上师大金融学院10级微积分期考A卷答案

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立信高数10级微积分B(二)(A卷)及评分标准(新)

上海立信会计学院2010～2011学年第2学期10级本科《微积分B 》期终考试A 卷(本场考试属闭卷考试，禁止使用计算器) 共 4 页班级________________学号________________姓名___________ 题号一二三四五总分得分一、单项选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)1.设2211I x dx =⎰，2421I x dx =⎰，则1I 与2I 的大小关系是 ( )A. 12I I =B.不能确定C. 12I I <D. 12I I > 2.设ln()z xy =，则zx∂∂等于 ( ) A. ln()x xy B. 2ln()y xy C. 2ln()x xy D. 2ln()xy3.设(,)f x y 为连续函数，二次积分10(,)y y dy f x y dx ⎰交换积分次序后等于 ( )A. 10(,)x x dx f x y dy ⎰⎰B. 21(,)x xdx f x y dy ⎰⎰C.1(,)xxdx f x y dy ⎰ D.21(,)x xdx f x y dy ⎰⎰4.若函数cos y x ω=是方程2290d yy dx+=的解，则ω的值等于 ( )得分A. 1±B. 2±C. 3±D. 4±5.微分方程560y y y '''-+=的通解为 ( )A. 2312x x y C e C e --=+B. 2312x xy C e C e =-C. 23xx y ee =- D. 23x x y e e =+6.设lim 0n n u →∞=，则级数1nn u∞=∑ ( )A.一定收敛，其和为零B. 一定收敛，但和不一定为零C. 一定发散D. 可能收敛，也可能发散二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在题中的横线上)1.设y。

上海大学春季学期《微积分A3》(A卷)答案

a
z ) x
f2 (b
z ) x
0，
z x
cf1
af1
bf
2
两端对
y
求偏导：
f1 (a
z ) y
f2 (c b
z ) y
0，
z y
cf
2
af1
bf
2
故 a z b z =c x y
2+1 分 1+1 分 1分
13、判断级数 (1)n (n!)2 的敛散性。
n 1
(2n)!
解： an1 ((n 1)!)2 an (2n 2)!
17、计算 zdV ，其中是由 x2 y2 z2 4z 和 x2 y2 z2 2z 所围的空间区域。
解：利用球面坐标，可表示为 2cos r 4cos, 0 2 , 0 ， 2
A、 2x 2y
B、 2x 2y
C、 2x 2
D、 2x 2
2、对于二元函数 f x, y在点 x0, y0 处，下列关系正确的是
（D）
A、连续是偏导数存在的充要条件。
B、偏导数存在是可微的充要条件。
C、具有方向导数是可微的充分条件。
D、偏导数连续是可微的充分条件。
3、设 D (x, y) 0 x2 y2 a2 (a 0) ，则二重积分 e d x2y2 D
2分
(n!)2 (n 1)2 1 1，级数绝对收敛 (2n)! (2n 1)(2n 2) 4
1分
2分
1分
草稿区
1+1 分 2分 2分
第 3页 (共 5 页)
得分评卷人
四.计算下列各题：（每小题 6 分，共 24 分）
15、计算 1 x y d ，其中 D (x, y) 0 x 1,0 y 1 。

微积分A第一学期期末试卷A及答案

《微积分A 》期末试卷(A 卷)班级学号姓名成绩一、求解下列各题（每小题7分，共35分） 1设,1arctan 122---=x x x x y 求.y '2 求不定积分.)ln cos 1sin (2dx x x xx⎰++ 3求极限.)(tanlim ln 110x x x ++→ 4 计算定积分,)(202322⎰-=a x a dxI 其中.0>a 5 求微分方程.142+='-''x y y 的通解. 二、完成下列各题（每小题7分，共28分）1 设当0→x 时，c bx ax e x---2是比2x 高阶的无穷小，求c b a ,,的值. 2求函数)4()(3-=x x x f 在),(+∞-∞内的单调区间和极值.3 设)(x y y =是由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=--+=⎰01cos sin )cos(20t t y du t u x t所确定的隐函数，求.dx dy 4 求证：.sin sin42222⎰⎰ππππ=dx xxdx xx.三、（8分）设)(x y 在),0[+∞内单调递增且可导，又知对任意的,0>x 曲线)(x y y =，上点)1,0(到点),(y x 之间的弧长为,12-=y s 试导出函数)(x y y =所满足的微分方程及初始条件，并求)(x y 的表达式. 四、(8分)过点)0,1(-作曲线x y =的切线，记此切线与曲线x y =、x 轴所围成的图形为D ，（1）求图形D 的面积；（2）求D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.五、（7分）求证：方程010cos 042=++⎰⎰-xt xdt e dt t 有并且只有一个实根.六、（8分）一圆柱形桶内有500升含盐溶液，其浓度为每升溶液中含盐10克。

现用浓度为每升含盐20克的盐溶液以每分钟5升的速率由A 管注入桶内(假设瞬间即可均匀混合)，同时桶内的混合溶液也以每分钟5升的速率从B 管流出。

微积分试卷及答案【范本模板】

2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟命题人 2010 年 6 月10日使用班级教研室主任年月日教学院长年月日姓名班级学号一、填充题(共5小题,每题3分，共计15分）1。

2ln()d x x x =⎰ . 2。

cos d d x x =⎰ .3。

312d x x --=⎰ 。

4。

函数22xy z e+=的全微分d z = .5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为。

二、选择题(共5小题，每题3分，共计15分）1.设()1x f e x '=+,则()f x = ( ）. （A) 1ln x C ++ (B ） ln x x C +（C ） 22x x C++ (D ） ln x x x C -+2。

设2d 11xk x +∞=+⎰，则k = （）.（A ） 2π（B ） 22π（C) 2 （D ） 24π3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（）.（A) z z ab x y ∂∂=∂∂ (B)z z x y ∂∂=∂∂ （C ） z z ba xy ∂∂=∂∂ （D) z zx y ∂∂=-∂∂ 4。

设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0y f x y '=成立，则（ ) （A ） 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点（B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C ） 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D ） 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是( ）．(A ） 211(1)nn n ∞=-∑(B) 1(1)n n ∞=-∑ (C) 13(1)2n nnn ∞=-∑ （D) 11(1)n n n ∞=-∑三、计算（共2小题，每题5分，共计10分）1。

(完整)上海师范大学高数试题(11)

《微积分下》作业3答案学院专业年级班级姓名学号一．单选题（共4×10分）1．函数（ A ）为微分方程y xy 2'=的解A ．2x y = B.x y = C.x y 2= D.2x y =2． .函数3x y =为微分方程 ( C )的解A. 322'y y = B.433'xy y -= C.03'=-y xy D.22'x x y y =+ 3. 微分方程022=+y dx yd 的通解是( D ). A.x A y sin = B.x B y cos = C.x B x y cos sin += D.x B x A y cos sin += 012=+r i r ±=12 )sin cos (21x c x ce y x ββα+=x B x A cos sin +=4. 微分方程''3'25y y y -+=的通解是( C ).A.2125x x y k e k e =++B. 2125x x y k e k e =+-C. 21252x x y k e k e =++D. 21252x x y k e k e =+- 0232=+-r r 2,121==r r x x e c e c y 221+=0=λ 不是特征方程的根设A y =* 把*,**,'''y y y 代入原方程2552=⇒=A A 原方程的通解为25221++=x x e c e c y 5．微分方程dy y ytg dx x x=+的通解是（ C ） A.1sin cx y x = B.sin y x c x =+C.sinycx x= D.sin x cx y =令v xy= 6.通过坐标系的原点且与微分方程1dyx dx=+的一切积分曲线均正交的曲线的方程是（ A ） A. 1yex -=+ B.10y e x ++=C. 1ye x =+ D.222y x x =+根据题意11+-=x dx dy 11ln c x y ++-= yce x -=+1 曲线通过原点 01ce = 1=⇒c 1yex -=+7. 微分方程2yxdy ydx y e dy -=的通解是( D )A.()x y x e c =+B.()y x y e c =+C.()x y x c e =-D.()y x y c e =-y ye y x dy dx -=- yy p 1)(-= y ye y Q -=)( )()(11y dy y y dy y e c y cdy e e y e x -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰-⎰=-⎰ 8．函数()y x 满足微分方程2'ln 0xy y y x +-=且在1x =时，1y =，则在 x e =时，=y ( B )A.1eB.12C.2D.ex x xy dx dy y ln 1112=⋅+⋅ xx y x dx yd ln 11)1(-=⋅-9. 微分方程"3'232x y y y x e -+=-的特解*y 的形式是（ D ） A.()x ax b e + B.()x ax b xe +C.()x ax b ce ++D.()x ax b cxe ++x y y y 323=-'-'' b ax y +=*x e y y y 223-=-'-'' x Axe y =*"3'232x y y y x e -+=- x cxe b ax y ++=*10．设)(x f 连续，且满足2ln )2()(20+=⎰xdt tf x f ，则=)(x f （ B ） A.2ln xe B.2ln 2xeC.2ln +x eD.2ln 2+x e2)()(⋅='x f x fy dxdy2= dx dy y 21= c x y +=2lnx e c y 21= 2ln )0(=f 2ln 1=⇒c x e y 22ln ⋅=二.计算题(共6×10分)1.求方程2220d y dyy dx dx++=满足初始条件04,'2x x yy ====-的特解解：0122=++r r 0)1(2=+r 112-=r xe x c c y -+=)(214.0==y x 代入41=⇒c)1()(212-++='--x x e x c c e c y2.0-='=y x 代入22=⇒c xex y -+=∴)24(为原发方程的特解。

微积分试卷及标准答案6套

微积分试题 (A 卷)一. 填空题 (每空2分,共20分)1.已知则对于，总存在δ>0，使得当,)(lim 1A x f x =+→0>∀ε时，恒有│ƒ(x )─A│< ε。

2.已知，则a = ，b =2235lim 2=-++∞→n bn an n 。

3.若当时，α与β 是等价无穷小量，则。

0x x →=-→ββα0limx x 4.若f (x )在点x = a 处连续，则。

=→)(lim x f ax 5.的连续区间是。

)ln(arcsin )(x x f =6.设函数y =ƒ(x )在x 0点可导，则______________。

=-+→hx f h x f h )()3(lim0007.曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为。

8. 。

='⎰))((dx x f x d 9.设总收益函数和总成本函数分别为，，则当利润最大时产2224Q Q R -=52+=Q C 量是。

Q 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分)1.若数列{x n }在a 的ε 邻域（a -ε,a +ε）内有无穷多个点，则（）。

(A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在2.设则为函数的（）。

11)(-=x arctg x f 1=x )(x f(A) 可去间断点(B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点(D) 连续点3.（）。

=+-∞→13)11(lim x x x(A) 1 (B) ∞(C)(D) 2e 3e4.对需求函数，需求价格弹性。

当价格（）时，5p eQ -=5pE d -==p 需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。

(A) 3 (B) 5 (C) 6(D) 105.假设在点的某邻域内(可以除外)存)(),(0)(lim ,0)(lim 0x g x f x g x f x x x x ''==→→得0x 0x 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（）。

微积分复习试题及答案10套(大学期末复习资料)

微积分复习试题及答案10套（大学期末复习资料）习题一(A) 1、求下列函数的定义域:ln(4),x2(1) (2) (3) y,y,logarcsinxyx,,4a||2x,113y,，log(2x,3)(4) (5) yx,,，1arctanax,2x2、求下列函数的反函数及其定义域xx,32(1) (2) (3) yy,,yx,，，1ln(2)x2，1x，3x,,(4)yx,,,2sin,[,] 3223、将下列复合函分解成若干个基本初等函数2x(1) (2) (3) yx,lnlnlnyx,，(32ln)ye,,arcsin123(4) y,logcosxa4、求下列函数的解析式:112，求. (1)设fxx()，,，fx()2xx2(2)设，求 fgxgfx[()],[()]fxxgxx()1,()cos,,,5、用数列极限定义证明下列极限:1232n，1,,(1)lim(3)3 (2) lim, (3) ,lim0nn,,n,,n,,3353n,n6、用函数极限定义证明下列极限:x，31x，32lim(8)1x,,lim1,lim,(1) (2) (3) 23x,x,,x,,3xx,967、求下列数列极限22nn，，211020100nn，，3100n，limlimlim(1) (2) (3)32n,,n,,n,,54n,n,144nn,,,12n111,,，，？，lim,,lim，，，(4)？ (5) ,,222,,x,,x,,1223n(n1),,，nnn,,,,1111,,k,0(6) (7)() lim，，，？lim,,2x,,x,,n,31541,,nknnkn，,,111，，，，？12n222lim(1)nnn，,(8) (9) limx,,x,,111，，，，？12n5558、用极限的定义说明下列极限不存在:1x,3limcosx(1) (2) (3) limsinlimx,,x,0x,3x|3|x,9、求下列函数极限:22xx,，56xx,，562(1) (2) (3) limlimlim(21)xx,，x,x,13x,3x,3x,2222256x，xx,，44()xx，,,(4) (5) (6) limlimlim2x,x,,,220xx，，21x,2,nx,1x,9x,1(7) (8) (9) limlimlimm3,1xx,9x,1x,1x,3x,1 2nnxxx,,,,？13x，,12(10), (11)lim() (12)limlim33x,1,x1x,1xx,,111,xx,110、求下列函数极限:22xx,，56xx,，56 (2) (1)limlim2x,,x,,x,3x,3nn,1axaxaxa，，，，？011nn,lim(11)xx,,，(3) (4)lim,(,0)ab,00mm,1x,,x,,bxbxbxb，，，，？011mm,lim(11)xxx,,，(5) x,,11、求下列极限式中的参变量的值:2axbx,，6lim3,(1)设，求的值; ab,x,,23x,2xaxb，，lim5,,(2)设，求的值; ab,x,11x,22axbxc,，lim1,(3)设，求的值; abc,,x,,31x,12x,0arcsin~xxtan~xx1cos~,xx12、证明:当时，有:(1)，(2) ，(3); 213、利用等价无穷小的性质，求下列极限:sin2xsin2xsecxlimlimlim(1) (2) (3) 2x,0x,0x,0，tan5x3x2x3sinx21111sin,，x,limlim()(4) (5)lim (6)x,0x,0x,0xxx,tansinxxtansin1cos,x14、利用重要极限的性质，求下列极限:sin2xsinsinxa,xxsin(1) (2) (3) limlimlimx,0xa,x,0,sin3xxa,1cos2x xsinxx,tan3sin2xx,4,,(4) (5) (6) limlimlim1，,,x,0x,0,,xsinxx，3xx,, xxx,3xk,21,,,,,,(7) (8) (9) limlim1,，lim1,,,,,,,,,,xxx,,xxxk，,,,,,, 1/x(10)lim12,x ，，,,x15、讨论下列函数的连续性:,,,xx1,,2fxxx()11,,,,(1) ,,211xx,,,x,x,0,sinx,x,0(2)若，在处连续，则为何值. fxax()0,,a,,1,1sin1，,xxx,x,e(0,x,1)(3) 为何值时函数f(x),在[0，2]上连续 a,a，x(1,x,2),53xx,，,52016、证明方程在区间上至少有一个根. (0,1)32x,0x,317、证明曲线在与之间至少与轴有一交点. xyxxx,,，,252(B)arccoslg(3,x)y,1、函数的定义域为 ( ) 228,3x,x(A) ,，，,,7,3 (B) (-7, 3) (C) ,7,2.9 (D) (-7, 2.9),1 2、若与互为反函数，则关系式( )成立。

微积分简答题答案

微积分简答题答案您的位置：考核练习>> 简答练习 [当前练习：第一阶段基础测验]1、在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是的朴素思想。

问题反馈【教师释疑】、在中国古代，极限概念已经产生，我国春秋战国时期的《庄子·天下篇》中说：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，就是极限的朴素思想。

2、公元3世纪，中国数学家刘徽的，就用圆内接正多边形周长去逼近圆周长这一极限思想来近似地计算圆周率率的问题反馈【教师释疑】所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的周长去无限逼近圆周并以此求取圆周率的方法。

这个方法，是刘徽在批判总结了数学史上各种旧的计算方法之后，经过深思熟虑才创造出来的一种崭新的方法。

中国古代从先秦时期开始，一直是取“周三径一”（即圆周周长与直径的比率为三比一）的数值来进行有关圆的计算。

但用这个数值进行计算的结果，往往误差很大。

正如刘徽所说，用“周三径一”计算出来的圆周长，实际上不是圆的周长而是圆内接正六边形的周长，其数值要比实际的圆周长小得多。

东汉的张衡不满足于这个结果，他从研究圆与它的外切正方形的关系着手得到圆周率。

这个数值比“周三径一”要好些，但刘徽认为其计算出来的圆周长必然要大于实际的圆周长，也不精确。

刘徽以极限思想为指导，提出用“割圆术”来求圆周率，既大胆创新，又严密论证，从而为圆周率的计算指出了一条科学的道路。

在刘徽看来，既然用“周三径一”计算出来的圆周长实际上是圆内接正六边形的周长，与圆周长相差很多；那么我们可以在圆内接正六边形把圆周等分为六条弧的基础上，再继续等分，把每段弧再分割为二，做出一个圆内接正十二边形，这个正十二边形的周长不就要比正六边形的周长更接近圆周了吗？如果把圆周再继续分割，做成一个圆内接正二十四边形，那么这个正二十四边形的周长必然又比正十二边形的周长更接近圆周。

这就表明，越是把圆周分割得细，误差就越少，其内接正多边形的周长就越是接近圆周。

微积分试卷及答案4套

微积分试卷及答案4套微积分试题(A卷)一.填空题(每空2分,共20分)1.已知$\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=A$，则对于$\forall\epsilon>0$，总存在$\delta>0$，使得当$x\to1^+$时，恒有$|f(x)-A|<\epsilon$。

2.已知$\lim\limits_{n\to\infty}\dfrac{a_n^2+bn+5}{n^2+3n-2}=2$，则$a=1$，$b=3$。

3.若当$x\to x_0$时，$\alpha$与$\beta$是等价无穷小量，则$\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{\alpha-\beta}{\beta}=0$。

4.若$f(x)$在点$x=a$处连续，则$\lim\limits_{x\toa}f(x)=f(a)$。

5.函数$f(x)=\ln(\arcsin x)$的连续区间是$(0,1]$。

6.设函数$y=f(x)$在$x$点可导，则$\lim\limits_{h\to0}\dfrac{f(x+3h)-f(x)}{h}=3f'(x)$。

7.曲线$y=x^2+2x-5$上点$M$处的切线斜率为6，则点$M$的坐标为$(-1,2)$。

8.$\dfrac{d(xf'(x))}{dx}=xf''(x)+2f'(x)$。

9.设总收益函数和总成本函数分别为$R=24Q-2Q^2$，$C=Q+5$，则当利润最大时产量$Q=6$。

二.单项选择题(每小题2分,共18分)1.若数列$\{x_n\}$在$a$的$\epsilon$邻域$(a-\epsilon,a+\epsilon)$内有无穷多个点，则（B）数列$\{x_n\}$极限存在，且一定等于$a$。

2.设$f(x)=\arctan\dfrac{2}{x-1}$，则$x=1$为函数$f(x)$的（A）可去间断点。

微积分期末试题及答案

微积分期末试题及答案（正文开始）第一部分：选择题（共20题，每题5分，共100分）1. 设函数 f(x) = x^3 - 2x + 1，求 f'(x)。

2. 求函数 f(x) = e^x 的不定积分。

3. 将函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上进行定积分，求结果。

4. 设函数 f(x) = ln(x)，求 f'(x)。

5. 求函数 f(x) = 2x^2 + 3x + 1 的定积分，其中积分区间为 [-1, 2]。

6. 设函数f(x) = √(x^2 + 1)，求 f'(x)。

7. 求函数 f(x) = 3x^2 - 6 的不定积分。

8. 计算定积分∫(0 to π/2) cos(x) dx 的值。

9. 设函数 f(x) = e^(2x)，求 f'(x)。

10. 求函数 f(x) = x^3 - 4x^2 + 5x - 2 的不定积分。

11. 计算定积分∫(0 to 1) x^2 dx 的值。

12. 设函数 f(x) = (sinx + cosx)^2，求 f'(x)。

13. 求函数 f(x) = 2e^x 的不定积分。

14. 计算定积分∫(1 to e) ln(x) dx 的值。

15. 设函数 f(x) = x^2e^x，求 f'(x)。

16. 求函数 f(x) = ln(2x + 1) 的不定积分。

17. 求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。

18. 设函数 f(x) = e^(3x)，求 f'(x)。

19. 求函数f(x) = ∫(1 to x) t^2 dt 的不定积分。

20. 计算定积分∫(0 to π) sin^2(x) dx 的值。

第二部分：计算题（共4题，每题25分，共100分）1. 计算函数f(x) = ∫(0 to x^2) (2t + 1) dt 在区间 [-1, 1] 上的定积分。

10级本科《微积分B上》期终试卷(A)及答案

10 级本科《微积分 B 上》期终试卷(A).doc 第 2 页共 3 页
1 x 1 ln | x 2 4 x 5 | ln C 6 x5 x3 1 2 ９． dx ( x 2) x 2 1 C 2 3 x 1
sec 3 t 解：原式 sec t tan t dt tan t dx sec t tan t dt 2 (1 tan t ) d tan t
而 lim
n
n n
n ( n 1) 2 2
lim
n ( n 1) 2 n 2
n 1

1 ，由夹逼定理知，原 2
式
cos x 在其定义域上是（）。Ｃ x
1 2
x a
２． lim
Ａ．有界奇函数Ｂ．有界偶函数Ｃ．无界奇函数Ｄ．无界偶函数２．函数 f ( x ) 在点 x0 处有定义是 f ( x) 在点 x0 处极限存解：原式在的（）。ＤＡ．充分条件Ｂ．必要条件Ｃ．充要条件Ｄ．无关条件
x 0 x 0
x 0
lim f ( x) lim cos x 1 ， f (0) 1 ， b 1
二．填空题（每题２分，共１０分）１．要使函数 f ( x) 充定义 f (0) 。
２．设函数 f ( x) 在 [a, b] 上连续，在 (a, b) 内可导，且
f (a) f (b) 0 。试证明：存在 (a, b) ，使得 f ( ) f ( ) 0 。
四．分析题（每题８分，共１６分）
x0 ，试求 a 、b 的值， x0 使 f ( x) 在点 x 0 处可导。 a 0 , b 1 解：可导一定连续，应有 lim f ( x) lim f ( x) f (0)

上海大学2013-2014学年冬季学期《微积分A2》试卷(A卷)答案

上海大学2013-2014学年冬季学期《微积分A2》试卷(A卷)答案上海大学2013 ~ 2014学年冬季学期《微积分A2》(A 卷)答案一、单项选择题 (5小题, 每小题3分, 共15分)1. 设sin xx为()f x 的一个原函数, 且常数0a ≠, 则()d f ax x a=⎰( A ). A ．3sin ax C a x + B ．2sin axC a x+ C ．sin ax C ax + D ．sin axC x+ 2. 设直线3210,:21030x y z L x y z +++=⎧⎨--+=⎩及平面π:4220x y z -+-=, 则直线L ( C ).A ．平行于πB ．在π上C ．垂直于πD ．与π斜交3. 设()f x 是区间[0,1]上连续函数, 且10()d 2f x x =⎰,则π220(cos )sin 2d f x x x =⎰( B ).A ．1B ．2C ．3D ．44. 曲线211ln 42y x x =-自1x =至e x =之间的一段弧的弧长s =( C ).A ．21(e 2)4+ B ．21(1e )4- C ．21(e 1)4+ D ．21(e 1)4-5. 设向量,a b 满足a b a b -=+, 则必有( D ).A ．0a b -=B ．0a b +=C ．0a b ⨯=D ．0a b ⋅=二、填空题 (5小题, 每小题3分, 共15分)6.2d sin()d d x x t t x -=⎰2sin x .7. 由不等式23xy x ≤≤及2x ≤所确定的平面图形的面积为1712.8. 设()1a b c ⋅⨯=, 则()[()()]b c c a a b +⋅+⨯+=2.9. 21xx =-1arcsinC x-+.10. 曲线2224,x y z y z⎧++=⎨=⎩在yOz 平面上的投影曲线是,(2).0,y z y x =⎧≤⎨=⎩.三、计算题 (4小题, 每小题6分, 共24分)四、计算题 (4小题, 每小题6分, 共24分)15. (6分) 已知函数()f x 连续, 且满足120()3()d f x x f x x=-⎰, 求()f x .解: 令120()d f x x a=⎰, 则()3f x ax =-,---------------------(1分)由11220()d (3)d a f x x ax x==-⎰⎰121222300(96)d 933aax a x x x ax x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭⎰2933a a =-+,---------------------(2分)解得3,9a a ==,---------------------(2分)所以()33f x x =-或()39f x x =-.---------------------(1分)16. (6分) 设3a b +和75a b -垂直, 4a b-和72a b -垂直, 求非零向量a 与b 的夹角. 解: 由(3)(75)a b a b +⊥-得22(3)(75)716150a b a b a a b b +⋅-=+⋅-=; (1)---------------------(1分)由(4)(72)a b a b -⊥-得22(4)(72)73080a b a b a a b b -⊥-=-⋅+=; (2)---------------------(1分)(1)式减(2)式得246230a b b⋅-=, 即212a b b⋅=.---------------------(1分)代入(1)式得22770ab -=, 即a b =.---------------------(1分)所以所求夹角余弦为2112cos(,)2ba b a b a b b b ⋅===,---------------------(1分)则π(,)3a b =. ---------------------(1分)17. (6分) 求过直线4310,520x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩且与x 轴平行的平面方程.解: 设平面束方程为431(52)0x y z x y z λ-+-++-+=,---------------------(2分)即(4)(51)(3)120x y z λλλλ++-+--+=. 由条件知所求平面的法向量{4,51,3}{1,0,0}λλλ+--⊥, ---------------------(2分)所以(4)1(51)0(3)00λλλ+⨯+-⨯+-⨯=, 解得4λ=-,---------------------(1分)所以所求平面方程为21790y z -+-=.---------------------(1分)18. (6分) 求过点(1,1,1)P 且与直线2113x y z +==-垂直相交的直线方程.解: 设所求直线方程为111x y z m n p---==, ---------------------(1分)则由两直线垂直得{,,}{1,1,3}30m n p m n p ⋅-=+-=.---------------------(1分)已知直线过点(0,0,2)Q -.---------------------(1分)由两直线相交得10101(2)6()0113mn p m n ----=-=-.---------------------(1分)所以2,3n m p m ==.---------------------(1分)所以所求直线方程为11123x y z m mm---==,即111332x y z ---==. ---------------------(1分)五、应用题 (2小题, 每小题8分, 共16分)19. (8分) 设一向量的模长为2, 且与x 轴和y轴的正向成等角, 与z 轴的正向的夹角是它们的二倍, 求此向量.解: 设此向量为{,,}xyza a a a =, 且与x 轴的正向的夹角为α, 则它与y 轴及z 轴的正向的夹角分别为α和2α, 其中π0,2α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.---------------------(1分)由222cos cos cos21ααα++=,---------------------(2分)得22(2cos 1)cos 0αα-=, 解得cos 2α=cos 0α=.---------------------(1分)则cos 222xaa α=== cos 222y a a α===2cos22(2cos 1)0z a a αα==-=;或cos 200xaa α==⨯=,cos 200y a a α==⨯=,2cos22(2cos 1)2z a a αα==-=-.所以{2,2,0}a =或{0,0,2}a =-.---------------------(2+2分)20. (8分) 过抛物线2y x =-上点(3,1)作切线,求该切线与上述抛物线及x 轴所围成的平面图形的面积, 并求该平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积. 解:122y x '=-,312x y ='=, 切线方程为11(3)2y x -=-, 即1122y x =-. ---------------------(2分)切线交x 轴于点(1,0).面积321212d 2A x x=⨯⨯--⎰---------------------(2分)332221(2)3x =--11 / 1213=;---------------------(1分)体积33222212π12π(2)d ππ(2)d 33V x x x x =⨯⨯--=--⎰⎰------------------(2分)3222ππ232x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭π6=.---------------------(1分)六、证明题 (1题, 共6分)21. (6分) 设()f x 在[0,1]上连续且递减, 常数c满足01c <<, 证明1()d ()d c f x x c f x x≥⎰⎰.证: 11000()d ()d ()d ()d ()d c c c c f x x c f x x f x x c f x x f x x ⎡⎤-=-+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰-------------(2分)1(1)()d ()d ccc f x x c f x x=--⎰⎰ 12(1)()()(1)c f c cf c ξξ=-⋅-⋅-12(1)[()()]c c f f ξξ=--.---------------------(2分)因为01c <<,10cξ<<,21c ξ<<, 且()f x 在[0,1]上递减,12 / 12所以12(1)[()()]0c c f f ξξ--≥. ---------------------(1分)则1()d ()d 0c f x x c f x x -≥⎰⎰, 即10()d ()d c f x x c f x x≥⎰⎰.---------------------(1分)。

10级微积分试卷

命题人: 班级：考场：2010—2011学年度第一学期期末考试《微积分》（一）试卷(A)班级：姓名：学号：题号一二三四总得分复核人得分一、填空题(本大题共8小题，每空3分，共24分)1、)()(]2,1[)(2xfxf，xf+则函数的定义域为如果函数的定义域为。

_________2．sinlim2xxx→=。

3．1lim(12)xxx→-=。

4、21lim_______xxex x→-=-。

5．()(1)(2)(3)(4)(5),(0)f x x x x x x x f'=+++++=设则。

6抛物线2xy=上横坐标为3的点的切线方程为。

7．函数3()31f x x x=-+的单调递减区间是。

8．设lny x x=-，则dy=。

二、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15 分)9．1)1sin(lim21--→xxx的值为（）。

A．1 B. 0 C. 2 D.2110、已知⎪⎩⎪⎨⎧=≠=--11)(11xxexf x在点1=x处（）。

A、连续B、不连续，但有右连续C、不连续，但有左连续D、左、右都不连续11、函数33y x x=-在[2,2]x∈-时的最大值是（）。

A．4 B . 2 C. 1 D. 012．函数()1123++=xxxf在定义域内（）。

A. 单调增加B. 单调减少C. 图形是凹的D. 图形是凸的13．已知)(xf有任意阶导数，且[]2)()(xfxf='，则当nn,2≥为整数=)()(xf n（）A．[]1)(+nxfn B．[]1)(!+nxfnC．[]nxfn2)(D．[]nxfn2)(!三、计算题（本大题共6小题，14-15小题，每题6分，16-19小题，每题8分，共计44分)14．(6分) 求极限222lim()2nn n nn n n nπππ→∞++++++。

密封线内不要答题本大题得分评阅人本大题得分评阅人本大题得分评阅人本题得分15．(6分)求函数2(1)ln y x x =+的二阶导数。

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上海师范大学标准试卷（答案）
2010~ 2011 学年第一学期考试日期 2011 年 1 月日
（考试时间： 90 分钟）
科目：微积分（A 卷）
____________专业本科 10 级班姓名学号
我承诺，遵守《上海师范大学考场规则》，诚信考试。

签名：_____________
（ C ）1.下列数列中发散的是
A ．n
n x 21=
； B ．n
x n n 1)1(-=； C ．n n x )1(-=； D ．n n n
x 3
sin =．
（ D ）2. =+-→)
31ln(1
lim 20x e x x
A ．0；
B ．1；
C ．－1；
D ．3
2
．（ A ）3. 函数2
33
)(2
+--=
x x x x f 的间断点是 A ．2,1==x x ； B ．3=x ； C ．3,1,1===x x x ； D ．无间断点．（ B ）4. =∞→x x
x sin 1
lim
A ．1 ；
B ．0；
C ．∞；
D ．1±．
一、选择题（本大题满分 30 分，每小题选对得 3 分）．在每小题的四个备选答案中，有且仅有一个是正确的，将其序号填入题前的括号内．
（ C ）5.
=-⎰
1
2
x x dx
A ．C x +1arcsin
； B ．C x +1
arctan ； C ．C x
+1
arccos ； D ．C x +-1ln 2．
（ C ）6. 已知2t
t
x e
y e
-⎧=⎪⎨=⎪⎩，则==0t dx dy A ．
21； B ．0； C ．2
1
-； D ．1 （ D ）7. 函数)(x f 存在二阶导数，且)(x f '是增函数，0)(0='x f ，则)(0x f
A ．不是极值；
B ．是驻点；
C ．是极大值；
D 是极小值．（ A ）8.
=+-
-⎰
dx x x )12
1
3
(
22 A ．C x x +-arctan 2arcsin 3； B ．C x x ++arctan 2arcsin 3；
C ．C x x +--arctan 2arcsin 3；
D ．C x x ++-arctan 2arcsin 3．（ B ）9.
=''⎰
dx x f x )(
A ．C x f x f x ++')()(；
B ．
C x f x f x +-')()(； C ．C x f x f x +-'')()(；
D ．C x f x f x ++'')()(．（ D ）10. 设)(x f 处处可导，则
A ．当-∞=-∞
→)(lim x f x 时，必有-∞='-∞
→)(lim x f x ；
B ．当-∞='-∞
→)(lim x f x 时，必有-∞=-∞
→)(lim x f x ；
C ．当+∞=+∞
→)(lim x f x 时，必有+∞='+∞
→)(lim x f x ；
D ．当+∞='+∞
→)(lim x f x 时，必有+∞=+∞
→)(lim x f x ．
11．求x
x
x x 30sin sin lim
-→．
解：原式＝6
1
6sin lim 3cos 1lim sin lim
02030==-=-→→→x x x x x x x x x x ． 12.求曲线)1ln(2x y +=的凹凸区间和拐点．
解：定义域为),(+∞-∞，212x x y +='，2
22)
1()
1(2x x y +-=''，∴曲线在),1[],1,(+∞--∞上是凸的，在]1,1[-上是凹的，拐点为)2ln ,1(),2ln ,1(-． 13.求函数2332x x y -=在区间[-1,4]上的最大值和最小值．
解：)1(6662-=-='x x x x y ，得驻点1,0==x x ，无不可导点，,0)0(=y
,1)1(-=y 80)4(,5)1(=-=-y y ，∴最大值为80)4(=y ，最小值为5)1(-=-y ．
14.求dx x x x ⎰++1
2
2
．解：C x x x dx x x dx x x dx x x x +-++=+++=++⎰⎰⎰arctan )1ln(21
11122222
2． 15. 求
dx x x
x ⎰3cos sin ．解：C x x x x d x dx x x x +-==⎰⎰tan 2
1
cos 2)cos 21(cos sin 223． 16. a 是实数，求dx x x a
⎰
ln ．
解：⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-≠++-+=+=++⎰．，　当，，当11)(a ln 1a -1)(ln 2
1ln 21
a 1a 2
a C x x x a C x dx x x a
二计算题（本大题满分30分，每小题5分）．
17.证明：当0>x 时，有x x <+)1ln(．
证明：设x x x f -+=)1ln(
)(，则111
)(-+='x
x f <0，)(x f 是减函数，又00)01ln()0(=-+=f ，∴当0>x 时，
有0)0()(=<f x f ，即：x x <+)1ln(． 18. 求函数337
37
3)(x x x f -=
的单调区间和极值．解：定义域为),(+∞-∞，3
23
23
4)
1)(1(x
x x x x y -+=
-='-，驻点为1,1=-=x x ，
不可导点为0=x ，∴函数在),1[],1,(+∞--∞上是单调增加的，在]1,1[-上是单
调减少的，极大值为718)1(=-f ，极小值为7
18)1(-=f ． 19. 求x x x )arctan 2
(
lim π
+∞
→．解：设x x x y )arctan 2
(
lim π
+∞
→=，则x x x y )arctan 2
ln(lim ln π
+∞
→=．
,21arctan ln 2
ln lim
π
π
-
=+=+∞
→x
x x ∴x
x x )arctan 2
(lim π+∞→=π
2
-
e
．
20.设)(x F 是)sin(ln x 的一个原函数，求)1()(2F e F -π
的值．解：)sin(ln )sin(ln )sin(ln )(x xd x x dx x x F ⎰⎰-==
)sin(ln x x =
)cos(ln x x -dx x )sin(ln ⎰
-，由此可得)(x F ，)1(2
1
)1()(22
+=-π
πe F e F ．
21.求
dx xe x x
x
⎰
++)
1(1．解：原式C xe
xe xe d xe xe dx xe xe x e x
x x
x x x x x ++=+=++=⎰⎰1ln )()1(1)1()1(．三、解答题（本大题满分40分，每小题8分）．。