中考数学一轮复习第8讲分式方程及其应用导学1案7
中考数学复习 第8讲 分式方程及其应用课件
解分式方程 ①去分母化成整式方程；②解整式方程求出
的步骤
未知数的值；③检验根是否是_增__根___
去分母时两边乘最简公分母，会出现使
分式方程 原因
分式分母为零的根
的增根 验根
将解整式方程所得根代入 最_简__公__分__母______或原方程检验
考点3 分式方程的应用
列分式 方程
解应用 题
步骤 关键
No 合作、交流，不懂或做错的题目在小组内先交流解决
Image
12/9/2021
第十九页，共十九页。
①甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？ ②已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万 元．要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队至多施 工多少个月？
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第8讲┃ 分式方程(fēn shìfānɡ chénɡ)及 其应用 第十六页，共十九页。
解：(1)设较贵的纪念册单价为x元，则便宜的为(x－2)元，
A.3x00－6200＝13.020x
B.3x00－13.020x＝20
C.3x00－x＋3010.2x＝2600
D.3x00＝13.020x－2600
[解析]
原计划植树用的时间应该表示为
300 x
，而实际用的时间
为13.020x，那么方程可表示为3x00－2600＝13.020x.
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由题意得6x00＝x6－002－10，
解得x1＝－10，x2＝12， 经检验x1＝－10，x2＝12都是方程的根， 但单价x＞0，故x＝－10舍去， 所以人数为600÷12＝50(人)， 答：总人数为50人．
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第8讲┃ 分式方程(fēn shìfānɡ chénɡ)及 其应用 第十七页，共十九页。
2023年中考数学一轮复习 第8讲 分式方程 专题训练(浙江专用)(含解析)
第8讲分式方程 2023年中考数学一轮复习专题训练（浙江专用）一、单选题1．（2022·杭州）照相机成像应用了一个重要原理，用公式1f=1μ+1ν(v≠f)表示，其中f表示照相机镜头的焦距，μ表示物体到镜头的距离，v表示胶片(像)到镜头的距离．已知f，v，则μ=()A．fvf−v B．f−vfv C．fvv−f D．v−ffv2．（2022·金东模拟）众志成城，抗击疫情，某医护用品集团计划生产口罩1500万只，实际每天比原计划多生产2000只，结果提前5天完成任务，则原计划每天生产多少万只口罩？设原计划每天生产x万只口罩，根据题意可列方程为（）A．1500x+0.2−1500x=5B．1500x=1500x+2000+5C．1500x+2000=1500x+5D．1500x−1500x+0.2=53．（2022·丽水）某校购买了一批篮球和足球，已知购买足球的数量是篮球的2倍，购买足球用了5000元，购买篮球用了4000元，篮球单价比足球贵30元.根据题意可列方程50002x=4000x﹣30，则方程中x表示（）A．足球的单价B．篮球的单价C．足球的数量D．篮球的数量4．（2022·萧山模拟）师徒两人每小时共加工35个电器零件，徒弟做了120个时，师傅恰好做了160个.设徒弟每小时做x个电器零件，则根据题意可列方程为（）A．120x=16035−x B．12035−x=160xC．120x=16035+x D．12035+x=160x5．（2022·椒江模拟）北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”引爆购买潮，导致“一墩难求”，某工厂承接了60万只冰墩墩的生产任务，实际每天的生产效率比原计划提高了25%，提前10天完成任务.设原计划每天生产x万只冰墩墩，则下面所列方程正确的是（）A．60x−60×(1+25%)x=10B．60(1+25%)x−60x=10C．60×(1+25%)x−60x=10D．60x−60(1+25%)x=106．（2022·舟山模拟）“五•一”江北水城文化旅游节期间，几名同学包租一辆面包车前去旅游，面包车的租价为180元，出发时又增加了两名同学，结果每个同学比原来少摊了3元钱车费，设原来参加游览的同学共x 人，则所列方程为（ ） A ．180x−2 ﹣ 180x ＝3B ．180x+2 ﹣ 180x ＝3C ．180x ﹣ 180x−2＝3 D ．180x −180x+2=3 7．（2022·吴兴模拟）某书店分别用500元和700元两次购进一本小说，第二次数量比第一次多4套，且两次进价相同.若设该书店第一次购进x 套，根据题意，列方程正确的是（ ） A ．500x =700x−4B ．500x−4=700xC ．500x =700x+4D ．500x+4=700x8．（2022·衢州模拟）若关于x 的一元一次不等式组{3x −2≥2(x +2)a −2x <−5的解集为x ≥6，且关于y 的分式方程y+2a y−1+3y−81−y =2的解是正整数，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．5B ．8C ．12D ．159．（2022·宁海模拟）分式方程1x−1=x 1−x +2的解为（ ） A ．x =−1 B ．x =1 C ．x =3D ．x 1=1，x 2=310．（2022·温州模拟）同学聚餐预定的酒席价格为2400元，但有两位同学因时间冲突缺席，若总费用由实际参加的人平均分摊，则每人比原来多支付40元，设原来有x 人参加聚餐，由题意可列方程（ ）A ．2400x+2=2400x +40B ．2400x+40+40=2400xC ．2400x =2400x−2+40 D ．2400x +40=2400x−2二、填空题11．（2022·台州）如图的解题过程中，第①步出现错误，但最后所求的值是正确的，则图中被污染的x 的值是 ．先化简，再求值： 3−x x−4+1 ，其中 x =解：原式 =3−xx−4⋅(x −4)+(x −4)…①12．（2022·宁波）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，a ⊗b= 1a+1b．若(x+1) ⊗x= 2x+1x，则x的值为13．（2022·秀洲模拟）某班同学到距学校12千米的森林公园植树，一部分同学骑自行车先行，半小时后，其余同学乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车速度的3倍，求自行车和汽车的速度。
中考数学一轮复习课件分式方程及其应用
（2）如果小张在家取票和寻找共享单车共用了5 min，他能否在演唱会开始前 赶到奥体中心？请说明理由.
解：（2）不能.理由如下：小张跑步到家所需时间为2 520÷210＝12（min），小张骑车所用时间为12－4＝8（min），小张从开始跑步回家到赶回奥体中心所需时间为12＋8＋5＝25（min）.∵25＞23，∴小张不能在演唱会开始前赶到奥体中心.
答：甲每小时做零件45个，乙每小时做零件60个.
A.1＋3＝3x（1－x）
B.1＋3（x－1）＝－3x
C.x－1＋3＝－3x
D.1＋3（x－1）＝3x
B
巩固训练
A.x＝－2
B.x＝2
C.x＝－4
D.x＝4
3.（2023·遵义模拟）某运输公司运输一批货物，已知大货车比小货车每辆多运输5 t货物，且大货车运输75 t货物所用车辆数与小货车运输50 t货物所用车辆数相同，设大货车每辆运输x t货物，则所列方程正确的是（ B ）
【思路引导】设小琪步行的速度为b km/h，则小文骑车的速度为4b km/h，利用时间＝路程÷速度，结合“小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆”列方程求解.
【自主解答】
答：小琪步行的速度为3 km/h.
【夺分宝典】
【对点训练】
1.某地计划在规定时间内种植梨树6 000棵.开始种植时，由于志愿者的加入，实际每天种植梨树的数量比原计划增加了20%，结果提前2天完成任务.问原计划每天种植梨树多少棵？
【自主解答】
解得a＝100.经检验，a＝100是原方程的解，且符合题意.
答：足球的单价为100元.
（3）小琪和小文相约到体育馆锻炼，小琪和小文家分别距体育馆3 km，6 km，小文骑车的速度是小琪步行速度的4倍，若小琪步行出发0.5 h后小文骑自行车出发，结果他们同时到达体育馆，求小琪步行的速度.
中考数学复习第8课时《分式方程及其应用》教学设计
中考数学复习第8课时《分式方程及其应用》教学设计一. 教材分析《分式方程及其应用》是中考数学复习的第8课时，主要内容是分式方程的定义、解法及其应用。
本节课时的教材内容在整个初中数学体系中起到承前启后的作用，为后续的高中数学学习打下基础。
通过本节课时的学习，学生应该能够掌握分式方程的基本概念，熟练运用解法求解分式方程，并能够将分式方程应用到实际问题中。
二. 学情分析在学习本节课时之前，学生已经学习了分式的相关知识，对分式的概念、性质和运算法则有一定的了解。
但是，部分学生对分式方程的理解和应用还不够熟练，解题过程中容易出错。
因此，在教学过程中，需要针对学生的实际情况进行针对性的引导和讲解。
三. 教学目标1.了解分式方程的定义和基本性质。
2.掌握分式方程的解法，并能够熟练运用。
3.能够将分式方程应用到实际问题中，提高解决问题的能力。
4.培养学生的逻辑思维能力和团队协作能力。
四. 教学重难点1.分式方程的定义和性质。
2.分式方程的解法及其运用。
3.将分式方程应用到实际问题中。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究分式方程的定义、解法和应用。
2.运用案例分析和实际问题解决，让学生体验分式方程在实际生活中的应用。
3.采用小组讨论和合作交流的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.利用多媒体教学手段，辅助学生直观地理解分式方程的概念和性质。
六. 教学准备1.教学PPT课件。
2.相关案例分析和实际问题。
3.分式方程的练习题。
4.小组讨论的安排。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件展示分式方程的实例，引导学生回顾分式的相关知识，激发学生对分式方程的兴趣。
2.呈现（15分钟）介绍分式方程的定义和基本性质，通过PPT课件和实物模型辅助学生直观地理解分式方程的概念。
3.操练（20分钟）讲解分式方程的解法，并通过例题演示解题过程。
然后，让学生独立完成练习题，教师巡回指导。
4.巩固（10分钟）学生分组讨论，分享解题心得和经验，互相纠正错误。
中考数学一轮复习教案分式方程
中考数学一轮复习教案分式方程教学目标：1.能够理解和运用分式方程的概念和性质；2.能够解决包含分式的一元一次方程；3.能够解决包含分式的一元二次方程。
教学重点：1.分式方程的概念和性质；2.分式方程的解决方法；3.解决一元一次和一元二次方程中的分式方程问题。
教学难点：1.解决一元二次方程中的分式方程问题；2.能够利用矩阵法解决一元二次方程中的分式方程问题。
教学准备：1.多媒体教学设备；2.分式方程的课件及相关练习题目；3.板书工具。
教学过程：Step 1: 导入引导学生回忆一元一次方程和一元二次方程的概念和解决方法，并复习线性方程组的解法。
Step 2: 分式方程的概念和性质1.引导学生思考分式方程的概念，并给出定义。
2.介绍分式方程的性质：分式方程的解是方程左右两边相等时的值，解的存在与否与分式的定义域和分母的取值有关。
Step 3: 解决包含分式的一元一次方程1.反复强调要化简分式方程，寻找分式方程的解集。
2.通过示例演示化简分式，然后使用消元法、倒置法等解决一元一次方程中的分式方程问题。
3.给学生提供一些练习题目，巩固解决一元一次方程中的分式方程问题的能力。
Step 4: 解决包含分式的一元二次方程1.通过示例引入一元二次方程中的分式方程问题。
2.介绍使用矩阵法解决一元二次方程中的分式方程问题。
3.给学生提供一些练习题目，巩固解决一元二次方程中的分式方程问题的能力。
Step 5: 拓展应用引导学生思考分式方程在实际问题中的应用，并提供一些相关的应用题目，让学生应用所学知识解决实际问题。
Step 6: 归纳总结带领学生回顾分式方程的解题过程和方法，并总结解决分式方程问题的一般步骤和方法。
Step 7: 检测与评价收集学生解答的习题，进行检测与评价，对学生的掌握情况进行评估，并及时给予指导和反馈。
Step 8: 课堂小结对本堂课的重点知识进行总结，强调重点、难点和易错点。
Step 9: 课后作业布置相关的作业，要求学生进一步巩固所学知识。
《中考大一轮数学复习》课件 分式方程及其应用
课前预测 你很棒
5. (2014·浙江嘉兴)解方程：
1 3 － 2 ＝0. x－1 x －1
解： x＝2
6. (2012·湖北黄冈)某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作 8800 件投 入市场， 服装厂有 A， B 两个制衣车间， A 车间每天加工的数量是 B 车间的 1.2 倍， A， B 两车间共同完成一半后， A 车间出现故障停产， 剩下全部由 B 车间单独完成， 结果前后共用 20 天完成，求 A，B 两车间每天分别能加工多少件？
中考大一轮复习讲义◆ 数学
中考大一轮复习讲义◆ 数学
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夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
知识结构梳理
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夯实基本
中考大一轮复习讲义◆ 数学
知已知彼
基础知识回顾 1. 分式方程：分母中含有________的方程叫分式方程． 2. 解分式方程 (1)解分式方程的一般步骤： ①去分母，在方程的两边都乘________，约去分母，化成整式方程． ②解这个整式方程． ③验根，把整式方程的根代入 ________ ，看结果是不是零，使最简公分母为 零的根是原方程的增根，必须舍去． (2)用换元法解分式方程的一般步骤： ①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式． ②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值． ③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值． ④检验作答． 温馨提示 ①去分母时，不要漏乘没有分母的项． ②解分式方程的重要步骤是检验，必须书面检验．检验的方法可以代入最简 公分母检验，也可直接代入原方程验根．
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热点看台
中考大一轮复习讲义◆ 数学
快速提升
热点一 列分式方程 热点搜索 列分式方程解应用题的6个步骤中关键是“列”，难点是“审”， 所以如何做好审题，列方程是解决问题重中之重．列分式方程解应用题的一般思 路是：(1)弄清题中涉及哪些量，已知量是什么，求什么．(2)抓住题目中的重要 语句，根据这些重要语句列出代数式．(3)找出等量关系，将等量关系由文字语 言转化为数学符号语言，列出方程．根据题目的需要一般直接设未知数，但有时 可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这 种设未知数的方法叫做设间接未知数．在列分式方程解应用题时，设间接未知数， 有时可使解答变得简捷．习讲义◆ 数学
2018届中考人教版数学考前热点冲刺指导课件：《第8讲 分式方程及其应用》 (共17张PPT)
2．请选择一组a，b的值，写出一个关于x的形如
a x－2
＝b的分
式 ___方x_－_程2_2_，＝__使－__它1__的(答解案是不x＝唯0一，)这．样的分式方程可以是
[解析]本题的结论是开放的，答案不唯一，实际上 a、b 的 值只要满足 a＝－2b(ab≠0)即可，比如 a＝2，b＝－1，将 a、b 的值代入方程．
第8讲 分式方程及其应用
┃考点自主梳理与热身反馈 ┃ 考点1 分式方程及相关概念
分式方程
分式方程的解 可化为一元 一次方程的 分式方程
分母_含__有__未__知_数____的方程叫做分式 方程
能够使分式方程成立的未知数的值
去分母后方程是一元一次方程
第8讲┃ 分式方程及其应用
1.若x＝1是分式方程x＋1 1＝3xk的根，则实数k＝___16_____．
第8讲┃ 分式方程及其应用
列分式 方程
解应用 题
步骤 关键
易错点
审、设、列、解、验、答 找出等量关系
在解所列分式方程时，必 须验根
第8讲┃ 分式方程及其应用
7.为响应承办“绿色城市”的号召，九年级(1)班全体师生义 务植树300棵．原计划每小时植树x棵，但由于参加植树的全体师 生植树的积极性高涨，实际工作效率提高为原计划的1.2倍，结 果提前20分钟完成任务．则下面所列方程中，正确的是( A )
第8讲┃ 分式方程及其应用
解：(1)设第一次每个书包的进价是 x 元， 30x00－20＝214.20x0， 解得 x＝50. 经检验，x＝50 是原方程的根且符合题意， 故第一次每个书包的进价是 50 元． (2)设打 y 折销售． 2400÷(50×1.2)＝40， 80×20＋80×0.1y×20－2400≥480， y≥8.故最低可打 8 折.
中考数学复习第8课时《分式方程及其应用》说课稿
中考数学复习第8课时《分式方程及其应用》说课稿一. 教材分析《分式方程及其应用》是中考数学复习的第8课时，主要内容是分式方程的定义、性质、解法及其应用。
本节课的内容在中考中占有重要的地位，是学生必须掌握的基础知识。
通过本节课的学习，学生能够理解和掌握分式方程的基本概念，能够熟练地解分式方程，并能够将分式方程应用到实际问题中。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了分式的基本概念和性质，对分式的运算有一定的了解。
但是，学生对分式方程的理解和掌握程度参差不齐，部分学生对分式方程的解法不够熟练，对分式方程的应用更是感到困惑。
因此，在教学过程中，教师需要针对学生的实际情况，进行有针对性的教学，帮助学生理解和掌握分式方程的知识。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解分式方程的定义，掌握分式方程的解法，能够将分式方程应用到实际问题中。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流的方式，学生能够培养自己的问题解决能力和合作能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够体验到数学在实际生活中的应用，增强对数学的兴趣和信心。
四. 说教学重难点1.教学重点：分式方程的定义、性质、解法及其应用。
2.教学难点：分式方程的解法，分式方程的应用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用自主学习、合作交流、教师讲解相结合的教学方法。
2.教学手段：利用多媒体课件进行教学，帮助学生直观地理解分式方程的概念和性质。
六. 说教学过程1.导入：通过一个实际问题，引导学生思考如何用数学方法解决实际问题，从而引出分式方程的概念。
2.自主学习：学生自主学习分式方程的定义和性质，通过多媒体课件的演示，帮助学生直观地理解分式方程的概念和性质。
3.合作交流：学生分组讨论分式方程的解法，通过小组合作，共同解决问题。
4.教师讲解：教师针对学生的讨论情况进行讲解，重点讲解分式方程的解法和应用。
5.巩固练习：学生进行课堂练习，巩固所学知识。
6.课堂小结：教师引导学生对所学知识进行总结，帮助学生形成知识体系。
中考初三数学 一轮复习导学案及专题精练 (含答案)
中考一轮复习导学案及专题精练目录➢第1讲实数概念与运算➢第2讲整式与因式分解➢第3讲分式➢第4讲二次根式➢第5讲一元一次方程及其应用➢第6讲一次方程组及其应用➢第7讲一元二次方程及其应用➢第8讲分式方程及其应用➢第9讲一元一次不等式组及其应用➢第10讲平面直角坐标系与函数➢第11讲一次函数的图象与性质➢第12讲一次函数的应用➢第13讲反比例函数➢第14讲二次函数的图象及其性质➢第15讲二次函数与一元二次方程➢第16讲二次函数的应用➢第17讲几何初步及平行线相交线➢第18讲三角形与多边形➢第19讲全等三角形➢第20讲等腰三角形➢第21讲直角三角形与勾股定理➢第22讲相似三角形及其应用第1讲 实数概念与运算一、知识梳理实数的概念1、实数、有理数、无理数、绝对值、相反数、倒数的概念。
(1)_____________叫有理数，_____________________叫无理数；______________叫做实数。
(2)相反数：①定义：只有_____的两个数互为相反数。
实数a 的相反数是______0的相反数是________②性质： 若a+b=0 则a 与b 互为______, 反之，若a 与b 互为相反数，则a+b= _______(3)倒数：①定义：1除以________________________叫做这个数的倒数。
②a 的倒数是________(a ≠0)(4)绝对值：① 定义：一般地数轴上表示数a 的点到原点的_______, 叫数a 的绝对值。
②2、平方根、算术平方根、立方根(1)平方根：一般地，如果_________________________,这个数叫a 的平方根，a 的平方根表示为_________.（a ≥0）(2)算术平方根：正数a 的____的平方根叫做a 的算术平方根，数a 的算术平方根表示为为_____（a ≥0）(3)立方根：一般地，如果_________,这个数叫a 的立方根，数a 的立方根表示为______。
(新课标)2014届中考数学查漏补缺第一轮基础复习 第8讲 分式方程及其应用课件 华东师大版
第8讲┃ 回归教材
解：(1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增 长率为x，根据题意，得： 5000(1＋x)2＝7200， 解得：x1＝0.2，x2＝－2.2(不合题意，舍去)． 即年平均增长率为20%. (2)7200×(1＋20%)＝8640. 答：(1)这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长 率为20%；(2)2012年我国公民出境旅游总人数约8640万人 次．
第8讲┃ 归类示例
解分式方程常见的误区： (1)忘记验根； (2)去分母时漏乘整式的项； (3)去分母时，没有注意符号的变化．
第8讲┃ 归类示例 ► 类型之三 分式方程的应用
命题角度： 1．利用分式方程解决生活实际问题； 2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．
第8讲┃ 归类示例
[2012· 厦门 ] 工厂加工某种零件，经测试，单独加 工完成这种零件，甲车床需用 x 小时，乙车床需用 (x2－ 1)小 时，丙车床需用 (2x－ 2)小时． (1)单独加工完成这种零件，若甲车床所用的时间是丙车 2 床的 ，求乙车床单独加工完成这种零件所需的时间； 3 (2)加工这种零件，乙车床的工作效率与丙车床的工作效 率能否相同？请说明理由．
归类示例
► 类型之一 分式方程的概念
命题角度： 1．分式方程的概念； 2．分式方程的增根．
1－kx 1 [2012· 攀枝花 ] 若分式方程 2 ＋ ＝ 无 x－2 2－x
1或2 解，则 k＝________.
第8讲┃ 归类示例
1－ kx 1 [解析 ] ∵分式方程 2＋ ＝ 有增根， x－ 2 2－ x 去分母得 2(x－ 2)＋ 1－ kx＝－ 1， 整理得 (2－ k)x＝ 2， 2 当 2－ k≠ 0 时， x＝ . 2－ k 当 2－ k＝ 0 时，此方程无解，即 k＝ 2 时，原方程无解． 1－ kx 1 ∵分式方程 2＋ ＝ 有增根， x－ 2 2 － x ∴ x－ 2＝ 0， 2－ x＝ 0， 解得 x＝ 2， 2 即 ＝ 2，解得 k＝ 1. 2－ k
中考数学一轮复习专题解析—分式方程及其应用
中考数学一轮复习专题解析—分式方程及其应用复习目标1、了解分式方程的概念。
2、会解分式方程，理解解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题。
考点梳理一、分式方程的定义分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程．注意：（1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.（2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程.二、分式方程的解法去分母法，换元法．例1、解分式方程：=﹣．【答案】先去分母将分式方程化为整式方程，求出整式方程的解，再进行检验. 【解析】解：方程两边同乘以（2x+1）（2x﹣1），得x+1=3(2x-1)-2(2x+1)x+1=2x-5，解得x=6．检验：x=6是原方程的根． 故原方程的解为：x=6． 三、解分式方程的一般步骤(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程；(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 例2、解分式方程：21233x x x -+=--． 【答案】方程两边同乘以3x -，得22(3)1x x -+-=，2261x x -+-=． 5x =．经检验：5x =是原方程的解，所以原方程的解是5x =．注意：解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 四、解应用题的步骤(1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值；(5)检验所求的答数是否符合题意，并做答．例3、甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动，已知乙班每小时比甲班多种2棵树，甲班种60棵所用的时间与乙班种66棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树？【要点诠释】方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想．注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 综合训练1．（2022·陕西西安市·交大附中分校九年级模拟预测）某修路队计划x 天内铺设铁路120km ，由于采用新技术，每天多铺设铁路3km ，因此提前2天完成计划，根据题意，可列方程为（ ） A ．12012032x x =+- B ．12012032x x=+- C ．12012032x x=++ D ．12012032x x =++ 【答案】B 【分析】表示出原计划和实际的工作效率，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km ，列出方程即可． 【详解】解：原计划每天修建道路120xm ，则实际用了（x ﹣2）天，每天修建道路为1202x -m ，根据采用新技术，每天多铺设铁路3km 得，12012032x x=+-． 故选：B ．2．（2022·连云港市新海实验中学九年级二模）甲队3小时完成了工程进度的一半，为了加快进度，乙队也加入进来，两队合作1.2小时完成工程的另一半．设乙队单独完成此项工程需要x 小时，据题意可列出方程为（ ） A ．1.2 1.216x+= B ．1.2 1.213x+= C ．1.2 1.2162x += D ．1.2 1.2132x += 【答案】C 【分析】根据题意可以得到甲乙两队的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：∵甲队3小时完成了工程进度的一半， ∴甲队的工作效率为16设乙队单独完成此项工程需要x 小时， ∴甲队的工作效率为1x由题意可得，1.2 1.2162x +=， 故选：C ．3．（2022·哈尔滨市第十七中学校九年级开学考试）分式方程1x x +12x +-＝1的解是（ ） A ．x ＝1 B ．x ＝﹣1C ．x ＝3D ．x ＝﹣3【答案】A 【分析】观察可得最简公分母是x （x ﹣2），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解即可． 【详解】 解：112x x x ++-＝1， 去分母，方程两边同时乘以x （x ﹣2）得： （x +1）（x ﹣2）+x ＝x （x ﹣2）， x 2﹣x ﹣2+x ＝x 2﹣2x ， x ＝1，经检验，x ＝1是原分式方程的解． 故选：A ．4．（2022·福建省厦门第六中学）某次列车平均提速v km/h ，用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50km ，则方程50ss v xx++= 所表达的等量关系是（ ）A ．提速前列车行驶s km 与提速后行驶(s ＋50)km 的时间相等B ．提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v kmC ．提速后列车行驶(s ＋50)km 的时间比提速前列车行驶s km 多v hD ．提速后列车用相同的时间可以比提速前多开50km 【答案】B 【分析】根据题意可以知道s +50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程，根据路程=速度×时间公式即可得到答案， 【详解】解：∵用相同的时间，列车提速前行驶s km ，提速后比提速前多行驶50km ∴s +50表示列车提速后同样的时间内行驶的路程， ∵某次列车平均提速v km/h ，路程=速度×时间 ∴方程50s s v xx++=表达的含义提速后列车每小时比提速前列车每小时多开v km ， 故选B.5．（2022·四川巴中·中考真题）关于x 的分式方程2m xx+--3＝0有解，则实数m 应满足的条件是（ ） A ．m ＝﹣2 B ．m ≠﹣2 C ．m ＝2 D ．m ≠2【答案】B 【分析】解分式方程得：63m x x +=-即46x m =-，由题意可知2x ≠，即可得到68m -≠. 【详解】 解：302m xx+-=- 方程两边同时乘以2x -得：630m x x +-+=，∴46x m=-，∵分式方程有解，∴20x-≠，∴2x≠，∴68m-≠，∴2m≠-，故选B.6．（2022·全国九年级单元测试）一个不透明的布袋里装有3个红球、2个黑球、若千个白球．从布袋中随机摸出一个球，摸出的球是红球的是概率是310，袋中白球共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个【答案】C【分析】设白球有x个，根据摸出的球是红球的概率是310，利用概率公式列出方程，解之可得．【详解】设白球有x个，由题意得：33 3210x=++，解得x=5．经检验，x=5是方程的解，故答案为：C．7．（2022·哈尔滨市第六十九中学校九年级一模）分式方程2152x x =+-的解是______． 【答案】9x = 【分析】方程两边都乘(5)(2)x x +-得出2(2)5x x -=+，求出方程的解，再进行检验即可． 【详解】 解：2152x x =+-， 方程两边同乘(5)(2)x x +-，得2(2)5x x -=+， 去括号，得245x x -=+ 移项得：9x =，经检验，9x =是原方程的解， 故答案为：9x =．8．（2022·西安市铁一中学九年级开学考试）若关于x 的分式方程2x x -﹣2＝3mx -有增根，则m ＝___． 【答案】0 【分析】先把分式方程化为整式方程，再根据有增根求出x ，代入求值即可； 【详解】2x x -﹣2＝3mx -， ()()()()32232x x x x m x ----=-， 223210122x x x x mx m --+-=-，∴()271220x m x m -+--+=， ∵方程有增根， ∴()()230x x --=， ∴2x =或3x =，当2x =时，41421220m m -+--+=，不存在； 当3x =时，92131220m m -+--+=，解得0m =； 故答案是0．9．（2022·山东济宁学院附属中学九年级期末）某商场准备在济宁义乌批发城采购一批特色商品，经调查，用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，一件A 型商品的进价比一件B 型商品的进价多10元． （1）求一件A 、B 型商品的进价分别为多少元？（2）若该商场购进A 、B 型商品共160件进行试销，其中A 型商品的件数不小于B 型的件数，且总成本不能超过24840元，则共有几种进货方案？（3）已知A 型商品的售价为240元/件，B 型商品的售价为220元/件，且全部售出，在第（2）问条件下，哪种方案利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）一件A 型商品的进价为160元，一件B 型商品的进价为150元；（2）有5种进货方案；（3）购进84件A 型商品，76件B 型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元 【分析】（1）设一件B 型商品的进价为x 元，则一件A 型商品的进价为（x +10）元，根据数量=总价÷单价结合用16000元采购A 型商品的件数是用7500元采购B 型商品的件数的2倍，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，根据“A型商品的件数不小于B型的件数，且总成本不能超过24840元”，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可得出各进货方案；（3）利用总利润=每件的利润×销售数量，可分别求出五个进货方案可获得的销售利润，比较后即可得出结论．【详解】解：（1）设一件B型商品的进价为x元，则一件A型商品的进价为（x+10）元，依题意得：160007500210x x=⨯+，解得：x=150，经检验，x=150是原方程的解，且符合题意，∴x+10=160．答：一件A型商品的进价为160元，一件B型商品的进价为150元．（2）设购进A型商品m件，则购进B型商品（160-m）件，依题意得：160160150(160)24840m mm m≥-⎧⎨+-≤⎩，解得：80≤m≤84，又∵m为整数，∴m可以为80，81，82，83，84，∴共有5种进货方案，方案1：购进80件A型商品，80件B型商品；方案2：购进81件A型商品，79件B型商品；方案3：购进82件A型商品，78件B型商品；方案4：购进83件A 型商品，77件B 型商品；方案5：购进84件A 型商品，76件B 型商品．（3）方案1可获得的销售利润为（240-160）×80+（220-150）×80=12000（元）；方案2可获得的销售利润为（240-160）×81+（220-150）×79=12010（元）；方案3可获得的销售利润为（240-160）×82+（220-150）×78=12020（元）；方案4可获得的销售利润为（240-160）×83+（220-150）×77=12030（元）；方案5可获得的销售利润为（240-160）×84+（220-150）×76=12040（元）．∵12000＜12010＜12020＜12030＜12040，∴购进84件A 型商品，76件B 型商品时获得的销售利润最大，最大利润为12040元．10．（2022·重庆实验外国语学校九年级开学考试）解方程： （1）225x x +=；（2）14733x x x-+=--．【答案】（1）11x =-21x =-（2）无解．【分析】（1）利用配方法解一元二次方程即可；（2）去分母将分式方程化为整式方程，解方程，检验即可．【详解】解：（1）225x x +=，2(1)6x ∴+=，1∴+=x∴11x =-21x =-（2）去分母得，17(3)(4)x x +-=--， 解得3x =，检验：当3x =时，30x -=， ∴3x =是方程的增根，所以，原分式方程无解．。
分式方程中考数学第一轮总复习课件
施工30米才能按时完成任务.设原计划每天施工x米,所列方程正确的是( A)
A.1 0x00－x1＋00300=2
B.x1＋00300－1
000=2 x
C.1 0x00－x1－00300=2
D.x1－00300－1
000=2 x
工作量 工作效率 工作时间
原计划 1000
x
实际 1000 x+30
1000 x
步骤
将整式方程的解代入_最_简__公__分_母____；
检验 如果最简公分母的值不为0,则整式方程的解是原分式方程的解；
否则,这个解不是原分式方程的解.
典例精讲
分式方程的解法
【例2】解方程： x 3 1 3 x2 2x
解：方程两边同时乘以x-2得：
x-3+x-2=-3
解得：x=1
检验：当x=1时，x-2≠0,
2x 1
A.m≥-4 B.m≥-4且m≠-3 C.m＞-4 D.m＞-4且m≠-3
(1)方程两边同时乘以(x-1)(x+2)得：
x(x+2)-(x-1)(x+2)=m 解得：x=m-2
∵方程的增根为x=1或x=-2，
∴m=3或m=0
(2)方程两边同时乘以(2x-1)得：
m+3=2x-1 解得：x=(m+4)/2
∴原方程的解为：x=1.
知识点二
01
考点聚焦 02 分式方程的解法 03 分式方程的应用
精讲精练
考点聚焦
行程问题
常见 问题 工程问题
销售问题
分式方程的应用
速度
时间
甲
乙
工作效率
工作时间
甲
乙
2024年九年级中考数学一轮复习课件：分式方程的解法及其应用
重点2 分式方程的应用(9年6考)
【广东中考高
频考点·
常与不等式结合考查】
例 2 ： (2023·广 东 ) 某 学 校 开 展 了 社 会 实 践 活 动， 活 动 地 点 距 离 学 校
12km，甲、乙两同学骑自行车同时从学校出发，甲的速度是乙的1.2
倍，结果甲比乙早到10min，求乙同学骑自行车的速度.
解：(2)方程两边同乘2(3x－1)，得
2x－5＝3x－3－3(x－2)，
3(3x－1)－2＝5，
解得x＝4.
解得x＝ .
检验：当x＝4时，x－2≠0.
∴原分式方程的解是x＝4.
检验：当x＝ 时，2(3x－1)≠0.
∴原分式方程的解是x＝ .
4.( 广 东 中 考 ) 某 社 区 拟 建 A ， B 两 类 摊 位 以 搞 活 “ 地 摊 经 济 ” ， 每 个 A 类
分式方程的解法及其应用
1
知识梳理
知识点1
分式方程的概念及其解法
(1)分式方程的概念：分母中含有
(2)分式方程的解法
未知数
的方程叫做分式方程.
1.(1)下列是分式方程的是( B )
A.2x－1＝3
1
B.
＝3
2−1
C.2x2－1＝3
−1
D. ＝3
5
5
7
(2)方程 ＝ 的解是
−2
D.m＞－1且m≠1
植相同数量的树木，该活动开始后，实际每天比原计划每天多植树50
中考数学(山西省)复习课件：第8讲 分式方程及其应用
【点评】 分式方程解应用题．注意双重检验，先检验是否有 增根，再检验是否符合题意．
[对应训练]
2．(2015·山西百校联考一)如图，某单位向一所中学赠送800件
文具，现用A，B两种不同的包装箱进行包装，已知每个B型包装
箱比A型包装箱多装15件文具，单独使用B型包装箱比单独使用A
型包装箱可少用12个．设B型包装箱每个可以装x件文具，根据题
1如何由增根求参数的值： (1)将原方程化为整式方程；(2)将增根代入变形后的整式方程，求出 参数的值． 2检验分式方程的根是否为增根的方法： (1)利用方程的解的意义进行检验；(2)将解得的整式方程的根代入最 简公分母，看计算结果是否为0，若不为0就是原方程的根，若为0 则为增根，必须舍去．
3增根与无解： 分式方程的增根与无解并非同一个概念，分式方程无解，可能是解 为增根，也可能是去分母后的整式方程无解．而分式方程的增根是 去分母后整式方程的根，也是使分式方程的分母为0的根．
意列方程式为( B )
A.8x00＝x8－0015＋12 C.80x0＝x8＋0015＋12
B.8x00＝x8－0105－12 D.8x00＝x8＋0105－12
试题 解下列方程：(1)x－2 1－x＋3 1＝xx2＋－31； (2)xx＋ －15＝1＋x2－x5； (3)xx＋ －12－1x－ －x2＝1.
错解 (1)解：方程两边同乘以(x2－1)，得：2(x＋1)－3(x－1)＝x＋3，解 得：x＝1； (2)解：方程两边同乘以(x－5)，得：x＋1＝1＋2x，解得：x＝0， 检验：当x＝0时，x－5≠0，故x＝0是原方程的解； (3)解：方程两边同乘以(x－2)，得：x＋1－1－x＝x－2，解得：x ＝2，检验：当x＝2时，x－2＝0，故x＝2不是原方程的解，原方 程无解．
2024内蒙古中考数学一轮知识点复习 第8课时 分式方程及其应用(课件)
5．解分式方程： x 1－
x
x
3
＝1.
1
解：方程两边同乘以x(x－1)，得(x＋1)(x－1)－3x＝x(x－1)，
解：(1)设每副象棋x元，则每副围棋(x＋8)元， 由题意，得 350 630 ，
x x8
解得x＝10，
经检验，x＝10是原分式方程的解，且符合题意，
∴x＋8＝18(元)，
答：每副象棋10元，每副围棋18元；
(2)由于学生积极参与，全校有150人报名参加围棋班⑤，120人报名参加 象棋班⑥，学校计划平均分成若干个小组，已知围棋班一个小组的人数 比象棋班一个小组的人数多50%⑦，结果围棋班比象棋班少5组⑧，求围 棋班一个小组的人数．
【分层分析】设小刚的平均速度为x米/分钟，则根据题干⑪可得小明
的平均速度为_2_x______米/分钟，根据题干⑨可得小刚到达少年宫所用
4800
4800的时ຫໍສະໝຸດ 为___x_____，小明到达少年宫所用的时间为__2_x_____，根据题
干⑩可列等量关系式为___4_8_x0_0___42_80x_0___1_5______________．
易错警示
解分式方程时，需注意以下三点： 1．最简公分母与分母互为相反数时注意符号； 2．常数项或整式部分也要乘最简公分母； 3．注意检验，检验解出的根是否会使最简公分母为零．
提升关键能力
例2
一题多设问 某校为了落实让中华传统体育在校园
绽放光彩，计划在课余时间开设象棋班和围棋班．
(1)现需购买一批数量相同的象棋和围棋供兴趣班使用①，其中购买象棋
解：方程两边同乘(x－1)(x＋1)，得3x＋3－x－3＝0，
解得x＝0，
检验：当x＝0时，(x－1)(x＋1)＝－1≠0，
中考数学全程大一轮复习课件 第3单元 第8课时 分式方程
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考点2 分式方程的应用[核心考点]
基本步骤
审、设、列、解、验、答．
分式方程的应用题主要包括工程问题、行程问题等，每
工作总量 个问题中涉及三个量的关系，如工作时间＝工作效率， 常见类型
路程 时间＝速度等，如果工作总量或路程已知，另外的两个
量又分别具有某种等量关系，通常可建立分式方程模型.
全 程夺 冠
中考突破•数学
第一轮 第一部分 第三单元 第8课时
第一部分 数与代数
第三单元 方程(组)与不等式(组) 第8课时 分式方程
考点梳理 归类探究 课时作业
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考点梳理
考点1 分式方程及解法[核心考点]
定义 分母里含有 未知数 的方程叫做分式方程． 解分式方程的基本思路是将分式方程转化为 整式 方程． 基本步骤： (1)去分母，在方程的两边同时乘 最简公分母 ，化成整式方程．
k<3且k≠1 .
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【解析】 去分母，得k－1＝2x＋2， 解得x＝k－2 3. 由分式方程的解为负数，得k－2 3<0，且x＋1≠0，即k－2 3≠－1， 解得k<3且k≠1， ∴k的取值范围为k<3且k≠1.
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类型之四 分式方程的应用
4 (2018·山西)2018年1月20日，山西迎来了“复兴号”列车，与“和谐号”相 比，“复兴号”列车时速更快，安全性更好．已知“太原南－北京西”全程大约
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【点悟】 解含有未知字母的分式方程时，通常先将它化为整式方程，把未知数 用待定字母表示，且考虑分式方程的增根情况(如本题中要求x－3≠0)，进而得到 关于待定字母的不等式(组)再求解．
中考数学一轮复习 第8讲 分式方程及其应用导学案
第8讲分式方程及其应用一、知识梳理分式方程分式方程的解法把分式方程转化为整式方程，即分式分式方程的应用列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意．二、题型、技巧归纳考点1分式方程的概念例1 若分式方程2＋1－kx x －2＝12－x有增根，则k ＝________. 技巧归纳:1．分式方程的概念；2．分式方程的增根．考点2分式方程的解法例2 解方程：3x ＋2＋1x ＝4x 2＋2x技巧归纳:1．去分母法；2．换元法 ．3．注意解分式方程必须检验．考点3分式方程的应用例3为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日比原计划多种13，结果提前4天完成任务．原计划每天种多少棵树？例4、某校甲、乙两组同学同时出发去距离学校4 km的植物园参观，甲组步行，乙组骑自行车，结果乙组比甲组早到20 min.已知骑自行车的速度是步行速度的2倍，求甲、乙两组的速度．技巧归纳:1．利用分式方程解决生活实际问题；2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．三、随堂检测1. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（）A. B. C. D.2. 如果关于x的方程A. B. C. D. 33. 求x为何值时，代数式的值等于2？4.徐州至上海的铁路里程为650 km.从徐州乘“G”字头列车A、“D” 字头列车B都可直达上海，已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶的时间比B车少2.5 h.(1)设B车的平均速度为x km/h，根据题意，可列分式方程：________________；(2)求A车的平均速度及行驶时间.参考答案例1、k ＝1例2、x ＝12例3、解：设原计划每天种x 棵树，实际每天种树⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x 棵． 根据题意，得480x －480⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋13x ＝4. 解这个方程，得x ＝30.经检验x ＝30是原方程的解且符合题意．答：原计划每天种树30棵．例4、解：设甲组的速度为x k m/h ，乙组的速度为2x km/h ，根据题意，得4x －42x ＝2060，解得x ＝6. 经检验，x ＝6是方程的解．∴甲组的速度为6 km/h ，乙组的速度为12 km/h.随堂检测1、 B2、 B3、解：由已知得的值等于2。
数学中考第一轮复习讲义：数学中考第一轮复习讲义：第8讲 分式方程
第八讲分式方程1．分式方程:分母中含有的方程叫分式方程.2．解分式方程的一般步骤：（1）去分母，在方程的两边都乘以，约去分母，化成整式方程；（2）解这个整式方程；（3）验根，把整式方程的根代入，看结果是不是零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解方程，求出辅助未知数的值；③把代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：分式方程的应用题与一元一次方程应用题类似，不同的是要注意检验：（1）检验所求的解是否是所列；（2）检验所求的解是否 .1．（2017哈尔滨）方程=的解为（）A．x=3 B．x=4 C．x=5 D．x=﹣52．（2017贵州）分式方程=1﹣的根为（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣34．（2017乌鲁木齐）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（）A．﹣=5 B．﹣=5C． +5= D．﹣=55．（2017青海西宁）西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（）A． +=1 B． += C． += D． +=1 6．（2017•新疆）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．= B．= C．= D．=7. （2017江苏盐城）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？题型一分式方程的解法【例题】（2017黑龙江佳木斯）已知关于x的分式方程=的解是非负数，那么a的取值范围是（）A．a＞1 B．a≥1 C．a≥1且a≠9 D．a≤1【考点】B2：分式方程的解；C6：解一元一次不等式．【分析】根据分式方程的解法即可求出a的取值范围；【解答】解：3（3x﹣a）=x﹣3，9x﹣3a=x﹣3，8x=3a﹣3∴x=，由于该分式方程有解，令x=代入x﹣3≠0，∴a≠9，∵该方程的解是非负数解，∴≥0，∴a≥1，∴a的范围为：a≥1且a≠9，故选（C）【变式】（2017•黑龙江）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（）1．A．a≥1 B．a＞1 C．a≥1且a≠4 D．a＞1且a≠4【考点】B2：分式方程的解．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，根据解为非负数及分式方程分母不为0求出a的范围即可．【解答】解：去分母得：2（2x﹣a）=x﹣2，解得：x=，由题意得：≥0且≠2，解得：a≥1且a≠4，故选：C．【点评】此题考查了分式方程的解，需注意在任何时候都要考虑分母不为0．2.解方程：．【答案】．【解析】方程两边同乘以，得，解得．经检验，是原方程的根．∴原方程的解为．题型二分式方程的增根【例题】（2017毕节）关于x的分式方程+5=有增根，则m的值为（）A．1 B．3 C．4 D．5【考点】B5：分式方程的增根．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得7x+5（x﹣1）=2m﹣1，∵原方程有增根，∴最简公分母（x﹣1）=0，解得x=1，当x=1时，7=2m﹣1，解得m=4，所以m的值为4．故选C．【变式】（2017山东聊城）如果解关于x的分式方程﹣=1时出现增根，那么m的值为（）A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣4【考点】B5：分式方程的增根．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣2=0，确定可能的增根；然后代入化为整式方程的方程求解，即可得到正确的答案．【解答】解：﹣=1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：m+2x=x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x=2时，m+4=2﹣2，m=﹣4，故选D．题型三分式方程的应用【例题】（2017山东泰安）某服装店用10000元购进一批某品牌夏季衬衫若干件，很快售完；该店又用14700元钱购进第二批这种衬衫，所进件数比第一批多40%，每件衬衫的进价比第一批每件衬衫的进价多10元，求第一批购进多少件衬衫？设第一批购进x件衬衫，则所列方程为（）A．﹣10=B． +10=C．﹣10=D． +10=【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据题意表示出衬衫的价格，利用进价的变化得出等式即可．【解答】解：设第一批购进x件衬衫，则所列方程为：+10=．故选：B．２．（2016·山东省菏泽市·3分）列方程或方程组解应用题：为了响应“十三五”规划中提出的绿色环保的倡议，某校文印室提出了每个人都践行“双面打印，节约用纸”．已知打印一份资料，如果用A4厚型纸单面打印，总质量为400克，将其全部改成双面打印，用纸将减少一半；如果用A4薄型纸双面打印，这份资料的总质量为160克，已知每页薄型纸比厚型纸轻0.8克，求A4薄型纸每页的质量．（墨的质量忽略不计）【考点】分式方程的应用．【分析】设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，然后根据“双面打印，用纸将减少一半”列方程，然后解方程即可．【解答】解：设A4薄型纸每页的质量为x克，则A4厚型纸每页的质量为（x+0.8）克，根据题意，得： =2×，解得：x=3.2，经检验：x=3.2是原分式方程的解，且符合题意，答：A4薄型纸每页的质量为3.2克．【点评】本题主要考查分式方程的应用，根据题意准确找到相等关系并据此列出方程是解题的关键．【变式】1．（2016•南充）某次列车平均提速20km/h，用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，设提速前列车的平均速度为xkm/h，下列方程正确的是（）A．=B．=C．=D．=【分析】直接利用相同的时间，列车提速前行驶400km，提速后比提速前多行驶100km，进而得出等式求出答案．【解答】解：设提速前列车的平均速度为xkm/h ，根据题意可得：=．故选：A ．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，根据题意得出正确等量关系是解题关键．2.（2015·辽宁大连）甲乙两人制作某种机械零件.已知甲每小时比乙多做3个，甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，求甲乙两人每小时各做多少个零件？【答案】24和21个 【解析】试题分析：设乙每小时做x 个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，根据等量关系：甲做96个所用时间与乙做84个所用时间相等，列出方程即可得解；试题解析：设乙每小时做x 个零件，则甲每小时做（x+3)个零件，由题意得：x843x 96=+解得x=21，经检验x=21是方程的解，x+3=24. 答：甲乙两人每小时各做24和21个零件.【点评】列分式方程解决实际问题关键是找到“等量关系”，将实际问题抽象为方程问题．同时，既要注意求得的根是否是原分式方程的根，又要根据具体问题的实际意义，检验是否合理．【典例解析】【例题1】．（2017山东滨州）分式方程﹣1=的解为（ ）A ．x=1B ．x=﹣1C ．无解D ．x=﹣2【考点】B3：解分式方程．【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x （x+2）﹣（x ﹣1）（x+2）=3， 整理得：2x ﹣x+2=3 解得：x=1，检验：把x=1代入（x ﹣1）（x+2）=0， 所以分式方程的无解． 故选C ．【例题2】（2017山东泰安）分式与的和为4，则x的值为 3 ．【考点】B3：解分式方程．【分析】首先根据分式与的和为4，可得： +=4，然后根据解分式方程的方法，求出x的值为多少即可．【解答】解：∵分式与的和为4，∴+=4，去分母，可得：7﹣x=4x﹣8解得：x=3经检验x=3是原方程的解，∴x的值为3．故答案为：3．【例题3】（2017•温州）甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务，已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同，问甲每天铺设多少米？设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：=．【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】设甲每天铺设x米，则乙每天铺设（x+5）米，根据铺设时间=铺设任务和甲、铺设速度乙完成铺设任务的时间相同列出方程即可．【解答】解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天铺设（x+5）米，由题意得：=．故答案是：=．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程．【例题4】（2017贵州安顺）某商场计划购进一批甲、乙两种玩具，已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同．（1）求每件甲种、乙种玩具的进价分别是多少元？（2）商场计划购进甲、乙两种玩具共48件，其中甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，求商场共有几种进货方案？【考点】B7：分式方程的应用；CE：一元一次不等式组的应用．【分析】（1）设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，根据已知一件甲种玩具的进价与一件乙种玩具的进价的和为40元，用90元购进甲种玩具的件数与用150元购进乙种玩具的件数相同可列方程求解．（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，根据甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，商场决定此次进货的总资金不超过1000元，可列出不等式组求解．【解答】解：设甲种玩具进价x元/件，则乙种玩具进价为（40﹣x）元/件，=x=15，经检验x=15是原方程的解．∴40﹣x=25．甲，乙两种玩具分别是15元/件，25元/件；（2）设购进甲种玩具y件，则购进乙种玩具（48﹣y）件，，解得20≤y＜24．因为y是整数，甲种玩具的件数少于乙种玩具的件数，∴y取20，21，22，23，共有4种方案．【中考热点】考点1．（2017•宜昌）分式方程=1的解为（）A．x=﹣1 B．x=C．x=1 D．x=2【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：2x﹣1=x﹣2，解得：x=﹣1，经检验x=﹣1是分式方程的解，则分式方程的解为x=﹣1．故选：A．【点评】此题考查了分式方程的解，解分式方程利用了转化的思想，还有注意不要忘了检验．考点2．（2016•重庆）从﹣3，﹣1，，1，3这五个数中，随机抽取一个数，记为a，若数a使关于x的不等式组无解，且使关于x的分式方程﹣=﹣1有整数解，那么这5个数中所有满足条件的a的值之和是（）A．﹣3 B．﹣2 C．﹣D．【分析】根据不等式组无解，求得a≤1，解方程得x=，于是得到a=﹣3或1，即可得到结论．【解答】解：解得，∵不等式组无解，∴a≤1，解方程﹣=﹣1得x=，∵x=为整数，a≤1，∴a=﹣3或1，∴所有满足条件的a的值之和是﹣2，故选B．【点评】本题考查了解分式方程，解一元一次不等式组，熟练掌握解分式方程和一元一次不等式组的方法是解题的关键．考点3．（2016•内江）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C地．已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米．甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时．结果两人同时到达C地．求两人的平均速度，为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时．由题意列出方程．其中正确的是（）A．=B．=C．=D．=【分析】设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，则甲骑自行车的平均速度为（x+2）千米/时，根据题意可得等量关系：甲骑110千米所用时间=乙骑100千米所用时间，根据等量关系可列出方程即可．【解答】解：设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意得：=，故选：A．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．考点4. （2017毕节）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同．（1）求这种笔和本子的单价；（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案．【考点】B7：分式方程的应用；95：二元一次方程的应用．【分析】（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，根据题意可得等量关系：30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程=，再解方程可得答案；（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价×这种笔的支数m+本子的单价×本子的本数n=1000，再求出整数解即可．【解答】解：（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x﹣4）元，由题意得：=，解得：x=10，经检验：x=10是原分式方程的解，则x﹣4=6．答：这种笔单价为10元，则本子单价为6元；（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，由题意得：10m+6n=100，整理得：m=10﹣n，∵m、n都是正整数，∴①n=5时，m=7，②n=10时，m=4，③n=15，m=1；∴有三种方案：①购买这种笔7支，购买本子5本；②购买这种笔4支，购买本子10本；③购买这种笔1支，购买本子15本．一、选择题1. （2017•新疆）已知分式的值是零，那么x的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．±12．（2017湖南岳阳）解分式方程﹣=1，可知方程的解为（）A．x=1 B．x=3 C．x= D．无解3. （2016·黑龙江龙东·3分）关于x的分式方程=3的解是正数，则字母m 的取值范围是（）A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣34．分式方程23122xx x+=--的解为：（）A、1B、2C、13D、05. （2016·云南省昆明市·4分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．﹣=20 B．﹣=20 C．﹣= D．﹣=6．（2016·四川内江）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C 地，已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是( )A ．1102x +＝100xB ．1100x＝1002x + C ．1102x -＝100xD ．1100x＝1002x -7．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）若关于x 的分式方程=2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m 的值为（ ）A ．1，2，3B ．1，2C ．1，3D ．2，38. （2016·山东潍坊·3分）若关于x 的方程+=3的解为正数，则m 的取值范围是（ ）A ．m ＜B ．m ＜且m ≠ C ．m ＞﹣ D ．m ＞﹣且m ≠﹣ 9．关于x 的方程：c c x x 11+=+的解是c x =1，c x 12=，cc x x 11-=-解是c x =1，c x 12-= ， 则1111-+=-+c c x x 的解是 （ ） A.c x =1，112-=c x B.11-=c x ，12-=c cxC.c x =1，12-=c c xD.c x =1，12--=c cx二、填空题10. （2017.江苏宿迁）若关于x 的分式方程=﹣3有增根，则实数m 的值是 ．11．（2017湖北荆州）若关于x 的分式方程=2的解为负数，则k 的取值范围为 ．12. （2017四川南充）如果=1，那么m= ．13．若关于x 的方程m +=4-x 34-x 2-x 无解，则m=________. 14．（2016·四川泸州）分式方程﹣=0的根是 ．15．（2016·四川攀枝花）已知关于x 的分式方程+=1的解为负数，则k的取值范围是 ．三、解答题 16.解分式方程：（1）（2017宁夏）解方程：﹣=1．（2）解方程： +2=．17．（2017内蒙古赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．18．（2016·辽宁丹东·10分）某商场购进甲、乙两种商品，乙商品的单价是甲商品单价的2倍，购买240元甲商品的数量比购买300元乙商品的数量多15件，求两种商品单价各为多少元？19．马小虎的家距离学校1800米，一天马小虎从家去上学，出发10分钟后，爸爸发现他的数学课本忘记拿了，立即带上课本去追他，在距离学校200米的地方追上了他，已知爸爸的速度是马小虎速度的2倍，求马小虎的速度．20．（2017广西河池）某班为满足同学们课外活动的需求，要求购排球和足球若干个．已知足球的单价比排球的单价多30元，用500元购得的排球数量与用800元购得的足球数量相等．（1）排球和足球的单价各是多少元？（2）若恰好用去1200元，有哪几种购买方案？21．“2017年张学友演唱会”于6月3日在我市关山湖奥体中心举办，小张去离家2520米的奥体中心看演唱会，到奥体中心后，发现演唱会门票忘带了，此时离演唱会开始还有23分钟，于是他跑步回家，拿到票后立刻找到一辆“共享单车”原路赶回奥体中心，已知小张骑车的时间比跑步的时间少用了4分钟，且骑车的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍．（1）求小张跑步的平均速度；（2）如果小张在家取票和寻找“共享单车”共用了5分钟，他能否在演唱会开始前赶到奥体中心？说明理由．【知识归纳】1．分式方程:字母.2．解分式方程的一般步骤：（1）分母的最小公倍数；（2）解这个整式方程；（3）最简公分母.3. 用换元法解分式方程的一般步骤：①设辅助未知数，并用含辅助未知数的代数式去表示方程中另外的代数式；②解所得到的关于辅助未知数的新方程，求出辅助未知数的值；③把辅助未知数的值代入原设中，求出原未知数的值；④检验作答.4．分式方程的应用：（1）方程的根；（2）符合题意.【基础检测答案】1．（2017哈尔滨）方程=的解为（）A．x=3 B．x=4 C．x=5 D．x=﹣5【考点】B3：解分式方程．【分析】根据分式方程的解法即可求出答案．【解答】解：2（x﹣1）=x+3，2x﹣2=x+3，x=5，令x=5代入（x+3）（x﹣1）≠0，故选（C）2．（2017贵州）分式方程=1﹣的根为（）A．﹣1或3 B．﹣1 C．3 D．1或﹣3【考点】B3：解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3=x2+x﹣3x，解得：x=﹣1或x=3，经检验x=﹣1是增根，分式方程的根为x=3，故选C3．（2017山东临沂）甲、乙二人做某种机械零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，求甲、乙每小时各做零件多少个．如果设乙每小时做x个，那么所列方程是（）A．=B．=C．=D．=【分析】根据甲乙的效率，可设未知数，根据甲乙的工作时间，可列方程．【解答】解：设乙每小时做x个，甲每小时做（x+6）个，根据甲做90个所用时间与乙做60个所用时间相等，得=，故选：B．【点评】本题考查了分是方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．4．（2017乌鲁木齐）2017年，在创建文明城市的进程中，乌鲁木齐市为美化城市环境，计划种植树木30万棵，由于志愿者的加入，实际每天植树比原计划多20%，结果提前5天完成任务，设原计划每天植树x万棵，可列方程是（）A．﹣=5 B．﹣=5C． +5=D．﹣=5【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据题意给出的等量关系即可列出方程．【解答】解：设原计划每天植树x万棵，需要天完成，∴实际每天植树（x+0.2x）万棵，需要天完成，∵提前5天完成任务，∴﹣=5，故选（A）5．（2017青海西宁）西宁市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作1.2小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（）A． +=1 B． +=C． +=D． +=1【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据题意可以得到甲乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决．【解答】解：由题意可得，，故选B．6．（2016•泰安）某机加工车间共有26名工人，现要加工2100个A零件，1200个B零件，已（2017•新疆）某工厂现在平均每天比原计划多生产40台机器，现在生产600台机器所需的时间与原计划生产480台机器所用的时间相同，设原计划每天生产x台机器，根据题意，下面列出的方程正确的是（）A．=B．= C．= D．=【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】设原计划平均每天生产x台机器，根据题意可知现在每天生产（x+40）台机器，而现在生产600台所需时间和原计划生产4800台机器所用时间相等，从而列出方程即可．【解答】解：设原计划平均每天生产x台机器，根据题意得，=．故选B．【点评】此题主要考查了分式方程应用，利用本题中“现在平均每天比原计划多生产40台机器”这一个隐含条件，进而得出等式方程是解题关键．7. （2017江苏盐城）某商店在2014年至2016年期间销售一种礼盒．2014年，该商店用3500元购进了这种礼盒并且全部售完；2016年，这种礼盒的进价比2014年下降了11元/盒，该商店用2400元购进了与2014年相同数量的礼盒也全部售完，礼盒的售价均为60元/盒．（1）2014年这种礼盒的进价是多少元/盒？（2）若该商店每年销售这种礼盒所获利润的年增长率相同，问年增长率是多少？【考点】AD：一元二次方程的应用；B7：分式方程的应用．【分析】（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据2014年花3500元与2016年花2400元购进的礼盒数量相同，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设年增长率为m，根据数量=总价÷单价求出2014年的购进数量，再根据2014年的销售利润×（1+增长率）2=2016年的销售利润，即可得出关于m的一元二次方程，解之即可得出结论．【解答】解：（1）设2014年这种礼盒的进价为x元/盒，则2016年这种礼盒的进价为（x﹣11）元/盒，根据题意得： =，解得：x=35，经检验，x=35是原方程的解．答：2014年这种礼盒的进价是35元/盒．（2）设年增长率为m，2014年的销售数量为3500÷35=100（盒）．根据题意得：（60﹣35）×100（1+a）2=（60﹣35+11）×100，解得：a=0.2=20%或a=﹣2.2（不合题意，舍去）．答：年增长率为20%．【达标检测答案】一、选择题1. （2017•新疆）已知分式的值是零，那么x的值是（）A．﹣1 B．0 C．1 D．±1【考点】63：分式的值为零的条件．【专题】11 ：计算题．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子等于0；（2）分母不等于0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：若=0，则x﹣1=0且x+1≠0，故x=1，故选C．【点评】命题立意：考查分式值为零的条件．关键是要注意分母不能为零．2．（2017湖南岳阳）解分式方程﹣=1，可知方程的解为（）A．x=1 B．x=3 C．x=D．无解【分析】直接利用分式方程的解法，首先去分母，进而解方程得出答案．【解答】解：去分母得：2﹣2x=x﹣1，解得：x=1，检验：当x=1时，x﹣1=0，故此方程无解．故选：D．【点评】此题主要考查了解分式方程，正确掌握解题步骤是解题关键．3. （2016·黑龙江龙东·3分）关于x的分式方程=3的解是正数，则字母m 的取值范围是（）A．m＞3 B．m＞﹣3 C．m＞﹣3 D．m＜﹣3【考点】分式方程的解．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程解为正数确定出m的范围即可．【解答】解：分式方程去分母得：2x﹣m=3x+3，解得：x=﹣m﹣3，由分式方程的解为正数，得到﹣m﹣3＞0，且﹣m﹣3≠﹣1，解得：m＜﹣3，故选D4．分式方程23122xx x+=--的解为：（）A、1B、2C、13D、0【答案】A【解析】根据分式方程的解法：去分母，得2-3x=x-2，移项后解得x=1，检验x=1是原分式方程的根.答案为A5. （2016·云南省昆明市·4分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．﹣=20 B．﹣=20 C．﹣=D．﹣=【考点】由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：由题意可得，﹣=，故选C．6．（2016·四川内江）甲、乙两人同时分别从A，B两地沿同一条公路骑自行车到C 地，已知A，C两地间的距离为110千米，B，C两地间的距离为100千米，甲骑自行车的平均速度比乙快2千米/时，结果两人同时到达C地，求两人的平均速度分别为多少．为解决此问题，设乙骑自行车的平均速度为x千米/时，由题意列出方程，其中正确的是( )A．1102x+＝100xB．1100x＝1002x+C．1102x-＝100xD．1100x＝1002x-【解析】依题意可知甲骑自行车的平均速度为(x＋2)千米/时．因为他们同时到达C地，即甲行驶110千米所需的时间与乙行驶100千米所需时间相等，所以1102x+＝100x．故选A．7．（2016·黑龙江齐齐哈尔·3分）若关于x的分式方程=2﹣的解为正数，则满足条件的正整数m的值为（）A．1，2，3B．1，2C．1，3D．2，3【分析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．【解答】解：等式的两边都乘以（x﹣2），得x=2（x﹣2）+m，解得x=4﹣m，x=4﹣m≠2，由关于x的分式方程=2﹣的解为正数，得m=1，m=3，。
2023年河北省中考数学复习全方位第8讲 分式方程及其应用 课件
③检验:把求得的未知数的值代入最简公分母中,看是否等于0,使最简公分母为
②
0
的根为原方程的增根,必须舍去.
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3.分式方程的增根
分式方程的增根是在去分母时产生的,它有两个特点:(1)增根是去分母后所得整式
方程的根;(2)增根是使原方程中各分式的最简公分母为0的未知数的值.
【易错提示】分式方程的增根与无解并非同一个概念.
是( A )
A. ①③
−
解分式方程:
=1
− −
解:x-(3-x)=x-2……①
x-3+x=x-2……②
x+x-x=-2+3……③
x=4……④
经检验,x=1是原方程的解.
B. ①②
C. ②④
D. ③④
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2.(2021·成都中考)分式方程
A. x=2
B. x=-2
−
+
=1的解为(
(2)解分式方程一定要验根.
(3)分式方程的增根与无解并非同一概念.分式方程无解,可能是解为增根,也
可能是去分母后的整式方程无解;分式方程的增根是去分母后的整式方程的
根,也是使分式方程的最简公分母为0的根.
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考向2
分式方程的应用（5年考1次）
1. (2021·河北中考模拟)某中学九年级学生去距学校10km的景点参观,一部分学
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2.(2021·唐山模拟)某工程队承接了60万平方米的绿化工程,由于情况有变,……设
原计划每天绿化的面积为x万平方米,列方程为
- =30,根据方程可知省略
(−%)
C
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中考数学一轮复习第8讲分式方程及其应用导学1案7
第8讲分式方程及其应用
一、知识梳理
分式方程
分式方程的解法
把分式方程转化为整式方程，即分式分式方程的应用
列分式方程解应用题的步骤跟其他应用题有点不一样的是：要检验两次，既要检验求出来的解是否为原方程的根，又要检验是否符合题意．
二、题型、技巧归纳
考点1分式方程的概念
例1 若分式方程2＋1－kx x －2＝12－x
有增根，则k ＝________. 技巧归纳:1．分式方程的概念；2．分式方程的增根．
考点2分式方程的解法
例2 解方程：
3x ＋2＋1x ＝4x 2＋2x
技巧归纳:1．去分母法；2．换元法．3．注意解分式方程必须检验．
考点3分式方程的应用
例3为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支
援，每日比原计划多种1
3
，结果提前4天完成任务．原计划每天种多少棵树？
例4、某校甲、乙两组同学同时出发去距离学校4 km的植物园参观，甲组步行，乙组骑自行车，结果乙组比甲组早到20 min.已知骑自行车的速度是步行速度的2倍，求甲、乙两组的速度．
技巧归纳:1．利用分式方程解决生活实际问题；2．注意分式方程要对方程和实际意义双检验．
三、随堂检测
1. 甲、乙两地相距S千米，某人从甲地出发，以v千米/小时的速度步行，走了a小时后改乘汽车，又过b小时到达乙地，则汽车的速度（）
A.
S
a b
+ B.
S av
b
-
C.
S av
a b
-
+ D.
2S
a b
+
2. 如果关于x的方程
2
3
1
3
x
m
x
m
-
=-
-
有增根，则的值等于（）
A. -3
B. -2
C. -1
D. 3
3. 求x为何值时，代数式29
3
1
3
2
x
x x x
+
+
-
-
-
的值等于2？
4.徐州至上海的铁路里程为650 km.从徐州乘“G”字头列车A、“D” 字头列车B都可直达上海，已知A车的平均速度为B车的2倍，且行驶的时间比B车少2.5 h.
(1)设B车的平均速度为x km/h，根据题意，可列分式方程：
________________；
(2)求A车的平均速度及行驶时间.
参考答案
例1、k＝1
例2、x ＝12
例3、解：设原计划每天种x 棵树，实际每天种树⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋13x 棵． 根据题意，得480x －480⎝ ⎛⎭
⎪⎫1＋13x ＝4. 解这个方程，得x ＝30.
经检验x ＝30是原方程的解且符合题意．
答：原计划每天种树30棵．
例4、解：设甲组的速度为x k m/h ，
乙组的速度为2x km/h ，根据题意，
得4x －42x ＝2060
，解得x ＝6. 经检验，x ＝6是方程的解．
∴甲组的速度为6 km/h ，乙组的速度为12 km/h.
随堂检测
1、 B
2、 B
3、解：由已知得2931322x x x x
++---= 即解得经检验：是原方程的根。
233132233132032
32+
+---=∴+---===x x x
x x x x x ∴=++---当时，代数式x x x x x
32293132的值等于2。
4、(1) 650x －6502x
＝2.5 (2)解(1)中的方程650x －6502x
＝2.5去分母，得1300－650＝5x.移项，得－5x ＝650－1300.合并同类项，得－5x ＝－650.
系数化为1，得x ＝130.
所以2x ＝260，6502×130＝52
. 答：A 车的平均速度为260 km/h ，行驶时间为52
h.。