9解析几何
易错点09 解析几何(解析版)-备战2021年高考数学一轮复习易错题
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【答案】（1） ；（2）详见解析.
【解析】
【分析】
(1)由题意得到关于a,b,c的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程.
(2)设出点M，N的坐标，在斜率存在时设方程为 ,联立直线方程与椭圆方程，根据已知条件，已得到m,k的关系，进而得直线MN恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角形的性质即可确定满足题意的点Q的位置.
样直角三角形斜边上的中点为M(1,0)，
则半径为 ＝3，
即得所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.
【错因】因为忽视结论的检验，没有注意到点C是直角三角形的顶点，即C点不能在直线AB上，因此造成错解．
【正解】设C(x，y)，由于直角三角形斜边上的中点为M(1,0)，如图所示，则半径为 ＝3，即得圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.但是顶点C不能在直线AB上，因此y≠0，也就是要除去两个点，即(－2,0)，(4,0)，因此C点满足的方程为(x－1)2＋y2＝9(除去点(－2,0)，(4,0))．
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.
例2（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则 =________．
易错点09解析几何
—备战2021年高考数学一轮复习易错题
【典例分析】
例1（2020年普通高等学校招生全国统一考试数学）已知曲线 .（）
高中数学一轮复习课件：第九章 解析几何(必修2、选修1-1)9-3
(2)①方程 x2＋y2－6x－6y＋14＝0 可变形为(x－3)2＋(y－3)2
＝4.
yx表示圆上的点 P 与原点连线的斜率，显然当 PO(O 为原点)
与圆相切时，斜率最大或最小，如图①所示．
设切线方程为 y＝kx，即 kx－y＝0，
由圆心 C(3,3)到切线的距离等于半径 2，
可得|3kk2－＋31|＝2，解得 k＝9±25 14，
y 轴交于 A，B 两点，点 P 在圆(x－2)2＋y2＝2 上，则△ABP 面积
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的取值范围是( )
A．[2,6]
B．[4,8]
C．[ 2，3 2] D．[2 2，3 2]
(2)已知点 P(x，y)在圆 C：x2＋y2－6x－6y＋14＝0 上．
①求yx的最大值和最小值；
②求 x＋y 的最大值与最小值．
考点三 与圆有关的轨迹问题 【例 3】 设定点 M(－3,4)，动点 N 在圆 x2＋y2＝4 上运动，
P 为线段 MN 的中点，求点 P 的轨迹方程．
[思路引导]
设所求点 Px，y
→
寻求与已知 点N的关系
→
用x，、y表 示点N
→
代入点N 满足方程
[解] 设 P(x，y)，N(x0，y0)，∵P 为 MN 的中点，
[答案] D
3．若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4 的内部，则实数 a 的取
值范围是( )
A．(－1,1)
B．(0,1)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．a＝±1
[解析] 因为点(1,1)在圆的内部， 所以(1－a)2＋(1＋a)2<4，所以－1<a<1.故选 A．
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第9章 解析几何 第2课时 圆锥曲线中的定点(或定值)问题
将 x=0,y=-2 代入上式,整理得 12-2(x1+x2)+3y1y2+6(y1+y2)-x1y2-x2y1=0.(*)
6(+2)
因为 x1+x2=
2
4+3
3(+4)
,x1x2=
2
4+3
,
-8-16
所以 y1+y2=k(x1-1)-2+k(x2-1)-2=
在椭圆上,即 9
2
9(1- 1 )
9
( 1 +3)2
∴
联立
=
2
1- 2
9
2
( 2 -3)
9
+
( 2 -3)2
,
22
2
1 =1, 9
+ 22 =1,
,整理得 4x1x2-15(x1+x2)+36=0,
= + ,
2
=
22
+ 2 = 1,
得(1+9k2)x2+18kmx+9m2-9=0,
+ 4
则点 M
将
= 1,
= 1,
2 6
1,3
2 6
y=- 代入
3
解得
,N
=
2 6
1,
3
2
y= x-2,得
3
2 6或
3
= 1,
=
2 6
- 3 ,
.
x=3- 6,则点 T 3-
2 6
6,3
.
又 = ,所以点 H(5-2
第9讲 解析几何
2.以抛物线 y2＝4x 的焦点为圆心， 且过坐标原点的圆的
x2＋y2－2x＝0 方程为_______________.
解析 抛物线 y2＝4x 的焦点坐标为(1,0)，故以(1,0)为圆 心，且过坐标原点的圆的半径为 r＝ 12＋02＝1，所以 圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，即 x2＋y2－2x＝0.
第 9 讲 解析几何 高考要点回扣
1.直线的倾斜角 (1)定义. (2)倾斜角的范围为［0，π). 如①直线 xcos θ＋ 3y－2＝0 的倾斜角的范围 π 5π 是 ［0，6］∪［ 6 ，π) . ②过点 P(－ 3，1)，Q(0，m)的直线的倾斜角的范围 π 2π α∈［ ， ］ ，那么 m 值的范围是 m≤－2 或 m≥4. 3 3
11.圆的切线与弦长 (1)切线：①过圆 x2＋y2＝R2 上一点 P(x0，y0)圆的切线 方程是： 0＋yy0＝R2， xx 过圆(x－a)2＋(y－b)2＝R2 上一 点 P(x0， 0)圆的切线方程是： y (x－a)(x0－a)＋(y－b)(y0 －b)＝R2；②从圆外一点引圆的切线一定有两条，可 先设切线方程，再根据相切的条件，运用几何方法来 求；③过两切点的直线(即“切点弦”)方程的求法： 先求出以已知圆的圆心和这点为直径端点的圆，该圆 与已知圆的公共弦就是过两切点的直线方程；④切线 长：过圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0((x－a)2＋(y－b)2＝ R2) 外 一 点 P(x0 ， y0) 所 引 圆 的 切 线 的 长 为 x2＋y2＋Dx0＋Ey0＋F ( (x0－a)2＋(y0－b)2－R2 ). 如 0 0 设 A 为圆(x－1)2＋y2＝1 上动点，PA 是圆的切线，且 (x－1)2＋y2＝2 . |PA|＝1，则 P 点的轨迹方程是
【高考数学复习 解析几何专题】第9讲 巧用同构-解析版
第9讲 巧用同构 知识与方法1.同构式指的是除了变量不同,其余均相同的代数式.如果实数,a b 满足()()0,,,0,f a a b f b ⎧=⎪⎨=⎪⎩是方程()0f x =的两个根.在解析几何中,变量,a b 常以点的坐标或斜率作为同构变量,便于构建坐标或斜率之间的关系,其几何形式是“一点双线”同构模型,“双线”往往是“双切线”或“双割线”,最典型的结构图是“阿基米德三角形”. 2.圆锥曲线的切点弦(1)定义:从圆锥曲线外一点向圆锥曲线引两条切线,那么经过两切点的圆锥曲线的弦叫做切点弦. (2)切点弦方程:(1)设()00,P x y 为圆222x y r +=外一点,则切点弦方程为200x x y y r +=;(2)设()00,P x y 为椭圆22221x y a b +=外一点,则切点弦方程为00221x x y ya b +=;(3)设()00,P x y 为双曲线22221x y a b -=外一点,则切点弦方程为00221x x y ya b -=;(4)设()00,P x y 为抛物线22y px =外一点,则切点弦方程为()00y y p x x =+.典型例题【例1】如图,已知抛物线2:4C y x =,直线l 过点4,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭与抛物线C 交于第一象限内,A B 两点,设,OA OB 的斜率分别为12,k k .(1)求12k k +的取值范围;(2)若直线,OA OB 恰好与圆222:(1)(2)(0)Q x y r r -+-=>相切,求r 的值.【分析】(1)直线l 过定点4,05P ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则可得点,A B 的横、纵坐标的乘积为定值,考虑将12k k +用,A B 的坐标来表示.(2)是“一点双线”的同构模型,可由切线性质d r =得以斜率k 为主元的同构方程.【解析】(1)设4:(0)5l x ty t =->,代人24y x =,得22166440,Δ16055y ty t -+==->,得t >设点221212,,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则1212164,5y y t y y +==.()121212124445y y k k t y y y y ++=+==>所以12k k +的取值范围是()25,∞+. (2)由(1)知1212165k k y y ==,设过原点且与圆相切的直线为y kx =,r =,整理得()2221440r k k r --+-=.2122451r k k r -==-,得214r =,所以12r =. 【点睛】本题主要涉及直线与抛物线的位置关系,直线与圆相切的性质运用.在解决抛物线上两点连线的斜率时,用点的坐标差构建斜率是重要方法;对于双切线的同构模型,以斜率为同构变量是本题处理的自然方式.【例2】双曲线C 与椭圆22184x y +=有相同的焦点,直线y =为C 的一条渐近线. (1)求双曲线C 的方程;(2)过点()0,4P 的直线l 交双曲线C 于,A B 两点,交x 轴于点Q (点Q 与双曲线C 的顶点不重合).当12PQ QA QB λλ==,且1283λλ+=-时,求点Q 的坐标.【分析】【例】的核心条件是12PQ QA QB λλ==,变量12,λλ的“地位”是平等的,于是考虑将其坐标化,寻求变量12,λλ的同构方程.此外,从设线的视角,尝试以直线l 的斜率k 为主变元表示12,λλ及点Q 的坐标.【解析】(1)设双曲线方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>.由题意得22844,ba b a+=-==,所以1,a b ==双曲线C 的方程为2213y x -=.(2)由题意知直线l 的斜率k 存在且不为零.设直线l 的方程为4y kx =+,则可求点4,0Q k ⎛⎫- ⎪⎝⎭.设点()()1122,,,A x y B x y .因为11144,,4,,PQ QA PQ QA x y k k λ⎛⎫⎛⎫==--=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以111144,4.x kk y λλ⎧⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪-=⎩所以1111411,4.x k y λλ⎧⎛⎫=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=-⎪⎩因为点()11,A x y 在双曲线22:13y C x -=上,所以222116116113k λλ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭. 所以()222111616321603k k λλ-++-=. 同理可得()222221616321603k k λλ-++-=. 若2160k -=,则4,k l =±过双曲线的顶点,不合题意, 所以2160k -≠,所以12,λλ是一元二次方程()2221616321603k x x k -++-=的两个根, 因为122328163k λλ+==--,验知Δ0>,所以2k =±. 所以点Q 的坐标是()2,0±.【点睛】“设直联曲”是解决本题的基本方法.从几何形式看,同构形态不明显;从代数视角看,才可以发现以12,λλ为同构变量. 【例3】已知抛物线2y x =和()22:11C x y ++=，过抛物线上的一点()()000,1P x y y ,作C 的两条切线,与y 轴分别相交于,A B 两点.(1)若切线PB 过抛物线的焦点,求直线PB 的斜率;(2)求ABP 面积的最小值.【分析】对于(1),可设直线PB 的斜率为k ,运用切线性质求出PB 的斜率.对于(2),以坚线段AB 为底,P x 为高,考虑以两切线在y 轴上的截距12,m m 为同构变量,将ABPS表示为()0f x ,进而求最小值.【解析】(1)抛物线的焦点为1,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,设切线PB 的斜率为k .则切线PB 的方程为14y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,即104kx y k --=.点C 到切线PB1=,所以43k =±.因为点()()000,1P x y y ,所以43k =. (2)设切线方程为y kx m =+,由点P 在直线上得00y m k x -=(1)圆心到切线的距离21210m km =⇒--=(2)将(1)式代人(2)式得()2000220x m y m x +--=(3)设方程的两个根分别为12,m m . 由韦达定理得001212002,22y xm m m m x x +==-++, 从而12AB m m =-=所以)00112ABPSAB xx ==.记函数()()()22231(2)x x x f x x x +=+,则()()223211180(2)x x x f x x '++=>+,所以ABPS的最小值为23,当01x =时取得等号. 【点睛】本题的关键是以切线截距12,m m 为同构变量,将ABPS 表示为()0f x ,其中双切线是常见的同构模型.【例4】已知点()00,A x y 在抛物线24y x =上,,P Q 是直线2y x =+ 上的两个不同的点,且线段,AP AQ 的中点,M N 都在抛物线上. (1)求0y 的取值范围;(2)若APQ 的面积等于求0y 的值.【分析】对于(1),设点()(),2,,2P a a Q b b ++,线段,AP AQ 的中点都在抛物线上,得到,a b 的同构方程,继而通过对应方程解得0y 的取值范围.对于(2),将APQ 的面积表示为同构变量,a b 的关系式.【解析】(1)设点()(),2,,2P a a Q b b ++.因为点200,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,则AP 的中点20042,82y a y a M ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭,代人24y x =,得()2200042440a y a y y ---++=.同理可得()2200042440b y b y y ---++=.所以,a b 是方程()2200042440x y x y y ---++=的两个根, 所以()()22200000Δ424448320y y y y y =---++=->,解得04y >或00y <.(2)点A 到PQ的距离2d ==,由韦达定理可知,200042,44a b y ab y y +=-=-++,则PQ b =-==所以21122APQSPQ d =⋅=⋅=t =,则38240t t +-=,即()()222120t t t -++=,解得2t =,即20440y y --=,解得02y =±【点睛】已知两条线段的中点在曲线上,是得到同构方程的显性条件,利用所得同构方程的判别式得到变量的限制条件,运用韦达定理构建变量之间的关系.此类方法的运用值得关注.【例5】已知点()2,4P 和抛物线2y x =，动圆()()22:11C x y m m +-=＞ （1）若Q 是圆C 上任意一点,且4PQ 恒成立,求实数m 的取值范围;(2)如图,过点P 作圆C 的切线分别交抛物线于点,A B ,若直线AB 恰与圆C 相切,求实数m 的值.【分析】(1)PQ 的最值当且仅当,,P Q C 三点共线时取到.(2)由于直线AB 恰与圆C 相切,于是考虑以双切线的斜率表示点,A B 的坐标,进而得到直线AB 的方程;也可考虑设点()()22,,,A a a B b b 表示直线方程. 【解析】(1)由题意知,min ||114PQ PC =+=,得4545m -+.又1m >,故m的取值范围是4⎡⎣.(2)方法1设直线,PA PB 的斜率分别为12,k k ,直线PA 的方程为()142y k x -=-,即11240k x y k --+=.直线PB 的方程为()242y k x -=-.由直线PA 与圆22:()1C x y m +-=相切,1=,整理得()22113448150k m k m m +-+-+=.同理可得()22223448150k m k m m +-+-+=.所以12,k k 是方程()223448150k m k m m +-+-+=的两个不同的根， 则()()2121244815,.*33m m m k k k k --++=-=又由点差法知,12,2PA P A A A k x x x x k =+=++=,即12A x k =-, 所以点()()2112,2A k k --. 同理可得点()()2222,2B k k --.直线AB 的方程为()A B A B y x x x x x =+⋅-,即()()()1212422y k k x k k =+----,即()()121212424y k k x k k k k =+--++-.将()*代人上式,整理得()241350m x y m ---+=. 由直线AB 与圆C 相切,1=,化简得3261720m mm +-+=,即()()22810m m m -+-=,解得2m =或4m =-±因为1m >,所以2m =.方法2设点()()22,,,A a a B b b ,则2422APa k a a -==+-.所以()()2:2AP y a a x a -=+-,即()220a x y a +--=. 因为圆C 与AP 相切,所以1d ==,整理得()2234450a m a m +-+-=.同理可得()2234450b m b m +-+-=.所以,a b 为方程()2234450x m x m +-+-=的两个根,则()2445,.*33m m a b ab --+== 从而()()222,:ABa b k a b AB y a a b x a a b-==+-=+--,即()y a b x ab =+-. 将()*代人上式,得2445:33m m AB y x --=+,即()244350m x y m --+-=. 又因为圆C 与AB 相切,所以1d ==,化简得3261720m m m +-+=,即()()22810m m m -+-=, 解得2m =或4m =-因为1m >,所以2m =.【点睛】运用设点法,得到关于,a b 的同构方程,能有效减少运算量.在抛物线中,运用点差法构建直线的斜率,进而表示直线方程,是解决抛物线问题的巧妙方法.【例6】如图，已知抛物线21C x y =：，P 是圆222y 21C x ++=：（）上任意一点，过点P 作两直线12,l l ,分别交抛物线1C 于点,,,A C B D ,使得13AB CD =.(1)当M 为CD 的中点时,证明://PM y 轴; (2)求PCD 面积的取值范围.【分析】(1)11//,33PA PB AB CD AB CD PC PD =⇔==,可建立(0P x ,)()()01122,,,,y C x y D x y 三点之间的坐标关系.(2)结合(1),运用PM “铅垂高”与“水平宽”乘积的一半表示PCD 面积. 【解析】(1)证明:设点()()()001122,,,,,P x y C x y D x y .由13AB CD =可得13PA PB PC PD ==,则点010*********,,,3333x x y y x x y y A B ++++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则211222101000101,232022,33x y x x x y x x x y y ⎧=⎪⇒-+-=⎨++⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎩. 同理有22202002320x x x y x -+-=. 则12,x x 是方程220002320x x x y x -+-=的两个根, 则1202x x x +=,即1202x x x +=. 即有//PM y 轴.(2)由(1)得212012002,32x x x x x y x +==-.222121200004422y y x x PM y y x y ++=-=-=-.则12x x -==.[]3322221200000153,3,12PCDSPM x x x y y y y =⋅-=-=++∈--.则PCD S ⎡∈⎢⎣⎦.【点睛】本题的难点在于条件13AB CD =的转译,既从几何角度得到13PA PB PC PD ==,也从坐标化角度寻找同构变量;PCD 的面积采用水平分割转化“底”与“高”,可大大减少计算量.【例7】如图，F 是抛物线24x y =的焦点，过点F 的直线交抛物线于,A B 两点，抛物线在,A B 两点处的切线相交于点M . (1)求证:点M 在抛物线的准线上;(2)过抛物线上的点C 作拋物线的切线,分别交直线,AM BM 于点P ,Q ,求FPQ 面积的最小值.【分析】(1)弦AB 过点F ,可得4,1A B A B x x y y =-=,于是利用(1A x ,)()122,,y B x y 两点求出切线方程,解出交点M 的坐标.(2)将FPQ 面积表示为关于12,x x 的函数,12124,1x x y y =-=,求面积的最小值. 【解析】(1)方法1设点()()1122,,,A x y B x y ,则由2xy '=可知直线AM 的方程:21124x x y x =-.同理可得BM 的方程:22224x x y x =-.联立直线AM 与BM 的方程,解得点1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭.又2121214AB y y x x k x x -+==-，所以直线1212:44x x x x AB y x +=-过点()0,1F ,可知1214x x=-, 因此点M 在抛物线的准线上.方法2设点()11,A x y ,直线AM 的方程:()2114x y k x x -=-.()222112114,44044,x y x kx kx x y x k x x ⎧=⎪⇒-+-=⎨-=-⎪⎩, 所以()()222111Δ1644020k kx x k x =--=⇒-=,解得12x k =. 代人直线AM 的方程可得21124x x y x =-.设点()22,B x y ,同理可得直线BM 的方程:22224x x y x =-.可得点1212,24x x x x M +⎛⎫⎪⎝⎭.又设直线AB 的方程:221,1.4404,y k x y k x x k x x y =+⎧=+⇒--=⎨='''⎩. 因为12,x x 是上述方程的两个根,所以124x x =-, 可知1214x x =-,即点12,12x x M +⎛⎫- ⎪⎝⎭. 因此点M 在抛物线的准线上.(2)设点()33,C x y ,则直线PQ 的方程:23324x x y x =-,则点F 到直线PQ的距离231x d +==,同(1)中的解法可得点13132323,,,2424x x x x x x x x P Q ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.所以PQ ==, 所以212123112444FPQx x x x x Sd PQ --⎛⎫==+ ⎪⎝⎭,当1232,2,0x x x =-==时取得等号.【点睛】本题的基本结构是“一点两线”所围成的阿基米德三角形,常用方法是选择两个切点坐标或切线斜率作为同构变量,从而将面积表示为坐标或斜率的函数关系,其关键是紧扣,A B 的坐标关系.【例8】如图,已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点,抛物线2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在抛物线C 上. （1）设AB 的中点为M ,证明:PM 垂直于y 轴;(2)若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点,求PAB 面积的取值范围.【分析】(1)先设点()21002,,,4y P x y A y ⎛⎫⎪⎝⎭,将,PA PB 的中点代入抛物线的方程,得到12,x x 的同构方程,探寻M P y y =.(2)由(1)知,将PAB 面积以PM 为水平线进行分割,即将面积表示为()02112M S x x y y =-⋅-,进而以0x 限制PAB 面积的取值范围.【解析】（1）设点()22120012,,,,,44y y P x y A y B y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则AP 的中点为20011,282x y y y ⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 由AP 的中点在抛物线上,可得2201014228y y x y ⎛⎫+⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,化简得2210100280y y y x y -+-=.显然21y y ≠,且对2y 也有2220200280y y y x y -+-=. 所以12,y y 是二次方程22000280y y y x y -+-=的两个不等实根, 所以1212002,2M P y y y y y y y y ++====,即PM 垂直于x 轴. (2)()()()120121122PABM P M M M Sx x y y y y x x y y =--+-=--, 由(1)可得212012002,8y y y y y x y +==-,()()()()2220000012Δ248840y x y y x y y =--=->≠,此时点()00,P x y 在半椭圆221(0)4y x x +=<上,所以()()()222000000Δ848414321y x x x x x ⎡⎤=-=--=--⎣⎦, 因为010x -<,所以Δ0>,所以12y y a-===,()()()()22222000121212000220042828886443318M P y x y y y y y y y x x x x x xxx x --+-+-=-=-=--=-=--所以()2301200112PABM Sx x y y x x =--=--=,因为t ⎡=⎢⎣⎦,所以3S ⎡=∈⎢⎣⎦,即PAB 面积的取值范围是⎡⎢⎣⎦.【点睛】本题从代数的视角,利用割线段的中点在拋物线上,得到以12,y y 为变量的同构方程.这是同构问题的常用处理方式;通过同构方程建立多点之间的坐标关系,在面积函数的整体消元中起到关键作用,因此,同构法是本题的破题核心.。
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第9章 解析几何 第2节 点与直线、两条直线的位置关系
解析:(1)当直线 x+y=0 平移到与曲线
9
y=x+ 相切位置时,
切点 P 到直线 x+y=0 的距离最小.
由
9
y'=1- 2 =-1,得
3 2
9 2
x= (负值舍去),y= ,即切点
2
2
3 2 9 2
+ |
2
2
12 +12
|
则切点 P 到直线 x+y=0 的距离为
=6.
P
3 2 9 2
,
2
2
联立
解得
= 1.
- + 2 = 0,
x-2y+3=0.
2+ 4+
,
3
3
,
∴△ABC的外心为(-1,1).则(m+1)2+(n-1)2=32+12=10,
整理得m2+n2+2m-2n=8,②
联立①②,得m=-4,n=0或m=0,n=4.
当m=0,n=4时,点B,C重合,舍去.
∴顶点C的坐标是(-4,0).故选A.
(3)过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方
程:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R,这个直线系不包括直线l2,解题时,
注意检验l2是否满足题意,以防漏解).
3.对称问题
(1)点P(a,b)关于x轴的对称点的坐标为(a,-b);关于y轴的对称点的坐标为(-a,
对点训练1(1)(2021安徽合肥六中模拟)“直线ax+2y+4=0与直线x+(a-1)y
人教A版高考总复习一轮理科数学精品课件 第9章 解析几何 第7节 抛物线
第七节 抛物线
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
1.了解抛物线的实际背景,感
受抛物线在刻画现实世界和
解决实际问题中的应用.
2.了解抛物线的定义、几何
图形和标准方程,以及它的简
单几何性质.
3.通过抛物线的学习,进一步
体会数形结合的思想.
4.了解抛物线的简单应用.
衍生考点
2
因为 sin
1
1
∠MFG=3,所以|DM|=3|MF|,即 x0-2
=
1
3
0 + 2
,
解得x0=p.②
由①②,解得x0=p=-2(舍去)或x0=p=2.故抛物线C的方程为y2=4x.故选C.
(2)连接 FA,因为 F 就是圆 −
2
2
2
+y
=
的圆心,所以
2
4
又|KF|=p,所以∠AKF=30°,那么∠AKB=60°,
方程法,即当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或
x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
(2)用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
2.确定抛物线几何性质的三个要点
对点训练 2(1)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的焦点为 F,点 M(x0,2 2) 0 >
2
是抛物线 C 上的一点,以点 M 为圆心的圆与直线
常用结论
1.设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦,若A(x1,y1),B(x2,y2),如图所示,则
2
(1)x1x2= 4 ,y1y2=-p2;
2023年新高考数学创新题型微专题09 解析几何专题(数学文化)(解析版)
专题09 解析几何专题（数学文化）一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）古希腊数学家阿波罗尼奥斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线，用垂直于圆锥轴的平面去截圆雉，得到的截面是圆；把平面再渐渐倾斜得到的截面是椭圆.若用面积为128的矩形ABCD 截某圆锥得到椭圆τ，且τ与矩形ABCD 的四边相切.设椭圆τ在平面直角坐标系中的方程为()222210x y a b a b +=>>，下列选项中满足题意的方程为（ ） A ．2216416x y +=B ．2211664x y +=C ．22125616x y +=D ．2216432x y +=【答案】A【分析】由题得32ab =，再判断选项得解.【详解】解：矩形ABCD 的四边与椭圆相切，则矩形的面积为22128a b ⋅=，所以32ab =. 只有选项A 符合. 故选：A2．（2023·全国·高三专题练习）第24届冬季奥林匹克运动会，将于2022年2月在北京和张家口举行，北京冬奥会会徽以汉字“冬”为灵感来源，运用中国书法的艺术形态，将厚重的东方文化底蕴与国际化的现代风格融为一体，呈现出新时代的中国新形象、新梦想．会徽图形上半部分展现滑冰运动员的造型，下半部分表飘舞的丝带，下部为奥运五环，不仅象征五大洲的团结，而且强调所有参赛运动员应以公正、坦诚的运动员精神在比赛场上相见．其中奥运五环的大小和间距按以下比例（如图）：若圆半径均为12，则相邻圆圆心水平距离为26，两排圆圆心垂直距离为11，设五个圆的圆心分别为12345,,,,O O O O O ，若双曲线C 以13,O O 为焦点、以直线24O O 为一条渐近线，则C 的离心率为（ ）A B C ．1311D ．125【答案】B【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，求出双曲线渐近线的方程，结合离心率的意义计算作答.【详解】依题意，以点2O 为原点，直线13O O 为x 轴建立平面直角坐标系，如图，点4(13,11)O −−，设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b −=>>，其渐近线为b y x a=±，因直线24O O 为一条渐近线，则有1113b a =，双曲线C 的离心率为e ===故选：B3．（2022春·云南曲靖·高二校考开学考试）加斯帕尔·蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（图乙），则椭圆22:1169x y C +=的蒙日圆的半径为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径．【详解】解：由蒙日圆的定义，可知椭圆22:1169x y C +=的两条切线4x =、3y =的交点()4,3在圆上，所以蒙日圆的半径5R ==. 故选：C ．4．（2022·全国·的椭圆称为“最美椭圆”．已知椭圆C 为“最美椭圆”，且以椭圆C 上一点P 和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为4，则椭圆C 的方程为（ ）．A ．2212x y +=B ．22142x y +=C ．22163x y +=D ．22184x y +=【答案】D【分析】先由e =2c a =与2b a =，再由12PF F S 的最大值得4bc =，进而求得28a =，24b =，故可得到椭圆C 的方程.【详解】解：由已知c e a ==c =，故b ，∵121211222PF F P P S F F y c y bc ==⨯≤，即()12max4PF F S bc ==，∴422a a ⨯=，得28a =，故22142b a ==，所以椭圆C 的方程为22184x y +=.故选：D ．5．（2022秋·江苏南京·高二南京市第一中学校考阶段练习）德国数学家米勒曾提出最大视角问题，这一问题一般的描述是：已知点A 、B 是MON ∠的ON 边上的两个定点，C 是OM 边上的一个动点，当C 在何处时，ACB ∠最大问题的答案是：当且仅当ABC 的外接圆与边OM 相切于点C 时，ACB ∠最大．人们称这一命题为米勒定理．已知点P ，Q 的坐标分别是(2,0)，(6,0)，R 是y 轴正半轴上的一动点，当PRQ ∠最大时，点R 的纵坐标为（ ）AB ．2C ．D ．4【答案】C【分析】由米勒定理确定PRQ △的外接圆与y 轴的位置关系，再应用垂径定理、直线与圆关系确定圆心和半径，进而写出PRQ △的外接圆的方程，即可求R 的纵坐标.【详解】因为P ，Q 分别是(2,0)，R 是y 轴正半轴上的一动点， 根据米勒定理知，当PRQ △的外接圆与y 轴相切时，PRQ ∠最大， 由垂径定理知，弦PQ 的垂直平分线必过PRQ △的外接圆圆心， 所以弦PQ 中点G 的坐标为(4,0)，故弦PQ 中点的横坐标即为PRQ △的外接圆半径的大小，即4r =，由垂径定理得圆心为，所以PRQ △的外接圆的方程为22(4)(16x y −+−=，令0x =，得R 的纵坐标为 故选：C6．（2022秋·新疆乌鲁木齐·高二乌市八中校考期中）德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆，已知地球运行的轨道是一个椭圆，太阳在它的一个焦点上，若轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比为28:29，那么地球运行轨道所在椭圆的离心率是（ ）A ．159B ．12C ．2956D ．157【答案】D【分析】根据题意可得2829a c a c −=+，进而即得. 【详解】设椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ， 由题意可得2829a c a c −=+， 所以57a c =，即157c a =， 因此地球运行轨道所在椭圆的离心率是157． 故选：D.7．（2022秋·福建·高二校联考期中）几何学史上有一个著名的米勒问题：“设点,M N 是锐角AQB ∠的一边QA 上的两点，试在QB 边上找一点P ，使得MPN ∠最大.”如图，其结论是：点P 为过M ，N 两点且和射线QB 相切的圆与射线QB 的切点.根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系xOy 中，给定两点()()1,2,1,4M N −，点P 在x 轴上移动，当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是（ ）A ．1B ．7−C ．1或1−D ．1或7−【答案】A【分析】利用米勒问题的结论，将问题转化为点P 为过M ，N 两点且和x 轴相切的圆与x 轴的切点，求出切点的横坐标即可.【详解】由题意知，点P 为过M ，N 两点且和x 轴相切的圆与x 轴的切点，线段MN 的中点坐标为()03，，线段MN 的垂直平分线方程为3y x −=−， 所以以线段MN 为弦的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线3y x −=−上， 所以可设圆心坐标为(),3C a a −，又因为圆与x 轴相切，所以圆C 的半径3r a =−，又因为CN r =，所以()()()2221343a a a −+−−=−，解得1a =或7a =−，即切点分别为()1,0P 和()7,0P '−，由于圆上以线段MN （定长）为弦所对的圆周角会随着半径增大而圆周角角度减小，，且过点,,M N P '的圆的半径比过,,M N P 的圆的半径大，所以MP N MPN '∠<∠，故点()1,0P 为所求，所以当MPN ∠取最大值时，点P 的横坐标是1. 故选：A.8．（2022秋·北京·高二北大附中校考期末）公元前 4 世纪， 古希腊数学家梅内克缪斯利用垂直于母线的平面去截顶角分别为锐角、钝角和直角的圆锥，发现了三种圆锥曲线.之后，数学家亚理士塔欧、欧几里得、阿波罗尼斯等都对圆锥曲线进行了深 入的研究.直到 3 世纪末，帕普斯才在其《数学汇编》中首次证明：与定点和定直线的距离成定比的点的轨迹是圆锥曲线， 定比小于、大于和等于 1 分别对应椭圆、双曲线和抛物线.已知,A B 是平面内两个定点， 且 |AB | = 4，则下列关于轨迹的说法中错误的是（ ） A ．到,A B 两点距离相等的点的轨迹是直线 B ．到,A B 两点距离之比等于 2 的点的轨迹是圆 C ．到,A B 两点距离之和等于 5 的点的轨迹是椭圆 D ．到,A B 两点距离之差等于 3 的点的轨迹是双曲线 【答案】D【分析】判断到,A B 两点距离相等的点的轨迹是,A B 连线的垂直平分线，判断A;建立平面直角坐标系，求出动点的轨迹方程，可判断B;C,D .【详解】对于A ，到,A B 两点距离相等的点的轨迹是,A B 连线的垂直平分线，正确； 对于B ，以AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，则()()2,0,2,0A B −，设动点(,)P x y ，由题意知||2||PA PB =,2= ，化简为221064()39x y −+=， 即此时点的轨迹为圆，B 正确；对于C ，不妨设动点P 到,A B 两点距离之和等于5 ，即5PA PB +=，由于54>， 故到,A B 两点距离之和等于 5 的点的轨迹是以,A B 为焦点的椭圆，C 正确； 对于D ，设动点P 到,A B 两点距离之差等于3 ，即||||3−=PA PB ,由于34<， 故到,A B 两点距离之差等于3 的点的轨迹是双曲线靠近B 侧的一支，D 错误， 故选：D9．（2021秋·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校联考期中）古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中描述了圆锥曲线的共性，并给出了圆锥曲线的统一定义，只可惜对这一定义欧几里得没有给出证明．经过了500年，到了3世纪，希腊数学家帕普斯在他的著作《数学汇篇》中，完善了欧几里得关于圆锥曲线的统一定义，并对这一定义进行了证明．他指出，到定点的距离与到定直线的距离的比是常数e 的点的轨迹叫做圆锥曲线；当01e <<时，轨迹为椭圆；当1e =时，轨迹为抛物线；当1e >时，轨迹为双曲线．现有方程()()22221223m x y y x y +++=−+表示的曲线是双曲线，则m 的取值范围为（ ）A ．()0,8B ．()8,+∞C ．()0,5D ．()5,+∞【答案】A【分析】将原方程两边同时开平方，结合两点得距离公式和点到直线的距离公式，以及圆锥曲线的统一定义，可得关于m 的不等式，从而可得出答案.【详解】解：由方程()()22221223m x y y x y +++=−+，0m >，得()()2221223m x y x y ⎡⎤++=−+⎣⎦，223x y =−+，=可得动点(),x y 到定点()0,1−和定直线2230xy −+=， 1>，解得08m <<. 故选：A.10．（2022·全国·高三专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin （17941847−）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面､截面相切，两个球分别与截面相切于,E F ，在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于,C B ，由球和圆的几何性质，可以知道，AE AC =，AF AB =，于是AE AF AB AC BC +=+=.由,B C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以,E F 为焦点的椭圆.如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P ，则球在桌面上的投影是椭圆，已知12A A 是椭圆的长轴，1PA 垂直于桌面且与球相切，15PA =，则椭圆的焦距为（ ） A ．4 B ．6C ．8D ．12【答案】C【分析】设球O 与1PA 相切与点E ，可得2tan 3OPE ∠=，利用二倍角正切公式可得12tan A PA ∠，由此可得a ，由1A F a c =−可求得焦距.【详解】设球O 与1PA 相切与点E ，作出轴截面如下图所示，由题意知：2OE OF ==，523PE =−=，2tan 3OE OPE PE ∴∠==， ()12242tan 123tan tan 241tan 519OPE A PA OPE OPE ∠∴∠=∠===−∠−， 又15PA =，1212A A ∴=，6a ∴=，又12A F a c =−=，4c ∴=，∴椭圆的焦距为28c =.故选：C.11．（2022·全国·高三专题练习）阿基米德在他的著作《关于圆锥体和球体》中计算了一个椭圆的面积．当我们垂直地缩小一个圆时，我们得到一个椭圆，椭圆的面积等于圆周率π与椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的面积为，两个焦点分别为12,F F ，点P 为椭圆C 的上顶点．直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若,PA PB 的斜率之积为89−，则椭圆C 的长轴长为（ ）A ．3B ．6C ．D ．【答案】B【分析】由题意得到方程组ab =①和2289b a =②，即可解出a 、b ，求出长轴长.【详解】椭圆的面积S ab π==，即ab =. 因为点P 为椭圆C 的上项点，所以()0,P b .因为直线y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，不妨设(),A m n ，则(),B m n −−且22221m n a b +=，所以22222a n m a b=−. 因为,PA PB 的斜率之积为89−，所以89n b n b m m −−−⋅=−−，把22222a n m a b=−代入整理化简得：2289b a =②①②联立解得：3,a b == 所以椭圆C 的长轴长为2a =6. 故选：B12．（2022秋·北京·高二北京工业大学附属中学校考期中）著名数学家华罗庚曾说过：“数无形时少直觉，形少数时难入微.”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，平面上点(),M x y 与点(),N a b 的距离.结合上述观点，可得()f x =（ ）A ．5BCD ．2【答案】C【分析】记点(),0P x 、()5,1A −、()3,2B −−，可得出()f x PA PB =+，数形结合可求得()f x 的最小值.【详解】因为()f x =记点(),0P x 、()5,1A −、()3,2B −−，则()f x PA PB AB =+≥==f x当且仅当点P为线段AB与x轴的交点时，等号成立，即()故选：C.13．（2022秋·福建福州·高二福建省福州延安中学校考阶段练习）1949年公布的《国旗制法说明》中就五星的位置规定：大五角星有一个角尖正向上方，四颗小五角星均各有一个角尖正对大五角星的中心点．有人发现，第三颗小星的姿态与大星相近．为便于研究，如图，以大星的中心点为原点，建立直角坐标系，OO1，OO2，OO3，OO4分别是大星中心点与四颗小星中心点的连接线，α≈16°，则第三颗小星的一条边AB所在直线的倾斜角约为（）A．0°B．1°C．2°D．3°【答案】C【分析】根据5颗星的位置情况知∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E并确定∠OO3E的大小，即可知AB所在直线的倾斜角.【详解】∵O，O3都为五角星的中心点，∴OO3平分第三颗小星的一个角，又五角星的内角为36°知：∠BAO3＝18°，过O3作x轴的平行线O3E，如下图，则∠OO3E＝α≈16°，∴直线AB 的倾斜角为18°－16°＝2°. 故选：C14．（2022秋·湖北·高二宜城市第一中学校联考期中）在唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为()()22111x y ++−≤，若将军从点(1,0)处出发，河岸线所在直线方程为50x y +−=，并假定将军只要到达军营所在区域即认为回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）A．B ．C ．1D ．1【答案】C【分析】先求出将军出发点M 关于河岸所在直线的对称点N ，再连接CN 交河岸所在直线于点P ，则由对称性可知1NC −为最短距离，求解即可． 【详解】解：如图，设()1,0M 关于河岸线所在直线:50l x y +−=的对称点N 为(,)a b ，根据题意，设军营所在区域为以圆心为C ，半径1r =的圆上和圆内所有点，1NC −为最短距离，先求出N 的坐标，MN 的中点为1(2a +，)2b，直线MN 的斜率为1，则(1)1115022ba ab ⎧⋅−=−⎪⎪−⎨+⎪+−=⎪⎩，解得54a b =⎧⎨=⎩，(5N ∴，4)，又(1,1)C −，所以111NC −==， 故选：C ．15．（2022秋·安徽合肥·高二合肥市第七中学校联考期中）国家体育场“鸟巢”的钢结构鸟瞰图如图1所示，内外两圈的钢骨架是离心率相同的椭圆；某校体育馆的钢结构与“鸟巢”相同，其平面图如图2所示，若由外层椭圆长轴一端点A 和短轴一端点B 分别向内层椭圆引切线AC ，BD ，且两切线斜率之积等于13−，则椭圆的离心率为（ ）A ．13B ．23CD【答案】D【分析】设内层椭圆方程为2221x y a b+，则外层椭圆方程为()()22221x y ma mb +=（1m >），分别列出过,A C 和,B D 的切线方程，联立切线和内层椭圆，由Δ0=分别转化出2212,k k 的表达式，结合221219k k ⋅=可求a 与b 关系式，齐次化可求离心率.【详解】设内层椭圆方程为22221x y a b +=（0a b >>），因为内、外层椭圆离心率相同，所以外层椭圆方程可设成()()22221x y ma mb +=（1m >），设切线AC 方程为()1y k x ma =+，与22221x y a b+=联立得，()2222224222113120ba k x ma k x m a k ab +++−=，由()()()23222224222111Δ240ma k b a k m a k a b =−+⋅−=，化简得：()2212211b k a m =⋅−，设切线BD 方程为2y k x mb =+，同理可求得()222221b k m a=−，所以()22242221222241113191b b b k k m a m a a ⎛⎫=⋅⋅⋅−==− −⎭=⎪⎝，2222222113b ac c a a a −==−=，所以2223c a =，因此3c e a ==. 故选：D二、多选题16．（2020秋·重庆巴南·高二重庆市实验中学校考阶段练习）2020年11月24日，我国在中国文昌航天发射场，用长征五号遥五运载火箭成功发射探月工程嫦娥五号探测器，它将首次带月壤返回地球，我们离月球的“距离”又近一步了.已知点()10M ，，直线:2l x =−，若某直线上存在点P ，使得点P 到点M 的距离比到直线l 的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ） A ．点P 的轨迹曲线是一条线段 B ．26y x =+不是“最远距离直线” C ．112y x =+是“最远距离直线” D ．点P 的轨迹与直线'l ：=1x −是没有交会的轨迹(即两个轨迹没有交点) 【答案】BCD【分析】由题意结合抛物线的定义可得点P 的轨迹，可以判断选项A ，根据抛物线的曲线性质可判断选项D ，对于选项B 和C ，结合题意可知，判断直线是否是“最远距离直线”,只需要联立抛物线与直线方程，通过判断方程是否有解即可.【详解】由题意可得：点P 到点M 的距离比等于点P 到直线l 的距离，由抛物线的定义可知，点P 的轨迹是以()10M ，为焦点的抛物线，即：24y x =， 故A 选项错误；对于选项B 和C ：判断直线是不是“最远距离直线”， 只需要判断直线与抛物线24y x =是否有交点，所以联立直线26y x =+与抛物线24y x =可得方程2590x x ++=， 易得方程2590x x ++=无实根，故选项B 正确； 同理，通过联立直线112y x =+与抛物线24y x =可得方程21240x x −+=， 易得方程2590x x ++=有实根，故选项C 正确；由于抛物线24y x =与其准线=1x −没有交点，所以选项D 正确； 故选：BCD.【点睛】抛物线方程中，字母p 的几何意义是抛物线的焦点F 到准线的距离，2p等于焦点到抛物线顶点的距离．而抛物线的定义是我们解题的关键，牢记这些对解题非常有益．17．（2022·广东·统考模拟预测）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.(),A x y与点(),B a b 之间的距离的几何问题.结合上述观点，对于函数()f x =下列结论正确的是（ ）A ．()6f x =无解B ．()6f x =的解为x =C ．()f x 的最小值为D ．()f x 的最大值为【答案】BC【分析】根据两点间距离公式，结合椭圆的定义和性质分别进行判断即可．【详解】解：()f x =，设(),1P x ，()2,0A −，()2,0B ， 则()f x PA PB =+，若()6f x =，则64PA PB AB +=>=， 则P 的轨迹是以A ，B 为焦点的椭圆， 此时26a =，2c =，即3a =，2945b =−=，即椭圆方程为22195x y +=，当1y =时，得2141955x =−=，得2365x =，得5x =±，故A 错误，B 正确， B 关于1y =对称点为()2,2C ，则PA PB PA PC AC +=+≥，当,,A P C 三点共线时，()f x 最小，此时()f x AC =====，()f x 无最大值，故C 正确，D 错误， 故选：BC .18．（2022秋·广东茂名·高二统考期末）(多选)如图所示，“嫦娥四号”卫星将沿地月转移轨道飞向月球后，在月球附近一点P 变轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行．若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ ）A ．1122a c a c +=+B ．1122a c a c −=−C ．11c a <22c a D ．1212c a a c >【答案】BD【分析】根据题意得1122a c a c PF −=−=，再结合不等式的性质即可得答案.【详解】观察图形可知1122a c a c +>+，即A 不正确；1122a c a cPF −=−=，即B 正确；由11220a c a c =−>−，120c c >> 知，112212a c a c c c −−<，即1212a a c c <，从而1212c a a c >,即：1212c c a a > ,即D 正确，C 不正确． 故选：BD【点睛】本题考查知识的迁移与应用，考查分析问题与处理问题的能力，是中档题.本题解题的关键在于由图知1122a c a c PF −=−=，进而根据不等式性质讨论求解. 19．（2022·全国·为黄金比，记为ω.定义：若椭圆的短轴与长轴之比为黄金比ω，则称该椭圆为“黄金椭圆”.以椭圆中心为圆心，半焦距长为半径的圆称为焦点圆.若黄金椭圆”：22221(0)x y a b a b +=>>与它的焦点圆在第一象限的交点为Q ，则下列结论正确的有（ ） A ．21ωω+=B ．黄金椭圆离心率e ω=C ．设直线OQ 的倾斜角为θ，则sin θω=D ．交点Q 坐标为(b ,ωb )【答案】AC【分析】A ：由方程210ωω+−=的根可判断正误；B ：由题设b aω=，根据椭圆参数关系及离心率c e a =即可判断正误；C ：由圆的性质有12QF QF ⊥且122QF F θ∠=，122QF QF a +=，结合同角平方关系、倍角正弦公式可判断正误；D ：由C 易得Q 点纵坐标为c ω且b c ≠，即可判断正误. 【详解】A ：方程210ωω+−=的一个根为ω=B：由题意知，b a ω==，则c e a ω====≠，错误； C ：易知12QF QF ⊥，且122QF F θ∠=，则212sin ,2cos 22QF c QF c θθ=⋅=⋅，所以122sin cos 222QF QF c a θθ⎛⎫+=⋅+= ⎪⎝⎭，即sin cos 22a c θθ+==1sin 1θω+===即sin 1θω==，正确；D ：由OQ c =，结合sin θω=知：Q 点纵坐标为sin c c θω=，而b c ≠，错误. 故选：AC【点睛】关键点点睛：根据黄金椭圆、焦点圆定义及椭圆参数关系，计算离心率、夹角正弦值以及判断交点坐标.20．（2022·全国·高二假期作业）1765年，数学家欧拉在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心､重心､垂心在同一条直线上，这条直线就是后人所说的“欧拉线”.已知ABC 的顶点()()1,0,0,2B C −，重心12,63G ⎛⎫⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．点A 的坐标为3,02⎛⎫⎪⎝⎭B ．ABC 为等边三角形 C ．欧拉线方程为2430x y +−=D ．ABC 外接圆的方程为22151254864x y ⎛⎫⎛⎫−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】ACD【分析】根据重心公式计算得到A 正确；计算5,2AB AC BC ===B 错误；计算线段BC 垂直平分线的方程得到C 正确；计算外接圆圆心为15,48M ⎛⎫⎪⎝⎭，得到圆方程，D 正确，得到答案.【详解】12,63G ⎛⎫ ⎪⎝⎭为ABC 的重心，设(),A x y ，由重心坐标公式()1016320233x y ⎧+−+=⎪⎪⎨++⎪=⎪⎩，解得320x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，3,02A ⎛⎫⎪⎝⎭，选项A 正确；5,2AB AC BC ===ABC 不是等边三角形，故选项B 错误；AB AC =，ABC 的外心､重心､垂心都位于线段BC 的垂直平分线上，ABC 的顶点()()1,0,0,2B C −，线段BC 的中点的坐标为1,12⎛⎫− ⎪⎝⎭，线段BC 所在直线的斜率()20201BC k −==−−，线段BC 垂直平分线的方程为11122y x ⎛⎫−=−+ ⎪⎝⎭，即2430x y +−=，ABC 的欧拉线方程为2430x y +−=，故选项C 正确；因为线段AB 的垂直平分线方程为14x =，ABC 的外心M 为线段BC 的垂直平分线与线段AB 的垂直平分线的交点，所以交点M 的坐标满足243014x y x +−=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得15,48M ⎛⎫⎪⎝⎭，外接圆半径r MB ==ABC 外接圆方程为22151254864x y ⎛⎫⎛⎫−+−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选项D 正确. 故选：ACD.21．（2023秋·江苏南京·高二校考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A ，B 的距离之比为定值()1λλ≠的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”.在平面直角坐标系中，已知()4,3A −，()2,3B ，动点P 满足2PAPB=，记点P 的轨迹为圆C ，又已知动圆D ：()()22cos sin 1x y θθ−+−=.则下列说法正确的是（ ）A ．圆C 的方程是()()224316x y −+−=B ．当θ变化时，动点D 的轨迹方程为221x y +=C ．当32πθ=时，过直线AD 上一点Q 引圆C 的两条切线，切点为E ，F ，则EQF ∠的最大值为2π D ．存在θ使得圆C 与圆D 内切 【答案】ABC【分析】对于A 根据“阿波罗尼斯圆”的定义列式化简即可；对于B ，设圆心(),D x y ，而cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩，消去θ即可得到圆心D 的估计方程；对于C ，因为CQE △是直角三角形，根据三角函数找出CQE ∠的最大值，再得出EQF ∠的最大值；对于D ，根据两点间的距离公式计算出CD 范围，再根据两圆内切条件判断即可. 【详解】.解：设(),P x y ，由2PAPB=2=化简整理得：()()224316x y −+−=.故A 正确；设(),D x y ，则cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩消去θ得221x y +=.故B 正确；当32πθ=时，()0,1D −，直线AD 的方程为：10x y ++=. 因为4sin CE CQE CQCQ∠==，要使EQF ∠最大，只需CQ 最小.所以min CQ ==()max sin CQE ∠=()max 4EQC π∠=.所以EQF ∠的最大值为2π，故C 正确；因为[]4,6CD =，若两圆内切有413CD =−=，故不存在θ使得3CD =，故D 错误. 故选: ABC22．（2022秋·江苏无锡·高二江苏省天一中学校考期末）双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布﹒伯努利用来描述他所发现的曲线.在平面直角坐标系xOy 中，把到定点()1,0F a −，()2,0F a 距离之积等于()20a a >的点的轨迹称为双纽线C .已知点()00,P x y 是双纽线C 上一点，下列说法中正确的有（ ） A ．双纽线C 关于x 轴对称B ．022a a y −≤≤ C．双纽线C 上满足12PF PF =的点P 有两个 D ．PO 【答案】ABD【解析】对A ，设动点(),C x y ，则对称点(),x y −代入轨迹方程，显然成立；对B ，根据12PF F △的面积范围证明；对C ，若12PF PF =，则()00,P x y 在y 轴上，代入轨迹方程求解；对D ，根据余弦定理分析12PF F △中的边长关系，进而利用三角形的关系证明即可.【详解】对A ，设动点(),C x y ，由题意可得C 2a =把(),x y 关于x 轴对称的点(),x y −代入轨迹方程，显然成立，故A 正确； 对B ，因为()00,P x y ，故12121212011sin 22PF F SPF PF F PF F F y =⋅⋅∠=⋅． 又212PF PF a ⋅=，所以2120sin 2a F PF a y ∠=⋅，即012sin 22a ay F PF =∠≤，故022a a y −≤≤．故B 正确；对C ，若12PF PF =，则()00,P x y 在12F F 的中垂线即y 轴上．故此时00x =2a =，可得00y =，即()0,0P ，仅有一个，故C 错误； 对D ，因为12POF POF π∠+∠=， 故12cos cos 0POF POF ∠+∠=，222222112212022OP OF PF OP OF PF OP OF OP OF +−+−+=⋅⋅，因为12OF OF a ==，212PF PF a ⋅=，故22221222OP a PF PF +=+． 即()2221212222OP a PF PF PF PF +=−+⋅，所以()22122OP PF PF =−．又12122PF PF F F a −≤=，当且仅当P ，1F ，2F 共线时取等号． 故()222122(2)OP PF PF a =−≤，即222OP a ≤，解得OP ≤，故D 正确． 故选：ABD.【点睛】关键点睛：本题考查了动点轨迹方程的性质判定，因为轨迹方程比较复杂，故在作不出图像时，需要根据题意求出动点的方程进行对称性分析，同时结合解三角形的方法对所给信息进行辨析.三、填空题23．（2022秋·内蒙古赤峰·高二校考期末）油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史．为宣传和推广这一传统工艺，某活动中将一把油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示．该伞沿是一个半径为260︒时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，该椭圆的离心率e =_____________．【答案】12##0.5【分析】由伞沿半径及圆心到伞柄底端的距离，得伞柄与地面夹角为60︒，阳光光线与伞柄平行，易得椭圆长半轴，短半轴的长，可求出离心率.【详解】因为伞沿是半径为2设伞柄与地面的夹角为θ，则tan θ==60θ=︒，即阳光光线与伞柄平行，所以椭圆长半轴2sin 60a ==︒，短半轴2b =，离心率12e ==.故答案为：12.24．（2022秋·河南·高二校联考期末）台球赛的一种得分战术手段叫做“斯诺克”：在白色本球与目标球之间，设置障碍，使得本球不能直接击打目标球.如图，某场比赛中，某选手被对手做成了一个“斯诺克”，本球需经过边BC ，CD 两次反弹后击打目标球N ，点M 到,CD BC 的距离分别为200cm,60cm ，点N 到,CD BC 的距离分别为80cm,120cm ，将M ，N 看成质点，本球在M 点处，若击打成功，则tan θ=___________．【答案】914【分析】以C 为原点，,DC BC 边分别为x 轴，y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，写出,M N 的坐标，求出N 关于x 轴的对称点N '的坐标，N '关于y 轴的对称点N ''的坐标，则直线MN ''方向为本球射出方向，利用斜率公式和诱导公式可求出结果.【详解】以C 为原点，,DC BC 边分别为x 轴，y 轴建立平面直角坐标系，如图，则(120,80),(60,200)N M −−−−，N 关于x 轴的对称点为(120,80),N N '−'关于y 轴的对称点为(120,80)N ''， 直线MN ''方向为本球射出方向，故π8020014tan()=2120609θ+−=+,9tan 14θ=. 故答案为：914. 25．（2022秋·云南·高三校联考阶段练习）大约在2000多年前，我国的墨子给出了圆的概念“一中同长也”，意思是说，圆有一个圆心，圆心到圆周的长都相等．这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早100多年．已知直角坐标平面内有一点(2,0)C 和一动点P 满足||2CP =，若过点M 的直线l 将动点P 的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =__________．2【分析】过定点M 的直线l 将动点P 的轨迹分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，圆心到直线l 的距离最远，即为圆心到M 的距离.此时，直线l 与CM 垂直，由1l CM k k =−可得答案. 【详解】依题意可知，动点P 的轨迹是以C 为圆心，2r =为半径的圆， 即22:(2)4C x y −+=e .因为22(12)34−+=<，故点M 在C 内. 当劣弧所对的圆心角最小时，CM l ⊥.因为直线CM的斜率CM k == 所以所求直线l的斜率k =故答案为：2. 26．（2022秋·湖南·高二校联考期中）古希腊数学家阿基米德早在2200多年前利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积，已知椭圆221287x y +=，则该椭圆的面积为________．【答案】14π【分析】根据椭圆方程求出a 、b ，依题意椭圆的面积S ab π=，从而计算可得.【详解】解：对于椭圆221287x y +=，则a =b =，所以椭圆的面积14S ab ππ==； 故答案为：14π27．（2022·广东韶关·统考一模）我们知道距离是衡量两点之间的远近程度的一个概念.数学中根据不同定义有好多种距离.平面上，欧几里得距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点间的直线距离，即AB d =切比雪夫距离是()11,A x y 与()22,B x y 两点中横坐标差的绝对值和纵坐标差的绝对值中的最大值，即{}1212max ,AB d x x y y '=−−.已知P 是直线:2150l x y +−=上的动点，当P 与O （O 为坐标原点）两点之间的欧几里得距离最小时，其切比雪夫距离为___________. 【答案】6【分析】由条件确定P 与O 两点之间的欧几里得距离的最小值及对应的点P 的位置，再根据切比雪夫距离的定义求解即可.【详解】因为点P 是直线l ：2150x y +−=上的动点，要使OP 最小，则OP l ⊥，此时2l k =−，所以12POk =，由方程组215012x y y x +−=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得6x =，3y =， 所以，P ，O 两点之间的切比雪夫距离为6. 故答案为：6.28．（2022·全国·高二假期作业）中国景德镇陶瓷世界闻名，其中青花瓷最受大家的喜爱，如图1这个精美的青花瓷它的颈部（图2转所形成的曲面，若该颈部中最细处直径为16厘米，瓶口直径为20厘米，则颈部高为______厘米．。
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9
高考数学一轮复习 第九章 平面解析几何9.2 两条直线的位置关系考试要求 1.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条直线的交点坐标.3.掌握平面上两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离．知识梳理1．两条直线的位置关系平面内两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况． (1)两条直线平行对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1∥l 2⇔k 1＝k 2，且b 1≠b 2.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0，且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)两条直线垂直对于直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.对于直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0. 2．三种距离公式 (1)两点间的距离公式①条件：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)． ②结论：|P 1P 2|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.③特例：点P (x ，y )到原点O (0,0)的距离|OP |＝x 2＋y 2(2)点到直线的距离点P (x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2. (3)两条平行直线间的距离两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0之间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.常用结论 1．直线系方程(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线系方程是Ax ＋By ＋m ＝0(m ∈R 且m ≠C )． (2)与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线系方程是Bx －Ay ＋n ＝0(n ∈R )．(3)过直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0与l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的交点的直线系方程为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0(λ∈R )，但不包括l 2.2．五种常用对称关系(1)点(x ，y )关于原点(0,0)的对称点为(－x ，－y )．(2)点(x ，y )关于x 轴的对称点为(x ，－y )，关于y 轴的对称点为(－x ，y )．(3)点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． (4)点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x ,2b －y )． (5)点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x ,2b －y )． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)当直线l 1和l 2斜率都存在时，一定有k 1＝k 2⇒l 1∥l 2.( × ) (2)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．( × ) (3)点P (x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离为|kx 0＋b |1＋k 2.( × )(4)直线外一点与直线上点的距离的最小值就是点到直线的距离．( √ ) 教材改编题1．点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为( ) A ．2 5B.55C. 5D.255答案 C解析 点A (2,5)到直线l ：x －2y ＋3＝0的距离为d ＝|2－10＋3|1＋4＝ 5.2．直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则m 等于( ) A ．2 B ．－3 C ．2或－3 D ．－2或－3答案 C解析 直线2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线mx ＋3y －2＝0平行，则有2m ＝m ＋13≠4－2(m ≠0)，故m＝2或－3.3．直线l 1：2x ＋y －1＝0和l 2：x －2y ＋7＝0的交点的坐标为________． 答案 (－1,3)解析 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y －1＝0，x －2y ＋7＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝3，所以两条直线交点的坐标为(－1,3).题型一 两条直线的平行与垂直例1 (1)(2022·汉中模拟)已知直线l 1：ax ＋(a ＋2)y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋2＝0(a ∈R )，则“e a ＝1e ”是“l 1∥l 2”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A解析 当l 1∥l 2时，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a ＋2＝0，2a －1≠0，解得a ＝－1或a ＝2. 而由e a ＝1e，解得a ＝－1，所以“e a ＝1e”是“l 1∥l 2”的充分不必要条件．(2)(2022·长春模拟)已知直线l 经过点(1，－1)，且与直线2x －y －5＝0垂直，则直线l 的方程为( )A ．2x ＋y －1＝0B ．x －2y －3＝0C ．x ＋2y ＋1＝0D ．2x －y －3＝0答案 C解析 ∵直线l 与直线2x －y －5＝0垂直， ∴设直线l 的方程为x ＋2y ＋c ＝0， ∵直线l 经过点(1，－1)， ∴1－2＋c ＝0，即c ＝1. 直线l 的方程为x ＋2y ＋1＝0.教师备选1．“m ＝3”是“直线l 1：2(m ＋1)x ＋(m －3)y ＋7－5m ＝0与直线l 2：(m －3)x ＋2y －5＝0垂直”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由l 1⊥l 2，得2(m ＋1)(m －3)＋2(m －3)＝0， ∴m ＝3或m ＝－2，∴“m ＝3”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．2．已知三条直线2x －3y ＋1＝0,4x ＋3y ＋5＝0，mx －y －1＝0不能构成三角形，则实数m 的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，23，43 C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫43，－23D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23答案 D解析 由题意得直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行，或者直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点．当直线mx －y －1＝0与2x －3y ＋1＝0或4x ＋3y ＋5＝0平行时，m ＝23或m ＝－43；当直线mx －y －1＝0过2x －3y ＋1＝0与4x ＋3y ＋5＝0的交点时，m ＝－23.所以实数m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－43，－23，23.思维升华 判断两条直线位置关系的注意点 (1)斜率不存在的特殊情况．(2)可直接利用直线方程系数间的关系得出结论．跟踪训练1 (1)(2022·洛阳模拟)数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线，已知△ABC 的顶点A (2,0)，B (1,2)，且AC ＝BC ，则△ABC 的欧拉线的方程为( )A ．x －2y －4＝0B ．2x ＋y －4＝0C ．4x ＋2y ＋1＝0D ．2x －4y ＋1＝0答案 D解析 由题设，可得k AB ＝2－01－2＝－2， 且AB 的中点为⎝⎛⎭⎫32，1，∴AB 垂直平分线的斜率k ＝－1k AB ＝12，故AB 的垂直平分线方程为 y ＝12⎝⎛⎭⎫x －32＋1＝x 2＋14， ∵AC ＝BC ，则△ABC 的外心、重心、垂心都在AB 的垂直平分线上， ∴△ABC 的欧拉线的方程为2x －4y ＋1＝0.(2)已知两直线l 1：x ＋y sin α＋1＝0和l 2：2x sin α＋y ＋1＝0.若l 1∥l 2，则α＝________. 答案 k π±π4，k ∈Z解析 由A 1B 2－A 2B 1＝0， 得1－2sin 2α＝0， 所以sin α＝±22.又A 1C 2－A 2C 1≠0，所以1－2sin α≠0，即sin α≠12.所以α＝k π±π4，k ∈Z .故当α＝k π±π4，k ∈Z 时，l 1∥l 2.题型二 两直线的交点与距离问题例2 (1)两条平行直线2x －y ＋3＝0和ax ＋3y －4＝0间的距离为d ，则a ，d 的值分别为( ) A ．a ＝6，d ＝63 B ．a ＝－6，d ＝53 C ．a ＝6，d ＝53D ．a ＝－6，d ＝63答案 B解析 由题知2×3＝－a ，解得a ＝－6， 又－6x ＋3y －4＝0可化为2x －y ＋43＝0，∴d ＝⎪⎪⎪⎪3－435＝53. (2)已知直线经过点(1,2)，并且与点(2,3)和(0，－5)的距离相等，则此直线的方程为________________． 答案 4x －y －2＝0或x ＝1解析 若所求直线的斜率存在，则可设其方程为 y －2＝k (x －1)，即kx －y －k ＋2＝0， 由题设有|2k －3－k ＋2|1＋k 2＝|0＋5－k ＋2|1＋k 2，即|k －1|＝|7－k |，解得k ＝4. 此时直线方程为4x －y －2＝0.若所求直线的斜率不存在，则直线方程为x ＝1，满足题设条件． 故所求直线的方程为4x －y －2＝0或x ＝1. 教师备选1．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．答案 4x ＋3y －6＝0解析 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.2．直线l 1经过点(3,0)，直线l 2经过点(0,4)，且l 1∥l 2，d 表示l 1和l 2之间的距离，则d 的取值范围是________． 答案 (0,5]解析 当直线l 1，l 2都与过(3,0)，(0,4)两点的直线垂直时， d max ＝32＋42＝5；当直线l 1和l 2都经过(3,0)，(0,4)两点时，两条直线重合． 所以0<d ≤5.思维升华 利用距离公式应注意的点(1)点P (x 0，y 0)到直线x ＝a 的距离d ＝|x 0－a |，到直线y ＝b 的距离d ＝|y 0－b |. (2)两条平行线间的距离公式要把两条直线方程中x ，y 的系数化为相等．跟踪训练2 (1)若P ，Q 分别为直线3x ＋4y －12＝0与6x ＋8y ＋5＝0上任意一点，则|PQ |的最小值为( ) A.95 B.185 C.2910 D.295 答案 C解析 因为36＝48≠－125，所以两直线平行，将直线3x ＋4y －12＝0化为6x ＋8y －24＝0，由题意可知|PQ |的最小值为这两条平行直线间的距离，即|－24－5|62＋82＝2910，所以|PQ |的最小值为2910.(2)点(0，－1)到直线y ＝k (x ＋1)距离的最大值为( ) A ．1 B. 2 C. 3 D ．2 答案 B解析 由y ＝k (x ＋1)可知直线过定点P (－1,0)，设A (0，－1)，当直线y ＝k (x ＋1)与AP 垂直时，点A 到直线y ＝k (x ＋1)的距离最大， 即为|AP |＝ 2. 题型三 对称问题命题点1 点关于点中心对称例3 过点P (0,1)作直线l ，使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________________． 答案 x ＋4y －4＝0解析 设l 1与l 的交点为A (a ,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a ,2a －6)在l 2上，代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上，所以直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 命题点2 点关于直线对称例4 若将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n ＝________. 答案345解析 由题可知纸的折痕应是点(0,2)与点(4,0)连线的垂直平分线，即直线y ＝2x －3，它也是点(7,3)与点(m ，n )连线的垂直平分线， 于是⎩⎪⎨⎪⎧3＋n 2＝2×7＋m2－3，n －3m －7＝－12，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝315，故m ＋n ＝345.命题点3 线关于线对称例5 直线2x －4y －1＝0关于x ＋y ＝0对称的直线方程为( ) A ．4x －2y －1＝0 B ．4x －2y ＋1＝0 C ．4x ＋2y ＋1＝0 D ．4x ＋2y －1＝0答案 A解析 设直线2x －4y －1＝0上一点P (x 0，y 0)关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为P ′(x ，y )， 则⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0＝1，x ＋x 02＋y ＋y 02＝0，整理可得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－y ，y 0＝－x ，∴－2y ＋4x －1＝0，即直线2x －4y －1＝0关于x ＋y ＝0对称的直线方程为4x －2y －1＝0. 教师备选1.在等腰直角三角形ABC 中，AB ＝AC ＝4，点P 是边AB 上异于A ，B 的一点．光线从点P 出发，经BC ，CA 反射后又回到点P (如图所示)．若光线QR 经过△ABC 的重心，则AP 的长度为( )A ．2B ．1 C.83 D.43答案 D解析 以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B (4,0)，C (0,4)，A (0,0)，则直线BC 的方程为x ＋y －4＝0.设P (t ,0)(0<t <4)，可得点P 关于直线BC 的对称点P 1的坐标为(4,4－t )，点P 关于y 轴的对称点P 2的坐标为(－t ,0)，根据反射定律可知直线P 1P 2就是光线RQ 所在的直线，由P 1，P 2两点的坐标可得直线P 1P 2的方程为y ＝4－t 4＋t ·(x ＋t )．设△ABC 的重心为G ，易知G ⎝⎛⎭⎫43，43.因为重心G ⎝⎛⎭⎫43，43在光线RQ 上，所以43＝4－t 4＋t ·⎝⎛⎭⎫43＋t ，得t ＝43(t ＝0舍去)，即|AP |＝43.2．已知三角形的一个顶点A (4，－1)，它的两条角平分线所在的直线方程分别为l 1：x －y －1＝0和l 2：x －1＝0，则BC 边所在直线的方程为________． 答案 2x －y ＋3＝0解析 易得A 不在l 1和l 2上，因此l 1，l 2为∠B ，∠C 的平分线，所以点A 关于l 1，l 2的对称点在BC 边所在的直线上，设点A 关于l 1的对称点为A 1(x 1，y 1)，点A 关于l 2的对称点为A 2(x 2，y 2)． 则⎩⎪⎨⎪⎧4＋x 12－y 1－12－1＝0，y 1＋1x 1－4·1＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝0，y 1＝3，所以A 1(0,3)，又易得点A 关于l 2的对称点A 2的坐标为(－2，－1)， 所以BC 边所在直线的方程为y －3－1－3＝x －0－2－0，即2x －y ＋3＝0.思维升华 对称问题的求解策略(1)解决对称问题的思路是利用待定系数法将几何关系转化为代数关系求解．(2)中心对称问题可以利用中点坐标公式解题，两点轴对称问题可以利用垂直和中点两个条件列方程组解题．跟踪训练3 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)．求： (1)点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程； (3)直线l 关于点A 的对称直线l ′的方程． 解 (1)设A ′(x ，y )，由已知条件得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413.∴A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在直线m ′上． 设对称点M ′(a ，b )，则 ⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设直线m 与直线l 的交点为N ，由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)． 又m ′经过点N (4,3)，∴由两点式得直线m ′的方程为9x －46y ＋102＝0. (3)方法一 在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点，如P (1,1)，Q (4,3)，则P ，Q 关于点A (－1，－2)的对称点P ′，Q ′均在直线l ′上， 易得P ′(－3，－5)，Q ′(－6，－7)， 再由两点式可得l ′的方程为2x －3y －9＝0. 方法二 ∵l ∥l ′，∴设l ′的方程为2x －3y ＋C ＝0(C ≠1)． ∵点A (－1，－2)到两直线l ，l ′的距离相等， ∴由点到直线的距离公式， 得|－2＋6＋C |22＋32＝|－2＋6＋1|22＋32，解得C ＝－9，∴l ′的方程为2x －3y －9＝0.课时精练1．过点A (2,3)且垂直于直线2x ＋y －5＝0的直线方程为( ) A ．x －2y ＋4＝0 B ．2x ＋y －7＝0 C ．x －2y ＋3＝0 D ．x －2y ＋5＝0答案 A解析 由题意可设所求直线方程为x －2y ＋m ＝0，将A (2,3)代入上式得2－2×3＋m ＝0，即m ＝4，所以所求直线方程为x －2y ＋4＝0.2．过直线l 1：x －3y ＋4＝0和l 2：2x ＋y ＋5＝0的交点，且过原点的直线的方程为( ) A ．19x －9y ＝0 B ．9x ＋19y ＝0 C ．19x －3y ＝0 D ．3x ＋19y ＝0答案 D解析 方法一 解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，2x ＋y ＋5＝0，可得直线l 1和l 2的交点坐标为⎝⎛⎭⎫－197，37，又所求直线过原点，所以所求的直线方程为y ＝－319x ，即3x ＋19y ＝0.方法二 根据题意可设所求的直线方程为x －3y ＋4＋λ(2x ＋y ＋5)＝0，因为此直线过原点，所以4＋5λ＝0，解得λ＝－45，所以所求直线的方程为x －3y ＋4－45(2x ＋y ＋5)＝0，即3x ＋19y＝0.3．(2022·漳州质检)已知a 2－3a ＋2＝0，则直线l 1：ax ＋(3－a )y －a ＝0和直线l 2：(6－2a )x ＋(3a －5)y －4＋a ＝0的位置关系为( ) A ．垂直或平行 B ．垂直或相交 C ．平行或相交 D ．垂直或重合答案 D解析 因为a 2－3a ＋2＝0，所以a ＝1或a ＝2. 当a ＝1时，l 1：x ＋2y －1＝0，l 2：4x －2y －3＝0， k 1＝－12，k 2＝2，所以k 1·k 2＝－1 ，则两直线垂直；当a ＝2时，l 1：2x ＋y －2＝0，l 2：2x ＋y －2＝0，则两直线重合． 4．点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为( ) A ．(6,3) B ．(3，－6) C ．(－6，－3) D ．(－6,3) 答案 C解析 设点P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0的对称点为Q (a ，b )， 则⎩⎪⎨⎪⎧b －5a －2·－1＝－1，a ＋22＋b ＋52＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，b ＝－3，即P (2,5)关于x ＋y ＋1＝0对称的点的坐标为(－6，－3)．5．已知直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0，若l 1∥l 2，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．6D ．1或2 答案 C解析 ∵直线l 1：ax ＋2y ＋1＝0与直线l 2：(3－a )x －y ＋a ＝0的斜率都存在，且l 1∥l 2， ∴k 1＝k 2，即－a2＝3－a ，解得a ＝6.6．已知直线l ：x －2y ＋8＝0和两点A (2,0)，B (－2，－4)，若直线l 上存在点P 使得|P A |＋|PB |最小，则点P 的坐标为( ) A ．(－2，－3) B ．(－2,3) C ．(2,3) D ．(－2,2)答案 B解析 根据题意画出大致图象，如图．设点A 关于直线x －2y ＋8＝0的对称点为A 1(m ，n )． 则有⎩⎪⎨⎪⎧n －0m －2·12＝－1，m ＋22－2·n ＋02＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－2，n ＝8.故A 1(－2,8)．此时直线A 1B 的方程为x ＝－2.所以当点P 是直线A 1B 与直线x －2y ＋8＝0的交点时，|P A |＋|PB |最小，将x ＝－2代入x －2y ＋8＝0，得y ＝3，故点P 的坐标为(－2,3)．7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2答案 A 解析 ∵l 1∥l 2，∴AB 的中点M 的轨迹是平行于l 1，l 2的直线，且到l 1，l 2的距离相等，易求得M 所在直线的方程为x ＋y －6＝0.∴中点M 到原点的最小距离为原点到直线x ＋y －6＝0的距离，即62＝3 2. 8．(2022·苏州模拟)已知直线l 1：ax －y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0，a ∈R ，以下结论不正确的是( )A ．不论a 为何值时，l 1与l 2都互相垂直B ．当a 变化时，l 1与l 2分别经过定点A (0,1)和B (－1,0)C ．不论a 为何值，l 1与l 2都关于直线x ＋y ＝0对称D ．如果l 1与l 2交于点M ，O 为坐标原点，则|MO |的最大值是 2 答案 C解析 对于A ，a ×1＋(－1)×a ＝0恒成立，l 1与l 2互相垂直恒成立，故A 正确； 对于B ，直线l 1：ax －y ＋1＝0，当a 变化时，x ＝0，y ＝1恒成立， 所以l 1恒过定点A (0,1)；l 2：x ＋ay ＋1＝0，当a 变化时，x ＝－1，y ＝0恒成立，所以l 2恒过定点B (－1,0)，故B 正确； 对于C ，在l 1上任取点()x ，ax ＋1，其关于直线x ＋y ＝0对称的点的坐标为()－ax －1，－x ， 代入l 2：x ＋ay ＋1＝0，则左边不恒等于0，故C 不正确；对于D ，联立⎩⎪⎨⎪⎧ax －y ＋1＝0，x ＋ay ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1a 2＋1，y ＝－a ＋1a 2＋1，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋1，－a ＋1a 2＋1， 所以|MO |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－a －1a 2＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋1a 2＋12＝2a 2＋1≤2， 所以|MO |的最大值是2，故D 正确．9．(2022·邯郸模拟)直线l 1：x ＋ay －2＝0(a ∈R )与直线l 2：y ＝34x －1平行，则a ＝________，l 1与l 2的距离为________． 答案 －43 25解析 由题可知直线l 1的斜率为－1a (a ≠0)，直线l 2的斜率为34，所以－1a ＝34，解得a ＝－43，则直线l 1：x －43y －2＝0，即3x －4y －6＝0，直线l 2：y ＝34x －1，即3x －4y －4＝0，所以它们之间的距离为d ＝|－6＋4|32＋－42＝25. 10．直线3x －4y ＋5＝0关于直线x ＝1对称的直线的方程为________． 答案 3x ＋4y －11＝0解析 直线3x －4y ＋5＝0与x ＝1的交点坐标为(1,2)，又直线3x －4y ＋5＝0的斜率为34，所以关于直线x ＝1对称的直线的斜率为－34，故所求直线的方程为y －2＝－34(x －1)，即3x ＋4y －11＝0.11．已知直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0，则原点O 到l 1的距离的最大值是________． 答案 5解析 直线l 1：ax ＋y ＋3a －4＝0等价于a (x ＋3)＋y －4＝0， 则直线过定点A (－3,4)，当原点到l 1的距离最大时，满足OA ⊥l 1，此时原点到l 1的距离的最大值为 |OA |＝－32＋42＝5.12．已知l 1，l 2是分别经过A (1,1)，B (0，－1)两点的两条平行直线，当l 1与l 2之间的距离最大时，直线l 1的方程是____________． 答案 x ＋2y －3＝0解析 当直线AB 与l 1，l 2垂直时，l 1，l 2之间的距离最大． 因为A (1,1)，B (0，－1)， 所以k AB ＝－1－10－1＝2， 所以两平行直线的斜率k ＝－12，所以直线l 1的方程是y －1＝－12(x －1)，即x ＋2y －3＝0.13．(2022·南通调研)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线y ＝x ＋1x (x >0)上，则点P 到直线3x －4y －2＝0的距离的最小值为( ) A.45 B ．1 C.65 D.75 答案 C解析 设点P (x 0，y 0)， y ＝f (x )＝x ＋1x(x >0)，则f ′(x 0)＝1－1x 20，点P 与直线3x －4y －2＝0的最小距离，即为f (x )在点P 处的切线的斜率等于直线3x －4y －2＝0的斜率时的情况，即满足1－1x 20＝34，解得x 0＝2，所以y 0＝2＋12＝52，所以点P ⎝⎛⎭⎫2，52， 所以点P 到直线3x －4y －2＝0的距离的最小值为d ＝⎪⎪⎪⎪2×3－4×52－242＋32＝65.14．若两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25，则直线l 1关于直线l 2对称的直线方程为( ) A ．x －2y －13＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．x －2y ＋4＝0 D ．x －2y －6＝0答案 A解析 因为直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0平行， 所以n ＝－2×2＝－4，又两条平行直线l 1：x －2y ＋m ＝0(m >0)与l 2：2x ＋ny －6＝0之间的距离是25， 所以|2m ＋6|4＋16＝25，解得m ＝7，即直线l 1：x －2y ＋7＝0，l 2：x －2y －3＝0，设直线l 1关于直线l 2对称的直线方程为x －2y ＋c ＝0， 则|－3－7|5＝|－3－c |5，解得c ＝－13， 故所求直线方程为x －2y －13＝0.15．定义点P (x 0，y 0)到直线l ：ax ＋by ＋c ＝0(a 2＋b 2≠0)的有向距离为d ＝ax 0＋by 0＋c a 2＋b 2.已知点P 1，P 2到直线l 的有向距离分别是d 1，d 2.以下命题正确的是( ) A ．若d 1＝d 2＝1，则直线P 1P 2与直线l 平行 B ．若d 1＝1，d 2＝－1，则直线P 1P 2与直线l 垂直 C ．若d 1＋d 2＝0，则直线P 1P 2与直线l 垂直 D ．若d 1·d 2≤0，则直线P 1P 2与直线l 相交答案 A解析 设P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)， 对于A ，若d 1＝d 2＝1，则ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝a 2＋b 2，直线P 1P 2与直线l 平行，正确；对于B ，点P 1，P 2在直线l 的两侧且到直线l 的距离相等，直线P 1P 2不一定与l 垂直，错误； 对于C ，若d 1＝d 2＝0，满足d 1＋d 2＝0， 即ax 1＋by 1＋c ＝ax 2＋by 2＋c ＝0，则点P 1，P 2都在直线l 上，所以此时直线P 1P 2与直线l 重合，错误； 对于D ，若d 1·d 2≤0，即(ax 1＋by 1＋c )(ax 2＋by 2＋c )≤0，所以点P 1，P 2分别位于直线l 的两侧或在直线l 上，所以直线P 1P 2与直线l 相交或重合，错误．16．(2022·武汉调研)台球运动已有五、六百年的历史，参与者用球杆在台上击球．若和光线一样，台球在球台上碰到障碍物后也遵从反射定律．如图，有一张长方形球台ABCD ，AB ＝2AD ，现从角落A 沿角α的方向把球打出去，球经2次碰撞球台内沿后进入角落C 的球袋中，则tan α的值为( )A.16或12B.12或1C.16或32 D ．1或32答案 C解析 如图1，作A 关于DC 的对称点为E ，D 关于AB 的对称点为G ，C 关于AB 的对称点为F ，连接GF ，EF ， 由题可得tan α＝EG GF ＝3AD 2AD ＝32.图1 图2 如图2，作A 关于BC 的对称点为G ，B 关于AD 的对称点为F ，C 关于AD 的对称点为E ， 连接EF ，EG ，由题可得tan α＝EF GF ＝AD6AD ＝16.综上，tan α的值为16或32.。
2021届高考数学一轮总复习第9章解析几何第2节两直线的位置关系跟踪检测文含解析
第九章 解析几何第二节 两直线的位置关系A 级·基础过关|固根基|1.已知直线l ：(a －1)x ＋(b ＋2)y ＋c ＝0，若l∥x 轴，但不重合，则下列结论正确的是( )A ．a ≠1，c≠0，b≠2B ．a ≠1，b ＝－2，c≠0C ．a ＝1，b≠－2，c≠0D ．其他解析：选C ∵直线l ：(a －1)x ＋(b ＋2)y ＋c ＝0，l∥x 轴，但不重合，∴⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝0，b ＋2≠0，c≠0，解得a ＝1，b≠－2，c≠0.故选C.2．(2019届石家庄模拟)已知点P(3，2)与点Q(1，4)关于直线l 对称，则直线l 的方程为( )A ．x －y ＋1＝0B ．x －y ＝0C ．x ＋y ＋1＝0D ．x ＋y ＝0解析：选A 由题意知直线l 与直线PQ 垂直，直线PQ 的斜率k PQ ＝－1，所以直线l 的斜率k ＝－1k PQ＝1.又直线l 经过PQ 的中点(2，3)，所以直线l 的方程为y －3＝x －2，即x －y ＋1＝0.3．已知过点A(－2，m)和点B(m ，4)的直线为l 1，直线2x ＋y －1＝0为l 2，直线x ＋ny ＋1＝0为l 3.若l 1∥l 2，l 2⊥l 3，则实数m ＋n 的值为( )A ．－10B ．－2C ．0D ．8解析：选A 因为l 1∥l 2，所以k AB ＝4－m m ＋2＝－2. 解得m ＝－8.又因为l 2⊥l 3，所以－1n×(－2)＝－1， 解得n ＝－2，所以m ＋n ＝－10.4．已知点A(5，－1)，B(m ，m)，C(2，3)，若△ABC 为直角三角形且AC 边最长，则整数m 的值为( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：选D 由题意得∠B ＝90°，即AB⊥BC，所以k AB ·k BC ＝－1，所以m ＋1m －5·3－m 2－m＝－1，解得m ＝1或m ＝72，故整数m 的值为1，故选D. 5．对于任意的实数m ，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过一定点，则该定点的坐标为( )A ．(9，－4)B ．(－9，－4)C ．(9，4)D ．(－9，4)解析：选A (m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5即为m(x ＋2y －1)＋(－x －y ＋5)＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，－x －y ＋5＝0，得定点的坐标为(9，－4)．故选A.6．若三条直线y ＝2x ，x ＋y ＝3，mx ＋2y ＋5＝0相交于同一点，则m 的值为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2. ∴点(1，2)在直线mx ＋2y ＋5＝0上，即m×1＋2×2＋5＝0，∴m＝－9.答案：－97．已知点A(3，2)和B(－1，4)到直线ax ＋y ＋1＝0的距离相等，则a 的值为________．解析：由点到直线的距离公式可得，|3a ＋2＋1|a 2＋1＝|－a ＋4＋1|a 2＋1，解得a ＝12或a ＝－4. 答案：12或－4 8．如果直线l 1：ax ＋(1－b)y ＋5＝0和直线l 2：(1＋a)x －y －b ＝0都平行于直线l 3：x －2y ＋3＝0，则l 1，l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 3，所以－2a －(1－b)＝0 ①，因为l 2∥l 3，所以－2(1＋a)＋1＝0 ②，由①②解得a ＝－12，b ＝0，因此l 1：x －2y －10＝0，l 2：x －2y ＝0，所以d ＝105＝2 5. 答案：2 59．已知两直线l 1：ax －by ＋4＝0和l 2：(a －1)x ＋y ＋b ＝0，求满足下列条件的a ，b 的值．(1)l 1⊥l 2，且直线l 1过点(－3，－1)；(2)l 1∥l 2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．解：(1)因为l 1⊥l 2，所以a(a －1)－b ＝0. ①又因为直线l 1过点(－3，－1)，所以－3a ＋b ＋4＝0. ②由①②可得a ＝2，b ＝2.(2)因为直线l 2的斜率存在，且l 1∥l 2，所以直线l 1的斜率存在．所以a b ＝1－a. ③ 又因为坐标原点到这两条直线的距离相等，所以l 1，l 2在y 轴上的截距互为相反数，即4b＝b.④ 联立③④可得a ＝2，b ＝－2或a ＝23，b ＝2. 10．已知直线l 经过直线2x ＋y －5＝0与x －2y ＝0的交点P.(1)点A(5，0)到直线l 的距离为3，求直线l 的方程；(2)求点A(5，0)到直线l 的距离的最大值．解：(1)因为经过两已知直线交点的直线系方程为(2x ＋y －5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，所以|10＋5λ－5|（2＋λ）2＋（1－2λ）2＝3，解得λ＝12或λ＝2， 所以直线l 的方程为x ＝2或4x －3y －5＝0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －5＝0，x －2y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1，即交点P(2，1)，如图，过P 作任一直线l ，设d 为点A 到直线l 的距离，则d≤|PA|(当l⊥PA 时等号成立)．所以d max ＝|PA|＝10.B 级·素养提升|练能力|11.(2019届山东省实验中学模拟)设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，则直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与bx －sin B ·y ＋sin C ＝0的位置关系是( )A ．平行B ．重合C ．垂直D ．相交但不垂直解析：选C 由题意可得直线sin A ·x ＋ay －c ＝0的斜率k 1＝－sin A a，直线bx －sin B ·y＋sin C ＝0的斜率k 2＝b sin B ，由正弦定理可得，k 1k 2＝－sin A a ·b sin B＝－1，所以直线sin A ·x ＋ay －c ＝0与直线bx －sin B ·y ＋sin C ＝0垂直，故选C.12．已知直线l 1：2x －y ＋3＝0，直线l 2：4x －2y －1＝0和直线l 3：x ＋y －1＝0，若点M 同时满足下列条件：①点M 是第一象限的点；②点M 到l 1的距离是到l 2的距离的12； ③点M 到l 1的距离与到l 3的距离之比是2∶ 5.则点M 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，2 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，3718 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，2 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718 解析：选D 设点M(x 0，y 0)，由点M 满足②，得|2x 0－y 0＋3|5＝12×|4x 0－2y 0－1|16＋4，故2x 0－y 0＋132＝0或2x 0－y 0＋116＝0，由点M(x 0，y 0)满足③，根据点到直线的距离公式，得|2x 0－y 0＋3|5＝25×|x 0＋y 0－1|2，即|2x 0－y 0＋3|＝|x 0＋y 0－1|，故x 0－2y 0＋4＝0或3x 0＋2＝0，由于点M(x 0，y 0)在第一象限，故3x 0＋2＝0不符合题意，联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋132＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－3，y 0＝12，不符合题意； 联立方程得⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0＋116＝0，x 0－2y 0＋4＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝19，y 0＝3718，即点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫19，3718.故选D. 13．已知直线l ：x －y ＋3＝0.(1)求点A(2，1)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点A′；(2)求直线l 1：x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线l 2的方程．解：(1)设点A′(x′，y′)，由题知⎩⎪⎨⎪⎧y ′－1x′－2×1＝－1，x′＋22－y′＋12＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝－2，y′＝5， 所以A′(－2，5)．(2)在直线l 1上取一点，如M(6，0)，则M(6，0)关于直线l 的对称点M′必在l 2上．设对称点为M′(a ，b)，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＋62－b ＋02＋3＝0，b －0a －6×1＝－1，解得M′(－3，9)．设l 1与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋3＝0，x －2y －6＝0，得N(－12，－9)．又因为l 2经过点N(－12，－9)，所以直线l 2方程为y －9＝9＋9－3＋12(x ＋3)，即2x －y ＋15＝0. 14．已知△ABC 的顶点A(5，1)，AB 边上的中线CM 所在直线方程为2x －y －5＝0，AC 边上的高BH 所在直线方程为x －2y －5＝0，求直线BC 的方程．解：依题意知，k AC ＝－2，A(5，1)，所以l AC 的方程为2x ＋y －11＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －11＝0，2x －y －5＝0，得C(4，3)． 设B(x 0，y 0)，则AB 的中点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0＋52，y 0＋12， 代入2x －y －5＝0，得2x 0－y 0－1＝0，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x 0－y 0－1＝0，x 0－2y 0－5＝0，得B(－1，－3)， 所以k BC ＝65，所以直线BC 的方程为y －3＝65(x －4)，即6x －5y －9＝0.。
2022数学第九章解析几何9
第九章解析几何9。
1直线的倾斜角、斜率与直线的方程必备知识预案自诊知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，我们以x轴为基准,x轴与直线l的方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.（2）直线的倾斜角α的取值范围为。
2.直线的斜率（1）定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率.斜率常用小写字母k表示,即k=tan α，倾斜角是90°的直线没有斜率。
(2)过两点的直线的斜率公式经过两点P1(x1，y1），P2(x2,y2)（x1≠x2）的直线的斜率公.式为k=y2-y1x2-x13。
直线方程的五种形式考点自诊1。
判断下列结论是否正确，正确的画“√”,错误的画“×”.（1）直线的倾斜角越大，其斜率越大.（）(2）过点M(a，b），N（b,a）(a≠b)的直线的倾斜角是45°.（）（3）若直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α。
（）(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y—y1）（x2—x1）=（x—x1）(y2-y1)表示。
(）（5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离.() 2。
直线2x·sin 210°—y-2=0的倾斜角是()A 。
45° B.135° C 。
30 D.150°3.如图所示，在同一直角坐标系中能正确表示直线y=ax 与y=x+a 的是( )4。
(2020山东德州高三诊测)过直线l ：y=x 上的点P (2，2）作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线m 的方程为 。
5.(2020云南丽江高三月考）经过点(4，1），且在两坐标轴上截距相等的直线l 的方程为 .关键能力学案突破考点 直线的倾斜角与斜率【例1】(1)直线x-√3y+1=0的斜率为（ )A 。
√3B 。
专题09 解析几何第二十三讲 双曲线(解析版)
专题09 解析几何第二十三讲双曲线答案部分1.【解析】如图所示，不妨设F为双曲线22 :145x yC-=的右焦点，P为第一象限点．由双曲线方程可得，24a=，25b=，则223c a b+=，则以O为圆心，以3为半径的圆的方程为229x y+=．联立22229145x yx y⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得53y=±．则1553232OPFS=⨯⨯=△．故选B．2.【解析】因为双曲线2221(0)yx bb-=>经过点(3,4)，所以221631b-=，解得22b=，即2b=又1a=，所以该双曲线的渐近线方程是2y x=．3.【解析】根据渐进线方程为0x y±=的双曲线，可得a b=，所以2c a=，则该双曲线的离心率为2cea==C．4.【解析】由双曲线的对称性可得另一条渐近线的倾斜角为50︒，所以tan50ba=︒，2222111tan50sec50cos50c bea a==+=+︒=︒=︒. 故选D．5.【解析】解法一：由题意，把2cx=代入222x y a+=，得2224cPQ a=-再由PQ OF =，得2224ca c -=，即222a c =，所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法二：如图所示，由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，所以,22c c P ⎛⎫± ⎪⎝⎭，代入222x y a +=得222a c =， 所以222c a=，解得2c e a ==.故选A ．解法三：由PQ OF =可知PQ 为以OF 为直径圆的另一条直径，则12222OP a OF c ===，2c e a ==故选A ．6.【解析】 由题意知，1b =，215c a e aa+===12a =.故选D.7.【解析】因为抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，所以()1,0F ，准线l 的方程为1x =-.因为与双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的两条渐近线分别交于点A 和点B ，且4AB OF =（为原点），所以2b AB a =，1OF =，所以24ba=，即2b a =， 所以225c a b a +=，所以双曲线的离心率为5ca==．故选D ．2015-2018年1．B 【解析】由题可知双曲线的焦点在x 轴上，因为222314c a b =+=+=，所以2c =，故焦点坐标为(2,0)-，(2,0)．故选B ．2．A 【解析】解法一 由题意知，==ce a，所以=c ，所以=b ，所以=b a =±=by x a，故选A ．解法二 由===c e a ，得=b a ，所以该双曲线的渐近线方程为=±=by x a．故选A ．3．D 【解析】解法一 由离心率ce a==c =，又222b c a =-，得b a =，所以双曲线C 的渐近线方程为y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C 的渐近=．故选D ．解法二 离心率e =y x =±，由点到直线的距离公式，得点(4,0)到C=．故选D ． 4．A 【解析】通解 因为直线AB 经过双曲线的右焦点，所以不妨取2(,)b A c a，2(,)b B c a -，取双曲线的一条渐近线为直线0bx ay -=，由点到直线的距离公式可得221bc b d c -==，222bc b d c +==， 因为126d d +=，所以226bc b bc b c c-++=，所以26b =，得3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2c a =，所以2224a b a +=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选A ．优解 由126d d +=，得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以3b =．因为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为2，所以2c a =，所以2224a b a +=，所以2294a a +=，解得23a =， 所以双曲线的方程为22139x y -=，故选A ．5．D 【解析】由2224c a b =+=得2c =，所以(2,0)F ，将2x =代入2213y x -=，得(2,3)P ±，所以||3PF =，又A 的坐标是(1,3)，所以点A 到PF 的距离为1， 故APF ∆的面积为133(21)22⨯⨯-=，选D ． 6．C【解析】由题意e ==1a >，21112a <+<，∴1e <<C ．7．D 【解析】由题意，2222tan 60c c a b ba⎧⎪=⎪=+⎨⎪⎪=⎩o ，解得21a =，23b =，选D ．8．A【解析】由题意得c =12b a =，由222c a b =+，解得2,1a b ==，所以双曲线的方程为22141x y -=，选A ．9．D 【解析】由已知可得双曲线的渐近线方程为by x a=±，点(3,4)-在渐近线上， ∴43b a =，又222a b c +=，∴2222162599c a a a =+=，∴53c e a ==． 10．D 【解析】双曲线2213y x -=的右焦点为(2,0)，渐近线方程为y =，将2x =代入y =得y =±，所以||AB =．11．C 【解析】由题意，得12(,0),(,0),(,0)A a A a F c -，将x c =代入双曲线方程，解得2b y a =±．不妨设2(,)bB c a，2(,)b C c a -，则1222,A B A C b b a a k k c a c a-==+-，根据题意，有221b b a a c a c a-⋅=-+-，整理得1b a =，所以双曲线的渐近线的斜率为1±． 12．4【解析】由题意得22454a a +=，得216a =，又0a >，所以4a =，故答案为4． 13．2【解析】不妨设双曲线的一条渐近线方程为b y x a =b ==，所以222234b c a c =-=，得2c a =，所以双曲线的离心率2ce a==． 14．5【解析】由双曲线的标准方程可得渐近线方程为：3y x a=±，结合题意可得：5a =．15．2y x =±【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线的定义有1212||||22p p AF BF y y y y p +=+++=++，而||2p OF =， 所以1242py y p ++=⨯，即12y y p +=，由2222212x y a b x py⎧-=⎪⎨⎪=⎩得2222220a y pb y a b -+=，所以21222pb y y a +=， 所以222pb p a =，即a =，所以渐近性方程为2y x =±． 16．232a x c ==，渐近线的方程为y x =，设3(,22P，则3(,22Q -，1(2,0)F -，2(2,0)F ， 所以四边形12F PF Q的面积为1211||||422F F PQ =⨯=． 17．1,2a b ==【解析】依题意有2c b a⎧=⎪⎨=-⎪⎩，因为222c a b =+，解得1,2a b ==．18．2【解析】依题意，不妨设6,4AB AD ==作出图像如下图所示则2124,2;2532,1,c c a DF DF a ===-=-==故离心率221c a == 19．2214x y -=【解析】因为双曲线的渐近线方程为x y 21±=，故可设双曲线的方程为22(0)4x y λλ-=>，又双曲线过点)3,4(，所以224(3)4λ-=，所以1λ=， 故双曲线的方程为2214x y -=．20．23【解析】设直线方程为()b y x c a =-，由22221()x y a b b y x c a ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，得222a c x c +=，由2222a c a c+=，c e a =，解得23e =+23e =． 21．126C ：2218y x -=的右焦点为(3,0)F ，实半轴长1a =，左焦点为(3,0)M -，因为P 在C 的左支上，所以ΔAPF 的周长|||||l AP PF AF =++||||||||PF AF AM PM ++-≥ =||||21515232AF AM a ++=++=，当且仅当,,A P M 三点共线且P 在,A M 中间时取等号，此时直线AM 的方程为1366x +=-，与双曲线的方程联立得P 的坐标为(2,26)-，此时，ΔAPF 的面积为1166662612622⨯⨯⨯⨯=．。
第9讲 解析几何中的极点极线问题(老师版)
第9讲解析几何中的极点极线问题一．选择题（共4小题）1．（2021•柯桥区模拟）过点(1,1)M 的两条直线1l ，2l 分别与双曲线2222:1(1,1)x y C a b a b -=>>相交于点A ，C 和点B ，D ，满足AM MC λ=，(0BM MD λλ=>且1)λ≠．若直线AB 的斜率2k =，则双曲线C 的离心率是( ) AB1C ．2D【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，则11(1,1)AM x y =--，33(1,1)MC x y =--，22(1,1)BM x y =--，44(1,1)MD x y =--，AM MC λ=，(0BM MD λλ=>且1)λ≠，//AB CD ∴，则2AB CD k k ==．∴131311x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，242411x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()2(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩，12341234()()x x x x y y y y λλ∴+++=+++，2211221x y a b -=，2222221x y a b-=， ∴2121221212y y x x b x x a y y -+=⋅-+，即2122122x x b a y y +=⋅+， ∴2212122()()0a y y b x x +-+=，则2121222()a y y x xb ++=， 同理可得：2234342()()0a y y b x x +-+=，则2343422()a y y x xb ++=，∴2234121234222()2()()a y y a y y y y y y b b λλ+++⋅=+++，0λ>且1λ≠，∴2221a b=，即222a b =，∴双曲线的离心率c e a === 故选：D ．2．（2021•武汉模拟）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>内有一点(2,1)M ，过M 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆E 交于A ，C 和B ，D 两点，且满足,AM MC BM MD λλ==（其中0λ>，且1)λ≠，若λ变化时，AB 的斜率总为12-，则椭圆E 的离心率为( )A ．12BCD【解答】解：设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y 、4(D x ，4)y ， 由AM MC λ=，即1(2x -，131)(2y x λ-=-，31)y -，则1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理可得2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()4(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩，则123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ+++=+++，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得2121221212y y x x b x x a y y -+=-⨯-+， 即21221212x x b a y y +-=-⨯+，则221212()2()a y y b x x +=+①，同理可得223434()2()a y y b x x +=+②，①+②得2212341234[()()]2[()()]a y y y y b x x x x +++=+++， 又123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ∴+++=+++，∴22221a b =，则2214b a =，则椭圆的离心率c e a ==故选：D ．3．（2021•武汉模拟）已知A ，B 分别为双曲线22:13y x Γ-=实轴的左右两个端点，过双曲线Γ的左焦点F 作直线PQ 交双曲线于P ，Q 两点（点P ，Q 异于A ，)B ，则直线AP ，BQ 的斜率之比:(AP BQ k k = )A ．13-B ．3-C ．23-D ．32-【解答】解：由已知得双曲线:1a Γ=，b =2c =． 故(2,0)F -，(1,0)A -，(1,0)B ．设直线:2PQ x my =-，且1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ．由22213x my y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去x 整理得22(31)1290m y my --+=，∴121222129,3131m y y y y m m +==--， 两式相比得121234y y m y y +=⨯①， 121212112211221(3)3:1(1)AP BQ y x y my my y y k k x y y my my y y ---∴=⨯==+--②， 将①代入②得：上式12121121223()33(3)4333()4y y y y y y y y y y +--===--+-． 故:3AP BQ k k =-． 故选：B ．4．（2021•湖北月考）已知椭圆22:142x y C +=的左右顶点分别为A ，B ，过x 轴上点(4,0)M -作一直线PQ 与椭圆交于P ，Q 两点（异于A ，)B ，若直线AP 和BQ 的交点为N ，记直线MN 和AP 的斜率分别为1k ，2k ，则12:(k k = )A ．13B ．3C ．12D ．2【解答】解：由椭圆的方程可知：24a =，所以2a =， 则(2,0)A -，(2,0)B ，设1(Q x ，1)y ，2(P x ，2)y ， 设直线PQ 的方程为：4x my =-， 则2222AP y k k x ==+，直线BQ 的方程为：11(2)2y y x x =-⋯-①， 直线AP 的方程为：()2222y y x x =+⋯+②， 联立①②解得：12211221121212211221122(2)2(2)2(6)2(2)262(2)(2)(6)(2)3y x y x y my y my my y y y x y x y x y my y my y y -++-+---===--++--+--，所以1212122664(*)3my y y y x y y +-+=-，联立方程224142x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 化简可得：22(2)8120m y my +-+=，所以121222812,22m y y y y m m +==++，所以12123()2my y y y =+， 代入(*)式得121293433y y x y y -+==-，因为14y k x =+，22yk x =+，所以122221114433k x k x x +==-=-=++， 故选：A ．二．填空题（共4小题）5．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>内有一点(2,1)M 过点M 的两条直线分别与椭圆E 相交于A ．C 和B ，D 两点若||||||||MA MB MC MD =，若直线AB 的斜率为12-，则该椭圆的离心率为【解答】解：设1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y 、3(C x ，3)y 、4(D x ，4)y ， 由||||||||MA MB MC MD =，可设AM MC λ=，BM MD λ=， 即1(2x -，131)(2y x λ-=-，31)y -，则1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，同理可得2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()4(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩， 则123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ+++=+++，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程作差可得2121221212y y x x b x x a y y -+=--+， 即21221212x x b a y y +-=-+，则221212()2()a y y b x x +=+①，同理可得223434()2()a y y b x x +=+②，①+②得2212341234[()()]2[()()]a y y y y b x x x x +++=+++， 又123412342[()()]1[()()]y y y y x x x x λλ∴+++=+++，∴22221a b =，则2214b a =，则椭圆的离心率c e a ==，． 6．（2021•龙凤区校级月考）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>内一点(2,1)M ，过点M 的两条直线1l ，2l 分别与椭圆E 交于A ，C 和B ，D 两点，且满足,AM MC BM MD λλ==（其中0λ>且1)λ≠，若λ变化时直线AB 的斜率总为23-，则椭圆的离心率为． 【解答】解：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，AM MC λ=，1(2x ∴-，131)(2y x λ-=-，31)y -，即13132(2)1(1)x x y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩，∴1313221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩， 同理可得，2424221x x y y λλλλ+=+⎧⎨+=+⎩，∴12341234()4(1)()2(1)x x x x y y y y λλλλ+++=+⎧⎨+++=+⎩，12341234()()2[()()]x x x x y y y y λλ∴+++=+++，A ，B 两点均在椭圆上，∴22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减整理得，2121221212y y x x b x x a y y -+=-⋅-+，即21221223x x b a y y +-=-⋅+， 2212123()2()b x x a y y ∴+=+①，同理可得，2234343()2()b x x a y y +=+②，①+②λ⨯得，22123412342[()()]3[()()]a y y y y b x x x x λλ+++=+++， 又12341234()()2[()()]x x x x y y y y λλ+++=+++，∴222321a b =，即2213b a =， ∴离心率c e a ==．7．设F 为椭圆22:143x y C +=的右焦点，过椭圆C 外一点P 作椭圆C 的切线，切点为M ，若90PFM ∠=︒，则点P 的轨迹方程为 4()x y R =∈ ． 【解答】解：设切点0(M x ，0)y ，则椭圆的切线方程为：00143x x y y+=． 设(,)P x y ，90PFM ∠=︒，00(1)(1)0x x yy ∴--+=． 联立解得：4x =．∴点P 的轨迹方程为：4x =．故答案为：4()x y R =∈．8．（2021•南通模拟）若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点1(1,)2作圆221x y +=的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 22154x y += ．【解答】解：设过点1(1,)2的圆221x y +=的切线为1:(1)2l y k x -=-，即102kx y k --+=①当直线l 与x 轴垂直时，k 不存在，直线方程为1x =，恰好与圆221x y +=相切于点(1,0)A ； ②当直线l 与x 轴不垂直时，原点到直线l的距离为：1||1k d -+==，解之得34k =-， 此时直线l 的方程为3544y x =-+，l 切圆221x y +=相切于点(B 35，4)5；因此，直线AB 斜率为14052315k -==--，直线AB 方程为2(1)y x =-- ∴直线AB 交x 轴交于点(1,0)A ，交y 轴于点(0,2)C ．椭圆22221x y a b+=的右焦点为(1,0)，上顶点为(0,2)1c ∴=，2b =，可得2225a b c =+=，椭圆方程为22154x y += 故答案为：22154x y +=．三．解答题（共32小题）9．（2021•朝阳区校级期中）已知A ，B 分别是椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左、右顶点，点3(1,)2D 在椭圆C 上，且直线D 与直线DB 的斜率之积为24b -．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）如图，已知P ，Q 是椭圆C 上不同于顶点的两点，直线AP 与QB 交于点M ，直线PB 与AQ 交于点N ．若弦PQ 过椭圆的右焦点2F ，求直线MN 的方程．【解答】解：（1）点3(1,)2D 在椭圆C 上，∴229141a b +=， 又直线DA 与直线DB 的斜率之积为24b -，∴223392241114b a a a ⋅==-+--，解得24a =，23b =，∴椭圆C 的方程为：22143x y +=．（2）设:1PQ x ty =+，1(P x ，1)y ，2(Q x ，2)y ，联立221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，∴122634t y y t -+=+，122934y y t -=+， ∴直线AP 的直线方程为1122x x y y +=-， BQ 的直线方程为2222x x y y -=+， 联立，解得4M x =，同理，4N x =，∴直线MN 的方程为4x =．10．（2021•常熟市期中）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>过点3(1,)2，离心率为12，点B ，C 分别是椭圆E 的左、右顶点，点P 是直线:4l x =上的一个动点（与x 轴交点除外），直线PC 交椭圆于另一点M ． （1）求椭圆E 的方程；（2）当直线PB 过椭圆E 的短轴顶点(0,)b 时，求PBM ∆的面积．【解答】解：（1）由题意22121914c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，因为222a b c =+，得2a =，b =1c =．所以椭圆E 的方程为22143x y +=．（2）直线PB的方程为2)y x +，得P ． 所以直线PC的方程2)y x =-，联立方程组222)3412y x x y ⎧=-⎪⎨⎪+=⎩，化简得2518160x x -+=， 解得12x =，285x =，得点8(,5M ．又点M 到直线PB的距离d =，||PB =所以12PBM S ∆=⨯=．11．（2021•邗江区校级期中）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为12，A ，B分别是椭圆C 的左、右顶点，右焦点F ，1BF =，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，M 在x 轴上方． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）记AFM ∆，BFN ∆的面积分别为1S ，2S ，若1232S S =，求k 的值；（3）设线段MN 的中点为D ，直线OD 与直线4x =相交于点E ，记直线AM ，BN ，FE 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求213()k k k -的值．【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2(0)c c >． 依题意可得12c e a ==，1a c -=，解得2a =，1c =． 故2223b a c =-=．所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=．（2）设点1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ．若1232S S =，则121||||3212||||2AF y BF y =，即有212y y =-，① 设直线MN 的方程为1(0)x my m =+>，与椭圆方程223412x y +=，可得22(43)690m y my ++-=， 可得122643m y y m +=-+，122943y y m =-+，② 将①代入②可得22843m m =+，解得m =，则k ； （3）由（2）得1223243D y y m y m +==-+，24143D Dx my m =+=+， 所以直线OD 的方程为34my x =-， 令4x =，得3E y m =-，即(4,3)E m -． 所以3341mk m -==--．所以221122112211222132122112121212(2)(3)(1)31()()()22(2)(2)(3)(1)33y y y y my x y y my my m y y my k k k k k m k x x x x my my m y y my my ++++++-=+=+===-++-+--+-2222222122222212122222229(1)9(1)33(1)3343439612(1)()344344434343m m my my m y y my m m m m m m y y m y y my my my m m m ++-+-+++++====+-+-+-+-+-++++．12．（2021春•射洪市期末）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为F '，F ，A 、B 分别是椭圆C 的左、右顶点，短轴为长轴长是焦距的2倍，过右焦点F 且斜率为(0)k k >的直线l 与椭圆C 相交于M 、N 两点．（1）若1k =时，记AFM ∆、BFN ∆的面积分别为1S 、2S ，求2212129S S S S +的值；（2）记直线AM 、BN 的斜率分别为1k 、2k ，是否存在常数λ使21k k λ=成立，若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为2b =，所以b =，又因为2a c =，所以2a =，1c =，所以椭圆C 的标准方程为：22143x y +=．设点1(M x ，1)y 、2(N x ，2)y ，且(2,0)A -，(2,0)B ， 因为1k =，所以MN 的方程为1y x =-，联立221143y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：27690y y +-=，所以121269,77y y y y +=-=-，又221212121212212121113||91||9922(3)()111||3||22y y S S S S y yS S S S y y y y ⋅⋅⋅⋅⋅+=+=+=-+⋅⋅⋅⋅， 因为22212121212211212()2187y y y y y y y y y y y y y y ++-+===-所以原式547=．（2）假设存在常数λ使21k k λ=成立，设直线l 的方程为(1)y k x =-，由22(1)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得2222(34)84120k x k x k +-+-=，∴2122843k x x k +=+，212241243k x x k -⋅=+， 又22221211221111212121212(2)(1)(2)22(2)(1)(2)222y k x y x k x x x x x x y k y x k x x x x x x x -+-++--====-----++ 22222222222222222222222241281218462()233()434343433464128462()243434343k k k k x x x x k k k k k k k k x x x x k k k k -----+---++++++====-----+---++++++，因此，213k k =，故3λ=．13．（2021•全国模拟）椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右焦点为(,0)F c ，规定直线2a x c =为椭圆E 的右准线，椭圆E 上的任意一点到右焦点F 的距离与其到右准线的距离之比为ca．已知椭圆22:143x y E +=．（1）若点(1,1)D -，P 是椭圆E 上的任意一点，求||2||PD PF +的最小值；（2）若M ，N 分别是椭圆E 的左、右顶点，过点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点(A ，B 非顶点），证明：直线AM 与BN 的交点在椭圆E 的右准线上． 【解答】解：（1）根据条件可得椭圆E 的右准线为4x =，12c e a ==， 若PA 垂直于右准线，如图，则||||PF e PA =，即||2||PA PF =， 所以||2||||||PD PF PD PA +=+，故当仅当D ，P ，A 三点共线时，||||PD PA +最短，即为D 到右准线的距离5d =， 故||2||PD PF +的最小值为5；证明：（2）由题意，设:1l x ky =+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，联立221143x ky x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：(324)2690k y ky ++-=，则122634k y y k +=-+，122934y y k =-+，又(2,0)M -，(2,0)N ，则11:(2)2y AM y x x =++，22:(2)2yBN y x x =--， 当4x =时，11116623AM y y y x ky ==++，22222221BN y y y x ky ==--， 而2212121122121212121212964()6()62666646()3434031(3)(1)(3)(1)(3)(1)kk y y ky y y ky y y ky y y y k k ky ky ky ky ky ky ky ky ⋅--⋅-----+++-====+-+-+-+-，即AM BN y y =，所以直线AM 与BN 的交点在椭圆E 的右准线4x =上，得证．14．（2021•南平二模）已知椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>．（Ⅰ）若椭圆T，过焦点且垂直于z 轴的直线被椭圆截得弦长为83． ①求椭圆方程；②过点(2,1)P 的两条直线分别与椭圆F 交于点A ，C 和B ，D ，若//AB CD ，求直线AB 的斜率；（Ⅱ）设0(P x ，0)y 为椭圆T 内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两条直线分别与椭圆T 交于点A ，C 和B ，D ，且//AB CD ，类比（Ⅰ）②直接写出直线T 的斜率．（不必证明）【解答】解：（Ⅰ）①椭圆2222:1(0)x y T a b a b +=>>，椭圆T，过焦点且垂直于z 轴的直线被椭圆截得弦长为83， ∴222228359b a a b a ⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，解得32a b =⎧⎨=⎩，⋯（2分） ∴椭圆T 的方程为22194x y +=．⋯（3分）②设点11223344(,),(,),(,),(,),A x y B x y C x y D x y AP PC λ=．则132(2)x x λ-=-，131(1)y y λ-=-， 故132(1)x x λλ+-=，13(1)y y λλ+-=．⋯（5分）点C 在椭圆上，∴2233194x y +=，则221122[2(1)][(1)]194x y λλλλ+-+-+=整理得22221111241(1)()2(1)()949494x y x y λλλ++-++++=⋯（6分）由点A 在椭圆上知2211194x y +=，故2211241(1)()2(1)()19494x y λλλ++-++=-．①⋯（7分）又//AB CD ，则BP PD λ=．同理可得2222241(1)()2(1)()19494x y λλλ++-++=-．②⋯（8分）①-②得212121()()094x x y y -+-=．由题意可知12x x ≠，则直线AB 的斜率为212189y y k x x -==--．⋯（10分） （Ⅱ）直线AB 的斜率为2020b x a y -．⋯（13分）15．（2021•安徽模拟）设0(P x ，0)y 为椭圆214x y +=内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两直线分别与椭圆交于A ，C 和B ，D ，若//AB CD ． （Ⅰ）证明：直线AB 的斜率为定值；（Ⅱ）过点P 作AB 的平行线，与椭圆交于E ，F 两点，证明：点P 平分线段EF ． 【解答】解：（Ⅰ）设1(A x ，1)y ，2(B x ，23)(y C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，AP PC λ=，则01300130()()x x x x y y y y λλ-=-⎧⎨-=-⎩，∴013013(1)(1)x x x y y y λλλλ+-⎧=⎪⎪⎨+-⎪=⎪⎩，点C 在椭圆上，∴223314x y +=，即22010122[(1)][(1)]14x x y y λλλλ+-+-+=，整理得22222222201100101111(1)()(1)(4)()()4244x x x y x x y y y y λλλλ++-++++=++=，又点A 在椭圆上，∴221114x y +=，从而可得222220001011(1)()(1)(4)1142x y x x y y λλλλ++-++=-=-①又//AB CD ，故有BP PD λ=．同理可得22220002021(1)()(1)()142x y x x y y λλλ++-++=-②②-①得012012()4()0x x x y y y -+-=，P 点不在坐标轴上，00x ∴≠，00y ≠，又易知不与坐标轴平行，∴直线AB 的斜率0121204x y y k x x y -==--，为定值； （Ⅱ）直线EF 的方程为0000()4x y x x y y =--+， 代入椭圆方程得220000[()]144x x x x y y +--+=，整理得到2222222000000022004(4)101682x y x x y x x x y y y ++-++-=， ∴220002220020(4)82416E F x x y y x x x x y y +-+=-=+， 故EP PF =．16．（2021•安阳三模）已知椭圆M 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，其短轴长为2，离心．点0(P x ，0)y 为椭圆M 内一定点（不在坐标轴上），过点P 的两直线分别与椭圆交于点A ，C 和B ，D ，且//AB CD ． （Ⅰ）求椭圆M 的标准方程； （Ⅱ）证明：直线AB 的斜率为定值． 【解答】（Ⅰ）解：短轴长为2， 2a ∴=，1b =，焦点在x 轴上，∴椭圆M 的标准方程2214x y +=；（Ⅱ）证明：设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，AP PC λ=， 013(1)x x x λλ+-∴=，013(1)y y y λλ+-=，点C 在椭圆上，∴223314x y +=，又点A 在椭圆上，∴221114x y +=，从而可得22220001011(1)()(1)(4)142x y x x y y λλλ++-++=-①又//AB CD ，故有BP PD λ=．同理可得22220002021(1)()(1)()142x y x x y y λλλ++-++=-②②-①得012012()4()0x x x y y y -+-=，P 点不在坐标轴上，00x ∴≠，00y ≠，又易知不与坐标轴平行，∴直线AB 的斜率0121204x y y k x x y -==--，为定值． 17．（2021•南昌一模）已知抛物线2:2(0)E x py p =>的焦点为F ，过点F 且斜率为(0)k k ≠的动直线l 与抛物线交于A ，B 两点，直线l '过点1(A x ，1)y ，且点F 关于直线l '的对称点1(R x ，1)-．（1）求抛物线E 的方程，并证明直线l '是抛物线E 的切线；（2）过点A 且垂直于l '的直线交y 轴于点G ，AG ，BG 与抛物线E 的另一个交点分别为C ，D ，记AGB ∆的面积为1S ，CGD ∆的面积为2S ，求21S S 的取值范围．【解答】解：（1）1(R x ，1)-在定直线:1m y =-上，||AR 表示A 到直线m 的距离， 因为F 关于l '的对称点为R ，故||||AF AR =，即抛物线上点A 到焦点F 的距离等于A 到直线m 的距离，直线m 即为准线， 所以12p -=-，即1p =，抛物线的方程为24x y =； 证明：12FR k x =-，因为FR l '⊥，所以l '的斜率为12x ， 由24x y =可得12y x '=，点A 处的切线的斜率为112x ，故直线l '是抛物线E 的切线；（2）设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ，则3421121||||sin ||||21||||||||sin 2CG DG CGD x x S CG DG S AG BG x x AG BG AGB ⋅⋅∠⋅===⋅⋅⋅∠， 22313113313112444ACx x y y x x k x x x x x --+====---，则3118x x x =--， 设直线l 的方程为1y kx =+，与24x y =联立，可得2440x kx --=， 所以124x x k +=，124x x =-，214x x =-， 则AC 的方程为21112()4x y x x x -=--，令0x =，可得2124x y =+，即21(0,2)4x G +， 因为A ，G ，C 三点共线，可得3118x x x =--， 又B ，G ，D 三点共线，且2(B x ，22)4x ，4(D x ，24)4x ，224(0,2)G x +，所以22224224244BD DGx x x x k k x +-+===-，可得4322816x x x =--， 故13342122112128816()()x x x S x x x S x x x x ----==，将124x x =-，124x x =-，代入上式， 化简可得22412211416()4S S x x =++>，所以21S S 的取值范围是(4,)+∞． 18．（2021•金华模拟）如图，已知抛物线24y x =，过点(1,1)P -的直线l 斜率为k ，与抛物线交于A ，B 两点． （Ⅰ）求斜率k 的取值范围；（Ⅱ）直线l 与x 轴交于点M ，过点M 且斜率为2k -的直线与抛物线交于C ，D 两点，设直线AC 与直线BD 的交点N 的横坐标为0x ，是否存在这样的k ，使05x =-，若存在，求出k 的值，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）根据题意设直线l 的方程为1(1)(0)y k x k -=+≠，即1y kx k =++， 联立241y x y kx k ⎧=⎨=++⎩，得22222(2)(1)0k x k k x k ++-++=，所以21222(2)k k x x k +-+=-，2122(1)k x x k +=，因为直线l 与抛物线交于A ，B 两点，则120x x +>，120x x >， 所以△22224(2)4(1)0k k k k =+--+>，解得k <<0k ≠， 所以k的取值范围为15((0,)2-+． （Ⅱ）由题知，1(k M k+-，0)，设3(C x ，3)y ，4(D x ，4)y ， 由（Ⅰ）知，124y y k +=，1244y y k=+， 因为直线l 与x 轴交于M ，1(1M k --，0)，因为直线CD 过点M 且斜率为2k -，所以直线CD 的方程为12(1)y k x k=-++， 联立212(1)4y k x ky x ⎧=-++⎪⎨⎪=⎩，得22440y y k k +++=， 所以342y y k+=-，3444y y k =+，所以△2444(4)0k k =-+>，即1122k +-+-<<且0k ≠， 所以131322313131444AC y y y y k y x x y y y --===-+-， 所以直线AC 的方程为11134()y y x x y y -=-+， 所以21311111313131313134444y y x y y x y x y x y y y y y y y y y y y y =-+=-+=+++++++①， 所以直线BD 的方程为2424244y y y x y y y y =+++②， 联立①②得13241313242444y y y y x x y y y y y y y y +=+++++， 解得132413242413114()y y y y x y y y y y y y y -=-++++， 所以2413241313244()()()x y y y y y y y y y y y +--=+-+， 因为1234y y y y =， 所以124x y y =， 所以点N 的横坐标为1201154y y x k==+=-， 所以16k =-．19．（2021•新津县校级月考）已知点F 为抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点，点(2,)A m 在抛物线E 上，且||3AF =． （1）求抛物线E 的方程；（2）已知点(1,0)G -，延长AF 交抛物线E 于点B ，以点F 为圆心作与直线GA 相切的圆F ，求圆F 的半径，判断圆F 与直线GB 的位置关系，并说明理由．【解答】解：（1）由抛物线的定义得||22pAF =+． 因为||3AF =，即232p+=，解得2p =， 所以抛物线E 的方程为24y x =；（2）证明：设以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆的半径为r ． 因为点(2,)A m 在抛物线2:4E y x =上，所以m =±由抛物线的对称性，不妨设(2A ，，由(2A ，，(1,0)F 可得直线AF 的方程为1)y x =-， 由得22520x x -+=，解得2x =或12x =，从而1(2B ， 又(1,0)G -，故直线GA 的方程为30y -+，从而r ==．又直线GB 的方程为30y ++，所以点F 到直线GB 的距离d r ===．这表明以点F 为圆心且与直线GA 相切的圆必与直线GB 相切．20．（2015•四川）如图，椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率是2，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为 （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E截得的线段长为∴点，1)在椭圆E 上，又，∴22222211a b a b c c a ⎧+=⎪⎪⎪-=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得2a =，b =， ∴椭圆E 的方程为：22142x y +=；（Ⅱ）结论：存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立． 理由如下：当直线l 与x 轴平行时，设直线l 与椭圆相交于C 、D 两点， 如果存在定点Q 满足条件，则有||||1||||QC PC QD PD ==，即||||QC QD =． Q ∴点在直线y 轴上，可设0(0,)Q y ．当直线l 与x 轴垂直时，设直线l 与椭圆相交于M 、N 两点， 则M 、N的坐标分别为、(0,，又||||||||QM PM QN PN =，∴=01y =或02y =． ∴若存在不同于点P 的定点Q 满足条件，则Q 点坐标只能是(0,2)．法一：下面证明：对任意直线l ，均有||||||||QA PA QB PB =． 当直线l 的斜率不存在时，由上可知，结论成立． 当直线l 的斜率存在时，可设直线l 的方程为1y kx =+，A 、B 的坐标分别为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y ，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得：22(12)420k x kx ++-=， △22(4)8(12)0k k =++>， 122412k x x k ∴+=-+，122212x x k =-+， ∴121212112x x k x x x x ++==， 已知点B 关于y 轴对称的点B '的坐标为2(x -，2)y ， 又11111211AQ y kx k k x x x --===-，2222212111QB y kx k k k x x x x '--===-+=---， AQ QB k k '∴=，即Q 、A 、B '三点共线，∴12||||||||||||||||x QA QA PA QB QB x PB ==='． 法二：当斜率存在时，过点A 作AA y '⊥轴，垂足为A '，过点B 作BB y '⊥轴，垂足为B '，易知//AA BB ''，则△AA P '相似于△BB P '，则PA AA PB BB '='， 若证上命题，则需证直线QA 与直线QB 交于点(0,2)Q 时关于y 轴对称，则要证0QA QB k k +=，联立221421x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 并整理得：22(12)420k x kx ++-=， △22(4)8(12)0k k =++>，122412k x x k ∴+=-+，122212x x k =-+，∴121212112x x k x x x x ++==， 11111211AQ y kx k k x x x --===-，2222212111QB y kx k k k x x x x --===-=-+，可证得0QA QB k k +=， 所以QAA '∆相似于QBB '∆ 进而得证：QA AA PAQB BB PB'=='， 当斜率不存在时，由上可知，结论也成立． 故存在与点P 不同的定点(0,2)Q ，使得||||||||QA PA QB PB =恒成立．21．（2021秋•西城区校级期中）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点0(P x ，0)y 为直线l 上一定点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C 的焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=的距离为，∴2=解得1c =或5c =-，（舍)，∴抛物线C 的方程为24x y =．（Ⅱ）设0(P x ，02)x -，设切点为2(,)4x x ，曲线2:4x C y =，2xy '=，则切线的斜率为200(2)42x x x y x x --='=-，化简，得2002480x x x x -+-=，设1(A x ，21)4x ，2(B x ，22)4x ，则1x ，2x 是以上方程的两根， 1202x x x ∴+=，12048x x x =-，1242AB x x x k +==， 直线AB 为：2011()42x x y x x -=-，化简，得：00220x x y y --=，定点(2,2)Q ．22．（2021秋•西城区校级期中）已知抛物线C 的顶点为原点，其焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=（Ⅰ）求抛物线C 的方程；（Ⅱ）设点0(P x ，0)y 为直线l 上一动点，过点P 作抛物线C 的两条切线PA ，PB ，其中A ，B 为切点，求直线AB 的方程，并证明直线AB 过定点Q ；（Ⅲ）过（Ⅱ）中的点Q 的直线m 交抛物线C 于A ，B 两点，过点A ，B 分别作抛物线C 的切线1l ，2l ，求1l ，2l 交点M 满足的轨迹方程．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C 的焦点(0F ，)(0)c c >到直线:20l x y --=的距离为2，∴=解得1c =或5c =-，（舍)，∴抛物线C 的方程为24x y =．（Ⅱ）设0(P x ，02)x -，设切点为2(,)4x x ，曲线2:4x C y =，2xy '=，则切线的斜率为200(2)42x x x y x x --='=-，化简，得2002480x x x x -+-=，设1(A x ，21)4x ，222(,)4x B x ，则1x ，2x 是以上方程的两根，1202x x x ∴+=，12048x x x =-，2212012124442ABx x x x x k x x -+===-， 直线AB 为：21121()44x x x y x x +-=-， 化简，得：00220x x y y --=，定点(2,2)Q ．（Ⅲ）设1(A x ，21)4x ，222(,)4x B x ，过A 的切线2111()24x x y x x =-+，过B 的切线2222()24x x y x x =-+，交点12(2x x M +，12)4x x 设过Q 点的直线为(2)2y k x =-+联立2(2)24y k x x y =-+⎧⎨=⎩，得24880x kx k -+-=，124x x k ∴+=，1282x x k =-，(2,22)M k k ∴-，2y x ∴=-．∴点M 满足的轨迹方程为20x y --=．23．（2021•越秀区校级期中）在平面直角坐标系xOy 中，直线:(0)l y t t =≠交y 轴于点M ，交抛物线2:2(0)C y px p =>于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H ．设抛物线C 的焦点为F ．（1）若点(2,)A m 在抛物线C 上且||3AF =，求抛物线C 的方程； （2）证明||||OH ON 为定值． 【解答】解：（1）若点(2,)A m 在抛物线C 上且||3AF =， 由抛物线的焦点(2p F ，0)，准线方程为2p x =-，可得232p+=，解得2p =， 则抛物线C 的方程为24y x =；（2）证明：将直线:l y t =与抛物线方程22y px =联立，解得2(2t P p，)t ，M 关于点P 的对称点为N ，∴222N M x x t p +=，2N My y t +=， 2(t N p∴，)t ，ON ∴的方程为py x t=， 与抛物线方程联立，解得22(t H p，2)t ，∴||||2||||H N y OH ON y ==为定值． 24．（2021•浙江）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． （Ⅰ）设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴；（Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：可设(,)P m n ，21(4y A ，1)y ，22(4y B ，2)y ，AB 中点为M 的坐标为2212(8y y +，12)2y y +， 抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上， 可得21214()422y m n y ++=⋅， 222214()422m y n y ++=⋅， 化简可得1y ，2y 为关于y 的方程22280y ny m n -+-=的两根， 可得122y y n +=，2128y y m n =-， 可得122y y n +=， 则PM 垂直于y 轴；（另解：设PA ，PB 的中点分别为E ，F ， EF 交PM 于G ，EF 为PAB ∆的中位线， //EF AB ，又M 为AB 的中点，G 为EF 的中点，设1:AB y kx b =+，2:EF y kx b =+， 由24y x =，1y kx b =+，2y kx b =+， 解得4M P y y k==，所以PM 垂直于y 轴） （Ⅱ）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，可得2214n m +=，10m -<，22n -<<，由（Ⅰ）可得122y y n +=，2128y y m n =-， 由PM 垂直于y 轴，可得PAB ∆面积为121||||2S PM y y =⋅- 22121()28y y m +=-2211[(4162)]162n m n m =⋅-+-24n m =-可令t ==可得12m =-时，t ；1m =-时，t 取得最小值2，即25t ，则3S =在25t 递增，可得S ∈，PAB ∆面积的取值范围为．25．（2021•金安区校级期末）如图所示，已知点0(P x ，0)y 是y 轴左侧一点，抛物线2:4C y x=上存在不同的两点211(,)4y A y ，222(,)4y B y ，AB 中点为M ，PA ，PB 的中点均在C 上．（1）求证：1202y y y +=；（2）若P 是半椭圆221(0)4y x x +=<上的动点，求||PM 长度的取值范围．【解答】解：（1）证明：设0(P x ，0)y ，2111(,)4A y y ，2221(,)4B y y ，因为PA ，PB 的中点在抛物线上， 所以1y ，2y 为方程22014()422y x y y ++=⋅， 即22000280y y y x y -+-=的两个不同的实数根为1y ，2y ， 所以1202y y y +=．（2）由（1）可知120212002,8,y y y y y x y +=⎧⎨=-⎩所以22121144(2y y M +，12)2y y +，即2212(8y y M +，0)y ，∴2221200013||()384PM y y x y x =+-=-， 又22014y x +=，0x <，∴2200000||3(1)3333(10)PM x x x x x =--=--+-<∴15||[3,]4PM ∈． 26．（2021•杨浦区期末）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B ，满足PA ，PB 的中点均在抛物线C 上 （1）求抛物线C 的焦点到准线的距离；（2）设AB 中点为M ，且(P P x ，)P y ，(M M x ，)M y ，证明：P M y y =；（3）若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，求PAB ∆面积的最小值．【解答】（1）解：由抛物线2:4C y x =，得24p =，则2p =，∴抛物线C 的焦点到准线的距离为2；（2）证明：(P P x ，)P y ，设21(4y A ，1)y ，22(4y B ，2)y ，AB 中点为M 的坐标为(M M x ，)M y ，则2212(8y y M +，12)2y y +， 抛物线2:4C y x =上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上， 可得21214()422P P y x y y ++=，22224()422P P y x y y ++=， 化简可得1y ，2y 为关于y 的方程22280P P P y y y x y -+-=的两根， 可得122P y y y +=，2128P P y y x y =-， 可得122P M y y y y +==；（3）解：若P 是曲线221(0)4y x x +=<上的动点，可得2214P P y x +=，10P x -<，22P y -<<，由（2）可得122P y y y +=，2128P P y y x y =-， 由PM 垂直于y 轴，可得PAB ∆面积为121||||2S PM y y =- 2212121()()28P y y x y y +=-+ 222211[(4162)]4324162P P P P P P P y x y x y x y =-+--+24P P y x =-令t ==，得12P x =-时，t ．1P x =-时，t 取得最小值2， 即25t ，则3S =在25t 递增，可得S ∈，PAB ∴∆面积的最小值为27．（2021•怀化一模）如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，点F 为抛物线2:C y x =的焦点，且抛物线C 上存在不同的两点A ，B ．（1）若AB 中点为M ，且满足PA ，PB 的中点均在C 上，证明：PM 垂直于y 轴； （2）若点A ，B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，6(OA OB O ⋅=为坐标原点），且ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，求124S S +最小值．【解答】解：（1）证明：设0(P x ，0)y ，21(A y ，1)y ，22(B y ，2)y ，因为直线PA ，PB 的中点在抛物线上，所以1y ，2y 为方程2200()22y y y y ++=的两个根， 即220002220y y y y y -+-=，的两个不同的实数根， 所以1202y y y +=， 所以PM 垂直于y 轴．（2）根据题意可得1(4F ，0)，设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则211x y =，222x y =， 所以22121212126x x y y y y y y +=+=，则123y y =-或122y y =， 因为A ，B 位于x 轴的两侧，所以123y y =-， 设直线AB 的方程为x ty m =+，联立2x ty my x =+⎧⎨=⎩，得20y ty m --=，所以123y y m =-=-，则3m =， 所以直线过定点(3,0)，所以1212111143||4||224S S y y y +=⨯⨯-+⨯⨯11211111131339()()2226222222y y y y y y y y y =⨯-+=⨯+=+⨯， 当且仅当11922y y =，即132y =时取等号， 故124S S +的最小值为6．28．（2021秋•通州区期末）如图，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，离心率12e =． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点)P ，直线AB 与直线:4l x =相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，求证：1k ，3k ，2k 成等差数列．【解答】解：（Ⅰ）由点3(1,)2P 在椭圆上得，221914a b +=①11,22c e a ==又所以②由①②得21c =，24a =，23b =，故椭圆C 的标准方程为22143x y +=⋯．（4分） （Ⅱ）证明：椭圆右焦点坐标(1,0)F ，显然直线AB 斜率存在， 设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =-③⋯．（5分）代入椭圆方程22143x y +=，整理得2222(43)84(3)0k x k x k +-+-=⋯．（6分） 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则有2212122284(3),4343k k x x x x k k -+==++④⋯．（7分） 在方程③中，令4x =得，(4,3)M k ，从而1212123322,11y y k k x x --==--，33312412k k k -==--，⋯．（9分）又因为A 、F 、B 共线，则有AF BF k k k ==， 即有121211y yk x x ==--， 所以1212121212123331122()1111211y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=--++⑤将④代入⑤得22122222823432214(3)8214343k k k k k k k k k k -++=-=---+++，⋯（12分） 又312k k =-，所以1232k k k +=，即1k ，3k ，2k 成等差数列．⋯．（13分）29．（2013•江西）如图，椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，离心率12e =，直线l的方程为4x =． （1）求椭圆C 的方程；（2）AB 是经过右焦点F 的任一弦（不经过点)P ，设直线AB 与直线l 相交于点M ，记PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ，3k ．问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，可得22191(0)4a b a b +=>>① 由离心率12e =得12c a =，即2a c =，则223b c =②，代入①解得1c =，2a =，b 故椭圆的方程为22143x y +=（2）方法一：由题意可设AB 的斜率为k ，则直线AB 的方程为(1)y k x =-③代入椭圆方程22143x y +=并整理得2222(43)84120k x k x k +-+-=设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，2122843k x x k +=+，212241243k x x k -=+④ 在方程③中，令4x =得，M 的坐标为(4,3)k ， 从而111321y k x -=-，222321y k x -=-，33312412k k k -==-- 注意到A ，F ，B 共线，则有AF BF k k k ==，即有121211y yk x x ==-- 所以1212121212123331122()1111211y y y y k k x x x x x x --+=+=+-+------ 1212122322()1x x k x x x x +-=-⨯-++⑤④代入⑤得22122222823432214128214343k k k k k k k k k k -++=-⨯=---+++ 又312k k =-，所以1232k k k += 故存在常数2λ=符合题意方法二：设0(B x ，00)(1)y x ≠，则直线FB 的方程为00(1)1y y x x =-- 令4x =，求得003(4,)1y M x - 从而直线PM 的斜率为0030212(1)y x k x -+=-，联立2200143(1)1x y y y x x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得0058(25x A x --，003)25y x -， 则直线PA 的斜率00102252(1)y x k x -+=-，直线PB 的斜率为020232(1)y k x -=-所以000001230002252321222(1)2(1)2(1)y x y y x k k k x x x -+--++=+=⨯=---，故存在常数2λ=符合题意30．（2021•张掖期末）如图，椭圆的两顶点(1,0)A -，(1,0)B ，过其焦点(0,1)F 的直线l 与椭圆交于C ，D 两点，并与x 轴交于点P ，直线AC 与直线BD 交于点Q ． （1）当||2CD =时，求直线l 的方程； （2）当点P 异于A ，B 两点时，求证：点P 与点Q 横坐标之积为定值．【解答】解：（1）由椭圆的焦点在y 轴上，22221(0)y x a b a b +=>>，由1b =，1c =，则a =∴椭圆的标准方程：2212y x +=；当直线的斜率不存在时，||CD = 设直线l 的方程为1y kx =+，1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ，22112y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得22(2)210k x kx ++-=， 则12222k x x k +=-+，12212x x k =-+，||CD ∴==， 解得k =∴直线l 10y -+=10y +-=；（2）当直线l 的斜率不存在时，设直线l 的方程为1y kx =+，(0,1)k k ≠≠±，设1(C x ，1)y ，2(D x ，2)y ， P ∴的坐标为1(k -，0)，1P x k=， 由（1）可知：12222k x x k +=-+，12212x x k =-+， 直线AC 的方程为11(1)1y y x x =++① 则直线BD 的方程为22(1)1y y x x =--② 联立①②，解得：211212122112()()y x y x y y x y x y x y y -++-=--+，由111y kx =+，221y kx =+，。
9.平面解析几何
第九章 平面解析几何第一节 直线的倾斜角、斜率与直线的方程一、基础知识1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l 与x 轴相交时，取x 轴作为基准， x 轴正向与直线l 向上方向之间所成的角叫做直线 l 的倾斜角.(2)规定：当直线l 与x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. (3)范围：直线l 倾斜角的取值范围是[0，π)． 2．斜率公式(1)定义式：直线l 的倾斜角为α⎝⎛⎭⎫α≠π2，则斜率k ＝tan α. (2)坐标式：P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)在直线l 上，且x 1≠x 2，则l 的斜率 k ＝y 2－y 1x 2－x 1.3．直线方程的五种形式二、常用结论特殊直线的方程(1)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于x 轴的方程为x ＝x 1； (2)直线过点P 1(x 1，y 1)，垂直于y 轴的方程为y ＝y 1； (3)y 轴的方程为x ＝0； (4)x 轴的方程为y ＝0. 考点一 直线的倾斜角与斜率[典例] (1)直线2x cos α－y －3＝0⎝⎛⎭⎫α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤π6，π3 B.⎣⎡⎦⎤π4，π3 C.⎣⎡⎦⎤π4，π2D.⎣⎡⎦⎤π4，2π3(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．[解析] (1)直线2x cos α－y －3＝0的斜率k ＝2cos α， 因为α∈⎣⎡⎦⎤π6，π3，所以12≤cos α≤32， 因此k ＝2·cos α∈[1， 3 ]．设直线的倾斜角为θ，则有tan θ∈[1， 3 ]． 又θ∈[0，π)，所以θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π3， 即倾斜角的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π3.(2) 设P A 与PB 的倾斜角分别为α，β，直线P A 的斜率是k AP ＝1，直线PB 的斜率是k BP＝－3，当直线l 由P A 变化到与y 轴平行的位置PC 时，它的倾斜角由α增至90°，斜率的取值范围为[1，＋∞)．当直线l 由PC 变化到PB 的位置时，它的倾斜角由90°增至β，斜率的变化范围是(－∞，－ 3 ]．故直线l 斜率的取值范围是(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)． [答案] (1)B (2)(－∞，－ 3 ]∪[1，＋∞)[变透练清]1.(变条件)若将本例(1)中的条件变为：平面上有相异两点A (cos θ，sin 2 θ)，B (0,1)，则直线AB 的倾斜角α的取值范围是________．解析：由题意知cos θ≠0，则斜率k ＝tan α＝sin 2θ－1cos θ－0＝－cos θ∈[－1,0)∪(0,1]，所以直线AB 的倾斜角的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π. 答案：⎝⎛⎦⎤0，π4∪⎣⎡⎭⎫3π4，π 2.(变条件)若将本例(2)中P (1,0)改为P (－1,0)，其他条件不变，则直线l 斜率的取值范围为________．解析：设直线l 的斜率为k ，则直线l 的方程为y ＝k (x ＋1)，即kx －y ＋k ＝0. ∵A ，B 两点在直线l 的两侧或其中一点在直线l 上， ∴(2k －1＋k )(－3＋k )≤0， 即(3k －1)(k －3)≤0，解得13≤k ≤ 3.即直线l 的斜率的取值范围是⎣⎡⎦⎤13，3. 答案：⎣⎡⎦⎤13，33．若点A (4,3)，B (5，a )，C (6,5)三点共线，则a 的值为________．解析：因为k AC ＝5－36－4＝1，k AB ＝a －35－4＝a －3.由于A ，B ，C 三点共线，所以a －3＝1，即a ＝4.答案：4考点二 直线的方程[典例] (1)若直线经过点A (－5,2)，且在x 轴上的截距等于在y 轴上的截距的2倍，则该直线的方程为________________．(2)若直线经过点A (－3，3)，且倾斜角为直线3x ＋y ＋1＝0的倾斜角的一半，则该直线的方程为________________．(3)在△ABC 中，已知A (5，－2)，B (7,3)，且AC 的中点M 在y 轴上，BC 的中点N 在x 轴上，则直线MN 的方程为________________．[解析] (1)①当横截距、纵截距均为零时，设所求的直线方程为y ＝kx ，将(－5,2)代入y ＝kx 中，得k ＝－25，此时，直线方程为y ＝－25x ，即2x ＋5y ＝0.②当横截距、纵截距都不为零时， 设所求直线方程为x 2a ＋ya＝1，将(－5,2)代入所设方程，解得a ＝－12，此时，直线方程为x ＋2y ＋1＝0.综上所述，所求直线方程为x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0.(2)由3x ＋y ＋1＝0得此直线的斜率为－3，所以倾斜角为120°，从而所求直线的倾斜角为60°，故所求直线的斜率为 3.又直线过点A (－3，3)，所以所求直线方程为y －3＝3(x ＋3)，即3x －y ＋6＝0. (3)设C (x 0，y 0)，则M ⎝⎛⎭⎫5＋x 02，y 0－22，N ⎝⎛⎭⎫7＋x 02，y 0＋32.因为点M 在y 轴上，所以5＋x 02＝0，所以x 0＝－5.因为点N 在x 轴上，所以y 0＋32＝0，所以y 0＝－3，即C (－5，－3)， 所以M ⎝⎛⎭⎫0，－52，N (1,0)， 所以直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1，即5x －2y －5＝0.[答案] (1)x ＋2y ＋1＝0或2x ＋5y ＝0 (2)3x －y ＋6＝0 (3)5x －2y －5＝0[题组训练]1．过点(1,2)，倾斜角的正弦值是22的直线方程是________________． 解析：由题知，倾斜角为π4或3π4，所以斜率为1或－1，直线方程为y －2＝x －1或y －2＝－(x －1)，即x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝0.答案：x －y ＋1＝0或x ＋y －3＝02．过点P (6，－2)，且在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1的直线方程为________________．解析：设直线方程的截距式为x a ＋1＋y a ＝1，则6a ＋1＋－2a＝1，解得a ＝2或a ＝1，则直线的方程是x 2＋1＋y 2＝1或x 1＋1＋y1＝1，即2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0.答案：2x ＋3y －6＝0或x ＋2y －2＝0考点三 直线方程的综合应用[典例] 已知直线l 过点M (2,1)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点，求当|MA ―→|·|MB ―→|取得最小值时直线l 的方程．[解] 设A (a,0)，B (0，b )，则a ＞0，b ＞0，直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，所以2a ＋1b＝1.|MA ―→|·| MB ―→|＝－MA ―→·MB ―→＝－(a －2，－1)·(－2，b －1) ＝2(a －2)＋b －1＝2a ＋b －5 ＝(2a ＋b )⎝⎛⎭⎫2a ＋1b －5 ＝2b a ＋2ab≥4， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －3＝0.[解题技法]与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程． (3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的性质或基本不等式求解．[题组训练]1．若直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)，则该直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为( )A ．1B ．2C ．4D ．8解析：选C ∵直线ax ＋by ＝ab (a >0，b >0)过点(1,1)， ∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b )⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋ab≥2＋2b a ·ab＝4， 当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y 轴上的截距之和的最小值为4.2．已知直线l ：x －my ＋3m ＝0上存在点M 满足与A (－1,0)，B (1,0)两点连线的斜率k MA 与k MB 之积为3，则实数m 的取值范围是( )A ．[－6， 6 ] B.⎝⎛⎭⎫－∞，－66∪⎝⎛⎭⎫66，＋∞ C.⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞ D.⎣⎡⎦⎤－22，22 解析：选C 设M (x ，y )，由k MA ·k MB ＝3，得y x ＋1·y x －1＝3，即y 2＝3x 2－3.联立⎩⎨⎧x －my ＋3m ＝0，y 2＝3x 2－3，得⎝⎛⎭⎫1m 2－3x 2＋23m x ＋6＝0(m ≠0)， 则Δ＝⎝⎛⎭⎫23m 2－24⎝⎛⎭⎫1m 2－3≥0，即m 2≥16，解得m ≤－66或m ≥66. ∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－66∪⎣⎡⎭⎫66，＋∞.[课时跟踪检测]1．(2019·合肥模拟)直线l ：x sin 30°＋y cos 150°＋1＝0的斜率是( ) A.33B. 3 C ．－ 3D ．－33解析：选A 设直线l 的斜率为k ，则k ＝－sin 30°cos 150°＝33.2．倾斜角为120°，在x 轴上的截距为－1的直线方程是( ) A.3x －y ＋1＝0 B.3x －y －3＝0 C.3x ＋y －3＝0D.3x ＋y ＋3＝0解析：选D 由于倾斜角为120°，故斜率k ＝－ 3.又直线过点(－1,0)，所以直线方程为y ＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋3＝0.3．已知△ABC 的三个顶点坐标为A (1,2)，B (3,6)，C (5,2)，M 为AB 的中点，N 为AC 的中点，则中位线MN 所在直线的方程为( )A ．2x ＋y －12＝0B ．2x －y －12＝0C ．2x ＋y －8＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选C 由题知M (2,4)，N (3,2)，则中位线MN 所在直线的方程为y －42－4＝x －23－2，整理得2x ＋y －8＝0.4．方程y ＝ax －1a表示的直线可能是( )解析：选C 当a ＞0时，直线的斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＜0，各选项都不符合此条件；当a ＜0时，直线的斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距b ＝－1a ＞0，只有选项C符合此条件．故选C.5．在等腰三角形MON 中，MO ＝MN ，点O (0,0)，M (－1,3)，点N 在x 轴的负半轴上，则直线MN 的方程为( )A ．3x －y －6＝0B ．3x ＋y ＋6＝0C ．3x －y ＋6＝0D ．3x ＋y －6＝0解析：选C 因为MO ＝MN ，所以直线MN 的斜率与直线MO 的斜率互为相反数，所以k MN ＝－k MO ＝3，所以直线MN 的方程为y －3＝3(x ＋1)，即3x －y ＋6＝0，选C.6．若直线mx ＋ny ＋3＝0在y 轴上的截距为－3，且它的倾斜角是直线3x －y ＝33的倾斜角的2倍，则( )A ．m ＝－3，n ＝1B ．m ＝－3，n ＝－3C ．m ＝3，n ＝－3D ．m ＝3，n ＝1解析：选D 对于直线mx ＋ny ＋3＝0，令x ＝0得y ＝－3n ，即－3n ＝－3，n ＝1.因为3x －y ＝33的斜率为60°，直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角是直线3x －y ＝33的2倍，所以直线mx ＋ny ＋3＝0的倾斜角为120°，即－mn＝－3，m ＝ 3.7．当0<k <12时，直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧kx －y ＝k －1，ky －x ＝2k 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝kk －1，y ＝2k －1k －1.又∵0<k <12，∴x ＝kk －1<0，y ＝2k －1k －1>0，故直线l 1：kx －y ＝k －1与直线l 2：ky －x ＝2k 的交点在第二象限．8．若直线l ：kx －y ＋2＋4k ＝0(k ∈R)交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，则当△AOB 的面积取最小值时直线l 的方程为( )A ．x －2y ＋4＝0B ．x －2y ＋8＝0C ．2x －y ＋4＝0D ．2x －y ＋8＝0解析：选B 由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－2＋4k k ，0，B (0,2＋4k )．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2＋4k k ＜0，2＋4k ＞0，解得k ＞0.因为S ＝12|OA |·|OB |＝12⎪⎪⎪⎪2＋4k k ·|2＋4k |＝12·(2＋4k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫16k ＋4k ＋16≥12(2×8＋16)＝16，当且仅当16k ＝4k ，即k ＝12时等号成立．此时l 的方程为x －2y ＋8＝0.9．以A (1,1)，B (3,2)，C (5,4)为顶点的△ABC ，其边AB 上的高所在的直线方程是________________．解析：由A ，B 两点得k AB ＝12，则边AB 上的高所在直线的斜率为－2，故所求直线方程是y －4＝－2(x －5)，即2x ＋y －14＝0.答案：2x ＋y －14＝010．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为________________．解析：由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0. 答案：4x －3y －4＝011．直线l 经过点A (1,2)，在x 轴上的截距的取值范围是(－3，3)，则其斜率的取值范围是________________．解析：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －2＝k (x －1)，直线l 在x 轴上的截距为1－2k ，令－3<1－2k <3，解不等式得k >12或k <－1.答案：(－∞，－1)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 12．设点A (－1,0)，B (1,0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是________． 解析：b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x＋b 过点A (－1,0)和点B (1,0)时，b 分别取得最小值和最大值．∴b 的取值范围是[－2,2]．答案：[－2,2]13．已知直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A (－3,4)； (2)斜率为16.解：(1)设直线l 的方程为y ＝k (x ＋3)＋4，它在x 轴，y 轴上的截距分别是－4k －3,3k ＋4，由已知，得(3k ＋4)⎝⎛⎭⎫4k ＋3＝±6， 解得k 1＝－23或k 2＝－83.故直线l 的方程为2x ＋3y －6＝0或8x ＋3y ＋12＝0. (2)设直线l 在y 轴上的截距为b ，则直线l 的方程为y ＝16x ＋b ，它在x 轴上的截距是－6b ，由已知，得|－6b ·b |＝6，∴b ＝±1.∴直线l 的方程为x －6y ＋6＝0或x －6y －6＝0.第二节 两直线的位置关系一、基础知识1．两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行①对于两条不重合的直线l 1，l 2，若其斜率分别为k 1，k 2，则有l 1∥l 2⇔k 1＝k 2. ②当直线l 1，l 2不重合且斜率都不存在时，l 1∥l 2. (2)两条直线垂直①如果两条直线l 1，l 2的斜率存在， 设为k 1，k 2，则有l 1⊥l 2⇔k 1·k 2＝－1.②当其中一条直线的斜率不存在，而另一条直线的斜率为0时，l 1⊥l 2. 2．两条直线的交点的求法直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2的交点坐标就是方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解． 3．三种距离公式 (1)两点间的距离公式平面上任意两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式为|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)点到直线的距离公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2.(3)两平行直线间的距离公式两条平行直线Ax ＋By ＋C 1＝0与Ax ＋By ＋C 2＝0 间的距离d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.二、常用结论(1)与直线Ax ＋By ＋C ＝0(A 2＋B 2≠0)垂直或平行的直线方程可设为： ①垂直：Bx －Ay ＋m ＝0；②平行：Ax ＋By ＋n ＝0. (2)与对称问题相关的四个结论：①点(x ，y )关于点(a ，b )的对称点为(2a －x,2b －y )．②点(x ，y )关于直线x ＝a 的对称点为(2a －x ，y )，关于直线y ＝b 的对称点为(x,2b －y )． ③点(x ，y )关于直线y ＝x 的对称点为(y ，x )，关于直线y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )． ④点(x ，y )关于直线x ＋y ＝k 的对称点为(k －y ，k －x )，关于直线x －y ＝k 的对称点为(k ＋y ，x －k )．考点一 两条直线的位置关系[典例] 已知两直线l 1：mx ＋8y ＋n ＝0和l 2：2x ＋my －1＝0，试确定m ，n 的值，使 (1)l 1与l 2相交于点P (m ，－1)； (2)l 1∥l 2；(3)l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－8＋n ＝0，2m －m －1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝7.即m ＝1，n ＝7时，l 1与l 2相交于点P (m ，－1)．(2)∵l 1∥l 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2－16＝0，－m －2n ≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝4，n ≠－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－4，n ≠2.即m ＝4，n ≠－2或m ＝－4，n ≠2时，l 1∥l 2. (3)当且仅当2m ＋8m ＝0， 即m ＝0时，l 1⊥l 2. 又－n8＝－1，∴n ＝8.即m ＝0，n ＝8时，l 1⊥l 2，且l 1在y 轴上的截距为－1.[解题技法]1．．由一般式确定两直线位置关系的方法[题组训练]1．已知直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直，垂足为(t,1)，则n的值为() A．7B．9C．11 D．－7解析：选A由直线4x＋my－6＝0与直线5x－2y＋n＝0垂直得，20－2m＝0，m＝10.直线4x＋10y－6＝0过点(t,1)，所以4t＋10－6＝0，t＝－1.点(－1,1)又在直线5x－2y＋n＝0上，所以－5－2＋n＝0，n＝7.2．(2019·保定五校联考)直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.考点二距离问题[典例](1)过点P(2,1)且与原点O距离最远的直线方程为()A．2x＋y－5＝0B．2x－y－3＝0C．x＋2y－4＝0 D．x－2y＝0(2)若两平行直线l1：x－2y＋m＝0(m＞0)与l2：2x＋ny－6＝0之间的距离是5，则m＋n ＝( )A ．0B ．1C ．－2D ．－1[解析] (1)过点P (2,1)且与原点O 距离最远的直线为过点P (2,1)且与OP 垂直的直线，因为直线OP 的斜率为1－02－0＝12，所以所求直线的斜率为－2，故所求直线方程为2x ＋y －5＝0.(2)因为l 1，l 2平行，所以1×n ＝2×(－2)，1×(－6)≠2×m ，解得n ＝－4，m ≠－3，所以直线l 2：x －2y －3＝0.又l 1，l 2之间的距离是 5，所以|m ＋3|1＋4＝5，解得m ＝2或m ＝－8(舍去)，所以m ＋n ＝－2，故选C.[答案] (1)A (2)C[解题技法]1．点到直线的距离的求法可直接利用点到直线的距离公式来求，但要注意此时直线方程必须为一般式． 2．两平行线间的距离的求法(1)利用“转化法”将两条平行线间的距离转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离．(2)利用两平行线间的距离公式． [题组训练]1．已知点P (2，m )到直线2x －y ＋3＝0的距离不小于25，则实数m 的取值范围是________________．解析：由题意得，点P 到直线的距离为|2×2－m ＋3|22＋12≥25，即|m －7|≥10，解得m ≥17或m ≤－3，所以实数m 的取值范围是(－∞，－3]∪[17，＋∞)．答案：(－∞，－3]∪[17，＋∞)2．如果直线l 1：ax ＋(1－b )y ＋5＝0和直线l 2：(1＋a )x －y －b ＝0都平行于直线l 3：x －2y ＋3＝0，则l 1，l 2之间的距离为________．解析：因为l 1∥l 3，所以－2a －(1－b )＝0，同理－2(1＋a )＋1＝0，解得a ＝－12，b ＝0，因此l 1：x －2y －10＝0，l 2：x －2y ＝0，d ＝|－10－0|12＋(－2)2＝2 5.答案：2 5考点三 对称问题[典例] 已知直线l ：2x －3y ＋1＝0，点A (－1，－2)． (1)求点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标；(2)求直线m ：3x －2y －6＝0关于直线l 的对称直线m ′的方程． [解] (1)设A ′(x ，y )，再由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧y ＋2x ＋1×23＝－1，2×x －12－3×y －22＋1＝0，解得⎩⎨⎧x ＝－3313，y ＝413，所以A ′⎝⎛⎭⎫－3313，413. (2)在直线m 上取一点，如M (2,0)，则M (2,0)关于直线l 的对称点M ′必在m ′上．设对称点为M ′(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧2×a ＋22－3×b ＋02＋1＝0，b －0a －2×23＝－1，解得M ′⎝⎛⎭⎫613，3013.设m 与l 的交点为N ，则由⎩⎪⎨⎪⎧2x －3y ＋1＝0，3x －2y －6＝0，得N (4,3)．又因为m ′经过点N (4,3)，所以由两点式得直线m ′方程为9x －46y ＋102＝0.[变透练清]1.(变结论)在本例条件下，则直线l 关于点A (－1，－2)对称的直线l ′的方程为________________．解析：法一：在l ：2x －3y ＋1＝0上任取两点， 如M (1,1)，N (4,3)，则M ，N 关于点A 的对称点M ′，N ′均在直线l ′上． 易知M ′(－3，－5)，N ′(－6，－7)， 由两点式可得 l ′的方程为2x －3y －9＝0. 法二：设P (x ，y )为l ′上任意一点， 则P (x ，y )关于点A (－1，－2)的对称点为 P ′(－2－x ，－4－y )，∵P ′在直线l 上，∴2(－2－x )－3(－4－y )＋1＝0， 即2x －3y －9＝0. 答案：2x －3y －9＝02．(2019·合肥四校联考)已知入射光线经过点M (－3,4)，被直线l ：x －y ＋3＝0反射，反射光线经过点N (2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．解析：设点M (－3,4)关于直线l ：x －y ＋3＝0的对称点为M ′(a ，b )，则反射光线所在直线过点M ′，所以⎩⎪⎨⎪⎧b －4a －(－3)＝－1，－3＋a 2－b ＋42＋3＝0，解得a ＝1，b ＝0.又反射光线经过点N (2,6)，所以所求直线的方程为y －06－0＝x －12－1，即6x －y －6＝0.答案：6x －y －6＝0[解题技法]1．中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称若点M (x 1，y 1)及N (x ，y )关于P (a ，b )对称，则由中点坐标公式得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2a －x 1，y ＝2b －y 1进而求解．(2)直线关于点对称①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程；②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程； ③轨迹法，设对称直线上任一点M (x ，y )，其关于已知点的对称点在已知直线上． 2．轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称若两点P 1(x 1，y 1)与P 2(x 2，y 2)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称， 由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A ×x 1＋x 22＋B ×y 1＋y22＋C ＝0，y 2－y 1x 2－x 1×⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1，可得到点P 1关于l 对称的点P 2的坐标(x 2，y 2)(其中B ≠0，x 1≠x 2)．(2)直线关于直线的对称一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行．[课时跟踪检测]1．过点(1,0)且与直线x －2y －2＝0垂直的直线方程是( ) A ．x －2y －1＝0 B ．x －2y ＋1＝0 C ．2x ＋y －2＝0D ．x ＋2y －1＝0解析：选C 因为直线x －2y －2＝0的斜率为12，所以所求直线的斜率k ＝－2.所以所求直线的方程为y －0＝－2(x －1)， 即2x ＋y －2＝0.2．已知直线l 1：2ax ＋(a ＋1)y ＋1＝0和l 2：(a ＋1)x ＋(a －1)y ＝0，若l 1⊥l 2，则a ＝( ) A ．2或12B.13或－1 C.13D ．－1解析：选B 因为直线l 1⊥l 2，所以2a (a ＋1)＋(a ＋1)(a －1)＝0，解得a ＝13或－1.3．若点P 在直线3x ＋y －5＝0上，且P 到直线x －y －1＝0的距离为2，则点P 的坐标为( )A ．(1,2)B ．(2,1)C ．(1,2)或(2，－1)D ．(2,1)或(－1,2)解析：选C 设P (x,5－3x )，则d ＝|x －5＋3x －1|12＋(－1)2＝2，化简得|4x －6|＝2，即4x －6＝±2，解得x ＝1或x ＝2，故P (1，2)或(2，－1)．4．(2018·揭阳一模)若直线l 1：x －3y ＋2＝0与直线l 2：mx －y ＋b ＝0关于x 轴对称，则m ＋b ＝( )A.13 B ．－1 C ．－13D ．1解析：选B 直线l 1：x －3y ＋2＝0关于x 轴对称的直线为x ＋3y ＋2＝0.由题意知m ≠0. 因为mx －y ＋b ＝0，即x －y m ＋bm＝0，且直线l 1与l 2关于x 轴对称，所以有⎩⎨⎧－1m ＝3，bm ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝－13，b ＝－23，则m ＋b ＝－13＋⎝⎛⎭⎫－23＝－1. 5．点A (1,3)关于直线y ＝kx ＋b 对称的点是B (－2,1)，则直线y ＝kx ＋b 在x 轴上的截距是( )A ．－32B.54 C ．－65D.56解析：选D 由题意，知⎩⎨⎧3－11＋2·k ＝－1，2＝k ·⎝⎛⎭⎫－12＋b ，解得⎩⎨⎧k ＝－32，b ＝54.∴直线方程为y ＝－32x ＋54，它在x 轴上的截距为－54×⎝⎛⎭⎫－23＝56.故选D. 6．(2019·成都五校联考)已知A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且|P A |＝|PB |，若直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，则直线PB 的方程是( )A ．2x ＋y －7＝0B ．x ＋y －5＝0C ．2y －x －4＝0D ．2x －y －1＝0解析：选B 由|P A |＝|PB |得点P 一定在线段AB 的垂直平分线上，根据直线P A 的方程为x －y ＋1＝0，可得A (－1,0)，将x ＝2代入直线x －y ＋1＝0，得y ＝3，所以P (2，3)，所以B (5,0)，所以直线PB 的方程是x ＋y －5＝0，选B.7．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上移动，则AB 的中点M 到原点的距离的最小值为( )A ．3 2B ．2 2C ．3 3D ．4 2解析：选A 依题意知AB 的中点M 的集合为与直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0距离都相等的直线，则M 到原点的距离的最小值为原点到该直线的距离．设点M 所在直线的方程为l ：x ＋y ＋m ＝0，根据平行线间的距离公式得|m ＋7|2＝|m ＋5|2⇒|m ＋7|＝|m ＋5|⇒m ＝－6，即l ：x ＋y －6＝0.根据点到直线的距离公式，得M 到原点的距离的最小值为|－6|2＝3 2. 8．已知点A (1,3)，B (5，－2)，在x 轴上有一点P ，若|AP |－|BP |最大，则P 点坐标为( ) A ．(3.4,0) B ．(13,0) C ．(5,0)D ．(－13,0)解析：选B 作出A 点关于x 轴的对称点A ′(1，－3)，则A ′B 所在直线方程为x －4y －13＝0.令y ＝0得x ＝13，所以点P 的坐标为(13,0)．9．经过两直线l 1：x －2y ＋4＝0和l 2：x ＋y －2＝0的交点P ，且与直线l 3：3x －4y ＋5＝0垂直的直线l 的方程为________．解析：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4＝0，x ＋y －2＝0得x ＝0，y ＝2，即P (0,2)．因为l ⊥l 3，所以直线l 的斜率k ＝－43，所以直线l 的方程为y －2＝－43x ，即4x ＋3y －6＝0.答案：4x ＋3y －6＝010．已知点P 1(2,3)，P 2(－4,5)和A (－1,2)，则过点A 且与点P 1，P 2距离相等的直线方程为________．解析：当直线与点P 1，P 2的连线所在的直线平行时，由直线P 1P 2的斜率k ＝3－52＋4＝－13，得所求直线的方程为y －2＝－13(x ＋1)，即x ＋3y －5＝0.当直线过线段P 1P 2的中点时，因为线段P 1P 2的中点坐标为(－1,4)，所以直线方程为x ＝－1.综上所述，所求直线方程为x ＋3y －5＝0或x ＝－1.答案：x ＋3y －5＝0或x ＝－111．直线x －2y ＋1＝0关于直线x ＝1对称的直线方程是________．解析：由题意得直线x －2y ＋1＝0与直线x ＝1的交点坐标为(1,1)．又直线x －2y ＋1＝0上的点(－1,0)关于直线x ＝1的对称点为(3,0)，所以由直线方程的两点式，得y －01－0＝x －31－3，即x ＋2y －3＝0.答案：x ＋2y －3＝012．过点P (0,1)作直线l 使它被直线l 1：2x ＋y －8＝0和l 2：x －3y ＋10＝0截得的线段被点P 平分，则直线l 的方程为________．解析：设l 1与l 的交点为A (a,8－2a )，则由题意知，点A 关于点P 的对称点B (－a,2a －6)在l 2上，把B 点坐标代入l 2的方程得－a －3(2a －6)＋10＝0，解得a ＝4，即点A (4,0)在直线l 上， 所以由两点式得直线l 的方程为x ＋4y －4＝0. 答案：x ＋4y －4＝013．已知△ABC 的三个顶点是A (1,1)，B (－1,3)，C (3,4)． (1)求BC 边的高所在直线l 1的方程；(2)若直线l 2过C 点，且A ，B 到直线l 2的距离相等，求直线l 2的方程．解：(1)因为k BC ＝4－33＋1＝14，又直线l 1与BC 垂直，所以直线l 1的斜率k ＝－1k BC ＝－4，所以直线l 1的方程是y ＝－4(x －1)＋1，即4x ＋y －5＝0.(2)因为直线l 2过C 点且A ，B 到直线l 2的距离相等， 所以直线l 2与AB 平行或过AB 的中点M ， 因为k AB ＝3－1－1－1＝－1，所以直线l 2的方程是y ＝－(x －3)＋4，即x ＋y －7＝0. 因为AB 的中点M 的坐标为(0,2)， 所以k CM ＝4－23－0＝23，所以直线l 2的方程是y ＝23(x －3)＋4，即2x －3y ＋6＝0. 综上，直线l 2的方程是x ＋y －7＝0或2x －3y ＋6＝0.第三节 圆的方程一、基础知识1．圆的定义及方程❶标准方程强调圆心坐标为(a ，b )，半径为r .❷(1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (2)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2.二、常用结论(1)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧A ＝C ≠0，B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0.(2)以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.考点一 求圆的方程[典例] (1)圆心在y 轴上，半径长为1，且过点A (1,2)的圆的方程是( )A ．x 2＋(y －2)2＝1B ．x 2＋(y ＋2)2＝1C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1D ．x 2＋(y －3)2＝4(2)圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的方程为________． [解析] (1)根据题意可设圆的方程为x 2＋(y －b )2＝1，因为圆过点A (1,2)，所以12＋(2－b )2＝1，解得b ＝2，所以所求圆的方程为x 2＋(y －2)2＝1.(2)法一：几何法设点C 为圆心，因为点C 在直线x －2y －3＝0上，所以可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又该圆经过A ，B 两点，所以|CA |＝|CB |， 即(2a ＋3－2)2＋(a ＋3)2＝(2a ＋3＋2)2＋(a ＋5)2，解得a ＝－2， 所以圆心C 的坐标为(－1，－2)，半径r ＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法二：待定系数法设所求圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(－2－a )2＋(－5－b )2＝r 2，a －2b －3＝0，解得a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10， 故所求圆的方程为(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝10. 法三：待定系数法设圆的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0， 则圆心坐标为⎝⎛⎭⎫－D 2，－E2， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－D2－2×⎝⎛⎭⎫－E 2－3＝0，4＋9＋2D －3E ＋F ＝0，4＋25－2D －5E ＋F ＝0，解得D ＝2，E ＝4，F ＝－5.故所求圆的方程为x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0. [答案] (1)A (2)x 2＋y 2＋2x ＋4y －5＝0[题组训练]1．已知圆E 经过三点A (0,1)，B (2,0)，C (0，－1)，且圆心在x 轴的正半轴上，则圆E的标准方程为( )A.⎝⎛⎭⎫x －322＋y 2＝254 B.⎝⎛⎭⎫x ＋342＋y 2＝2516 C.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516D.⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝254解析：选C 法一：根据题意，设圆E 的圆心坐标为(a,0)(a ＞0)，半径为r ，则圆E 的标准方程为(x －a )2＋y 2＝r 2(a ＞0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋12＝r 2，(2－a )2＝r 2，a 2＋(－1)2＝r 2，解得⎩⎨⎧a ＝34，r 2＝2516，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 法二：设圆E 的一般方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋E ＋F ＝0，4＋2D ＋F ＝0，1－E ＋F ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧D ＝－32，E ＝0，F ＝－1，所以圆E 的一般方程为x 2＋y 2－32x －1＝0，即⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 法三：因为圆E 经过点A (0,1)，B (2,0)，所以圆E 的圆心在线段AB 的垂直平分线y －12＝2(x －1)上．又圆E 的圆心在x 轴的正半轴上， 所以圆E 的圆心坐标为⎝⎛⎭⎫34，0. 则圆E 的半径为|EB |＝⎝⎛⎭⎫2－342＋(0－0)2＝54，所以圆E 的标准方程为⎝⎛⎭⎫x －342＋y 2＝2516. 2．已知圆心在直线y ＝－4x 上，且圆与直线l ：x ＋y －1＝0相切于点P (3，－2)，则该圆的方程是________________．解析：过切点且与x ＋y －1＝0垂直的直线方程为x －y －5＝0，与y ＝－4x 联立可求得圆心为(1，－4)．所以半径r ＝(3－1)2＋(－2＋4)2＝22， 故所求圆的方程为(x －1)2＋(y ＋4)2＝8. 答案：(x －1)2＋(y ＋4)2＝83．已知圆C 经过P (－2,4)，Q (3，－1)两点，且在x 轴上截得的弦长等于6，则圆C 的方程为________________．解析：设圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)， 将P ，Q 两点的坐标分别代入得⎩⎪⎨⎪⎧ 2D －4E －F ＝20，3D －E ＋F ＝－10.①②又令y ＝0，得x 2＋Dx ＋F ＝0.③ 设x 1，x 2是方程③的两根， 由|x 1－x 2|＝6，得D 2－4F ＝36，④联立①②④，解得D ＝－2，E ＝－4，F ＝－8，或D ＝－6，E ＝－8，F ＝0. 故所求圆的方程为x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0. 答案：x 2＋y 2－2x －4y －8＝0或x 2＋y 2－6x －8y ＝0考点二 与圆有关的轨迹问题[典例] (1)点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( ) A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1 B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4 C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4 D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1(2)已知圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝9，过点A (2,3)作圆C 的任意弦，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．[解析] (1)设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4，化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.(2)设P (x ，y )，圆心C (1,1)．因为P 点是过点A 的弦的中点，所以P A ―→⊥PC ―→. 又因为P A ―→＝(2－x,3－y )，PC ―→＝(1－x,1－y )． 所以(2－x )·(1－x )＋(3－y )·(1－y )＝0. 所以点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝54. [答案] (1)A (2)⎝⎛⎭⎫x －322＋(y －2)2＝54[变透练清]1.(变条件)若将本例(2)中点A (2,3)换成圆上的点B (1,4)，其他条件不变，则这些弦的中点P 的轨迹方程为________．解析：设P (x ，y )，圆心C (1,1)．当点P 与点B 不重合时，因为P 点是过点B 的弦的中点，所以PB ―→⊥PC ―→.又因为PB ―→＝(1－x,4－y )，PC ―→＝(1－x,1－y )． 所以(1－x )·(1－x )＋(4－y )·(1－y )＝0. 所以点P 的轨迹方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝94； 当点P 与点B 重合时，点P 满足上述方程． 综上所述，点P 的轨迹方程为(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝94. 答案：(x －1)2＋⎝⎛⎭⎫y －522＝942．已知圆x 2＋y 2＝4上一定点A (2,0)，B (1,1)为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． (1)求线段AP 中点的轨迹方程；(2)若∠PB Q ＝90°，求线段P Q 中点的轨迹方程．解：(1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )． 因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上， 所以(2x －2)2＋(2y )2＝4.故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1. (2)设P Q 的中点为N (x ，y )． 在Rt △PB Q 中，|PN |＝|BN |，设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥P Q ， 所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2， 所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段P Q 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.[课时跟踪检测]A 级1．以线段AB ：x ＋y －2＝0(0≤x ≤2)为直径的圆的方程为( ) A ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 B ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝8D ．(x －1)2＋(y －1)2＝8解析：选B 直径的两端点分别为(0,2)，(2,0)，所以圆心为(1,1)，半径为2，故圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.2．若圆x 2＋y 2＋2ax －b 2＝0的半径为2，则点(a ，b )到原点的距离为( ) A ．1 B ．2 C. 2D ．4解析：选B 由半径r ＝12D 2＋E 2－4F ＝124a 2＋4b 2＝2，得a 2＋b 2＝2.∴点(a ，b )到原点的距离d ＝a 2＋b 2＝2，故选B.3．以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝5解析：选A 由题意知，圆心到这两条直线的距离相等，即圆心到直线2x －y ＋4＝0的距离d ＝|2a －1＋4|5＝|2a －1－6|5，解得a ＝1，d ＝5，∵直线与圆相切，∴r ＝d ＝5， ∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5.4．(2019·银川模拟)方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是( ) A ．一个椭圆 B ．一个圆 C ．两个圆D ．两个半圆解析：选D 由题意知|y |－1≥0，则y ≥1或y ≤－1，当y ≥1时，原方程可化为(x －1)2＋(y －1)2＝1(y ≥1)，其表示以(1，1)为圆心、1为半径、直线y ＝1上方的半圆；当y ≤－1时，原方程可化为(x －1)2＋(y ＋1)2＝1(y ≤－1)，其表示以(1，－1)为圆心、1为半径、直线y ＝－1下方的半圆．所以方程|y |－1＝1－(x －1)2表示的曲线是两个半圆，选D.5．已知a ∈R ，若方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，则此圆的圆心坐标为( )A ．(－2，－4)B.⎝⎛⎭⎫－12，－1 C ．(－2，－4)或⎝⎛⎭⎫－12，－1 D ．不确定解析：选A ∵方程a 2x 2＋(a ＋2)y 2＋4x ＋8y ＋5a ＝0表示圆，∴a 2＝a ＋2≠0，解得a ＝－1或a ＝2.当a ＝－1时，方程化为x 2＋y 2＋4x ＋8y －5＝0.配方，得(x ＋2)2＋(y ＋4)2＝25，所得圆的圆心坐标为(－2，－4)，半径为5.当a ＝2时，方程化为x 2＋y 2＋x ＋2y ＋52＝0，此时方程不表示圆．故选A.6．已知圆C 的圆心是直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点，且圆C 与直线x ＋y ＋3＝0相切，则圆C 的方程为( )A ．(x ＋1)2＋y 2＝2B ．(x ＋1)2＋y 2＝8C ．(x －1)2＋y 2＝2D ．(x －1)2＋y 2＝8解析：选A 直线x －y ＋1＝0与x 轴的交点(－1,0)． 根据题意，圆C 的圆心坐标为(－1,0)．因为圆与直线x ＋y ＋3＝0相切，所以半径为圆心到切线的距离， 即r ＝d ＝|－1＋0＋3|12＋12＝2，则圆的方程为(x ＋1)2＋y 2＝2.7．圆C 的直径的两个端点分别是A (－1,2)，B (1,4)，则圆C 的标准方程为________． 解析：设圆心C 的坐标为(a ，b )，则a ＝－1＋12＝0，b ＝2＋42＝3，故圆心C (0,3)．半径r ＝12|AB |＝12[1－(－1)]2＋(4－2)2＝ 2.∴圆C 的标准方程为x 2＋(y －3)2＝2. 答案：x 2＋(y －3)2＝28．已知圆C 的圆心在x 轴上，并且经过点A (－1,1)，B (1,3)，若M (m ，6)在圆C 内，则m 的取值范围为________．解析：设圆心为C (a,0)，由|CA |＝|CB |， 得(a ＋1)2＋12＝(a －1)2＋32，解得a ＝2. 半径r ＝|CA |＝(2＋1)2＋12＝10. 故圆C 的方程为(x －2)2＋y 2＝10. 由题意知(m －2)2＋(6)2＜10， 解得0＜m ＜4. 答案：(0,4)9．若一个圆的圆心是抛物线x 2＝4y 的焦点，且该圆与直线y ＝x ＋3相切，则该圆的标准方程是________________．解析：抛物线x 2＝4y 的焦点为(0,1)，即圆心为(0,1)，设该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝r 2(r >0)，因为该圆与直线y ＝x ＋3相切，所以r ＝d ＝|－1＋3|2＝2，故该圆的标准方程是x 2＋(y －1)2＝2.答案：x 2＋(y －1)2＝210．(2019·德州模拟)已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点M (0，5)在圆C 上，且圆心到直线2x －y ＝0的距离为455，则圆C 的标准方程为________________． 解析：因为圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，设C (a,0)，且a ＞0，所以圆心到直线2x －y ＝0的距离d ＝2a 5＝455，解得a ＝2，所以圆C 的半径r ＝|CM |＝4＋5＝3，所以圆C 的标准方程为(x －2)2＋y 2＝9.答案：(x －2)2＋y 2＝911．已知以点P 为圆心的圆经过点A (－1,0)和B (3,4)，线段AB 的垂直平分线交圆P 于点C 和D ，且|CD |＝410.(1)求直线CD 的方程； (2)求圆P 的方程．解：(1)直线AB 的斜率k ＝1，AB 的中点坐标为(1,2)． 所以直线CD 的方程为y －2＝－(x －1)， 即x ＋y －3＝0.(2)设圆心P (a ，b )，则由P 在CD 上得a ＋b －3＝0.① 又直径|CD |＝410， 所以|P A |＝210. 所以(a ＋1)2＋b 2＝40.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－3，b ＝6或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝5，b ＝－2，所以圆心P (－3,6)或P (5，－2)，所以圆P 的方程为(x ＋3)2＋(y －6)2＝40或(x －5)2＋(y ＋2)2＝40. 12．已知Rt △ABC 的斜边为AB ，且A (－1,0)，B (3,0)．求： (1)直角顶点C 的轨迹方程； (2)直角边BC 的中点M 的轨迹方程．解：(1)法一：设C (x ，y )，因为A ，B ，C 三点不共线， 所以y ≠0.因为AC ⊥BC ，所以k AC ·k BC ＝－1，又k AC ＝y x ＋1，k BC ＝yx －3，所以y x ＋1·yx －3＝－1，化简得x 2＋y 2－2x －3＝0.因此，直角顶点C 的轨迹方程为x 2＋y 2－2x －3＝0(y ≠0)．法二：设AB 的中点为D ，由中点坐标公式得D (1,0)，由直角三角形的性质知|CD |＝12|AB |＝2.由圆的定义知，动点C 的轨迹是以D (1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A ，B ，C 三点不共线，所以应除去与x 轴的交点)．所以直角顶点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)．(2)设M (x ，y )，C (x 0，y 0)，因为B (3,0)，M 是线段BC 的中点，由中点坐标公式得x ＝x 0＋32，y ＝y 0＋02，所以x 0＝2x －3，y 0＝2y .由(1)知，点C 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝4(y ≠0)，将x 0＝2x －3，y 0＝2y 代入得(2x －4)2＋(2y )2＝4，即(x －2)2＋y 2＝1.因此动点M 的轨迹方程为(x －2)2＋y 2＝1(y ≠0)．B 级1．(2019·伊春三校联考)已知圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆C 2与圆C 1关于直线x －y －1＝0对称，则圆C 2的方程为( )A ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋2)2＝1C ．(x ＋2)2＋(y ＋2)2＝1D ．(x －2)2＋(y －2)2＝1解析：选B 圆C 1：(x ＋1)2＋(y －1)2＝1，圆心C 1为(－1,1)，半径为1.易知点C 1(－1,1)关于直线x －y －1＝0对称的点为C 2，设C 2(a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧b －1a ＋1＝－1，a －12－b ＋12－1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－2，所以C 2(2，－2)，所以圆C 2的圆心为C 2(2，－2)，半径为1，所以圆C 2的方程为(x －2)2＋(y ＋2)2＝1.故选B.2．在平面直角坐标系xOy 中，以点(1,0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________________．解析：因为直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )恒过点(2，－1)，所以当点(2，－1)为切点时，半径最大，此时半径r ＝2，故所求圆的标准方程为(x －1)2＋y 2＝2.答案：(x －1)2＋y 2＝23．已知过原点的动直线l 与圆C 1：x 2＋y 2－6x ＋5＝0相交于不同的两点A ，B . (1)求圆C 1的圆心坐标；(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程．解：(1)把圆C 1的方程化为标准方程得(x －3)2＋y 2＝4， ∴圆C 1的圆心坐标为C 1(3,0)．(2)设M (x ，y )，∵A ，B 为过原点的直线l 与圆C 1的交点，且M 为AB 的中点， ∴由圆的性质知：MC 1⊥MO ，∴MC 1―→·MO ―→＝0. 又∵MC 1―→＝(3－x ，－y )，MO ―→＝(－x ，－y )， ∴x 2－3x ＋y 2＝0.易知直线l 的斜率存在，故设直线l 的方程为y ＝mx ， 当直线l 与圆C 1相切时， 圆心到直线l 的距离d ＝|3m －0|m 2＋1＝2， 解得m ＝±255.把相切时直线l 的方程代入圆C 1的方程化简得 9x 2－30x ＋25＝0，解得x ＝53.当直线l 经过圆C 1的圆心时，M 的坐标为(3,0)． 又∵直线l 与圆C 1交于A ，B 两点，M 为AB 的中点， ∴53<x ≤3. ∴点M 的轨迹C 的方程为x 2－3x ＋y 2＝0，其中53<x ≤3，其轨迹为一段圆弧．第四节 直线与圆、圆与圆的位置关系一、基础知识1．直线与圆的位置关系(半径为r ，圆心到直线的距离为d )2．圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)二、常用结论(1)圆的切线方程常用结论①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.③过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)直线被圆截得的弦长弦心距d 、弦长l 的一半12l 及圆的半径r 构成一直角三角形，且有r 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫12l 2. 考点一 直线与圆的位置关系考法(一) 直线与圆的位置关系的判断[典例] 直线l ：mx －y ＋1－m ＝0与圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的位置关系是( ) A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定[解析] 法一：由⎩⎪⎨⎪⎧mx －y ＋1－m ＝0，x 2＋(y －1)2＝5， 消去y ，整理得(1＋m 2)x 2－2m 2x ＋m 2－5＝0， 因为Δ＝16m 2＋20>0， 所以直线l 与圆相交．法二：由题意知，圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1<5，故直线l 与圆相交． 法三：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x 2＋(y －1)2＝5的内部，所以直线l 与圆相交．[答案] A[解题技法] 判断直线与圆的位置关系的常见方法 (1)几何法：利用d 与r 的关系．(2)代数法：联立方程组，消元得一元二次方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交． [提醒] 上述方法中最常用的是几何法． 考法(二) 直线与圆相切的问题[典例] (1)过点P (2,4)作圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为( ) A ．3x ＋4y －4＝0 B ．4x －3y ＋4＝0 C ．x ＝2或4x －3y ＋4＝0 D ．y ＝4或3x ＋4y －4＝0(2)(2019·成都摸底)已知圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，经过点M (m ，m )作圆C 的切线，切点为P ，则|MP |＝________.[解析] (1)当斜率不存在时，x ＝2与圆相切；当斜率存在时，设切线方程为y －4＝k (x －2)，即kx －y ＋4－2k ＝0，则|k －1＋4－2k |k 2＋1＝1，解得k ＝43，则切线方程为4x －3y ＋4＝0，故切线方程为x ＝2或4x －3y ＋4＝0.(2)圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋1＝0的圆心为C (1,2)，半径为2.因为圆上存在两点关于直线l ：x ＋my ＋1＝0对称，所以直线l ：x ＋my ＋1＝0过点(1,2)，所以1＋2m ＋1＝0，解得m ＝－1，所以|MC |2＝13，|MP |＝13－4＝3.[答案] (1)C (2)3 考法(三) 弦长问题。
09第九讲 平面解析几何
第九章 教师备课平台
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二、分类讨论思想在解析几何中的应用 分类讨论是中学数学中最常用的数学思想之一，也是高考 中重点考查的数学思想，解决分类讨论问题的关键是恰当地划 分标准，分类的原则是做到不重不漏． 分类讨论思想在本单元中主要体现在判断两直线的位置 关系以及直线与圆锥曲线的位置关系上，需对其斜率存在的情 况进行分类讨论，对含参数的问题往往对参数进行分类讨论．
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(2)当直线 l 的斜率 k＝0 时，直线 l 的方程为 y＝t， 则满足题意的 t 的取值范围为－2<t<2. 当直线 l 的斜率 k≠0 时，设直线 l 的方程为 y＝kx＋t.
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(1)求椭圆 M 的方程； (2)过点(0，t)的直线 l(斜率存在时)与椭圆 M 交于两点 P、 Q，设 D 为椭圆 M 与 y 轴负半轴的交点，且|D→P|＝|D→Q|，求实 数 t 的取值范围．
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[分析] (1)求出 C 点坐标，代入椭圆方程即可求出 b2. (2)关键是求关于 t 的表达式，注意直线斜率的范围．
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北师大版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
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第九章 平面解析几何
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黑龙江艺术生高考数学复习资料-9解析几何
（八） 解析几何A 组1.若直线260ax y ++=和直线2(1)(1)0x a a y a +++-=垂直,则a 的值为 ( )2. （ ） 22.1259xyA += 22.1259yxB += 2222.11259259xyyxC +=+=或D.以上都不是 3.曲线221259xy+=与曲线221(9)259xyk kk+=<--的 （ ）A.长轴长相等B.短轴长相等C.离心率相等D.焦距相等 4.与圆221x y +=以及228120x y x +-+=都外切的圆的圆心在 （ ） A.一个椭圆 B.双曲线的一支上 C.一条抛物线上 D.一个圆上 5.斜率为2的直线l 与双曲线22132xy-=交于A ，B 两点，且||4AB =，则直线l 为 ( ). 2 . 2 . 2333A y xB y xC y x =+=-=±D.以上都不对6.经过点M （2，1）作直线l 交于双曲线2212yx -=于A ，B 两点，且M 为AB 的中点，则直线l 的方程为_______7.已知等边三角形的一个顶点位于抛物线22(0)y px p =>的焦点，另外两个顶点在抛物线上，则这个等边三角形的边长为_______ 8.已知椭圆22149xy+=，一组平行线的斜率是32，当这些直线在y 轴的截距b 为_______时，这些直线与椭圆相交；当它们相交时，这些直线被椭圆截得的线段的中点都在曲线__________（写出曲线方程）上。
9.已知椭圆221259xy+=，直线:45400l x y -+=.椭圆上是否存在一点，它到直线l 的距离最小？最小距离是多少？10.已知抛物线的方程24y x =，直线l 过定点(2,1)P -，斜率是k ，k 为何值时，直线l 与抛物线24y x =只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点？B 组11.光线自点M （2，3）射到N （1，0）后被x 轴反射，则反射光线所在的直线方程为______12.若直线(3-a)x+(2a-1)y+7=0与直线(2a+1)x+(a+5)y-6=0互相垂直，则a 为____________ 13.已知点P 是椭圆2216251600x y +=上一点，且在x 轴上方，12,F F 分别是椭圆的左、右焦点，直线2P F 的斜率为-12P F F ∆的面积.14.从椭圆22221(0)x y a b ab+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足为左焦点1F .又点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//A B O P ，1||F A =，求椭圆的方程.15.已知直线与抛物线22(0)y px p =>交于,A B 两点，且O A O B ⊥，O D AB ⊥交于A B 于点D ，点D 的坐标为(2,1)，求p 的值.16.已知点A 、B 的坐标分别是(1,0)-，(1,0).直线,AM BM 分别交于点M ，且它们的斜率之和为2，求点M 的轨迹方程.17.过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 作直线与抛物线交于A 、B 两点，以AB 为直径画圆，判断所作圆与抛物线的关系，并加以证明.解析几何参考答案：C CB D C (6)47y x=-；(7)(4(4p p-+或；(8)(b∈-;32y x=-; (9)解：假设存在满足题设的点，不妨设为(5cos,3sin)A t t，则有点A到直线:45400l x y-+=41 =≥41。
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9．解析几何【2000年】10．与点P （－1，2）距离为25的直线方程是（ ） A ．2100x y +-= B ．32x =C ．8y =D ．430x y +=【2000年】12．抛物线242y x =-的顶点坐标是（ ） A ．(0,)B ．(0,)-C ．(0,)D ．(0,)-【2000年】23．双曲线222516400x y -=的两条渐近线方程是：_______________【2000年】26．（6分）求过点（－1，1），且垂直于直线:5450l x y ++=的直线方程（化为一般式）。
450(1,1)45094590x y D DD x y -+=-∴--+=∴=-+= 解 设直线为 过点代入方程所求直线为【2000年】28．（7分）过圆22(2)9x y -+=外一点M （1，7）引圆的切线，求此切线的长(2,0)3||C r MC MA MB=∴==∴=== 解圆心，半径 切线长【2000年】33．已知椭圆两焦点的坐标为12(1,0),(1,0)F F -，点P 在椭圆上，1122||,||,||PF F F F P 成等差数列，求椭圆的标准方程。
()()1212122222211||||2||||2||222424132143c PF PF aPF PF FF a c a b a c x x y =⎧⎪+=⎨⎪+=⎩∴=⋅=⇒==-=-=∴+= 解由题意，椭圆中 又焦点落在轴上椭圆方程为【2001年】18．已知12(3,2),(9,4)P P -，延长12PP 至P ，使123PP PP =-，则点P 的坐标为________ 【2001年】9．经过点（2，-4）且垂直于直线380x y -+=的直线方程是（ ） A ．3100x y ++=B ．320x y +-=C ．3100x y +-=D ．3140x y --=【2001年】12．已知曲线的方程是227cos 1,(,4)2x y πθθπ+=∈，则该曲线是（ ） A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线D ．焦点在y 轴上的双曲线【2001年】14．椭圆224918270x y y +--=的焦点坐标是（ ）【2001年】22．已知点M(-3，1)是等轴双曲线上的一点，则该双曲线的标准方程是：_________ 【2001年】30．已知直线:3170l x y -+=，圆22:610C x y x +--=，试判断直线与圆的位置关系，并在圆C 上求一点P ，使点P 到直线l 的距离最短。
()()()222211:(3)10(30)23039039042333610(4,3)3170(2,3)C x y r d rx y D x y x y x x y y x y x x y d x -+=∴===>∴++=∴+-=+-===⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨=-=+--=⎩⎩⎩--+== 解圆 圆心，， 直线与圆相离设垂直直线过圆心直线为 或 与直线为 与直线23170(2,3)y d -+==∴为 距离最近的点是【2001年】32．已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点(3,)M m 到焦点的距离等于4 1）求抛物线的方程2）设直线2y x b =+与抛物线相交于A 、B 两点，弦AB的长为ABO 的面积。
()()()2222212121|3|42242244(1)04(1),4||43(0,0)240pMF p y x y x b x b x b y xb x x b x x AB b O x y d ∴=+==∴==+⎧⇒+-+=⎨=⎩∴+=--===∴=---===解抛物线上点到焦点距离等于到准线距离 有 抛物线为到直线的距离11622ABOS AB d ∆∴=⋅=⋅=【2002年】12．已知抛物线方程212y x =，则焦点为（ ） A ．1(,0)4B ．1(,0)2C ．1(0,)4D ．1(0,)2【2002年】14．在等边△ABC 中，A(1，1)，B （3，1），则C 点的坐标是（ ） A．(2,1(2,1--或 B．(2,1(2,1--或 C．(2,1(2,1或 D．(2,1(2,1或【2002年】21．双曲线的渐进线方程为23y x =±，且经过点4)P -， 则双曲线的方程是_______221818y x -=【2002年】24．若过点（0，2）的直线l ，被圆224x y +=截得的弦长为2，求直线l 的方程。
()()2,201(0,0),2232y kx kx y r d CM d CM d k y x =+-+==∴=====∴==∴=±∴=+解设直线方程为即 圆心 直线为【2002年】30.已知椭圆的焦点坐标为12(0,F F -，离心率3e =。
1）求椭圆的标准方程，并画出椭圆的示意图。
2）若一条不平行于坐标轴的直线l 与椭圆相交于不同的两点M 、N ，且线段MN 中点的横坐标为12-，试讨论直线l 斜率的取值范围。
()()22222133,1219c c e a a b a c y y x ===∴==-=∴+= 解椭圆中焦点在轴上 椭圆为()()112212122211121212122222121212121211(,),(,),(,),21;2221()()9()()919()9()99()()22)M x y N x y P y y kx bx x y y y y x y y y y x x x x y x y y x x k x x y y y y y y -=+++=-=⎧+=⎪+-⎪⇒=-+-⎨⎪+=⎪⎩--+∴====-++≤≤ 中中中中解设直线 略119191229(,)2y y y y k y ∴≤≥∴⋅≤⋅≥∴=∈-∞+∞ 中中中中中【2003年】5．在x 轴上的截距为－5，倾斜角34π为的直线方程是（ ） A ．50x y +-=B ．50x y ++=C ．50x y -+=D ．50x y --=【2003年】11．已知直线(0)x a a =>和圆22230x y x +--=相切，那么a =（ ） A ．5B ．4C ．3D ．2【2003年】15．已知椭圆2212516x y +=上一点P 到椭圆右焦点的距离为3，则点P 到左焦点的距离为（ ） A ．7B ．5C ．3D ．2【2003年】21．已知点M (,3)a 在抛物线24y x =上，则M 点到抛物线准线的距离d =_________134【2003年】26．（8分）已知点O （0，0）和A （6，3），若点P 是线段OA 的中点，点P 又在直线OB 上，且=，求点B 的坐标。
【2003年】30．（4＋7＝11分）已知双曲线2222x y -=，过点P （2，1）的直线l 与双曲线相交于A 、B 两点， 1）若直线AB 平行于y 轴，求线段AB 的长。
2）当直线l 绕P 点转动时，求A 、B 中点M 的轨迹方程。
()()2211221212211121212122222,122212||2(2)1(,),(,),(,)2,2222()()()()22y x x y y x AB k l y k x A x y B x y x y x x x y y yx y x x x x y y y y x y k 22=⎧-=⇒=⎨=⎩∴==-+∴+=+=⎧-=⎪−−−→+-=+-⎨-=⎪⎩∴=作差解过点(）平行轴的直线是 当斜率存在时，直线为 设中点 ()121212122222222()22(2)1240(2)3240240y y x x xx x y y yxk y x x y x y x yk x y x y x y x y -+==-+=-+--+=≠--+=∴--+= 代入直线即 当斜率不存在时，轨迹也在上， 中点轨迹为【2004年】2．以点（2，0）为圆心，半径等于4的圆方程为（ ） A ．22(2)16x y -+= B ．22(2)4x y -+=C ．22(2)16x y ++=D ．22(2)4x y ++=【2004年】8．双曲线221916x y -=的焦点坐标是（ ）A ．1,2(5,0)F ±B ．1,2(0,5)F ±C．1,2(F D．1,2(0,F【2004年】12．当直线31y x =+与直线20x y λ+-=互相垂直时，λ必须等于（ ） A ．13B ．13-C ．3D ．-3【2004年】19．已知直线l 过点（-1，2），且________，可求得直线l 的方程为10x y +-=【2004年】21．根据右图所示条件，且椭圆离心率0.8e =，则椭圆的标准方程为：______________221259x y +=【2004年】24．（8分）若抛物线24y x =截直线2y x k =+所得线段AB =，求k 的值()()112222221212(,),(,)414(44)0244,442||4A x yB x y y xx k x k y x kk k x x x x AB k ⎧=⇒+-+=⎨=+⎩-∴+====∴=-解 设 【2004年】30．（10分）对于所给曲线方程22cos 1x y β+=，其中角β在区间[0,]π内变化，试求出β在不同范围内取值时，对应曲线的名称。
()()()()()22222222211cos 10cos 1,1,12(0,)0cos 1,1,1,12cos cos 3cos 0,1,11214(,)cos 0,0,1,12cos cos 5cos 1,y x x y y x y x x x y x x x βββπββββπββπβπββββπβ+===+=∈<<>+======-∈<->-=-==-解 当，为一圆； 当， 为焦点在轴的椭圆； 当，为两条直线， 当， 为焦点在轴的双曲线；当，221y -=为等轴双曲线。
【2005年】12．以点(3,2)M -和(1,2)N -为端点的线段垂直平分线方程为（ ） A ．10x y -+=B ．10x y -++=C ．10x y ++=D ．10x y +-=【2005年】13．可用方程22520x x -+=的两个根作为离心率的圆锥曲线是（ ） A ．以椭圆和一抛物线B ．一双曲线和一抛物线C ．两条双曲线D ．一椭圆和一双曲线【2005年】15．圆22410x y x +-+=和直线:20l x y --=的位置关系是：（ ） A ．相交且过圆心B ．相切C ．相离D ．相交但不过圆心【2005年】19．两平行直线21y x =-+与240x y ++=之间的距离等于【2005年】21．如右图所示，写出抛物线的标准方程_____212y x =-【2005年】27．（9分）求与直线:250l x y -+=垂直，且与圆22:2410C x y x y ++-+=相切的直线方程。