模糊数学 数学建模5.5

5.5 灰色评估系数向量的熵对于灰色关联聚类评估,评估结果的灰度表现在灰色关联度),,2,1(m i i =ε或),2,1,(s j i ij =ε的接近性上.若诸),,2,1(m i i =ε或诸),2,1,(s j i ij =ε彼此十分接近,就会使评估结果的灰度增大. 灰色变权聚类评估、灰色定权聚类评估和基于三角白化权函数的灰色评估的灰度表现在诸聚类系数),2,1(s k k i =σ的接近性上.张歧山曾利用差异信息熵研究了灰色聚类分析结果的灰度.为讨论方便,以下将上述各类灰色评估的结果统一用向量),,,(21si i i i σσσσ =表示.评估结果的灰度表现在i σ之各分量取值的均衡程度上, i σ之各分量取值越趋均衡,评估结论就越灰.为讨论方便,不妨假定11=∑=si k i σ.定义5.5.1 称ki si k i i I σσσ∑=-=1ln )( （5.5.1）为灰色评估系数向量i σ的熵。

由式（5.5.1）的熵值)(i I σ可以作为灰色评估系数向量i σ之各分量取值的均衡程度的一种度量. i σ之各分量ki σ的取值越趋于均衡，)(i I σ的值越大。

对于单个的聚类系数k i σ而言，其数值越小，k i σln -越大，亦即ki σln -对)(i I σ的影响越大，同时它的权重相对较小。

反之，当k i σ较大时，ki σln -则较小，它的权重相对较大。

灰色评估系数向量的熵)(i I σ具有以下性质：性质5.5.1 非负性，即0)(≥i I σ。

(5.5.2)证明：（1）若存在'k ，1'=k iσ，由0≥kiσ和11=∑=sk k iσ，可知s k ,,2,1 =∀，当'k k ≠时，0=ki σ，从而0ln )(''=-=k i k i i I σσσ（2）若s k ,,2,1 =，1≠k i σ ，则10<≤k i σ，故0ln <ki σ，于是0ln )(1>-=∑=ki si k i i I σσσ事实上，0)(=i I σ是灰色评估结果完全白化的特殊情形，当评估结果呈现出一定的灰度时，0)(>i I σ。

性质5.5.2 对称性。

设),,,,,,(121si k iki i i i σσσσσσ +=，),,,,,,(121'si k i k ii i iσσσσσσ+=则)()('i i I I σσ=证明 只需证明k ik ik ik ik ik ik ik iσσσσσσσσln ln ln ln 1111--=--++++由普通加法的可交换性，这是显然的。

灰色评估系数向量i σ的熵仅与评估系数si i i σσσ,,,21 的数值有关，而与各个值的次序无关。

性质5.5.3 扩展性。

设 ),,,,,,(121si k iki i i i σσσσσσ +=，),,,0,,,,(121'si k iki i i iσσσσσσ+=则)()('i i I I σσ=增加一个评估系数为零的灰类，灰色评估系数向量的熵不变，这一性质还可以表示为0>∀k iσ，当'12(,,,,,,,)k si i i i i σσσσεεσ=- 时，)()('lim i i I I σσε=→性质5.5.4 设),,,(21s i i i i σσσσ =，),,,(21si i i i δδδδ =，则()()()i i i i I I I σδσδ⋅=+ (5.5.3) 其中111212122212(,,,;,,,;;,,)s s s s s s i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i σδσδσδσδσδσδσδσδσδσδ⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅证明1122111()ln()ln()ln()sssk k k k s k s ki i iiiiii i iii i i k k k I σδσδσδσδσδσδσδ===⋅=-⋅⋅-⋅⋅--⋅⋅∑∑∑ )ln (ln )ln (ln )ln (ln 1212111ki s i sk k is ik i isk k iik i is k k iiδσδσδσδσδσδσ+--+-+-=∑∑∑===-----=∑∑∑∑====ki sk k i isk k iiik isk k iis k k iii δδσδσσδδσδσσln ln ln ln 1212211111ki sk k i s is k k is is iδδσδσσln ln 11∑∑==--)(ln )(ln )(ln 222111i si s i s ii i iii i ii I I I δσσσδσσσδσσσ---+-+-=)()()(ln 1i i i sk ki ki I I I δσδσσ+=+-=∑=式(5.5.3)表明，两个灰色评估系数向量之积的熵等于每个灰色评估系数向量的熵之和。

性质5.5.5 分解性。

设 ),,,,,(121si k iki i i i σσσσσσ ++=，),,,,,,(121si k iki i i iσσσσσσ+=则)()()()(1'i k ik ii i I I I θσσσσ++-= (5.5.4)其中),(111+++++=k iki k ik iki kii σσσσσσθ证明 只需证明11111ln ln ()ln()()()kkk k k k k k k k i i iii ii ii ii I σσσσσσσσσσθ+++++--=-++-+ (5.5.5)由)lnln)(()()(11111111++++++++++-++-+=+k iki k ik iki k ik iki kik iki k i k ik ii k ik iI σσσσσσσσσσσσσσθσσ1111lnln+++++-+-=k ik ik i k ik ik ik i k iσσσσσσσσ)ln()ln(ln ln 11111+++++++++--=k ik ik ik ik ik i k ik ik i k iσσσσσσσσσσ可知式(5.5.5)成立。

分解性表明，若细分评估灰类，同时将灰色评估系数作相应分解，灰色评估系数向量的熵将随之增大。

性质5.5.6 极值性。

灰色评估系数向量i σ在各分量均衡分布时取得最大值s ln ，即s I i ln )(≤σ (5.5.6)证明 由于k isi k ii I σσσ∑=-=1ln )(，设)1()(1∑=-+=si k ii I L σλσ，由01ln =--=∂∂λσσki k iL ；s k ,,2,1 =，可解得sconst s iii121=====σσσ ，从而s s sssI si si i ln ln 11ln1)(max 11==-=∑∑==σ 式(5.5.6)表明，当i σ之各个分量均衡取值时，灰色评估系数向量的熵达到其最大值s ln 。

由式(5.5.6)和式 (5.5.2)可得s I i ln )(0≤≤σ当0)(=i I σ时，由灰色评估所得的硬结论可靠性最大，此时评估结果漂移性最小，因而难以作出软结论。

当0)(→i I σ时，灰色评估结果的漂移性较小，得到的硬结论较为可靠，而软结论的论据欠充分。

当s I i ln )(→σ时，灰色评估结果的漂移性较大，此时得到的硬结论可靠性较差，较易得到软结论。

当s I i ln )(=σ时，灰色评估结果的漂移性最大，此时难以得到有说服力的硬结论，而只能作出软结论。