八年级数学下册第2章菱形菱形的性质习题课件新版湘教版
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八年级数学下册第2章四边形2.6菱形2.6.1菱形的性质教学课件新版湘教版
【解析】连结AC，与BD相交于点O， 因为四边形ABCD是菱形, 所以AC⊥BD，∠ADB=∠CDB，AC=2AO. 当∠ADC=60°时，△ADC是等边三角形. 所以AC=AD=AB=40. 当∠ADC=120°时， ∠ADO=60°，∠OAD=30°,又AD=40,所以OD=20.
通过本课时的学习，需要我们 1.掌握菱形的定义、性质. 2.会利用菱形的对角线求菱形的面积. 3.会应用菱形的知识解决有关计算和证明的问题.
如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确地剪出 一个菱形的纸片？
小明是这样做的：将一张长方形的纸对折、再对折， 然后沿图中的虚线剪下，打开即可.你知道其中的道理吗？
已知四边形ABCD是菱形
1.图中有哪些相等的线段？ 2.图中有哪些相等的角？ 3.图中有哪些等腰三角形？ 4.图中有哪些直角三角形？
A 12
两条对角线的平方和为（ ）
(A)16
(B)8
(C)4
(D)1
【解析】选A.设这个菱形两条对角线长分别为a,b.由菱
形对角线互相垂直且平分，则 ( a )2 +( b )2 =22,
22
即a2+b2=16.
【解析】
【解析】
4.如图，菱形ABCD中，∠B=60°,AB=2,E、F分别是BC、 CD的中点，连接AE、EF、AF，则△AEF的周长为( ) （A）2 3 （B）3 3 （C）4 3 （D）3
（5）菱形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心.
命题：菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线
平分一组对角.
已知：菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O. A
D
求证：AC⊥BD；AC平分∠BAD和∠BCD；
BD平分∠ABC和∠边形ABCD是菱形， 所以AC⊥BD，AC平分 所以AB=AD（菱形的四条边都相等）∠同B理A：D，AC平分∠BCD；BD平分
2.6.1 菱形的性质 湘教版八年级数学下册课件
由勾股定理，得：AO=3√ 3
AC=2AO=6 √ 3
例3：如图，四边形ABCD是周长为42cm的菱形，对 角线长BD=10cm，求 （1）对角线AC的长 （2）菱形ABCD的面积
解：∵菱形的周长=42cm，
∴AD=13，
D
又BD=10，∴ OD=5，
A
O
C
由勾股定理，得：AO=12
∴AC=24，
AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中B
D
点，那么∠EAF的度数是 60° 。
E
F
C
5.如图，在菱形ABCD中，E、F分别
是AB、AC的中点，如果EF=2，那么
菱形ABCD的周长是 16 。
6.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足
为E，AB=4cm.那么，菱形ABCD的面积
是 8√3 cm2，对角线BD的长是 4√3 cm .
【思想方法】有关菱形的计算、证明，要抓住菱形中 等腰三角形、直角三角形和全等三角形来解决问题。
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_3_cm__.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60°，则∠BAC＝_6_0_°___.
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，
则菱形的边长 5cm。
A
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，
B
C
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的 对称中心。
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，DB 相 交于点O. 对角线AC、DB 的位置关系怎样？你的理 由是什么？ ∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ DA=DC.
∴ 点D在线段AC的垂直平分线上.
又点O为线段AC的中点， ∴ 直线DO（即直线DB）是线段AC的垂直平分线， ∴ AC⊥DB. ∠ADB=∠ CDB 即：BD平分∠ADC和∠ ABC 同理：AC平分∠DAB和∠ DCB
AC=2AO=6 √ 3
例3：如图，四边形ABCD是周长为42cm的菱形，对 角线长BD=10cm，求 （1）对角线AC的长 （2）菱形ABCD的面积
解：∵菱形的周长=42cm，
∴AD=13，
D
又BD=10，∴ OD=5，
A
O
C
由勾股定理，得：AO=12
∴AC=24，
AF⊥CD，E、F分别为BC，CD的中B
D
点，那么∠EAF的度数是 60° 。
E
F
C
5.如图，在菱形ABCD中，E、F分别
是AB、AC的中点，如果EF=2，那么
菱形ABCD的周长是 16 。
6.菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足
为E，AB=4cm.那么，菱形ABCD的面积
是 8√3 cm2，对角线BD的长是 4√3 cm .
【思想方法】有关菱形的计算、证明，要抓住菱形中 等腰三角形、直角三角形和全等三角形来解决问题。
1.已知菱形的周长是12cm，那么它的边长是_3_cm__.
2.菱形ABCD中∠ABC＝60°，则∠BAC＝_6_0_°___.
3、菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，
则菱形的边长 5cm。
A
4.在菱形ABCD中，AE⊥BC，
B
C
菱形是中心对称图形，对角线的交点是它的 对称中心。
如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，DB 相 交于点O. 对角线AC、DB 的位置关系怎样？你的理 由是什么？ ∵ 四边形ABCD是菱形，
∴ DA=DC.
∴ 点D在线段AC的垂直平分线上.
又点O为线段AC的中点， ∴ 直线DO（即直线DB）是线段AC的垂直平分线， ∴ AC⊥DB. ∠ADB=∠ CDB 即：BD平分∠ADC和∠ ABC 同理：AC平分∠DAB和∠ DCB
八年级数学下册第2章四边形2.6菱形2.6.2菱形的判定习题课件新版湘教版
(3)AB与AC有什么关系?为什么? 提示:AB=AC.∵AD⊥BC,BD=DC,∴AD是BC的垂直平分 线,∴AB=AC. (4)由以上探究如何确定四边形AEDF是菱形? 提示:∵AB=AC,E,F分别是AB,AC的中点,∴AE=AF,又∵四边形 AEDF是平行四边形,∴四边形AEDF是菱形.
【总结提升】菱形的常用判定方法
互相垂直,则下列条件能判定四边形
ABCD为菱形的是 ( )
A.BA=BC
B.AC,BD互相平分
C.AC=BD
D.AB∥CD
【解析】选B.四边形ABCD中,AC,BD互相垂直,若四边形
ABCD是菱形,需添加的条件是:AC,BD互相平分(对角线互相垂
直且平分的四边形是菱形).
4.(2013·龙东中考)如图所示,平行四边形
B.AD=BC
C.AB=BC
D.AC=BD
【解析】选C.因为一组邻边相等的平行四边形是菱形,对角线
互相垂直平分的四边形是菱形,那么可添加的条件是AB=BC.
2.如图,在▱ABCD中,AE,CF分别是∠BAD和
∠BCD的平分线,添加一个条件,仍无法判
断四边形AECF为菱形的是 ( )
A.AE=AF
B.EF⊥AC
2.6.2 菱形的判定
1.理解菱形的判定.(重点) 2.会用菱形的性质和判定定理进行计算或证明.(重点、难点)
菱形的判定 判定定理的推导: 如图,在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.
【思考】(1)如果四边形ABCD是平行四边形,且AC⊥BD,那么 △AOD与△AOB有什么关系?为什么? 提示:△AOD≌△AOB. 理由:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OD=OB,∵AC⊥BD, ∴∠AOB=∠AOD=90°,又∵OA=OA,∴△AOD≌△AOB(SAS).
八年级数学下册 第2章 四边形2.6 菱形 2.6.1菱形的性质习题课件 (新版)湘教版
一点(点P不与点A,C重合),且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于
点F,则阴影部分的面积是
.
【解析】由条件知PE∥BC，PF∥CD，可得PE∥AF，PF∥AE，
∴四边形AEPF为平行四边形，这样容易得到S△POF＝S△AOE，
∴S阴影＝S△ABC＝
1 2
S菱形ABCD
1 1 AC 22
OA=OC;菱形的对角线不一定相等.
2.(2013·本溪中考)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=
2∠B,E,F分别为BC,CD的中点,连接AE,AC,AF,则
图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.先由菱形的性质得出AD∥BC,由平行线的性质得
【解析】选A.过P作PE⊥OM,∵顶点P的坐标 是(3,4),∴OE=3,PE=4,∴OP=5,∵四边形 MNPO是菱形,∴OM=OP=5,∴点M的坐标为 (5,0),过点N作NF⊥OM于点F,则△POE≌△NMF, ∴MF=OE=3,∴OF=5+3=8,∴点N的坐标为(8,4).
4.如图,菱形ABCD的对角线的长分别是2和5,P是对角线AC上任
【思路点拨】连接AC→菱形的性质→∠BAC=∠DAC→ △ACE≌△ACF→AE=AF
【自主解答】连接AC. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC平分∠BAD,即∠BAC=∠DAC. 在△ACE和△ACF中, ∠AEC=∠AFC=90°,∠BAC=∠DAC,AC=AC, ∴△ACE≌△ACF. ∴AE=AF.
知识点 2 菱形的有关计算 【例2】如图所示,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AB=a. (1)求∠ABC的度数. (2)求对角线AC的长. (3)求菱形ABCD的面积.
湘教版(初中二年级)八年级数学下册菱形-菱形的性质_课件1
∠ABC和∠ADC.
证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，BO=DO.
A
D
O
C
B
∴AC平分∠BAD（三线合一）.
同理，AC平分∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.
菱形的每条对角线平分一组对角.
探究3
请同学们用菱形纸片折
一折，回答下列问题：
把图中的菱形ABCD沿直线DB对折(即作关于直线
DB的轴反射)，点A的像是 点C ,点C的像是 点A ,点D
3.了解菱形是中心对称图形，对角线的交点
是它的对称中心 . 菱形是轴对称图形，两条对角
线所在直线是它的对称轴.
4.能用菱形的性质进行简单的计算和推理.
旧知回顾
直角 1.矩形的四个角都是_____. 相等且互相平分 2.矩形的对角线_______________.
有一个角是直角的平行四边形 是矩形. 3.___________________________ 有三个是直角的四边形 4.___________________________ 是矩形.
对角线相等的平行四边形 是矩形 5.__________________________ 6.矩形既是 中心对称图形 ,又是 轴对称图形 .
情景导入 图片中有你熟悉的图形吗？
与左图相比较，这种平行四边 形特殊在哪里？你能给它下个定义
吗？
它们的邻边相等.
一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.
菱形具有工整,匀称,美观等许多优点,常被 人们用在图案设计上.
定理1. 菱形的四条边都相等，对角相等.
定理2. 菱形的对角线相互垂直平分. 3.对称性
菱形是中心对称图形，对角线的交点是
它的对称中心.菱形也是轴对称图形,它的两条
湘教版八年级下册数学精品教学课件 第2章 四边形 菱形的性质
(1)求OC的长； (2)求四边形OBEC的面积． 解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.
在直角△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝3×4＝12(cm2)．
∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE．
B F
又 CE=CE，
C
∴△BCE≌△CDE（SAS）．
EA
∴∠CBE=∠CDE．
D
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠FDC.
∴∠AFD=∠CBE．
6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝ 5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC， CE与BE相交于点E.
平行四边形 一组邻边相等 菱形
归纳总结 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形.
活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确 地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频：
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中 的图形(如图），并回答以下问题:
BD相交于点O.
B
求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD；
A
O
C
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， D
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD,
在直角△OCD中，由勾股定理得OC＝4cm；
(2)∵CE∥DB，BE∥AC，
∴四边形OBEC为平行四边形.
又∵AC⊥BD，即∠COB＝90°，
∴平行四边形OBEC为矩形.
∵OB＝OD＝3cm，
∴S矩形OBEC＝OB·OC＝3×4＝12(cm2)．
∴CB=CD， CA平分∠BCD． ∴∠BCE=∠DCE．
B F
又 CE=CE，
C
∴△BCE≌△CDE（SAS）．
EA
∴∠CBE=∠CDE．
D
∵在菱形ABCD中，AB∥CD，
∴∠AFD=∠FDC.
∴∠AFD=∠CBE．
6.如图，O是菱形ABCD对角线AC与BD的交点，CD＝ 5cm，OD＝3cm；过点C作CE∥DB，过点B作BE∥AC， CE与BE相交于点E.
平行四边形 一组邻边相等 菱形
归纳总结 定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形.
菱形是特殊的平行四边形. 平行四边形不一定是菱形.
活动1 如何利用折纸、剪切的方法，既快又准确 地剪出一个菱形的纸片？观看下面视频：
活动2 在自己剪出的菱形上画出两条折痕,折叠手中 的图形(如图），并回答以下问题:
BD相交于点O.
B
求证:(1)AB = BC = CD =AD； (2)AC⊥BD；
A
O
C
∠DAC=∠BAC，∠DCA=∠BCA， D
∠ADB=∠CDB，∠ABD=∠CBD.
证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB = CD，AD = BC（菱形的对边相等）.
又∵AB=AD,
湘教版八年级数学下册第二章《菱形》课件
2.6菱形
四边形
两组对边分别平行或相等
一组对边平行且相等 两组对角分别相等
平行四边形
对角线互相平分
菱形
1、已知 □ ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别添加下列条件： （1）∠ABC=900 （2）AC ⊥BD （3）AB=BC （4）AC平分 ∠BAD （5）AO=DO 使得四边形ABCD是菱形的条件的序号有
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
A
5
D
3O 4
B
C
解：重叠部分为菱形，理由如下：
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F 因纸条等宽，故AE=AF
又 AB∥CD,AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形 ∵S □ ABCD=BC·AE=CD·AF ∴BC=CD ∴四边形ABCD为菱形
重叠部分为菱形，理由如下：
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F ∠AEB=∠AFD=900 因纸条等宽，故AE=AF 又 AB∥CD,AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形 ∴∠ABE=∠ADF ∴△ABE≌△ADF(A.A.S) ∴AB=AD ∴四边形ABCD是菱形。
A
F
D
O
B
E
C
1、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2022年2月15日星期二2022/2/152022/2/152022/2/15 2、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2022年2月2022/2/152022/2/152022/2/152/15/2022 3、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志 着科学的真正进步。2022/2/152022/2/15February 15, 2022 4、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2022/2/152022/2/152022/2/152022/2/15
四边形
两组对边分别平行或相等
一组对边平行且相等 两组对角分别相等
平行四边形
对角线互相平分
菱形
1、已知 □ ABCD的对角线AC、BD相交于点O,分别添加下列条件： （1）∠ABC=900 （2）AC ⊥BD （3）AB=BC （4）AC平分 ∠BAD （5）AO=DO 使得四边形ABCD是菱形的条件的序号有
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A
5
D
3O 4
B
C
解：重叠部分为菱形，理由如下：
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F 因纸条等宽，故AE=AF
又 AB∥CD,AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形 ∵S □ ABCD=BC·AE=CD·AF ∴BC=CD ∴四边形ABCD为菱形
重叠部分为菱形，理由如下：
过点A作AE⊥BC于E,AF⊥CD于F ∠AEB=∠AFD=900 因纸条等宽，故AE=AF 又 AB∥CD,AD∥BC ∴四边形ABCD为平行四边形 ∴∠ABE=∠ADF ∴△ABE≌△ADF(A.A.S) ∴AB=AD ∴四边形ABCD是菱形。
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1、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2022年2月15日星期二2022/2/152022/2/152022/2/15 2、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2022年2月2022/2/152022/2/152022/2/152/15/2022 3、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志 着科学的真正进步。2022/2/152022/2/15February 15, 2022 4、儿童是中心，教育的措施便围绕他们而组织起来。2022/2/152022/2/152022/2/152022/2/15
湘教版八年级数学下册第二章《菱形》课件
2022/5/52022/5/5 16、好奇是儿童的原始本性，感知会使儿童心灵升华，为其为了探究事物藏下本源。2022年5月2022/5/52022/5/52022/5/55/5/2022 17、一个人所受的教育超过了自己的智力，这样的人才有学问。
You made my day!
我们，还在路上……
y
D
C
A
O
B Ex
今天你学到了什么
1、进一步熟练了菱形的判定方法； 2、能灵活得看待每一个题目，学会一题多证， 一题多解； 3、利用所学知识，会解决生活中的实际问题。
课后思考：如图， □ ABCD Nhomakorabea，AB⊥AC,AB=1,BC= 5 ,对角线AC、BD相 交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC,AD于点E,F. （1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保留持相等； （3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请 说明理由；如果能，试说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转 的度数。
A
ED
O
O
B
F
C
BF
C
思考：（1）
（2）
如图（2），若将例2中的“□ ABCD”改成“矩形
ABCD”，其他条件不变，若AB=4厘米，BC=8厘米，求四边形
AFCE的面积。
例3、如图，将一张边长为4的菱形纸片ABCD固定
在一个建立了平面直角坐标系的木板上，A，B在x轴 上，D在y轴的正半轴上，C在第一象限， ∠BAD=60° 。 （1）求A、B、C、D的坐标； （2）求过B、C两点的直线的解析式。
_____(_2_)__(3_ ) (4)
You made my day!
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y
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C
A
O
B Ex
今天你学到了什么
1、进一步熟练了菱形的判定方法； 2、能灵活得看待每一个题目，学会一题多证， 一题多解； 3、利用所学知识，会解决生活中的实际问题。
课后思考：如图， □ ABCD Nhomakorabea，AB⊥AC,AB=1,BC= 5 ,对角线AC、BD相 交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC,AD于点E,F. （1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保留持相等； （3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请 说明理由；如果能，试说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转 的度数。
A
ED
O
O
B
F
C
BF
C
思考：（1）
（2）
如图（2），若将例2中的“□ ABCD”改成“矩形
ABCD”，其他条件不变，若AB=4厘米，BC=8厘米，求四边形
AFCE的面积。
例3、如图，将一张边长为4的菱形纸片ABCD固定
在一个建立了平面直角坐标系的木板上，A，B在x轴 上，D在y轴的正半轴上，C在第一象限， ∠BAD=60° 。 （1）求A、B、C、D的坐标； （2）求过B、C两点的直线的解析式。
_____(_2_)__(3_ ) (4)
八年级数学下册 第二章 第6节 第一课时 菱形的性质课件 (新版)湘教版
S
=
1 2
×
4×
3 = 6(cm2).
在直角三角形ABO中，
OA
=
1 2
AC
=
1× 2
4
= 2(cm) ,
OB
=
1 2
BD
=
1 2
×
3 = 1.5(cm) ,
所以(suǒyǐ) AB2=OA2+OB2=22+1.52=6.25. 从而(cóng ér) AB = 2.5(cm).
图2-51
因此，菱形ABCD的周长为 4×2.5=10(cm).
D.16
那所么以BECF=∥=4.12 BC .
可得周长.
第十六页，共18页。
中考 试题
例2 菱形ABCD中，AE垂直平分BC，垂足为E，
AB=4cm.那么(nàme)，菱形ABCD的面积是8 3 cm2 ，
对角线BD的长是
4 3 cm.
解析 在菱形ABCD中， 由AE垂直平分BC， 可知△ABC是正三角形， 故BC=AC=4cm. 由勾股定理可知 AE = 2 3 cm. 菱形ABCD的面积是△ABC的面积的2倍. ∴菱形ABCD的面积是 8 3 cm2 同时它的面积还等于两条对角线乘积的一半，
第三页，共18页。
动脑筋
如图2-50，四边形ABCD是菱形，对角线AC，DB 相交 (xiāngjiāo)于点O. 对角线AC⊥DB 吗？你的理由是什么？
图2-50
第四页，共18页。
∵ 四边形ABCD是菱形(línɡ xínɡ)， ∴ DA=DC. ∴ 点D在线段(xiànduàn)AC的垂直平分线上. 又点O为线段(xiànduàn)AC的中点，
第九页，共18页。
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(2)∵四边形ABCD是菱形，∴AC,BD互相垂直平分，
∴ OB＝1 BD＝1 AB＝1 a．
2
2
2
∴OA＝ AB2 OB2＝ a2 (1 a)2＝ 3 a，
2
2
∴AC＝2AO＝ 3a．
(3)S菱形ABCD＝1 ACgBD＝1g 3aga＝ 3 a2．
2
2
2
【总结提升】菱形的相关计算
如果菱形两对角线长为a,b，则其边长为 1 a2 周 b长2，为
【解析】选A.过P作PE⊥OM,∵顶点P的坐标 是(3,4),∴OE=3,PE=4,∴OP=5,∵四边形 MNPO是菱形,∴OM=OP=5,∴点M的坐标为 (5,0),过点N作NF⊥OM于点F,则△POE≌△NMF, ∴MF=OE=3,∴OF=5+3=8,∴点N的坐标为(8,4).
4.如图,菱形ABCD的对角线的长分别是2和5,P是对角线AC上任
知识点 2 菱形的有关计算 【例2】如图所示,在菱形ABCD中,E是AB的中点,且DE⊥AB,AB=a. (1)求∠ABC的度数. (2)求对角线AC的长. (3)求菱形ABCD的面积.
【思路点拨】(1)连接BD,先判断△ABD的形状,再求∠ABC的度 数. (2)先求BO的长,再由勾股定理计算AO的长,进而得AC的长. (3)由菱形的面积等于两对角线长乘积的一半,求菱形ABCD的 面积. 【自主解答】(1)连接BD,交AC于点O.∵四边形ABCD是菱 形,∴AD=AB.∵E是AB的中点,且DE⊥AB,∴AD=BD,∴△ABD是 等边三角形,∴∠ABC=60°×2=120°.
一点(点P不与点A,C重合),且PE∥BC交AB于点E,PF∥CD交AD于
点F,则阴影部分的面积是
.
【解析】由条件知PE∥BC，PF∥CD，可得PE∥AF，PF∥AE，
∴四边形AEPF为平行四边形，这样容易得到S△POF＝S△AOE，
∴S阴影＝S△ABC＝
1 2
S菱形ABCD
1 1 ACgBD 22
【总结提升】菱形性质的应用 1.边、角之间的关系,可以将问题转化到全等三角形中,进行有 关边、角的位置或数量关系的证明、计算. 2.对角线的性质,可以将问题转化到直角三角形或等腰三角形中, 进行有关边角的证明、计算. 3.菱形的对角线把菱形分成4个全等的直角三角形,两对全等的 等腰三角形,常结合勾股定理或等腰三角形的性质进行有关角的 证明、计算,有时也与角平分线的性质结合解题.
到∠BAD+∠B=180°,又∠BAD=2∠B,求出∠B=60°,则∠D=∠B
=60°,△ABC与△ACD是全等的等边三角形,再根据E,F分别为
BC,CD的中点,即可求出与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有
△ACE,△ACF,△ADF.
3.如图所示,在平面直角坐标系中,菱形MNPO 的顶点P的坐标是(3,4),则顶点M,N的坐标分 别是 ( ) A.M(5,0),N(8,4) B.M(4,0),N(8,4Байду номын сангаас C.M(5,0),N(7,4) D.M(4,0),N(7,4)
【思路点拨】连接AC→菱形的性质→∠BAC=∠DAC→ △ACE≌△ACF→AE=AF
【自主解答】连接AC. ∵四边形ABCD是菱形, ∴AC平分∠BAD,即∠BAC=∠DAC. 在△ACE和△ACF中, ∠AEC=∠AFC=90°,∠BAC=∠DAC,AC=AC, ∴△ACE≌△ACF. ∴AE=AF.
5． 2
答案：5
2
5.如图所示,在菱形ABCD中,∠ABC=60°,DE∥AC交BC的延长线
于点E.求证:DE= 1 BE.
2
【证明】∵ABCD是菱形, ∴AD∥BC,AB=BC=CD=DA. 又∵∠ABC=60°,∴BC=AC=AD. ∵DE∥AC,∴ACED为平行四边形. ∴CE=AD=BC,DE=AC. ∴DE=CE=BC,∴DE1= BE.
【总结】菱形的性质: (1)菱形具有平行四边形的所有性质. (2)菱形的四条边都_相__等__. (3)菱形的两条对角线_互__相__垂__直__平__分__,并且每一条对角线__平__分_ 一组对角. (4)菱形是轴对称图形,它的__对__角__线__所__在__的__直__线_就是它的对称轴. (5)菱形也是_中__心__对__称__图形,__对__角__线__的__交__点_是对称中心.
2
2 a2 面b2积，为
1 ab.
2
题组一:菱形的性质的应用
1.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,
下列说法错误的是 ( )
A.AB∥DC
B.AC=BD
C.AC⊥BD
D.OA=OC
【解析】选B.菱形的对边平行且相等,所以AB∥DC;菱形的对角
线一定垂直,所以AC⊥BD;菱形的对角线互相平分,所以
(打“√”或“×”) (1)菱形的对角线互相垂直且相等. ( × ) (2)菱形的对角线把菱形分成四个全等的直角三角形. ( √ ) (3)菱形的面积等于两条对角线长的乘积的一半. ( √ ) (4)菱形的对角相等. ( √ ) (5)菱形的邻边互相垂直. ( × )
知识点 1 菱形的性质的应用 【例1】如图所示,在菱形ABCD中,CE⊥AB于E,CF⊥AD于F.求 证:AE=AF.
OA=OC;菱形的对角线不一定相等.
2.(2013·本溪中考)如图,在菱形ABCD中,∠BAD=
2∠B,E,F分别为BC,CD的中点,连接AE,AC,AF,则
图中与△ABE全等的三角形(△ABE除外)有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
【解析】选C.先由菱形的性质得出AD∥BC,由平行线的性质得
2.6 菱 形 2.6.1 菱形的性质
1.掌握菱形的性质.(重点) 2.会用菱形的性质进行计算或证明.(重点、难点)
一、菱形的概念 有_一__组__邻__边__相等的平行四边形. 二、菱形的性质 如图,菱形ABCD中,AB=AD.
∵四边形ABCD是菱形,也是平行四边形, ∴AB=_C_D_,AD=_B_C_,OA=_O_C_,OB=_O_D_, 又∵AB=AD,∴AB=_C_D_=AD=_B_C_, 在等腰△ABD中,∵OB=_O_D_, ∴AO_⊥__BD,且AO_平__分__∠BAD. 同理可得OC_平__分__∠BCD,OB平分_∠__A_B_C_,OD平分_∠__A_D_C_.