3π，|a |=2，|b |=1，则(a +b )2= ，|a +b |= 。

（2）已知：|a |=2，|b |=5，a ·b =－3，则|a +b |= ，|a －b |= 。

（3）已知|a |=1，|b |=2，且(a －b )与a 垂直，则a 与b 的夹角为。

2、设x 轴上的单位向量i ，y 轴上的单位向量j ，则i ·j = ，j ·i = ，i ·i = ，j ·j = ，若a =11(,)x y ，b =22(,)x y ，则a = i + j . b = i + j 。

3、推导坐标公式：a ·b = 。

4、（1）a =11(,)x y ，则|a |=____________；11(,)A x y ，22(,)B x y 则|AB |= 。

（2）cos θ= ；（3）a ⊥b ⇔ ；（4） a //b ⇔ 。

5、已知a =(4,1)-，b =(3,5)-，则|a |= ，|b |= ，a ·b = ， cos θ= ；θ= 。

例题剖析例1、已知a =(2,1)-，b =)1,3(，求(3a －b )·(a －2b )，a 与b 的夹角θ。

例2、已知|a |=1，|b |=3，a +b =(3,1)，试求：（1）|a －b | （2）a +b 与a －b 的夹角例3、在ABC ∆中，设AB =(2,3)，AC =(1,)k ，且ABC ∆是直角三角形，求k 的值。

巩固练习1、求下列各组中两个向量a 与b 的夹角：（1）a =(3,1)，b =(23,2)- （2）a =(1,1)，b =(13,13)-+2、设(2,1)A -，(6,3)B -，(0,5)C ，求证：ABC ∆是直角三角形。

2022-2023学年高一数学苏教版必修第二册 9-2-3 向量的数量积教学教案(2)

教学目标：1.学生能够理解向量数量积的概念及性质；2.学生能够正确使用向量数量积的公式计算；3.学生能够应用向量数量积解决实际问题。

教学重点、难点：1.向量数量积的概念及性质；2.向量数量积的应用。

教学准备：1.黑板、彩笔；2.PPT。

教学过程：一、引入（5分钟）向量的数量积是高中数学中重要的知识点之一，在物理、几何等领域都有着广泛应用。

请同学们回顾一下前几节课所学的向量的基本内容，了解向量的基本性质和运算法则。

那么，如何用向量表示两个物体之间的关系呢？让我们来看一段小视频。

二、讲解（30分钟）1.向量的数量积（1）定义设向量 $a$ 与向量 $b$ 的夹角为$θ$$(0≤θ≤π)$，则$ a $与$ b $的数量积记作$a·b$，定义为$|a|×|b|×cosθ$,即：$a·b=|a|×|b|×cosθ$（2）性质①通常情况下，对于向量 $a$ 与向量 $b$，数量积$a ·b=b·a$②若量积$a·b=0$，则称向量 $a$ 与向量 $b$ 互相垂直或正交，记作$a⊥b$。

③向量 $a$ 与向量 $b$ 夹角为$θ$$(0≤θ≤π)$时，$cosθ>0$，说明$θ$ 的取值范围为$[0,\frac{π}{2}]$ 或 $[\frac{3π}{2},2π]$；当$θ$ 在第二、三象限时，$cosθ<0$，说明$θ$ 的取值范围为 $(\frac{π}{2},\frac{3π}{2})$。

2.向量的数量积的运算法则对于一般向量 $a=(x_1,y_1)$ 与 $b=(x_2,y_2)$，有：$$ a·b=x_1x_2+y_1y_2 $$如图所示：3.向量数量积的应用在物理学中，向量数量积的应用很广泛，例如力的合成、功的计算等等。

我们来看一个例子：小A外出旅游，把行李箱放在旅馆卫生间门口，他想知道把入口处的绳和放在行李箱上的绳同时扯多少米的长度，才能把行李箱横拉出门口。