江苏专用2020版高考数学专题复习专题2函数概念与基本初等函数第9练函数性质的应用练习文
(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习 第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第9讲 函数与方程课件
由图象可知|f(x)＋g(x)|＝1的实根个数为4. 答案 (1)③ (2)4
规律方法 (1)零点存在性定理，要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)＜0，再结合函数的图象与性质确定函数零点个数. (2)确定函数零点所在区间，可利用零点存在性定理或数形结合法. (3)判断函数零点个数的方法：①解方程法；②零点存在性定理、结合函数的性质； ③数形结合法：转化为两个函数图象的交点个数.
Δ>0
Δ＝0
二次函数y＝ax2＋ bx＋c (a>0)的图象
与x轴的交点 零点个数
__(x_1_，__0_)_，__(x_2_，__0_)_ 两个
__(_x_1，__0_)___ 一个
Δ<0
无交点 零个
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( ) (2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.( ) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( ) (4)当x>0时，函数y＝2x与y＝x2的图象有两个交点.( ) 解析 (1)函数的零点是函数的图象与x轴交点的横坐标，故(1)错；(2)函数f(x)＝x2在 区间(－1，1)内有零点，且函数图象连续，但f(－1)·f(1)>0. 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√
解析 (1)∵f(x)＝ln x－12x－2在(0，＋∞)为增函数，又 f(1)＝ln 1－12－1＝ln 1－2<0，f(2) ＝ln 2－120<0，f(3)＝ln 3－121>0，∴x0∈(2，3).
江苏2020版高考数学第二章基本初等函数、导数的应用9第9讲函数模型及其应用课件
(4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下：
1．某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案， 在销售额 x 为 8 万元时，奖励 1 万元．销售额 x 为 64 万元时， 奖励 4 万元．若公司拟定的奖励模型为 y＝alog4x＋b.某业务员 要得到 8 万元奖励，则他的销售额应为________万元．
第二章
基本初等函数、导数的应用
第9讲
函数模型及其应用
常见函数模型 (1)直线模型：即一次函数模型，其增长特点是直线上升(x 的系 数 k>0)，通过图象可以很直观地认识它． (2)指数函数模型：能用指数函数表达的函数模型，其增长特点
快 (a>1)， 是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越_____
解：(1)作 PQ⊥AF 于 Q(图略)， 所以 PQ＝(8－y)米，EQ＝(x－4)米． 又△EPQ∽△EDF， x－4 4 EQ EF 1 所以 PQ ＝FD，即 ＝2.所以 y＝－2x＋10， 8－y 其定义域为{x|4≤x≤8}． (2)设矩形 BNPM 的面积为 S 平方米， 则
x 1 S(x)＝xy＝x 10－2 ＝－2(x－10)2＋50，
②当 x＞7 时，y＝1.8×200x＋236＋70＋200×0.03×[(x－7)＋ (x－8)＋…＋2＋1]＝3x2＋321x＋432， 所以
* 370x＋236，0＜x≤7且x∈N y＝ 2 *. 3x ＋321x＋432，x＞7且x∈N
设该厂 x 天购买一次配件时，平均每天支付的费用为 f(x)元， 236 * 370 ＋ ， 0 ＜ x ≤ 7 且 x ∈ N x 则 f(x)＝ . 432 * 3x＋ ＋ 321 ， x ＞ 7 且 x ∈ N x 236 当 0＜x≤7 时，f(x)＝370＋ x ，f(x)是(0，7]上的减函数，
2020高考数学复习(考试说明提点+基本脉络贯通+达标小题)第二章 函数概念与基本初等函数复习 理(pdf)
数与对数函数, 还有三角函数等, 也涉及了函数的所有性质,
本章概念多, 1 . 对本章的概念要特别重视理解和掌握. 具有较高的抽象性和严密性, 只有准确㊁ 深刻地理解它们, 才 的基础上进行概括, 深入理解概念的本质和来龙去脉, 并学 能用于解决问题. 要在结合具体函数㊁ 函数图象和实际应用
江苏卷有 1 道函数 大 题, 2 0 1 3 年 江 苏 卷 有 1 道 函 数 大 题,
会用适当的数学语言和形式加以准确表达.9高源自复习指导数学( 教师用书)
n 2 f( x) ( ) ; ( ) 1 4 . 已知下列三个函数: 2 x)( n为 y= ( ) y = f( gx ; ( ) 正整数) 3 .写出各个函数有意义时 o x) x) g y =l g( f(
系和函数思想方法的训练.
以理解, 因此要加强函数㊁ 不等式㊁ 数列等各章之间的知识联
始终, 代数式㊁ 方程㊁ 不等式㊁ 数列等, 都可以从函数的观点加
加强与其他各章知识的 4 . 深刻理解函数思想的价值, 联系, 才能灵活地加以运用. 函数的思想贯穿于中学代数的
研究函数的性质, 帮助解决问题.
强化思想方法的训练. 如数形结 3 . 以函数知识为依托, 合的思想方法是本章的一条主线, 即利用函数图象的直观性
第二章
函数概念与基本初等函数
第
二
章
函数概念与基本初等函数
其他省的高考试题中函数所 2 0 1 4年江苏卷有1道函数大题, ) , 占的分值也比较大 考查的热点之一是函数的定义域㊁ 值 域㊁ 单调性㊁ 奇偶性以及函数的图象及其变换; 在考查函数内 题, 能否充分理解并运用函数模型. 例如 2 0 0 8 年江苏高考第 容的同时也注重考查能否用函数的思想观察问题㊁ 解决问
高考数学(理科)二轮复习【专题2】函数、基本初等函数的图象与性质(含答案)
第1讲函数、基本初等函数的图象与性质考情解读(1)高考对函数的三要素，函数的表示方法等内容的考查以基础知识为主，难度中等偏下．(2)函数图象和性质是历年高考的重要内容，也是热点内容，对图象的考查主要有两个方面：一识图，二用图，即利用函数的图象，通过数形结合的思想解决问题；对函数性质的考查，则主要是将单调性、奇偶性、周期性等综合一起考查，既有具体函数也有抽象函数．常以填空题的形式出现，且常与新定义问题相结合，难度较大．1．函数的三要素定义域、值域及对应关系两个函数当且仅当它们的三要素完全相同时才表示同一函数．2．函数的性质(1)单调性：单调性是函数在其定义域上的局部性质．利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．复合函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(2)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(3)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数在其定义域上满足f(a＋x)＝f(x)(a不等于0)，则其一个周期T＝|a|.3．函数的图象对于函数的图象要会作图、识图、用图．作函数图象有两种基本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．4．指数函数、对数函数和幂函数的图象和性质(1)指数函数y ＝a x (a >0，a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)的图象和性质，分0<a <1，a >1两种情况，着重关注两函数图象中的两种情况的公共性质． (2)幂函数y ＝x α的图象和性质，分幂指数α>0，α<0两种情况.热点一 函数的性质及应用例1 (1)(2014·课标全国Ⅱ)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________．(2)设奇函数y ＝f (x ) (x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈⎣⎡⎦⎤0，12时，f (x )＝－x 2，则f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝________. 思维启迪 (1)利用数形结合，通过函数的性质解不等式；(2)利用f (x )的性质和x ∈[0，12]时的解析式探求f (3)和f (－32)的值．答案 (1)(－1,3) (2)－14解析 (1)∵f (x )是偶函数，∴图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减， 则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3. (2)根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )可得f (－t ) ＝f (1＋t )，即f (t ＋1)＝－f (t )，进而得到 f (t ＋2)＝－f (t ＋1)＝－[－f (t )]＝f (t )，得函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f ⎝⎛⎭⎫－32＝f ⎝⎛⎭⎫12＝－14.所以f (3)＋f ⎝⎛⎭⎫－32＝0＋⎝⎛⎭⎫－14＝－14. 思维升华 函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．(1)(2013·重庆改编)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝________.(2)已知函数f (x )＝x 3＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为________________________________________________________________________． 答案 (1)3 (2)⎝⎛⎭⎫－2，23 解析 (1)lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝－lg(lg 2)，由f (lg(log 210))＝5，得a [lg(lg 2)]3＋b sin(lg(lg 2))＝4－5＝－1，则f (lg(lg 2))＝a (lg(lg 2))3＋b sin(lg(lg 2))＋4＝－1＋4＝3. (2)易知f (x )为增函数．又f (x )为奇函数，由f (mx －2)＋f (x )<0知， f (mx －2)<f (－x )．∴mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0， 令g (m )＝mx ＋x －2，由m ∈[－2,2]知g (m )<0恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧g (－2)＝－x －2<0，g (2)＝3x －2<0，∴－2<x <23.热点二 函数的图象例2 (1)下列四个图象可能是函数y ＝10ln|x ＋1|x ＋1图象的是________．(2)已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f (－12)，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________．思维启迪 (1)可以利用函数的性质或特殊点，利用排除法确定图象．(2)考虑函数f (x )的单调性． 答案 (1)③ (2)b >a >c解析 (1)函数的定义域为{x |x ≠－1}，其图象可由y ＝10ln|x |x 的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，y ＝10ln|x |x 为奇函数，图象关于原点对称，所以，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1的图象关于点(－1,0)成中心对称．所以①④不可能是；又x >0时，y ＝10ln|x ＋1|x ＋1>0，所以②不可能是，图象③可能是．(2)由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象本身关于直线x ＝1对称，所以a ＝f (－12)＝f (52)，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .思维升华 (1)作图：常用描点法和图象变换法．图象变换法常用的有平移变换、伸缩变换和对称变换．尤其注意y ＝f (x )与y ＝f (－x )、y ＝－f (x )、y ＝－f (－x )、y ＝f (|x |)、y ＝|f (x )|及y ＝af (x )＋b 的相互关系．(2)识图：从图象与轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系．(3)用图：图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究．(1)(2013·课标全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ≤0，ln (x ＋1)，x >0.若|f (x )|≥ax ，则a的取值范围是________．(2)形如y ＝b|x |－a (a >0，b >0)的函数，因其图象类似于汉字中的“囧”字，故我们把它称为“囧函数”．若当a ＝1，b ＝1时的“囧函数”与函数y ＝lg |x |图象的交点个数为n ，则n ＝________. 答案 (1)[－2,0] (2)4解析 (1)函数y ＝|f (x )|的图象如图．①当a ＝0时，|f (x )|≥ax 显然成立．②当a >0时，只需在x >0时，ln(x ＋1)≥ax 成立． 比较对数函数与一次函数y ＝ax 的增长速度． 显然不存在a >0使ln(x ＋1)≥ax 在x >0上恒成立． ③当a <0时，只需在x <0时，x 2－2x ≥ax 成立． 即a ≥x －2成立，所以a ≥－2.综上所述：－2≤a ≤0. (2)由题意知，当a ＝1，b ＝1时， y ＝1|x |－1＝⎩⎨⎧1x －1(x ≥0且x ≠1)，－1x ＋1(x <0且x ≠－1)，在同一坐标系中画出“囧函数”与函数y ＝lg|x |的图象如图所示，易知它们有4个交点．热点三 基本初等函数的图象及性质例3 (1)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，log 12(－x )，x <0，若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是________．(2)已知α，β∈[－π2，π2]且αsin α－βsin β>0，则下面结论正确的是________．①α>β；②α＋β>0；③α<β；④α2>β2.思维启迪 (1)可利用函数图象或分类讨论确定a 的范围；(2)构造函数f (x )＝x sin x ，利用f (x )的单调性．答案 (1)(－1,0)∪(1，＋∞) (2)④解析 (1)方法一 由题意作出y ＝f (x )的图象如图．显然当a >1或－1<a <0时，满足f (a )>f (－a )． 方法二 对a 分类讨论：当a >0时，log 2a >log 12a ，即log 2a >0，∴a >1.当a <0时，log 12(－a )>log 2(－a )，即log 2(－a )<0，∴－1<a <0.(2)设f (x )＝x sin x ，x ∈[－π2，π2]，∴y ′＝x cos x ＋sin x ＝cos x (x ＋tan x )， 当x ∈[－π2，0]时，y ′<0，∴f (x )为减函数，当x ∈[0，π2]时，y ′>0，∴f (x )为增函数，且函数f (x )为偶函数，又αsin α－βsin β>0， ∴αsin α>βsin β，∴|α|>|β|，∴α2>β2.思维升华 (1)指数函数、对数函数、幂函数和三角函数是中学阶段所学的基本初等函数，是高考的必考内容之一，重点考查图象、性质及其应用，同时考查分类讨论、等价转化等数学思想方法及其运算．(2)比较数式大小问题，往往利用函数图象或者函数的单调性．(1)设15<(15)b <(15)a <1，那么a a ，b a ，a b 的大小关系式是________．(2)已知函数f (x )＝2x－12x ，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x ≥0，f (－x )，x <0，则函数g (x )的最小值是________．答案 (1)a b <a a <b a (2)0解析 (1)因为指数函数y ＝(15)x 在(－∞，＋∞)上是递减函数，所以由15<(15)b <(15)a <1，得0<a <b <1，所以0<ab<1.所以y ＝a x ，y ＝b x ，y ＝(a b )x 在(－∞，＋∞)上都是递减函数，从而a b <a a ，(ab )a <1得b a >a a ，故a b <a a <b a .(2)当x ≥0时，g (x )＝f (x )＝2x －12x 为单调增函数，所以g (x )≥g (0)＝0；当x <0时，g (x )＝f (－x )＝2－x －12－x 为单调减函数，所以g (x )>g (0)＝0，所以函数g (x )的最小值是0.1．判断函数单调性的常用方法(1)能画出图象的一般用数形结合法去观察．(2)由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，常转化为基本初等函数单调性的判断问题．(3)对于解析式较复杂的一般用导数法． (4)对于抽象函数一般用定义法． 2．函数奇偶性的应用函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，是函数的整体特性．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．尤其注意偶函数f (x )的性质：f (|x |)＝f (x )． 3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．提醒：函数y ＝f (a ＋x )与y ＝f (a －x )的图象对称轴为x ＝0，并非直线x ＝a . (2)若f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称．(3)若函数y ＝f (x )满足f (x )＝2b －f (2a －x )，则该函数图象关于点(a ，b )成中心对称．4．二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知识的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中． 5．指数函数、对数函数的图象和性质受底数a 的影响，解决与指、对数函数特别是与单调性有关的问题时，首先要看底数a 的范围．比较两个对数的大小或解对数不等式或解对数方程时，一般是构造同底的对数函数，若底数不同，可运用换底公式化为同底的对数，三数比较大小时，注意与0比较或与1比较． 6．解决与本讲有关的问题应注意函数与方程、数形结合、分类讨论、化归与转化等思想的运用．真题感悟1．(2014·安徽)若函数f (x )(x ∈R )是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎭⎫416＝________. 答案516解析 ∵f (x )是以4为周期的奇函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫294＝f ⎝⎛⎭⎫8－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34， f ⎝⎛⎭⎫416＝f ⎝⎛⎭⎫8－76＝f ⎝⎛⎭⎫－76.∵当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫34＝34×⎝⎛⎭⎫1－34＝316.∵当1<x ≤2时，f (x )＝sin πx ，∴f ⎝⎛⎭⎫76＝sin 7π6＝－12. 又∵f (x )是奇函数，∴f ⎝⎛⎭⎫－34＝－f ⎝⎛⎭⎫34＝－316， f ⎝⎛⎭⎫－76＝－f ⎝⎛⎭⎫76＝12. ∴f ⎝⎛⎭⎫294＋f ⎝⎛⎫416＝12－316＝516.2．(2014·福建改编)若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象如图所示，则所给函数图象正确的是________．答案 ②解析 由题意得y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图象过(3,1)点，可解得a ＝3.图象①中，y ＝3－x ＝(13)x ，显然图象错误；图象②中，y ＝x 3，由幂函数图象可知正确；图象③中，y ＝(－x )3＝－x 3，显然与所画图象不符；图象④中，y ＝log 3(－x )的图象与y ＝log 3x 的图象关于y 轴对称，显然不符，故图象②正确． 押题精练1．已知函数f (x )＝e |ln x |－⎪⎪⎪⎪x －1x ，则函数y ＝f (x ＋1)的大致图象为________．答案 ①解析 据已知关系式可得f (x )＝⎩⎨⎧e－ln x＋⎝⎛⎭⎫x －1x ＝x (0<x ≤1)，eln x－⎝⎛⎫x －1x ＝1x(x >1)，作出其图象然后将其向左平移1个单位即得函数y ＝f (x ＋1)的图象．2．已知函数f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，则m ＋3n 的取值范围是________．答案 (4，＋∞)解析 ∵f (x )＝|log 12x |，若m <n ，有f (m )＝f (n )，∴log 12m ＝－log 12n ，∴mn ＝1，∴0<m <1，n >1，∴m ＋3n ＝m ＋3m 在m ∈(0,1)上单调递减，当m ＝1时，m ＋3n ＝4，∴m ＋3n >4.3．已知f (x )＝2x －1，g (x )＝1－x 2，规定：当|f (x )|≥g (x )时，h (x )＝|f (x )|；当|f (x )|<g (x )时，h (x )＝－g (x )，则h (x )的最小值为________． 答案 －1解析 由题意得，利用平移变化的知识画出函数|f (x )|，g (x )的图象如图，而h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|f (x )|，|f (x )|≥g (x )，－g (x )，|f (x )|<g (x )，故h (x )的最小值为－1.4．已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8. 则所有正确命题的序号为________． 答案 ①②④解析 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确； 根据①可得f (x ＋4)＝f (x )，可得函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，②正确； 根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确； 由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.(推荐时间：40分钟)1．设函数f (x )＝x 3cos x ＋1.若f (a )＝11，则f (－a )＝________. 答案 －9解析 令g (x )＝f (x )－1＝x 3cos x ，∵g (－x )＝(－x )3cos(－x )＝－x 3cos x ＝－g (x )， ∴g (x )为定义在R 上的奇函数．又∵f (a )＝11， ∴g (a )＝f (a )－1＝10，g (－a )＝－g (a )＝－10. 又g (－a )＝f (－a )－1，∴f (－a )＝g (－a )＋1＝－9.2．(2014·浙江改编)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a (x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是________．答案 ④解析 幂函数f (x )＝x a 的图象不过(0,1)点，图象①不正确；②由对数函数f (x )＝log a x 的图象知0<a <1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越慢的变化趋势，故②错；图象③中由对数函数f (x )＝log a x 的图象知a >1，而此时幂函数f (x )＝x a 的图象应是增长越来越快的变化趋势，故③错．图象④是正确的．3．(2014·朝阳模拟)已知函数y ＝f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝lg x ，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100的值为________． 答案 －lg 2解析 当x <0时，－x >0，则f (－x )＝lg(－x )． 又函数f (x )为奇函数，f (－x )＝－f (x )， 所以当x <0时，f (x )＝－lg(－x )． 所以f ⎝⎛⎭⎫1100＝lg 1100＝－2，f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫1100＝f (－2)＝－lg 2. 4．设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________． 答案 －1解析 因为f (x )是偶函数，所以恒有f (－x )＝f (x )，即－x (e －x ＋a e x )＝x (e x ＋a e －x )，化简得x (e －x ＋e x )(a ＋1)＝0.因为上式对任意实数x 都成立，所以a ＝－1.5．设偶函数f (x )满足f (x )＝2x －4(x ≥0)，则f (x －2)>0的解集为________．答案 {x |x <0或x >4}解析 由于函数f (x )是偶函数，因此有f (|x |)＝f (x )，不等式f (x －2)>0，即f (|x －2|)>0，f (|x －2|)＝2|x －2|－4>0， |x －2|>2，即x －2<－2或x －2>2，由此解得x <0或x >4.∴f (x －2)>0的解集为{x |x <0或x >4}．6．使log 2(－x )<x ＋1成立的x 的取值范围是________．答案 (－1,0)解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)．7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，cos πx ，x <0的图象上关于y 轴对称的点共有________对． 答案 3解析 因为y ＝cos πx 是偶函数，图象关于y 轴对称．所以，本题可转化成求函数y ＝log 3x 与y ＝cos πx 图象的交点个数的问题．作函数图象如图，可知它们有三个交点，即函数f (x )图象上关于y 轴对称的点有3对．8．(2013·天津)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤12，2解析 由题意知a >0，又log 12a ＝log 2a －1＝－log 2a . ∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (log 2a )＝f (－log 2a )＝f (log 12a )． ∵f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)， ∴2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又∵f (x )在[0，＋∞)上递增．∴|log 2a |≤1，－1≤log 2a ≤1，∴a ∈⎣⎡⎦⎤12，2.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13e x (x ≥2)，f (x ＋1)(x <2)，则f (ln 3)＝________. 答案 e解析 f (ln 3)＝f (ln 3＋1)＝13eln 3＋1＝e ，故填e. 10．已知函数f (x )＝x |x －a |，若对任意的x 1，x 2∈[2，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 {a |a ≤2}解析 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x (x －a )，x ≥a ，－x (x －a )，x <a ，由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0知，函数y ＝f (x )在[2，＋∞)单调递增，当a ≤0时，满足题意，当a >0时，只需a ≤2，即0<a ≤2，综上所述，实数a 的取值范围为a ≤2.11．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )的周期为2，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫32－2＝f ⎝⎛⎭⎫－12，即f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12.又因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12a ＋1，f ⎝⎛⎭⎫12＝b 2＋212＋1＝b ＋43， 所以－12a ＋1＝b ＋43. 整理，得a ＝－23(b ＋1)．① 又因为f (－1)＝f (1)，所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .② 将②代入①，得a ＝2，b ＝－4.所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10.12．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )满足以下三个条件：①对于任意的x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )；②对于任意的x 1，x 2∈R ，且0≤x 1＜x 2≤2，都有f (x 1)＜f (x 2)；③函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称．则判断f (4.5)，f (6.5)，f (7)的大小关系为________．答案 f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)解析 由已知得f (x )是以4为周期且关于直线x ＝2对称的函数．所以f (4.5)＝f (4＋12)＝f (12)， f (7)＝f (4＋3)＝f (3)，f (6.5)＝f (4＋52)＝f (52)． 又f (x )在[0,2]上为增函数．所以作出其在[0,4]上的图象知f (4.5)＜f (7)＜f (6.5)．13．设函数f (x )＝1＋(－1)x 2(x ∈Z )，给出以下三个结论： ①f (x )为偶函数；②f (x )为周期函数；③f (x ＋1)＋f (x )＝1，其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 对于x ∈Z ，f (x )的图象为离散的点，关于y 轴对称，①正确；f (x )为周期函数，T ＝2，②正确；f (x ＋1)＋f (x )＝1＋(－1)x ＋12＋1＋(－1)x 2 ＝1＋(－1)x ＋1＋(－1)x 2＝1，③正确． 14．能够把圆O ：x 2＋y 2＝16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O 的“和谐函数”，下列函数是圆O 的“和谐函数”的是________．①f (x )＝e x ＋e －x ；②f (x )＝ln 5－x 5＋x； ③f (x )＝tan x 2；④f (x )＝4x 3＋x . 答案 ②③④解析 由“和谐函数”的定义知，若函数为“和谐函数”，则该函数为过原点的奇函数．①中，f (0)＝e 0＋e －0＝2，所以f (x )＝e x ＋e －x 的图象不过原点，故f (x )＝e x ＋e －x 不是“和谐函数”；②中f (0)＝ln 5－05＋0＝ln 1＝0，且f (－x )＝ln 5＋x 5－x ＝－ln 5－x 5＋x＝－f (x )，所以f (x )为奇函数，所以f (x )＝ln 5－x 5＋x为“和谐函数”；③中，f (0)＝tan 0＝0，且f (－x )＝tan －x 2＝－tan x 2＝－f (x )，f (x )为奇函数，故f (x )＝tan x 2为“和谐函数”；④中，f (0)＝0，且f (x )为奇函数，故f (x )＝4x 3＋x 为“和谐函数”，所以，②③④中的函数都是“和谐函数”．。
(人教版)(江苏专版)2020年高考数学一轮复习 专题2.1 函数的概念及其表示方法(讲)
专题2.1 函数的概念及其表示方法【考纲解读】内容要求备注A B C函数概念与基本初等函数Ⅰ函数的概念√1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．3．了解简单的分段函数，并能简单应用．【直击教材】1．函数f(x)＝x－4|x|－5的定义域是________________．【答案】[4,5)∪(5，＋∞)2．已知f(x)＝x－1，则f(2)＝________.【答案】3【解析】令x＝2，则x＝4，所以f(2)＝3.3．已知f(x)＝3x3＋2x＋1，若f(a)＝2，则f(－a)＝________.【答案】0【知识清单】1．函数映射的概念函数映射两集合A，B设A，B是两个非空数集设A，B是两个非空集合对应关系f：A→B 如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．3．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法． 4．分段函数(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【考点深度剖析】本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图像、分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力偶有考查．特别是函数的表达式及图像，仍是2018年高考考查的重要内容．【重点难点突破】考点1 函数与映射的概念 【1-1】函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a ＞0且a ≠1)的定义域为____________________．【答案】(0,2]【解析】由⎩⎪⎨⎪⎧1－|x －1|≥0，a x－1≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0⇒0＜x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．【1-2】给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －3＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x∈N)的图象是一条直线；④f (x )＝x 2x与g (x )＝x 是同一个函数．其中正确的有________．【答案】①【解析】由函数的定义知①正确．②中满足f (x )＝x －3＋2－x 的x 不存在，所以②不正确．③中y ＝2x (x ∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以③不正确．④中f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确． 【1-3】 (1)函数f (x )＝lnxx －1＋的定义域为________．(2)若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 017]，则函数g (x )＝f x ＋1x －1的定义域是____________．【答案】(1)(1，＋∞) (2){x |0≤x ≤2 016，且x ≠1}规律方法 【思想方法】一、①判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A 中元素的任意性，集合B 中元素的唯一性”． ②判断一个对应f ：A →B 是否为函数，一看是否为映射；二看A ，B 是否为非空数集．若是函数，则A 是定义域，而值域是B 的子集．③函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同． 二、求函数定义域的类型及求法(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．(3)若已知f(x)的定义域为[a ，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b 求出；若已知f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x ∈[a ，b]时的值域．【温馨提醒】不要混淆“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A 、B 若不是数集，则这个映射便不是函数． 考点2 求函数的解析式【2-1】 已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )． 【答案】f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R )．【2-2】 已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 【答案】f (x )＝x 2－1(x ≥1)． 【解析】法一：设t ＝x ＋1， 则x ＝(t －1)2(t ≥1)；代入原式有f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1(x ≥1)．法二：∵x ＋2x ＝(x )2＋2x ＋1－1＝(x ＋1)2－1， ∴f (x ＋1)＝(x ＋1)2－1(x ＋1≥1)， 即f (x )＝x 2－1(x ≥1)．【2-3】 定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．【答案】f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．【思想方法】1.求函数解析式的四种常用方法(1)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式；(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；(3)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；(4)解方程组法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x )． 2.分段函数“两种”题型的求解策略 (1)根据分段函数解析式求函数值首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．【温馨提醒】解决函数的一些问题时，要注意“定义域优先”的原则．当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论． 考点三 分段函数角度一：分段函数的函数求值问题【3－1】设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 22－x，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.【答案】9【解析】根据分段函数的意义，f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋2＝3.又log 212>1∴f (log 212)＝2(log 212－1)＝2log 26＝6，因此f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.【3－2】 (1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝________.(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．【答案】(1)12(2)(－∞，8]角度二：分段函数的自变量求值问题 【3－3】已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 12，x ∈[0，＋∞，|sin x |，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，若f (a )＝12，则a ＝________.【解析】若a ≥0，由f (a )＝12得，a 12＝12，解得a ＝14；若a <0，则|sin a |＝12，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0， 解得a ＝－π6.综上可知，a ＝14或－π6.【答案】14或－π6角度三：分段函数与方程、不等式问题【3－4】已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2ax ，x ≥2，2x＋1，x <2，若f (f (1))>3a 2，则a 的取值范围是________．【答案】(－1,3)【思想方法】(1)根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解． (2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围． 【温馨提醒】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．【易错试题常警惕】1．求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域．2．分段函数无论分成几段，都是一个函数，不要误解为是“由几个函数组成”．求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．1． 已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________. 【答案】x 2－1(x ≥1)【解析】令x ＋1＝t ，则x ＝(t －1)2(t≥1)，代入原式得 f(t)＝(t －1)2＋2(t －1)＝t2－1， 所以f (x)＝x2－1(x≥1)．点睛：复合函数f [g (x )]的定义域也是解析式中x 的范围，不要和f (x )的定义域相混．2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A 到B 的一个映射，A ，B 若不是数集，则这个映射便不是函数．3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．【答案】 (－∞，8]【解析】(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，点睛：分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．。
2023年高考数学总复习第二章 函数概念与基本初等函数第9节：函数模型及其应用(学生版)
2023年高考数学总复习第二章函数概念与基本初等函数第9节函数模型及其应用考试要求1.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.1.指数、对数、幂函数模型性质比较函数性质y ＝a x (a >1)y ＝log a x (a >1)y ＝x n (n >0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图像的变化随x 的增大逐渐表现为与y 轴平行随x 的增大逐渐表现为与x 轴平行随n 值变化而各有不同2.几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f (x )＝ax ＋b (a ，b 为常数，a ≠0)二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 为常数，a ≠0)与指数函数相关的模型f (x )＝ba x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与对数函数相关的模型f (x )＝b log a x ＋c (a ，b ，c 为常数，a >0且a ≠1，b ≠0)与幂函数相关的模型f (x )＝ax n ＋b (a ，b ，n 为常数，a ≠0)1.“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小.2.充分理解题意，并熟练掌握几种常见函数的图像和性质是解题的关键.3.易忽视实际问题中自变量的取值范围，需合理确定函数的定义域，必须验证数学结果对实际问题的合理性.1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.()(2)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大.()(3)不存在x0，使a x0<x n0<log a x0.()(4)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝x a(a>0)的增长速度.()2.(易错题)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是()A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)3.(易错题)当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.114.(2022·江苏新高考基地大联考)香农定理是所有通信制式最基本的原理，它可以用香农公式C＝B log21＋SN来表示，其中C是信道支持的最大速度或者叫信道容量，B是信道带宽(Hz)，S是平均信号功率(W)，N是平均噪声功率(W).已知平均信号功率为1000W，平均噪声功率为10W，在不改变平均信号功率和信道带宽的前提下，要使信道容量增大到原来的2倍，则平均噪声功率约降为()A.0.1WB.1.0WC.3.2WD.5.0W5.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.6.(2020·北京卷)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为W＝f(t)，用－f（b）－f（a）b－a的大小评价在[a，b]这段时间内企业污水治理能力的强弱.已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论：①在[t1，t2]这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在t2时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在t3时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在[0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]这三段时间中，在[0，t1]的污水治理能力最强.其中所有正确结论的序号是__________.考点一利用函数图像刻画变化过程1.已知高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图像是()2.小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图像，拟合了记忆保持量f (x )与时间x (天)之间的函数关系f (x )－720x ＋1，0＜x ≤1，15＋920x －12，1＜x ≤30.则下列说法错误的是()A.随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B.第一天小菲的单词记忆保持量下降最多C.9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%D.26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%3.(2022·郑州质检)水池有两个相同的进水口和一个出水口，每个口进出水的速度如图甲、乙所示，某天0时到6时该水池的蓄水量如图丙所示，给出以下3个论断：①0时到3时只进水不出水；②3时到4时不进水只出水；③4时到5时不进水也不出水.则一定正确的论断是________(填序号).4.(2021·西安调研)为研究西南高寒山区一种常见树的生长周期中前10年的生长规律，统计显示，生长4年的树高为73米，如图所示的散点图，记录了样本树的生长时间t(年)与树高y(米)之间的关系.请你据此判断，在下列函数模型：①y＝2t－a；②y＝a＋log2t；③y＝12t＋a；④y＝t＋a中(其中a为正的常实数)，拟合生长年数与树高的关系最好的是________(填写序号)，估计该树生长8年后的树高为________米.考点二二次函数模型例1(1)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是()A.10.5万元B.11万元C.43万元D.43.025万元(2)某地西红柿上市后，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q(单位：元/100kg)与上市时间t(单位：天)的数据如下表：时间t60100180种植成本Q11684116根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本Q与上市时间t 的变化关系：Q＝at＋b，Q＝at2＋bt＋c，Q＝a·b t，Q＝a·log b t.利用你选取的函数，求：①西红柿种植成本最低时的上市天数是________；②最低种植成本是________元/100kg.训练1(1)(2021·广州模拟)某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产一单位产品，成本增加10万元.又知总收入K是单位产品数Q的函数，K(Q)＝40Q－120Q2，则总利润L(Q)的最大值是________万元.(2)某城市对一种售价为每件160元的商品征收附加税，税率为R%(即每销售100元征税R元)，若每年销售量为30－52R万件，要使附加税不少于128万元，则R的取值范围是()A.[4，8]B.[6，10]C.[4%，8%]D.[6%，10%]考点三指数、对数函数模型例2(1)一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有34的质量发生衰变.若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是()A.6B.5C.4D.3(2)(2021·唐山联考)尽管目前人类还无法准确地预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震释放出的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M 之间的关系为lg E＝4.8＋1.5M.①已知地震等级划分为里氏12级，根据等级范围又分为三种类型，其中小于2.5级的为“小地震”，介于2.5级到4.7级之间的为“有感地震”，大于4.7级的为“破坏性地震”，若某次地震释放能量约1012焦耳，试确定该次地震的类型；②2008年汶川地震为里氏8级，2011年日本地震为里氏9级，问：2011年日本地震所释放的能量是2008年汶川地震所释放的能量的多少倍？(取10＝3.2)训练2(2021·贵阳调研)一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？考点四分段函数模型例3小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业.经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本3万元，每生产x万件，需另投入流动成本W(x)万元，在年产量不足8万件时，W(x)＝13x2＋x(万元).在年产量不小于8万件时，W(x)＝6x＋100x－38(万元).每件产品售价5元.通过市场分析，小王生产的商品当年能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(万件)的函数解析式；(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？训练3某校高三(1)班学生为了筹措经费给班上购买课外读物，班委会成立了一个社会实践小组，决定利用暑假八月份(按30天计算)轮流换班去销售一种时令水果.在这30天内每斤水果的收入p(元)与时间t(天)满足如图所示的函数关系，已知日销售量Q(斤)与时间t(天)满足一次函数关系(具体数据如下表所示).t(天)281624Q(斤)38322416(1)根据提供的图像和表格，写出每斤水果的收入p(元)与时间t(天)所满足的函数关系式及日销售量Q(斤)与时间t(天)的一次函数关系式；(2)写出销售水果的日收入y(元)与t的函数关系式，并求这30天中第几天的日收入最大？最大为多少元？1.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t (年)的函数关系图像正确的是()2.(2022·绵阳诊断)某数学小组进行社会实践调查，了解到某公司为了实现1000万元利润目标，准备制订激励销售人员的奖励方案：在销售利润超过10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y (单位：万元)随销售利润x (单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.同学们利用函数知识，设计了如下函数模型，其中符合公司要求的是(参考数据：1.0021000≈7.37，lg 7≈0.845)()A.y ＝0.25xB.y ＝1.002xC.y ＝log 7x ＋1D.y ＝x10－13.(2021·全国大联考)如图，矩形花园ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的.若该矩形花园的面积为4平方米，墙PQ 足够长，则围成该花园所需要篱笆的()A.最大长度为8米B.最大长度为42米C.最小长度为8米D.最小长度为42米4.(2022·兰州质检)设光线通过一块玻璃，光线强度损失10%，如果光线原来的强度为k(k>0)，通过x块这样的玻璃以后光线的强度为y，则y＝k·0.9x(x∈N+)，那么光线强度减弱到原来的13以下时，至少通过这样的玻璃的块数为(参考数据：lg3≈0.477)()A.9B.10C.11D.125.(2021·济南检测)人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度x(单位：W/m2)满足d(x)＝9lgx1×10－13.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的()A.1倍B.10倍C.100倍D.1000倍6.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计图如图所示，则下列说法中错误的是()A.收入最高值与收入最低值的比是3∶1B.结余最高的月份是7月C.1至2月份的收入的变化量与4至5月份的收入的变化量相同D.前6个月的平均收入为40万元7.我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：s)之间的关系为h(t)＝－4.9t2＋14.7t＋17，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为________米.8.李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元.每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________.9.(2021·武汉模拟)复利是一种计算利息的方法，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期的利息.某同学有压岁钱1000元，存入银行，年利率为2.25%，若放入微信零钱通或者支付宝的余额宝，年利率可达4.01%.如果将这1000元选择合适方式存满5年，可以多获利息________元.(参考数据：1.02255≈1.118，1.04015≈1.217)10.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q之间的关系为v＝a＋b log3Q 10 (其中a，b是实数).据统计，该种鸟类在静止时其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1m/s.(1)求出a，b的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2m/s，则其耗氧量至少要多少个单位？11.近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司计划在甲、乙两座城市共投资240万元.根据行业规定，每个城市至少要投资80万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P与投入a(单位：万元)满足P＝42a－6，乙城市收益Q与投入a(单位：万元)满足Q＋2，80≤a≤120，，120<a≤160，设甲城市的投入为x(单位：万元)，两个城市的总收益为f(x)(单位：万元).(1)当投资甲城市128万元时，求此时公司的总收益；(2)试问：如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使公司总收益最大？12.(2022·保定质检)分子间作用力是只存在于分子与分子之间或惰性气体原子间的作用力，在一定条件下，两个原子接近，则彼此因静电作用产生极化，从而导致有相互作用力，称范德瓦尔斯相互作用.今有两个惰性气体原子，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U，其计算式子为U＝kcq2·(1R＋1R＋x1－x2－1R＋x1－1R－x2)，其中，kc为静电常量，x1，x2分别表示两个原子的负电中心相对各自原子核的位移.已知R＋x1－x2＝1＋x1－x2R R＋x1＝R1＋x1R R－x2＝R1－x2R(1＋x)－1≈1－x＋x2，则U的近似值为()A.kcq2x1x2R3B.－kcq2x1x2R3C.2kcq2x1x2R3D.－2kcq2x1x2R313.天文学中为了衡量天体的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus，又名依巴谷)在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，天体就越亮；星等的数值越大，它就越暗.到了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.R.Pogson)又提出了衡量天体明暗程度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m1－m2＝2.5(lg E2－lg E1).其中星等为m i的天体的亮度为E i(i＝1，2).已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的r倍，则与r最接近的是(当|x|较小时，10x≈1＋2.3x＋2.7x2)()A.1.24B.1.25C.1.26D.1.2714.已知一容器中有A，B两种菌，且在任何时刻A，B两种菌的个数乘积均为定值1010，为了简单起见，科学家用P A＝lg n A来记录A菌个数的资料，其中n A为A 菌的个数.现有以下几种说法：①P A≥1；②若今天的P A值比昨天的P A值增加1，则今天的A菌个数比昨天的A菌个数多10；③假设科学家将B菌的个数控制为5万，则此时5<P A<5.5(注：lg2≈0.3).则正确的说法为________(写出所有正确说法的序号).。
2020版高考数学(江苏专用)一轮教师用书(PDF)：第二章§2.2 函数的基本性质
§ ２．２ 函数的基本性质
第二章 函数 １ １
考点一 函数的单调性
高频考点
１．单调函数的定义
设函数 ｆ（ｘ）的定义域为 Ｉ，如果对于定义域 Ｉ 内某个区间 Ｄ
上的任意两个自变量的值 ｘ１ ，ｘ２ ，当 ｘ１ ＜ｘ２ 时， （１） 若 ｆ（ ｘ１ ） ＜ｆ（ ｘ２ ） ，则 ｆ（ ｘ） 在区间 Ｄ 上是增函数； （２） 若 ｆ（ ｘ１ ） ＞ｆ（ ｘ２ ） ，则 ｆ（ ｘ） 在区间 Ｄ 上是减函数． ２．单调区间的定义
（１）对于任意的 ｘ∈Ｉ，都有 ｆ（ ｘ） ≥Ｍ； （２） 存在 ｘ０ ∈Ｉ，使得 ｆ（ｘ０ ）＝ Ｍ
结论 Ｍ 为最大值
Ｍ 为最小值
对应学生用书起始页码 Ｐ１６
考点二 函数的奇偶性与周期性
１．奇函数、偶函数的概念
一般地，如果对于函数 ｆ（ ｘ） 的定义域内任意一个 ｘ，都有
ｆ（ －ｘ）＝ ｆ（ｘ），那么函数 ｆ（ｘ）就叫做偶函数．
②若函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（ｘ＋ａ） ＝ ｆ（ ａ－ｘ） （ ａ≠０） 且 ｆ（ ｘ） 为奇函
数，则 ｆ（ｘ）为周期函数，Ｔ ＝ ４ ｜ ａ ｜ ；
③若函数 ｆ（ｘ）满足 ｆ（ｘ＋ａ） ＝ －ｆ（ ｘ） （ ａ≠０），则 ｆ（ ｘ） 为周期
函数，Ｔ ＝ ２ ｜ ａ ｜ ；
④若函数
ｆ（
ｘ）
满足
ｆ（
ｘ
＋ａ）
解得 ０≤ｘ≤１，即不等式的解集为［０，１］ ．
（ ２） 画出函数图象如图所示．
当 ｘ ＝ ２ 时，ｌｏｇ２ ｘ ＝ １，ａｘ－１ ＝ ２ａ－１，
{ａ＞０，
因为函数 ｆ（ｘ） 在 Ｒ 上单调递增，所以
２ａ－
解得 １≤１，
０＜ａ
≤１．故 ａ 的取值范围为（０，１］ ．
【精品高考数学】2020年高三数学(江苏专用)-第02讲(函数的概念、定义域、值域、性质等问题)+答案
第02讲（函数的概念、定义域、值域、性质等问题）【目标导航】1．理解函数的概念概念、定义域、值域、性质等问题；2．理解初等函数的概念概念、定义域、值域、性质等并能灵活运用． 【例题导读】例1、 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－5x ，则不等式f (x －1)>f (x )的解集为________．例 2、设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数. 当x∈(0,2]时，f (x )＝1－x －12，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k x ＋2，0<x ≤1，－12，1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0,9]上，关于x 的方程f (x )＝g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_________．例 3、 函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．例4、对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[,]m n 内是单调函数；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ．则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”． （1）求证：函数xx g y 53)(-==不存在“和谐区间”． （2）已知：函数22()1a a x y a x+-=（,0a a ∈≠R ）有“和谐区间”[,]m n ，当a 变化时，求出n m -的最大值．例5、已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )的图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．（1）写出函数g (x )的解析式；（2）当x ∈[0，1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围．例6、已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．设xx g x f )()(=． （1）求a ，b 的值；（2）若不等式02)2(≥⋅-x xk f 在]1,1[-∈x 上有解，求实数k 的取值范围； （3）若03|12|2|)12(|=--+-k kf xx 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．【反馈练习】1．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为 ．2．已知函数y =log 2(ax －1)在(1，2)上单调递增，则a 的取值范围为 ． 3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)=1，f (2)=2，则f (3)－f (4)= ．4．函数|log |21x y =的定义域为],[b a ，值域为[0，2]，则区间],[b a 的长a b -的最大值是 ．5．对于给定的函数xx x f --=22)(，有下列四个结论：①)(x f 的图象关于原点对称；②2)3(log 2=f ；③)(x f 在R 上是增函数；④|)(|x f 有最小值0．其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号）6.若函数f(x)＝a ＋12x －1是奇函数，则实数a 的值为________．7．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )．当0<x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，则实数a 的值为________．8.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是________．9.已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (－1)＝________.10. 若函数f (x )＝⎩⎨⎧x (x －b )， x ≥0，ax (x ＋2)， x <0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．11.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ，则关于x 的不等式f (x )<－2的解集是________．12. 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x ≥1，－x ＋3a ， x ＜1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为________．13.已知函数f(x)＝(2x ＋a)(|x －a|＋|x ＋2a|)(a<0)．若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2019的x 的值为________．14．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数)(x f y =的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为 ．15. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x －3，则不等式f (x )≤－5 的解集为________． 16.已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________． 17.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ，则关于x 的不等式f (x )<－2的解集是________．18.若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集为________． 19.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x .若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为________．20.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x ，若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f 2(x )恒成立，则实数a 的取值范围是________．21.已知函数f(x)＝sin x －x ＋1－4x2x ，则关于x 的不等式f(1－x 2)＋f(5x －7)<0的解集为________．22. 已知函数f(x)＝x 3＋2x ，若f(1)＋f(log 1a 3)>0(a>0且a≠1)，则实数a 的取值范围是________．23.已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________．24.已知函数()33x xf x -=-，3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥，则t 的取值范围是 ．25.已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ．26.已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .第02讲（函数的概念、定义域、值域、性质等问题）【目标导航】1．理解函数的概念概念、定义域、值域、性质等问题；2．理解初等函数的概念概念、定义域、值域、性质等并能灵活运用． 【例题导读】例1、 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－5x ，则不等式f (x －1)>f (x )的解集为________．【答案】(－2，3)【解析】解法1 f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2－5x ，则当x <0时，有－x >0，f (x )＝－f (－x )＝－[(－x )2－5(－x )]＝－x 2－5x ，即f (x )＝－x 2－5x①当x ≥1时，由f (x －1)>f (x )得(x －1)2－5(x －1)>x 2－5x ，解得x <3，所以1≤x <3；②当0≤x <1时，由f (x －1)>f (x )得－(x －1)2－5(x －1)>x 2－5x ，解得－1<x <2，所以0≤x <1； ③当x <0时，由f (x －1)>f (x )得－(x －1)2－5(x －1)>－x 2－5x ，解得x >－2，所以－2<x <0. 综上，由①②③得不等式f (x －1)>f (x )的解集为(－2，3)．解法2 在同一坐标系中分别作出函数y ＝f(x)与y ＝f(x －1)的图像(将函数y ＝f(x)的图像向右平移一个单位长度得到y ＝f(x －1)的图像)，根据对称性可得，两个函数分别交于点(－2，6)，(3，－6)，从图像可得f(x －1)>f(x)的解集为(－2，3)．例 2、设f (x )，g (x )是定义在R 上的两个周期函数，f (x )的周期为4，g (x )的周期为2，且f (x )是奇函数. 当x ∈(0,2]时，f (x )＝1－x －12，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧k x ＋2，0<x ≤1，－12，1<x ≤2，其中k >0.若在区间(0,9]上，关于x 的方程f (x )＝g (x )有8个不同的实数根，则k 的取值范围是_________．【答案】⎣⎡⎭⎫13，24【解析】 当x ∈(0,2)时，令y ＝1－x －12，则(x －1)2＋y 2＝1，y ≥0，即f (x )的图象是以(1,0)为圆心、1为半径的半圆，利用f (x )是奇函数，且周期为4，画出函数f (x )在(0,9]上的图象，再在同一坐标系中作出函数g (x )(x ∈(0,9])的图象，如图1－1，关于x 的方程f (x )＝g (x )在(0,9]上有8个不同的实数根，即两个函数的图象有8个不同的交点，数形结合知g (x )(x ∈(0,1])与f (x )(x ∈(0,1])的图象有2个不同的交点时满足题意，当直线y ＝k (x ＋2)经过点(1,1)时，k ＝13，当直线y ＝k (x ＋2)与半圆(x －1)2＋y 2＝1(y ≥0)相切时，|3k |k 2＋1＝1，k ＝24或k ＝－24(舍去)，所以k 的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，24.图11例 3、 函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0＜x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2＜x ≤0，则f (f (15))的值为________．【答案】 22【解析】 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以4是函数f (x )的周期．则f (15)＝f (4×4－1)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12，所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22.例4、对于定义域为D 的函数()y f x =，如果存在区间[,]m n D ⊆，同时满足：①()f x 在[,]m n 内是单调函数；②当定义域是[,]m n 时，()f x 的值域也是[,]m n ．则称[,]m n 是该函数的“和谐区间”． （1）求证：函数xx g y 53)(-==不存在“和谐区间”．（2）已知：函数22()1a a x y a x+-=（,0a a ∈≠R ）有“和谐区间”[,]m n ，当a 变化时，求出n m -的最大值． 【解析】（1）设[,]m n 是已知函数定义域的子集． 因0x ≠，[,]m n (,0)⊆-∞或[,]m n (0,)⊆+∞， 故函数xy 53-=在[,]m n 上单调递增． 若[,]m n 是已知函数的“和谐区间”，则(),().g m m g n n =⎧⎨=⎩故m ，n 是方程53x x-=的同号的相异实数根． 0532=+-x x Θ无实数根，∴函数xy 53-=不存在“和谐区间”．（2）设[,]m n 是已知函数定义域的子集． 因0x ≠，[,]m n (,0)⊆-∞或[,]m n (0,)⊆+∞，故函数xa a a x a x a a y 222111)(-+=-+=在[,]m n 上单调递增． 若[,]m n 是已知函数的“和谐区间”，则(),().f m m f n n =⎧⎨=⎩故m ，n 是方程x xa a a =-+211，即01)(22=++-x a a x a 的同号的相异实数根． 012>=amn Θ，m ∴，n 同号，只须0)1)(3(2>-+=∆a a a ，即1>a 或3-<a 时，已知函数有“和谐区间”[,]m n ，34)311(34)(22+--=-+=-a mn m n m n Θ，∴当3=a 时，m n -取最大值332．例5、已知函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >1)，若函数y ＝g (x )的图象上任意一点P 关于原点对称的点Q 的轨迹恰好是函数f (x )的图象．（1）写出函数g (x )的解析式；（2）当x ∈[0，1)时总有f (x )＋g (x )≥m 成立，求m 的取值范围． 【解析】（1）设P (x ，y )为g (x )图象上任意一点， 则Q (－x ，－y )是点P 关于原点的对称点，因为Q (－x ，－y )在f (x )的图象上，所以－y ＝log a (－x ＋1)， 即y ＝－log a (1－x )(x <1)．（2）f (x )＋g (x )≥m ，即log a xx-+11≥m ． 设F (x )＝log a axx-+11，x ∈[0，1)． 由题意知，只要F (x )min ≥m 即可．因为F (x )在[0，1)上是增函数，所以F (x )min ＝F (0)＝0． 故m 的取值范围是(－∞，0]．例6、已知函数b ax ax x g ++-=12)(2（0>a ）在区间]3,2[上有最大值4和最小值1．设xx g x f )()(=． （1）求a ，b 的值；（2）若不等式02)2(≥⋅-x xk f 在]1,1[-∈x 上有解，求实数k 的取值范围； （3）若03|12|2|)12(|=--+-k kf xx 有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围． 【解析】（1）a b x a x g -++-=1)1()(2，因为0>a ，所以)(x g 在区间]3,2[上是增函数，故(2)1,(3)4,g g =⎧⎨=⎩解得1,0.a b =⎧⎨=⎩（2）由已知可得21)(-+=xx x f ， 所以02)2(≥⋅-xx k f 可化为x x x k 22212⋅≥-+，化为k x x ≥-+22)21(12，令x t 21=，则122+-≤t t k ，因]1,1[-∈x ，故1[,2]2t ∈，记=)(t h 122+-t t ，因为1[,2]2t ∈，故1)(max =t h ，所以k 的取值范围是]1,(-∞．（3）原方程可化为0)12(|12|)23(|12|2=++-⋅+--k k xx， 令t x=-|12|，则),0(∞+∈t ，0)12()23(2=+++-k t k t 有两个不同的实数解1t ，2t ，其中101<<t ，12>t ，或101<<t ，12=t ． 记)12()23()(2+++-=k t k t t h ，则210,(1)0,k h k +>⎧⎨=-<⎩ ① 或210,(1)0,320 1.2k h k k ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩② 解不等组①，得0>k ，而不等式组②无实数解．所以实数k 的取值范围是),0(∞+． 【反馈练习】1．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为 ． 【答案】(0，6]．2．已知函数y =log 2(ax －1)在(1，2)上单调递增，则a 的取值范围为 ． 【答案】),1[+∞3．若f (x )是R 上周期为5的奇函数，且满足f (1)=1，f (2)=2，则f (3)－f (4)= ． 【答案】∵函数f (x )的周期为5，∴f (3)－f (4)＝f (－2)－f (－1)，又∵f (x )为R 上的奇函数， ∴f (－2)－f (－1)＝－f (2)＋f (1)＝－2＋1＝－1．4．函数|log |21x y =的定义域为],[b a ，值域为[0，2]，则区间],[b a 的长a b -的最大值是 ．【答案】1545．对于给定的函数xxx f --=22)(，有下列四个结论：①)(x f 的图象关于原点对称；②2)3(log 2=f ；③)(x f 在R 上是增函数；④|)(|x f 有最小值0．其中正确结论的序号是 ．（写出所有正确结论的序号） 【答案】①③④6.若函数f(x)＝a ＋12x －1是奇函数，则实数a 的值为________．【答案】12【解析】解法1(特殊值法) 因为函数f(x)为奇函数，且定义域为{x|x≠0}，所以有f(1)＋f(－1)＝0，即(a ＋1)＋(a －2)＝0，解得a ＝12.解法2(定义法) 因为函数f(x)为奇函数，所以有f(x)＋f(－x)＝0，即a ＋12x －1＋ a ＋12－x －1＝0，即2a －1＝0，解得a ＝12.7．已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝f (x )．当0<x ≤1时，f (x )＝x 3－ax ＋1，则实数a 的值为________．【答案】2【解析】因为f(x ＋2)＝f(x)，则f(－1)＝f(1)，又f(x)是定义在R 上的奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，则有f (1)＝－f (1)，即f (1)＝0，所以1－a ＋1＝0，则a ＝2，故答案为2.8.已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数．若f (－1)＝－2，则满足f (2x －3)≤2的x 的取值范围是________．【答案】(－∞，2]【解析】因为f(x)是定义在R 上的奇函数，且在(－∞，0]上为单调增函数，所以f (x )在R 上为单调增函数．又因为f (－1)＝－2，所以f (1)＝2，故f (2x －3)≤2＝f (1)，即2x －3≤1，解得x ≤2. 9.已知定义在R 上的奇函数f (x )，当x ＞0时，f (x )＝2x －x 2，则f (0)＋f (－1)＝________.【答案】－1【解析】因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，f (－1)＝－f (1)＝－(2－1)＝－1，因此f (0)＋f (－1)＝－1.10. 若函数f (x )＝⎩⎨⎧x (x －b )， x ≥0，ax (x ＋2)， x <0(a ，b ∈R )为奇函数，则f (a ＋b )的值为________．【答案】 －1【解析】 解法1 因为函数f (x )为奇函数，所以f (－1)＝－f (1)，f (－2)＝－f (2)，即⎩⎨⎧1(1－b )＝a (－1＋2)，2(2－b )＝2a (－2＋2)，解得a ＝－1，b ＝2.经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件， 所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.解法2 因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )的图像关于原点对称， 当x ＞0，二次函数的图像顶点为b 2，－ b 24，当x ＜0，二次函数的图像顶点为(－1，－a )， 所以－b 2＝－1，－b 24＝a ，解得a ＝－1，b ＝2，经验证a ＝－1，b ＝2满足题设条件， 所以f (a ＋b )＝f (1)＝－1.11.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ，则关于x 的不等式f (x )<－2的解集是________．【答案】(2，＋∞)【解析】设x >0，则－x <0，所以f (－x )＝x 2－x .因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝x 2－x ，所以f (x )＝－x 2＋x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x ，x >0，x 2＋x ， x ≤0，所以f (x )<－2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x <－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x <－2，解得x >2，即f (x )<－2的解集为(2，＋∞)．12. 若f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ， x ≥1，－x ＋3a ， x ＜1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为________．【答案】⎣⎡⎭⎫12，＋∞ 【解析】因为当x <1时，f (x )＝－x ＋3a 单调递减，所以当x ≥1时，f (x )＝ax 为单调递减函数，从而a >0且－1＋3a ≥a ，解得a ≥12.13.已知函数f(x)＝(2x ＋a)(|x －a|＋|x ＋2a|)(a<0)．若f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(672)＝0，则满足f(x)＝2019的x 的值为________．【答案】 337【解析】f (x )＝ 222,22,()()x a x a a x a x⎧≥-⎪⎨⎪-≤⎩++，结合函数的图像可知：函数f (x )在R 上单调递增且关于点⎝⎛⎭⎫－a 2，0对称，因为f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (672)＝0，所以1＋6722＝－a2，解得a ＝－673.由f (x )＝2019，当x ≤－673时，f (x )＝－(2x ＋a )2≤0，不成立；当－673<x <1346时，(－3)×(－673)(2x －673)＝2019，解得x ＝337，又因为函数f (x )在R 上单调递增，所以f (x )＝2019有唯一解14．已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数)(x f y =的图象在区间[0，6]上与x 轴的交点的个数为 ．【答案】7【解析】∵f (x )是最小正周期为2的周期函数，且0≤x <2时，f (x )=x 3－x =x (x －1)(x ＋1)， ∴当0≤x <2时，f (x )＝0有两个根，即x 1＝0，x 2＝1．由周期函数的性质知，当2≤x <4时，f (x )＝0有两个根，即x 3＝2，x 4＝3；当4≤x <6时，f (x )＝0有两个根，即x 5＝4，x 6＝5；x 7＝6也是f (x )＝0的根．故函数f (x )的图象在区间[0，6]上与x 轴交点的个数为7．x ＝337，故所求x 的值为337.15. 已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝2x －3，则不等式f (x )≤－5 的解集为________．【答案】(－∞，－3]【解析】当x ＞0时，f (x )＝2x －3＞－2；因为函数f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0；当x ＜0时，－x ＞0，所以f (－x )＝2－x －3，f (x )＝－2－x ＋3，此时不等式f (x )≤－5可化为－2－x ＋3≤－5，解得x ≤－3.综上所述，该不等式的解集为(－∞，－3]．16.已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．【答案】[－1,3]【解析】偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2.所以f (x －1)≤2，即f (|x －1|)≤f (2)，即|x －1|≤2，所以－1≤x ≤3. 解后反思 对于偶函数f (x )，均有f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．17.设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ，则关于x 的不等式f (x )<－2的解集是________．【答案】(2，＋∞)【解析】设x >0，则－x <0，所以f (－x )＝x 2－x .因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝x 2－x ，所以f (x )＝－x 2＋x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋x ，x >0，x 2＋x ， x ≤0，所以f (x )<－2等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤0，x 2＋x <－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，－x 2＋x <－2，解得x >2，即f (x )<－2的解集为(2，＋∞)．18.若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x ln x ，则不等式f (x )<－e 的解集为________．【答案】(－∞，－e)【解析】当x >0时，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1. 当f ′(x )>0时，x >1e ，即f (x )在⎝⎛⎭⎫0，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，所以f (x )在(0，＋∞)上的最小值为－1e .又因为f (x )为奇函数，所以f (x )在⎝⎛⎭⎫－1e ，0上单调递减，在⎝⎛⎭⎫－∞，－1e 上单调递增，所以f (x )在(－∞，0)上的最大值为1e，即f (x )在⎝⎛⎭⎫－∞，－1e 上单调递增，在⎝⎛⎭⎫－1e ，1e 上单调递减，在⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞上单调递增，所以f (x )<－e 在⎝⎛⎭⎫－1e ，＋∞上无解．由f (－e)＝－f (e)＝－e ，所以f (x )<－e 的解集为(－∞，－e)．19.已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝x 2＋x .若f (a )＋f (－a )＜4，则实数a 的取值范围为________． 答案. (－1，1)【解析】解法1(奇偶性的性质) 因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以f (a )＋f (－a )＝2 f (|a |)<4，即f (|a |)<2，即|a |2＋|a |<2，(|a |＋2)(|a |－1)<0，解得－1<a <1.解法2(奇偶性的定义) 当x≤0时，－x≥0，又因为f(x)是定义在R 上的偶函数，所以，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋(－x )＝x 2－x ，故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x ≥0，x 2－x ，x ≤0.当a ≥0时，f (a )＋f (－a )＝(a 2＋a )＋(－a )2－(－a )＝2a 2＋2a <4，解得0≤a <1；当a ≤0时，f (a )＋f (－a )＝(a 2－a )＋(－a )2＋(－a )＝2a 2－2a <4，解得－1<a ≤0.综上，－1<a <1.20.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且当x ≥0时，f (x )＝2x ，若对任意的x ∈[a ，a ＋2]，不等式f (x ＋a )≥f 2(x )恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－32 【解析】 解法1(利用解析式) 当x≥0时，定义在R 上的偶函数f (x )＝2x ，易得，f (x )＝2|x |，x ∈R .由f (x ＋a )≥f 2(x )得，2|x ＋a |≥(2|x |)2，即|x ＋a |≥|2x |对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，即(3x ＋a )(x －a )≤0对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，即⎩⎪⎨⎪⎧（3a ＋a ）（a －a ）≤0，[3（a ＋2）＋a ]（a ＋2－a ）≤0，解得a ≤－32.解法2(偶函数的性质) 当x≥0时，定义在R 上的偶函数f (x )＝2x ，易得，f (x )＝2|x |，x ∈R ，易证f 2(x )＝f (2x )，x ∈R ，故由f (x ＋a )≥f 2(x )得，|x ＋a |≥|2x |对于x ∈[a ，a ＋2]恒成立，下同解法1.21.已知函数f(x)＝sin x －x ＋1－4x2x ，则关于x 的不等式f(1－x 2)＋f(5x －7)<0的解集为________．【答案】 {x|2<x<3}【解析】因为函数f(x)＝sin x －x ＋1－4x 2x 的定义域为R ，且f (－x )＝sin(－x )－(－x )＋1－4－x2－x ＝－sin x ＋x ＋4x －12x ＝－⎝⎛⎭⎫sin x －x ＋1－4x 2x ＝－f (x )，所 以由奇函数的定义可知f (x )为R 上的奇函数．又f ′(x )＝cos x －1－1＋4x2x ln2.因为－1≤cos x ≤1，ln2>0，则有f ′(x )<0，所以f (x )为R 上的减函数，因此不等式f (1－x 2)＋f (5x －7)<0，即f (1－x 2)<－f (5x －7)，亦即f (1－x 2)<f (7－5x )，即1－x 2>7－5x ，解得2<x <3，故不等式f (1－x 2)＋f (5x －7)<0的解集为{x |2<x <3}．22. 已知函数f(x)＝x 3＋2x ，若f(1)＋f(log 1a3)>0(a>0且a≠1)，则实数a 的取值范围是________．【答案】 (0,1)∪(3，＋∞)【解析】由函数f (x )的解析式易得，该函数为奇函数且在定义域R 上是单调增函数．故f (1)＋f (log 1a 3)>0，即f (log 1a 3)>－f (1)＝f (－1)，即log 1a 3>－1＝log 1aa .所以⎩⎪⎨⎪⎧1a >1，3>a 或⎩⎪⎨⎪⎧0<1a <1，3<a ，解得0<a <1或a >3.23.已知函数f(x)＝2x 4＋4x 2，若f(a ＋3)>f(a －1)，则实数a 的取值范围为________．【答案】(－1，＋∞)【解析】函数f(x)＝2x 4＋4x 2为偶函数，因为f′(x)＝8x 3＋8x ＝8x(x 2＋1)，所以当x ∈[0，＋∞)时，函数f(x)为增函数，当x ∈(－∞，0)时，函数f(x)为减函数，由f(a ＋3)>f(a －1)，得f(|a ＋3|)>f(|a －1|)，即(a ＋3)2>(a －1)2，解得a>－1，所以实数a 的取值范围为(－1，＋∞)．24.已知函数()33x xf x -=-，3313(12log )(3log 1)log f t f t t -+-≥，则t 的取值范围是 ．答案：1≥t【解析】由()()221312log 3log 1log f t f t t -+-≥得()()22312log 3log 1log f t f t t -+-≥-，进而()()()()222212log 13log 13log 12log f t f t t t ---≥---，所以()()()()222212log 12log 13log 13log f t t f t t -+-≥-+-构造函数()()x x g x f x x e e x -=+=-+，则()x g 是奇函数，并且在R 上是增函数 所以有()()2312log 13log g t g t -≥-，2312log 13log t t -≥-，解得1≥t 25.已知函数f (x )是定义在R 上且周期为4的偶函数． 当x ∈[2，4]时，f (x )＝|log 4(x －32)|，则f (12)的值为 ．【答案】．12【解析】 由题意可得：4117731log 222222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==-= ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 26.已知()f x 是定义在R 上且周期为3的函数，当[)0,3x ∈时，21()22f x x x =-+，若函数()y f x a =-在区间[]3,4-上有10个零点（互不相同），则实数a 的取值范围是 .【答案】1(0,)2a ∈【解析】 作出函数21()22f x x x =-+,[)0,3x ∈的图象，可见1(0)2f =，当1x =时，1()2f x =极大，7(3)2f =，方程()0f x a -=在[]3,4-上有10个零点，即函数()y f x =与直线y a =在[]3,4-上有10个公共点，由于函数()f x 的周期为3，因此直线y a =与函数21()22f x x x =-+,[)0,3x ∈的公共点数为4，则有1(0,)2a ∈．。
江苏专用2020版高考数学大一轮复习第二章函数2.9函数与方程教案含解析
§2.9函数与方程考情考向分析利用函数零点的存在性定理或函数的图象，对函数是否存在零点进行判断或利用零点(方程实根)的存在情况求相关参数的范围，是高考的热点，题型以填空题为主，也可和导数等知识交汇出现解答题，中高档难度．1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系概念方法微思考函数f(x)的图象连续不断，是否可得到函数f(x)只有一个零点？提示不能．题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x 轴的交点．( × )(2)函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点(函数图象连续不断)，则f (a )·f (b )<0.( × ) (3)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．( × )(4)f (x )＝x 2，g (x )＝2x，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，恒有h (x )<f (x )<g (x )．( √ )题组二 教材改编2．[P93练习T3]函数f (x )＝e x＋3x 的零点个数是． 答案 1解析 由f ′(x )＝e x＋3>0，得f (x )在R 上单调递增，又f (－1)＝1e －3<0，f (0)＝1>0，因此函数f (x )有且只有一个零点．3．[P97习题T8]已知函数f (x )＝x 2＋x ＋a 在区间(0,1)上有零点，则实数a 的取值范围是． 答案 (－2,0)解析 结合二次函数f (x )＝x 2＋x ＋a 的图象(图略)知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)<0，f (1)>0，故⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋1＋a >0，所以－2<a <0.题组三 易错自纠4．若函数f (x )＝e x＋x －2的零点所在的区间是(k ，k ＋1)，则k ＝. 答案 0解析 易知函数f (x )在R 上单调递增，∵f (0)＝－1<0，f (1)＝e －1>0，即f (0)·f (1)<0， ∴由零点定理知，该函数零点在区间(0,1)内，即k ＝0.5．函数f (x )是[－1,1]上的增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0，则方程f (x )＝0在[－1,1]内有个实数根． 答案 1解析 ∵f (x )在[－1,1]上是增函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<0， ∴f (x )＝0在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12上有唯一实根， ∴f (x )＝0在[－1,1]上有唯一实根．6．已知函数f (x )＝x －x (x >0)，g (x )＝x ＋e x，h (x )＝x ＋ln x (x >0)的零点分别为x 1，x 2，x3，则x1，x2，x3的大小关系为．(用“<”连接)答案x2<x3<x1解析作出y＝x与y＝x(x>0)，y＝－e x，y＝－ln x(x>0)的图象，如图所示，可知x2<x3<x1.题型一函数零点所在区间的判定例1判断下列函数在给定区间上是否存在零点．(1)f(x)＝x2－3x－18，x∈[1,8]；(2)f(x)＝x3－x－1，x∈[－1,2]；(3)f(x)＝log2(x＋2)－x，x∈[1,3]．解(1)方法一因为f(1)＝－20<0，f(8)＝22>0，所以f(1)f(8)<0，故f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．方法二令x2－3x－18＝0，解得x＝－3或6，所以函数f(x)＝x2－3x－18在[1,8]上存在零点．(2)因为f(－1)＝－1<0，f(2)＝5>0，f(－1)f(2)<0，故f(x)＝x3－x－1在[－1,2]上存在零点．(3)因为f(1)＝log2(1＋2)－1＝log23－1>log22－1＝0，f(3)＝log2(3＋2)－3＝log25－3<log28－3＝0，所以f(1)f(3)<0，故f(x)＝log2(x＋2)－x在[1,3]上存在零点．思维升华判断函数零点所在区间的基本依据是零点存在性定理．对于含有参数的函数的零点区间问题，往往要结合图象进行分析，一般是转化为两函数图象的交点，分析其横坐标的情况进行求解．跟踪训练1已知函数f(x)＝log a x＋x－b(a>0且a≠1)．当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝.答案 2解析对于函数y＝log a x，当x＝2时，可得y<1，当x＝3时，可得y>1，在同一坐标系中画出函数y＝log a x，y＝－x＋b的图象，判断两个函数图象的交点横坐标在(2,3)内，∴函数f(x)的零点x0∈(n，n＋1)时，n＝2.题型二 函数零点个数的判断例2(1)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是．答案 2解析 当x ≤0时，令x 2－2＝0，解得x ＝－2(正根舍去)，所以在(－∞，0]上，f (x )有一个零点；当x >0时，f ′(x )＝2＋1x>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数． 又因为f (2)＝－2＋ln2<0，f (3)＝ln3>0， 所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点， 综上，函数f (x )的零点个数为2.(2)函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内的零点的个数为． 答案 2解析 由题意可知f (x )的定义域为(0，＋∞)，在同一直角坐标系中画出函数y ＝|x －2|(x >0)，y ＝ln x (x >0)的图象，如图所示．由图可知函数f (x )在定义域内的零点个数为2. (3)函数f (x )＝x －cos x 在[0，＋∞)内零点个数为． 答案 1解析 当x ∈(]0，1时，因为f ′(x )＝12x＋sin x ，x >0，sin x >0，所以f ′(x )>0，故f (x )在[0,1]上单调递增，且f (0)＝－1<0，f (1)＝1－cos1>0，所以f (x )在[0,1]内有唯一零点．当x >1时，f (x )＝x －cos x >0，故函数f (x )在[0，＋∞)上有且仅有一个零点．思维升华函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点．(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数．(3)利用函数图象的交点个数判断．跟踪训练2(1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，|lg x |，x >0，则函数g (x )＝f (1－x )－1的零点个数为．答案 3解析 g (x )＝f (1－x )－1＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )2＋2(1－x )－1，1－x ≤0，|lg (1－x )|－1，1－x >0＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋2，x ≥1，|lg (1－x )|－1，x <1，易知当x ≥1时，函数g (x )有1个零点；当x <1时，函数g (x )有2个零点，所以函数g (x )的零点共有3个．(2)函数f (x )＝4cos 2x 2·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x －2sin x －|ln(x ＋1)|的零点个数为．答案 2解析 f (x )＝2(1＋cos x )sin x －2sin x －|ln(x ＋1)|＝sin2x －|ln(x ＋1)|，x >－1， 函数f (x )的零点个数即为函数y 1＝sin2x (x >－1)与y 2＝|ln(x ＋1)|(x >－1)的图象的交点个数．分别作出两个函数的图象，如图，可知有两个交点， 则f (x )有两个零点．题型三 函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数例3(1)若函数f (x )＝x 2－ax ＋1在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有零点，则实数a 的取值范围是．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103解析 由题意知方程ax ＝x 2＋1在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，即a ＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3上有解，设t ＝x ＋1x ，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3，则t 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.所以实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫2，103.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是． 答案 (0,1)解析 画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x >0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图所示．由于函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得0<m <1，即m ∈(0,1)．命题点2 根据函数零点的范围求参数例4若函数f (x )＝(m －2)x 2＋mx ＋2m ＋1的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12解析 依题意，结合函数f (x )的图象(图略)分析可知，m 需满足⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，f (－1)·f (0)<0，f (1)·f (2)<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ≠2，(m －2－m ＋2m ＋1)(2m ＋1)<0，(m －2＋m ＋2m ＋1)[4(m －2)＋2m ＋2m ＋1]<0，解得14<m <12.思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．跟踪训练3(1)方程12log (2)2xa x －＝＋有解，则a 的最小值为．答案 1解析 若方程12log (2)2x a x －＝＋有解，则⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋x ＝a －2x有解，即14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x ＝a 有解，因为14⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋2x≥1，所以a ≥1，故a 的最小值为1.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x >0，x 2＋x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有三个零点，则实数m 的取值范围是．答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0解析 作出函数f (x )的图象如图所示．当x ≤0时，f (x )＝x 2＋x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122－14≥－14，若函数f (x )与y ＝m 的图象有三个不同的交点，则－14<m ≤0，即实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－14，0.利用转化思想求解函数零点问题在求和函数零点有关的参数范围问题中，一般有两种思路：(1)函数零点个数可转化为两个函数图象的交点个数，利用数形结合求解参数范围． (2)“a ＝f (x )有解”型问题，可以通过求函数y ＝f (x )的值域解决．例(1)若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为． 答案 {2}解析 f (x )是偶函数，若f (x )有唯一零点，故f (0)＝0，由f (0)＝0，得m 2＋2m －8＝0，解得m ＝2或m ＝－4.当m ＝2时，f (x )＝x 2－2cos x ＋2＝x 2＋4sin 2x2有唯一零点x ＝0；当m ＝－4时，f (x )＝x 2＋4cos x －4.因为f (2)＝4cos2<0，f (π)＝π2－8>0，所以在(2，π)内也有零点，不合题意．(2)已知函数21211()log 1x x f x x x ìï<ïï=íïïïî－，，，，≥若关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，则实数k 的取值范围是．答案 (－1,0)解析 关于x 的方程f (x )＝k 有三个不同的实根，等价于函数y ＝f (x )与函数y ＝k 的图象有三个不同的交点，作出函数的图象如图所示，由图可知实数k 的取值范围是(－1,0)．(3)若关于x 的方程22x＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，则实数a 的取值范围为． 答案 (－∞，2－22]解析 由方程，解得a ＝－22x＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤(t ＋1)＋2t ＋1，其中t ＋1>1， 由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22， 当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.(4)(2018·全国Ⅰ改编)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，ln x ，x >0，g (x )＝f (x )＋x ＋a .若g (x )存在2个零点，则a 的取值范围是． 答案 [－1，＋∞) 解析 令h (x )＝－x －a ， 则g (x )＝f (x )－h (x )．在同一坐标系中画出y ＝f (x )，y ＝h (x )图象的示意图，如图所示．若g (x )存在2个零点，则y ＝f (x )的图象与y ＝h (x )的图象有2个交点，平移y ＝h (x )的图象可知，当直线y ＝－x －a 过点(0,1)时，有2个交点， 此时1＝－a ，a ＝－1.当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1上方，即a <－1时，仅有1个交点，不符合题意； 当y ＝－x －a 在y ＝－x ＋1下方，即a >－1时，有2个交点，符合题意． 综上，a 的取值范围为[－1，＋∞)．1．函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是．答案 (0,3)解析 因为f (x )在(0，＋∞)上是增函数，则由题意得f (1)·f (2)＝(0－a )(3－a )<0，解得0<a <3.2．函数121()2xf x x 骣÷ç=-÷ç÷ç桫的零点个数为． 答案 1解析 函数121()2xf x x 骣÷ç=-÷ç÷ç桫的零点个数是方程12102xx 骣÷ç-=÷ç÷ç桫的解的个数，即方程1212xx 骣÷ç=÷ç÷ç桫的解的个数，也就是函数12y x =与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象的交点个数，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图所示，可得交点个数为1.3．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是．答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧(－2)2＋(－2)a ＋b ＝0，32＋3a ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )>0， 即－(4x 2＋2x －6)>0⇔2x 2＋x －3<0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32<x <1. 4．下列说法错误的是．(填序号)①对于不等式ax 2＋bx ＋c <0，当Δ＝b 2－4ac <0时，不等式的解集为空集； ②所谓零点，就是函数的图象与x 轴交点的坐标；③设函数y ＝f (x )在(a ，b )上是连续的，若f (a )·f (b )>0，则函数y ＝f (x )在(a ，b )内一定不存在零点． 答案 ①②③解析 在①中，若a <0，则不等式恒成立，即不等式的解集为R ；在②中，零点是指函数图象与x 轴交点的横坐标，而非坐标；对于③，可能有零点在(a ，b )内，故①②③均错．5．(2019·盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2＋2mx －1，0≤x ≤1，mx ＋2，x >1，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，则实数m 的取值范围是．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，0解析 当0≤x ≤1时，2x 2＋2mx －1＝0， 易知x ＝0不是方程2x 2＋2mx －1＝0的解， 故m ＝12x －x 在(0,1]上是减函数，故m ≥12－1＝－12；即m ≥－12时，方程f (x )＝0在[0,1]上有且只有一个解，当x >1时，令mx ＋2＝0，得m ＝－2x，故－2<m <0，即当－2<m <0时，方程f (x )＝0在(1，＋∞)上有且只有一个解， 综上所述，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点， 则实数m 的取值范围是－12≤m <0.6．已知关于x 的方程1x ＋2＝a |x |有三个不同的实数解，则实数a 的取值范围是． 答案 (1，＋∞) 解析 方程1x ＋2＝a |x |有三个不同的实数解等价于函数y ＝1x ＋2与y ＝a |x |的图象有三个不同的交点．在同一直角坐标系中作出函数y ＝1x ＋2与y ＝a |x |的图象，如图所示，由图易知，a >0.当－2<x <0时，设函数y ＝a |x |＝－ax 的图象与函数y ＝f (x )＝1x ＋2的图象相切于点(x 0，y 0)，因为f ′(x )＝－1(x ＋2)2，则有⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝－ax 0，y 0＝1x 0＋2，1(x 0＋2)2＝a ，解得a ＝1，所以实数a 的取值范围为(1，＋∞)．7．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋3，x ≤1，－x 2＋2x ＋3，x >1，则函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数为．答案 2解析 函数g (x )＝f (x )－e x的零点个数即为函数y ＝f (x )与y ＝e x的图象的交点个数．作出函数图象可知有2个交点，即函数g (x )＝f (x )－e x有2个零点．8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤a ，x 2，x >a .若存在实数b ，使函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，则a的取值范围是．答案 (－∞，0)∪(1，＋∞)解析 令φ(x )＝x 3(x ≤a )，h (x )＝x 2(x >a )，函数g (x )＝f (x )－b 有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，结合图象(图略)可得a <0或φ(a )>h (a )，即a <0或a 3>a 2，解得a <0或a >1，故a ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)．9．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2019x＋log 2019x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为． 答案 3解析 因为函数f (x )为R 上的奇函数，所以f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2019x＋log 2019x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12019内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点， 从而函数f (x )在R 上的零点个数为3.10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ln (－x )＋a ，x <0，f (x ＋1)，x ≥0，a ∈R ，当0≤x <1时，f (x )＝1－x ，则f (x )的零点个数为． 答案 1解析 当x <0时，必存在x 0＝－e －a<0，使得f (x 0)＝0，因此对任意实数a ，f (x )在(－∞，0)内必有一个零点；当x ≥0时，f (x )是周期为1的周期函数，且0≤x <1时，f (x )＝1－x .因此可画出函数的大致图象，如图所示，可知函数f (x )的零点个数为1.11．设f (x )是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有f (x －2)＝f (x ＋2)，且当x ∈[－2,0]时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，若函数g (x )＝f (x )－log a (x ＋2)(a >1)在区间[－2，6]内恰有三个零点，则实数a 的取值范围是． 答案 (34，2) 解析根据题意得f [(x ＋2)－2]＝f [(x ＋2)＋2]，即f (x )＝f (x ＋4)，故函数f (x )的周期为4.若方程f (x )－log a (x ＋2)＝0(a >1)在区间[－2,6]内恰有三个不同的实根，则函数y ＝f (x )和y ＝log a (x ＋2)的图象在区间[－2,6]内恰有三个不同的交点，根据图象可知，log a (6＋2)>3且log a (2＋2)<3，解得34<a <2.所以实数a 的取值范围是(34，2)．12．关于x 的二次方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m 的取值范围． 解 显然x ＝0不是方程x 2＋(m －1)x ＋1＝0的解， 当0<x ≤2时，方程可变形为1－m ＝x ＋1x，又∵y ＝x ＋1x在(0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增，∴y ＝x ＋1x在(0,2]上的取值范围是[2，＋∞)，∴1－m ≥2，∴m ≤－1， 故m 的取值范围是(－∞，－1]．13．定义在R 上的奇函数f (x )，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x x ＋1，x ∈[0，1)，1－|x －3|，x ∈[1，＋∞)，则函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为．答案11－2π解析 由题意知，当x <0时， f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x 1－x，x ∈(－1，0)，|x ＋3|－1，x ∈(－∞，－1]，作出函数f (x )的图象如图所示，设函数y ＝f (x )的图象与y ＝1π交点的横坐标从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4，x 5，由图象的对称性可知，x 1＋x 2＝－6，x 4＋x 5＝6，x 1＋x 2＋x 4＋x 5＝0，令－2x 1－x ＝1π，解得x 3＝11－2π，所以函数F (x )＝f (x )－1π的所有零点之和为11－2π.14．已知f (x )是奇函数并且是R 上的单调函数，若函数y ＝f (2x 2＋1)＋f (λ－x )只有一个零点，则实数λ的值是． 答案 －78解析 依题意，方程f (2x 2＋1)＋f (λ－x )＝0只有1个解， 故f (2x 2＋1)＝－f (λ－x )＝f (x －λ)有1个解， ∴2x 2＋1＝x －λ，即2x 2－x ＋1＋λ＝0有唯一解， 故Δ＝1－8(1＋λ)＝0，解得λ＝－78.15．已知函数f (x )是偶函数，f (0)＝0，且x >0时，f (x )是增函数，f (3)＝0，则函数g (x )＝f (x )＋lg|x ＋1|的零点个数为． 答案 3解析 画出函数y ＝f (x )和y ＝－lg|x ＋1|的大致图象，如图所示．∴由图象知，函数g (x )＝f (x )＋lg|x ＋1|的零点的个数为3.16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|log 2x |，0<x ≤2，(x －3)(x －4)，x >2，若f (x )＝m 有四个零点a ，b ，c ，d ，则abcd的取值范围是． 答案 (10,12)解析 作出函数f (x )的图象，不妨设a <b <c <d ，则－log 2a ＝log 2b ，∴ab ＝1.又根据二次函数的对称性，可知c ＋d ＝7， ∴cd ＝c (7－c )＝7c －c 2(2<c <3)，∴10<cd <12， ∴abcd 的取值范围是(10,12)．。
【600分考点-700分考法】2020版高考理数：专题(2)函数的概念与基本初等函数I
＝
1 x2
－1＝ 1x＋11x－1
＝ 1x＋11x＋1－2，
∴f(x)＝x2－2x(x≠1)．
方法二(换元法)：设
1 x
＋1＝t，则x＝
t－1 1(t≠1)，
∴f(t)＝
1 1
2
－1＝(t－1)2－1＝t2－2t，∴f(x)＝x2－2x(x≠1)．
t－1
考点一 函数的概念
求函数的值域时，应根据解析式的结构特点，选择适当的方法，常
见的方法： (1)配方法．将形如y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数配方，转化为顶点
式，利用二次函数值域的求法求解．
(2)单调性法．先判断函数的单调性，利用单调性确定函数的最值， 进而求得值域．若f(x)在[a，b]上单调递增，则x∈[a，b]时，
函数f(2x)的定义域为[0，1]．所以函数g(x)有意义的条件是
0≤x≤1，
x－1≠0，
解得0≤x＜1.故函数g(x)的定义域是[0，1)．
【答案】[0，1）
考点一 函数的概念 方法2 求函数的解析式
求函数解析式的常见方法：
(1)待定系数法．若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可直接设出 函数解析式．例如，二次函数可设为f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，其中a，b，c 是待定系数，根据题设条件列出方程组，解出a，b，c即可． (2)换元法．已知f(h(x))＝g(x)，求f(x)时，可设h(x)＝t，从中解出x(用t 表示x)，代入g(x)中进行换元得到f(t)，最后将t换成x即可．
考点一 函数的概念
必备知识 全面把握
1．函数的定义
一般地，设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关 系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定 的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个 函数，记作：y=f(x),x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫 做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的 集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．
2020届高考数学(江苏专用)二轮复习专项强化练(二)函数的概念与性质(Word版含答案)
专项强化练(二) 函数的概念与性质A 组题型一 函数的基本概念1．(2019·无锡单元检测)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：∵函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3恒不为0.当m ＝0时，mx2＋4mx ＋3＝3满足题意；当m ≠0时，Δ＝16m 2－12m <0，解得0<m <34.综上，m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34. 答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，342．已知函数f (x )的定义域为实数集R ，∀x ∈R ，f (x －90)＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，－x ，x ≤0，则f (10)－f (－100)的值为________．解析：因为f (10)＝f (100－90)＝lg 100＝2，f (－100)＝f (－10－90)＝－(－10)＝10，所以f (10)－f (－100)＝2－10＝－8. 答案：－83．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ≤1，－x ，x >1.若f (x )＝2，则x ＝________．解析：依题意得当x ≤1时，3x＝2，所以x ＝log 32； 当x >1时，－x ＝2，x ＝－2(舍去)．故x ＝log 32. 答案：log 324．下列函数中，满足f (2x )＝2f (x )的序号是________． ①f (x )＝|x |；②f (x )＝x －|x |； ③f (x )＝x ＋1；④f (x )＝－x .解析：对于①，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于②，f (x )＝x －|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≥0，2x ，x <0，当x ≥0时，f (2x )＝0＝2f (x )，当x <0时，f (2x )＝4x ＝2·2x ＝2f (x )，恒有f (2x )＝2f (x )；对于③，f (2x )＝2x ＋1＝2f (x )－1≠2f (x )．对于④，f (2x )＝－2x ＝2(－x )＝2f (x )．答案：①②④ [临门一脚]1．定义域、值域和对应关系是决定函数的三个要素，是一个整体，研究函数问题时务必“定义域优先”．2．分段函数是指在定义域内的不同部分上，有不同的解析表达式的函数，它的单调性不仅要考虑各个部分的单调性，还要注意各段交界处的函数值的大小关系，所以分段函数是函数的一个重要考点，应引起我们的高度重视．题型二 函数的单调性与最值1．已知函数f (x )＝log 5(x 2－3x －4)，则该函数的单调递增区间为________． 解析：由题意知x 2－3x －4>0，则x >4或x <－1， 令y ＝x 2－3x －4，则其图象的对称轴为x ＝32，∴y ＝x 2－3x －4的单调递增区间为(4，＋∞)．单调递减区间为(－∞，－1)，由复合函数的单调性知f (x )的单调递增区间为(4，＋∞)． 答案：(4，＋∞)2．(2019·姜堰中学模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若f (1)是f (x )的最小值，则实数a 的取值范围为________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2|x －a |，x ≤1，x ＋1，x ＞1，若x ＞1，则f (x )＝x ＋1＞2，易知y ＝2|x －a |在(a ，＋∞)上递增，在(－∞，a )上递减，若a ＜1，则f (x )在x ＝a 处取得最小值，不符合题意； 若a ≥1，则要使f (x )在x ＝1处取得最小值， 只需2a －1≤2，解得a ≤2，∴1≤a ≤2.综上可得a 的取值范围是[1，2]． 答案：[1，2]3．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意互异的实数x 1，x 2，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0成立，则使得不等式f (t 2－3)＋f (2t )<0成立的实数t 的取值范围为____________．解析：因为对任意互异的实数x 1，x 2，均有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0成立，所以函数f (x )在定义域R 上单调递减，又f (x )为奇函数，故不等式f (t 2－3)＋f (2t )<0可化为f (t 2－3)<f (－2t )，结合单调性可知，t 2－3>－2t ，即t 2＋2t －3>0，解得t <－3或t >1.答案：(－∞，－3)∪(1，＋∞) [临门一脚]1．单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．函数的单调性使得自变量的不等关系和函数之间的不等关系可以“正逆互推”，此时要注意定义域的限制．2．判定函数的单调性常用定义法、图象法及导数法．对于填空题，也可用一些命题，如两个增(减)函数的和函数仍为增(减)函数．3．函数的多个单调区间不能用“∪”相连．4．复合函数的单调性在转化时，不能忽视定义域的限制． 题型三 函数的奇偶性与周期性1．(2018·南京高三模拟)若f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ＋a ，0≤x ≤2，－6x ＋18，2<x ≤3，则f (a ＋1)的值为________． 解析：由f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，得f (0)＝f (3)，解得a ＝0，则f (a ＋1)＝f (1)＝2.答案：22．(2019·镇江期初)已知函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，且对于任意x 1，x 2∈[0，1]，x 1≠x 2，都有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]＜0，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：由函数f (x )是偶函数，f (x ＋1)是奇函数，知：f (－x )＝f (x )，f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，∴f [－(x －1)]＝f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )，可知函数的周期为4，则a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8211＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫611，b ＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫509＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫49，c ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫247＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫47.由(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]＜0，可知函数是区间[0，1]上的减函数，据此可得b ＞a ＞c .答案：b ＞a ＞c3．若函数f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )(常数a ，b ∈R )是偶函数，且它的值域为(－∞，2]，则该函数的解析式f (x )＝________.解析：由题意知：a ≠0，f (x )＝(x ＋a )(bx ＋2a )＝bx 2＋(2a ＋ab )x ＋2a 2是偶函数，则其图象关于y 轴对称，所以2a ＋ab ＝0，b ＝－2.所以f (x )＝－2x 2＋2a 2，因为它的值域为(－∞，2]，所以2a 2＝2.所以f (x )＝－2x 2＋2.答案：－2x 2＋24．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集为________．解析：若x ＜0，则－x ＞0，∵当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ， ∴当－x ＞0时，f (－x )＝x 2＋4x . ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (－x )＝x 2＋4x ＝－f (x )，则f (x )＝－x 2－4x ，x ＜0，当x ＞0时，不等式f (x )＞x 等价为x 2－4x ＞x ， 即x 2－5x ＞0，得x ＞5或x ＜0，此时x ＞5， 当x ＜0时，不等式f (x )＞x 等价为－x 2－4x ＞x ， 即x 2＋5x ＜0，得－5＜x ＜0，当x ＝0时，不等式f (x )＞x 等价为0＞0不成立， 综上，不等式的解为x ＞5或－5＜x ＜0， 故不等式的解集为(－5，0)∪(5，＋∞)． 答案：(－5，0)∪(5，＋∞) [临门一脚]1．函数的奇偶性反映了函数图象的对称性，但定义域是否对称还是必要条件． 2．利用函数的奇偶性可以把研究整个函数具有的性质问题转化到只研究部分(一半)区间上，是简化问题的一种途径．3．奇函数用f (0)＝0时要注意定义域是否有0，偶函数还可以用f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．B 组1．函数f (x )＝2x－4的定义域为________．解析：由2x－4≥0，即2x≥22，得x ≥2，所以函数的定义域为[2，＋∞)． 答案：[2，＋∞) 2．函数f (x )＝2xx ＋1在[1，2]内的最大值和最小值分别是________． 解析：f (x )＝2（x ＋1）－2x ＋1＝2－2x ＋1，故f (x )在(－1，＋∞)上为增函数，所以f (x )在[1，2]上的最大值为f (2)＝43，最小值为f (1)＝1.答案：4313．(2019·南京三模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，f （x －2），x >0，则f (log 23)＝________．解析：因为0<log 23<2，所以f (log 23)＝f (log 23－2)＝2log 23－2＝2log 2322＝34.答案：344．(2019·盐城三模)若函数f (x )＝lg(1＋x )＋lg(1＋ax )是偶函数，则实数a 的值为________．解析：因为f (x )为偶函数，所以对定义域内的任意x ，都有f (－x )＝f (x )，所以lg(1＋x )＋lg(1＋ax )＝lg(1－x )＋lg(1－ax )，所以得(1＋x )(1＋ax )＝(1－x )(1－ax )，所以得(a ＋1)x ＝0，所以a ＝－1.答案：－15．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是________．解析：因为函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7. 答案：[7，＋∞)6．定义新运算“⊕”：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]，则函数f (x )的值域为________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x ∈[－2，1]，x 3－2，x ∈（1，2]，当x ∈[－2，1]时，f (x )∈[－4，－1]； 当x ∈(1，2]时，f (x )∈(－1，6]． 故当x ∈[－2，2]时，f (x )∈[－4，6]． 答案：[－4，6]7．(2019·盐城中学模拟)设函数f (x )的定义域为D ，若f (x )满足条件：存在[a ，b ]⊆D (a ＜b )，使f (x )在[a ，b ]上的值域也是[a ，b ]，则称为“优美函数”．若函数f (x )＝log 2(4x＋t )为“优美函数”，则t 的取值范围是________．解析：∵函数f (x )＝log 2(4x＋t )是定义域上的增函数，∴由题意得，若函数为“优美函数”，则f (x )＝x 有两个不相等的实根，即log 2(4x ＋t )＝x ，整理得4x ＋t ＝2x ，∴(2x )2－2x＋t ＝0有两个不相等的实根．∵2x＞0，令λ＝2x(λ＞0)，∴λ2－λ＋t ＝0有两个不相等的正实根，∴⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1－4t ＞0，t ＞0，解得0＜t ＜14，即t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫0，148．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x >0，0，x ＝0，2x －1，x <0，则不等式f (x 2－2)＋f (x )＜0的解集为__________．解析：函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x >0，0，x ＝0，2x －1，x <0的图象如图所示，∴f (x )是定义域为R 的奇函数也是增函数，∴不等式f (x 2－2)＋f (x )＜0⇔ f (x 2－2)＜f (－x )⇔x 2－2＜－x ，解得－2＜x ＜1， ∴原不等式的解集为(－2，1)． 答案：(－2，1)9．(2019·徐州中学模拟)已知函数f (x )＝a －x 2(1≤x ≤2)与g (x )＝x ＋2的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是________．解析：若函数f (x )＝a －x 2(1≤x ≤2)与g (x )＝x ＋2的图象上存在关于x 轴对称的点，则方程a －x 2＝－(x ＋2)，即a ＝x 2－x －2在区间[1，2]上有解．令h (x )＝x 2－x －2，1≤x ≤2，由于h (x )＝x 2－x －2的图象是开口朝上且以直线x ＝12为对称轴的抛物线，故当x ＝1时，h (x )取得最小值－2，当x ＝2时，h (x )取得最大值0，故a ∈[－2，0]．答案：[－2，0]10．设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤M ，M ，f （x ）>M ，则称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)＝________．解析：由题意得f M (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x 2，x ≤－1或x ≥1，1，－1＜x ＜1，故f M (0)＝1. 答案：111．(2019·扬州中学模拟)已知f (x ) 为定义在R 上的单调函数，对任意的x ∈R 都有f [f (x )－2x ]＝6，则f (2)＝________.解析：设t ＝f (x )－2x，则f (t )＝6，且f (x )＝2x＋t ，令x ＝t ，则f (t )＝2t＋t ＝6，∵f (x )是单调函数，f (2)＝22＋2＝6，∴t ＝2，即f (x )＝2x ＋2，则f (2)＝4＋2＝6.答案：612．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x－2，则不等式f (x －1)≤2的解集是________．解析：法一：由题意可得f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－2，x ≥0，2－x －2，x <0，则不等式f (x －1)≤2⇔⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，2x －1－2≤2或⎩⎪⎨⎪⎧x －1<0，2－x ＋1－2≤2，解得1≤x ≤3或－1≤x <1， 故不等式f (x －1)≤2的解集是[－1，3]．法二：当x ≥0时，f (x )＝2x－2在[0，＋∞)上单调递增，且f (2)＝2.又函数f (x )是偶函数，则f (x －1)≤2⇔f (|x －1|)≤f (2)⇔|x －1|≤2⇔－2≤x －1≤2，解得－1≤x ≤3，故不等式f (x －1)≤2的解集为[－1，3]．答案：[－1，3]13．已知函数f (x )＝x 2－2|x |＋4的定义域为[a ，b ]，其中a <b ，值域[3a ，3b ]，则满足条件的数组(a ，b )为____________．解析：因为f (x )＝x 2－2|x |＋4＝(|x |－1)2＋3≥3，所以3a ≥3⇒a ≥1，从而f (b )＝b2－2b ＋4＝3b ⇒b ＝1(舍去)或b ＝4；f (a )＝a 2－2a ＋4＝3a ⇒a ＝1或a ＝4(舍去)．即满足条件的数组(a ，b )为(1，4)．答案：(1，4)14．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，－x ＋1，x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1，g (x )＝a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －a ＋2(a >0)，若存在x 1，x 2∈[0，1]，使f (x 1)＝g (x 2)成立，则实数a 的取值范围为________．解析：对于函数f (x )，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12时，f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1；当x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1时，f (x )∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12， 从而当x ∈[0，1]时，函数f (x )的值域为D 1＝[0，1]． 对于函数g (x )，因为0≤x ≤1，0≤π6x ≤π6，0≤sin π6x ≤12，所以2－a ≤a sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6x －a ＋2≤2－12a ，从而当x ∈[0，1]时，函数g (x )的值域为D 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－a ，2－12a (a >0)． 因为存在x 1，x 2∈[0，1]时，使f (x 1)＝g (x 2)， 所以D 1∩D 2≠∅.若D 1∩D 2＝∅，则2－12a <0或2－a >1，解之得0<a <1或a >4，所以当D 1∩D 2≠∅时，1≤a ≤4， 即实数a 的取值范围是[1，4]． 答案：[1，4]。
加练半小时高考数学江苏专用理科专题复习：9专题2 函数概念与基本初等函数 含答案
训练目标函数的单调性、最值、奇偶性、周期性. 训练题型 (1)判定函数的性质；(2)求函数值或解析式；(3)求参数或参数范围；(4)和函数性质有关的不等式问题.解题策略 (1)利用奇偶性或周期性求函数值(或解析式)，要根据自变量之间的关系合理转换；(2)和单调性有关的函数值大小问题，先化到同一单调区间；(3)解题时可以根据函数性质作函数的草图，充分利用数形结合思想.①y ＝x ＋1；②y ＝－x 3；③y ＝1x；④y ＝x |x |. 2．(2015·黄冈调研)定义在R 上的函数f (x )满足f (－x )＋f (x )＝0，f (x )＝f (x ＋4)，且x ∈(－2,0)时，f (x )＝2x ＋15，则f (log 220)＝________. 3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x >0，cos x ，x ≤0，则下列结论正确的是________． ①f (x )是偶函数；②f (x )是增函数；③f (x )是周期函数；④f (x )的值域为[－1，＋∞)．4．若f (x )和g (x )都是奇函数，且F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(0，＋∞)上有最大值8，则在(－∞，0)上F (x )有最______值，为________．5．设x >y >1,0<a <1，则下列关系正确的是________．①x -a >y -a ；②ax <ay ；③a x <a y ；④log a x >log a y .6．若定义运算a ⊙b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a ≥b ，a ，a <b ，则函数f (x )＝x ⊙(2－x )的值域为________． 7．(2015·四川成都七中零诊)对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数，下列函数中是准偶函数的是________． ①f (x )＝cos(x ＋1)；②f (x )＝x ；③f (x )＝tan x ；④f (x )＝x 3.8．(2015·安徽庐江部分示范高中第三次联考)定义域为R 的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2－x ，则当x ∈[－1,0)时，f (x )的最小值为________．9．已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，当x <0，f (x )＝x ＋2，那么不等式2f (x )－1<0的解集是________________．10．(2015·广州综合测试一)已知幂函数f (x )＝x －m 2－2m ＋3(m ∈Z )为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数，则f (2)的值为________．11．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋32)＋f (x )＝0，且函数y ＝f (x －34)为奇函数，给出下列命题：①函数f (x )的最小正周期是32； ②函数y ＝f (x )的图象关于点(－34，0)对称； ③函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称．其中真命题的个数是________．12．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x )<f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是________．13．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若关于x 的方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.其中所有正确命题的序号为________．14．(2015·湖北武汉部分学校毕业生2月调研)已知函数f (x )＝a log 2|x |＋1(a ≠0)，定义函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，给出下列命题： ①F (x )＝|f (x )|；②函数F (x )是奇函数；③当a >0时，若x 1x 2<0，x 1＋x 2>0，则F (x 1)＋F (x 2)>0成立；④当a <0时，函数y ＝F (x 2－2x －3)存在最大值，不存在最小值．其中所有正确命题的序号是________．答案解析1．④解析 易知y ＝x |x |为奇函数，图象如下：从图知y ＝x |x |为增函数．2．－1解析 ∵f (－x )＋f (x )＝0，即f (－x )＝－f (x )，∴定义在R 上的函数f (x )是奇函数．∵4＝log 216<log 220<log 232＝5，∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f (log 254)＝－f (－log 254)＝－f (log 245)， ∵－2<log 245<0，∴f (log 245)＝2log 245＋15＝1， ∴f (log 220)＝－1.3．④解析 因为f (π)＝π2＋1，f (－π)＝－1，所以f (－π)≠f (π)，所以函数f (x )不是偶函数，排除A ；因为函数f (x )在(－2π，－π)上单调递减，排除B ；函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )不是周期函数，排除C ；因为x >0时，f (x )>1，x ≤0时，－1≤f (x )≤1，所以函数f (x )的值域为[－1，＋∞)．4．－4解析 由题意知f (x )＋g (x )在(0，＋∞)上有最大值6，因为f (x )和g (x )都是奇函数，所以f (－x )＋g (－x )＝－f (x )－g (x )＝－[f (x )＋g (x )]， 即f (x )＋g (x )也是奇函数，所以f (x )＋g (x )在(－∞，0)上有最小值－6，所以F (x )＝f (x )＋g (x )＋2在(－∞，0)上有最小值－4.5．③解析 对于①，－a <0，幂函数f (x )＝x －a 在(0，＋∞)上是减函数，所以x －a <y －a ，故①不正确；对于②，x >y >1，又a >0，利用不等式的性质得ax >ay ，故②不正确；易知③正确；对于④，因为0<a <1，所以函数f (x )＝log a x 在(1，＋∞)上是减函数，又x >y >1，所以log a x <log a y ，故④不正确．6．(－∞，1]解析 由题意知x ⊙(2－x )表示x 与2－x 两者中的较小者，借助y ＝x 与y ＝2－x 的图象，不难得出f (x )的值域为(－∞，1]．7．①解析 对于函数f (x )，若存在常数a ≠0，使得x 取定义域内的每一个值，都有f (x )＝f (2a －x )，则称f (x )为准偶函数，∴函数的对称轴是直线x ＝a ，a ≠0，②③④中，函数没有对称轴；函数f (x )＝cos(x ＋1)，有对称轴，且x ＝0不是对称轴，①正确．8．－18解析 当x ∈[－1,0)时，x ＋1∈[0,1)．∵f (x ＋1)＝2f (x )，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12[(x ＋1)2－(x ＋1)]＝12(x 2＋x )，其图象的对称轴为直线x ＝－12， ∴f (x )min ＝f (－12)＝－18. 9．{x |x <－32或0≤x <52} 解析 由题意知，函数y ＝f (x )的定义域是R ，当x <0时，f (x )＝x ＋2，则当x >0时，－x <0，所以f (－x )＝－x ＋2，又函数y ＝f (x )为定义在R 上的奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝x －2，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2，x <0，0，x ＝0，x －2，x >0，因此不等式2f (x )－1<0等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x <0，x ＋2<12或⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝0，0<12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －2<12.解得x <－32或0≤x <52. 10．16解析 因为幂函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调增函数，所以－m 2－2m ＋3>0，解得－3<m <1，因为m ∈Z ，所以m ＝－2或m ＝－1或m ＝0.因为幂函数f (x )为偶函数，所以－m 2－2m ＋3是偶数，当m ＝－2时，－m 2－2m ＋3＝3，不符合，舍去；当m ＝－1时，－m 2－2m ＋3＝4；当m ＝0时，－m 2－2m ＋3＝3，不符合，舍去．所以f (x )＝x 4，故f (2)＝24＝16.11．2解析 由题意可得f (x ＋3)＝－f (x ＋32)＝f (x )，则函数f (x )是周期函数，且其最小正周期为3，故①错误；由y ＝f (x －34)是奇函数，可知其图象关于原点(0,0)对称，又函数y ＝f (x －34)的图象向左平移34个单位长度可得函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )的图象关于点(－34，0)对称，故②正确；由②知，对于任意的x ∈R ，都有f (－34－x )＝－f (－34＋x )，用34＋x 代换x ，可得f (－32－x )＋f (x )＝0，所以f (－32－x )＝－f (x )＝f (x ＋32)对于任意的x ∈R 都成立，令t ＝32＋x ，得f (－t )＝f (t )，则函数f (x )是偶函数，其图象关于y 轴对称，故③正确．综上可知，真命题的个数是2.12.⎝⎛⎭⎫－16，16 解析 偶函数满足f (x )＝f (|x |)，根据这个结论，有f (2x )<f ⎝⎛⎭⎫13⇔f (|2x |)<f ⎝⎛⎭⎫13， 进而转化为不等式|2x |<13，解这个不等式即得x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－16，16. 13．①②④解析 对于①，∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，∴当x ＝－2时，f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，∴f (－2)＝0，又f (x )是偶函数，∴f (2)＝0，∴①正确；对于②，∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，f (2)＝0，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4，又直线x ＝0是函数y ＝f (x )图象的对称轴，∴直线x ＝－4也为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，∴②正确；对于③，∵函数f (x )的周期是4，∴y ＝f (x )在[8,10]上的单调性与[0,2]上的单调性相同，∴y ＝f (x )在[8,10]上单调递减，∴③错误；对于④，∵直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的对称轴，∴x 1＋x 22＝－4，x 1＋x 2＝－8，∴④正确． 14．②③解析 ①因为|f (x )|＝⎩⎨⎧ f (x )，|x |≥2－1a ，－f (x )，0<|x |<2－1a ，而F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，这两个函数的定义域不同，不是同一函数，即F (x )＝|f (x )|不成立，①错误．②当x >0时，F (x )＝f (x )＝a log 2|x |＋1，－x <0，F (－x )＝－f (－x )＝－(a log 2|－x |＋1)＝－(a log 2|x |＋1)＝－F (x )；当x <0时，F (x )＝－f (x )＝－(a log 2|x |＋1)，－x >0，F (－x )＝f (－x )＝a log 2|－x |＋1＝a log 2|x |＋1＝－F (x )．所以函数F (x )是奇函数，②正确．③当a >0时，F (x )＝f (x )＝a log 2|x |＋1在(0，＋∞)上是单调增函数．若x 1x 2<0，x 1＋x 2>0，不妨设x 1>0，则x 2<0，x 1>－x 2>0，所以F (x 1)>F (－x 2)>0，又因为函数F (x )是奇函数，－F (x 2)＝F (－x 2)，所以F (x 1)＋F (x 2)>0，③正确．④函数y ＝F (x 2－2x －3)＝⎩⎪⎨⎪⎧ a log 2(x 2－2x －3)＋1，x >3或x <－1，－a log 2(－x 2＋2x ＋3)－1，－1<x <3，当x >3或x <－1时，因为a <0，所以y ＝F (x 2－2x －3)既没最大值，也没最小值，即函数y ＝F (x 2－2x －3)的值域为(－∞，＋∞)，故④错误．综上知，答案为②③.。
(江苏专用)2020版高考数学二轮复习 微专题十三 函数的性质讲义(无答案)苏教版
微专题十三函数的性质在近三年的高考题中，函数的性质一直是考察重点，在小题中有函数性质的容易题，如2020年和2020年求函数的定义域，也有几种函数性质的综合考察．在解答题中也出现用初等方法考察函数的性质，如2020年第19题第(1)(2)问，难度为中档题．年份填空题解答题2020 T7考察函数的三要素；T14考察函数的性质2020 T5考察函数的三要素；T9考察函数的性质2020 T4考察函数的三要素目标1 二次函数的性质例1 已知函数f(x)＝x(1－a|x|)＋1(a>0)，若f(x＋a)≤f(x)对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．点评：【思维变式题组训练】1.已知函数f(x)＝x|x|－2x，则函数的单调减区间为_________．2.已知y ＝f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(x －1)2，若当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，12时，n ≤f (x )≤m 恒成立，则m －n 的最小值为________．3.已知函数f (x )＝a sin x －12cos2x ＋a －3a ＋12(a ∈R ，a ≠0)，若对任意x ∈R 都有f (x )≤0，则a 的取值范围是________．目标2 指数、对数函数的性质例2 (1) 已知定义在[－k ，k ](k >0)上的奇函数f (x )＝2x－(k 2－3)2－x＋x 3，那么f (x )的最小值为________．(2) 已知函数f (x )＝log 2(4x＋1)－x ，则使得f (2x －1)＋1＜log 25成立的x 的取值范围是________．点评：【思维变式题组训练】1.若函数f (x )＝log 12(－x 2＋4x ＋5)在区间(3m －2，m ＋2)内单调递增，则实数m 的取值范围为________．2.已知函数g (x )＝(e 2x－1)x2e x，若实数m 满足g (log 5m )－g (log 15m )≤2g (2)，则m 的取值范围是________．3.若不等式log a x －ln 2x ＜4(a ＞0且a ≠1)对任意x ∈(1,100)恒成立，则实数a 的取值范围为________．目标3 分段函数的性质例 3 (1) 函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx2， 0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．(2) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12(－x ＋1)－1， x ∈[－1，k ]，－2|x －1|，x ∈(k ，a ]，若存在实数k 使得该函数的值域为[－2,0]，则实数a 的取值范围是________． (3) 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12，2x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，2，若存在x 1，x 2，当0≤x 1<x 2<2时，f (x 1)＝f (x 2)，则x 1f (x 2)的取值范围是________．点评：【思维变式题组训练】1.设函数则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________．2.设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ， －1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________．3.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1， 0＜x ≤2，－1，－2≤x ≤0，若g (x )＝f (x )＋ax ，x ∈[－2,2]为偶函数，则实数a ＝________.4.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x 2， x ≤0，－3|x －1|＋3，x >0.若存在唯一的整数x ，使得f (x )－ax>0成立，则实数a 的取值范围为________．。
2024年高考数学总复习第二章函数的概念与基本初等函数真题分类9函数的图象与变换
A．5（exx2－＋e2－x） C．5（exx2＋＋e2－x）
B．5x2s＋in 1x D．5xc2＋os1x
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真题分类9 函数的图象与变换
高考·数学
答案：D 由图知函数图象关于 y 轴对称，其为偶函数，且 f(－2)＝f(2)<0， 由5（si－n （x）－2＋x）1 ＝－5x2s＋in 1x 且定义域为 R，即 B 中函数为奇函数，排除； 当 x>0 时，5（exx2－＋e2－x） >0，5（exx2＋＋e2－x） >0，即 A，C 中函数在(0，＋∞)上的函数 值为正数，排除． 故选 D.
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真题分类9 函数的图象与变换
5．(2021·天津，3，5 分)函数 y＝xl2n＋|x2| 的图象大致为(
)
高考·数学
A
B
C
D
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真题分类9 函数的图象与变换
高考·数学
答案：B 设 y＝f(x)＝xl2n＋|x2| ，则函数 f(x)的定义域为xx≠0 ，关于原点对称， 又 f(－x)＝（－lnx|－）x2＋| 2 ＝f(x)，所以函数 f(x)为偶函数，排除 A，C； 当 x∈(0，1)时，ln |x|<0，x2＋2>0，所以 f(x)<0，排除 D. 故选 B.
真题分类9 函数的图象与变换
高考·数学
答案：A 设 f(x)＝x cos x＋sin x，f(x)的定义域为 R.因为 f(－x)＝－x cos (－x)＋sin (－x)＝－f(x)，所以 f(x)为奇函数，排除选项 C，D.又 f(π)＝πcos π＋sin π＝－π<0，排除选 项 B，故选 A.
2020高考江苏数学(理)大一轮复习(理科提高版)复习练习题：练习册 第二章函数与基本初等函数
第二章 函数与基本初等函数Ⅰ第4课 函数的概念及其表示法A. 课时精练一、 填空题1. 已知函数y ＝f(x)，以下说法中正确的有________个．①y 是x 的函数；②对于不同的x ，对应的y 的值也不同；③f(a)表示当x ＝a 时，函数f(x)的值，是一个常量；④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来．2. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x>1，－x －2，x ≤1，则f(f(2))＝________．3. 已知函数f(x)＝x 3＋3x 2＋1，若a ≠0，且f(x)－f(a)＝(x －b)(x －a)2，x ∈R ，则a ＝________，b ＝________．4. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x<1，x 2＋ax ，x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝________．5. 下列各组函数中，表示同一个函数的是________．(填序号)①y ＝x －1，y ＝x 2－1x ＋1； ②y ＝x 0，y ＝1；③f(x)＝x 2，g(x)＝(x ＋1)2；④f(x)＝（x ）2x ，g(x)＝x （x ）2.6. 若某等腰三角形的周长为20，底边长y 是腰长x 的函数，则y 关于x 的函数解析式为____________．7. 已知实数m ≠0，函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x>2，若f(2－m)＝f(2＋m)，则m 的值为________． 8. 已知f(x)＝2x ＋a ，g(x)＝14(x 2＋3)，若g(f(x))＝x 2＋x ＋1，则实数a ＝ ________．二、 解答题9. 已知函数f(x)＝x ＋2x －6. (1) 点(3，14)在函数f(x)的图象上吗？(2) 当x ＝4时，求函数f(x)的值；(3) 当f(x)＝2时，求x 的值．10. 已知函数f(x)＝x 2－1，g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x>0，2－x ，x<0. (1) 求f(g(2))和g(f(2))的值；(2) 求函数f(g(x))和g(f(x))的表达式．11. 已知f(x)是定义在[－6，6]上的奇函数，它在[0，3]上是一次函数，在[3，6]上是二次函数，且当x ∈[3，6]时，f(x)≤f(5)＝3，f(6)＝2，求函数f(x)的解析式．B. 滚动小练1. 已知集合A ＝{x|log 2x ≤2}，B ＝(－∞，a)，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．2. 已知p ：－1＜m ＜5，q ：方程x 2－2mx ＋m 2－1＝0的两个根均大于－2且小于 4，那么p 是q 的________________条件．3. 已知命题p ：方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实负根，命题q ：方程4x 2＋4(m －2)x ＋1＝0无实数根．若“p 或q ”为真命题，“p 且q ”为假命题，求实数m 的取值范围．第5课 函数的定义域与值域A. 课时精练一、 填空题1. 函数f(x)＝x ＋1＋（1－x ）02－x的定义域为________．2. (2018·苏北四市期末)函数y ＝log 12x 的定义域为________．3. 若定义域为R 的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为________．4. (2017·常州期末)函数y ＝1－x ＋lg (x ＋2)的定义域为________．5. 函数y ＝1x 2－4x ＋3(x ≠1且x ≠3)的值域为________．6. 已知函数f(x)的定义域为⎣⎡⎦⎤－12，12，那么函数f ⎝⎛⎭⎫x 2－x －12的定义域为________．7. 若函数f(x)＝2x 2＋2ax －a ＋1的定义域为R ，则a 的取值范围为________．8. 若函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2，5)，则其值域是 ________．二、 解答题9. 求下列函数的定义域．(1) y ＝4－x 2x －1＋(x ＋2)0； (2) y ＝1x ＋3＋－x ＋x ＋4.10. 求下列函数的值域．(1) f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x ＋1，x<1，1x ，x>1； (2) y ＝x －x.11. 已知函数f(x)＝x 2－4ax ＋2a ＋6(a ∈R )．(1) 若函数f (x )的值域为[0，＋∞)，求a 的值；(2) 若函数f (x )的值均为非负数，求函数g (a )＝2－a |a ＋3|的值域．B. 滚动小练1. 命题“∀x ∈R ，x 2－x ＋3>0”的否定是______________________．2. “a ＝1”是“直线x ＋y ＝0和直线x －ay ＝0互相垂直”的________条件．3. 已知p ：方程a 2x 2＋ax －2＝0在[－1，1]上有解；q ：只有一个实数x 满足不等式x 2＋2ax ＋2a ≤0.若“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围．第6课 函数的单调性A. 课时精练一、 填空题1. 若函数f(x)＝(2k －1)x ＋1在R 上单调递减，则实数k 的取值范围是________________．2. 函数y ＝1－x 1＋x 的单调减区间是________．3. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x>0，0，x ＝0，－1，x<0，g(x)＝x 2f(x －1)，则函数g(x)的单调减区间是________．4. 已知函数f(x)为R 上的单调减函数，那么满足f (|x |)<f (1)的实数x 的取值范围是________．5. (2018·太原期末)已知函数f(x)＝x ＋1x －1，x ∈[2，5]，那么f(x)的最大值为________．6. 给出下列函数：①y ＝x 12；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1.其中在区间(0，1)上单调递减的函数是________．(填序号)7. 若函数y ＝x x ＋a在(－2，＋∞)上为增函数，则a 的取值范围是________．8. 若函数f(x)＝x 2＋a|x －2|在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围是________．二、 解答题9. 已知函数f(x)＝ax ＋1x ＋2(a 为常数)． (1) 若a ＝0，试判断f(x)的单调性；(2) 若f(x)在[0，＋∞)上单调递增，求实数a 的取值范围．10. 已知函数f(x)＝ax ＋1x 2(x ≠0，a ∈R )． (1) 讨论函数f (x )的奇偶性，并说明理由；(2) 若函数f (x )在x ∈[3，＋∞)上为增函数，求a 的取值范围．11. 已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调减函数，且满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f ⎝⎛⎭⎫13＝1.(1) 求f(1)的值；(2) 若存在实数m ，使得f(m)＝2，求实数m 的值；(3) 若f(x)＋f(2－x)<2，求x 的取值范围．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x<1，x 2＋ax ，x ≥1，若f(f(0))＝4a ，则实数a ＝________．2. 已知函数f(x)＝2|x －1|－x ＋1，那么函数f(x)的单调增区间是________．3. 已知函数g(x)＝ax ＋1，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－1，0≤x ≤2，－x 2，－2≤x<0.若对任意的x 1∈[－2，2]，存在x 2∈ [－2，2]，使得g(x 1)＝f(x 2)成立，则a 的取值范围是________．第7课函数的奇偶性A. 课时精练一、填空题1. 若函数f(x)＝k－2x1＋k·2x在定义域上为奇函数，则实数k＝________．2. 已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x2－1x，那么f(1)＝________．3. 已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝3x－7x＋2b(b为常数)，那么f(－2)＝________．4. 已知定义域为[a－4，2a－2]的奇函数f(x)＝2 016x3－sin x＋b＋2，那么f(a)＋f(b)＝________．5. 已知函数f(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)＝－1，则满足－1≤f (x－2)≤1的x的取值范围是________．6. (2018·唐山期末)已知偶函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，若f(－2)＝0，则满足xf(x－1)>0的x的取值范围是________．7. (2018·石家庄一模)已知f(x)是定义在[－2b，1＋b]上的偶函数，且在[－2b，0]上为增函数，那么f(x－1)≤f(2x)的解集为________．8. (2018·南师附中)已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x－sin x.若不等式f(－4t)>f(2mt2＋m)对任意的实数t恒成立，则实数m的取值范围是________．二、 解答题9. 已知函数f(x)＝1＋x 21－x 2. (1) 求函数f(x)的定义域；(2) 判断函数f(x)的奇偶性；(3) 求证：f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f(x)＝0.10. 已知函数f(x)＝ax 2＋1bx ＋c(其中a ，b ，c ∈Z )是奇函数且f (1)＝2，f (2)<3，求实数a ，b ，c 的值和函数f (x )的解析式．11. (2017·金陵中学)已知f(x)是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝1，若a ，b ∈[－1，1]，且a ＋b ≠0时，有f （a ）＋f （b ）a ＋b>0恒成立． (1) 试用定义证明函数f(x)在[－1，1]上是单调增函数；(2) 解不等式：f ⎝⎛⎭⎫x ＋12<f(1－x)．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝x x －a(x ≠a)，若a ＝－2，求证：f(x)在(－∞，－2)上单调递增．2. 已知函数f(x)是定义在R 上的单调函数，满足f (－3)＝2，且对任意的a ∈R ，有f (－a )＋f (a )＝0恒成立．(1) 试判断f (x )在R 上的单调性，并说明理由；(2) 解关于x 的不等式f ⎝⎛⎭⎫2－3x x <2.第8课函数的图象和周期性A. 课时精练一、填空题1. 已知函数f(x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4)，那么实数a的值为________．2. (2018·泉州模拟)已知函数f(x)是偶函数，且f(x)＝f(x＋4)，f(1)＝1，那么f(－9)＝________．3.若f(x)是偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，又f(－3)＝0，则x·f(x)<0的解集是________．4.使log2(－x)<x＋1成立的x的取值范围为________．5. 已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，当x∈(0，2)时，f(x)＝(x－8)2－4，则f(210)＝________．(注：210∈(6，6.5))6. (2017·南师附中)已知函数f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＝x3－1；当－1≤x≤1时，f(－x)＝－f(x)；当x＞12时，f ⎝⎛⎭⎫x＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x－12.则f(2 017)＝________．7. (2018·全国卷Ⅱ)已知f(x)是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，且满足f(1－x)＝f(1＋x)，若f(1)＝2，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(50)＝________．8. 已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f (x)＝f (12－x)，当x∈[0，6]时，f (x)＝log6(x＋1)，若f(a)＝1(a∈[0，2 020])，则a的最大值是________．二、 解答题9. 已知f(x)是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x .(1) 当x <0时，求函数f (x )的解析式；(2) 作出函数f (x )的图象，并指出其单调区间．10. 已知函数f(x)＝1＋|x|－x 2(－2<x ≤2)． (1) 用分段函数的形式表示该函数解析式；(2) 画出该函数的图象；(3) 写出该函数的值域．11. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x<0，2x ，x ≥0，且f(－2)＝3，f(－1)＝f(1)． (1) 求函数f(x)的解析式，并求f(f(－2))的值；(2) 请利用“描点法”画出函数f(x)的大致图象．B. 滚动小练1. 若函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧2co sπx ，－1<x<0，e 2x －1，x ≥0满足f ⎝⎛⎭⎫12＋f(a)＝2，则a 的所有可能取值为________．2. (2018·蚌埠一检)已知函数f(x)＝e |x|·lg (1＋4x 2＋ax)的图象关于原点对称，那么实数a 的值为________．3. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋(a －1)x ＋a.(1) 函数f(x)在(－∞，－1)上单调递增，求实数a 的取值范围；(2) 若关于x 的不等式f （x ）x≥2在x ∈[1，2]上恒成立，求实数a 的取值范围．第9课 二次函数A. 课时精练一、 填空题1. 若二次函数f(x)＝－x 2＋2ax ＋4a ＋1有一个零点小于－1，一个零点大于3，则实数a 的取值范围是________．2. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，－2≤x<0，x 2－2x －3，0≤x ≤3的值域是________．3. 若函数f(x)＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是单调减函数，则实数a 的取值范围是________．4. 若二次函数f(x)＝(m －1)x 2＋(m 2－1)x ＋1是偶函数，则f(x)的单调增区间是________．5. 若f(x)＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是________．6. 已知函数f(x)＝－x 2＋4x ＋a(x ∈[0，1])，若函数f(x)有最小值－2，则函数f(x)的最大值为________．7. 已知二次函数f(x)同时满足条件：①图象的对称轴是x ＝1；②f(x)的最大值为15；③f(x)的两个根的立方和等于17.那么f(x)的解析式是________________．8. (2018·天津卷)已知a ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋a －2，x ≤0，－x 2＋2x －2a ，x >0.若对任意的x ∈[－3，＋∞)，f (x )≤|x |恒成立，则a 的取值范围是________．二、 解答题9. 已知f(x)＝2x2＋bx＋c，不等式f(x)<0的解集是(0，5)．(1) 求f(x)的解析式；(2) 对于任意的x∈[－1，1]，不等式f(x)＋t≤2恒成立，求t的取值范围．10. 已知函数f(x)＝ax2－|x|＋2a－1，其中a≥0，a∈R.(1) 若a＝1，作出函数f(x)的图象；(2) 若f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．11. (1) 已知函数f(x)＝4x2－kx－8在[5，20]上具有单调性，求实数k的取值范围．(2) 若关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个不同的实数根，且一个大于4，另一个小于4，求m的取值范围．B. 滚动小练1.若函数f(x)＝2x－(k2－3)·2－x，则“k＝2”是“函数f(x)为奇函数”的________________条件．2. 若函数f(x)是偶函数，且当x≥0时，f(x)＝lg(x＋1)，则满足f(2x＋1)<1的实数x的取值范围是________．3.已知函数f(x)＝ax2＋1x，其中a为实数．(1) 根据a的不同取值，判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由；(2) 若a∈(1，3)，判断函数f(x)在[1，2]上的单调性，并说明理由．第10课 指数与指数函数A. 课时精练一、 填空题1. 计算：⎝⎛⎭⎫9412－(－9.6)0－⎝⎛⎭⎫278－23＋⎝⎛⎭⎫32－2＝________．2. 若函数f(x)＝a x －1＋3(a>0且a ≠1)的图象必过定点P ，则P 点的坐标为________．3. 函数y ＝4－2x 的定义域为________．4. 已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，那么a ，b ，c 的大小关系为________．5. 若f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2，x>1，⎝⎛⎭⎫4－a 2x ＋2，x ≤1是R 上的单调增函数，则实数a 的取值范围为________．6. 已知函数y ＝f(x)是R 上的奇函数，满足f (3＋x )＝f (3－x )，当x ∈(0，3)时，f (x )＝2x ，则当x ∈(－6，－3)时，f (x )＝________．7. 已知函数221(2),1,()2,1,x f x x f x x -->⎧⎪=⎨≤⎪⎩则f(3)＝________；当x<0时，不等式f(x)<2的解 集为________．8. (2018·石家庄二模)若函数f(x)，g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且满足f (x )＋2g (x )＝e x ，则g (－1)，f (－2)，f (－3)的大小关系为____________．二、 解答题9. 已知函数f(x)＝3x ＋λ·3－x (λ∈R )．(1) 当λ＝1时，试判断函数f (x )＝3x ＋λ·3－x 的奇偶性，并证明你的结论；(2) 若不等式f (x )≤6在x ∈[0，2]上恒成立，求实数λ的取值范围．10. 已知函数f(x)＝－3x ＋a 3x ＋1＋b. (1) 当a ＝b ＝1时，求满足f(x)＝3x 的x 的值；(2) 若函数f(x)是定义在R 上的奇函数，存在t ∈R ，不等式f (t 2－2t )<f (2t 2－k )有解，求k 的取值范围．11. 已知函数f(x)＝2x －12|x|. (1) 若f(x)＝2，求x 的值；(2) 若2t f(2t)＋mf(t)≥0对于t ∈[1，2]恒成立，求实数m 的取值范围．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x ≤1，x ，x>1，那么f(2)＝________．2. 已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ＋a ，－1≤x ≤0，x 2－log 2x ，0<x <1.若f ⎝⎛⎭⎫－52－f ⎝⎛⎭⎫92＝0，则f (4a )＝________．3. 已知f(x)为定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )为二次函数，且满足f (2)＝1，f (x )在(0，＋∞)上的两个零点为1和3.(1) 求函数f (x )的解析式；(2) 作出函数f (x )的图象，并根据它的图象讨论关于x 的方程f (x )－c ＝0(c ∈R )的根的个数．(第3题)第11课 对数的运算A. 课时精练一、 填空题1. 计算：lg 2＋lg 5＋2log 510－log 520＝________．2. 已知lg 3＝a ，lg 5＝b ，那么log 515＝________．3. 计算：2log 32－log 3329＋log 38－5log 53＝________．4. 计算：(log 29＋log 227)(log 32＋log 34)＝________．5. 已知函数f(x)＝a log 3x ＋b log 4x ＋1，若f(2 015)＝3，则f ⎝⎛⎭⎫12 015＝________．6. 已知x>0，y>0，若2x ·8y ＝16，则2－1＋log 2x ＋log 927y ＝________．7. 若[x]表示不超过x 的最大整数，如[π]＝3，[－3.2]＝－4，则[lg 1]＋[lg 2]＋[lg 3]＋…＋[lg 100]＝________．8. (2018·江苏考前热身B 卷)已知函数f(x)＝log a x ，若对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，f(x 21)－f(x 22)＝1，则f(x 2 0181)－f(x 2 0182)的值为________．二、 解答题9. 求下列各式的值．(1) log 48＋lg 50＋lg 2＋5log 53＋(－9.8)0；(2) log 327－log 33＋lg 25＋lg 4＋ln (e 2)．10. 已知2lgx －y 2＝lg x ＋lg y ，求 x y的值．11. 已知2x ＝3y ＝5z ，且x ，y ，z 都是正数，比较2x ，3y ，5z 的大小．B. 滚动小练1. 已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0＜x ＜1时，f (x )＝4x ，则f ⎝⎛⎭⎫－52＋f (1)＝________．2. 若函数f(x)＝kx 2＋(k －1)x ＋2是偶函数，则f(x)的单调减区间是________．3. 已知二次函数f(x)＝ax 2＋bx ＋c 满足：①对于任意的实数x ，都有f(x)≥x ，且当x ∈(1，3)时，f(x)≤18(x ＋2)2恒成立；②f(－2)＝0. (1) 求证：f(2)＝2；(2) 求f(x)的解析式．第12课对数函数A. 课时精练一、填空题1. (2018·南京、盐城、连云港二模)函数f(x)＝lg(2－x)的定义域为________．2. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝log2(x2＋a)，若f(3)＝1，则a＝________．3. 已知函数y＝log a(x＋b)的图象如图所示，那么a＝________，b＝________．(第3题)4. (2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调增区间是________．5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝1－log2x，则不等式f(x)<0的解集是________．6. (2018·天津卷)已知a＝log372，b＝⎝⎛⎭⎫1413，c＝log1315，那么a，b，c的大小关系为________．7. 已知函数f(x)＝1－x＋log21－x1＋x，那么f⎝⎛⎭⎫12＋f⎝⎛⎭⎫－12的值为________．8. (2018·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)＝ln(1＋x2－x)＋1，f(a)＝4，那么f(－a)＝________．二、 解答题9. 已知函数f(x)＝log a (x 2－x ＋1)(a>0且a ≠1)．(1) 当a 变化时，函数f(x)的图象恒过定点，试求该定点的坐标；(2) 若f(2)＝12，求实数a 的值； (3) 若函数f(x)在区间[0，2]上的最大值为2，求实数a 的值．10. 已知函数f(x)＝log 2g(x)＋(k －1)x.(1) 若g(log 2x)＝x ＋1，且f(x)为偶函数，求实数k 的值；(2) 当k ＝1，g(x)＝ax 2＋(a ＋1)x ＋a 时，若函数f(x)的值域为R ，求实数a 的取值范围．11. 已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a .(1) 当a ＝1时，解不等式f (x )>1；(2) 若关于x 的方程f (x )＋log 2x 2＝0的解集中恰有一个元素，求a 的值；(3) 设a >0，若对任意的t ∈⎣⎡⎦⎤12，1，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．B. 滚动小练1. 已知函数y ＝1＋x 1－x＋lg (3－4x ＋x 2)的定义域为M. (1) 求M ；(2) 当x ∈M 时，求f(x)＝a·2x ＋2＋3·4x (a>－3)的最小值．2. 已知函数f(x)＝22x －7－a 4x －1(a>0且a ≠1)．(1) 当a ＝22时，求不等式f(x)<0的解集；(2) 当x∈[0，1]时，f(x)<0恒成立，求实数a的取值范围．第13课 幂函数、函数与方程A. 课时精练一、 填空题1. 如图所示是幂函数y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象，则m ，n 的取值范围分别是________和________．(第1题)2. 方程log 12x ＝－x ＋1的根的个数是________．3. 若幂函数的图象经过点⎝⎛⎭⎫2，14，则它的单调增区间是________．4. 函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －3，x ≤0，－2＋ln x ，x>0的零点个数为________．5. 已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x>0，2x ，x ≤0，且关于x 的方程f(x)＋x －a ＝0有且只有一个实数根，那么实数a 的取值范围是________．6. 已知函数g(x)＝log a (x －3)＋2(a>0，a ≠1)的图象经过定点M ，若幂函数f(x)＝x a 的图象经过点M ，则a 的值为________．7. (2018·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x ≤0，ln x ，x>0，g(x)＝f(x)＋x ＋a.若g(x)存在2个零点，则a 的取值范围是________．8. (2018·海安、南外、金陵中学三校联考)已知关于x 的方程x 2－6x ＋(a －2)|x －3|－2a ＋9＝0有两个不同的实数根，那么实数a 的取值范围是________．二、 解答题9. 已知f(x)是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2－2x .(1) 写出函数f (x )的解析式；(2) 若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求实数a 的取值范围．10. 若函数f(x)＝4x ＋a·2x ＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a 的取值范围．11. 已知函数f(x)＝3ax 2－2(a ＋c)x ＋c(a>0，a ，c ∈R )．(1) 设a >c >0，若f (x )>c 2－2c ＋a 对x ∈[1，＋∞)恒成立，求c 的取值范围； (2) 试问：函数f (x )在区间(0，1)内是否有零点，有几个零点？并说明理由．B. 滚动小练1. 由命题“存在x ∈R ，使得e |x －1|－m ≤0”是假命题，得m 的取值范围是(－∞，a )，则实数a 的值是________．2. 已知f(x)为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (－1)＝________．3. 已知函数f(x)的定义域是(0，＋∞)，对于任意的正实数m ，n 恒有f(mn)＝f(m)＋f(n)，且当x>1时，f(x)>0，f(2)＝1.(1) 求f ⎝⎛⎭⎫12的值；(2) 求证：f(x)在(0，＋∞)上是单调增函数．第14课 函数模型及其应用A. 课时精练一、 填空题1. 将进货价格为8元/个的商品按10元/个销售，每天可卖出100个．若每个商品涨价1元，则日销售量减少10个．为了获得最大利润，此商品当日销售价格应定为每个________元．2. 根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：min )为f(x)＝⎩⎨⎧cx，x<a ，ca ，x ≥a(a ，c为常数)．已知该名工人组装第4件产品用时30 min ，组装第a 件产品用时15 min ，那么c 和a 的值分别是________和________．3. 为了促进资源节约型和环境友好型社会建设，引导居民合理用电、节约用电，北京居民生活用电试行阶梯电价．其电价标准如下表：用户 类别 分档电量 (kW ·h /户·月)电价标准 (元/kW ·h )试行阶梯电 价的用户 一档 1～240(含) 0.488 3 二档 241～400(含) 0.538 3 三档400以上0.788 3若北京市某户居民2019年1月的平均电费为0.498 3元/kW ·h ，则该用户1月份的用电量为________．4. 已知有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，那么围成场地的最大面积为________．(围墙厚度不计)(第4题)5. 某工厂生产的A 种产品进入商场销售，商场为吸引厂家第一年免收管理费，因此第一年A 种产品定价为每件70元，年销售量为11.8万件，从第二年开始，商场对A 种产品征收销售额的x%的管理费(即销售100元要征收x 元)，于是该产品定价每件比第一年增加了70·x%1－x%元，预计年销售量减少x 万件，要使商场第二年在A 种产品经营中收取的管理费不少于14万元， 则x 的最大值是________．6. 某食品的保鲜时间y(单位：h )与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (k ，b 为常数)．若该食品在0℃的保鲜时间是192h，在22℃的保鲜时间是48h，则该食品在33℃的保鲜时间是________h.7. 某高校为了提升科研能力，计划逐年加大科研经费投入．若该高校2017年全年投入科研经费1 300万元，在此基础上，每年投入的科研经费比上一年增长12%，则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是________年．(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)8.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆该种品牌车，则能获得的最大利润为________．二、解答题9. 食品安全问题越来越引起人们的重视，农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一定的危害，为了给消费者带来放心的蔬菜，某农村合作社每年投入200万元，搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚，每个大棚至少要投入20万元，其中甲大棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P(单位：万元)、种黄瓜的年收入Q(单位：万元)与投入a(单位：万元)满足P＝80＋42a，Q＝14a＋120.设甲大棚的投入为x(单位：万元)，每年两个大棚的总收益为f(x)(单位：万元)．(1) 求f(50)的值；(2) 试问如何安排甲、乙两个大棚的投入，才能使总收益f(x)最大？10. (2018·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调)将一铁块高温熔化后制成一张厚度忽略不计、面积为100 dm2的矩形薄铁皮，如图所示，并沿虚线l1，l2裁剪成A，B，C三个矩形(B，C全等)，用来制成一个柱体．现有以下两种方案：方案①：以l1为母线，将A作为圆柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个圆形作为圆柱的两个底面；方案②：以l1为侧棱，将A作为正四棱柱的侧面展开图，并从B，C中各裁剪出一个正方形(各边分别与l1或l2垂直)作为正四棱柱的两个底面．(1) 设B，C都是正方形，且其内切圆恰为按方案①制成的圆柱的底面，求底面的半径；(2) 设l1的长为x dm，则当x为多少时，能使按方案②制成的正四棱柱的体积最大？(第10题)11. (2018·姜堰、溧阳、前黄中学4月联考)经科学研究证实，二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对A市每年的碳排放总量规定不能超过550万吨，否则将采取紧急限排措施．已知A市2017年的碳排放总量为400万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少10%.同时，因经济发展和人口增加等因素，每年又新增加碳排放量m万吨(m>0)．(1) 求A市2019年的碳排放总量(用含m的式子表示)；(2) 若A市永远不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．。
2020年高考江苏版高考数学 2.2 函数的基本性质
个最小的正数就叫做f(x)的最小正周期. 2.由周期函数的定义得: (1)若函数f(x)满足f(x+a)=f(x-a)(a≠0),则f(x)为周期函数,T=2|a|; (2)若函数f(x)满足f(x+a)=f(a-x)(a≠0)且f(x)为奇函数,则f(x)为周期函数,
T=4|a|; (3)若函数f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a≠0),则f(x)为周期函数,T=2|a|;
x x
又f(x)为奇函数,所以f(x)=-f(-x)=-x2+ 1 (x<0),
x
所以f(-1)=-2.
解法二:当x>0时, f(x)=x2+ 1 ,
x
所以f(1)=12+ 1 =2.
1
因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2.
答案 -2
例3 (2017山东,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).
考向突破 考向一 由奇偶性求参数的值
例1 (2019届江苏徐州三中检测)若f(x)= 2x11+a是奇函数,则a=
.
解析 因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即 2x11+a= 2x11 -a,化简得2a= 1,解得a= 1 .
2
答案 1
2
考向二 由奇偶性(周期性)求函数值
又∵f(x)是偶函数且在[0,+∞)上单调递减,
∴f(|x-1|)>f(2).
∴|x-1|<2,∴-2<x-1<2.∴-1<x<3. 答案 (1)(8,9] (2)(-1,3)
方法二 利用单调性求最值的策略
先确定函数的单调性,然后根据单调性求解最值.若函数f(x)在闭区,b]上的最大值为f(b),最小值为f(a).若函数f(x)在
2020版高考江苏数学大一轮精准复习精练：2.2 函数的基本性质 Word版含解析
2.2 函数的基本性质挖命题 【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例 考向 关联考点函数的奇偶性与周期性1.函数奇偶性的判断2.函数奇偶性的运用3.函数周期性的判断与应用★★☆函数的单调性与最值1.函数单调性的判断2.函数单调性的运用3.求函数的最大值、最小值★★☆分析解读 函数的基本性质是研究函数的基础,是高考的重点和热点.通常会考查函数的单调性及其应用,填空和解答题都会涉及.对于奇偶性,则会结合单调性和周期性一起进行考查.破考点 【考点集训】考点一 函数的奇偶性与周期性1.(2019届江苏宝应中学检测)已知f(x)为定义在R 上的奇函数,当x ≥0时, f(x)=2x+m,则f(-2)= . 答案 -32.已知函数f(x)=(m-2)x 2+(m-1)x+3是偶函数,则实数m 的值为 . 答案 13.(2018江苏盐城上学期期中,11)设函数f(x)是以4为周期的奇函数,当x ∈[-1,0)时, f(x)=2x,则f(log 220)= . 答案 -45考点二 函数的单调性与最值1.若函数f(x)=(2a-1)x+b 是R 上的减函数,则a 的取值范围为 . 答案 (-∞,12)2.(2018江苏南通中学高三数学练习)已知函数f(x)={a x ,x <0,(a -3)x +4a,x ≥0满足对任意x 1≠x 2,都有f(x 1)-f(x 2)x 1-x 2<0成立,则a 的取值范围是 .答案 0<a ≤143.(2019届江苏扬州中学检测)函数f(x)={1x,x≥1,-x 2+2,x <1的最大值为 .答案 24.若函数f(x)=1x在区间[2,a]上的最大值与最小值的和为34,则a= . 答案 4炼技法 【方法集训】方法一 用单调性求解与抽象函数有关的不等式的策略1.(2018江苏南京高三年级学情调研)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,且在(-∞,0]上为单调增函数.若f(-1)=-2,则满足f(2x-3)≤2的x 的取值范围是 . 答案 x ≤22.已知函数f(x)为区间[-1,1]上的增函数,则满足f(x)<f (12)的实数x 的取值范围为 . 答案 [-1,12)方法二 利用单调性求最值的策略1.(2019届江苏南京外国语学校检测)设函数f(x)=2xx -2在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M,m,则m 2M= .答案832.函数f(x)=2x -1在[-2,0]上的最大值与最小值之差为 .答案43方法三 已知函数奇偶性求参数(求值)1.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,并且f(x+2)=-1f(x),当2≤x ≤3时, f(x)=x,则f(105.5)= .答案 2.52.(2019届江苏启东中学检测)已知函数f(x)={x -1,0<x ≤2,-1,-2≤x ≤0,若g(x)=f(x)+ax,x ∈[-2,2]为偶函数,则实数a= .。
2020版江苏省高考文科数学二轮专题复习讲义：专题一 第2讲 函数的概念、图象与性质
第2讲函数的概念、图象与性质[2019考向导航]1．必记的概念与定理(1)若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．(2)单调性：利用定义证明函数的单调性时，规范步骤为取值、作差、判断符号、下结论．由几个函数构成的函数的单调性遵循“同增异减”的原则．(3)奇偶性：奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域区间上具有相同的单调性．(4)周期性：周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f(x＋T)＝f(x)(T≠0)，由函数周期性的定义可知T是函数的一个周期；应注意nT(n∈Z且n≠0)也是函数的周期．2．记住几个常用的公式与结论图象变换规则(1)水平平移：y＝f(x±a)(a>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向左(＋)或向右(－)平移a个单位而得到．(2)竖直平移：y＝f(x)±b(b>0)的图象，可由y＝f(x)的图象向上(＋)或向下(－)平移b个单位而得到．(3)y＝f(－x)与y＝f(x)的图象关于y轴对称．(4)y＝－f(x)与y＝f(x)的图象关于x轴对称．(5)y＝－f(－x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．(6)要得到y＝|f(x)|的图象，可将y＝f(x)的图象在x轴下方的部分以x轴为对称轴翻折到x轴上方，其余部分不变．(7)要得到y ＝f (|x |)的图象，可将y ＝f (x )，x ≥0的部分作出，再利用偶函数的图象关于y 轴的对称性，作出x ＜0时的图象．(8)若奇函数f (x )在x ＝0处有定义，则f (0)＝0．(9)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称；反之亦然；利用奇函数的图象关于原点对称可知，奇函数在原点两侧的对称区间上的单调性相同；利用偶函数的图象关于y 轴对称可知，偶函数在原点两侧的对称区间上的单调性相反．3．需要关注的易错易混点(1)在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值集合的并集．(2)从定义上看，函数的单调性是指函数在定义域的某个子区间上的性质，是局部的特征．在某个区间上单调，在整个定义域上不一定单调．(3)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，也不能用“或”联结．(4)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件．函数及其表示 [典型例题](1)(2019·高考江苏卷)函数y ＝7＋6x －x 2的定义域是________．(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，－x 2＋1，x >0的值域为________．(1)要使函数有意义，则7＋6x －x 2≥0，解得－1≤x ≤7，则函数的定义域是[－1，7]． (2)当x ≤0时，函数f (x )＝2x 单调递增，此时函数f (x )的值域为(0，1]；当x >0时，函数f (x )＝－x 2＋1单调递减，此时函数f (x )的值域为(－∞，1)．故函数f (x )的值域为(－∞，1]．【答案】 (1)[－1，7] (2)(－∞，1]函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的组成部分，研究函数问题必须树立“定义域优先”的观念．求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴．[对点训练]1．(2018·高考江苏卷)函数f (x )＝log 2x －1的定义域为________．[详细分析] 要使函数f (x )有意义，则log 2x －1≥0，即x ≥2，则函数f (x )的定义域是[2，＋∞)．[答案] [2，＋∞)2．(2019·南京四校第一学期联考)函数f (x )＝x 2－5x ＋6lg （2x －3）的定义域为________．[详细分析] 要使f (x )有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧2x －3＞0lg （2x －3）≠0x 2－5x ＋6≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＞32x ≠2x ≥3或x ≤2，所以函数f (x )的定义域为⎝⎛⎭⎫32，2∪[3，＋∞)．[答案] ⎝⎛⎭⎫32，2∪[3，＋∞)函数的图象及应用[典型例题](1)函数f (x )＝e xx的图象大致为________．(2)(2019·镇江市高三调研考试)已知函数y ＝2x ＋12x ＋1与函数y ＝x ＋1x 的图象共有k (k ∈N *)个公共点：A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，…，A k (x k ，y k )，则∑i ＝1k(x i ＋y i )＝________．(1)由f (x )＝e xx ，可得f ′(x )＝x e x－e xx 2＝（x －1）e xx 2，则当x ∈(－∞，0)和x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减；当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增．又当x <0时，f (x )<0，故②正确．(2)函数y ＝f (x )＝2x ＋12x ＋1满足f (x )＋f (－x )＝2，则函数f (x )的图象关于点(0，1)对称，且f (x )在R 上单调递增，所以f (x )∈(0，2)．又函数y ＝x ＋1x 的图象也关于点(0，1)对称，且在(0，＋∞)和(－∞，0)上单调递减，画出两函数的大致图象如图所示，所以两个函数的图象共有2个公共点，A 1(x 1，y 1)，A 2(x 2，y 2)，且这两个交点关于点(0，1)对称，则∑i ＝12(x i ＋y i )＝x 1＋x 2＋y 1＋y 2＝2．【答案】 (1)② (2)2(1)利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域；上下范围对应值域；上升、下降趋势对应单调性；对称性对应奇偶性．(2)有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的图象交点个数问题；利用此法也可由解的个数求参数值．[对点训练]3．如图，函数f (x )的图象是曲线OAB ，其中点O ，A ，B 的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则f ⎝⎛⎭⎫1f （3）的值等于________．[详细分析] 因为由图象知f (3)＝1，所以1f （3）＝1．所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1f （3）＝f (1)＝2．[答案] 2函数的性质 [典型例题](1)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于________．(2)(2019·泰州模拟)设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），f （x ）≤k ，k ，f （x ）＞k ，取函数f (x )＝2－|x |．当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为______．(1)f (x )＝2·（2|x |＋1）＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，因为g (－x )＝－g (x )，所以g (x )为奇函数，所以g (x )max ＋g (x )min ＝0．因为M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ， 所以M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4．(2)由f (x )>12，得－1<x <1．由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1．所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ≥1，12，－1＜x ＜1，2x，x ≤－1．故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．【答案】 (1)4 (2)(－∞，－1)(1)求函数的单调区间的常用方法①利用已知初等函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间． ②定义法：先求定义域，再利用单调性定义求解．③图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．④导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．(2)函数奇偶性与单调性分别是函数整体与局部的性质，它们往往在研究函数中“并驾”而行，解题时往往先通过函数奇偶性进行变形，再利用单调性求解．[对点训练]4．已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0．若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________． [详细分析] 因为f (x )是偶函数，所以图象关于y 轴对称．又f (2)＝0，且f (x )在[0，＋∞)单调递减，则f (x )的大致图象如图所示，由f (x －1)>0，得－2<x －1<2，即－1<x <3．[答案] (－1，3)分段函数 [典型例题](2018·高考江苏卷)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，且在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________． 因为函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R )，所以函数f (x )的最小正周期是4．因为在区间(－2，2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2．⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，所以f (f (15))＝f (f (－1))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22． 【答案】22求分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解+析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解+析式分别求解，但要注意检验所求自变量值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．[对点训练]5． (2019·江苏省高考名校联考(三))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋x ，x ≥0，－ax 2＋x ，x ＜0，当x ∈⎣⎡⎦⎤－14，14时，恒有f (x ＋a )＜f (x )，则实数a 的取值范围是________．[详细分析] 显然a ≠0，故考虑a ＞0和a ＜0两种情形．①当a ＞0时，画图知，函数f (x )在R 上单调递增，故f (x ＋a )＞f (x )，不符合题意；②当a ＜0时，此时f (x )的图象如图所示，由于不等式f (x ＋a )＜f (x )中两个函数值对应的自变量相差为－a ，因此用弦长为－a 的线段“削峰填谷”，可得⎣⎡⎦⎤－14，14⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＋－a 2，－12a ＋－a 2，即12a －a 2＜－14，即2a 2－a －2＜0，解得1－174＜a ＜0．[答案] ⎝⎛⎭⎪⎫1－174，06．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R ．若f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫92，则f (5a )的值是________． [详细分析] 由题意可得f ⎝⎛⎭⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝－12＋a ，f ⎝⎛⎭⎫92＝f ⎝⎛⎭⎫12＝⎪⎪⎪⎪25－12＝110，则－12＋a ＝110，a ＝35，故f (5a )＝f (3)＝f (－1)＝－1＋35＝－25． [答案] －251．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a ＝________．[详细分析] 由题意知，f (0)＝20＋1＝2，则f [f (0)]＝f (2)＝4＋2a ，即4＋2a ＝4a ，所以a ＝2．[答案] 22．(2019·江苏省六市高三调研)函数f (x )＝lg （5－x 2）的定义域是________．[详细分析] 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧lg （5－x 2）≥0，5－x 2＞0，解得－2≤x ≤2，所以所求函数的定义域为[－2，2]．[答案] [－2，2]3．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． [详细分析] 因为f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1，2a ]上的偶函数， 所以a －1＋2a ＝0，所以a ＝13．又f (－x )＝f (x )，所以b ＝0，所以a ＋b ＝13．[答案] 134．若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (x )＝________． [详细分析] 由题意知2f (x )－f (－x )＝3x ＋1．① 将①中x 换为－x ，则有2f (－x )－f (x )＝－3x ＋1．②①×2＋②得3f (x )＝3x ＋3，即f (x )＝x ＋1． [答案] x ＋15．(2019·江苏省高考名校联考信息(八))已知a ∈R ，函数f (x )＝a －24x＋1的图象经过点A ⎝⎛⎭⎫12，13，则关于x 的不等式f (x 2＋x )＋f (x －8)<0的解集为______． [详细分析] 因为函数f (x )＝a －24x ＋1的图象经过点A (12，13)，所以f (12)＝a －23＝13，解得a＝1，所以f (x )＝1－24x ＋1＝4x －14x ＋1，易知函数f (x )是R 上的增函数．又f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是R 上的奇函数，所以关于x 的不等式f (x 2＋x )＋f (x －8)<0可转化为f (x 2＋x )<f (8－x )，所以x 2＋x <8－x ，即x 2＋2x －8<0，解得－4<x <2．[答案] －4<x <26．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知定义在[0，＋∞)上的函数f (x )满足f (x )＝12f (x ＋2)，且当x ∈[0，2)时，f (x )＝x 2＋1，则log 2 f (8)＝______．[详细分析] 由题意得f (x ＋2)＝2f (x )，所以f (8)＝2f (6)＝4f (4)＝8f (2)＝16f (0)＝16，所以log 2f (8)＝log 216＝4．[答案] 47．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于________．[详细分析] 由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2， 当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2．因为f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数． 所以f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6． [答案] 68．(2019·江苏省高考名校联考(一))已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x 2－x ＋2，x ＞0，2，x ≤0，则不等式f (－x 2－1)≤f (－x 2＋5x )的解集为________．[详细分析] 因为－x 2－1≤－1＜0，所以f (－x 2－1)＝2，当－x 2＋5x ≤0时，f (－x 2－1)＝f (－x 2＋5x )＝2，原不等式成立，此时，x ≥5或x ≤0；当－x 2＋5x ＞0时，则需f (－x 2＋5x )≥2，即14(－x 2＋5x )2－(－x 2＋5x )＋2≥2，－x 2＋5x ≥4，得1≤x ≤4．故原不等式的解集为(－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)．[答案] (－∞，0]∪[1，4]∪[5，＋∞)9．(2019·江苏省高考名校联考(五))已知函数y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－mx (m ∈R )．若函数y ＝f (x )在区间(－2，1)上单调递减，则实数m 的最小值为________．[详细分析] 当x ＞0时，f (x )＝x 2－mx ＝⎝⎛⎭⎫x －m 22－m24，所以当m ≤0时，函数y ＝f (x )在区间(－2，1)上不可能单调递减，所以不满足条件；当m ＞0时，根据函数的图象可知，函数y ＝f (x )在⎝⎛⎭⎫－m 2，m 2上单调递减，所以⎩⎨⎧－m2≤－2，m2≥1，即m ≥4，所以实数m 的最小值为4． [答案] 410．如图，长方形ABCD 的边AB ＝2，BC ＝1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ，CD 与DA 运动，记∠BOP ＝x ．将动点P 到A ，B 两点距离之和表示为x 的函数f (x )，则y ＝f (x )的图象大致为________(填序号)．[详细分析] 当x ∈[0，π4]时，f (x )＝tan x ＋4＋tan 2x ，图象不会是直线段，从而排除①，③．当x ∈[π4，3π4]时，f (π4)＝f (3π4)＝1＋5，f (π2)＝22．因为22＜1＋5，所以f (π2)＜f (π4)＝f (3π4)，从而排除④．[答案] ②11．若函数f (x )＝xax ＋b (a ≠0)，f (2)＝1，又方程f (x )＝x 有唯一解，求f (x )的解+析式．[解] 由f (2)＝1得22a ＋b ＝1，即2a ＋b ＝2；由f (x )＝x 得x ax ＋b ＝x ，变形得x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ax ＋b －1＝0，解此方程得x ＝0或x ＝1－ba ，又因方程有唯一解，故1－ba ＝0，解得b ＝1，代入2a ＋b ＝2得a ＝12，所以f (x )＝2xx ＋2．12．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)． (1)若f (x )的图象如图(1)所示，求a ，b 的值； (2)若f (x )的图象如图(2)所示，求a 、b 的取值范围；(3)在(1)中，若|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解，求出m 的范围．[解] (1)f (x )的图象过点(2，0)，(0，－2)， 所以a 2＋b ＝0，a 0＋b ＝－2， 解得a ＝3，b ＝－3．(2)由题图(2)知，f (x )单调递减，所以0<a <1， 又f (0)<0，即a 0＋b <0，所以b <－1．(3)画出y ＝|f (x )|的草图，如图所示，知当m ＝0或m ≥3时，|f (x )|＝m 有且仅有一个实数解．13．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R 且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为f (x )＝e x －e －x ，且y ＝e x 是增函数，y ＝－e －x 是增函数，所以f (x )是增函数．由于f (x )的定义域为R ，且f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数．(2)由(1)知f (x )是增函数且是奇函数，所以f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 恒成立，f (x 2－t 2)≥f (t －x )对一切x ∈R 恒成立，x 2－t 2≥t －x 对一切x ∈R 恒成立，t 2＋t ≤x 2＋x 对一切x ∈R恒成立，t 2＋t ≤(x 2＋x )min 对一切x ∈R 恒成立，即t 2＋t ≤－14，(2t ＋1)2≤0，所以t ＝－12． 即存在实数t ＝－12，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立． 14．(2019·扬州模拟)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )．(1)求f (2 016)的值；(2)求证：函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称；(3)若f (x )在区间[0，2]上是增函数，试比较f (－25)，f (11)，f (80)的大小．[解] (1)因为f (x －4)＝－f (x )，所以f (x )＝－f (x －4)＝－{－f [(x －4)－4]}＝f (x －8)，知函数f (x )的周期为T ＝8．所以f (2 016)＝f (252×8)＝f (0)．又f (x )为定义在R 上的奇函数．所以f (0)＝0，故f (2 016)＝0．(2)证明：因为f (x )＝－f (x －4)，所以f(x＋2)＝－f[(x＋2)－4]＝－f(x－2)＝f(2－x)，即f(2＋x)＝f(2－x)成立．故函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．(3)由(1)知f(x)是以8为周期的周期函数，所以f(－25)＝f[(－3)×8－1]＝f(－1)，f(11)＝f(8＋3)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(10×8＋0)＝f(0)．又f(x)在[0，2]上是增函数，且f(x)在R上为奇函数，所以f(x)在[－2，2]上为增函数，则有f(－1)<f(0)<f(1)，即f(－25)<f(80)<f(11)．。
2020高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2-9函数模型及其应用教师用书理苏教
【2019最新】精选高考数学大一轮复习第二章函数概念与基本初等函数I2-9函数模型及其应用教师用书理苏教1.几类函数模型2.1.解函数应用题的步骤2.“对勾”函数形如f(x)＝x＋(a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型：(1)该函数在(－∞，－]和[，＋∞)上单调递增，在[－，0)和(0，]上单调递减.(2)当x>0时，x ＝时取最小值2，当x<0时，x ＝－时取最大值－2.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)某种商品进价为每件100元，按进价增加25%出售，后因库存积压降价，若按九折出售，则每件还能获利.( √ )(2)幂函数增长比直线增长更快.( × )(3)不存在x0，使<<logax0.( × )0x a 0n x (4)在(0，＋∞)上，随着x 的增大，y ＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y ＝xa(a>0)的增长速度.( √ )(5)“指数爆炸”是指数型函数y ＝a·bx＋c(a≠0，b>0，b≠1)增长速度越来越快的形象比喻.( × )1.(教材改编)某商人将彩电先按原价提高40%，然后“八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚270元，那么每台彩电原价是________元.答案 2 250解析 设每台原价是a 元，则a(1＋40%)·80%＝a ＋270，解得a ＝2 250.2.(教材改编)某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y(千克)与流出时间x(分钟)之间的函数关系式为________.答案 y ＝22－x(0≤x≤200)解析 流速为＝，x 分钟可流x ，则y ＝22－x(0≤x≤200).3.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为________________.答案 －1解析 设年平均增长率为x ，则(1＋x)2＝(1＋p)(1＋q)，∴x＝－1.4.用长度为24的材料围一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.答案 3解析 设隔墙的长度为x(0<x<6)，矩形面积为y ，则y ＝x×＝2x(6－x)＝－2(x －3)2＋18，∴当x ＝3时，y 最大.5.(教材改编)有两个相同的桶，由甲桶向乙桶输水，开始时，甲桶有a L 水，t min 后，剩余水y L 满足函数关系y ＝ae －nt ，那么乙桶的水就是y ＝a －ae －nt ，假设经过5 min ，甲桶和乙桶的水相等，则再过________ min ，甲桶中的水只有 L.答案 10解析 由题意可得，5 min 时，ae －5n ＝a ，n ＝ln 2，那么＝a ，∴t＝15，即再过10 min ，甲桶中的水只有 L.ln 25et a题型一 用函数图象刻画变化过程例1 某民营企业生产A 、B 两种产品，根据市场调查和预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图①所示；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图②所示(单位：万元).分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式.解 设投资为x 万元，A 产品的利润为f(x)万元，B 产品的利润为g(x)万元. 由题意设f(x)＝k1x(x≥0)，g(x)＝k2(x≥0).由图①知f(1)＝，∴k1＝.由图②知g(4)＝，∴k2＝.∴f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝(x≥0).思维升华 判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象.(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式.其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月(30天)的通话时间x(min)与通话费y(元)的关系如图所示.(1)分别求出通话费y1、y2与通话时间x之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜.解(1)设y1＝k1x＋29，y2＝k2x，把点B(300,35)，C(300，15)分别代入得k1＝，k2＝.∴y1＝x＋29，y2＝x.(2)令y1＝y2，即x＋29＝x，得x＝966.当x＝966时，两种卡收费一致；当x＜966时，y1＞y2，即“如意卡”便宜；当x＞966时，y1＜y2，即“便民卡”便宜.题型二已知函数模型的实际问题例2 我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米2(W/m2)表示，但在实际测量时，声音的强度水平常用L1表示，它们满足以下公式：L1＝10 lg(单位为分贝，L1≥0，其中I0＝1×10－12，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题：(1)树叶沙沙声的强度是1×10－12 W/m2，耳语的强度是1×10－10 W/m2，恬静的无线电广播的强度是1×10－8 W/m2，试分别求出它们的强度水平；(2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在50分贝以下，试求声音强度I的范围为多少？解(1)由题意知树叶沙沙声的强度水平为L2＝10 lg＝10 lg 1＝0(分贝)；耳语的强度水平为L3＝10 lg ＝10 lg102＝20(分贝)；恬静的无线电广播的强度水平为L4＝10 lg ＝10lg 104＝40(分贝).(2)由题意知0≤L1<50，即0≤10lg <50，所以1≤<105，即1×10－12≤I<1×10－7.所以新建的安静小区的声音强度I大于等于1×10－12 W/m2，同时小于1×10－7 W/m2.思维升华求解所给函数模型解决实际问题的关注点(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该模型求解实际问题.(1)某航空公司规定，乘飞机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)由如图的一次函数图象确定，那么乘客可免费携带行李的质量最大为________kg.(2)我国为了加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外，还征收附加税.已知某种酒每瓶售价为70元，不收附加税时，每年大约销售100万瓶；若每销售100元国家要征附加税x元(叫做税率x%)，则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为________.答案(1)19 (2)2解析(1)由图象可求得一次函数的解析式为y＝30x－570，令30x－570＝0，解得x ＝19.(2)由分析可知，每年此项经营中所收取的附加税额为104·(100－10x)·70·，令104·(100－10x)·70·≥112×104，解得2≤x≤8.故x的最小值为2.题型三构造函数模型的实际问题命题点1 构造二次函数模型例3 将出货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定________元.答案95解析设每个售价定为x元，则利润y＝(x－80)·[400－(x－90)·20]＝－20[(x－95)2－225].∴当x＝95时，y最大.命题点2 构造指数函数、对数函数模型例4 光线通过一块玻璃，强度要损失10%.设光线原来的强度为k，通过x块这样的玻璃以后强度为y.(1)写出y关于x的函数解析式；(2)至少通过多少块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下？(参考数据：lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解(1)光线通过1块玻璃后，强度y＝(1－10%)k＝0.9k；光线通过2块玻璃后，强度y＝(1－10%)·0.9k＝0.92k；光线通过3块玻璃后，强度y＝(1－10%)·0.92k＝0.93k；……光线通过x块玻璃后，强度y＝0.9xk.故y关于x的函数解析式为y＝0.9xk(x∈N*).(2)由题意，得0.9xk<，即0.9x<，两边取对数，得xlg 0.9<lg.因为lg 0.9<0，所以x>.又＝＝＝≈13.14，且x∈N*，所以xmin＝14.故至少通过14块这样的玻璃，光线强度能减弱到原来的以下.命题点3 构造分段函数模型例5 (2017·盐城质检)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/小时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数.(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；(2)当车流密度x 为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时)f(x)＝x·v(x)可以达到最大，并求出最大值.(精确到1辆/小时)解 (1)由题意可知当0≤x<20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax ＋b ，显然v(x)＝ax ＋b 在[20,200]上是减函数，由已知得解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－13，b ＝2003，故函数v(x)的表达式为v(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60， 0≤x<20，13－， 20≤x≤200.(2)依题意并由(1)可得f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 60x ， 0≤x<20，13－， 20≤x≤200，当0≤x<20时，f(x)为增函数，故当x ＝20时，其最大值为60×20＝1 200；当20≤x≤200时，f(x)＝x(200－x)≤[]2＝，当且仅当x ＝200－x ，即x ＝100时，等号成立，所以，当x ＝100时，f(x)在区间[20,200]上取得最大值.综上，当x ＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约3 333辆/小时. 思维升华 构建数学模型解决实际问题，要正确理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系，将文字语言转化成数学语言，建立适当的函数模型，求解过程中不要忽略实际问题对变量的限制.(1)一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/mL ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/mL ，那么，此人至少经过________小时才能开车.(精确到1小时)(2)大学毕业生小赵想开一家服装专卖店，经过预算，该门面需要装修费为20 000元，每天需要房租、水电等费用100元，受经营信誉度、销售季节等因素的影响，专卖店销售总收益R 与门面经营天数x 的关系是R(x)＝则总利润最大时，该门面经营的天数是________.答案 (1)5 (2)300解析 (1)设经过x 小时才能开车.由题意得0.3(1－25%)x≤0.09，∴0.75x≤0.3，x≥log0.750.3≈4.19.∴x 最小为5.(2)由题意，总利润y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 400x －12x2－100x －，60 000－，当0≤x≤400时，y ＝－(x －300)2＋25 000，所以x ＝300时，ymax ＝25 000，当x>400时，y ＝60 000－100x<20 000，综上，当该门面经营的天数为300时，总利润最大为25 000元.2.函数应用问题典例 (14分)已知美国某手机品牌公司生产某款手机的年固定成本为40万美元，每生产1万部还需另投入16万美元.设公司一年内共生产该款手机x 万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万美元，且R(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 400－6x ，0<x≤40，7 400x －40 000x2，x>40.(1)写出年利润W(万美元)关于年产量x(万部)的函数解析式；(2)当年产量为多少万部时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.思维点拨根据题意，要利用分段函数求最大利润.列出解析式后，比较二次函数和“对勾”函数的最值的结论.规范解答解(1)当0<x≤40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－6x2＋384x－40，[3分]当x>40时，W＝xR(x)－(16x＋40)＝－－16x＋7 360.所以W＝[5分](2)①当0<x≤40时，W＝－6(x－32)2＋6 104，所以Wmax＝W(32)＝6 104；[8分]②当x>40时，W＝－－16x＋7 360，由于＋16x≥2＝1 600，当且仅当＝16x，即x＝50∈(40，＋∞)时，取等号，所以W取最大值为5 760. [12分]综合①②知，当x＝32时，W取得最大值6 104万美元. [14分]解函数应用题的一般程序第一步：(审题)弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步：(建模)将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步：(解模)求解数学模型，得到数学结论；第四步：(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步：(反思)对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.1.某商品定价为每件60元，不加收附加税时年销售量约80万件，若征收附加税，税率为p，且年销售量将减少p万件.则每年征收的税金y关于税率p的函数关系为________.答案 y ＝60(80－p)p解析 征收附加税后年销售为(80－p)万件，故每年征收的税金y ＝60(80－p)p.2.某工厂6年来生产某种产品的情况是：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变，则该厂6年来这种产品的总产量C 与时间t(年)的函数关系图象正确的是________.答案 ①解析 前3年年产量的增长速度越来越快，说明呈高速增长，只有①，③图象符合要求，而后3年年产量保持不变.3.(教材改编)某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.答案 9解析 出租车行驶不超过3 km ，付费9元；出租车行驶8 km ，付费9＋2.15×(8－3)＝19.75元.现某人乘坐一次出租车付费22.6元，故出租车行驶里程超过8 km ，且22.6－19.75＝2.85，所以此次出租车行驶了8＋1＝9 km.4.(2017·盐城月考)某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m3的，超过部分加倍收费.某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为________ m3.答案 13解析 设该职工用水x m3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ ，10m ＋－，则10m ＋(x －10)·2m＝16m ，解得x ＝13.5.(2016·北京××区统一考试)设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100，x∈N*)人去进行新开发的产品B 的生产.分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是________.答案 16解析 由题意，分流前每年创造的产值为100t(万元)， 分流x 人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t ，则由⎩⎪⎨⎪⎧0<x<100，x∈N*，－＋，解得0<x≤.因为x∈N*，所以x 的最大值为16.6.(2016·南通模拟)某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x －0.1x2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是________万元.答案 43解析 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x ＋32＝－0.1(x －)2＋0.1×＋32.因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元.7.(2016·四川改编)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是________年.(参考数据：lg1.12≈0.05，lg 1.3≈0.11，lg 2≈0.30)答案 2019解析 设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元，由题可知，130(1＋12%)x ＝200，解得x ＝log1.12＝≈3.80，因资金需超过200万，则x 取4，即2019年.8.(2016·苏州模拟)某种病毒经30分钟繁殖为原来的2倍，且知病毒的繁殖规律为y＝ekt(其中k为常数，t表示时间，单位：小时，y表示病毒个数)，则k＝__________，经过5小时，1个病毒能繁殖为________个.答案2ln 2 1 024解析当t＝0.5时，y＝2，∴2＝，1 2 e k∴k＝2ln 2，∴y＝e2tln 2，当t＝5时，y＝e10ln 2＝210＝1 024.9.(2016·淮安模拟)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________m.答案20解析设内接矩形另一边长为y，则由相似三角形性质可得＝，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0<x<40)，当x＝20时，Smax＝400. *10.商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格，即根据商品的最低销售限价a，最高销售限价b(b>a)以及实数x(0<x<1)确定实际销售价格c＝a＋x(b－a).这里，x被称为乐观系数.经验表明，最佳乐观系数x恰好使得(c－a)是(b－c)和(b－a)的等比中项.据此可得，最佳乐观系数x的值等于________.答案5－12解析依题意得x＝，(c－a)2＝(b－c)(b－a)，∵b－c＝(b－a)－(c－a)，∴(c－a)2＝(b－a)2－(b－a)(c－a)，两边同除以(b－a)2，得x2＋x－1＝0，解得x＝.∵0<x<1，∴x＝.11.候鸟每年都要随季节的变化而进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v(单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为v ＝a ＋blog3(其中a 、b 是实数).据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a 、b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于 2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解 (1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋blog3＝0，即a ＋b ＝0；当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋blog3＝1，整理得a ＋2b＝1.解方程组得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.(2)由(1)知，v ＝－1＋log3.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v≥2，即－1＋log3≥2，即log3≥3，解得Q≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位.12.经市场调查，某种商品在过去50天的销售量和价格均为销售时间t(天)的函数，且销售量近似地满足f(t)＝－2t ＋200(1≤t≤50，t∈N).前30天价格为g(t)＝t ＋30(1≤t≤30，t∈N)，后20天价格为g(t)＝45(31≤t≤50，t∈N).(1)写出该种商品的日销售额S 与时间t 的函数关系；(2)求日销售额S 的最大值.解 (1)依题意得S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12t ＋30，，－2t ＋，，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t2＋40t ＋，，－90t ＋，(2)①当1≤t≤30，t∈N 时，S ＝－(t －20)2＋6 400，∴当t ＝20时，S 取得最大值为6 400.②当31≤t≤50，t∈N 时，S ＝－90t ＋9 000为递减函数，∴当t ＝31时，S 取得最大值为6 210.综上知，当t ＝20时，日销售额S 有最大值6 400.*13. (2016·常州模拟)某旅游景点2016年1月份起前x 个月的旅游人数的和p(x)(单位：万人)与x 的关系近似地满足p(x)＝x(x ＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12).已知第x 个月的人均消费额q(x)(单位：元)与x 的近似关系是q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧35－，且，160x，且(1)写出2016年第x 个月的旅游人数f(x)(单位：人)与x 的函数关系式；(2)试问2016年第几个月旅游消费总额最大？最大月旅游消费总额为多少万元？解 (1)当x ＝1时，f(1)＝p(1)＝37，当2≤x≤12，且x∈N*时，f(x)＝p(x)－p(x －1)＝x(x ＋1)(39－2x)－(x －1)x(41－2x)＝－3x2＋40x ，验证x ＝1也满足此式，所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12).(2)第x 个月旅游消费总额为g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x2＋－，且，－3x2＋160x，且，即g(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧6x3－185x2＋，且，－480x ＋，且①当1≤x≤6，且x∈N*时，g′(x)＝18x2－370x ＋1 400，令g′(x)＝0，解得x ＝5或x ＝(舍去). 当1≤x<5时，g′(x)>0， 当5<x≤6时，g′(x)<0，∴当x ＝5时，g(x)max ＝g(5)＝3 125(万元).②当7≤x≤12，且x∈N*时，g(x)＝－480x ＋6 400是减函数，∴当x ＝7时，g(x)max ＝g(7)＝3 040(万元).综上，2016年5月份的旅游消费总额最大，最大旅游消费总额为3 125万元.14.(2016·江苏扬州中学质检)某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30 km(忽略内、外环线长度差异).(1)当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，求内环线列车的最小平均速度；(2)新调整的方案要求内环线列车平均速度为25 km/h ，外环线列车平均速度为30 km/h.现内、外环线共有18列列车投入运行，问：要使内、外环线乘客的最长候车时间之差最短，则内、外环线应各投入几列列车运行？解 (1)设内环线列车运行的平均速度为v km/h ，由题意可知×60≤10⇒v≥20.所以，要使内环线乘客最长候车时间为10 min ，列车的最小平均速度是20 km/h.(2)设内环线投入x 列列车运行，则外环线投入(18－x)列列车运行，设内、外环线乘客最长候车时间分别为t1 min 、t2 min ，则t1＝×60＝，t2＝×60＝.设内、外环线乘客的候车时间之差为t min ，于是有t ＝|t1－t2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪72x －6018－x＝⎩⎪⎨⎪⎧72x ＋60x －18，1≤x≤9，x∈N*，－72x ＋60x －18，10≤x≤17，x∈N*，该函数在(1,9)上递减，在(10,17)上递增.又t(9)>t(10)，所以当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车运行时，内、外环线乘客最长候车时间之差最短.。
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（江苏专用）2018版高考数学专题复习 专题2 函数概念与基本初等函数 第9练 函数性质的应用练习 文 训练目标 函数的单调性、最值、奇偶性、周期性．训练题型(1)判定函数的性质；(2)求函数值或解析式；(3)求参数或参数范围；(4)和函数性质有关的不等式问题．解题策略 (1)利用奇偶性或周期性求函数值(或解析式)，要根据自变量之间的关系合理转换；(2)和单调性有关的函数值大小问题，先化到同一单调区间；(3)解题时可以根据函数性质作函数的草图，充分利用数形结合思想.1．下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是________．(填序号)①f (x )＝1x2；②f (x )＝x 2＋1；③f (x )＝x 3；④f (x )＝2－x . 2．(2016·荆州模拟)已知f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当x ∈(0,1)时，f (x )＝3x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2 0152＝________. 3．(2016·盐城模拟)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －1x ＋4a ，x ＜1，log a x ，x ≥1在定义域R 上不是单调函数，则实数a 的取值范围是__________________________．4．已知函数f (x )＝log 13(x 2－ax ＋3a )在[1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围是________________________________________________________________________．5．(2016·威海模拟)已知函数f (x )＝(x －2)(ax ＋b )为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则f (2－x )＞0的解集为________________．6．(2016·揭阳一模)已知函数f (x )是周期为2的奇函数，当x ∈(0,1]时，f (x )＝lg(x ＋1)，则f (2 0165)＋lg 18＝__________. 7．给出四个函数：h (x )＝x ＋1x，g (x )＝3x ＋3－x ，u (x )＝x 3，v (x )＝sin x ，其中满足条件：对任意实数x 及任意正数m ，有f (－x )＋f (x )＝0及f (x ＋m )＞f (x )的函数为________．8．(2017·北京丰台区联考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x －a ，x ＜1，ln x ＋a ，x ≥1，其中a ＞－1.(1)当a ＝0时，若f (x )＝0，则x ＝________；(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是________．9．关于函数图象的对称性与周期性，有下列说法：①若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3＋x )，则f (x )的一个周期为T ＝2；②若函数y ＝f (x )满足f (x ＋1)＝f (3－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称； ③函数y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝2对称；④若函数y ＝1x ＋1与函数f (x )的图象关于原点对称，则f (x )＝1x －1.其中正确的个数是________．10．(2016·济宁期中)已知函数y ＝f (x )的定义域为{x |x ∈R 且x ≠2}，且y ＝f (x ＋2)是偶函数，当x ＜2时，f (x )＝|2x －1|，那么当x ＞2时，函数f (x )的递减区间是__________．11．(2016·孝感模拟)已知y ＝f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，且当0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－2x ，则当10≤x ≤12时，f (x )＝________________.12．(2016·扬州一模)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a |＋|x －2a |－3|a |)．若集合{x |f (x －1)－f (x )＞0，x ∈R }＝∅，则实数a 的取值范围为____________．13．已知定义在R 上的偶函数y ＝f (x )满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②直线x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴；③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若关于x 的方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根分别为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.其中所有正确命题的序号为________．14．(2016·武汉部分学校毕业生2月调研)已知函数f (x )＝a log 2|x |＋1(a ≠0)，定义函数F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，x ＞0，－f x ，x ＜0，给出下列命题：①F (x )＝|f (x )|；②函数F (x )是奇函数；③当a ＞0时，若x 1x 2＜0，x 1＋x 2＞0，则F (x 1)＋F (x 2)＞0成立；④当a ＜0时，函数y ＝F (x 2－2x －3)存在最大值，不存在最小值．其中所有正确命题的序号是________．答案精析1．① 2.1－ 3 3．(0，17)∪[13，1)∪(1，＋∞) 4.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，2 5．{x |x ＜0或x ＞4}解析 由题意可知f (－x )＝f (x )，则(－x －2)(－ax ＋b )＝(x －2)(ax ＋b )，即(2a －b )x ＝0恒成立，故2a －b ＝0，即b ＝2a .则f (x )＝a (x －2)(x ＋2)．又函数在(0，＋∞)上单调递增，所以a ＞0.f (2－x )＞0，即ax (x －4)＞0，解得x ＜0或x ＞4.6．1解析 由函数f (x )是周期为2的奇函数，得f (2 0165)＝f (65)＝f (－45)＝－f (45) ＝－lg 95＝lg 59， 故f (2 0165)＋lg 18 ＝lg 59＋lg 18＝lg 10＝1. 7．u (x )＝x 3解析 由f (－x )＋f (x )＝0知函数f (x )为奇函数，由f (x ＋m )＞f (x )，m ＞0知函数f (x )为单调增函数．h (x )是奇函数，但不是单调增函数；g (x )是偶函数；u (x )既是奇函数，又是单调增函数；v (x )是奇函数，但不是单调增函数．故满足条件的函数是u (x )＝x 3.8．(1)1 (2)[e －1，＋∞)解析 (1)当a ＝0时，若x ＜1，则f (x )＝e x ＞0，f (x )＝0无实数解；若x ≥1，则由f (x )＝ln x ＝0，得x ＝1.(2)若f (x )在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，则e －a ≤ln(1＋a )，即ln(1＋a )＋a －e≥0，a ＞－1.令g (a )＝ln(a ＋1)＋a －e ，则g ′(a )＝a ＋2a ＋1＞0， 所以g (a )在(－1，＋∞)上单调递增，且g (e －1)＝0，所以ln(1＋a )＋a －e≥0的解为a ≥e－1，故实数a 的取值范围是[e －1，＋∞)．9．3解析 在f (x ＋1)＝f (3＋x )中，以x －1代换x ，得f (x )＝f (2＋x )，所以①正确；设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)是y ＝f (x )上的两点，且x 1＝x ＋1，x 2＝3－x ，有x 1＋x 22＝2，由f (x 1)＝f (x 2)，得y 1＝y 2，即P ，Q 关于直线x ＝2对称，所以②正确；函数y ＝f (x ＋1)的图象由y ＝f (x )的图象向左平移1个单位得到，而y ＝f (3－x )的图象由y ＝f (x )的图象关于y 轴对称得y ＝f (－x )，再向右平移3个单位得到，即y ＝f [－(x －3)]＝f (3－x )，于是y ＝f (x ＋1)与函数y ＝f (3－x )的图象关于直线x ＝－1＋32＝1对称，所以③错误；设P (x ，y )是函数f (x )图象上的任意一点，点P 关于原点的对称点P ′(－x ，－y )必在y ＝1x ＋1的图象上，有－y ＝1－x ＋1，即y ＝1x －1，于是f (x )＝1x －1，所以④正确． 10．(2,4]解析 ∵y ＝f (x ＋2)是偶函数，∴f (－x ＋2)＝f (x ＋2)，则函数f (x )关于直线x ＝2对称，则f (x )＝f (4－x )．若x ＞2，则4－x ＜2，∵当x ＜2时，f (x )＝|2x －1|，∴当x ＞2时，f (x )＝f (4－x )＝|24－x －1|，则当x ≥4时，4－x ≤0,24－x －1≤0，此时f (x )＝|24－x －1|＝1－24－x ＝1－16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，此时函数递增， 当2＜x ≤4时，4－x ＞0,24－x －1＞0， 此时f (x )＝|24－x －1|＝24－x －1＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，此时函数递减， ∴函数的递减区间为(2,4]．11．－x 2＋22x －120解析 ∵f (x )在R 上是周期为4的奇函数，∴f (－x )＝－f (x )．由f (x ＋4)＝f (x )，可得f (x －12)＝f (x )．设－2≤x ≤0，则0≤－x ≤2，f (x )＝－f (－x )＝－x 2－2x ，当10≤x ≤12时，－2≤x －12≤0，f (x )＝f (x －12)＝－(x －12)2－2(x －12)＝－x 2＋22x －120.12．(－∞，16] 解析 由题意得f (x －1)≤f (x )恒成立．①当a ≤0时，f (x )＝x ，满足f (x －1)≤f (x )；②当a ＞0，x ＞0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x －3a ，x ＞2a ，－x ，0＜x ≤a ，－a ，a ＜x ≤2a ，由于f (x )是定义在R 上的奇函数，所以其图象如图所示，要使f (x －1)≤f (x )恒成立，则－3a ＋1≥3a ，∴0＜a ≤16. 综上，实数a 的取值范围是(－∞，16]． 13．①②④解析 对于①，∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，∴当x ＝－2时，f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)，∴f (－2)＝0，又f (x )是偶函数，∴f (2)＝0，∴①正确；对于②，∵f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，f (2)＝0，∴f (x ＋4)＝f (x )，∴函数y ＝f (x )的周期T ＝4，又直线x ＝0是函数y ＝f (x )图象的对称轴，∴直线x ＝－4也为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴，∴②正确；对于③，∵函数f (x )的周期是4，∴y ＝f (x )在[8,10]上的单调性与在[0,2]上的单调性相同，∴y ＝f (x )在[8,10]上单调递减，∴③错误；对于④，∵直线x ＝－4是函数y ＝f (x )图象的对称轴，∴x 1＋x 22＝－4，x 1＋x 2＝－8，∴④正确．14．②③解析 ①因为|f (x )|＝而F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ，x ＞0，－f x ，x ＜0，这两个函数的定义域不同，不是同一函数， 即F (x )＝|f (x )|不成立，①错误．②当x ＞0时，F (x )＝f (x )＝a log 2|x |＋1，－x ＜0，F (－x )＝－f (－x )＝－(a log 2|－x |＋1)＝－(a log 2|x |＋1)＝－F (x )；当x ＜0时，F (x )＝－f (x )＝－(a log 2|x |＋1)，－x ＞0，F (－x )＝f (－x )＝a log 2|－x |＋1＝a log 2|x |＋1＝－F (x )，所以函数F (x )是奇函数，②正确．③当a ＞0时，F (x )＝f (x )＝a log 2|x |＋1在(0，＋∞)上是单调增函数． 若x 1x 2＜0，x 1＋x 2＞0，不妨设x 1＞0，则x 2＜0，x 1＞－x 2＞0，所以F (x 1)＞F (－x 2)＞0，又因为函数F (x )是奇函数，－F (x 2)＝F (－x 2)，所以F (x 1)＋F (x 2)＞0，③正确．④函数y ＝F (x 2－2x －3)＝当x ＞3或x ＜－1时，因为a ＜0，所以y ＝F (x 2－2x －3)既没有最大值，也没有最小值．。