振型截断法----振动力学方案

(5.100)
根据第4章柔度矩阵的模态展开式可知，上式右端第二项圆括号中的
部分可以写为：
n
i 1
1 K pi
iiT

s i 1
1 K pi
iiT )
=
n 1
T
K ii
is1 pi
FH
(5.101)
于是式(5.100)可表示为：
x ΦLηL FHP(t)
x K-1P(t) K-1MΦLηL
K-1P(t) ΦLΔL-1ηL

K -1P(t )

s i1
1
i 2
ii
s
i 1
2 i 2
ii
(5.94)
上式右端第一项是伪静态响应，第二项是由前s阶主振型及主坐标
的加速度叠加而成的，因而这种方法称为振型加速度法。
1
由于第二项有 i2 存在，比较起振型位移法，振型加速度法改善 了收敛性，即可用更少的主振型和固有频率求出同样精度的响应。
x1(t)
f11P1 cos t
s i 1
1
i 2
1ii
将式(a)代入上式，得：
(s<4)
x1(t)
f11P1 cos t
s i1
2 i 2
1ii
(s<4)
(d)
为与精确解比较，仍将上式按（c）的形式写为：
x1(t) 2.60417 *103 P1 cost
s i1
2ii
M pi
(Mi )(Mi )T
(5.92)
2.振型加速度法
已知强迫振动的振动方程为：
Mx Kx P(t)
上式可变为：
x K-1P(t) K-1Mx
(5.93)
将式（5.89）代入上式，并结合下式： K-1MΦL ΦLΔL-1
可得到系统的响应近似地为： x K-1P(t) K-1Mx

s i 1
2ii
M pi
1
i 2
i
M
pi i

s i 1
2i i
ii
于是系统的响应近似地为：
s
x=K -1P(t)-
i 1
2i i
ii

s i 1
1
i 2
ii
(5.99)
下面通过例5.8来观察使用振型截断法时如何选取阵型的个数s。
例5.8：如下图所示，四层楼建筑，简化为刚性楼板和弹性支柱。其 余四张为不同的振型图。
+
Qi (0) M pi ) cosi (t )d
(5.96)
2）考虑阻尼时，系统的响应：
当考虑阻尼时，式（5.93）成为：
x K-1P(t) K-1Cx K-1Mx
将式（5.89）代入上式，近似地得：
x K-1P(t) K-1CΦLL K-1MΦLηL
(i=1,2，……，s)
由前知，有坐标变换公式：
若记
ΦL [1,2,…s ]T
则有：
撇去高阶振型部分，就可以得到下列近似的系统响应：
s
x ΦLηL ii i 1
(5.89)
由于在上式中响应是由主振型及主坐标的位移叠加组成的，因 而这种振型截断法称为振型位移法。
1）考虑阻尼时，系统的响应：
M p4 3.64239,
K p4 11374.4
由第4章知：假设 简谐激振力P(t) 与响应同频率，即：
P(t) P0 sin t 其中 P0 是激振力幅的常数列向量；
则系统在主坐标下对该激振力的稳态响应幅值为：
Q0 ΦT P0
已知激振力向量为：P(t) P1 0 0 0cost
3
2
0

0 2 5 3

0
0
3
7

12 176.72
22 879.70
32 1687.46
42 3122.79
1 0 0 0 M 0 2 0 0
0 0 2 0 0 0 0 3
1 13.294
2 29.660
3 41.079
其中各主振型的归一化是使最大的元素为1。
解：
由公式
M

K
pi pi
iT Mi i2M pi
求出主质量、主刚度：
M p1 2.87288,
K p1 507.695
M p2 2.17732, M p3 4.36658,
K p2 1915.39 K p3 7368.43
s 2
1.0P1 cost
1915.39(12 / 879.70)
s 1
s3
(0.90145)(0.90145P1 cost) 7368.43(1 2 /1687.46)


(0.15436)(0.15436P1 cost 11374.4(1 2 / 3122.79)
故激振力幅为： Q01 P1,
Q02 P1,
Q03 0.90145P1, Q04 0.15436P1
又由第4章知，此时主坐标的稳态响应为：
i

Q0i cost K pi (1 i2 )
(a)
其中
i

i
（1）当采用阵型位移法时，系统的的响应近似为：
s
x ii (t) i 1
已知：顶层楼板上作用有简谐激振力：P1 cos t ；
若激振频率分别为：
1） 0 ； 2） 0.51 ； 3） 1.33
分别用振型位移法和振型加速度法计算顶层楼板的响应 x1(t) 。
系统刚度矩阵、质量矩阵、固有频率及振型矩阵已知如下。
1 1 0 0
K 800 1
结合第四章公式：
(K-1M)

1
2

故而由式（5.92）及主振型的正交性，上式右端第二项为：
(5.97)
(5.98)
K -1CΦ LL

K 1
s i 1
2ii
M pi
(Mi )(Mi )T ΦLL

s i 1
2ii
M pi
(K-1Mi )(iT MΦLL )
)
(c)
此时，激振频率分别取： 0,
0.51 6.6468,
1.33 53.402.
将上述顶层楼板的响应表示为： x1(t) P1 cost
下表列出了不同频率下系数 的值 ：
可以看出：
当振型个数取s=1时，振型位移法得到的响应对三种激振频率的任何
一种都存在较大的误差；
(5.102)
FH 称为剩余柔度矩阵，上式右端第二项正是振型加速度法比振型位
移法多出的部分。
先考虑振型位移法中撇去的高阶振型部分：
振动力学
————振型截断法
主讲人：易之
振型叠加法中，需要求出各个阶的固有频率1,2 ,…n和与 之对应的主振型 i ，然后分析响应x(t)。
若系统自由度数n很大时，i 及 i 不便于也不可能全部求出。
若激励频率主要包含低频成分，可撇去高阶振型及固有频率对
响应的贡献，只利用较低的前面若干项 i及主振型近似分析系统
这时，第i (i=1,2，……，s)个主坐标的响应式为：
i
(t)

eiit
[i
(0)
cos
dit

i
(0)
iii di
(0)
sin
di
t]
1
M pi di
t 0
Qi
(
)eii
(t

)
sin
di
(t

)
d
而表示系统的阻尼矩阵的表达式为：
C
1.振型位移法
假设已求得系统较低的前s阶固有频率 i (i=1,2，……，s)及 相应的主振型 i (i=1,2，……，s)，由第4章知系统在第 i 个主坐
标的响应为：
i
(t)
i
(0)
cos it

i (0) i
sin
it

1
M pi i
t
0 Qi ( ) sin i (t ) d
从而得
i

1 M pi
iT P(t) i2i
x

K -1P(t)
s i 1
1
i 2
ii
将上式代入(5.94)，得到：
x
K-1P(t)
s i 1
1 K pi
iiT P(t)
s
ii
i 1

ΦLL
(K-1

s i 1
1 K pi
iiT )P(t)
s3

2
3122.79
(0.15436)(0.15436P1 cost 11374.4(1 2 / 3122.79)
)
(e)
将上述顶层楼板的响应表示为： x1(t) P1 cost
下表列出了不同频率下系数 的值 ：
从上表可以看出：
对于 0 的静态载荷，振型加速度法得到精确解，实际上由式(d)
取s=3时，响应在 0或 0.51 时是相当精确的，但在 1.33 时，响应的误差任较大。这是因为 1.33 接近于 4（前），第四阶主坐
标的响应在 x1(t) 中占重要成分，而振型截断法却没有包括它。
（2）当采用振型加速度法计算响应时，先算出柔度矩阵：
2.60417
式（5.94）中的i 可以用积分号下的微分法算出为：