2017-2018学年高中数学人教A版选修2-2：课时跟踪检测(十八) 数系的扩充和复数的概念 Word版含解析

课时跟踪检测（十八） 数系的扩充和复数的概念
层级一 学业水平达标
1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )
A ．3－3i
．3＋i C ．－2＋2i .2＋2i
解析：选A 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A.
2．4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为( )
A ．1
B ．1或－4
C ．－4
D ．0或－4
解析：选C 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4. 3．下列命题中：①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝1＋i 的充要条件是x ＝y ＝1；②纯虚数集相对于复数集的补集是虚数集；③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3；④若实数a 与a i 对应，则实数集与复数集一一对应．正确的命题的个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：选A ①取x ＝i ，y ＝－i ，则x ＋y i ＝1＋i ，但不满足x ＝y ＝1，故①错； ②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A.
4．复数z ＝a 2－b 2＋(a ＋|a |)i(a ，b ∈R)为实数的充要条件是( )
A ．|a |＝|b |
B ．a ＜0且a ＝－b
C ．a ＞0且a ≠b
D ．a ≤0
解析：选D 复数z 为实数的充要条件是a ＋|a |＝0，故a ≤0.
5．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )
A.π4
B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z) D ．k π＋π4
(k ∈Z) 解析：选D 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧
cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ， ∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4
(k ∈Z)，故选D. 6．下列命题中：①若a ∈R ，则a i 为纯虚数；②若a ，b ∈R ，且a ＞b ，则a ＋i ＞b ＋i ；③两个虚数不能比较大小；④x ＋y i 的实部、虚部分别为x ，y .其中正确命题的序号是________．
解析：①当a ＝0时，0i ＝0，故①不正确；②虚数不能比较大小，故②不正确；③正确；
④x ＋y i 中未标注x ，y ∈R ，故若x ，y 为复数，则x ＋y i 的实部、虚部未必是x ，y .
答案：③
7．如果(m 2－1)＋(m 2－2m )i ＞1则实数m 的值为______．
解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－2m ＝0，m 2－1＞1，解得m ＝2. 答案：2
8．已知z 1＝－3－4i ，z 2＝(n 2－3m －1)＋(n 2－m －6)i ，且z 1＝z 2，则实数m ＝________，n ＝________.
解析：由复数相等的充要条件有
⎩⎪⎨⎪⎧ n 2－3m －1＝－3，n 2－m －6＝－4⇒⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝2，n ＝±2. 答案：2 ±2
9．设复数z ＝log 2(m 2－3m －3)＋log 2(3－m )i ，m ∈R ，如果z 是纯虚数，求m 的值．
解：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －3＞0，3－m ＞0，log 2(m 2－3m －3)＝0，log 2(3－m )≠0，解得m ＝－1.
10．求适合等式(2x －1)＋i ＝y ＋(y －3)i 的x ，y 的值．其中x ∈R ，y 是纯虚数． 解：设y ＝b i(b ∈R 且b ≠0)，代入等式得(2x －1)＋i ＝b i ＋(b i －3)i ，
即(2x －1)＋i ＝－b ＋(b －3)i ，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1＝－b ，1＝b －3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝－32，b ＝4.
即x ＝－32
，y ＝4i. 层级二 应试能力达标
1．若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i(a ∈R)不是纯虚数，则( )
A ．a ＝－1
B ．a ≠－1且a ≠2
C ．a ≠－1
D ．a ≠2 解析：选C 若复数(a 2－a －2)＋(|a －1|－1)i 不是纯虚数，则有a 2－a －2≠0或|a －1|－1＝0，解得a ≠－1.故应选C.
2．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )
A ．4
B ．－1
C ．4或－1
D ．1或6
解析：选B 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧
m 2－3m －1＝3，m 2－5m －6＝0，∴m ＝－1. 3．已知关于x 的方程x 2＋(m ＋2i)x ＋2＋2i ＝0(m ∈R)有实数根n ，且z ＝m ＋n i ，则复数z 等于( )
A ．3＋i
B ．3－i
C ．－3－i
D ．－3＋i
解析：选B 由题意知n 2＋(m ＋2i)n ＋2＋2i ＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧ n 2＋mn ＋2＝0，2n ＋2＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝3，n ＝－1. ∴z ＝3－i ，故应选B.
4．若复数z 1＝sin 2θ＋icos θ，z 2＝cos θ＋i 3sin θ(θ∈R)，z 1＝z 2，则θ等于( )
A ．k π(k ∈Z)
B ．2k π＋π3(k ∈Z)
C ．2k π±π6(k ∈Z)
D ．2k π＋π6
(k ∈Z) 解析：选D 由复数相等的定义可知，⎩
⎨⎧
sin 2θ＝cos θ，cos θ＝3sin θ. ∴cos θ＝32，sin θ＝12.∴θ＝π6＋2k π，k ∈Z ，故选D. 5．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R.若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________．
解析：∵z 1＞z 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，
－4a ＋1＞2a ，
∴a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}．
答案：{0}
6．若a －2i ＝b i ＋1(a ，b ∈R)，则b ＋a i ＝________.
解析：根据复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧
a ＝1，
b ＝－2， ∴b ＋a i ＝－2＋i.
答案：－2＋i 7．定义运算＝ad －bc ，如果(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝，求实数x ，y 的值．
解：由定义运算＝ad －bc ，
得＝3x ＋2y ＋y i ，
故有(x ＋y )＋(x ＋3)i ＝3x ＋2y ＋y i.
因为x ，y 为实数，所以有⎩
⎪⎨⎪⎧ x ＋y ＝3x ＋2y ，x ＋3＝y ， 得⎩⎪⎨⎪⎧
2x ＋y ＝0，x ＋3＝y ， 得x ＝－1，y ＝2.
8．已知集合M ＝{(a ＋3)＋(b 2－1)i,8}，集合N ＝{3i ，(a 2－1)＋(b ＋2)i}满足M ∩N ⊆M ，求实数a ，b 的值．
解：依题意，得(a ＋3)＋(b 2－1)i ＝3i ，①
或8＝(a 2－1)＋(b ＋2)i.②
由①，得a ＝－3，b ＝±2，
由②，得a ＝±3，b ＝－2.
综上，a ＝－3，b ＝2，或a ＝－3，b ＝－2或a ＝3，b ＝－2.。