【数学】重庆市万州二中2013-2014学年高二上学学期期中考试(理)

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填涂在答题卷相应位置。

） 1 ．三个互不重合的平面能把空间分成n 部分，则n 所有可能值为 （ ）A ．4、6、8B ．4、6、7、8C ．4、6、7D ．4、5、7、82.若m ≠0，则过（1，-1）的直线ax+3my+2a=0的斜率为 （ ）A.1B.-3C.31D.-313．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）A.12＋22 B ．1＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 24.直线l 经过A （2，1）、B （1，m 2）(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．5．某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积 中最大的是 （ ） A ．8 B ． 10C ．6 2D ．8 26．设b c ,是两条直线，βα,是两个平面，下列能推出b c ⊥的是 ( )A ．βαβα⊥⊥,//,b cB ．βαβα//,,⊥⊥b cC ．βαβα//,,⊥⊂b cD ．βαβα⊥⊂,//,b c7.已知半径为1的动圆与圆(x －5)2+(y +7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( )A ．(x －5)2+(y +7)2=25B ．(x －5)2+(y +7)2=17或(x －5)2+(y +7)2=15C ．(x －5)2+(y +7)2=9D ．(x －5)2+(y +7) 2=25或(x －5)2+(y +7)2=9 8．一个正方体的展开图如右图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ ）A. CD AB ⊥B. CD AB //C. AB 与CD 所成的角为 60D. AB 与CD 相交9.一束光线从点A(-1，1)出发经X 轴反射到圆C ：1)3()2(22=-+-y x 上的最短路程是 （ ）A. 4B. 5C. 123-D. 62 10、如右图，在棱长为4的正方体 ''''ABCD A B C D －中，E 、F 分别是AD, ''A D ，的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面''''A B C D 上运动，则线段MN 的中点P 的轨迹(曲面)与二面角A —''A D 一'B 所围成的几何体的体积为（ ）A ．43π B ． 23πC ．3πD ．6π二、填空题（本大题共5小题，每小题5分共25分，把答案填写在答题卷相应题号的横线上．）11.在空间直角坐标系下,点A(x 2+4，4－y ，1＋2z )关于y 轴的对称点是B(－4x ，9，7－z )，则x ，y ，z 的值依次是 ;12.已知M={(x,y)|x 2+y 2=1,0<y ≤1}，N={(x,y)|y=x+b,b ∈R}，并且M ∩N ≠∅，那么b 的取值范围是 ;13.直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为 ; 14.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h =15.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．（本小题满分13分）在△ABC 中，已知A (5，－2)、B (7,3)，且AC 边的中点M 在y 轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求：(1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．17．（本小题满分13分）平面E F GH 分别平行空间四边形ABCD 中的CD 与AB 且交BD 、AD 、AC 、BC 于E 、F 、G 、H.CD=a ，AB=b ，CD⊥AB． （I ）求证E F GH 为矩形；（II ）点E 在什么位置，S E F GH 最大?18.（本小题满分13分）.已知圆x 2+y 2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b 对称，（1）求k 、b 的值；（2）若这时两圆的交点为A 、B ，求∠AOB 的度数.19 （本小题满分12分）如图，PA ⊥平面AC ，四边形ABCD 是矩形，E 、F 分别是AB 、PD 的中点.（1）求证:AF ∥平面PCE ;（2）若二面角P —CD —B 为45°,AD =2,CD =3,求点F 到平面PCE 的距离; （3）在（2）的条件下,求PC 与底面所成角的余弦值。

20.（本小题满分12分）.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11,2,BC BB ==13BCC π∠=（Ⅰ）求证：1C B ABC ⊥平面；（Ⅱ）试在棱1CC （不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置,使得1EA EB ⊥；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,若AB =11A EB A --的平面角的正切值.21（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l和2l，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。

高2015级高二(上)中期考试理科数学试题(答案)（时间：120分钟 满分：150分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案写在答题卷相应空格内。

） 1．三个互不重合的平面能把空间分成n 部分，则n 所有可能值为（ B ）A ．4、6、8B ．4、6、7、8C ．4、6、7D ．4、5、7、82.若m ≠0，则过（1，-1）的直线ax+3my+2a=0的斜率为 （ D ）A.1B.-3C.31D.-313．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ D ）A.12＋22 B ．1＋22C ．1＋ 2D ．2＋ 2 4.直线l 经过A （2，1）、B （1，m 2）(m ∈R)两点，那么直线l 的倾斜角的取值范围是（D ）A ．B ．C ．D ．5．某四面体的三视图如右图所示，该四面体四个面的面积 中最大的是 （ B ） A ． 8 B ． 10C ．6 2D ．8 26．设b c ,是两条直线，βα,是两个平面，下列能推出b c ⊥的是( C )A ．βαβα⊥⊥,//,b cB ．βαβα//,,⊥⊥b cC ．βαβα//,,⊥⊂b cD ．βαβα⊥⊂,//,b c6.已知半径为1的动圆与圆(x －5)2+(y +7)2=16相切，则动圆圆心的轨迹方程是( D )A ．(x －5)2+(y +7)2=25B ．(x －5)2+(y +7)2=17或(x －5)2+(y +7)2=15C ．(x －5)2+(y +7)2=9D ．(x －5)2+(y +7)2=25或(x －5)2+(y +7)2=9 8．一个正方体的展开图如右图所示，A 、B 、C 、D 为原正方体的顶点，则在原来的正方体中（ C ）A. CD AB ⊥B. CD AB //C.AB 与CD 所成的角为 60D. AB 与CD 相交9.一束光线从点A(-1，1)出发经X 轴反射到圆C ：1)3()2(22=-+-y x 上的最短路程是 （ A ）A. 4B. 5C. 123-D. 6210、如图，在棱长为4的正方体 ''''ABCD A B C D －中，E 、F 分别是AD,''A D ，的中点，长为2的线段MN 的一个端点M 在线段EF 上运动，另一个端点N 在底面''''A B C D 上运动，则线段MN 的中点P 的轨迹(曲面)与二面角A —''A D 一'B 所围成的几何体的体积为（ C ）A ．43π B ．23πC ．3πD ．6π二、填空题（本大题共5小题，每小题5分共25分，把答案填在答题卷相应题号的横线上．） 11.在空间直角坐标系下,点A(x 2+4，4－y ，1＋2z )关于y 轴的对称点是B(－4x ，9，7－z )，则x ，y ，z 的值依次 2，－5，－812.已知M={(x,y)|x 2+y 2=1,0<y ≤1}，N={(x,y)|y=x+b,b ∈R}，并且M ∩N ≠∅，那么b 的取值范围是 -1<b ≤13.直线过点 (－3,－2)且在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为2x －3y ＝0或x ＋y ＋5＝0 14.一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱.这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为1h ，2h ，h ，则12::h h h 2:215.在平面直角坐标系中，设三角形ABC 的顶点坐标分别为(0,),(,0),(,0)A a B b C c ，点(0,)P p 在线段OA 上（异于端点），设,,,a b c p 均为非零实数，直线,BP CP 分别交,AC AB 于点E ，F ，一同学已正确算出OE 的方程：11110x y b c p a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，请你求OF 的方程：1111()()0x y c b p a-+-=. 三、解答题（本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16．.（本小题满分13分）在△ABC 中，已知A (5，－2)、B (7,3)，且AC 边的中点M 在y轴上，BC 边的中点N 在x 轴上，求： (1)顶点C 的坐标； (2)直线MN 的方程．．解 (1)设C (x 0，y 0)，则AC 中点M ⎝⎛⎭⎪⎫5＋x 02，y 0－22，BC 中点N ⎝⎛⎭⎪⎫7＋x 02，y 0＋32.∵M 在y 轴上，∴5＋x 02＝0，x 0＝－5.∵N 在x 轴上，∴y 0＋32＝0，y 0＝－3，即C (－5，－3)．(2)∵M ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，N (1,0)． ∴直线MN 的方程为x 1＋y－52＝1.即5x －2y －5＝0.18（本小题满分13分）.已知圆x 2+y 2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b 对称，（1）求k 、b 的值；（2）若这时两圆的交点为A 、B ，求∠AOB 的度数.解 （1）圆x 2+y 2+8x-4y=0可写成(x+4)2+(y-2)2=20.∵圆x 2+y 2+8x-4y=0与以原点为圆心的某圆关于直线y=kx+b 对称， ∴y=kx+b 为以两圆圆心为端点的线段的垂直平分线.∴402---×k=-1，k=2. 点（0，0）与（-4，2）的中点为（-2，1），∴1=2×(-2)+b ，b=5.∴k=2，b=5.（2）圆心（-4，2）到2x-y+5=0的距离为d=5552)4(2=+--⨯.而圆的半径为25，∴∠AOB=120°.(3)解:∵PA ⊥平面ABCD ,∴AC 是PC 在底面上的射影. ∴∠PCA 就是PC 与底面所成的角. 由(2)知PA =2,PC =, ∴sin∠PCA ==,即PC 与底面所成的角余弦值cos∠PCA ==,1B 1A 1CA 20（本小题满分12分）.如图，在三棱柱111ABC ABC -中，AB ⊥侧面11BB C C ，已知11,2,BC BB ==13BCC π∠=（Ⅰ）求证：1C B ABC ⊥平面；（Ⅱ）试在棱1CC（不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置,使得1EA EB ⊥；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下,若AB =11A EB A --的平面角的正切值.证（Ⅰ）因为AB ⊥侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥ 在1BC C 中，1111,2,3BC CC BB BCCπ===∠=由余弦定理有1BC =1B 1A 1A故有 222111BC BC CC C B BC += ∴⊥ 而 BCAB B = 且,AB BC ⊂平面ABC∴1C B ABC ⊥平面 （Ⅱ）由11,,,,EA EB AB EB ABAE A AB AE ABE ⊥⊥=⊂平面从而1B E ABE ⊥平面 且BE ABE ⊂平面 故1BE B E ⊥ 不妨设 CE x =，则12C E x =-，则221BE x x =+-又1123B C C π∠= 则22157B E x x =-+在1Rt BEB 中有 225714x x x x -++-+= 从而12x x ==或（舍去）故E 为1CC 的中点时，1EA EB ⊥法二：以B 为原点1,,BC BCBA 为,,x y z 轴，设CE则11(0,0,0),(1),(12B E x B A --由1EA EB ⊥得 10EA EB ⋅=即 11(1,2)(,0)02211(1)(2)022x x x x x --=⎫--=⎪⎪⎭化简整理得 2320x x -+= 1x = 或 2x =当2x =时E 与1C 重合不满足题意 当1x =时E 为1CC 的中点 故E 为1CC 的中点使1EA EB ⊥法二：由已知1111,EA EB B A EB ⊥⊥， 所以二面角11A EB A --的平面角θ的大小为向量11B A 与EA 的夹角因为11B A BA == 1(2EA =-- 故 11112cos tan 3EA B A EA B A θθ⋅==⇒⋅1121（本小题满分12分）在平面直角坐标系xoy 中，已知圆221:(3)(1)4C x y ++-=和圆222:(4)(5)4C x y -+-=.（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C截得的弦长为l 的方程；（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标。