九年级数学圆割补法求阴影部分的面积PPT教学课件
九年级数学求阴影部分的面积
在处理不规则多边形或复杂组合图形 时，可以通过分割法将其划分为几个 三角形、矩形等简单图形，然后利用 基本图形的面积公式进行计算。
添补法简化计算过程
添补法原理
在组合图形中添加一些辅助线或基本图形，使得阴影部分形成一个规则的、易于 计算面积的基本图形，然后减去添加部分的面积，得到阴影部分的面积。
提高综合运用能力，培养创新思维
综合运用多种方法
在实际问题中，可能需要综合运用多种方法来求解阴影部分面积。因此，要熟练掌握各种方法，并能够根据问题 的特点选择合适的方法。
培养创新思维
在求解阴影部分面积时，要敢于尝试新的方法和思路。通过不断地尝试和创新，可以锻炼自己的思维能力和创新 能力。
06 练习题与答案解析
添补法应用举例
在处理一些具有对称性或旋转性的组合图形时，可以通过添补法将其转化为一个 完整的、规则的图形，然后利用基本图形的面积公式进行计算。
等积变换思想在解题中体现
等积变换原理
通过图形的平移、旋转、对称等变换， 使得阴影部分与某个已知面积的基本 图形重合或相等，从而直接得到阴影 部分的面积。
等积变换应用举例
1 2
圆的定义及性质
圆是平面上所有与给定点（中心）距离相等的点 的集合。
扇形的定义
由两个半径和它们所夹的弧围成的图形叫做扇形。
3
圆心角、弧长与半径的关系
圆心角的度数等于它所对弧长与半径的比值乘以 180。
弧长、圆心角及扇形面积计算
弧长公式
应用举例
弧长 = (圆心角/360°) × 2πr，其中r 为半径。
分。
02
三角形中的阴影部分
当三角形中有一部分被其他图形遮挡时，被遮挡的部分即为阴影部分。
圆求阴影部分面积方法
学生姓名：年级：课时数:辅导科目：数学学科教师:课题求阴影部分面积方法专题授课日期及其时段教学内容一、阴影部分面积的求法(一)、相加法:这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形,分别计算它们的面积,然后相加求出整个图形的面积．例如,右图中,要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积,再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。
(二）、相减法:这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如,右图,若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
(三)、直接求法:这种方法是根据已知条件,从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图,欲求阴影部分的面积,通过分析发现它是一个底2,高4的三角形,就可以直接求面积了。
(四)、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开,根据具体情况和计算上的需要,重新组合成一个新的图形,设法求出这个新图形面积即可．例如，欲求右图中阴影部分面积,可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的４个角处,这时采用相减法就可求出其面积了。
（五）、辅助线法:这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形,然后再采用相加、相减法解决即可。
如右图，右图中大小正方形的边长分别是９厘米和5厘米,求阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便.（六)、割补法:这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形,从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边,这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.（七)、平移法:这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形,便于求出面积.例如,如上页最后一图,欲求阴影部分面积,可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内,这样整个阴影部分恰是一个正方形。
圆中阴影部分的面积求法
圆中阴影部分的面积求法
5．如图，在两个半圆中，大圆的弦MN与小圆相切于点 D，MN∥AB，MN＝8cm，ON、CD分别是两圆的半径 ，求阴影部分的面积。
分析：
6. 已知直角扇形AOB，半径OA＝2cm，以OB为直径 在扇形内作半圆⊙M，过M引MP∥AO交 于P，求 与半圆弧及MP围成的阴影部分的面积S阴。 分析：此阴影部分不是一个规则图形，不能用公式直
圆中阴影部分的面积求 法
2020年4月20日星期一
求解这类问题的关键：将要求的阴影部分的 图形转化为可求解的规则的图形的组合.
例1． 如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD= ，以BC的中点E为圆心的弧与AD相切于点P ，则图中阴影部分的面积为（D）
A
B
C
D
一、直接法
当遇见熟悉的图形可以有公式可以套的我 们直接使用公式来求面积——直接法
•说出来,与同学们分享.
回顾与思考
反思自我
驶向胜利 的彼挑战 自我岸
• （1）学会了求不规则图形的面积的一般方法
• （2）深入的理解了化归的数学思想
• (3) 体会到数学的灵活性.多变性,以不变应万 变
结束寄语
下课了!
* 数学使人聪明,数学使 人陶醉,数学的美陶冶着 你,我，他.
如图，扇形AOB的圆心角为直角，若OA＝4，以AB 为直径作半圆，求阴影部分的面积。
接求解。所以考虑将它分割为可求图形的面积求解。
7.如图，A是半径为2的⊙O外一点，OA＝4， AB是⊙O的切线，点B是切点，弦BC∥OA，连 结AC，求图中阴影部分的面积。
8. 有六个等圆按如图甲、乙、丙三种形状摆放，使邻圆互相外
切，且圆心线分别构成正六边形、平行四边形、正三角形，将 圆心连线外侧的六个扇形（阴影部分）的面积之和依次记为S
割补法求圆中阴影部分的面积
割补法求圆中阴影部分的面积学习目标A.（1）学会了求不规则图形的面积的一般方法B.（2）深入的理解了化归的数学思想C.(3) 体会到数学的灵活性.多变性,以不变应万变试一试1. 正方形边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，求图中阴影部分的面积。
（课本108页第5题）2. 如图正三角形ABC 的边长为a ，D 、E 、F 分别为BC 、CA 、AB 的中点，以A 、B 、C 三点为圆心，2a为半径作圆。
求图中阴影部分的面积。
（德州中考）专题一：加减修补法例1. 如图，圆心角都是900的扇形OAB 与扇形OCD 叠放在一起，连接AC 、BD ，若OA=2，OC=1，则图中阴影部分的面积S 是练习A.1.如图，扇形AOB 的圆心角为900，四边形OCDE 是边长为1C 、E 、D 分别在OA 、OB 和 上，过A 作AF ED 交ED 的延长线于点么图中阴影部分的面积为B.2,. 某种商品的商标图案如图（阴影部分）已知菱形ABCD 的边长为4，∠A=60°， 是以A 为圆心AB 长为半径的弧 是以B 为圆心BC 为半径的弧，则该商标图案的面积为C.3. 在∆ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积专题二：化零为整法例2.如图，四个半径为1的圆两两外离，则图中阴影部分的面积为A.1. .在两个同心圆中，三条直径把大圆分成相等的六部分，若大圆半径为2，则阴影部分的面积为B.2.要在面积为1256m2的三角形广场ABC的三个角处各建一个半径相同的扇形草坪，要求草坪总面积为广场面积的一半，那么扇形的半径应是B.3סּA、סּB、סּC、סּD、סּE相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心，得到五边形ABCDE，则图五个扇形的面积之和为C.4.有六个等圆按如图甲、乙、丙三种形状摆放，使邻圆互相外切，且圆心线分别构成正六边形、平行四边形、正三角形，将圆心连线外侧的六个扇形（阴影部分）的面积之和依次记为S、P、Q则（）A、S>P>QB、S>Q>PC、S>P=QD、S=P=QDBA CAB EC D当堂测试1 .某长方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形的草地,若圆形的半径为r米,长方形的长为a米,宽为b米,用代数式表示空地的面积是2.AB是סּO的直径,点D.E是半圆的三等分点,AE.BD的延长线交于点C,若CE=2,则图中阴影部分的面积为3. 矩形ABCD中,BC=2,DC=4,以AB为直径的半圆O与DC相切于点E,则阴影部分的面积是。
(完整版)用割补法求面积
在组合图形中，除了多边形外，还有由圆、扇形、弓形与三角形、矩形、平行四边形、梯形等图形组合而成的不规则图形，为了计算它们的面积，常常需要变动图形的位置或对图形进行分割、旋转、拼补，使它变成可以计算出面积的规则图形。
就是在多边形的组合图形中，为了计算面积，有时也要用到割补的方法。
例1求下列各图中阴影部分的面积：分析与解：（1）如左下图所示，将左下角的阴影部分分为两部分，然后按照右下图所示，将这两部分分别拼补在阴影位置。
可以看出，原题图的阴影部分等于右下图中AB 弧所形成的弓形，其面积等于扇形OAB与三角形OAB的面积之差。
π×4×4÷4-4×4÷2=4.56。
（2）在题图虚线分割的两个正方形中，右边正方形的阴影部分是半径为5的四分之一个圆，在左边正方形中空白部分是半径为5的四分之一个圆。
如下图所示，将右边的阴影部分平移到左边正方形中。
可以看出，原题图的阴影部分正好等于一个正方形的面积，为5×5=25。
例2在一个等腰三角形中，两条与底边平行的线段将三角形的两条边等分成三段（见右图），求图中阴影部分的面积占整个图形面积的几分之几。
分析与解：阴影部分是一个梯形。
我们用三种方法解答。
（1）割补法从顶点作底边上的高，得到两个相同的直角三角形。
将这两个直角三角（2）拼补法将两个这样的三角形拼成一个平行四边形（下页左上图）。
积和平行四边行面积同时除以2，商不变。
所以原题阴影部分占整个图形面（3）等分法将原图等分成9个小三角形（见右上图），阴影部分占3个小三角形，注意，后两种方法对任意三角形都适用。
也就是说，将例题中的等腰三角形换成任意三角形，其它条件不变，结论仍然成立。
例3如左下图所示，在一个等腰直角三角形中，削去一个三角形后，剩下一个上底长5厘米、下底长9厘米的等腰梯形（阴影部分）。
求这个梯形的面积。
分析与解：因为不知道梯形的高，所以不能直接求出梯形的面积。
圆求阴影部分面积方法
圆求阴影部分面积方法(共10页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--学生姓名：年级：课时数：辅导科目：数学学科教师：课题求阴影部分面积方法专题授课日期及其时段教学内容一、阴影部分面积的求法（一）、相加法：这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.例如，右图中，要求整个图形的面积，只要先求出上面半圆的面积，再求出下面正方形的面积，然后把它们相加就可以了。
（二）、相减法：这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.例如，右图，若求阴影部分的面积，只需先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可。
（三）、直接求法：这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.如下页右上图，欲求阴影部分的面积，通过分析发现它是一个底2，高4的三角形，就可以直接求面积了。
（四）、重新组合法：这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.例如，欲求右图中阴影部分面积，可以把它拆开使阴影部分分布在正方形的4个角处，这时采用相减法就可求出其面积了。
（五）、辅助线法：这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可.如右图，右图中大小正方形的边长分别是9厘米和5厘米，求阴影部分的面积.此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便。
（六）、割补法：这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.例如，如右图，欲求阴影部分的面积，只需把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.（七）、平移法：这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.例如，如上页最后一图，欲求阴影部分面积，可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
专题03 与圆有关的运动路径及面积问题-2022-2023学年九年级数学上册教学课件(人教版)
∴S 阴影=S 大半圆－S 小半圆=12π·OB2－12π·OC2=12π·AC2=72π
针对训练
求不规则图形面积问题
知识点三
2.如图,在△ABC中,∠BAC=90º,AB=5cm,AC=2cm,将△ABC绕顶点C按顺时针
方向旋转45º至△A1B1C的位置,求线段AB扫过区域(图中阴影部分)的面积.
(割补法) F
E
D
C
A
B
针对训练
求不规则图形面积问题
知识点三
1.如图是两个半圆,点O为大半圆的圆心,AB是大半圆的弦,AB∥CD,且与小半
圆相切,AB=24.求图中阴影部分的面积．
(平移法)
A
H
B
C
O
D
解：将小圆向右平移,使两圆变成同心圆,连接 OB.过 O 作 OC⊥AB 于 C 点,
则 AC=BC=12.∵AB 是大半圆的弦且与小半圆相切，∴OC 为小圆的半径，
,⊙O的半径为1cm,当这个圆按箭头方向从某一位置沿等边三角形的三边做
无滑动滚动,直至回到原出发位置时,则这个圆共转了_4__圈,点O经过的路
径为_8_π__.
A OO
B
C
针对训练
折线上的滚动
知识点二
1.如图,一个正方形的边长和与它的一边相切的圆的周长相等,如果⊙P从
点A的处出发,沿正方形的边无滑动地滚动,⊙P至少转_5__周后再次回到点A
A
CB
l
针对训练
求动态中弧长
知识点一
2.如图,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,CD在直线l上,将矩形ABCD沿直线l作无滑
动翻滚,当点A第一次翻滚到点A1位置时,则点A经过的路线长为_6_π___c_m__．
中考数学复习：面积专题ppt课件
在 y＝kx－3 中，令 x＝0，得 y＝－3.
∴OC＝3.∴OD＝12OC＝32，D0，－32. 在 y＝－x2 中，令 y＝－32，得－32＝－x2.
解得 x＝ 26或 x＝－ 26.∴B 26，－32.
把
B
26，－32代入
y＝kx－3，得
－32＝ 26k－3.解得 k＝ 26；
当 k ＜ 0 时 ， 如 备 用 图 ， 过 点 B ′ 作 B ′ F ∥ A B 交 y 轴 于 点 F. 在y＝kx－3中，令x＝0，得y＝－3. ∴OE＝3. ∵△B′AB的面积与△OAB的面积相等， ∴OE＝EF＝3. ∵点B，B′关于y轴对称， ∴FB＝FB′，∠FGB＝∠FGB′＝90°. ∴∠FB′B＝∠FBB′. ∵B′F∥AB， ∴∠EBB′＝∠FB′B＝∠FBB′.
4．相似多边形的面积之比等于相似比的平方． 5．全等三角形的面积相等，全等几何变换有平移、旋转与轴对称． 6．面积等高模型：
必备素养
几何直观，模型观念，计算能力；数形结合思想，转化思想．
素 养 积 累 ： 割补法求面积
例 1 (2023·巴中) 如图，在Rt△ABC中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，D， E分别为AC，BC的中点，连接AE，BD相交于点F，点G在CD上，且 DG∶GC＝1∶2，则四边形DFEG的面积为( B ) A．2 cm2 B．4 cm2 C．6 cm2 D．8 cm2
素 养 积 累 ： 相似与面积
例 1 (2023·创编) 在网格中，每个小正方形的顶点称为格点，以格点 为顶点的三角形称为“格点三角形”．如图，在4×4的网格中，△ABC 是一个格点三角形，如果△DEF也是该网格中的一个格点三角形，它与 △ABC相似且面积最大，那么△DEF与△ABC相似比
割补法求面积ppt课件
❖ （7+4）×7-[（7+4）×（7-4）÷2+4×4÷2+7×7÷2]=28 （平方厘米）
❖ 答：阴影部分面积是28平方厘米。
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
经典例题
下图中ABCD和DEFG都是正方形，求阴影部分的 面积。（单位：厘米）
B
7
A
F
4
C
D
E
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
画龙点睛
❖ “割”是一种最常见的求面积的辅助方法，即把要 求面积的图形分割成若干小块，并且每一小块的面 积都可以直接用公式算出，最后求和；“补”也是 一种辅助解决问题的好办法，它能得到的一个更加 完整的图形，使要求面积的图形包含在整个图形之 中，解法二就是利用的此思路。
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
B
E
A
F
D
C
烧伤病人的治疗通常是取烧伤病人的 健康皮 肤进行 自体移 植，但 对于大 面积烧 伤病人 来讲， 健康皮 肤很有 限，请 同学们 想一想 如何来 治疗该 病人
九年级数学圆割补法求阴影部分的面积PPT文档17页
31、只有永远躺在泥坑里的人，才不会再掉进坑里。——黑格尔 32、希望的灯一旦熄灭，生活刹那间变成了一片黑暗。——普列姆昌德 33、希望是人生的乳母。——科策布 34、形成天才的决定因素应该是勤奋。——郭沫若 35、学到很多东西的诀窍，就是一下子不要学很多。——洛克
九年级数学圆割补法求阴影部分的面
积
Байду номын сангаас21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
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面积为
2 3- a2
8
2020/10/16
A
E F
B
D
C
2
专题一：加减修补法
例1.如图，圆心角都是900的扇形OAB与扇形OCD叠放 在一起，连接AC、BD，若OA=2，OC=1，求图中阴影 部分的面积S。
S=S扇形OEF-S扇形OCD
O
B
= 9022-9013 C
3603604 E
D F
A
2020/10/16
大圆分成相等的六部分，若大圆
半径为2，则阴影部分的面积为
2π
2020/10/16
9
通过做以上三组题，你能总结出求 阴影面积的方法吗？（相互交流）
归纳总结：求阴影部分的面积有三种方法：
1、和差法：①S总体-S空白=S阴 1、和差法 ②把不规则图形分成几个规则图形的面积 之和
2 、整体求解法（化零为整）将图形位置进行移动(平移 . 旋转.对称.)割补,使其成为规则图形
反思自我
驶向胜利 的彼挑战
自我岸
想一想,你有哪些新的收获?
说出来,与同学们分享.
2020/10/16
13
回顾与思考
反思自我
驶向胜利 的彼挑战
自我岸
（1）学会了求不规则图形的面积的一般方法
（2）深入的理解了化归的数学思想
(3) 体会到数学的灵活性.多变性,以不变应万 变
2020/10/16
14
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演讲人: XXX
PPT文档·教学课件
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3、加减修补法：将图形位置进行移动(平移.旋转.对称. 割补)使其成为规则图形。包括割补法、平移法、旋转 法、等积代换法。
2020/10/16
10
课堂训练
1 .某长方形广场的四角都有一块 半径相同的四分之一圆形的草地, 若圆形的半径为r米,长方形的长 为a米,宽为b米,用代数式表示空 地的面积是 ab- πr2
3
练习
1.如图，扇形AOB的圆心角为900，四边形OCDE是边
长为1的正方形，点C、E、D分别在OA、OB和 AB
上，过A作AF ED交ED的延长线于点F，那么图中阴
影部分的面积为 ‗‗2‗‗-‗1
O
EB
C
D
A
F
2020/10/16
4
2. 在∆ABC中，∠BAC=90°，
B
AB=AC=2，以AB为直径的圆
解：S阴影=S圆=π
2020/10/16
6
练习
1.要在面积为1256m2的三角形广场ABC的三 个角处各建一个半径相同的扇形草坪，要求 草坪总面积为广场面积的一半，那么扇形的 半径应是 20m (π取3.14)
2020/10/16
7
2. 有六个等圆按如图甲、乙、丙三种状摆放，使邻圆互相外
切，且圆心线分别构成正六边形、平行四边形、正三角形，将 圆心连线外侧的六个扇形（阴影部分）的面积之和依次记为S
交BC于D，则图中阴影部分的
D
面积为 1
C
A
3. 某种商品的商标图案如图
（阴影部分）已知菱形ABCD
D
的边长为4，∠A=60°，B⌒D 是以
A为圆心AB长为半径的弧
A
C
C⌒D 是以B为圆心BC为半径
的弧，则该商标图案的面积为 B
43
2020/10/16
5
3 2
专题二：化零为整法
例2. 如图，四个半径为1的圆两两 外离，则图中阴影部分的面积为
九年级数学专题练习
割补法求圆中阴影 部分的面积
复习：加减法求阴影部分的面积
1. 正方形边长为a，以各边为直
径在正方形内画半圆，则图中阴
影部分的面积为
( - 2 )a2
2
2. 如图正三角形ABC的边长为a，
D、E、F分别为BC、CA、a AB的 中点，以A、B、C三点为2圆心，a2
为半径作圆。则图中阴影部分的
2.AB是סּO的直径,点D.E是半 圆的三等分点,AE.BD的延长 ⊙ 线交于点C,若CE=2,则图中阴 影部分的面积为 4 π- 3
3
2020/10/16
11
3. 矩形ABCD中,BC=2,DC=4, 以AB为直径的半圆O与DC相切
于点E,则阴影部分的面积π是
2020/10/16
12
回顾与思考
、P、Q则D（ ）
A、S>P>Q B、S>Q>P C、S>P=Q D、S=P=Q
(甲)
2020/10/16
(乙)
(丙)
8
3.סּA、סּB、סּC、סּD、סּE相互 A
外离，它们的半径都是1，顺
次连结五个圆心，得到五边形 B
E
ABCDE，则图五个扇形的面
积之和为
3π
2
C
D
4. 在两个同心圆中，三条直径把