量子力学导论Chap9-2
量子力学导论
量子力学的建立
➢ 1900年，普朗克能量量子化 ➢ 1905年，爱因斯坦光量子说 ➢ 1913年，玻尔提出原子结构模型 ➢ 1924年，德布罗意提出物质波概念 ➢ 1925-1928年，海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克 等人建立了完整的量子力学理论
量子力学的内容
1、产生新概念的一些重要实验。 2、不同于经典理论的新思想。 3、解决具体问题的方法。
§3.1、玻尔理论的困难
原因：将微观粒子看作经典力学中的质点，把经典力学 规律应用于微观粒子。
➢ 卢瑟福的质疑。 逻辑上的恶性循环
➢ 薛定谔的非难。
E2
h
E1
“遭透的跃迁”
玻尔理论不仅对这些逻辑上的矛盾和困难束手 无策，而且，当人们用这一理论去解释周期表中第 二号元素氦时，也遇到了无法克服的困难。
电子对晶体的衍射、单缝衍射及双缝干涉
量子力学是关于微观世界的基本理论，它能够正确地描 述微观世界粒子运动的基本规律，它正确地反映了实物粒子 波粒二象性的客观事实。它与某些经典物理概念是不相容的， 也突破了玻尔理论的局限性。
今天量子力学的发展不仅仅在基础科学方面，在其他 领域也有广阔的应用前景。
➢ “光电技术”领域 ➢“纳米物理与纳米技术”领域 ➢“分子器件” 小尺度发展领域 ➢“量子生物”、“量子化学”交叉学科 等等无一不是立足于量子力学的概念与方法。也可以说， 量子物理的科学已与我们今天的生活息息相关。
海森堡
玻恩 M.Born (1882-1970) 薛定谔
狄拉克 PAUL DIRAC (1902-1984)
WERNER HEISENBERG ERWIN SCHRODINGER
(1901-1976)
(1887-1961)
5
第三章：量子力学导论
1926 年夏天，戴维逊出席了在牛津大学召开的不列颠协会的科学进展 会议。在那里，他同玻恩、弗兰克以及其他人讨论了他的电子散射的研究。 他详细地听取了关于电子具有波动性的德布罗意假设，通过牛津大学会议 的讨论使戴维逊相信他的实验结果是由于晶格的电子衍射造成的，这就证 实了德德布罗意的假设，所以戴维逊对电子束衍射所作的真正有价值的探 讨是从牛津会议开始的。翌年初，戴维逊与革谋 (Germer) 一起，进行镍单 晶的电子衍射实验，从实验中所得到的数据表明，德布罗意公式入=h/mv在 测量准确度范围内是正确的。同年3月，他们便提出了一个研究结果的初步 摘要，不久又提出全文报告，第一次确定了运动电子的波动性，跟德布罗 意的理论相一致。获得了1937年的诺贝尔物理奖。
物质波的实验验证：戴维逊－革末实验
戴维逊（左）手持电子衍射管，右为他的助手革末
1923年Clnton Davisson 发表了电子从镍片反射的角分 布实验情况，他发现弹性反射电子束强度在某些角度 出现了极大值。玻恩（ Born ）认为是一种干涉现象， 可能与德布罗意波有关，这引起了戴维逊和革末 （ Lester Germer）继续对电子在镍单晶表面散射进行 研究。
物质波的实验验证——原子尺度上的物质波
Realization of quantum Wheeler's delayed-choice experiment
A Quantum Delayed-Choice Experiment
Entanglement-enabled delayed choice experiment
人：
4
m= 50Kg， v =15 m/s
o h h 8.81027 A p m
Why Study Ultra-Cold Gases?
第三章量子力学导论教材
五 应用举例
1932年德国人鲁斯卡成功研制了电子显微镜 ; 1981年德国人宾尼格和瑞士人罗雷尔制成了扫 描隧道显微镜。 他们三人获1986年诺贝尔物理 奖。
第三节 不确定关系
海森堡（W.K.Heisenberg， 1901--1976）德国理论物理学家。 他在1925年为量子力学的创立作 出了最早的贡献，于26岁时提出 的不确定关系和物质波的概率解 释，奠定了量子力学的基础。为 此，他于1932年获诺贝尔物理学 奖。
4 德布罗意波的实验证明
（1） 戴维孙 — 革末电子衍射实验（1927年）
U
K
电子束
M
电子枪 检测器
G
散 射 线
电子被镍晶体衍射实验
将54eV电子束（λ ＝0.167nm）直射在镍单晶上，按
布喇格衍射公式， 2d sin n, d a sin,
取a=0.215nm （镍晶格常数）,算得 50.9 0 ,
玻尔曾用过的角动量 量子化条件。
mvr n h n
2
（2）把
p
nh
2r
n r
代入氢原子总能量表达式
E
p2 2m
e2
4 r
n22 2mr 2
e2
4 r
由dE / dr 0 给出
rn
2 m
4
e2
n2
a1n2
0.053 n2nm
这正是玻尔的量子化的轨道半径。
经典力学中，物体位置、动量确定后，物体以后 的运动位置就可确定。但微观粒子，具有显著的 波动性，不能同时确定坐标和动量。实物粒子波 粒二象性包含更深层的物理含义。
量子力学-斯坦福大学-Chapter
量子传感器
01
原子力显微镜
利用原子力探测样品表面形貌的仪 器。
光学陀螺仪
利用光学干涉效应测量角速度的传 感器。
03Biblioteka 02磁场传感器利用量子力学原理测量磁场强度的 传感器。
原子钟
利用原子能级跃迁频率稳定的特性 制成的计时装置。
04
量子力学的未来发展
05
量子计算机的未来发展
01
量子计算机的潜力
量子计算机利用量子比特进行计算，有望在密码学、优 化问题和量子模拟等领域实现超越经典计算机的能力。
演化定理
总结词
演化定理描述了量子系统状态随时间的演化 规律。
详细描述
演化定理，也称为时间演化算子，说明了量 子系统的状态随时间的变化规律。具体来说， 演化定理指出，一个量子系统的状态在任意 时刻都可以表示为其初始状态和时间演化算 子的乘积。这个时间演化算子是由系统的哈 密顿量决定的，它描述了系统能量的变化。
双缝实验进一步加深了人们对量子世界的理解，是探索量 子力学基础问题的重要实验之一。
04 量子力学的应用
量子计算
量子计算
利用量子力学原理进行计算的新型计算模式。
量子算法
量子计算机
利用量子比特作为信息的基本单位，实现高 速并行计算。
利用量子力学原理设计的高效算法，可解决 传统计算机难以处理的复杂问题。
量子力学的解释和完备性
随着量子力学的发展，关于其解释和完备性的讨论也在不断深入， 涉及到哲学、物理学和认知科学等多个领域。
谢谢聆听
02
量子纠错码
利用量子力学原理设计的错误纠正码，可提 高量子计算机的可靠性。
04
03
01
量子密码学
量子力学导论
（2）单电子双缝实验
现代实验技术可以做到一次一个电子通过缝
7个电子在观 察屏上的图像
100个电子在 屏上的图像
屏上出现的电子说明了电子的粒子性
3000
20000
70000
随着电子数目的增多，在屏上逐渐形 成了衍射图样
说明 “一个电子”就具有的波动性
（3）正确理解微观粒子的波粒二象性 1) 粒子性
2）物质世界的层次与量子力学 ①宏观、低速物体（>10-6m，布朗颗粒 ） ----牛顿力学
②微观物体（原子尺度~10-10m=1Å ） ----量子力学 ③介观物体（分子团簇~10-7~10-9m ） ----量子力学效应明显 纳米技术 ④标志量子效应的特征量 h~Planck常数 量纲=[能量]· [时间] =[动量]· [长度] =[角动量]
量子力学原子、分子、原子核、固体
量子电动力学(QED)电磁场
量子场论原子核和粒子
进一步认识的问题．．．．
交叉学科：量子化学、量子光学、量子计算、量子信息、量 子统计力学、磁性量子理论……
§11 经典物理学的困难
一. 经典物理学的成功 19世纪末，物理学理论在当时看来已经发展到相 当完善的阶段。主要表现在以下两个方面：
基本 数据
a 0.3μ m V 50kV
dபைடு நூலகம் 1μ m
0.05 A
o
质子、中子、原子、分子„也有波动性
德布罗意获1929年 诺贝尔物理奖 戴维逊、汤姆逊 共同获1937年 诺贝尔物理奖
▲如何理解宏观粒子也具有波动性？ 对非相对论情况
m 2mE
按麦氏分布，最大能量（最可几）概率正 比于 kT 能量写为 E ckT h h 最大能量对应的波长 m m cmT 波粒二象性是普遍的结论 宏观粒子也具有波动性，m大时， 0
量子力学.ppt
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7
第一章 绪论
§1.1 量子力学发展简史
§1.2 经典物理学的困难 §1.3 光的量子性 §1.4 玻尔的量子论
§1.5 微观粒子的波粒二象性
§1.6 波函数的统计解释
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8
§1.1 量子力学发展简史
1896年 1897年
气体放电管，发现阴极射线。
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25
普朗克能量子假说 * 辐射物体中包含大量谐振子，它们的能量取分立值
* 存在着能量的最小单元（能量子=h)
* 振子只能一份一份地按不连续方式辐射或吸收能量
从理论上推出：
M 0 (,T ) 2hc 2 5
1
hc
e kT 1
k和c 分别是玻尔兹曼常数和光速。
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J.J Thomson 通过测定荷质比， 确定了电子的存在。
1900年
M.Plank 提出了量子化假说， 成功地解释了黑体辐射问题。
1905年 A.Einstein 将量子化概念明确为光子 的概念，并解释了光电效应。
同年创立了狭义相对论。
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9
1911年 E.Rutherfold 确定了原子核式结构
b 2.897 103米开
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23
经典物理遇到的困难
实验
瑞利和琼斯用
M 0 (,T )
能量均分定理
电磁理论得出：
M0
(,T
)
2ckT 4
只适于长波，有所谓的 “紫外灾难”。
T=1646k
大学物理_量子力学导论
5
(104
cm)
10
Planck 1900年
•1900年１２月１４日Planck 提出： 如果空腔内的黑体辐射和腔壁原子 处于平衡，那么辐射的能量分布与腔 壁原子的能量分布就应有一种对应。 作为辐射原子的模型，Planck 假定： （1）原子的性能和谐振子一样，以 给定的频率 v 振荡；
p = E/C = hv/C = h/λ
提出了光子动量 p 与辐射波长λ（=C/v）的关系。
光电效应理论
用光子的概念，Einstein 成功地解释了光电效应的规律。
当光照射到金属表面时，能量为 hν的光子被电子所吸 收，电子把这份能量的一部分用来克服金属表面对它的 吸引，另一部分用来提供电子离开金属表面时的动能。 其能量关系可写为：
“ 总而言之，我们可以说，在近代物理学结 出硕果的那些重大问题中，很难找到一个问题是爱 因斯坦没有做过重要贡献的，在他的各种推测中， 他有时可能也曾经没有射中标的，例如，他的光量 子假设就是如此，但是这确实并不能成为过分责怪 他的理由，因为即使在最精密的科学中，也不可能 不偶尔冒点风险去引进一个基本上全新的概念 ”
（2）以 E = hv 为能量单位不连续 的发射和吸收辐射能量
•Planck辐射定律
能 量 密 度
Planck 线
8h 3 1 d 3 exp(h / kT ) 1 d C
0 5
(104 cm)
10
讨论：
8h 3 1 d 3 exp(h / kT ) 1 d C
相对论量子力学
E>V E<V 前进? 后退? 后退? 前进?
量子力学:死还是活?
量子力学导论
Quantum Mechanics
► Heisenberg uncertainty principle
(proof ref. chap 3)
standard deviation the variance of distribution, where individual physics quantity
2 (j)2 ( j j )2 ( j2 2 j j j 2) j2 2 j j j 2 j2 j 2
Quantum Mechanics
so
standard deviation in position
wave function
Introduction to Quantum Mechanics / David J.
operator (iii) the condition of wave function which
Chap 1 - The Wave Function
can
be
norremaplizraeblse ent
量子力學導論
Textbook Introduction to Quantum Mechanics / David J. Griffiths Prentice Hall / 1995
Reference Principles of Quantum Mechanics
- as applied to chemistry and chemical physics Donald D. Fitts Cambridge University Press / 1999
Chap 1 - The Wave Function ► Schrödinger equation Classical mechanics: Newton’s second law :
量子力学导论答案
i
* 2 2 * V1 iV2 * t 2m
（2）
* （1）- （2）,得 i
* 2 * 2 2 * 2i *V2 t 2m 2 * * 2iV2 * 2m
（3）
2 （3） 1* （2）,得
i
对空间积分：
* 2 1 2 2 2 1* 1* 2 2 t 2m
2V * * * 2 * t 2im
（3）
即
2V j 2 0 ， t
6
此即几率不守恒的微分表达式。 （b）式（3）对空间体积 积分，得
2 d 3 r * * * d 3 r d 3 rV2 * t 2im 2 * * d S d 3 rV2 * 2im S
（能量密度）
w
2 * *V 2m w s 0 t
（b）证明能量守恒公式
2 * * s 2m t t
证： （a）粒子的能量平均值为（设 已归一化）
（能流密度）
2 2 3 E * 2m V d r T V
m 1, 2 , 3 ,
p mh ，
2 E m p / 2I m 2 2 / 2I ，
m 1, 2 , 3 ,
4
第二章 波函数与 Schrödinger 方程
2.1 设质量为 m 的粒子在势场 V ( r ) 中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为
量子力学ppt课件
一粒沙里有一个世界 一朵花里有一个天堂 把无穷无尽握于手掌 永恒宁非是刹那时光 (荷兰，乌仑贝克，1925年电子自旋发现者）
一． 黑体辐射问题
黑体：一个物体能全部吸收辐射在它上面的电磁波而无反 射。 热辐射：任何物体都有热辐射。 当黑体的辐射与周围物体处于平衡状态时的能量分布：
热力学+特殊假设→维恩公式, (长波部分不一致). 经典电动力学+统计物理学→瑞利金斯公式（短波部分完 全不一致） 二．光电效应
光照在金属上有电子从金属上逸出的现象，这种电子叫光 电子。光电效应的规律： （1）存在临界频率 ； （2）光电子的能量只与光的频率有关，与光强无关，光 频率越高，光电子能量越大，光强只影响光电子数目。光 强越大，光电子数目越多。
1921诺贝尔物理学奖
• A.爱因斯坦 • 对现代物理方面的
贡献，特别是阐明 光电效应的定律
二、爱因斯坦光量子理论
爱因斯坦在普朗克能量子论基础上进一步提出光量 子（或光子）的概念。辐射场是由光量子组成的，光 具有粒子特性，既有能量，又有动量。
光是以光速 c 运动的微粒流，称为光量子（光子）
光子的能量 h 说明光具有微粒性
m m0
1
v2 c2
h
n
c
h 0
c
n0
X
mv
0
2h m0c
sin2
2
康普顿散射公式
c
h m0c
量子力学导论-2
例题1
设子弹的质量为0.01㎏,枪口的直径为0.5㎝。 试求子弹射出枪口时的横向速度的不确定量。
解 ： 枪口直径可以当作子弹射出枪口时位置的不确定
量 x。 由于 px mx
根据不确定性关系得
1.051034 J s
x 2mx 20.01kg0.5102 m
Steven Chu (朱棣文)
Stanford University USA
C. Cohen-Tannoudji
Ecole Normale Superieure & College de France France
Williams Phillips
National Institute of Standards & Technology USA
数百个电子
同一个电子重复许多次相同实验表现 出的统计结果，是自己与自己干涉
数万个电子
电 子 双 缝 干 涉 图 样
出现概率小 电电子子数数N=N7132=070000000
出现概率大
哥本哈根思想三大核心之一：概率= 2
哥本哈根描述：单个电子从电子枪出发后，到底如何运动 的？只有用波的形式描述才能精确的解释干涉条纹！在没 有被我们试图观测的时候，电子以一种我们无法描述也无 法观测的方式运动，同时穿过双缝，自己和自己干涉，在 波长差满足整数关系的地方，落点变成电子的概率比较高， 波函数“坍缩”，波动性消失，成为一个观测屏幕上的光 点！波长差满足半波长奇数倍的地方，波函数接近0，电子 到达此处的概率少！ 哥本哈根描述：一旦我们试图观测这个过程，电子就不会 以一种我们无法描述也无法观测的方式运动，同时穿过双 缝自己和自己干涉，而是立刻波函数“坍缩”，电子波动 性消失，只能通过一条缝隙，不再发生干涉现象！
量子力学导论 第九章 chap9 力学量本征值问题的代数解法范文
第九章 力学量本征值问题的代数解法§9.1 一维谐振子的Schrödinger 因式分解法 升、降算符一、Hamilton 量的代数表示 一维谐振子的Hamilton 量可表为2222121x p H μωμ+=采用自然单位（1===ωμ ），（此时能量以ω 为单位，长度以μω/ 为单位，动量以ωμ 为单位）则222121x p H +=而基本对易式是[]i p x =,。
令)(21ip x a +=，)(21ip x a -=+ 其逆为)(21a a x +=+，)(2a a ip -=+。
利用上述对易式，容易证明(请课后证明)1],[=+a a将两类算符的关系式)(21a a x +=+，)(2a a ip -=+ 代入一维谐振子的Hamilton 量222121x p H +=，有 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+21ˆ21N a a H上式就是Hamilton 量的因式分解法，其中a a N+=ˆ。
由于N Nˆˆ=+，而且在任何量子态ψ下 0),(),(≥==+ψψψψa a a a N所以Nˆ为正定厄米算符二、Hamilton 量的本征值下面证明，若N ˆ的本征值为n ， ,2,1,0=n ，则H 的本征值nE 为（自然单位，ω ） ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=21n E n ， ,2,1,0=n证明：设|n >为Nˆ的本征态( n 为正实数)，即 n n n N=ˆ 利用1],[=+a a 及a a N+=ˆ容易算出 ++=a a N],ˆ[，a a N -=],ˆ[ 因此n a n a N-=],ˆ[。
但上式 左边n na n a N n N a n a N-=-=ˆˆˆ 由此可得n a n n a N)1(ˆ-=。
这说明，>n a |也是Nˆ的本征态，相应本征值为)1(-n 。
如此类推，从Nˆ的本征态>n |出发，逐次用a 运算，可得出N ˆ的一系列本征态 >n |，>n a |，>n a |2，…相应的本征值为n ，1-n ，2-n ，…因为Nˆ为正定厄米算子，其本征值为非负实数。
[理学]量子力学导论
![[理学]量子力学导论](https://img.taocdn.com/s3/m/58f0750b5a8102d276a22fcb.png)
称为定态波函数。
2. 薛定谔方程
以 E 表示体系的能量算符的第 n 个本征值，
n
n 是与 E 相应的波函数，则体系的第 n 个 n
定态波函数是
(r , t ) n (r )e
iEn
t
含时的薛定谔方程的一般解，可以写成这 些定态波函数的线性叠加：
(r , t ) cn n (r )e
是量子力学中的电荷守恒定律。
2.4.1
4.概率流密度与概率流守恒定律
令：
i J ( * * ) 2m
称为概率流密度，由（2.4.1）式得：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ J 0 t
2.4.2
（2.4.2）式就是概率流守恒定律。
4.概率流密度与概率流守恒定律
对上式两边同时对任意空间体积 V 积分
d dV JdS dt V S
A. 薛定谔方程式量子力学的基本假设之一， 但必须指出，我们并未建立薛定谔方程， 因为只知道微分方程的解是不足以建立微 分方程的。
B. 以上对应关系式（2.3）式，只是在直角 坐标系中的对应关系，在其他坐标系中不 一定成立。
2 i U (r , t ) t 2m
2
2.3 薛定谔方程
这是概率流守恒定律的积分表示 此式表明，在空间某体积 V 内发现粒子的 概率在单位时间内的增量，必定等于在同 一时间内通过 V 的边界 S 流入体积 V 的概 率。
4.概率流密度与概率流守恒定律
A. 若以粒子的质量 m乘 和 J ，则有：
m m m (r , t )
2
是在 t 时刻在点r 的质量密度。
* t t t
*
4。概率流密度与概率流守恒定律
第3章 量子力学导论
第三章 量子力学导论19世纪末的三大发现(1896年发现放射性，1897年发现电子，1900年提出量子化概念)为近代物理学的序幕。
1905年爱因斯坦在解释光电效应时提出光量子概念，1913年玻尔将普朗克-爱因斯坦量子概念用于卢瑟福模型，提出量子态观念，成功地解释了氢光谱。
此外，利用泡利1925年提出的不相容原理和同年乌仑贝克、古兹米特提出的电子自旋假说，可很好地解释元素周期性、塞曼效应的一系列实验事实。
至此形成的量子论称为旧量子论，有严重的缺陷。
在“物质粒子的波粒二象性”思想的基础上，于1925-1928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。
量子力学的本质特征在1927年海森堡提出的不确定关系中得到明确的反映，它是微观客体波粒二象性的必然结果。
量子力学的主要内容：1)相关的几个重要实验；2)有别于经典物理的新思想；3)解决具体问题的方法。
§3-1玻尔理论的困难玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点，把经典力学的规律用于微观粒子，使其理论中有难以解决的内在矛盾，故有重大缺陷。
如：为什么核与电子间的相互作用存在，但处于定态的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射（或吸收）电磁波的根本原因何在？……（薛定谔的非难“糟透的跃迁”：在两能级间跃迁的电子处于什么状态？）玻尔理论在处理实际问题时也“力不从心”，如无法解释氢光谱的强度及精细结构，无法解释简单程度仅次于氢原子的氦光谱，无法说明原子是如何组成分子及构成液体和固体。
……§3-2波粒二象性1.经典物理中的波和粒子经典物理学中，波和粒子各自独立，在逻辑上不允许同时用这两个概念描写同一现象。
粒子可视为质点，具有定域性，有确定的质量、动量、速度和电荷等，波可以在空间无限扩展，波有确定的波长和频率。
视为质点的粒子位置可无限精确地被测定，而在无限空间传播的波的波长和频率也能被精确地测定(因为波不能被约束)。
第三章量子力学导论
闽江学院教案课程名称：原子物理课程代码： 21100430授课专业班级： 2010级物理学（师范类）授课教师：翁铭华系别：电子系2012年8 月30 日第三章量子力学导论教学目的和要求：1．了解量子化物质波粒二象性的概念。
2．理解测不准原理；3．掌握波函数及物理意义；4．了解薛定谔方程；了解量子力学问题的几个简例；5．了解氢原子的薛定谔方程；了解量子力学对氢原子的描述。
教学重点和难点:1. 教学重点：波函数及统计解释2．教学难点：波函数及统计解释教学内容：1. 玻尔理论的困难2. 波粒二象性3. 不确定关系4. 波函数及其统计解释5. 薛定谔方程及应用19世纪末的三大发现(1896年发现放射性，1897年发现电子，1900年提出量子化概念)为近代物理学的序幕。
1905年爱因斯坦在解释光电效应时提出光量子概念，1913年玻尔将普朗克-爱因斯坦量子概念用于卢瑟福模型，提出量子态观念，成功地解释了氢光谱。
此外，利用泡利1925年提出的不相容原理和同年乌仑贝克、古兹米特提出的电子自旋假说，可很好地解释元素周期性、塞曼效应的一系列实验事实。
至此形成的量子论称为旧量子论，有严重的缺陷。
在“物质粒子的波粒二象性”思想的基础上，于1925-1928年间由海森堡、玻恩、薛定谔、狄拉克等人建立了量子力学，它与相对论成了近代物理学的两大理论支柱。
量子力学的本质特征在1927年海森堡提出的不确定关系中得到明确的反映，它是微观客体波粒二象性的必然结果。
量子力学的主要内容：1)相关的几个重要实验；2)有别于经典物理的新思想；3)解决具体问题的方法。
§3-1玻尔理论的困难玻尔理论将微观粒子视为经典力学中的质点，把经典力学的规律用于微观粒子，使其理论中有难以解决的内在矛盾，故有重大缺陷。
如：为什么核与电子间的相互作用存在，但处于定态的加速电子不辐射电磁波？电子跃迁时辐射（或吸收）电磁波的根本原因何在？……（薛定谔的非难“糟透的跃迁”：在两能级间跃迁的电子处于什么状态？）玻尔理论在处理实际问题时也“力不从心”，如无法解释氢光谱的强度及精细结构，无法解释简单程度仅次于氢原子的氦光谱，无法说明原子是如何组成分子及构成液体和固体。
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( j m ) !( j m ) !
0
( a1 a1 a 2 a 2 ) j z
1 2
ˆ ˆ (N1 N 2 )
推 论
j ( j x ij y ) a 1 a 2 j ( j x ij y ) a 2 a 1 ( j )
2) 性质 由上述定义，必然导出角动量的基本对易式
2) 推论 令角动量升、降算符
j j x ij y
1 2i ( j j )
jx
1 2
( j j ), j y
[ j z , j ] j
j j j j z j z
2 2
j j j j 2 j z
j j j j 2 ( j j z )
§9.2 角动量的本征值与本征态
1、角动量的基本对易式z , [ j y , jz ] ijx , [ jz , jx ] ij y 定 2 2 2 义 2
j jx j y jz
2
对 易 式
[ j , j ] 0, x , y , z
3) j2的本征态和本征值
又 1 2 jz 1 2 ( a1 a1 a 2 a 2 )
j 的 本 征 值 可 写 为 j ( j 1)，
2 2
ˆ ˆ (N1 N 2 )
2
n n 又 j ( 1) ( 1) 2 2 2 2
1)
2
ˆ N
ˆ N
和 j 则
2j 0 j
可见，m 有 (2j+1) 个取值
4) |jm> 态 反过来，也可 j 和 m 来表达 n1 和 n2
n1 j m , n 2 j m
n1 n 2 ( a1 ) ( a 2 ) n1 ! n 2 !
n1 n2
由
0
jm
( a1 )
jm
(a2 )
jm
二者的本征值 n1 , n 2 0,1, 2, 共同本征态
n1 n 2
( a1 ) ( a 2 ) n1 ! n 2 !
n1
n2
0
2) 新算符的引入
jx
定 义
1 2 1
( a1 a 2 a 2 a1 ) j x
jy jz
2i 1 2
( a1 a 2 a 2 a1 ) j y
ˆ N 2
(
ˆ N 2
n1 n 2 也 是 j 和 j z
0,1, 2, n j 1 3 5 2 , , , 2 2 2
的共同本征态
n n 2 j n1 n 2 ( 1) n1 n 2 2 2 j n n 1 (n n ) n n 1 2 1 2 z 1 2 2
由于 可用 n1 和 n2 来表达 j 和 m
j 1 2 ( n1 n 2 ), m 1 2 ( n1 n 2 )
相应地
n1 n 2
jm
4) m 的取值 设 j = (n1+n2)/2 给定，m 如何取值？ 组合列表
n1 0, n2 2 j, m j,
1, , 2 j 1, , j 1, ,
2 2
2、角动量本征值和本征态的代数解法 借助谐振子的代数解法 1) 二维谐振子的升降算符对易关系与粒子数算符
[ a i , a j ] ij , [ a i , a j ] [ a i , a j ] 0, i , j 1, 2
粒子数算符
ˆ aa , N aa ˆ N1 1 1 2 2 2
[ j , j ] i j , , , x , y , z
ˆ ˆ N N 2 2 2 2 j jx j y jz 1 2 2 ˆ N N aa aa ˆ ˆ N
1 2 1 1 2 2
本 征 值 n n1 n 2 0,1, 2, ,