椭球面上的测量计算
参考椭球面
处理大地测量成果而采用的与地球大小、形状接近并进 行定位的椭球体表面
01 简介
目录
02 椭球面测量计算
参考椭球面，surface of reference ellipsoid，处理大地测量成果而采用的与地球大小、形状接近并进 行定位的椭球体表面。
简介
地球体从整体上看，十分接近于一个规则的旋转椭球体。地球椭球由三个椭球元素：长半轴，短半轴和扁率 表示。形状、大小一定且已经与大地体作了最佳拟合的地球椭球称为参考椭球。我国的最佳拟合点，也称为大地 原点，位于陕西省咸阳市泾阳县永乐镇。
谢谢观看
基准面。
各国为处理大地测量的成果，往往根据本国及其他国家的天文，大地，重力测量结果采用适合本国的椭球参 数并将其定位。
我国在成立之前采用海福特椭球参数，新中国成立之初采用克拉索夫斯基椭球参数（其大地原点在前苏联， 对我国密合不好，越往南方误差越大）。目前采用的是1975年国际大地测量学与物理学联合会（IUGG）推荐的椭 球，在我国称为“1980年国家大地坐标系”。坐标原点即是前面提到的“陕西省咸阳市泾阳县永乐镇”。2008年 7月1日我国启动了2000国家大地坐标系，计划用8~10年完成现行国家大地坐标系到2000国家大地坐标系的过渡与 转换工作。（现在2011年，在我国很多的地方仍然采用的“54北京坐标系”坐标系的转换工作的难度和工作量可 想而知）
投影长度变形计算公式
高斯投影长度变形公式
长度变形来源于以下两个方面
1、实地测量的边长长度换算到椭球面上产生的变形，即∆s1；
改正数误差方程式(此式较复杂这里省略)经最小二乘列出误差方程式,按级数展开后取其主项(其它项的影响甚微可忽略不计)：
∆s1=−H m
R A
s（1）式中：R A—长度所在方向的椭球曲率半径；
H m—长度所在高程面对于椭球面的平均高程；
s—实地测量的水平距离。
2、椭球面上的长度投影至高斯平面
∆s2=+y m2
2R2
s0（2）式中：R—测区中点的平均曲率半径；
y m—距离的2端点横坐标平均值；
s0—为归算到椭球面上的长度。
在不影响推证严密性的前提下取， R A=R，s=s0，综合上两式可得,综合长度变形∆s为：
∆s=−H m
R
s+
y m2
2R2
s。
椭球面的几何特征与测量计算课件
椭球面的离散化方法
椭球面的离散化方法是将椭球面分割成 若干个小的离散单元，以便于进行数值
计算和分析。
常见的离散化方法包括网格法、元胞自 动机法、粒子群优化算法等。
离散化方法需要考虑离散单元的大小和 形状，以及离散单元之间的连接关系等 因素。离散化方法的精度和效率直接影 响到数值计算和分析的准确性和可靠性
数据处理方法
在空间数据处理过程中，椭球面可以作为基础数据结构，用于建立各种地理信息要素的空 间关系，如点、线、面等要素的相互关系。
椭球面在空间信息分析中的应用
信息分析方法
空间信息分析是地理信息系统的核心功能之一，包括空间查询、空间分析、空间统计等。椭球面作为一种几何模型， 可以为空间信息分析提供重要的方法和手段。
椭球面的几何特 征与测量计算课 件
目录
• 椭球面的基本几何特征 • 椭球面的测量计算方法 • 椭球面在地理信息系统中的应用 • 椭球面在大地测量学中的应用 • 椭球面的数学模型与计算方法 • 椭球面在地球科学领域的应用前
景
01
椭球面的基本几何特征
椭球面的定义与方程
Hale Waihona Puke 椭球面定义椭球面是一种二次曲面，由椭圆 围绕其主轴旋转形成。
椭球面方程
对于一个椭球面，其一般方程可 写为 x^2 / a^2 + y^2 / b^2 + z^2 / c^2 = 1，其中a、b、c是 椭球的长半轴、中半轴和高半轴 。
椭球面的主轴与极点
主轴
椭球面的主轴是椭圆的主轴，也是椭 球面的旋转轴。
极点
在椭球面上，与主轴等距离的点形成 的曲线称为极曲线，极曲线的交点称 为极点。
椭球面的基本性质
封闭性
第7章椭球面讲义上的测量计算
(7 31)
B tg1( Z Ne2 sin B) X 2 Y2
(7 32)
H Z N(1 e2 ) sin B
(7 34)
• （7－31）可直接由（7－25）得到。
• （7－32）可根据右图得到。
• OP″＝x＝ X2 Y2
• 因等式右边也包含B，故需迭代计算， 其初始值可设为0; N值也需逐次迭代。
• 归算和改化工作分两步进行。不难理解，椭球体实际上只是一个 过渡体。
• 在第一章中已经简介过参考椭球体的有关概念和参数。本章将比 较系统、详细地介绍椭球体的参数、坐标系以及在椭球面上的测 量计算问题。
• 椭球面上的测量计算公式很多。因时间有限，不一定一一推导。 课堂上讲过的主要公式，未推导部分请同学们课后尽量自学。
• 我国1954年北京坐标系应用的是克拉索夫斯基椭球参数，1980年 西安坐标系应用的是1975年国际椭球参数，而GPS应用的是 WGS-84椭球参数。
• 涉及我国的这三组参数值见表7－1。
克拉索夫斯基椭球
1975年国际椭球
WGS-84椭球
a
6378245 (m)
6378140（m）
6378137 (m)
ab
a
④第一偏心率：e a2 b2 a
⑤第二偏心率： e a2 b2 b
• e和e׳是子午椭圆的焦点离开中心的距离与椭圆长短半径之比，它 们也能反映椭球体的扁平程度。偏心率越大，椭球愈扁。
• 五个参数中，知道其中的两个就可决定椭球的形状和大小，但其 中至少应有一个是长度元素（如a或b）。习惯上通常用a和α。
计算。参考椭球面是大地测量计算的基准面。
• 椭球体有关元素——
O为椭球中心；
NS为旋转轴；
(第7章)椭球面上的基本计算
第七章椭球面上的基本计算§1 地球椭球的基本知识一、地球形状的概念地球的自然表面——不规则；不能在上面进行计算；大地水准面——平均海水面延伸得到的封闭曲面，最接近大地自然表面；∵大地水准面具有性质：大地水准面上任一点处的垂线（重力方向）与该点处切面正交；又：重力是离心力与地心引力的合力（离心力与地心引力之比约1：300），而大地水准面上各点处引力不等，造成各点处垂线方向各异。
∴各点处切面组成的曲面——大地水准面亦不规则，有微小起伏，是一个具有物理性质的曲面。
实践和理论均可证明：1）在各水准面（与大地水准面的不平行性不很明显）上测得的水平角，因归化到大地水准面上改正极微小，完全可以看成大地水准面上的角值；2）各高程面上测得之边长也可化算到大地水准面上；3）地面点的高程亦从大地水准面起算。
结论：大地水准面是测量外业的基准面；但它是物理曲面而非数学曲面，所以不能作为测量计算的基准面。
大地体——大地水准面包围的形体；地球椭球——代表地球形体的旋转椭球体；椭球面上处处法线与该点的切面正交，是一个具有数学性质的曲面；总地球椭球——与大地体最接近的地球椭球。
应满足：①其中心应与地球质心重合；②旋转轴应与地轴重合，赤道应与地球赤道重合；③体积应与大地体体积相等；④总椭球面与大地水准面之间的高差平方和最小。
参考椭球——与某一局部大地水准面密切配合的椭球。
二、椭球的几何元素与参数1.椭球的元素长半径：a短半径：b2.椭球的参数扁率： α＝(a －b)/a 第一偏心率： a b a e /22-= 第二偏心率： b b a e /22-=' 式中：22b a -——椭圆的焦距，即椭圆的焦点到椭圆中心的距离3.关系式(1＋ e ′2) (1－e 2)＝1e 2＝2α －α 2 ≈2 α (α ≈1/300)我国解放前使用海福特椭球等。
解放后，我国的“1954年北京坐标系”采用克拉索夫斯基椭球，“1980国家大地坐标系”采用“IAG75”椭球，而全球定位系统（GPS ）采用的是WGS-84椭球参数。
椭球面坐标与大地测量的转换方法与公式
椭球面坐标与大地测量的转换方法与公式椭球面坐标是地球表面上的一种坐标系统, 它将地球视为一个近似椭球体, 提供了一种测量和计算地球上点的方法。
在实际的测量和定位任务中, 经常需要将椭球面坐标转换为其他坐标系统, 或者反过来。
这就需要使用一些转换方法和公式。
一、椭球面坐标系统椭球面坐标系统是大地测量学中常用的一种坐标系统。
它使用经度、纬度和高程来描述地球上的点。
其中，经度表示点在东西方向上的位置，纬度表示点在南北方向上的位置，而高程表示点相对于基准面的高度。
在椭球面坐标系统中，常用的参考椭球体包括WGS84、CGCS2000等。
二、椭球面坐标与地心坐标的转换将椭球面坐标转换为地心坐标是大地测量中常见的任务。
地心坐标是以地球质心为原点的坐标系统，它与椭球体的长短轴、扁率等参数有关。
在转换过程中，需要考虑到椭球体的参数，包括椭球体的半长轴a、扁率f等。
常用的转换方法包括勒让德多项式展开法、球面三角法等。
三、椭球面坐标与笛卡尔坐标的转换将椭球面坐标转换为笛卡尔坐标是另一个常见的任务。
笛卡尔坐标是三维坐标系，它使用直角坐标系来表示地球上的点。
在转换过程中，需要考虑到椭球体的参数，包括椭球体的半长轴a、扁率f等。
常用的转换方法包括克里金插值法、最小二乘法等。
四、大地测量中的应用椭球面坐标与大地测量的转换方法和公式在实际测量和定位任务中发挥着重要的作用。
它们被广泛应用于地理信息系统、导航定位、地质勘探等领域。
例如，在导航定位中，利用椭球面坐标与笛卡尔坐标的转换，可以实现卫星导航系统的精确定位。
在地质勘探中，利用椭球面坐标与地心坐标的转换，可以确定地下矿藏的位置和分布。
总结：椭球面坐标与大地测量的转换方法与公式是地球科学中的重要内容。
通过了解和掌握这些方法和公式，我们可以更好地进行地球测量和定位任务。
椭球面坐标系统提供了一种描述地球表面上点的方式，而转换方法和公式则是实现不同坐标系统之间转换的关键。
在实际应用中，我们需要根据具体任务的要求选择适当的转换方法和公式，以保证测量和定位的精度和准确性。
椭球面上的测量计算
[难点]在对本章的学习中，有大量的公式推导与应用。
各种常用测量坐标系统的建立与相互转换； 几种常用的椭球计算公式； 地面观测值归算到椭球面的方法与计算。
1
7-1地球椭球的基本几何参数及相互关系（了解）
1.地球椭球的基本几何参数
五个基本几何参数
椭圆的长半轴： a 椭圆的短半轴： b 椭圆的扁率：
a b a
椭圆的第一偏心率：
a2 b2 e b
椭圆的第二偏心率：
2
a2 b2 e a
注 意
决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中 的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如 a或b）。 为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：
法截面：过椭球面上任意一点可作 垂直于椭球面的法线，包含这条法 线的平面就叫法截面。 法截线（法截弧）：法截面与椭球 面的交线。 卯酉圈：过某点法线的无数个法截 面中，与子午面相垂直的法截面同 椭球面相截形成的闭合圈就称为卯 酉圈。
7
1、子午圈曲率半径
a (1 e 2 ) M W3
W 1 e2 sin 2 B
dS
DE dx sin B sin B
dx 1 M dB sin B
a cos B x W
dW sin BW cos B dx dB a dB W2
W 1 e sin B
测量中几种主要的椭球公式
几种主要的椭球公式过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线，包含这条法线的平面叫做法截面，法截面同椭球面交线叫法截线（或法截弧）。
包含椭球面一点的法线，可作无数多个法截面，相应有无数多个法截线。
椭球面上的法截线曲率半径不同于球面上的法截线曲率半径都等于圆球的半径，而是不同方向的法截弧的曲率半径都不相同。
子午圈曲率半径子午椭圆的一部分上取一微分弧长ds DK =，相应地有坐标增量dx ，点n 是微分弧dS 的曲率中心，于是线段Dn 及Kn 便是子午圈曲率半径M 。
任意平面曲线的曲率半径的定义公式为： dB dS M = 子午圈曲率半径公式为：32)1(W e a M -=3V c M = 或 2V N M = M 与纬度B 有关．它随B 的增大而增大，变化规律如下表所示：BM 说 明 0=B900<<B90=B 3220)1()1(e c e a M '+=-= c M e a <<-)1(2 c e aM =-=2901在赤道上，M 小于赤道半径a 此间M 随纬度的增大而增大 在极点上, M 等于极点曲率半径c 卯酉圈曲率半径过椭球面上一点的法线，可作无限个法截面，其中一个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的闭合的圈称为卯酉圈。
在图中E PE '即为过P 点的卯酉圈。
卯酉圈的曲率半径用N 表示。
为了推导N 的表达计算式，过P 点作以O '为中心的平行圈PHK 的切线PT ，该切线位于垂直于子午面的平行圈平面内。
因卯酉圈也垂直于子午面，故PT 也是卯酉圈在P 点处的切线。
即PT 垂直于Pn 。
所以PT 是平行圈PHK 及卯酉圈E PE '在P 点处的公切线。
卯酉圈曲率半径可用下列两式表示：W a N = V c N = 任意法截弧的曲率半径子午法截弧是南北方向，其方位角为0°或180°。
卯酉法截弧是东西方向，其方位角为90°或270°。
椭球面的一般方程公式和体积公式
椭球面的一般方程公式和体积公式椭球面是一种常见的几何体，具有许多重要的应用。
在本文中，我们将介绍椭球面的一般方程公式和体积公式，并探讨一些相关的性质和应用。
一、椭球面的一般方程公式椭球面可以用一个二次方程来表示，其一般方程公式为：(x - h)²/a² + (y - k)²/b² + (z - l)²/c² = 1其中，(h, k, l)是椭球面的中心点坐标，a、b、c分别是椭球面在x 轴、y轴和z轴上的半轴长度。
这个方程描述了一个以点(h, k, l)为中心，在x、y、z三个方向上分别以a、b、c为半轴的椭球面。
二、椭球面的体积公式椭球面的体积可以通过以下公式计算：V = 4/3 * π * a * b * c其中，V表示椭球面的体积，π是圆周率，a、b、c分别是椭球面在x轴、y轴和z轴上的半轴长度。
这个公式是基于椭球体积的定义，将椭球面看作是一个在三个方向上都有限制的立体体积。
三、椭球面的性质和应用椭球面具有许多有趣的性质和重要的应用。
以下是一些关于椭球面的性质和应用的简要介绍：1. 几何性质：椭球面是一个既有旋转对称性又有轴对称性的几何体。
它具有一个中心点和三个相互垂直的主轴，这些性质使得椭球面在几何学和物理学中有广泛的应用。
2. 天体力学：椭球面被广泛应用于天体力学中，用于描述行星、卫星和彗星的轨道。
通过测量物体在天空中的位置和运动，可以使用椭球面来计算它们的轨道和运动轨迹。
3. 地球几何学：地球被认为是一个椭球体，因此可以使用椭球面来近似地球的形状。
地球的椭球面模型可以用于测量地理位置、计算地球的体积和表面积，以及进行地图投影等应用。
4. 机械工程：椭球面在机械工程中也有广泛的应用。
例如，在设计轴承和齿轮系统时，可以使用椭球面来描述轴承和齿轮的形状，以实现理想的运动和传动。
5. 数学研究：椭球面是数学研究中的重要对象之一。
通过对椭球面的研究，可以深入理解几何学、代数学和微积分等数学领域的一些基本概念和定理。
椭球面上的测量计算
25
4.6.2 将地面观测的长度归算到椭球面
1、基线尺量距高程对长度归算的影响：
S0 R Hm 1 Hm
SR
R
S
S0 (1
Hm R
) 1
基线两端点平 均大地高程
基线方向法截 线曲率半径
将上式展开级数，取至二次项
S
S0 (1
Hm R
H
2 m
Байду номын сангаас
R2
)
SH
S
S0
是由弦长改 化为弧长的 改正项。
1 ( H2 H1 )2
d D
D
(1 H1 )(1 H 2 )
28
RA
RA
注意
决定旋转椭球的形状和大小，只需知道五个参数中 的两个就够了，但其中至少要有一个长度元素（如 a或b）。
为简化书写，常引入以下符号和两个辅助函数：
c a2 ,t tan B, 2 e2 cos2 B
b
W 1 e2 sin2 B,V 1 e2 cos2 B
式中，W 第一基本纬度函数，V 第二基本纬度函数。
RA相应的圆弧长。
SD
1 ( H2 H1 )2 D
(1 H1 )(1 H2 )
D3 24RA2
27
RA
RA
简化后：
S D 1 h2 D H m D3
2D
RA 24RA2
由于控制点 之高差引起 的倾斜改正 的主项，经 过此项改正， 测线已变成 平距。
由于平均测 线高出参考 椭球面而引 起的投影改 正，经过此 项改正后， 测线已变为 弦线。
8
3）大地极坐标系
M为椭圆体面上任意 一点，MN为过M点的子 午线，S为连结MP的大 地线长，A为大地线在M 点的大地方位角。以M 为极点、MN为极轴、S 为极径、A为极角，就构 成了大地极坐标系。P点 位置用S、A表示。
椭球面的几何特征与测量计算
4
e2
N
2 m
s2 cos2
Bm
s in 2 A1
a
3
e 2
12N
2 m
s2 cos2
Bm
s in 2 A1
十二 地面观测距离归算至椭球面
W
O
P
X=r
y
QB
y x(1 e2 ) tan B
a
x
cos B
1 e2 sin2 B
E
x
K
N sin B N (1 e2 )sin B e2 N sin B
S
纬度不同，椭球中心到法线与短轴交点之间的距离是不相等的
P
m2
Q1 m1
E
O
n1
n2
既不位于同一平行
圈上，也不位于同
MdB dS cos A rdL dS sin A
A P P2 dB cos A dS dL sin A dS sin A dS
dS P
M
r
N cos B
r N cos B
rdL
O
N P1
rdL N cos BdL
dA
P1T
P1T
90 B
B
P1T N tan( 90 B) N cot B
系数均以米作单位
0.00003m, 0.0003m, R 0.00009m
误差不超过这些舍去项
若将1975年国际椭球的相关参数值代入，还可得到1975年国 际椭球的曲率半径计算式。
五 椭球面上弧长 子午圈弧长公式
M dX dB
X B2 dX B2 MdB
大地测量学基础(椭球面上的几种曲率半径)
Ona Q1na sinB1 Onb Q2nbsinB2
b
A
a
B
O B 1 B 2 Q 2
Q1
由 Qn Ne2 ，得
na
Ona N1e2 sinB1
nb
Onb N2e2 sinB2
若 B1B2， Oan Obn
若A、B两点不在同一子午圈上，也不在同一平行圈上时，两点有两条法
⑷了解大地线微分方程和克莱劳定理
—定义：椭球面上两点间的最短程曲线叫大地线。
B
⑴ 大地线是一条空间曲线；
—性质：⑵ 大地线惟一，位于相对法截线之间。
C
—说明：⑴
1 3
A
其长度与法截线长度
相差为百万分之一毫米；
B
⑵地面观测值归算成大地线的
方向，距离。
A
3.大地线的微分方程和克莱劳方程 ⑴ 大地线的微分方程 描述p到p1时，dS与 dA、dL、 dB之间的关系 在微分直角三角形pp2p1中
截线。
说明：⑴相对法截线
A照准B：AaB叫A点的正法截线，B点的反法截线；
B照准A：BbA叫B点的正法截线，A点的反法截线。
⑵ 相对法截线的位置
BbA比AaB偏上。
B2B1， ObnOa， n
正反法截线的位置如课本图4-18 所示
⑶ 当A、B两点位于同一子午圈或平行圈时，正反法截线合 二为一。
⑷ 椭球面上A、B、C三点构不成三角形。（产生了矛盾） 2.大地线的定义和性质
个与该点子午面相垂直的法截面同椭球面相截形成的 闭合的圈，称为卯酉圈。
r N cos B
xr
a cos W
B
N
a W
N
椭球的几何参数与椭球面上有关数学性质
广义弧度测量方程式
sinL
新 新
N新
s(iNnBcHo)Ls (MH) coBscoLs
coLs
(NH) sinBsinL
(MH) coBssinL
0
coBs
(MH)
sinB
X0 Y0 Z0
旧
sinBcosL
sinBsinL cosBx
sinL
cosL
0y
N e2sin2BcosBsinLN e2sinBcosBcosL 0旧 z
x y
x L
（三）空间直角坐标系与大地坐标系的关系
在椭球面上的点：
X xcos L N cos Bcos L
Y xsin L N cos Bsin L
Z y N(1e2)sin B
不在椭球面上的点：
X (N H)cos Bcos L
Y
(N
H)cos
Bsin
L
Z [N(1e2) H]sin B
多点定位的方法过程（对于我国）
利用拉普拉斯点的成果和以有椭球参数求解
1)由广义弧度测量方程采用最小二乘法求椭球参数
采用IUGG 75椭球参数。
(X0 , Y0, Z0)
2)由广义弧度测量方程计算得到大地原点上的: K, K, K
大地原点处80椭球的垂线偏差ξK=-1.9″及ηK=-1.6″，高程 异常值差ζK=-14.2m。 忽略两种椭球坐标轴指向不平行的影
B
N
旧
其未知数是三个平移参数：△X0， △Y0，△Z0，三个旋转参数：εx，εy，
εz，一个尺度比参数m，及椭球大小和
形状参数△a，△α。通常，在实用上
舍去旋转和尺度比参数。
在每个天文大地点上都可以列出如上的弧度方程
椭球面上相关曲率半径_概述说明以及解释
椭球面上相关曲率半径概述说明以及解释1. 引言1.1 概述椭球面是数学中常见的曲面之一，它具有特殊的几何性质和广泛的应用领域。
在研究椭球面时，我们常常关注其上的相关曲率半径。
了解这些曲率半径的计算方法和应用领域对于地理测量、天文学以及工程建筑等领域的研究和实践具有重要意义。
1.2 文章结构本文将围绕椭球面上相关曲率半径展开讨论，共分为五个部分。
引言部分主要介绍文章的背景和目的，正文部分将包括椭球面的定义与性质、曲率半径的概念解释以及椭球面上相关曲率半径的计算方法。
接下来是相关曲率半径在地理测量、天文学和工程建筑中的应用领域介绍，并探讨了研究方法和最新技术在相关曲率半径研究中的应用。
最后，我们将对整篇文章进行总结，并给出对于椭球面上相关曲率半径研究所提出的启示和建议。
1.3 目的本文的目的在于全面概述和说明椭球面上相关曲率半径的研究进展和应用领域，希望能够为读者提供对于该主题的清晰认知，并为相关研究者提供有价值的参考。
通过了解椭球面及其上的曲率半径计算方法，我们将更好地理解它们在地理测量、天文学和工程建筑等领域中所起到的作用，同时也将揭示出未来发展趋势以及可能的研究方向。
2. 正文:2.1 椭球面的定义与性质椭球面是指一个由椭圆绕其长轴旋转一周形成的三维曲面。
它具有以下几个性质：首先，椭球面是一个闭合曲面，类似于一个椭圆在二维平面上绕着其中一条轴旋转而形成的三维体。
其次，椭球面的主轴包括两个不同的半径，通常称为长半轴和短半轴。
这两个半径决定了椭球面的形状。
最后，椭球面具有旋转对称性，即沿着任意一条通过中心点的直线旋转180度后仍然保持不变。
2.2 曲率半径的概念解释曲率半径是描述曲线或曲面弯曲程度的物理量。
在椭球面上，存在三个相关曲率半径：主曲率半径、高斯曲率半径和平均曲率半径。
主曲率半径表示沿着各个方向上最大和最小弯曲程度的半径。
在椭球面上，这两个方向分别对应着长半轴和短半轴，因此主曲率半径将分别等于椭球面的长半轴和短半轴。
椭球面上的测量计算
控制LO测GO量
三、任意法截弧的曲率半径
❖ 子午法截弧是南北方向，其方位角为00或1800； ❖ 卯酉法截弧是东西方向，其方位角为900或2700，
这两个法截弧在P点上是正交的。
控制LO测GO量
❖ 根据欧拉公式，由曲面上任意一点主曲率半径计算该点任意 方位角A的法截弧的曲率半径的公式为：
1 cos2 A sin2 A
R MN
上式即平均曲率半径的计算公式，表明，曲面任意一点的平均 曲率半径点是该点上主曲率半径的几何平均值。
控制LO测GO量
五、M、N、R的关系
❖ 椭球面上某一点的M、N、R值均是自该点起沿法线向内量取， 其长度通常是不相等的，由前面公式可知它们有如下关系： N>R>M
❖ 只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：
dS DEdx sinB sinB
（dx取负号，是因为在子午 面直角坐标系中，点的横坐 标随纬度B的增大而缩小）
控制LO测GO量
❖两式相代得
dx 1 M
dB sinB
acos2B W
dx dB
a
W
sin
Bcos W2
B
dW dB
W 1e2sin2B
dWd1e2sin2B2e2sinB cosBe2sinB cosB
克拉索夫斯基椭球子午线弧长计算公式：
X 1. 8 1 B 6 1. 4 1 6 1 s 2 8 B 0 3 i 1 . n 8 0 3 4 s 6 4 2 B i 6 0 . 0 n 8 s 6 2 B in 2 X 1 . 8 1 B 3 6 1 . 7 2 s 1 1 B c 8 i B 0 1 3 n o 0 . 9 0 s 3 4 3 s B 2 c i 5 B 3 n 0 . o 6 9 s 5 B s 9 c i B n
7.4椭球面上的弧长计算
§7.4椭球面上的弧长计算在研究与椭球有关的一些测量计算时，例如研究高斯投影计算，往往要用到子午线弧长及平行圈弧长，现推导其计算公式。
7.4.1子午线弧长计算公式我们知道，子午椭圆的一半，其端点与极点相重合。
而赤道又把子午线分成对称的两部分，因此，我们只推导从赤道开始到已知纬度B 子午线弧长的计算公式。
取子午线上某微分弧dx P P =',令P 点纬度为B,P /点纬度为B dB +,P 点的子午圈曲率半径为M,于是有dx MdB = (7-62)要计算从赤道开始到任意纬度B 的子午线弧长,必须求出下列积分值: ⎰⎰⎰---=-==B B B dB B e e a dB W e a MdB X 0232220032)sin 1()1()1( (7-63) 将积分因子按二项式定理展开为级数形式+++=--B e B e B e 44222322sin 815sin 231)sin 1( 为积分方便,将正弦的指数函数化为余弦的倍数函数.则由于: sin cos sin cos cos 241212238122184B B B B B =-=-+ 于是有:++-+-+=--)4cos 64152cos 16156445()2cos 4343(1)sin 1(444222322B e B e e B e e B e 令常系数:A e e =+++134456424 =B ++42161543e e (7-64)=C +46415e 将其代入(7-63)式中:X a e A B B C B dB B=--+-⎰()(cos cos )12420 积分后得由赤道至子午线上某点的子午弧长公式:⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+--= B C B B B A e a X 4sin 42sin 2)1(2ρ (7-65) 7.4.2平行圈弧长公式旋转椭球体的平行圈是一个圆，其半径就是圆上任意一点的子午面直角坐标x,(7-69)如果平行圈上有两点，其经差12 L L l -=''，可写出平行圈弧长公式：cos ρ''''=l B N S (7-70) 7.4.3子午线弧长和平行圈弧长变化的比较从表中可以看出，单位纬差的子午线弧长随B 的增大而缓慢地增大；而单位经差的平行圈弧长则随B 的增大而急剧缩短。
椭球面方程及其应用
椭球面方程及其应用简介椭球是一种常见的几何体，其在数学、物理学和工程学等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍椭球面方程的相关知识，并探讨其在实际应用中的一些示例。
椭球面方程椭球面可以由一个方程来描述，其一般形式为：(x - h)^2/a^2 + (y - k)^2/b^2 + (z - l)^2/c^2 = 1其中，(h, k, l)为椭球中心点的坐标，a、b和c分别为椭球在x、y和z轴上的半径。
通过调整这些参数，可以得到不同形状和大小的椭球。
应用示例天体轨道天体运动的轨道往往是椭球形状。
根据椭球面方程，我们可以计算天体的轨道参数，并预测其位置和运动轨迹。
这对于天文学研究和导航系统都是非常重要的。
地理测量在地理测量中，椭球体经常被用来近似地球的形状。
通过基于椭球面方程的测量方法，可以计算地球上任意一点的经纬度和海拔高度。
这为地图制作、航空航天和导航系统提供了基础数据。
机械设计在机械设计中，椭球面方程可以应用于涡轮机械、车辆运动学和光学镜面等领域。
通过合理选择椭球参数，可以实现特定的设计需求，提高机械设备的性能和效率。
电磁波传播电磁波在大气中传播时，其路径往往呈现椭球形状。
通过椭球面方程，可以分析电磁波传播的特性，优化信号的接收和传输。
这在通信系统设计和无线电波传播研究中具有重要意义。
结论椭球面方程是描述椭球形状的数学工具，其在天文学、地理测量、机械设计和电磁波传播等领域中都有着广泛的应用。
通过理解和应用椭球面方程，我们可以更好地理解和解决实际问题。
希望本文对读者对椭球面方程及其应用有所启发。
椭球面离轴量
椭球面离轴量
椭球面离轴量是描述椭球形物体离心程度的物理量，是椭球面长轴和短轴的差值除以长轴。
也就是说，该值越大，则椭球越错。
椭球面离轴量是研究椭球体特性的基本物理量之一，广泛应用于机械设计、航空航天、地球物理学等领域。
椭球面离轴量的定义
一个长轴为a，短轴为b，离轴量为c的椭球面可以表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 + z^2/c^2 = 1。
在这个式子中，离轴量c就是椭球面离轴量。
椭球体离轴量的计算
椭球体离轴量计算方法有多种，以下介绍几种常用的方法。
(1) 较量法：通过测量椭球面长轴和短轴的差值，用长轴除以差值得到离轴量。
(2) 曲率法：在椭球面上选取三个不共线的点，通过求出这些点处的曲率半径，计算长轴和短轴的平均值和差值，然后计算离轴量。
(3) 高程法：选取椭球面上任意一点作为中心，向两个方向分别测出高程，然后以这两个高程的平均值为椭球面长轴的一半，再计算离轴量。
椭球体离轴量的应用
椭球体离轴量的应用非常广泛。
以下列举几个典型应用：
(1) 机械设计：在机械设计中，如果需要制造一个旋转的轮子或者滚珠，需要知道椭球面离轴量，以便准确地计算滚动半径。
(2) 航空航天：在航空和航天领域，离轴量是一个重要的物理量。
航空和航天器的运动速度和轨道方式需要根据离轴量调整。
(3) 地球物理学：在探测地球的过程中，需要根据地球的形状来分析重力场的分布。
因此，需要知道地球的离轴量。
总之，离轴量是描述椭球形物体离心程度的基本物理量，具有广泛的应用场景。
在实际应用中，需要根据不同的需求选择合适的计算方法。
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§7.5 大地线
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一、相对法截线
• 设在椭球面上任取两点A、B，其纬度为 B1和 B2且 B1B2。过 A、B两点分别作法线与短轴交于 na和点nb，与赤道面分别交
于 Q1和Q。2 现证明 na 和将nb不重合。
O naQ 1nasinB 1
ObnQ2nbsiB n2
顾及 Qn Ne2 ，上式又可写成 OnaN1e2sinB1
O nbN2e2sinB2
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OnaN1e2sinB1 O nbN2e2sinB2
故当时 B1 B2 时，ona onb，故 na和nb是不重的。
因此 （1）椭球面上一点的纬度愈高，法线与旋转轴的交点愈低； （2）纬度不同的两点，法线必交于旋转轴的不同点； （3）当两点的纬度不同，又不在同一子午圈上时，这两点 的法线将在空间交错而不相交。因此当两点不在同一子午圈 上，也不在同一平行圈上时，两点间就有二条法截线存在。
1 cos2 A sin2 A
RA M
N
M N RANcos2AMsin2A
• 上式分子分母同除M，并顾及
N V2 12
M
则有,
R A12 N co 2A s1e2cN o 2B s co 2A s
上式即为任意方向为A的法截弧的曲率半径的计算公式。
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W
sin
Bcos W2
B
dW dB
W 1e2sin2B
dWd1e2sin2B2e2sinB cosBe2sinB cosB
dB dB 21e2sin2B W
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d d B x a sin B W 1 e 2c W o s 3 2B a W sin 3 B (W 2 e 2c o s2B )
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三、任意法截弧的曲率半径
• 子午法截弧是南北方向，其方位角为00或1800； • 卯酉法截弧是东西方向，其方位角为900或2700，
这两个法截弧在P点上是正交的。
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• 根据欧拉公式，由曲面上任意一点主曲率半径计算该点任意 方位角A的法截弧的曲率半径的公式为：
椭球面上的测量计算
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了解椭球的数学性质； 掌握椭球面同地面之间 的关系； 了解椭球面上点的大地 坐标计算。
本章主要内容
§7.1 地球椭球的基本几何参数及其相互关系 §7.2 椭球面上的常用坐标系及其相互关系 §7.3 椭球面上的几种曲率半径 §7.4 椭球面上的弧长计算 §7.5 大地线 §7.6 将地面观测值归算至椭球面 §7.7 大地测量主题计算概述
子午椭圆的一半，其端点与极点相重 合。而赤道又把子午线分成对称的两 部分，因此，我们只推导从赤道开始 到已知纬度B子午线弧长的计算公式。
取子午线上某微分弧, PPdx
令P点纬度为B,P’点纬度为B+dB,P点的
子午圈曲率半径为M,于是有
dxM dB
要计算从赤道开始到任意纬度B的子午线弧长,必须求出下列积分
其中：
a0
m0
m2 2
3 8
m
4
5 16
m6
35 128
m8
a2
m2 2
m4 2
15 32
m6
7 16
m8
a4
m4 8
3 16
m6
7 32
m8
a6
m6 32
m8 16
a8
m8 128
经积分，进行整理后得子午线弧长计算式：
M与B有关，是纬度B的函数，随B的增大而增大，变化规律如下表：
B B=00
00<B<900 B=900
M
说明M0 Leabharlann a(1e2)c (1e2)3
M小于赤道半经a
a(1e2) ＜M＜c
M随B的增大而增大
M90
a c 1e2
M等于极点曲率半经
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二、卯酉圈曲率半径 （N）
• 由微分三角形DKE可得：
dS DEdx sinB sinB
（dx取负号，是因为在子午 面直角坐标系中，点的横坐 标随纬度B的增大而缩小）
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• 两式相代得
dx 1 M
dB sinB
acosB acosB
x
1e2sin2B W
dx dB
a
N 9 0 R 9 0 M 9 0 c N
c V
a N
W
a(1 e2 ) M W3
R
c V2
Mc
R MN
V3
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§7.4 椭球面上的弧长计算
一、子午线弧长计算公式 二、平行圈弧长公式 三、子午线弧长和平行圈弧长变化的比较
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一、子午线弧长计算公式
值: X 0 B M d 0 B a ( 1 W B 3 e 2 )d B a ( 1 e 2 )0 B ( 1 e 2 s2 iB ) n 2 3 dB
将积分因子按二项式定理展开为级数形式
( 1 e 2 s2 iB n ) 2 3 1 3 e 2 s2 iB n 1e 4 5 s4 iB n
R MN
上式即平均曲率半径的计算公式，表明，曲面任意一点的平均 曲率半径点是该点上主曲率半径的几何平均值。
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五、M、N、R的关系
• 椭球面上某一点的M、N、R值均是自该点起沿法线向内量取， 其长度通常是不相等的，由前面公式可知它们有如下关系：
N>R>M
• 只有在极点上，它们才相等，且均等于极曲率半径c，即：
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• 由麦尼尔定理知，假设通过曲面上一点引两条截弧，一条为 法截弧、一为斜截弧，且在该点上这两条截弧具有公共切线 ，这时斜截弧在该点的曲率半径等于法截弧的曲率半径乘于 两截弧平面夹角的余弦。
即： rN cosB
• 平行圈平面与卯酉圈平面之
间的夹角即为大地纬度B,平
行圈半径r就等于P点的横坐
标x，即：
acosB
xr
W
a 由此可得卯酉圈半径为： N W
控制20测20/量1/25
由图看出
PnNPO r cosB cosB
也就是说，卯酉圈曲率半径恰好等于椭球面和短轴之 间的一段法线的长度，亦即卯酉圈的曲率中心位于椭 球的旋转轴上。
控制测量
a
c
N
N
W
V
W 1e2 sin2 B V 1 e2 cos2 B
四、平均曲率半径
平均曲率半径：指经过曲面任意一点所有可能方向上的法 截线曲率半径RA的算术平均值。 在测量工作中，往往根据一定的精度要求，在一定范围内，把 椭球面当作球面来处理，为此，就要推求该球面的曲率半径— 平均曲率半径（就是过椭球面上一点的一切法截弧(0--2）， 当其数目趋于无穷时，它们的曲率半径的算术平均值的极限， 用R表示)。推导得其最终公式为
2
8
为积分方便,将正弦的指数函数化为余弦的倍数函
数.则由于:
sin2 B 1 1cos2B 22
sin4 B 3 1cos2B 1cos4B
82
8
于是有: M a 0 a 2 c 2 B o a 4 c s 4 B o a 6 c s 6 B o a 8 c s 8 B o
控制20测20/量1/25
§7.3椭球面上的几种曲率半 径
• 为在椭球面上进行控制测量计算，须了解椭球面上 有关曲线的性质。
• 过椭球面上任意一点可作一条垂直于椭球面的法线 ，包含这条法线的平面叫做法截面；法截面与椭球 面的交线叫法截弧（线）。
• 包含椭球面一点的法线可作无数个法截面，相应有 无数个法截弧。椭球面上法截线的曲率半径不同于 球面上的法截线（大圆弧）曲率半径（都等于圆球 的半径），而是不同方向的法截弧的曲率半径都不 相同。为此先研究子午线及卯酉线的曲率半径。
• 过椭球面上一点的法线，可作无数个法截面，其中一个与该 点子午面相垂直的法截面同椭球面相截所形成的闭合圈称之 为卯酉圈。PEE’即为过P点的卯酉圈，半径用N表示
过P点作以O’为中心的 平行圈PHK的切线PT， 该切线位于垂直于子午 面的平行圈平面内。因 卯酉圈也垂直于子午面， 故PT也是卯酉圈在P点 处的切线，即PT垂直于 Pn。所以PT是平行圈 PHK及卯酉圈在P点处的 公切线。
又 W 21e2sin2B
则 d d B x a W sin 3B (1 e2sin 2B e2c o s2B ) 或 ddB xaW sin3B(1e2)
则曲率半径为，
a(1 e2 ) M W3
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a(1 e2 ) M W3
W 1e2sin2B
• N与B有关，是纬度B的函数,且随B的增大而 增大，变化规律如下表：
控制20测20/量1/25
B B=00
00<B<900 B=900
N
N0 a
a＜N＜c N90=c
说明 卯酉圈变为赤道
N随B的增大而增大 卯酉圈变为子午圈，N=c
上述M和N是两个互相垂直的法截弧的曲率半 径，在微分几何中统称为主曲率半径。
控制测量
X a 0 B a 2 2s2 iB n a 4 4s4 iB n a 6 6s6 iB n a 8 8s8 iB n