课时跟踪检测(六十二) 排列与组合
高中数学课时跟踪检测三排列与排列数公式新人教A版选修2_3
课时跟踪检测三一、题组对点训练 对点练一 排列概念的理解 1．下列问题是排列问题的是( )A ．从10名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B ．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C ．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D ．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相加，其结果共有多少种？解析：选B 排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B 中的问题是与顺序相关的，其他问题都与顺序无关，所以选B.2．从3个不同的数字中取出2个：①相加；②相减；③相乘；④相除；⑤一个为被开方数，一个为根指数．则上述问题为排列问题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B 排列与顺序有关，故②④⑤是排列． 对点练二 利用排列数公式进行计算或证明 3．已知A 2n ＝132，则n 等于( ) A ．11 B ．12 C ．13D ．14解析：选B A 2n ＝n (n －1)＝132，即n 2－n －132＝0， 解得n ＝12或n ＝－11(舍去)． 4．A 312－A 310的值是( ) A ．480 B ．520 C ．600D ．1 320解析：选C A 312＝12×11×10＝1 320， A 310＝10×9×8＝720， 故A 312－A 310＝1 320－720＝600. 5．下列等式中不成立的是( ) A ．A 3n ＝(n －2)A 2n B.1nA n n ＋1＝A n －1n ＋1C ．n A n －2n －1＝A nn D.nn －mA m n －1＝A mn解析：选B A 中，右边＝(n －2)(n －1)n ＝A 3n 成立；C 中，左边＝n ×(n －1)×…×2＝n ×(n －1)×(n －2)×…×2×1＝A nn 成立；D 中，左边＝nn －m ×(n －1)！(n －m －1)！＝n ！(n －m )！＝A mn 成立；经验证只有B 不正确．6．计算下列各题： (1)A 66；(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59；(3)若3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，求n .解：(1)A 66＝6！＝6×5×4×3×2×1＝720.(2)2A 58＋7A 48A 88－A 59＝2×8×7×6×5×4＋7×8×7×6×58×7×6×5×4×3×2×1－9×8×7×6×5＝1.(3)由3A 3n ＝2A 2n ＋1＋6A 2n ，得3n (n －1)(n －2)＝2(n ＋1)n ＋6n (n －1)． 因为n ≥3且n ∈N *， 所以3n 2－17n ＋10＝0. 解得n ＝5或n ＝23(舍去)．所以n ＝5.对点练三 简单的排列问题7．若从6名志愿者中选出4人分别从事翻译、导游、导购、保洁四种不同工作，则选派方案共有( )A ．180种B ．360种C ．15种D ．30种解析：选B 问题为6选4的排列即A 46＝360.8．由数字1,2,3,4,5组成无重复数字的四位偶数的个数是( ) A ．12 B ．24 C ．36D ．48解析：选D 从2,4中取一个数作为个位数字，有2种取法，再从其余四个数中取出三个数排在前三位，有A 34种，由分步乘法计数原理知组成无重复数字的四位偶数的个数为2×A 34＝48.9．沪宁高铁线上有六个大站：上海、苏州、无锡、常州、镇江、南京，铁路部门应为沪宁线上的六个大站(这六个大站之间)准备的不同的火车票的种数为( )A ．15B ．30C ．12D ．36解析：选B 只需分析每两个大站之间需要的火车票的种数即可．对于两个大站A 和B ，从A 到B 的火车票与从B 到A 的火车票不同，因为每张车票对应一个起点站和一个终点站，因此，每张火车票对应从6个不同元素(大站)中取出2个不同元素(起点站和终点站)的一种排列，所以问题归结为求从6个不同元素中每次抽出2个不同元素的排列数，故不同的火车票有A26＝6×5＝30(种)．10．将A、B、C、D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B 不排在第二，C不排在第三，D不排在第四．试写出他们四人所有不同的排法．解：由于A不排在第一，所以第一只能排B、C、D中的一个，据此可分为三类．由此可写出所有的排法为：BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA.11．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，则一共可以表示多少种不同的信号？解：第1类，挂1面旗表示信号，有A13种不同方法；第2类，挂2面旗表示信号，有A23种不同方法；第3类，挂3面旗表示信号，有A33种不同方法．根据分类加法计数原理，可以表示的信号种数为A13＋A23＋A33＝3＋3×2＋3×2×1＝15.二、综合过关训练1．89×90×91×…×100可表示为( )A．A10100B．A11100C．A12100D．A13100解析：选C 最大数为100，共有12个连续整数的乘积，由排列数公式的定义可以得出．2．与A310·A77不相等的是( )A．A910B．81A88C．10A99D．A1010解析：选B A310·A77＝10×9×8×7！＝A910＝10A99＝A1010，81A88＝9A99≠A1010，故选B.3．有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能在周一值日，那么5名同学值日顺序的编排方案共有( )A．12种B．24种C．48种D．120种解析：选B ∵同学甲只能在周一值日，∴除同学甲外的4名同学将在周二至周五值日，∴5名同学值日顺序的编排方案共有A44＝24(种)．4．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从2,3,4,5,6,9这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有( ) A．120个B．80个C．40个D．20个解析：选C 由题意知可按十位数字的取值进行分类：第一类，十位数字取9，有A25个；第二类，十位数字取6，有A24个；第三类，十位数字取5，有A23个；第四类，十位数字取4，有A22个．所以“伞数”的个数为A25＋A24＋A23＋A22＝40.故选C.5．由0,1,2，…，9这十个数字组成的无重复数字的四位数中，十位数字与千位数字之差的绝对值等于7的四位数的个数是________．解析：当十位数字为0，千位数字为7时，四位数的个数是A28；当十位数字与千位数字为1,8或8,1时，四位数的个数是A28A22；当十位数字与千位数字为2,9或9,2时，四位数的个数是A28A22.故所求的四位数的个数是A28＋A28A22＋A28A22＝280.答案：2806.有3名大学毕业生，到5家公司应聘，若每家公司至多招聘1名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有________种不同的招聘方案．(用数字作答) 解析：将5家公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题，所以不同的招聘方案共有A35＝5×4×3＝60(种)．答案：607．有三张卡片，正面分别写着1,2,3三个数字，反面分别写着0,5,6三个数字，问这三张卡片可组成多少个三位数？解：先排列三张卡片，有A33×2×2×2种排法，0排在首位的个数为A22×2×2，则这三张卡片可以组成A33×2×2×2－A22×2×2＝40个三位数．8．某国的篮球职业联赛共有16支球队参加．(1)每队与其余各队在主客场分别比赛一次，共要进行多少场比赛？(2)若16支球队恰好8支来自北部赛区，8支来自南部赛区，为增加比赛观赏度，各自赛区分别采用(1)中的赛制决出赛区冠军后，再进行一场总冠军赛，共要进行多少场比赛？解：(1)任意两队之间要进行一场主场比赛及一场客场比赛，对应于从16支球队任取两支的一个排列，比赛的总场次是A216＝16×15＝240.(2)由(1)中的分析，比赛的总场次是A28×2＋1＝8×7×2＋1＝113.。
新教材高中数学课时跟踪检测五组合与组合数公式新人教A版选择性必修第三册
课时跟踪检测（五） 组合与组合数公式1.[多选]下列问题是组合问题的是( )A.10个朋友聚会,每两人握手一次,一共握手多少次？B.平面上有2 020个不同的点,它们中任意三点不共线,连接任意两点可以构成多少条线段？C.集合{a 1,a 2,a 3,…,a n }的含有四个元素的子集有多少个？D.从高三(19)班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目,有多少种选法？解析：选ABC 组合问题与次序无关,排列问题与次序有关,D 项中,选出的2名学生,如甲、乙,其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是两个不同的选法,因此不是组合问题,A 、B 、C 均是组合问题. 2.若C 2n ＝28,则n ＝( ) A.9 B ．8 C.7D ．6解析：选B 由C 2n ＝n ×n －12＝28,解得n ＝8.3.把三张游园票分给10个人中的3人,分法有( ) A.A 310种 B ．C 310种 C.C 310A 310种D ．30种解析：选B 三张票没区别,从10人中选3人即可,即C 310,故选B. 4.下列计算结果为21的是( ) A.A 24＋C 26 B ．C 37 C.A 27D ．C 27解析：选D C 27＝7×62×1＝21.5.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有( ) A.36种 B ．48种 C.96种D ．192种解析：选C 甲选修2门有C 24＝6种选法,乙、丙各有C 34＝4种选法．由分步乘法计数原理可知,共有6×4×4＝96种选法.6.6个朋友聚会,每两人握手1次,一共握手________次．解析：每两人握手1次,无顺序之分,是组合问题,故一共握手C 26＝15次．答案：157.若C 4n >C 6n ,则n 的集合是________．解析：∵C 4n >C 6n ,∴⎩⎪⎨⎪⎧C 4n >C 6n ，n ≥6，即⎩⎪⎨⎪⎧n ！4！n －4！>n ！6！n －6！，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧n 2－9n －10<0，n ≥6⇒⎩⎪⎨⎪⎧－1<n <10，n ≥6.∵n ∈N *,∴n ＝6,7,8,9. ∴n 的集合为{6,7,8,9}．答案：{6,7,8,9}8.按ABO 血型系统学说,每个人的血型为A 、B 、O 、AB 四种之一,依血型遗传学,当且仅当父母中至少有一人的血型是AB 型时,子女一定不是O 型,若某人的血型为O 型,则父母血型的所有可能情况有________种．解析：父母应为A 或B 或O,共有C 13·C 13＝9种情况． 答案：99.(1)解不等式：2C x －2x ＋1<3C x －1x ＋1； (2)计算C 3n13＋n ＋C 3n －112＋n ＋C 3n －211＋n ＋…＋C 17－n 2n ； (3)求证：C m n ＝nn －mC mn －1.解：(1)∵2C x －2x ＋1<3C x －1x ＋1, ∴2C 3x ＋1<3C 2x ＋1, ∴2×x ＋1x x －13×2×1<3×x ＋1x2×1.∴x －13<32,∴x <112,∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥3，x ＋1≥2，∴x ≥2,∴2≤x <112,又x ∈N *,∴x ＝2,3,4,5.∴不等式的解集为{2,3,4,5}．(2)由题意,⎩⎪⎨⎪⎧3n ≤13＋n ，17－n ≤2n ，得173≤n ≤132, 又n ∈N *,故n ＝6.∴原式＝C 1819＋C 1718＋C 1617＋…＋C 1112 ＝C 119＋C 118＋C 117＋…＋C 112 ＝19＋18＋17＋…＋12＝124. (3)证明：∵nn －mC mn －1＝nn －m ·n －1！m ！n －1－m ！＝n ！m ！n －m ！＝C mn ,∴原式成立.10.在6名内科医生和4名外科医生中,现要组成5人医疗小组送医下乡,依下列条件各有多少种选派方法？(1)有3名内科医生和2名外科医生； (2)既有内科医生,又有外科医生．解：(1)先选内科医生有C 36种选法,再选外科医生有C 24种选法,故有C 36C 24＝120种选派方法．(2)既有内科医生,又有外科医生,正面思考应包括四种情况,内科医生去1人,2人,3人,4人,有C 16C 44＋C 26C 34＋C 36C 24＋C 46C 14＝246种选派方法．若从反面考虑,则有C 510－C 56＝246种选派方法.1.从6名男生和3名女生中选出4名代表,其中必须有女生,则不同的选法种数为( ) A.168 B ．45 C.60D ．111解析：选D 选出的代表中女生有1,2,3名时,男生相应有3,2,1名,则不同的选法种数为C 13C 36＋C 23C 26＋C 33C 16＝111.2.若A3m＝6C4m,则m的值为( )A.6 B．7 C.8 D．9解析：选B 由A3m＝6C4m得m！m－3！＝6·m！4！m－4！,即1m－3＝14,解得m＝7.3.某城市纵向有6条道路,横向有5条道路,构成如图所示的矩形道路网(图中黑线表示道路),则从西南角A地到东北角B地的最短路线共有________条．解析：要使路线最短,只能向右或向上走,途中不能向左或向下走．因此,从A地到B地归结为走完5条横线段和4条纵线段．设每走一段横线段或纵线段为一个行走时段,从9个行走时段中任取4个时段走纵线段,其余5个时段走横线段,共有C49C55＝126种走法,故从A地到B地的最短路线共有126条．答案：1264.从1,2,3,4,5,6六个数字中任选3个后得到一个由这三个数组成的最小三位数,则可以得到多少个不同的这样的最小三位数？解：从6个不同数字中任选3个组成最小三位数,相当于从6个不同元素中任选3个元素的一个组合,故所有不同的数的个数为C36＝6×5×43×2×1＝20.5.某市工商局对35种商品进行抽样检查,鉴定结果有15种假货,现从35种商品中选取3种．(1)恰有2种假货在内的不同取法有多少种？(2)至少有2种假货在内的不同取法有多少种？(3)至多有2种假货在内的不同取法有多少种？解：(1)从20种真货中选取1件,从15种假货中选取2件,有C120C215＝2 100(种),所以恰有2种假货在内的不同取法有2 100种．(2)选取2件假货有C120C215种,选取3件假货有C315种,共有选取方法C120C215＋C315＝2 555(种)．(3)选取3件的种数有C335,因此有选取方法C335－C315＝6 090(种)．所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种.。
高中数学(人教版选修2-3)课时跟踪检测(二) 排列与排列数公式 Word版含答案
课时跟踪检测(二)排列与排列数公式一、选择题．已知下列问题：①从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组；②从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动；③从，，，四个字母中取出个字母；④从四个数字中取出个数字组成一个两位数．其中是排列问题的有( )．个．个．个．个解析：选①是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序有关；②不是排列问题，因为两名同学参加的活动与顺序无关；③不是排列问题，因为取出的两个字母与顺序无关；④是排列问题，因为取出的两个数字还需要按顺序排成一列．．计算：等于( )．．．．解析：选＝××，＝×，所以原式＝＝.．已知＝，则的值为( )．．．．不确定解析：选因为＝，所以·(－)·(－)＝(＋)··(－)·(－)，由题意知≥，整理方程，解得＝，所以＝.．若∈*，<，则(－)·(－)·(－)·…·(－)·(－)等于( )．．．．解析：选从(－)到(－)共有个数，其中最大的数为－.．要从，，，，个人中选出名组长和名副组长，但不能当副组长，则不同的选法种数是( )．．．．解析：选不考虑限制条件有种选法，若当副组长，有种选法，故不当副组长，有－＝种不同的选法．二、填空题．从，，，，五个元素中每次取出三个元素，可组成个以为首的不同的排列，它们分别是．解析：画出树形图如下：可知共个，它们分别是，，，，，，，，，，，.答案：，，，，，，，，，，，．集合＝{＝，∈*}，则集合中共有个元素．解析：因为∈*，且≤，所以中的元素为＝，＝，＝＝，即集合中有个元素．答案：．从集合{}中任取个元素分别作为直线方程＋＋＝中的系数，，，所得直线经过坐标原点的有条．解析：易知过原点的直线方程的常数项为，则＝，再从集合中任取两个非零元素作为系数，，有种，而且其中没有相同的直线，所以符合条件的直线有＝条．答案：三、解答题．解不等式：<.解：根据原方程，∈*，且应满足(\\(＋≥，≥.))解得≥.根据排列数公式，原不等式可化为(＋)··(－)·(－)<·(－)·(－)．∵≥，∴两边同除以(－)，得(＋)·(－)<(－)，即－＋<，解得<<.∵∈*，∴＝或＝.．求证：()＝·；()·＝(＋)！－！.证明：()·＝(－)！＝！＝，∴等式成立．()左边＝·＝·！＝(＋－)·！＝(＋)！－！＝右边，∴等式成立．。
高中数学人教A版选修部分 课时跟踪检测 排列与排列数公式(含答案解析)
(2)确定函数 f(x)=A 3x的单调区间.
答案解析
1.答案为：A； 解析：选项 A 中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项 B、C、D 只需取出元素即可， 与元素的排列顺序无关.
2.答案为：B； 解析：列树形图如下：丙甲乙乙甲乙甲丙丙甲共 4 种.
3.答案为：D； 解析：因为 m，m＋1，m＋2，…，m＋20 中最大的数为 m＋20，且共有 m＋20－m＋1=21 个 因式.所以 m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)=Am＋2120.
9.答案为：348； 解析：原式=5×5×4×3＋4×4×3=348.
10.答案为：12；
解析：画出树形图如下：
可知共 12 个.
11.答案为：2； 解析：当 x≠0 时，有 A4=24 个四位数， 每个四位数的数字之和为 1＋4＋5＋x，即 24(1＋4＋5＋x)=288.解得 x=2， 当 x=0 时，每位四位数的数字之和为 1＋4＋5=10，而 288 不能被 10 整除， 即 x=0 不合题意，∴x=2.
二、填空题
. D.4
9.计算：5A35＋4A24=________. 10.从 a，b，c，d，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以 b 为首的不同的排
列. 11.由 1,4,5，x 四个数字组成没有重复数字的四位数，所有这些四位数的各数位上的数字之和
为 288，则 x=________.
A.6
B.4
C.8
D.10
3.乘积 m(m＋1)(m＋2)…(m＋20)可表示为( )
A.A2m
B.A2m1
C.Am＋2020
D.Am＋2120
4.计算： A.12
=( ) B.24
高中数学同步课时跟踪检测《排列与组合》
课时跟踪检测(五十九) 排列与组合1．若一个三位数的十位数字比个位数字和百位数字都大，则称这个数为“伞数”．现从1,2,3,4,5,6这六个数字中任取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有() A．120个B．80个C．40个D．20个2．甲乙两人从4门课程中各选2门，则甲乙所选的课程中至少有1门不相同的选法共有()A．6种B．12种C．30种D．36种3．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为() A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!4．在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有() A．34种B．48种C．96种D．144种5．有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有() A．36种B．48种C．72种D．96种6．“2 012”含有数字0,1,2且有两个数字2.则含有数字0,1,2，且有两个相同数字的四位数的个数为()A．18 B．24C．27 D．367．某工厂将甲、乙等五名新招聘员工分配到三个不同的车间，每个车间至少分配一名员工，且甲、乙两名员工必须分到同一个车间，则不同分法的种数为________．8．某国家代表队要从6名短跑运动员中选4人参加亚运会4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有________种参赛方法．9．某班同学在今年春节写了一幅共勉的对联，他们将对联定成如下形状：则从上而下连读成“龙腾虎跃今胜昔，你追我赶齐争雄”(上、下两字应紧连，如第二行的第一个“腾”字可与第三行的第一或第二个“虎”字连读，但不能与第三行的第三个“虎”字相连)，共有________种不同的连读方式(用数字作答)．10．2011年深圳世界大学生运动会火炬传递在A、B、C、D、E、F六个城市之间进行，以A为起点，F为终点，B与C必须接连传递，E必须在D的前面传递，且每个城市只经过一次，那么火炬传递的不同路线共有多少种？11．某运输公司有7个车队，每个车队的车辆均多于4辆．现从这个公司中抽调10辆车，并且每个车队至少抽调1辆，那么共有多少种不同的抽调方法？12．3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数：(1)选其中5人排成一排；(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；(3)全体站成一排，男、女各站在一起；(4)全体站成一排，男生不能站在一起；(5)全体站成一排，甲不站排头也不站排尾．1.在具有5个行政区域的地图(如图)上，给这5个区域着色共使用了4种不同的颜色，相邻区域不使用同一颜色，则有________种不同的着色方法．2．回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数，如22,121,3 443,94 249等．显然2位回文数有9个：11,22,33，…，99.3位回文数有90个：101,111,121，…，191,202，…，999.则(1)4位回文数有________个；(2)2n＋1(n∈N＋)位回文数有________个．3．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．[答题栏]答案课时跟踪检测(五十九)A级1．选C任选3个数，其中最大的数字作十位数，其余2个数作个位和百位再排列，所以有C36A22＝40(个)．2．选C法一：(直接法)：至少有1门不相同有两种情况：①2门不同有C24＝6种；②1门不同有C14C13C12＝24种．由分类加法计数原理共有6＋24＝30种．法二：(间接法)由总的选法减去都相同情况，所以有C24C24－C24＝30(种)．3．选C利用“捆绑法”求解．满足题意的坐法种数为A33(A33)3＝(3！)4.4．选C先将BC看作一个整体与A以外的三个元素全排列，有A22A44种排法，再从两端的位置中选一个排A，有A12种选法，则编排方法共有A22·A44·A12＝96(种)．5．选C恰有两个空位相邻，相当于两个空位与第三个空位不相邻，先将三人排列，然后插空．从而共A33·A24＝72种排坐法．6．选B依题意，就所含的两个相同数字是否为0进行分类计数：第一类，所含的两个相同数字是0，则满足题意的四位数的个数为C23A22＝6；第二类，所含的两个相同数字不是0，则满足题意的四位数的个数为C12·C13·C13＝18.由分类加法计数原理得，满足题意的四位数的个数为6＋18＝24.7．若甲、乙分到的车间不再分人，则分法有C13×A22×C13＝18种；若甲、乙分到的车间再分一人，则分法有3×A22×C13＝18种．所以满足题意的分法共有18＋18＝36(种)．答案：368．解析：①若甲、乙均不参赛，则有A44＝24种参赛方法；②若甲、乙有且只有一人参赛，则有C12·C34(A44－A33)＝144(种)；③若甲、乙两人均参赛，则有C24(A44－2A33＋A22)＝84(种)，故一共有24＋144＋84＝252种参赛方法．答案：2529．解析：依题意及分步乘法计数原理可知，从上而下连读方式共有C24·C12·C36＝240种．答案：24010．解：因B 与C 必须相邻，故把它们捆绑在一起视为一个整体元素B ′，则B ′、D 、E 不同的排列方式有A 33种，因E 必须在D 的前面传递，所以不同的排列方式有A 332种．又B与C 的排列方式有A 22种，从而不同的排列方式有A 332×A 22＝6种．11．解：法一：(分类法)在每个车队抽调1辆车的基础上，还需抽调3辆车．可分成三类：一类是从某1个车队抽调3辆，有C 17种；一类是从2个车队中抽调，其中1个车队抽调1辆，另1个车队抽调2辆，有A 27种；一类是从3个车队中各抽调1辆，有C 37种．故共有C 17＋A 27＋C 37＝84(种)抽调方法．法二：(隔板法)由于每个车队的车辆均多于4辆，只需将10个份额分成7份．可将10个小球排成一排，在相互之间的9个空当中插入6个隔板，即可将小球分成7份．按顺序分别对应车队应抽调车辆数．故共有C 69＝84(种)抽调方法．12．解：(1)问题即为从7个元素中选出5个全排列，有A 57＝2 520种排法． (2)前排3人，后排4人，相当于排成一排，共有A 77＝5 040种排法．(3)相邻问题(捆绑法)：男生必须站在一起，是男生的全排列，有A 33种排法；女生必须站在一起，是女生的全排列，有A 44种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有A 22种排法，由分步乘法计数原理知， 共有N ＝A 33·A 44·A 22＝288种．(4)不相邻问题(插空法)：先安排女生共有A 44种排法，男生在4个女生隔成的五个空中安排共有A 35种排法，故N ＝A 44·A 35＝1 440种．(5)先安排甲，从除去排头和排尾的5个位中安排甲，有A 15＝5种排法；再安排其他人，有A 66＝720种排法．所以共有A 15·A 66＝3 600种排法．B 级1．解析：已知一共使用了4种不同的颜色，因为有5块区域，故必有2块区域的颜色相同．分成两类情况进行讨论：若1,5块区域颜色相同，则有C 14C 13C 12＝24种不同的着色方法；若2,4块区域颜色相同，同理也有24种不同的着色方法．故共有48种不同的着色方法．答案：482．解析：2位回文数有9个，4位回文数有9×10＝90个，3位回文数有90个，5位回文数有9×10×10＝100×9个，依次类推可得2n ＋1位有9×10n 个．答案：90 9×10n3．解：(1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理共有46＝4 096种不同方法． (2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有C 36·C 14·A 33＋C 26·C 24·A 24＝1 560种不同放法．(3)法一：按3,1,1,1放入有C 14种方法，按2,2,1,1，放入有C 24种方法，共有C 14＋C 24＝10种不同放法．法二：(挡板法)在6个球之间的5个空中任选三空隔开，共有C 35＝10种不同方法．。
2019届高考数学(理)大一轮课时跟踪检测【63】排列与组合(含答案)
课时跟踪检测(六十三) 排列与组合第Ⅰ组：全员必做题1．(2018·开封模拟)把标号为1,2,3,4,5的同色球全部放入编号为1～5号的箱子中，每个箱子放一个球且要求偶数号的球必须放在偶数号的箱子中，则所有的放法种数为( )A．36 B．20C．12 D．102．(2018·昆明重点高中检测)某班班会准备从含甲、乙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙2人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言时顺序不能相邻，那么不同的发言顺序种数为( ) A．720 B．520C．600 D．3603．(2018·昆明调研)航空母舰“辽宁舰”将进行一次编队配置科学试验，要求2艘攻击型核潜艇一前一后，3艘驱逐舰和3艘护卫舰分列左右，每侧3艘，同侧不能都是同种舰艇，则舰艇分配方案的方法数为( ) A．72 B．324C．648 D．1 2964．(2018·合肥调研)身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法种数为( )A．24 B．28C．36 D．485．(2018·大连模拟)把五个标号为1到5的小球全部放入标号为1到4的四个盒子中，不许有空盒且任意一个小球都不能放入标有相同标号的盒子中，则不同的放法有( )A．36种B．45种C．54种D．96种6．(2018·哈师大附中模拟)将4名实习教师分配到高一年级的3个班实习，若每班至少安排1名教师，则不同的分配方案种数为( )A．12 B．36C．72 D．1087．(2018·广州调研)某高校从5名男大学生志愿者和4名女大学生志愿者中选出3名派到3所学校支教(每所学校一名志愿者)，要求这3名志愿者中男、女大学生都有，则不同的选派方案共有( ) A．210种B．420种C．630种D．840种8．(2018·开封模拟)2位男生和3位女生共5位同学站成一排，若男生甲不站两端，3位女生中有且只有两位女生相邻，则不同排法的种数是( )A．60 B．48C．42 D．369．(2018·潍坊检测)张、王两家夫妇各带1个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．(用数字作答)10．(2018·石家庄模拟)有4名同学参加唱歌、跳舞、下棋三项比赛，每项比赛至少有1人参加，每名同学只参加一项比赛，另外甲同学不能参加跳舞比赛，则不同的参赛方案的种数为________(用数字作答)．11．某公司计划在北京、上海、广州、南京4个候选城市投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该公司不同的投资方案种数是________(用数字作答)．12．(2018·重庆模拟)将7个相同的球放入4个不同的盒子中，则每个盒子都有球的放法共有________种．第Ⅱ组：重点选做题1．从1到9的9个数字中取3个偶数4个奇数，试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有几个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？2．有4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．(1)恰有1个盒不放球，共有几种放法？(2)恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？(3)恰有2个盒不放球，共有几种放法？答案第Ⅰ组：全员必做题1．选C 依题意，满足题意的放法种数为A22·A33＝12，选C.2．选C 根据题意，分2种情况讨论：若甲、乙其中一人参加，有C12·C35·A44＝480种；若甲、乙2人都参加，共有C22·C25·A44＝240种发言顺序，其中甲、乙相邻的情况有C22·C25·A22·A33＝120种，故有240－120＝120种．则不同的发言顺序种数为480＋120＝600.3．选D 核潜艇排列数为A22，6艘舰艇任意排列的排列数为A66，同侧均是同种舰艇的排列数为A33A33×2，则舰艇分配方案的方法数为A22(A66－A33A33×2)＝1 296.4．选D 穿红色衣服的人相邻的排法有C14A22A33＝48种，同理穿黄色衣服的人相邻的排法也有48种．而红色、黄色同时相邻的有A22·A22·A33＝24种．故穿相同颜色衣服的不相邻的排法有A55－2×48＋24＝48种．5．选A 先把5号球放入任意一个盒子中有4种放法，再把剩下的四个球放入盒子中，根据4的“错位数”是9，得不同的放法有4×9＝36种．6．选B 本题是定向分配问题．由于元素个数多于位置个数，故先分堆再分位置，分两步完成，第一步，从4名教师中选出2名教师分成一组，其余2名教师各自为一组，共有C 24种选法，第二步，将上述三组与3个班级对应，共有A 33种，这样，所求的不同的方案种数为C 24A 33＝36.7．选B 从这9名大学生志愿者中任选3名派到3所学校支教，则有A 39种选派方案，3名志愿者全是男生或全是女生的选派方案有A 35＋A 34种，故符合条件的选派方案有A 39－(A 35＋A 34)＝420种．8．选B 第一步选2女相邻排列C 23·A 22，第二步另一女生排列A 22，第三步男生甲插在中间，1种插法，第四步另一男生插空C 14，故有C 23·A 22·A 22·C 14＝48种不同排法．9．解析：第一步：将两位爸爸排在两端有2种排法；第二步：将两个小孩视作一人与两位妈妈任意排在中间的三个位置上有A 33种排法；第三步：将两个小孩排序有2种排法．故总的排法有2×2×A 33＝24(种)．答案：2410．解析：依题意，当甲1人一组时，共有C 12C 23A 22＝12种不同参赛方式； 当甲和另1人一组时，共有C 13A 12A 22＝12种不同参赛方式，所以共有24种不同参赛方式．答案：2411．解析：由题意知按选择投资城市的个数分两类：①投资3个城市，每个城市只投资1个项目，有A 34种方案；②投资2个城市，其中一个城市投资1个项目，另一个城市投资2个项目．即先从3个项目中选2个看作1个元素(投资在某一个城市)，另一个项目看作1个元素(投资在另一个城市)，然后把这2个元素在4个城市里进行选排，这样有C 23A 24种方案；所以该公司共有不同的投资方案种数是A 34＋C 23A 24＝60.答案：6012．解析：将7个相同的球放入4个不同的盒子，即把7个球分成4组，因为要求每个盒子都有球，所以每个盒子至少放1个球，不妨将7个球摆成一排，中间形成6个空，只需在这6个空中插入3个隔板将它们隔开，即分成4组，不同的插入方法共有C 36＝20种，所以每个盒子都有球的放法共有20种．答案：20第Ⅱ组：重点选做题1．解：(1)分三步完成：第一步，在4个偶数中取3个，有C 34种情况；第二步，在5个奇数中取4个，有C 45种情况；第三步，3个偶数，4个奇数进行排列，有A 77种情况．所以符合题意的七位数有C 34C 45A 77＝100 800个．(2)上述七位数中，3个偶数排在一起的有C 34C 45A 55A 33＝14 400个．(3)上述七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C 34C 45A 33A 44A 22＝5 760个．2．解：(1)为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”，即把4个球分成2,1,1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步乘法计数原理，共有C 14C 24C 13×A 22＝144种．(2)“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．(3)确定2个空盒有C 24种方法，4个球放进2个盒子可分成(3,1)，(2,2)两类，第一类有序不均匀分组有C 34C 11A 22种方法；第二类有序均匀分组有C 24C 22A 22·A 22种方法． 故共有C 24⎝ ⎛⎭⎪⎫C 34C 11A 22＋C 24C 22A 22·A 22＝84种．。
2020届高考数学(理科)总复习课时跟踪练：(六十九)排列与组合 Word版含解析
课时跟踪练(六十九)A 组 基础巩固1．用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为( )A ．24B ．48C ．60D ．72解析：第一步，先排个位，有C 种选择；13第二步，排前4位，有A 种选择．4由分步乘法计数原理知有C ·A ＝72(个)．134答案：D2．把6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( )A ．144B ．120C ．72D ．24解析：先把三把椅子隔开摆好，它们之间和两端有4个位置，再把三人带椅子插放在四个位置，共有A ＝24种坐法．34答案：D3．(2019·广州综合测试)从1，2，3，4，5这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数，则这个三位数是偶数的概率为( )A. B. C. D.15251235解析：从这5个数字中任取3个数字组成没有重复数字的三位数共有A ＝60(个)，其中是偶数的有C A ＝24(个)，所以所求概率P ＝351224＝，故选B.246025答案：B4．(2019·东北三省四市模拟)哈市某公司有五个不同部门，现有4名在校大学生来该公司实习．要求安排到该公司的两个部门，且每部门安排两名，则不同的安排方案种数为( )A．40 B．60 C．120 D．240解析：从五个不同部门选取两个部门有C种选法，将4名大学25生分别安排在这两个部门有C C种方法，所以不同的安排方案有C24225 C C＝60(种)，故选B.242答案：B5．(2019·珠海模拟)将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则不同放法共有( )A．480种B．360种C．240种D．120种解析：根据题意，将5个不同的球放入4个不同的盒子中，每个盒子至少放一个球，则必须有2个小球放入1个盒子，其余的小球各单独放入一个盒子，分2步进行分析：①先将5个小球分成4组，有C＝10种分法；②将分好的4组全排列，放入4个盒子，有A＝24 254种情况，则不同放法有10×24＝240(种)．故选C.答案：C6．(2019·武汉模拟)有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有( )A．34种B．48种C．96种D．144种解析：特殊元素优先安排，先让甲从头、尾中选取一个位置，有C种选法，乙、丙相邻，捆绑在一起看作一个元素，与其余三个12元素全排列，最后乙、丙可以换位，故共有C·A·A＝96(种)．1242答案：C7．(2019·青岛模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有( )A ．18种B ．24种C ．36种D ．72种解析：1个路口3人，其余路口各1人的分配方法有C C A 种.11323个路口1人，2个路口各2人的分配方法有C C A 种，2323所以由分类加法计数原理知，甲、乙在同一路口的分配方案为C C A ＋C C A ＝36(种)．13232323答案：C8．(2019·豫北名校联考)2019年元旦假期，高三的8名同学准备拼车去旅游，其中(1)班、(2)班、(3)班、(4)班每班各两名，分乘甲乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中(1)班两位同学是孪生姐妹，需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一个班的乘坐方式共有 ( )A ．18种B ．24种C ．48种D ．36种解析：由题意，有两类：第一类，(1)班的2名同学在甲车上，甲车上剩下两个要来自不同的班级，从三个班级中选两个，有C ＝233(种)，然后分别从选择的班级中再选择一个学生，有C C ＝4(种)，1212故有3×4＝12(种)．第二类，(1)班的2名同学不在甲车上，则从剩下的3个班级中选择一个班级的两名同学在甲车上，有C ＝3(种)，13然后再从剩下的两个班级中分别选择一人，有C C ＝4(种)，这时共1212有3×4＝12(种)，根据分类加法计数原理得，共有12＋12＝24种不同的乘车方式，故选B.答案：B9．已知－＝，则m ＝________．1C 1C 710C解析：由已知得m 的取值范围为{m |0≤m ≤5，m ∈Z}，－＝，整理可m ！（5－m ）！5！m ！（6－m ）！6！7×（7－m ）！m ！10×7！得m 2－23m ＋42＝0，解得m ＝21(舍去)或m ＝2.答案：210．(2017·浙江卷)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有________种不同的选法(用数字作答)．解析：从8人中选出4人，且至少有1名女学生的选法种数为C －C ＝55.4846从4人中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人的选法为A ＝12(种)．24故总共有55×12＝660种选法．答案：66011．(2019·开封模拟)某班主任准备请2019届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰隔一人，那么不同的发言顺序共有________种(用数字作答)．解析：若甲、乙同时参加，有C C C A A ＝120(种)，若甲、乙2261222有一人参与，有C C A ＝960(种)，从而总共的发言顺序有120＋960＝123641 080(种)．答案：1 08012．某宾馆安排A ，B ，C ，D ，E 五人入住3个房间，每个房间至少住1人，且A ，B 不能住同一房间，则共有________种不同的安排方法(用数字作答)．解析： 5个人住3个房间，每个房间至少住1人，则有(3，1，1)和(2，2，1)两种，当为(3，1，1)时，有C ·A ＝60(种)，A ，B 住同353一房间有C ·A ＝18(种)，故有60－18＝42(种)；当为(2，2，1)时，有133·A ＝90(种)，A ，B 住同一房间有C ·A ＝18(种)，故有90－18＝C·C A323372(种)，根据分类加法计数原理可知，共有42＋72＝114(种)．答案：114B 组 素养提升13．(2019·合肥质检)7人站成两排队列，前排3人，后排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法的种数为( )A ．120B ．240C ．360D ．480解析：前排3人有4个空，从甲、乙、丙3人中选1人插入，有C C 种方法，对于后排，若插入的2人不相邻，有A 种方法；141325若相邻，有C A 种，故共有C C (A ＋C A )＝360(种)，故选C.152141325152答案：C14．(2019·佛山质检)设集合A ＝{(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3”的元素个数为( )A ．60B ．90C ．120D ．130解析：因为x i ∈{－1，0，1}，i ＝1，2，3，4，5，且1≤|x 1|＋|x 2|＋|x 3|＋|x 4|＋|x 5|≤3，所以x i 中至少两个为0，至多四个为0.(1)x i (i ＝1，2，3，4，5)中有4个0，1个－1或1，A 有2C ＝1015个元素．(2)x i中有3个0，2个－1或1，A有C×2×2＝40个元素．25(3)x i中有2个0，3个－1或1，A有C×2×2×2＝80个元素．35从而，集合A中共有10＋40＋80＝130个元素．答案：D15．(2019·江西八所重点中学联合模拟)摄像师要对已坐定一排照相的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为____________(用数字作答)．解析：从5人中任选3人有C种，将3人位置全部进行调整，35有C·C·C种．故有N＝C·C·C·C＝20种调整方案．1211351211答案：2016．[一题多解]某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有________种．解析：法一(直接法) 若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城34市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共C A种方法．由分类加法计数原理知共有A＋C A＝232434232460种方法．法二(间接法) 先任意安排3个项目，每个项目各有4种安排方法，共43＝64种排法，其中3个项目落入同一城市的排法不符合要求，共4种，所以总投资方案共43－4＝64－4＝60(种)．答案：60。
高考数学总复习 第11章 第2节 排列与组合课时跟踪检测 理(含解析)新人教版
【优化指导】2015高考数学总复习第11章第2节排列与组合课时跟踪检测理（含解析）新人教版1．(2014·绵阳诊断)现有1位老师、2位男学生、3位女学生共6人站成一排照相，若男学生站两端，3位女学生中有且只有2位相邻，则不同排法的种数是( ) A．12 B．24C．36 D．72解析：选B 依题意，满足题意的不同排法种数是A22·(C23·A22)·A22＝24，选B.2．学校准备从5位报名同学中挑选3人，分别担任大学生运动会田径、游泳和球类3个不同项目比赛的志愿者，已知同学甲不能担任游泳比赛的志愿者，则不同的安排方案共有( )A．24种B．36种C．48种D．60种解析：选C 用排异法：5人挑选3人总计A35＝60种，甲担任游泳比赛的志愿者为A24＝12种，则满足条件的方案为A35－A24＝48(种)．故选C.3．(2014·湖南十校联考)某中学从4名男生和3名女生中推荐4人参加社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有( )A．140种B．120种C．35种D．34种解析：选D 从7人中选4人共有C47种选法，除掉全部为男生的C44种选法，满足条件的选法有C47－C44＝34种．4．(2014·湖北七市联考)我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机准备着舰．如果甲、乙2机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有( )A．12种B．18种C．24种D．48种解析：选C 先将甲、乙捆绑，然后将其与除甲、乙、丙、丁外的第5架舰载机全排列，再将丙、丁插空，最后将甲、乙松绑，故不同的着舰方法共有A22·A23·A22＝24种．5．(2014·深圳调研)我们把各位数字之和为6的四位数称为“六合数”(如2 013是“六合数”)，则“六合数”中首位为2的“六合数”共有( )A．18个B．15个C．12个D．9个解析：选B 根据“六合数”的定义可知，当首位为2时，其余三位是数组(0,0,4)，(0,1,3)，(0,2,2)，(1,1,2)的所有排列，即共有3＋A33＋3＋3＝15(个)．故选B.6．某小区有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需要停放，如果要求剩余的4个车位连在一起，那么不同的停放方法的种数为( )A．16种B．18种C．24种D．32种解析：选C 第一步：选取4个连在一起的空车位的取法有4种；第二步：在剩下的3个车位上安排3部不同的车的排法有A33，故总有4A33＝24(种)排法．故选C.7．(2014·潍坊模拟)某车队准备从甲、乙等7辆车中选派4辆参加救援物资的运输工作，并按出发顺序前后排成一队．要求甲、乙至少有一辆参加，且若甲、乙同时参加，则它们出发时不能相邻，那么不同的排法种数为( )A．360 B．520C．600 D．720解析：选C 若甲、乙只有一辆参加，则总排法有C12 C35 A44＝480种；若甲、乙均参加，排法有A25 A23＝120种．故总的不同排法种数为480＋120＝600.8．(2014·北京模拟)已知“2 012”含有数字0,1,2，且有两个数字2，则含有数字0,1,2，且有两个相同数字的四位数的个数为( )A．18 B．24C．27 D．36解析：选B 含有数字0,1,2，且有两个相同数字的四位数的数字有三种情况：有两个数字2、有两个数字1和有两个数字0，分别构成的四位数的个数为C13×C13＝9(个)，C13×C13＝9(个)和C12×C13＝6(个)，总数为9＋9＋6＝24(个)．故选B.9．(2014·湛江模拟)四位学生坐在一排有7个位置的座位上，有且只有两个空位是相邻的不同坐法有________种(用数字作答)．解析：480 本题应该采用插空法，先将四位学生进行排序有A44＝24(种)，再将两个空位放在一起与另一个空位，排到四位同学之间的空档中有C25A22＝20(种)，故共计480种．10．某一排共12个座位，现甲、乙、丙三人按如下要求入座：每人左右两旁都有空座位，且三人的顺序是甲必须在另外两人之间，则不同的坐法共有________种．解析：112 每人坐1个座位，还有9个空座位，空座位中间有8个空，从这8个空中选出3个插入甲、乙、丙，由于甲必须在另外两人之间，所以不同的坐法共有2C38＝112种．11．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有________种．解析：20 依甲赢计算：打3局结束，则甲全胜，只有1种情形；打4局结束，则甲前3局赢2局，第4局必胜，有C23×1＝3种情形；打5局结束，则甲前4局赢2局，第5局必胜，有C24×1＝6种情形．故甲获胜共有10种情形，同样乙获胜也有10种情形，所以共有20种情形．12．在三位正整数中，若十位数字小于个位数字和百位数字，则称该数为“驼峰数”，比如：“102”、“546”为“驼峰数”．由数字1,2, 3,4,5这五个数字构成的无重复数字的“驼峰数”的十位上的数字之和为________．解析：30 在这五个数字构成的三位正整数中，“驼峰数”有C35 A22＝20个，其中1在十位上的有A24＝12个，2在十位上的有A23＝6个，3在十位上的有A22＝2个，所以所有满足题意的“驼峰数”的十位上的数字之和为12×1＋6×2＋3×2＝30.13．有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子，问：(1)共有多少种放法？(2)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？解：(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2、3、4号小球也各有4种放法，故共有44＝256种放法．(2)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有C14种分法，再放到2个盒子内，有A24种放法，共有C14A24种方法；②2个盒子内各放2个小球．先从4个盒子中选出2个盒子，有C24种选法，然后把4个小球平均分成2组，每组2个，放入2个盒子内，也有C24种选法，共有C24C24种方法．由分类计数原理知共有C14A24＋C24C24＝84种不同的放法.14．把1,2,3,4,5这五个数字组成无重复数字的五位数，并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列．(1)43 251是这个数列的第几项？(2)这个数列的笫96项是多少？解：(1)若首位是1,2,3之一，有C13·A44个；若首位是4，第二位为1或2，有C12·A33个；若首位是4，第二位是3，第三位是1，有A22个；若首位是4，第二位是3，第三位是2，有1个．∴43 251的前面共有C13A44＋C12A33＋A22＋1＝87个，故43 251是第88项．(2)由(1)知43 251为第88项．首位为4，第二位为3，第三位为5，有A22＝2个．首位为4，第二位是5，有A33＝6个．因此，第96项是45 321.1．(2014·江西九校联考)现有4位教师，每位教师带了2名自己的学生参加数学竞赛.8名学生完成考试后由这4位教师进行交叉阅卷，每位教师阅卷2份，每位教师均不能阅自己的学生的试题，且不能阅来自同一位教师的2名学生的试题，问阅卷方式有多少种不同选择( )A．108 B．180C．144 D．432解析：选C 将4位教师和各自的学生编号为A，B，C，D和a1，a2，b1，b2，c1，c2，d1，d2，A的学生的试卷一定由B，C，D中2位教师改，有A23种分法，这样B，C，D中有1位教师没分到，则继续分配这位教师的2名学生的试卷，不妨设为B的2名学生的试卷，再分两种情况：①b1，b2刚好分给C，D，有A22种，剩下C，D的学生的试卷分给A，B，有A22·A22种；②b1，b2中有一份分给A，一份分给C，D之一，则有C12·A22种，再分有A22·A22种．由上计算得阅卷方式有A23(C12 A22 A22 A22＋A22 A22 A22)＝144种不同选择．2．(2014·长沙模拟)某人制定了一项旅游计划，从7个旅游城市中选5个进行游览，如果A、B、C为必选城市，并且游览过程中必须按照先A后B再C的次序经过A、B、C三个城市(A 、B 、C 三个城市可以不相邻)，则不同的游览线路共有( )A ．80种B ．120种C ．480种D ．600种解析：选B 首先从剩余的另外4个城市中选出2个，共有C 24＝6种方法，将选出的5个城市全排，则共有A 55种方法，由于要求必须按照先A 后B 再C 的顺序经过A 、B 、C 三个城市，所以需去除三座城市的全排的情况，所以不同的游览线路共有C 24×A 55A 33＝120种线路．故选B.3．(2014·昆明模拟)将4名新来的同学分配到A ，B ，C 三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A 班，那么不同的分配方案有________．解析：24 将4名新来的同学分配到A ，B ，C 三个班级中，每个班级至少安排1名学生有C 24 A 33种分配方案，其中甲同学分配到A 班共有C 23 A 22＋C 13 A 22种方案．因此满足条件的不同方案共有C 24 A 33－C 23 A 22－ C 13 A 22＝24(种)．4．(2014·长春调研)从集合{O ，P ，Q ，R ，S }与{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}中各任取2个元素排成一排(字母和数字均不能重复)．每排中字母O 、Q 和数字0至多只出现一个的不同排法种数是________(用数字作答)．解析：8 424 问题分为两类：一类是字母O 、Q 和数字0出现一个，则有(C 13·C 29·C 12＋C 23·C 19)·A 44种；另一类是三者均不出现，则有C 23·C 29·A 44种，故共有(C 13C 29C 12＋C 23·C 19＋C 23·C 29)·A 44＝8 424种．5．四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，则不同的取法共有________种(用数字作答)．解析：141 方法一：从10个点中，任意取4个点的不同取法共有C 410种，其中，所取4个点共面的可分为两类．第一类，四个点同在四面体的一个面上，共有4C 46种取法．第二类，四个点不同在四面体的一个面上，又可分为两种情形：①4个点分布在不共面的两条棱上，这只能是恰有1个点是某棱的中点，另3点在对棱上，因为共有6条棱，所以有6种取法；②4个点所在的不共面的棱不止两条，这时，4个点必然都是棱的中点，它们所在的4条棱必然是空间四边形的四条边，故有3种不同取法．所以符合题意的不同取法种数为C 410－(4C 46＋6＋3)＝141.方法二：在四面体中取定一个面，记为α，那么取不共面的4个点，可分为四类．第一类，恰有3个点在α上．这时，该3点必然不在同一条棱上，因此，4个点的不同取法数为4(C 36－3)＝68.第二类，恰有2个点在α上，可分两种情形：①该2点在同一条棱上，这时4个点的不同取法数为3C 23·(C 24－3)＝27；②该2点不在同一条棱上，这时4个点的不同取法数为(C 26－3C 23)(C 24－1)＝30.第三类，恰有1个点在α上，可分两种情形：①该点是棱的中点，这时4个点的不同取法数为3×3＝9；②该点不是棱的中点，这时4个点的不同取法数为3×2＝6.第四类，4个点都不在α上，只有1种取法．应用分类计数原理，得所求的不同取法数为68＋27＋30＋9＋6＋1＝141.6．(1)以AB为直径的半圆上，除A、B两点外，另有6个点，又因为AB上另有4个点，共12个点，以这12个点为顶点共能组成多少个四边形？(2)在角A的一边上有五个点(不含A)，另一边上有四个点(不含A)，由这十个点(含A)可构成多少个三角形？解：(1)分类讨论：A、B只含有一个点时，共有2(C36＋C26C14)＝160个；既含A又含B时，共有C26＝15个；既不含A也不含B时，共有C410－1－C34C16＝185个，所以共有160＋15＋185＝360个．(2)含A点时，可构成C15C14＝20个三角形；不含A点时，可构成C25C14＋C15C24＝70个三角形．故共有20＋70＝90个三角形．。
课时跟踪检测（五十六） 排列与组合（一般高中）
课时跟踪检测（五十六）排列与组合(一)一般高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，那么不同的排列方式共有( )A．12种B．18种C．24种D．36种解析：选A 先排第一列，有A33种方式，再排第二列，有2种方式，故共有A33×2＝12种排列方式．2．有5本不同的教科书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．假设将其并排摆放在书架的同一层上，那么同一科目书都不相邻的放法种数是( )A．24 B．48C．72 D．96解析：选B 据题意可先摆放2本语文书，当1本物理书在2本语文书之间时，只需将2本数学书插在前3本书形成的4个空中即可，现在共有A22A24种摆放方式；当1本物理书放在2本语文书一侧时，共有A22A12C12C13种不同的摆放方式，由分类加法计数原理可得共有A22A24＋A22A12C12C13＝48种摆放方式．3．(2018·昆明两区七校调研)某校从8名教师当选派4名同时去4个边远地域支教(每地1名教师)，其中甲和乙不能都去，甲和丙只能都去或都不去，那么不同的选派方案有( )A．900种B．600种C．300种D．150种解析：选B 依题意，就甲是不是去支教进行分类计数：第一类，甲去支教，那么乙不去支教，且丙也去支教，那么知足题意的选派方案有C25·A44＝240(种)；第二类，甲不去支教，且丙也不去支教，那么知足题意的选派方案有A46＝360(种)，因此，知足题意的选派方案共有240＋360＝600(种)，选B.4．将甲、乙等5名交警分派到三个不同路口疏导交通，每一个路口至少一人，那么甲、乙在同一路口的分派方案共有( )A．18种B．24种C．36种D．72种解析：选C 不同的分派方案可分为以下两种情形：①甲、乙两人在一个路口，其余三人分派在另外的两个路口，其不同的分派方案有C23A33＝18(种)；②甲、乙所在路口分派三人，另外两个路口各分派一个人，其不同的分派方案有C 13A 33＝18(种)．由分类加法计数原理可知不同的分派方案共有18＋18＝36(种)．5．(2018·武汉调研)三对夫妻站成一排照相，那么仅有一对夫妻相邻的站法总数是( ) A ．72 B ．144 C ．240D ．288解析：选D 第一步，先选一对夫妻使之相邻，捆绑在一路看做一个复合元素A ，有C 13A 22＝6种排法；第二步，再选一对夫妻，从剩下的那对夫妻当选择一个插入到刚选的夫妻中，把这三个人捆绑在一路看做另一个复合元素B ，有C 12A 22C 12＝8种排法；第三步，将复合元素A ，B 和剩下的那对夫妻中剩下的那一个进行全排列，有A 33＝6种排法，由分步计数原理，知三对夫妻排成一排照相，仅有一对夫妻相邻的排法有6×8×6＝288(种)，应选D.6．(2018·郑州质量预测)将数字“124467”从头排列后取得不同的偶数的个数为( ) A ．72 B ．120 C ．192D ．240解析：选D 将数字“124467”从头排列后所得数字为偶数，那么末位数应为偶数．(1)假设末位数字为2，因为其他位数上含有2个4，因此有5×4×3×2×12＝60种情形；(2)假设末位数字为6，同理有5×4×3×2×12＝60种情形；(3)假设末位数字为4，因为其他位数上只含有1个4，因此共有5×4×3×2×1＝120种情形．综上，共有60＋60＋120＝240种情形．7．(2018·昆明质检)某小区一号楼共有7层，每层只有1家住户，已知任意相邻两层楼的住户在同一天最多一家有快递，且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家有快递，那么在同一天这7家住户有无快递的可能情形共有________种．解析：分三类：(1)同一天2家有快递：可能是2层和5层、3层和5层、3层和6层，共3种情形；(2)同一天3家有快递：考虑将有快递的3家插入没有快递的4家形成的空位中，有C 35种插入法，但需减去1层、3层与7层有快递，1层、5层与7层有快递这两种情形，因此有C 35－2＝8种情形；(3)同一天4家有快递：只有1层、3层、5层、7层有快递这一种情形．依照分类加法计数原理可知，同一天7家住户有无快递的可能情形共有3＋8＋1＝12种．答案：128．现有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加区分，将这9个球排成一列，有________种不同的方式．(用数字作答)．解析：第一步，从9个位置当选出2个位置，分给相同的红球，有C29种选法；第二步，从剩余的7个位置当选出3个位置，分给相同的黄球，有C37种选法；第三步，剩下的4个位置全数分给4个白球，有1种选法．依照分步乘法计数原理可得，排列方式共有C29C37＝1 260(种)．答案：1 2609．在高三某班进行的演讲竞赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生，若是2位男生不能持续出场，且女生甲不能排第一个，那么出场的顺序的排法种数为________．解析：不相邻问题插空法.2位男生不能持续出场的排法共有N1＝A33×A24＝72(种)，女生甲排第一个且2位男生不持续出场的排法共有N2＝A22×A23＝12(种)，因此出场顺序的排法种数为N＝N1－N2＝60.答案：6010．把座位编号为1,2,3,4,5的五张电影票全数分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至少一张，最多两张，且分得的两张票必需是连号，那么不同的分法种数为________(用数字作答)．解析：先将票分为符合条件的4份，由题意，4人分5张票，且每人至少一张，最多两张，那么三人每人一张，一人2张，且分得的票必需是连号，相当于将1,2,3,4,5这五个数用3个板子隔开，分为四部份且不存在三连号．在4个空位插3个板子，共有C34＝4种情形，再对应到4个人，有A44＝24种情形，那么共有4×24＝96种情形．答案：96B级——中档题目练通抓牢1．现有2门不同的考试要安排在5天之内进行，天天最多进行一门考试，且不能持续两天有考试，那么不同的考试安排方案种数是( )A．12 B．6C．8 D．16解析：选A 假设第一门安排在开头或结尾，那么第二门有3种安排方式，这时，共有C12×3＝6种方式；假设第一门安排在中间的3天中，那么第二门有2种安排方式，这时，共有3×2＝6种方式．综上可得，不同的考试安排方案共有6＋6＝12种．2．A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必需坐在最北面的椅子上，B，C二人必需坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，那么不同的座次有( ) A．60种B．48种C．30种D．24种解析：选B 由题知，可先将B，C二人看做一个整体，再与剩余人进行排列，那么不同的座次有A22A44＝48种．3．有5列火车别离预备停在某车站并行的5条轨道上，假设快车A不能停在第3道上，货车B不能停在第1道上，那么5列火车不同的停泊方式数为( )A．56 B．63C．72 D．78解析：选D 假设没有限制，5列火车能够随意停，那么有A55种不同的停泊方式；快车A停在第3道上，那么5列火车不同的停泊方式为A44种；货车B停在第1道上，那么5列火车不同的停泊方式为A44种；快车A 停在第3道上，且货车B停在第1道上，那么5列火车不同的停泊方式为A33种．故符合要求的5列火车不同的停泊方式数为A55－2A44＋A33＝120－48＋6＝78.4.如图，∠MON的边OM上有四点A1，A2，A3，A4，ON上有三点B1，B2，B3，那么以O，A1，A2，A3，A4，B1，B2，B3为极点的三角形个数为________．解析：用间接法．先从这8个点中任取3个点，最多组成三角形C38个，再减去三点共线的情形即可．共有C38－C35－C34＝42(个)．答案：425．4位同窗参加某种形式的竞赛，竞赛规那么规定：选甲题答对得100分，答错得－100分，选乙题答对得90分，答错得－90分，假设4位同窗的总分为0分，那么这4位同窗不同得分情形的种数是________．解析：由于4位同窗的总分为0分，故4位同窗选甲、乙题的人数有且只有三种情形：①甲：4人，乙：0人；②甲：2人，乙：2人；③甲：0人，乙：4人．关于①，需2人答对，2人答错，共有C24＝6种情形；关于②，选甲题的需1人答对，1人答错，选乙题的也如此，有C24C12C12＝24种情形；关于③，与①相同，有6种情形，故共有6＋24＋6＝36种不同的得分情形．答案：366．有5个男生和3个女生，从当选出5人担任5门不同窗科的科代表，求别离符合以下条件的选法数：(1)有女生但人数必需少于男生；(2)某女生必然担任语文科代表；(3)某男生必需包括在内，但不担任数学科代表；(4)某女生必然要担任语文科代表，某男生必需担任科代表，但不担任数学科代表．解：(1)先选后排，能够是2女3男，也能够是1女4男，先选有C35C23＋C45C13种情形，后排有A55种情形，那么符合条件的选法数为(C35C23＋C45C13)·A55＝5 400.(2)除去该女生后，先选后排，那么符合条件的选法数为C47·A44＝840.(3)先选后排，但先安排该男生，那么符合条件的选法数为C47·C14·A44＝3 360.(4)先从除去该男生该女生的6人当选3人有C36种情形，再安排该男生有C13种情形，选出的3人全排有A33种情形，那么符合条件的选法数为C36·C13·A33＝360.7．用0,1,2,3,4这五个数字，能够组成多少个知足以下条件的没有重复数字的五位数？(1)比21 034大的偶数；(2)左起第二、四位是奇数的偶数．解：(1)可分五类，当末位数字是0，而首位数字是2时，有6个五位数；当末位数字是0，而首位数字是3或4时，有C12A33＝12个五位数；当末位数字是2，而首位数字是3或4时，有C12A33＝12个五位数；当末位数字是4，而首位数字是2时，有3个五位数；当末位数字是4，而首位数字是3时，有A33＝6个五位数；故共有6＋12＋12＋3＋6＝39个知足条件的五位数．(2)可分为两类：末位数是0，个数有A22·A22＝4；末位数是2或4，个数有A22·C12＝4；故共有4＋4＝8个知足条件的五位数．。
人教A版选修2-31.2排列与组合同步检测.docx
1.2排列与组合同步检测一、选择题1.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社会活动，如果要求至少有1名女生．那么不同的选派方法共有（）A.14种B.28种C.32种D.48种答案：A解析：解答：从4名男生、2名女生中任选4人，有4615C=种不同的选派方法，其中没有女生的只有1种，所以符合条件的方法有14种，故选A分析：本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是排列组合的原理分析计算即可.2. 我班制定了数学学习方案: 星期一和星期日分别解决4个数学问题, 且从星期二开始, 每天所解决问题的个数与前一天相比, 要么“多一个”要么“持平”要么“少一个”.在一周中每天所解决问题个数的不同方案共有（）A.50种B.51种C.140种D.141种答案：D解析：解答：因为星期一和星期日分别解决4个数学问题，所以从这周的第二天开始后六天中“多一个”或“少一个”的天数必须相同，所以后面六天中解决问题个数“多一个”或“少一个”的天数可能是0、1、2、3天，共四种情况，所以共有01122336656463141C C C C C C C+++=种.分析：本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是通过分类讨论结合排列、组合的实际应用进行分析计算即可.3. 从0，1，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）A.24个B.36个C.48个D.54个答案：C解析：解答：若包括0，则还需要两个奇数，且0不能排在最高位，有C 32A 21A 22＝3×2×2＝12个若不包括0，则有C 21C 32A 33＝3×2×6＝36个,共计12＋36＝48个 分析：本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是根据排列、组合的实际应用进行分析计算即可.4. 将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，则不同的录取方法共有（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．72答案：C解析：解答：将4名同学录取到3所大学，每所大学至少要录取一名，把4个学生分成3组，有一个组有2人，另外两组个一人，不同的录取方法共有363324=A C 种，故答案为C ．分析：本题主要考查了排列、组合的实际应用，解决问题的关键是根据实际问题结合排列、组合原理计算即可.5. 有10件不同的电子产品，其中有2件产品运行不稳定。
高中数学课时跟踪训练二排列与排列数公式北师大版选修2
课时跟踪训练(二) 排列与排列数公式1．5A 35＋4A 24等于( ) A ．107 B ．323 C ．320 D ．3482.A 345！等于( ) A.120B.125C.15D.1103．设a ∈N ＋，且a <27，则(27－a )(28－a )·…·(34－a )等于( ) A ．A 827－a B ．A 27－a34－a C ．A 734－aD ．A 834－a4．若从4名志愿者中选出2人分别从事翻译、导游两项不同工作，则选派方案共有( ) A ．16种 B ．6种 C ．15种D ．12种5．已知9！＝362 880，那么A 79＝________. 6．给出下列问题：①从1,3,5,7这四个数字中任取两数相乘，可得多少个不同的积？ ②从2,4,6,7这四个数字中任取两数相除，可得多少个不同的商？③有三种不同的蔬菜品种，分别种植在三块不同的试验田里，有多少种不同的种植方法？④有个头均不相同的五位同学，从中任选三位同学按左高右低的顺序并排站在一排照相，有多少种不同的站法？上述问题中，是排列问题的是________．(填序号) 7．(1)计算4A 48＋2A 58A 88－A 59；(2)解方程3A x8＝4A x －19.8．从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本分给甲、乙、丙三人，每人一本，试将所有不同的分法列举出来．答案1．选D 原式＝5×5×4×3＋4×4×3＝348.2．选CA345！＝4×3×25×4×3×2×1＝15.3．选D 8个括号里面是连续的自然数，依据排列数的概念，选D.4．选D 4名志愿者分别记作甲、乙、丙、丁，则选派方案有：甲乙，甲丙，甲丁，乙甲，乙丙，乙丁，丙甲，丙乙，丙丁，丁甲，丁乙，丁丙，即共有A24＝12种方案．5．解析：A79＝9！－！＝362 8802＝181 440.答案：181 4406．解析：对于①，任取两数相乘，无顺序之分，不是排列问题；对于②，取出的两数，哪一个作除数，哪一个作被除数，其结果不同，与顺序有关，是排列问题；对于③，三种不同的蔬菜品种任一种种植在不同的试验田里，结果不同，是排列问题；对于④，选出的三位同学所站的位置已经确定，不是排列问题．答案：②③7．解：(1)原式＝4A48＋2×4A484×3×2A48－9A48＝4＋824－9＝1215＝45.(2)由3A x8＝4A x－19，得3×8！－x！＝4×9！－x！，化简，得x2－19x＋78＝0，解得x1＝6，x2＝13.又∵x≤8，且x－1≤9，∴原方程的解是x＝6.8．解：从语文、数学、英语、物理4本书中任意取出3本，分给甲、乙、丙三人，每人一本，相当于从4个不同的元素中任意取出3个元素，按“甲、乙、丙”的顺序进行排列，每一个排列就对应着一种分法，所以共有A34＝4×3×2＝24种不同的分法．不妨给“语文、数学、英语、物理”编号，依次为1,2,3,4号，画出下列树形图：由树形图可知，按甲乙丙的顺序分的分法为：语数英语数物语英数语英物语物数语物英数语英数语物数英语数英物数物语数物英英语数英语物英数语英数物英物语英物数物语数物语英物数语物数英物英语物英数。
排列和组合-高中
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考点四
排列、组合的综合问题 [师生共研过关]
[典例精析]
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(1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成
没有重复数字的四位数的个数为
(C)
A.300
B.216
C.180
D.162
(2)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个 返回 位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有___3_2_4__ 个.(用数字作答)
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[解题技法] 组合问题的2类题型及求解方法 (1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型： “含”，则先将这些元素取出，再由另外的元素补足；“不 含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取. (2)“至少”或“至多”含有几个元素的组合题型：解这 类题必须十分重视“至少”与“至多”这两个关键词的含 义，谨防重复与漏解.用直接法和间接法都可以求解，通常用 直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.
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[解题技法] 解决排列、组合综合问题的方法 (1)仔细审题，判断是组合问题还是排列问题，要按元素 的性质分类，按事件发生的过程进行分步. (2)以元素为主时，先满足特殊元素的要求，再考虑其他元 素；以位置为主时，先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置. (3)对于有附加条件的比较复杂的排列、组合问题，要周密分 析，设计出合理的方案，一般先把复杂问题分解成若干个简单的 基本问题，然后应用分类加法计数原理或分步乘法计数原理来解 决，一般遵循先选后排的原则.
＝nn－1n－m2！…n－m＋1
性 质 Ann＝n！，0！＝1
C
0 n
＝1，C
m n
＝C
n－m n
，C
m n
课时作业4：6.2.1 排列
6．2排列与组合6.2.1排列基础达标一、选择题1．(多选题)下面问题中，不是排列问题的是()A．由1，2，3三个数字组成无重复数字的三位数B．从40人中选5人组成篮球队C．从100人中选2人抽样调查D．从1，2，3，4，5中选2个数组成集合解析选项A中组成的三位数与数字的排列顺序有关，选项B，C，D只需取出元素即可，与元素的排列顺序无关．答案BCD2．甲、乙、丙三人排成一排去照相，甲不站在排头的所有排列种数为() A．6 B．4C．8 D．10解析列“树状图”如下：故共有丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲4种排列方法．答案B3．从2，3，5，7四个数中任选两个分别相除，则得到的不同结果有() A．6个B．10个C．12个D．16个解析不同结果有4×3＝12(个)．答案C4．从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg a－lg b的不同值的个数是()A．9 B．10C．18 D．20解析lg a－lg b＝lg ab，从1，3，5，7，9中任取两个数分别记为a，b，共有5×4＝20(种)，其中lg 13＝lg39，lg31＝lg93，故其可得到18种结果．答案C5．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为()A．6 B．9C．12 D．24解析组成的四位数列举如下：1 012，1 021，1 102，1 120，1 201，1 210，2 011，2 101，2 110，共9个．答案B二、填空题6．某高三毕业班有40人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了__________条毕业留言(用数字作答)．解析根据题意，得40×39＝1 560，故全班共写了1 560条毕业留言．答案 1 5607．2020北京车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，不同的安排方法种数为__________．解析由题意可知，问题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．答案608．有3名大学毕业生，到5家招聘员工的公司应聘，若每家公司至多招聘一名新员工，且3名大学毕业生全部被聘用，若不允许兼职，则共有__________种不同的招聘方案(用数字作答)．解析将5家招聘员工的公司看作5个不同的位置，从中任选3个位置给3名大学毕业生，则本题即为从5个不同元素中任取3个元素的排列问题．所以不同的招聘方案共有5×4×3＝60(种)．答案60三、解答题9．判断下列问题是否为排列问题：(1)从1到10十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得多少个不同的点的坐标？(2)从10名同学中任抽两名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？(3)某商场有四个大门，若从一个门进去，购买物品后再从另一个门出来，不同的出入方式共有多少种？(4)从集合M＝{1，2，…，9}中，任取两个元素作为a，b，可以得到多少个焦点在x轴上的椭圆方程x2a2＋y2b2＝1？可以得到多少个焦点在x轴上的双曲线方程x2a2－y2b2＝1?解(1)由于取出的两数组成点的坐标与哪一数作横坐标，哪一数作纵坐标的顺序有关，所以这是一个排列问题．(2)因为任何一种从10名同学抽取两人去学校开座谈会的方式不用考虑两人的顺序，所以这不是排列问题．(3)因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以是排列问题．(4)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．若方程x2a2＋y2b2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则必有a＞b，a，b的大小关系一定；在双曲线x2a2－y2b2＝1中，不管a＞b还是a＜b，方程x2a2－y2b2＝1均表示焦点在x轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．10．京沪高速铁路自北京南站至上海虹桥站，双线铁路全长1 318公里，途经北京、天津、河北、山东、安徽、江苏、上海7个省市，设立包括北京南、天津西、济南西、南京南、苏州北、上海虹桥等在内的21个车站，计算铁路部门要为这21个车站准备多少种不同的火车票？解对于两个火车站A和B，从A到B的火车票与从B到A的火车票不同，因为每张票对应一个起点站和一个终点站，因此，结果应为从21个不同元素中，每次取出2个不同元素的排列的个数为21×20＝420.所以一共需要为这21个车站准备420种不同的火车票．能力提升11．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为()A．54B．45C．5×4×3×2 D．5解析由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法．又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种．答案D12．将A，B，C，D四名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且A不排在第一，B不排在第二，C不排在第三，D不排在第四，试用树状图列出所有可能的排法．解由题意作“树状图”，如下：故所有排法为BADC，BCDA，BDAC，CADB，CDAB，CDBA，DABC，DCAB，DCBA，共有9种．创新猜想13．(多选题)下列问题中是排列问题的是()A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学、物理兴趣小组B．从甲、乙、丙三名同学中选出两人参加一项活动C．从a，b，c，d中选出3个字母D．从1，2，3，4，5这五个数字中取出2个数字组成一个两位数解析由排列的定义知AD是排列问题．答案AD14．(多空题)从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成____________个以b为首的不同的排列，它们分别是___________________________________．解析画出树状图如下：可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed.答案12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed。
课时作业3：6.2.1 排 列
§6.2排列与组合6.2.1排列1．(多选)从1,2,3,4四个数字中，任选两个数做以下数学运算，并分别计算它们的结果．在这些问题中，相应运算可以看作排列问题的有()A．加法B．减法C．乘法D．除法答案BD解析因为加法和乘法满足交换律，所以选出两个数做加法和乘法时，结果与两数字位置无关，故不是排列问题，而减法、除法与两数字的位置有关，故是排列问题，故选BD. 2．某学习小组共5人，约定假期每两人相互微信聊天，共需发起的聊天次数为() A．20 B．15 C．10 D．5答案 A解析由题意得共需发起的聊天次数为5×4＝20.3．从1,2,3,4中任取两个不同数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标，则组成不同点的个数为()A．2 B．4 C．12 D．24答案 C4．甲、乙、丙三人排成一排照相，甲不站在排头的所有排列种数为()A．6 B．4 C．8 D．10答案 B解析列树形图如下：故组成的排列为丙甲乙，丙乙甲，乙甲丙，乙丙甲，共4种．5．将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有()A．12种B．18种C．24种D．36种答案 A解析先排第一列，因为每列的字母互不相同，因此共有3×2×1＝6(种)不同的排法，再排第二列，其中第二列第一行的字母共有2种不同的排法，第二列第二、三行的字母只有1种排法，所以共有6×2×1＝12(种)不同的排法．6．从a，b，c，d，e五个元素中每次取出三个元素，可组成________个以b为首的不同的排列，它们分别是________________________________________．答案12bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed解析画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac，bad，bae，bca，bcd，bce，bda，bdc，bde，bea，bec，bed. 7．车展期间，某调研机构准备从5人中选3人去调查E1馆、E3馆、E4馆的参观人数，则不同的安排方法种数为________．答案60解析由题意可知，本题为从5个元素中选3个元素的排列问题，所以安排方法有5×4×3＝60(种)．8．一次演出，因临时有变化，拟在已安排好的4个节目的基础上再添加2个小品节目，且2个小品节目不相邻，则不同的添加方法共有________种．答案20解析从原来4个节目形成的5个空中选2个空排列，共有5×4＝20(种)添加方法．9．写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？解(1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为A，B，两名老师分别为M，N，此问题可分两类：由此可知，所有可能的站法为AMNB，ANMB，ABMN，ABNM，BMNA，BNMA，BAMN，BANM，共8种．10．用一颗骰子连掷三次，投掷出的数字顺序排成一个三位数，此时：(1)各位数字互不相同的三位数有多少个？(2)可以排出多少个不同的三位数？解(1)三位数的每位上数字均为1,2,3,4,5,6之一．第一步，得首位数字，有6种不同结果；第二步，得十位数字，有5种不同结果；第三步，得个位数字，有4种不同结果．故可得各位数字互不相同的三位数有6×5×4＝120(个)．(2)三位数，每位上数字均可从1,2,3,4,5,6六个数字中得一个，共有这样的三位数有6×6×6＝216(个)．11．由1,2,3,4这四个数字组成的首位数字是1，且恰有三个相同数字的四位数的个数为() A．9 B．12 C．15 D．18答案 B解析本题要求首位数字是1，且恰有三个相同的数字，用树形图表示为：由此可知共有12个符合题意的四位数．12．将4张相同的博物馆的参观票分给5名同学，每名同学至多1张，并且票必须分完，那么不同的分法的种数为()A．54B．45C．5×4×3×2 D．5答案 D解析由于参观票只有4张，而人数为5人，且每名同学至多1张，故一定有1名同学没有票．因此从5名同学中选出1名没有票的同学，有5种选法．又因为4张参观票是相同的，不加以区分，所以不同的分法有5种．13．三人踢毽子，互相传递，每人每次只能踢一下．由甲开始踢，经过4次传递后，毽子又被踢回甲，则不同的传递方式共有()A．4种B．5种C．6种D．12种答案 C解析若甲先传给乙，则有甲→乙→甲→乙→甲，甲→乙→甲→丙→甲，甲→乙→丙→乙→甲3种不同的传法；同理，甲先传给丙也有3种不同的传法，故共有6种不同的传法．14．现从8名学生干部中选出3名同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，则不同的选派方案的种数是________．答案336解析从8名学生干部中选出3名同学排列的种数为8×7×6＝336，故共有336种不同的选派方案．15．用0,1,2,3，…，9十个数字可组成不同的：(1)三位数________个；(2)无重复数字的三位数________个；(3)小于500且无重复数字的三位奇数________个．答案(1)900(2)648(3)144解析(1)由于0不能在百位，所以百位上的数字有9种选法，十位与个位上的数字均有10种选法，所以不同的三位数共有9×10×10＝900(个)．(2)百位上的数字有9种选法，十位上的数字有除百位上的数字以外的9种选法，个位上的数字应从剩余8个数字中选取，所以共有9×9×8＝648(个)无重复数字的三位数．(3)小于500的无重复数字的三位奇数，应满足的条件是：首位只能从1,2,3,4中选，个位必须为奇数，按首位分两类：第一类，首位为1或3时，个位有4种选法，十位有8种选法，所以共有4×8×2＝64(种)；第二类，首位为2或4时，个位有5种选法，十位有8种选法，所以共有5×8×2＝80(种)．由分类加法计数原理知，共有64＋80＝144(种)．16．某药品研究所研制了5种消炎药a1，a2，a3，a4，a5,4种退热药b1，b2，b3，b4，现从中取两种消炎药和一种退热药同时进行疗效试验，但a1，a2两种药或同时用或同时不用，a3，b4两种药不能同时使用，试写出所有不同试验方法．解如图，由树形图可写出所有不同试验方法如下：a1a2b1，a1a2b2，a1a2b3，a1a2b4，a3a4b1，a3a4b2，a3a4b3，a3a5b1，a3a5b2，a3a5b3，a4a5b1，a4a5b2，a4a5b3，a4a5b4，共14种．。
课时作业1：6.2.2 排列数
6.2.2排列数一、选择题1．用1,2,3，…，9这九个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为() A．324 B．224 C．360 D．6482．6名学生排成两排，每排3人，则不同的排法种数为()A．36 B．120 C．720 D．2403．一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为() A．3×3! B．3×(3！)3C．(3！)4D．9!4．由1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排成一个数列{a n}，则a72等于()A．1 543 B．2 543C．3 542 D．4 5325．在制作飞机的某一零件时，要先后实施6个工序，其中工序A只能出现在第一步或最后一步，工序B和C在实施时必须相邻，则实施顺序的编排方法共有()A．34种B．48种C．96种D．144种6．由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有() A．210个B．300个C．464个D．600个7．某教师一天上3个班级的课，每班1节，如果一天共9节课，上午5节、下午4节，并且教师不能连上3节课(第5和第6节不算连上)，那么这位教师一天的课的排法有() A．474种B．77种C．462种D．79种二、填空题8．5个人排成一排，要求甲、乙两人之间至少有一人，则不同的排法有________种．9．两家夫妇各带一个小孩一起去公园游玩，购票后排队依次入园．为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外，两个小孩一定要排在一起，则这6人的入园顺序排法种数为________．10．用1,2,3,4,5,6组成六位数(没有重复数字)，要求任何相邻两个数字的奇偶性不同，且1和2相邻，这样的六位数的个数是________．(用数字作答)11．将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有__________种．(用数字作答)三、解答题12．从数字0,1,3,5,7中取出不同的三个数作系数，可以组成多少个不同的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0？其中有实根的一元二次方程有多少个？13．用1,2,3,4,5,6,7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？(1)偶数不相邻；(2)偶数一定在奇数位上；(3)1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数；(4)三个偶数从左到右按从小到大的顺序排列．参考答案1.B2.C3.C4.C5.C6.B7.A8.729.24 10.40 11.48012．解 先考虑组成一元二次方程的问题．首先确定a ，只能从1,3,5,7中选一个，有A 14种，然后从余下的4个数中任选两个作b ，c ，有A 24种，∴由分步乘法计数原理知，组成一元二次方程共有A 14·A 24＝48(个)．方程要有实根，必须满足Δ＝b 2－4ac ≥0， 分类讨论如下：当c ＝0时，a ，b 可在1,3,5,7中任取两个数，有A 24个．当c ≠0时，分析判别式知，b 只能取5,7.当b 取5时，a ，c 只能取1,3这两个数，有A 22个；当b 取7时，a ，c 可取1,3或1,5这两组数，有2A 22个，此时共有(A 22＋2A 22)个． ∴由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有A 24＋A 22＋2A 22＝18(个)． 13．解 (1)用插空法，共有A 44A 35＝1 440(个)．(2)先把偶数排在奇数位上有A 34种排法，再排奇数有A 44种排法，所以共有A 34A 44＝576(个)．(3)在1和2之间放一个奇数有A 13种方法，把1,2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有A 55种排法，所以共有A 22A 13A 55＝720(个)．(4)七个数的全排列为A 77，三个数的全排列为A 33，所以满足要求的七位数有A 77A 33＝840(个)．。
课时作业1：6.2.1 排列
6.2.1 排 列1．有下列问题：①从1，2，3，5中任取两个不同的数相减可得多少种不同的结果？ ②从1，2，3，5中任取两个不同的数相乘可得多少种不同的结果？ ③一条公路线上有12个车站，共需准备多少种客车票？ 其中是排列问题的有( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①②③2．3个学生在4本不同的参考书中各挑选1本，不同的选法数为( ) A ．3 B ．A 34 C ．34D ．433．若a ∈N ＋，且a ＜20，则(27－a )·(28－a )·(29－a )·…·(34－a )用排列数表示为( ) A ．A 827－a B ．A 27－a 34－aC ．A 734－aD ．A 834－a4．从6本不同的书中选出2本送给两名同学，每人一本的送法种数为( ) A ．6 B ．12 C ．30D ．365．计算A 67－A 56A 45＝( ) A ．12 B ．24 C ．30D ．366．把10本不同的书分给10名同学，则不同的分法有________种．7．从a ，b ，c ，d ，e 五个元素中每次取出三个元素，可组成____个以b 为首的不同的排列，它们分别是____________________________________________________________ ________________________________________________________________________. 8．满足不等式A 7nA 5n＞12的n 的最小值为________．9．求证：A n －m ＋1n ＋1＝(n ＋1)A n －mn.10．从－1，0，1，2，3五个数字中任取三个组成空间直角坐标系中一个点的坐标，试用画树形图的方法求这样的点有多少个？参考答案1．【答案】B【解析】由排列的定义可知①③是排列问题，②与顺序无关，不是排列问题，故选B. 2．【答案】B【解析】3个学生在4本不同的参考书中各挑选一本，相当于从4个不同元素中选3个的排列，其选法种数为A 34. 3．【答案】D【解析】由已知34－a 最大，且共有34－a －(27－a )＋1＝8个数，所以原式可表示为A 834－a . 4．【答案】C【解析】相当于从6个不同元素中选2个进行排列，其送法有A 26＝30种． 5．【答案】D【解析】A 67－A 56A 45＝7×6×5×4×3×2－6×5×4×3×25×4×3×2＝7×6－6＝36.6．【答案】10!【解析】该问题转化为从10个不同元素中取出10个不同的元素，按照一定的顺序排列，共有A 1010种，即10！种．7．【答案】12 bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed 【解析】画出树形图如下：可知共12个，它们分别是bac ，bad ，bae ，bca ，bcd ，bce ，bda ，bdc ，bde ，bea ，bec ，bed . 8．【答案】10【解析】由排列数公式得n ！（n －5）！（n －7）！n ！＞12.即(n －5)(n －6)＞12，解得n ＞9或n ＜2. 又n ≥7，所以n ＞9，且n ∈N ＋，所以n min ＝10. 9．证明：左边＝（n ＋1）！m ！＝（n ＋1）n ！[n －（n －m ）]！＝(n ＋1)A n －mn＝右边．所以，原式成立．10．解：按“横”“纵”“竖”坐标的顺序确定点的坐标，画出横坐标为－1的点的坐标对应树形图如下：由图可知点的坐标为(－1，0，1)，(－1，0，2)，(－1，0，3)，(－1，1，0)，(－1，1，2)，(－1，1，3)，(－1，2，0)，(－1，2，1)，(－1，2，3)，(－1，3，0)，(－1，3，1)，(－1，3，2)，共有4×3＝12个点，类比可知，横坐标为0，1，2，3的点也各有12个，所以共有点N＝5×4×3＝60个．。
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答案：240 9．解析：(捆绑法)首先排两个奇数 1,3 有 A2 2种排法，再在 2,4 中取 一个数放在 1,3 排列之间，有 C1 2种排法，即满足条件的
1 2 四位数的个数为 A2 C 2 2A2＝8.
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排列与组合
1．解析：若甲去，则乙不去，丙去，再从剩余的 5 名教师中选 2
4 名，有 C2 × A 5 4＝240 种方法；若甲不去，则丙不去，乙可去可 4 不去，从 6 名教师中选 4 名，共有 C4 × A 6 4＝360 种方法．因此
数学
1 1 C2 4C 2C 1 3 A4种，因此，放法共有 A2 ×A3 4＝144 2
种．
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8．解析：(元素优先法)由题意知 6 必在第三行，安排 6 有 C1 3种方法， 第三行中剩下的两个空位安排数字有 A2 在留下的三个数 5种方法， 字中，必有一个最大数，把这个最大数安排在第二行，有 C1 2种方 法，剩下的两个数字有 A2 2种排法，根据分步乘法计数原理，所有
共有 600 种不同的选派方案． 答案：C 2．解析：因为第一天和第七天吃的水果数相同，所以中间“多一 个”或“少一个”的天数必须相同，都是 0,1,2,3， 共 4 种情况，
0 1 2 2 3 3 所以共有 C6 ＋ C1 6C5＋C6C4＋C6C3＝141 种，故选 D.
答案：D
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5 A 5 三个元素的全排列 A3 ，可得这样排列数有 ×2＝40 种． 3 A3 3
答案：C 7．解析：把 4 个球分成 3 组，每组至少 1 个，即分成小球个数分别
1 1 C2 4C2C1 为 2,1,1 的 3 组，有 A2 种．最后将 3 组球放入 4 个盒中的 3 2
个，分配方法有 答案：144
数学
谢谢观看
12．解：(1)将 7 个相同的小球排成一排，在中间形成的 6 个空当中插 入无区别的 3 个“隔板”将球分成 4 份，第一种插入隔板的方式 对应一种球的放入方式，则共有 C3 6＝20 种不同的放入方式． (2)每种放入方式对应于将 7 个相同的小球与 3 个相同的“隔板” 进行一次排列，即从 10 个位置中选 3 个位置安排隔板，故共有 C3 10＝120 种放入方式．
答案：8
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10．解析：由 1,2,3,4,5,6 组成没有重复数字的六位数，
3 要求奇数不相邻的情况， 运用插入法可得有 A3 A 3 4＝
144 种，而当第四位是 4 的情况如图所示，要使奇数不相邻， 偶数只能放在第 2,5,6 号位处，且 5,6 号位只能放一个偶数，因 此偶数的可能性有 2×2 种， 其余的奇数放在 1,3,5(或 6)号位处， 共有 A3 3＝6 种，共有 2×2×6＝24 种，因此符合题意的六位数 共有 144－24＝120 个． 答案：120
＝100 800 个．
4 5 3 (2)上述七位数中，3 个偶数排在一起的有 C3 C 4 5A5A3＝14 400 个．
(3)上述七位数中，3 个偶数排在一起，4 个奇数也排在一起的有
4 3 4 2 C3 4C5A3A4A2＝5 760 个．
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5 安排在其他编号的 5 条泳道上，共有 6A3 3A5＝4 320 种安排方式．
答案：B
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6．解析：(排序一定用除法)五个元素没有限制全排列数为 A5 5，由于 要求 A，B，C 的次序一定(按 A，B，C 或 C，B，A)，故除以这
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11．解：(1)分三步完成：第一步，在 4 个偶数中取 3 个，有 C3 4种情况； 第二步，在 5 个奇数中取 4 个，有 C4 5种情况；第三步，3 个偶数，
7 4 7 4 个奇数进行排列， 有 A7 种情况． 所以符合题意的七位数有 C3 4C5A7
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6 3．解析：核潜艇排列数为 A2 2，6 艘舰艇任意排列的排列数为 A6，同 3 侧均是同种舰艇的排列数为 A3 3A3×2，则舰艇分配方案的方法数 6 3 3 为 A2 (A － A 2 6 3A3×2)＝1 296.
答案：D 4．解析：剩余的 3 个座位共有 4 个空隙供 3 人选择就座， 因此任何 两人不相邻的坐法种数为 A3 4＝4×3×2＝24. 答案：D 5．解析：先从 8 个数字中取出 3 个连续的数字共有 6 种方法，将指 定的 3 名运动员安排在这 3 个编号的泳道上，剩下的 5 名运动员