中南大学2009年微积分3 期末试卷及参考答案
2009多元微积分期末考试试题参考解答
2009多元微积分期末考试试题参考解答 (A 卷) 2009年6月 21 日一．填空题（每空3分，共15题）1. 设函数),(y x f 在2ℜ上连续，交换累次积分的顺序=⎰⎰--21011),(y dx y x f dy ⎰⎰---22111),(x x dy y x f dx2. 累次积分⎰⎰=1012yx dx e dy 21-e 注：交换积分次序即可算出积分值。
3. 记Ω为单位球: 1222≤++z y x ，则三重积分⎰⎰⎰Ω++dxdydz z y x )sin(=0 。
注：注意到积分区域和被积函数的对称性可知积分为零。
4. 设+L 为平面曲线1222=+y x ，方向为逆时针方向，则=+-⎰+L y x ydx xdy 222π2 5. 设三元函数)(3)2(ℜ∈C u 满足方程 3222222=∂∂+∂∂+∂∂zuy u x u ，∑为单位球面，n 为其外单位法方向，则dS n∑∂=π4。
注：利用Gauss 公式。
6. 设L 为曲线y x y x 8622+=+，则=⎰Ldl x π30。
注：写出曲线的参数方程，再根据计算公式即可算出积分。
7. 设Ω是由锥面22y x z +=与半球面222y x R z --=围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则⎰⎰+∑=∧+∧+∧dy zdx dx ydz dz xdy 3)22(R π- 注：利用Gauss 公式。
8. 设 k z j y i x V 222++=，则=V rot 09. 设 k x z j z y i y x V 222++=，则=V div zx yz xy 222++10. 初值问题,0'2''=++y y y 1)0(=y ，1)0('=y 的解为xe x y -+=)21(。
11. 一阶常微分方程组⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=y x dtdy y x dt dx324的通解为t t e c e c -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1211251 12. 二阶线性常微分方程 0'2=++''y y x y x )0(>x 的通解为)sin(ln )cos(ln 21x c x c +。
微积分试卷及答案4套
微积分试卷及答案4套(共14页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--2微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1. 已知,)(lim 1A x f x =+→则对于0>∀ε，总存在δ>0，使得当时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。
2. 已知2235lim2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。
3. 若当0x x →时，与 是等价无穷小量，则=-→ββα0limx x 。
4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f ax 。
5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。
6. 设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则=-+→hx f h x f h )()3(lim000______________。
7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。
8. ='⎰))((dx x f x d 。
9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52+=Q C ，则当利润最大时产量Q 是 。
二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。
(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2. 设11)(-=x arctgx f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。
3(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点3. =+-∞→13)11(lim x x x（ ）。
(A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D)3e4. 对需求函数5p eQ -=，需求价格弹性5pE d -=。
2008-2009微积分期末考试及答案
2008-2009微积分期末考试及答案一、填空题(将正确答案写在答题纸的相应位置. 答错或未答，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. =→xx x 1sinlim 0________.2. 设1)1(lim)(2+-=∞→nxx n x f n ，则)(x f 的间断点是________.3. 已知(1)2f =，41)1('-=f ,则12()x dfx dx-== _______.4. ()axx '=_______.5. 函数434)(x x x f -=的极大值点为________.二、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题3分，共15分.） 1. 设)(x f 的定义域为)2,1(, 则)(lg x f 的定义域为________. A.)2lg ,0( B. ]2lg ,0[ C. )100,10( D.)2,1(.2. 设对任意的x ，总有)()()(x g x f x ≤≤ϕ，使lim[()()]0x g x x ϕ→∞-=，则lim ()x f x →∞______.A.存在且一定等于零B. 存在但不一定等于零C.不一定存在D. 一定存在. 3. 极限=-→xxx xe21lim0________.A. 2eB. 2-eC. eD.不存在. 4. 设0)0(=f ，1)0(='f ，则=-+→xx f x f x tan )2()3(lim 0________.A.0B. 1C. 2D. 5.5. 曲线221x y x=-渐近线的条数为________.A ．0B ．1C ．2D ．3. 三、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求2sin 1limsin xx e x x→--.四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求21lim (cos )x x x +→.五、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）确定常数,a b , 使函数2(sec )0()0x x x x f x ax bx -⎧>=⎨+≤⎩处处可导.六、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 设21()arctan ln(1)2f x x x x =-+,求dy .七、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 已知2326x xy y -+=确定y 是x 的函数,求y ''. 八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 列表求曲线523333152y x x =-+的凹向区间及拐点.九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，10分.）某工厂生产一种产品的总成本函数为Q Q C 21200)(+=，需求函数为QP 100=，其中Q 为产量，P 为价格，求（1）生产该产品的最优产量和最大利润. (2)该产品在销售价格2=P 时需求对价格的弹性，并指出其经济意义. 十、证明题（请写出推理步骤及结果，共6+6=12分.）1. 设)(x f 在[,]a b 上连续，且(),(),f a a f b b <>证明在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使()f ξξ=.2. 设函数)(x f 在]1,0[上连续,在)1,0(内可导, 且0)1(=f ,求证:至少存在一点)1,0(∈ξ,使得3'()()0f f ξξξ+=.2008－2009微积分期末考试及答案一、填空题（3×5=15）1、02、 0x = 3 、4- 4、()1ln 1ax a x xa x -⋅+ 5、3x =二、单项选择题（3×5=15）1、C2、C3、A4、B5、D三、（8×1=8）22sin 1sin 1limlim2sin cos lim 62sin 1lim822xxx x xx xx e x e x xxe xx e x→→→→----=-=+== 分分分四、（8×1=8）()2ln cos 1lim1sin cos lim112lim (cos )268x x x xx x x xx e e e+→++→→-⋅--=== 分分分五、（8×1=8）因为()f x 在(),-∞+∞处处可导，所以()f x 在0x =处连续可导。
微积分下学期末试卷及答案
微积分下期末试题（一）一、填空题(每小题3分,共15分)1、 已知22(,)y f x y x yx +=-,则=),(y x f ___2(1)1x y y -+__________.2、 已知, π=⎰∞+∞--dx ex 2则=⎰∞+--dx e x x21______π_____.3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在 点取得极值.4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f __1______.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________."6'0y y y -+= 二、选择题(每小题3分,共15分 6知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( C ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( B ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值)32,31(-8、若22223111x y I x y dxdy +≤=--⎰⎰,222232121x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,222233241x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,则下列关系式成立的是( A).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C)123I I I <<(D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( D ). (A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛，则∑∞=-1)1(n nna ( D ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x=的函数为23,0x y y =>。
2009讨论课(6a)参考答案
微积分３复习题参考答案说明：1．这份复习题仅包含期中考试后的内容，但不是全部考试范围。
期末考试范围另有说明． 2．复习题仅帮助大家复习提高，与期末考试的题型和内容没有直接关系． 3．这份复习题不能取代平时作业和基本概念、基本运算的训练． 4．没有解答和答案的题目一般不再发布解答和答案．重积分1．⎰⎰--Dy x y x a d d 4222,其中}}0,)(|),{(222≥≤+-=y a y a x y x D (382()323a π-) 2．计算区域4222≤++z y x 和z y x 322≤+的公共部分的体积.解：220319d 6r I πθπ==⎰⎰ 3．计算⎰⎰⎰Ω+-V y x z d ||22．其中Ω为区域10,2022≤≤≤+≤z y x ．解I ⎰⎰⎰≤+++-=11222222d )(d d y x y x z y x z yx 2201d d )d x y x z z +≤+⎰⎰22112d d )d x y x y z z ≤+≤+=⎰⎰⎰15)6π 4．积分⎰⎰⎰+------+=22221221111d )(d d y x x x z y x f y x I 在球坐标系下累次积分为（⎰⎰⎰-ϕπππϕϕϕθsec 024320d sin )sin (d d r r r f ）5．设)(t f 连续且2)0(=f ，}0,0|),,{222t y x h z z y x t ≤+≤≤≤=Ω（，}|),{(222t y x y x D t ≤+=,令V y x f z t F t ⎰⎰⎰Ω++=d )]([)(222，⎰⎰+=tD y x f t G σd )()(22．求)()(lim0t G t F t +→．解：V y x f z t F t ⎰⎰⎰Ω++=d )]([)(222rr r f z z th d )]([d d 022200⎰⎰⎰+=πθ⎰⎰⎰+=tthr r r f h r r z z 00202]d )(d d [2π⎰⎰⎰⎰⎰==+=tt D r r r f r r r f y x f t G t002022d )(2d )(d d )()(πθσπ)()(lim0t G t F t +→⎰⎰⎰⎰+=+→tt th t r r r f r r r f h r r z z 0002020d )(d )(d d lim h h rr r f r r r f h r r h t t t t +=+=⎰⎰⎰+→300023061d )(d )(d 31lim 6. 计算⎰⎰⎰ΩV z d 2．其中3,4:22222≤+≤++Ωy x z y x （π15124） 7．计算⎰⎰⎰Ω+V z y d 22．其中21,:222≤≤≤+Ωx x z y （π25，交换积分顺序）8．将质量均匀的旋转抛物体122≤≤+z y x 放在水平桌面上，求证当它处于稳定状态时，轴线与桌面的夹角为26arctan =θ．第一型曲线曲面积分1． 设L 是抛物线)11(2≤≤-=x x y ,x 增加方向为正向.则=+⎰Ll y x d )(3/21(51)6- ; 2．设S 为球面1)()()(222=-+-+-c z b y a x ,则⎰⎰=++S S z y x d )()(4c b a ++π3．设S 为半球面221y x z --=, 则⎰⎰++SS z y x d )(=π4．锥面22y x z +=包含在柱面y y x 222=+内的面积等于(π2)5．计算⎰⎰+SS y x d )(22,其中S 是锥面)(322y x z +=被平面3=z 截下的部分.（9π）第二型曲线积分1 设曲线积分⎰+Ldy x yf dx xy )(2与路线无关,并且0)0(,1=∈f C f ,计算⎰+)1,1()0,0(2)(dx x yf dx xy (21)2．若 y x y u x u -=∂∂+∂∂2222，求⎰=+∂∂xy x dl n u222 ．（逆时针方向）（3． 设L 是如图表示的逐段光滑的有向闭曲线,计算dx yx yy x y dy y x x y x x L))1()1(1())1()1(1(22222222++-+---++-+--⎰ （0）4. 设L 为222a y x =+，顺时针．则=⎰+-++-L x y yx y xy x y x y x e d sin d 22222222（212a π-）5. 0)(>x f 连续，1:22≤+y x D 。
《微积分Ⅲ》期末考试试卷5页word文档
《 微积分Ⅲ》课程期末考试试卷一、填空题（每小题5分，将答案填在横线上）(1) 设l 为椭圆1422=+y x 的一周，其全长为a ，则平面第一型（即对弧长的）曲线积分=-⎰cds yx 2)2(.(2) 已知()()y d e xe x d e ye x y y x ++---为某二元函数),(y x u 的全微分，且.1)0,0(=u 则=),(y x u .（3）设),,(z y x u u =具有二阶连续偏导数，且满足,222222222z y x zu y u x u ++=∂∂+∂∂+∂∂ S 为球面)0(2222>+++a a z y x 的外侧，则第二类曲面积分=∂∂+∂∂+∂∂⎰⎰Sy x z ux z y u z y x u d d d d d d .（4）设)(y ϕ具有连续的一阶导数，,1)1(=ϕ l 为自点(0, 0)沿曲线x x y 232-=到点(1, 1)的有向弧，则平面第二型曲线积分.d ))((d ))(2(2=-'+-⎰ly y y x x y y x ϕϕ二、选择题（每小题5分, 每小题所给4个选项中只有1个是符合要求的, 请将所选代码填入【 】中）.(5) 设 }0|),{(22>+=y x y x D ，l 是D 内的任意一条逐段光滑的封闭曲线，则必有 (A) 0)()(22=+++-⎰ly x dy y x dx y x (B) 0)()(22≠+++-⎰ly x dyy x dx y x(C) 0)d d (44=+-⎰ly x x y y x xy . (D).0)d d (44≠+-⎰lyx x y y x xy 【 】 (6) 设S 为上半球面),0(,0,2222>≥+++a z a z y x 下列第一型曲面积分或第二型曲面积分不为0的是 (A) .d d ⎰⎰上侧S z y x(B)⎰⎰上侧S z y y .d d 2(C) ⎰⎰SS y .d(D)⎰⎰SS y x .d 【 】(7) 设),(y x P 与),(y x Q 在平面区域D 上连续且有连续的一阶偏导数，则“当yP x Q ∂∂=∂∂ D y x ∈),(”是“对于D 内的任意一条逐段光滑的闭曲线l ,0d ),(d ),(=+⎰ly y x Q x y x P ”的(A) 充分条件而非必要条件. (B) 必要条件而非充分条件.(C) 充分必要条件. (D)既非充分有非必要条件. 【 】(8) 设空间区域}0,0,0,9|),,{(222≥≥≥≤++=Ωz y x z y x z y x ，函数)(x f 为正值的连续函数，则.)()()()(3)(2)(=++++⎰⎰⎰ΩdV z f y f x f z f y f x f(A) .29π (B) .9π (C) .227π(D) .27π 【 】三、解答题（以下各小题每题10分，解题时应写出必要的解题过程）.(9) 设Ω是由曲面)(2122y x z +=与8=z 所围成的空间有界闭区域，求⎰⎰⎰Ω+V y x d )(22.(10) 设S 是锥面)10(22≤≤+=z yx z 的上侧，求.d d 3d d 2d d ⎰⎰++Sy x z x z y z y x(11) 设L 为空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧=++=xy x yx z 22222，自z 轴正向往负向看，L 是逆时针的，求.d d d 222z z y x x y L++⎰(12)设l 为自点)0,1(-A 沿圆周4)1(22=+-y x 的上半个到点)0,3(B 的有向弧段，求.4d d 22⎰+-lyx xy y x （13）设S 为曲面),10(),(2122≤≤+=z y x z 求第一型曲面积分.d )12(⎰⎰+SS z（14）设)(u f 具有连续的一阶导数，点)1,1(A ，点)3,3(B ，l 为以AB 为直径的左上半个圆弧，自A 到B ，求.d ))(1(d ))(1(⎰+-+ly x yxf y x y y x f x 参考解答： 一．（1） a ； （2）1+--y x xe ye ； （3）554a π； （4）21.二． C A B B 三．（9） 解1：原式31024d d r d 82r 403202==⎰⎰⎰z r πθ 解2：原式＝31024d r d d 2032080==⎰⎰⎰zr z πθ （10）解1：高斯公式.1,1:221≤+=y x z S ，下侧，V ：1:,12222≤+≤≤+y x D z y x xy原式⎰⎰⎰⎰-=+11S S S ⎰⎰⎰⎰⎰---=ΩxyD V σd 3d 6ππθπ=+-=⎰⎰⎰3d d r d 61r120z r解2：化第一类曲面积分.1:,0:22222≤+=--y x D y x z S xy ，},,{210z y x zn --=ρ原式⎰⎰++=SS z y x d )cos 3cos 2cos (γβα⎰⎰⎰⎰+=+--=SSS y x zS z y x zd )2(121d )32(12122222⎰⎰++=yx D y x y x σd 22222πθθπ=+=⎰⎰1222d )cos 1(r d 4r（11）解1：Stokes 公式x y x D y x y x z S xy 2:),(,:2222≤+∈+=上侧 原式⎰⎰∂∂∂∂∂∂=Szx y z y x yx x z z y 222d d d d d d ⎰⎰-=S y x y x d d )22(⎰⎰-=y x D y x y x d d )22(⎰⎰=yx D y x x d d 2πθθθπ2d cos r d 4cos 20220==⎰⎰r解2：直接法.π20:,2cos 2,sin ,cos 1:→==+=t t z t y t x L 原式ππ2t)d cos t (2cos 2032=+==⎰t Λ（12）解：yPy x x y x Q ∂∂=+-=∂∂22222)4(4, )0,0(),(≠y x ， 积分与路径无关. 设),0(44:22≥=+y y x L AC )0,1()0,1(C A →- 0:,sin 2,cos →==πt t y t x⎰⎰+=CBL AC原式⎰-=ACL x y y x d d 41＋0⎰+=022t)d sin 2t (2cos 41πt 2π-=（13）解：σd y x dS 221++=，2:),(21:2222≤++=y x D y x z S xy⎰⎰⎰⎰++++⋅=+SD yx d y x y x dS z σ22221]1)(212[)12( 202|)1(5221225r +⋅⋅=π)139(52-=π （14）解：2-=∂∂-∂∂yP x Q , )31:(:→=x x y AB , 22||=AB⎰⎰+=+ABBAL AB 原式0d d 2+-=⎰⎰y x D－π2=希望以上资料对你有所帮助，附励志名言3条：1、上帝说：你要什么便取什么，但是要付出相当的代价。
微积分参考答案
微积分参考答案微积分参考答案微积分是数学中的一门重要学科，它研究的是函数的变化和求解问题的方法。
在学习微积分的过程中，我们常常会遇到各种各样的问题，需要通过计算来得到准确的答案。
在这篇文章中，我将为大家提供一些常见微积分问题的参考答案，希望能对大家的学习有所帮助。
一、导数与微分1. 求函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 在 x = 2 处的导数。
解：首先，我们可以利用导数的定义来求解这个问题。
导数的定义是函数在某一点的斜率，可以通过求函数的极限来得到。
对于函数 f(x) = x^2 + 2x + 1，我们可以计算出其导数为 f'(x) = 2x + 2。
将 x = 2 代入导数公式中，得到 f'(2) = 2(2) + 2 = 6。
所以，函数 f(x) = x^2 + 2x + 1 在 x = 2 处的导数为 6。
2. 求函数 g(x) = e^x 在 x = 0 处的导数。
解：函数 g(x) = e^x 是一个指数函数，其导数等于其本身。
所以，函数 g(x) = e^x 在 x = 0 处的导数为 g'(0) = e^0 = 1。
所以，函数 g(x) = e^x 在 x = 0 处的导数为 1。
3. 求函数 h(x) = ln(x) 在 x = 1 处的导数。
解：函数 h(x) = ln(x) 是一个对数函数，其导数可以通过对数函数的导数公式得到。
根据对数函数的导数公式，我们可以计算出 h'(x) = 1/x。
将 x = 1 代入导数公式中，得到 h'(1) = 1/1 = 1。
所以，函数 h(x) = ln(x) 在 x = 1 处的导数为 1。
二、积分与定积分1. 求函数 f(x) = 2x 在区间 [0, 3] 上的定积分。
解：定积分可以理解为函数在某一区间上的面积。
对于函数 f(x) = 2x，在区间[0, 3] 上的定积分可以通过积分的定义来计算。
中南大学数学分析2009真题
2
三、 （15 分）已知 f ( x, y ) 在 P0 ( x0 , y0 ) 处取得极小值。假设 f 在邻域 U ( P0 ) 内有连续的二 阶偏导数，证明 f xx ( P0 )
(1 x) n 四 (0,1) ：时 n 2 n( n 1)
2、 已知 y 1 ，求
1
1
x y e x dx
x
f (t ) f (t )dt 3、 已知 f ( x)dx 条件收敛，计算极限 lim f (t ) f (t )dt
a
x a x a
4、 求空间曲线 x y z 6, z x y 在 P0 (1,1, 2) 处的法平面方程
一计算题10分共60sinsin已知dx其中是曲面的部分并取外侧二20分证明sin不一致连续三15分已知内有连续的二阶偏导数证明四20分求幂级数证明01
2009 年
一、计算题（10 分，共 60 分） 1、 计算极限 L lim
n
1 2 (n 1) (sin sin sin ) n n n n
2 2 2 2 2
5、 计算曲面 x y z 被柱面 x y 2 x 所截下那一部分的面积
2 2
2
2
6、 计算 I ( x z ) dydz ( y x) dzdx ( z y ) dxdy ，其中 是曲面 z 5 x y 上
2 2
z 1 的部分，并取外侧
n
恒有
S ( x) x ln x S (1 x) (1 x) ln(1 x) 1
2009年数学三试题答案、解析
2009年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、选择题：1~8小题，每小题8分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内。
（1）函数3()sin x x f x nx-=的可去间断点的个数为（）（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）无穷多个 【答案】C 【解析】3()sin x x f x xπ-=则当x 取任何整数时，()f x 均无意义故()f x 的间断点有无穷多个，但可去间断点为极限存在的点，故应是30x x -=的解1,2,30,1x =±3200131lim lim sin cos x x x x x x x ππππ→→--== 3211132lim lim sin cos x x x x x x x ππππ→→--== 3211132lim lim sin cos x x x x x x x ππππ→-→---== 故可去间断点为3个，即0，±1（2）当0x →时，()sin f x x ax =-与2()ln(1)g x x bx =-等价无穷小，则（）（A ）11,6a b ==- （B ）11,6a b ==（C ）11,6a b =-=-（D ）11,6a b =-=【解析与点评】考点：无穷小量比阶的概念与极限运算法则。
参见水木艾迪考研数学春季基础班教材《考研数学通用辅导讲义》（秦华大学出版社）例 4.67，强化班教材《大学数学强化 299》16、17 等例题。
【答案】A22220000sin sin 1cos sin lim lim lim limln(1)()36x x x x x ax x ax a x a axx bx x bx bx bx →→→→---===---- 230sin lim 166.x a ax a b b axa→==-=-36a b =-意味选项 错误。
再由21cos lim 3x a axbx→-=-存在，故有1cos 0(0)a ax x -→→，故a=1，D 错误，所以选A 。
2009—数三真题、标准答案及解析
数学三试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的，请把所选项前的字母填在答题纸指定位置上.
（1）函数 f (x) = x − x3 的可去间断点的个数为 sinπ x
(A)1.
(B)2. (C)3.
∫ （3）使不等式 x sin t dt > ln x 成立的 x 的范围是
1t
(A) (0,1) .
π (B) (1, ) .
2
(C) (π ,π ) . 2
(D) (π , +∞) .
（4）设函数 y = f ( x) 在区间[−1,3] 上的图形为
f (x)
1
O
-2 -1
123
x
则函数
F
(x)
.
三、解答题：15～23 小题，共 94 分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说 明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分 9 分）
( ) 求二元函数 f (x, y) = x2 2 + y2 + y ln y 的极值.
（16）（本题满分 10 分）
∫ 计算不定积分 ln(1 + 1 + x )dx (x > 0) . x
x sin tdt − ln x =
x sin t dt −
x1 dt
=
x sin t −1dt =
11− sin tdt > 0 成立时 x 的
1t
1t
1t
1t
xt
取值范围，由 1− sin t > 0 ， t ∈ (0,1) 时，知当 x ∈ (0,1) 时， f (x) > 0 .故应选(A).
微积分(三)02-《微积分三》课程期末练习答案_9
1+ ( 2 x)2 + ( 2 y)2 dxdy =
3
3
2π dθ
0
3 0
1+ 4 r2 ⋅ rdr = 3π (5
9
2
5 −1)
于是所求全表面积为：
S1
+
S2
=
3π 2
(6
2 +5
5 −1) ．
⎧x = cos t,
三、（12
分）设曲线段 l 为从
A(1,
0,
0)
沿曲线
⎪ ⎨
y
=
sin t, 到 B(0,1,
，其中
L
为从点
M
(1, 0)
沿曲线
y
=
k
cos
πx 2
(k
≠
1)
到点 N (−1, 0) ．
∫ ∫ 解： I =
L
xdy + (1− y)dx ∆
x2 (1− y)2
Pdx + Qdy ，
L
则有 ∂P = (1− y)2 = ∂Q ，
∂y [x2 + (1− y2 )]2 ∂x
因此积分与路径无关．
① 当 k > 1时，取路径 MM ′N′N 得
S0
:
⎧x2 + y2
⎨ ⎩z
=
0
≤
4,
法向向下，则由高斯公式得：
Q + ∫∫ yzdzdx + 3dxdy = ∫∫∫ zdV
S0
V
其中 V 为上半球体。于是：
∫ ∫ ∫ ∫∫ Q =
2π dθ
π
2 dϕ
2 ρ cosϕρ 2 sinϕdρ +
微积分下学期末试卷及答案
微积分下学期末试卷及答案一、填空题(每小题3分,共15分)1、 已知22(,)y f x y x yx +=-,则=),(y x f ___2(1)1x y y -+__________.2、 已知, π=⎰∞+∞--dx ex 2则=⎰∞+--dx e x x21______π_____.3、函数22(,)1f x y x xy y y =++-+在 点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f __1______.5、以xe x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是____________________."6'0y y y -+= 二、选择题(每小题3分,共15分 6知dxexp ⎰∞+- 0)1(与⎰-ep x x dx11ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( C ).(A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p >7 数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 ,0 0,4),(222222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( B ).(A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在(C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值)32,31(-8、若22223111x y I x y dxdy +≤=--⎰⎰,222232121x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,222233241x y I x y dxdy≤+≤=--⎰⎰,则下列关系式成立的是( A).(A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C)123I I I <<(D)213I I I <<9、方程xe x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( D ). (A) b ax y += (B) xe b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) xe bx ax y 323)(+=10、设∑∞=12n na收敛,则∑∞=-1)1(n nna ( D ).(A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 11、求由23x y =,4=x ,0=y 所围图形绕y 轴旋转的旋转体的体积.解：32y x=的函数为23,0x y y =>。
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1
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---○---○---
………… 评卷密封线………… 密封线内不要答题，密封线外不准填写考生信息，违者考试成绩按0分处理…………评卷密封
线…………
中南大学考试试卷
2008 ~2009学年 二 学期 微积分III 课程
（时间：09年6月15日，星期一，10：10—12：00，共计：110分钟）
一、填空题（本大题共5小题，每小题4分，总计20分）
1．设曲线L 为圆周)20(,sin ,cos π≤≤==t t a y t a x ，则
=+⎰
ds y x n L
)(22 ．
2．设L 为顺时针方向圆周422=+y x ，则xdy
ydx L
-⎰
＝ ．
3．∑是平面6=++z y x 在第一卦限的部分的上侧，把第二类曲面积分
dxdy z y x R dzdx z y x Q dydz z y x P I ),,(),,(),,(++=
⎰⎰∑
化成第一类曲面积分的表达式
I ＝ ．
4．设),,(z y x u u =具有二阶连续偏导，则=)(gradu rot ．
5．向量k xz j xy i y A ++= 2
的散度A div
＝ ．
2
二、选择题（在每个小题四个备选答案中选出一个正确答案，填在括号中），本大题共5小题，每小题4分，总计20分）
1．设L 为0x x =，30≤≤y ，则=⎰
ds L
4 （ ）
（A ）40x （B ）120x （C ）6 （D ）12 2．设L 为圆周222R y x =+,D 为L 所围的平面区域,则下列等式不成立的是 ( ) （A ）
ds R ds y x L L
⎰⎰
=+222)( （B ）
xdy d R dxdy y x
D
D
⎰⎰⎰⎰=+222
)(
（C ）若L 的方向为逆时针方向，则
ds R ds y x L L
⎰
⎰
=+222)(
（D ）
dr r d dxdy y x R D
⎰
⎰
⎰⎰
=
+0
320
22)(πθ
3．设∑为球面2222a z y x =++（0>a ），则
⎰⎰∑
S x d 2
的值为（ ）．
(A)
4
3
π4a ； (B) 4π3a ； (C) 4π2a ； (D) 4π4a ． 4．设曲面∑为上半球面2222R z y x =++（0≥z ），曲面1∑为曲面∑在第一卦限中的部分，
则下面正确的是（ ） （A ）
⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
d 4d S x S x
（B ）
⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
d 4d S z S z
（C ）
⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
d 4d S y S y （D ）⎰⎰⎰⎰∑∑
=1
d 4d S xyz S xyz
5．曲面积分
dxdy y x )(2
2+⎰⎰∑
数值上等于（ ）.
（A ）面密度22y x +=ρ的曲面∑的质量 （B ）均匀曲面1=ρ关于z 轴的转动惯量
（C ）流体以速度22()V x y k =+穿过曲面∑的流量 （D ）流体以速度22()V x y i =+穿过曲面∑的流量
3
三、（10分）计算曲线积分⎰L
z d s ，其中L ：由)0,0,(a A 沿螺线
ϕπ
ϕϕ2,sin ,cos k
z a y a x =
==，到点),0,(k a B 的一段.
四、（10分）计算曲线积分：
dz xy z dy zx y dx yz x L
)()()(222-+-+-⎰
，
其中L ：由)0,0,(a A 沿螺线ϕπ
ϕϕ2,sin ,cos k
z a y a x =
==，到点),0,(k a B 的一段.
五、(10分) 计算曲线积分：
⎰+-L y x x y y x 22d d ，
其中L 为1422=+y x ，取逆时针方向.
4
六、（10分）计算曲面积分：
⎰⎰∑
zdS ，
这里Σ是平面1=++z y x 位于第一卦限的那一部分。
七、（10分）计算曲面积分：
⎰⎰∑
++zdxdy ydzdx xdydz ，
这里Σ是由曲面22y x z +=和平面1=z 所围那部分立体的外表面。
八、（10分）证明：
2
2)()(y x dy
y x dx y x +--+，
在整个xoy 面内除x 的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元函数的全微分，并求出这样一个二元函数),(y x u .
5
2009年上学期微积分III 参考答案
一、1．1
22+n a
π；2．π8；3．
ds R Q P )(3
1++⎰⎰
∑
；4．O ；5．x 2。
二、1．D ；2．B ；3．A ；4．B ；5．C 。
三、（10分）解：π
π
ϕπππϕπ
ϕπ20
2222222
20
224242⋅+⋅=+⋅=
⎰
⎰
a k k d k a k ds z L
22242
a k k
π+=
四、（10分）解：这里xy z R zx y Q yz x P -=-=-=222,,，有
x
R
y z P z Q x y B x Q z y P ∂∂=-=∂∂∂∂=-=∂∂∂∂=-=∂∂,, 且为连续函数，∴积分与路径无关，从而取路径为
z y a x ,0,==从O 到k ，有
dz xy z dy zx y dx yz x
L
)()()(222
-+-+-⎰
dz xy z dy zx y dx yz x k a a )()()(222)
,0,()0,0,(-+-+-=⎰
3
3
2
k dz z k
==⎰
五、（10分）解：作辅助线2221:r y x L =+，1L 含在1422≤+y x 内。
且1L 的方向取顺时针方向，记1L 和L 所围区域为D ，则有：
2
222,y
x x
Q y x y P +=+-=
x
Q
y x x y y P ∂∂=+-=∂∂2
2222)(
πθπ2)(201
1=+∂∂-∂∂=-
=+∴⎰
⎰⎰
⎰⎰⎰+d dxdy y
P
x Q Qdy dx P D
L L L L
6
六、（10分）dy y x x d dxdy y x ds z x
y x y x )1(33)1(10
10
01
--=⋅--=
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰-≥≥≤+∑
6
3
)221(321
=
+-=
⎰
dx x x 七、（10分）
dz r r d d dv zdxdy ydzdx dydz x r
⎰
⎰⎰⎰⎰⎰
⎰⎰
==
++Ω
∑
1
10
20
2
33θπ
2
3)42(6)1(610422
1
0π
ππ=-=-=⎰r r dr r r
八、证明：这里2
222)
(,),(y
x y x Q y x y x y x P +--=++=
，则 x Q
y x y xy x y P ∂∂=+--=∂∂2
2222)
(2
在整个xoy 面内附加负半轴及原点外的开区域G 内连续，从而Qdy pdx +为某一个二元
函数),(y x u 的全微分
C dy y
x x y dx x C Qdy dx P y x u y x
y x ++-+=++=⎰⎰
⎰
0221
)
,()
1,0(1
),( C x
y y x
x y
+-++=02
2
]a r c t a n )[l n (ln
C x
y y x +-+=
a r c t a n )l n (2122。