第五章 有限元法-5-时谐场波导本征值问题

而与TM波的波导场定解问题（5-135a）、（5-135c）等 价的则为条件变分问题[（5-137）、（5-135c）]。
对泛函（5-137）取极值，并经有限元的离散化处理，可以 导得如下的有限元方程 式中，对应于所选取的有限单元e，其各个单元矩阵的 元素分别为
和
式（5-138）即是所谓广义代数特征值问题.


5.6.1 时谐电磁场中的有限元法

对于任一时谐电磁场，可应用不同的物理量进行 研究。

、 H ，也可采用时变场中的位函 例如，既可采用场量 E 、 来着手分析。 数，即动态 A

关于分析对象的选择，完全取决于实际问题的性 质，取决于能否简明地给出问题的定解条件。

在时谐电磁场问题的研究中，为了简化分析，通 常引入以下假设：

如用三角形三个顶点的矢量电场作为插值参量，则求解结果中可能含有 很多伪解（spurious solutions)。
其原因是以三角形三个顶点的矢量电场作为插值参量，得到的基函数不 仅保证了相邻单元切向电场连续，同时也额外强加了法向电场连续，这 是不符合物理意义的。 解决的办法是：除了纵向电场Ez仍选用三顶点处值作为插值参量，横向 电场分量Et改用三角形各边中点处的切向电场Eti用为插值参量。这样构 建的基函数称之为边缘元（edge-element)基函数。 棱边元 1 x1 y1 1 三角形三顶点按逆时针方向分别标为1、2、3，面积有 = 1 x 2 y 2 2 1 x3 y 3
广义代数特征值问题（5-138）将给出波导场定解问题 （即亥姆霍兹方程的特征值问题）式（5-135a）、（5135b）或式（5-135a）、（5-135c）的特征值l2和特征 向量f的解答，然后，由此可得给定波导中截止频率：
截止波长：
及各种可能波型的场分布图等。
5.6.3、有限元的三个方面

有限元法的演进，主要在三个方面：


确定性问题中，控制微分方程和边界条件其中之 一、或它们两者，都是非齐次的。 有源，由激励产生 不同于确定性问题，本征值问题的控制微分方程 和边界条件均是齐次的。


从物理学的观点看，在本征值问题中不存在任何形式 的源或激励。
无源，是固有的

本征值问题用有限元方法处理导出的方程组具有 下列广义本征值方程的形式
对于TM波，f = Ez。同理，因导壁内没有电场，故电场 强度的切向分量应等于零，即有定解条件f = 0。
由此可知，描述波导场的定解问题为
式中，边界L即为波导壁。根据变分原理，容易证明， 与上述边值问题的泛定方程（亥姆霍兹方程）对应的泛 函为
因此，与TE波的波导场定解问题（5-135a）、（5-135b） 等价的无条件变分问题为


节点元的特点是，在两个单元和交界面或交界线上，所有未知函数 是连续的。

棱边元的有限元法将未知函数定义在棱边上，也就是取场矢量沿 棱边的切向分量与棱边长度的乘积作为未知函数。

它保证，共用一条棱边的相邻单元，其切向磁场相等，而法向分量 不作约束（不连续），解决点元法的矛盾。

节点元法分：变分有限元法和伽辽金有限元法。

在电磁学中，经常出现的本征值问题包括腔体谐振问题以 及波在封闭和开放结构(波导)中的传播模式问题。

封闭和开放结构(波导)包括金属波导、开放和屏蔽微带传输线、 光波导以及光纤等。 在这些问题中，须确定对应于本征值的谐振频率或传播常数，和 确定对应于本征向量的有关谐振模式或传输模式。


可先考虑填充均匀各向同性媒质的金属波导，再考虑填充不均匀 媒质的金属波导。然后考虑填充单轴各向异性媒质和双轴各向异 性媒质的波导问题。之后，再考虑能够处理一般各向异性波导的 矢量场公式，并讨论开放导波结构的分析。
式中l2 = k2 – kz2；kz描述场量沿z方向每单位长度中相位 的变化，被称为相位系数（亦称波数）。应注意，上式中 f（Hz或Ez）以及相应的各横向分量均仅是x，y的函数。
对于TE波，应令f = Hz。由于前述假设(1)，故导壁内部磁场 为零，此时在导壁表面将呈现面电流JS，所以作为定解条件， f 即有 ；= 0 n
时域有限元的矩阵方程可由最常用的Newmark-b法来解。 时域有限差分法中的吸收边界条件和理想匹配层（PML）条件同 样被用于有限元的分析中。

2、节点元法和棱边元法

早期有限元方法，用插值节点数值而获得的节点基单元来 表示矢量电场或磁场，但会遇到几个严重问题。

首先，可能会有非物理的赝解出现，这通常是由于未强加散度条 件引起的； 其次，在材料界面和导体表面强加边界条件不方便； 再次，存在处理导体和介质边缘及解的困难性，这是由于与这些 结构相关的场的奇异性造成的。

就介质填充波导本征模问题而论，就有纵向电场和磁场共同构建的，有 横向电场和磁场共同构建的，还有矢量位和标量位共同构建的等多种泛 函数变分表达式。 就适用范围和效率综合而论，从矢量波动方程导出的全电场或磁场泛函 变分表达式较为恰当。这种泛函变分表达式适用于任意填充介质，泛函 中的未知量只有电场或磁场。
矩量法，也常称为“表面积分技术”。这个方法 通常在分析无边界辐射问题时可得到很好结果。 它也擅长于分析纯导体结构和单一介质材料结构 的电磁场问题。但这个方法不太适用于多种材料 的复合结构分析和复杂结构的计算分析。 有限元法要求将整个被分析区进行网格化，而不 像矩量法只网格化物体表面。每个网格可以是不 同的材料，因此可以用于多种材料的复合结构分 析。但它在分析无边界辐射问题时不如矩量法。
为着手分析的对象，根 因此，对于TE波，应取H 据向量波动方程，可知应满足如下的标量波动方 程（令k2=w2me）：
z

亥姆霍兹方程是椭圆型方程
所对应的波动方程 同理，TM波则归结为求解其纵向分量E z
因此，若以f标记相应的纵向分量Hz或Ez，则波导场的分析 可归结为如下定义于波导横截面（x，y）平面内的二维标 量波动方程（亥姆霍兹方程）的解答，即

（2）基函数的选取

与矩量法一样，离散泛函，首先要选取基函数， 将未知变量用基函数线性组合的方式表达出来。 基函数的选取有如矩量法，关键在两点：形状和 插值参量。 当求解域为面，很明显基函数的形状要以三角形 最为灵活方便。


（3）插值参量的选取

至于插值参量的选取如何方为恰当，并非那么明显。

5.6.7 新方法
1、时域有限元法和谐波平衡有限元法

有限元法的主要特点是可以用任意形状的小单元来描述问 题的复杂的几何形状和复杂的媒质分布。 除频域应用，还有时域有限元法（TDFEM）和谐波平衡 有限元法（BH（harmonic balance)-FEM）。


谐波平衡有限元法以解决姆霍兹方程为重点，因时谐波动方程出 现在开放空间的电磁辐射问题中。


开波导不连续性产生的散射场会向无限大空间辐射，其求解域外为无限 大； 而闭波导不连续性产生的散射场将被波导壁封在波导内，其解域只限在 波导之内。

对于开波导不连续性问题，如辐射现象较弱，可以忽略，则其分析过 程与闭波导不连续性分析并无二致；如果辐射现象严重，有限元分析 就较为困难，实际中一般也就不用，转而采用矩量法分析或合元极技 术。 可见，就三维波导不连续性问题的有限元求解而言，闭波导不连续性 问题的求解更典型。

一是泛函变分表达式各种形式的研究； 二是基函数的恰当构造（形状和插值参量选取）； 三是广义本征值方程的快速求解。


（1）泛函变分表达式

一般说来，泛函变分表达式是由描述问题的偏微分方程推导而来。
而描述问题的偏微分方程通常有多种形式，这样描述问题的泛函变分 表达式一般也就多种多样。

这些泛函数变分表达式往往有适用范围窄宽之分，效率高低之别。

因此产生了矢量有限元法，它将自由度赋予单元棱边而不 是单元节点，因此又叫棱边元（edge element)。

棱边元没有前面提到的所有缺点。

因此，有限元法可分为节点元法和棱边元法。

主要区别在于未知量的定义和形状函数（基函数）的规定，在规 范条件方面也存在区别。 将未知函数定义在单元的节点上，这种节点称为节点元。

5.6.5、本征模解法对比

本征模的成熟方法可分频域法和时域法两大类。

频域法的基本思想是通过寻找频率域的本征模和本征 值获得特定边值问题的解；

频域法包括：矩量法、有限元法、有限差分法。

而时域法则与电磁波的瞬态特性相联系，通过模拟电 磁波与目标作用的瞬态特性，得到时间相关的四维数 值解。




5.6.4、三维波导不连续性问题

很多微波器件如滤波器、定向耦合器、环行器等 的理论分析都可归结为波导不连续性问题的分析。
波导不连续性问题可细分为开波导不连续性和闭 波导不连续性两类，


像光纤中的不连续性就属于开波导不连续性问题， 而金属波导中不连续性就属于闭波导的不连续性问题。

这两类问题的分析有本质不同，因为
5.6 有限元的应用问题 ——确定性问题与本征模问题

简而言之，有限元方法就是离散泛函数变分数学表达形式的离散化方 法。 有限元法在电磁学的演进主要围绕两条主线：


一是如何求解本征模问题；(粗略地说，就是谐振问题） 一条是如何求解确定性问题。(前面提到的都是确定性问题，主要是传输
传播问题）

本征模问题可细分为波导本征模和谐振腔本征模。这两类进而又可细分 为空、介质填充、介质三种。 确定性问题可分为闭域传输问题和开域散射、辐射问题。

介质填充波导本征模

广义上说，波导是指一切用来引导电磁波的传输线。 对于规则波导，由波导理论可知，其内存在一系列可单独存在的 模式，这些模式在横截面上的场分布和纵向上的传播常数都不同， 如何确定它们就是本征值问题。 由于有限元方法能将问题转化成数学上标准的矩阵本征值或广义 本征值问题，因而有限元法比矩量法或时域有限差分法更适于解 决本征值问题。 它们属于时谐场问题。

节点元法中，元素中近似函数的形成是由节点的函数 值控制的。 近似函数可表示成由节点系数加权的基函数的线性组 合。

波导工作在匹配状态，具有均匀的截面。因此，在分 析中只考虑向前传播的入射波，无反射波。这样，由 于激励源激发的不同状况，波导中传播的电磁波可分 为横电波（TE波）或横磁波（TM波）两种类型。


电磁场理论中有关波导问题的分析表明，波导中 场量在随时间作正弦变化的同时，也在波导空间 中沿波导方向（设为z方向）呈行波特征的变化， 而一旦得知场量的纵向分量，便可求出相应的横 向分量。

媒质系线性且各向同性，并忽略时变场角频率w对于媒 质的影响； 忽略铁磁材料的磁滞效应与导体电阻率的温度效应； 实际三维场问题被理想化为二维平行平面场或轴对称 场。


5.6.2 波导场问题的有限元方程

当分析波导中电磁波传播问题时，常进一步假设：

波导壁由完纯导体（g∞）构成；

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波导中无自由电荷和传导电流（r=0，J=0），也就 是说，波导是远离激励源的；