第一节 坐标系
【中考数学考点复习】第一节平面直角坐标系及函数课件
的值为( B )
A．－1
B．0
C．1
D．2
拓展训练
10．点 P 的坐标为(3，5)，点 G 到 P 的距离为 4 个单位长度，且 PG∥x
轴，则点 G 的坐标为( C )
A．(7，5)
B．(1，5)
C．(7，5)或(－1，5)
D．(3，9)或(3，1)
11．(2021丽水)四盏灯笼的位置如图．已知A，B，C，D的坐标分别是
A．x>2
B．x<2
C． x≠2
D．x≠－2
13．函数 y＝ x－5中，自变量 x 的取值范围是( C )
A．x≥－5
B．x≤－5
C．x≥5
D．x≤5
(－1，b)，(1，b)，(2，b)，(3.5，b)，平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴
两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是( C )
A．将B向左平移4.5个单位
B．将C向左平移4个单位
C．将D向左平移5.5个单位 D．将C向左平移3.5个单位
第11题图
函数自变量的取值范围
12．函数 y＝x－1 2中，自变量 x 的取值范围是( C )
坐标
系中
点的
坐标 特征 对称点的坐标特征,如图②
口诀:关于谁对称谁不变 关于原点对称都变号
1.P1(a,b) 关于x轴对称 P2(__a_，__－__b_) 2.P1(a,b) 关于y轴对称 P3(_－__a_，__b__) 3.P1(a,b)关于原点对称 P4(－__a_，__－__b_)
平面 直角 坐标 系中 点的 坐标 特征
平面 及原点的距 点P(a，b)到y轴的距离为___|a_|____
直角 坐标 系中 点的 坐标 特征
新人教版物理必修一第一章第一节《质点 参考系 坐标系》课件 (共24张PPT)
三、物体和质点
1、质点的定义：用来代替物体的 有质量的点。
2、物体可以看作质点的条件：
物体的形状、大小、体积对所 研究的问题的影响可以忽略不计。
3、理解：
①质点是一种科学抽象的理想模型；
②物体本身大小不是能否看成质点 的标准；
③物体能否看成质点取决于所研究 问题的性质，同一物体有时可看成 质点，有时不可看作质点。
第一பைடு நூலகம் 运动的描述
物理学家海森堡说：“为 了理解现象，首要条件是引入 适当的概念，我们才能真正知 道观察到了什么。”
第一节 质点 参考系和坐标系
毛主席著名诗词《送瘟神》 中：“坐地日行八万里， 巡天 遥看一天河”
从这句话中描述的：人 到底是运动还是静止的呢？
大家一起来讨论下边这幅图车 中的人是静止还是运动的？
5. 关于质点的下列说法中，正确 的是 ( ) A．质量很小的物体都可看作质点 B．体积很小的物体都可看作质点 C．在任何情况下，地球都不可以 看作质点 D．凡是做平动的物体都可看作质 点
如果一个可以看做
质点的物体沿直线运动, 怎样定量的描述物体的 位置变化呢?
四、坐标系 1、坐标系：
一维
x/m
运动，结果往往是不同；
③参考系的选取可以是任意的， 实际解题应以观测方便和使物体 的运动尽可能简单为原则；
④通常选取地面为参考系；
⑤比较两个物体的运动应选同一 参考系。
例．太阳从东边升起，西边落下，是地球上 的自然现象。但是在某些条件下，在纬度较 高地区上空飞行的飞机上，旅客可以看到太 阳从西边升起的奇妙现象，这些条件是(C ） A. 时间必须是在清晨，飞机正在由东向西飞 行，飞机的速率必须较大 B. 时间必须是在清晨，飞机正在由西向东飞 行，飞机的速率必须较大 C. 时间必须是在傍晚，飞机正在由东向西飞 行，飞机的速率必须较大 D. 时间必须是在傍晚，飞机正在由西向东飞 行，飞机的速率不能太大
高一必修数学第四章知识点
高一必修数学第四章知识点第一节直线与坐标系一、点和坐标在平面直角坐标系中，一个点可以用有序数对 (x, y) 表示，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。
二、直线的斜率1. 斜率的定义设两点 A(x₁, y₁) 和 B(x₂, y₂)，其斜率 k 定义为 k = (y₂ - y₁) / (x₂ - x₁)。
2. 与坐标轴平行的直线的斜率与 x 轴平行的直线的斜率为 0；与 y 轴平行的直线没有斜率，记为∞。
三、直线的方程及性质1. 一般形式的直线方程直线的一般形式方程为 Ax + By + C = 0，其中 A、B、C 为常数且 A、B 不同时为 0。
2. 点斜式的直线方程已知直线上一点 P(x₁, y₁) 和斜率 k，则直线的点斜式方程为 y - y₁ = k(x - x₁)。
3. 斜截式的直线方程已知直线与 y 轴的交点为 (0, b) 和斜率 k，则直线的斜截式方程为 y = kx + b。
第二节二次函数的图像与性质一、二次函数的定义与图像二次函数的一般形式为 f(x) = ax² + bx + c，其中 a、b、c 为常数且a ≠ 0。
二、抛物线的开口方向1. a > 0 时，抛物线向上开口；2. a < 0 时，抛物线向下开口。
三、顶点坐标和对称轴1. 顶点坐标抛物线的顶点坐标为 V(-b/2a, f(-b/2a))。
2. 对称轴抛物线的对称轴为直线 x = -b/2a。
四、二次函数的性质1. 单调性a > 0 时，二次函数单调递增；a < 0 时，二次函数单调递减。
2. 零点二次函数与 x 轴交点的横坐标为零点，可通过解方程 ax² + bx + c = 0 求得。
3. 最值a > 0 时，二次函数的最小值为 f(-b/2a)；a < 0 时，二次函数的最大值为 f(-b/2a)。
第三节平面向量与数量积一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的有向线段。
高一物理必修一第一章第一节：质点、参考系和坐标系(48张PPT)
（3）质点的条件
①物体的形状、大小可忽略时，一般可以看作质点 例如：研究地球的公转 抛出去的手榴弹在空中的运动
②平动的物体一般可以看作质点 例如：平直公路上行驶的汽车， 分析：车身上各部分的运动情况相同，当我们把汽车作为 一个整体来研究它的运动的时候，就可以把汽车当作质点。
③物体只做转动时，不能看做质点 例如：乒乓球在空中只做旋转运 动时
注意
坐标系是在参考系的基础上抽象出来的概念，是 抽象化的参考系。
（2）坐标系的构成要素
原点 单位长度 正方向
数字 物理量的符号 单位
直线坐标系
（3）坐标系的种类
①一维坐标（直线坐标系） 描述物体在一条直线上运动，即物体做一维运动时，可以以 这条直线为 x 轴，在直线上规定原点、正方向和单位长度，建立 直线坐标系。如图所示，若某一物体运动到A点，此时它的位置坐 标 xA＝3m，若它运动到B点，则此时它的坐标 xB＝－2m（“－” 表示沿 x 轴负方向）。
练习1
问题思考：
送瘟神
绿水青山枉自多 千村薜荔人遗矢 坐地日行八万里 牛郎欲问瘟神事
毛泽东
华佗无奈小虫何 万户萧疏鬼唱歌 巡天遥看一千河 一样悲欢逐逝波
我看见某位同学坐在位子上，一动不动，毛主席却说他 “坐地日行八万里”，这是怎么回事？
运动是绝对的 静止是相对的
练一练
一般来说，可以把撑杆跳高运动分为如下几个阶段：助跑、 撑杆起跳、越过横杆。在下列几种情况下运动员能否看作质点， 从中体会质点模型的建立过程。
（1）质点的定义
我们在处理这些问题时，常常不考虑物体各部分的差 异，把物体简化成没有大小、形状的点，或者说用一个有 质量的点来代替物体。
名词解释
用来代替 物体的有质量的点叫做质点。 实际物体运动的描述 质点运动的描述
高等数学 第7章 第一节 空间直角坐标系
二. 空间两点间的距离公式
z
z2 R
M1 ( x1 , y1 , z1 )、M2 ( x2 , y2 , z2 )
M2
M1 P x2 x1
z1
M1
Q
PN y2 y1 NM2 z2 z1
P x1 O
N y1
y2
y
x2
x
d2
M1M2
2
M1N 2
NM2
2
M1P
2
PN
2
NM2
2
d M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
x 0, y 0, z 0; x 0, y 0, z 0;
x 0, y 0, z 0;
x 0, y 0, z 0; x 0, y 0, z 0;
x 0, y 0, z 0;
x 0, y 0, z 0; x 0, y 0, z 0.
Ⅲz
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
o
y
Ⅶ
Ⅵ
x
Ⅷ
------------空间两点间的距离公式。
特殊的 O(0,0,0), M( x, y, z)
d MO x 2 y2 z 2
5
例1 求证以 M1 (4,3,1), M2 (7,1,2), M3 (5,2,3) 三点为顶点
的三角形是一等腰三角形。 解 因为
M1 M2 2 (7 4)2 (1 3)2 (2 1)2 14 M2 M3 2 (5 7)2 (2 1)2 (3 2)2 6
第一节 空间直角坐标系
一. 空间直角坐标系 z
坐标平面
坐标轴
x 轴, 横轴 y 轴, 纵轴
z 轴, 竖轴
O 坐标原点
x
第二章 坐标系和基本图形绘制
实时平移 ：对视图进行平行移动 实时缩放 ：用鼠标拖动对视图进行缩放 窗 口 ：放大视图的指定区域 上一个 ：回到上一个视图 范围缩放：将文件中的所有对象缩放到视图中 全部缩放：将文件中的所有对象和图形界限区或缩放到 视图中
二、其它控制
2、清除屏幕 执行位置：视图清除屏幕 作用：可以将视图中的工具栏全部隐藏
技巧：Ctrl+0 隐藏所有工具栏 Ctrl+9 隐藏命令行
三 选择对象
1、点选 定义：用鼠标点击进行选择对象 2、框选
定义：用鼠标拖动出选择区进行选择对象 分类：1、窗口选择 作用：选择选择区框完的对象 操作：用鼠标从左向右拖动 2、交叉窗口选择 作用：选择选择区碰到的对象 操作：用鼠标从右向左拖动
1.绘制方法： （1）命令：point
（2）菜单栏：绘图点 （3）绘图工具栏上
• • • •
2.点显示样式更改： 更改位置：格式点样式 3.定数等分点 绘图→点→定数等分点 4.定距等分点 绘图→点→定距等分点
二、绘制直线
命令：Line或L 命令位置：1、绘图直线 2、绘图工具栏上的“直线” 绘制方法： 1、用鼠标在视图中点击绘制 2、用鼠标确定方向，在命令行输入长度绘制 3、打开状态栏上直线 输入格式：X轴方向位置，Y轴方向位置 绘制以下线：
150，80
20，10
5、相对坐标 定义：相对于当前位置，以X轴距离和Y轴距离来确 定下一 点的位置 输入格式：@X轴距离，Y轴距离 绘制以下线条：
6、相对角度 定义：相对于当前位置开始，以下一条线的长度和角度 来绘制直线 输入格式：@线的长度<角度 绘制以下线条：
第二章 坐标系和基本图形绘制
第一节 坐标系 第二节 基本图形绘制
第一节 空间直角坐标系
r r 特殊地：若 a‖ b 分为同向和反向 特殊地： r r r r r | c |=| a | + | b | c r b r a r b c r r a r r | c |= | a | − | b |
10
向量的加法符合下列运算规律： 向量的加法符合下列运算规律：
r r r r 交换律： （1）交换律： a + b = b + a . r r r r r r r r r （2）结合律： a + b + c = (a + b ) + c = a + (b + c ). 结合律： r r r （3） a + ( − a ) = 0. ） r r r b a r r r r [2] 减法 a − b = a + (−b) r −b r −b c r r r a +b r r r b c = a + (−b ) r r r r r =a−b a −b a
a x + a y + az
2 2
2
向量方向余弦 的坐标表示式
方向余弦的特征
cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1
特殊地： 特殊地：单位向量的方向余弦为
r a 0 a = r = {cos α , cos β , cos γ }. |a |
33
5
例 1 求证以 M 1 ( 4,3,1) 、 M 2 ( 7,1,2) 、 M 3 ( 5,2,3) 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形. 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形
解 M 1 M 2 = (7 − 4)2 + (1 − 3)2 + ( 2 − 1)2 = 14,
第一节 第一课时 坐标系
第一节 坐标系与参数方程考试要求1．了解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化.3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程.4.了解参数方程，了解参数的意义.5.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程．第一课时 坐标系[知识排查·微点淘金]知识点1 平面直角坐标系中的伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎨⎧x ′＝λ·x ，（λ＞0），y ′＝μ·y ，（μ＞0）的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．知识点2 极坐标系与点的极坐标在如图所示的极坐标系中，点O 是极点，射线Ox 是极轴，θ为极角(通常取逆时针方向)，ρ为极径(表示极点O 与点M 的距离)，点M 的极坐标是M (ρ，θ)．[微提醒](1)极坐标系的四要素：极点、极轴、长度单位、角度单位和它的正方向．四者缺一不可．(2)由极径的意义知ρ＞0时，当极角θ的取值范围是[0，2π)时，平面上的点(除去极点)与极坐标(ρ，θ)建立一一对应关系．约定极点的极坐标是极径ρ＝0，极角可取任意角．知识点3 直角坐标与极坐标的互化(1)如图，以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设M是平面内的任意一点，它的直角坐标为(x ，y )、极坐标为(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x （x ≠0）Ｗ.(2)把直角坐标转化为极坐标时，通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍)．一般取ρ≥0，θ∈[0，2π)．常用结论曲线极坐标方程 圆心为极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r ，0)，半径为r 的圆 ρ＝2r cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r 的圆 ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R )或θ＝π＋α(ρ∈R )过点(a ，0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 过点⎝⎛⎭⎫a ，π2，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a (0<θ<π)1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)若点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的一个极坐标是⎝⎛⎭⎫2，－π3.(√) (2)在极坐标系中，曲线的极坐标方程不是唯一的．(√) (3)极坐标方程θ＝π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线．(×)2．(链接教材选修4－4 P 15T 4)在极坐标系中，圆ρ＝－2sin θ的圆心的极坐标是( ) A ．⎝⎛⎭⎫1，π2 B ．⎝⎛⎭⎫1，－π2 C ．(1，0)D ．(1，π)解析：选B 由ρ＝－2sin θ，得ρ2＝－2ρsin θ，化成直角坐标方程为x 2＋y 2＝－2y ，化成标准方程为x 2＋(y ＋1)2＝1，圆心坐标为(0，－1)，其对应的极坐标为⎝⎛⎭⎫1，－π2.故选B ． 3．(链接教材选修4－4 P 15T 2)在极坐标系中，过点⎝⎛⎭⎫2，π2且与极轴平行的直线方程是( )A ．ρ＝0B ．θ＝π2C ．ρcos θ＝2D ．ρsin θ＝2答案：D4．(链接教材选修4－4 P 15T 3)若以直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程为 .解析：因为y ＝1－x (0≤x ≤1)，所以ρsin θ＝1－ρcos θ(0≤ρcos θ≤1)，所以ρ＝1sin θ＋cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2.答案：ρ＝1cos θ＋sin θ，0≤θ≤π25．(极坐标与直角坐标的互化致误)若点P 的直角坐标为(3，－3)，则点P 的极坐标为 ．解析：因为点P (3，－3)在第四象限，与原点的距离为23，且OP 与x 轴所成的角为－π6，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，－π6. 答案：⎝⎛⎭⎫23，－π6一、基础探究点——平面直角坐标系中的伸缩变换(题组练透)1．曲线C ：x 2＋y 2＝1经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C ′，则曲线C ′的方程为 ．解析：因为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′2，y ＝y ′，代入曲线C 的方程得C ′：x ′24＋y ′2＝1.答案：x ′24＋y ′2＝12．曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则曲线C 的方程为 ．解析：根据题意，曲线C 经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 后所得曲线的方程为x ′2＋y ′2＝1，则(2x )2＋(3y )2＝1，即4x 2＋9y 2＝1，所以曲线C 的方程为4x 2＋9y 2＝1.答案：4x 2＋9y 2＝11.应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标（x ，y ）与变换后的坐标（x ′，y ′）.2.平面上的曲线y ＝f （x ）在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0，y ′＝μy μ>0的作用下得到的方程的求法是将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f （x ），得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到,y ′＝h （x ′），即为变换之后的方程.二、应用探究点——求曲线的极坐标方程(思维拓展)[典例剖析][例1] 如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝⎛⎭⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标． 解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4， M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝⎛⎭⎫π4≤θ≤3π4， M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6或(3，π3)或(3，2π3)或(3，5π6)．求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式； (3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．[学会用活]1．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为曲线C 与x 轴，y 轴的交点． (1)写出曲线C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设M ，N 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)∵ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1， ∴ρcos θ·cos π3＋ρsin θ·sin π3＝1.又⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴12x ＋32y ＝1，即曲线C 的直角坐标方程为x ＋3y －2＝0， 令y ＝0，则x ＝2；令x ＝0，则y ＝233，∴M (2，0)，N ⎝⎛⎭⎫0，233.∴M 的极坐标为(2，0)，N 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)∵M ，N 连线的中点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，∴P 的极角为θ＝π6，∴直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．三、综合探究点——极坐标方程的应用(思维拓展)[典例剖析][例2] 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． 解：(1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ＞0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32，即当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．[学会用活]2.如图，点A 在直线x ＝5上移动，等腰△OP A 的顶角∠OP A 为120°(O ，P ，A 按顺时针方向排列)，求点P 的轨迹方程．解：取O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x ＝5的极坐标方程为ρcosθ＝5，设A (ρ0，θ0)，P (ρ，θ)，∵点A 在直线ρcos θ＝5上，∴ρ0cos θ0＝5， ①∵△OP A 为等腰三角形，且∠OP A ＝120°，而|OP |＝ρ，|OA |＝ρ0以及∠POA ＝30°，∴ρ0＝3ρ，且θ0＝θ－30°. ②把②代入①，得点P 的轨迹的极坐标方程为3ρcos(θ－30°)＝5.限时规范训练 基础夯实练1．在同一直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换：由曲线4x 2＋9y 2＝36变成曲线x ′2＋y ′2＝1.解：设变换为φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx （λ＞0），y ′＝μy （μ＞0），可将其代入x ′2＋y ′2＝1，得λ2x 2＋μ2y 2＝1.将4x 2＋9y 2＝36变形为x 29＋y 24＝1，比较系数得λ＝13，μ＝12，所以⎩⎨⎧x ′＝13x ，y ′＝12y .故将椭圆4x 2＋9y 2＝36上的所有点的横坐标变为原来的13，纵坐标变为原来的12，可得到圆x ′2＋y ′2＝1.2．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为x 2＋(y －2)2＝4.以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系下长度单位相同．M 为曲线C 1上异于极点的动点，点N 在射线OM 上，且|ON |·|OM |＝20，记点N 的轨迹为C 2.(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)根据极坐标方程，判断曲线C 1，C 2的位置关系．解：(1)曲线C 1的直角坐标方程是x 2＋(y －2)2＝4，即x 2＋y 2＝4y .将x ＝ρcos θ，y ＝ρsinθ代入，得ρ2＝4ρsin θ.故曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4sin θ.设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ)，由|ON |·|OM |＝20，即ρ·ρ1＝20，得ρ1＝20ρ.又ρ1＝4sin θ，所以20ρ＝4sin θ，所以ρsin θ＝5.故曲线C 2的极坐标方程为ρsin θ＝5.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧ρsin θ＝5，ρ＝4sin θ得sin 2θ＝54，无实数解，因此曲线C 1和曲线C 2没有公共点，易知曲线C 1是圆，曲线C 2是直线，所以C 1与C 2相离．3．(2021·四川泸州二模)在平面直角坐标系xOy 中，动直线l 1：y ＝1k x (k ∈R ，且k ≠0)与动直线l 2：y ＝－k (x －4)(k ∈R ，且k ≠0)交点P 的轨迹为曲线C 1.以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)若曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3＝0，求曲线C 1与曲线C 2的交点的极坐标．解：(1)设直线l 1与l 2的交点P (x 0，y 0)，所以y 0＝1kx 0和y 0＝－k (x 0－4)，消去参数k 得C 1的普通方程为x 20－4x 0＋y 20＝0，把x 0＝ρcos θ，y 0＝ρsin θ代入上式得(ρcos θ)2－4ρcos θ＋(ρsin θ)2＝0， 所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ≠0且ρ≠4)； (2)将ρ＝4cos θ代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3－3＝0得 4cos θ⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ－3＝0，所以sin ⎝⎛⎭⎫2θ＋π3＝0，则θ＝12k π－π6(k ∈Z )， 即曲线C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π3＋2k π，⎝⎛⎭⎫23，11π6＋2k π(k ∈Z )． 综合提升练4．(2021·安徽皖南八校联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ，且曲线C 1与极轴的交点为M (异于极点)；曲线C 2的圆心为C 2(3，0)，且过极点O .(1)求点M 的直角坐标及曲线C 2的直角坐标方程；(2)若射线l ：θ＝α(ρ>0，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2与曲线C 1、C 2分别交于点A 、B ，当∠ABM ＝π6时，求tan α.解：(1)因为曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ， 所以ρ2＝2ρcos θ，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θρ2＝x 2＋y2代入上式得，圆C 1的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，则点M 的直角坐标为(2, 0)，因为圆C 2的圆心为C 2(3，0)，且过极点O .所以圆C 2的半径为3，故圆C 2的直角坐标方程为(x －3)2＋y 2＝9. (2)依题意设A ，B 的极坐标分别为A (ρ1，α)，B (ρ2，α)， 圆C 2的极坐标方程为ρ＝6cos α，则|AB |＝ρ2－ρ1＝6cos α－2cos α＝4cos α，∵OM 为圆C 1的直径，故OA ⊥AM ，∴|AM |＝2sin α，则在Rt △ABM 中，∠ABM ＝π6，|AB |＝3|AM |，则4cos α＝23sin α，故tan α＝233.5．已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝9cos 2 θ＋9sin 2 θ，以极点为平面直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)A ，B 为曲线C 上两点，若OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值． 解：(1)由ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ得ρ2cos 2 θ＋9ρ2sin 2 θ＝9， 将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得到曲线C 的直角坐标方程是x 29＋y 2＝1.(2)因为ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ，所以1ρ2＝cos 2θ9＋sin 2 θ， 由OA ⊥OB ，设A (ρ1，α)，则点B 的坐标可设为⎝⎛⎭⎫ρ2，α±π2， 所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝cos 2α9＋sin 2α＋sin 2α9＋cos 2α＝19＋1＝109.创新应用练6．在平面直角坐标系中，将曲线C 1向左平移2个单位长度，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的12，得到曲线C 2，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)求曲线C 2的参数方程；(2)已知点M 在第一象限，四边形MNPQ 是曲线C 2的内接矩形，求内接矩形MNPQ 周长的最大值，并求周长最大时点M 的坐标．解：(1)由ρ＝4cos θ得曲线C 1的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 经过变换后曲线对应的方程为x 24＋y 2＝1，即为曲线C 2的普通方程，∴曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos αy ＝sin α(α为参数)．(2)设四边形MNPQ 的周长为l ，点M (2cos α，sin α)⎝⎛⎭⎫0<α<π2， 则l ＝8cos α＋4sin α ＝45⎝⎛⎭⎫25cos α＋15sin α ＝45·sin(α＋φ)， 其中cos φ＝15＝55，sin φ＝25＝255.∴当α＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z 时，l 取得最大值，此时α＝π2－φ＋2k π，k ∈Z ，l max ＝45，∴2cos α＝2sin φ＝455，sin α＝cos φ＝55，即M ⎝⎛⎭⎫455，55.。
大地、地心空间直角和球面三种坐标地转换
第一章大地坐标第一节大地坐标系统科技名词定义中文名称：大地坐标系英文名称：geodetic coordinate system定义：以参考椭球中心为原点、起始子午面和赤道面为基准面的地球坐标系。
应用学科：测绘学（一级学科）；大地测量学（二级学科）大地坐标系（geodetic coordinate system）是大地测量中以参考椭球面为基准面建立起来的坐标系。
地面点的位置用大地经度、大地纬度和大地高度表示。
大地坐标系的确立包括选择一个椭球、对椭球进行定位和确定大地起算数据。
一个形状、大小和定位、定向都已确定的地球椭球叫参考椭球。
参考椭球一旦确定，则标志着大地坐标系已经建立。
大地坐标系亦称为地理坐标系。
大地坐标系是用来表述地球上点的位置的一种地区坐标系统。
它采用一个十分近似于地球自然形状的参考椭球作为描述和推算地面点位置和相互关系的基准面。
一个大地坐标系统必须明确定义其三个坐标轴的方向和其中心的位置。
通常人们用旋转椭球的短轴与某一规定的起始子午面分别平行干地球某时刻的平均自转轴和相应的真起始子午面来确定坐标轴的方向。
若使参考椭球中心与地球平均质心重合，则定义和建立了地心大地坐标系。
它是航天与远程武器和空间科学中各种定位测控测轨的依据。
若椭球表面与一个或几个国家的局部大地水准面吻合最好，则建立了一个国家或区域的局部大地坐标系。
大地坐标系中点的位置是以其大地坐标表示的，大地坐标均以椭球面的法线来定义。
其中，过某点的椭球面法线与椭球赤道面的交角为大地纬度；包含该法线和大地子午面与起始大地子午面的二面角为该点的大地经度；沿法线至椭球面的距离为该点的大地高。
大地纬度、大地经度和大地高分别用大写英文字母B、L、H表示。
大地坐标系是以地球椭球赤道面和大地起始子午面为起算面并依地球椭球面为参考面而建立的地球椭球面坐标系。
它是大地测量的基本坐标系，其大地经度L、大地纬度B和大地高H为此坐标系的3个坐标分量。
它包括地心大地坐标系和参心大地坐标系。
2022-2022《三维设计》高三数学湘教版(文)一轮复习[精品讲义]选修4-4坐标系与参数方程
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2022-2022《三维设计》高三数学湘教版（文）一轮复习[精品讲义]选修4-4坐标系与参数方程第一节坐标系1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(某，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换某，λ＞0，某′＝λ·φ：的作用下，点P(某，y)对应到点P′(某′，y′)，称φ为平面直y′＝μ·y，μ＞0角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系与极坐标(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O，叫做极点，自极点O引一条射线O某，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴O某为始边，射线OM为终边的角某OM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记为M(ρ，θ)．一般地，不做特殊说明时，我们认为ρ≥0，θ可取任意实数．3．极坐标与直角坐标的互化设M是坐标系平面内任意一点，它的直角坐标是(某，y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)，于是极坐标与直角坐标的互化公式如下表：点M互化公式直角坐标(某，y)某＝ρcoθρinθy＝极坐标(ρ，θ)ρ＝某＋yytanθ＝某某≠02224.常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点，半径为r的圆ρ＝r(0≤θ＜2π)ρ＝2rco_θ圆心为(r,0)，半径为r的圆－π≤θ≤π22ρ＝2rin_θ(0≤θ＜π)πr，，半径为r的圆圆心为2(1)θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)(2)θ＝α(ρ≥0)和θ＝π＋α(ρ≥0)过极点，倾斜角为α的直线过点(a,0)，与极轴垂直的直线πa，，与极轴平行的直线过点2ππ－＜θ＜ρco_θ＝a22ρin_θ＝a(0＜θ＜π)1．在将直角坐标化为极坐标求极角θ时，易忽视判断点所在的象限(即角θ的终边的位置)．2．在极坐标系下，点的极坐标不惟一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，π＋θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标．[试一试]1．点P的直角坐标为(1，－3)，求点P的极坐标．π解：因为点P(1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP与某轴所成的角为－，3π2，－.所以点P的极坐标为32．求极坐标方程ρ＝inθ＋2coθ能表示的曲线的直角坐标方程．解：由ρ＝inθ＋2coθ，得ρ2＝ρinθ＋2ρcoθ，∴某2＋y2－2某－y＝0.故故极坐标方程ρ＝inθ＋2coθ表示的曲线直角坐标方程为某2＋y2－2某－y＝0.1．确定极坐标方程的四要素极点、极轴、长度单位、角度单位及其正方向，四者缺一不可．2．直角坐标(某，y)化为极坐标(ρ，θ)的步骤y(1)运用ρ＝某2＋y2，tanθ＝(某≠0)某y(2)在[0,2π)内由tanθ＝(某≠0)求θ时，由直角坐标的符号特征判断点所在的象限．某[练一练]1．在极坐标系中，求圆心在(2，π)且过极点的圆的方程．解：如图，O为极点，OB为直径，A(ρ，θ)，则∠ABO＝θ－90°，OBρ＝22＝，化简得ρ＝－22coθ.inθ－90°π22．已知直线的极坐标方程为ρin(θ＋)＝，求极点到该直线的距离．4222π2in＋co解：极点的直角坐标为O(0,0)，ρin(θ＋)＝ρ＝，∴ρinθ＋4222ρcoθ＝1，化为直角坐标方程为某＋y－1＝0.∴点O(0,0)到直线某＋y－1＝0的距离为d＝＝π222θ＋＝的距离为.，即极点到直线ρin42222考点一平面直角坐标系中的伸缩变换1某′＝2某，1.(2022·佛山模拟)设平面上的伸缩变换的坐标表达式为求在这一坐标变y′＝3y，换下正弦曲线y＝in某的方程．1某＝2某′，某′＝2某，解：∵∴1y＝y′.y′＝3y，3代入y＝in某得y′＝3in2某′.某′＝2某，π2．求函数y＝in(2某＋)经伸缩变换14y′＝y21某′＝2某，某＝2某′，解：由得①1y′＝y，2y＝2y′.π1π将①代入y＝in(2某＋)，得2y′＝in(2·某′＋)，4241π即y′＝in(某′＋)．24后的解析式．某′＝3某，y23．求双曲线C：某－＝1经过φ：变换后所得曲线C′的焦点坐标．642y′＝y21某＝3某′，y22解：设曲线C′上任意一点P′(某′，y′)，由上述可知，将代入某－＝64y＝2y′，某′24y′2某′2y′21得－＝1，化简得－＝1，964916某2y2即－＝1为曲线C′的方程，可见仍是双曲线，则焦点F1(－5,0)，F2(5,0)为所求．916[类题通法]某，λ>0某′＝λ·平面图形的伸缩变换可以用坐标伸缩变换来表示．在伸缩变换下，直y′＝μ·y，μ>0线仍然变成直线，抛物线仍然变成抛物线，双曲线仍然变成双曲线，圆可以变成椭圆，椭圆也可以变成圆．考点二极坐标与直角坐标的互化[典例](2022·石家庄模拟)在平面直角坐标系某Oy中，以坐标原点O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为3ρ2＝12ρcoθ－10(ρ>0)．(1)求曲线C1的直角坐标方程；某2y2(2)曲线C2的方程为＋＝1，设P，Q分别为曲线C1与曲线C2上的任意一点，求|PQ|164的最小值．[解](1)曲线C1的方程可化为3(某2＋y2)＝12某－10，2即(某－2)2＋y2＝.3(2)依题意可设Q(4coθ，2inθ)，由(1)知圆C1的圆心坐标为C1(2,0)．故|QC1|＝4coθ－22＋4in2θ＝12co2θ－16coθ＋8＝222coθ－2＋，33326，36.3|QC1|min＝所以|PQ|min＝[类题通法]直角坐标方程与极坐标方程的互化，关键要掌握好互化公式，研究极坐标系下图形的性质，可转化直角坐标系的情境进行．[针对训练](2022·安徽模拟)在极坐标系中，判断直线ρcoθ－ρinθ＋1＝0与圆ρ＝2inθ的位置关系．解：直线ρcoθ－ρinθ＋1＝0可化成某－y＋1＝0，圆ρ＝2inθ可化为某2＋y2＝2y，即某2＋(y－1)2＝1.圆心(0,1)到直线某－y＋1＝0的距离d＝考点三|0－1＋1|＝0<1.故直线与圆相交．2极坐标方程及应用[典例](2022·郑州模拟)已知在直角坐标系某Oy中，曲线C的参数方程为某＝2＋2coθ，(θ为参数)，在极坐标系(与直角坐标系某Oy取相同的长度单位，且以y＝2inθπ原点O为极点，以某轴正半轴为极轴)中，直线l的方程为ρin(θ＋)＝22.4(1)求曲线C在极坐标系中的方程；(2)求直线l被曲线C截得的弦长．[解](1)由已知得，曲线C的普通方程为(某－2)2＋y2＝4，即某2＋y2－4某＝0，化为极坐标方程是ρ＝4coθ.(2)由题意知，直线l的直角坐标方程为某＋y－4＝0，22某＋y－4某＝0，由得直线l与曲线C的交点坐标为(2,2)，(4,0)，所以所求弦长为22.某＋y＝4，π在本例(1)的条件下，求曲线C与曲线C1：ρcoθ＝3(ρ≥0,0≤θ解：由曲线C，C1极坐标方程联立ρ＝4coθ，33π∴co2θ＝，coθ＝±，又ρ≥0，θ∈[0，)．422∴coθ＝π3π23，.，θ＝，ρ＝23，故交点极坐标为626[类题通法]求曲线的极坐标方程的步骤(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．[针对训练](2022·荆州模拟)在极坐标系中，求过圆ρ＝6coθ的圆心，且垂直于极轴的直线的极坐标方程．解：ρ＝6coθ在直角坐标系中表示圆心为(3,0)，半径为3的圆．过圆心且垂直于某轴的直线方程为某＝3，其在极坐标系下的方程为ρcoθ＝3.[课堂练通考点]π1．(2022·南昌调研)在极坐标系中，求圆ρ＝2coθ与直线θ＝(ρ>0)所表示的图形的交4点的极坐标．π解：圆ρ＝2coθ可转化为某2－2某＋y2＝0，直线θ＝可转化为y ＝某(某>0)，两个方程联4π立得交点坐标是(1,1)，可得其极坐标是(2，)．4ππ2．(2022·惠州模拟)在极坐标系中，已知两点A，B的极坐标分别为(3，)、(4，)，求36△AOB(其中O为极点)的面积．ππ1解：由题意知A，B的极坐标分别为(3，)、(4，)，则△AOB的面积S△AOB＝OA·OB·in3621π∠AOB＝某3某4某in＝3.263．(2022·天津高考改编)已知圆的极坐标方程为ρ＝4c oθ，圆心为C,点P的极坐标为4，π，求|CP|的值．3解：由ρ＝4coθ可得圆的直角坐标方程为某2＋y2＝4某，圆心C(2,0)．点P的直角坐标为(2,23)，所以|CP|＝23.4．在极坐标系中，求圆：ρ＝2上的点到直线：ρ(coθ＋3inθ)＝6的距离的最小值．解：由题意可得，圆的直角坐标方程为某2＋y2＝4，圆的半径为r＝2，直线的直角坐标|0＋3某0－6|方程为某＋3y－6＝0，圆心到直线的距离d＝＝3，所以圆上的点到直线的距2离的最小值为d－r＝3－2＝1.某＝－t，π5．(2022·银川调研)已知直线l：(t为参数)与圆C：ρ＝42co(θ－)．4y＝1＋t(1)试判断直线l和圆C的位置关系；(2)求圆上的点到直线l的距离的最大值．解：(1)直线l的参数方程消去参数t，得某＋y－1＝0.π由圆C的极坐标方程，得ρ2＝42ρco(θ－)，化简得ρ2＝4ρcoθ＋4ρinθ，所以圆C4的直角坐标方程为某2＋y2＝4某＋4y，即(某－2)2＋(y－2)2＝8，故该圆的圆心为C(2,2)，半径r＝22.|2＋2－1|32从而圆心C到直线l的距离为d＝22＝2，1＋132显然<22，所以直线l和圆C相交．232(2)由(1)知圆心C到直线l的距离为d＝，所以圆上的点到直线l的距离的最大值为23272＋22＝.22[课下提升考能]1．在直角坐标系某Oy中，以O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的πθ－＝1，M，N分别为曲线C与某轴，y轴的交点．极坐标方程为ρco3(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．π13θ－＝1得ρcoθ＋inθ＝1，解：(1)由ρco32213从而曲线C的直角坐标方程为某＋y＝1，即某＋3y＝2.22θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．π2323πθ＝时，ρ＝，所以N.233，223(2)由(1)得点M的直角坐标为(2,0)，点N的直角坐标为0，.3所以点P的直角坐标为1，323π，则点P的极坐标为，33，6π所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)．6π1，，点B在直线l：ρcoθ＋ρinθ＝0(0≤θ<2π)上运动，当2．在极坐标系中定点A2线段AB最短时，求点B的极坐标．解：∵ρcoθ＋ρinθ＝0，∴coθ＝－inθ，tanθ＝－1.3π∴直线的极坐标方程化为θ＝(直线如图)．4过A作直线垂直于l，垂足为B，此时AB最短．易得|OB|＝22 .∴B点的极坐标为23π2，4.3．(2022·扬州模拟)已知圆的极坐标方程为：ρ2－42ρcoθ－π4＋6＝0.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点P(某，y)在该圆上，求某＋y的最大值和最小值．解：(1)原方程变形为：ρ2－4ρcoθ－4ρinθ＋6＝0.某2＋y2－4某－4y＋6＝0.(2)圆的参数方程为某＝2＋2coα，y＝2＋2inα(α为参数)，所以某＋y＝4＋2inα＋π4.那么某＋y的最大值为6，最小值为2.4．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：某′＝3某，2y′＝y.(1)求点A13，－2经过φ变换所得的点A′的坐标；(2)点B经过φ变换得到点B′－3，12，求点B的坐标；(3)求直线l：y＝6某经过φ变换后所得到的直线l′的方程．某′＝3某，解：(1)设A′(某′，y′)，由伸缩变换φ：某′＝3某，y′＝y得到y′＝12y，坐标为13，－2，于是某′＝3某13＝1，y′＝12某(－2)＝－1，∴A′(1，－1)为所求．(2)设B(某，y)，由伸缩变换φ：某′＝3某，某＝3某′，y′＝y得到y＝2y′.由于点B′的坐标为－3，12，于是某＝13某(－3)＝－1，y＝2某12＝1，A的由于点∴B(－1,1)为所求．某＝，某′＝3某，3(3)由伸缩变换φ：得2y′＝y，某′y＝2y′.代入直线l：y＝6某，得到经过伸缩变换后的方程y′＝某′，因此直线l的方程为y＝某.5．(2022·南京模拟)在极坐标系中，曲线C1，C2的极坐标方程分别为ρ＝－2coθ，ρcoθ＋π＝1.3(1)求曲线C1和C2的公共点的个数；(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q，在OQ上取一点P，使|OP|·|OQ|＝2，求点P的轨迹，并指出轨迹是什么图形．解：(1)C1的直角坐标方程为(某＋1)2＋y2＝1，它表示圆心为(－1,0)，半径为1的圆，C23的直角坐标方程为某－3y－2＝0，所以曲线C2为直线，由于圆心到直线的距离为d＝>1，2所以直线与圆相离，即曲线C1和C2没有公共点．ρρ0＝2，(2)设Q(ρ0，θ0)，P(ρ，θ)，则θ＝θ0，2ρ0＝ρ，即①θ0＝θ.因为点Q(ρ0，θ0)在曲线C2上，πθ0＋＝1，②所以ρ0co3π2θ＋＝1，将①代入②，得coρ3π13θ＋为点P的轨迹方程，化为直角坐标方程为某－2＋y＋2＝1，因即ρ＝2co32213此点P的轨迹是以，－为圆心，1为半径的圆．22π2θ－＝.6．(2022·苏州模拟)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝coθ＋inθ和直线l：ρin42(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标．解：(1)圆O：ρ＝coθ＋inθ，即ρ2＝ρcoθ＋ρinθ，圆O的直角坐标方程为：某2＋y2＝某＋y，即某2＋y2－某－y＝0，π2θ－＝，即ρinθ－ρcoθ＝1，直线l：ρin42则直线l的直角坐标方程为：y－某＝1，即某－y＋1＝0.22某＋y－某－y＝0，某＝0，π1，.(2)由得故直线l与圆O公共点的一个极坐标为2某－y＋1＝0y ＝1，第二节参数方程1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数某，y中的一个与参数t的关系，例如某＝f(t)，把它代入普通方程，求某＝ft，出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么，就是曲线的参数方程．y＝gt2．常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹直线普通方程y－y0＝tanα(某－某0)参数方程某＝某0＋tcoαy＝y0＋tinα(t为参数)圆某＋y＝r某2y2＋＝1(a>b>0)a2b2222某＝rcoθ(θ为参数)y＝rinθ某＝acoφ(φ为参数)y＝binφ椭圆某＝某0＋tcoα，1．不明确直线的参数方程中的几何意义导致错误，对于直线参数方程y＝y0＋tinα.(t为参数)注意：t是参数，α则是直线的倾斜角．2．参数方程与普通方程互化时，易忽视互化前后的等价性．[试一试]3．(2022·合肥模拟)在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为23y＝＋22t1某＝t，2(t为参数)，若以直角坐标系的原点O为极点，某轴非负半轴为极轴，且长度单位相同，建立极坐πθ－.若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|的标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2co4值．解：首先消去参数t，可得直线方程为3某－y＋为某－2＝0，极坐标方程化为直角坐标方程21－1062＝.24222＋y－2＝1，根据直线与圆的相交弦长公式可得|AB|＝2224．(2022·石家庄模拟)在平面直角坐标系某Oy中，以原点O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为：ρin2θ＝coθ.(1)求曲线C的直角坐标方程；某＝2－22t，(2)若直线l的参数方程为2y＝2t点，求|AB|的值．(t为参数)，直线l与曲线C相交于A，B两解：(1)将y＝ρinθ，某＝ρcoθ代入ρ2in2θ＝ρcoθ中，得y2＝某，∴曲线C的直角坐标方程为：y2＝某.某＝2－22t，(2)把2y＝2t，代入y2＝某整理得，t2＋2t－4＝0，Δ>0总成立．设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，∵t1＋t2＝－2，t1t2＝－4，∴|AB|＝|t1－t2|＝－22－4某－4＝32.[课下提升考能]某＝t＋1，1．在平面直角坐标系某Oy中，直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的y＝2t2某＝2tanθ，参数方程为(θ为参数)．试求直线l和曲线C的普通方程，并求出它们的公共y＝2tanθ点的坐标．某＝t＋1，解：因为直线l的参数方程为(t为参数)，由某＝t＋1得t＝某－1，代入y＝y＝2t2t，得到直线l的普通方程为2某－y－2＝0.同理得到曲线C的普通方程为y2＝2某.y＝2某－1，1解方程组2得公共点的坐标为(2,2)，(，－1)．2y＝2某，2．(2022·长春模拟)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4coθ，以极点为原点，极轴为某轴某＝5＋23t，正半轴建立平面直角坐标系，设直线l的参数方程为1y＝2t(1)求曲线C的直角坐标方程与直线l的普通方程；(t为参数)．(2)设曲线C与直线l相交于P，Q两点，以PQ为一条边作曲线C的内接矩形，求该矩形的面积．解：(1)由ρ＝4coθ，得ρ2＝4ρcoθ，即曲线C的直角坐标方程为某2＋y2＝4某；某＝5＋23t，由1y＝2t(t为参数)，得y＝(某－5)，即直线l的普通方程为某－3y－5＝0.3|2－3某0－5|3(2)由(1)可知C为圆，且圆心坐标为(2,0)，半径为2，则弦心距d＝＝，21＋3弦长|PQ|＝2某＝2＋2coφ，3．在直角坐标系某Oy中，圆C1和C2的参数方程分别是(φ为参数)和y＝2inφ某＝coφ，(φ为参数)．以O为极点，某轴的正半轴为极轴建立极坐标系．y＝1＋inφ322－2＝7，因此以PQ为一条边的圆C的内接矩形面积S＝2d·|PQ|＝37.2(1)求圆C1和C2的极坐标方程；(2)射线OM：θ＝α与圆C1的交点为O，P，与圆C2的交点为O，Q，求|OP|·|OQ|的最大值．解：(1)圆C1和圆C2的普通方程分别是(某－2)2＋y2＝4和某2＋(y－1)2＝1，所以圆C1和C2的极坐标方程分别是ρ＝4coθ和ρ＝2inθ.(2)依题意得，点P，Q的极坐标分别为P(4coα，α)，Q(2inα，α)，所以|OP|＝|4coα|，|OQ|＝|2inα|.从而|OP|·|OQ|＝|4in2α|≤4，当且仅当in2α＝±1时，上式取“＝”，即|OP|·|OQ|的最大值是4.4．(2022·福建模拟)如图，在极坐标系中，圆C的圆心坐标为(1,0)，半径为1.(1)求圆C的极坐标方程；(2)若以极点O为原点，极轴所在直线为某轴建立平面直角坐标系．已知直线l某＝－1＋tco6，的参数方程为πy＝tin6OM，BM，在Rt△OBM中，|OM|＝|OB|co∠BOM，所以ρ＝2coθ.π(t为参数)，试判断直线l与圆C的位置关系．解：(1)如图，设M(ρ，θ)为圆C上除点O，B外的任意一点，连接π可以验证点O(0，)，B(2,0)也满足ρ＝2coθ，2故ρ＝2coθ为所求圆的极坐标方程．(2)由πy＝tin6π某＝－1＋tco，6(t为参数)，得直线l的普通方程为y＝3(某＋1)，3即直线l的普通方程为某－3y＋1＝0.由ρ＝2coθ，得圆C的直角坐标方程为(某－1)2＋y2＝1.|1某1－3某0＋1|因为圆心C到直线l的距离d＝＝1，2所以直线l与圆C相切．5．(2022·郑州模拟)在直角坐标系某Oy中，直线l经过点P(－1,0)，其倾斜角为α.以原点O为极点，以某轴非负半轴为极轴，与直角坐标系某Oy取相同的长度单位，建立极坐标系．设曲线C的极坐标方程为ρ2－6ρcoθ＋5＝0.(1)若直线l与曲线C有公共点，求α的取值范围；(2)设M(某，y)为曲线C上任意一点，求某＋y的取值范围．解：(1)将曲线C的极坐标方程ρ2－6ρcoθ＋5＝0化为直角坐标方程为某2＋y2－6某＋5＝0.某＝－1＋tcoα，直线l的参数方程为(t为参数)．y＝tinα某＝－1＋tcoα，将(t为参数)代入某2＋y2－6某＋5＝0整理得，t2－8tcoα＋12＝0.y＝tinα∵直线l与曲线C有公共点，∴Δ＝64co2α－48≥0，∴coα≥33或coα≤－.22π50，∪∵α∈[0，π)，∴α的取值范围是，.66(2)曲线C的方程某2＋y2－6某＋5＝0可化为(某－3)2＋y2＝4，某＝3＋2coθ，其参数方程为(θ为参数)．y＝2inθ∵M(某，y)为曲线C上任意一点，π∴某＋y＝3＋2coθ＋2inθ＝3＋22in(θ＋)，4∴某＋y的取值范围是[3－22，3＋22]．某＝acoφ，6．(2022·昆明模拟)已知曲线C的参数方程是(φ为参数，a>0)，直线l的y＝3inφ某＝3＋t，参数方程是(t为参数)，曲线C与直线l有一个公共点在某轴上，以坐标原点为y＝－1－t极点，某轴的正半轴为极轴建立坐标系．(1)求曲线C的普通方程；(2)若点A(ρ1，θ)，B(ρ2，θ＋2π4π111)，C(ρ3，θ＋)在曲线C上，求的值．2＋2＋33|OA||OB||OC|2某2解：(1)直线l的普通方程为某＋y＝2，与某轴的交点为(2,0)．又曲线C 的普通方程为2＋ay2某2y2＝1，所以a＝2，故所求曲线C的普通方程是＋＝1.3432π4πρ2，θ＋，Cρ3，θ＋在曲线C上，即点A(ρ1coθ，ρ1inθ)，(2)因为点A(ρ1，θ)，B332π4π4π2πθ＋，ρ2in(θ＋，Cρ3coθ＋，ρ3inθ＋在曲线C上．Bρ2co3333故1111112＋2＋2＝2＋2＋2|OA||OB||OC|ρ1ρ2ρ324112＝co2＋co2＋＋co＋＋343322422in＋in＋＋in＋33481＋co2＋1＋co2＋＋co21133＋＋＋＝4222481－co2＋1－co2＋－co2113313137＝4某2＋3某2＝8.＋＋3222。
空间直角坐标系.ppt
0 32 y 12 0 12 0 02 y 12 0 22
解之得
y 3, 2
故所求点为
M
0,
3 2
,
0
.
例 3 求证以 M1(4,3,1)、 M2(7,1,2)、 M3(5,2,3)
三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面.
前面三个例子中，所讨论的方程都是一次方程， 所考察的图形都是平面.可以证明空间中任意一个平 面的方程式三元一次方程
Ax By Cz D 0,
其中 A, B,C, D 均为常数，A, B,C 且不全为0.
八个卦限中点的坐标
卦限 点的坐标 x, y, z 卦限 点的坐标 x, y, z
Ⅰ x>0,y>0,z>0
Ⅴ x>0,y>0,z<0
Ⅱ x<0,y>0,z>0
Ⅵ x<0,y>0,z<0
Ⅲ x<0,y<0,z>0
Ⅶ x<0,y<0,z<0
Ⅳ x>0,y<0,z>0
Ⅷ x>0,y<0,z<0
（2）过 B 点的中线长为________；（3）过 C 点中 线 长为___________；
6. 已知平行四边形 ABCD的两个顶点 A( 2 ,3 ,5 ), B(1 , 3 , 2 )及它的对角线的交点 E( 4 ,1 , 7 )，则 顶点 C 的坐标 为_________，顶点 D 的坐标为_____ ______；
第一节 坐标系-高考状元之路
第一节 坐标系预习设计 基础备考知识梳理1．平面直角坐标系中的伸缩变换在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变x 轴或y 轴的单位长度，将会对图形产生影响．2．极坐标的概念(1)极坐标系：如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做 ，从0点引一条射线Ox ，叫做 ，选定一个单位长度和角及其正方向（通常取逆时针方向），这样应确定了一个平面极坐标系，简称为(2)极坐标：对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角度，ρ叫做点M 的 ，θ叫做点M 的 ，有序实数对（θρ,）叫做点M 的极坐标，记作).,(θρM 当点M 在极点时，它的极径 ，极角θ可以取 (3)点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有无数对，当z k ∈时，,(),,(ρθρ))12(,(),2πθρπθ++-+k k 表示 ，而用平面直角坐标表示点时，每一个点的坐标是唯一的．如果规定,20,0πθρ<≤>或者,πθπ≤<-那么，除极点外，平面内的点和极坐标就一一对应了．3．极坐标和直角坐标的互化(1)互化背景：把平面直角坐标系的原点作为极点，。
轴的正半轴作为极轴，建立极坐标系，并在两种坐标系中取相同的单位长度，如图所示．(2)互化公式：设M 是坐标平面内任意一点，它的直角坐标是（x ，y ），极坐标是∈>θρθρ,0)(,()),2,0[π于是极坐标与直角坐标的互化公式如表：在一般情况下，由tan θ确定角时，可根竭点M 所在的象限取最小正角．4．常见曲线的极坐标方程典题热身1．在同一平面直角坐标系中，直线22=-y x 经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==yy x x 4,11后，变成直线答案：42//=-y x2．在极坐标系中，已知两点),4,1(),45,5(ππQ p 则线段PQ 的长度为 答案：63．直角坐标方程0822=-+y y x 的极坐标方程为 答案：θρsin 8=4．极坐标方程)3cos(6πθρ-=的直角坐标方程为答案：033322=--+y x y x5．(2011．广东湛江一中月考)在极坐标系中，圆θρcos 2=的圆心的极坐标是 ，它与方程)0(4>=ρπθ所表示的图形的交点的极坐标是答案：)4,2(),0,1(π课堂设计 方法备考题型一 平面直角坐标系中的伸缩变换【例1】在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧⋅==y y x x //2,3:ϕ(1)求点)2,31(-A 经过ϕ变换所得的点/A 的坐标；(2)点B 经过ϕ变换得到点),21,3(/-B 求点B 的坐标； (3)求直线x y l 6:=经过ϕ变换后所得直线/l 的方程；(4)求双曲线164:22=-y x c 经过ϕ变换后所得曲线/C 的焦点坐标.题型二 求曲线的极坐标方程【例2】已知P ，Q 分别在么AOB 的两边OA ，OB 上，=∠AOB POQ ∆,3π的面积为8，求PQ 中点M 的极坐标方程．题型三 极坐标与直角坐标的互化【例3】已知⊙1O 和⊙2O 的极坐标方程分别为θρθρsin 4,cos 4-== (1)把⊙1O 和⊙2O 和O 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过⊙、1O ⊙2O 交点的直线的直角坐标方程，随堂反馈1．(1)求方程122=+y x 对应的图形经过伸缩变换⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 23,4后对应图形的方程．(2)在同一平面直角坐标系中，将直线22=-y x 变成直线,42//=-y x 求满足图像变换的伸缩变换．2．在极坐标系中，极点为0．已知),2,21(),0,21(21π++p p 曲线.sin 22:θρ=C(1)求直线21p p 的极坐标方程；(2)记直线21p p 与曲线C 交于A ，B 两点，求∠AOB 的大小．3．已知曲线1C 的极坐标方程为,cos 6θρ=曲线2C 的极坐标方程为),(4R ∈=ρπθ曲线21C C 、相交于A 、B 两点．(1)把曲线21c c 、的极坐标方程转化为直角坐标方程； (2)求弦AB 的长度，高效作业 技能备考1．（2011．广东高考）已知两曲线参数方程分别为)0(sin cos 5πθθθ<≤⎩⎨⎧==y x 和⎪⎩⎪⎨⎧∈==)(452R t ty tx 它们的交点坐标为 答案：)552,1(2．（2011．陕西高考）直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B分别在曲线θθθ(sin ,cos 3:1⎪⎩⎪⎨⎧=+=y x C 为参数）和曲线1:2=ρc 上，则∣AB ∣的最小值为 答案：13．（2011．湖南高考）在直角坐标系xOy 中，曲线1c 的参数方程为ααα(sin 3cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数）．在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，曲线2C 的方程为,01)sin (cos =+-θθρ则21C C 与的交点个数为 答案；24．（2010．江苏高考）在极坐标系中，已知圆θρcos 2=与直线0sin 4cos 3=++a θρθρ相切，求实数a 的值，5．(2011．徐州模拟)若两条曲线的极坐标方程分别为1=ρ与),3cos(2πθρ+=它们相交于A ，B 两点，求线段AB 的长．6．（2011．宁德模拟）在极坐标系中，圆C 的方程为=ρ),6cos(4πθ-直线),(3:R l ∈=ρπθ求圆心C到直线l 的距离．7．(2011．东海模拟)设点A 的极坐标为),20,0)(,(1111πθρθρ<<=/直线l 经过A 点，且倾斜角为α．(1)证明l 的极坐标方程是);sin()sin(11αθραθρ-=- (2)若0点到l 的最短距离,1ρ=d 求1θ与α间的关系．8．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为,,1)3cos(M =-πθρN 分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程．9．在极坐标系中，极点为0．已知一条封闭的曲线C 由三段圆弧组成；),40(cos 2πθθρ<≤= ⋅<≤=<≤=)22(2),24(sin 2πθπρπθπθρ(1)求曲线C 围成的区域的面积； (2)若直线)()4sin(:R k k l ∈=+πθρ与曲线C 恰有两个公共点，求实数k 的取值范围．10．在极坐标系中，已知圆心),6,3(πC 半径Q r ,1=点在圆C 上运动．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若P 点在线段OQ 上，且,3:2:=PQ OP 求点P 的轨迹方程．。
数学高一第一章知识点总结
数学高一第一章知识点总结第一节直线与坐标系直线与坐标系是数学中基础的概念，它们为我们描述和研究几何图形提供了便利。
直线是由无数个点组成的，我们通常用方程或者斜率截距式来表示直线。
坐标系包括了平面直角坐标系和空间直角坐标系，通过坐标系可以明确表示点的位置。
第二节函数与方程函数和方程是高中数学的核心概念。
函数是自变量与因变量之间的一种关系，通常表示为y=f(x)。
在函数中，我们讨论了定义域、值域、奇偶性等重要概念。
方程则是含有未知数的等式，我们通过求解方程可以得到未知数的值。
第三节二次函数二次函数是一类常见的函数形式，其图像呈现抛物线的形状。
我们通过解析式和图像来研究二次函数，探讨了二次函数的性质、最值、对称轴等。
第四节三角函数三角函数是数学中另一类重要的函数，它们与三角关系密切相关。
常见的三角函数有正弦函数、余弦函数和正切函数。
我们通过图像、周期性、性质等方面对三角函数进行了深入研究。
第五节平面向量平面向量是用于表示平面上有大小和方向的量。
我们研究了向量的定义、运算、线性组合等。
通过向量运算，我们可以解决许多几何和物理上的问题。
第六节不等式不等式是比较大小的一种数学表达形式。
我们学习了不等式的性质、解不等式的方法，并将不等式应用于实际问题的解决中。
第七节概率与统计概率与统计是数学中的实用工具，它们涉及到随机事件的发生概率和数据的收集与分析。
我们学习了事件的概率、随机变量的描述和统计量的计算等内容。
第八节数列与数列的求和数列是有序的数的排列，我们研究了等差数列、等比数列和通项公式的求解。
数列的求和则是计算数列中所有数之和，我们学习了等差数列和等比数列求和公式的推导和应用。
通过对第一章知识点的总结，我们初步了解了高一数学的基础内容。
掌握这些知识点将有助于我们在后续学习中更好地理解和应用数学。
数学的学习需要反复练习和巩固，希望大家能够在接下来的学习中取得更好的成绩！。
选修4-4坐标系与参数方程
建立联系．
Y＝byb>0
(2)已知变换后的曲线方程 f(x，y)＝0，一般都要改写为方程 f(X，Y)＝0，再利用换元法确定伸缩变换公式．
能力练通
抓应用体验的“得”与“失”
x′＝3x，
1，－2
1．在同一平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：
求点 A 3
经过φ变换所得的点 A′的坐标．
2y′＝y.
第 1 页 共 22 页
解析：设曲线 C′上任意一点 P′(x′，y′)，
x＝1x′， 由题意，将 3
y＝2y′
代入 x2－ y2 ＝1 64
得x′2－4y′2＝1，化简得x′2－y′2＝1，
9 64
9 16
即x2－ y2 ＝1 为曲线 C′的方程，可见经变换后的曲线仍是双曲线， 9 16
则所求焦点坐标为 F1(－5,0)，F2(5,0)．
选修 4－4 坐标系与参数方程
第一节 坐 标 系
本节主要包括 2 个知识点： 1.平面直角坐标系下图形的伸缩变换； 2.极坐标系.
突破点(一) 平面直角坐标系下图形的伸缩变换
基础联通
抓主干知识的“源”与“流”
x′＝λ·xλ＞0，
设点 P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：
的作用下，点 P(x，y)对应到点
4．将圆 x2＋y2＝1 变换为椭圆x2＋y2＝1 的一个伸缩变换公式为φ： X＝axa>0， 求 a，b 的值．
94
Y＝byb>0，
X＝ax， 解y＝1Y， b
代入 x2＋y2＝1 中得Xa22＋Yb22＝1，所以 a2＝9，b2＝4，即 a＝3，b＝2.
突破点(二) 极坐标系
(2)直线 C3 的极坐标方程为θ＝α0，其中α0 满足 tan α0＝2，若曲线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a. 解析：(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程为 x2＋(y－1)2＝a2，
第1讲 第1节平面直角坐标系
P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简 伸缩变换 ． 称__________
3．三角函数的伸缩变换 由函数 y＝sin x 的图象通过变换得到 y＝Asin(ωx＋φ)的图 象，方法一(先平移后伸缩)： 向左φ>0或向右φ<0 y＝sin(x＋φ) y ＝ sin x 的图象 ―――――→ ________________ 平移|φ|个单位长度 1 横坐标变为原来的 倍 ω y＝sin(ωx＋φ) 的图象 ―――――→ _________________ 的图象 纵坐标不变 纵坐标变为原来的A倍 ――→ y＝Asin(ωx＋φ)的图象． 横坐标不变
[思路点拨]
(1)建立适当坐标系；
(2)用坐标和方程表示出|PM|＝ 2|PN|； (3)代入坐标，求出(x，y)关系式．
• [解题过程] 如下图，以直线O1O2为x轴，线 段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐 标系，则两圆心的坐标分别为O1(－2,0)， O2(2,0)．
[变式训练]
2.在平面直角坐标系中，求下列方程所对应 后的图形，
x′＝2x 的图形经过伸缩变换 y′＝4y
(1)2x＋4y＝a； (2)x2＋y2＝r2(r≠0)．
解析：
1 x＝2x′ x ′ ＝ 2 x (1)由伸缩变换 ，得到 y′＝4y y＝1y′ 4
第一 讲
坐标系
•第一节 平面直角坐标系
• 某村庄P处有一堆肥料，现要把这堆肥料沿 道路PA或PB送到成矩形的一块田地ABCD中 去，已知PA＝100米，PB＝150米，BC＝60 米，∠APB＝60°. • 能否在田中确定一条界线，使位于界线左侧 的点沿道路PA送肥料较近，而右侧的点沿PB 送肥料较近？
第二章GPS定位的坐标系统和时间系统 第一节参心坐标系
GPS测量定位技术
1.椭球的参数 这四个量通常称为基本大地参数，在四个基本参数
中，长半径 a 通常由几何大地测量提供，地球自转角速 度 由天文观测确定，它们的精度都比较好。地球的质
量M虽难测定，但是（是地球引力常数）利用卫星大地 测量学可精确测定至千万分之一。通过观测人造地球卫
星，确定与 a 等价的二阶带谐系数 J，2 其精确度提高了
U
GM
1
n1
J 2n
a
2n
P2n
c
os
2 2
2
sin 2
（2-1）
式中为 地心矢径， 为 余纬度， P2n cos为 勒让德多项
式； 、a 、J 2 和GM为正常椭球的四个参数，式中其它的偶阶 带谐系数 、 …等J 4可根J 6 据这四个参数按一定的公式算得。 1967年国际大地测量与地球物理联合会（IUGG）第十四 届大会上，开始采用这四个参数全面描述地球的几何特 性和物理特性。
在经典大地测量中，为了处理观测成果和传算地面控制网的坐 标，通常须选取一参考椭球面作为基本参考面，选一参考点作为 大地测量的起算点（大地原点），利用大地原点的天文观测量来 确定参考椭球在地球内部的位置和方向。参心坐标系中的“参心” 二字意指参考椭球的中心，所以参心坐标系和参考椭球密切相关。 由于参考椭球中心无法与地球质心重合，故又称其为非地心坐标 系。参心坐标系按其应用又分为参心大地坐标系和参心空间直角 坐标系两种。
显然，起始子午线或经度零点，只靠一个天文台是难以保持的。所以国际 时间局的1968BIH系统是由分布在世界各地的许多天文台所观测的经度，反求 出各自的经度原点，取它们的权中数，作为平均天文台所定义的经度原点。国 际时间局再根据1954～1956年的观测资料求出格林尼治天文台所定义的经度 零点E与平均天文台所定义的经度原点的经度差值，来修定各天文台的经度值， 从而保持了用E点作为经度零点。
第一节 空间直角坐标系
第一节 空间直角坐标系一、空间点的直角坐标1.坐标系和坐标（1）坐标系：以O 为公共原点，作三条互相垂直的数轴Ox 轴(横轴)，Oy 轴（纵轴），Oz 轴（竖轴），其中三条数轴符合右手规则。
我们把点O 叫做坐标原点，数轴Ox ，Oy ，Oz 统称为坐标轴。
xOy ，yOz ，zOx 三个坐标面。
三个坐标面将空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限（如图1-1）图5-1-1 图5-1-2 （2）点的坐标：设M 为空间中一点，过M 点作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x 轴，y 轴，z 轴的交点依次为P ，Q ，R （图1-2），设P ，Q ，R 三点在三个坐标轴的坐标依次为x ,y ,z 。
空间一点M 就唯一地确定了一个有序数组(,,)x y z ，称为M 的直角坐标，x 、y 、z 分别称为点M 的横坐标，纵坐标和竖坐标，记为(,,)M x y z 。
二、两点间的距离设1111(,,)M x y z 、2222(,,)M x y z 为空间两点，我们可用两点的坐标来表达它们间的距离d 。
将1,M 2M 的坐标画出(图5-1-3)，有22221212d M M M N NM ==+222111M P M Q M R =++因为11221M P PP x x ==-11221M Q QQ y y ==- 12211z z R R R M -==所以12d M M ==特别地，(,,)M x y z 与原点(0,0,0)O 的距离为d OM ==第二节 向量代数一、向量的概念在日常生活中，我们经常会遇到两类不同的量，一类像距离、温度、体积、质量等，这一类量的共性是给出大小便可确定，我们称这种量为数量；而另一类如力、位移、速度、加速度等，这类量不仅要给出大小，还要给出它们的方向，才能确定下来，这种具有大小和方向的量称为向量。
1、向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量（或称矢量）.2、向量的表示：我们用有向线段来表示一个向量，其中，线段的方向表示向量的方向；线段的长度表示向量的大小。
高中数学知识点总结( 坐标系与参数方程 第一节 坐标系)
坐标系与参数方程第一节 坐标系一、基础知识1．平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·xλ＞0，y ′＝μ·y μ＞0的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系的概念 (1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点；自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M 是平面内一点，极点O 与点M 的距离|OM |叫做点M 的极径，记为ρ. ②极角：以极轴Ox 为始边，射线OM 为终边的角xOM 叫做点M 的极角，记为θ. ③极坐标：有序数对ρ，θ叫做点M 的极坐标，记为M ρ，θ.一般不作特殊说明时，我们认为ρ ≥0，θ可取任意实数.3．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )， 极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x ≠0. 4．简单曲线的极坐标方程曲线极坐标方程 圆心为极点，半径为r 的圆 ρ＝r (0≤θ<2π) 圆心为(r,0)，半径为r 的圆 ρ＝2r cos θ⎝⎛⎭⎫－π2≤θ≤π2 圆心为⎝⎛⎭⎫r ，π2，半径为r 的圆 ρ＝2r sin θ(0≤θ<π)过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a ⎝⎛⎭⎫－π2<θ<π2 过点⎝⎛⎭⎫a ，π2，与极轴平行的直线 ρsin θ＝a (0<θ<π)考点一 平面直角坐标系下图形的伸缩变换[典例] 求双曲线C ：x 2－y 264＝1经过φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝3x ，2y ′＝y 变换后所得曲线C ′的焦点坐标． [解] 设曲线C ′上任意一点P (x ′，y ′)， 由上述可知，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13x ′，y ＝2y ′代入x 2－y 264＝1，得x ′29－4y ′264＝1，化简得x ′29－y ′216＝1，即x 29－y 216＝1为曲线C ′的方程， 可见仍是双曲线，则焦点(－5,0)，(5,0)为所求． [解题技法] 伸缩变换后方程的求法平面上的曲线y ＝f (x )在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx λ>0，y ′＝μy μ>0的作用下的变换方程的求法是将⎩⎨⎧x ＝x ′λ，y ＝y ′μ代入y ＝f (x )，得y ′μ＝f ⎝⎛⎭⎫x ′λ，整理之后得到y ′＝h (x ′)，即为所求变换之后的方程．[提醒] 应用伸缩变换时，要分清变换前的点的坐标(x ，y )与变换后的坐标(x ′，y ′)．[题组训练]1．若函数y ＝f (x )的图象在伸缩变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝3y 的作用下得到曲线的方程为y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6，求函数y ＝f (x )的最小正周期． 解：由题意，把变换公式代入曲线y ′＝3sin ⎝⎛⎭⎫x ′＋π6得 3y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，整理得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 故f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 所以函数f (x )的最小正周期为π.2．将圆x 2＋y 2＝1变换为椭圆x 225＋y 216＝1的一个伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ，μ>0)，求λ，μ的值．解：将变换后的椭圆x 225＋y 216＝1改写为x ′225＋y ′216＝1，把伸缩变换公式φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λx ，y ′＝μy (λ，μ>0)代入上式得：λ2x 225＋μ2y 216＝1即⎝⎛⎭⎫λ52x 2＋⎝⎛⎭⎫μ42y 2＝1，与x 2＋y 2＝1， 比较系数得⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫λ52＝1，⎝⎛⎭⎫μ42＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝5，μ＝4.考点二 极坐标与直角坐标的互化[典例] (2018·江苏高考)在极坐标系中，直线l 的方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝2，曲线C 的方程为ρ＝4cos θ，求直线l 被曲线C 截得的弦长．[解] 因为曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，化成直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4， 所以曲线C 是圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫π6－ θ＝2， 化成直角坐标方程为y ＝33(x －4)， 则直线l 过A (4,0)，倾斜角为π6，所以A 为直线l 与圆C 的一个交点． 设另一个交点为B ，则∠OAB ＝π6.如图，连接OB .因为OA 为直径，从而∠OBA ＝π2，所以AB ＝4cos π6＝2 3.所以直线l 被曲线C 截得的弦长为2 3.[解题技法]1．极坐标方程与直角坐标方程的互化方法(1)直角坐标方程化为极坐标方程：将公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入直角坐标方程并化简即可．(2)极坐标方程化为直角坐标方程：通过变形，构造出形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，再应用公式进行代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形技巧．2．极角的确定由tan θ确定角θ时，应根据点P 所在象限取最小正角． (1)当x ≠0时，θ角才能由tan θ＝yx 按上述方法确定．(2)当x ＝0时，tan θ没有意义，这时可分三种情况处理：当x ＝0，y ＝0时，θ可取任何值；当x ＝0，y >0时，可取θ＝π2；当x ＝0，y <0时，可取θ＝3π2.[题组训练]1．(2019·郑州质检)在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22(ρ≥0,0≤θ＜2π)． (1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 的公共点的极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 故圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2－x －y ＝0， 直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0.(2)将两直角坐标方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即圆O 与直线l 在直角坐标系下的公共点为(0,1)， 将(0,1)转化为极坐标为⎝⎛⎭⎫1，π2即为所求． 2．已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρ·cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2. (1)求圆O 1和圆O 2的直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以圆O 1的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝2， 所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2， 所以圆O 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x －2y －2＝0. (2)将两圆的直角坐标方程相减， 得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4＝22. 考点三 曲线的极坐标方程的应用[典例] (2017·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的极坐标方程为ρcos θ＝4.(1)M 为曲线C 1上的动点，点P 在线段OM 上，且满足|OM |·|OP |＝16，求点P 的轨迹C 2的直角坐标方程；(2)设点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π3，点B 在曲线C 2上，求△OAB 面积的最大值． [解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ＞0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1＞0)． 由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ. 由|OM |·|OP |＝16，得C 2的极坐标方程ρ＝4cos θ(ρ＞0)． 因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB ＞0)，由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 的面积S ＝12|OA |·ρB ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3＝2⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫2α－π3－32. 即当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3.所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3. [解题技法]1．求简单曲线的极坐标方程的方法(1)设点M (ρ，θ)为曲线上任意一点，由已知条件，构造出三角形，利用三角函数及正、余弦定理求解|OM |与θ的关系．(2)先求出曲线的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的变换公式，把直角坐标方程化为极坐标方程．2．利用极坐标系解决问题的技巧(1)用极坐标系解决问题时要注意题目中的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标方程，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题加以解决．(2)已知极坐标方程解答最值问题时，通常可转化为三角函数模型求最值问题，其比直角坐标系中求最值的运算量小．[提醒] 在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性． [题组训练]1．(2019·青岛质检)在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos φ，y ＝1＋sin φ(其中φ为参数)．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)设直线l 的极坐标方程是ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2，射线OM ：θ＝π6与圆C 的交点为P ，与直线l 的交点为Q ，求线段P Q 的长．解：(1)圆C 的普通方程为x 2＋(y －1)2＝1，又x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2sin θ. (2)把θ＝π6代入圆的极坐标方程可得ρP ＝1，把θ＝π6代入直线l 的极坐标方程可得ρQ ＝2，所以|P Q|＝|ρP －ρQ |＝1.2．(2018·湖北八校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝9cos 2 θ＋9sin 2 θ，以极点为平面直角坐标系的原点O ，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系．(1)求曲线C 的直角坐标方程；(2)A ，B 为曲线C 上两点，若OA ⊥OB ，求1|OA |2＋1|OB |2的值．解：(1)由ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ得ρ2cos 2θ＋9ρ2sin 2θ＝9，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入得到曲线C 的直角坐标方程是x 29＋y 2＝1.(2)因为ρ2＝9cos 2θ＋9sin 2θ，所以1ρ2＝cos 2θ9＋sin 2θ， 由OA ⊥OB ，设A (ρ1，α)，则点B 的坐标可设为⎝⎛⎭⎫ρ2，α±π2， 所以1|OA |2＋1|OB |2＝1ρ21＋1ρ22＝cos 2α9＋sin 2α＋sin 2α9＋cos 2α＝19＋1＝109.[课时跟踪检测]1．在极坐标系中，求直线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1与圆ρ＝4sin θ的交点的极坐标． 解：ρcos ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝1化为直角坐标方程为3x －y ＝2， 即y ＝3x －2.ρ＝4sin θ可化为x 2＋y 2＝4y ， 把y ＝3x －2代入x 2＋y 2＝4y ， 得4x 2－83x ＋12＝0， 即(x －3)2＝0， 所以x ＝3，y ＝1.所以直线与圆的交点坐标为(3，1)，化为极坐标为⎝⎛⎭⎫2，π6. 2．在极坐标系中，已知圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解：在ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 因为圆C 经过点P ⎝⎛⎭⎫2，π4， 所以圆C 的半径|PC |＝22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.3．在直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为(x －3)2＋(y ＋1)2＝9，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)直线OP ：θ＝π6(ρ∈R)与圆C 交于点M ，N ，求线段MN 的长．解：(1)(x －3)2＋(y ＋1)2＝9可化为x 2＋y 2－23x ＋2y －5＝0， 故其极坐标方程为ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0. (2)将θ＝π6代入ρ2－23ρcos θ＋2ρsin θ－5＝0，得ρ2－2ρ－5＝0，所以ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－5， 所以|MN |＝|ρ1－ρ2|＝4＋20＝2 6.4．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1，M ，N 分别为C 与x 轴，y 轴的交点． (1)求C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝1得ρ⎝⎛⎭⎫12cos θ＋32sin θ＝1. 从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝⎛⎭⎫233，π2.(2)由(1)知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎫0，233.所以点P 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫1，33，则点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫233，π6， 所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．5．(2018·南昌摸底调研)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4，直线C 2的方程为y ＝33x ，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP |·|O Q|的值． 解：(1)∵曲线C 1的普通方程为(x －3)2＋(y －2)2＝4， 即x 2＋y 2－23x －4y ＋3＝0，∴曲线C 1的极坐标方程为ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0. ∵直线C 2的方程为y ＝33x ， ∴直线C 2的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R)．(2)设P (ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ＝π6(ρ∈R)代入ρ2－23ρcos θ－4ρsin θ＋3＝0，得ρ2－5ρ＋3＝0，∴ρ1ρ2＝3，∴|OP |·|O Q|＝ρ1ρ2＝3.6．(2019·山西八校联考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25.以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 的极坐标方程；(2)设l 1：θ＝π6，l 2：θ＝π3，若l 1，l 2与曲线C 分别交于异于原点的A ，B 两点，求△AOB的面积．解：(1)∵曲线C 的普通方程为(x －3)2＋(y －4)2＝25， 即x 2＋y 2－6x －8y ＝0.∴曲线C 的极坐标方程为ρ＝6cos θ＋8sin θ. (2)设A ⎝⎛⎭⎫ρ1，π6，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π3. 把θ＝π6代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ1＝4＋33，∴A ⎝⎛⎭⎫4＋33，π6. 把θ＝π3代入ρ＝6cos θ＋8sin θ，得ρ2＝3＋43，∴B ⎝⎛⎭⎫3＋43，π3. ∴S △AOB ＝12ρ1ρ2sin ∠AOB＝12(4＋33)(3＋43)sin ⎝⎛⎭⎫π3－π6 ＝12＋2534.7．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎨⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎫32，32.(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)．所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎫α－π3. 当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.8．(2019·郑州一中模拟)在平面直角坐标系中，曲线C 1的普通方程为x 2＋y 2＋2x －4＝0，曲线C 2的方程为y 2＝x ，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求曲线C 1，C 2的极坐标方程；(2)求曲线C 1与C 2交点的极坐标，其中ρ≥0,0≤θ<2π.解：(1)依题意，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＋2x －4＝0可得ρ2＋2ρcos θ－4＝0.将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y 2＝x ，得ρsin 2θ＝cos θ. 故曲线C 1的极坐标方程为ρ2＋2ρcos θ－4＝0，曲线C 2的极坐标方程为ρsin 2θ＝cos θ. (2)将y 2＝x 代入x 2＋y 2＋2x －4＝0，得x 2＋3x －4＝0，解得x ＝1，x ＝－4(舍去)， 当x ＝1时，y ＝±1，所以曲线C 1与C 2交点的直角坐标分别为(1,1)，(1，－1)，记A (1,1)，B (1，－1)，所以ρA ＝1＋1＝2，ρB ＝1＋1＝2，tan θA ＝1，tan θB ＝－1， 因为ρ≥0,0≤θ<2π，点A 在第一象限，点B 在第四象限，所以θA ＝π4，θB ＝7π4，故曲线C 1与C 2交点的极坐标分别为⎝⎛⎭⎫2，π4，⎝⎛⎭⎫2，7π4.。
平面直角坐标系(坐标法)
由直线的点斜式方程，得直线AD的方程为
直线BE的方程为 。……② 由方程①与② ，解得 x=0 。 所以，AD,BE的交点H在y轴上。因此，三角形的三条高线相交于 一点
b y ( x a) c
。……①
a y ( x b) c
通过上面的例题，同学们你能归纳坐标法，建系时应 注意什么？
坐标法 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系， 注意以下原则： (1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点； (2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴； (3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
小试牛刀
1、两个定点的距离为6，点M到这两个定点的距离的
平方和为26，求点M的轨迹 方程。
C
x
练习，证明：三角形的三条高线交于一点
练习，证明：三角形的三条高线交于一点
证明:如图，AD，BE，CO分别是三角形ABC的三条高， 取 边AB所在的直线为x轴 ， 边AB上的高CO所在的直线为y轴 建 立直角坐标系， 设A,B,C的坐标分别为（-a,0),(b,0),(0,c)，则 kAC= c/a , kBC= -c/b . . 因为，所以kAD= b/c , kBE= -a/c
探究：你能建立与上述解答中不同的直角坐标系解决
这个问题吗？比较不同的直角坐标系下解决问题的过 程，你认为建立直角坐标系时应注意些什么？
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足b2+c2=5a2,BE,CF 分别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系 探究BE与CF的位置关系。 y C E O (A) F Bx E (A) O F B y
小试牛刀
2、已知点A为定点，线段BC在定直线l上滑动，已知
第一节地理坐标【实用资料】
面相割而得到的圆。
●小圆：不通过地心的平面与地球
表面相割而得到的圆。
第一节 地理坐标
地极
地球赤道
经纬网
第一节 地理坐标
二、地球上的经线和纬线 ●经线:通过地轴的平面与地球表面
相割而得到的大圆。
●本初子午线:通过英国格林尼治
天文台(原址中星仪十字丝)的经线。
、Ｂ两地互为东西），实际上非东即西（取Ａ、Ｂ两点间的劣弧判
断）
南北方向是有限的方向：北极是向北的终点，也是向南的起点； 南极是向南的终点，也是向北的起点
2、地球上的距离
海里（n mile）：1海里等于经线一分的长度（赤 道全长=21600海里）
公里（km）：按照法国人原来的设想，地球全周 分400°，每度分成100′，每分的弧长就是 1km，就 形成经线 1°为40 0/360°＝。全世界通行。
●本初子午线:通过英国格林尼治天文台(原址中星仪十字丝)的经线。
基圈
●本初子午线:通过英国格林尼治天文台(原址中星仪十字丝)的经线。
第一章 地理坐标与天球坐标
极点
*地球上的方向和距离
1、地球上的方向
四正点
十二地支
东西方向
东：顺地球自转方向 西：逆地球自转方向
南北方向 北：沿经线指向北极
南：沿经线指向南极 东西方向是无限的方向，因为纬圈无始终。理论上亦东亦西（Ａ
十二地支
●基小圈圆 ：：赤不道通过地心的原平面点与地：球表度面量相割经而得度到的的圆。起始点
极点：距离基圈90度的两个点N、S
辅圈：过始极点圈，垂：直于过基原圈的点大圆的。 辅圈。本初子午线
公里（km）：按照法国人原来的设想，地球全周分400°，每度分成100′，每分的弧长就是 1km，就形成经线 1°为40 000/360°＝111.
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. .
(3)过极点,倾斜角为α的直线的极坐标方程: θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R)或θ=α和θ=π+α . (4)过点(a,0),与极轴垂直的直线的极坐标方程:
(5)过点 a, ,与极轴平行的直线的极坐标方程: 2
c θ ρcos θ=a 2 2
பைடு நூலகம்
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求曲线的极坐标方程的步骤:(1)建立适当的极坐标系,设P(ρ,θ)是曲线上任 意一点;(2)由曲线上的点所适合的条件,列出点P的极径ρ和极角θ之间的关 系式;(3)将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线的极坐标方程.
栏目索引
2-1 已知圆C:x2+y2=4,直线l:x+y=2.以O为极点,x轴的正半轴为极轴,取相同
圆O的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0. cc
2 由l:ρsin θ = ,得ρsin θ-ρcos θ=1,
4 2 ρ cos θ x, 因为 所以直线l的直角坐标方程为x-y+1=0. ρ sin θ y ,
栏目索引
x y 1 0, x 0, (2)由 2 2 解得 x y x y 0, y 1, ρ2 x2 y 2 , ρ 1, 进而,由 得 y tan θ ( x 0), tan θ不存在, x
化简,得ρ2+2ρsin θ-2ρcos θ-4=0. 则圆C的直角坐标方程为x2+y2-2x+2ycc -4=0,
即(x-1)2+(y+1)2=6,
所以圆C的半径为 6.
栏目索引
1-2 在极坐标系中,已知圆O:ρ=cos θ+sin θ和直线l:ρsin θ = . 4 2
4 2= 2 ,故ρ1-ρ2= 2 ,即|MN|= 2.
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1 由于C2的半径为1,所以△C2MN的面积为 . 2
解法二:直线C3的直角坐标方程为x-y=0,圆C2的圆心C2(1,2)到直线C3的距离
2 1 2 2 1 d= = ,圆C2的半径为1,∴|MN|=2× = 2 ,所以△C2MN的面积 2 2 2 1 为 . 2
4
的面积.
解析
(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C2的极
cc
坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.
代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3 ρ+4=0,解得ρ =2 ,ρ (2)解法一:将θ= 2 2 1
,
故点Q的轨迹的极坐标方程为ρ=2(cos θ+sin θ)(ρ≠0).
3
栏目索引
化简得ρ=4cos θ , 3
4, 也满足该方程, 又易知O 0, ,B 6 3
θ , . ∴圆C的极坐标方程为ρ=4cos θ 3 6 6
5
设M是平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ),则它们之间的关
ρ 2 ⑩ x 2c y 2 , c , x ⑧ ρ cos θ 系为 y c y ⑨ ρ sin θ , tan θ ⑪ ( xc 0). x
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θ -4= 1-1 (2015江苏,21C,10分)已知圆C的极坐标方程为ρ2+2 2 ρsin 4
0,求圆C的半径.
解析
以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O,以极轴为x轴的正
半轴,建立直角坐标系xOy.
sin θ 圆C的极坐标方程为ρ2+2 2 ρ 2 2 2 cos θ -4=0, 2
标方程为C:ρ=2,l:ρ(cos θ+sin θ)=2. (2)设P,Q,R的极坐标分别为(ρ1,θ),(ρ,θ),(ρ2,θ),
2 则由|OQ|· |OP|=|OR|2,得ρρ1= . ρ2
又ρ2=2,ρ1= 2
cc
cos θ sin θ 2ρ 所以 =4,即ρ=2(cos θ+sin θ), cos θ sin θ
ρsin θ=a(0<θ<π) .
.
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3 ),则点P的极坐标为 1.点P的直角坐标为(1,-
.
答案 解析
5 2, 3
3 2 2 3 ,因为点P(1,- 3 )在第四象限,所以θ= 1 ( 3) ρ = =2,tan θ= =- c 1
5 π,所以点P的极坐标为 5 . 2, 3
2
(1)求圆O和直线l的直角坐标方程; (2)当θ∈(0,π)时,求直线l与圆O的公共点的极坐标.
解析
(1)由ρ=cos θ+sin θ可得ρ2=ρcos θ+ρsin θ,
ρ2 x2 y 2 , 把 ρ cos θ x, 代入ρ2=ρcos θ+ρsin θ得, ρ sin θ y
2
c
=1.
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θ = 2 ,点A的极坐 5.（2015广东，14，5分）已知直线l的极坐标方程为2ρsin 4
7 2 2, 标为 4 ,则点A到直线l的距离为 5 2 答案 2
.
解析
θ 将直线l的极坐标方程2ρsin = 2 化成直角坐标方程为x-y+1=0. 4
2.曲线ρ=4sin θ与ρ=2的交点坐标是
3
.
c
5 2, 或 2, 答案 6 6
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解析
ρ 4sin θ , 5 1 由 ρ 2 得sin θ= 6 . 6 或 2 ,∴θ=
3.在极坐标系中,圆心为( 2 ,π)且过极点的圆的方程为
(2)在直角坐标系中,点C的坐标为(1, 3 ),可设P(1+2cos α, 3 +2sin α). 又设点M的坐标为(x,y),
∵M是线段PQ的中点,且Q点的坐标为(5,- 3 ),
x 3 cos α, ∴ ∴(x-3)2+y2=1, y sin α,
故点M的轨迹的直角坐标方程为(x-3)2+y2=1.
为
答案
. 1
2, 对应的直角坐标为(1, 由极坐标与直角坐标的互化公式可得,点 3
解析
3 ),直线ρ(cos θ+ 3 sin θ)=6对应的直角坐标方程为x+ 3 y=6,由点到直线的距
离公式可得,所求距离为 2
|1 3 3 6 | 1 ( 3)
解析
(1)如图,OB为圆C的直径,设圆C上任意一个异于点O、B的点为A
5
,则∠AOC=θ- (ρ,θ) 或 -θ . θ , , cc 6 3 3 6 3 3
由余弦定理得,4+ρ2-4ρcos θ =4,
7 4 (2,-2),从而点A到直线l的距离 ,得A点的直角坐标为 c
由A点的极坐标为 2 2,
d=
| 2 2 1| 12 (1) 2
= .
5 2 2
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6.（2014广东，14，5分）在极坐标系中,曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ=cos θ和 ρsin θ=1.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标 系,则曲线C1和C2交点的直角坐标为
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2.极坐标系与极坐标
(1)极坐标系
射线 如图所示,在平面内取一个③ 定点 O,叫做极点,自极点O引一条④______
Ox,叫做极轴;再选定一个⑤ 长度单位 、一个⑥ 角度单位 (通常取弧
度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.
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(2)极坐标 (i)极径:设M是平面内一点,极点O与点M的⑦ 距离 |OM|叫做点M的极径,记 为ρ . (ii)极角:以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点M的极角,记为θ. (iii)极坐标:有序数对(ρ,θ)叫做点M的极坐标,记为M(ρ,θ). 3.极坐标与直角坐标的互化
.
答案 ρ=-2 2 cos θ.
如图,O为极点,C为圆心,OB为直径,设A(ρ,θ),
解析
则∠ABO=θ-90°,
ρ , sin(θ 90) 化简得ρ=-2 2 cos θ.
OB=2 2 =
c
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4.(2015北京,11,5分)在极坐标系中,点 2, 到直线ρ(cos θ+ 3 sin θ)=6的距离 3
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注:把直角坐标转化为极坐标时,通常有不同的表示法(极角相差2π的整数倍). 一般只要取θ∈[0,2π)就可以了. 4.常见曲线的极坐标方程 (1)圆心在极点,半径为r的圆的极坐标方程:
(2)圆心为 r , ,半径为r的圆的极坐标方程: 2
ρ=r(0≤θ<2π) ρ=2rsin θ(0≤θ<π)
2
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极坐标方程与直角坐标方程的互化技巧
(1)巧用极坐标方程两边同乘以ρ或同时平方技巧,将极坐标方程构造成含
有ρcos θ,ρsin θ,ρ2的形式,然后利用互化公式进行转化,最后化简得到直角 坐标方程. (2)巧借两角和差公式,将ρsin(θ±α)=k或ρcos(θ±α)=k或ρ=ksin(θ±α)或ρ=kcos (θ±α)形式的极坐标方程进行转化,进而利用互化公式得到直角坐标方程. (3)将直角坐标方程中的x换成ρcos θ,将y换成ρsin θ,即可得到其极坐标方 程.